Устойчивость и колебания некоторых неконсервативных систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Банков Александр Евгеньевич

Устойчивость и колебания некоторых неконсервативных систем

01.02.01 - Теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

9 ИЮН 2011

Москва - 2011

4849403

Работа выполнена на кафедре «Дифференциальные уравнения» Московского авиационного института (государственного технического

университета).

Научный руководитель: докторфизико-математических наук,

профессор,

Красилъников Павел Сергеевич Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор,

Карапетпян Александр Владиленович доктор физико-математических наук, профессор,

Андреев Александр Сергеевич Ведущая организация: Вычислительный центр им. A.A.

Дородницына (ВЦ РАН)

Защита состоится 17 июня 2011 г. в 13 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д.212.125.Ц при Московском авиационном институте (государственном техническом университете), расположенном по адресу: 125993, г. Москва, Волоколамское шоссе, д.4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МАИ.

Автореферат разослан «j!_G_» /чсс,Я_2011 г.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета.

Ученый секретарь диссертационного совета, к. ф.-м.н., доцент

Общая характеристика работы

Актуальность работы

Настоящая работа посвящена исследованию устойчивости и колебаний механических систем с конечным числом степеней свободы, находящихся под действием как потенциальных, так и непотенциальных (неконсервативиых) сил. Под неконсервативными силами мы подразумеваем диссипативные силы, а также позиционные силы, не допускающие потенциала. Последние силы часто называют следящими, циркуляционными или силами радиальной коррекции 1. К некоисервативкым силам относят также гироскопические силы.

Интерес к неконсервативным задачам со следящими силами появился, как известно, после работ Эйлера, в которых он исследовал устойчивость форм равновесия упругой балки. Последующее изучение области применимости метода Эйлера в задачах устойчивости упругих систем показало, что если внешние силы неконсервативны, то метод Эйлера становится, вообще говоря, непригодным. Основными методоми исследования таких задач является методы теории устойчивости и колебаний.

Приближенное исследование поведения упругих систем на основе конечномерных моделей получило широкое распространение и выявило ряд удивительных свойств упругих систем: «негативизм», когда совместное влияние следящей силы и внешнего момента ведет к эффекту «отрицательной» жесткости; «парадокс» Циглера, когда сколь угодно малые по модулю силы вязкого трения дестабилизируют равновесие системы, устойчивое в отсутствие сил трения.

Проблемы устойчивости и колебаний неконсервативных систем возникают при проектировании конструкций в машиностроении, авиации, ракетной технике и т.д. Большое количество работ по устойчивости неконсервативных

1 Меркнн Д.Р. Гироскопические системы. М.: Наука, Гостехиздат. 1974.

систем относится к аэроупругости 23. Неконсервативные задачи возникают в теории двуногой ходьбы 4.

Наибольшую известность среди неконсервативных задач получил парадокс дестабилизации (или эффект Циглера в настоящей работе). Это явление изучалось в работах В.В.Болотина, Я.Г Пановко, Г.Циглера, С. А. Агафонова, А.П Сейраняна, О.Н. Кириллова и других ученых. Отсутствие критерия существования эффекта Циглера объясняется алгебраической сложностью задачи. Так как характеристический полином содержит все коэффициенты при степенях А, то неравенства, отвечающие критерию Рауса-Гурвица, имеют весьма сложный вид. Их сложно исследовать на совместность.

Моделирование динамики ракетоносителей (РН) напрямую связано с исследованием колебаний неконсервативных систем. К примеру, одной из важных и мало изученных задач в динамике РН является задача о влиянии диссипативных сил на устойчивость движения РН 5, когда система находится под воздействием следящих сил. Известно, что в некоторых случаях малые силы трения усиливают динамическую неустойчивость системы (из-за наличия дополнительных позиционных неконсервативных сил). Так, совокупное влияние сил аэродинамического сопротивления и реактивной силы тяги двигателя может привети к усилению поперечных колебаний РН; сила сопротивления и реактивная сила истечения жидкого топлива из конца заправочного шланга, соединяющего летательные аппараты во время дозаправки их в полете, может также привести к сильным поперечным колебаниям шланга.

Диссертация посвящена получению условий устойчивости движений ме-

2 Гроссман Е.П. Флаттер // Труды ЦАГИ. 1937. Вып. 284. 248 с.

3 Bisplinghoff R.L., Ashley Н. Principles of aeroelasticity. 1975. New York. Dover.

4 Белецкий В.В., Голубицкая М.Д. Стабилизация и экстремальные свойства резонансных режимов двуногой ходьбы // ПММ. 1991. Т. 55. Вып. 2. С. 193-200.

5 Рабинович Б.И. Введение в динамику ракет-носителей космических аппаратов М., "Машиностроение 1975, 416 с.

ханической системы с конечным числом степеней свободы при наличии позиционных неконсервативных сил и анализу колебаний в зонах Циглера. Исследуются области устойчивости и неустойчивости равновесных конфигураций двухзвенного механизма, находящегося под действием сосредоточенной следящей силы, составляющей фиксированный угол с осью стержня. В простейшем случае эта модель описывает динамику заправочного шланга, находящегося под действием реактивной силы истечения жидкости. Исследуются его автоколебания в зонах Циглера.

Цель диссертационной работы Цель работы - исследование устойчивости положений равновесия и колебаний механической системы с голономными стационарными связями, имеющей конечное число степеней свободы и находящейся под действием потенциальных, следящих сил и сил вязкого трения, линейных по скоростям. Поскольку малые силы трения могут дестабилизировать равновесие системы, устойчивое в их отсутствие (эффект Циглера), то одной из важных целей диссертации является задача получения необходимых и достаточных условий существования эффекта Циглера. Она решается в рамках более общей проблемы построения критериев устойчивости равновесий механической системы по первому приближению.

Проблема исследования колебаний в зонах Циглера также является одной из целей диссертации. Поскольку неустойчивость равновесия в зонах Циглера имеет мягкий характер, исследуется задача существования глобально устойчивого предельного цикла, «запирающего» фазовые кривые системы в малой окрестности равновесия в системе с двумя степенями свободы.

Одной из задач диссертации является задача исследования устойчивости и колебаний двухзвенного механизма, нагруженного следящей силой. Эта система представляет собой дискретную модель упругого шланга, находящегося под действием реактивной силы истечения жидкости.

Научная новизна

Диссертационная работа содержит несколько новых научных результатов. Во-первых, впервые решена задача построения критериев устойчивости равновесия по первому приближению для механической системы с двумя степенями свободы со следящими, потенциальными силами и силами трения с произвольным коэффициентом трения. Как следствие, впервые получены необходимые и достаточные условия существования эффекта Циглера. Для случая малых сил трения, критерий устойчивости равновесия получены для системы с п степенями свободы.

Во-вторых, впервые получены достаточные условия существования устойчивого предельного цикла в малой окрестности неустойчивого равновесия в зонах Циглера при резонансах 1:2 и 1:3. Получены оценки области притяжения предельного цикла при резонансе 1:2 в виде неравенств, накладываемых на параметры системы. Для резонанса 1:3 получены условия устойчивости предельного цикла в нормализованных с помощью метода Хори-Кэмила уравнениях движения.

Наконец, впервые построены области устойчивости двухзвенного механизма, находящегося под действием следящей силы и сил трения. Показано, что силы трения мало деформируют бесконечно связную область устойчивости, построенную в их отсутствие: появляются узкие зоны Циглера, которые превращаются в области асимптотической устойчивости при больших силах трения, области неустойчивости (за исключением зон Циглера) сохраняются при любых значениях коэффициента трения. Впервые построены предельные устойчивые циклы колебаний двухзвенного механизма, находящегося под действием следящей силы и линейных сил трения.

Практическая значимость Практическая значимость исследований заключается в получении новых результатов по устойчивости равновесия механических систем с конечным чис-

лом степеней свободы, находящихся под действием сил трения, потенциальных и следящих сил. Показано при каких условиях сколь угодно малые силы трения дестабилизируют положение равновесия. Показано также, что при определенных условиях взаимодействия сил трения и следящих сил появляются устойчивые автоколебания дискретных моделей упругих систем, приближенно описывающих развитие динамической неустойчивости сложных упругих конструкций.

Диссертация посвящена решению одной из приоритетных задач (по классификации Рабиновича Б.И.) в ракетно-космической технике: изучению на основе дискретных моделей, влияний диссипативных сил на динамическую неустойчивость РН (ракетоносителя) при наличии дополнительных позиционных неконсервативных сил.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Получен критерий устойчивости по первому приближению положения равновесия механической системы с двумя степенями свободы с голо-номными, стационарными связями, находящейся под действием потенциальных, следящих сил и линейных сил вязкого трения, произвольных по модулю.

2. Получен критерий устойчивости положения равновесия такой системы с п степенями свободы, когда силы трения малы.

3. Получены достаточные условия существования в зонах Циглера устойчивых предельных циклов механической системы с двумя степенями свободы при резонансах 1:2 и 1:3. Получена оценка области притяжения предельного цикла при резонансе 1:2 в виде неравенств на параметры задачи. Предельный цикл при резонансе 1:3 исследован на асимптотическую устойчивость.

4. Исследована динамика механической системы, расположенной на горизонтальной плоскости, состоящей из двух стержней, соединенных с помощью спиральных пружин. На свободный конец второго стержня действует следящая сила. Построены бесконечно связные области устойчивости положений равновесия системы, зоны Циглера. Исследованы автоколебания системы при резонансах 1:2 и 1:3.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на 10 Международной конференции «Устойчивость, управление и динамика твердого тела» (Донецк,

2008 г.) [1], на Симбирской молодежной научной школе по аналитической динамике, устойчивости и управлению движениями и процессами (Ульяновск,

2009 г.) [2], на Всероссийском Семинаре «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Ульяновск, 2010 г.) [5]. Также результаты докладывались на семинаре им. В.В. Румянцева по аналитической механике и теории устойчивости в МГУ и на семинаре «Динамические системы и механика» в МАИ.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 6 работ [1-6], из них две статьи в журнале, рекомендованном ВАК [4, 6], одна статья в другом журнале [3], тезисы научных конференций [1, 2, 5]. Опубликованные в данных журналах статьи полностью отражают содержвапие всех глав диссертации.

Личный вклад автора Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с Красильни-ковым П.С. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации

Работа состоит из введения, обзора литературы, 3 глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации - 93 страницы.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументрироваиа научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе исследована устойчивость равновесия механической системы с идеальными стационарными голономными связями и находящейся под действием потенциальных, следящих сил и диссипатнвных сил вязкого трения. Колебания системы описываются уравнениями Лагранжа 2-го рода. Предполагается наличие у системы тривиального равновесия (1 = 4 = 0.

Получены уравнения первого приближения, приведенные к нормальным координатам

х + еВх + Сх + Рх = 0 (1)

Для случая двух степеней свободы, существует критерий устойчивости системы в отсутствие сил трения:

\хС > о, аеЦС + Р) > 0, {\хС)г - 4с1е1;(С + Р) > 0 (2)

Далее рассматривается задача устойчивости при малых силах трения (коэффициент трения е много меньше единицы). Используя теорему о неявной функции, были получены необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости по первому приближению в виде достаточно простых неравенств, накладываемых на параметры задачи.

Теорема 1. Пусть выполнены неравенства (2). Если параметр к, вычисляемый по формуле /г = 1;г(.В) -1;гС — Ьт(ВС), удовлетворяет двойному неравенству

^ к ^ ш^гВ

то существует е\ > 0, такое, что равновесие х = х = 0 уравнений (1) асимптотически устойчиво при е 6 (0,61]. Наоборот, если выполнено

к < ш\ЬхВ или К > ш\\гВ

равновесие неустойчив?) при е £ (0, е\\. Наконец, если условия (2) нарушены, то с точностью до вырожденных случаев равновесие х = х = 0 уравнений (!) неустойчиво, когда е е [0, £1].

Из этих результатов явствует критерий существования эффекта Цигле-ра, и как следствие, необходимое условие существования такого эффекта - наличие следящих сил в системе. Вводится понятие зоны Циглера. Она представляет собой область в пространстве параметров, в которой равновесие устойчиво в отсутствие сил трения и неустойчиво при добавлении линейных диссипативных сил сколь угодно малых по величине.

Далее рассмотрен случай больших сил трения. Используя простые физические соображения, основанные на предположении существования критического значения £* коэффициента трения, при котором неустойчивость равновесия сменяется асимптотической устойчивостью, были получены критерии устойчивости по первому приближению при любых значениях параметра е. Необходимые и достаточные условия существования е* имеют вид

Лемма 1. С точностью до вырожденных случаев критическая величина е*

существует тогда и только тогда, когда выполняется одно из трех условий:

(i) (trC)2 - 4det(C + Р)< 0, h > О

(ii) trC < 0, (trC)2 - 4det(C + P) > 0, det(C + P) > 0, h > 0

(iii) trС > 0, (trCf - 4det(C + P) > 0, det(C + P) > 0

h e (O.w^trß) U (w2t,r/?,oc)

Результаты исследований сформулированы в виде отдельной теоремы, закрывающей проблему построения критериев устойчивости но первому приближению тривиального равновесия системы с двумя степенями свободы, находящейся под действием потенциальных, следящих сил . и линейных сил вязкого трения.

Рассмотрена также механическая система с п степенями свободы свободы. С помощью алгоритма Леверье получены критерии устойчивости тривиального равновесия с малыми силами трения. Однако в этом случае не удалось построить необходимые и достаточные условия устойчивости для произвольных значениях параметра е. Уже в случае п — 3 сталкиваемся с алгебраически сложной проблемой существования е*. Здесь также остается открытым вопрос о связи £„ с топологией областей устойчивости. Таким образом, случай п ^ 3 требует отдельного рассмотрения.

В третьем параграфе первой главы формулируется проблема устойчивости по первому приближению исходной механической системы, дополненной гироскопическими силами. Показано, что в отсутствие сил трения равновесие неустойчиво. Поэтому ставится задача стабилизации равновесия гироскопическими силами при малых силах трения, превышающих некоторое пороговое значение. Получены некоторое достаточные условия такой стабилизации.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию некоторых колебаний механических систем со следящими силами, причем основное внимание уделяется зонам Циглера. Как следует из первой главы, малые силы трения

вызывают «слабую» неустойчивость равновесия. Поэтому основное внимание во второй главе посвящено вопросу построения асимптотически устойчивых предельных циклов в зонах Циглера.

Рассмотрена система с двумя степенями свободы, находящаяся под действием потенциальных, следящих сил и линейных сил вязкого трения. Уравнения Лагранжа второго рода приведены к виду, разрешенному относительно вторых производных. Далее вводится масштабирующая замена переменных, такая, что приведенные уравнения описывают колебания в малой окрестности равновесия е). Переход к главным координатам xi, х^ с помощью неособой линейной замены переменных и разложения нелинейных функций в ряд Тейлора, преобразует уравнения к виду, содержащему члены первого и второго порядка малости. Последующая замена переменных вида

х = pxei cos (pi р2е2 cos щ X = -UJiPiC] sin ipi — U)2p2^2 sin 'P2 приводит укороченные уравнения к стандартному виду многочастотной системы, содержащей быстрые и медленные переменные:

е , .

Pj — Jjsmipj

OJj

£

(fij — LJj H--fj COS (fj

U)jPj

3 = 1,2

Здесь fj представляет собой сумму двух форм: линейной (но скоростям Xj) и квадратичной (по координатам x¡ и скоростям ij).

Усреднение системы по быстрым переменным показало, что в нерезонансной ситуации исследуемая нелинейная система эквивалентна уравнениям первого приближения.-

Подробно исследован резонанс 1:2. Показано, что усредненная система допускает четыре стационарных решения, которым соответствует единствен-

ный предельный цикл в исходной системе. Получены условия их асимптотической устойчивости и показано, что устойчивые равновесия возможны только в зонах Циглера. Доказана теорема о существовании асимптотически устойчивого предельного цикла в исходных уравнениях движения. Описана область притяжения устойчивого предельного цикла. Отдельно исследуются эффекты, обусловленные бифуркациями корней характеристического уравнения.

Исследован резонанс 1:3 с помощью метода Хори-Кэмила. Нормализованная система уравнений движения допускает четыре стационарных решения. Получены достаточные условие их асимптотической устойчивости, выраженное через параметры задачи.

В третьей главе исследуется устойчивость и колебания механической системы, находящейся в горизонтальной плоскости и состоящей из двух стержней, соединенных друг с другом с помощью спиральных пружин. На свободный конец второго стержня действует следящая силы F, составляющая фиксированный угол а с осыо стержня (рис. 1).

В частном случае а = 0 двухзвенный механизм является известной системой Циглера. В работе6 описано множество положений равновесия механизма в отсутствие сил трения, построена область устойчивости по первому приближению в виде бесконечно связного множества в пространстве параметров задачи. В диссертационной работе показано, что малые силы вязкого трения слабо деформирует это множество, сохраняя сложную картину чередования областей устойчивости и неустойчивости: области устойчивости становятся областями асимптотической устойчивости за исключением узких зон Циглера, в которых развивается «слабая неустойчивость». Области неустойчивости сохраняются, незначительно увеличиваясь за счет присоединения

6 Krasilmkov P. On a discrete model of the elastic rod // Intern J. Nonlinear Sei. and Numer. Simulation. 2001. №3. P. 295 298.

Рис. 1. Двухзвеиная стержневая система

зон Циглера (рис. 2).

Показано также, что при больших силах трения разбиение пространства параметров на области устойчивости и неустойчивости сохраняется, за исключением зон Циглера, в которых равновесие стабилизируется и становится асимптотически устойчивым.

Далее исследуются автоколебания стержневой системы при резонансах 1:2 и 1:3. Получены выражения для частот ал, ш2 линейных колебаний в окрестности положения равновесия, а в плоскости параметров задачи построены резонансные кривые и>2 = 2ол, Ш2 = Зи>1-

Получены условия существования и устойчивости предельных циклов при резонансах 1:2. 1:3. Выделены участки резонансных кривых, принадлежащие зонам Циглера (согласно результатам второй главы диссертации, устойчивые предельные циклы принадлежат зонам Циглера). Для конкретных значений параметров, принадлежащих выделенным участкам кривой ш2 =

0.6:

2.5

1.5

о

2

з-

jg

7

5

10

15

20

25

Рис. 2. Область устойчивости в безразмерных параметрах (а, 7). Серым участки соответствуют точки неустойчивости, а светлые - устойчивости. Здесь 7 = где I -длина стержня, с жесткость спиральной пружины.

, аналитически построен устойчивый предельный цикл в проекции на плоскость (х\, 22); проведены численные расчеты фазовых кривых, начальные значения которых взяты из области притяжения предельного цикла. Получилось асимптотическое стремление изображающей точки к устойчивому предельному циклу.

Список публикаций

|1] Baikov А.Е., Krasilnokov P.S. On the destabilization paradox in system with two degrees of freedom // Устойчивость управления и динамики твердого тела: Тезисы докладов X международной конференции. Донецк: Ин-т прикл. математики и механики НАНУ, 2008. С. 108-109.

[2] Байков А.Е. О предельном цикле в зоне Циглера при резонансе 1:2 // Симбирская молодежная научная школа по аналитической динамике, ус-

тойчивости и управлению движениями и процессами: Тезисы докладов. Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2009. С. 35.

[3] Вайков А.Е., Красильников П.С. Об устойчивости потенциальной механической системы со следящими и диссипативными силами// ESMC Lisbon 2009 Mmisymposium MS-4 Kinetics, Control and Vibroheology KIN-CONVIB - 2009. P. 81-96.

[4] Байков A.E., Красильников П.С. Об эффекте Циглера в неконсервативной механической системе // ПММ. 2010. Т. 74, Вып. 1. С. 74-88.

[5] Байков А.Е. Резонанс 3:1 в неконсервативной системе с двумя степенями свободы// Всероссийский Семинар «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением»: Тезисы докладов. Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2010. С.И.

[6] Байков А.Е. Предельный цикл при .резонансе 1:2 в неконсервативной системе // ПММ. 2011. Т. 75, Вып. 3. С. 385-396.

Множительный центр МАИ (ГТУ) Заказ от экз.

Введение

Глава 1. "Устойчивость равновесия линейных неконсервативных систем.

§1. Влияние малых сил трения на устойчивость равновесия и эффект Циглера.

§2. Стабилизация равновесия большими силами трения

§3. Устойчивость равновесия линейных систем с гироскопическими силами.

Глава 2. Предельные циклы в неконсервативных системах

§1. Существование и устойчивость предельного цикла при резонансе 1:2.

§2. Оценка области притяжения предельного цикла.

§3. Предельный цикл при резонансе 1:3 (существование и устойчивость)

Глава 3. Устойчивость и колебания двухзвенной стержневой системы.

§1. Двухзвенная стержневая система: устойчивость равновесия

§2. Колебания двухзвенной стержневой системы.

Диссертационная работа посвящена исследованию устойчивости и колебаний механических систем с конечным числом степеней свободы, находящихся под действием как потенциальных, так и непотенциальных (неконсервативных) сил. Под неконсервативными силами мы подразумеваем диссипативные силы, а также позиционные силы, не допускающие потенциала. Последние силы часто называют циркуляционными [1, 2], следящими [3] или силами радиальной коррекции [4]. К неконсервативным силам относят также гироскопические силы. Совокупное влияние потенциальных, диссипативных, неконсервативных позиционных и гироскопических сил на поведение механической системы требует отдельного изучения. В тексте диссертации мы только кратко касаемся некоторых аспектов этой задачи.

Интерес к неконсервативным задачам со следящими силами появился, как известно, после работ Эйлера, в которых он исследовал устойчивость форм равновесия упругой балки. Последующее изучение области применимости метода Эйлера в задачах устойчивости упругих систем показало, что если внешние силы неконсервативны, то метод Эйлера становится, вообще говоря, непригодным. Основным методом исследования неконсервативных задач теории упругости является метод, основанный на рассмотрении колебаний системы вблизи положения равновесия, что сближает его с общей теорией устойчивости и классической механикой.

Приближенное исследование поведения упругих систем на основе конечномерных моделей получило широкое распространение и выявило ряд удивительных свойств упругих систем: «негативизм», когда совместное влияние следящей силы и внешнего момента ведет к эффекту «отрицательной» жесткости, эффект Циглера [5], когда сколь угодно малые по модулю силы вязкого трения дестабилизируют равновесие системы, устойчивое в отсутствие сил трения, и другие эффекты.

Проблемы устойчивости и колебаний неконсервативных систем возникают при проектировании конструкций в машиностроении, авиации, ракетной технике и т.д. Большое количество работ по устойчивости неконсервативных систем относится к аэроупругости [6, 7]. Неконсервативные задачи возникают в теории двуногой ходьбы [8, 9]. Другим примером являются большие космические конструкции [10].

Моделирование динамики ракетоносителей (РН) напрямую связано с исследованием колебаний неконсервативных систем. К примеру, одной из важных и мало изученных задач в динамике РН является задача о влиянии диссипативных сил на устойчивость движения РН, когда система находится под воздействием неконсервативных позиционных сил [11]. Известно, что в некоторых случаях малые силы трения усиливают динамическую неустойчивость системы (из-за наличия дополнительных позиционных неконсервативных сил). Так, совокупное влияние сил аэродинамического сопротивления и реактивной силы тяги двигателя может привести к усилению поперечных колебаний РН; сила сопротивления и реактивная сила истечения жидкого топлива из конца заправочного шланга, соединяющего летательные аппараты во время дозаправки их в полете, может также привести к сильным поперечным колебаниям шланга.

Диссертация посвящена получению условий устойчивости движений механических систем с конечным числом степеней свободы при наличии позиционных неконсервативных сил и анализу колебаний в зонах Циглера (зонах неустойчивости). Исследуются области устойчивости и неустойчивости равновесных конфигураций двухзвенного механизма, находящегося под действием сосредоточенной следящей силы, составляющей фиксированный угол с нормалью к торцевому сечению стержня. В простейшем случае эта модель описывает динамику заправочного шланга, находящегося под действием реактивной силы истечения жидкости. Исследуются его автоколебания в зонах Циглера.

Задачам устойчивости неконсервативных систем посвящено большое количество статей и монографий, среди которых отметим работы В.В. Болотина [12], Я.Г. Пановко и И.И. Губановой [13], Дж. Херманна [14], Г. Циглера [15], Д.Р. Меркина [16], С.А. Агафонова [17], В.М. Лахаданова [18], A.B. Карапетяна [19], A.A. Зевина [20].

Наибольшую известность среди неконсервативных задач получил парадокс дестабилизации (или эффект Циглера в настоящей работе) [5]. Изучению этого явления посвящен целый ряд работ [15, 21]. В монографии [16] эффект Циглера рассматривается как частный случай проблемы устойчивости по первому приближению равновесия механической системы с конечным числом степеней свободы, находящейся под действием потенциальных, неконсервативных позиционных сил и линейных сил вязкого трения. Перечисленные выше работы содержат результаты, описывающие достаточные, либо необходимые условия такой устойчивости.

Отсутствие критерия устойчивости, и как следствие, критериев существования эффекта Циглера объясняется алгебраической сложностью задачи. Так как характеристический полином содержит все коэффициенты при степенях А, то неравенства, отвечающие критерию Рауса-Гурвица, имеют весьма сложный вид. Их сложно исследовать на совместность, открытым остается вопрос о приведении неравенств к простейшему виду, когда критерий устойчивости имеют наглядный вид.

К перечисленным выше задачам тесно примыкает обширная работа по устойчивости быстро вращающихся валов [13]. Как известно, силы внутреннего трения в материале способствуют затуханию колебаний, когда вал вращается со скоростью, меньшей первой критической. При скоростях, превышающих критическую, силы внутреннего трения оказываются направленными не против вращательного движения, а по направлению движения, что может приводить к раскачке колебаний системы. В этих задачах именно вязкость материла вала приводит к появлению (по крайней мере в первом приближении) неконсервативных позиционных сил.

Диссертация состоит из трех глав: I. Устойчивость равновесия линейных неконсервативных систем. II. Предельные циклы в неконсервативных системах. III. Устойчивость и колебания двухзвенной стержневой системы.

Первая глава посвящена исследованию устойчивости равновесия механической системы с идеальными стационарными голономными связями, находящейся под действием потенциальных, неконсервативных позиционных сил и диссипативных сил вязкого трения. Движение системы описывается уравнениями Лагранжа 2-го рода. Предполагается наличие у системы изолированного равновесия д = д = 0.

Уравнения первого приближения приведены к нормальным координатам. Рассматривается задача устойчивости при малых силах трения (коэффициент трения е много меньше единицы). Используя теорему о неявной функции, построены необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости по первому приближению в виде достаточно простых неравенств, накладываемых на параметры задачи. Из этих результатов явствует критерий существования эффекта Циглера и необходимое условие существования такого эффекта - наличие следящих сил в системе. Вводится понятие зоны Циглера. Она представляет собой область в пространстве параметров, в которой равновесие устойчиво в отсутствие сил трения и неустойчиво при добавлении линейных диссипа-тивных сил, сколь угодно малых по величине. Далее рассмотрен случай больших сил трения. Используя простые физические соображения, основанные на существовании критического значения £* коэффициента трения (при котором неустойчивость равновесия сменяется асимптотической устойчивостью), был получен критерий устойчивости по первому приближению при любых значениях сил трения. Результаты исследований были сформулированы в виде отдельной теоремы, закрывающей проблему построения критерия устойчивости по первому приближению тривиального равновесия системы с двумя степенями свободы, находящейся под действием потенциальных, неконсервативных позиционных сил и линейных сил вязкого трения.

Рассмотрена также механическая система с п степенями свободы свободы; с помощью теоремы о неявной функции получен критерий устойчивости тривиального равновесия с малыми силами трения. Однако, в этом случае не удалось построить критерий устойчивости для произвольных значений параметра е. Уже для случая п = 3 сталкиваемся с алгебраически сложной проблемой существования критического значения £*. Здесь также остается открытым вопрос о связи е* с топологией областей устойчивости. Таким образом, случай п ^ 3 требует отдельного рассмотрения.

В третьем параграфе первой главы формулируется проблема устойчивости по первому приближению исходной механической системы, дополненной гироскопическими силами. Показано, что в отсутствие сил трения равновесие неустойчиво. Поэтому ставится задача стабилизации равновесия гироскопическими силами при малых силах трения, превышающих некоторое пороговое значение. Получено некоторое достаточные условия такой стабилизации.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию некоторых колебаний механических систем с неконсервативными позиционными силами, причем основное внимание уделяется колебаниям в зоне Цигле-ра. Оказывается, малые силы трения могут вызвать «слабую неустойчивость» равновесия. Ее можно трактовать как устойчивость в области 6?, если фазовые кривые не покидают области С [22]. В неконсервативных системах причиной «запирания» фазовых кривых в С? может быть глобальный аттрактор - глобально асимптотически устойчивый предельный цикл. На возможность появления предельных циклов в системах со следящими силами указывал еще В.В. Болотин [12], который считал, что «парное взаимодействие степеней свобод» может вызвать приток энергии в систему. В этом случае, как известно, диссипация энергии, вызванная силами вязкого трения, может при определенных условиях привести к некоторому «энергетическому балансу», при котором в системе появляются ограниченные незатухающие колебания. Поэтому основное внимание во второй главе посвящено вопросу построения асимптотически устойчивых предельных циклов в зонах Циглера.

Рассматривается система с двумя степенями свободы, находящаяся под действием потенциальных, неконсервативных позиционных сил и линейных сил вязкого трения. Уравнения Лагранжа второго рода приведены к виду, разрешенному относительно вторых производных. Далее вводится масштабирующая замена переменных, такая, что приведенные уравнения описывают колебания в малой окрестности равновесия е). Переход к главным координатам с помощью невырожденной линейной замены переменных и разложение нелинейных функций в ряд Тейлора преобразует уравнения к виду, содержащему члены первого и второго порядка малости. Последующая замена переменных приводит укороченные уравнения к стандартному виду многочастотной системы, содержащей быстрые и медленные переменные. Усреднение системы по быстрым переменным показало, что в нерезонансной ситуации исследуемая система эквивалентна уравнениям первого приближения.

Подробно исследован резонанс 1:2. Получены условия асимптотической устойчивости особых точек усредненной системы и показано, что устойчивость возможна только в зонах Циглера. Доказана теорема о существовании устойчивого предельного цикла в исходных уравнениях движения. Показано, что предельный цикл является глобально притягивающим, описана область притяжения. Отдельно исследуются эффекты, обусловленные бифуркациями корней характеристического уравнения.

Исследован резонанс 1:3 с помощью метода Хори-Кэмила. Нормализованная система уравнений движения допускает четыре особые точки. Получено достаточное условие их асимптотической устойчивости, выраженное через параметры задачи.

В третьей главе результаты первых двух глав применяются для исследования устойчивости равновесия двухзвенной системы, расположенной на идеально гладкой горизонтальной плоскости и нагруженной постоянной по модулю следящей силой, образующей со вторым стержнем постоянный угол а. В частном случае а = 0 двухзвенный механизм является известной системой Циглера [5]. В работе [23] описано множество положений равновесия механизма в отсутствие сил трения, описан эффект «отрицательной» жесткости, получена область устойчивости по первому приближению в виде множества в пространстве параметров, состоящего из счетного числа компонент связности. В первом параграфе показано, что малые силы вязкого трения слабо деформирует это множество, сохраняя сложную картину чередования областей устойчивости и неустойчивости. Области устойчивости становятся областями асимптотической устойчивости за исключением узких зон Циглера, а области неустойчивости практически сохраняются, незначительно увеличиваясь за счет присоединения зон Циглера. Показано также, что при больших силах трения картина разбиения пространства параметров на области устойчивости и неустойчивости сохраняется, за исключением зон Циглера. В зонах Циглера равновесие стабилизируется и становится асимптотически устойчивым.

Далее, во втором параграфе, исследуются автоколебания стержневой системы при резонансах 1:2 и 1:3. Получены выражения для частот и>1 и Ш2 линейных колебаний в окрестности положения равновесия, а в плоскости параметров задачи построены резонансные кривые и>2 = 2а>1, Ш2 = Зи^.

Получены условия существования и устойчивости предельных циклов при резонансах 1:2,1:3. Выделены участки резонансных кривых, принадлежащие зонам Циглера (согласно результатам второй главы диссертации устойчивые предельные циклы возникают только в зонах Циглера) . Для конкретных значений параметров, принадлежащих выделенным участкам кривой (¿2 = 2^, аналитически построен устойчивый предельный цикл в проекции на плоскость (¡гх,^); проведены численные расчеты фазовых кривых, начальные значения которых взяты из области притяжения предельного цикла. Получилось асимптотическое стремление изображающей точки к устойчивому предельному циклу.

Основные результаты диссертации изложены в статьях [24, 25]; докладывались на 10 Международной конференции «Устойчивость, управление и динамика твердого тела» (Донецк, 2008 г.) [26], на Симбирской молодежной научной школе по аналитической динамике, устойчивости и управлению движениями и процессами (Ульяновск, 2009 г.) [27], на Всероссийском Семинаре «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Ульяновск, 2010 г.) [28]. Также результаты докладывались на семинаре им. В.В. Румянцева по аналитической механике и теории устойчивости в МГУ и на семинаре «Динамические системы и механика» в МАИ.

Заключение

1. В явном виде получены необходимые и достаточные условия устойчивости по первому приближению положения равновесия механической системы с двумя степенями свободы с голономными и стационарными связями, находящейся под действием потенциальных, неконсервативных позиционных сил и линейных сил вязкого трения, произвольных по модулю.

2. Получены в явном виде необходимые и достаточные условия устойчивости положения равновесия такой системы с п степенями свободы, когда силы трения малы.

3. Получены достаточные условия существования в зонах Циглера устойчивых предельных циклов механической системы с двумя степенями свободы при резонансах 1:2 и 1:3. Получена оценка области притяжения предельного цикла при резонансе 1:2. Предельный цикл при резонансе 1:3 исследован на асимптотическую устойчивость.

4. Исследована динамика механической системы, расположенной на горизонтальной плоскости, состоящей из двух стержней, соединенных с помощью спиральных пружин. На свободный конец второго стержня действует следящая сила. Построены бесконечно связные области устойчивости положений равновесия системы, зоны Циглера. Исследованы автоколебания системы при резонансах 1:2 и 1:3.

1. Ziegler Н. Linear Elastic Stability. A. Critical Analysis of Methods. ZAMP. Basel-Zurich. 1.. F-2. 1953.

2. Wehrli C., Ziegler H. Zur Klassifikation von Kräften. Schweiz. Bauzeitung 84. №48. 1996.

3. Джанилидзе Г.Ю. Об устойчивости стержня при действии следящей силы. Тр. Ленинградского политехнического института, №192, 1958.

4. Меркин Д.Р. Гироскопические системы. М.: Наука, Гостехиздат. 1974.

5. Ziegler Н. Die Stabilitatskriterien der Elastomechanik // Ing. Arch. 1952. Bd. 20. H 1. S. 49-56.

6. Гроссман Е.П. Флаттер // Труды ЦАГИ. 1937. Вып. 284. 248 с.

7. Bisplinghoff R.L., Ashley Н. Principles of aeroelasticity. 1975. New York. Dover.

8. Белецкий B.B. Прикладные задачи устойчивости. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша, 1990. № 121. 28 с.

9. Белецкий В.В., Голубицкая М.Д. Стабилизация и экстремальные свойства резонансных режимов двуногой ходьбы // ПММ. 1991. Т. 55. Вып. 2. С. 193-200.

10. Баничук Н.В., Карпов И.И., Климов Д.М., Маркеев А.П., Соколов Б.Н., Шаранюк A.B. Механика больших космических конструкций. М.: «Факториал», 1997 302 с.

11. Рабинович Б.И. Введение в динамику ракет-носителей космических аппаратов М., "Машиностроение 1975, 416 с.

12. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматгиз, 1961. 339 с.

13. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки. М.: Наука. 1964. 336 с.

14. Herrman G. Stability of Equilibrium of Elastic Systems Subjected to Nonconservative Forces // Appl. Mech. Rev. 1967. Vol. 20. P. 103-108.

15. Циглер Г. Основы теории устойчивости конструкций. М.: Мир, 1971. 192 с.

16. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1976. 319 с.

17. Агафонов С.А. Об устойчивости неконсервативных систем // Вестник МГУ. Математика, механика. 1972. №4. С. 87-90.

18. Лахаданов В.М. О влиянии структуры сил на устойчивость движения // ПММ. 1974. Т. 38. Вып. 2. С. 246-253.

19. Карапетян A.B. Об устойчивости неконсервативных систем // Вестник МГУ. Математика и механика. 1975. №4. С. 109-113.

20. Зевин A.A. К теории линейных неконсервативных систем // ПММ. 1988. Т. 52. Вып. 3. С. 386 391.

21. Сейранян А.П. Парадокс дестабилизации в задачах устойчивости неконсервативных систем // Успехи механики. 1990. Т. 13. №2. С. 89-124.

22. Каменков Г.В. Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика. М.: Наука, 1971.

23. Krasilnikov P. On a discrete model of the elastic rod // Intern J. Nonlinear Sci. and Numer. Simulation. 2001. №3. P. 295-298.

24. Байков A.E., Красильников П.С. Об эффекте Циглера в неконсервативной механической системе // ПММ. 2010. Т. 74, Вып. 1. С. 74-88.

25. Байков А.Е. Предельный цикл при резонансе 1:2 в неконсервативной системе // ПММ. 2011. Т. 75, Вып. 3. С. 385-396.

26. Байков А.Е. О предельном цикле в зоне Циглера при резонансе 1:2 // Симбирская молодежная научная школа по аналитической динамике, устойчивости и управлению движениями и процессами: Тезисы докладов. Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2009. С. 35.

27. Байков А.Е. Резонанс 3:1 в неконсервативной системе с двумя степенями свободы// Всероссийский Семинар «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением»: Тезисы докладов. Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2010. С.11.

28. В. Г. Демин, И. И. Косенко, П. С. Красильников, С. Д. Фурта. Избранные задачи небесной механики. Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет 1999. - 210с.

29. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976. 351 с.

30. Кириллов О.Н. Об устойчивости неконсервативных систем с малой диссипацией // Современная математика и ее приложения. 2005. Т. 36. С. 107-117.

31. Агафонов С.А. К вопросу устойчивости неконсервативных систем // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. № 1. С. 47-51.

32. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977. 650 с.

33. Сейранян А.П. О стабилизации неконсервативных систем диссипативными силами и неопределенности критической нагрузки // Доклады Академии Наук. 1996. Т. 348. №3. С. 323-326.

34. Майлыбаев А.А., Сейранян А.П. Особенности границ областей устойчивости // ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 6. С. 984-995.

35. Kirillov O.N. Gyroscopic Stabilization in the Presence of Nonconserva-tive Forces // Doklady Mathematics, 2007, Vol. 76, No. 2, pp. 780-785.

36. Пановко Я.Г., Сорокин С.В. О квазиустойчивости упруговязких систем со следящими силами // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. Том 5. С. 135-139.

37. Herrmann, G., Jong I.-C. On nonconservative stability problems of elastic systems with slight damping // Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. 1966. Vol. 33, No. 1. P. 125-133.

38. Лурье А.И. Аналитическая механика. M.: Физматгиз. 1961. 824 с.

39. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. 503 с.

40. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ижевск: Ижевская республиканская типография. 2000. 368 с.

41. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.:Мир, 1980. 300 с.

42. Sanders J.A., Verhulst F. Averaging Methods in Nonlinear Dynamical Systems. Springer, etc. 1985. 247 p.

43. Ahmed Aly Kamel. Perturbation Method in the Theory of Nonlinear Oscillations. Celestial Mechanics 3 (1970). p. 90-106.

44. Докучаев Л.В. Нелинейная динамика летательных аппаратов с деформируемыми элементами, М.: Машиностроение, 1987, 231 с.

45. Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1979. 252 с.