Анализ параметрических колебаний в элементах машин и конструкций при неконсервативном нагружении тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Васина Валентина Николаевна

АНАЛИЗ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ В ЭЛЕМЕНТАХ МАШИН И КОНСТРУКЦИЙ ПРИ НЕКОНСЕРВАТИВНОМ НАГРУЖЕНИИ

01 02 06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

□□3169242

Москва-2008

003169242

Работа выполнена в Московском энергетическом институте (техническом университете) на кафедре динамики и прочности машин

Научный руководитель. -кандидат технических наук, доцент

Радин Владимир Павлович

Официальные оппоненты -доктор технических наук, профессор

Потапов Вадим Дмитриевич -доктор физико-математических наук, профессор Кирсанов Михаил Николаевич

Ведущая организация -Институт Проблем Механики РАН

Защита состоится «28» мая 2008 г в 14~ в аудитории Б-112 на заседании диссертационного совета Д212 157 11 при Московском энергетическом институте (техническом университете) по адресу 111250 Москва, Красноказарменная ул., д 17

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского энергетического института (технического университета)

Автореферат разослан «¿5» &мрЛлЛ 2008 г

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор технических наук, профессор

О В Трифонов

Общая характеристика работы Актуальность проблемы. Динамические расчеты машин и конструкций при параметрических воздействиях имеют ряд особенностей, главная из которых состоит в необходимости исследования устойчивости положений равновесия, а для нелинейных систем - в анализе закритического поведения В настоящее время можно считать, что динамическое поведение канонических систем при параметрических воздействиях исследовано достаточно подробно Менее изученными остаются вопросы параметрических колебаний линейных и нелинейных систем при наличии неконсервативных нагрузок Подобного рода задачи возникают при действии на механические системы переменных во времени следящих сил, учете сил внутреннего трения (параметрические колебания вращающихся валов), учете непостоянства скорости протекания жидкости (расчеты трубопроводов) и т д

Цель работы. Целью диссертационной работы является систематический анализ параметрических колебаний различных механических систем при действии неконсервативных нагрузок На основе разработанного программного продукта провести анализ параметрических колебаний таких систем, как двухзвенный маятник и консольный стержень при действии переменных по величине потенциальных и следящих сил, исследовать влияние сил внутреннего трения на параметрические колебания вращающегося вала, а также проанализировать динамическое поведение участка гибкого трубопровода при протекании по нему жидкости с переменной скоростью.

Методы исследования Для построения областей параметрического резонанса используется метод матриц монодромии с применением численного интегрирования уравнений движения. Характер движения нелинейных систем в закритической области исследуется путем построения сечений Пуанкаре В некоторых случаях динамические системы анализируются методами имитационного моделирования. Параметрические колебания систем с распределенными параметрами исследуются с использованием метода главных координат

Научная новизна. В работе впервые проведен систематический анализ параметрических колебаний ряда неконсервативных систем с использованием современных средств вычислительной математики и техники Обнаружены новые эффекты, присущие неконсервативным системам при параметрических воздействиях В части исследования колебаний консольного стержня при одновременном действии мёртвой и следящей сил обнаружены новые комбинационные резонансы А в задаче колебаний трубопровода с протекающей жидкостью проиллюстрировано сложное взаимодействие различных форм колебаний системы при ее приближении к критическому состоянию

Достоверность полученных результатов. Достоверность результатов обеспечивается применением строгих математических методов исследования, сопоставлением результатов, полученных различными методами, решением большого числа тестовых задач и сравнением ряда результатов с результатами, приведенными в известных справочниках

\ С

Практическая ценность Полученные в работе результаты имеют теоретическое и практическое значение Они позволяют уточнить существующее представление о характере поведения параметрических систем при одновременном действии потенциальных и неконсервативных нагрузок Могут быть использованы при проектировании и динамическом расчете элементов конструкции, находящихся при сложном нагружении

Апробация работы и публикации. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались

- на Одиннадцатой Международной научно - технической конференции студентов и аспирантов «Радиотехника, электротехника и энергетика» 1 - 2 марта, 2005 г, Москва

- на Двенадцатой Международной научно - технической конференции студентов и аспирантов «Радиотехника, электротехника и энергетика» 2-3 марта, 2006 г, Москва

По теме диссертации опубликованы 3 статьи

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, сводки результатов и выводов, списка литературы из 75 наименований Объем работы - 128 страниц основного текста, включая 55 рисунков

Краткое содержание работы

Во введении приводятся определение понятия параметрические колебания и примеры механических систем, математические модели, движения которых описываются дифференциальными уравнениями с переменными (периодическими) коэффициентами Проводится обзор основных литературных данных и формулируется постановка задачи об исследовании параметрических систем Дается краткое содержание диссертации, обоснование важности и актуальности темы исследования параметрических колебаний в неконсервативных системах

В первой главе в матричной форме излагается теория Флоке-Ляпунова и мегод матриц монодромии дтя построения границ областей параметрического резонанса С целью верификации алгоритмов и программ, применяемых в дальнейших вычислениях, в данном разделе проводятся вычисления областей параметрического резонанса для классических систем с одной и двумя степенями свободы, уравнения движения которых имеют вид

А^ + 2еВ^ + С(Е 2цГСО50Г)Я = 0,

где вектор обобщенных координат, А, В и С - симметричные, положительно определенные постоянные матрицы,Е-единичная матрица, постоянная матрица произвольной структуры, характеризующая структуру параметрического возбуждения Интегрирование уравнений движения с целью построения матриц монодромии проводилось с использованием системы имитационного моделирования БнпиЬпк Блок-схема для уравнения движения представлена на рис 1

2 st sv

Рис 1 Блок - схема имитационного моделирования для исследования параметрических колебании системы с двумя степенями свободы

Результаты определения границ параметрического резонанса сравнивались с данными справочника' (глава VII) В некоторых случаях имеются несоответствия графиков, полученных в диссертационной работе, с графиками представленными в справочнике Это касается, например, областей неустойчивости для системы с одной степенью свободы, приведенных на рис 2, для системы с двумя степенями свободы при F = [l 1,-1 l], изображенных на рис 3

О 0,25 0,5 0,75 ц 1

Рис 2 Области параметрического резонанса для системы с одной степенью свободы

О 02 04 06 08 И 1

Рис 3 Области параметрического резонанса для системы с двумя степенями свободы

Как и в вышеупомянутом справочнике, исследованы параметрические резонансы в системах, находящихся под действием позиционных неконсервативных сил Построены области параметрической стабилизации динамически и статически неустойчивых систем

В конце первой главы сформулирована цель диссертации Вторая глава посвящена исследованию плоских колебаний двухзвен-ного маятника (рис 4), находящегося под действием силы £?(/), не изме-

1 Вибрации в технике Справочник Т1 Когебаьга тинейных систем / Пои ред В В Болотина -М Машиностроение - 1999 - 504 с

няющей своего направления, и следящей силы P(t), направленной вдоль оси второго звена при любых отклонениях маятника

потенциальной и следящей сил

Матричная форма уравнении движения относительно вектора угловых перемещений ф = (ф,,ф2)т имеет вид

А(ф)ф + Н(ф)ф2 + Вф + Сф - а^)^ (ф) + (З(г)Е, (<р) = 0,

где введены обозначения А(Ф) =

^ «а 0И/_ ^ с

с с с с т!

Для линеаризованного уравнения движения построены области неустойчивости при постоянных параметрах нагружения ос, р и области параметрического резонанса при а(?) = 2дсо50?, р(/) = 2цсояЭ/ на плоскости ц,0 Изучались траектории движения мультипликаторов при изменении параметров Рассматривались различные случаи нагружения воздействие тотько периодической мертвой силы Q{t), воздействие только периодической стелящей силы и одновременное синфазное изменение сил (?(/) и Р(/) с одинаковой частотой В первом случае главные параметрические резонансы наблюдаются на частотах 0 = 2га, и 0 = 2а2 (го, и со2 - первая и вторая собственные частоты маятника), а комбинационный резонанс суммарного типа имеет место в окрестности частоты 9 = со1+га2 (рис 5) Изучение траекторий мультипликаторов для ц = 0,5 и 0,5 < 0 < 6 показало, что на границе областей неустойчивости имеются 2Т- периодические решения, так как мультиптика-торы выходят за единичную окружность через значения -1, и почти периодические решения для комбинационного резонанса суммарного типа Во втором

2 соь(ф2-ф,) COs(<p2-q>,) 1

Н(Ф) =

0 -81п(ф2-ф,)

51п(ф2-ф,) 0

с=

2 -1 -1 1

Р.(ф) =

БШф, 81Пф2

ш-

81п(ф: -ф,) О

случае нагружения (рис 6) кроме главных параметрических резонансов 9 = 2к>, и 9 = 2ш2 наблюдается параметрический резонанс разностного типа 9 = ш2 - ю1 Здесь также выхода мультипликатора из единичной окружности через значение +1 не происходит, так как кроме почти периодических решений в окрестности частоты ш2 - со, возможны только 2Т -периодические решения Аналогично система себя ведет и в третьем случае нагружения

Рис 5 Области неустойчивости при периодическом изменении мертвой силы и постоянной по величине следящей силе

Рис 6 Области неустойчивости при периодическом изменении следящей силы и постоянной по величине мертвой силе

Рассматривалась возможность параметрической стабилизации неустойчивое га Исследование проводилось для величин параметров задачи, близких или равных их критическим значениям Показано, что при постоянной по величине следящей силе р = 0,9(3,, Р = р., р = 1,05р, и изменяющейся по гармоническому закону мертвой силе стабилизировать систему возможно даже при невысоких значениях амплитуды параметрического воздействия (рис 7) Изучалась эволюция границы области устойчивости, построенная при постоянных по величине значениях мертвой и следящей сил на плоскости а,р (рис 8), при переходе к периодической мертвой силе для некоторых значений частоты 9 = 0 (кривая ABC), 9 = 0,05 9 = 0,5 и 9 = 2 Очевидно, что при соответствующем выборе частоты параметрического воздействия область устойчивости может быть существенно расширена

Исследовалось динамическое поведение нелинейной системы в области параметрического резонанса Строились амплитудно-частотные характеристики при ц = const для раз тачных вариантов параметрического нагружения двухзвенного маятника, фазовые портреты и сечения Пуанкаре, по которым можно судить о характере динамического поведения Задавалось значение 9 и брался ряд значений (д с продвижением вглубь параметрического резонанса

Для построения фазовых портретов и сечений Пуанкаре уравнения движения интегрировались на протяжении / = 100000 (безразмерное время) После исключения переходного участка дискретная выборка для фазовых переменных

2л

формировалась как их значения в моменты времени гк - к—,[к-1,2,3, )

6

При малых значениях параметра ц, т е в окрестности границы неустойчивости, фазовый портрет - замкнутая кривая, а сечение

0,8 V- 1

Рис 7 Области неустойчивости при периодическом изменении

0,8 а 1

Рис 8 Границы области устойчивости на плоскости параметров

мертвой силы и величине следящей нагружения при различных значениях

силы, превышающей свое критическое значение

часюты мертвой силы

Пуанкаре представляет собой конечный набор точек Движение является периодическим При возрастании ц фазовый пор грет также замкнутая кривая, а сечение Пуанкаре - отрезки линий Движение в этом случае квазипериодическое >1 представляет собой сумму гармоник с несоизмеримыми периодами

На рис 9 приведены фазовые портреты и сечения Пуанкаре для далеких закритических областей ц - 0,7 (а, б) и р = 1 (в, г) Здесь в первом случае фазовый портрет аналогичен неустойчивому предельному циклу, стремящемуся к некоторому замкнутому аттрактору Это подтверждает и сечение Пуанкаре, представляющее собой компактный случайный набор точек При ц = 1 в области параметрического резонанса реализуются хаотические движения Это наблюдается на фазовом портрете и на сечении Пуанкаре, образующем фрактальный набор точек Таким образом, по мере удаления от границы параметрического резонанса происходит переход характера движения системы от периодически о к хаосу

В трет»ей главе проводится анализ устойчивости стержня с изгибной жесткостью Е1, погонной массой т и длиной /, жестко защемленного на од-

9

ном конце и нагруженного на другом переменными во времени нагрузками <)(г), направление которой неизменно, и направление которой при любых перемещениях совпадает с направлением касательной к изогнутой оси стержня в точке приложения этой силы. Силы изменяются во времени по

0,5-

ч>

I

0,31---^

-0.6

-0.5 Ф, -0.1

"Ж

т 1 .ЛЖ' I

I .:.:

о •

о1

-2-з

Рис. 9. Фазовые портреты и сечения (а, в) Пуанкаре (б, г) далеких закритических областей ц = 0,7 (а, б) и ц = 1 (в, г)

гармоническому закону. Представим прогиб в виде ряда по формам собственных колебаний консольного стержня, и для удобства вычислений с помощью дельта-функции перенесем проекцию силы ¡9(0 в уравнение

Ф)

, ф(!;)=

Приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

Ас} + (2есА + £,С)я + {С + [а(т) + Р(т)]Б - а(х)в}4 = 0,

где обозначено

X _ и>

II I

\ \Е1

I \ т

в,=Ь,со0, 8е=-

. , 0 1) , , Р(Л 2

Ы ' Е1

Матрицы, входящие в уравнение, вычисляются по формулам

А= |ф(г;)фг0в= {ф'ООф^Ж^К

о о

С=/ф^Ф^К »=

о о

На рис 10 представлена блок-схема имитационного моделирования для исследования параметрических колебаний консольного стержня, с помощью которого интегрировались уравнения движения, и строилась матрица моно-дромии

Рис 10 Блок - схема имитационного моделирования для исследования параметрических колебаний консольного стержня

Некоторые результаты вычислений представлены на рис И и 12 На рис

11 изображены границы параметрических резонансов при действии только периодической силы а(т) = 2цсоз9т при Р = 0 Как и следовало ожидать, существенными здесь являются главные параметрические резонансы на частотах 9 = 2% (¿ = 1,2,3, ) и комбинационные резонансы суммарного типа на частотах 9 = + со; Причем области неустойчивости различного типа могут накладываться друг на друга При синфазном изменении параметров нагрузки а(т) = 2(тсоб9т и р(т) = 2цсо50т области неустойчивости показаны на рис

12 Здесь присутствуют различные параметрические резонансы главные, комбинационные суммарного и разностного типа Обнаружен также кратный параметрический резонанс суммарного типа (со, + со3)/2

Изучались возможности параметрической стабилизации динамически неустойчивой системы, т е для случая, когда один из параметров нагрузки постоянен и равен ичи превышает критическое значение На рис 13 построены границы области параметрической стабилизации доя случая а(т) = 2цсо59т и Р = 1,1 Р„ При превышении следящей силон своего кршичс-

Рис 11 Об части параметричес- * ких резонансов при действии только периодической мертвой силы

О I 2 3 4 5 11 6

Рис 12 Области параметрических резонансов при синфазном изменении параметров нагрузки

О 1 2 3 4 5 ^6

Рис 13 Области параметрической стабилизации

ского значения р = 1,1р, приложение периодической силы а(т) = 2цсоб9т стабилизирует систему в окрестности частот ш2,ш3 и ш4 Наиболее близка к оси ординат т е реализующаяся при малых значениях амплитуды параметрического воздействия, область в окрестности о2

Четвертая глава посвящена исследованию влияния внутреннего трения на параметрические колебания вращающегося вала Обозначим через

= (х,?),и2-вектор поперечных перемещений сечений вала относительно оси вращения Ох в неподвижной системе координат и применим метод главных координат и(£;, т) = Ог(т)<|>(Е), где вектор ф(^)-состоит из форм собственных изгибных колебаний вала, обобщенные координаты включены в матрицу 0(т)

д(т) = [Ч(т) р(т)] =

РгЬ)

Для неизотропною вала изгибные колебания будут описываться уравнением с периодическими коэффициентами При отсутствии присоединенных масс и с учетом нелинейности за счет продольной силы, возникающей в вале при поперечных смещениях и неподвижных опорах, это уравнение будет иметь вид

А>у+Ву(т)у + С,(т)у = 0,

где

А О О А

в» =

£(Е„т)С + е,А_

С,(т) =

У1'2(е„т)С

/и (£; >т) ^ ~ В

В этих формулах элементы матриц А, В, С и ¥ вычисляются как интегралы от собственных форм и их производных, а также обозначено

^т) + д2( т)"

Шх)+ргЛ 1)

/и (е„х) = 1 + 2цсоз2£2х - 28рц51п20т,

(е„х) = 2ц?1п20т + е,0 + 2е,Пцсоз20х, /;(е1,т) = е1(1 + 2цсо82Пт),

^2(е.'т) = 2Е^81п2Пт>

//, (е, , х) = 2р бш 20х - е,0 + 2вРц соб 20х,

/2'2 (е,, х) = 1 - 2цсоз 2Пх + 2е,Оц бш 20х,

/^(е1,т) = 2Б1цзт2£2т,

/2" (е, ,т) = е, (1 - 2ц соэ 20т)

Для случая 72 = 4 на рис 14 построены зависимости критической частоты вращения О, от коэффициента внутреннего трения е, при различных значениях коэффициента внешнего трения Ее Вид кривых подтверждает формулу для О,, полученную В В Болотиным для безинерционного вала с диском О, = со, (1 + ге / е,), где <в, - собственная частота изгибных колебаний Аналогично этой формуле из рис 14 следует, что при неограниченном росте е, критическая частота приближается к первой собственной частоте изгибных колебаний вала, составляющая для рассматриваемой системы л2

Для исследования параметрических резонансов линеаризованное уравнение движения интегрировалось 4п раз на одном периоде Т = 2п/С1 при начальных условиях, соответствующих столбцам единичной матрицы размерностью 4п х 4п Из значений решений в конце периода составлялась матрица монодромии и вычислялись ее собственные числа - мультипликаторы По теории Флоке-Ляпунова-Четаева тривиальное решение уравнения будет устойчивым, если все мультипликаторы по модулю меньше единицы, и неустойчивым, если модуль хотя бы одного мультипликатора превысит единицу На основе этого метода строились границы области неустойчивости на плоскости параметров ¡1 - амплитуда параметрического воздействия и О - частота вращения вала Параметр ¡а характеризует степень неизотропности жест-костных свойств вала Указанные на рис 15 границы построены для случая коэффициента внешнего трения, равного £, = 0,1, при различных значениях коэффициента внутреннего трения Области неустойчивости, расположенные справа от границ, состоят из двух частей область параметрического резонанса, отмеченная на рис 15 горизонтальной штриховкой, и область автокотеба-

г(т) =

ний, возникающих за счет действия неконсервативных сил внутреннего трения. Для случая £; = 0,002, эта область отмечена вертикальной штриховкой.

) 0.001 0,002 0,003 0.004 £ 0,005

Рис. 14. Зависимость критической

скорости вращения вала от коэффициента внутреннего трения

Рис. 15. Области неустойчивости и параметрического резонанса при

е£ = 0,1 и различных значениях коэффициента внутреннего трения

Из рисунка следует, что величина внутреннего трения, существенно снижая верхнюю границу критических частот вращения, практически не влияет на положение границы параметрического резонанса.

Для исследования характера движения системы в области неустойчивости проводилось интегрирование нелинейного уравнения. На рис. 16 построена амплитудно-частотная характеристика при ее=0,1, е, =0,002, у = 150 и р. = 0,05. По оси ординат здесь отложена амплитуда изгибных колебаний вала А в установившемся режиме. Амплитуда А отлична от нуля в области параметрического резонанса в диапазоне частот 9,3 <£!< 10,4 и при й>14,9 в

Рис. 16. АЧХ для среднего сечения вала при ее = 0,1, s,. = 0,002, у = 150,

р. = 0,05.

области динамической неустойчивости из-за наличия внутреннего трения. Для области параметрического резонанса имеет место явление затягивания, что проявляется в зависимости решений для амплитуды колебаний в окрестности правой граничной точки вышеуказанного частотного диапазона от начальных условий (эффект забрасывания). Кривая 1 на рис. 16 построена для начальных отклонений среднего сечения вала, равных 0,0005 при нулевой начальной скорости, кривая 2 - для начальных отклонений 0,005. На рис. 17 представлены траектории движения среднего сечения вала в областях неустойчивости прямолинейной формы при частоте вращения 0 = 10 (рис. 17,а) и при 0 = 16 (рис. 17,6) и указанных выше значениях остальных параметров. Тонкими линиями показаны начальные этапы движения, которые при т —» оо стремятся к установившимся движениям круговой формы (жирные замкнутые линии). Более подробный анализ с помощью сечений Пуанкаре показал, что в области параметрического резонанса устанавливается периодическое движение с частотой О, т.е. имеет место прямая синхронная прецессия. В этом случае сечение Пуанкаре представляет собой единственную изолированную точку. При частотах вращения, больших критических, движение является квазипериодическим, состоящим из гармоник с несоизмеримыми периодами. Соответствующее сечение Пуанкаре - замкнутая кривая.

0,01 и.

0,011

б;

-0,01

0,01

0,01

-0,01'--

-0,01

0,01

Рис. 1 7. Траектории движения среднего сечения вала в областях неустойчивости прямолинейной формы при 0 = 10 (а), О = 16 (б)

В пятой главе проводится исследование параметрических колебаний трубопровода с протекающей жидкостью. Рассматривается прямолинейный участок трубопровода, защемлённый на одном конце, наполненный невязкой жидкостью, которая движется с невозмущённой скоростью (рис. 18).

, Е1, то

*

Рис. 18. Участок трубопровода с протекающей жидкостью

Уравнения движения системы принимается в виде

где м>(!;,т)- прогиб трубопровода, т- масса жидкости, приходящаяся на единицу длины, и введены следующие параметры

Решение уравнения движения представлялось в виде разложения по формам собственных колебаний консольного стержня, в результате приходим к уравнению относительно вектора обобщенных координат ц(т)

где элементы матриц А, В, С и Б вычисляются как интегралы от собственных форм и их производных

Для случая постоянной скорости прогекания жидкости на рис 19 для е = 0,01 представлена зависимость критических значений параметра скорости а. ((3), соответствующая границе, пересечение которой приводит к колебательной неустойчивости трубопровода (флаттеру) Область под кривой а,((3) можно трактовать как область устойчивости на плоскости ¡3,а На этом же рисунке приведена зависимость частоты флаттера га,(Р), соответствующая значениям мнимой части характеристических показателей, переходящих в правую полуплоскость при критических значениях параметров

Рис 19 Граница области устойчивости и частота флаттера при потере устойчивости

Рассмотрен случай периодического изменения скорости протекания жидкости, т е

АЧ + [2вА + 2а(ЗВ]Ч+ (1-р)С +а2рБ+{3—В Ч = 0,

0 0,2 0,4 0,6 0,8 Р

а(т) = а(1 + 2ЦСОБ0Т), — = -2ар.0зт0т.

йх

Здесь 9- круговая частота изменения периодической составляющей скоро-

2к

сти, связанная с периодом Т известным соотношением Г = —, 2ц- амплитуда флуктуации скорости в долях от среднего значения а.

Методом матриц монодромии исследовалось влияние параметра модуляции р и частоты 9 параметрического воздействия на положение границ области устойчивости на плоскости р, а. На рис. 20 представлены границы области устойчивости трубопровода на плоскости Р,а при частоте параметрического воздействия (пульсаций скорости протекания жидкости) равной 0 = 30 и различных значениях параметра модуляции параметрического воздействия р. Эти значения указаны на рис. 20 у соответствующих кривых. Штриховая линия - граница области устойчивости при постоянной скорости протекания жидкости. Кроме несущественных участков стабилизации системы при малых значениях параметра ц в окрестности Р » 0,7, непостоянство скорости жидкости сужает область устойчивости и тем больше, чем больше параметр модуляции р. Следует также отметить весьма сложный вид границ устойчивости, характерный для случая, когда неконсервативная система подвергается параметрическому воздействию. На рис. 21 границы области устойчивости построены при постоянной степени модуляции р = 0,25 для различных частот параметрического воздействия. Здесь существенное влияние на положение границы наблюдается для малых значений (р<0,6) относительной массы жидкости. Причем проявляется как стабилизирующее влияние параметрического воздействия (0 = 40, р<0,3), так и дестабилизирующее немонотонное влияние параметрического воздействия.

3 0,2 0,4 0,6 0,8 р I

Рис. 20. Границы области устойчивости при 0 = 30 и различных значениях р

0.2

0,4

0,6

0.8 Р

Рис. 21. Границы области устойчивости при р = 0,25 и для различных частот параметрического воздействия

Рис. 22 иллюстрирует динамическое поведение системы на границе области устойчивости. Для относительной массы жидкости Р = 0,4, пульсаций скорости с частотой 9 = 30 и различных коэффициентов модуляции ц = 0 (рис. 22,а), |д = 0,1 (рисунок 22,6), р. = 0,25 (рис. 22,в) и ц = 0,5 (рис. 22,г) построены фазовые портреты движения конца участка трубопровода (^ = 1) для установившегося участка движения. При ц = 0 критические значения параметров системы приводят к образованию устойчивого предельного цикла с частотой ю. =21. На фазовой плоскости такому предельному циклу соответствует эллипс (рис. 22,а). Введение в систему параметрического воздействия с малой амплитудой ц = 0,1 приводит к бифуркации типа удвоения периода, движение существенно усложняется, оставаясь периодическим (рис. 22,6). Частота движения становится равной =10. При ц = 0,25 и ц = 0,5 периодические движения на границе области устойчивости происходят с частотой 0/2 = 15.

для различных значений коэффициента модуляции Сводка результатов и выводы

1. Проведен пересчет и дополнительные численные исследования областей параметрического резонанса для систем с одной и двумя степенями свободы. В последнем случае, как и в справочнике (см. ссылку на стр. 5 автореферата), проведен анализ структуры коэффициентов возбуждения. Рассмотрены параметрические резонансы в некосервативной системе с двумя степенями свободы. Вычисления проводились с использованием метода матриц монодромии с проверкой точности положения границы параметрического резонанса непосредственным интегрированием уравнений движения. Интегрирование уравнений параметрических колебаний проводилось с использовани-

ем соответствующих схем имитационного моделирования Получены уточнения некоторых графиков, приведенных в упомянутом выше справочнике

2 Построены границы области устойчивости и опредечена частота флаттера при постоянных по величине действующих силах для нелинейного уравнения движения двухзвенного маятника, находящегося под действием потенциальной и следящей сил Проведено исследование положения границ параметрического резонанса для двухзвенного маятника при различных вариантах периодического изменения величины потенциальной и следящей силы Кроме главных параметрических резонансов получены комбинационные резонанс суммарного типа при действии периодической мертвой силы и комбинационный резонанс разностного типа при действии периодической следящей силы Изучены траектории мультипликаторов на комплексной плоскости Численно проанализирована возможность параметрической стабилизации статически и динамически неустойчивой системы Проведено исследование динамического поведения нелинейной системы в области параметрического резонанса Показано, что в области неустойчивости в зависимости от близости к границе существуют периодические, квазипериодические и хаотические движения

3 Проведено исследование параметрических колебаний консольного стержня при одновременном нагружении мертвой и следящей силами Применением метода разложения по формам собственных колебаний уравнение движения стержня сведено к системе обыкновенных дифференциальных уравнений Для случая постоянных по величине нагрузок построена граница устойчивости на плоскости параметров и определена частота флаттера при динамической потери устойчивости Для построения границ неустойчивости при периодическом изменении нагрузок была разработана схема имитационного моделирования в системе БшшИпк Рассмотрены различные варианты параметрического нагружения стержня с построением границ областей неустойчивости и изучением поведения мультипликаторов Здесь для системы, находящейся под действием только периодической следящей силы, получен суммарный резонанс А для случая синфазного изменения следящей и мертвой сил обнаружен кратный параметрический резонанс суммарного типа Проанализирована возможность параметрической стабилизации статически и динамически неустойчивой системы

4 Рассмотрены нелинейные уравнения движения вращающегося вала с распределенной массой и имеющего различные главные моменты инерции с учетом неконсервативных сил внутреннего трения Методом главных координат проведена редукция системы к системе с конечным числом степеней свободы Исследована устойчивость вращающегося вала, определены критические скорости Показано, что область неустойчивости является совокупностью области параметрического резонанса и области автоколебаний, возникающих за счет действия неконсервативных сил внутреннего трения Для нелинейной системы проведено построение амплитудно-частотной характеристики и исследован характер движения вала в области неустойчивости при вращении с закритической частотой

20 УЦ

5 Рассмотрены параметрические колебания участка трубопровода с жидкостью, протекающей по нему с непостоянной скоростью Для случая постоянной скорости протекания жидкости на плоскости параметров относительная масса-скорость течения построена граница области устойчивости и определена частота флаттера Для гармонических флуктуаций скорости проведено подробное исследование положения границ устойчивости на указанной выше плоскости параметров, а также на плоскости коэффициент модуля-ции-частота. Проведено исследование динамического поведения системы на границе области устойчивости Показано, что введение в систему параметрического воздействия с малой амплитудой приводит к бифуркации типа удвоения периода, движение системы существенно усложняется, оставаясь периодическим

Публикации по теме диссертации

1. Васина В.Н. Параметрические колебания участка трубопровода с протекающей жидкостью // Вестник Московского энергетического института, 2007. №1. С. 5-12.

2 Болотин В В , Васина В Н, Радин В П, Чирков В П Параметрические колебания в неконсервативных системах // «Проблемы прикладной механики, динамики и прочности машин» Сборник статей Изд-во МГТУ им Н Э Баумана, 2005 С. 22-31

3 Васина В Н, Окопный Ю А, Радин В П Исследование влияния внутреннего трения на параметрические колебания вращающегося вала // Инженерный журнал Справочник Машиностроение, 2005, №11. С 1924

4 Васина В.Н, Радин В П Исстедование устойчивости и послекритиче-ского поведения роторной системы // Радиоэлектроника, электротехника и энергетика Одиннадцатая междунар науч -техн конф студентов и аспирантов Тез докл В 3-х т М Издательство МЭИ, 2005 ТЗ С 230

5 Васина В Н, Радин В П Исследование влияния внутреннего трения на параметрические колебания вращающегося вала // Радиоэлектроника, электротехника и энергетика Двенадцатая междунар науч -техн конф студентов и аспирантов Тез докл В 3-х т. М Издательство МЭИ, 2006. ТЗ С 284

Подписано в печать Ц.ОЦ^ За* а Тир ¡00 Пл Полиграфический центр МЭИ (ТУ) Красноказарменная ул , д 13

Введение

Глава 1 Методы исследования параметрических колебаний.

1.1 Устойчивость решений уравнений с периодическими коэффициентами. Теория Флоке - Ляпунова

1.2 Метод матриц монодромии для построения границ областей параметрического резонанса

1.3 Примеры построения областей неустойчивости

1.4 Цель диссертации

Глава 2 Параметрические колебания двухзвенного маятника, находящегося под действием потенциальной и следящей сил

2.1 Уравнения движения двухзвенного маятника

2.2 Построение областей неустойчивости и параметрического резонанса

2.3 Параметрическая стабилизация неустойчивости

2.4 Динамическое поведение системы в области параметрического резонанса

Глава 3 Исследование устойчивости консольного стержня при параметрическом воздействии

3.1 Применение метода главных координат

3.2 Разработка блок-схемы имитационного моделирования

3.3 Построение областей параметрического резонанса

Глава 4 Исследование влияния сил внутреннего трения на параметрические колебания вращающегося вала

4.1 Предварительные замечания

4.2 Вывод уравнений движения вала

4.3 Применение метода главных координат

4.4 Исследование устойчивости вращающегося вала

Глава 5 Параметрические колебания участка трубопровода с протекающей жидкостью

5.1 Предварительные замечания

5.2 Вывод уравнения движения

5.3 Устойчивость трубопровода при постоянной скорости течения жидкости

5.4 Устойчивость трубопровода при параметрическом возбуждении

Сводка результатов и выводы

Среди различных видов механических колебаний отдельное место занимают параметрические колебания, как колебания, вызванные и поддерживаемые параметрическим возбуждением [48]. В свою очередь, параметрическое возбуждение колебаний механической системы определяется изменением во времени одного или нескольких её параметров (массы, момента инерции, коэффициента жесткости и др.). Термины «параметрически возбуждаемые колебания» или просто «параметрические колебания» были предложены А.А. Андроновым и М.А. Леонтовичем [8]. Параметрические колебания описываются дифференциальными уравнениями с переменными (обычно периодическими) коэффициентами. В отличие от вынужденных колебаний, параметрические колебания поддерживаются внешними силами косвенно - через изменения параметров системы. Простейшим классическим примером в механике являются параметрические колебания маятника, возбуждаемые путем периодического перемещения точки подвеса в направлении силы тяжести. Для упругих систем распространенными являются задачи о колебаниях прямолинейного стержня, на который действует периодическая продольная сила. Круговое кольцо, нагруженное равномерно распределенной нагрузкой, периодически меняющейся во времени, при определенных соотношениях частот может испытывать интенсивные изгибные колебания. Продольные силы, действующие в срединной плоскости пластины, могут вызывать поперечные колебания. Периодические силы, действующие на балку узкого поперечного сечения в плоскости ее наибольшей жесткости, при определенных условиях вызывают изгибно-крутильные колебания из этой плоскости и т.д.

Для всех этих задач общим является то, что причиной колебаний является периодическое изменение внешних сил такого вида, что, будучи приложены статически, они могут вызвать статическую потерю устойчивости равновесия упругой системы. Такие силы называются параметрическими. Периодическое изменение параметрических сил вызывает периодическое изменение жесткости системы по отношению к другим силам. Параметрические колебания встречаются также при изучении динамики валов, роторов и более сложных механизмов. Так вал, сечение которого имеет неодинаковые главные жесткости, при вращении может испытывать интенсивные поперечные колебания даже в том случае, если он полностью уравновешен и если его ось параллельна ускорению сил тяжести. Непосредственной причиной возбуждения колебаний в этом случае является периодическое изменение жесткости вала во времени относительно неподвижных осей. Примером системы, в которой периодически изменяется некоторая приведенная масса, служит шатунно-кривошипный механизм. Другие примеры можно найти в [1-3, 5, 8, 9, 18, 24, 25, 43, 46-48, 51-53, 62, 65, 72].

Впервые параметрические колебания жидкости в сосуде наблюдались Фарадеем в 1831 г., а параметрические колебания струны исследовались в 1859 г. Мельде, последние были теоретически объяснены Стреттом (1883 г.) [67]. В 1924 г. Н.М. Беляевым были рассмотрены изгибные колебания прямого стержня, нагруженного периодической продольной силой [11]. Далее большой вклад в разработку методов исследования параметрических колебаний внесли А.А. Андронов и М.А. Леонтович [8], Н.Е. Кочин [40], Н.М. Крылов и Н.Н. Боголюбов [42], В.А. Боднер [13], В.Н. Чаломей [65] и другие. Основополагающий характер в области развития методов исследования параметрических колебаний имеют работы В.В. Болотина, обобщенные и систематизированные в монографии [14].

Среди задач о параметрических колебаниях механических систем наибольший интерес представляют задачи, связанные с исследованием устойчивости положений равновесия или установившихся периодических движений. Для линейных систем при периодических параметрических воздействиях основная задача состоит в отыскании областей неустойчивости на плоскости или в пространстве параметров, и установлении условий наступления параметрических резонансов. В качестве таких параметров, обычно принимаются амплитуда и частота параметрического воздействия. Внутри областей неустойчивости линейных параметрических систем установившиеся периодические движения отсутствуют. При этом добавление линейных диссипативных сил сужает и смещает области неустойчивости, не налагая ограничений на амплитуды колебаний внутри этих областей. В этом состоит одно из отличий параметрических колебаний от установившихся вынужденных колебаний, где добавление диссипативных сил приводит к конечным амплитудам при резонансных отношениях частот. Ограниченные амплитуды в областях параметрического резонанса имеют место для нелинейных систем.

Исследованиям устойчивости линейных и нелинейных параметрических систем посвящена обширная литература (см., например, [1 - 32, 34 - 38, 42 - 53, 57 - 60, 62, 63, 65 - 75]). Менее изученными до настоящего времени пока остаются вопросы параметрических колебаний в системах, находящихся под действием сочетания потенциальных и неконсервативных сил. Кроме перечисленных выше задач здесь возникают вопросы о параметрической стабилизации статической и динамической неустойчивости системы. На возможность стабилизации посредством параметрического возбуждения систем, находящихся под действием постоянных позиционных неконсервативных сил, указывалось в работах [3, 4, 5, 25, 26, 27].

Развитие методов и алгоритмов вычислительной математики и создание мощной вычислительной техники открывает новые возможности при рассмотрении сложных задач параметрических колебаний, представляющих большой интерес в связи с развитием объектов новой техники. Данная работа посвящена численному исследованию параметрических колебаний в системах при периодических изменениях потенциальных и неконсервативных позиционных сил. В первой главе дается краткий обзор методов исследования устойчивости решений уравнений с периодическими коэффициентами. Здесь же методом матриц монодромии, который используется во всей работе, с целью верификации алгоритмов и программ проводится построение границ областей неустойчивости для уравнений с периодическими коэффициентами, вошедшими в основное справочное издание по теории колебаний [27]. Во второй главе исследуется устойчивость двухзвенного маятника, находящегося под действием потенциальной и следящей сил. Рассматриваются случаи периодического изменения одной из сил при постоянной по величине другой, а также случай синфазного периодического изменения нагрузок. Анализируется возможность стабилизации статической и динамической неустойчивости системы. Аналогичные вопросы анализируются в третьей главе работы для консольного стержня с распределенной массой.

Четвертая глава посвящена исследованию влияния сил внутреннего трения на параметрические колебания вращающегося вала. На плоскости параметров системы строятся границы областей параметрического резонанса и динамической неустойчивости. Для нелинейной системы изучается динамическое поведение вала в области параметрического резонанса при вращении с закри-тической частотой.

В пятой главе рассматривается устойчивость участка гибкого трубопровода с протекающей по нему жидкостью. Скорость жидкости представляется в виде некоторой постоянной величины с наложением флуктуаций, изменяющихся по гармоническому закону. На плоскости параметров задачи строятся области параметрического резонанса.

1. Агафонов С.А. О неустойчивости свободного упругого стержня с нелинейной внутренней вязкостью под действием следящей силы,// Изв. РАН. МТТ.2006. №2. С. 104-110:

2. Агафонов С.А. Об устойчивости и автоколебаниях двойного ■ маятника с упругими элементами, находящегося под действием следящей силы //Изв. РАН. МТТ. 1992. №5. С. 185-190.

3. Агафонов С.А. Эффект стабилизации равновесия маятника Цтглера параметрическим возбуждением // Изв. АН. МТТ. 1997. №6. С. 36-40.

4. Агафонов-С.А. Стабилизация движения неконсервативных систем с помощью параметрического возбуждения // Изв. АН. МТТ. 1998. №2. С 199202.

5. Агафонов С.А., Щеглов Е.А. О стабилизации двойного маятника, находящегося под действием следящей силы, посредством параметрического возбуждения // Изв. АН. МТТ. 2003. №3. С. 38-47.

6. Акуленко Л.Д:' Собственные поперечные колебания неоднородногостержня // Изв. РАН. МТТ. 2003. №3. С. 179-192.

7. Акуленко Л.Д. Собственные поперечные колебания вращающегося стержня // Изв. РАН. МТТ. 2007. №1. С. 3-14.

8. Андронов А.А., Леонтович М.А. О колебаниях системы с периодически меняющимися параметрами // Ж. русс, физ.-хим. общ. (физ.), №59, 1927. С. 429 443.й

9. Боголюбов Н.Н'., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы, в теории- нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. 504 с.

10. Боднер В.А. Устойчивость пластин под действием продольных периодических сил // Прикладная-математика-и механика1, 1938, т. 6, вып. 2. С. 87 -104.

11. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гостехиз-дат, 1956. 600 с.

12. Болотин В'.В. Конечные деформации гибких трубопроводов. Труды-Московского энергетического института, вып. XIX. М.!: Госэнергоиздат, 1956. С.

13. Болотин В.В: Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. -М.: Физматгиз, 1961. 339 с.

14. Болотин^ В.В. О колебаниях и устойчивости стержней, нагруженных неконсервативными силами //Колебания в турбомашинах. М.: Изд. АН1 СССР; 1959. С. 23-42.

15. Болотин В.В: Устойчивость консольного, стержня с упругой связью при< непотенциальном нагружении//Изв. РАН. МТТ. 2006. №2. С. 84-92.

16. Болотин В В., Васина В.Н., Радин В.П., Чирков В.П. Параметрические колебания в неконсервативных системах // «Проблемы прикладной механики, динамики и прочности машин». Сборник статей. Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2005. С. 22-31.

17. Болотин В.В., Гришко А.А. Устойчивость и послекритическое поведение аэроупругих систем с учётом дополнительного демпфирования // Изв. РАН. МТТ. 2003. №5. С. 164-174.

18. Болотин В.В., Жинжер Н.И. Устойчивость линейных систем / Энциклопедический справочник по машиностроению. Т. Г 3. М.: Машиностроение. 1994. Т. 2. С. 462-472.

19. Борук И.Г., Лобас Л.Г., Патрицио Л.Д. О состояниях равновесия перевернутого двойного маятника со следящей силой на упругозаделанном верхнем конце // Изв. РАН. МТТ. 2004. №5 С. 16 22.

20. Болотин В В., Петровский А.В., Радин В.П. Устойчивость и послекритическое поведение многоступенчатой системы твёрдых тел при непотенциальном нагружении // Изв. АН. МТТ. 2005. №1. С. 174-187.

21. Борук И.Г., Лобас Л.Г., Патрицио Л.Д. Осостояниях равновесия-перевёрнутого двойного маятника со следящей силой на упругозаделанном верхнем? конце // Изв. АН.,МТТ. 2004. №5. С. 121-127.

22. Васина В.Н. Параметрические колебания участка трубопровода.с протекающей жидкостью // Вестник Московского энергетического института, 2007. №1. С. 5-12.

23. Васина В.Н., Окопный,Ю.А., Радин В.П. Исследование влияния внутреннего трения на'параметрические колебания вращающегося, вала // Инженерный журнал. Справочник. Машиностроение, 2005, №11. С. 19 24

24. Гольденблат Г.Ю. Устойчивость упругих систем^ при динамических нагрузках. Сб. «Проблемы устойчивости в строительной механике». Стройиздат. 1965. с.

25. Гришко А.А., Дубовских Ю.А., Петровский А.В. О послекритическом поведении диссипативных нелинейных систем // прикладная механика. 1998. Т. 34. №6. С. 92-98.

26. Гришко А.А., Петровский А.В., Радин В.П. О влиянии внутреннего трения на устойчивость панели в сверхзвуковом потоке газа // Изв. РАН1. МТТ. 1998. №1. С. 173 181.

27. Гром А.А., Левченко И.Н., Лизунов П.П. Колебания и устойчивость ротора при сложном движении // прикладная механика. 1999. Т. 35. №7. С. 104-107.

28. Гультяев А.К. Matlab5.3. Имитационное моделирование в среде Windows. Санкт Петербург: Изд-во «Корона принт», 2001. 400 с.

29. Денисов Г.Г. К проблеме гироскопической стабилизации механических систем // Изв. РАН. МТТ. 2006. №3. С. 11-15.

30. Детинко Ф.М. Следящая нагрузка и устойчивость плоской формы изгиба стержня // Изв. РАН. МТТ. 2002. №5. С. 118-125.

31. Диментберг Ф.М. Изгибные колебания вращающихся валов. М.: Изд-во АН СССР, 1959.

32. Жаркова Н.В. Прикладные задачи динамики упругих стержней // Изв. РАН. МТТ. 2006. №6. С. 80-98.

33. Кочин Н.Е. О крутильных колебаниях коленчатых валов // Прикладная математика и механика, 1934, т. 2, вып. 1. С. 3 28.

34. Кошляков В.Н. О переходе к уравнениям прецессионной теории в неконсервативных гироскопических системах // Изв. РАН. МТТ. 2003. №4. С. 43-51.

35. Лобас Л.Г., Лобас Л.Л. Бифуркации, устойчивость и катастрофы состояний равновесия двойного маятника под воздействием асимметричной следящеё силы // Изв. АН. МТТ. 2004. №4. С. 139-149.

36. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Гостехиздат, 1951.

37. Малкин И.Г. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. Гостехиздат, 1949.

38. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат, 1956. 491 с.

39. Мухин О.Н. Динамический критерий устойчивости трубопровода с протекающей жидкостью. Изв. АН СССР, Механика, 1965, №3. С. 52-61.

40. Механические колебания. Основные понятия. Терминология. Буквенные-обозначения величин. М.: Наука, 1987. 24 с.

41. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. М.: Наука. 1991.255 с.

42. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. — М.: Наука, 1979. 384 с.

43. Пановко Я.Г., Сорокин С.В. О квазиустойчивости упруговязких систем со следящими силами // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. №5. С. 135-139.

44. Петровский А.В* Динамическое поведение обращенного двухзвенного неортогонального маятника при непотенциальном нагружении // Изв. АН. МТТ. 2003. №5. С. 137-146.

45. Петровский А.В. Устойчивость и послекритическое поведение обращенного пространственного маятника, при непотенциальном нагружении //Изв. РАН. МТТ. 2002. №1. С. 165-176.

46. Постнов В.А. Оптимизация по критерию устойчивости консольного стержня, подверженного действию неконсервативной сжимающей силы // Изв. РАН. МТТ. 2006. №2. С. 93-103.

47. Потёмкин В.Г. Matlab 5.x. Система инженерных и научных расчётов. М.: «Диалог-Мифи», 1999. Т. 1.368 с.

48. Потёмкин В.Г. Matlab 5.x. Система- инженерных и научных расчётов. М:: «Диалог-Мифи», 1999. Т.2.304 с.

49. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник. Т. 3 // Под ред. И.А. Биргера и Я.Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1968. 568 с.

50. Самсонов В.А., Селюцкий Ю.Д. О колебаниях пластины в потоке сопротивляющейся среды // Изв. РАН. МТТ. 2004. №4. С. 24-31.

51. Светлицкий В.А. Нестационарные колебания стержней при импульсном нагружении // Изв. РАН. МТТ. 2006. №2. С. 69-76.

52. Тимошенко С.П. Теория колебаний в инженерном деле. ГТТИ. 1994. с.

53. Тондл А. Динамика роторов турбогенераторов. JL: «Энергия», 1971. 388 с.

54. Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. М.: Изд-во «Наука», 1967. 376 с.бЗ.Челомей В.Н. Динамическая устойчивость авиационных, конструкций. М.: Изд. Аэрофлота, 1939. 250 с.

55. Чеботарев Н.Г., Мейман Н.С. Проблема Рауса-Гурвица для полиномов и целых функций. Изд-во АН СССР, 1949.

56. Шмидт Г. Параметрические колебания. М.: Мир, 1978. 336 с.

57. Bolotin V.Y., Gantes Ch., Grichko A.A., Kounadis A.N. Non-linearpanel flutter inremote post-critical domain // Int. J/ Non-Linear Mechanics,// 1998. V. 33 №5. P. 753-764.

58. Bolotin V.V., Gantes Ch., Grichko A.A., Kounadis A.N., Roberts J.B. Influence of initial conditions on the postcritical behavior of nonlinear aeroelastic system// J. Nonlinear Dynamics. 1998. №15. P. 63-81.

59. Bolotin V.V., Grichko A.A., Petrovsky A.V. Secondary bifurcations and global instability of an aeroelastic nonlinear system'in the divergence domain // J. Sound Yibr. 1996. V. 191. №3. P. 431-451.

60. Bolotin V.V., Zhinzher N.I. Effects of damping on stability of elastic systems subjected to nonconservative forces // Int. J. Solid Struct. 1969. V.5. № 9. P. 965-989.

61. Jin J.-D. Bifurcation analysis of double pendulum with a follower force // J. Sound Yibr. 1992. V. 154. №2. P. 191-204.

62. Kounadis A.N. On the failure of static stability analyses of nonconservative systems in regions of divergence instability // Int. J. Solids and Structures. 1994. V. 31. №15. P. 2099-2120.

63. Ziegler H. Die Stabilititatskriterien der Elastomechanik // Ing.-Arch., 1952, v.20, №1. P. 49-56.

64. Рошсагё H. Les methodes nouvelles de la mecanique celeste, 1982.