Особенности границ областей устойчивости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

им. М.В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи Майлыбаев Алексей Абаевич

Особенности границ областей устойчивости: анализ и приложения

01.02.01 - теоретическая механика

Диссертация на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -доктор физико-математических наук

А.П. Сейранян

Москва - 1999 г.

Оглавление

Введение..............................................................3

Глава I. Особенности границ областей устойчивости...............12

§1. Распад жордановых клеток.................... ...............................12

§2. Одно- и двухпараметрические семейства матриц............................18

§3. Пример: устойчивость состояния равновесия в цепи вольтовой дуги........21

§4. Трехпараметрические семейства матриц.....................................23

§5. Особенность "излом ребра"..................................................27

§6. Маятник Циглера............................................................32

§7. Семейства полиномов...................... ..................................36

§8. Случай произвольного числа параметров....................................40

Глава И. О смене критического тона...............................43

§1. Классификация способов смены критического тона.........................43

§2. Задача М.В. Келдыша об аэроупругой устойчивости крыла с подкосами----55

Глава III. Об особенностях оптимальных решений и методе учета

погрешностей параметров в задачах устойчивости..................74

§1. Оптимизация крыла с подкосом по критерию аэроупругой устойчивости ... 75 §2. Критерий устойчивости и определение критической скорости с учетом

погрешностей параметров...................................................85

§3. Нахождение критической скорости крыла с подкосом с учетом

погрешностей параметров...................................................87

Заключение..........................................................92

Список литературы..................................................95

Введение

Задачи устойчивости и колебаний неконсервативных систем приобрели особый интерес в связи с развитием современного машиностроения, авиации, ракетной техники и т.д. Этим задачам посвящено большое количество статей и монографий, см., например, [11, 16, 17, 36]. Анализ устойчивости является одним из основных этапов в исследовании неконсервативной системы. Он приводит к необходимости исследовать собственные значения несамосопряженных операторов. На практике для систем с бесконечным числом степеней свободы применяются различные методы дискретизации (метод конечного элемента, метод Бубнова-Галеркина, и т.п.). В результате задача устойчивости сводится к изучению собственных значений конечномерного несамосопряженного оператора (т.е. несимметрической матрицы а).

В случае, когда рассматривается матрица а, отвечающая отдельно взятой неконсервативной системе, свойства собственных значений хорошо изучены, см. например [20]. По другому обстоит дело, когда исследованию подлежит не отдельная система, а целое семейство систем, гладко зависящих от параметров (длин, жесткостей, масс и т.п.). В этом случае целью исследования устойчивости является нахождение областей устойчивости в пространстве параметров. Для определения области устойчивости необходимо найти ее границу. Именно здесь и возникают главные трудности. Дело в том, что граница области устойчивости не является, вообще говоря, гладкой. Она может иметь особенности, отвечающие кратным собственным значениям матрицы а. При возмущении параметров кратные собственные значения распадаются на несколько собственных значений более низкой кратности (происходит бифуркация). Все это приводит к сложному анализу даже в самых простых случаях. Перечисленные вопросы изучаются в теории особенностей и бифуркаций - области математики, бурно развивающейся в последнее время. Обзор результатов в этой области дан в [5, 50].

Особенности границ областей устойчивости в случае автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений вида у — а у исследовались В. И. Арнольдом

[3, 4, 6]. Им были перечислены особенности общего положения в случае, когда матричный оператор А зависит от двух или трех параметров, и дано их описание с точностью до гладкой замены координат (диффеоморфизма). Эти результаты развивались в работах Л.В. Левантовского [29, 30, 31]. В [31] для семейств матриц и полиномов (автономных обыкновенных дифференциальных уравнений вида у — А у и

ж("г)_)_а1а;("1-1)-)-----\-атх = 0) с точностью до диффеоморфизма описаны особенности

общего положения границ областей устойчивости в случае четырех параметров (т.е. описаны перестройки трехмерных диаграмм устойчивости). В работах [29, 30] исследуются особенности границ областей устойчивости в пространстве действительных матриц и полиномов. С точностью до диффеоморфизма описаны касательные конусы (линейные приближения) к области устойчивости для всех типов особенностей в случае полиномов. В случае матриц касательные конусы описаны для особенностей, характеризуемых собственными значениями с одной жордановой клеткой.

Перечисленные выше результаты В.И. Арнольда и Л.В. Левантовского носят качественный характер. Они дают представление о том, какие особенности могут возникать на границах областей устойчивости, но не указывают конструктивные методы для исследования конкретных систем, зависящих от параметров.

Особенности границ областей устойчивости в случае циркуляционных систем (систем автономных обыкновенных дифференциальных уравнений вида у = А у), зависящих от двух параметров, изучались А.П. Сейраняном [44]. Им был предложен метод определения геометрии особенностей типа "излом границы" и "точка возврата". Для этого использовалась информация о собственных и присоединенных векторах матрицы А, а также ее первых производных по параметрам в точке особенности.

С задачей исследования особенностей границ областей устойчивости тесно связана задача об определении стабилизирующих возмущений матрицы. Этому вопросу посвящена работа Дж.В. Бурке и М.Л. Овертона [53], где для возмущения вида А(е) = А0 + еВ (е > 0 - параметр возмущения) получены необходимые условия, которым удовлетворяет матрица В стабилизирующего возмущения.

С границами областей устойчивости связаны также другие эффекты теории осо-

бенностей и бифуркаций. Одним из них является эффект смены критического тона. Этот эффект наблюдался при параметрическом исследовании флаттера самолетов, трубопроводов, по которым течет жидкость, и т.д. (см., например, [14, 52, 73]). Один из способов смены критического тона является следствием "перехлеста ветвей" в окрестности двукратного собственного значения. Этот случай был описан А.П. Сейраняном и П. Педерсеном [68, 69, 43]. Другие эффекты - устойчивость при за-критических значениях параметра нагрузки и разрыв критической скорости при изменении параметра системы - наблюдались при исследовании конкретных систем в работах [54, 55].

Возникновение особенностей границ областей устойчивости является типичным явлением. Многочисленные примеры механических систем, в которых реализуются особенности, можно найти в монографиях [1, 11, 25, 34, 36] и др. Тем не менее, методы количественного анализа этих особенностей находятся на начальной стадии развития. Основное внимание исследователей уделялось качественному анализу особенностей и их классификации.

Основными методами анализа особенностей и бифуркаций являются метод нормальных форм и метод возмущений. Развитию этих методов и их применению к различным задачам теории особенностей и бифуркаций посвящено множество статей и монографий (см. [4, 5, 8, 12, 13, 46, 64] и др.). В случае семейств комплексных матриц нормальные формы (миниверсальные деформации) были найдены В.И. Арнольдом [2, 4]. Миниверсальные деформации матриц были введены как обобщение жордановой нормальной формы на случай матриц, зависящих от параметров. В [2] миниверсальные деформации были использованы для классификации особенностей бифуркационных диаграмм в случае двух и трех параметров. Миниверсальные деформации вещественных матриц были найдены Д.М. Галиным [18] и применены в [3, 4] для классификации особенностей декремент-диаграмм в случае одного и двух параметров, а также для классификации особенностей границ областей устойчивости. Эти же миниверсальные деформации являлись основным инструментом исследования особенностей в работах Л.В. Левантовского [29, 30, 31]. В настоящее время найдены

миниверсальные деформации матриц, описывающих системы различного вида. В том числе, случай гамильтоновых матриц рассматривался в работах [19, 57], случай обратимых матриц - в [38, 70] и т.д. Общей чертой вышеперечисленных работ является то, что в них не затрагивается вопрос о приведении к минивер сальной деформации (о нахождении соответствующих замен базиса и параметров). Попытки разрешить эту проблему для семейств малой размерности или семейств, имеющих специфическую жорданову структуру, предпринимались в работах Д. Шмидта [71, 72]. Дж.В.Бурке и М.Л. Овертоном [53] частично были найдены первые производные функций замены параметров, приводящей семейство действительных матриц к минивер сальной деформации.

Отсутствие конструктивных методов приведения к минивер сальной деформации представляет собой главное препятствие при попытке применить их к количественному анализу особенностей. Тем не менее, метод минивер сальных деформаций является очень эффективным при качественном исследовании особенностей и их классификации.

Другой подход к изучению особенностей границ областей устойчивости заключается в использовании методов теории возмущений. Методы теории возмущений по своей природе являются методами количественного анализа. Однако, в отличие от метода минивер сальных деформаций, они значительно более трудны в применении при исследовании сложных особенностей.

Задачи теории возмущений можно разделить на однопараметрические и многопараметрические. В случае одного параметра центральные задачи теории возмущений решены полностью. Этому посвящено большое число статей и монографий, в том числе [51, 56], где довольно подробно представлена аналитическая теория возмущений, и дана обширная библиография.

Перечислим некоторые ключевые работы, касающиеся возмущений собственных значений несимметрических матриц. В работе М.И. Вишика и Л.А. Люстерника [15] была доказана теорема о разложимости возмущенных собственных значений и собственных векторов в ряды по дробным степеням параметра возмущения и пред-

ложена рекуррентная процедура для определения коэффициентов в этих рядах. В.Б. Лидским [32] был разработан более простой метод определения главных членов вариаций собственных значений и векторов. Обобщенная задача на собственные значения а(А) + в(А, е) = 0, где А - собственное значений, а г - параметр возмущения, рассматривалась в работах X. Лангера и Б. Неймана [62, 58], где были найдены главные члены вариаций собственных значений.

Многие работы по теории возмущений собственных значений посвящены матрицам специального типа. Так, возмущения собственных значений в случае матриц монодромии линейных канонических систем с периодическими коэффициентами исследовались И.М. Гельфандом и В.Б. Лидским [21], а также М.Г. Крейном и Г.Я. Любарским [28]. Случай гамильтоновых матриц был изучен в работе Дж. X. Мад-докса и М.Л. Овертона [60].

Случай нескольких параметров в задачах о возмущении собственных значений матриц исследовался в работах А.П. Сейраняна [42, 67], где было введено возмущение по направлению в пространстве параметров, и затем использовались результаты М.И. Вишика и Л.А. Люстерника [15]. В работе [43] были выписаны соотношения, описывающие возмущения собственных значений в случае механической системы му + в у + с у — 0, зависящей от нескольких параметров.

В перечисленных выше работах предлагаются методы определения возмущений собственных значений матриц. Однако в каждом из этих методов имеются условия, которым должно удовлетворять возмущение матрицы (некоторые условия невырожденности возмущения, названные в [15] условием "Г"). Эти условия имеют вид неравенств. Их невыполнение означает то, что разложения собственных значений в ряд по дробным степеням параметра возмущения могут иметь иной, не стандартный для возмущаемой матрицы вид. В случае нескольких параметров такое условие может, например, выделить гиперплоскость направлений. При изучении возмущений вдоль таких направлений упомянутые методы возмущений не действуют. Оказывается, что именно такие "вырожденные" направления представляют особый интерес при исследовании особенностей границ областей устойчивости.

Задачи о возмущении собственных значений в случае невыполнения условий невырожденности рассматривались в работах X. Лангера и Б. Неймана [59], Дж. Моро и др. [61], где изучались некоторые специфические случаи. Однако конструктивных методов исследования данной задачи в общем случае не было предложено.

Как отмечалось выше, исследование особенностей границ областей устойчивости несамосопряженных операторов имеет большое прикладное значение для исследования устойчивости неконсервативных механических систем, зависящих от параметров. Особо это относится к задачам аэроупругости, которые являются неконсервативными из-за наличия аэродинамических сил. Эти задачи представляют исключительный интерес для авиации, ракетной техники и т.д. В настоящее время имеется обширная библиография, посвященная аэроупругости. Отметим некоторые монографии отечественных и зарубежных авторов, целиком посвященные этому вопросу [10, 16, 17, 24, 47, 48]. В них, в частности, можно найти библиографические сведения об основополагающих работах в области аэроупругости. Одной из основных задач аэроупругости является исследование устойчивости колебаний конструкций в потоке жидкости или газа. По своей природе задачи аэроупругой устойчивости содержат большое число параметров. Кроме того, вследствие сложной структуры аэродинамических сил задачи аэроупругости чрезвычайно емкие с вычислительной точки зрения. Все это делает актуальным развитие методов, позволяющих исследовать устойчивость системы в окрестности точки пространства параметров по информации в этой точке (не проводя параметрического исследования окрестности). В неособом случае эта задача решается методами анализа чувствительности (см. [41]). В особых случаях (при наличии нескольких форм потери устойчивости при критической нагрузке) данная задача так или иначе связана с исследованием особенностей границ областей устойчивости. Такие особые случаи (в связи с задачей оптимизации) обсуждались в работах А.П. Сейраняна и A.B. Шаранюка [39, 40].

Другая область, где особенности границ областей устойчивости играют особую роль - это задачи оптимизации по критерию устойчивости. Особенности возникают как в процессе оптимизации, так и в качестве оптимальных точек. С ними связано

такое опасное и часто проявляющееся свойство оптимальных решений, как чувствительность к несовершенствам. Задачам оптимизации неконсервативных систем по критерию устойчивости посвящено большое число публикаций. Обширная библиография по этому вопросу содержится в докторской диссертации А.П. Сейраняна [41]. Вопросы оптимизации авиационных конструкций исследовались в [7, 9], а вопросы чувствительности к несовершенствам оптимальных решений обсуждались в работах [37, 46, 49, 64, 65, 75].

Настоящая диссертация посвящена исследованию особенностей границ областей устойчивости и связанных с ними эффектов, возникающих при изучении устойчивости неконсервативных механических систем, зависящих от нескольких параметров, а также в задачах оптимизации по критерию устойчивости. В ней развиваются конструктивные методы количественного анализа особенностей, формируется общий подход к количественному исследованию особенностей границ областей устойчивости и других подобных эффектов. Основное содержание диссертации излагается в трех главах.

В первой главе рассматривается линейная автономная система дифференциальных уравнений у = а у, где матричный оператор а гладко зависит от вещественных параметров. Предлагается конструктивный подход, позволяющий определить геометрию особенностей границ областей устойчивости (ориентацию в пространстве, величины углов и т.п.) по первым производным матрицы а по параметрам и ее собственным и присоединенным векторам, вычисленным в особых точках границы. Методы исследования особенностей основаны на теории возмущений собственных значений матриц, зависящих от параметров, и теории миниверсальных деформаций. Далее изучаются особенности границ областей устойчивости для линейных дифференциальных уравнений порядка ш, коэффициенты которых гладко зависят от двух или трех параметров. В качестве примеров рассмотрены задачи об устойчивости состояния равновесия в цепи вольтовой дуги и об устойчивости движения двойного маятника Циглера, нагруженного следящей силой, с двумя независимыми параметрами диссипа�