Устойчивость упругих систем при действии неконсервативных внешних нагрузок тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ
|
Тумашик, Глеб Александрович
АВТОР
|
||||
|
кандидата технических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Санкт-Петербург
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2005
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.04
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи УДК 539 3
ТУМАШИК Глеб Александрович
УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ СИСТЕМ ПРИ ДЕЙСТВИИ НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ ВНЕШНИХ НАГРУЗОК
01 02.04 - Механика деформируемого твердого тела
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук
Санкт-Петербур! -2005
Работа выполнена на кафедре строительной механики корабля Санкт-Петербургского государственного морского технического
университета
Научный руководитель:
заслуженный деятель науки и техники РФ доктор технических наук, профессор Постнов В А
Официальные оппоненты
доктор физико-математических наук, профессор Индейцев Д.А.
доктор технических наук, доцент Картузов Е И
Ведущая организация.
НГЖ ОАО «Механобр-техника»
Защита диссертации состоится «\^>> 2005 г в часов на
заседании диссертационно! о совета Д212 228 02 в Санкт-Пстербургском государственном морском техническом университете по адресу. 190008, Санкт-Петербург, ул. Лоцманская, д 3
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПб ГМТУ
Автореферат разослан « \С> » СгКХг^Ч 2005 г
Ученый секретарь
диссертационного совета Д212.228 02
кандидат технических наук, доцент •—^ » Кадыров С
177oS~
lié fS H
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. В современной технике часто встречаются конструкции, подверженные действию неконсервативных внешних нагрузок, что переводит и сами системы в разряд неконсервативных. Прежде всего, речь идет о проблемах дивергентной и флаттерной неустойчивости крыльев (аэродинамических поверхностей) и панелей, обусловленных взаимодействием изгибных и крутильных форм колебаний при "набегании" на них потока газа или жидкости К неконсервативным задачам относится также задачи устойчивости вращающихся валов, трубопроводов при протекании по ним жидкости, а также вопросы устойчивости конструкций, взаимодействующих со струями жидкости или газа.
Актуальность проблемы определила значительное количество работ, посвященных различным аспектам теории неконсервативной устойчивости. Основные ее положения были подробно рассмотрены в работах В.В. Болотина, X. Лейпхольца, E.JI. Николаи, Я.Г. Пановко, Г. Циглера.
В.В Болотиным было введено имеющее огромное значение для моделирования неконсервативного нагружения понятие следящей нагрузки -постоянной по модулю, но переменного, зависящего от деформаций конструкции направления. Исследования модельных систем под действием следящих нагрузок (двухзвенный маятник Циглера, стержень под действием сосредоточенных или распределенных следящих сил) составляют на сегодня основную массу работ по устойчивости неконсервативных систем При этом были рассмотрены вопросы влияния демпфирующих сил (работы Н.В. Баничука и A.C. Братуся, В.В. Болотина и Н.И. Жинжера, Г.Г. Денисова и В.В. Новикова, Ф.М. Детинко, Д.А. Индейцева, И.С. Йонга, С. Немат-Нассера, Я.Г. Пановко и C.B. Сорокина, И. Сугийямы и К. Катайамы, Дж. Херрмана, Г. Циглера), упругих подкреплений (работы В. Глабисца, JI. Зории и И.А. Чернухи, P.C. Кара, Г.П. Ли, М.А. де Розы, С. Сундарарайана, Дж Херрмана), деформаций сдвига и инерции вращения (работы Т. Ирис, Д.М Ку, С. Немат-Нассера, Ж. Ямады и И Такахажи, ранние работы А.Н. Кунадиса), вопросы применения приближенных численных методов (работы Дж.Л. Андерсона, P.C. Барсума, С Д. Бейли и Дж.Л. Хайнса, В. Глабисца, Ф М. Детинко, Е.М. Картузова, Г. Лейпхольца, Г.А Марченко) и использования упрощенных критериев устойчивости (работы Л М. Каган-Розенцвейга, А.Н. Кунадиса). В последние десятилетия большое внимание уделяется вопросам повышения устойчивости неконсервативных систем путем оптимизации проектных параметров конструкции (работы К. Вепы, Ж.Л. Клодона, M Лангтьема и И. Сугийямы, Ф. Одеха, У.Т Рингертца, M Сунакавы, И. Таджбакша, М. Ханаоки и К. Васидзу) или с помощью вибрационной стабилизации за счет приложения дополнительных высокочастотных гармонических сил или перемещений (работы С.А.
Агафонова. Дж Л. Андерсона, И И. Блехмана, К Г. Валеева, Й.С Йенсена, И. Таджбакша, В.Н. Челомея, С В. Челомея, Г.А Щеглова).
Однако, вопросы устойчивости стержней при действии следящих с запаздыванием нагрузок, моделирующих одновременное приложение консервативного и неконсервативного нагружения, практически не исследованы Остаются не рассмотренными эффекты, связанные с возможной сменой типа потери устойчивости при малых изменениях параметров систем. Не исследованы вопросы повышения устойчивости упругих систем в случае действия следящей нагрузки с запаздыванием. При этом сложный характер взаимодействия частот неконсервативной системы требует решения мультимодальной задачи. Важной задачей является разработка решений, не чувствительных к малым изменениям проектных параметров.
На основе анализа современного состояния проблемы устойчивости неконсервативных системы сформулированы следующие основные цели диссертации:
• оценка влияния упругого основания и граничных условий на величину критической силы консольного стержня под действием сжимающей следящей с запаздыванием силы;
• оценка влияния деформаций поперечного сдвига и инерции вращении на устойчивость консольного стержня при неконсервативном нагружении;
• оценка влияния внешних и внутренних сил сопротивления на устойчивость стержня при неконсервативном нагружении;
• решение задачи оптимизации конструкции по критерию устойчивости;
• использование вибрационной стабилизации для повышения устойчивости неконсервативных систем;
• разработка динамических матриц жесткости и их использование в задачах устойчивости неконсервативных систем.
Все перечисленные выше задачи, составляющие цель работы, рассматриваются при различной степени неконсервативности системы
Научная новизна изложенных в работе результатов заключается в следующем:
• Произведена оценка влияния сил внешнего вязкого, внутреннего вязкого по гипотезе Фохта и внутреннего частотно-независимого по гипотезе Сорокина сопротивления на критические силы в области динамической потери устойчивости стержня. Рассмотрены случаи с различным соотношением сил внешнего и внутреннего сопротивления. Проведено сравнение результатов для двух гипотез учета внутреннего сопротивления.
• Для модели упруго заделанного на одном и опертого на упругую опору на другом конце стержня, лежащего на упругом основании и
загруженного на опертом конце следящей силой с запаздыванием произведена оценка влияния параметров упругих опор, упругой заделки и упругого основания на устойчивость стержня при различных степенях неконсервативности сжимающей силы
• Исследован вопрос о влиянии выбора сечения действия перерезывающей силы и вида слежения сжимающей нагрузки в задаче неконсервативной устойчивости балки Тимошенко Произведена оценка влияния деформаций поперечного сдвига и инерции вращения при различных степенях неконсервативности на устойчивость системы.
• Разработан алгоритм решения задачи оптимального проектирования конструкций, подверженных действию неконсервативных сил из условия получения максимальной критической силы при флаттере с учетом сложного характера взаимодействия частотных характеристик неконсервативной системы. Исследовано влияние на результаты оптимизации сил внешнего и вязкого внутреннего сопротивлений.
• Построена динамическая матрица жесткости для задач неконсервативной устойчивости стержневых систем.
• Исследована возможность повышения критических нагрузок путем введения дополнительного высокочастотного воздействия в дивергентной и флаттерноЙ зоне потери устойчивости при различных степенях неконсервативности системы Произведено сравнение результатов стабилизации при введении консервативной и неконсервативной высокочастотных сил.
Достоверность результатов обеспечивается применением строгих математических методов исследования, подтверждается решением большого числа тестовых задач и сравнением с результатами других авторов.
Практическая ценность Полученные в работе результаты имеют теоретическое и практическое значение. Они позволяют уточнить существующее представление о характере поведения упругих систем при действии неконсервативных нагрузок и могут быть использованы в расчетах устойчивости неконсервативных систем.
Диссертационная работа была поддержана грантами Министерства образования РФ по исследованиям в области фундаментального естествознания (Е00-4 0-41), по поддержке аспирантов (А03-2.10-2, А04-2.10-148) и Программой поддержки молодых ученых и преподавателей СПбГМТУ (ПХА-К-55).
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях, симпозиумах и семинарах: на первой конференции молодых ученых и специалистов по морским интеллектуальным технологиям «Моринтех Юниор» (СПб, 2000); на Х1Х-ОЙ и ХХ-ой Международных конференциях «Математическое моделирование в
механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов» (СПб, 2001, 2003); на Международных конференциях по интеллектуальным морским технологиям «Моринтех-200!» и «Моринтех-2003» (СПб, 2001,
2003); на конференциях по строительной механике корабля памяти академика Ю А. Шиманского (СПб, 2001, 2003); на конференции молодых ученых и специалистов научной школы академика В В. Новожилова (СПбГУ, 2002); на конференции по строительной механике корабля памяти профессора П Ф Папковича (СПб, 2002); конференции молодых ученых и специалистов научной школы "Нелинейные проблемы механики и физики твёрдого деформируемого тела" (СПбГУ, 2003); научно-технической конференции «Кораблестроительное образование и наука - 2003» (СПбГМТУ, 2003); ХИ-ой Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным системам (Владимир, 2003); ХХХ1-ой Summer School - Conference "Advanced Problems in Mechanics" (SPb, 2003), X-om Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Ярополец, 2004); на конференции по строительной механике корабля «Бубновские чтения» (СПб,
2004); на семинаре "Некоторые вопросы поведения неконсервативных систем" секции строительной механики и надежности конструкций Санкт-Петербургского Дома Ученых РАН (СПб, 2005).
Публикации. По теме диссертации опубликованы 18 работ. Основные результаты диссертации отражены в десяти статьях (перечень приведен в конце автореферата).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из 7 глав, заключения и списка литературы из 192 наименований Работа содержит 145 страниц основного текста, включая 80 рисунков и 1 таблицу.
В первой главе представлен обзор современного состояния проблемы устойчивости неконсервативных систем, обосновывается актуальность темы, формулируются цели работы и основные защищаемые положения.
Вторая глава диссертации носит постановочный характер. Для выбранного в качестве основного объекта исследования консольного стержня под действием следящей силы с запаздыванием (рис 1) приведена математическая постановка задачи устойчивости, рассмотрено ее точное
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
z
Рис 1 Консоль под действием следящей силы с запаздыванием
решение, описаны приближенные подходы к решению задачи устойчивости, излагаются основные методы определения критических нагрузок При рассмотрении системы с внешним и внутренним вязким и внутренним частотно-независимым сопротивлением использование численных методов' метода Бубнова-Галеркина применительно к уравнению колебаний и граничным условиям
Ъ?
Е1(4) з2_и<£0
/4 дС
Е1(4)( у*)д^(4,П /4 Iх со) д$2д!
и - I2 дЕ1 д!2
(1)
ъ? 1
д4
= 0,
{=0
Е1(4) 12
д
д4
/3
¿Г
(
со )
3 ,
со ) д4 гд!
= 0,
(2)
Щ-а) /
( р * - коэффициент внешнего вязкого сопротивления, у - коэффициент внутреннего вязкого сопротивления, у * - коэффициент внутреннего частотно независимого сопротивления, СО = 1т(А) - частота колебаний) метода Ритца применительно к Гамильтониану системы
0
V
д? 52.
34
с14+\\у +
СО
) /3 д42дI д42
¿4
0 дг о
(3)
Т \dwi4j) Та дн
о
Ч 34
1
д4
= 0,
£-1
и метода конечных элементов - приводит к основному матричному уравнению, содержащему симметричные матрицы жес!коаи [лт] и масс [л] и несимметричную в случае неконсервативной нагрузки силовую или геометрическую матрицу [#]:
[к]+Л2[в]+Л М + [у+У*\4-т[н] {£}= {0} (4)
Для случая призматического стержня с постоянными по длине характеристиками при учете вязкого сопротивления приведено точное решение, основанное на интегрировании уравнения колебаний неконсервативной системы (1) при граничных условиях (2). Решение ищется в виде:
1-1
где (5)
Т± Т2 -4-Е1-(\+уЛ)-(т-Л2 +/3-Л)
12
кх 2,4 (Т, Л) = ±
В результате для определения произвольных постоянных А1 получаем матричное уравнение:
[М{Т,А)\{А}={0}, (6)
где элементы динамической матрицы [М(Т, Л)\ имеют следующий вид Ми(Т,А) = \, М21(ТЛ) = к,(Т,А\
М,, (Г, Л) = (1 + г ■ Л) ■ {к, (Т, Л))2 -ек<тл\ 1 = 1'2'3'4 ' (?)
М4, (Г, Я) - (1 + у ■ Л) ■ {к, (Т, А))3 • ек (Г Л) + к, (Т, Л) ■ Т ■ (1 - а) ■ емг Л),
Как при использовании приближенных подходов, так и при построении точного решения условием существования ненулевых решений, представляющих интерес при исследовании устойчивости, является равенство нулю определителя системы. В первом случае оно используется для определения частот системы, как функций нагрузки, и определения потери устойчивости, как момента появления положительной вещественной части хотя бы у одной из частот. При использовании точной динамической матрицы нахождение частот при заданном значении силы из равенства определителя нулю представляет значительные сложности, поэтому должен быть использован иной подход С учетом равенства нулю вещественной части частоты в момент потери устойчивости, критическая сила и соответствующая ей мнимая часть частоты определяются из уравнений равенства нулю мнимой и вещественной части определителя.
Подход, основанный на точном интегрировании уравнений динамики, может быть использован в сочетании с модифицированным методом конечных элементов с использованием динамических матриц жесткости для решения задач устойчивости непризматического многопролетного стержня или же многопролетных трубопроводов.
В третьей главе рассматриваются результаты исследования устойчивости консольного стержня при учете сил сопротивления.
Произведена оценка влияния сил внешнего вязкого, внутреннего вязкого по гипотезе Фохта и внутреннего частотно-независимого по гипотезе Сорокина сопротивления на критические силы в области динамической потери устойчивости стержня.
Рис 2 Зависимость критических сил, вычисленных при различных коэффициентах внешнего /? и внутреннего у и у * сопротивлений, от парамефа запаздывания а
б!*
-Г
Рис 3 Критические силы, вычисленные для случая чисто следящей силы, при различных коэффициентах внешнего сопротивления ¡5
Как показали расчеты, введение малого внутреннего сопротивления, как вязкого, так и частогно-независимого приводит к падению критической силы (рис. 2). При этом критические силы для частотно независимого сопротивления оказываются меньше аналогичных для вязкого, и разница увеличивается с увеличением неконсервативности.
Наличие в системе внешнего сопротивления либо не сказывается на критической силе во флаттере при относительно малых значениях коэффициента /3, либо приводит к стабилизации, т.е к повышению критической силы во всём флаттерном диапазоне (рис 3)
Четвертая глава посвящена вопросам влияния упругого опирания на устойчивость консольного стержня Последовательно рассмотрены модели упруго заделанного стержня и жесткозаделанного, опертого на упругую опору на свободном конце и лежащего на упругом основании. Стержни загружены следящей силой с запаздыванием.
При этом уравнение колебаний и граничные условия примут вид.
+ (8)
/4 дI2 д? д/2
EidM^D =_iw(£n _TM4,0
/3 W л I 94 J
1 dw(J,t) =AEId2w(t,i) (9) I dt i-n" "/2 ^
A0,^0 и Л - соответственно податливости упругой заделки и упругих опор, К-жесткость упругого основания.
Модель упруго заделанного стержня интересна тем, что для нее получен пример ошибочного результата статического подхода даже в случае существования критических сил дивергенции. Так, согласно статическому подходу определитель системы
к A. n k /с 0 /
М(Т,А)= 0 -к2 cos(7c) -k2s\r\(k)
Tl2k(\ - a) (Elk2 -Tl2(\-a)]ksin(k) -{Elk2-Tl2{\-a))frcos(*)
а следовательно, и критические силы в дивергентной области не зависят от податливости упругой опоры на заделанном конце. Согласно же динамическому подходу с ростом податливости опоры происходит уменьшение зоны дивергенции. При этом критические силы, уменьшаясь, оказывается значительно меньше предсказываемых статическим подходом дивергентных (рис 5) Объясняется этот факт наличием флаттерной потери устойчивости за счет взаимодействия первого и второго тонов при значении силы, меньшем первой дивергентной силы.
Следует отметить, что, говоря о неприменимости статического подхода в общем случае к решению задач устойчивости неконсервативных систем, обычно имеют в виду невозможность получать с его помощью критические силы при определенных значениях параметра неконсервативности В данном же случае статический подход оказался неприменим и в области существования вещественных дивергентных критических значений.
т 25
22 5
V2J 20
17 5 15
125 10 75 5 25
°0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
а
Рис. 5 Критические силы при различных податливоегях опоры А0 и жест кой заделке.
Увеличение податливости заделки в свою очередь вызывает уменьшение критических сил в обеих зонах потери устойчивости и, одновременно, приводит к увеличению дивергентной зоны потери устойчивости, распространяющейся в итоге на весь диапазон изменения параметра запаздывания (рис. 6)
т 25 ТЁГ\ 22 5
И 20
П 5 15 125 10 75 5 25
° 0 0 1 02 03 04 05 Ой 07 08 09 1
а
Рис 6 Зависимость критической силы от параметра запаздывания а при различных подагливоаях ynpyi ой заделки А0 на жесткой опоре
Результаты исследования устойчивости стержня в случае наличия 4 упругой заделки на упругой опоре представлены на рис. 7 Здесь с ростом податливостей упругой опоры и заделки наблюдается падение критических сил в обеих зонах потери устойчивости Это падение оказывается наиболее значительным при больших степенях неконсервативности системы, соответствующих флаттерной потере устойчивости жесткозаделанной консоли.
Рис 7 Зависимости критической силы от параметра запаздывания а при различных податливостях упругой опоры А0 и упругой заделки А0
Для стержня, лежащего на упругом основании и опертого на упругую опору, также установлен факт сильного влияния упругого опирания на точку перехода от дивергентной к флаттерной потере устойчивости, определяемую критическим значением параметра запаздывания а (рис. 8). При росте
жёсткостей основания и опоры первоначально наблюдается уменьшение дивергентной зоны. При их дальнейшем росте происходит рост дивергентной зоны. Для случая упругого основания она достигает начального уровня, а для случая упругой опоры дивергентная зона охватывает весь диапазон изменения параметра неконсервативности, и флаттер в системе становится невозможен.
Что касается критических сил, то в дивергентной области при увеличении жёсткости упругого основания критические силы увеличиваются. Влияние упругой опоры не столь однозначно: за счет перераспределения зон потери устойчивости критическая сила может уменьшаться. В общем случае присутствия как упругого основания, так и упругой опоры, увеличение жёсткости упругого основания ведёт к уменьшению отношения Ткр при флаттере к Ткр при дивергенции (рис. 9) С увеличением жесткости упругой
/
[Е1
К!7
Рис 8 Граница зон потери устойчивости н общем случае при наличии упругого основания и упругой опоры
опоры наблюдается рост критических сил в обеих зонах. Исключение составляет диапазон изменения параметра неконсервативности при изменении податливости опоры, где за счёт различных соотношений зон потери устойчивости может иметь место обратное явление.
г-- (' Я £
Л ШШ -.
Л'гьТг- ''-Г
и.
л 4 -Ч
А'< -4?
А ^
Г*1,,.
X, '
-/М <> > Л--?
1 \ Т- 1
Гй1
V -Ы
А -
с
Рис 9 Зависимости критической силы от параметра запаздывания а при различных соотношениях жесткости упругого основания К и податливости упругой опоры А
В пятой главе рассмотрена устойчивость консоли при использовании балочной модели Тимошенко, и произведена оценка влияния деформаций поперечного сдвига и инерции вращения. В связи с наличием нескольких подходов к учету влияния перерезывающих сил вывод разрешающих систем уравнений проведен для различных случаев выбора сечения действия перерезывающей силы (рис 10) и двух вариантов действия сжимающей нагрузки: слежения за осью и сечением конца стержня.
а)
б)
Рис 10 Варианты сечения дейС1 вия перерезывающей силы а) сечение перпендикулярно оси аержпя, б) сечение опредечяется поворотом от изгиба
Показано, что выбор того или иного варианта учета влияния перерезывающей силы влияет лишь на запись граничных условий на
загруженном следящей силой краю. В результате уравнение динамики с учетом влияния деформаций поперечного сдвига и инерции вращения для консольного стержня запишется в виде:
4... ( у Л л 4
( Т V"* ,, 2 ¿V £7 1- Г +Т12
I Ссо) с1д с1д
гиг 2
,}р + тЕ1-Т"р у Ссо Ссо у
а72с/д2
¿V., «/V,, Л1,
(10)
+ ю/ "" +
с1( в со
Ж
Г
где J - момент инерции вращения масс, Ссо - жесткость на сдвиг, ¡3 = Е1 всо!2 ,
При этом граничные условия примут вид (варианты записи условия для перерезывающей силы на загруженном конце приведены в табл. 1):
(*,+*) =0 = о 1
= 0, (И)
Табл 1 Варианты записи граничного условия для перерезывающей силы
1. Сечение действия перерезывающей силы
считается перпендикулярным оси стержня, сжимающая сила следит за сечением:
Ы _ «гУЧЛ<Г) ,
/2 ~Р J ^
'/2 \
- JnЛ2 +Т(1-а) + Т ' л2 р Е1
с1д
= 0,
2. Сечение действия перерезывающей силы
считается перпендикулярным оси стержня, сжимающая сила следит за осью.
-V+т
,2 \ 1+ "" Я2
Е1
0-а)
¿я
3. Сечение действия перерезывающей силы
определяется поворотом от изгиба, сжимающая сила следит за сечением:
/ ад ад
4. Сечение действия перерезывающей силы
определяется поворотом от изгиба, сжимающая сила следит за осью
Е1
12 ' ) йдъ
+ РаТ
¿4,(<г)
JBl2a , ^ -./ Я2 + Т(\ - а) -Т Я2
' Е1
с1д
Рис 11 Зависимость критических сил от козффициеша сдвжа /?
Рис 12 Зависимость критической силы от параметра запаздывания при разтичиых значениях /? и безразмерного радиуса вращения У
Результаты для всех четырех случаев учета влияния сдвига представлены на рис. 11. Как видно из графиков, влияние сдвига, приводящее
к уменьшению критической силы, наиболее сильно сказывается во флаттерной области потери устойчивости. В то же время в дивергентной зоне, в случае ее уменьшения с увеличением влияния сдвига, может иметь место и повышение критической силы плавное при приближении к флаттерной области и скачкообразное при переходе от дивергентной к флаттерной потере устойчивости. Необходимо отметить значительную зависимость поведения системы от выбора сечения действия перерезывающей силы
Инерция вращения, как показывают расчеты, приводит к уменьшению критической силы во флаттере, не оказывая влияния на дивергентную зону и границу зон потери устойчивости (рис. 12).
Шестая глава посвящена вопросу повышения устойчивости консольного стержня путем перераспределения материала по его длине при сохранении массы Сечение стержня принято прямоугольным, постоянной ширины и меняющейся в ходе оптимизации высоты. Задача оптимизации формулируется, как задача повышения критической силы стержня при сохранении его начальной массы В качестве параметров проектирования могут быть выбраны высоты отдельных конечных элементов или коэффициенты формы с при представлении функции высоты стержня по
N
его длине в виде ) = И0 + . Рассмотрен и реализован алгоритм
]=1
оптимизации, заключающийся в использовании метода локальной линеаризации при ограничениях на частотный спектр системы при значениях нагрузки меньших критической: условии ненулевой низшей частоты для исключения дивергентного падения критической силы Л, > О, Т < Т и условии несовпадения соседних частот для исключения флаттерного падения критической силы Яг+| - Лг > О, Т <Т , г -1,2...и .
Для стержня прямоугольного сечения с меняющейся в процессе оптимизации высотой рассмотрены задачи оптимизации при различных степенях неконсервативности нагрузки. Ряд полученных результатов представлен на рис 13 и 14 В частности, на них приведены оптимальные формы стержней и соответствующие им зависимости критических сил от параметра запаздывания и частотные спектры при заданном параметре запаздывания Первым представлен стержень, оптимизированный для случая действия консервативной нагрузки Как видно, оптимизация в предположении консервативной силы позволила повысить устойчивость и в неконсервативной области При этом наблюдается уменьшение дивергентной зоны потери устойчивости. Следует также отметить, что оптимизация для случая консервативной нагрузки оказалась единственной, для которой оптимальный вариант имеет дивергентную потерю устойчивости.
Оптимизация при а - 0.0 Оптимизация при а = 0.1
Рис. 13. Оптимальные профили стержня.
Оптимизация при а = 0.8 Оптимизация при а = 1.0
Рис. 14. Оптимальные профили стержня
При наличии даже малой неконсервативности (а = 0.1) в оптимальной варианте зона дивергенции уменьшается настолько, что для рассматриваемого параметра запаздывания имеет место флаттерная потеря устойчивости. При оптимизации с большим значением параметра запаздывания флаттер смещается от первой и второй к высшим частотам. Так при оптимизации для параметра запаздывания а =0 2 в оптимальном стержне флаттер происходит при взаимодействии второй и третьей частоты.
С дальнейшим увеличением параметра неконсервативности в оптимальных вариантах имеет место кратная критическая сила. Для параметра запаздывания « = 08 (рис. 14) оптимальный проект определяется совпадением флаттерных сил для пар первой-второй и третьей-четвертой частот. При этом последовательно пройдены точка одномодального флаттера для первой-второй частот, и точка одновременных флаттера для пары второй-третьей частот и дивергенции.
При оптимизации стержня Бека (а = 1.0) был получен проект, у которого совпадают три флаттерные критические силы для пар первой-второй, четвертой-пятой и девятой-десятой частот. Имеющиеся на настоящий момент наилучшие результаты У Т Рингертца и М. Лангтьема имеют совпадение двух флаттерных критических сил. По сравнению с ними полученная в работе критическая сила оптимального проекта больше на 15%, общий выигрыш по критической силе - 800%.
Табл 2. Отношение критических сил оптимальных вариантов к критическим силам исходно! о стержня (%)._
Значения параметра запаздывания, при которых проводилась оптимизация
а = 00 а = 02 а = 0 4 а = 0 5 а = 0.6 а = 08 а = I 0
Значения параметра запаздывания а = 0.0 140 1322 96 5 72 1 51 7 44 8 74 7
а = 0.1 144 1 143 6 98 72 1 51 2 44 3 77 8
а = 0.2 173 487.9 100 5 72 2 50 5 43 8 84 2
а = 0 3 290 5 506 7 105 7 72 3 49 3 42 9 195 3
а = 0 4 258 5 453 7 1037 72 5 46 9 41 1 187 7
а = 0 5 387 284 3 529 5 702.1 33 8 30 1 171 4
а = 0.6 298 7 191 1 300 1 400 467.2 94 5 127 9
а = 0 7 263 1 206 4 270 8 352 8 418 5 1143 211 1
£2 = 08 217 2 2114 244 7 296 7 343 4 481.3 367 5
а = 0 9 181 9 183 222 7 254 1 269 4 377 9 395 7
а = 1 0 160 1 1597 202 9 225 3 234 1 178 2 805.5
Отношения критических сил, полученных в ходе оптимизации при различных значениях параметра запаздывания а , критическим силам исходного стержня представлены в таблице 2
£Й
1 ^шаеа = 00 1 С
_ ч--
"Г" 1 — 1 !
Рис. 15. Зависимость критической силы при оптимальном распределении высоты сечения по длине стержня от величины возможного изменения высоты сечения
Р
Рис 16 Отношение критических сил оптимальных стержней к критическим ситам исходных стержней в зависимости от параметра внешнею сопротивтения /?
Таким образом, оптимизация системы с неконсервативным нагружением связана с необходимостью контроля частотного спектра в диапазоне нагрузок до критической. При этом в случае мультимодальной оптимизации оптимальными проектами будут такие, для которых будет
наблюдаться совпадение как можно большего числа критических нагрузок для различных пар частот Однако следует отметить, что подобные оптимальные проекты обычно оказываются чрезвычайно чувствительны к малым изменениям в распределении материала И малые вариации профиля стержня могут приводить к значительному падению критической силы. В связи с этим практический интерес могут представлять менее выигрышные с позиции увеличения критической силы, но более устойчивые к вариациям профиля результаты оптимизации без учета ограничений на частотный спектр. Как показали проведенные расчеты, подобная оптимизация приводит к стержням, теряющим устойчивость за счет взаимодействия трех низших частот.
Результаты оптимизации сгержня Бека без учета ограничений на частотный спектр представлены на рис. 15. Для данной задачи также исследовано влияние ограничений на параметры проектирования Ограничение накладывается на возможное изменение высоты стержня относительно исходной. Как показывают расчеты, при определенном значении ограничения критическая сила оптимального варианта достигает насыщения и при его дальнейшем увеличении не изменяется.
В главе также рассмотрена оптимизация без учета ограничений на частотный спектр для стержня Бека при учете сил внешнего и внутреннего вязкого сопротивления Основные результаты при различных соотношениях сил внешнего и внутреннего сопротивления представлены на рис. 16.
Седьмая глава рассматривает вопросы повышения устойчивости консольного стержня путем введения дополнительной высокочастотной гармонической силы разной степени неконсервативности. Исследована стабилизация консольного стержня, загруженного постоянной следящей силой Т' с запаздыванием, путем приложения дополнительной высокочастотной гармонической силы 7^(0 = Т а2 С05(й> •/) (рис. 17).
Направления действия обеих сил, характеризуются соответственно параметрами а и которые определяют их запаздывание от поворота свободного конца стержня
При учете высокочастотной составляющей внешней силы уравнение динамики неконсервативного стержня в матричной форме примет вид.
ы2
[5] ° 2 {<?(/)} + [[*]- Т ■ [Н{а)\- 7, (0 • [Я(<5)]]{9(/)} = {О
Л
(12)
При интегрировании уравнения (12) вводятся шкалы быстрого и медленного времени. В итоге, для определения медленного движения получено следующее дифференциальное уравнение
{*,(/,)} +
Л,
(Т^со)2
(13)
+ [.?]-[#(«)]■ Г+ [#(£)]• [м]-' ■ [//(<?)]• ' {<?,(/,)} = (0}
н/Ы2
Тдив ; !
¿ие
№
П'О 1
а = 0.
3 1 а = 1Н
1 5 1
м[ У'
0Ю1 2
О 001
./т(2
Рис 18 Влияние быстрой
Рис 19 Влияние быстрой I армонической гармонической силы на устойчивость :илы на устойчивость во флаттерпой области в дивер[енчной области
Рассмотрена стабилизация как в дивергентной, так и во флаттерной области На рис 18 представлены результаты стабилизации стержня, теряющего устойчивость дивергентным путем Рассматриваются два случая действия высокочастотной силы консервативной и чисто следящей Видно, что введение дополнительной высокочастотной силы позволяет резко (в несколько раз) повысить значение критической силы При этом эффект стабилизации снижается с повышением неконсервативности системы
Переход от консервативной к следящей гармонической силе также приводит к заметному снижению эффекта стабилизации Для стержня, теряющего устойчивость во флаттерной области, результаты стабилизации представлены на рис 19 Из сопоставления результатов рис. 19 и рис 18 можно видеть, что при потере устойчивости системы во флаттерной области эффект стабилизации от приложения гармонической силы снижается.
Рис 20 Крижческие силы при различном запаздывании при введении консервативной и следящей гармонических сил
Увеличение амплитуды гармонической силы приводит к расширению дивергентной области при соответствующем уменьшении флаттерной области потери устойчивости (рис 20). Обращает на себя внимание, что с увеличением гармонической силы при переходе из дивергентной во флаттерную область вместо положительного скачка критической силы возможно появление отрицательного скачка.
В заключении сформулированы основные результаты, полученные в работе.
Для выбранного в работе основного объекта исследования -консольного стержня под действием сжимающей следящей силы с запаздыванием - исследовано влияние упругого основания и упругой опоры на свободном конце, перехода от жесткой заделки к упругой заделке и упругой опоре на заделанном конце стержня, учета деформаций поперечного сдвига и инерции вращения, а также сил
а
а
внешнего и внутреннего сопротивления на величину критической силы при различных степенях неконсервативности сжимающей силы и на критическое значение параметра запаздывания (неконсервативности), соответствующее переходу от дивергентной к флаттерной форме потери устойчивости.
При оценке влияния демпфирующих сил на устойчивость системы в динамической зоне для обеих рассмотренных гипотез учета внутреннего сопротивления (вязкое сопротивление Фохта и частотно независимое сопротивления Сорокина) зафиксирован парадокс Циглера. При этом введение в систему внешнего сопротивления стабилизирует систему и, в частности, позволяет погасить эффект дестабилизации
Показано, что введение упругого основания или упругой опоры приводит сначала к уменьшению дивергентной зоны потери устойчивости, которое сопровождается ростом критических сил в обеих зонах потери устойчивости. Рост критических сил во флаттерной области при этом полностью определяется параметрами упругой опоры С дальнейшим ростом жесткостей основания и опоры наблюдается увеличение зоны дивергенции При определенных значениях жесткости упругой опоры зона дивергенции охватывает весь диапазон изменения параметра неконсервативности. В результате, флаттер в системе становится невозможен Расширение зоны дивергенции в общем случае также сопровождается ростом критических сил в обеих зонах потери устойчивости Вместе с тем, перераспределение зон потери устойчивости может приводить и к падению критических сил в диапазоне изменения критического параметра неконсервативности.
Переход от жесткой заделки к упругой заделке и упругой опоре на соответствующем конце стержня, как в случае дивергенции, так и в случае флаттера приводит к уменьшению критической силы При этом в зависимости от характеристик заделки и опоры может иметь место расширение как дивергентной, так и флаттерной зон потери устойчивости. Для модели упруго заделанного стержня приведен пример ошибочного результата, получаемого при использовании статического подхода в случае существования критических сил дивергенции.
Исследование влияния деформаций поперечного сдвига и инерции вращения показало, что при консервативной нагрузке, а также во флаттерной зоне потери устойчивости учет сдвига приводит к падению критических сил. В то же время в дивергентной зоне потери устойчивости может иметь место рост критических сил, связанный с уменьшением дивергентной зоны и переходом во флаттерную область.
Инерция вращения приводит к уменьшению критической силы флаттера, не оказывая влияния на границу зон потери устойчивости. Реализован алгоритм решения задачи оптимизации неконсервативных систем с целью повышения их устойчивости Алгоритм основан на использовании метода локальной линеаризации с дополнительным контролем частотного спектра системы при значениях нагрузки, меньших критической Это позволило обеспечить устойчивость оптимизационного процесса в условиях сложного взаимодействия частот системы Проведенные расчеты оптимизации консольного стержня при различных степенях неконсервативности системы показали, что оптимальному проекту при любой ненулевой неконсервативности системы соответствует флаттерная потеря устойчивости При этом для критической нагрузки имеет место взаимодействие как можно большего числа различных пар частот. Рассмотрена также оптимизация демпфированных упругих систем. Рассмотрена возможность вибрационной стабилизации консольного стержня под действием сжимающей силы с запаздыванием путем приложения дополнительной консервативной или следящей высокочастотной силы Проведенные расчеты показали, что введение высокочастотного возбуждения всегда приводит к увеличению критических сил в дивергентной зоне потери устойчивости и расширению этой зоны В связи с этим, влияние высокочастотного возбуждения на флаттерную область носит сложный характер. В частности, возможна дестабилизация системы за счет перехода с флаттерной потери устойчивости в случае отсутствия высокочастотной силы к дивергенции в случае ее приложения. Стабилизация в этой области зависит от выбора ряда параметров «быстрой» силы Соответствующий подбор этих параметров позволяет значительно увеличить критическую силу.
ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА
1. Постнов В А , Тумашик Г А. Устойчивость консольного стержня, лежащего на упругом основании и опертого на конце на упругую опору, под действием следящей силы с запаздыванием //Труды XIX Международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов», СПб , 2001, т 3, стр 37-44.
2. Постнов В А, Тумашик Г.А. Оптимизация консольного призматического стержня по критической силе флаттера //Проблемы прочности и пластичности Межвузовский сб трудов Нижегородского университета им НИ Лобачевского Вып 63, 2001, стр 104-111
4.
5.
6.
7.
8.
9. 10
Постнов В А., Тумашик Г.А. Устойчивость консольного стержня, загруженного неконсервативной сжимающей силой, при учете деформаций поперечного сдвига// Труды Четвертой Международной конференции и выставки по морским интеллектуальным технологиям «Моринтех-2001», СПб., 2001, стр 159-163.
Постнов В.А., Тумашик Г.А. Оптимизация консольного призматического стержня по критической силе во флаттере //Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела. Труды научной школы академика В.В Новожилова СПбГУ, вып. 5, 2002, стр. 45-58.
Постнов В.А., Тумашик Г.А. Стабилизация неконсервативной системы путем введения высокочастотной гармонической силы //Вестник Нижегородского университета. Серия "Механика" Вып 1(5), 2003, стр.
Postnov V.A., Tumashik G.A. About one method for increasing stability of a nonconservative system //Proceedings of 20-th International Conference Mathematical Modeling in Solid Mechanics Boundary & Finite Elements Methods, SPb., 2003, vol. 3, pp. 120-125.
Постнов В.А., Тумашик Г.А. О методах повышения критических нагрузок для упругих систем при неконсервативном нагружении //Труды Научно-технической конференции «Кораблестроительное образование и наука - 2003», СПбГМТУ, 2003, т 1, стр 384-389
Постнов В.А., Тумашик Г.А., Миронов М Ю. Спектральный анализ существующих конечно-разностных методов решения задачи динамики инженерных конструкций //Труды Научно-технической конференции «Кораблестроительное образование и наука - 2003», СПбГМТУ, 2003, т. 1, стр. 389-395.
Постнов В А , Тумашик Г.А Стабилизация неконсервативной системы при введении дополнительной высокочастотной гармонической силы // «Математическое моделирование». М., 2004, т 16, № 6, стр 7-12.
Tumashik G.A. Stabilizing of a non-conservative system by introduction of high frequency harmonic force //Proceedings of XXXI Summer School -Conference "Advanced Problems in Mechanics", SPb , 2004, pp 279-285
Подписано в печать 08 09 2005 г Форма г й\ чаги 60x84 I 16 Ь\ чаг <1 офсс I и<1я Печать ризографическая Объем I пт I ираж 100 чк ■ !ака) № 365* Отпечатано в отделе оперативной почиграфии НИИХ С1161 У с ориганал-чакега заказчика 198504, Санкт-Пстсрб\рг, Старый Петергоф Университеккии ир 26
1М6 1 95
РНБ Русский фонд
2006z4 11105
1. Введение. Обзор сопре.мсппого состоянии проблемы устойчивости нскопссрвагпвных систем
1.1. Эволюция задач теории устойчивости нсконссрватнвных систем
1.2. Методы повышении устойчивости нсконссрпатпвпмх систем
1.3. Выводы из обзора. Цели и структура диссертационной работы
2. Дннамичсскаи постановка задачи и основные уравнении устойчивости консольного стержни
2.1. Численные .методы решении задачи устойчивости
2.2. Точное решение задачи устойчивости консольного стержня
2.3. Устойчивость консольного стержни с запаздыванием без учета сил сопротивлении
3. Влнннис внешнего и внутреннего сопротивлений на устойчивость консольного стержни при действии слсдищсй силы
4. Устойчивость упруго заделанного стсржни, лежащего па упругом основании п опертого на yupyiyio опору, под действием слсдищсй сжимающей силы
4.1. Оценка влпиппи па устойчивость стсржни упругой опоры п заделки па заделанном конце
4.2. Устойчивость консольного стсржни, лежащего на упругом осповапнп, II опертого па упругую опору, под действием следящей сжимающей силы.
5. Оценка влиянии деформаций поперечного сдвига и инерции вращении на устойчивость консольного стержни.
6. Оптимизации консольного стержня из условии нолучеппи максимального значении критической силы при условии сохранении его первоначальной массы
6.1. Основные уравнении оп гпмнзацнонпого алгоритма
6.2. Результаты оптимизации с условием контроля частотного спектра при значениях нагрузки меньше критическом
6.3. Результаты оптимизации при отсутствии контроля частотного спектра при значениях нагрузки меньше критической. Учет сил сопротивления.
7. Стабилизация консольного стержня путем введения высокочастотной гармонической силы
ОБЗОР СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПРОБЛЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ НЕКОНСЕРВЛТИВНЫХ СИСТЕМ. Теория упругой устойчивости в случае действия потенциальных нафузок предполагает, что при достаточно малых нафузках равновесие упругой системы устойчиво, и что оно остается таковым вплоть до нафузки, соответствующей появлеиию новых форм равновесия, когда исходная форма равновесия становится неустойчивой. В этом случае, при рассмотрении устойчивости в малом, критическая нагрузка определяется как наименьшее значение нагрузки, при котором наряду с исходной фор,\юй равновесия имеют место смежные, близкие к ней иные равновесные формы (бифуркационная постановка или метод Эйлера). В рамках энергетической постановки критическая нафузка определяется из условия "неминимальности" потенциальной энергии, соответствующей исходной форме равновесия. Статический подход сводит задачу устойчивости упругих систем к отысканию лщнимальных собственных значений краевых задач. Статический метод, однако, оказывается неприменимым для широкого класса задач. Первым на это обратил внимание Е.Л. Николаи. Рассматривая устойчивость стержня под действием следящего крутяш,сго момента [161, 163] он обнаружил, что согласно методу Эйлера стержень устойчив при любых значениях .\юмента. Такой результат был истолкован как признак того, что метод Эйлера пеприменим к данной задаче и должен быть заменен более общим методом исследования устойчивости «методом малых колебаний». В дальнейшем было установлено, что применимость статического подхода связана с наличием у внешних сил потенциала. Он применим, если внешние силы обладают потенциалом, и в общем случае неприменим при его отсутствии, т.е. в случае действия нсконсервативных сил, зависящих не только от начального и конечного состояний системы, но и от тина перехода от одного состояния к другому [12, 119, 121, 122, 162, 188]. 1.1. Эволюц11и задач теории устойчивости ископсервативпых систем. Основные систем положения теории устойчивости в неконсервативных фундаментальных достаточно подробно рассмотрены монографиях Н.Л. Ллфутова [129], В.В. Болотина, [135, 136] Я.Г. Пановко и Губановой [164], Г.Циглера [188]. В таких системах может иметь место неустойчивость двух типов: статическая (дивергенция) и динамическая (флаттер), В первом случае потеря устойчивости сопровождается появлением смежных состоян1и1 равновесия, как и при действии консервативной нагрузки. При флаттере потеря устойчивости проявляется в возникновенги! колебаний с увеличивающейся амплитудой. Если для исследования дивергенции может быть использован статический подход, то в случае флаттера должен быть использован динамический метод, основанный на рассмотрении колебаний систСхМЫ вблизи возмущенного положения равновесия. При этом для неконсервативных сил в общем случае не выполняется принцип взаимности работ, т.е. работа таких сил, обусловленных каким-либо одним возможным движением, переводящим систему из начального состояния в конечное, на перемещениях другого возможного движения не равна работе сил второго движения на перемещениях первого [12, 195]. В результате проблема устойчивости систем, подверженных действию неконсервативных сил, сводится к обобщенной проблеме собственных значений для несамосопряженных дифференциальных уравнений движения. При переходе от континуальных систем к системам с конечным числом степеней свободы это приводит к формированию матриц жесткости, масс и сопротивления, часть из которых, соответствующая неконсервативным нагрузкам, является антисимметричной.Можно выделить несколько основных групп неконсервативных задач устойчивости. Прежде и и всего, это вопросы взаимодействия крыльев при конструкций с потоком жидкости или газа. Речь идет, в частности, о проблемах дивергентной изгибных флаттерной и крутильных неустойчивости панелей, форм (аэродинамических взаимодействием поверхностей) обусловленных колеба1Пи"1 "набегании" на них потока газа или жидкости [17, 27, 31, 107, 150, 187]. К неконсервативным задачам устойчивости относится также устойчивость вранщющихся Особенностью скоростях систем, таких, этих задач например, роль как вращающиеся валы. в ее является первой внутреннего трения неустойчивости подобных систем. Способствуя затуханию колебаний при вращения меньших критической, в случае превышения силы внутреннего трения оказываются направленными не против враищтельного движения, а по направлению движения. И тем самым способствуют перекачке части энергии вращательного движения в энергию поперечного, что и люжет приводить к возбужден1ПО незатухающих колебаний [68, 69, 89, 107, 110, 118, 168]. Необходимо также упомянуть проблему устойчивости трубопроводов при протекании по ним жидкости, неконсервативность которой обязана возникновению в системе кориолисовых нагрузок [11, 82, 183, 186]. Еще одна группа задач связана с проблемами устойчивости конструкций, взаимодействующих со струями жидкости или газа. За небольшими устойчивости. Большое значение для моделирования неконсервативного нагружсния получило понятие следящей нагрузки, введенное В.В. Болотиным [136]. Такая нагрузка «оставаясь постоянной по величине и перемещаясь вместе с телом, поворачивается таким образом, что углы, составляемые нагрузки с координатными векторами лагранжевого базиса, исключениялш и эти задачи оказываются существенно потери неконсервативны предполагают наличие динамической остаются неизменными». Нсконсервативный характер следящей нагрузки следует из рассмотрения различных мыслимых способов перевода системы из начального положения в конечное. Типичным примером такой нагрузки, является сжимаюнщя сила, приложенная к консольному стержню на его конце и направленная при изгибе вдоль дефор\н1рованной оси стержня. Физическая природа и Бoзюжнocть существования следящих нафузок и, особенно, их связь с вопросами устойчивости реальных конструкций по сей день остается предметом оживленных дискусс1и"1 [12, 28, 46, 101]. Вместе с тем, следящие нагрузки и соответствующие им модельные задачи наиболее часто рассматриваются в работах, посвященных исследованию принщшиальных эффектов устойчивости неконсервативных систем. Ряд таких модельных задач приведен далее. Наиболее простой моделью является предложе1Н1ЫЙ Г. Циглером [119, 188] двойной обращенный маятник, звенья которого соединены упругими шарнирами, нафуженный тангенциальной силой (рис. 1а). Маятник Циглера широко использовался в литературе в исследованиях о В И Ш И на устойчивость сил сопротивления. Именно для этой модели был ЛЯ 1 впервые обнаружен эффект дестабилизации резкого падения критических сил ({шаттера при введении малого внутреннего трения вязкости в ншрнирах. В дальнейших исследованиях усложнение модели осуществлялось постановкой упругой опоры на верхнем конце и учетом запаздывания следящей силы от поворота верхнего звена [92, 138, 157]. Отметим, что введение запаздывания фактически приводит к рассмотрению задачи с одновременным действием неконсервативной и консервативной нафузок. Такая модификация позволяет получать в зависимости от запаздывания и жесткости Циглера опоры находит как флаттерную, так и дивергентную в в работах, потерю устойчивости верхнего положения маятника. В настоящее время маятник широкое применение посвященных вопросам нелинейному ана1шзу устойчивости, частности, послекритического поведения неконсервативных систем [48, 49, 50, 70, 71, 92, 138, 157, 160, 166, 167]. Переходя к континуальным моделям, нельзя еще раз не упомянуть о решении Е.Л. Николаи [161, 162, 163] об устойчивости стержня под действием следящего крутящего момента [рис. 16]. Здесь в случае стержня круглого сечения прямолинейная форма равновесия оказывается неустойчивой при любом значении момента. В случае же рассмотрения стержня с неравными изгибными жесткостями имеет место критическое значение момента, до достижения которого прямолинейная форма остается устойчивой. Позднее модель Е.Л. Николаи использовалась рядом автором [76, 145, 194], в частности, в приложении к устойчивости валов авиационных турбин. Г. Циглером [120] было рассмотрено запаздывание следящего момента, и было показано, что для момента, вектор которого более чем в два раза отстает от поворота дефор\н1рованной оси стержня, наблюдается дивергентная потеря устойчивости. Касаясь вопроса лпюгообразия люделей, используемых в задачах неконсервативной устойчивости, следует упомянуть о модели В.И. Реута стержень, заделанный одним концом и нагруженный на свободном краю сжимающей силой с постоянной линией действия. аОг, р шшшш 77Ш Рис. 1. Типичные модели со слоляии1МИ иа|рузками, испол1.-5уюии1еся в псследовамиях устойчивости нскоиссрвативиых систем.Достаточно широкое распространение в литературе получили людели стержней под действием сжимающих тангенциальных нафузок [рис. 1в]. Так Г. Лейнхольцсм [60] была введена в расслютрение модель консольного стержня иод действием равномерно распределе1П1ых сжнмаюп1их сил. В. Хогер [36] исследовал вопрос устойчивости стержня с различными граничными условиями под действием равномерных и л1Н1ейно изменяющихся по длине следящих сил. В последующих работах проблема устойчивости была распространена на случай одновременного действия консервативных и следящих распределенных нагрузок при различных граничных условиях [75, 100]. Значительное количество работ связано с уже упо\п1навшейся задачей об устойчивости консольного стержня, нафужениого на свобод1Юм конце тангенциальной сформулированной Л. Пфлюгером и В.И. ФеодосьевЕлм силой, [85, 185]. Критическая сила для стержня постоянного сечения с равномерным распределением массы была найдена М. Беком [10], К.С. Дейнеко и М.Я. EJ Леоновым [141] и оказалась равна 7;.„ 20.05- где I и EJ длина и изгибная жесткость стержня соответственно. В [86, 141] был также установлен факт влияния распределения масс на критическую силу. Устойчивость стержня при запаздывании следящей силы для случая сосредоточенной на конце массы была расслютрена Г.Ю. Джанелидзе [146]. Введенный параметр запаздывания а при своем варьировании от О до 7 позволил расслютреть случаи изменения нагрузки от постоянной по направлению консервативной силы до следящей без запаздывания, неконсервативной силы. Было показано, что при значениях параметра запаздывания, меньших 0.5, неустойчивость стержня имеет дивергентный характер, и статический метод исследования устойчивости, несмотря на иеконсервативность задачи, приводит к тем же результатам, что и динамический. При значениях параметра запаздывания, больших 0.5, стержень теряет устойчивость путем флаттера, и статический метод не 8
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
1. Anderson G.L. Application of a variational method to dissipative, non-conservative problems of elastic stability //Journal of Sound and Vibration, 27 (1973), K2 3, 279-
2. Anderson G.L. Optimal design of a cantilever subjected to dissipative and nonconservative forces //Journal of Sound and Vibration, 1974, V. 33, 2, 155-
3. Anderson G.L., Tadjbakhsh I.G. Stabilization of Zieglcrs pendulum by means of the vibrational control //J. Math. Anal. And Appl., 143 (1989), 1, 198-
4. Anifantis N., Dimarogonas A. Stability of columns with a single crack subjected to follower and vertical loads//Int. J. Solids and Structures, 1983, V. 19, 4, pp. 281-
5. Arafat II.N., Nayfeh А.Ы., Chin C.-M. Nonlinear nonplanar dynamics of parametrically excited cantilever beams //Nonlinear Dynamics, 15 (1998), J« 1, pp. 31- 6. Bailey CD. Hamilton, Ritz and Elastodynamics //ASME Journal of Applied Mechanics, 98 (1976), 684-
7. Bailey С D. The method of Ritz applied to the equation of Hamilton //Computer Methods in applied mechanics and engineering, 7, 1976, 235-
8. Bailey С D., Haines J. L. Vibration and stability of non-conservative follower force systems //Computer Methods in applied mechanics and engineering, 26, 1981, 1-
9. Barsoum R.S. Finite element method applied to the problem of stability of a nonconservative system //International Journal for numerical methods in engineering, 3 (1971)63-87.
10. Beck M. Die Knicklast des cinscitig eingespannten, tangentialen gedrucktcn Stabes Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Physik, 3 (1952), 225-228, 476-477.
11. Bendjamin T.B. Dynamics of a system of articulated pipes conveying fluid //Proceedings of Royal Society. Scr. A: Mathematical and Physical Sciences. L., 261 (1961), X-1307, 457-499.
12. Bolotin V.V. Dynamic instabilities in mechanics of structures //Applied Mechanic Review, 52 (1999), 1, R1-R9.
13. Bolotin V.V., Grishko A.A., Panov M.Yu. Effect of damping on the postcritical behaviour of autonomous non-conservative systems Int. Journal of Non-Linear mechanics, 37 (2002), 1163-1179.
14. Bolotin V.V., Zhinzhcr N.l. Effects of damping on stability of elastic systems subjected to non-conservative force Int. J. Solids and structures, 5 (1969). 9, 965-989.
15. Celep Z. On the vibration and stability of Becks column subjected to vertical and follower forces //Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanic, 57 (1977), 555-557.
16. Celep Z. Stability of Pre-Tvvisted Leipholz Column //Acta Mechanica, 60 (1986), 157-170.
17. Chamara P.A., Coller B.D. Double flutter in an aero-elastic system// AIAA Journal, 39 (2001), №6, 1206-1208.
18. Chen L.W., Ku D.M. Eigenvalue sensitivity in the stability analysis of Becks column with a concentrated mass at the free end //J. Sound and Vibration, 153 (1992), 403-411.
19. Claudon J.L. Characteristic curves and optimum design of two structures subjected to circulatory loads //Journal de Mecanique, 1975, V. 14, JT 3, pp. 531-543. Sy 136
20. Darabsch T.T., Genin J. Dynamic stability of viscoelastic columns loaded by a follower force //J. Mechanical Engineering Science, 218 (2004) Part C, 1091-1101. De Rosa М.Л. Franciosi C. The influence of an intermediate support on the stability behavior of cantilever beams subjected to a follower force //J. Sound and Vibration, 137 (1990), 107-
21. Detinko F.M. Lumped damping and stability of Beck column with a tip mass International Journal of Solids and Structures, 40 (2003), 4479-4486. 23.
22. Detinko F.M. On the clastic stability of uniform beams and circular arches under nonconservative loading //International Journal of Solids and Structures, 37 (2000), 5505-5515.
23. Detinko F.M. Some phenomena for lateral flutter of beams under follower load// Int. J. Solids and Structures, 39 (2002), 341-350. on
24. Done G.T.S., Damping configurations that have a stabilizing influence nonconservative systems Int. J. Solids and Structures, 9 (1973), 2, 203-215.
25. Dowell E.H. Panel Flutter: A review of aero-elastic stability of plates and shells //А1АЛ Journal, 8 (1970), 3, pp. 385-399.
26. Elishakoff I. Elastic Stability: From Euler to Koiter there was none like Koiter Mcccanica 35 (2000) 375-380.
27. Elishakoff I., Impollonia N. Docs a partial elastic foundation increase the flutter velocity of a pipe conveying fluid //Journal of applied mechanics, 68 (2001), 206-212. 30.
28. Genin J. Static follower problem revisited III. Mechanical Engineering Science, 215 (2001) P a r t e 1
29. Genin J., Xu \V. Plate subjected to an out-of-plane follower force //J. Mechanical Engineering Science, 216 (2002) Part C, 913.
30. Glabisz W. Application of Hamiltons Low to the stability of double pendulum under nonconservative loads //Computers and Structures, 53 (1994), 1, 143-153.
31. Glabisz W. Vibration and stability of a beam with elastic supports and concentrated masses under conservative and nonconservative forces //Computers and Structures, 70 (1999), 305-313.
32. Gutkowski W., Mahrcnholz O., Pyrz M. Minimum weight design of structures under nonconservative forces //Optimization of large structural systems. Dortrecht: Kluwcr, 1993, pp.1087-1100.
33. Hanaoka M., Washizu K. Optimum design of Becks column //Computers Structures, 1980, V. 11, pp. 473-480.
34. Ilauger \V. Die Knicklasten elastischer Stabe unter gleichmafiig verteilten und linear veranderlichen, tangcntialen Driickkriiften Ingenieur-Archiv, 35 (1966), 221-229. 37. 38.
35. Ilerrman G., Jong l.-C. On the destabilizing effect of damping in nonconservative elastic systems //Trans. ASME. Ser. E.J. Applied Mech. 32 (1965) 3, 592-
36. Indeitsev D.A. Localization of vibration in a Bernulli-Euler beam //Proceedings of the 4th International Congress on Sound and Vibration. Vol. 1, 1996, pp.585-
37. Indeitsev D.A. Stability of the elastic beam a viscous incompressible slow //Journal of applied Mathematics and Mechanics. GAMM96. Vol. 78, 1997, pp. 516-522. 137
38. Jensen J.S. Articulated pipes conveying fluid pulsating with high frequency //Nonlinear Dynamics, 19 (1999), 2, pp. 173-193.
39. Jensen J.S. Buckling of an elastic beam with added high-frequency excitation //Int. Journal of Non-Linear mechanics, 35 (2000), 217-227.
40. Kagan-Rosenzwcig L.M. Quasi-static approach to non-conservative problems of the elastic stability theory //International Journal of Solids and Stnictures 38 (2001) 13411353. 44. Kar R.C. Influence of an elastic end support on the stability of a nonuniform cantilever subjected to dissipative and nonconscrvative forces// Computers Structures, 11 (1980), 337-341.
41. Keller J.B. The shape of the strongest column //Arch. Rational Mcch. Anal., 1960, V. 5., pp. 275-285.
42. Koiter W.T., Unrealistic follower forces //J. Sound and Vibration, 194 (1996), 4, 636638.
43. Kounadis A.N. Stability of elastically restrained Timoshcnko cantilevers with attached masses subjected to a follower force //J. Appl Mcch, 44 (1977), 731-736.
44. Kounadis A.N., Simitses G.J. Non-conservative systems with symmetrizable stiffness matrices exhibiting limit cycles //Int. Journal of Non-Linear mechanics, 32 (1997), JVij 3. 515-529.
45. Kounadis A.N., Gantes G.J., Bolotin V.V. An improved energy criterion for dynamic buckling of imperfection sensitive nonconscrvative systems //International Journal of Solids and Structures 38 (2001) 7487-7500.
46. Kovalchuk V.V., Lobas V.L. Divergent bifurcations of a double pendulum under the action of an asymmetric follower force //International Applied Mechanics, 40 (2004), 7,821-828.
47. Langthjcm NL Finite element analysis and optimisation of a fluid-conveying pipe /AFhe technical university of Denmark. Report No.
49. Langthjcm M. On dynamic stability of an immersed fluid-conveying technical university of Denmark. Report No.
51. Langthjcm M. On the influence of damping in a problem of dynamic stability optimization //Structural Optimization, 1994, 7, pp. 227-
52. Langthjcm M. On the influence of damping in a problem of dynamic stability optimization//The technical university of Denmark. Report No.
54. Langthjcm M., Sugiyama Y. Optimum design of cantilevered columns under the combined action of conservative and nonconscrvative loads. Part I: The undamped case //Computers Structures, 74 (2000), 385-398.
55. Langthjcm M., Sugiyama Y. Optimum design of canlilevercd columns under the combined action of conservative and nonconscrvative loads. Part II: The damped case //Computers Structures, 74 (2000), 399-408. 57. Lee LLP. Divergence and flutter of a cantilever rod with an intermediate spring support International Journal of Solids and Structures, 32 (1995), 10, 1371-1382. 138
56. Lcipholz I LI I.E. Die Knicklast des einseitig cingespannten, tangentialen gcdriickten Stabes mit gleichmaBig verteilter, tangentialer Liingsbelastung //Zeitschrift fiir Angewandte Mathematik und Physik, 13 (1962), 581-589.
57. Lcipholz H.H.E. On a generalization of the lower bound theorem for elastic rods and plates subjected to compressive follower forces //Computer Methods in applied mechanics and engineering, 27, 1981, pp. 101-120.
58. Lcipholz H.H.E. On the application of the direct method to initial value problems //Acta Mcchanica, 58 (1986), pp. 239-249.
59. Leipholz ILII.E. Uber die erweiterung des Ilamiltonshcn prinzips auf lineare nichtkonservative probleme //Ing. Archive, 40 (1971), 55-67.
60. Leipholz H.H.E. Variational principles for non-conservative problems, a foundation for a finite element approach //Computer Methods in applied mechanics and engineering, 17/18, 1979, pp. 609-617.
61. Lobas L.G., Patricio L.D., Boruk I.G. Equilibrium of an inverted mathematical doublelink pendulum with a follower force International Applied Mechanics, 38 (2002), 3, 372-376.
62. Mahrenholtz O., Kounadis A.N. On the relation of static to dynamic bifurcation in nonlinear autonomous dissipativc or nondissipative structural systems //Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanic, 73 (1993), 3 131-140.
63. Manickarajah D., Xie Y.M., Steven G.P. Optimization of columns and frames against buckling//Computers and Structures 75 (2000), pp. 45-54.
64. Massey C, Van der Meer A.T. Stability of non-prismatic cantilever columns under tangential loading//Прикладная механика, 38 (1971), 1, 255-257.
65. Mazur E.F. Optimal staictural design under multiple eigenvalue constraints //Int. J. Solids and Structures, 1984, V. 20, 3, pp. 211-231. 75. McGill D.J. Column instability under weight and follower loads //Journal of the Engineering Mechanics Division, 97 (1971), 629-635.
66. Morris J. Torque and the fle.\ural stability of a canilevcr //Aircraft Engng, 23 (1951), 1951. 139
67. Nemat-Nasser S., Prasad S.N., Herrman G. Destabilizing effect velocity-dependent forces in non-conservetive continuous systems //Л1ЛЛ Journal, 4 (1966), 7, 1276
68. Nemat-Nasser S., Roorda J. On the energy concepts in the theory of elastic stability Acta Mechanica, 4 (1967), pp. 296-307.
69. Odeh F., Tadjbakhsh I. The shape of the strongest column with a follower load //J. Opt. Theory Appl, 1975, 15,pp.l03-118.
70. Olhoff N., Rasmussen S.H. On single and bimodal optimum buckling loads of clamped columns //Int. J. Solids and Structures, 1977, V. 13, 7, pp. 605-614.
71. Paidoussis M. P., Li G. X. Pipes Conveying Fluid: A Model Dynamical Problem //J. Fluids Structures, 7 (1993), 137-204.
72. Pedcrsen P. Design with several eigenvalue constraints by finite elements and linear programming //J. Struct. Mech., 1982-1983, V. 10, 3, pp. 243-271.
73. Pedersen P., Scyranian A.P. Sensitivity analysis for problems of dynamic stability //Int. J. Solids and Structures, 1983, V. 19, 4, pp. 315-335. 85.
74. Pfluger A. Stabilitiitsprobleme der Elastostatik //Sptinger, Berlin, Gottingen und Heidelberg, 1950,
75. Pfiuger A. Zur Stabilitat des tangential gedructen Stabes ZAMM, 35 (1955), X2 5, 191.
76. Plaut R.H. A new destabilization phcnomen in nonconservative systems //ZAMM. 51 (1971), №4 319-321.
77. Postnov V.A., Tumashik G.A. About one method for increasing stability of a nonconservative system //Proceedings of 20-th International Conference Mathematical Modeling in Solid Mechanics Boundary Finite Elements Methods, 2003, vol. 3, pp. 120-
78. Raman A., Hansen M.H., Mote C D A note on the post-flutter dynamics of a rotating disk //Journal of applied mechanics, 69 (2002), 864-
79. Ringertz U.T. On the design of Becks column //Structural Optimization, 1994, K 8, pp. 120-
80. Sankaran G.V., Rao G.V. Stability of tapered cantilever columns subjected to follower forces //Computer and Structures, 6 (1976), 217-
81. Scheidl R., Troger H., Zeman K. Coupled flutter and divergence bifurcation of a double pendulum //Int J. Non-Linear Mech., 19 (1984), 2, 163-
82. Schmitt J.M., Bayly P.V. Bifurcations in the mean angle of a horizontally shaken pendulum: analysis and experiment //Nonlinear Dynamics, 15 (1998), 1, pp. 1-
83. Seguchi Y., Tada Y., Kema K. Shape decision of nonconservative structural systems by the inverse variable principle //Proc. JSME, Series A, 1984, 679-
84. Sinha S.C., Tai Sheng Liu, Senthilnathan N.R. A new computational technique for the stability analysis of slender rods //Archive of Applied Mechanics, 62 (1992), 347-360. Si-Ung Ryu, Yoshihiko Sugiyama. Computational dynamics approach to the effect of damping on stability of a cantilevered colunni subjected to a follower force //Computers and Structures, 81 (2003), 265-271. 89. 90. 91. 92. 93. 94. 95. 96. 140
85. Sugijama Y., Katajama K., Kinoi S., Flutter of cantilever column under rocket trust IIS. Aerospace Hng. 8 (1995), 1,9-15.
86. Sugijama Y., Katajama K., Kirijama K., Ryu B.J. Experimental verification of dynamic stability of vertical cantilevered columns subjected to a sub-tangential force IIS. Sound Vibr,236(1999),№2, 193-207.
87. Sugiyama Y., Kawagoc H. Vibration and stability of elastic columns under the combined action of uniformly distributed vertical and tangential forces //Journal of Sound and Vibration, 38 (1975), 3, 341-355.
88. Sugiyama Y., Langthjem M.A. and Ryu B.-J., Realistic follower forces IIS. Sound and Vibration 225 (1999), 4, 779-782.
89. Sundararajan C. Influence of end support on the vibration and stability of Becks column //Int J. Mech. Sci, 18 (1976), 239-241.
90. Sundararajan C. Stability of columns on clastic foundations subjected to conservative and non-conservative forces IIS. Sound and Vibration, 37 (1974), №.1, 79-85.
91. Tadjbakhsh I., Keller J.B. Strongest Columns and Isoperimetric Inequalities for Eigenvalues //Trans. ASME. Ser. E. J. Applied Mechanics, 1962, V. 29, 1, pp. 159164.
92. Takahazhi I. Vibration and stability of a non-uniform cracked Timoshenko beam subjected to a follower force //Computer and Structures, 71 (1999), 585-591.
93. Tchcrniak D., Thomsen J.J. Slow effects of fast harmonic excitation for elastic structures //Nonlinear Dynamics, 17 (1998), 3, pp. 227-246.
94. Theodorscn T. General theory of aerodynamic instability and mechanism of flutter NACA, Rep. 496, 1935.
95. Thompson J.M.T. Optimization as a generator of structural instability (Letter to editor) //Int. J. mech. Sci, 1972, V. 14, pp. 627-629.
96. Tumashik G.A. Stabilizing of a non-conservative system by introduction of high frequency harmonic force //Proceedings of XXXI Summer School Conference "Advanced Problems in Mechanics", 2004, pp. 279-285
97. Ulitin G.M. Stability of the column of a rotor-type drilling rig// Strength of Materials, Vol. 34 (2002) №1,94-98.
98. Vepa K. Generalization of an energetic optimality condition for non-conscrvalive systems IIS. Struct. Mech, 1973, 2, pp. 229-257.
99. Viola E., Marzani A. Crack effect on dynamic stability of beams under conservative and nonconservative forces// Engineering Fracture Mechanics 71 (2004)? 699-718.
100. Vitaliani R.V., Gasparini A.M., Sactta A.V. Finite element solution of the stability problem for nonlinear undamped and damped systems under nonconservative loading Int. J. Solids and Structures, 34 (1997), 19, 2497-2516.
101. Walker J.A. A note on stabilizing damping configurations for linear nonconservative systems //Int. J. Solids and Structures, 14 (1978), 12, 1543-1545.
102. Wang C.Y. Buckling of a rotating rod under axial force //Journal of applied mechanics, 71 (2004), 590-593. 141
103. Yeong-Bin Yang, Shyh-Rong Kuo, Jong-Dar Yau. Instability of lightly damped linear nonconservativc systems //Л1ЛЛ Journal, 35 (1997), 5, 901-908. 118. You H.H., Seo S., Huh K. The effect of a conccntrared mass on the modal characteristics of a rotating cantilever beam //J. Mechanical Engineering Science, 216 (2002) Parte, 151.
104. Ziegler II. Die Stabilitatskriterien der Elastomechanik //Ing.-Arch., 1952, Bd. 20, 1, pp. 49-56.
105. Ziegler II. Kritische drenzahlen unter torsion und druck //Ing.-Arch., 20 (1952), 6.
106. ZicglerH. Linear elastic stability//ZAMP. 4 (1953), pp. 89-121, 168-185.
107. Ziegler II. On the concept of elastic stability //Advn. appl. Mech., 4 (1956 351-403.
108. Zorii L. Chemukha Y.A. Influence of support conditions on the dynamic stability of elastic column //Prikl Mekh, 7, 134-136. 124. Zuo Q.H., Schreyer ILL. Flutter and divergence instability of nonconservativc beams and plates //International Journal of Solids and Structures, 33 (1996), 9, 1355-1367.
109. Агафонов A. О стабилизации движения неконсервативных систем посредством параметрического возбуждения //Изв РАИ. Механика твердого тела, 1998, 2, 199-202.
110. Агафонов А. Об устойчивости и автоколебаниях двойного маят1П1ка с упруги.ми элементами, находящегося под действием следящей силы //Изв РАИ. Механика твердого тела, 1992, Л 5, 185-190.
111. Агафонов А. Эффект стабилизации равновесия .маятника Циглера параметрическим возбуждением //Изв РАИ. Механика твердого тела, 1997, б, 36-40.
112. Агафонов А., Щеглов Г.Л. О стабилизации двойного маятника, находящегося иод действием следящей силы посредство.м параметрического возбуждения //Изв РАН. Механика твердого тела, 2003, 3, 38-47.
113. Алфутов II.Л. Основы Машиностроение, 1978. расчета на устойчивость упругих систем. М.:
114. Баничук И.В. Братусь А.С. О динамической устойчивости упругих распределенных систем при начичии .ман,1х диссипативпых сил //Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1990, №5, 166-174.
115. Баиичук И.В. Введение
116. Баничук И.В., Братус! А.С, Мышкис А.Д. Об устойчивости упругих неконсервативных систем, допускающих дивергентные решения //Изв. РАН. Механика твердого тела. 1992, 1, 134-143.
117. Баничук II.В., Братусь А.С, Мышкис А.Д. Об эффектах стабилизации и дестабилизации в неконсервативных системах //ПММ. Т. 53, 12 1989. С 206-214
118. Блехман И.И. Вибрационная механика. М., Наука, 1994.
119. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гостсхиздат, 1956. 142
120. Болот1П1 В.В., Гртпко Л.Л., Петровский Л.П. О влиянии демифируюпи1х сил на послскритическое поведение сунхественно ]1епотенпиа;п.пых систем //Изв. РАН. MexaiHiKa твердого тела. 1995, 2,158-167.
121. Борук И.Г., Лобас Л.Г., IlaTpniuio Л.Д. О COCTOHIUIRX равновесия исрсвсри>того двойного маятника со следяи1ей силой па упруго заделанном верхнем конце Механика твердого тела, 2004, 5, стр. 16-22.
122. Валеев К.Г. Дппа.мичсская стабилизация неустойчивых систем //Изв ЛИ СССР, МТТ, 1971.Т.10,№2.
123. Валеев К.Г. Об опасности комбинационных рсзопансов //Прикладная математика и механика, 1963. Т.27, 6.
124. Дейнеко К.С. Леонов М.Л. Диналшчсский метод исследования устойчивости сжатого стержня //Прикладная математика и механика, 19 (1955), б, 738-744.
125. Денисов Г.Г. Диссипация и устойчивость в механических системах //Изв. РАН. Механика твердого тела. 1998. №2, 183-190.
126. Денисов Г.Г., Новиков В.В. Об устойчивости стержня, иагружениого следящей силой //Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1975, 1, 150-154.
127. Денисов Г.Г., Новиков В.В. Об устойчивости упругих систем с малым внутренним трением //Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1978, 3, 41-47.
128. Джанелидзе Г.Ю. К вопросу о форме равновесия сжатого и скрученного стсржня//Труда ЛПИ, 1 (1939) 3
129. Джанелидзе Г.Ю. 05 устойчивости стержня при действии следящей силы //Труды ЛПИ, №192, 1958. с. 21-27.
130. Жинжер И.И. Влияние диссипативпых сил с неполной диссипацией па устойчивость упругих систем //Изв. РАН. Механика твердого тела. 1994, 1, 149155.
131. Жинжер И.И. О дестабилизируюн1ем влиянии трсиия на устойчивость пекопсервативных упругих систем //Ипж. журнал. Механика твердого тела. 1968, 3, 44-47.
132. Жинжер Н.И. Об устойчивости неконсервативных упругих систем при на1Н1чии трсиия //Изв. вузов. Машииостроеиис. 1968, 4, 65-68.
133. Индейцев Д.Л., Родосский В.Л. Явление флаттера тонкой пластины в потоке сжимающей жидкости. Известия АИ СССР, Механика твердого тела, 1986, №6.
134. Каган-Розерншейг Л.М. Интерпретация результатов энергетического подхода к решению неконсервативных задач теории упругой устойч1ПК)сти Исследования по .механике строительных конструкций и материа.1ов: Межвуз. тс.мат. сб. тр., СПб ГАСУ, 1999.41-48.
135. Каган-Розеицвейг Л.М. О различии динамических и статических результатов апа:н1за устойчивости равновесия упругих систем Труды XX Международ1юй конференции «Математическое .моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов», 2004, Т. 2, 221-227.
136. Картузов Н.И., Ростовцев Д.М. Основы теории управления гидроупругими колебаниями. Изд-во СПб ГМТУ, 1999, 176 стр. 143
137. Курбатов Л.М., Челомей СВ., Хро.мун1Кии Л.В. К вопросу о маятнике В.И. Чело.мея Нзв РАН. Механика твердого тела, 1986, б, 69-65.
138. Курдюмов Л.Л., Постиов В.Л. Применения алгоритма Гаусса для определения корней частотного уравпе1Н1я консервативнЕлх систем //Труды НТО Судпро.ма, Судпромгиз, 1961, 40, 4-14.
139. Лобас Л.Г., Лобас Л.Л. Бифуркаиии, устойчивость и катастрофы состояний равновесия двойного маятника иод воздействием асп.ммстрпчной следяпхей силы Механика твердого тела, 2004, 4, стр. 139-155.
140. Марченко Г.А. Метод Рптца в неконсервативных задачах теории упругой устойчивости //Известия Вузов. Авиационная техника, 1966, 3, 62-68.
141. Муллагулов М.Х. 0 5 эксперименталЕ>но.м исследовании устойчивости неконсервативной системы //Прикладная механика, т. 27 (1991), 3, 124-127.
142. Нсйи1тадт А.И., Сидоренко В.В. Запаздывание потери устойчивости в системе Циглера Прикладная математика и механика, 61 (1997), 1, 18-29.
143. Николаи Е.Л. К вопросу об устойчивости скрученного стержня// Вестник механики и прикладной механики. 1, 1929. (См. Николаи Е.Л. Труды по механике. М. Гостехиздат, 1955. с. 388-406).
144. Николаи Е.Л. О критерии устойчивости упругих систем //Труды Одесского ии-та ииж. гражд. и ко.м.мунального стр-ва. Вып. 1, 1939.
145. Николаи Е.Л. Об устойчивости пря.молинейиой формы равновесия сжатого и скрученного стержня Изв. ЛИИ, 31. 1928. (См. Николаи Е.Л. Труды по механике. М. Гостехиздат, 1955. с. 356-387).
146. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебаний упругих систем. М.: Наука, 1967,420 стр.
147. Пановко Я.Г., Сорокин СВ.. О квазиустойчивости упруговязких систем со следяни1.ми спла.\н1 //Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1987, 5, 135-139.
148. Петровский А.В. Днна.мическое поведение oopaniennoro двухзвспного неортогонального маятника при ненотенинальпом нагружепии //Механика твердого тела, 2003, 5, стр. 137-146.
149. Петровск1и"1 А.В. Устойчивость и послекритпческое поведение обращенного пространственного маятника при ненотенцпа;н,ном нагружепии //Механика твердого тела, 2002, 1, стр. 165-176.
150. Позняк Э.Л. Влияние сопротивления на устойчивость вращаюищхся валов //Проблемы прочности и .машиностроения, 1 (1958).
151. Постнов В.А. Динамические матрицы жесткости балочных эле.ментов и их использование в конечно-элементных процедурах//Труды МВТУ им Н.Э.Баумана, посвященные 75-летию кафедры прикладной механики, 2005, стр. 71-80.
152. Ностнов В.А. Дина.\Н1ческие матрицгл жесткости ба.точных элементов и их использование при расчете выиуж.тенных колебаний стержневых систем BecTiHiK гражданских инженеров, 2004, №2. В печати. 144
153. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1977,248 стр.
154. Постнов В.А., Ту.маишк Г.А. О методах повышения критических нагрузок для упругих систем при неконсервативном пагружснии //Труды Научно-технической конференции «Кораблестроительное образовать и наука 2003», 2003, т.1, стр. 384-389.
155. Постнов В.А., Туманшк Г.А. Оптимизация консольного призматического стержня но критической силе во флаттере //Нелинсйшлс проблемы механики и физики дефор.мируе.мого твердого тела. Труды научной школы акаде.\п1ка В.В. Новожилова. Вып. 5, 2002, стр. 45-58.
156. Постнов В.А., Тумашик Г.А. Оптимизация консольного приз.матического стержня по критической силе флаттера //Проблемы прочности и пластичности. Межвузовский сб. трудов Нижегородского университета им. И.И. Лобачевского. Вып 63, 2001, стр. 104-111.
157. Постнов В.А., Тумашик Г.А. Стабилизация некоисервативной системы при ввсдети! донолнителшой высокочастотной гармонической силы //М. РАП, «Математическое моделирование», 2004, т. 16, 6, стр. 7-12.
158. Постнов В.А., Тумаишк Г.А. Стабилизация пеконсервативной системы путем введения высокочастотной гармоническо!! силы //Вестник Нижегородского университета. Серия "Механика". Вып. 1(5), 2003, стр. 12-17.
159. Постиов В.А., Туманнш Г.А. Устойчивость консольного стержня, загруженного некоисервативной сжимаюн1ей силой, при учете деформаций ноиеречного сдвига// Труды Четвертой МсждународиоГ! конференции и выставки по морским интеллектуальным технологиям «Мориитех-2001», 2001, стр. 159-163.
160. Постнов В.А., Тумашик Г.А. Устойчивость консольного стержня, лежащего на упругом основании и опертого на конце на упругую опору, под действием следящей силы с запаздыванием //Труды XIX Международной конференции «Математическое моделирование в механике сплоншых сред. Методы граничных и конечных элементов», 2001, т. 3, стр. 37-44.
161. Постиов В.А., Тумашик Г.А., Миронов М.Ю. Спектральный анагшз существуюци1х конечно-разностных методов решения задачи динамики инжснершлх конструкций //Трудгл Научно-технической конференции «Кораблестроительное образовать и наука 2003», 2003, т.1, стр. 389-395.
162. Привалова О.Г., СейраЕшн А.П. Закритическос поведение бимодальных оптимальных стержней //Механика твердого тела, 1999, 2, стр. 168-177.
163. Ролтиоиов А.А. Математические методы проектирования конструкцш"! судового корпуса. Л.: «Судостроение». 1990.
164. Свеглицкий В.А. Механика стержней. М.: Высш. шк., 1987. 184. СеГфаиян А.И. Об одной задаче Лагранжа //Механика твердого тела, 1984, 2, 101-111.
165. Фсодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалом. Гостехиздат, 1953. 145 онтима.тьных
166. Циглер Г. Основы теории устойчивости конструкиий. М.: Мир, 1971.
167. Челомей В.И. О возможности повышения устойчивости упругих систем при noMOHui вибрации //ДЛИ СССР. 1956, T.110, 3, 345-347.
168. Челомей В.II. Парадоксы в механике, вызыиаелнлс внбрацня.чн! //ДЛИ СССР. 1983,-T.270,Л 1,62-67
169. Чсло.мей СВ. Дииа.мическая устойчивость при высокочастотном пара.метрическом возбуждении //ДЛИ СССР. I98I. Т.257, 4, 853-857.
170. Чело.мей СВ. О дв>х задачах дина.\П1ческой устоГ1Чивости колебательных систе.м, поставленных академиками П.Л. Капицей и В.И. Челомесм //Изв РАН. Механика твердого тела, 1999, 6, 159-166.
171. Челомей СВ., Щеглов Г.А. О динамической устойчивости прямого трубопровода нагруженного переменной осевой силой при протекании через пего пульсирующей жидкости// Изв ЛИ СССР. Механика твердого тела, 1998, б, 175-184.
172. Шашков И.Е. Об устойчивости сжатого и скрученного стержня призматического стержня с произвольной формой поперечного сечения //Инж сборник, 7 (1950)
173. Шклярчук Ф.Н., Гриншнина Т.В. Колеба1Н1я нсконсервативиых систе.м. М.: Изд-во МАИ, 1989.
174. Шииро Г.С, Шпиро И.Г. О парадоксах дииа.мического метода исследовання устойчивости фор.м равновесия упругих систем //Изв. Вузов. Строительство и архитектура. 1989, 2, 115-118. 197. Яги Ю.И., Парипи! Л.К.. Экспериментальное изучения устойчивости стержня при сжатии следящей силой //Труды ЛПИ, 278, 1967, 52-54. 146
