Влияние спектрального состава на устойчивость механических систем при неконсервативном нагружении

Щугорев, Алексей Владимирович

Влияние спектрального состава на устойчивость механических систем при неконсервативном нагружении тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

Щугорев, Алексей Владимирович АВТОР

кандидата технических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Влияние спектрального состава на устойчивость механических систем при неконсервативном нагружении»

Автореферат диссертации на тему "Влияние спектрального состава на устойчивость механических систем при неконсервативном нагружении"

На правах рукописи УДК 539.3.001.573(043.3)

Щугорев Алексей Владимирович

ВЛИЯНИЕ СПЕКТРАЛЬНОГО СОСТАВА НА УСТОЙЧИВОСТЬ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ НЕКОНСЕРВАТИВНОМ НАГРУЖЕНИИ

01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

- з июн 2010

Москва-2010

004603355

Работа выполнена в Московском энергетическом институте (техническом университете) на кафедре динамики и прочности машин

Научный руководитель:

-кандидат технических наук, профессор Радин Владимир Павлович

Официальные оппоненты: -доктор технических наук, профессор

Перов Виктор Александрович •доктор технических наук, профессор Пановко Григорий Яковлевич

Ведущая организация

- Институт Проблем Механики им. А.Ю. Ишликского РАН

Защита диссертации состоится «4» июня 2010 г. в 15:00 в аудитории Б-112 на заседании диссертационного совета Д-212.157.11 при Московском энергетическом институте (техническом университете) по адресу: 111250 Москва, Красноказарменная ул., д. 17.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского энергетического института (технического университета)

Ваш отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью, просьба отправлять по вышеуказанному адресу.

Автореферат разослан «Зс » _2010 г.

Учёный секретарь

Трифонов О.В.

диссертационного совета

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Многие элементы конструкций объектов современной техники находятся в условиях нагружения неконсервативными силами. Динамическое поведение конструкций в этом случае имеет ряд особенностей, которые необходимо учитывать при расчете на устойчивость. Например, явление динамической неустойчивости (флаттера) определяется взаимодействием между различными формами колебаний системы. Поэтому критические значения неконсервативных нагрузок существенно зависят от характеристик собственных колебаний механической системы, в частности, от близости низших собственных частот. С практической точки зрения важным представляется исследование влияния спектрального состава механической системы на критические значения нагрузок и на положение границ областей устойчивости в пространстве параметров. Спектральные характеристики могуч меняться при наличии каких-либо дополнительных связей с переменными параметрами жесткости. Вопросы связанные с устойчивостью неконсервативных систем ранее исследовались в работах Болотина, Циглера, Сейраняна, Лейлхольца, Жинжера, но подробного систематического анализа влияния спектрального состава на устойчивость не проводилось.

Работы по теме диссертации выполнялись при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 03-01-00656) и ФЦНТП (государственный контракт № 02.445.11.7465).

Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование влияния спектрального состава механических систем на их устойчивость по отношению к неконсервативным нагрузкам. Нужно было рассмотреть ряд механических систем, содержащих различные упругие или вязкоупругие элементы, изменение жесткости которых ведет к изменению характеристик собственных колебаний. В консервативных системах увеличение жесткостных характеристик ведет, как правило, к увеличению значений критических нагрузок. В механических системах при неконсервативном нагружении величина критических нагрузок во многом определяется взаимодействием различных форм колебаний. Поэтому с практической точки зрения весьма важно установить, как повлияют на критические значения параметров нагружения и, вообще, на положение границ областей устойчивости изменение жесткости некоторых дополнительных элементов, установленных, например, с целью повышения механической надежности и приводящих к изменению спектральных характеристик системы. Для решения поставленной задачи разрабатывались алгоритмы и программы для реализации динамического метода исследования устойчивости.

Методы исследования. Исследование устойчивости механических систем в условиях неконсервативкого нагружения проводилось с использованием динамического метода. При определении критических значений параметров нагружения и построении границ областей устойчивости в пространстве параметров использовалось непосредственное решение несамосопряженной краевой задачи на собственные значения и метод разложения по формам собственных

колебаний. Характер поведения некоторых нелинейных систем в закритической стадии исследовался непосредственным интегрированием уравнений движения с построением сечений Пуанкаре.

Научная новизна. В работе впервые проведено систематическое исследование влияния спектрального состава механических систем на устойчивость при неконсервативном нагружении с использованием современных средств вычислительной математики и техники. Подтверждены ранее опубликованные и обнаружены новые эффекты, присущие неконсервативным системам при изменении спектрального состава.

Достоверность полученных результатов. Достоверность результатов обеспечивается применением строгих математических методов исследования, сопоставлением результатов, полученных различными методами, решением большого числа тестовых задач и сравнением ряда результатов с результатами, полученными другими авторами.

Практическая ценность. Полученные в работе результаты имеют теоретическое и практическое значение. Они позволяют уточнить существующее представление о влиянии спектральных характеристик механических систем на их устойчивость при неконсервативном нагружении. Большинство результатов и выводов могут быть использованы при проектировании и расчете на устойчивость элементов конструкций.

На защиту выносятся: результаты исследования зависимостей критических значений нагрузок от варьируемых параметров для ряда неконсервативных систем с переменным спектральным составом; некоторые обнаруженные в результате исследования новые эффекты, такие как неодносвязность областей устойчивости, независимость критического значения следящей силы от жесткости упругой опоры, различные виды закритического поведения, такие как вторичная дивергенция, присущие неконсервативным системам как по структуре областей устойчивости, так и по характеру закритического поведения; рекомендации но обеспечению устойчивости механических систем, вытекающих из результатов исследования.

Апробация работы и публикации. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

- Международной научно-технической конференции «Вычислительная механика деформируемого твердого тела» (Москва, 2006);

- Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 2007);

- Международной научно-технической конференции студентов и аспирантов «Радиотехника, электротехника и энергетика» (Москва, 2007, 2008, 2009,2010);

- Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Москва-Ярополец, 2007, 2008, 2009).

По теме диссертации в соавторстве опубликовано 6 статей, подготовлено и принято к печати учебное пособие «Методы исследования устойчивости неконсервативных механических систем»

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, сводки результатов и выводов, списка литературы из 77 наименований. Объем работы - 149 страниц основного текста, включая 71 рисунок.

Краткое содержание работы

Во введении отмечается особенность расчетов на устойчивость механических систем, находящихся в условиях неконсервативного нагружения. Приводится обоснование важности и актуальности темы диссертации. Дается краткое содержание диссертации.

В первой гл.асг дается краткий исторический обзор работ по решению задач устойчивости механических систем при неконсервативном нагружении. Отмечаются особенности неконсервативкых задач теории упругой устойчивости.

Во второй главе в краткой форме даются элементы теории устойчивости механических систем, включая определения устойчивости для дискретных и распределенных систем. Формулируются основные теоремы Ляпунова. На основе нелинейных уравнений динамической теории упругости выводятся уравнения в вариациях для упругого тела. Приводится постановка задачи об устойчивости упругих систем при действии сил, явно не зависящих от времени. Формулируются статический и динамический методы исследования устойчивости и области их применения.

Основное содержание второй главы составляет изложение методов определения критических значений нагрузок и построения границ областей устойчивости в пространстве параметров для систем с распределенными параметрами. Применение методов иллюстрируется на классических примерах: стержень при непотенциальном нагружении и трубопровод с протекающей жидкостью. Проводится сравнение приближенного и точного методов.

Построение границ областей устойчивости для линейных распределенных систем может быть проведено двумя способами: непосредственным решением однородной краевой задачи на собственные значения и применением метода разложения по формам собственных колебаний. В первом случае приходим к трансцендентному уравнению, которое связывает параметры системы и характеристические показатели. Во втором - к обобщенной алгебраической задаче на собственные значения. Численная реализация методов проводилась с помощью вычислительной системы МаЙаЬ.

Рассмотрим консольный стержень длиной /, находящийся под действием постоянных по величине потенциальной (мертвой) () и следящей Р сил. Уравнение возмущенного движения в окрестности прямолинейной формы равновесия и граничные условия с помощью безразмерных параметров и в общепринятых обозначениях

с Х

£ = т = еу,

12\т

запишем виде

Решение уравнения представим в виде л^л) = IV (^)ехр(л-г), где фор-

ма потери устойчивости, Х-характеристический показатель, определяющий поведение решения во времени. Если действительные части всех характеристических показателей X отрицательные, то решение затухает во времени, и прямолинейная форма равновесия стержня (тривиальное решение уравнения) является устойчивой. Неустойчивость (дивергенция или флаттер) наступает тогда, когда хотя бы один из характеристических показателей переходит в правую полуплоскость, т.е. его действительная часть становится положительной. Для определения и X получаем обобщенную задачу на собственные значения, нетривиальное решение которой приводит к трансцендентному уравнению

Здесь через Д(а,(ЗД) обозначен определитель матрицы размерностью 4x4, г, - корни алгебраического уравнения г4 (1 + ]Ц) + (а + р)г2 + Х2 + 2Хге = 0.

Это уравнение представляет собой неявную зависимость характеристических показателей от параметров краевой задачи. Критической поверхности соответствует совокупность значений параметров а и Р, при которых хотя бы один из характеристических показателей X пересекает мнимую ось. Если это пересечение происходит через начало координат X = 0 плоскости Нел,1т/., то соответствующие значения а и (3 соответствуют дивергентному типу потери устойчивости. В других случаях, т.е. когда 1'еЛ = 0, а 1шX Ф 0, то имеет место колебательный тип потери устойчивости - флаттер.

Функция А(а,(5,Х) является комплекснозначной. Комплексное выражение обращается в нуль тогда и только тогда, когда равен нулю его модуль ¡Л(сс,РД)]. Но модуль комплексного числа не может быть отрицательным. Таким образом, любой корень X уравнения (2.23) является одновременно и точкой абсолютного локального (ввиду дискретности множества корней) минимума модуля левой части уравнения. При вычислениях задача поиска абсолютного минимума функции |д(а,(ЗД)| решалась с привлечением функции бшпБеасИ

= 0,

[(1 + е,.Х>.3 + аг,]ег> ... Г(1 + е,Х)г42 + аг4]е'

вычислительной системы Ма'ЛаЬ. Алгоритм этой функции основан на модифицированном симплекс-методе (методе Нелдера-Мида). При фиксированных значениях а и Р действительная функция |д(а,(ЗД)| рассматривается как

функция действительной н мнимой частей характеристического показателя X. В качестве первого приближения принимаются собственные частоты консольного стержня с поправкой на демпфирование.

Для применения метода разложения по формам собственных колебаний решение т) уравнения возмущенного движения представлялось в виде

и,(^,т) = ц7'(т)ф(4), где я(т)- вектор обобщенных координат, ф(£)~ вектор форм собственных колебаний стержня. Применение процедуры метода Бубно-ва-Галеркина приводит к уравнению

Ач + (2гс А + е,С)с} + [С + (а + р)Б - ссВ]я = 0. Матрицы А,В,С и Б размерностью пхп, где п- число удерживаемых членов. определяющих размерность векторов ц(т) и ф(^), вычисляются интегрированием произведений форм и их производных.

Представляя вектор обобщенных координат в виде я (т) = ехр(Ят) относительно характеристических показателей X получаем алгебраическую проблему собственных значений в виде матричного полинома

Р2Я,2+Р,Я. + Р0=0.

Точность построения границ области устойчивости методом нормальных координат зависит от числа удерживаемых членов в разложении (2.30). На рис. 1 на плоскости параметров нагружения а,Р сплошными линиями отмечена точная граница области устойчивости. Штриховой, штрихпунктирной и пунктирной линиями показаны границы, построенные с использованием двух, четырех и шести членов ряда в разложении т). Числа у кривых на рисунке соответствуют значению числа членов ряда п. Граница, полученная с использованием п = 8, практически сливается с границей, построенной с использованием точного метода решения краевой задачи на собственные значения. Следует также отметить, что наибольшие отклонения метода разложения по формам собственных колебаний наблюдаются в окрестности угловой точки границы, где происходит смена типа потери устойчивости.

В качестве второго примера неконсервативной системы рассмотрена задача об устойчивости консолыго закрепленного участка трубопровода с протекающей жидкостью. За параметры системы здесь приняты: а-параметр, характеризующий расход жидкости и ц - относительная погонная масса жидкости. На рис. 2 на плоскости ц, а приведены результаты вычислений границы области устойчивости двумя выше изложенными методами. Точная граница флаттера, показана сплошной линией. Область устойчивости расположена ниже этой линии. Пунктирные, штриховая и штрихпункткрная линии соответствуют вычислениям при различном числе членов ряда, на что указывают числа, стоящие у кривых. Из рисунка следует, что граница флаттера имеет достаточно

сложную конфигурацию с наличием участков немонотонной зависимости а(|д). Чтобы достаточно точно построить границу при использовании метода разложения по собственным формам колебаний необходимо удержание не менее восьми членов ряда.

\ Флаттер

С—

Устойчивость

г'''

я /4

Дивергенция

0 2,5 5 а

Рис. 1

Границы области устойчивости, полученные с удержанием различного числа членов ряда

0,25

0,75

Рис.2

Граница области устойчивости для участка трубопровода с протекающей жидкостью

Третья глава посвящена исследованию устойчивости и закритического поведения двухзвенного маятника с дополнительной связью. Маятник находится под действием потенциальной («мертвой») силы Q и следящей силы Р. Система имеет дополнительный элемент в виде горизонтальной вязкоупругой связи, соединяющей конец второго звена с основанием. Уравнения движения относительно вектора угловых перемещений <рт=(ф,,ф2), в окрестности исследуемого на устойчивость положения равновесия <р = 0 примем в виде

А(ф)ф + в(Ф)ф.2 + В(ф)ф + С,ф - аЪ (Ф) + № (ф) + уР3(Ф) = О,

где под А, С, В, Сь Р., Р2, Рз обозначены матрицы, состоящие из тригонометрических функций.

В уравнении под ф.2 в нотации вычислительной системы МаОаЬ, в которой были проведены все вычисления, понимается вектор, компонентами которого являются квадраты обобщенных скоростей. Там также принято, что массы стержней, приведенные к их концам, их длины, а также жесткости упругих связей в первом и втором шарнирах одинаковы, т.е. т1 = т2 = т, с, = с2 г с, /, = = / и введены следующие безразмерные параметры:

Ь, со„

О)

Р1

где с0,Ь0 -жесткость и коэффициент вязкого трения дополнительной связи Полагая ф = ф = 0 при некоторых значениях параметров нагружения а и Р определялись положения равновесия системы. Задача о локальной устойчивости тривиального положения равновесия приводит к характеристическому полиному

А?.2+ВА. + С = 0,

2 1 е1 + е2 ~е2 1 Г

В =

_1 1 . -Б2

2 - Г "1 0" "-1 1 "1 Г

~а + Р + у

-1 1 0 1 0 0 1 1

Граница области дивергенции, соответствующая выходу характеристического показателя к в правую полуплоскость через начало координат, в пространстве параметров сс,Р,у определяется уравнением

а2-За + аВ + 1 у =--—.

2а + 2р - 5

На рис. 3 представлены зависимости критического значения параметра следящей силы а, (у) от жесткости дополнительной связи при различных значениях параметра следящей силы Р. Если Р = 0, то а, монотонно возрастает от значения а, = ^3-л/5|/2и0,382 при у = 0 (связь отсутствует) до а, =2,5 при у оо (шарнирное закрепление верхнего конца второго звена маятника). При возрастании р от нуля до значения 0,215 кривая а.(у), несколько уменьшая свои значения, ведет себя также, что и при значении Р = 0. Тип потери устойчивости - дивергенция. При Р = 0,215 в окрестности точки у = 1,65 и а = 1,9 внутри области устойчивости зарождается изолированная область флаттера эллиптической формы.

Рис. 3 Рис. 4

Зависимость критического значения Зависимость критического значения

потенциальной силы следящей силы

от жесткости связи при ¡5 = const от жесткости связи при а = const

С дальнейшим ростом параметра р эта эллиптическая область флаттера увеличивается и при Р = 0,4 (эта кривая отмечена на рис. 3 штриховой линией) граница области флаттера разрывает границу области дивергенции. Так, например, граница устойчивости для случая Р = 0,75 состоит из кривых АВ и CD, соответствующих дивергенции, а пересечение линии ВС вызывает потерю устойчивости системы по типу флаттер. При больших значениях параметра Р>1 кривая а,(у) состоит из двух участков: границы флаттера и границы дивергенции.

Аналогичные численные исследования проведены для зависимости Р,(у) при различных фиксированных значениях а (рис. 4). Здесь так же, как и в предыдущем случае, кривая р,(у) состоит из характерных частей. Например, для а = 1 участки АВ и CD - это границы, пересечение которых соответствует дивергенции, а участок ВС - это граница флаттера. Для каждого значения а существует такое значение у,, что при у>у» возможны только дивергентные формы потери устойчивости.

Варьирование жесткости связи у приводит к существенному изменению границы области устойчивости на плоскости а,Р (см. рис. 5, где границы области устойчивости для различных значений жесткости дополнительной связи у отмечены различными типами линий). Малые значения у (у < 0,94) увеличивают границу области флаттера ВС и уменьшают границу области дивергенции CD. При этом увеличивается и критическое значение следящей нагрузки В, для а = 0. Дальнейшее увеличение жесткости связи приводит к появлению при малых значениях параметра потенциальной силы а. дополнительной границы области дивергенции АВ. Границы области дивергенции АВ и CD увеличиваются и при у = 1,55 смыкаются, а граница области флаттера эллиптической формы ограничивает изолированную область неустойчивости. Тип потери устойчивости в этой области - флаттер. Для у = 1,6 границы области устойчивости представлены на рис. 6. Область неустойчивости для рассматриваемого квадранта плоскости нагружения (а>0,р>0) здесь является двусвязной: область флаттера эллиптической формы и область дивергенции. Все предыдущие вычисления проводились при наличии трения в дополнительной связи т^ = 0,05. Если положить т) = 0, то область неустойчивости будет односвязной с границей ABCD, где граница флаттера отмечена штриховой линией ВС. В этом проявляется известное дестабилизирующее влияние трения на устойчивость неконсервативных систем.

С дальнейшим увеличением жесткости связи изолированная область флаттера стягивается в точку и исчезает при у = 1,77. Граница области дивергенции при у —» оо приближается к прямой, отсекающей от осей аир отрезки, равные 2,5.

с,

1 2 а

Рис.5

1 раницы области устойчивости при варьировании жесткости дополнительной связи

Рис. 6

Границы области устойчивости на плоскости параметров нагружения при у = 1,6

С применением численного эксперимента: интегрированием нелинейных уравнений движения, построением фазовых портретов и сечений Пуанкаре исследовалось закритическое поведение системы при различных значения параметров а, Р и у. Кроме классических типов потери устойчивости (дивергенция и флаттер) обнаружены вторичный флаттер и вторичная дивергенция, а также хаотические движения.

В четвертой главе проводится исследование устойчивости консольного стержня с дополнительными связями в виде сосредоточенной упругой опоры на свободном конце и в виде упругого основания. Стержень загружен потенциальной и следящей силами. Анализируется влияние жесткости упругих связей на положение границы области устойчивости и тип потери устойчивости при ее пересечении.

Для стержня, жестко защемленного на одном конце и упруго опертого на другом, уравнения динамического метода исследования устойчивости дополняются граничными условиями вида

\у = 0, ^ = 0,

дх

= 0,

дх2

х = 0

(

Е1\\+Ъ,

.1)

' 81 )дх> Зх

53-и> ^ дк + О-

■ СМ,

: = !

где с- жесткость упругого закрепления верхнего конца стержня. Безразмерная жесткость упругой связи вводится как у = с/3/Я/.

' Трансцендентное уравнение, связывающее параметры нагружения системы а, (3, жесткость опоры у, а также характеристические показатели X

.Р(а, р, уД) = 0, где через ^ (а, р, у, X) обозначен определитель

F(a,p,y,A.) =

r, e<

[(l + + щ -у]е'' ... [(i + B,l)r43 + a/-4-у]ег<

Рис. 7

Зависимость критических значений нагрузок при раздельном нагружении

1С

Рис. 8

Области устойчивости на плоскости параметров нагружения

Рис. 7 иллюстрирует зависимость критических значений параметра потенциальной силы сх» (у) от жесткости упругой опоры у при ¡3 = 0 (кривая 1) и зависимость следящей силы ¡3, = (3. (у) при а = 0 (кривая 2). Т.е. рассматривается случай раздельного нагружения. Начиная со значения тс2 /4, с ростом у кривая 1 асимптотически стремится к значению 2,05л2, отмеченному штриховой линией. Это значение соответствует критической силе для стержня, один конец которого защемлен, а другой шарнирно оперт. Кривая 2 имеет два участка. Участок АВ определяет критические значения следящей силы р., при которых система теряет устойчивость по типу флаттер. Такой тип потери устойчивости возможен для у < у, = 34,8. При у >у„ потеря устойчивости консольного стержня с упругой опорой при действии следящей силы происходит по типу дивергенция (участок ВС), и кривая 2 с ростом у также стремится к горизонтальной асимптоте, отмеченной штриховой линией.

Сечения критической поверхности плоскостями ¡3 = const * 0 и a = const ^ 0, т.е. зависимости а, (у) и (3, (у) подчиняются тем же закономерностям, что и для дзухзвенного маятника с дополнительной опорой (рис. 3 и рис. 4). На рис. с на плоскости параметров а, ¡3 построены сечения критической

поверхности плоскостями у = const. При у = 0 имеем границу области устойчивости для консольного стержня со свободным концом, нагруженного потенциальной и следящей силами. Здесь АВ- граница флаттера, ВС- граница дивергенции. С ростом жесткости упругого закрепления область устойчивости расширяется при значительном увеличении границы флаттера по сравнению с границей дивергенции. Такая ситуация имеет место до значений у, приближающихся к у,. При значениях у, несколько меньших у,, граница устойчивости спрямляется при одновременном резком уменьшении границы флаттера. При у > у, в системе возможна только дивергентные формы потери устойчивости, а

при у оо область устойчивости ограничивается прямой а + 0 = 2,05 л2. Таким образом, при- малых значениях жесткости упругого закрепления в системе существенно возрастает возможность наступления колебательных форм потери устойчивости. Существует некоторое значение параметра у,, при котором область устойчивости системы является наибольшей.

Для консольного стержня, связанного с упругим основанием, уравнение динамического метода исследования устойчивости берется в виде

, oSv

я4 я5 ^

Е1~г + b,£I~r + 2mb. ™ + {Q + Р)—г + cw + m

дх

О W

^ 4

ОХ

dx4Bt

с? " ' сЬс* 6Г

Безразмерный параметр, характеризующий жесткость упругого основания, вводится как у4 = с1*/Е1.

ю с а 15

Рис.9

Зависимость действительных и мнимых частей характеристических показателей от величины следящей силы

Рис. 10

Границы области устойчивости при различных значениях жесткости упругого основания

Для случая действия только следящей силы и отсутствия демпфирования зависимости мнимых и действительных частей характеристических показателей 1тЦр) и ЯеХ(р), ответственных за флаттер, при различных значениях жесткости упругого основания у построены на рис. 9. При возрастании параметра следящей силы р мнимые части характеристических показателей сближаются и независимо от величины у становятся равными при известном значе-

нии р. = 20,05. Действительные части л при 3 < |3. равны нулю, а при р > р. среди характеристических показателей появляется л с положительной действительной частью, что соответствует динамической неустойчивости системы (флаттеру). Факт независимости критического значения параметра следящей силы р. от жесткости упругого основания у можно объяснить тем, что с увеличением у происходит сближение низших собственных частот, ответственных за флаттер. Естественно считать, что чем ближе собственные частоты, тем ниже критическое значение неконсервативной нагрузки.

Об изменении положения границы области устойчивости на плоскости а,Р при варьировании жесткости упругого основания у можно судить по рис. 10. Здесь границы флаттера АВ при всех у совпадают, а при увеличении у граница дивергенции ВС смещается вправо, увеличивая при этом протяженность границы фпяттеря АВ Отмеченный выше факт независимости критического значения следящей силы от величины жесткости упругого основания у остается справедливым и при наличии трения (как внешнего, так и внутреннего), и отличной от нуля потенциальной силы а. Для некоторых точек границы флаттера проведено изучение форм потери устойчивости.

В пятой главе диссертации рассматриваются задачи о поведении трубопровода с протекающей жидкостью. Рассмотрен участок трубопровода, защемленный на одном конце, а также трубопровод с дополнительной упругой опорой на свободном конце. Исследовалось влияние жесткости упругой опоры на поведение характеристических показателей, формы флаттера и положение границы области устойчивости.

Для трубопровода со свободным концом основное внимание было уделено исследованию траекторий характеристических показателей при изменении параметров системы и поясняющих отмеченные во второй главе особенности границы флаттера на плоскости относительная масса жидкости, параметр расхода. Изучены также формы флаттера для различных участков границы области устойчивости. В частности обнаружено, что формы флаттера усложняются по мере увеличения относительной массы протекающей жидкости р. Это обстоятельство необходимо учитывать при применении метода разложения решений по формам собственных колебаний. Так, например, установлено, что при малых значениях р флаттер определяется первыми двумя формами колебаний, а при р>0,5 в колебательном типе потери устойчивости присутствуют уже формы до четвертой включительно и т.д.

Для участка трубопровода, один конец которого жестко защемлен, а другой оперт на упругую опору, проведено исследование зависимости положения границы, определяющей область устойчивости, от жесткости опоры у, введенной, как и в главе 4. Как показали вычисления, малые значения у несущественно влияют на границу области устойчивости. Однако при значении у > у. = 34,8 область устойчивости на плоскости р.а прорезается полосой неустойчивых состояний системы (см. рис. 11). Эта полоса ограничена прямыми, параллельны-

ми оси абсцисс и пересечение которых ведет к дивергенции системы. Область устойчивости становится неодносвязной.

Для выяснения характера потери устойчивости на границах областей устойчивости изучалось поведение характеристических показателей X на комплексной плоскости при изменении параметра расхода жидкости а и постоянном значении относительной массы ц. На рис. 12 приведены результаты вычислений характеристических показателей для случая у = 100, когда на плоскости |1,а наблюдаются три области устойчивости (рис. И).

20 г

>"=100

1 1 .

0.2 0.4

Рис. 11

Области устойчивости при у = 100

Рис. 12

Траектории корней при изменении параметра расхода

На рис. 13 приведены зависимости критических значений параметра расхода а. от жесткости упругой опоры у при фиксированных значениях относительной массы жидкости р.. Заштрихованная область есть область дивергенции, граница которой не зависит от значения ц. Особый интерес в зависимости а, (у) представляет вариант д = 0. В этом случае задача об устойчивости трубопровода эквивалентна задаче об устойчивости стержня, находящегося под действием сжимающей следящей силы Р и аналогичным образом закрепленного. Величина этой силы Р определяется как реактивная сила вытекающей из

трубопровода жидкости. ^= mv ^/gj = ос2 • Единственное отличие, не

влияющее на численные результаты, состоит в том, что в рамках принятых предположений продольная сила в трубопроводе не возникает. Для случая ц = 0 границей области устойчивости на рис. 13 является кривая ABCD. Часть кривой АВ - граница флаттера. Участок BCD - граница дивергенции. В области дивергенции с ростом жесткости опоры критическое значение параметра а, уменьшается. Для сравнения на рис. 13 приведена зависимость а, (у) для консервативной задачи устойчивости стержня с упругой опорой, Штриховая прямая линия проведена для значения критического параметра

а, = 4.49 = л/2Д)5 л1, соответствующего стержню с шарнирной опорой. Эта прямая выполняет роль горизонтальной асимптоты для консервативной и не-

консервативной задач. При возрастании параметра жесткости у к этой асимптоте стремятся критические значения нагрузок. Для неконсервативной задачи это стремление заметно медленнее. Отличные от нуля значения ¡л повышают границу флаттера, примыкая к границе дивергенции при больших значениях жесткости упругой опоры.

/ /Г ■

ч / V

Рис. 13

Зависимость критического значения расхода жидкости от жесткости упругой опоры

О Г.. 2500 5000 7500 У 10000

Рис. 14

Зависимость критического значения скорости потока от жесткости упругой опоры

В шестой главе рассматривается устойчивость плоской панели в сверхзвуковом потоке газа. Панель содержит дополнительную упругую опору, изменение жесткости которой с существенно меняет спектральный состав системы. Анализируется зависимость критической скорости потока от жесткости дополнительной опоры. В расчетах устойчивости учитывается также сжимающая сила в срединной плоскости панели. Неконсервативные аэродинамические силы в уравнение движения в окрестности плоского невозмущенного состояния панели учитываются по норшневой теории. Проведен подробный анализ зависимости критического усилия и характеристик собственных колебаний панели от

жесткости опоры у = са/£), где а- длина панели в направлении потока, О -

цилиндрическая жесткость панели.

За параметры системы приняты: а - сжимающее усилие, отнесенное к критическому, и безразмерная скорость потока р.

На рис. 14 представлена зависимость критического значения параметра скорости набегающего потока р. от жесткости дополнительной упругой опоры у при отсутствии сжимающего усилия (а = 0). Начинаясь от значения р, = 6,29 для шарнирно опертой панели при у = 0, кривая р, (у) имеет минимум при у = у„, когда первая и вторая собственные частоты становятся кратными. Величина критического значения скорости при этом определяется величиной демпфирования в системе. С ростом у кривая р, (у) асимптотически стремится к значению р. » 26, соответствующему панели с дополнительной шарнирной опорой.

Результаты вычислений по определению положения границы области устойчивости представлены на трех рисунках в соответствии с характерными диапазонами изменения жесткости упругой опоры у. На рис. 15 на плоскости сжимающей силы а и скорости ¡3 представлены границы областей неустойчивости для малых значений жесткости дополнительной упругой опоры у<у,, где у. - жесткость упругой опоры, при которой меняется форма потери устойчивости. С ростом у несколько снижается часть границы устойчивости АВ, соответствующая флаттеру. Это определяется сближением первой и второй собственных частот при увеличении параметра а. Граница дивергенции ВС сдвигается вправо, ее протяженность уменьшается и при у = у, эта часть границы неустойчивости вырождается в точку а = 4, р = 0. Для этого случая пересечение границы в любой точке при Р * 0 сопровождается наступлением флаттера.

Рис. 15

Границы области устойчивости при значениях жесткости опоры у < у.

Рис. 16

Границы области устойчивости при изменении жесткости опоры в диапазоне у, < у < у„

Для второго диапазона изменения жесткости упругой опоры у, < у < у„, где у„ соответствует совпадению низших собственных частот, границы области неустойчивости представлены на рис. 16. Границы флаттера АВ, если их рассматривать как функции Р(а), имеют минимум. Минимум достигается при значениях а, при которых кратность низших собственных частот определяется не только соответствующими значениями жесткости у, но и величиной сжимающего усилия а. На рис. 17 построены границы области неустойчивости для значений у > у„. Здесь с ростом у увеличиваются критические значения параметра неконсервативной составляющей аэродинамической нагрузки, и граница области устойчивости асимптотически стремится к границе области устойчивости для опертой по краям панели с дополнительной шарнирной опорой. При у = у„„, когда совпадают третья и четвертая собственные частоты никаких особенностей поведения системы не обнаруживается. Это связано с тем, что наступление флаттера в этом случае также определяется взаимодействием первой и второй форм колебаний.

у = 2000^

-0,1

-0,2

г%

Г = 1000 а - 5,95 (1-4

. Г

О 2 4 6 0 8

Рис. 17

Границы области устойчивости для значений у > у,.

0,1 9, 0,2

Рис. 18

Сечение Пуанкаре для обобщенной координаты дД?)

Путем интегрирования уравнения с нелинейностью, вызванной условием несмещения кромок панели, рассмотрено послекритическое поведение панели. Для различных точек в области неустойчивости прямолинейной формы равновесия строились законы движения характерных точек панели, фазовые портреты, изучалось поведение обобщенных координат qJ (t)■ Обнаружены устойчивые и неустойчивые предельные циклы, переходы системы в новые положения равновесия, а также хаотические движения панели, реализующиеся при определенных значениях параметров. Один такой случай хаотического движения иллюстрирует рис. 18, где построено сечение Пуанкаре на плоскости первой обобщенной координаты и обобщенной скорости.

Сводка результатов и выводы

1. Разработаны алгоритмы и программы для определения критических значений параметров нагружения неконсервативных механических систем и для построения границ областей устойчивости в пространстве параметров. При анализе устойчивости распределенных систем использовано два метода: точное решение несамосопряженной краевой задачи на собственные значения с применением методов минимизации функций многих переменных и метод разложения форм потери устойчивости в ряд по формам собственных колебаний. Для консольного стержня при непотенциальном нагружении и трубопровода с протекающей жидкостью проведено исследование влияния числа членов ряда ири применении второго метода на точность построения границ областей устойчивости.

2. Исследована устойчивость двухзвекного маятника с дополнительной вязкоупругой опорой, нагруженного потенциальной и следящей силами. Изучены зависимости критических значений нагрузок от жесткости дополнительной опоры при раздельном и совместном нагружении. Построены границы области устойчивости на плоскости параметров нагружения при различных значениях жесткости дополнительной опоры. Показано, что граница области ус-

тойчивости может состоять из участков, соответствующих различным типам потери устойчивости при её пересечении. Обнаружено, что при некоторых значениях параметров нагружения и жесткости дополнительной опоры область устойчивости может содержать замкнутую область неустойчивости (флаттера).

3. С использованием нелинейных уравнений, учитывающих большие отклонения маятника от положения равновесия, изучено послекритическое поведение двухзвенного маятника. За границей области устойчивости тривиального положения равновесия имеет место большое разнообразие динамического поведения системы. Кроме классических типов потери устойчивости, характерных для линейных систем при пересечении границы области устойчивости, в «далеких» закритических областях возможны такие явления, как вторичный флаттер (развитие колебательных движений после потери устойчивости по типу дивергенция) и вторичная дивергенция (теряется устойчивость прямолинейной формы равновесия по типу флаттера с увеличивающейся амплитудой, а затем в системе происходят затухающие колебания в окрестности нового положения равновесия).

4. Рассмотрена задача об устойчивости консольного стержня с дополнительной опорой в виде сосредоточенной на конце упругой связи. Стержень нагружен потенциальной и следящими силами. Проведено исследование зависимости границ флаттера и дивергенции от жесткости дополнительной упругой опоры. Определены характерные значения жесткости опоры, определяющие тип потери устойчивости при действии следящей силы.

5. При исследовании устойчивости стержня на упругом основании при действии следящей силы показано, что критическое значение нагрузки не зависит от жесткости упругого основания. Это объясняется тем, что с увеличением жесткости упругого основания сближаются низшие частоты колебаний, ответственные за динамическую неустойчивость. При совместном действии потенциальной и следящей сил изучена зависимость положения границ области устойчивости от жесткости основания. Определены формы потери устойчивости.

6. Подробно изучена устойчивость участка консольного трубопровода с протекающей по нему жидкостью. Исследованы траектории движения характеристических показателей при изменении параметров системы - относительной массы и расхода жидкости. Рассмотрены формы флаттера. Проанализировано влияние жесткости дополнительной упругой опоры на границы области устойчивости. Обнаружено, что при значениях жесткости больше некоторого характерного значения область устойчивости становится неодносвязной, и при достижении границы потеря устойчивости трубопровода происходит квазистатическим образом. Указанное характерное значение жесткости опоры совпадает с упомянутым значением в пункте 4 при действии только следящей силы.

7. Рассмотрена задача о флаттере шарнирко опертой плоской панели с дополнительной упругой опорой в сверхзвуковом потоке газа. Проведен анализ зависимости критического значения сжимающего усилия и характеристик собственных колебаний панели от жесткости опоры. Изучена зависимость критического значения скорости потока (скорости флаттера) от жесткости дополни-

тельной опоры. Минимальная скорость флаттера, определяемая величиной демпфирования в системе, соответствует значению жесткости, при которой первая и вторая собственные частоты становятся кратными. Показано, что близость по значениям высших собственных частот не влияет на скорость флаттера, так как динамическая неустойчивость определяется взаимодействием первой и второй собственных частот. Проведено исследование положения и характера границ области устойчивости па плоскости «сжимающее усилие - скорость потока» при варьировании жесткости дополнительной опоры в широких пределах. Для различных значений параметров системы изучены частоты и формы флаттера. С учетом нелинейности, связанной с несмещающимися опорами, проанализировано послекритическое динамическое поведение панели. В результате интегрирования нелинейных уравнения рассмотрены различные случаи состояния системы после потери устойчивости прямолинейной формы равновесия: переход в смежное положение равновесия, установление предельного цикла и хаотические движения.

Публикации по теме диссертации

1. Болотин В.В., Радин В.П., Чирков В.П., Щугорев A.B. Устойчивость консольного стержня с упругой связью при непотенциальном нагружении // Известия РАН. Механика твердого тела, 2006, № 2. С. 84-92

2. Болотин В.В., Радин В.П., Чирков В.П., Щугорев A.B. Об устойчивости участка трубопровода с протекающей жидкостью // Инженерный журнал. Справочник, 2006, № 10. С. 15-22

3. Болотин В.В., Радин В.П., Чирков В.П., Щугорев A.B. Устойчивость и закритическое поведение двойного маятника с дополнительной связью // Труды международной научно-технической конференции «Вычислительная механика деформируемого твердого тела». Том 1. М.: МИИТ, 2006. С. 57-64

4. Болотин В.В., Радин B.I1., Чирков В.П., Щугорев A.B. Устойчивость и закритическое поведение панели с дополнительной упругой опорой в сверхзвуковом потоке газа // Труды XXII Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов». Санкт-Петербург, Изд СПб: НИЦ «Морин-тех», 2007. С. 120-128

5. Радин В.П., Чирков В.П., Щугорев A.B. Устойчивости стержня на упругом основании при непотенциальном нагружении // Строительная механика и расчет сооружений, 2008, №5. С. 5-11.

6. Болотин В.В., Радин В.П., Чирков В.П., Щугорев A.B. Устойчивость участка трубопровода с упругой опорой // Известия РАН. Механика твердого тела, 2009,№ 1. С. 174-184

Подписано в печать!^. öijJß Г.зак, 90 Тир. ¡00 П.л. iJJ

Полиграфический центр МЭИ(ТУ)

Красноказарменная ул.,д.13

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата технических наук, Щугорев, Алексей Владимирович

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. РАЗВИТИЕ ЗАДАЧ УСТОЙЧИВОСТИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ ДЕЙСТВИИ НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ НАГРУЗОК.

1.1. Обзор литературы.

1.2. Особенности неконсервативных задач теории упругойустойчивости.

1.3. Цель диссертации.

Глава 2. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ НЕКОНСЕРВАТИВНОМ НАГРУЖЕНИИ.

2.1. Элементы теории устойчивости механических систем.

2.2. Уравнения в вариациях для упругого тела (уравнения первого приближения).

2.3. Постановка задачи об устойчивости упругих систем. Статический и динамический методы исследования устойчивости.

2.4. Методы построения границ областей устойчивости.

2.5. Решение краевой задачи на собственные значения.

2.6. Применение метода разложения по формам собственных колебаний.

2.7. Исследование устойчивости трубопровода^ протекающей жидкостью.

Глава 3. УСТОЙЧИВОСТЬ И ЗАКРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ДВОЙНОГО МАЯТНИКА С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ СВЯЗЬЮ.

3.1. Вывод уравнений движения.

3.2. Анализ закритического поведения системы.

Глава 4. УСТОЙЧИВОСТЬ КОНСОЛЬНОГО СТЕРЖНЯ С УПРУГИМИ СВЯЗЯМИ ПРИ НЕПОТЕНЦИАЛЬНОМ НАГРУЖЕНИИ.

4.1. Стержень с сосредоточенной упругой опорой.

4.2. Границы области дивергенции и флаттера.

4.3. Критические значения потенциальной и следящей нагрузок.

4.4. Области устойчивости для стержня на упругом основании.

Глава 5. УСТОЙЧИВОСТЬ УЧАСТКА ТРУБОПРОВОДА С ПРОТЕКАЮЩЕЙ ЖИДКОСТЬЮ.

5.1. Постановка задачи.

5.2. Исследование устойчивости при отсутствии упругой опоры.

5.3. Анализ влияния жесткости упругой опоры на устойчивость трубопровода

Глава 6. УСТОЙЧИВОСТЬ И ЗАКРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ПАНЕЛИ С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ УПРУГОЙ ОПОРОЙ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ

ГАЗА.

6.1. Уравнения движения панели в окрестности положения равновесия.

6.2. Анализ зависимости критического усилия и характеристиксобственных колебаний панели от жесткости опоры.

6.3. Устойчивость прямолинейной формы равновесия панели.

6.4. Формы флаттера панели.

СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ И ВЫВОДЫ.

Введение диссертация по механике, на тему "Влияние спектрального состава на устойчивость механических систем при неконсервативном нагружении"

Для обеспечения механической надежности элементов конструкций и деталей машин кроме условий прочности и жесткости они должны удовлетворять также и условиям устойчивости. Наиболее хорошо разработанной в настоящее время является теория устойчивости механических систем, находящихся под действием потенциальных (консервативных) сил. Основы этой теории заложены еще в работах Эйлера. С развитием машиностроения, авиации, ракетной техники значительно расширился класс нагрузок, действующих на элементы конструкций. К примерам таких нагрузок можно отнести реактивные силы тяги, аэродинамические силы, электромагнитные силы, действующие на роторы электрических машин и т.д. Характерной особенностью таких сил является то, что работа, совершаемая ими по замкнутому пути, отлична от нуля. Такие силы называются неконсервативными силами. Нагружении конструкций неконсервативными силами может приводить к колебательной потере устойчивости -флаттеру. Метод Эйлера в этом случае неприменим, и необходимо обращаться к динамическому методу исследования устойчивости. Явление динамической неустойчивости (флаттера) определяется взаимодействием между различными формами колебаний системы. Поэтому критические значения неконсервативных нагрузок существенно зависят от характеристик собственных колебаний механической системы, в частности, от близости низших собственных частот.

Актуальность проблемы.

Многие элементы конструкций объектов современной техники находятся в условиях нагружения неконсервативными силами. Динамическое поведение конструкций в этом случае имеет ряд особенностей, которые необходимо учитывать при расчете на устойчивость. В частности, явление динамической неустойчивости (флаттера) определяется взаимодействием между различными формами колебаний системы. Поэтому критические значения неконсервативных нагрузок существенно зависят от характеристик собственных колебаний механической системы, в частности, от близости низших собственных частот. С практической точки зрения важным представляется исследование влияния спектрального состава механической системы на критические значения нагрузок и на положение границ областей устойчивости в пространстве параметров. Спектральные характеристики могут меняться при наличии каких-либо дополнительных связей с переменными параметрами жесткости.

Работы по теме диссертации выполнялись при частичной финансовой поддержке РФФИ (код проекта 03-01-00656) и ФЦНТП (государственный контракт № 02.445.11.7465).

Цель работы.

Целью диссертационной работы является исследование влияния спектрального состава механических систем на их устойчивость по отношению к неконсервативным нагрузкам. Стояла задача рассмотреть ряд механических систем, содержащих различные упругие или вязкоупругие элементы, изменение жесткости которых ведет к изменению характеристик собственных колебаний. В консервативных системах увеличение жесткостных характеристик ведет, как правило, к увеличению значений критических нагрузок. В механических системах при неконсервативном нагружении величина критических нагрузок во многом определяется взаимодействием различных форм колебаний. Поэтому с практической точки зрения весьма важно установить, как повлияют на критические значения параметров нагружения и, вообще, на положение границ областей устойчивости изменение жесткости некоторых дополнительных элементов, установленных, например, с целью повышения механической надежности и приводящих- к изменению спектральных характеристик системы. Для решения поставленной задачи разрабатывались алгоритмы и программы для реализации динамического метода исследования устойчивости.

Методы исследования. Исследование устойчивости механических систем в условиях неконсервативного нагружения проводилось с использованием динамического метода. При определении критических значений параметров нагружения и построении границ областей устойчивости в пространстве параметров использовалось непосредственное решение несамосопряженной краевой задачи на собственные значения и метод разложения по формам собственных колебаний. Характер поведения некоторых нелинейных систем в закритической стадии исследовался непосредственным интегрированием уравнений движения с построением сечений Пуанкаре.

Научная новизна.

В работе впервые проведено систематическое исследование влияния спектрального состава механических систем на устойчивость при неконсервативном нагружении с использованием современных средств вычислительной математики и техники. Подтверждены ранее опубликованные и обнаружены новые эффекты, присущие неконсервативным системам при изменении спектрального состава.

Достоверность полученных результатов.

Достоверность результатов обеспечивается применением строгих математических методов исследования, сопоставлением результатов, полученных различными методами, решением большого числа тестовых задач и сравнением ряда результатов с результатами, полученными другими авторами.

Апробация работы и публикации.

Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

Международной научно-технической конференции студентов и аспирантов «Радиотехника, электротехника и энергетика» (Москва, 2007, 2008, 2009,2010);

Диссертационная работа состоит из 6 глав. В первой главе диссертации дается краткий обзор основных отечественных и зарубежных работ в области устойчивости конструкций при действии неконсервативных нагрузок. Отмечаются особенности неконсервативных задач устойчивости. Формулируется цель диссертации.

Во второй главе диссертации излагаются элементы теории устойчивости с применением основных положений теории к механическим системам с конечным числом степеней свободы и к системам с распределенными параметрами. Приводятся понятия динамического и статического методов исследования устойчивости. На классических примерах: стержень при непотенциальном нагру-жении и трубопровод с протекающей жидкостью описываются методы определения критических значений нагрузок и построения границ областей устойчивости в пространстве параметров. Проводится сравнение приближенного и точного методов.

Третья глава посвящена исследованию устойчивости прямолинейной формы равновесия системы с двумя степенями свободы, а именно двухзвенного маятника с дополнительной вязкоупругой связью. С учетом больших перемещений рассматриваются закритическое поведение маятника.

В четвертой главе проводится исследование устойчивости консольного стержня с дополнительной упругой опорой и стержня, связанного с упругим основанием. Стержень нагружен потенциальной и следящей силами. Анализируется зависимость положения границ области устойчивости от жесткости связей.

Пятая глава посвящена расчету устойчивости консольного участка трубопровода с протекающей жидкостью. Рассмотрен случай, когда свободный конец трубопровода опирается на упругую опору. Определяются условия реализации различных типов потери устойчивости.

В шестой главе рассматривается устойчивость плоской панели в сверхзвуковом потоке газа. Панель содержит дополнительную упругую опору, изменение жесткости которой существенно меняет спектральный состав системы. Анализируется зависимость критической скорости потока от жесткости дополнительной опоры. В расчетах устойчивости учитывается также сжимающая сила в срединной плоскости панели. Для случая несмещающихся опор панели исследуется динамическое поведение панели в закритической стадии.

Заключение диссертации по теме "Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры"

СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ И ВЫВОДЫ

1. Разработаны алгоритмы и программы для определения критических значений параметров нагружения неконсервативных механических систем и для построения границ областей устойчивости в пространстве параметров. При анализе устойчивости распределенных систем использовано два метода: точное решение несамосопряженной краевой задаче на собственные значения с применением методов минимизации функций многих переменных и метод разложения форм потери устойчивости в ряд по формам собственных колебаний. Для консольного стержня при непотенциальном нагружении и трубопровода с протекающей жидкостью проведено исследование влияния числа членов ряда при применении второго метода на точность построения границ областей устойчивости.

2. Исследована устойчивость двухзвенного маятника с дополнительной вязкоупругой опорой, нагруженного потенциальной и следящей силами. Изучены зависимости критических значений нагрузок от жесткости дополнительной опоры при раздельном и совместном нагружении. Построены границы области устойчивости на плоскости параметров нагружения при различных значениях жесткости дополнительной опоры. Показано, что граница области устойчивости может состоять из участков, соответствующих различным типам потери устойчивости при её пересечении. Обнаружено, что при некоторых значениях параметров нагружения и жесткости дополнительной опоры область устойчивости может содержать замкнутую область неустойчивости (флаттера).

7. Рассмотрена задача о флаттере шарнирно опертой плоской панели с дополнительной упругой опорой в сверхзвуковом потоке газа. Проведен анализ зависимости критического значения сжимающего усилия и характеристик собственных колебаний панели от жесткости опоры. Изучена зависимость критического значения скорости потока (скорости флаттера) от жесткости дополнительной опоры. Минимальная скорость флаттера, определяемая величиной демпфирования в системе, соответствует значению жесткости, при которой первая и вторая собственные частоты становятся кратными. Показано, что близость по значениям высших собственных частот не влияет на скорость флаттера, так как динамическая неустойчивость определяется взаимодействием первой и второй собственных частот. Проведено исследование положения и характера границ области устойчивости па плоскости «сжимающее усилие - скорость потока» при варьировании жесткости дополнительной опоры в широких пределах. Для различных значений параметров системы изучены частоты и формы флаттера. С учетом нелинейности, связанной с несмещающимися опорами, проанализировано послекритическое динамическое поведение панели. В результате интегрирования нелинейных уравнения рассмотрены различные случаи состояния системы после потери устойчивости прямолинейной формы равновесия: переход в смежное положение равновесия, установление предельного цикла и хаотические движения.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата технических наук, Щугорев, Алексей Владимирович, Москва

1. Агафонов С.А. Об устойчивости и автоколебаниях двойного маятника с уп- 'ругими элементами, находящегося под действием следящей силы //Изв. »

2. РАН. МТТ. 1992. - №5 - С. 185-190.

3. Агафонов С.А. Георгиевский Д.В. Динамическая устойчивость стержня с нелинейной внутренней вязкостью под действием следящей силы // докл. РАН. 2004. - т. 396. - №3 - С. 339 - 342.

4. Ал футов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение. - 1978. - 312 с.

5. Андронов А.А. Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981. - 568 с.

6. Бейлин Е.А., Джанелидзе Г.Ю. Обзор работ по динамической устойчивости упругих систем// Прикладная математика и механика. №5. - 1952.

7. Болотин В.В. Вопросы общей теории упругой устойчивости // Прикладная математика и механика. 1956 г. -. XX вып - С. 561 - 563

8. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М: Гостехиз-дат, 1956.-600 с.

9. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматгиз, 1961. - 339 с.

10. Болотин В.В. Нелинейный флаттер пластин и оболочек // ИнженерныйIсборник. — 1960. вып. 29 - С. 55 — 75.

11. Болотин В.В. О колебаниях и устойчивости стержней, нагруженных неконсервативными силами //Колебания в турбомашинах. М.: Изд. АН СССР. -1959.- С. 23-42.

12. Болотин В.В., Гришко А.А. Устойчивость и послекритическое поведение аэроупругих систем с учётом дополнительного демпфирования // Изв. РАН. МТТ. 2003. - №5 - С. 164-174.

13. Болотин В.В., Гришко А.А., Митричев Т.В. Устойчивость тонкой панели с присоединенными элементами в сверхзвуковом потоке газа // Прикладная механика. 1999. - Т. 35. - №12. - С. 3 - 10.

14. Болотин В.В., Гришко А.А., Петровский А.П. О влиянии демпфирующих сил на послекритическое поведение существенно непотенциальных сил// Изв. РАН. МТТ. №2. - 1995. С.- 158 - 167.

15. Болотин В.В., Жинжер Н.И. Устойчивость линейных систем / Энциклопедический справочник по машиностроению. Т. 1 - 3. -М.: Машиностроение. 1994. -Т. 2.-С. 462-472.

16. Болотин В.В., Петровский А.В., Радин В.П. Устойчивость и послекритическое поведение многоступенчатой системы твёрдых тел при непотенциальном нагружении //Изв. АН. МТТ. -2005.- №1. -С. 174-187.

17. Болотин В.В., Радин В.П., Чирков В.П., Щугорев А.В. Об устойчивости участка трубопровода с протекающей жидкостью // Инженерный журнал. Справочник. 2006.- № 10. -С. 15-22.

18. Болотин В.В., Радин В.П., Чирков В.П., Щугорев А.В. Устойчивость кон-<сольного стержня с упругой связью при непотенциальном нагружении // Известия РАН. МТТ.- 2006.- № 2.- С. 84-92.

19. Болотин В.В., Радин В.П., Чирков В.П., Щугорев А.В. Устойчивость участка трубопровода с упругой опорой // Известия РАН. Механика твердого тела. -2009. -№1. -С. 174-184.

20. Болотин В.В., Симонов Б.П. Устойчивость упругих панелей с присоединенными элементами в потоке газа // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. -1978. №2.-С. 130- 135.

21. Борук И.Г., Лобас Л.Г., Патрицио Л.Д. О состояниях равновесия перевернутого двойного маятника со следящей силой на упругозаделанном верхнем конце // Изв. РАН. МТТ. -2004. -№5 -С. 16 22.

22. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. Изд.5, МоекIва, Государственное издательство технико-технической литературы.- 1955. -608 с.

23. Вибрации в технике. Справочник в 6-ти т. Т.1. Колебание линейных систем / Под ред. В.В. Болотина. -М.: Машиностроение. -1999. 506 с.

24. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, -1972.- 432 с.

25. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.:Наука, 1967. - 984 с.t

26. Горшков А.Г., Морозов В.И., Пономарев А.Т., Шклярчук Ф.Н. Аэроупругость конструкций. -М.: Наука. 2000. -591 с.

27. Гришко А.А., Дубовских Ю.А., Петровский А.В. Влияние присоединенных элементов на динамическую устойчивость непотенциальной колебательной системы // Изв. РАН. Проблемы машиностроения и надежности машин. -1999. -№3. -С. 24-30.

28. Гришко А.А., Дубовских Ю.А., Петровский А.В. О послекритическом поведении диссипативных нелинейных систем // Прикладная механика. 1998.I1. Т. 34.-№ 6. -С.92 — 98.

29. Дейнеко К.С., Леонов М.Я. Динамический метод исследования устойчивости сжатого стержня//Прикл. матем. мех. 19. № 6. - 1955.

30. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. — М. Наука, глав. ред. физ.-мат. Литературы. 1967.- 472 с.

31. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалов Э.З. Численные методы анализа. Приближенные функций, дифференциальные и интегральные уравнения, под ред. Демидовича, изд. 3, -М.: Наука. -1967. 368 с.

32. Детинко Ф.М. Следящая нагрузка и устойчивость плоской формы изгиба стержня // Изв. РАН. МТТ. -2002. №5. - С. 118-125.

33. Джанелидзе Г.Ю. Об устойчивости стержня при действии следящей силы. -Тр. Ленингр. политехи, ин-та. -№192. -1958.

34. Жинжер Н.И. Влияние диссипативных сил с неполной диссипацией на устойчивость упругих систем // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1994.1. -С.149- 155.

35. Кириллов О.Н. Сейранян А.П., О границах устойчивости циркулярных систем. Институт механики МГУ им. Ломоносова. - №51. — 1999. -59 с.

36. Ковальчук В.В., Лобас В.Л. Дивергентные бифуркации двойного маятника под воздействием асимметричной следящей силы // Прикладная механика. -2004.- т.40.- №7.- С. 136 144

37. Леонов Г. А. Странные аттракторы и классическая теория устойчивости движения // Успехи механики, -т. 1.- №3.- 2002.- С. 3 43.

38. Лобас Л.Г., Лобас Л.Л. Бифуркации, устойчивость и катастрофы состояний равновесия двойного маятника под воздействием асимметричной следящее силы // Изв. АН СССР. МТТ. -2004.- №4. -С. 139-149.

39. Мануйлов Г.А. О границе между статической и динамической потерей устойчивости неконсервативных упругих систем. Вестник МИИТаНауч-но-технический журнал. - Москва. - МИИТ. - 2001. - Вып.6.- С. 63-68.

40. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. -М.: Наука. -1976. -320 с.

41. МоВчан А.А. Об устойчивости панели, движущейся в газе // Прикладная математика и механика. -1957. -Т. 21. -№2. -С. 141 150.

42. Мун Ф. Хаотические колебания. М. Мир. -1990. -312 с.

43. Нейштадт А.И. Сидоренко В.В., Запаздывание потери устойчивости в системе Циглера.- Москва, Институт прикладной математики РАН. -1995.-28с.

44. Николаи E.JI. Об устойчивости прямолинейной формы равновесия сжатого и скрученного стержня// Изв. Ленингр. поли-техн. ин-та 31.- 1928.

45. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем: современные концепции, парадоксы, ошибки. Москва, Наука. - 1987. -336 с.

46. Петровский А.В. Динамическое поведение обращенного двухзвенного неорIтогонального маятника при непотенциальном нагружении // Изв. АН. МТТ. -2003.-№5.-С. 137-146.

47. Петровский А.В. Нелинейная динамика и устойчивость неконсервативных систем. -М.: Издательство МЭИ. 2003.- 112 с.

48. Петровский А.В. Устойчивость и послекритическое поведение обращенного пространственного маятника при непотенциальном нагружении // Изв. РАН, Механика твердого тела.- №1.- 2002. -С. 165 176.

49. Потапов В.Д. Устойчивость вязкоупругих элементов конструкций. Москва, ' Стройиздат. -1985. - 312 с.I51 .Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в 3-х т. Т.З. Под ред. И.А. Биргера и Я.Г. Пановко. -М.: Машиностроение. -1968. -568 с.

50. Радин В.П., Чирков В.П., Щугорев А.В. Устойчивости стержня на упругом основании при непотенциальном нагружении // Строительная механика и расчет сооружений. -2008. -№5. -С. 5-11.

51. Реут В.И. О теории упругой устойчивости, Тр. Одесск. ин-та инж. гражд. И комм, стр-ва, вып. 1. .-1939.

52. Светлицкий В.А., Остроухов В.А. Влияние краевых условий на динамическую устойчивость прямолинейного трубопровода // Изв. Вузов. Машиностроение. -1978. -№2. -С. 26-30.

53. Сейранян А.П. Парадокс дестабилизации в задачах устойчивости неконсервативных систем. // Успехи механики. -1990.- т. 13.- №2. -С. 89 124.I

54. Сейранян А.П. Задача Лагранжа о наивыгоднейшем очертании колонны. -Институт механики МГУ им. Ломоносова. -№60. -2000. 64 с.

55. Сейранян А.П. О границах областей устойчивости, флаттера и дивергенции. Москва, Институт механики МГУ им. Ломоносова. -№11. -1995. -39 с.

56. Сейранян А.П. Парадокс дестабилизации и критерии колебательной устойчивости. Москва, Институт механики МГУ им. Ломоносова. -№301. -1987. - 59 с.

57. Смирнов А.Ф., Александров А.В., Лащенников Б.Я., Шапошников Н.Н. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений, под редакцией А. Ф. Смирнова. -Москва. -Стройиздат. -1984. 416 с.

58. Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. -М.: Изд-во «Наука». -1967. -376 с.

59. Циглер Г. Основы теории устойчивости конструкций. -М.: Мир. -1971.-192 с.62,Четаев Н.Г. Устойчивость движения. -М.: Наука. -1990. -176 с.

60. Beck М., Die Knicklast der einseitig eingenspannten tangenzial gedruckten Stabes, Zeitschrift angew. -Math. Phys. -3. -№3. -1952.

61. Bolotin V.V. Dynamic Instabilities and Postcritical Vibrations of Compliant Components Interacting with the Main Structures // International Journal of Acoustics and Vibration. -Vol. 6. -№4. -2001. -P. 201 208

62. Bolotin V.V. Postcritical dynamics of nonconservative systems / Proceedings of the 3rd European Conference on Structural Dynamics (G. Augusti, C. Borri and P. Spinelli, editors). EURODYN'96 Conf. Rotterdam: Balkema, 1996. - P. 357 -362.

63. Bolotin V.V., Grishko A.A., Kounadis A.N., Gantes Ch. Non-linear panel flutter in remote post-critical domain // Int. J. Non-Linear Mechanics. 1998. — V. 33.— № 5.-P. 753-764.

64. Bolotin V.V., Grishko A.A., Kounadis A.N., Gantes Ch., Roberts J.B. Influence of initial conditions on the postcritical behavior of nonlinear aeroelastic systems // Nonlinear Dynamics.- 15.- P. 63 81, (1998)

65. Bolotin V.V., Petrovsky A.V., Grishko A.A. Secondary bifurcations and global instability of an aeroelastic nonlinear system in the divergence domain // J. Sound and Vibration. 1996. - V. 191. - № 3. p. 431 - 451.

66. Bolotin V.V., Zhinzher N.I. Effects of damping on stability of elastic systems sub- • jected to nonconservative forces // Int. J. Solid Struct. 1969. - V.5. - №9.1. P.965 989.

67. Dowell E.H. Flutter of a buckled plate as an example of chaotic motion of a deterministic autonomous system // J. Sound and Vibration. 1982. - V. 85. - № 3. -P. 330-344.

68. Jin J.-D. Bifurcation analysis of double pendulum with a follower force // J. Sound Vibr. -1992. -V. -154. -N 2. P.191 -204.

69. Kounadis A.N. On the failure of static stability analyses of nonconservative systems in regions of divergence instability // Int. J. Solids and Structures. 1994. -V. 31. - № 15. -P. 2099-2120.1

70. Leipholz H., Stability Theory, John Wiley & Sons Ltd and B.G. Teubner, Stuttgart. -1987. 359 c.

71. Timoshenko beam theory, Journal of Applied Mechanics, Trans. Of the ASME Ser. E. 34. -1967.- p. 484-485.

72. Nonlinear stability of structures. Theory and computational techniques / Eds: Kounadis A.N. and Krfltzig W.B. New York and Wien: Springer-Verlag, 1995. -367 p.

73. Virgin L.N. Dowell E.H. Nonlinear aeroelasticity and chaos. / Computational Nonlinear Mechanics in Aerospace Engineering (S.N. Atluri, editor). Washington, DC: AIAA. - P. 531 - 546.

74. Ziegler H. Die Stabilititatskriterien der Elastomechanik // Ing.-Arch. -1952. -v.20 -№1. -P. 49-56.