Методы анализа классов неконсервативных систем в динамике твердого тела, взаимодействующего со средой

Шамолин, Максим Владимирович

Методы анализа классов неконсервативных систем в динамике твердого тела, взаимодействующего со средой тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Шамолин, Максим Владимирович АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Методы анализа классов неконсервативных систем в динамике твердого тела, взаимодействующего со средой»

Автореферат диссертации на тему "Методы анализа классов неконсервативных систем в динамике твердого тела, взаимодействующего со средой"

московский государственный университет имени м. в. ломоносова

институт механики

На правах рукописи

ШАМОЛИН Максим Владимирович

МЕТОДЫ АНАЛИЗА КЛАССОВ НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ В ДИНАМИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕГО СО СРЕДОЙ

01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва-2004

Работа выполнена в лаборатории навигации и управления Института механики Московского Государственного Университета им-М- В- Ломоносова.

Официальные оппоненты' - чл--корр- РАН, доктор физико-

математических наук, профессор В- В-Белецкий

- доктор физико-математических наук, профессор В. В■ Кондратьев • доктор технических наук, профессор В■ В. Феоктистов

Ведущая организация - Московский государственный авиационный

институт (Технический Университет) Научный консультант - доктор физико-математических наук,

профессор В- А• Самсонов

Защита состоится

» К^О^/^х 2004 г. в 16.00 на заседании диссертационного Совета Д501.601.22 при МГУ им- М- В-Ломоносова по адресу: 119234, Москва, Ленинские Горы, МГУ, Главное здание, механико-математический факультет, аудитория 1610.

С диссертацией можно познакомиться в библиотеке механико-математического факультета М1 "У-

Автореферат разослан «£±1» К^ЕЛ /Ю» 20041 Ученый секретарь диссертационного Совета Д501.001,22 при М1"У доцент ' В. А-11рошкин

2.ОУЬ~* \Ъ81

общая характеристика работы

Актуальность темы■ При моделировании движения твердого тела, взаимодействующего со средой возникают динамические системы либо диссипативные, либо с антидиссипацией- Актуальным является построение методики исследования тех классов систем, которые возникают в связи с изучением взаимодействия со средой тел специальной формы-

Поскольку при таком моделировании используется экспериментальная информация о свойствах обтекания, появляется необходимость исследования свойств глобальной устойчивости и относительной грубости-

Рассматривается класс задач, в котором характерное время движения тела относительно его центра масс соизмеримо с характерным временем движения самого центра-

Сложность решения таких задач зависит от многих факторов, в том числе и от характера внешнего силового поля- Например, в случае консервативного поля сил (тяжести) движение тела вокруг своего центра масс может быть сильно хаотичным (классическая задача о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки). В этом случае построить сколько-нибудь общую теорию интегрирования невозможно; естественная возможность продвинуться дальше - это наложить какие-то ограничения на геометрию твердого тела, а также на необходимость обладания силовым полем какими-то группами пусть даже и скрытых симметрии.

Предлагаемая работа посвящена задаче движения в сопротивляющейся среде твердого тела, поверхностью контакта со средой которого является лишь плоский участок его внешней поверхности- Силовое поле в этом случае строится из соображений воздействия среды на тело при струйном (или отрывном) обтекании в условиях квазистационарности- Оказывается, что изучение движения такого класса тел сводится к системам либо с рассеянием энергии (диссипативные системы), либо с ее подкачкой (так называемые системы с антидиссипацией)- Отметим, что подобные задачи уже появлялись в прикладной аэродинамике в исследованиях ЦАГИ-

Диссертационная работа разрабатывалась в рамках темы «Динамика вращающихся тел, взаимодействующих со средой» (номер госрегистрации ГР 01.960.004651) Института механики МГУ им- М- В-Ломоносова при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 93-013-17637, 94-01-01547 и 97-01-01087) и программы «Университеты России»-

Рос

■ИЛЬНАЯ • КА

»006 Р'

Цель работы- В диссертации ставились следующие цели

исследования:

• Обработка экспериментальной информации о свойствах струйного обтекания и разработка методики определения безразмерных параметров воздействия среды на твердое тело;

• Построение двумерных и трехмерных фазовых портретов, возникающих в плоской и пространственной динамике твердого тела, взаимодействующего со средой, а также распространение полученных идей на общие системы, возникающие как в качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории динамических систем, так и в теории колебаний;

• Изучение нетривиальных нелинейных свойств и получение новых нелинейных эффектов в плоской и пространственной динамике твердого тела, взаимодействующего со средой; обоснование на качественном уровне необходимости введения определений относительной грубости и относительной негрубости различных степеней-

Научная новизна работы определяется следующими основными

результатами:

• Создана относительно простая методика экспериментального определения безразмерных параметров воздействия среды на твердое тело в условиях квазистационарности. Данная методика уснешно применена для изучения движения тел простой формы - круговых цилиндров, входящих в воду.

• Разработаны методы качественного исследования диссипативных систем и систем с антидиссипацией, позволившие получить условия бифуркации рождения устойчивых и неустойчивых автоколебаний и признаки отсутствия любых таких режимов- Теория плоских топографических систем Пуанкаре и систем сравнения распространена на пространственный случай- Получены простые достаточные условия устойчивости по Пуассону некоторых классов незамкнутых траекторий динамических систем-

• Обнаружены новые интегрируемые случаи в плоской и пространственной динамике твердого тела, взаимодействующего со средой- Предъявлены первые интегралы соответствующих систем, являющиеся трансцендентными (в смысле классификации их особенностей) функциями- В ряде случаев эти интегралы выражаются через элементарные функции- Введены новые определения свойств относительной грубости и относительной негрубости различных степеней, которыми обладают эти системы-

• Получены двухпараметрические семейства топологически неэквивалентных фазовых портретов, в том числе в задаче о

свободном торможении тела в среде- Почти каждый портрет таких семейств - (абсолютно) груб-• Обнаружены новые механические и топологические аналогии между свойствами движения свободных тел в сопротивляющейся среде» покоящейся на бесконечности, и тел закрепленных, находящихся в потоке набегающей среды- Поиск таких аналогий является специфической задачей прикладной аэрогидродинамики-

Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечивается применением строгих математических методов, а также хорошим совпадением экспериментальных данных с соответствующими аналитическими решениями-

Общая методика исследования■ В теоретической части используются и развиваются методы классической динамики, качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, а также аппарат топографических систем Пуанкаре и более общих систем сравнения- При изучении плоских и пространственных движений твердого тела в сопротивляющейся среде используются как классические качественные методы, так и методы, разработанные в диссертации-

Теоретическая и практическая значимость- Развитие методов качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений позволило до конца исследовать несколько задач плоской и пространственной динамики твердого тела, взаимодействующего со средой. Методы исследования с помощью плоских топографических систем Пуанкаре и систем сравнения распространены на случаи большей размерности. Данные результаты могут быть эффективно использованы в теории нелинейных колебаний систем с большим числом степеней свободы-

Методы исследования монотонных векторных полей на ориентируемых многообразиях позволяют получать семейства фазовых портретов в других задачах динамики твердого тела-

Введение определения относительной грубости и относительной негрубости различных степеней позволяет построить всюду плотное множество относительно грубых динамических систем во всем классе рассматриваемых систем-

Обработка экспериментальной информации о движении конкретных твердых тел - круговых цилиндров - в воде позволило определить параметры воздействия среды- Такая методика может быть применена и для других тел, взаимодействующих со средой через передний плоский торец-

Представленные в работе исследования проводились в соответствии с планом научно-исследовательских работ Института

механики Ml 'У по теме «Динамика вращающихся тел, взаимодействующих со средой»; номер государственной регистрации темы исследования 01.960.004651; шифры программ 1.10.4.1 и 1.10.4.3.

Апробация работы• Вот неполный список конференций, конгрессов, симпозиумов, совещаний и семинаров, на которых результаты диссертационной работы были доложены".

• VII Всесоюзный Съезд по теоретической и прикладной механике-Москва, 15-21 августа 1991 г-;

• Конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А- Н. Колмогорова- Москва, 1993 г.;

• IV, V, VI Коллоквиумы по качественной теории дифференциальных уравнений- Сегед (Венгрия), 18-21 августа 1993 г-, 29 июля - 2 августа 1996 г., 10-14 августа 1999 г.;

• Научная Конференция «Механика и ее применения». Ташкент, 9-11 ноября 1993 г.;

• Международный Конгресс математиков (1СМ'94). Цюрих (Швейцария), 3-11 августа 1994 г.;

• XVI, XVII Международные Конференции-встречи по динамике-Лион (Франция), 28 июня - 1 июля 1995 г., 10-13 июля 1996 г.;

• Ш Международный Конгресс по индустриальной и прикладной математике (ЮАМ'95). Гамбург (Германия), 3-7 июля 1995 г.;

• И1 Международная Конференция по экспериментальному хаосу-Эдинбург (Шотландия), 21-23 августа 1995 г.;

• Чебышевские чтения-Москва, 1995 г., 13-20 мая 1996 г-;

• Международный Научный Конгресс студентов и молодых ученых «Молодежь, наука и третье тысячелетие». Москва, 29 января - 2 февраля 1996 г.;

• Международная Конференция, организованная Обществом GAMM (Германия). Прага, 27-31 мая 1996 г., Регенсбург (Германия), 24-27 марта 1997 г., Бремен (Германия), 6-8 апреля 1998 г-, Метц (Франция), 12-16 апреля 1999 г., Геттинген (Германия), 2-7 апреля 2000 г.;

• Международная топологическая Конференция, посвященная 100 -летию со дня рождения П- С- Александрова («Александровские чтения»). Москва, 27-31 мая 1996 г-;

• II, III Симпозиумы по классической и небесной механике- Великие Луки, 23-28 августа 1996 г-, 23-27 августа 1998 г-;

• XIX Международный Конгресс по теоретической и прикладной механике (1СТАМ'96). Киото (Япония), 25-31 августа 1996 р.;

• XXI Научные Чтения по космонавтике. Москва, 28-31 января 1997 р.;

• Всероссийская Конференция с международным участием «Проблемы небесной механики»- Санкт-Петербург, 3-6 июня 1997 г-;

• VII Чегаевская Конференция «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением». Казань, 10-13 июня 1997 г.;

• III, IV Европейские Конгрессы по механике (EUROMECH-3, 4). Стокгольм (Швеция), 18-22 августа 1997 г-, Метц (Франция), 26-30 июня 2000 г.;

• IX Международная Конференция по дифференциальным уравнениям (EQUADIFF-9). Брно (Чехия), 25-29 августа 1997 г.;

• V Международное Совещание-семинар «Инженерно-физические проблемы новой техники». Москва, 19-22 мая 1998 г-;

• Всероссийская научно-техническая Конференция молодых ученых «Современные проблемы аэрокосмической науки». Жуковский, 27-29 мая 1998 г.;

• Международная Конференция «Математика в индустрии» (1С1М'98). Таганрог, 29 июня-3 июля 1998 г.;

• Международная Конференция по уравнениям с частными производными. Прага (Чехия), 10-16 августа 1998 р.;

• Международная Конференция, посвященная 90-летию со дня рождения JI- С. Понтрягина- Москва, 31 августа - 6 июня 1998 г.;

• IV, V Крымские Международные математические Школы «Метод функции Ляпунова и его приложения». Алушта, 5-12 сентября 1998 г., 5-13 сентября 2000 г.;

• Международный Конгресс «Нелинейный анализ и его приложения». Москва, 1-5 сентября 1998 г.;

• Международный Конференция по теоретической, прикладной, вычислительной и экспериментальной механике (1СТАСЕМ'98). Харагпур (Индия), 1-5 декабря 1998 г.;

• III Международный Конгресс по струк1урной и многопараметрической оптимизации (WCSMO-3). Буффало (США), 17-21 мая 1999,

• V Конференция Общества SIAM (США) по прикладной динамике-Сноуберд (США), 23-27 мая 1999 Г-;

• Ш Международная Конференция «Чкаловские чтения. Инженерно-физические проблемы авиационной и космической техники». Егорьевск, 1-4 июня 1999 г.;

• II Международная Конференция по математическому моделированию (MATHTOOLS'99). Санкт-Петербург, 14-19 июня 1999 г-;

• X Международная Конференция по дифференциальным уравнениям (EQUADIFF-10). Берлин (Германия), 1-7 августа 1999 г.;

III Европейская Конференция по нелинейным колебаниям (ENOC-3). Копенгаген (Лингби, Дания), 8-12 августа 1999 г.;

II Международный Конгресс азиатского региона по динамике (ISAAC'99). Фукуока (Япония), 16-21 августа 1999 г.; Конференция, посвященная 40-летию Института механики М1 "У им-М- В. Ломоносова- Москва, Институт механики МГУ, 22-26 ноября

1999 г.;

III Международная Конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения»- Санкт-Петербург, 12-17 июня 2000 г-;

III Европейский Конгресс математиков (ЕСМ-3). Барселона (Испания), Ю-14 июня 2000 г.;

XXVI Международный Конгресс по научным вычислениям, прикладной математике и моделированию (IMACS2000). Лозанна (Швейцария), 21-25 августа, 2000 г.;

Международная Конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам- Суздаль, 21-26 августа 2000 г.; Европейский Конгресс по численным методам в прикладных науках и инженерии (ECCOMAS2000). Барселона (Испания), 11-14 сентября

2000 г-;

Международная Конференция по дифференциальным и интегральным уравнениям- Одесса, 12-14 сентября 2000 г-; Научный семинар по механике под руководством акад- А- Ю-Ишлинского, В- В- Александрова, Е- А- Девянина, И- В- Новожилова, Н- А- Нарусникова (1996-2001 г-г-);

Научный семинар по механике систем и проблемам управления движением и навигации под руководством акад- А- Ю- Ишлинского, акад. Д- М- Климова (ИПМех РАН) (1997 Г-);

Научный семинар «Динамика твердых тел, взаимодействующих со средой» под руководством В- Г- Вильке и В- А- Самсонова (19882001 г-г);

Научный семинар по механике под руководством акад- В- В-Румянцева (1990,1997,1999,2000 г-г-);

Научный семинар по механике под руководством чл -корр- РАН В- В-Белецкого и Ю- Ф- Голубева (1995-2001 Г-г-);

Научный семинар «Динамические системы классической механики» под руководством акад- В- В- Козлова, С- В- Болотина и Д. В-Трещева(1995,1996,2001 Г-г-);

Научный семинар «Актуальные проблемы геометрии и механики» под руководством Д. В- Георгиевского, В- В- Трофимова и М- В-Шамолина( 1999-2004,.г.);

• Научный семинар по векторному и тензорному анализу им- II- К-Рашевского под руководством акад- А- Г- Фоменко и В. В-Трофимова (1999 г.);

• Научный семинар кафедры механики композитов МГУ под руководством Б- Е- Победри (2000 г-);

• Научный семинар кафедры теоретической механики МАИ под руководством В- Г- Веретенникова-

Публикаиии. Основные результаты диссертации опубликованы в 33 научных работах, список которых в хронологическом порядке приведен в конце автореферата-

Структура и объем диссертации■ Диссертация состоит из введения, восьми глав, заключения, рисунков и иллюстраций, таблиц и списка литературы- Работа включает 285 страниц машинописного текста, 57 рисунков, 32 иллюстрации и 4 таблицы- Список литературы состоит из 304 наименований-

основное содержание диссертации

Во введении делается исторический обзор проблемы, а также дается подробная постановка задачи-

Предположим, что однородное твердое тело массы т совершает плоскопараллельное движение в среде с квадратичным законом сопротивления, и что некоторая часть внешней поверхности тела представляет собой плоскую пластину АВ, находящуюся в условиях струйного обтекания средой- Это означает, что воздействие среды на пластину (тело) сводится к силе в (приложенной в точке М), линия действия которой ортогональна пластине- Остальная часть поверхности тела может быть размещена внутри объема, ограниченного струйной поверхностью, срывающейся с края пластины, и главное, что она не испытывает действия среды- Похожие условия могут возникнуть, например, после входа тела в воду.

Допустим, что среди движений тела существует режим прямолинейного поступательного торможения- Это возможно при выполнении двух условий, а именно: (1) скорость движения всех точек тела ортогональна пластине АВ; (2) перпендикуляр, опущенный из центра тяжести С тела на плоскость пластины, принадлежит линии действия силы

Гипотеза квазистационарности и фазовые переменные■ Свяжем с пластиной правую систему координат (О, - центр пластины,

ось 2о - перпендикулярна плоскости движения) и будем считать, для простоты, Ц^Хо плоскостью геометрической симметрии тела- Это

м »

обеспечит выполнение условия (2) при движении, удовлетворяющем условию (1).

Для построения динамической модели введем первые три фазовые координаты: V - величина скорости точки Ц относительно потока, а -угол (атаки) между вектором V скорости точки О, и осью С1 -алгебраическое значение проекции абсолютной угловой скорости тела на ось АВ = 0.

Примем, что величина силы в квадратично зависит 8 = от V с неотрицательным коэффициентом э,. Обычно его представляют в виде

5,=—/?Рсх, где сх - уже безразмерный коэффициент лобового

сопротивления (р - плотность среды, Р - площадь пластины)- Этот коэффициент зависит от угла атаки, числа Струхаля и других величин, которые в статических моделях обычно считают параметрами- Мы же в дальнейшем вводим безразмерную фазовую переменную «типа

ПО , ч

Струхаля» й> = ——, а также вспомогательную функцию 5(а) =

5,(сг)з§псо8а• Таким образом, в дальнейшем в уравнениях движения возникают следующие две функции фазовых переменных: Ум и я.

Ограничимся зависимостью сх от угла атаки, т- е- в принципе будем считать величину э функцией а а величину Ум - функцией пары безразмерных переменных (а,со) •

Работы предыдущих авторов (В- А- Ерошин, В. А- Привалов, В- А-Самсонов) посвящены такому исследованию плоского взаимодействия, при котором учитывается зависимость пары (уы,з) лишь от угла атаки-При этом рассматривались только линейные задачи около прямолинейного поступательного движения- В данной работе изучаются плоскопараллельные и пространственные движения тела в нелинейной постановке как в случае зависимости пары только от

угла атаки, так и при условии дополнительной зависимости величины Ум от приведенной угловой скорости соВ дальнейшем будут рассмотрены несколько классов плоскопараллельных и пространственных движений твердых тел, взаимодействующих со средой, которые можно разделить на части: движения тел свободных и тел частично закрепленных в потоке, в том смысле что число степеней свободы при этом уменьшается-

Одна из таких задач (имеющая большое прикладное значение) -задача о свободном торможении - будет исследована особенно основательно-

Плоскопараллельное движение с малыми углами атаки- Задача о движении тела с малыми углами атаки формирует представление о нелинейных динамических системах, исследуемых в дальнейшем-Поэтому проведем далее линейный анализ несколько подробнее.

Режим невозмущенного движения- Прямолинейное поступательное движение (которое в дальнейшем назовем невозмущенным) задается уравнениями а(1) = 0, <г>(0 = 0. Поэтому функцию Ун(а,со) при малых (а,а) примем в виде Уц =0(к«-Ьс?), где к и Ь - некоторые постоянные- Зависимостью же 5, от а, в силу геометрической симметрии тела, обеспечивающей четность функции 5, пренебрегаем-

Ключевые параметры■ Линеаризованная модель силового воздействия среды содержит три параметра э = б,, к, Ь, которые определяются формой пластины в плане- Как уже отмечалось, первый из этих параметров - коэффициент в - размерный- Параметры же к, Ь являются безразмерными в силу способа их введения-

Отметим, что величины я, к могу! быть экспериментально определены путем весовых измерений в установках типа гидро- или аэродинамических труб- В литературе (М- И- Гуревич, Ь. РгапсШ, А. Веф имеется также информация о теоретическом определении этих величин для отдельных форм пластин (см- также работы В. А. Ерошина, Г- А- Константинова, Н. И- Романенкова, Ю- Л- Якимова, А- В-Плюснина, Ю- А- Созоненко, И- В- Серебрякова, Ю- Ф- Журавлева, В- В-Стрекалова, О- 11- Шорыгина). Эта информация позволяет считать, что к > 0. Что же касается параметра Ь (который вносит в систему зависимость момента сил от угловой скорости), то даже сама необходимость введения его в модель априори не очевидна-

Эксперимент• Изучение свойств движения рассматриваемых классов тел в Институте механики М1 У им- М- В- Ломоносова В- А-Ерошиным и В- М- Макаршиным было начато экспериментами по регистрации движения в воде однородных круговых цилиндров-

Эксперимент (обработку результатов которого проводил автор) позволил остановиться на важных выводах- Первый: режим прямолинейного поступательного торможения тела (в воде) неустойчив по крайней мере по отношению к углу ориентации тела-Стало возможным также определение безразмерных параметров к, Ь воздействия среды на твердое тело, чему и посвящена, в частности, 1 глава работы-

Второй вывод, полученный из проведенного натурного эксперимента, следующий: при моделировании воздействия среды на тело необходимо учитывать дополнительный параметр,

эквивалентный так называемой вращательной производной момента гидродинамических сил по угловой скорости тела• Этот параметр вносит в систему диссипацию-

О коэффициенте демпфирования- Величина коэффициента демпфирующего момента уже была оценена в работах В- А- Ерошина для некоторых случаев движения тел в воде- Данная там оценка говорит о неустойчивости по углу атаки и угловой скорости прямолинейного поступательного движения твердого тела в воде- Чисто формально, увеличивая величину коэффициента демпфирования, возможно достижение устойчивости данного движения- Прямолинейное движение твердого тела в некоторых средах (например, в глине) устойчиво в вышеописанном смысле, как показывает эксперимент (Ю- К- Бивин, ВВ- Викторов, Л- П- Степанов)- Возможно, данная устойчивость достигается благодаря наличию в системе значительного демпфирования со стороны среды или наличию сил, касательных к пластине-

Нелинейный анализ- Первый вывод, сделанный из эксперимента, заставляет нас рассматривать класс возможных движений тела при малых углах атаки в качестве «опорного» для рассмотрения класса свободного торможения тела с конечными углами атаки- Для тел различной формы углы атаки вполне могут принимать практически

любое значение из интервала , и лишь при углах, близких к —,

неизбежен так называемый замыв боковой поверхности. Поэтому возникает необходимость продолжения функций воздействия среды ум и в по крайней мере на конечные углы атаки, т-е- «расширение» их

области определения на интервал - Но фактически продолжать

данные функции необходимо на всю числовую прямую, что будет ясно из следующих рассуждений-

Представим себе летающий аппарат, совершающий плоскопараллельное движение над водой- Предположим, что аппарат взаимодействует с водой посредством некоторой конструкции, содержащей плоскую пластину, которая опущена в воду вертикально и обтекается водой при движении над ней летательного аппарата- Можно считать, что пластина взаимодействует с водой по законам струйного обтекания практически при любых углах атаки- Такой летательный аппарат подобен хорошо известному экраноплану (В- А- Одареев). При этом плоскопараллельность движения рассматриваемого летательного аппарата над водой обеспечивается наличием самого экрана - плоской поверхности воды-

Как уже отмечалось, опорным для нас является результат С- А. Чаплыгина, который для пластины бесконечной длины получил эти функции в аналитическом виде- Он показал, что если такая пластина движется в среде по законам струйного обтекания, то коэффициент квадратичного по скорости центра пластины сопротивления пропорционален аналитической функции - косинусу угла атаки, а расстояние от центра давления до центра пластины пропорционально его синусу-

Последний факт позволяет перенести результаты С- А- Чаплыгина на семейство тел, часть внешней поверхности которых имеет форму плоской пластины, в том числе и для кругового цилиндра с передним плоским торцом-

Представим нелинейные динамические уравнения плоскопараллелыюго движения тела следующим образом-'

V cos« -a'vsinа -Qvsinа+orf = -^^-v2, (1)

Здесь {у,а,П или со) - фазовые переменные, ст,1,0 - постоянные величины, - некоторые функции воздействия среды,

соответствующие некоторому классу мыслимых тел и их мыслимых движений- Данные функции принадлежат к определенным функциональным классам.

Классы функций воздействия среды- Первым этапом полного нелинейного исследования движения тела в среде условиях квазистационарности является конструирование и исследование соответствующих динамических систем, в которых не учитывается влияние вращательных производных момента аэродинамических сил по угловой скорости тела (в частности, в линейном случае Ь = 0). Учет такого влияния является следующим трудоемким этапом исследования проблемы-

Объясним необходимость широкого выбора классов функций воздействия среды. Отрезок АВ является геометрическим сечением плоскостью движения нашей пластины- Геометрическая же форма пластины может быть совершенно различной- Кроме того, хорда, лежащая в плоскости пластины, может по-разному определять плоскость движения самого тела (в случае плоскопараллельного движения)- Последние обстоятельства и позволяют отнести две возникающие функции воздействия среды к определенным классам- Как указано выше, на эти функциональные классы накладываются

V sin а + a'veosa + Qvcosа - ofi' = О, 1£Г = yN(ar,fi>)s(ar)v\ <а =—-

(2) (3)

достаточно слабые условия, поэтому данные классы достаточно широки- Они заведомо включают допустимые конкретные функции, взятые для каждого мыслимого тела и для каждого мыслимого движения-

Для начала рассмотрим случай, когда пара функций воздействия среды (yN,s) зависит лишь от угла атаки. При этом для качественного описания данной пары функций используется экспериментальная информация о свойствах струйного обтекания- Вводимые классы достаточно широки: они состоят из функций достаточно гладких, 2ц-периодических (yN (а) ~ нечетная, a s(а) - четная), удовлегворяющих следующим условиям: Уы(а) > 0 при ае( 0, ж), причем

Уи'(0)>0, yN'(ж)<0 (класс функций {yN} = Y); s(a)>0 при

s(a)<0 при причем s(0)>0, s'^jcO (класс функций

{s} = I). Как yN, так и s меняют знак при замене а на а + яг - Таким образом,

УнеУ. (4)

se£. (5) В частности, аналитические функции

У>Д«) = Уо(а)= Asina е Y, (6)

s (а) = s0(a) = В cosa е I; Д В > 0 (7)

(соответствующие случаю С- А- Чаплыгина) служат типичными представителями описанных классов-

В дальнейшем в рассматриваемых динамических системах возникает произведение F(a)- yN(a)s(a). Из вышеперечисленных условий следует, что F - достаточно гладкая нечетная л периодическая функция, удовлетворяющая условиям: F(a)>0 при

agj^ij, F'(0)>О, F'jj-j<0 (класс функций {F} = ф). Таким

образом,

Реф. (8)

В частности, аналитическая функция

F = F 0(а) = ABsinacosa е Ф (9)

(также соответствующая случаю С- А- Чаплыгина) является типичным представителем возникающего класса функций Ф -

Итак, для исследования обтекания пластины средой используются классы динамических систем, определенные с помощью пары функций воздействия среды, что значительно усложняет проведение качественного анализа-

Направления, развиваемые в работе• У системы (1)-(3) третьего порядка возможно отщепление независимой подсистемы второго порядка-

Действительно, система (1)-(3) является эйлеровской однородной системой по части квазискоростей степени однородности 2,

поскольку после замены независимого переменного (времени О по формуле <1ц = уЛ, V* 0 получаем новую систему, эквивалентную системе (1ИЗ) (в данном случае также выполнено равенство <р' = тУ-

(Ю)

а' = -а + (а)соза + оси1 вша + ^^эша, (11)

I ш

=-Ь^-йЯЧа,®), (12)

где Ч/(ог,ш) = ^-Р(а)8та-<тю2со5а--^^со8а (таким образом, в I ш

системе (10)-(12) переменная со отличается от переменной а> в системе

(1НЗ) только лишь делением на величину И).

В системе (ЮН 12) третьего порядка появляется независимая подсистема (11),(12) второго порядка, которая может быть рассмотрена самостоятельно на ее фазовом цилиндре-

Укажем далее на направления, развиваемые в работе- Первые два направления являются традиционными для аналитической механики, а именно:

1- Качественное исследование нелинейных систем неконсервативного характера, что позволит изучить геометрию фазового пространства и, в частности, ответить на главный вопрос нелинейного анализа при исследовании системы (11),(12): возможно ли найти пару функций ун и $ из вышеописанных классов, такую, чтобы в конечной окрестности начала координат на фазовой плоскости Яг{а,<у} у системы (11),(12), отщепленной от общей нелинейной системы (Ю)-(12) при помощи указанного выше приема, существовали бы устойчивые предельные циклы-

Последний вопрос возникает по следующей причине: поскольку прямолинейное поступательное торможение (невозмущенное движение)

неустойчиво по углу атаки и угловой скорости, возможны ли при этом устойчивые автоколебания в системе?

2. Поиск возможных интегрируемых случаев-

Третье направление характерно для прикладной аэродинамики и является специфическим в рамках данной работы:

3. Поиск возможных аналогий между динамикой движения частично закрепленных тел и тел свободных-

Возможные ответы на главный вопрос нелинейного анализа-Неустойчивость прямолинейного поступательного торможения (невозмущенного режима) побудила нас к постановке нелинейной задачи, а также к главному вопросу нелинейного анализа (отмеченному выше) в исследовании конечной окрестности такого движения.

диапазоне конечных углов атаки на интервале а е отсутствуют

какие-либо автоколебания в системе- Математическая сторона данного вопроса на качественном уровне исследуется в главе 2.

Для возможного достижения положительного ответа на главный вопрос нелинейного анализа при моделировании взаимодействия тела со средой учитывается влияние вращательных производных момента, действующего со стороны среды, который вносит в систему диссипацию- Поэтому в принципе при выполнении некоторых дополнительных условий в рамках рассматриваемой модели возможно возникновение устойчивых автоколебаний, однако поиск тела, обладающего необходимыми свойствами, требует проведения дополнительного натурного эксперимента.

После его проведения появляется возможность сравнивать результаты численного эксперимента, полученные при моделировании воздействия среды на тело, с результатами эксперимента натурного-

Динамические системы с переменной диссипацией и их свойства-Вообще, динамика твердого тела, взаимодействующего со средой, - как раз та область, где возникают либо диссипативные системы, либо системы с так называемой антидиссипацией- Поэтому становится актуальным построение методики именно для тех классов систем, которые возникают при моделировании движения такого класса тел, поверхностью контакта со средой которых является плоский участок их внешней поверхности-

Поскольку при таком моделировании используется экспериментальная информация о свойствах струйного обтекания, возникает необходимость исследования класса динамических систем, которые обладают свойством (относительной) структурной устойчивости. Поэтому вполне естественно ввести определения относительной грубости для таких систем- При этом многие из рассматриваемых систем получаются (абсолютно) грубыми по Андронову-Понтрягину-

Как будет показано в главе 1, после некоторых упрощений общая система UM3) приводится к маятниковым системам второго порядка, в которых присутствует линейная диссипативная сила с переменным коэффициентом, который при разных углах атаки имеет разный знак-

В данном случае будем говорить о системах с так называемой переменной диссипацией, где термин «переменный» относится не столько к величине коэффициента диссипации, сколько к возможной смене его знака-

В среднем за период по углу атаки диссипация может быть как

положительной, так и отрицательной, а также равной нулю- В

последнем случае будем говорить о системах с переменной диссипацией

с нулевым средним-

Диссипативные системы с переменной диссипацией с нулевым или

ненулевым средним• Дать общее определение системы с переменной

диссипацией с нулевым или ненулевым средним достаточно непросто-

Далее в работе ограничимся следующим-

Рассмотрим гладкую автономную динамическую систему п+1

порядка нормального вида в R°{x}xS'{a mod In) ■ Дивергенцию

правой части (которая, вообще говоря, является функцией всех фазовых

переменных и не равна тождественно нулю) данной динамической

системы будем обозначать через div(x,ar). Будем называть такую

систему системой с переменной диссипацией с нулевым (ненулевым) 2*

средним, если функция Jdiv(x,a)da равна (не равна) тождественно о

нулю-

Качественные аналогии■ В дальнейшем будут отмечены важные механические аналогии, возникающие при сравнении качественных свойств стационарного движения свободного тела и равновесия маятника в потоке среды- Такие аналогии носят глубокий опорный смысл, поскольку позволяют перенести свойства нелинейных динамических систем для маятника на динамические системы для свободного тела- И те, и другие системы принадлежат к классу так называемых маятниковых динамических систем с переменной

диссипацией с нулевым средним- Например, при выполнении условия (9) угол поворота маятника эквивалентен углу аггаки при движении свободного тела- Если же условие (9) (группа условий (6),С7)) не выполнено, то угол атаки свободного тела и угол поворота маютника траекторно топологически эквивалентны (о такой эквивалентности см-главы 3,4,6).

Общий характер симметрий системы для плоской и пространственной динамики• При дополнительных условиях вышеописанная эквивалентность распространяется и на пространственный случай, что позволяет говорить об общем характере симметрий, имеющихся в системе с переменной диссипацией с нулевым средним как при плоскопараллельном, так и при пространственном движениях (о плоском и пространственном вариантах маятника см. главы 4 и 6).

Краткое содержание остальных глав диссертации• В главе 1 подвергнута более конкретному анализу задача о движении тела в среде с малыми углами атаки- Обработаны результаты эксперимента, благодаря чему получена относительно простая методика определения параметров воздействия среды на тело- В данной главе также сформирован ряд нелинейных динамических систем с переменной диссипацией с нулевым и ненулевым средним в пространстве квазискоростей, зависящий от двух функций воздействия среды и описывающий различные классы движений тела в среде в условиях квазистационарности. Полный нелинейный анализ таких систем проводится в дальнейших главах как ранее известными методами качественной теории, так и новыми методами, полученными исключительно для возникающих систем с переменной диссипацией.

Глава 2 посвящена некоторым вопросам качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, как в применение к конкретным динамическим системам, возникающим в дишамике твердого тела, так и в применение к произвольным динамическим системам на маломерных гладких многообразиях- Пожучены достаточные условия существования бифуркации рождения устойчивых и неустойчивых предельных циклов для систем (в частности (111),(12)), описывающих движение тела в сопротивляющейся среде, а также достаточные условия отсутствия таких траекторий-

Предъявлено простое уточнение теоремы Бендиксона, которая дает достаточные условия отсутствия замкнутых характе:ристик векторного поля в той области плоскости, где не меняет знака его дивергенция, г- е- для динамических систем со знакопостоянной диссипацией- Уточнение последнего факта таково: для отсутствия замкнутых характеристик векторного поля на двумерном

ориентируемом римановом многообразии достаточно знакопостоянство почти всюду скалярного произведения (rot fw,n), где f - гладкая функция, w - векгорное поле, ортогональное исследуемому, а п -внешняя нормаль к многообразию-

В понятии топографической системы Пуанкаре (ТСП) первоначально был заложен ряд требований аналитического характера-ТСП строилась с помощью достаточно гладкой алгебраической функции двух переменных, которая: ограниченная в ограниченной области, стремящаяся к бесконечности, когда одна из переменных стремится к бесконечности, равная нулю в особой точке векторного поля на плоскости, положительная во всех остальных точках, имеющая первые производные, обращающиеся в нуль в особой точке, в которой она к тому же и выпукла- В диссертации же учитывается лишь геометрия расположения так называемой кривой контактов траекторий исследуемой динамической системы и кривых ТСП (т. е- кривой, в которой последние два класса траекторий касаются)-

Под ТСП будем понимать систему вложенных друг в друга замкнутых кривых, полученных с помощью поверхностей уровня неотрицательной функции, которая равна нулю лишь в точке, к которой сходятся полученные вложенные замкнутые кривые- С помощью такой системы можно успешно «ловить» замкнутые траектории исследуемой динамической системы: вычисляя угол между векторами поля, образующими семейство ТСП, и векторами исследуемого поля динамической системы, можно получить информацию о расположении траекторий исследуемого векторного поля-

Более того в работе предложен метод построения ТСП в многомерных пространствах-

Изучаются также некоторые элементы теории монотонных векторных полей, т. е- полей, зависящих от параметра, при изменении которого само поле поворачивается в одну и ту же сторону монотонно-При некоторых условиях классы траекторий таких векторных полей имеют монотонно меняющиеся друг относительно дру1-а предельные множества-

Предлагается достаточно простая методика доказательства устойчивости по Пуассону незамкнутых траекторий динамических систем- В частности, в некоторых исследуемых системах с переменной диссипацией с нулевым средним показано наличие семейств таких длиннопериодических траекторий: при некоторых условиях траектория движения точки D, (центра пластины) устойчива по Пуассону.

примера такими являются пятипараметрические динамические системы, включающие в себя большинство систем, исследуемых в диссертации:

а' = a sin а + Ъсо + у, sin5 а + у,й> sin* а + у#)1 sin3 а + +у4й>3 sin2 а + y¡(0* sino,

со' 5=csinacosa + dü>cosa + y1ü)sin4acosa+j'2<oisin3acosa + +y¿o3 sin2 acosar + sin «cosa + ysm5 cosa.

В главе 3 вводятся определения относительной структурной устойчивости (относительной грубости) и относительной структурной неустойчивости (относительной негрубости) различных степеней-Последние свойства доказываются для систем, возникающих в динамике твердого тела, взаимодействующего со средой-

Как известно, (чисто) диссипативные динамические системы (впрочем как и (чисто) антидиссипативные), которые в нашем случае могут принадлежать к системам с переменной диссипацией с ненулевым средним, являются, как правило, структурно устойчивыми ((абсолютно) грубыми), а вот системы с переменной диссипацией с нулевым средним (которые, как правило, обладают дополнительными симметриями) являются либо структурно неустойчивыми (негрубыми), либо только лишь относительно струкчурно устойчивыми (относительно грубыми). Последнее утверждение доказать в общем случае затруднительно- Тем не менее введение понятия относительной грубости (а также относительной негрубости различных степеней) позволяет предъявить классы конкретных систем из динамики твердого тела, которые обладают вышеуказанными свойствами-

маятник, помещенный в поток набегающей среды- Указан дополнительный первый интеграл в системе, являющийся трансцендентной (в смысле теории функций комплексного переменного, имеющей существенно особые точки после ее продолжения в комплексную область) функцией фазовых переменных и выражающейся через элементарные функции- Более того, фазовый цилиндр RMosQ) (или 9}{а,аА) квазискоростей имеет интересную

топологическую структуру разбиения на траектории. На цилиндре имеются две области (замыкание которых и есть фазовый цилиндр) с совершенно различным характером траекторий.

Первая область - колебательная или финитная (она односвязна) -сплошь заполнена траекториями следующего типа- Почти любая такая траектория начинается в отталкивающейся точке (2^к,0) и кончается в притягивающей ((21+1)^,0), 1,ке2.. Исключение лишь составляют точки покоя (л-к,0), а также сепаратрисы, которые либо выходят из отталкивающих точек (2я-к,0) и входят в седла Э2к, и либо выходят из седел и §2и1 и входят в притягивающие точки

Вторая область - вращательная (она, вообще говоря, многосвязна) - сплошь заполнена вращательными движениями подобно вращениям на фазовой плоскости математического маятника- Данные фазовые траектории огибают фазовый цилиндр и являются на нем периодическими- Хотя рассматриваемые динамические системы и неконсервативны, во вращательной области ее фазовой плоскости К2{аг,П} (или К2{а,<м}) они допускают сохранение инвариантной меры с переменной плотностью- Данное свойство характеризует рассматриваемую систему как систему с переменной диссипацией с нулевым средним.

Сами ключевые сепаратрисы являются границами областей, в каждой из которых движение имеет различный характер. Так в колебательной области, содержащей притягивающие и отталкивающие точки покоя, почти все траектории имеют в качестве предельных множеств аттракторы и репеллеры- Следовательно, не существует даже абсолютно непрерывной функции, являющейся плотностью инвариантной меры в данной области-

Иначе обстоит дело с областью, сплошь заполненной вращательными движениями- Как показала в своей дипломной работе ВВ- Журавлева (1988 г.), существует гладкая функция, являющаяся плотностью инвариантной меры в области, сплошь заполненной периодическими траекториями, не стягиваемыми по фазовому цилиндру в точку.

((2к+1)л-,0). Здесь

семейства топологически неэквивалентных фазовых портретов-Типичные портреты семейства - (абсолютно) грубы- А вот «критические» фазовые портреты (если их рассматривать не на цилиндре, а на плоскости) являются иегрубыми, причем бесконечной степени (и абсолютной, и относительной) негрубости-

Проведена классификация множества параметров системы по отношению к определенному типу ее фазового портрета- При этом перестройки топологического типа фазового портрета носят вырожденный (по причине бесконечной степени негрубости) характер-

В главе 6 некоторые результаты плоской динамики переносятся на пространственный случай, в связи с чем подробно ставится пространственная задача- В частности, найден полный список интегралов в задаче о пространственном движении динамически симметричного закрепленного твердого тела, помещенного в поток набегающей среды- Данная система с переменной диссипацией с нулевым средним топологически эквивалентна пространственному движению твердого тела в сопротивляющейся среде, при котором на тело наложена некоторая связь. Пространственное движение твердого тела в сопротивляющейся среде, при котором центр масс совершает прямолинейное равномерное движение, также представляет собой динамическую систему с переменной диссипацией с нулевым средним. Ее качественное исследование позволяет предъявить удобную пространственную систему сравнения для исследования многих систем с переменной диссипацией с ненулевым средним.

В главе 7 получено семейство фазовых портретов в задаче о пространственном свободном торможении тела в сопротивляющейся среде- Основной прикладной результат - неустойчивость прямолинейного поступательного торможения (т- е- движения с нулевыми углом атаки и угловой скоростью)- В данной главе развивается техника исследования окрестности сингулярного положения равновесия, т- е- такого, в котором правые части динамических систем доопределяются лишь по непрерывности- К примеру, при малых углах атаки и угловых скоростях (т- е- в окрестности пространственного прямолинейного поступательного торможения) у правой части системы имеется особенность 1 /а- Эта трудность преодолевается особенным построением функции Ляпунова-

Получено аналогичное плоскопараллельной динамике (см- главу 5) семейство трехмерных фазовых портретов.

нелинейных уравнений исследуется устойчивость прямолинейного поступательного торможения при наличии линейного демпфирующего момента. Показано, что в рамках рассматриваемой модели в принципе могут возникнуть автоколебания, соответствующие предельным циклам, которые рождаются из слабого фокуса (известная бифуркация Аидронова-Хопфа). Последний аспект является возможным положительным ответом на главный вопрос нелинейного анализа -может ли начало координат на плоскости (или К2{а,а>}) стать

устойчивым (что эквивалентно устойчивости прямолинейного поступательного торможения).

Если в первых главах показано, что для однородных круговых цилиндров, движущихся в воде, прямолинейное поступательное торможение неустойчиво при любых динамических и геометрических параметрах таких цилиндров, и это связано, по-видимому, с движением цилиндров именно в воде, когда демпфирование со стороны воды незначительно, что не позволяет говорить об устойчивости исследуемого режима, то для цилиндров, имеющих внутри себя полость, при некоторых условиях возможно достижение названной устойчивости-

Таким образом, учел вращательных производных при некоторых условиях приводит к положительному ответу на главный вопрос нелинейного анализа: при движении тела в среде с конечными углами атаки в принципе возможно возникновение устойчивых автоколебаний-Причем для круговых цилиндров с полостью при некоторых условиях возможно возникновение устойчивых, а при некоторых неустойчивых автоколебаний-

В задаче о движении тела в среде при наличии некоторой связи проводится полный нелинейный анализ динамических систем с переменной диссипацией с ненулевым средним в пространстве квазискоростей. Такие системы также обладают свойством (абсолютной) грубости. Приведен список типичных глобальных фазовых портретов на фазовом цилиндре после перестроек фазовых портретов аналогичных задач, которые исследовались в предыдущих главах диссертации. Интересно, что в данном случае возможно возникновение стационарных режимов, при которых угол атаки лежи г в

интервале , т. е- данные стационарные режимы могли бы

реализоваться до наступления так называемого бокового замыва-

Данная глава открывает новый этап исследовательских работ по нелинейному анализу движения тела в сопротивляющейся средс в условиях квазистационарности при учете вращательных производных

момента- Результаты, полученные в ней, позволяют сделать главный вывод о том, что прямолинейное поступательное торможение тела (невозмущенное движение) в принципе может стать устойчивым.

публикации по теме диссертации

Основное содержание диссертации достаточно полно отражено в следующих основных 33 опубликованных работах:

1- Самсонов В- А-, Шамолин М- В- К задаче о движении тела в сопротивляющейся среде // Вестн- Моск. ун-та. Сер- 1. Математика. Механика. - 1989. - № 3. - С- 51-54.

2. Шамолин М. В. К задаче о движении тела в среде с сопротивлением. Вестн- Моек- ун-та- Сер- 1. Математика. Механика. - 1992. - № 1. - С-52-58.

3. Шамолин М- В- Замкнутые траектории различного топологического типа в задаче о движении тела в среде с сопротивлением- Вестн-Моск- ун-та- Сер-1. Математика. Механика- - 1992. - № 2. - С- 52-56.

4. Шамолин М- В. Существование и единственность траекторий, имеющих в качестве предельных множеств бесконечно удаленные точки, для динамических систем на плоскости. Вестн- Моек- ун-та-Сер-1. Математика- Механика- - 1993. - № I, - с. 68-71.

5. Шамолин М- В- Применение методов топографических систем Пуанкаре и систем сравнения в некоторых конкретных системах дифференциальных уравнений- Вестн- Моек- ун-та. Сер- 1. Математика. Механика- - 1993. - № 2. - С- 66-70.

6. Шамолин М- В- Классификация фазовых портретов в задаче о движении тела в сопротивляющейся среде при наличии линейного демпфирующего момента- Прикл. мат- и мех- - 1993. - г, 57. - Вып- 4. - С- 40-49.

7. Шамолин М- В- Новое двунараметрическое семейство фазовых портретов в задаче о движении тела в среде // Доклады РАН- - 1994. -Т-337.-№5.-С-611-614.

8. Ерошин В- А-, Самсонов В- А-, Шамолин М- В- Модельная задача о торможении тела в сопротивляющейся среде при струйном обтекании И Известия РАН. МЖГ- - 1995. - № 3. - С- 23-27.

9. Шамолин М- В- Определение относительной грубости и двупараметрическое семейство фазовых портретов в динамике твердого тела Н Успехи матем- наук- - 1996. - Т- 51. - Вып- 1. - С- 175176.

Ш.Шамолин М- В- Периодические и устойчивые по Пуассону траектории в задаче о движении тела в сопротивляющейся среде // Известия РАН- M IT. - 1996. - № 2. - С- 55-63.

11-Шамолин М- В- Многообразие типов фазовых портретов в динамике твердого тела, взаимодействующего с сопротивляющейся средой И Доклады РАН. - 1996. - Т.349. - № 2. - С-193-197.

12-Шамолин М- В- Введение в задачу о торможении тела в сопротивляющейся среде и новое двухпараметрическое семейство фазовых портретов Н Вестн- Моек- ун-та. Сер. 1- Математика. Механика. - 1996. - № 4. - С- 57-69.

13.Шамолин М- В- Об интегрируемом случае в пространственной динамике твердого тела, взаимодействующего со средой // Известия РАН- МТТ. - 1997. - № 2. - С- 65-68.

14,Шамолин М. В. Пространственные топографические системы Пуанкаре и системы сравнения И Успехи матем. наук- - 1997. - Т. 52. - Вып. 3.-С. 177-178.

15-Шамолин М- В- Об интегрируемости в трансцендентных функциях // Успехи матем. наук- -1998. - Т. 53. - Вып. 3. - С- 209-210.

16.Шамолин М. В. Семейство портретов с предельными циклами в плоской динамике твердого тела, взаимодействующего со средой // Известия РАН- МТТ- -1998. - № 6. - С- 29-37.

17.Шамолин М- В- Некоторые классы частных решений в динамике твердого тела, взаимодействующего со средой Н Известия РАН-МТТ. - 1999. - № 2. - С. 178-189.

18.Шамолин М- В. Новые интегрируемые по Якоби случаи в динамике твердого тела, взаимодействующего со средой Н Доклады РАН- -

1999. - Т. 364. - № 5. - С. 627-629.

19.Шамолин М- В. О грубости диссипативных систем и относительной грубости и негрубости систем с переменной диссипацией // Успехи матем- наук. - 1999. - Т. 54. - Вып. 5. - С-181-182.

20.Шамолин М. В- Новое семейство фазовых портретов в пространственной динамике твердого тела, взаимодействующего со средой // Доклады РАН- - 2000. - Т- 371. - № 4. - С- 480-483.

21.Шамолин М- В- О предельных множествах дифференциальных уравнений около сингулярных особых точек // Успехи матем- наук- -

2000. - Т- 55. - вып- 3. - С-187-188.

22.Шамолин М- В- Интегрируемость по Якоби в задаче о движении четырехмерного твердого тела в сопротивляющейся среде // Доклады РАН- - 2000. - Т. 375. - № 3. - С- 343-346.

23.Ц1амолин М- В- Об устойчивости движения твердого тела в сопротивляющейся среде, закрученного вокруг своей продольной оси // Известия РАН- МТТ- - 2001. - № 1- - С. 189-193.

24.Шамолин М- В- Некоторые задачи дифференциальной и топологической диагностики. М-: Изд-во «Экзамен», 2004. - 256 с-

25.Георгиевский Д- В-, Шамолин М- В. Кинематика и геометрия масс твердого тела с неподвижной точкой в R" // Доклады РАН- - 2001. - Т-380.-№ 1.-С. 47-50.

26.Шамолин М. В- Случаи интегрируемости уравнений пространственной динамики твердого тела // Прикл- механика- -

2001. - Т. 37.-№ 6.-С-74-82.

27.Шамолин М- В- Полная интегрируемость уравнений движения пространственного маятника в потоке набегающей среды // Вести ■ Моек- ун-та- Сер-1- Математика- Механика- - 2001. - № 5. - С- 22-28.

28.Георгиевский Д- В-, Шамолин М- В- Обобщенные динамические уравнения Эйлера для твердого тела с неподвижной точкой в R" // Доклады РАН- - 2002. - Т- 383. - № 5. - С- 635-637.

29.М. V. Shamolin, Some questions of the qualitative theory of ordinary differential equations and dynamics of a rigid body interacting with a medium, In: Journal of Mathematical Sciences, Vol. 110, No. 2,2002, p.p. 2526-2555 (пер- «Итоги науки и техники», сер- «Современные проблемы математики и ее приложения», тематические обзоры, т- 79, «Динамические системы-10», 2000).

30.Шамолин М- В- Об интегрировании некоторых классов неконсервативных систем И Успехи матем- наук- - 2002. - Т- 57. -Вып- 1.-С. 169-170.

31.М. V. Shamolin, New integrable cases and families of portraits in the plane and spatial dynamics of a rigid body interacting with a medium, In: Journal of Mathematical Sciences, Vol. 114, No. 1, 2003, p.p. 919-975 (пер- «Итот науки и техники», сер- «Современные проблемы математики и ее приложения», тематические обзоры, т- 88, «Динамические системы-12», 2001).

32.М. V. Shamolin, Foundations of differential and topological diagnostics, In: Journal of Mathematical Sciences, Vol. 114, No. 1, 2003, p.p. 9761024 (пер- «Итоги науки и техники», сер- «Современные проблемы математики и ее приложения», тематические обзоры, т- 88, «Динамические системы-12», 2001).

33.Георгиевский Д- В-, Шамолин М- В. Первые интегралы уравнений движения обобщенного гироскопа в R° И Вестн- Моек- ун-та- Сер- 1 • Математика- Механика- - 2003. - № 5. - С- 37-41.

Подписано в печать 18.10.2004-10-18 Формат 60 х 90 1/16. Печать офсетная-Заказ 126-2004. Тираж 100 экз.

Отпечатано в ООО "Инсайт полиграфик" 119192, Москва, Мичуринский пр. 1

РНБ Русский фонд

2006-4 1381

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Шамолин, Максим Владимирович

Введение

Глава 1. Методика определения параметров воздействия среды на тело в условиях квазистационарности

0. Предварительные сведения

1. Методика определения неизвестных безразмерных параметров воздействия среды на тело

2. Нелинейные динамические системы, описывающие различные варианты движения тела в среде

Глава 2. Некоторые вопросы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений в динамике твердого тела, взаимодействующего со средой

3. Замечания по бифуркации рождения цикла Пуанкаре-Андронова-Хопфа

4. О замкнутых кривых из траекторий, стягиваемых в точку по фазовой поверхности

5. Об отсутствии замкнутых кривых из траекторий, не стягиваемых в точку по фазовому цилиндру

6. О существовании топографических систем Пуанкаре в динамике твердого тела, взаимодействующего с сопротивляющейся средой

7. Кривые контактов и системы сравнения. Замечания о предельных циклах и проблеме различения центра и фокуса

8. О траекториях, имеющих в качестве предельных множеств бесконечно удаленные точки плоскости

9. Периодические и устойчивые по Пуассону траектории в фазовых пространствах динамических систем

10. Пространственные топографические системы Пуанкаре и системы сравнения

11. Об интегрировании некоторых классов неконсервативных систем

12. Об интегрировании некоторых классов систем с переменной диссипацией с нулевым средним на so(4)xi?4 при наличии циклических интегралов

Глава 3. Относительная структурная устойчивость и относительная структурная неустойчивость различных степеней

13. Определение относительной структурной устойчивости (относительной грубости)

14. Относительная структурная неустойчивость (относительная негрубость) различных степеней

15. Примеры из динамики твердого тела, взаимодействующего со средой

Глава 4. Семейства портретов и интегрируемые случаи систем с переменной диссипацией с нулевым средним в плоской динамике твердого тела

16. Случай движения тела в среде при наличии некоторой связи и начало качественного анализа

17. О трансцендентной интегрируемости системы

18. О механической аналогии с маятником в потоке среды

19. Топологическое строение фазового портрета исследуемой системы

20. Общие свойства решений динамической системы

21. Расслоения фазового пространства

22. Свойства решений, соответствующих колебательной области

23. Свойства решений, соответствующих вращательной области

24. Об инструментальных средствах исследования модели

25. Сведение системы к физическому маятнику

26. Начало качественного анализа. Точки покоя систем и стационарные движения

27. Расслоения фазового пространства, его симметрии и начало топологического анализа

28. О существовании дополнительного трансцендентного интеграла

29. Топологическое строение фазовых портретов системы на двумерном цилиндре

30. Механическая интерпретация некоторых особых фазовых траекторий

Глава 5. Семейства портретов систем с переменной диссипацией с ненулевым средним в плоской динамике твердого тела

31. Начало качественного анализа. Точки покоя систем второго и третьего порядков

32. Расслоения фазового пространства, его симметрии и начало топологического анализа

33. Классификация фазовых портретов системы на двумерном цилиндре для первой области параметров

34. Классификация портретов для второй и третьей областей параметров

35. Строение фазового портрета системы для четвертой области параметров

Глава 6. Семейства портретов и интегрируемые случаи систем с переменной диссипацией с нулевым средним в пространственной динамике твердого тела

36. Постановка задачи о пространственном движении тела в сопротивляющейся среде при струйном обтекании

37. Случай движения тела в среде при наличии некоторой связи и начало качественного анализа

38. О трансцендентной интегрируемости системы

39. Задача о пространственном маятнике в потоке набегающей среды

40. Топологическое строение фазового портрета исследуемой системы

41. Траектории движения сферического маятника и случай ненулевой его закрутки около продольной оси

Глава 7. Семейства портретов систем с переменной диссипацией с ненулевым средним в пространственной динамике твердого тела

42. Случай нулевой продольной составляющей угловой скорости и соответствующие стационарные движения

43. Расслоения фазового пространства, его симметрии и начало топологического анализа

44. Классификация фазовых портретов системы в трехмерном пространстве для некоторой области параметров

Глава 8. Некоторые задачи плоской динамики твердого тела, взаимодействующего со средой при наличии линейного демпфирования со стороны среды

45. Свободное торможение тела в среде при учете линейного демпфирующего момента

46. Движение в среде при наличии некоторой связи и линейного демпфирующего момента

47. Топологическое строение некоторых фазовых портретов в задаче о движении тела в среде при учете демпфирующего момента

48. Сравнения некоторых классов движений тела в среде при отсутствии или наличии линейного демпфирующего момента

Введение диссертация по механике, на тему "Методы анализа классов неконсервативных систем в динамике твердого тела, взаимодействующего со средой"

Настоящая диссертация посвящена развитию качественных методов в динамике твердого тела, взаимодействующего с сопротивляющейся средой. Используются свойства квазистационарного взаимодействия тела со средой в условиях струйного (или отрывного) обтекания.

Предлагаемый материал находится на стыке таких дисциплин, как динамика твердого тела, взаимодействующего со средой, и качественная теория обыкновенных дифференциальных уравнений.

Рассматривается класс задач, в котором характерное время движения тела относительно его центра масс соизмеримо с характерным временем движения самого центра.

Сложность решения таких задач зависит от многих факторов, в том числе и от характера внешнего силового поля. Например, в случае консервативного поля сил (тяжести) движение тела вокруг своего центра масс может быть сильно хаотичным (классическая задача о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки). В этом случае построить сколько-нибудь общую теорию интегрирования невозможно; естественная возможность продвинуться дальше - это наложить какие-то ограничения на геометрию твердого тела, а также на необходимость обладания силовым полем какими-то группами пусть даже и скрытых симметрий.

Предлагаемая работа посвящена задаче движения в сопротивляющейся среде твердого тела, поверхностью контакта со средой которого является лишь плоский участок его внешней поверхности. Силовое поле в этом случае строится из соображений воздействия среды на тело при струйном (или отрывном) обтекании в условиях квазистационарности. Оказывается, что изучение движения такого класса тел сводится к системам либо с рассеянием энергии (диссипативные системы) , либо с ее подкачкой (так называемые системы с антидиссипацией). Отметим, что подобные задачи уже появлялись в прикладной аэродинамике в исследованиях ЦАГИ.

В предлагаемой работе рассмотрены классы плоскопараллельных и пространственных движений твердых тел, взаимодействующих со средой среди которых (в зависимости от числа степеней свободы) можно назвать следующие: движения тел свободных в среде, покоящейся на бесконечности, и тел частично закрепленных, находящихся в потоке набегающей среды.

Обстоятельно изучена одна из таких задач, которая имеет наибольшее прикладное значение, - задача о свободном торможении. Кроме того, рассмотрены задачи о движении свободного тела при наличии следящей силы, а также о колебаниях закрепленного маятника, помещенного в поток набегающей среды.

Рассматриваемые в работе задачи стимулируют развитие качественного аппарата исследования, который естественным образом дополняет качественную теорию неконсервативных систем с диссипацией и антидиссипацией.

Цели исследования. В настоящей диссертации автором ставились следующие цели исследования:

• Обработка экспериментальных данных о струйном обтекании твердого тела и определение безразмерных параметров воздействия среды на твердое тело;

• Исследование динамических уравнений движения, возникающих при изучении плоской и пространственной динамики твердого тела, взаимодействующего со средой, а также возможное обобщение полученных методов исследования на общие системы, возникающие как в качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории динамических систем, так и в теории колебаний;

• Исследование нелинейных эффектов в плоской и пространственной динамике твердого тела, взаимодействующего со средой; обоснование на качественном уровне необходимости введения определений относительной грубости и относительной негрубости различных степеней.

Положения, выдвигаемые на защиту. Научная новизна работы определяется следующими основными результатами:

• Получена относительно простая методика определения безразмерных параметров воздействия среды на твердое тело в условиях квазистационарности. Такая методика успешно применена при исследовании движения тел простой формы -круговых цилиндров, входящих в воду;

• Разработаны методы качественного исследования диссипа-тивных систем и систем с антидиссипацией, позволившие получить условия бифуркации рождения устойчивых и неустойчивых автоколебаний, а также условия отсутствия любых таких траекторий. Метод исследования плоских топографических систем Пуанкаре и систем сравнения удалось распространить на высшие размерности. Получены достаточные условия устойчивости по Пуассону некоторых классов незамкнутых траекторий динамических систем;

• В плоской и пространственной динамике твердого тела обнаружены первые интегралы диссипативных и антидиссипа-тивных систем, являющиеся трансцендентными (в смысле классификации их особенностей) функциями, выражающимися в ряде случаев через элементарные функции. Введены новые определения свойств относительной грубости и относительной негрубости различных степеней, которыми обладают проинтегрированные системы;

• Получены двухпараметрические семейства топологически неэквивалентных фазовых портретов, возникающие в задаче о свободном торможении. Почти каждый портрет таких семейств - (абсолютно) груб;

• Обнаружены новые качественные аналогии между свойствами движения свободных тел в сопротивляющейся среде, покоящейся на бесконечности, и тел закрепленных, находящихся в потоке набегающей среды.

Все перечисленное выше позволяет оценивать результаты диссертации в совокупности как существенное достижение в аналитической динамике твердого тела, взаимодействующего со средой.

1. История задачи. Задача о движении тела в сопротивляющейся среде (например, о падении тела в воздухе) интересует исследователей вот уже несколько столетий: еще в средние века появилась необходимость изучения зависимости дальности стрельбы от величины угла возвышения ствола пушки.

Опыты по исследованию движения тела в воздухе и жидкости привели X. Гюйгенса к установлению эмпирического закона сопротивления, пропорционального квадрату скорости движения тела в воздухе (1669). И. Ньютон на основе опытов (Ф. Гоуксби, Ж. Дезагюлье и собственных) создал математическую теорию сопротивления воздуха, разработку которой продолжали в XVIII в. Ва-риньон, Д. Бернулли, Ж. Даламбер, Эйлер и др. В те же годы был изобретен баллистический маятник.

А. Эйлер, в результате глубокого анализа опытного материала англичанина Б. Робинса, заменил в 1745 г. квадратичный закон сопротивления двучленным: первое слагаемое пропорционально квадрату скорости, а второе - четвертой степени скорости. В дальнейшем А. Эйлер разработал численные методы интегрирования дифференциального уравнения движения снаряда, в частности, используя медленно сходящиеся ряды. Для прицельной стрельбы он предложил другую методику, согласно которой движение снаряда разделялось на составляющие, одна из которых отвечает за сопротивление.

Усилия ученых были направлены не только на нахождение траектории и закона движения снаряда, но также на возможно более полный учет дополнительных явлений, приводящих к важнейшим поправкам к основной теории. В XVIII в. Робине заметил, что центр масс вращающегося снаряда описывает не плоскую, а пространственную кривую. Позднее, в XIX в. С. Пуассон, затем М. В. Остроградский пытались дать математическую трактовку этого явления. На основе общей теории движения твердого тела было установлено, что продолговатый вращающийся снаряд имеет собственное быстрое вращение вокруг продольной оси динамической и геометрической симметрии, прецессию около вектора скорости снаряда и нутационное движение около вектора опрокидывающего момента.

Исследования Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина. Н. Е. Жуковский одним из первых анализировал разные задачи динамики точки в среде, а именно: падение тел, движение тела, брошенного под углом к горизонту, движение маятника и т.д. Наряду с интегрированием уравнений движения, он совершенствовал модель взаимодействия тел с сопротивляющейся средой и считал, что кинетическая энергия падающего тела тратится на образование вихревых движений воздуха и, кроме того, на преодолевание молекулярных сил прилипания воздуха к движущемуся телу. Сопротивление зависит не только от скоростей движения точек тела, но и от формы самого тела. Если скорость мала, то с достаточной точностью можно принять сопротивление пропорциональным первой степени скорости. При больших скоростях сопротивление пропорционально квадрату скорости.

Из исследований Н. Е. Жуковского известна также попытка моделирование движения на основе экспериментов по самовращению падающих в воздухе пластинок [78,79] (так называемого «гамбургского картона»). Здесь приходится учитывать такие свойства воздействия среды на тело как силу сопротивления и подъемную силу. Именно аэродинамические характеристики пластинки использованы и для моделирования полета птиц [79].

Н. Е. Жуковский предполагал существование такого динамического равновесия «тела птицы» относительно центра масс, при котором угол между скоростью центра масс и плоскостью крылапластинки (угол атаки) служит управляющим параметром, т. е. может быть задан произвольным образом. Это предположение равнозначно предположению о таком разделении движений тела, при котором характерное время движения относительно центра масс существенно меньше характерных времен движения самого центра.

Представляет интерес исследование движения тела в среде при условиях, когда его поступательное движение связано с вращательным. Упомянутые выше задачи далеко не исчерпывают всех возможностей подобного типа.

Из исследований С. А. Чаплыгина отметим также постановку задачи о движении тяжелого тела в несжимаемой жидкости [183, 184].

Основополагающей в рамках данной работы задачей является изучение движения пластины бесконечной длины в условиях струйного обтекания [184]. Эта задача является важной прежде всего для дальнейшего исследования движения тела, взаимодействующего со средой через передний плоский участок.

Различные аспекты рассмотрения проблемы. Как видно, в историческом прошлом в основном затронут лишь один аспект задачи о движении тел в сопротивляющейся среде. А именно, интересы исследователей направлены на получение конкретных траекторий пусть и в приближенном, но в явном виде. При этом параллельно рассматривалась задача более точного моделирования взаимодействия тела с сопротивляющейся средой. Об интересных экспериментальных явлениях см. также работы Hubert Airy, Magnus Blix, Bret Onniere, Otto Liliental, Marey, Mouillard, Parseval, S. E. Peal, Rayleigh, Weyher [254-256,258-261,265,267,304].

Плоская пластина - наиболее простое тело, позволяют исследовать различные особенности движения в среде. Динамические эффекты, связанные с влиянием присоединенных масс (классическая задача Кирхгофа), демонстрируются в учебнике Г. Ламба

141] на примере движения тела-пластины в жидкости (исследование, как известно, начато Томсоном, Тэйтом и Кирхгофом).

Задача Кирхгофа, поставленная во второй половине XIX в., заложила второй аспект рассмотрения задачи. Он связан с вопросами интегрируемости той нелинейной системы дифференциальных уравнений [101], которая описывает данное движение (вопросы существования аналитических (гладких, мероморфных) первых интегралов).

До наших дней различные варианты задачи Кирхгофа, по причине сложности, почти всегда рассматривались с точки зрения проблемы интегрируемости, и лишь в некоторых случаях проведен качественный анализ ряда траекторий. В работах Кирхгофа, Клебша, Стеклова, Ляпунова, Чаплыгина, Харламова и др. указаны условия существования дополнительного аналитического первого интеграла. В наши же дни решение этой проблемы совершенствуется: в [135] (А. М. Переломов) построена теория интегрируемых случаев (построение L-A-пары), а в [95] (В. В. Козлов, Д. А. Они-щенко) указаны условия несуществования дополнительного первого интеграла уравнений Кирхгофа (см. также работы О. И. Богоявленского, С. П. Новикова, С. Т. Садэтова [35,36,128,147,148,167]).

Укажем также на третий аспект рассмотрения указанной проблемы, а именно, на качественный анализ систем дифференциальных уравнений, описывающих данное движение (расслоения фазового пространства, качественное расположение фазовых траекторий, симметрии и т.д.). И хотя перечисленные проблемы тесно связаны с интегрируемостью, их разрешение носит самостоятельный характер. Более того, данный аспект стимулирует развитие качественного аппарата.

2. Современное состояние проблемы моделирования движения твердого тела в среде опирается на возможные модельные ограничения в задаче и на состояние математического аппарата. Так в работах В. В. Козлова [92,93] исследовалась задача Чаплыгина о свободном падении в безграничном объеме идеальной жидкости тяжелого тела, имеющего плоскость симметрии. Наряду с классической постановкой описания воздействия среды на тело здесь учитывается вязкое сопротивление, задаваемое функцией Рэлея, а также эффект присоединенных масс.

При общих предположениях о характере аэродинамического воздействия в работах Б. Я. Аокшина [107-110] были исследованы вопросы существования и устойчивости стационарных режимов движения в среде. Интересна также задача об устойчивости перманентного вращения тела в потоке среды (режима авторотации [141], см. также [37] и работы В. А. Привалова и В. А. Самсонова). Специальная конструкция поверхности тела и гипотеза о квазистатическом воздействии среды позволили сформулировать полную схему сил, в которую входят массовые, геометрические и аэродинамические характеристики. Исследованы режим авторотации и его устойчивость. Смоделирован эффект Магнуса, неконсервативный характер которого оказывает заметное влияние на свойство устойчивости вращения тел в среде.

Интересные модели взаимодействия освещены в работах В. В. Белецкого. Так в [26] учитывается влияние аэродинамических сил на вращение и ориентацию спутника на орбите. Изучаются эффекты динамики вращательного движения спутников под действием моментов, в том числе и аэродинамических, а также динамика вращательного движения небесных тел в гравитационных полях с упором на резонансные эффекты.

В работе [130] (В. А. Садовничий, Ю. М. Окунев) построены модельные динамические системы, позволившие исследовать движение относительно центра масс динамически симметричного тела пространственной аэродинамической формы с высокими несущими свойствами при нестационарном полете. В рамках квазистационарной линеаризованной модели аэродинамического воздействия, не учитывающей демпфирующих моментов аэродинамических сил, выявлено демпфирующее влияние подъемной силы и найдены ограничения на аэродинамические коэффициенты, соблюдение которых обеспечивает эффективное затухание угловых колебаний тела. Для условий высокоскоростного полета, когда аэродинамическое воздействие на тело существенно превышает влияние силы тяжести, получено аналитическое решение линеаризованной по части переменных нестационарной динамической системы, описывающей движение тела относительно центра масс. Методика получения описанных результатов приведен в [132] (В. А. Садовничий, Г. Г. Черный, Ю. М. Окунев, В. А. Самсонов), где сообщено о библиотеке прикладных программ, обеспечивающих многооконное представление графической информации о поведении различных компонент вектора состояния динамической модели. Данный цикл работ был начат около десяти лет назад [131] и в настоящее время развивается в лаборатории навигации и управления Института механики МГУ им. М. В. Ломоносова.

3. Последовательность шагов при моделировании. Проблема исследования движения тела под действием силы сопротивления «упирается» в отсутствие полного описания силы, поскольку в принципе она зависит и от обобщенных скоростей. Поэтому в дальнейшем в динамических уравнениях возможно наличие членов, характеризующих как рассеяние энергии (диссипацию), так и ее подкачку (так называемую антидиссипацию).

Таким образом, процесс моделирования представляет собой последовательность следующих шагов. Сначала изучается предварительная модель силового поля и строится семейство механических систем, движение которых обладало бы различными характеристиками, существенно зависящими от тех параметров модели, информация о которых не полна или отсутствует вовсе. В результате исследования такой модели возникают вопросы, ответы на которые в рамках принятой модели не могут быть найдены. Тогда разработанные объекты становятся предметом детального экспериментального исследования на втором шаге. Такой эксперимент либо предлагает ответы на сформулированные вопросы и вносит в предварительно построенную модель необходимые коррективы, либо выявляет новые вопросы, которые приводят к необходимости повторения начального шага, но уже на новом уровне понимания проблемы.

Такой подход связан с описанием стационарных режимов движения, их ветвлением, бифуркацией, анализом устойчивости и неустойчивости, выявлением условий для перестроек.

На некоторые вопросы качественного характера иногда удается получить ответы, обсуждая традиционную проблему аналитической механики, - проблему наличия полного набора первых интегралов у построенной динамической системы. В то же время, изучение поведения динамической системы «в целом» часто заставляет обращаться к численному эксперименту. При этом возникает необходимость в разработке новых вычислительных алгоритмов или усовершенствовании известных, также как и новых качественных методов, что и предпринимается в данной диссертации.

Используемая в дальнейшем математическая модель движения твердого тела частично уже анализировалась ранее. Так в [112,113,159] (Б. Я. Аокшин, В. А. Привалов, В. А. Самсонов) построен фазовый портрет физического маятника, помещенного в поток среды. Динамическая система, описывающая движение маятника, обладает интересными нелинейными свойствами, что определяет необходимость дальнейшего полного нелинейного анализа и возможного создания методики исследования. В [71,158] (В. А. Ерошин, Г. А. Константинов, В. М. Макаршин, В. А. Самсонов) разобран вопрос об устойчивости прямолинейных движений свободного тела при струйном обтекании. Исследование проведено на базе линеаризованных уравнений движения тела. Поэтому, в согласии с [72,74,153], для начала будет описана линейная модель.

В работе изучается задача о движении тела в таком силовом поле, при котором линия действия силы, приложенной к телу, не меняет своей ориентации относительно тела, а лишь может смещаться параллельно самой себе в зависимости от фазовых переменных. Подобные условия возникают при движении пластины, так сказать, с «большими» углами атаки, в среде при струйном обтекании [64,162,183,184] (М. И. Гуревич, А. И. Седов, С. А. Чаплыгин) или при отрывном [173] (В. Г. Табачников). Таким образом, основным объектом исследования является семейство тел, часть поверхности которых имеет плоский участок (пластину), обтекаемый средой по законам струйного обтекания. При этом поток среды предполагается однородным, в том смысле, что если движущееся тело свободное, то среда на бесконечности покоится, а если (частично) закрепленное (в частности, вращается вокруг неподвижной точки), то скорость набегающего потока на бесконечности постоянна. В данном случае содержательным примером является упомянутая выше основополагающая в рамках данной работы задача С. А. Чаплыгина о движении пластины бесконечной длины.

4. Постановка задачи для плоскопараллельного движения. Предположим, что однородное твердое тело массы т совершает плоскопараллельное движение в среде с квадратичным законом сопротивления, и что некоторая часть внешней поверхности тела представляет собой плоскую пластину, находящуюся в условиях струйного обтекания средой. Это означает, что воздействие среды на пластину (тело) сводится к силе S (приложенной в точке JV), линия действия которой ортогональна пластине (рис. 0.1). Остальная часть поверхности тела может быть размещена внутри объема, ограниченного струйной поверхностью, срывающейся с края пластины, и главное, что она не испытывает действия среды. Похожие условия могут возникнуть, например, после входа тела в воду.

Допустим, что среди движений тела существует режим прямолинейного поступательного торможения. Это возможно при выполнении двух условий, а именно: (1) скорость движения всех точек тела ортогональна пластине АВ; (2) перпендикуляр, опущенный из центра тяжести С тела на плоскость пластины, принадлежит линии действия силы S.

Гипотеза квазистационарности и фазовые переменные. Свяжем с пластиной правую систему координат D,jc0^0z0 (ось z0 -перпендикулярна плоскости рисунка) и будем считать, для простоты, Z),z0x0 плоскостью геометрической симметрии тела. Это обеспечит выполнение условия (2) при движении, удовлетворяющем условию (1).

Для построения динамической модели введем первые три фазовые координаты: v - величина скорости точки D, относительно потока (рис. 0.1), а - угол между вектором v скорости точки Д и осью , Q - проекция абсолютной угловой скорости тела на ось z0, AB = D.

Примем, что величина силы S квадратично зависит S = s,v2 от v с неотрицательным коэффициентом s,. Обычно его представляют в виде = ~ рР°х > гДе сх ~ Уже безразмерный коэффициент лобового сопротивления (р - плотность среды, Р - площадь пластины). Этот коэффициент зависит от угла атаки, числа Струхаля и других величин, которые в статических моделях обычно считают параметрами. Мы же в дальнейшем вводим безразмерную фазо

ОD вую переменную «типа Струхаля» со =-, а также вспомогательv ную функцию s(a)= 51(a)sgncosa. Таким образом, в дальнейшем в уравнениях движения возникают следующие две функции фазовых переменных: у N и s.

Ограничимся зависимостью сх от угла атаки, т. е. в принципе будем считать величину s функцией а а величину yN - функцией пары безразмерных переменных (а,со).

Работы предыдущих авторов (В. А. Ерошин, В. А. Привалов, В. А. Самсонов) посвящены такому исследованию плоского взаимодействия, при котором учитывается зависимость пары (yN,s) лишь от угла атаки. При этом рассматривались только линейные задачи около прямолинейного поступательного движения. В данной работе изучаются плоскопараллельные и пространственные движения тела в нелинейной постановке как в случае зависимости пары (yN,s) только от угла атаки, так и при условии дополнительной зависимости величины yN от приведенной угловой скорости а.

В дальнейшем будут рассмотрены несколько классов плоскопараллельных и пространственных движений твердых тел, взаимодействующих со средой, которые можно разделить на части: движения тел свободных и тел частично закрепленных в потоке, в том смысле что число степеней свободы при этом уменьшается.

Одна из таких задач (имеющая большое прикладное значение) - задача о свободном торможении - будет исследована особенно основательно.

5. Плоскопараллельное движение с малыми углами атаки. Задача о движении тела с малыми углами атаки формирует представление о нелинейных динамических системах, исследуемых в дальнейшем. Поэтому проведем далее линейный анализ несколько подробнее.

Режим невозмущенного движения. Прямолинейное поступательное движение (которое в дальнейшем назовем невозмущенным) задается уравнениями a(t) = 0, co(t) = 0 . Поэтому функцию yN{a,co) при малых {а, со) примем в виде yN = D(ka - hco), где (си h-некоторые постоянные. Зависимостью же s, от а, в силу геометрической симметрии тела, обеспечивающей четность функции s, пренебрегаем.

Ключевые параметры. Линеаризованная модель силового воздействия среды содержит три параметра s = slfk,h, которые определяются формой пластины в плане. Как уже отмечалось, первый из этих параметров - коэффициент s - размерный. Параметры же k, h являются безразмерными в силу способа их введения.

Отметим, что величины s, к могут быть экспериментально определены путем весовых измерений в установках типа гидро-или аэродинамических труб. В литературе [64,266] (М. И. Гуревич, L. Prandtl, A. Betz) имеется также информация о теоретическом определении этих величин для отдельных форм пластин (см. также работы В. А. Ерошина, Г. А. Константинова, Н. И. Романенкова, Ю. Л. Якимова, А. В. Плюснина, Ю. А. Созоненко, И. В. Серебрякова, Ю. Ф. Журавлева, В. В. Стрекалова, О. П. Шорыгина [69-77,81, 169,250]). Эта информация позволяет считать, что £>0. Что же касается параметра h (который вносит в систему зависимость момента сил от угловой скорости), то даже сама необходимость введения его в модель априори не очевидна. б. Эксперимент. Изучение свойств движения рассматриваемых классов тел в Институте механики МГУ им. М. В. Ломоносова В. А. Ерошиным и В. М. Макаршиным было начато экспериментами по регистрации движения в воде однородных круговых цилиндров.

Эксперимент (обработку результатов которого проводил автор) позволил остановиться на важных выводах. Первый: режим прямолинейного поступательного торможения тела (в воде) неустойчив по крайней мере по отношению к углу ориентации тела. Стало возможным также определение безразмерных параметров к, h воздействия среды на твердое тело, чему и посвящена, в частности, 1 глава работы.

Второй вывод, полученный из проведенного натурного эксперимента, следующий: при моделировании воздействия среды на тело необходимо учитывать дополнительный параметр, эквивалентный так называемой вращательной производной момента гидродинамических сил по угловой скорости тела. Этот параметр вносит в систему диссипацию.

О коэффициенте демпфирования. Величина коэффициента демпфирующего момента уже была оценена в работах [69,70] (В. А. Ерошин) для некоторых случаев движения тел в воде. Данная там оценка говорит о неустойчивости по углу атаки и угловой скорости прямолинейного поступательного движения твердого тела в воде. Чисто формально, увеличивая величину коэффициента демпфирования, возможно достижение устойчивости данного движения. Прямолинейное движение твердого тела в некоторых средах (например, в глине) устойчиво в вышеописанном смысле, как показывает эксперимент [30,31] (Ю. К. Бивин, В. В. Викторов, А. П. Степанов). Возможно, данная устойчивость достигается благодаря наличию в системе значительного демпфирования со стороны среды или наличию сил, касательных к пластине.

7. Нелинейный анализ. Первый вывод, сделанный из эксперимента, заставляет нас рассматривать класс возможных движений тела при малых углах атаки в качестве «опорного» для рассмотрения класса свободного торможения тела с конечными углами атаки. Для тел различной формы утлы атаки вполне могут принимать практически любое значение из интервала ч J и лишь при углах, близких к ^, неизбежен так называемый замыв боковой поверхности. Поэтому возникает необходимость продолжения функций воздействия среды yN и s по крайней мере на конечные утлы атаки, т.е. «расширение» их области определения на интервал f ~ \ 7t

О,— . Но фактически продолжать данные функции необходимо

V 2 J на всю числовую прямую, что будет ясно из следующих рассуждений.

Представим себе летающий аппарат, совершающий плоскопараллельное движение над водой. Предположим, что аппарат взаимодействует с водой посредством некоторой конструкции, содержащей плоскую пластину, которая опущена в воду вертикально и обтекается водой при движении над ней летательного аппарата. Можно считать, что пластина взаимодействует с водой по законам струйного обтекания практически при любых углах атаки. Такой летательный аппарат подобен хорошо известному экраноплану [46, 129] (В. А. Одареев). При этом плоскопараллельность движения рассматриваемого летательного аппарата над водой обеспечивается наличием самого экрана - плоской поверхности воды. [45,46].

Как уже отмечалось, опорным для нас является результат С. А. Чаплыгина, который для пластины бесконечной длины получил эти функции в аналитическом виде [184]. Он показал, что если такая пластина движется в среде по законам струйного обтекания, то коэффициент квадратичного по скорости центра пластины сопротивления пропорционален аналитической функции -косинусу угла атаки, а расстояние от центра давления до центра пластины пропорционально его синусу.

Последний факт позволяет перенести результаты С. А. Чаплыгина на семейство тел, часть внешней поверхности которых имеет форму плоской пластины, в том числе и для кругового цилиндра с передним плоским торцом.

Нелинейное описание. Представим нелинейные динамические уравнения плоскопараллельного движения тела следующим образом: rj /у J v" cos а - a'v sin a -Qv sin a + 0Q.2 =—^-v2, (0-1) m v'sina + or'vcosa + Qvcosa-oQ* =0, (0-2)

IOT = yN(a,a>)s(a)v2, <y = —. (0.3) v

Здесь (v,a,Qwiu to) - фазовые переменные, cr,I,D - постоянные величины, yN,s - некоторые функции воздействия среды, соответствующие некоторому классу мыслимых тел и их мыслимых движений. Данные функции принадлежат к определенным функциональным классам.

Классы функций воздействия среды. Первым этапом полного нелинейного исследования движения тела в среде условиях квазистационарности является конструирование и исследование соответствующих динамических систем, в которых не учитывается влияние вращательных производных момента аэродинамических сил по угловой скорости тела (в частности, в линейном случае h = 0). Учет такого влияния является следующим трудоемким этапом исследования проблемы.

Объясним необходимость широкого выбора классов функций воздействия среды. Отрезок АВ (рис. 0.1) является геометрическим сечением плоскостью движения нашей пластины. Геометрическая же форма пластины может быть совершенно различной. Кроме того, хорда, лежащая в плоскости пластины, может по-разному определять плоскость движения самого тела (в случае плоскопараллельного движения). Последние обстоятельства и позволяют отнести две возникающие функции воздействия среды к определенным классам. Как указано выше, на эти функциональные классы накладываются достаточно слабые условия, поэтому данные классы достаточно широки. Они заведомо включают допустимые конкретные функции, взятые для каждого мыслимого тела и для каждого мыслимого движения.

Для начала рассмотрим случай, когда пара функций воздействия среды (yN,s) зависит лишь от утла атаки. При этом для качественного описания данной пары функций используется экспериментальная информация о свойствах струйного обтекания. Вводимые классы достаточно широки: они состоят из функций достаточно гладких, 2 я —периодических (yN(a) - нечетная, a s(a) - четная), удовлетворяющих следующим условиям: yN(a)> 0 при аб(0д), причем ;V(0) > 0> < 0 (класс функций {yw} = Y); s(a) > 0 при а е г п\ г„ \ s(a) < 0 при а е п vz у причем

0)>0, У г „\

0 (класс функций {.у} = 2). Как yN, так и s меняют

2, знак при замене а на а + ж . Таким образом,

Ул/^Y. (0.4) seZ. (0.5)

В частности, аналитические функции yN(a) = yo(a) = /lsma(EY, (0.6) s(a) = s0(a) = BcosaeZ;A,B>0 (0.7) соответствующие случаю С. А. Чаплыгина [183]) служат типичными представителями описанных классов.

В дальнейшем в рассматриваемых динамических системах возникает произведение F(a) = yN (a)s(a). Из вышеперечисленных условий следует, что F - достаточно гладкая нечетная п-периодическая функция, удовлетворяющая условиям: F(a) > 0 при

71 1 ( 71 ае О,— ,F'(0)>0,F' — <0 (класс функций {f} = Ф). Таким образом,

V 2) \2J

F еФ. (0.8)

В частности, аналитическая функция

F = F0(a) = АВ sin a cos а е Ф (0.9) также соответствующая случаю С. А. Чаплыгина [183]) является типичным представителем возникающего класса функций Ф.

8. Направления, развиваемые в работе. У системы (0.1)-(0.3) третьего порядка возможно отщепление независимой подсистемы второго порядка.

Действительно, система (0.1)-(0.3) является эйлеровской однородной системой по части квазискоростей (Q,v) степени однородности 2, поскольку после замены независимого переменного (времени t) по формуле dq = vdt, v * 0 получаем новую систему, эквивалентную системе (0.1)-(0.3) (в данном случае также выполнено равенство <р'=а>):

0.10) а'=-а> + — F(a) cos а+ аа)2 sin а+ sin а , (0.11)

I т af=jF{a)-ai¥(a,a>), (0.12) где Ч?(а,со) = —F (a) sin а-era2 cos а-cos а (таким образом, в сис-I т теме (0.10)-(0.12) переменная со отличается от переменной со в системе (0.1)-(0.3) только лишь делением на величину D).

В системе (0.10)-(0.12) третьего порядка появляется независимая подсистема (0.11),(0.12) второго порядка, которая может быть рассмотрена самостоятельно на ее фазовом цилиндре.

Укажем далее на направления, развиваемые в работе. Первые два направления являются традиционными для аналитической механики, а именно:

1. Качественное исследование нелинейных систем неконсервативного характера, что позволит изучить геометрию фазового пространства и, в частности, ответить на главный вопрос нелинейного анализа при исследовании системы (0.11), (0.12): возможно ли найти пару функций yN и s из вышеописанных классов, такую, чтобы в конечной окрестности начала координат на фазовой плоскости R2{a,a>} у системы (0.11),(0.12), отщепленной от общей нелинейной системы (0.10)-(0.12) при помощи указанного выше приема, существовали бы устойчивые предельные циклы.

Последний вопрос возникает по следующей причине: поскольку прямолинейное поступательное торможение (невозмущенное движение) неустойчиво по углу атаки и угловой скорости, возможны ли при этом устойчивые автоколебания в системе?

2. Поиск возможных интегрируемых случаев.

Третье направление характерно для прикладной аэродинамики и является специфическим в рамках данной работы:

3. Поиск возможных аналогий между динамикой движения частично закрепленных тел и тел свободных.

Возможные ответы на главный вопрос нелинейного анализа. Неустойчивость прямолинейного поступательного торможения (невозмущенного режима) побудила нас к постановке нелинейной задачи, а также к главному вопросу нелинейного анализа (отмеченному выше) в исследовании конечной окрестности такого движения.

Одним из основных результатов работы является частично отрицательный ответ на главный вопрос нелинейного анализа, а именно, при квазистационарном описании взаимодействия среды с телом, когда величины yN и s зависят лишь от угла атаки, для любой допустимой пары функций воздействия среды yN(a) и s(a) во всем диапазоне конечных углов атаки на интервале а е отсутствуют какие-либо автоколебания в системе. Математическая сторона данного вопроса на качественном уровне исследуется в главе 2.

Для возможного достижения положительного ответа на главный вопрос нелинейного анализа при моделировании взаимодействия тела со средой учитывается влияние вращательных производных момента, действующего со стороны среды, который вносит в систему диссипацию. Поэтому в принципе при выполнении некоторых дополнительных условий в рамках рассматриваемой модели возможно возникновение устойчивых автоколебаний, однако поиск тела, обладающего необходимыми свойствами, требует проведения дополнительного натурного эксперимента.

9. Динамические системы с переменной диссипацией и их свойства. Вообще, динамика твердого тела, взаимодействующего со средой, - как раз та область, где возникают либо диссипа-тивные системы, либо системы с так называемой антидиссипацией. Поэтому становится актуальным построение методики именно для тех классов систем, которые возникают при моделировании движения такого класса тел, поверхностью контакта со средой которых является плоский участок их внешней поверхности.

Поскольку при таком моделировании используется экспериментальная информация о свойствах струйного обтекания, возникает необходимость исследования класса динамических систем, которые обладают свойством (относительной) структурной устойчивости. Поэтому вполне естественно ввести определения относительной грубости для таких систем. При этом многие из рассматриваемых систем получаются (абсолютно) грубыми по Андронову-Понтрягину.

Как будет показано в главе 1, после некоторых упрощений общая система (0.1)-(0.3) приводится к маятниковым системам второго порядка, в которых присутствует линейная диссипативная сила с переменным коэффициентом, который при разных углах атаки имеет разный знак.

В среднем за период по углу атаки диссипация может быть как положительной, так и отрицательной, а также равной нулю. В последнем случае будем говорить о системах, с переменной диссипацией с нулевым средним.

Диссипативные системы с переменной диссипацией с нулевым или ненулевым средним. Дать общее определение системы с переменной диссипацией с нулевым или ненулевым средним достаточно непросто. Далее в работе ограничимся следующим.

Рассмотрим гладкую автономную динамическую систему п+1 порядка нормального вида в R" {л} xS1 {a mod 2п). Дивергенцию правой части (которая, вообще говоря, является функцией всех фазовых переменных и не равна тождественно нулю) данной динамической системы будем обозначать через div{x,a). Будем называть такую систему системой с переменной диссипацией с нулевым (ненулевым) средним, если функция }div(x,a)da равна (не о равна) тождественно нулю.

Качественные аналогии. В дальнейшем будут отмечены важные механические аналогии, возникающие при сравнении качественных свойств стационарного движения свободного тела и равновесия маятника в потоке среды. Такие аналогии носят глубокий опорный смысл, поскольку позволяют перенести свойства нелинейных динамических систем для маятника на динамические системы для свободного тела. И те, и другие системы принадлежат к классу так называемых маятниковых динамических систем с переменной диссипацией с нулевым средним. Например, при выполнении условия (0.9) угол поворота маятника эквивалентен углу атаки при движении свободного тела [146,152,154,155,270]. Если же условие (0.9) (группа условий (0.6),(0.7)) не выполнено, то угол атаки свободного тела и угол поворота маятника траекторно топологически эквивалентны (о такой эквивалентности см. главы 3, 4, 6).

Общий характер симметрий системы для плоской и пространственной динамики. При дополнительных условиях вышеописанная эквивалентность распространяется и на пространственный случай, что позволяет говорить об общем характере сим-метрий, имеющихся в системе с переменной диссипацией с нулевым средним как при плоскопараллелъном, так и при пространственном движениях (о плоском и пространственном вариантах маятника см. главы 4 и 6) [201,202,205,207,208,211,212,214,215, 219,222,279,285].

10. Краткое содержание остальных глав диссертации. В главе 1 подвергнута более конкретному анализу задача о движении тела в среде с малыми углами атаки. Обработаны результаты эксперимента, благодаря чему получена относительно простая методика определения параметров воздействия среды на тело. В данной главе также сформирован ряд нелинейных динамических систем с переменной диссипацией с нулевым и ненулевым средним в пространстве квазискоростей, зависящий от двух функций воздействия среды и описывающий различные классы движений тела в среде в условиях квазистационарности. Полный нелинейный анализ таких систем проводится в дальнейших главах как ранее известными методами качественной теории, так и новыми методами, полученными исключительно для возникающих систем с переменной диссипацией.

Глава 2 посвящена некоторым вопросам качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, как в применение к конкретным динамическим системам, возникающим в динамике твердого тела, так и в применение к произвольным динамическим системам на маломерных гладких многообразиях. Получены достаточные условия существования бифуркации рождения устойчивых и неустойчивых предельных циклов для систем (в частности (0.11),(0.12)), описывающих движение тела в сопротивляющейся среде, а также достаточные условия отсутствия таких траекторий.

Предъявлено простое уточнение теоремы Бендиксона, которая дает достаточные условия отсутствия замкнутых характеристик векторного поля в той области плоскости, где не меняет знака его дивергенция, т. е. для динамических систем со знакопостоянной диссипацией. Уточнение последнего факта таково: для отсутствия замкнутых характеристик векторного поля на двумерном ориентируемом римановом многообразии достаточно знакопосто-янство почти всюду скалярного произведения (rotfiv,ri), где / -гладкая функция, w - векторное поле, ортогональное исследуемому, а п - внешняя нормаль к многообразию.

В понятии топографической системы Пуанкаре (ТСП) [142] первоначально был заложен ряд требований аналитического характера. ТСП строилась с помощью достаточно гладкой алгебраической функции двух переменных, которая: ограниченная в ограниченной области, стремящаяся к бесконечности, когда одна из переменных стремится к бесконечности, равная нулю в особой точке векторного поля на плоскости, положительная во всех остальных точках, имеющая первые производные, обращающиеся в нуль в особой точке, в которой она к тому же и выпукла. В диссертации же учитывается лишь геометрия расположения так называемой кривой контактов траекторий исследуемой динамической системы и кривых ТСП (т. е. кривой, в которой последние два класса траекторий касаются).

Под ТСП будем понимать систему вложенных друг в друга замкнутых кривых, полученных с помощью поверхностей уровня неотрицательной функции, которая равна нулю лишь в точке, к которой сходятся полученные вложенные замкнутые кривые. С помощью такой системы можно успешно «ловить» замкнутые траектории исследуемой динамической системы: вычисляя угол между векторами поля, образующими семейство ТСП, и векторами исследуемого поля динамической системы, можно получить информацию о расположении траекторий исследуемого векторного поля.

Более того в работе предложен метод построения ТСП в многомерных пространствах.

Изучаются также некоторые элементы теории монотонных векторных полей, т. е. полей, зависящих от параметра, при изменении которого само поле поворачивается в одну и ту же сторону монотонно. При некоторых условиях классы траекторий таких векторных полей имеют монотонно меняющиеся друг относительно друга предельные множества.

Предлагается достаточно простая методика доказательства устойчивости по Пуассону незамкнутых траекторий динамических систем. В частности, в некоторых исследуемых системах с переменной диссипацией с нулевым средним показано наличие семейств таких длиннопериодических траекторий: при некоторых условиях траектория движения точки D, (центра пластины (рис. 0.1)) устойчива по Пуассону.

Отмечены классы существенно нелинейных систем второго и третьего порядков, интегрируемых в трансцендентных (в смысле теории функций комплексного переменного) элементарных функциях. Для примера такими являются пятипараметрические динамические системы, включающие в себя большинство систем, исследуемых в диссертации: a = asina + bco + y, sin5 а + у2а> sin4 а + уъа>2 sin3a + + у4со* sin2 а + у5со4 sinar, су* = csinacosor + dcocosa + су sin4 a cos а + у2а>2 sin3 a cos а + + угсо3 sin2 а cos а + у4а>4 sincccosa + y5a>5 cos а.

В главе 3 вводятся определения относительной структурной устойчивости (относительной грубости) и относительной структурной неустойчивости (относительной негрубости) различных степеней. Последние свойства доказываются для систем, возникающих в динамике твердого тела, взаимодействующего со средой.

Как известно, (чисто) диссипативные динамические системы (впрочем как и (чисто) антидиссипативные), которые в нашем случае могут принадлежать к системам с переменной диссипацией с ненулевым средним, являются, как правило, структурно устойчивыми ((абсолютно) грубыми), а вот системы с переменной диссипацией с нулевым средним (которые, как правило, обладают дополнительными симметриями) являются либо структурно неустойчивыми (негрубыми), либо только лишь относительно структурно устойчивыми (относительно грубыми). Последнее утверждение доказать в общем случае затруднительно. Тем не менее введение понятия относительной грубости (а также относительной негрубости различных степеней) позволяет предъявить классы конкретных систем из динамики твердого тела, которые обладают вышеуказанными свойствами.

В главе 4 качественно исследованы и проинтегрированы два модельных варианта плоскопараллельного движения тела в сопротивляющейся среде, которые описываются динамическими системами с переменной диссипацией с нулевым средним. Такие случаи движения предполагают наличие некоторой связи в системе (а именно, в одном случае величина |w|=v постоянна со временем, в другом - скорость центра масс как вектор постоянна). Такие системы являются относительно структурно устойчивыми (относительно грубыми) и топологически эквивалентными системе, описывающей закрепленный маятник, помещенный в поток набегающей среды. Указан дополнительный первый интеграл в системе, являющийся трансцендентной (в смысле теории функций комплексного переменного, имеющей существенно особые точки после ее продолжения в комплексную область) функцией фазовых переменных и выражающейся через элементарные функции. Более того, фазовый цилиндр i?2{a,fi} (или R2{a,co}) квазискоростей имеет интересную топологическую структуру разбиения на траектории. На цилиндре имеются две области (замыкание которых и есть фазовый цилиндр) с совершенно различным характером траекторий.

Первая область - колебательная или финитная (она одно-связна (ил. 1-5)) - сплошь заполнена траекториями следующего типа. Почти любая такая траектория начинается в отталкивающейся точке (2лк,0) и кончается в притягивающей ((21 + 1)л-,0), l,keZ. Исключение лишь составляют точки покоя (лк,0), а также сепаратрисы, которые либо выходят из отталкивающих точек (2лк,0) и входят в седла и S2k, либо выходят из седел S2k и S2M и входят в притягивающие точки ((2к + 1)я",0). Здесь

Вторая область - вращательная (она, вообще говоря, многосвязна) - сплошь заполнена вращательными движениями подобно вращениям на фазовой плоскости математического маятника. Данные фазовые траектории огибают фазовый цилиндр и являются на нем периодическими. Хотя рассматриваемые динамические системы и неконсервативны, во вращательной области ее фазовой плоскости R2{a,Q} (или Я2{а,й>}) они допускают сохранение инвариантной меры с переменной плотностью. Данное свойство характеризует рассматриваемую систему как систему с переменной диссипацией с нулевым средним.

Сами ключевые сепаратрисы являются границами областей, в каждой из которых движение имеет различный характер. Так в колебательной области, содержащей притягивающие и отталкивающие точки покоя, почти все траектории имеют в качестве предельных множеств аттракторы и репеллеры. Следовательно, не существует даже абсолютно непрерывной функции, являющейся плотностью инвариантной меры в данной области.

Иначе обстоит дело с областью, сплошь заполненной вращательными движениями. Как показала в своей дипломной работе В. В. Журавлева (1988 г.), существует гладкая функция, являющаяся плотностью инвариантной меры в области, сплошь заполненной периодическими траекториями, не стягиваемыми по фазовому цилиндру в точку.

Задача плоской динамики твердого тела, описываемая системами с переменной диссипацией с положительным средним, качественно исследована в главе 5. Это наиболее интересная в прикладном отношении задача - о свободном торможении тела. Получены новые семейства топологически неэквивалентных фазовых портретов. Типичные портреты семейства - (абсолютно) грубы. А вот «критические» фазовые портреты (если их рассматривать не на цилиндре, а на плоскости) являются негрубыми, причем бесконечной степени (и абсолютной, и относительной) не грубости.

Проведена классификация множества параметров системы по отношению к определенному типу ее фазового портрета. При этом перестройки топологического типа фазового портрета носят вырожденный (по причине бесконечной степени негрубости) характер.

В главе 6 некоторые результаты плоской динамики переносятся на пространственный случай, в связи с чем подробно ставится пространственная задача. В частности, найден полный список интегралов в задаче о пространственном движении динамически симметричного закрепленного твердого тела, помещенного в поток набегающей среды. Данная система с переменной диссипацией с нулевым средним топологически эквивалентна пространственному движению твердого тела в сопротивляющейся среде, при котором на тело наложена некоторая связь. Пространственное движение твердого тела в сопротивляющейся среде, при котором центр масс совершает прямолинейное равномерное движение, также представляет собой динамическую систему с переменной диссипацией с нулевым средним. Ее качественное исследование позволяет предъявить удобную пространственную систему сравнения для исследования многих систем с переменной диссипацией с ненулевым средним.

В главе 7 получено семейство фазовых портретов в задаче о пространственном свободном торможении тела в сопротивляющейся среде. Основной прикладной результат - неустойчивость прямолинейного поступательного торможения (т. е. движения с нулевыми углом атаки и угловой скоростью). В данной главе развивается техника исследования окрестности сингулярного положения равновесия, т. е. такого, в котором правые части динамических систем доопрелеляются лишь по непрерывности. К примеру, при малых углах атаки и угловых скоростях (т. е. в окрестности пространственного прямолинейного поступательного торможения) у правой части системы имеется особенность —. Эта трудность преа одолевается особенным построением функции Ляпунова.

Получено аналогичное плоскопараллельной динамике (см. главу 5) семейство трехмерных фазовых портретов.

В главе 8 обсуждаются некоторые следствия введения слагаемых, характеризующих вращательную производную момента аэрогидродинамических сил по угловой скорости. В задаче о плоскопараллельном свободном торможении тела в среде на базе нелинейных уравнений исследуется устойчивость прямолинейного поступательного торможения при наличии линейного демпфирующего момента. Показано, что в рамках рассматриваемой модели в принципе могут возникнуть автоколебания, соответствующие предельным циклам, которые рождаются из слабого фокуса (известная бифуркация Андронова-Хопфа). Последний аспект является возможным положительным ответом на главный вопрос нелинейного анализа - может ли начало координат на плоскости R2{a,Q.} (или R2{а,со}) стать устойчивым (что эквивалентно устойчивости прямолинейного поступательного торможения).

Таким образом, учет вращательных производных при некоторых условиях приводит к положительному ответу на главный вопрос нелинейного анализа: при движении тела в среде с конечными углами атаки в принципе возможно возникновение устойчивых автоколебаний. Причем для круговых цилиндров с полостью при некоторых условиях возможно возникновение устойчивых, а при некоторых - неустойчивых автоколебаний.

Данная глава открывает новый этап исследовательских работ по нелинейному анализу движения тела в сопротивляющейся среде в условиях квазистационарности при учете вращательных производных момента. Результаты, полученные в ней, позволяют сделать главный вывод о том, что прямолинейное поступательное торможение тела (невозмущенное движение) в принципе может стать устойчивым.

Автор выражает искреннюю благодарность доктору физико-математических наук, профессору В. А. Самсонову за ценные мысли, используемые при создании данной работы, полезные советы и постоянное внимание, а также докторам физико-математических наук, профессорам В. В. Александрову, В. М. Морозову, И. В. Новожилову, Я. В. Татаринову и чл.-корр. РАН Д. В. Трещеву за множество ценных замечаний.

Заключение диссертации по теме "Теоретическая механика"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Неустойчивость простейшего движения тела - прямолинейного поступательного торможения - используется в методических целях, а именно, для определения неизвестных параметров воздействия среды на твердое тело в условиях квазистационарности.

Эксперимент о движении в воде однородных круговых цилиндров, проведенный в Институте механики МГУ им. М. В. Ломоносова, подтвердил, что при моделировании воздействия среды на твердое тело необходимо учитывать также дополнительный параметр, вносящий в систему диссипацию.

При изучении класса торможений тела с конечными углами атаки главным вопросом является нахождение таких условий, при которых существуют автоколебания в конечной окрестности прямолинейного поступательного торможения. Возникает, таким образом, необходимость полного нелинейного исследования.

Начальным этапом такого исследования является пренебрежение демпфирующего воздействия со стороны среды на твердое тело. На функциональном языке это означает предположение о том, что пара динамических функций, определяющих воздействие среды, зависит лишь от одного параметра - угла атаки. Динамические системы, возникающие при таком нелинейном описании, носят характер систем с переменной диссипацией. Поэтому появляется необходимость создания методики исследования таких систем.

Вообще, динамика твердого тела, взаимодействующего со средой, - как раз та область, где обычно возникают либо системы с переменной диссипацией с ненулевым средним, либо системы, в которых потеря энергии в среднем за период может обращаться в нуль. В работе получена такая методика, благодаря которой удается до конца аналитически исследовать модельные задачи о плоскопараллельном и пространственном движении твердого тела.

При качественном описании взаимодействия тела со средой по причине использования экспериментальной информации о свойствах струйного обтекания возникает определенный разброс в моделировании силомоментных характеристик. Это делает естественным введение определения относительной грубости (относительной структурной устойчивости) и доказательство такой грубости для исследуемых систем. При этом многие из рассматриваемых систем получаются просто (абсолютно) грубыми по Андронову-Понтрягину в обычном смысле.

Весь спектр результатов, найденных при простейшем предположении об отсутствии демпфирующего воздействия со стороны среды на твердое тело, позволяет сделать вывод о невозможности нахождения таких условий, при которых существовали бы автоколебания в конечной окрестности прямолинейного поступательного торможения.

Заключительная часть работы открывает первый этап исследования движения тела в среде при учете демпфирующего момента со стороны среды. Такой момент вносит в систему дополнительную диссипацию, в результате чего прямолинейное поступательное торможение тела в принципе может стать устойчивым.

Таким образом, для однородных круговых цилиндров прямолинейное поступательное торможение неустойчиво при любых динамических и геометрических параметрах, что, по-видимому, связано с движением цилиндров именно в воде. А вот для цилиндров, имеющих внутри себя полость, при некоторых условиях в принципе возможно достижение устойчивости прямолинейного поступательного торможения.

Поэтому учет демпфирующего воздействия со стороны среды на твердое тело при некоторых условиях приводит к положительному ответу на главный вопрос: при движении тела в среде с конечными углами атаки в принципе возможно возникновение устойчивых автоколебаний.

Данная диссертация в том числе открывает новый цикл исследовательских работ по нелинейному анализу движения тела в сопротивляющейся среде в условиях квазистационарности при учете демпфирования со стороны среды.

Все перечисленное выше позволяет оценивать результаты диссертации в совокупности как существенное достижение, полученное в динамике твердого тела, взаимодействующего со средой.

РИСУНКИ И ИЛЛЮСТРАЦИИ число оборотов — О, угол поворота

- 9 о' л

Рис . 4 асимптотическое движение твердого тела с горизонтальной асимп т о т ой X осесимметричная траектория относительно оси ординат асимптотическое движение твердого тела с вертикальной асимптотой

ХГ число оборотов — О, угол поворота - 1 В о'

Рис.4.3 осесимме т рич на я траектория относительно оси ординат область I = область CCD область II = область ОВС область III = область OA В

Рис. 5.1

Рис. 7.1

Рис. 7.2

Рис. 7.3

Рис.1.2& угол атаки = - Ф

1;О.5;О;-О.5 1 ) ( 2 ) ( 3 ) (4) о° 8 о

О L т h = 0.2 (4) 50

Рис.1.9а цилиндр — сталь - ф каноническая траектория при h = 0 . 1 о^-чзЦ1 йЬ ° /о еР/ т

О 16 \о 58

Рис . 1 . Юа до о у у г- о л отклонения (1 ) (2) (3) (4)

О . 1

Рис.1.11а а

Рис.1.116 уг л о в <а я скорость = -О . О О 4 ; -О. 005 ; -О . О Об d) ( 2 ) ( 3 ) h = О . 1

Рис.1.12а

С 3 )

Рис.1.126 угол атаки = 0.2;-0.5;-1.2 С 1 ) (2) (3) - Ф ( 3 ) h = 0.1 т 1) 50

Рис.1.13а N®v4 с 3 )

Рис.1.136 угол отклонения = -О.5;О;О.5;1 Ф

1) (2)(3) (4) h = О

Рис.1.14а а

Рис.1.146 углов а я скорость = — О. О О 4 ; -0.005; —О. О О 6 1 ) 2 ) 3 ) Ф h = О

Рис.1.15а з)

Рис.1.156 угол -атаки = 0.2;-0.5;-1.2

- Ф 1 ) 2 ) 3 ) з) h = О

Рис: . 1 . 16а у г- о л отклонения = (1) (2) (3) (4) h = О . 2

Рис.1.17а 4 )

С 1)

Рис.1.176 угловая скорость = -О. О О 4 ; —О. О О 5 ; -О. О Об ( 1 ) (2 ) ( 3 ) -V h = Q . 2 г

58 С 1)

Рис.1.18а ( 3 ) i угол е> т а к и = О. 2;—О. Б;—1.2 1 ) 2 ) 3 ) h = О . 2

РИС.1.19а

- ч> j§4 т

1) %

Рис.1.196 цилиндр тмтан каноническая траектория при h = О . X

Рис.1.20а Ф

50 каноническая траектория

Рис. 1 . 2 О б

Портреты, портреты, портреты.

Маятник с переменной диссипацией

Ил , Э

Ил А

ТИП третий тип перестроек

Ил . 5

Маятник с переменной диссипацией и демпфированием v

---.

- ^ У г

Наятник с переменной диссипацией и демпфированием

Ил . 7

Наятник с переменной диссипацией и демпфированием

Маятник с поронеиной диссипацией и демпфированием sj

Наятник с переменной диссипацией и демпфированием W

Е0Маятник с переменной диссипацией и демпфированием

Ил . 13

Двупараметр ическоп семейство индекс сегтаезатрисяого повеления папем (0.1/21)

Ил . 14

DE у параметрич ос; ко о оемейст в о индекс сепаратриснага поведения равен (IЛ. 1Л)) двупараметрическое семейство индекс сепаратрнекого лавиения равен (), 1/2)) пвупарамвтрическое семейство индекс сепаратрисного поведения равей (1,3/4)>

Ип 17 двупараметрическое семейство индекс сепаратрисного поведения равен (1.3/Z)) двупараметрмчо о к о6 семемство индекс сепаратржиого поведения равен (5/4 ,3/2) )

Ил . 19 двупараметричеекое семейотво инаека сепарвтриойога поведения равен С2,Э/2>)

Ил , Z0 пв упараме т р liч е с к о е семейс х в о

С индекс сепаратрнсного поведения равен (2 , 7/4) )

Ип . 21 двупараметрическое семейотво

С индекс сепаратрисного поведения f>sb ett (2 , 0/2 3 )

Ил 2 2 двупарэметрическое с е: м ейство индекс СБпаратрисиого поведены я равен (9/4 , 5/Z) )

Ил 23

Двупаранетрическое семейство с предельными циклами

Двцпаранетрическое семейство с предельными циклами

Двупаранетрическое семейство с предельными циклами

Двупараиртрическое семейство с предельными циклами fleynapaметрическое семейство с предельными циклами

Двцпаранетрическое семейство с предельными циклами

Двупаранетрическое семейство с предельными циклами мл . э □

0ЭЧПаранетрическое семейство с предельными циклами

Список источников диссертации и автореферата по механике, доктора физико-математических наук, Шамолин, Максим Владимирович, Москва

1. Альев Г. А. Пространственная задача о погружении диска в сжимаемую жидкость // Изв. АН СССР. - МЖГ. - 1988. - № 1. - С. 17-20.

2. Андронов А. А. Собрание трудов. М.: Изд-во АН СССР, 1956.

3. Андронов А. А., Леонтович Е. А. К теории изменений качественной структуры разбиения плоскости на траектории / / ДАН СССР. 1938. - Т. 21. - Вып. 9.

4. Андронов А. А., Леонтович Е. А. Рождение предельных циклов из негрубого фокуса или центра и от негрубого предельного цикла // Мат. сб. 1956. - Т. 40. - Вып. 2.

5. Андронов А. А., Леонтович Е. А. О рождении предельных циклов из петли сепаратрисы и из сепаратрисы состояния равновесия типа седло-узел // Мат. сб. 1959. - Т. 48. - Вып. 3.

6. Андронов А. А., Леонтович Е. А. Динамические системы первой степени негрубости на плоскости // Мат. сб. 1965. - Т. 68. - Вып. 3.

7. Андронов А. А., Леонтович Е. А. Достаточные условия для негрубости первой степени динамической системы на плоскости // Дифференц. уравнения. 1970. - Т. 6. - № 12.

8. Андронов А. А., Понтрягин Л. С. Грубые системы // ДАН СССР. 1937. - Т. 14. - № 5. - С. 247-250.

9. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981. 568 с.

10. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966.

11. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967.

12. Аппель П. Теоретическая механика: в 2-х т. М.: Физ-матгиз, I960.

13. Арансон С. X., Гринес В. 3. Топологическая классификация потоков на замкнутых двумерных многообразиях // УМН. 1986. - Т. 41. - Вып. 1.

14. Арнольд В. И. Гамильтоновость уравнений Эйлера динамики твердого тела в идеальной жидкости // УМН. 1969. - Т. 24. - № 3, с. 225-226.

15. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

16. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1984.

17. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989. 472 с.

18. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: ВИНИТИ, 1985. 304 с.

19. Архангельский Ю. А. Аналитическая динамика твердого тела. М.: Наука, 1977. 328 с.

20. Бабицкий В. И., Крупенин В. Л. Колебания в сильно нелинейных системах. М.: Наука, 1985. 320 с.

21. Баггис Г. Ф. Грубые системы двух дифференциальных уравнений // УМН. 1955. - Т. 10. - Вып. 4.

22. Барбашин Е. А., Табуева В. А. Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством. М.: Наука, 1969.

23. Баутин Н. Н. О числе предельных циклов, рождающихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокус или центр // Мат. сб. 1952. - Т. 30 (72). - Вып. 1.

24. Баутин Н. Н. Некоторые методы качественного исследования динамических систем, связанные с поворотом поля // ПММ. 1973. - Т. 37. - Вып. 6.

25. Баутин Н. Н., Аеонтович Е. А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976. 496 с.

26. Белецкий В. В., Яншин А. М. Влияние аэродинамических сил на вращательное движение искусственных спутников. Киев: Наукова думка, 1984. 188 с.

27. Беляев А. В. О движении многомерного тела с закрепленной точкой в поле силы тяжести // Мат. сб. 1981. - Т. 114. - № 3, с. 465-470.

28. Бендиксон И. О кривых определяемых дифференциальными уравнениями // УМН. 1941. - Т. 9.

29. Берже М. Геометрия. Т.т. 1,11. М.: Мир, 1984.

30. Бивин Ю. К. Изменение направления движения твердого тела на границе раздела сред / / Изв. АН СССР. МТТ. -1981. -№ 4. - С. 105-109.

31. Бивин Ю. К., Викторов В. В., Степанов А. П. Исследование движения твердого тела в глинистой среде / / Изв. АН СССР. МТТ. - 1978. - № 2. - С. 159-165.

32. Бивин Ю. К., Глухов Ю. М., Пермяков Ю. В. Вертикальный вход твердых тел в воду // Изв. АН СССР. МЖГ. -1985. -№ 6. - С. 3-9.

33. Биркгоф Дж. Динамические системы. М.-Л.: Гостехиз-дат, 1941. 320 с.

34. Бишоп Р. Л. Колебания. М.: Наука, 1986. 189 с.

35. Богоявленский О. И. Некоторые интегрируемые случаи уравнений Эйлера // ДАН СССР. 1986. - Т. 287. - № 5. - С. 1105-1108.

36. Богоявленский О. И., Ивах Г. Ф. Топологический анализ интегрируемых случаев В. А. Стеклова // УМН. 1985. - Т. 40. - № 4. - С. 145-146.

37. Борисенок И. Т., Локшин Б. Я., Привалов В. А. О динамике полета осесимметричных вращающихся тел в воздушной среде // Изв. АН СССР. МТТ. - 1984. - № 2. - С. 35-42.

38. Браилов А. В. Некоторые случаи полной интегрируемости уравнений Эйлера и приложения / / ДАН СССР. 1983. -Т.268. - № 5. - С. 1043-1046.

39. Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979. 253 с.

40. Бурбаки Н. Интегрирование. М.: Наука, 1970. 320 с.

41. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. М.: Мир, 1972. 331 с.

42. Бутенина Н. Н. Бифуркации сепаратрис и предельных циклов двумерной динамической системы при повороте поля // Дифференц. уравнения. 1973. - Т.9. - № 8.

43. Бутенина Н. Н. К теории бифуркаций динамических систем при повороте поля // Дифференц. уравнения. 1974. -Т. 10. - № 7.

44. Бухгольц Н. Н. Основной курс теоретической механики: в 2-х ч. М.: Наука, 1972.

45. Бюшгенс Г. С., Студнев Р. В. Динамика продольного и бокового движения. М.: Машиностроение, 1969. 349 с.

46. Бюшгенс Г. С., Студнев Р. В. Динамика самолета. Пространственное движение. М.: Машиностроение, 1988. 320 с.

47. Балле Пуссен Ш. Ж. Лекции по теоретической механике. М.: ИЛ. - Т. 1, 1948. - 188 е.; т. 2, 1949. - 259 с.

48. Врублевская И. Н. О геометрической эквивалентности траекторий и полутраекторий динамических систем / / Мат. сб. 1947. - Т. 42.

49. Врублевская И. Н. Некоторые критерии эквивалентности траекторий и полутраекторий динамических систем / / -ДАН СССР. 1954. - Т. 97. - № 2.

50. Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. М.: Наука, 1960. 296 с.

51. Георгиевский Д. В., Трофимов В. В., Шамолин М. В. Геометрия и механика: задачи, подходы, методы / / Тез. засед. сем. «Актуальные проблемы геометрии и механики». -Фунд. и прикл. мат. 2001. - Т. 7. - Вып. 1. - С. 301.

52. Георгиевский Д. В., Шамолин М. В. Кинематика и геометрия масс твердого тела с неподвижной точкой в R" / / Доклады РАН. 2001. - Т. 380. - № 1. - С. 47-50.

53. Георгиевский Д. В., Шамолин М. В. Обобщенные динамические уравнения Эйлера для твердого тела с неподвижной точкой в R" / / Доклады РАН. 2002. - Т. 383. - № 5. - С. 635-637.

54. Георгиевский Д. В., Шамолин М. В. Первые интегралы уравнений движения обобщенного гироскопа в R" / / Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2003. - № 5. -С. 37-41.

55. Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. М.: Мир, 1973. 188 с.

56. Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.-Л.: Гостехиздат, 1950. 436 с.

57. Голубев В. В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки. М.-Л.: Гостехиздат, 1953. 288 с.

58. Горр Г. В., Кудряшова Л. В., Степанова Л. А. Классические задачи динамики твердого тела. Киев: Наукова думка, 1978. 296 с.

59. Горячев Д. Н. Новые случаи интегрируемости динамических уравнений Эйлера // Варшав. унив. изв. 1916. г Кн. 3. С. 1-15.

60. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм рядов и производных. М.: Гостехиздат, 1963. 602 с.

61. Гробман Д. М. О гомеоморфизме систем дифференциальных уравнений // ДАН СССР. 1959. - Т. 128. - № 5. - С. 880-881.

62. Гробман Д. М. Топологическая классификация окрестностей особой точки в n-мерном пространстве // Мат. сб. -1962. Т. 56. - № 1. - С. 77-94.

63. Гудков Д. А. О понятии грубости и степеней негрубости для плоских алгебраических кривых // Мат. сб. 1965. - Т. 67. - № 4.

64. Гуревич М. И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1979. 322 с.

65. Довбыш С. А. Расщепление сепаратрис неустойчивых равномерных вращений и неинтегрируемость возмущенной задачи Лагранжа // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1990. - № 3. - С. 70-77.

66. Дубровин Б. А., Новиков С. П. О скобках Пуассона гидродинамического типа // ДАН СССР. 1984. - Т. 279. - № 2. - С. 294-297.

67. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979. 760 с.

68. Дюлак Г. О предельных циклах. М.: Наука, 1980.

69. Ерошин В. А. Погружение диска в сжимаемую жидкость под утлом к свободной поверхности / / Изв. АН СССР. -МЖГ. 1983. -№ 2. - С. 142-144.

70. Ерошин В. А. Экспериментальное исследование входа упругого цилиндра в воду с большой скоростью / / Изв. РАН. МЖГ. - 1992. - № 5. - С. 20-30.

71. Ерошин В. А., Привалов В. А., Самсонов В. А. Две модельные задачи о движении тела в сопротивляющейся среде // Сб. научн.-метод, статей по теоретич. механ. Вып. 18. М.: Наука, 1987. С. 75-78.

72. Ерошин В. А., Самсонов В. А., Шамолин М. В. О движении тела в среде при струйном обтекании / / Тез. всесоюзной конференции по устойчивости движения, колебаниям механических систем и аэродинамике. М., 2-4 февр., 1988.

73. М.: МАИ, 1988. С. 21. - Деп. в ВИНИТИ 22.12.88, № 8886-В-88.

74. Ерошин В. А., Самсонов В. А., Шамолин М. В. Математическое моделирование в задаче о торможении тела в среде при струйном обтекании. Тез. докл. Чебышевских чтений / / Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1995. -№ 6. - С. 17.

75. Ерошин В. А., Самсонов В. А., Шамолин М. В. Модельная задача о торможении тела в сопротивляющейся среде при струйном обтекании // Известия РАН. МЖГ. - 1995. -№ 3. - С. 23-27.

76. Ерошин В. А., Константинов Г. А., Романенков Н. И, Якимов Ю.Л. Экспериментальное определение давления на диске при погружении в сжимаемую жидкость под углом к свободной поверхности // Изв. АН СССР. МЖГ. - 1988. - № 2. - С. 21-25.

77. Ерошин В. А., Константинов Г. А., Романенков Н. И, Якимов Ю. Л. Экспериментальное определение момента гидродинамических сил при несимметричном проникании диска в сжимаемую жидкость // Изв. АН СССР. МЖГ. - 1990. -№ 5. - С. 88-94.

78. Ерошин В. А., Романенков Н. И., Серебряков И. В., Якимов Ю. Л. Гидродинамические силы при ударе тупых тел о поверхность сжимаемой жидкости / / Изв. АН СССР. -МЖГ. 1980. - № 6. - С. 44-51.

79. Жуковский Н. Е. О падении легких, продолговатых тел, вращающихся вокруг своей продольной оси // П.с.с. Т. 5. М.: Физматгиз, 1937. - С. 72-80, 100-115.

80. Жуковский Н. Е. О парении птиц // П.с.с. Т. 5. М.: Физматгиз, 1937. - С. 49-59.

81. Журавлев В. Ф., Климов Д. М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988. 328 с.

82. Журавлев Ю. Ф. Погружение в жидкость диска под утлом. с свободной поверхности / / Сб. работ по гидродинамике. М.: ЦАГИ, 1959. С. 164-167.

83. Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. М.-Л.: Гостехиз-дат, 1938. 400 с.

84. Златин Н. А., Красильщиков А. П., Мишин Г. И., Попов Н. Н. Баллистические установки и их применение в экспериментальных исследованиях. М.: Наука, 1974. 344 с.

85. Иванова Т. А. Об уравненийя Эйлера в моделях теоретической физики // Мат. заметки. 1992. - Т.52. - В.2. - С. 43-51.

86. Ильяшенко Ю. С. Мемуар Дюлака «О предельных циклах» и смежные вопросы локальной теории дифференциальных уравнений // УМН. Т. 40. - № 6.

87. Ишлинский А. Ю. Ориентация, гироскопы и инерци-альная навигация. М.: Наука, 1976. 672 с.

88. Киттель Ч., Найт У., Рудерман М. Беркелеевский курс физики. Том 1. Механика. М.: Наука, 1983. 447 с.

89. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958.

90. Козлов В. В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. М.: МГУ, 1980.

91. Козлов В. В. Гидродинамика гамильтоновых систем // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1983, № 6. - С. 10-22.

92. Козлов В. В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике // УМН. 1983. - Т. 38. - № 1 - С. 367.

93. Козлов В. В. О падении тяжелого твердого тела в идеальной жидкости // Изв. АН СССР. МТТ. - 1989. - № 5. - С. 10-17.

94. Козлов В. В. К задаче о падении тяжелого твердого тела в сопротивляющейся среде / / Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1990. - No 1. - С. 79-87.

95. Козлов В. В., Колесников Н. Н. Об интегрируемости га-мильтоновых систем // Вест. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1979, № б, с. 88-91.

96. Козлов В. В., Онищенко Д. А. Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа // ДАН СССР. 1982. - Т. 266. - № 6. - С. 1298-1300.

97. Колесников Н. Н. Натуральные системы с разрешимой группой симметрий // Вест. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1978, № 5, с. 99-103.

98. Колмогоров А. Н. Общая теория динамических систем и классическая механика / / В кн. Международный математический конгресс в Амстердаме. М.: Физматгиз, 1961. С. 187-208.

99. Красносельский М. А., Перов А. И., Поволоцкий А. И., Забрейко П. П. Векторные поля на плоскости. М.: Физматгиз, 1963.

100. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Новые методы нелинейной механики. М.; А.: ОНТИ, 1934.

101. Крылов Н. Н., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику. М.: Изд-во АН СССР, 1937. 112 с.

102. Ламб Г. Гидродинамика. М.: Физматгиз, 1947. - 928 с.

103. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Механика. М.: Наука, 1968.

104. Левшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1961. - 387 с.

105. Леонтович Е. А., Майер А. Г. О траекториях, определяющих качественную структуру разбиения сферы на траектории // ДАН СССР. 1937. - Т. 14. - № 5.

106. Леонтович Е. А., Майер А. Г. О схеме, определяющей топологическую структуру разбиения на траектории / / ДАН СССР. 1955. - Т. 103. - № 4.

107. Аич Дж. У. Классическая механика. М.: ИЛ, 1961. -173 с.

108. Локшин Б. Я. Об одном движении быстровращаюгцего-ся тела в воздухе / / Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1970. - № 6. - С. 93-98.

109. Локшин Б. Я. Об устойчивости плоского движения бы-стровращающегося симметричного тела в атмосфере / / Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1971. - № 4. -С. 113-118.

110. Локшин Б. Я. О винтовом движении быстровращаю-щегося твердого симметричного тела в воздухе / / Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1973. - No 4. - С. 79-86.

111. Локшин Б. Я. Об устойчивости стационарных движений быстровращающегося симметричного твердого тела в воздухе // Изв. АН СССР. МТТ. 1976. - № 2. - С. 18-24.

112. Локшин Б. Я., Черкасов О. Ю. О структуре оптимальных траекторий движения вращающегося твердого тела в сопротивляющейся среде // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1990. - № 1. - С. 63-68.

113. Локшин Б. Я., Привалов В. А., Самсонов В. А. Введение в задачу о движении тела в сопротивляющейся среде. М.: МГУ, 1986. - 86 с.

114. Локшин Б. Я., Привалов В. А.,Самсонов В. А. Введение в задачу о движении точки и тела в сопротивляющейся среде. М.: МГУ, 1992. - 76 с.

115. Ляпунов А. М. Новый случай интегрируемости уравнений движения твердого тела в жидкости / / В кн. Собр. соч. Т. I. М.: Изд-во АН СССР, 1954. С. 320-324.

116. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: Гостехтеориздат, 1956. 491 с.

117. Манин Ю. И. Алгебраические аспекты нелинейных дифференциальных уравнений // Итоги науки. Вып. 11. Современные проблемы математики. М.: ВИНИТИ, 1978. С. 5112.

118. Маркеев А. П. Теоретическая механика. М.: Наука, 1990. - 416 с.

119. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1986.

120. Миллер У. Симметрия и разделение переменных. М.: Мир, 1981. 342 с.

121. Митропольский Ю. А., Лыкова О. Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. М.: Наука, 1973.

122. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969. 379 с.

123. Неймарк Ю. И. О движениях, близких к двояко-асимптотическому движению // ДАН СССР. 1967. - Т. 172.- № 5, с. 1021-1024.

124. Неймарк Ю. И. Структура движений динамической системы в окрестности гомоклинической кривой // 5-я летняя матем. школа, Киев, 1968, с. 400-435.

125. Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Динамика неголономных систем. М.: Наука, 1967. - 519 с.

126. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.-Л.: Гостехиздат, 1949. -550 с.

127. Нитецки 3. Введение в дифференциальную динамику.- М.: Мир, 1975. 304 с.

128. Новиков С. П., Шмельцер И. Периодические решения уравнения Кирхгофа свободного движения твердого тела и идеальной жидкости и расширенная теория Люстерника

129. Шнирельмана-Морса (ЛМШ) I// Функцион. анализ и его прил. 1981. - Т. 15, N° 3, с. 54-66.

130. Одареев В. А. Декомпозиционный анализ динамики и устойчивости продольного возмущенного движения экрано-плана. Докторская диссертация. М., МГАИ, 1995. 385 с.

131. Окунев Ю. М., Садовничий В. А. Модельные динамические системы одной задачи внешней баллистики и их аналитические решения / / Проблемы современной механики / Под ред. чл.-корр. РАН С. С. Григоряна. М.: Изд-во МГУ. -1998. - С. 28-46.

132. Окунев Ю. М., Привалов В. А., Самсонов В. А. Некоторые задачи о движении тела в сопротивляющейся среде // Тр. Всес. конф. «Нелинейные явления». М.: Наука, 1991. С. 140-144.

133. Окунев Ю. М., Садовничий В. А., Самсонов В. А., Черный Г. Г. Комплекс моделирования задач динамики полета // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1996, № 6, с. 66-75.

134. Пали Дж., Смейл С. Теоремы структурной устойчивости // Сб. пер. Мат. 1969. - Т. 13. - № 2. - С. 145-155.

135. Палис Ж., Ди Мелу В. Геометрическая теория динамических систем. Введение. М.: Мир, 1986. - 301 с.

136. Переломов А. М. Несколько замечаний об интегрировании уравнений движения твердого тела в идеальной жидкости / / Функц. анализ и его прилож. 1981. - Т. 15. - Вып. 2. -С. 83-85.

137. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.-Л.: Гостехиздат, 1952.

138. Плисс В. А. О грубости дифференциальных уравнений, заданных на торе // Вестн. ЛГУ, сер. матем., 1960, т. 13, с. 15-23.

139. Плисс В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.-Л.: Наука, 1964.

140. Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М.:Наука, 1967.

141. Плисс В. А. Об устойчивости произвольной системы по отношению к малым в смысле С возмущениям / / Диффе-ренц. уравнения. 1980. - Т. 16. - № 10. - С. 1891-1892.

142. Привалов В. А., Самсонов В. А. Об устойчивости движения тела, авторотирующего в потоке среды / / Изв. АН СССР. МТТ. 1990. - № 2. - С. 32-38.

143. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л.: ОГИЗ, 1947.

144. Пуанкаре А. Новые методы в небесной механике / / Пуанкаре А. Избранные труды. Т. 1,2. М.: Наука, 1971,1972. - 771 с. и 999 с.

145. Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1983. - 560 с.

146. Рейссинг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1974.

147. Рыжова В. Е., Шамолин М. В. О некоторых аналогиях в задаче о движении тела в сопротивляющейся среде / / Седьмой всес. съезд по теоретич. и прикл. механ., М., 15-21 авг., 1991. М.,1991. - С. 305.

148. Садэтов С. Т. Условия интегрируемости уравнений Кирхгофа // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1990, № 3, с. 56-62.

149. Сальникова Т. В. Об интегрируемости уравнений Кирхгофа в симметричном случае // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1985, № 4, с. 68-71.

150. Самсонов В. А. Об устойчивости решений систем дифференциальных уравнений в некоторых случаях / / Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1962. - No 5. - С. 74-78.

151. Самсонов В. А. О квазистационарных движениях механических систем // Изв. АН СССР. МТТ. 1978. - № 1. - С. 32-35.

152. Самсонов В. А. Очерки о механике. Некоторые задачи, явления и парадоксы. М.: Наука, 1980. - 64 с.

153. Самсонов В. А., Шамолин М. В. К задаче о движении тела в сопротивляющейся среде // Вести. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1989. - № 3. - С. 51-54, 105.

154. Самсонов В. А., Шамолин М. В. О движении тела в сопротивляющейся среде / / Современные проблемы механики и технологии машиностроения. Всес. конф. (16 18 апреля 1989 г.). Тез. докл. - М.: ВИНИТИ. - 1989. - С. 128-129.

155. Самсонов В. А., Шамолин М. В. Модельная задача о движении тела в среде со струйным обтеканием. Научный отчет Ин-та механики МГУ № 3969. М.,1990. - 80 с.

156. Самсонов В. А., Шамолин М. В. Модельная задача о движении тела в среде со струйным обтеканием / / Нелинейные колебания механических систем. Тез. докл. II Всес. конф. (сентябрь 1990 г.), ч. 2. Горький. - 1990. - С. 95-96.

157. Самсонов В. А., Шамолин М. В. К задаче о торможении тела в среде при струйном обтекании. Научный отчет Ин-та механики МГУ № 4141. М., 1991. - 48 с.

158. Самсонов В. А., Ерошин В. А., Константинов Г. А., Ма-каршин В. М. Две модельные задачи о движении тела в среде при струйном обтекании. Научный отчет Ин-та механики МГУ № 3427. М.,1987. - 27 с.

159. Самсонов В. А., Аокшин Б. Я., Привалов В. А. Динамика вращающегося тела, взаимодействующего со средой. Качественный анализ (промежуточный). Научный отчет Ин-та механики МГУ № 3245. М., 1985. 58 с.

160. Самсонов В. А., Шамолин М. В., Ерошин В. А., Макар-шин В. М. Математическое моделирование в задаче о торможении тела в сопротивляющейся среде при струйном обтекании. Научный отчет Ин-та механики МГУ № 4396. М.,1995. 41 с.

161. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: ИЛ, 1954.

162. Седов Л. И. Механика сплошной среды, т. 1. М.: Наука, 1983. - 528 е.; т. 2. - М.: Наука, 1984. - 560 с.

163. Синг Дж. Л. Классическая динамика. М.: Физматгиз, 1963. - 448 с.

164. Смейл С. Грубые системы не плотны. Сб. пер. Мат. -1967. - Т. 11. - № 4. - С. 107-112.

165. Смейл С. Дифференцируемые динамические системы // УМН. 1970. - Т. 25. - № 1. - С. 113-185.

166. Старжинский В. М. Прикладные методы нелинейных колебаний. М.: Наука, 1977. 255 с.

167. Стеклов В. А. О движении твердого тела в жидкости. Харьков, 1893. 234 с.

168. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. -М.: Физматгиз, 1959.

169. Стрекалов В. В. Рикошет при входе в воду диска, плоскость которого близка к вертикальной / / Уч. записки ЦАГИ. 1977. Т. 8. № 5. С. 66-73.

170. Суслов Г. К. Теоретическая механика. М.: Гостехиз-дат, 1946. - 654 с.

171. Сычев В. В., Рубан А. И., Сычев Вик. В., Королев Г. А. Асимптотическая теория отрывных течений. М.: Наука, 1987. - 256 с.

172. Табачников В. Г. Стационарные характеристики крыльев на малых скоростях во всем диапазоне углов атаки // Труды ЦАГИ. Вып. 1621. М., 1974. - С. 18-24.

173. Татаринов Я. В. Лекции по классической динамике. -М.: МГУ, 1984. 296 с.

174. Трофимов В. В. Уравнения Эйлера на конечномерных разрешимых группах Ли / / Изв. АН СССР. Сер. мат. 1980. -Т. 44. - № 5, с. 1191-1199.

175. Трофимов В. В. Геометрические инварианты вполне интегрируемых систем / / Тез. докл. Всесоюзн. конф. по геометрии «в целом». Новосибирск, 1987, с. 121.

176. Трофимов В. В., Фоменко А. Т. Методика построения гамильтоновых потоков на симметрических пространствах и интегрируемость некоторых гидродинамических систем // ДАН СССР. 1980. - Т. 254. - № 6, с. 1349-1353.

177. Трофимов В. В., Шамолин М. В. Диссипативные системы с нетривиальными обобщенными классами Арнольда-Маслова. Тез. докл. сем. по вект. и тенз. ан. им. П. К. Рашев-ского // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2000, № 2, с. 62.

178. Уиттекер Е. Т. Аналитическая динамика. М.: ОНТИ, 1937. - 500 с.

179. Фахрутдинова Р. Р., Шамолин М. В. О сохранении фазового объема в динамических системах с переменной диссипацией «с нулевым средним» // Тез. засед. сем. «Актуальные проблемы геометрии и механики». Фунд. и прикл. мат. - 2001. - Т. 7. - Вып. 1. - С. 311.

180. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. - 720 с.

181. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. М.: Мир, 1968. 432 с.

182. Чаплыгин С. А. О движении тяжелых тел в несжимаемой жидкости //В кн. Полн. собр. соч. Т. 1. Л.: Изд-во АН СССР, 1933. С. 133-135.

183. Чаплыгин С. А. Избранные труды. М.: Наука, 1976. -495 с.

184. Шамолин М. В. Качественный анализ модельной задачи о движении тела в среде со струйным обтеканием. Кандидатская диссертация. М., МГУ, 1991. 147 с.

185. Шамолин М. В. Замкнутые траектории различного топологического типа в задаче о движении тела в среде с сопротивлением // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика.- 1992. -№ 2. С. 52-56, 112.

186. Шамолин М. В. К задаче о движении тела в среде с сопротивлением // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика.- 1992. -№ 1. С. 52-58, 112.

187. Шамолин М. В. Классификация фазовых портретов в задаче о движении тела в сопротивляющейся среде при наличии линейного демпфирующего момента / / Прикл. матем. и механ. 1993. - Т. 57. - Вып. 4. - С. 40-49.

188. Шамолин М. В. Относительная структурная устойчивость задачи о движении тела в сопротивляющейся среде / / Механика и ее применения. Научн. конф. 9-11.11.93: Тез. докл. Ташкент: ТашГУ, 1993. - С. 20-21.

189. Шамолин М. В. Применение методов топографических систем Пуанкаре и систем сравнения в некоторых конкретных системах дифференциальных уравнений. // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1993. - № 2. - С. 66-70, 113.

190. Шамолин М. В. Существование и единственность траекторий, имеющих в качестве предельных множеств бесконечно удаленные точки, для динамических систем на плоскости // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1993. № 1. - С. 68-71, 112.

191. Шамолин М. В. Новое двупараметрическое семейство фазовых портретов в задаче о движении тела в среде // Доклады РАН. 1994. - Т. 337. - № 5. - С. 611-614.

192. Шамолин М. В. Об относительной грубости динамических систем в задаче о движении тела в среде при струйном обтекании // Моделирование и исследование устойчивости систем. Научн. конф. (16-20.5.1994): Тез. докл. Киев, 1994. - С. 144-145.

193. Шамолин М. В. Об относительной грубости динамических систем в задаче о движении тела в сопротивляющейся среде. Тез. докл. Чебышевских чтений / / Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1995, № 6, с. 17.

194. Шамолин М. В. Определение относительной грубости и двупараметрическое семейство фазовых портретов в динамике твердого тела // Успехи матем. наук. 1996, т. 51, вып. 1, с. 175-176.

195. Шамолин М. В. Периодические и устойчивые по Пуассону траектории в задаче о движении тела в сопротивляющейся среде / / Известия РАН. МТТ. 1996, № 2, с. 55-63.

196. Шамолин М. В. Пространственные топографические системы Пуанкаре и системы сравнения / / Тез. докл. матем. конф. «Еругинские чтения III», (Брест, 14-16.05.1996). -Брест, 1996, с. 107.

197. Шамолин М. В. Введение в пространственную динамику движения твердого тела в сопротивляющейся среде // Материалы межд. конф. и Чебышевских чтений, посвящ. 175-летию со дня рожд. П.А.Чебышева (Москва, 14-19 мая 1996 г.). Т. 2. - М.: МГУ, с. 371-373.

198. Шамолин М. В. Многообразие типов фазовых портретов в динамике твердого тела, взаимодействующего с сопротивляющейся средой // Доклады РАН, 1996. Т. 349. - № 2. -С. 193-197.

199. Шамолин М. В. Качественные методы в динамике твердого тела, взаимодействующего со средой / / II Сибирский Конгресс по прикл. и индустр. матем. (Новосибирск, 2530.06.1996): Тезисы докладов. Новосибирск, ч. III, 1996, с. 267.

200. Шамолин М. В. Об одном интегрируемом случае в динамике пространственного движения тела в сопротивляющейся среде / / II Симпозиум по классической и небесной механике. Тез. докл. Великие Луки, 23-28.08.1996. Москва -Великие Луки, 1996, с. 91-92.

201. Шамолин М. В. Введение в задачу о торможении тела в сопротивляющейся среде и новое двухпараметрическое семейство фазовых портретов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1996, № 4, с. 57-69.

202. Шамолин М. В. Об интегрируемом случае в пространственной динамике твердого тела, взаимодействующего со средой // Известия РАН. МТТ. 1997, № 2, с. 65-68.

203. Шамолин М. В. Пространственные топографические системы Пуанкаре и системы сравнения / / Успехи матем. наук. 1997, Т. 52, вып. 3, с. 177-178.

204. Шамолин М. В. Пространственная динамика твердого тела, взаимодействующего со средой // Сем. по мех. систем и пробл. управления движ. и навиг. Известия РАН. МТТ. -1997, № 4, с. 174.

205. Шамолин М. В. Качественные методы в динамике твердого тела, взаимодействующего со средой / / YSTM'96:

206. Молодежь и наука третье тысячелетие». Тр. межд. конгресса - М.: НТА «АПФН», 1997 г. - (Сер. Профессионал), т. 2. - С. 1-4.

207. Шамолин М. В. Об интегрируемости в трансцендентных функциях // Успехи матем. наук. 1998, Т. 53, вып. 3, с. 209-210.

208. Шамолин М. В. Методы нелинейного анализа в динамике твердого тела, взаимодействующего со средой (Methods of non-linear analysis in dynamics of a rigid interacting with a medium), In: CD-Proc. of the Cong. «Nonlinear Analysis and It's

209. Applications», Moscow, Russia, Sept. 1-5, 1998; 1999, pp. 497508.

210. Шамолин M. В. Семейство портретов с предельными циклами в плоской динамике твердого тела, взаимодействующего со средой // Известия РАН. МТТ. 1998, № 6, с. 2937.

211. Шамолин М. В. Некоторые классы частных решений в динамике твердого тела, взаимодействующего со средой // Известия РАН. МТТ. 1999, № 2, с. 178-189.

212. Шамолин М. В. Новые интегрируемые по Якоби случаи в динамике твердого тела, взаимодействующего со средой / / Доклады РАН. 1999. - Т. 364. - № 5. - С. 627-629.

213. Шамолин М. В. Новые интегрируемые по Якоби случаи в динамике твердого тела, взаимодействующего со средой / / Доклады РАН, 1999. Т. 364. - No 5. - С. 627-629.

214. Шамолин М. В. О грубости диссипативных систем и относительной грубости и негрубости систем с переменной диссипацией // Успехи матем. наук. 1999, Т. 54, вып. 5, с. 181-182.

215. Шамолин М. В. Новое семейство фазовых портретов в пространственной динамике твердого тела, взаимодействующего со средой // Доклады РАН, 2000. Т. 371. - No 4. -С. 480-483.

216. Шамолин М. В. О грубости диссипативных систем и относительной грубости систем с переменной диссипацией. Тез. докл. сем. по вект. и тенз. ан. им. П. К. Рашевского // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2000, № 2, с. 63.

217. Шамолин М. В. О предельных множествах дифференциальных уравнений около син1улярных особых точек / / Успехи матем. наук. 2000. - Т. 55, вып. 3. - С. 187-188.

218. Шамолин М. В. Многомерные топографические системы Пуанкаре и трансцендентная интегрируемость //IV Сибирский Конгресс по прикл. и индустр. матем. (Новосибирск, 26.06-01.07.2000): Тезисы докладов. Новосибирск: Изд-во ин-та матем., ч. I, 2000, с. 25-26.

219. Шамолин М. В. Интегрируемость по Якоби задачи о движении четырехмерного твердого тела в сопротивляющейся среде / / Тез. докл. Межд. конф. по дифф. уравнениям и дин. системам (Суздаль, 21-26.08.2000). Владимир: Влад. гос. унив., 2000. С. 196-197.

220. Шамолин М. В. Интегрируемость по Якоби в задаче о движении четырехмерного твердого тела в сопротивляющейся среде // Доклады РАН. 2000. - Т. 375. - № 3. - С. 343346.

221. Шамолин М. В. Об устойчивости движения твердого тела в сопротивляющейся среде, закрученного вокруг своей продольной оси // Известия РАН. МТТ. 2001. - № 1. - С. 189-193.

222. Шамолин М. В. Многообразие типов фазовых портретов в динамике твердого тела, взаимодействующего со средой / / Тез. засед. сем. «Актуальные проблемы геометрии и механики». Фунд. и прикл. мат. - 2001. - Т. 7. - Вып. 1. - С. 302-303.

223. Шамолин М. В. Интегрируемость задачи о движении четырехмерного твердого тела в сопротивляющейся среде / / Тез. засед. сем. «Актуальные проблемы геометрии и механики». Фунд. и прикл. мат. - 2001. - Т. 7. - Вып. 1. - С. 309.

224. Шамолин M. В. Случаи интегрируемости уравнений пространственной динамики твердого тела / / Прикл. механика. 2001. - Т. 37. - № 6. - С. 74-82.

225. Шамолин М. В. Новые интегрируемые по Якоби случаи в динамике двумерного, трехмерного и четырехмерного твердого тела, взаимодействующего со средой / / Анн. докл.

226. VIII Всеросс. съезда по теорет. и прикл. механ. (Пермь, 2329.08.2001). Екатеринбург: УрО РАН, 2001. - С. 599-600.

227. Шамолин М. В. Полная интегрируемость уравнений движения пространственного маятника в потоке набегающей среды // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2001. -№ 5. - С. 22-28.

228. Шамолин М. В. Об интегрировании некоторых классов неконсервативных систем // Успехи матем. наук. 2002. - Т. 57, вып. 1. С. 169-170.

229. Шамолин М. В. Интегрируемость в трансцендентных функциях динамике твердого тела / / Тез. докл. научн. конф. «Ломоносовские чтения-2003». Секц. механ. 17-27 апреля 2003 г., Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова М.: Изд-во Моск. ун-та, 2003. - С. 130.

230. Шамолин М. В. Некоторые задачи дифференциальной и топологической диагностики. М.: Изд-во «Экзамен», 2004. - 256 с.

231. Шамолин М. В., Цыпцын С. В. Аналитическое и численное исследование траекторий движения тела в сопротивляющейся среде. Научный отчет Ин-та механики МГУ № 4289. М.,1993,- 43 с.

232. Шорыгин О. П., Шульман Н. А. Вход диска в воду с углом атаки // Уч. записки ЦАГИ. 1977. Т.8. № 1. С. 12-21.

233. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. -М.: Мир, 1986. 243 с.

234. Якоби К. Лекции по динамике. М.-Л.: ОНТИ, 1936. -272 с.

235. Якобсон М. В. О гладких отображениях окружности в себя // Матем. сб., 1975, вып.85, с. 183-188.

236. Hubert Aiiy, The Soaring of Birds, «Nature», vol. XXVIII, 1.596.

237. Magnus Blix, Une nouvelle theorie sur le vol a viole des oiseaux, «Revue generale sciences pures et appliques», 1890.

238. Bret Onniere, Etude sur le vol plane, «L'Aeronaute», 1891.

239. Ishlinsky A. Yu., Klimov D. M. Some aspects of the solution of the main problem of inertial navigation. J. Inst. Navig., 1970, vol. 23, No. 4.

240. Otto Liliental, Der Vogelflug als Grundlage der Fliege-kunst. Berlin, 1889, S. 81.

241. Marey, Le vol des oiseaux, chap.XX, Paris, 1890, 157 p.

242. Mouillard, L'empire de l'air, Paris, 1881.

243. Parseval, Die Mechanik des Vogelflugs, Wisbaden, 1889, S. 122.

244. Peixoto M., On structural stability, Ann. of Math. (2) 69 (1959), 199-222.

245. Peixoto M., Structural stability on two-dimensional manifolds, Topology, 1962, v. 1, N 2, p. 101-120.

246. Peixoto М., On an approximation theorem of Kupka and Smale, J. Diff. Eq., 3 (1966), p. 214-227.

247. S. E. Peal, Soaring of Birds, «Nature», vol. XXVIII, 1.11.

248. L. Prandtl, A. Betz, Ergebmisse der Aerodinamishen Ver-suchsastalt zu Gottingen, b.4 Liefrung. M nchen Berlin; R. Oldenbourg, 1932. 148 p.

249. Rayleigh, The Soaring of Birds, «Nature», vol. XXVIII, 1.534.

250. M. V. Shamolin, Relative structural stability on the problem of a body motion in a resisting medium / / ICM'94, Abstract of Short Communications, Zurich, 3-11 August, 1994. Zurich, Switzerland, 1994, p. 207.

251. M. V. Shamolin, Structural Optimization of the Controlled Rigid Motion in a Resisting Medium. In: WCSMO-1, Extended Abstracts. Posters, Goslar, May 28 June 2, 1995. Goslar, Germany, 1995, p. 18-19.

252. M. V. Shamolin, New Two-Parameter families of the phase patterns on the problem of a body motion in a resisting medium. In: ICIAM'95, Book of Abstracts, Hamburg, 3.-7.July, 1995. Hamburg, Germany, 1995, p. 436.

253. M. V. Shamolin, Poisson-stable and dense orbits in rigid body dynamics. In: 3rd Experimental Chaos Conference, Advance Program, Edinburg, Scotland, August 21-23, 1995. Edin-burg, Scotland, 1995, p. 114.

254. M. V. Shamolin, Qualitative methods in interacting with the medium rigid body dynamics, In: Abstracts of GAMM Wis-senschaftliche Jahrestangung'96, 27.-31.May, 1996, Prague, Czech Rep.; Karls-Universitat Prag, p. 129-130.

255. M. V. Shamolin, Qualitative Methods in Interacting with the Medium Rigid Body Dynamics, In: Abstracts of XlXth IC-TAM, Kyoto, Japan, August 25-31, 1996; Kyoto, Japan, 1996, p. 285.

256. M. V. Shamolin, Three-Dimensional Structural Optimization of Controlled Rigid Motion in a Resisting Medium. In: Proceedings of WCSMO-2, Zakopane, Poland, May 26 30, 1997. Zakopane, Poland, 1997, p. 387-392.

257. M. V. Shamolin, Families of three-dimensional phase portraits in dynamics of a rigid body. In: EQUADIFF 9, Abstracts,

258. Enlarged Abstracts, Brno, Czech Rep., August 25-29, 1997. Ma-saryk Univ., Brno, Czech Rep., 1997, p. 76.

259. M. V. Shamolin, Many-dimensional topographical Poin-care systems in rigid body dynamics, In: Abstracts of GAMM Wissenschaftliche Jahrestangung'98, 6.-9.April, 1998, Bremen, Germany; Universitat Bremen, 1998, p. 128.

260. M. V. Shamolin, Structural Stability in 3D Dynamics of a Rigid. In: CD-Proc. of WCSMO-3, Buffalo, NY, May 17-21, 1999; Buffalo, NY, 1999, 6 p.

261. M. V. Shamolin, Integrability in Terms of Transcendental Functions in Rigid Body Dynamics, In: Booh of Abstracts of GAMM Annual Meeting, April 12-16 1999, Metz, France; Uni-versite de Metz, 1999, p. 144.

262. M. V. Shamolin, Properties of Integrability of Systems in Terms of Transcendental Functions, In: Final Progr. and Abstracts of Fifth SIAM Conf. on Appl. of Dynamic. Syst., May 2327, 1999, Snowbird, Utah, USA; SIAM, 1999, p. 60.

263. M. V. Shamolin, Some properties of transcendental inte-grable dynamical systems, In: Book of Abst. of EQUADIFF 10, Berlin, August 1-7, 1999; Free Univ. of Berlin, 1999, pp. 286287.

264. M. V. Shamolin, Methods of analysis of a deceleration of a rigid in 3D medium, In: Contributed abstracts of 3rd ENOC, Copenghagen (Lyngby), Denmark, August 8-12, 1999; Tech. Univ. of Denmark, 1999 (without pages).

265. M. V. Shamolin, New Families of the Non-Equivalent Phase Portraits in 3D Rigid Body Dynamics, In: Abstracts of Second Congress ISAAC 1999, Fukuoka, Japan, August 16-21, 1999; Fukuoka Ins. of Tech, 1999, p. 205-206.

266. M. V. Shamolin, Methods of analysis of dynamics of a rigid body interacting with a medium, In: Book of Abstracts of Annual Scient. Conf. GAMM 2000 at the Univ. of Gottingen, 2-7 April, 2000; Univ. of Gott., 2000, p. 144.

267. M. V. Shamolin, Integrability and non-integrability in terms of transcendental functions, In: CD-abs. of 3rd ECM (Poster sessions), Barselona, Spain, June 10-14, 2000 (poster no. 36, without pages).

268. М. V. Shamolin, About interaction of a rigid body with a resisting medium under an assumption of a jet flow, In: Book of Abst. II (General sessions) of 4th EUROMECH Solid Mech. Conf., Metz, France (June 26-30, 2000); Univ. of Metz, 2000, p. 703.

269. M. V. Shamolin, New families of many-dimensional phase portraits in dynamics of a rigid body interacting with a medium, In: CD-Proc. of 16th IMACS World Cong. 2000, Lausanne, Switzerland, August 21-25; EPFL, 2000, 3 p.

270. M. V. Shamolin, Mathematical modelling of interaction of a rigid body with a medium and new cases of integrability, In: Book of Abst. of ECCOMAS 2000, Barcelona, Spane, 11-14 September; Barcelona, 2000, p. 495.

271. M. V. Shamolin, Comparison of Some Cases of Integrability in Dynamics of a Rigid Body Interacting with a Medium, In: Book of Abs. of Annual Scient. Conf. GAMM 2001, ETH Zurich, 12-15 February, 2001; ETH Zurich, 2001, p. 132.

272. М. V. Shamolin, Integrability and Nonintegrability in Terms of Transcendental Functions, In: Book of Abs. of Annual Scient. Conf. GAMM 2003, Abano Terme-Padua, Italy, 24-28 March, 2003; Univ. of Padua, 2003, p. 77.

273. Weyher, Observations sur le vol plane par obres, «L'Aero-naute», 1890.