Применение метода возмущений для расчета и оптимизации динамических характеристик неконсервативных систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

РГ6 од

/ 6 СЕН ШЗ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА. ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ имени СЕРГО ОРДЖОНИКИДЗЕ

На правах рукописи

ГРИШАНИНА ТАТЬЯНА ВИТАЛЬЕВНА

УДК 539.3

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ВОЗРЛУЩЕНИЙ ДЛЯ РАСЧЕТА И ОПТИМИЗАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК НЕОКОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ

Специальность 01.02.06 "Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва - 1993

Работа выполнена в Московском ордена Ленина и ордена Октябрьской революции авиационном институте им. С. Орджоникидзе. Научный руководитель - доктор технических наук, профессор Шклярчук Ф.Н. Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

часов на заседании специализированного совета Л 053.18.07 Московского авиационного института им. С. Орджоникидзе по адресу: 125871, Москва, ГСП, Волоколамское шоссе, 4.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке МАИ.

профессор Тарлаковский Д.В., кандидат технических наук, с.н.с. Балакирев Ю.Г.

Ведущая организация - НИИАС (г. Москва) Защита состоится "_"_1993 года в

.1993 года в

Ученый секретарь специализированного совета Д 053.18.07

Б.Н. Зайцев

ОНЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность темы. Яри решении многих задач динамики и устойчивости движения упругих систем, например, летательных зппаратов (ЛА), космических аппаратов (КА) и крупногабаритных космических конструкций (КГКК), нарлду с инерционными, упругими и заданными внешними силами приходится учитывать различные возмущения, возникающие в результате взаимодействия колеблющейся конструкции с другими средами и системами. Характерными дая ЛА, КА и КГКК является возмущения, создаваемые: аэродинамическими силами; кориолисовыш силами относительного движения жидкого топлива; реактивными силами истекающих газов; гироскопическими силами вращающихся роторов; автоматом стабилизации (сервоприводами), а также инерционным взаимодействием упругих колебаний с неустановившимся вращением системы. Эти сила зависят от параметров движения (перемещений, скоростей, ускорении) системы и в большинстве случаев являются неконсервативными. Уравнения возмущенного движения системы при наличии неконсервативных сил получаются несамосопряженными и в такой системе наряду со статической возможна динамическая неустойчивость типа флаттера.

Неконсервативные системы могут быть весьма чувствительны к изменениям их параметров. Это, а также то, что такие системы как ЛА, КА, КГКК имеют переменные во времени параметры и большое число модификаций и разных полезных нагрузок, приводит к необходимости рассматривать большое число расчетных случаев. Вследствие этого прямые расчеты динамических характеристик и устойчивости неконсервативных систем большой размерности (например, при использовании ко-нечноэлементных моделей) являются весьма трудоемкими и навряд ли могут быть выполнены в полном объеме, да еще с оптимизацией их пара-

метров.

Поэтому разработка эффективного аналитического метода расче динамических характеристик и устойчивости неконсервативных систел при малых изменениях их параметров с возможностью применения его для экономичной процедуры оптимизации является актуальной проблемой , не получившей к настоящему времени должного развития. Этой проблеме посвящена данная работа.

Тема диссертации связана с научно-исследовательскими работа ми, проводимыми в Московском авиационном институте по темам "Моде и методы для анализа динамики и местной прочности составных крупв габаритных космических конструкций" и "Динамика упругих конструко ЛА с системами активного управления".

Цель работа: I) получение по методу возмущений формул первс и второго приближений для комплексных собственных значений и вект ров, а также коэффициентов уравнений колебаний неконсервативных с тем в нормальных координатах при малых изменениях их параметров; 2) вычисление коэффициентов чувствительности и оптимизация динами ческих характеристик неконсервативных систем на основе формул мет да возмущений; 3) получение линеаризованных уравнений колебаний КГКК в центральном гравитационном поле при больших углах поворота и конечных упругих деформациях.

Научную новизну рабьты составляют: I) результаты (формулы с оценками их точности на Ьримерах), полученные по методу возмущенв для определения динамических характеристик неконсервативных систе при изменении их параметров; 2) применение формул метода возмущений для экономичной процедуры оптимизации динамических характерно тик неконсервативных систем; 3) нелинейные и линеаризованные ура! нения движения больших упругих космических конструкций.

Достоверность результатов обосновывается математической ст^ гостью получения приближенных решений и сравнением их с точными I 4

шениями, а также с решениями других авторов.

Практическую ценность работы составляет эффективная методика оценки влияния малых изменений параметров неконсервативных систем на их динамические характеристики и основанная на ней экономичная процедура рационального проектирования и оптимизации.

Апробация. Основные положения и результаты работы доложены на: II Всесоюзной конференция "Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов", Куйбышев 1986 г.; Гагаринских научных чтениях по космонавтики и авиация, Москва 1988г; III Всесоюзной конференции "Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов", Казань 1988 г.; Международной конференции по 'крупногабаритным космическим конструкциям, Новгород 1993 т.; научном семинаре "Проблемы механики деформируемого твердого тела и динамика машин", Москва, МАИ, 1993 г.

Публикация результатов исследований. По теме диссертации имеется десять публикаций.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературных источников из 120 наименований. Работа изложена на 146 страницах, содержит 20 рисунков и 13 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана характеристика направления темы диссертации и приведено ее краткое содержание по главам.

В первой главе диссертации выполнен обзЬр современного состояния проблем динамики неконсервативных систем. Систематическое исследование задач теории колебаний и динамической устойчивости упругих неконсервативных систем началось в начале 30-х годов этого

5

столетия в приложении к аэроупругости несущих поверхностей ЛА. В разработке этого направления участвовало большое число отечественных и зарубежных ученых и исследователей: М. Келдыш, Е.П. Гроссма X. Кюсснер, У.Дж. Дункан, Р.Л. Бисшшнгхо<№, Я.С. Фын, Дж.У. Майлс, С.П. Стрелков, В.В. Болотин, М.С. Галкин, А.Ф. Минаев, В.Г. Бунь-ков, P.E. Лампер, A.C. Вольмир, А.Т. Пономарев, Ю.Н. Новичков, H.И. Кинкер и многие друтие.

В связи с разработкой управляемых ракет и КА возникли новые неконсервативные задачи автоупругости (взаимодействия упругой конструкции с автоматом стабилизации). В этом направлении большой вклад внесли К.С. Колесников, Б.И. Рабинович, P.C.:Райян, Л. Шро-вич, C.B. Черемша, В.П. Шмаков, Ю.Г. Балакирев и др. Системы актк ного управления также широко используются в авиации для борьбы с аэроупругими колебаниями конструкций самолетов (аэроавтоупругосгь)

В последнее время в основном в связи с разработкой проектов КГКК большой интерес вызывают задачи динамики, управления, устойчивости и оптимизации таких неконсервативных систем как адаптивные конструкции, выполненные из композиционных материалов с встроенными в них дискретными или распределенными измерительными и исполнительными элементами (Б.К. Вада, Э.Ф. Кроули, др.).

Особое внимание в обзоре уделяется методам расчета влияния малых изменений параметров неконсервативных систем на их динаыичес кие характеристики (коэффициентов чувствительности) и методам опта

мизации.

На основании анализа литературы по теме диссертации намечен! и обоснованы проблемы для исследования.

Вторая тлава посвящена уравнениям колебаний и получению пер< даточных функций упругих неконсервативных систем. Уравнения колеб! ний линейной неконсервативной системы с конечным числом 5 степе-

ней свободы в обобщенных координатах имеют вид

см+ё)^ + + = " (I)

где = , <3 = ~ векторы обобщенных координат

и обобщенных сил; м = м , к = к - матрицы инерции и жесткости; б- , 1) , Ез - произвольные в общем случае комплексные матрицы инерционных, демпфирующих и позиционных неконсервативных сил.

Уравнение (I) при введении вектора фазовых координат

« т

-С ] приводится к уравнению порядка 26

А ъ = (2)

Далее после решения задачи о собственных числах и векторах исходной и сопряженной систем, т.е.

ГЛА + сз^О - V« 2,26>

(3)

уравнение (2) путем разложения

«1 «< '

с учетом условий биортогональности

= 0, = 0 при

т Ф п и обозначений ^ , = =

сводится к уравнениям в нормальных координатах

= «--<2,...^. (5)

При этом начальное условие Х(0)= принимает вид

^О , ... <6)

Уравнения (5) решаются точно; ■ при практических расчетах можно ограничиться неболышгм числом этих уравнений, соответствующих минимальным по модулю значениям , в силу быстрой сходимости разложения (4). Таким образом для систем большой размерности наиболь-

шая трудоемкость падает на решение задач о собственных значениях и векторах (3). Пусть

^ , /?г 5 и. (7)

представляют векторы наблюдаемых (измеряемых) параметров движения

и управляющих сил; А/ , £ - прямоугольные матрицы. Тогда на /

основе (5) при ~~ = р можно получить = Н(р) и, > где

является передаточной матрицей разомкнутой неконсервагивной системы В качестве примера подробно рассмотрены аэроупругие колебания ракеты при отклонении вектора следящей силы тяги. Уравнения попереч ных колебаний составлены по МКЭ на основе балочной модели с учетом сдвигов, инерции вращения и продольного сжатия. Погонная аэродинами ческая нагрузка на упругую колеблющуюся оперенную ракету определялась на основе нестационарной теории обтекания тонкого тела. Определены границы устойчивости в области безразмерных параметров скорости полета и силы тяги при 9-ти КЭ ( 5 = 20). На основе (8) при р =с СО построена частотная характеристика системы в области устойчивости, связывающая амплитудные значения угла отклонения силы тяги и угла поворота носового отсека. Дано сравнение приближенных решений при у> = I, 2, 3, 4 с точным при = 6 = 20. Приближенные решения в области низких частот (сО<3/П Л 0) обладазт высокой точностью.

В третьей главе рассмотрено применение метода возмущений для расчета динамических характеристик неконсервативных систем при малых изменениях их параметров. Сначала рассмотрен случай малых неконсервативных сил, когда базовой является консервативная система [-с02М+-К1Х= С ' собственные частотыб^.и векторы Х^которой 8

известны. Полагая в .-1> ""¿Г Д) , , $ = О,

= 2 , где <£ - малый параметр, и представляя решение в виде разложений

Я =Я<0) + (9)

по методу возмущений получаем систему уравнений

а<о)2м + к]г(о) = о,

Откуда находим:

, Л к ;

Г*= ± ¿со,

г 1 (И)

где = XV = ¿¿С . <к 1= ХГ1>ХМ.

Далее рассмотрен случай, когда в качестве базовой берется автономная неконсервагивная система (2), для которой решены задачи (3). Возмущенная система описывается уравнением

(А*£оОъ+ С С * £ <г) г = О (12)

"С

Полагая Ъ = и представляя решешге в виде

V + + • • •

1 -Л"'* ¿У" + .. .

получаем систему

[Г0)л <С2У(С) = О ■

о •

Находим

где ,

/

^Л. \/~ . (15)

В работе решения (II) и (15) получены во втором приближении. С использованием (15) и соответствующего ему решения для сопряженной системы записаны во втором приближениии также уравнения в нормальных координатах (5) для ъозмущешюй неоднородной системы (12).

Для оценки точности вычислений по методу возмущений в качестве примеров рассмотрены: I) свободная однородная балка под дейсвием следящей сжимающей силы на конце (МКЭ при 9-ти КЭ, 5 = 20); 2) ко» сольная балка под действием сжимающей следящей силы (метод разложения по собственным формам колебаний, 3 = 2); 3) цельноповоротный треугольный стабилизатор с ромбовидным профилем в сверхзвуковом потг токе. В первых двух примерах в качестве возмущения рассматривалась величина сжимающей силы; а в случае стабилизатора - а) скорость полета; б) присоединенная сосредоточенная масса; в) дополнительные комплексные члены матриц аэродинамических сил, представляющих неста ционарность потока по сравнению с квазисгационарным обтеканием для базовой системы. Во всех случаях результаты решения по формулам ментола возмущений сравнивались с точными решениями уравнений возмущенных систем. Эти сравнения показали, что метод возмущений дает высокую точность в достаточно широком диапазоне изменения возмущающих параметров.

Для иллюстрации на рисунке для консольной балки под действиеы

сжимающей следящей силы приведены изменения двух низших безразмерных частот = ( К ~ I. 2) в зависимости от возмущающего параметра сжимающей силы р ^'ТЬ2/В1 (в данном случае при Т4 Ткр действительные части собственных значений равны нулю).

ной и пунктирной линиями - решения по методу возмузений соответственно в первом и втором приближениях.

В четвертой главе рассматривается оптимизации динамических характеристик неконсервативных систем. При оптимизации (или рациональном проектировании) возмущенная (модифицированная) система описывается уравнением (12) при £ = I, где матрицы возмущений ^ иб^ зависят от варьируемых параметров р< , ..., рп . В данной работе цель оптимизации заключается в том, чтобы надлежащим выбором параметров р< , ... рп избавиться от динамической неустойчивости по форме колебаний, соответствующей собственному значению

= оС^ + СуЬ^ при с^(г> 0, или повысить до необходимой величины запас устойчивости (при <С 0). В качестве целевой функции рассматривается собственное значение возмущенной системы, которое близко к собственному значению исходной системы

II

А Х- + С X - 0. При этом формулы метода возмущений, полученные в третьей главе, позволяют записать эту функцию в явном виде. Например, если ограничиться первым приближением, то

Здесь при оптимизации используется градиентный метод, в соот ветствии с которым значения изменяемых параметров на последующем шаге £ + I находятся по формуле

где ¡л - шаг оптимизации. На каждом шаге оптимизации необходимо искать такое изменение параметров, при котором вещественная часть

с^ рассматриваемого собственного значения Д = оС + получает наибольшее отрицательное приращение. Процесс продолжается до тех пор, пока величина с/- не станет равной заданному отрицательному значению. При этом необходимо вычислять по формулам метод возмущений изменения некоторых других собственных значений и при необходимости вводить на них ограничения, чтобы не допустить неустойчивости по другим формам колебаний. Для удобства вычислений в р

** 7,22

боте получены выражения коэффициентов чувствительности

В качестве примера рассмотрен цельноповоротный треугольный стабилизатор в сверхзвуковом потоке с сосредоточенной массой, величина которой составляла 20$ от массы стабилизатора. При базовом расположении массы в точке Хг = ЭСГ / ¿0 = -0.1, Хг = = О-2

стабилизатор находится на границе флаттера (= 4.07), соответствующей паре комплексно-сопряженных собственных значений

= ± с/>з /, при =0. Требовалось получить запас -

устойчивости о(3 ^ < -5 путем оптимального расположения сосредоточен ной массы. Здесь при оптимизации по Хг, г метод возмущений использовался в двух вариантах: I) за базовое на всех шагах оптиме зации принимается решение для стабилизатора с массой в исходном 12

состоянии; 2) за базовое на каждом шаге оптимизации принимается решение для стабилизатора с массой, расположенной в точке, найденной на предадущем шаге.

В таблице приведены координаты массы на катдом шаге оптимизации и соответствующие значения о(г А , полученные с использованием метода возмущений в двух указанных вариантах его применения. Здесь же для сравнения приведены значения 4 ,полученные путем точного вычисления собственных значений возмущенной системы.

№ шага У

г 1-ый вариант 2-оЙ вариант точное решение

0 -0,1 0,2 0,00 0,00 0,00

I -0,099 0,2 -1,178 -1,177 -1,177

2 -0,098 0,2 -2,445 -2,427 -2,415

3 -0,097 0,2 -3,797 -3,641 -3,611

4 -0,096 0,201 -4,957 -4,763 -4,733

5 -0,095 0,201 -5,992 -5,462 -5,412

Для целей оптимизации аэроупругих характеристик стреловидного крыла большого удлинения с двумя двигателями на пилонах путем их надлежащего расположения по хорде и по размаху составлены уравнения из гибно-крутильных колебаний консоли крыла на основе МКЭ и балочной модели с учетом поперечных- сдвигов. Аэродинамические нагрузки определялись на основе нестационарной теории плоскопараллельного обтекания нормальных сечений крыла. ■

Для оценки точности рассмотрено прямое однородное крыло, для которого известно точное решение для критической скорости-'флаттера

V = 175.5 м/с и частоты СС>. = 66.2 с"1. На основе конечноэлемен-тной модели при 10-ти КЭ для этого крыла Л£л = 168 м/с и

= 67.83 с"'.

Для консоли гипотетического стреловидного крыла с двумя одинаковыми двигателями на пилонах при 10-ти КЭ проведена оптимизация расположения двигателей по хорде и размаху (четыре варьируемых параметра). Ставилась цель увеличить запас устойчивости крыла по флаттеру в дозвуковом потоке со скоростью, составляющей 90.5$ от скорости флаттера базового варианта. При этом для сравнения собсвен ные значения на кавдом шаге оптимизации определялись как по формула метода возмущений так и на основании точного решения системы уравне ний. Результаты получились близкими.

В пятой главе получены нелинейные и линеаризованные уравнения динамики КГКК в центральном гравитационном иоле при больших углах поворота и упругих конечных деформациях. При выводе нелинейных ураь нений в качестве неизвестных рассматриваются компоненты радиуса-Bei тора R0 , вектора скорости , вектора углов поворота б и Bei тора мгновенной угловой скорости подвижной системы координат,

связанной с упругим телом в некоторой точке, а такзе обобщенные координаты , ^ , характеризующие упругие перемещения тел; в виде разложений по заданным функциям ^ , ^¿^ :

Линеаризованные уравнения возмущенного движения относительно некоторого базового невозмущенного движения ( R.„ , , 0°,

' '"' Я* ^ получены в вариациях на основе принципа возможны перемещений. При этом малые дополнительные перемещения U.i наряду с упругими перемещениями включают в себя такне перемещения системь как твердого тела за счет смещений и поворота его относительно noj вижной системы координат; последние характеризуются обобщенными координатами Яо ' %о Я О ' В результате согласно

14

и< а: (у о:«,.,) ' (19)

В итоге линеаризованные уравнения записываются в зиде (I) с переменными в общем случае коэффициентами матриц С- , Л) , {¡Ь . Если невозмущенное движение установившееся, то - С- ,

Х>'Г = -Х> , ЙГ= /3 и система является консервативной гироскопической системой.

Полученные общие нелинейные и линеаризованные уравнения записаны в двух вариантах (по методу Ритца л по ЖЭ) для вращающегося симметричного абсолютно жесткого тела с несколькими одинаковыми упругими стержнями, совершающими колебания в плоскости вращения. Выполнены оценки точности линеаризованных уравнений по сравнению с нелинейными уравнениями при различных уровнях возмущён:::".

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Для линейной неконсервативной системы с конечным числом сте пеней свободы, в общем случае с комплексными матрщами коэффициентов, после приведения уравнений к нормальным координатам получены аналитические выражения для передаточных функций в виде конечных рядов, удобных для анализа устойчивости замкнутых управляемых систем.

На примере аэроупругих колебаний управляемой ракеты с отклоняемым вектором следящей силы тяги показано, что для получения передаточной функции (или частотной характеристики) в силу быстрой сходимости ряда для упрощения вычислений мояшо ограничиться учетом только нескольких низших собственных векторов системы.

2. По методу возмущений в первом и втором приближениях получены формулы для расчета собственных значений и собственных векторов неконсервативных систем при малых изменениях их параметров. При

этом рассмотрены случаи, когда в качестве базовой рассматриваются консервативная система и неконсервативная система.

На примерах расчета показано, что полученные формулы имеют высокую точность в достаточно широком диапазоне изменения параметров системы и удобны для расчетов динамических характеристик.

3. На основе формул метода возмущений для собственных значений ноконсервативиой системы получены формулы для их коэффициентов чувствительности (первые и вторые производные по варьируемым параме' рам) и разработан экономичный алгоритм оптимизации или рациональног проектирования системы с целью повышения ее динамической устойчивое ти.

4. По методу конечных элементов составлены уравнения аэроулру гих колебаний стреловидного крыла большого удлинения в нестационарном (в частном случае - квазистационарном) потоке. При этом перемещения, утлы поворота и утлы закручивания каждого элемента с постоян ными характеристиками по его длине определяются на основе квазистатической аппроксимации с учетом поперечных сдвигов. Коэффициенты матриц инерции, жесткости, аэродинамического демпфирования и аэроди намической жесткости получены в виде формул для удобства и снижения трудоемкости вычислений при оптимизации.

Выполнена оптимизация расположения на крыле (по размаху и по хорде) двух двигателей с целью увеличения запаса устойчивости крыла по флаттеру.

5. Получены общие нелинейные и линеаризованные уравнения дик мики в обобщенных координатах для крупногабаритных космических конструкций при больших углах поворота и конечных упругих деформациях в центральном гравитационном поле. При этом в общем случае полученные линеаризованные уравнения соответствуют уравнениям неконсервативной системы с переменными коэффициентами.

Б качестве прплера нелинейные и линеаризованные уравнения записаны на основе метода Ритца и МКЭ для симметричного тела с прикрепленными к нему упругими стержнями, совершающего неустановившееся вращениё в плоскости расположения стержней. Выполнены сравнения решений нелинейных и линеаризованных уравнений для этой системы при различных уровнях кагружения.

СПИСОК РА!?! ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Гришанина Т.В., Шклярчук Ф.Н. Колебания аэроупругих систем В сб. "Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов. Тезисы докладов II Всесоюзной конференции; Куйбышев, 1-3 июля 1986 г.", Куйбышев, Изд-во КуАИ, 1986, с. 40.

2. Гришанина Т.В., Шклярчук Ф.Н. Динамические характеристики линейных систем с малыми неконсервативными силами. В сб. "Численные методы исследования прочности ЛА." М.: Изд-во МАИ, 1988, с. 10-14.

3. Гришанина Т.В., Шклярчук Ф.Н. Оптимизация динамических характеристик аэроузругих систем. В сб. "Современные проблемы строительной механики z прочности летательных аппаратов. Тезисы докладов III Всесоюзной конференции; Казань, 20-22 сентября 1988 г.", Казань, Изд-во КАИ, 1968, с. 41-42.

4. Гришанина Т.В., Шклярчук Ф.Н. Колебания линейных систем с малыми неконсерватгзными силами. В сб. "Вопросы прочности и долговечности элементов конструкций летательных аппаратов." Куйбышев, Изд-во КуАИ, 1988, с. 36-41.

5. Гришанина Т.В. Определение передаточных функций неконсервативных систем с конечным числом степеней свободы. "Гагаринекие научные чтения по космонавтики и авиации., 1988 г.", сборник научны; трудов АН СССР. Ин-т проблем механики. М.: Наука, 1989, 235 с.

6. Гришанина Т.Б., Шклярчук Ф.Н. Определение динамических характеристик модифицированных неконсервативных систем. Б сб. "Численные и экспериментальные методы исследования прочности конструкций ЛА". М.: Изд-во МАИ, 1989, с. 12-16.

7. Гришанина Т.В., Шклярчук Ф.Н. Оптимизация аэроупрутой сист мы по условиям динамической устойчивости. В сб. "Вопросы прочности и долговечности элементов авиационных конструкций." Куйбышев, Иэд-е КуАИ, 1990, с. 66-72.

8. Гришанина Т.Е. Колебания и динамическая устойчивость длю ного стержня с сосредоточенными массами, вращающегося в центральной гравитационном поле. Б сб. "Крупногабаритные космические конструкции. Тезисы докладов Международной конференции; Новгород, 18-20 мг 1993 г.", Новгород, Изд-во Новгородского политехнического ин-та, 1993, с. 58-59.

9. Шклярчук Ф.Н., Гришанина Т.В. Колебания неконсервативных систем. М.: Изд-во МАИ, 1989, 46 с.

10. Шклярчук Ф.Н., Гришанина Т.В. Нелинейные и параметрические колебания упругих систем. М.: Изд-во МАИ, 1993, 68 с.