Математическое моделирование динамического поведения пространственных неконсервативных систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

академия наук ссср уральское отделение институт механики сплошных сред

На правах рукописи

пшат алексащр Николаевич

шематичшюе моделирование динамического поведения пространственных неконсервативных с1етем

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь - 1991

/ С?

Работа выполнена в Пермском политехнической институте, на кафедра "Динамика и прочность машин", г.Пермь.

Научный руководитель - кандидат физико-математических

наук Шевелев H.A.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук Трусов П.В., доктор технических наук Трояновский И.Е.

Ведущая организация - Отдел физико-механических проблем технологии Института машиноведения УрО АН СССР.

Защита состоится " ^ " июлЛ._1991 г. .

в /V чао 00 мин на заоедании специализированного совета К 003.60.01 в конференцзале Института механики сплошных сред по адреоу: 6I406I, Пермь, ул.Академика Королева, I.

Автореферат разослан " Ч " Шок А,__ 1991 г.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Ученый се!фвтарь специализированного совета кандидат технических наук

И.К.Березин

; " I

; ;;_ | общая характеристика работы.

. 'I Актуальность темы. Одним из основных моментов при проект .¡.ктя^овании элементов новой техники является динамический анализ. Среди" всего обилия исследуемых объектов, можно выделить проблему динамического поведения вращающихся элементов машиностроительных конструкций, которая требует отдельного исследования, т.к. не совсем укладывается в рамки традиционного динамического анализа .

Ограничился рссмотрением механических систем с регулируемым числом оборотов, т.е. неконсервативных систем. Это, например, элементы авиадвигателей, механические накопители энергии, роторы электрических и тепловых двигателей. Особенности динамического поведения вращающихся конструкций связаны с действующими в них ускорениями: центростремительными и ксриолисовыми. Кроме того, характеристики жёсткости конструкции могут оказаться изменёнными в результате влияния стационарных внутренних усилий, вызванных действием центробежных сил.

Имеются экспериментальные данные о том, что указанные факторы существенно влияют на динамичеческие характеристики конструкции и поэтому исследование этого вопроса является актуальным.

Цель работы:

1.Исследование характерных особенностей динамического поведения вращающихся неконсервативных систем.

2. Получение количественных оценок для различных механических конструкций.

3. Разработка эффективных алгоритмов численного анализа пространственных неконсервативных систем.

Метод исследования заключается в численном моделировании на ЭЕМ динамических характеристик неконсервативных систем методом нормальных координат в сочетании с методом обратных итераций и Мшлера в комплексной форме.

Научная новизна:

а) разработка методики численного исследования динамического поведения неконсервативных систем;

б)предло?кен эффективный алгоритм решения комплексной проблемы собственных значений;

в) получены новые численные результаты при исследовании динамического поведения вращащихся упругих и упруговязких пространственных тел.

Практическая ценность результатов работы состоит в общности разработанного алгоритма отыскания комплексных собственных значений для неконсервативных систем. Конкретные результаты расчёта могут быть использованы в инженерной практике.

Достоверность основных результатов обосновано сравнением с известными решениями и качественным сравнением с модельными задачами.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на УШ Всесоюзной конференции по прочности и пластичности ( г. Пермь, 1963г.), на П Всесоюзной конференции по прочности и надёжности ( г. Куйбышев, 1964г.), на ХХЛ-Ш1 Всесоюзном научном совещании по проблемам прочности двигателей (г. Москва, 1988, 1990г.г.), на областных научно-технических конференциях (г. Пермь, 19Ь6г.,19&7г.,19Ь9г), на семинаре кафедры " Динамика и прочность машин" Пермского политехнического института ( декабрь 1990г.), семинаре кафедры " Теоретической механики" Пермского политехнического института ( мал 1991г.), на семинаре лаборатории статики и динамики вязкоупругих конструкций Института механики сплошных сред Ур. О АН СССР.

Внедрение работы. Научные результаты, полученные в диссертационной работе, реализованы при выполнении совместного договора №039_6/6Ы меяду НИИПМ и ППИ.

. Публикация . По материалам выполненных исследований опубликовано 12 работ.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, приложения и списка литературы из 126 наименований, изложенных на 136 страницах машинописного текста, в том числе 37 страниц рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы,приведено краткое содержание глав диссертации.Дан обзор работ,посвященных исследованию свободных колебаний и устойчивости осесимметричных тел с учётом центробежных и кориолисовых сил.

Из приведённого обзора следует,что в настоящее время отсутствуют публикации,посвященные численному исследованию динамического поведения трёхмерных упругих систем после выхода их параметров из области устойчивости,т.е. решению задачи об определении комплексных собственных значений; недостаточно разработаны численные алгоритмы,позволяющие решать спектральные задачи для несимметричных неположительно определённых матриц.

В первой главе диссертации приводятся математические постановки конкретных задач.

В задаче о свободных колебаниях вращающихся трёхмерных тел используется принцип возможных перемещений

в котором учтены работы внутренних напряжений, и сил,связанных с относительными,центростремительными и кориолисовыми ускорениями. —» ^

Перемещения V , напряжения б , деформации £ удовлетворяют следующим соотношениям

Л . п Р- А

б=А0Е + 2/£,

у:(х)=0 КО. .

(2)

(3)

(4)

Определению подлежит вектор перемещений' V ,представляющий форму колебаний.

Для математической постановки задачи о вынужденных установившихся колебаниях вращающихся трёхмерных тел используются физические соотношения линейной теории вязкоупругости

-оо

где 0=£il

Граничные условия записаны в форме кинематического возмущения на части поверхности

и -at Cos рк1 + u°SLn,j>Ki.Ha Su . (6)

Вариационное уравнение вынужденных колебаний получим .из (I) заменой упругого тензора Q вязкоуттругим согласно соотношению (5).

Требуется получить амплитудно-частотные характеристики системы при изменении угловой скорости вращения.

Во второй главе предложены алгоритмы решения динамических задач. Для решения применяются два подхода. Первый состоит в исследовании обобщённой проблемы собственных значений, которая является алгебраическим аналогом вариационного управления (I) при использовании полуаналитического метода конечных элементов. Принимая решение в виде

(7)

однородная система линейных алгебраических уравнений для отдельной гармонию! в разложении по угловой координате имеет вид:

где матрица [FjK сил Кориолиса является антисимметричной, а результирующая матрица

= <9>

при увеличении параметра СО может стать неположительно определенной. ^ силу этого возможно появление комплексных

- 6 -

У'

собственных значений. Данную задачу в соответствии с терминологией Ляпунова можно рассматривать как задачу устойчивости по первому приближению.

Второй подход заключается в разложении искомого решения в ряд по собственным формам соответствующей консервативной системы 3

где и.^ , ССу - симметричные и антисимметричные формы колебаний консервативной системы.

Собственные формы в (10) отыскиваются методом конечных элементов в сочетании с методом обратных итераций. Алгебраический аналог вариационной задачи в этом случае имеет еид

Система (II) имеет вещественные собственные значения и размерность в 2 раза меньшую, чем задача(8).

В этой же главе приводятся конечно-элементные соотношения для вариационной задачи о вынужденных колебаниях осескм-метричиого тела.

Основные трудности при исследовании свободных колебаний методом конечных элементов связаны с решением алгебраической проблемы собственных значений. В связи с этим данному вопросу в работе уделено особое внимание.

Предложены различные варианты решения обобщённых проблем (6), (II) для действительных и комплексных собственных пар на основе методов обратных итераций и парабол.

Для адаптации указанных методов к решению конкретных задач проведено тестирование алгоритмов на матрицах 4 и 7 порядков, а затем исследование на реальных матрицах. В результате этого выбраны наиболее эффективные варианты методов парабол и обратных итераций.

алл решения задачи (?) используется метод обратных итераций в комплексной форме со сдвигом, найденным методом парабол; для решения задачи (II)- метод обратных итераций с комбинацией постоянных и переменных сдвигов.

В заключении главы приведен-! тестовые задачи о пространственных свободных колебаниях дисков для двух вариантов

»

(10)

(II)

граничных условий.

Третья глава содержит решение задачи устойчивости на примере упругого вращающегося диска. Проведенное численное исследование сходимости метода нормальных координат показало, что в рассматриваемом интервале собственных значений для достижения удовлетворительной точности в разложении искомого решения (10) нужно удержать 28 членов.

На рисунках 1,2 приведены графики зависимостей собственных значений от угловой скорости,,вращения. При осесимметричных движениях (нулевая гармоника) мы тлеем два вида комплексных собственных значений, которым соответствуют два типа неустойчивых режимов движения. Это монотонная неустойчивость, если собственное значение имеет не равную нулю только действующую часть и колебательная неустойчивость ( вблизи №=1200 1/с на рис. I), если собственное значение имеет не равные нулю действительную и мнимую части, причем действительная часть больше нуля.

При первой и высших гармониках наблюдаем только колебательную неустойчивость движения.

Наибольшим изменениям подвержена третья частота для обоих гармоник при увеличении СО .

Собственные формы для этой частоты при и) =0 имеют компоненты в плоскости . диска. Именно этими слагаемыми и определяется число членов ряда (10). Еыли вычислены коэффициенты этого разложения для СО = 524 1/с, которые для третьего собственного значения являются комплексными величинами. Сделан вывод о том, что изгибные формы вращающегося диска мало отличаются от неподвижного и существенно отличаются собственные формы, в которых доминируют компоненты в плоскости диска.

Для подтверждения полученных результатов был рассмотрен вынужденный режим колебаний диска в форме смешанного кинематического возмущения.

Построены амплитудно-частотные характеристики для случая Со = 0 при различной величине диссипации. Типичные резонансные кривые показаны на рис. 3,4, а на рис. 5,6 показаны характеристики для вращающегося диска.

Двойные резонансные пики на рис. 5 отрабатывают соответствующее расщепление частот свободных колебаний, а на рис. 6

ко«но наблюдать реакцию системы на гармоническую составляющую комплексного собственного значения.

В четвертой главе диссертации рассмотрена прикладная эа,да«а о собственных колебаниях газа в канале пространственной геометрии. Для решения задачи используется методика, описанная в предыдущих разделах работы. Однако, здесь рассматриваются области, имеющие циклически симметричную геометрии

В работе ШардакоЕа И.Н., Пустовойта К.С., Троянопекого И.Е. предложен подход к решению трехмерных динамических задач теории упругости и вязкоупругости, основанный па методе геометрического погружения и методе обратных итераций. В настоящей работе этот подход применён для репения задачи акустики.

Вариационное уравнение,реализующее дзойнув итерационную процедуру, имеет вид

область , - дополнение реальной области до каноничес-

кой, к-номер обратной итерации, j -номер итерации в методе геометрического погружения.

Каноническая область имеет цилиндрическую форму.Это даёт возможность понизить размерность вариационной задачи,используя разложение вектора перемещений в ряд Фурье по угловой коорди« нате и,далее,решать её методом конечных элементов.

На первом этапе были вычислении собственные частоты и формы колебаний газа в осескмметричном канале (рис.?),которое сравнивались с известным ретенкем;а,затем,-циклически симметричного какала (рис.Ь).

Собственные формы колебаний для сложного канала образуются тремя группами свяглнных между собой гармоник

о

(12)

т ~ 1 141 Л

где С -номер собственной формы,ш -номер гармоники.

В данной задаче в (13) было удержано б членов.На рисунках 9-12 изображены коэффициенты разложения для второй группы. Вносимая высшими коэффициентами поправка отражается на собственных частотах, изменяя их в некоторых случаях более чем в два раза.

В заключении главы был проведен расчет колебаний газа в канале реальной пространственной геометрии, изображённой на рис. 13 для трёх вариантов поперечного сечения. Для второго варианта гармоники оказались связанными между собой в 4 группы.

1 . па= О, б, 12, 18 , 24 , 30,...

2,.т. = I, 5, 7, II, 13, 17,... (14)

3 = 2, 4, О, 10, 14, 16,...

4 . т= 3, 9, 15, 21, 27, 33,... а для третьего варианта в 2 группы:

1.иг=0, 3, 6, 9, 12,15,... (15)

2 .ш = I, 2, 4, 5, 7, 8, ...

Для примера на рис. 14, 15 приведены собственные формы для осесимметричной области; на рис. 16-23 коэффициенты для двух групп (15).

В работе сравниваются частоты для трёх вариантов области.

основные результаты и выводы

1. Предложена методика численного исследования динамического поведения вращающихся неконсервативных систем.

2. Предложен эффективный алгоритм решения алгебраической проблемы собственных значений для несимметричных матриц на основе метода парабол и метода обратных итераций в комплексной форме.

3. Разработан комплекс программ для решения неконсервативной задачи.Алгоритм основан на методе разложения по собственным формам консервативной задачи и полуаналитическом методе конечных элементов.

4. Решён ряд прикладных задач, в которых

а) определены условия устойчивости вращающихся дисков различных геометрических размеров и характеристик материала;

б) вычислены амплитудно-частотные характеристики в задаче о вынужденных колебаниях вязкоупругого диска с учётом вращения и диссипации;

в) рассчитаны пространственные акустические формы и частоты колебаний газа в канале сложной,циклически симметричной геометрии.Для решения этой задачи основной алгоритм был дополнен методикой решения пространственных краевых задач-методом геометрического погружения.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Домбровский И.В.,Машкин А.Н. НеконсерватиБные задачи устойчивости дисков с учётом предварительного напряженного. состояния// Тез. докл. областной научн.-практ. конф. молодых учёных и студ-тов вузов г.'Перми.-Пермь, 1969, с. 61-62.

2. Домбровский И.В.,Машкин А.Н.,Шардаков И.Н..Шевелёв H.A. Статическое и динамическое исследование элементов авиадвигателей с учетом сложной пространственной геометрии и неконсервативности системы// Тез.докл. ХХШ Всесоюзн. научн. сов-ия по проблемам прочности двигателей.-Москва:1990.

3. Машкин А.Н..Шардаков И.Н..Шевелёв H.A..Алгебраическая

проблема собственных значений осесимметричных тел с учётом вращения// Деформир. и разрушение композитов.-Свердловск: 1965,с. 91-93.

4. Машкин Л.Н..Шевелёв H.A. Вопросы численной реализации в динамике осесимметричных дисков// Прочностные и динамические характеристики машин и конструкций.-Пермь,1989.

5. Машкин А.Н.,Решение неконсервативной задачи методом разложения по собственным формам// Тез.докл.областной научн.-практ.конф.молодых учёных и студ-ов вузов г.Перми.-Пермь: 1969, с.60-61.

6. Расчет пространственных акустических собственных форм и частот колебаний газа методом геометрического погружения. Отчёт по НИР//Пермский политехнический институт.-Пермь: 1990,55 с.

7. Сажина Л.Н.,Чиркова И.И.,Машкин А.Н.,Шевелёв H.A. Численный анализ динамического поведения осесимметричных элементов машиностроительных конструкций// Тез.докл.конф."Молодёжь Прикамья в ускорении научн.-техн.прогресса".-Пермь: 1987,с. 79-80.

8. Шардаков И.Н..Шевелёв H.A.,Машкин А.Н.Пространственные формы и частоты колебаний осесимметричных тел// Прочностные и динамические характеристики машин и конструкций.-Пермь:1985,с.3-8.

9. Шардаков И.Н.,Шевелёв H.A.,Машкин А.Н. Влияние сил Корио-лиса на пространственные формы и частоты колебаний осесимметричных тел/Дез.докл. Всесоюзной конф.по прочн. и пластичн.6-8 декабря 1963 г.- Пермь:1983, с.195.

10. Шевелёв H.A.,Машкин А.Н.,Домбровский И,В. Особенности численной реализации пространственных задач динамики осесимметричных тел( Методы.Алгоритмы.Сравнение).// Тез.докл. обл.научной конф."Математическое моделирование технологических процессов обработки металлов.-Пермь,1987.

11. Шевелев H.A., Машкин А.Н, 0 динамической устойчивости осесимметричных тел сучётом вращения // Прочн. и дин. х-ки малшн и конструкций.- Пермь, 1966, с. 66-74.

12. Шевелёв H.A., Машкин А.Н., Сажина Л.Н., Чиркова И.Н. О динамической устойчивости осесимметричных тел с учётом вращения и диссипации // Тез. докл. конф. Современные

вопросы дин. и прочн. в машиностроении. 12-13 марта 1986г.-Пермь:- 1965, с. 4-5.

М-Оим^-

I

(-Н

ю

А, 8

1р/Ю, Гц

Хт^р) ---Ке(Ср)

аг 2

А1-

✓ /

¿л-/ 1 / 1 А- |\ | \ 4 / /

/ 1 / 1 ' 1 1 \ 1 \ / / / /

/ " "Ч __ \ 1 1 ___!_ 1 \ / / /

\ 1 г \ 1 1 / Ч»— 1 1 1 7 1 \ / ' ---

8

огнь

Рис. I . Зависимость характеристических показателей от угловой "скорости для С - О

СЛ I

¿р/«?3, Гц

11т(С р) ---КеСср

о I Ц 6 8 ю М 14 16 18 со/10 , Рис. 2 . Зависимость характеристических показателей от угловой скорости для ^ = I

JiL i

Аг

X^ A 2 A3 A i

A,

Pk^/C

РкИ/с

1 1 1 S

1 1 J !

РкИ/С

Рис. 3. ЛЧХ: OJ=0;A=0; £ = I

Kb

A,

Рк,*/с

Pk,Vc

РкИ/с

Рис. 4 . АЧХ: ¿0 = 0; A = 0,025; ¿= 0,1; 0,05

Ае

-i ! - 1 1 ; ; ll 1 1 -

Ai

II 1 1 Ii 11 II i i i 11 Il II fi И и Ii Jil i и

AL

i i i i 1 1 ! л ft i JA. MÜ V i Ж II Ji1

ÍV,2 Pä Ro P11 Pu

Рис. 5 АЧХ: СО = 628,3 I/c

A©

& ps

Г«

Рис. 6 АЧХ: = 1283 I/c

P«..

Pk.Vc

Pk^/C

pK, Ve

Pk.VC

i о -1

,-i

глс

-) û -1 i

0 -1

1 О

-1

Г/: o.fT-YO-

9. 2 группа, I форма

Ряс. 10. -2 группа, 2 форта

г:

-i

Гг :

Рис. II. 2 группа, 3 форма

Y; : о,s-ю-1

Рис. 12;■ 2 группа, 4 форма

Рис. 13: . Расчетная схема конструкции

Рис. 14.

Освсимиетрячная область : ¿ =■ О

Рис. 15. Осескжлетричная область: С = I

i о -1

г,

Рис. 16. Вариант Л 3,

I груша, I форма

0,4--ю'1

Рис. 17. Вариант & 3,

I груши, 2 форма

-i о

-1

г

гг

Уз : о,4-1о

Рлс. 18. Вариант №3, I группа, Рис. 19. Вариант 3,

3 форма I группа, 4 форма

Рис. 20. Вариант £ 3, I группа, 5 форма

: ю'1

Рис. 21. . Вариант И 3,

2 груша, I форма

0,8-ю'1

Рис. 22.. • Вариант № 3,

2 группа, 2 форма

у;

ж/

1 о -1

А 0 -1

ГГ

у/

Рис. 23.. Вариант № 3, 2 группа, 3 форма