Многопараметрические задачи теории устойчивости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

08-3 2506

БУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

I 1111^ 1-ци і ш

На правах рукописи

Майлыбаев Алексей Абаевич

МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург

Работа выполнена в лаборатории механики природных процессов Института механики МГУ им. М.В. Ломоносова

Научный консультант:

доктор физико-математических наук Сейранян Александр Паруйрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Лестев Александр Михайлович член-корреспондент РАН, профессор Трещев Дмитрий Валерьевич доктор технических наук, профессор Фрадков Александр Львович

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Защита состоится23 октября 2008 г. в 14:00 часов на заседании совета Д212.232.30 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу:

198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., 28, математико-механический факультет, ауд. 405.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан_^' 2008

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор

года

С. А. Зегжда

общая Характеристика работы

Актуальность темы. Диссертация посвящена развитию многопараметрических методов теории устойчивости с приложениями к задачам механики. Всякая физическая система содержит параметры, и основной целью настоящей диссертации является исследование того, как устойчивое положение равновесия или стационарное движение становится неустойчивым, или наоборот, при изменении многих параметров. В многопараметрических задачах устойчивости пространство параметров разбивается на области устойчивости и неустойчивости для конкретного положения равновесия или стационарного режима. Таким образом, актуальным является анализ границы между этими областями - границы области устойчивости.

Как известно, граница области устойчивости состоит из гладких поверхностей, но может иметь разного рода особенности. Классификация типичных особенностей границы области устойчивости для линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящих от двух или трех параметров, была проведена В.И.Арнольдом (1972). Возникновение особенностей на границах областей устойчивости во многих случаях связано с недифференцируемым поведением собственных значений в зависимости от параметров в окрестности точек кратности. В прикладном аспекте актуально перенести качественные результаты теории особенностей и катастроф в пространство параметров задачи, тем самым сделав эту теорию также количественной, то есть конструктивной и практичной.

В связи с этим возникает ряд общих актуальных вопро-

сов. Каковы законы движения собственных значений на комплексной плоскости при изменении параметров задачи? Каковы соотношения между собственными значениями и свойствами границы области устойчивости в пространстве параметров? Каковы особенности поведения механических систем со свойствами симметрии, таких как гироскопические и консервативные системы? Как устроена граница области устойчивости в случае периодических систем и как исследовать ее особенности? Какие механические эффекты связаны с возникновением особенностей на границах областей устойчивости?

Именно этим вопросам и задачам посвящена диссертация. В ней развиты аналитические и численные методы, позволяющие конструктивно проводить многопараметрический анализ области устойчивости в окрестности регулярных и особых точек ее границы. Описываются свойства и структура областей устойчивости и их границ для систем различного вида: консервативных и неконсервативных, автономных и периодических. Решается ряд конкретных задач об устойчивости и параметрическом резонансе механических систем с конечным и бесконечным числом степеней свободы. Дается новое объяснение ряду механических эффектов и парадоксов в терминах теории особенностей и катастроф. Наконец, приводятся результаты экспериментов по параметрическому резонансу, подтверждающие эффективность разработанных методик.

Целью диссертации является создание аналитических и численных методов многопараметрического анализа границ областей устойчивости для консервативных и неконсервативных, автономных и периодических динамических си-

стем, описание механических эффектов, связанных с особенностями границ областей устойчивости, решение задач об устойчивости и параметрическом резонансе для конкретных механических систем, а также экспериментальное подтверждение полученных результатов.

Основные результаты и их научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

• Развиты аналитические и численные методы анализа бифуркаций кратных собственных значений матриц, зависящих от многих параметров. Разработан метод численного определения кратных собственных значений с жордановыми клетками в многопараметрических семействах матриц.

• Получены асимптотические выражения, локально описывающие область устойчивости в окрестности регулярных и особых точек границы для механических систем различного типа: неконсервативных, потенциальных, гамильтоновых и периодических. Дана классификация особенностей границ областей устойчивости для потенциальных, гамильтоновых и периодических систем

• Дана классификация и проведен количественный анализ бимодальных бифуркаций для симметричных консервативных систем.

• Получены новые асимптотические формулы для областей параметрического резонанса для систем с большим числом степеней свободы, зависящих от трех парамет-

ров: параметра диссипативных сил, амплитуды и частоты параметрического возбуждения.

Проведен общий многопараметрический анализ устойчивости при резонансе между критической частотой флаттера автономной неконсервативной системы и частотой параметрического возбуждения.

Показано, что парадокс дестабилизации неконсервативной системы малыми диссипативными силами (парадокс Циглера) связан с особенностью типа "тупик на ребре" на границе области устойчивости.

Выявлена связь бимодальных решений в оптимизации упругих конструкций по критерию устойчивости с конической особенностью на границе области устойчивости. Показано, что симметричная упругая конструкция может терять устойчивость по асимметричной форме в бимодальной точке.

Решены задачи об устойчивости механических систем, в которых ключевую роль играют особенности на границе области устойчивости. К ним относятся задача о гироскопической стабилизации вращающейся системы упруго сочлененных тел, задача В.В.Болотина о комбинационном резонансе изгибно-крутильных колебаний балки под действием периодических моментов, задача о параметрическом резонансе и оптимизации балок переменного сечения под действием периодических осевых нагрузок, задача о резонансе упругой консольной трубы, проводящей пульсирующую жидкость.

• Проведены экспериментальные исследования параметрического резонанса балок постоянного и переменного сечения.

Методы исследования. В диссертации используются методы возмущений кратных собственных значений, развитые М.И. Вишиком, Л.А. Люстерником (1960) и В.Б. Лид-ским (1966), и способ их применения в многопараметрическом случае, предложенный А.П. Сейраняном (1990), качественные методы теории версальных деформаций, разработанные В.И. Арнольдом (1971). Развиваются конструктивные аналитические и численные методы теории бифуркаций кратных собственных значений, теории версальных деформаций, а также методы определения и аппроксимации особенностей на границах областей устойчивости.

Достоверность. Результаты диссертации строго математически и физически обоснованы. Исследования по параметрическому резонансу получили экспериментальное подтверждение.

Практическая ценность. Полученные результаты могут быть применены при проектировании и оптимизации широкого класса механических и физических систем, подверженных явлениям статической и динамической неустойчивости и параметрического резонанса, например, летательных аппаратов, изделий машиностроения, строительных сооружений, электрических сетей и т.д. Результаты диссертации вошли в спецкурс кафедры прикладной механики и управления механико-математического факультета МГУ и монографию по многопараметрической теории устойчивости с приложениями в механике.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на всероссийских и международных конгрессах, конференциях и симпозиумах: Международных конгрессах по структурной и междисциплинарной оптимизации (Буффало, США, 1999; Сеул, Корея, 2007), Всероссийской конференции с международным участием "Проблемы небесной механики" (Санкт-Петербург, 1997), Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 1997; Иркутск, 2007), Международных математических конгрессах (Берлин, 1998; Пекин, 2002), Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Л.С.Понтрягина (Москва, 1998), Симпозиуме AIAA/USAF/NASA/ISSMO по междисциплинарному анализу и оптимизации (Сент-Луис, США, 1998), Международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" (Москва, 1999), Конференции "Современные проблемы механики", посвященной 40-летию Института механики МГУ (Москва, 1999), Всероссийской конференции, посвященной 40-летию со дня основания кафедры "Аэрокосмические системы" МГТУ им. Н.Э. Баумана (Москва, 2000), Международных конференциях по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2000 и 2006), Европейских математических конгрессах (Барселона, 2000; Стокгольм, 2004), Международных конгрессах IUTAM по теоретической и прикладной механике (Чикаго, 2000; Варшава, 2004), Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной И.Г.Петровскому (Москва, 2001), Конференции MIT по вычислительной механике жидкости и твердого тела (Кембридж, США, 2001), Международной школе

по динамическим и управляемым системам (Суздаль, 2001), Всероссийских съездах по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2002; Нижний Новгород, 2006), Международной конференции "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания" (Обнинск, 2002), Летней школе "Современные проблемы механики" (Санкт-Петербург, 2002), Международных научных конференциях по механике "Поляховские чтения" (Санкт-Петербург, 2003 и 2006 - пленарный доклад), Международных конференциях "Физика и управление" (Санкт-Петербург, 2003 и 2005; Потсдам, Германия, 2007), VI Международном конгрессе по вычислительной механике (Пекин, 2004), Международной школе "Хаотические автоколебания и образование структур" (Саратов, 2004), Международной конференции по несамосопряженным гамильтонианам в физике (Стамбул, 2005 -пленарный доклад), Конференции ЕТЖОМЕСН по нелинейной динамике (Эйндховен, Нидерланды, 2005).

Результаты диссертации докладывались на научных семинарах в МГУ им. М.В.Ломоносова, Институте проблем механики РАН, Московском физико-техническом институте, Институте вычислительной математики РАН, Саратовском государственном университете. А также за рубежом в Датском техническом университете, Политехническом университете Каталонии (Испания), Университете префектуры г.Осака, Университете г.Цукуба, Университете г.Саппоро (Япония), Даляньском техническом университете (Китай) и в Мас-сачусетском технологическом институте (США).

Работа [10] была отмечена второй премией Всероссийского конкурса молодых ученых по механике и процессам управления, посвященного 100-летию А.И. Лурье (2001г.), работа

[12] получила премию издательства "Elsevier" за лучшую статью, опубликованную в журнале "Прикладная математика и механика" (2002г.), а работа [29] - премию Европейского общества по механике (EUROMECH) за лучшую работу молодого ученого на Международной конференции по нелинейной динамике (2005г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в монографии (издательство World Scientific) и 30 статьях (из них 25 - в отечественных и иностранных журналах," рекомендованных ВАК РФ).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 296 страниц. Она содержит 81 рисунок и 4 таблицы. Список литературы включает 265 наименований.

содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертации. Приведен обзор литературы, касающийся вопросов поведения собственных значений многопараметрических систем в окрестности точек кратности, методов и приложений теории вер-сальных деформаций матриц, методов анализа границ областей устойчивости и их особенностей, роли этих особенностей в поведении механических систем, методов теории параметрического резонанса и некоторых близких к теме работы приложений в теории управления. Указаны основные цели работы, кратко изложена структура диссертации, охарактеризована ее научная новизна, а также научная и практическая значимость, сформулированы основные положения, выноси-

мые на защиту.

Глава 1. Бифуркации собственных значений

В первой главе разрабатывается теория бифуркаций собственных значений матриц, гладко зависящих от параметров. Результаты этой главы составляют методологическую основу работы и используются далее во всех частях диссертации.

В §1 приводятся формулы для производных любого порядка от простого собственного значения и собственного вектора по параметрам. §2 и §3 посвящены многопараметрическому анализу бифуркации кратного собственного значения с жордановой клеткой. Здесь используется метод, основанный на анализе собственных значений и собственных векторов при возмущении вдоль гладкой кривой в пространстве параметров р(е) с малым вещественным параметром возмущения е. Предполагается, что вектор параметров р0 = р(0) отвечает матрице с кратным собственным значением. Данный подход позволяет свести задачу к однопараметрической для отдельной кривой, характеризуемой начальным направлением е = ^\£=0 и производными более высоких порядков.

Возмущения кратных собственных значений при наличии малого параметра е исследовались М.И. Вишиком, Л.А. Лю-стерником (1960) и В.Б. Лидским (1966) в невырожденном случае. Наличие же многих параметров приводит к тому, что вдоль отдельных кривых нарушаются условия невырожденности. Эти вырождения типичны и имеют особое значение с точки зрения теории устойчивости. В главах 2 и 3 показано, что возмущения параметров, стабилизирующие динамическую систему, могут определяться вырожденными на-

правлениями. В §2 и §3 в многопараметрической постановке наряду с невырожденными случаями рассмотрены основные виды вырождений. Основная трудность анализа связана с недифференцируемостью собственных значений по параметрам в точках кратности. Это приводит к асимптотическим разложениям по дробным степеням е, причем дробные показатели степеней зависят от типа вырождения. В §3 подробно рассматривается важный случай двукратного собственного значения с жордановой клеткой.

В §4 проводится аналогичное исследование для полупростого собственного значения, которому отвечает число линейно независимых собственных векторов равное его алгебраической кратности. В §5 подробно рассматривается случай полу простого двукратного собственного значения.

При высокой кратности собственного значения анализ возмущений вдоль кривых в пространстве параметров существенно усложняется. Это связано с увеличением числа различных "существенных" вырождений. В этом случае полезными оказываются методы теории версальных деформаций (нормальных форм), часто используемые при качественном анализе в теории особенностей. В §6 и §7 разрабатывается подход, позволяющий использовать эти методы для количественного анализа кратных собственных значений. В §6 анализ кратных корней полиномов проводится при помощи подготовительной теоремы Вейерштрасса, а для анализа кратных собственных значений матриц в §7 используется теория версальных деформаций матриц В.И. Арнольда (1971). Научное содержание §6 и §7 состоит в развитии конструктивных методов, позволяющих находить преобразования исходного многопараметрического семейства матриц или характеристиче-

ских полиномов к нормальной форме вблизи точек с кратными собственными значениями. В дальнейшем это позволило применить методы теории версальных деформаций к количественному многопараметрическому анализу устойчивости. Заметим, что ранее данные методы использовались преимущественно для качественного анализа.

Для приложения полученных в главе 1 результатов необходимо развитие численных методов определения значений параметров задачи, при которых возникает кратное собственное значение того или иного типа. Трудности определения этих значений, как уже отмечалось выше, связаны с негладкостью собственных значений в точках кратности. Дополнительной трудностью является необходимость работать в пространстве параметров, а не в пространстве матриц, как это обычно делалось в численных методах линейной алгебры. В §8 разработан численный метод определения кратных собственных значений в многопараметрических семействах матриц. При помощи этого метода определяются значения вектора параметров, при которых возникает кратное собственное значение, само собственное значение и соответствующие векторы цепочки Жордана. Рассмотрен случай кратных собственных значений, которым отвечает одна цепочка Жордана. Этот случай наиболее типичен для семейств несимметрических матриц. Метод основан на теории версальных деформаций, при помощи которой удалось построить линейную аппроксимацию искомых величин. Далее эта аппроксимация используется в методе Ньютона для нахождения точных значений. Разработанный численный метод реализован в виде набора процедур в пакете МАТЬАВ.

Глава 2. Особенности границ областей устойчивости автономных систем

Данная глава посвящена анализу границ областей устойчивости динамических систем общего вида. Задача об определении области асимптотической устойчивости в пространстве параметров сводится к анализу спектра линеаризованной системы, т.е. к определению собственных значений матрицы, зависящей от параметров.

В §1 приводятся общие результаты теории особенностей, позволяющие выделить случаи общего положения при многопараметрическом исследовании устойчивости. В §§2-4 развиваются количественные методы анализа области устойчивости в окрестности регулярных и особых точек ее границы. Подробно рассмотрены особенности, возникающие на границах областей устойчивости в двух и трехпараметрических системах. Многие особые точки на границе устойчивости связаны с возникновением кратных собственных значений, лежащих на мнимой оси. Это определяет особый (недифференци-руемый) характер поведения собственных значений при изменении параметров, что в конечном счете отражается на сингулярной форме области устойчивости. Используя результаты главы 1, выводятся асимптотические формулы, позволяющие определить область устойчивости и ее границу в окрестности особенности каждого типа. Конструктивность полученных формул определяется тем, что для их использования требуется лишь информация о системе в точке особенности: производные матрицы системы по параметрам, собственные и присоединенные векторы.

В §5 на примере двухзвенного маятника под действием

следящей силы показано, что эффект дестабилизации неконсервативной системы малыми диссипативными силами (парадокс Г.Циглера, 1952) может быть объяснен в терминах особенностей границы области устойчивости. Показано, что граница области устойчивости системы в пространстве трех параметров (величина следящей силы р и два коэффициента вязкого трения в шарнирах 71 и 72) имеет особенность типа "ребро" с окончанием в точке особенности "тупик на ребре" ро-Эти особенности лежат на оси следящей силы р, т.е. отвечают системе без диссипации, рис. 1. Геометрия области устойчивости в окрестности особенности "тупик на ребре" определяется из общей теории, приведенной в §§1-4. Геометрические свойства данной особенности приводят к таким эффектам, как скачок (резкое уменьшение) критической нагрузки при введении сколь угодно малого демпфирования и отсутствие предела критической нагрузки при стремлении параметров диссипации к нулю.

В §6 дается обобщение полученных результатов на случай особенностей произвольной коразмерности для систем с произвольным числом параметров. Приводятся явные асимптотические формулы, определяющие область устойчивости в окрестности особых точек ее границы. Эти результаты получены методами теории версальных деформаций, разработанными в §6 и §7 главы 1.

Глава 3. Границы областей устойчивости консервативных систем

В третьей главе исследуются границы областей устойчивости консервативных систем. В §1 рассматриваются колеба-

Рис. 1: Особенность "тупик на ребре" на границе области устойчивости иллюстрирует парадокс дестабилизации Г.Циглера.

тельные системы с потенциальными силами. Положение равновесия такой системы устойчиво при условии, что функция потенциальной энергии имеет в данной точке минимум. При помощи анализа возмущений простых и кратных частот колебаний описывается регулярная часть границы области устойчивости и классифицируются ее особенности. В частности показано, что в случае общего положения граница области устойчивости двухпараметрической системы не имеет особенностей, а единственной особенностью в случае трех параметров является конус. Выводятся формулы, позволяющие определять область устойчивости в окрестности произвольной регулярной или особой точки ее границы по собственным векторам и производным функции потенциальной энергии, вычисленным в рассматриваемой точке.

В §2 исследуется устойчивость упругого составного стержня, нагруженного продольной силой F. Стержень состоит из

четырех звеньев равной длины, соединенных упругими шарнирами с различными коэффициентами жесткости а| (конечномерная модель упругого стержня переменного сечения). При определенном выборе коэффициентов жесткости критическая нагрузка является бимодальной, т.е. одной и той же критической силе отвечают две линейно независимые формы потери устойчивости. При ограничении на жесткость системы (условии, аналогичном постоянству объема стержня) бимодальное решение соответствует максимуму критической силы как функции коэффициентов жесткости, т.е. бимодальное решение является оптимальным. Оптимальность бимодальных решений определяется геометрией конической особенности границы области устойчивости, рис. 2. Этот эффект, очевидно, является общим, что и объясняет естественность оптимальных упругих конструкций с бимодальными критическими нагрузками. В течение последних 30 лет решения такого типа были найдены разными авторами в различных механических системах.

В §3 излагается общая теория бимодальных бифуркаций в потенциальных системах с одной или двумя симметрия-ми. Дается полная классификация бифуркаций и перестроек при изменении параметров системы. Все формулы записаны в явном виде в терминах производных функции потенциальной энергии системы с произвольным числом степеней свободы. В качестве механического примера исследуются потеря устойчивости и закритическое поведение упругого составного стержня, нагруженного продольной силой. Обнаружен эффект потери устойчивости симметричного составного стержня по асимметричной форме.

§4 посвящен исследованию границ областей устойчиво-

Рис. 2: Коническая особенность в точке максимума критической нагрузки (бимодальное решение).

сти линейных гамильтоновых систем. Дается классификация особенностей общего положения на границах областей устойчивости в случае систем с двумя и тремя параметрами. Классификация проводится с использованием версаль-ных деформаций гамильтоновых матриц, полученных Д.М. Галиным (1975). Далее выводятся конструктивные формулы, позволяющие находить область устойчивости в окрестности произвольной (регулярной или особой) точки границы. Га-мильтоновы системы отличаются довольно большим числом типов особенностей и высокими кратностями собственных значений, определяющих особые точки, рис. 3. Так, в случае общего положения максимальная кратность собственного

значения в точке на границе области устойчивости трехпара-метрической системы равна шести (особенность типа "трехгранный шпиль" О6).

В §5 рассматриваются две механические задачи. В задаче об устойчивости упругой шарнирно опертой трубы, проводящей жидкость, исследована область гироскопической стабилизации. На границе этой области имеется особенность типа точки возврата. Вторая задача связана с вращением в поле силы тяжести системы, состоящей из тяжелого диска, соединенного с ротором при помощи двух стержней. Система является статически неустойчивой, но может быть стабилизирована вращением (гироскопическая стабилизация). Показано, что в пространстве трех параметров (частоты вращения и коэффициентов упругой податливости двух шаровых шарниров) область гироскопической стабилизации имеет особенность типа "трехгранный шпиль" (±га>)4 (последняя особенность, изображенная на рис. 3). Эта особенность отвечает резонансу, в котором все четыре частоты системы совпадают, образуя жорданову клетку. В обеих задачах геометрия особенности существенно влияет на процесс гироскопической стабилизации. Наличие особенности приводит к тому, что область гироскопической стабилизации является очень узкой. Общие результаты §4 существенно облегчают анализ границы такой области.

Глава 4. Многопараметрическая теория параметрического резонанса

В четвертой главе развиваются общие методы многопараметрического анализа устойчивости линейных систем с коэффи-

Рис. 3: Особенности общего положения на границе области устойчивости трехпараметрических гамильтоновых систем ("5" обозначает область устойчивости).

циентами, периодически зависящими от времени. Устойчивость периодической системы определяется при помощи метода Флоке, требующего вычисления фундаментальной матрицы системы. Тогда асимптотическая устойчивость определяется условием \р\ < 1 для всех мультипликаторов системы (собственных значений матрицы монодромии). Для вычисления производных матрицы монодромии по параметрам используются формулы, полученные в работе А.П.Сейраняна, Ф. Солема и П. Педерсена (1999).

В §1 выводятся формулы для производных по параметрам произвольного порядка для матрицы монодромии и ее мультипликаторов. Анализируются бифуркации кратных мультипликаторов при изменении параметров системы.

В §2 дается классификация особенностей на границе области устойчивости периодических систем в случае общего положения. Эти особенности геометрически аналогичны особенностям в случае автономных систем. Типы особых точек определяются перечислением собственных значений, лежащих на единичной окружности, и их жордановой структурой. Но в периодических системах имеются типы особых точек, существенно отличающиеся от случая автономных систем. Выводятся аппроксимации области устойчивости в окрестности регулярных и особых точек ее границы. В формулах для аппроксимаций требуется лишь информация о системе в рассматриваемой точке: производные матрицы системы по параметрам и времени, фундаментальная матрица, мультипликаторы, собственные и присоединенные векторы. Поскольку фундаментальная матрица обычно известна из анализа устойчивости в данной точке, предлагаемый подход позволяет эффективно определять локальную форму границы обла-

сти устойчивости.

В §3 полученные результаты применяются к задаче об устойчивости упругой составной трубы, проводящей жидкость, для анализа влияния пульсаций на критическую среднюю скорость потока. Показано, как результаты §2 позволяют при существенно меньшем объеме численных расчетов (по сравнению с прямым применением метода Флоке) определять стабилизирующие направления в пространстве параметров.

В §4 рассматриваются колебательные системы с произвольным числом степеней свободы под действием малого параметрического возбуждения и при наличии малых дисси-пативных сил. Исследуется поведение мультипликаторов в окрестности точек простого и комбинационного резонансов (в точках резонанса возникают двукратные полупростые мультипликаторы). Выводятся общие формулы первого приближения для областей простого и комбинационного резонансов (областей неустойчивости) в невырожденном случае. Эти формулы записаны в терминах частот и форм собственных колебаний соответствующей невозмущенной консервативной системы. Для двух важных типов периодического возбуждения, определяемых скалярным периодическим множителем или симметрической матрицей возбуждения, области резонансов являются полуконусами в пространстве трех параметров: частоты и амплитуды параметрического возбуждения и параметра диссипации, рис. 4. Хорошо известные образы зон простого резонанса на плоскости частота-амплитуда возбуждения в системах без и при наличии диссипации являются вертикальными сечениями полу конуса плоскостью 7 = const, ограниченными гиперболами. В случае комбинационного резонанса описан феномен дестабилизации малой диссипацией

Рис. 4: Полуконус области параметрического резонанса в пространстве параметров.

в терминах бифуркации кратного полупростого мультипликатора.

В §5 исследуется влияние малого периодического по времени возбуждения на устойчивость неконсервативной системы. Предполагается, что автономная система теряет устойчивость статическим (дивергенция) или динамическим (флаттер) способом. Выводятся формулы для аппроксимации границы области устойчивости при наличии малого периодического возбуждения. При этом считается, что система зависит от вектора постоянных параметров. Показано, что граница области устойчивости является гладкой в случае дивергенции автономной системы, но может иметь особенности в случае флаттера. Особенности возникают в случае резонанса между частотой возбуждения Г2 и частотой флаттера и. Резонансное соотношение имеет вид О, 2и>/к при целом к > 0. Это соотношение похоже на классическое условие простого параметрического резонанса колебательной системы, однако здесь ш - критическая частота флаттера системы, а не соб-

ственная частота колебаний.

Глава 5. Параметрический резонанс в механических системах

В пятой главе решаются задачи о параметрическом резонансе в конкретных механических системах. Рассматриваются бесконечномерные системы, которые методом Галеркина или методом конечных разностей сводятся к конечномерным.

В §1 решается задача о комбинационном резонансе для плоской формы балки под действием периодических моментов (задача В.В.Болотина). Изгибно-крутильные колебания балки описываются функциями, зависящими от продольной координаты и времени. В данной системе существенным является комбинационный резонанс, обусловленный взаимодействием изгибной и крутильной форм колебаний одного и того же тона. Используя результаты §4 главы 4, получена общая формула для зон комбинационного резонанса. Численные расчеты области резонанса, проведенные с помощью метода Флоке, хорошо согласуются с полученной асимптотической формулой.

В §2 исследуются колебания упругой балки переменного сечения, нагруженной периодической осевой силой. Рассматривается произвольный периодический закон изменения осевой силы и учитывается внешнее демпфирование. Выводятся общие формулы для зон простого и комбинационного резонансов в терминах собственных частот и мод свободных колебаний балки. Определяются критические значения амплитуды возбуждения и поправки к значениям соответствующих резонансных частот.

В §3 решается задача оптимизации формы балки по критериям параметрического резонанса. Рассматривается плоская балка переменной ширины и фиксированной массы под действием периодической осевой силы. Формулируются две задачи оптимизации: максимизация критической амплитуды силы и минимизация ширины области резонансных частот для заданной зоны резонанса. Показано, что эти задачи эквивалентны при условии малости амплитуды возбуждения и коэффициента внешнего демпфирования. Более того, оптимальное решение оказывается не зависящим от закона периодического изменения силы, коэффициента внешнего демпфирования и номера резонанса, однако существенно зависит от граничных условий. Разработан конструктивный метод оптимизации, в котором задача сводится к минимизации функционала, зависящего только от частот и мод свободных колебаний стержня. Таким образом, нет необходимости использовать метод Флоке в процессе оптимизации. Численно найдены оптимальные решения для шарнирно опертой балки и балок с граничными условиями упругой и жесткой заделки. Существенно, что предложенный метод может быть использован в других задачах оптимизации по критериям параметрического резонанса.

В §4 приводятся экспериментальные результаты по определению зон параметрического резонанса для однородного и оптимального шарнирно опертых стержней. Эксперименты проводились автором совместно с Х.Ябуно и Х.Канеко в лаборатории нелинейной динамики университета г.Цукуба (Япония). Форма оптимального стержня определяется решением, полученным в предыдущем параграфе. На рис. 5 изображены границы областей параметрического резонанса

О -----.---1-►

14 16 18 20 22 24

Рис. 5: Теоретические и экспериментальные границы зоны параметрического резонанса для однородного и оптимального стержней.

на плоскости: частота - амплитуда возбуждающей силы. Пустые и черные кружки обозначают экспериментальные данные для однородного и оптимального стержней, соответственно. Пунктирной и сплошной линиями показаны границы, полученные теоретически. Экспериментальные результаты свидетельствуют о хорошем совпадении с теорией.

В §5 исследуется влияние пульсаций жидкости на устойчивость упругой трубы. Труба консольно закреплена в вертикальном положении со свободным концом внизу. В случае постоянной скорости потока жидкости потеря устойчивости вертикального положения равновесия происходит динамическим способом (флаттер). Критическим является третий тон колебаний. Исследуются нерезонансный и резонансный режимы пульсаций скорости потока жидкости. При определенных значениях параметров системы показано, что в нерезо-

Рис. 6: Граница области устойчивости для трубы, проводящей жидкость, при резонансном режиме пульсаций скорости жидкости.

нансном режиме пульсации стабилизируют систему: критическая средняя скорость потока возрастает (в главном члене пропорционально квадрату амплитуды пульсаций).

В случае резонанса между частотой пульсаций и критической частотой флаттера О, « 2и> наблюдается "провал" на границе области устойчивости, рис. 6 (параметры: частота О и амплитуда /л пульсаций и средняя скорость потока и0; область устойчивости находится под изображенной поверхностью). При этом пульсации могут существенно понизить критическую среднюю скорость потока. Полуконическая особенность, которая реализуется в данном случае, подобна полуконусу области резонанса колебательной системы (рис. 5). Однако как физические параметры системы, так и сам резонансный эффект в данном случае - другие. В частности,

резонанс в данной задаче возможен только на критическом тоне флаттера. При значениях средней скорости потока ниже критической скорости для автономной системы наблюдаются выпуклые области резонанса на плоскости: частота-амплитуда пульсаций (сечения конической части границы горизонтальной плоскостью щ = const). Это объясняет, почему в данной системе не наблюдаются области резонанса на первом тоне колебаний. Используя симметрию задачи, в §5 показано, что резонансный режим пульсаций всегда приводит к такой же особенности на границе области устойчивости с характерным провалом при частотах, близких к резонансным.

публикации по теме диссертации

Монография:

1. Seyranian А.Р. and Mailybaev A.A. Multiparameter Stability Theory with Mechanical Applications. New Jersey: World Scientific, 2003. 420p.

Статьи:

2. Майлыбаев A.A. О касательных конусах к области устойчивости семейства действительных матриц. Вестник Московского университета. Математика, механика. 1998. Вып. 6. С. 51-54.

3. Майлыбаев A.A., Сейранян А.П. Особенности границ областей устойчивости. Прикладная математика и механика. 1998. Т. 62. № 6. С. 984-995.

4. Майлыбаев A.A., Сейранян А.П. Об особенностях границы области устойчивости. Доклады РАН. 1998. Т. 359. № 5. С. 632-636.

5. Майлыбаев A.A., Сейранян А.П. О границах областей устойчивости гамильтоновых систем. Прикладная математика и механика. 1999. Т. 63. № 4. С. 568-579.

6. Майлыбаев A.A. Приведение семейств матриц к нормальным формам и приложение к теории устойчивости. Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т. 5. № 4. С. 1111-1133.

7. Майлыбаев A.A. Метод приведения семейств матриц к нормальным формам. Доклады РАН. 1999. Т. 367. № 2. С. 168-172.

8. Сейранян А.П., Майлыбаев A.A. Об особенностях границ областей устойчивости гамильтоновых и гироскопических систем. Доклады РАН. 1999. Т. 365. № 6. С. 756-760.

9. Майлыбаев A.A., Сейранян А.П. Об особенностях границ параметрического резонанса. Доклады РАН. 2000. Т. 373. № 5. С. 623-627.

10. Майлыбаев A.A. Об устойчивости полиномов, зависящих от параметров. Изв. РАН. Теория и системы управления. 2000. № 2. С. 5-12.

11. Майлыбаев A.A., Сейранян А.П. О границах области параметрического резонанса. Прикладная математика и механика. 2000. Т. 64. № 6. С. 947-962.

12. Майлыбаев А.А., Сейранян А.П. Параметрический резонанс в системах с малой диссипацией. Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65. JVfi 5. С. 779-792.

13. Майлыбаев А. А. Вычисление кратных собственных значений и жордановых цепочек векторов для матриц, зависящих от параметров. Доклады РАН. 2001. Т. 379. № 2. С. 165-169.

14. Сейранян А.П., Майлыбаев А.А. Параметрический резонанс в системах с малой диссипацией. Доклады РАН. 2001. Т. 378. № 5. С. 633-638.

15. Григорян С.С., Майлыбаев А.А. О подготовительной теореме Вейерштрасса. Математические заметки. 2001 Т. 69. № 2. С. 194-199.

16. Сейранян А.П., Майлыбаев А.А. Трехмерные области параметрического резонанса. Труды МИАН. 2002. Т. 236. С. 304-317.

17. Майлыбаев А.А., Сейранян А.П. Взаимодействие собственных значений при изменении параметров. Доклады РАН. 2003. Т. 393. № 5. С. 609-614.

18. Сейранян А.П., Майлыбаев А.А. Бимодальные бифуркации положений равновесия в симметричных потенциальных системах. Доклады РАН. 2007. Т. 417. С. 49-55.

19. Mailybaev A.A. and Seyranian А.P. Sensitivity analysis of eigenvalues and singularities of stability domains. Proceedings of the 7th AIA A/US A F/NA SA/ISSMO Symposium

on Multidisciplinary Analysis and Optimization (St.Louis, USA). 1998. V. 3. P. 2166-2176.

20. Mailybaev A. A. Transformation of families of matrices to normal forms and its application to stability theory. SI AM J. Matrix Anal. Appl. 1999. V. 21. No. 2. P. 396-417.

21. Mailybaev A.A. and Seyranian A.P. On singularities of a boundary of the stability domain. SIAM J. Matrix Anal. Appl. 1999. V. 21. No. 1. P. 106-128.

22. Seyranian A.P. and Mailybaev A.A. Multimodal optimal solutions and singularities of stability boundary. Proceedings of the 3nd World Congress of Structural and Multidisciplinary Optimization (Buffalo, USA). 1999. V. 3. P. 156-158.

23. Mailybaev A. A. and Seyranian A.P. Singularities of Stability Boundaries in Optimization Problems. Proceedings of the II International Conference "Strength, Durability and Stability of Materials and Structures" (Panevezys, Lithuania). 1999. P. 282-287.

24. Seyranian A.P. and Mailybaev A. A. On stability boundaries of conservative systems. Journal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP). 2001. V. 52. No. 4. P. 669-679.

25. Mailybaev A.A. Transformation to versal deformations of matrices. Linear Algebra Appl. 2001. V. 337. No. 1-3. P. 87-108.

26. Mailybaev A.A. and Seyranian A.P. Stability boundaries of linear periodic systems. Proceedings of the 1st MIT Conference on Computational Fluid and Solid Mechanics (Cam-

bridge, USA). 2001. V. 2. P. 1613-1616. Amsterdam: Elsevier, 2001.

27. Mailybaev A.A. On stability domains of nonconservative systems under small parametric excitation. Acta Mechanica. 2002. V. 154. No. 1-4. P. 11-33.

28. Seyranian A.P. and Mailybaev A.A. Interaction of eigenvalues in multi-parameter problems. Journal of Sound and Vibration. 2003. V. 267. P. 1047-1064.

29. Mailybaev A.A., Yabuno H. and Kaneko H. Optimal shapes of parametrically excited beams. Structural and Multidis-ciplinary Optimization. 2004. V. 27. No. 6. P. 435-445.

30. Mailybaev A.A. Computation of multiple eigenvalues and generalized eigenvectors for matrices dependent on parameters. Numerical Linear Algebra with Applications. 2006. V. 13. P. 419-436.

31. Mailybaev A.A., Seyranian A.P. Bifurcations of Equilibria in Potential Systems at Bimodal Critical Points. Journal of Applied Mechanics. 2008. V. 75. 021016.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова

Подписано в печать /6. Об. ОЯ Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. 2.0 Тираж №0 экз. Заказ ¿9

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

2007518218

Введение

Обзор литературы.

Бифуркации кратных собственных значений.

Методы теории версальных деформаций.

Границы областей устойчивости и их особенности.

Теория параметрического резонанса.

Управляемость многопараметрических колебательных систем.

Цель, структура, публикации, апробация, основные результаты и практическая значимость диссертации . . . . ■.

1 Бифуркации собственных значений

1.1 Возмущение простого собственного значения

1.2 Бифуркация кратного собственного значения с одной цепочкой Жордана

1.3 Сильное взаимодействие собственных значений.

1.3.1 Вещественное собственное значение До.

1.3.2 Комплексное собственное значение До.

1.4 Бифуркация полупростого собственного значения.

1.5 Слабое взаимодействие собственных значений.

1.5.1 Вещественное собственное значение А0.

1.5.2 Комплексное собственное значение А0.

1.6 Факторизация семейства характеристических полиномов

1.7 Метод теории версальных деформаций.

1.8 Вычисление кратных собственных значений и цепочек Жордана

1.8.1 Линеаризация функций версальной деформации.

1.8.2 Метод Ньютона.

1.8.3 Примеры.

1.8.4 Связь с производными собственных значений.

2 Особенности границ областей устойчивости автономных систем

2.1 Линейные системы общего вида, зависящие от параметров

2.2 Регулярная часть границы области устойчивости.

2.3 Особенности коразмерности 2.

2.4 Особенности коразмерности

2.5 Особенность "тупик на ребре" в парадоксе Циглера.

2.6 Особенности высокой коразмерности.

3 Границы областей устойчивости консервативных систем

3.1 Колебательные механические системы с потенциальными силами

3.1.1 Чувствительность простых и кратных частот колебаний.

3.1.2 Область устойчивости и ее граница.

3.1.3 Особенности границы области устойчивости.

3.2 Особенность бимодальной критической силы потери устойчивости

3.3 Бимодальные бифуркации положений равновесия в потенциальных системах

3.3.1 Системы с двумя симметриями.

3.3.2 Перестройки бимодальных бифуркаций

3.3.3 Бимодальная бифуркация составного упругого стержня.

3.4 Линейные гамильтоновы системы.

3.4.1 Бифуркации собственных значений гамильтоновой матрицы

3.4.2 Версальные деформации гамильтоновых матриц.

3.4.3 Область устойчивости и ее граница.

3.4.4 Особенности границы области устойчивости.

3.4.5 Анализ особых точек на границе области устойчивости: углы и конусы.

3.4.6 Анализ особых точек на границе области устойчивости: точки возврата и трехгранные шпили

3.5 Механические примеры.

3.5.1 Упругая шарнирно опертая труба, проводящая жидкость

3.5.2 Гироскопическая стабилизация статически неустойчивой вращающейся системы.

4 Многопараметрическая теория параметрического резонанса

4.1 Бифуркации мультипликаторов.

4.1.1 Анализ чувствительности простых мультипликаторов.

4.1.2 Двукратный мультипликатор с одним собственным вектором

4.1.3 Трехкратный мультипликатор с одним собственным вектором

4.1.4 Полупростой двукратный мультипликатор.

4.2 Граница области устойчивости периодической системы.

4.2.1 Особенности границы области устойчивости.

4.2.2 Количественный анализ особенностей.

4.3 Устойчивость составной трубы, проводящей пульсирующую жидкость

4.4 Параметрический резонанс в колебательных системах с демпфированием

4.4.1 Поведение простых мультипликаторов.

4.4.2 Локальная аппроксимация области устойчивости.

4.4.3 Параметрическое возбуждение с симметрической матрицей

4.4.4 Матрица параметрического возбуждения вида В(Ш) = <р(Ш)В

4.4.5 Влияние диссипации на области резонанса.

4.5 Неконсервативные системы при малом параметрическом возбуждении

4.5.1 Аппроксимация области устойчивости в регулярном случае

4.5.2 Анализ области устойчивости в резонансном случае.

5 Параметрический резонанс в механических системах

5.1 Балка под действием периодических моментов (задача В.В. Болотина)

5.2 Стержень переменного сечения, нагруженный периодической продольной силой.

5.3 Оптимизация стержня по критерию параметрического резонанса

5.3.1 Задача оптимизации.

5.3.2 Метод оптимизации.

5.3.3 Оптимальные формы стержня.

5.4 Эксперименты.

5.5 Устойчивость трубы, проводящей пульсирующую жидкость.

5.5.1 Метод Галеркина

5.5.2 Поток с постоянной скоростью.

5.5.3 Граница области устойчивости в регулярном случае.

5.5.4 Резонансный режим пульсаций

5.5.5 Диаграммы устойчивости на плоскости амплитуда - частота

Теория устойчивости является одной из наиболее интересных и важных областей прикладной математики, имеющей многочисленные приложения в естественных науках, в аэрокосмической и электронной промышленности, машиностроении, приборостроении и гражданском строительстве. Теория устойчивости всегда была актуальной для астрономии и небесной механики, а в течение последних десятилетий успешно применяется для исследования процессов в химических, биологических, экономических и социальных системах.

Всякая физическая система содержит параметры, и основной целью настоящей диссертации является исследование того, как устойчивое положение равновесия или стационарное движение становится неустойчивым, или наоборот, при изменении многих параметров. В формулировках классических теорем теории устойчивости параметры явным образом не содержатся. Так, например, теорема Ляпунова об устойчивости по линейному приближению или теорема Томсопа-Тета-Четаева сформулированы в терминах систем с фиксированными параметрами. В многопараметричсских задачах устойчивости пространство параметров разбивается на области устойчивости и неустойчивости для конкретного положения равновесия или стационарного режима. Таким образом, объектом исследования является построение и анализ границы между этими областями - границы области устойчивости. В большом числе случаев граница области устойчивости определяется системой дифференциальных уравнений, линеаризованных в окрестности рассматриваемог о стационарного режима.

Как известно, граница области устойчивости состоит из гладких поверхностей, но может иметь разного рода особенности. К одним из первых общих результатов многопараметрической теории устойчивости можно отнести результаты В.И.Арнольда [6, 10] по классификации типичных особенностей границы области устойчивости для

Рис. 1: Взаимодействие собственных значений в задаче о трубе, проводящей жидкость. систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Одним из главных стимулов настоящей диссертации явилась необходимость перенести качественные результаты теории особенностей и катастроф в пространство параметров задачи, тем самым сделав эту теорию также количественной, то есть конструктивной и практичной. Здесь показано, как граница области устойчивости и ее особенности могут быть описаны с использованием информации о системе.

Поведение собственных значений вблизи границы устойчивости при изменении параметров определяет устойчивость или неустойчивость системы. Рис. 1, заимствоi ванный из книги Дж.М.Т.Томпсона [114], показывает взаимодействие собственных / значений в конкретной механической системе - трубе, проводящей жидкость, зависящей от одного параметра - скорости жидкости р. Как видно из рисунка, собственные значения сближаются, сталкиваются и расходятся, описывая петли и совершая пируэты, что делает систему то устойчивой, то неустойчивой. Глядя на этот и подобные рисунки, возникает ряд вопросов.

Каковы законы движения собственных значений на комплексной плоскости в зависимости от изменения параметров задачи? Какие столкновения возможны и какие из них типичны? Каковы особенности поведения механических систем со свойствами симметрии, таких как гироскопические и консервативные системы? Каковы соотношения между собственными значениями и свойствами границы области устойчивости в пространстве параметров?

В заключительных замечаниях к своей книге В.В.Болотин [15] указал, что неконсервативные задачи устойчивости тесно связаны со свойствами линейных несамосопряженных операторов, и призвал развивать методы исследования зависимости собственных значений операторов от одного и более параметров. Он также отметил, что общие свойства линейных систем с неконсервативными позиционными (циркуляционными) силами недостаточно изучены, и напомнил, что в классических результатах Томсона и Тета [254] об устойчивости механических систем циркуляционные силы не нашли отражения. В.В.Болотин также предложил обратить внимание па неожиданный эффект дестабилизации циркуляционной системы малыми диссипативными силами. Этот эффект интересен как в первоначальной линейной постановке [265, 162], так и при анализе нелинейного поведения [1], и при наличии периодического возбуждения [2].

Примечательно, что Р.С.Маккей [190], который вывел формулу для изменения простого собственного значения гамильтоновой матрицы при негамильтоповом возмущении, предложил обобщить этот результат на случаи кратных собственных значений и движения мультипликаторов Флоке по комплексной плоскости, а затем применить эти результаты к нетривиальным физическим задачам.

Настоящая диссертация посвящена развитию многопараметрических методов теории устойчивости с приложениями к задачам механики. Здесь предлагаются аналитические и численные методы, позволяющие проводить конструктивный многопараметрический анализ устойчивости. Описываются свойства и структура областей устойчивости и ее границ для систем различного вида: консервативных и неконсервативных, автономных и периодических. Решается ряд конкретных задач устойчивости и параметрического резонанса механических систем с конечным и бесконечным числом степеней свободы. Дается новое объяснение ряду механических эффектов и парадоксов в терминах теории особенностей и катастроф. Наконец, приводятся результаты экспериментов по параметрическому резонансу, подтверждающие эффективность предлагаемых методов.

Методологической основой диссертации является новая многопараметрическая теория бифуркаций собственных значений, содержащая ответы на приведенные выше вопросы и предложения. Выделены два важных случая сильного и слабого взаимодействий (столкновений) собственных значений и дана их геометрическая интерпретация. Наличие нескольких параметров и отсутствие дифференцируемости кратных собственных значений составляют основные математические трудности анализа. Эти трудности преодолеваются путем исследования бифуркаций собственных значений вдоль гладких кривых в пространстве параметров, выпущенных из особых точек, и анализом полученных соотношений. Для анализа этих бифуркаций очень полезной оказалась теория возмущений собственных значений, развитая М.И. Вишиком и Л.А. Люстерником [22].

В качестве альтернативного подхода к анализу кратных собственных значений развиваются количественные методы теории версальных деформаций. Понятие вер-сальных деформаций было введено В.И.Арнольдом [5] в 1971 году с целью многопараметрического анализа кратных собственных значений. С тех пор данная теория получила широкое развитие для миогопараметрического анализа динамических систем, но оставалась лишь инструментом качественного анализа и классификации различного рода особенностей. В настоящей диссертации развиты количественные методы теории версальных деформаций, позволяющие решить изначально поставленную задачу: разработать конструктивный численный метод для анализа возмущений и вычисления кратных собственных значений в многопараметрических семействах матриц.

Многопараметрическая теория бифуркаций собственных значений играет ключевую роль в исследовании устойчивости и неустойчивости. С применением этой теории проводится общетеоретический анализ границ областей устойчивости для консервативных и неконсервативных систем. Исследуется структура границы области устойчивости, проводится классификация ее характерных особенностей. Далее выводятся аппроксимации, позволяющие определять область устойчивости локально в окрестности регулярной или особой точки ее границы по информации о системе в данной точке.

В диссертации показано, что особенности оказывают существенное влияние на колебания и устойчивость механических систем. Показано, что и основе парадокса дестабилизации неконсервативной системы малыми диссипативными силами (парадокса Циглера [265]) лежит особенность границы области устойчивости типа "тупик на ребре". Эта особенность связана с двукратным чисто мнимым собственным значением, возникающем при критической силе потери устойчивости системы без демпфирования. В работе Н.Ольхофа и С.Х.Расмуссена [212] 1977 года был численно обнаружен эффект бимодальностн в решении задачи оптимизации формы стержня по критерию устойчивости. Этот эффект заключается в возникновении кратной критической силы или частоты колебаний в процессе оптимизации, приводящей к недифференцируемости минимизируемого функционала. Позднее феномен возникновения бимодальностн (и мультимодальности) был обнаружен во многих задачах оптимизации упругих системы но критериям колебаний и устойчивости, что привлекло большой интерес со стороны инженерного сообщества. В настоящей диссертации показано, как особенности на границе области устойчивости естественным образом приводят к бимодальным оптимальным решениям. Другой областью механики, где особенности играют существенную роль, является гироскопическая стабилизация. В диссертации на примере вращающейся системы тел показано, как особенность типа "трехгранный шпиль" влияет на процесс гироскопической стабилизации. Эта особенность типично возникает на границе области устойчивости гироскопических систем, зависящих от трех параметров, и связана с четырехкратной частотой колебаний системы. В ранних работах автора [70, 71, 72] исследовалась задача об аэроупругой устойчивости крыла с подкосами (задача М.В.Келдыша), где особенности границы области устойчивости приводят к разрыву критической скорости флаттера при изменении параметров задачи.

Большая часть диссертации посвящена сложным задачам устойчивости периодических систем, зависящих от нескольких постоянных параметров. Эта тема была источником вдохновения для многих знаменитых ученых, таких как Матье [205], Флоке [148], Хилл [163], Релей [223], Ляпунов [61], Пуанкаре [221]. С самого начала эти задачи были многопараметрическими. Так, известная задача устойчивости для уравнения Матье-Хилла содержит два параметра. В диссертации с применением теории бифуркаций мультипликаторов дается геометрическое описание границ областей устойчивости и их особенностей для периодических систем общего вида. Затем формулируются и решаются задачи параметрического резонанса для систем со многими степенями свободы в трехмерном пространстве параметров - частоты возбуждения П. амплитуды 6 и коэффициента вязкого трения 7 в предположении, что последние два параметра малы. Предполагается, что невозмущенная система консервативна. Оказывается, что для типичных в механике видов параметрического возбуждения области параметрического (простого и комбинационного) резонанса имеют форму полуконусов в пространстве параметров <5,7), рис. 2. При этом оба

Рис. 2: Область параметрического резонанса в пространстве трех параметров: частоты О, и амплитуды 8 параметрического возбуждения и параметра демпфирования ласти резонанса определяются в явном виде с использованием собственных частот и форм колебаний соответствующей консервативной системы. Далее изучаются границы областей устойчивости неконсервативных систем при малом периодическом возбуждении. Описываются особенности, возникающие на границе области параметрического резонанса в окрестности резонансных значений частоты параметрического возбуждения.

Разработанная многопараметрическая теория параметрического резонанса позволяет решать сложные задачи параметрического резонанса для конкретных механических систем с конечным и бесконечным числом свободы. В диссертации определяются зоны комбинационного резонанса для изгибно-крутильных колебаний балки, нагруженной периодическими моментами (задача В.В.Болотина). Выводится явное аналитическое выражение для зон параметрического резонанса балок переменного сечения под действием периодических осевых нагрузок. Затем исследуется устойчивость упругой консольной трубы, проводящей пульсирующую жидкость.

Развитая методика позволяет эффективно решать задачи оптимизации механических систем по критериям параметрического резонанса. Так в диссертации решается задача оптимизации формы балки, при которой максимизируется критическая амплитуда периодического воздействия и минимизируется ширина интервала резонансных частот.

Отметим отдельно экспериментальные исследования по параметрическому резо7нансу. Здесь экспериментально определялись зоны параметрического резонанса на плоскости частоты и амплитуды периодической осевой силы для однородной и оптимальной балок. Сравнение полученных теоретических результатов с экспериментом подтвердило эффективность развитых методов.

Обзор литературы

Со времени выхода классической работы А.М.Ляпунова [61] проведено огромное количество исследований по теории устойчивости и ее приложениям. Теория устойчивости имеет многочисленные приложения во всех областях инженерной науки, играет ключевую роль в механике, астрономии, теоретической физике, биологии, экономике, социологии. Трудно найти область современной науки, где бы не возникал вопрос об устойчивости.

Из многообразия литературы по устойчивости отметим книги отечественных и зарубежных ученых В.В.Болотина [14, 15], Б.В.Булгакова [19], В.Г.Веретенникова [21], А.Х.Гелиг и др. [26], В.Ф.Журавлева и Д.М.Климова [34], В.И.Зубова [36], А.Ю.Иш-линского и др. [39], А.В.Карапетяна [42], Н.В.Карлова и Н.А.Кириченко [44], А.Н.Ко-унадиса и В.Б.Кратцига [180], Н.Н.Красовского [49], Х.Лейпхольца [188], Г.А.Леонова [59], И.Г.Малкина [81], Д.Р.Меркина [86], Я.Г.Пановко и И.И.Губановой [87], В.В.Румянцева и А.С.Озиранера [90], Дж.М.Т.Томпсона [114], Й.Й.Томсена [252], Х.Трогера и А.Штайндла [256], К.Хусейна [165, 166], Г.Циглера [119], Ф.Л.Черноусько и др. [120], Н.Г.Четаева [121], В.А.Якубовича и В.М. Старжинского [123, 124]. В диссертацию вошли результаты, опубликованные в монографии автора и А.П.Ссйраняна [238].

Ниже приводится обзор отдельных направлений теории устойчивости, а также теории особенностей и бифуркаций, непосредственно связанных с данной диссертацией. В конце каждого из обзоров отражаются результаты автора, вошедшие в диссертацию.

Бифуркации кратных собственных значений

Устойчивость и неустойчивость малых колебаний динамических систем определяется из анализа спектра линеаризованной системы уравнений (в особом случае Ляпунова спектральный критерий дает лишь необходимое условие устойчивости). Существуют также и другие методы определения устойчивости, например, такие как метод Рауса-Гурвица и метод D-разбиений [89]. Однако область применения этих методов ограничивается системами, характеристические уравнения которых имеют явный и относительно простой вид.

При наличии многих параметров изменение спектра, т.е. изменение собственных значений, определяет процесс стабилизации или, наоборот, потери устойчивости. При этом собственные значения при некоторых значениях параметров могут совпадать. Так возникают кратные собственные значения. Распад (бифуркация) кратных собственных значений при возмущении параметров во многом определяет поведение многопараметрической динамической системы.

Методы теории бифуркаций кратных собственных значений восходят к работе Исаака Ньютона [211], где рассматривались кратные корни полиномов. Согласно методу, основанному на так называемых диаграммах Ньютона, корни полинома описываются рядами по дробным степеням параметра возмущения. Такие ряды называются рядами Ньютона-Пюизо. Данный метод получил существенное развитие в приложении к алгебраическим и дифференциальным уравнениям [18].

В случае матриц, как и в общем случае линейных операторов, кратные собственные значения обладают более тонкой - жордаиовой структурой. В работе М.И.Вишика и Л.А.Люстерника [22] была доказана теорема о разложимости возмущенных собственных значений и собственных векторов несимметрических матриц (и несамосопряженных операторов) в ряды по дробным степеням параметра возмущения и предложена рекуррентная процедура для определения коэффициентом в этих рядах. При этом жорданова структура собственного значения является определяющим фактором при выборе степеней разложения. В.Б.Лидским [60] был разработан простой метод определения главных членов вариаций собственных значений при возмущении матрицы. Обобщенная задача на собственные значения вида А(А) + В (А, е) = 0, где А и В - матрицы, зависящие от собственного значения А и параметра возмущения е, рассматривалась в работах Х.Лангера и Б.Наймана [183, 208]; здесь были найдены главные члены вариаций собственных значений.

Многие работы по теории возмущений собственных значений посвящены матрицам специального типа. Так, возмущения собственных значений в случае матриц монодромии линейных канонических систем с периодическими коэффициентами исследовались И.М.Гельфандом и В.Б.Лидским [27], а также М.Г.Крейиом и Г.Я.Любарским [51]. Случай гамильтоновых матриц был изучен в работе Дж.Х.Маддокса и М.Л.Овертона [191].

Случай нескольких параметров в задачах о возмущении собственных значений матриц исследовался в работах А.П.Сейраняна [97, 230], где использовался метод возмущений по направлению в пространстве параметров, и затем применялся подход М.Р1. Вишика и Л.А. Люстерника [22]. В этих работах было введено понятие сильного и слабого взаимодействий собственных значений, отличающихся жордановой структурой кратного собственного значения. В работе [99] были выписаны соотношения, описывающие возмущения собственных значений в случае колебательной системы Му + Ву + Су = 0, зависящей от нескольких параметров.

В перечисленных выше работах возмущения собственных значений исследовались при условии невырожденности. Это условие было названо условием "Г" в [22]. В вырожденном случае разложения собственных значений в ряд по дробным степеням параметра возмущения могут иметь иной, не стандартный для возмущаемой матрицы вид. Следует отметить, что уже при наличии двух параметров некоторые направления в пространстве параметров являются вырожденными. Оказывается, что именно такие "вырожденные" направления представляют особый интерес при исследовании особенностей границ областей устойчивости. Задачи о возмущении собственных значений в случае невыполнения условий невырожденности рассматривались в работах Х.Лангера и Б.Неймана [184], Дж. Моро и др. [206], где изучались некоторые специфические случаи; вырожденный случай возмущения двукратного собственного значения с жордановой клеткой рассматривался А.П.Сейраняном [96]. Однако конструктивных методов исследования данной задачи в общем случае не было предложено.

Особый интерес представляет исследование бифуркаций кратных собственных значений симметрических и эрмитовых матриц. В этом случае собственные значения всегда полупростые, т.е. жордановых клеток не возникает. Исследование поведения собственных значений при изменении параметров вблизи точек кратности было инициировано в работах Дж. фон Неймана и Е.П.Вигнера [259] и Е.Теллера [251], где изучалось пересечение энергетических уровней в квантовой механике. В работе [259] была получена коразмерность множества матриц с собственным значением фиксированной кратности, а в [251] двукратное собственное значение было впервые ассоциировано с конусом в трехмерном пространстве, образованном собственным значением и двумя параметрами. В физических задачах представляют интерес бифуркации кратных собственных значений симметрических матриц при несимметрических возмущениях, отвечающих наличию диссипации [132, 160, 173]. Качественное исследование кратных собственных значений в семействах симметрических матриц проводилось также В.И.Арнольдом [7].

Методы количественного многопараметрического анализа кратных собственных значений симметрических матриц развивались в работах А.П.Сейраняна, Э.Лунда и Н.Ольхофа [103, 235] с приложением к задачам оптимизации (например, задаче максимизации минимальной собственной частоты колебаний).

Результаты автора. В [77, 77, 200] были подробно изучены бифуркации двукратного и трехкратного собственных значений при возмущении нескольких параметров. Здесь был использован подход, основанный на анализе возмущений вдоль лучей в пространстве параметров, предложенный А.П. Сейраняном и обобщенный автором на случай гладких кривых. В явном виде получены выражения для нескольких первых членов асимптотического разложения собственных значений по дробным степеням параметра возмущения. При этом рассмотрены как невырожденные, так и вырожденные направления возмущений в пространстве параметров. В [80, 237] было описано поведение двух собственных значений вблизи точки кратности с образованием жордановой клетки (сильное взаимодействие) и без образования жордановой клетки (слабое взаимодействие). Эти случаи отвечают существенно различному качественному характеру изменения собственных значений при изменении параметров. Отметим, что поведение собственных значений вблизи точки кратности описывается как существенно многопараметрический феномен, так как его коразмерность больше единицы в случае общего положения.

В [75, 76, 107, 236] изучались многопараметрические бифуркации кратных собственных значений для гамильтоиовых и симметрических матриц. В [238] в случае симметрических матриц дано конструктивное описание конической особенности в пространстве частоты и двух параметров по информации о системе в точке кратности. В случае гамильтоновых матриц выведены явные формулы, количественно описывающие бифуркации двукратных собственных значений в зависимости от многих параметров.

Дальнейшие исследования в данном направлении (не вошедшие в диссертацию) проведены в работах [46, 175, 233], где изучены бифуркации двукратных собственных значений в случае комплексных матриц и матриц, близких к симметрическим или эрмитовым, с приложениями в оптике кристаллов.

Методы теории версальных деформаций

Анализ спектра конечномерной системы предполагает нахождение жордановой формы матричного оператора системы. Как известно, приведение к форме Жордана -численно неустойчивая операция, так как кратные собственные значения пропадают при сколь угодно малом возмущении матрицы. Численные методы приведения матрицы к нетривиальной форме Жордана разрабатывались в работах [52, 144, 154, 170, 171]. Анализ численной неустойчивости кратных собственных значений привел к введению понятия псевдоспектра, отражающего область возможного расположения спектра при неточном задании матрицы или линейного оператора, см. книгу С.К.Годунова [28]. Задача определения кратных собственных значений существенно осложняется, если вместо отдельной матрицы рассматривается многопараметрическое семейство матриц.

С целью регуляризации процедуры приведения матрицы к жордановой форме В.И. Арнольдом [5] было введено понятие версальной деформации матрицы. Вер-сальная деформация отвечает наиболее общему и одновременно простому виду семейства матриц, которое локально индуцирует любое другое семейство матриц (с такой же матрицей в начальной точке) при замене параметров и замене базиса, гладко зависящего от параметров. Основной областью приложения версальных деформаций в работах В.И.Арнольда [6] явилась классификация типичных особенностей бифуркационных и декремент-диаграмм, а также особенностей границ областей устойчивости линейных систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Версальные деформации были найдены для различных типов матриц: вещественных [23], гамильтоновых [24], обратимых [92], а также пучков матриц [147] (см. также [30, 93]). До последнего времени область приложения теории версальных деформаций ограничивалась качественным анализом и классификацией особенностей в многопараметрических семействах матриц. Попытки конструктивно решить проблему приведения к версальной деформации (т.е. локальной нормальной форме) предпринимались в работах Д. Шмидта [226, 227] для семейств малой размерности или семейств, имеющих специфическую жорданову структуру. Дж.В.Бурке и М.Л. Овертоном [138] частично были найдены первые производные функций замены параметров, приводящей семейство действительных матриц к версальной деформации.

Результаты автора. В [63, 192, 193] были разработаны общие конструктивные методы приведения семейств матриц в версальным деформациям. Эти методы позволяют находить преобразование параметров и замену базиса в виде рядов Тейлора, где коэффициенты рядов определяются из явной рекуррентной процедуры. Аналогичные результаты для пучков матриц, описывающих системы управления, были получены в работе [151] (в диссертацию не вошли). Заметим, что теория версальпых деформаций является аналогом подготовительной теоремы Вейерштрасса в приложении к полиномам [260]. Согласно этой теореме полином с коэффициентами, аналитически зависящими от параметров, может быть локально факторизовап 15 соответствие с кратностями его корней в начальной точке пространства параметров. Конструктивная процедура, позволяющая находить такую факторизацию в явном виде, предложена в [32]. В этой работе С.С. Григоряном было выдвинуто предложение о переносе результата со случая полиномов на случай голоморфных функций.

Разработанные методы приведения к версальным деформациям позволили решить численную проблему определения кратных собственных значений для матриц, зависящих от параметров [67, 196]. Тем самым найдено решение проблемы численной неустойчивости в приведении матрицы к форме Жордана, которая мотивировала возникновении теории версальных деформаций. Численная процедура определения кратных собственных значений с цепочкой Жордана была реализована на ЭВМ в пакете МАТЬАВ. Предложенная численная процедура является первым конструктивным методом, позволяющим численно решить проблему Дж.Х.Вилкинсона [261, 262] о нахождении ближайшей матрицы с кратным собственным значением.

Основным приложением разработанных методов приведения к версальным деформациям является количественный анализ бифуркационных диаграмм и особенностей на границах областей устойчивости.

Границы областей устойчивости и их особенности

Целью анализа устойчивости многопараметрической системы является определение области устойчивости некоторого стационарного (или нестационарного) режима в пространстве параметров. Эта задача решается путем построения границы области устойчивости. Из простейших примеров видно, что граница области устойчивости может иметь особенности. Например, область асимптотической устойчивости нулевого решения уравнения х + ах + Ьх — 0 в пространстве параметров (а, Ъ) имеет вид а > О, Ь > 0 с угловой особенностью в начале координат. Ответ на вопрос, какие особенности могут возникать на границе области устойчивости, был дан В.И.Арнольдом [6, 10]. Им были выделены характерные особенности в случае линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, зависящих от двух или трех параметров. С этой целью использовались понятие случая общего положения и теория версальных деформаций матриц [5]. Результаты В.И.Арнольда развивались в работах Л.В.Левантовского [56, 57, 58]. В [58] был рассмотрен случай четырех параметров, т.е. описаны перестройки трехмерных диаграмм устойчивости. В работах [56, 57] исследовались особенности границ областей устойчивости в пространстве элементов действительных матриц и коэффициентов характеристических полиномов. С точностью до диффеоморфизма описаны касательные конусы (линейные приближения) к области устойчивости для всех типов особенностей в случае полиномов. В случае матриц касательные конусы описаны для особенностей, характеризуемых собственными значениями с одной жордановой клеткой.

Перечисленные выше результаты В.И.Арнольда и Л.В.Левантовского носят качественный характер. Они дают представление о том, какие особенности могут возникать на границах областей устойчивости, но не указывают, как определить геометрию особенностей в пространстве параметров при исследовании конкретных систем.

Особенности границ областей устойчивости в случае циркуляционных систем (систем автономных обыкновенных дифференциальных уравнений вида х = Ах), зависящих от двух параметров, изучались А.П.Сейраняном [101]. Им был предложен метод определения геометрии особенностей типа "излом границы" и "точка возврата". Для этого использовалась информация о собственных и присоединенных векторах матрицы А, а также ее первых производных по параметрам в точке особенности. Случай циркуляционных систем, зависящих от трех или более параметров, исследовался 13 работе [232].

С задачей исследования особенностей границ областей устойчивости тесно связана задача об определении стабилизирующих возмущений матрицы. Этому вопросу посвящена работа Дж.В.Бурке и М.Л.Овертона [138], где для возмущений вида А(е) = Ао + еВ (е > 0 - параметр возмущения) получены необходимые условия, которым удовлетворяет матрица В стабилизирующего возмущения.

Вопросы об особенностях границ областей устойчивости применительно к механическим (физическим) системам можно разделить на две части. К первой части относится анализ особенностей, отличных от особенностей общего положения для динамических систем общего вида и возникающих в результате специфики данных систем. Например, такое исследование актуально в случае консервативных (гамиль-тоновых) и обратимых систем, в том числе гироскопических систем и систем с потенциальными силами. Во вторую часть можно включить механическую интерпретацию особенностей. Ясно, что особые точки на границе области устойчивости, являясь типичным явлением, не могут не отражаться на свойствах описываемых систем. Здесь наиболее интересно выявить физические эффекты, связанные непосредственно с возникновением особенностей.

Отметим, что вопрос о классификации и количественном анализе особенностей границ областей устойчивости для механических систем не был существенно затронут в литературе. Так в работах И.М.Гельфанда, В.Б.Лидского [27] и М.Г.Крейна [50] исследовались вопросы структурной устойчивости гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами. В работе П.Ф.Папковича [88] была доказана выпуклость области устойчивости системы с потенциальными силами, линейно зависящими от параметров. Результаты теории бифуркаций в отдельных случаях позволяют описать структуру области устойчивости в окрестности простейших особенностей ее границы, см., например, [141, 157].

Результаты автора. В [73, 74, 200] был предложен метод количественного анализа особенностей на границе области устойчивости для систем общего вида в случае двух и трех параметров. Были получены явные соотношения, описывающие форму области устойчивости в пространстве параметров задачи в окрестности рассматриваемой (регулярной или особой) точки границы. Для этого требуется лишь информация о системе в данной точке: собственные и присоединенные векторы матрицы системы, а также ее первые производные по параметрам. Предложенная методика делает анализ особенностей конструктивным и полезным в прикладных задачах. Анализ устойчивости проводился с использованием теории бифуркаций собственных значений.

В [62, 63, 65, 192] были получены аппроксимации области устойчивости в окрестности точек ее границы в случае произвольного числа параметров. Здесь использовались количественные методы теории версальных деформаций и подг отовительная теорема Вейерпгтрасса. В [62, 63, 192] анализ устойчивости проводился в терминах матричного оператора линейной системы, а в [65] были получены аналогичные соотношения в терминах коэффициентов характеристических полиномов.

В работах [75, 76, 107, 110, 201, 236] рассматривались автономные консервативные системы. Были рассмотрены механические системы под действием только потенциальных сил, а также линейные гамильтоновы системы. Для этих систем проведена классификация особенностей границ областей устойчивости. Найдены формулы первого приближения для описания области устойчивости в окрестности регулярных и особых точек границы. Оказалось, что потенциальные системы характеризуется очень малым числом особенностей. Например, граница области устойчивости двухпараметрической системы не имеет особенностей в случае общего положения. Напротив, гамильтоновы системы обладают очень большим числом различных видов особенностей в случае общего положения. Исследовано закритическое поведение нелинейных консервативных систем в окрестности особых точек границы области устойчивости.

Полученные результаты являются составляющей частью многопараметрической теории устойчивости. В них реализуется программа по описанию границ областей устойчивости систем различного вида, описанию типичных особенностей границы и развитию конструктивных методов анализа области устойчивости в окрестности регулярных и особых точек границы.

Большое практическое значение имеет задача устойчивости в случае, когда параметры системы заданы с некоторыми погрешностями. В случае характеристических полиномов, коэффициенты которых могут принимать любые значения в заданных интервалах, данная задача была решена В.Л.Харитоновым [117]. Такая постановка, однако, не содержит явно параметры задачи. Более того, погрешности при задании параметров обычно определяют лишь элемент поверхности невысокой размерности в пространстве коэффициентов характеристического полинома. Влияние погрешностей задания параметров на структуру границы области устойчивости в задаче о флаттере крыла с подкосами (задаче М.В.Келдыша) исследовалось с помощью анализа чувствительности простых собственных значений в работе [71] (эти результаты в диссертацию не вошли).

С особенностями на границах областей устойчивости связан ряд интересных механических эффектов и парадоксов. В [73] было показано, что известный эффект дестабилизации неконсервативной системы малыми диссипативными силами (парадоке Циглера) имеет объяснение в терминах особенности "тупик на ребре", возникающей на границе области устойчивости при критическом значении нагрузки в системе без демпфирования. Заметим, что правильный выбор существенных параметров в данной задаче обеспечивает типичность парадокса Циглера с точки зрения теории особенностей. Таковыми параметрами являются параметр нагрузки и два независимых параметра диссипации. Действительно, рассматривая области устойчивости в пространстве других параметров, можно прийти к обратному выводу о "нетипичности" парадокса дестабилизации [225, 257].

Решение задачи об устойчивости упругой трубы, проводящей жидкость, и статически неустойчивой системы вращающихся тел [76, 238] ясно показали, что особенности оказывают существенное влияние на возможность гироскопической стабилизации и ее чувствительность к возмущениям параметров.

Другим интересным эффектом является возникновение бимодальных решений в задачах оптимизации упругих конструкций по критериям устойчивости. Известно, что для некоторых граничных условий форма стержня, обеспечивающая максимальную критическую силу потери устойчивости при фиксированной массе стержня, характеризуется одновременно двумя линейно независящими формами потери устойчивости при критическом значении сжимающей продольной силы [212, 94], см. также обзор А.П.Сейраняна [105]. В [236] было показано, что эффект бимодальности определяется конической особенностью на границе области устойчивости системы. Именно коническая форма границы области устойчивости предопределяет типичность явления бимодальности в задачах оптимизации. В работах [110, 201] показано, что в бимодальных точках симметричная упругая конструкция может терять устойчивость по асимметричной форме.

Следует ожидать, что число физических эффектов, связанных с бифуркациями собственных значений и особенностями на границах областей устойчивости будет расти. Недавно были обнаружены новые приложения теории бифуркаций собственных значений к исследованию особенностей в квантовой физике, оптике кристаллов и вычислению фазы Берри [233, 175, 197]; а в работах [198, 199, 204] анализ кратных собственных значений применялся для исследования структуры нелинейных волн в окрестности точек резонанса (совпадения характеристических скоростей) и вблизи границы гиперболической области для систем уравнений сохранения с приложением к исследованию многофазных потоков в пористых средах. В работе И.Добсона и др. [146] была выдвинута гипотеза, что катастрофы в крупных электрических сетях (в масштабе крупных городов и областей) могут быть объяснены появлением двукратных собственных значений вблизи мнимой оси, а значит - возникновением особенностей на границе области устойчивости при близких значениях параметров (вспомним о недавних энергетических катастрофах в Нью-Йорке и Москве).

Отметим, что похожая программа исследований активно ведется в области теории хаоса саратовской группой ученых под руководством А.П.Кузнецова и С.П.Кузнецова [53, 54]. Здесь выделяются особенности на границе хаоса, отвечающие особой локальной микроструктуре динамического поведения как в фазовом пространстве, так и в пространстве параметров. Техника исследования этих особенностей основана на теории универсальности Фейгенбаума и группе репормализации. Заметим, что, несмотря на успех теории универсальности Фейгенбаума, в теории хаоса пока нет общих методов, позволяющих провести классификацию особых точек на границе хаоса.

Теория параметрического резонанса

Системы с периодически изменяющимися параметрами широко распространены в науке и технике. Они включают в себя задачи механики, волновой динамики, электротехники, физики плазмы и т.д. В практических инженерных задачах часто встречаются системы с периодически меняющимися нагрузками, жесткостями, массами или геометрическими параметрами (системы с параметрическим возбуждением). Такие системы описываются дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. Анализ устойчивости решений периодических дифференциальных уравнений имеет более чем столетнюю историю. Из ранних исследовании отметим работы Матье [205], Флокс [148], Хилла [163], Релея [223], Ляпунова [61] и Пуанкаре [221]. Современное состояние вопроса излагается в книгах В.А.Якубовича и В.М.Старжинского [123, 124], Г.Шмидта [122], А.Х.Найфе и Д.Т.Мука [210], А.Х.Най-фе и Б.Балачандрана [209], В.В.Болотина [16], А.П.Маркеева [82].

Методы анализа устойчивости периодических систем можно условно разделить на три группы: классический метод Флоке [148, 139], метод бесконечных детерминантов [14] и методы возмущений [164, 210]. Основной практической трудностью является применение этих методов для систем с большим числом свободы. Этому вопросу посвящены, например, работы [189, 149, 159, 263, 258]. В целом можно сделать вывод, что метод Флоке, связанный с вычислением фундаментальной матрицы системы и ее собственных значений (мультипликаторов), является наиболее общим и конструктивным методом анализа устойчивости систем большой размерности. Однако, даже при постоянно растущих возможностях современной вычислительной техники данный метод накладывает ограничения из-за большого объема требуемых расчетов. Исследования с целью рационализации этих расчетов проводились в [244]. Применение метода бесконечных детерминантов, связанного с представлением решения в виде усеченного ряда Фурье, ограничено быстрым ростом размерности матрицы при учете гармоник высокого порядка. Тем не менее этот метод; успешно применяется в современной физике (использование специальных методов вычислений собственных значений позволяет работать с матрицами размерности 10000 х 10000 и выше [143]). Данный метод может быть использован и в случае квазипериодических систем. Ограничение методов возмущений связано, очевидно, с малостью периодического воздействия. Эти методы являются аналитическими, что позволяет установить общие свойства устойчивости и колебаний систем с малым параметрическим возбуждением.

Другой существенной трудностью, связанной с анализом устойчивости периодических систем, является наличие многих параметров. Следует отметить, что наличие нескольких параметров изначально входило в постановку вопроса об устойчивости периодических систем. Например, классическое уравнение Матье-Хилла содержит два параметра: частоту и амплитуду возбуждения. По-видимому, А.М.Ляпунов был первым, кто в своей знаменитой диссертации [61] ввел вектор параметров при анализе устойчивости системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами общего вида. Общие -методы анализа чувствительности к изменению параметров в задаче устойчивости и колебаний таких систем были развиты сравнительно недавно в работах А.П.Сейраняна и др. [241, 242]. В случае гамильтоповых систем анализ чувствительности (производные матрицы монодромии) были получены И.М.Гельфандом и В.Б.Лидским [27]. Формула для производной матрицы монодромии произвольного порядка в случае линейной периодической системы общего вида получена автором и А.П.Сейрапяном [77]. Отметим здесь также работу М.Г.Крейна [50], где матрица монодромии представляется в виде сходящегося ряда, построенного явно с использованием оператора динамической системы. Аналогичное разложение для матрицы монодромии в случае линейных эрмитовых операторов (гамильтонианов) называется рядом Дайсона (см., например, [169]); оно широко применяется в квантовой физике. Новые результаты качественной теории устойчивости линейных канонических периодических систем приводятся в работе А.А.Зевина [35].

Большое практическое применение имеют задачи устойчивости в случае, когда периодические члены в системе малы (случай малого параметрического возбуждения). Возможность введения малого параметра существенно расширяет возможности аналитического исследования. К такому типу систем относятся классические уравнения Матье и Хилла. Расположение областей неустойчивости (резонанса) на плоскости параметров для уравнения Матье носит название диаграммы Айнса-Стретта. Асимптотические выражения для нескольких первых зон приводятся в справочниках, см., например, [16]. Практическое приложение диаграммы устойчивости уравнения Матье трудно переоценить - это простое уравнение приближенно описывает процессы во многих областях естественных наук. Так, варьируя параметры в пределах нулевой зоны устойчивости, можно находить и строить электромагнитные ловушки для заряженных частиц [219] (Нобелевская премия 1989 года по физике).

В случае систем уравнений типа Матье особенности зон резонанса были исследованы В.И.Арнольдом [9]. Результаты этой работы позволяют определить ширину зоны резонанса в зависимости от амплитуды возбуждения, когда параметрическое возбуждение определяется произвольным тригонометрическим полиномом. Задача определения зон резонанса усложняется при добавлении некопсервативных сил, например, демпфирования. Условия резонанса при произвольном одпопараметри-ческом возмущении консервативной системы, приведенной к диагональной форме, были найдены в работе Ч.С.Ксу [164]. Заметим, что важным отличием эффекта параметрического резонанса в системах с большим числом степеней свободы является наличие комбинационных резопансов, возникающих при взаимодействии двух различных мод собственных колебаний системы.

Анализ устойчивости методом возмущений в системах с позиционными неконсервативными силами, периодически зависящими от времени, проводился в [127, 149, 150, 263].

В случае систем с демпфированием параметр демпфирования физически целесообразно рассматривать как независимый. Общая формула, для зон параметрического резонанса для уравнения Хилла с демпфированием в невырожденном случае была получена А.П.Сейраняном [104]. Показано, что зоны резонанса представляют собой полуконусы в пространстве трех параметров: двух параметров уравнения Хилла (собственная частота системы и амплитуда возбуждения) и параметра демпфирования.

Устойчивость гамильтоновой системы с периодическими по времени коэффициентами при малых значениях параметра периодического возбуждения, а также системы, близкой к канонической, подробно исследована в книге В.А. Якубовича и В.М. Старжинского [124]. Обобщение на случай распределенных систем и систем с квазипериодическим возбуждением дано в книге Н.В. Фомина [116]. Случай кратного параметрического резонанса в гамильтоповых системах с двумя степенями свободы рассмотрен А.П.Маркеевым [83, 84].

Отметим, что наряду с общетеоретическими работами имеются исследования параметрического резонанса в конкретных механических системах. Ввиду очень большого числа таких работ, отметим непосредственно относящиеся к диссертации исследования параметрического резонанса упругих однородных балок при различных видах параметрического возбуждения [116, 124, 167, 168, 172] и параметрического резонанса в упругих трубах, проводящих пульсирующую жидкость [124, 213, 216]. В [242] численно решалась задача о максимизации критической амплитуды параметрического резонанса для упругой шарнирно опертой балки переменного сечения.

Р1з экспериментальных исследований отметим работы П.Л.Капицы [40, 41] о стабилизации верхнего вертикального положения маятника высокочастотным возбуждением точки подвеса и эксперименты по стабилизации маятника относительно наклонной оси при колеблющейся точке подвеса [113, 264]. Зоны параметрического резонанса упругих балок под действием гармонической осевой силы определялись экспериментально в [14, 167]. Экспериментальные зоны резонанса для упругих труб, проводящих пульсирующую жидкость были получены в [216].

Результаты автора. В [77, 78] были описаны общие свойства границ областей устойчивости для многопараметрических систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Были выведены аппроксимации для области устойчивости в окрестности регулярных и особых точек ее границы. Эти аппроксимации требуют лишь знания информации о системе в данной точке, что включает в себя вычисление фундаментальной матрицы и производных оператора системы по параметрам (заметим, что фундаментальная матрица обычно уже имеется в наличии - она вычисляется при анализе устойчивости методом Флоке в рассматриваемой точке пространства параметров). Проведена классификация особенностей границ областей устойчивости до коразмерности 3 включительно, т.е. особенностей типичных для двух и трех-параметрических периодических систем.

В [79, 108] исследованы области параметрического резонанса в системах с большим числом степеней свободы в случае малого периодического возбуждения произвольной формы и при наличии малого демпфирования. Использована предложенная А.П. Сейраняном идея рассмотрения параметра демпфирования как независимого. Таким образом, области резонанса определяются в пространстве трех независимых параметров: амплитуды и частоты параметрического возбуждения и параметра демпфирования. Получены асимптотические общие формулы, описывающие произвольную область резонанса (простого или комбинационного) по формам и частотам свободных колебаний невозмущенной консервативной системы. Показано, что для распространенных в приложениях видов параметрического возбуждения невырожденные области резонанса описываются полуконусами в пространстве трех параметров. В качестве приложения предлагаемой методики решена задача В.В.Болотина о комбинационном резонансе плоской формы тонкой упругой балки под действием периодических моментов. Далее в первом приближении найдены все области простого и комбинационного резонансов для упругой балки переменного сечения под действием периодической осевой силы с учетом внешнего демпфирования.

В [202] формулы для резонансных зон были использованы в задаче об оптимизации формы балки по критериям параметрического резонанса при условии фиксированного объема. Было показано, что оптимальная форма балки отвечает одновременно минимальной ширине зоны (минимальному интервалу резонансных частот) и максимальной критической амплитуде резонанса. Оптимальные решения обладают многими свойствами универсальности, например, они не зависят от коэффициента демпфирования, номера резонанса и т.д. Был проведен анализ зависимости оптимальной формы балки от граничных условий (шарнир, упругая заделка и жесткое защемление). Для случая шарнирно опертой оптимальной балки и балки постоянного сечения были проведены эксперименты, показывающие очень хорошее соответствие экспериментальных и теоретических резонансных зон. Отметим, что в литературе практически отсутствуют экспериментальные работы по колебаниям и устойчивости оптимальных балок (автору известен лишь эксперимент М.А.Лантьема [185] по устойчивости оптимальной упругой трубы переменного сечения, проводящей жидкость) .

В [194] было изучено влияние малого параметрического возбуждения па границу области устойчивости неконсервативной системы общего вида. Показано, что в резонансном случае, отвечающем определенному соотношению между частотой флаттера невозмущенной системы и частотой возбуждения, граница области устойчивости имеет особенность. Проведена классификация всех видов таких особенностей. Получены асимптотические формулы, описывающие локально область устойчивости в регулярном и резонансном случае. В качестве приложения проведен анализ влияния малого трения и пульсаций протекающей жидкости на устойчивость упругой трубы.

Управляемость многопараметрических колебательных систем

Вопрос управляемости, т.е. возможности перевести динамическую систему из заданного начального в заданное конечное состояние за конечное время при надлежащем выборе управляющего воздействия, является основополагающим в теории управления. В частности, в управляемая система может быть приведена в положение равновесия за конечное время. При малых перемещениях или при малой нелинейности управляемость системы определяется из линеаризованной задачи. Имеется ряд классических критериев управляемости линейных систем, например, условие максимального ранга матрицы управляемости. Эти условия описаны во многих монографиях и справочниках [3, 112, 115, 120, 245]. В случае нелинейных систем вопрос управляемости существенно усложняется и не имеет единого метода решения. Данной теме посвящено много исследований, многие из которых освещены в монографиях [125, 245].

В случае линейной системы управления вопрос о динамике системы под действием управляющего воздействия хорошо изучен. Известно, что фазовое пространство неуправляемой системы можно разделить на управляемую и полностью неуправляемую части (декомпозиция управляемой системы). Если в качестве соотношения эквивалентности линейных управляемых систем к замене базиса в фазовом пространстве и пространстве переменных управления добавить линейную обратную связь, то система может быть приведена к простой нормальной форме (форме Бруновского [152]). В этой форме управляемая часть описывается независимыми подсистемами элементарного вида, а неуправляемая часть представлена матрицей Жордана.

При изменении параметров линейной системы управления структура системы (вид нормальной формы) может изменится. В частности, управляемая система может стать неуправляемой. Общие свойства и особенности мпогопараметрических систем управления исследуются при помощи теории версальных деформаций, найденных в рассматриваемом случае в работе Дж.Феррера и др. [147]. Большое практическое зрения имеет вопрос о структуре множества неуправляемости системы в пространстве параметров. Это связано, в частности, со структурной неустойчивостью неуправляемой системы, которая может быть сделана управляемой сколь угодно малым изменением параметров. Оценки расстояния до ближайшей неуправляемой системы изучались в работах [135, 156, 186, 217].

Результаты автора. В [151] был предложен конструктивный метод приведения произвольной многопараметрической системы управления к локальной нормальной форме (версальной деформации). Этот метод позволил провести качественный и количественный анализ множества неуправляемости в пространстве параметров [68, 195]. Была описана регулярная часть множества iiey11рав.ия емости для многопараметрической системы управления в случае общего положения и описаны простейшие особенности этого множества. Выведены асимптотические формулы, позволяющие находить множество неуправляемости локально по информации в рассматриваемой точке пространства параметров. Данные результаты получены путем применения методов теории особенностей, развитых автором для задач устойчивости, что указывает на перспективность их использования в теории управления. В диссертацию эти результаты не вошли.

Цель диссертации состоит в разработке численных и аналитических методов многопараметрического анализа устойчивости для автономных и периодических динамических систем, постановке и решении ряда задач устойчивости и параметрического резонанса для конкретных механических систем, а также экспериментальном подтверждении полученных результатов.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и пяти глав.

1. Агафонов С.А. Об устойчивости и автоколебаниях двойного маятника с упругими элементами, находящегося под действием следящей силы. Известия РАН. МТТ. 1992. № 5. С. 185-190.

2. Агафонов С.А., Щеглов Г.А. О стабилизации двойного маятника, находящегося под действием следящей силы, посредством параметрического возбуждения. Известия РАН. МТТ. 2003. № 3. С. 38-47.

3. Александров В.В., Болтянский В.Г., Лемак С.С., Парусников H.A., ТихомировB.М. Оптимизация динамики управляемых систем. М.: Изд-во МГУ, 2000. 304с.

4. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний, М.: Наука, 1981. 568с.

5. Арнольд В.И. О матрицах, зависящих от параметров, УМН. 1971. Т. 26. № 2.C. 101-114.

6. Арнольд В.И. Лекции о бифуркациях и версальных семействах, УМН. 1972. Т. 27. № 5. С. 119-184.

7. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989. 472с.

8. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М.: Наука, 1978. 304с.

9. Арнольд В.И. Замечания о теории возмущений для задач типа Матье. УМН. 1983. Т. 38. № 4. С. 189-203.

10. Арнольд В.И. Теория катастроф, М.: Наука, 1990. 128с.

11. Арнольд В.И., Гивенталь A.B. Симплектическая геометрия. М.: РХД, 2000.

12. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: Эдиториал УРСС, 2002. 416с.

13. Блехман И.И. Вибрационная механика. М.: Физматлит, 1994. 400с.

14. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры, 1956. 600с.

15. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматгиз, 1961. 339с.

16. Болотин В.В., ред. Вибрации в технике. Справочник, Т. 1: Колебания линейных систем. М.: Машиностроение, 1999. 504с.

17. Братусь A.C., Сейранян А.П. Достаточные условия экстремума в задачах оптимизации собственных значений. ПММ. 1984. Т. 48. Лг" 4. С. 673-683.

18. Брюно АД. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных урав-'H/STLUfH/X* М.: Физматлит, 1998. 288 с.

19. Булгаков Б.В. Колебания. М.: Гостехиздат, 1954.

20. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 527с.

21. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1984. 320с.

22. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц и самосопряженных и песамосопряженных дифференциальных уравнений. УМН. 1960. Т. 15. № 3. С. 3-80.

23. Галин Д.М. О вещественных матрицах, зависящих от параметров. УМН. 1972. Т. 27. № 1. С. 241-242.

24. Галин Д.М. Версальные деформации линейных гамильтоновых систем. Труды семинара им. И.Г.Петровского. 1975. Т. 1. С. 63-74.

25. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 548с.

26. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М., Наука, 1978.

27. Гельфанд И.М., Лидский В.Б. О структуре областей устойчивости линейных канонических систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. УМН. 1955. Т. 10. Вып. 1. С. 3-40.

28. Годунов С.К. Лекции по современным аспектам линейной алгебры. Новосибирск: Научная книга, 2002. 216с.

29. Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики. М.: Изд-во МГУ, 2000. 719с.

30. Горюнов В., Закалюкин В. Прострые особенности симметрических матриц и подгруппы групп Вейля Aß, Dß, Е^ Moscow Math. J. 2003. Т. 3. № 2. С. 507530.

31. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования. М.: Наука, 1988. 232 с.

32. Григорян С.С., Майлыбаев A.A. О подготовительной теореме Вейерштрасса. Математические заметки. 2001. Т. 69. № 2. С. 194-199.

33. Журавлев В.Ф. Обобщение теоремы Релея на гироскопические системы. ПММ. 1976. Т. 40. № 4. С. 606-610.

34. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колнбаний. М.: Наука, 1988. 325с.

35. Зевин A.A. Новый подход к теории устойчивости линейных канонических систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. ПММ. 2004. Т. 68. Вып. 2. С. 206-224.

36. Зубов В.И. Устойчивость движения (методы Ляпунова и их приложение). М.: Высшая школа, 1984. 232с.

37. Ишлинский А.Ю. Механика гироскопических систем. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 482с.

38. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциалъная навигация. М.: Наука, 1976. 670с.

39. Ишлинский А.Ю., Стороженко В.А., Темченко М.Е. Исследование устойчивости сложных механических систем. М.: Наука, 2002. 299с.

40. Капица Г1.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса. ЖЭТФ. 1951. Т. 21. No. 5. С. 588-597.

41. Капица П.Л. Маятник с вибрирующим подвесом. УФН. 1951. Т. 24. No. 1. С. 7— 20.

42. Карапетян A.B. Устойчивость стационарных движений. М.: Эдиториал УРСС, 1998. 165с.

43. Карапетян A.B., Румянцев В.В. Устойчивость консервативных и диссипатив-ных систем. Итоги науки и техники. Общая механика. Т. 6. М.: Изд-во ВИНИТИ, 1983. 132с.

44. Карлов Н.В., Кириченко H.A. Колебания, волны, структуры. М.: Физматлит, 2003. 496с.

45. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 740с.

46. Кириллов О.Н., Майлыбаев A.A., Сейранян А.П. Особенности энергетических поверхностей при неэрмитовых возмущениях. Доклады РАН. 2005. Т. 405. № 3. С. 332-337.

47. Кириллов О.Н., Сейранян А.П. Влияние малого внутреннего и внешнего трения на устойчивость распределенных неконсервативных систем. ПММ. 2005. Т. 69. № 4. С. 584-611.

48. Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике для научных работников. М.: Наука, 1984. 831с.

49. Красовский H.H. Некоторые задачи устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 211с.

50. Крейн М.Г. Основные положения теории А-зон устойчивости канонической системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Сборник "Памяти А.А.Андронова". М., 1955. С. 413-498.

51. Крейн М.Г., Любарский Г.Я. Об аналитических свойствах мультипликаторов периодических канонических дифференциальных систем положительного типа. Известия АН СССР. Сер. матем. 1962. Т. 26. С. 549-572.

52. Кублановская В.Н. Об одном способе решения полной проблемы собственных значений вырожденной матрицы. Ж. Вычисл. Матем. и Матем. Физики. 1966. Т. 6. № 3. С. 611-620.

53. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Коразмерность и типичность в контексте проблемы описания перехода к хаосу через удвоения периода в дисси-пативных динамических системах. Регулярная и хаотическая динамика. 1997. Т. 2. № 3-4. С. 90-105.

54. Лахаданов В.М. О стабилизации потенциальных систем. ПММ. 1975. Т. 39. № 1. С. 53-58.

55. Левантовский Л.В. Об особенностях границы области устойчивости. Вестник Московского университета. Математика, механика. 1980. №6, С. 20-22.

56. Левантовский Л.В. О границе множества устойчивых матриц. УМН. 1980. Т. 35. № 2. С. 213-214.

57. Левантовский Л.В. Особенности границы области устойчивости. Функциональный анализ и его приложения. 1982. Т. 16. № 1. С. 44-48.

58. Леонов Г.А. Странные аттракторы и классическая теория устойчивости движения. С.-Петербург: Изд-во С.-Петербургского университета, 2004. 143с.

59. Лидский В.Б. К теории возмущений несамосопряженных операторов. Журнал вычислительной математики и математической физики. 1966. Т. 6. № 1. С. 52-60.

60. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Харьков: Изд-е Харьковского мат. общества, 1892. 250с.

61. Майлыбаев A.A. О касательных конусах к области устойчивости семейства действительных матриц. Вестник Московского университета. Математика, механика. 1998. Л*° 6, С. 51-54.

62. Майлыбаев A.A. Приведение семейств матриц к нормальным формам и приложение к теории устойчивости. Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т. 5. № 4. С. 1111-1133.

63. Майлыбаев A.A. Метод приведения семейств матриц к нормальным формам. Доклады РАН. 1999. Т. 367. № 2. С. 168-172.

64. Майлыбаев A.A. Об устойчивости полиномов, зависящих от параметров. Изв. РАН. Теория и системы управления. 2000. № 2. С. 5-12.

65. Майлыбаев A.A. О смене критического тона в неконсервативных механических системах. Вестнник молодых ученых. Сер. ПММ. 2000. Т. 3. С. 70-76.

66. Майлыбаев A.A. Вычисление кратных собственных значений и жордановых цепочек векторов для матриц, зависящих от параметров. Доклады РАН. 2001. Т. 379. № 2. С. 165-169.

67. Майлыбаев A.A. Множество неуправляемости линейных систем, зависящих от параметров. Доклады РАН. 2002. Т. 386. № 5. С. 602-605.

68. Майлыбаев A.A., Кириллов О.Н., Сейранян А.П. Фаза Берри в окрестности вырожденных состояний, Доклады РАН. 2006. Т. 406. № 4. С. 464-468.

69. Майлыбаев A.A., Сейранян А.П. Задача Келдыша об аэроупругой устойчивости крыла с подкосами. Доклады РАН. 1996. Т. 350. № 4. С. 485-488.

70. Майлыбаев A.A., Сейранян А.П. Влияние места крепления подкоса на аэроупругую устойчивость прямого крыла. Ученые записки ЦАГИ. 1997. Т. 28. № 3-4. С. 171-186. /

71. Майлыбаев A.A., Сейранян А.П. Аэроупругая устойчивость крыла с подкосами (задача Келдыша). Известия РАН. МЖГ. 1998. № 1. С. 151-162.

72. Майлыбаев A.A., Сейранян А.П. Особенности границ областей устойчивости. ПММ. 1998. Т. 62. № 6. С. 984-995.

73. Майлыбаев A.A., Сейранян А.П. Об особенностях границы области устойчивости. Доклады РАН. 1998. Т. 359. Ж 5. С. 632-636.

74. Майлыбаев A.A., Сейранян А.П. Об областях устойчивости линейных га-милътоновых систем. Препринт № 37-98. М.: Изд. Института механики МГУ, 1998. 63с.

75. Майлыбаев A.A., Сейранян А.П. О границах областей устойчивости гамильто-новых систем. ПММ. 1999. Т. 63. № 4. С. 568-579.

76. Майлыбаев A.A., Сейранян А.П. О границах области параметрического резонанса. ПММ. 2000. Т. 64. № 6. С. 947-962.

77. Майлыбаев A.A., Сейранян А.П. Об особенностях границ параметрического резонанса. Доклады РАН. 2000. Т. 373. № 5. С. 623-627.

78. Майлыбаев A.A., Сейранян А.П. Параметрический резонанс в системах с малой диссипацией. ПММ. 2001. Т. 65. № 5. С. 779-792.

79. Майлыбаев A.A., Сейранян А.П. Взаимодействие собственных значений при изменении параметров. Доклады РАН. 2003. Т. 393. № 5. С. 609-614.

80. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. 530с.

81. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука, 1978. 312с.

82. Маркеев А.П. О кратном резонансе в линейных системах Гамильтона. Доклады РАН. 2005. Т. 402. № 3. С. 339-343.

83. Маркеев А.П. О кратном параметрическом резонансе в системах Гамильтона. ПММ. 2006. Т. 70. № 2. С. 200-220.

84. Меркин Д.Р. Гироскопические системы. М.: Наука, 1974. 344с.

85. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1987. 304с.

86. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки. М.: Наука, 1987. 352с.

87. Папкович П.Ф. Труды по строительной механике корабля, Т. 4. Ленинград: Судпромгиз, 1963.

88. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и воли. Саратов: НИЦ "Регулярная и хаотическиая динамика 2000. 560с.

89. Румянцев В.В., Озиранер A.C. Устойчивость и стабилизация движения по части переменных. М.: Наука, 1987. 256с.

90. Светлицкий В.А., Купесов Н.К. Параметрические колебания шлангов с пульсирующей скоростью движения жидкости. Известия вузов. Машиностроение. 1973. № 11. С. 22-25.

91. Севрюк М.Б. Линейные обратимые системы и их версальные деформации. Тр. семинара им. И.Г. Петровского. 1991. Вып. 15. С. 33-54.

92. Севрюк М.Б., ред. Задачи Арнольда. М.: ФАЗИС, 2000. 454с.

93. Сейранян А.П. Об одном решении задачи Лагранжа. Доклады АН СССР. 1983. Т. 271. № 2. С. 337-340.

94. Сейранян А.П. Парадокс дестабилизации в задачах устойчивости неконсервативных систем. Успехи механики. 1990. Т. 13. Д'2 2. С. 89-124.

95. Сейранян А.П. Взаимодействие собственных значений. М.: Препринт Института проблем механики АН СССР № 446, 1990. 37с.

96. Сейранян А.П. Анализ чувствительности собственных значений и развитие неустойчивости. Strojnicki Casopis. 1991. Т. 42. № 3. С. 193-208.

97. Сейранян А.П. Взаимодействие частот колебаний гироскопической системы. Известия РАН. МТТ. 1993. № 4, С. 39-48.

98. Сейранян А.П. Столкновения собственных значений в линейных колебательных системах. ПММ. 1994. Т. 58. № 5. С. 49-58.

99. Сейранян А.П. Бифуркации в однопараметрических циркуляционных системах. Известия РАН МТТ. 1994. Т. 29. № 1. С. 142-148.

100. Сейранян А.П. О границах областей устойчивости, флаттера и дивергенции. Препринт № 11-95. М.: Институт механики МГУ, 1995. 39 с.

101. Сейранян А.П. О стабилизации неконсервативных систем диссипативными силами и неопределенности критической нагрузки. Доклады РАН. 1996. Т. 348.3. С. 323-326.

102. Сейранян А.П. Оптимизация систем по критериям колебаний и устойчивости. Известия РАН. ТиСУ. 1997. № 3, С. 121-127.

103. Сейранян А.П. Области резонанса для уравнения Хилла с демпфированием. Доклады, РАН. 2001. Т. 376. № 1. С. 44-47.

104. Сейранян А.П. Задача Лагранжа о наивыгоднейшем очертании колонны. Успехи механики. 2003. Т. 2. № 2. С. 45-96.

105. Сейранян А.П., Кириллов О.Н. О влиянии малых диссипативных и гироскопических сил на устойчивость неконсервативных систем. Доклады РАН. 2003. Т. 393. № 4. С. 483-488.

106. Сейранян А.П., Майлыбаев A.A. Об особенностях границ областей устойчивости гамильтоновых и гироскопических систем. Доклады РАН. 1999. Т. 365. № 6. С. 756-760.

107. Сейранян А.П., Майлыбаев A.A. Параметрический резонанс в системах с малой диссипацией. Доклады РАН. 2001. Т. 378. № 5. С. 633-638.

108. Сейранян А.П., Майлыбаев A.A. Трехмерные области параметрического резонанса. Труды МИАН. 2002. Т. 236. С. 304-317.

109. Сейранян А.П., Майлыбаев A.A. Бимодальные бифуркации положений равновесия в симметричных потенциальных системах. Доклады РАН. 2007. Т. 417. С. 49-55.

110. Ссйранян А.П., Шаранюк A.B. Анализ чувствительности частот колебаний механических систем. Известия АН СССР. МТТ. 1987. №2. С. 37-41.

111. Солодовников В.В. Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирования. Книга 1. Математическое описание, анализ устойчивости и качества систем автоматического регулирования. М.: Машиностроение, 1967.

112. Стрижак Т.Г. Асимптотический метод нормализации. Киев: Вища школа, 1983. 280с.

113. Томпсон Дж.М.Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. М.: Мир, 1985. 254с.

114. Фельдбаум A.A., Бутковский А.Г. Методы теории автоматического управления. М.: Наука, 1971. 743с.

115. Фомин Н.В. Математическая теория параметрического резонанса в линейных распределенных системах. JL: Изд. Ленинградского университета, 1972.

116. Харитонов В.Л. Об асимптотической устойчивости положения равновесия семейства систем линейных дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 14. № 11. С. 2086-2088.

117. Хог Э., Чой К., Комков В. Анализ чувствительности при проектировании конструкций. М.: Мир, 1988. 428с.

118. Циглер Г. Основы теории устойчивости конструкций. М.: Мир, 1971. 192с.

119. Черноусько Ф.Л., Акуленко Л.Д., Соколов Б.Н. Управление колебаниями. М: Наука, 1980.

120. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитгьческой механике. М.: Изд-во АН СССР, 1962. 535с.

121. Шмидт Г. Параметрические колебания. М.: Мир, 1978. 336с.

122. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972. 720с.

123. Якубович В.А. и Старжинский В.М. Параметрический резонанс в линейных системах. М.: Наука, 1987. 328с.

124. Agrachev А.А. and Sachkov Y.L. Control Theory from the Geometric Viewpoint. Berlin: Springer, 2004. 412p.

125. Anderson E., Bai Z., Bischof C., Blackford L.S., Demmel J., Dongarra J., Du Croz J.', Greenbaum A., Hammarling S., McKenney A. and Sorensen D. LAPACK Users' Guide (3rd edn). Philadelphia: SIAM, 1999.

126. Ariaratnam S.T. and Sri Namachchivaya N. Dynamic stability of pipes conveying pulsating flow. Journal of Sound and Vibration. 1986. V. 107. No. 2. P. 215-230.

127. Batchelor G.K. An introduction to fluid dynamics. Cambridge: Cambridge University Press, 1999.

128. Bauer L., Keller H.B. and Reiss E.L. Multiple eigenvalues lead to secondary bifurcation. SIAM Review. 1975. V. 17. No. 1. P. 101-122.

129. Baumgàrtel H. Analytic Perturbation Theory for Matrices and Operators. Berlin: Akademie-Verlag, 1984.

130. Benjamin T.B. Dynamics of a system of articulated pipes conveying fluid. Proc. Roy. Soc. (London) A. 1961. V. 261. P. 457-499.

131. Berry M.V. and Dennis M.R. The optical singularities of birefringent dichroic chiral crystals. Proc. R. Soc. bond. A. 2003. V. 459. P. 1261-1292.

132. Bilharz H. Bemerkung zu einem Satze von Hurwitz. Z. Angew. Math. Mech. 1944. V. 24. P. 77-82.

133. Bishop R.E.D. and Fawzy I. Free and forced oscillation of a vertical tube containing a flowing fluid. Phil. Trans. Roy. Soc. (London). 1976. V. 284. P. 1-47.

134. Boley D.L. and Lu YV.-S. Measuring how far a controllable system is from an uncontrollable one. IEEE Trans. Automat. Control. 1986. Vol. AC-31. P. 249-251.

135. Burke J.V. and Overton M.L. Stable perturbations of nonsymmetric matrices. Linear Algebra Appl. 1992. V. 171. P. 249-273.

136. Cesari L. Asymptotic Behavior and Stability Problems in Ordinary Differential Equations. New York: Springer, 1971.

137. Choi K.K. and Haug E.J. Optimization of structures with repeated eigenvalues. In: Optimization of Distributed Parameter Structures (Haug E.J. and Cea J., eds.). Alphen aan den Rijn: Sijthoff and Nordhoff, 1981. P. 219-277.

138. Chow S.N. and Hale J.K. Methods of Bifurcation Theory. New York: Springer, 1982.

139. Claudon J.-L. Characteristic curves and optimal design of two structures subjected to circulatory loads. J. Mech. 1975. V. 14. No. 3. P. 531-543.

140. Chua S.-I. and Telnov D.A. Beyond the Floquet theorem: generalized Floquet formalisms and quasienergy methods for atomic and molecular multiphoton processes in intense laser fields. Physics Reports. 2004. V. 390. P. 1-131.

141. Demmel J.W. Computing stable eigendecompositions of matrices. Linear Algebra and its Applications. 1986. V. 79. P. 163-193.

142. Demmel J. and Kâgstrôm B. The generalized Schur decomposition of an arbitrary pencil A — AB: Robust software with error bounds and applications. ACM Trans. Math. Software. 1993. V. 19. P. 160-201.

143. Dobson I., Zhang J., Greene S., Engdahl H., and Sauer P.W. Is strong modal resonance a precursor to power system oscillations? IEEE Trans. Circuits Systems I. 2001. V. 48. P. 340-349.

144. Ferrer J., Garcia-Planas M.I. and Puerta F. Brunowsky local form of a holomorphic family of pairs of matrices. Linear Algebra Appl. 1997. V. 253. P. 175-198.

145. Floquet G. Sur les équations différentielles linéaires à coefficients périodiques. Ann. Sci. École Norm. Sup. 1883. V. 12. P. 47-89.

146. Fu F.C.L. and Nemat-Nasser S. Stability of solution of systems of linear differential equations with harmonic coefficients. AIAA J. 1972. V. 10. P. 30-36.

147. Fu F.C.L. and Nemat-Nasser S. Response and stability of linear dynamic systems with many degrees of freedom subjected to nonconservative and harmonic forces. Trans. ASME, J. Appl. Mech. 1975. V. 42. P. 458-463.

148. Garcia-Planas M.I. and Mailybaev A.A. Reduction to versal deformations of matrix pencils and matrix pairs with application to control theory. SI AM J. Matrix Anal. Appl. 2003. V. 24. P. 943-962.

149. Gohberg I., Lancaster P. and Rodman L. Invariant Subspaces of Matrices with Applications. New York: Wiley, 1986.

150. Golubitsky M. and Schaeffer D. Singularities and Groups in Bifurcation Theory. New York: Springer, 1985.

151. Gu M. New methods for estimating the distance to uncontrollability. SIAM J. Matrix Anal. Appl. 2000. V. 21. P. 989-1003.

152. Guckenheimer J. and Holmes P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. New York: Springer, 1983.

153. Hagedorn P. Uber die Instabilität konservativer Systeme mit gyroskopischen Kräften. Arch. Ration. Mech. Anal. 1975. V. 58. No. 1. P. 1-9.

154. Hansen J.M. Stability diagrams for coupled Mathieu-equations. Ing.-Arch. 1985. V. 55. P. 463-473.

155. Heiss W.D. Exceptional points of non-Hermitian operators. J. Phys. A: Math. Gen. 2004. V. 37. P. 2455-2464.

156. Herrmann G. Stability of equilibrium of elastic systems subjected to nonconservative forces. Appl. Mech. Revs. 1967. V. 20. No. 2. P. 103-108.

157. Herrmann G. and Jong I.-C. On the destabilizing effect of damping in nonconservative elastic systems. Trans. ASME, J. Appl. Mech. 1965. V. 32. P. 592597.

158. Hill G.W. On the part of the motion of the lunar perigee which is a function of the mean motions of the sun and the moon. Acta Math. 1886. V. 8. P. 1-36.

159. Hsu C.S. On the parametric excitation of a dynamic system having multiple degrees of freedom. Trans. ASME, J. Appl. Mech. 1963. V. 30. No. 3. P. 367-372.

160. Huseyin K. Vibrations and Stability of Multiple Parameter Systems. Alphen aan den Rijn: Sijthoff and Nordhoff, 1978.

161. Huseyin K. Multiple Parameter Stability Theory and its Applications. Oxford: Clarendon Press, 1986.

162. Iwatsubo T., Saigo M. and Sugiyama Y. Parametric instability of clamped-clamped and clamped-simply supported columns under periodic axial load. J. Sound Vibration. 1973. V. 30. No. 1. P. 65-77.

163. Iwatsubo T., Sugiyama Y. and Ogino S. Simple and combination resonances of columns under periodic axial loads. J. Sound Vibration. 1974. V. 33. No. 2. P. 211221.

164. Joachain C.J. Quantum collision theory. Amsterdam: North-Holland Publishing, 1975.

165. Kagstrom B. and Ruhe A. An algorithm for numerical computation of the Jordan normal form of a complex matrix. ACM Transactions on Mathematical Software. 1980. V. 6. No. 3. P. 398-419.

166. Kagstrom B. and Ruhe A. ALGORITHM 560: JNF, An algorithm for numerical computation of the Jordan normal form of a complex matrix F2[. A CM Transactions on Mathematical Software. 1980. V. 6. No. 3. P. 437-443.

167. Katayama T. and Sugiyama Y. A study on parametric resonances of viscoelastic systems under a pulsating generalized Reut force. Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers, Series C. 1990. V. 56. No. 527. P. 1654-1658.

168. Keck F., Korsch H.J. and Mossmann S. Unfolding a diabolic point: a generalized crossing scenario. J. Phys. A- Math. Gen. 2002. V. 36. P. 2125-2137

169. Kirillov O.N. A theory of the destabili/ation paradox in non-conservative systems. Acta Mechanica. 2005. V. 174. No. 3-4. P. 145-166.

170. Kirillov O.N., Mailybaev A.A. and Seyranian A.P. Unfolding of eigenvalue surfaces near a diabolic point due to a complex perturbation. J. Physics A: Math. General. 2005. V. 38. No. 24. P. 5531-5546.

171. Kliem W., Mailybaev A.A., Pommer C. Conditions revisited for asymptotic stability of pervasive damped linear systems. Journal of Sound and Vibration. 2006. V. 298. P. 471-474.

172. Kogak H. Normal forms and versal deformations of linear Hamiltonian systems. J. Differential Equations. 1984. V. 51. No. 3. P. 359-407.

173. Koiter W.T. The nonlinear buckling problem of a complete spherical shell under uniform external preassure. Proc. K. Ned. Acad. Wet., Series B. 1969. V. 72. P. 40.

174. Kounadis A.N. and Katsikadelis J.T. On the dscontinuity of the flutter load for various types of cantilevers. Int. J. Solids Struct. 1980. V. 16. P. 375-383.

175. Kounadis A.N. and Kratzig W.B., eds. Nonlinear Stability of Structures: Theory and Computational Techniques. Wien: Springer, 1995.

176. Lagrange J.-L. Sur la figure des colonnes. In: Ouvres de Lagrange, Vol. 2. (Serrct M.J.-A., ed.). Paris: Gauthier-Villars, 1868. P. 125-170.

177. Lancaster P. and Tismenetsky M. The Theory of Matrices. Orlando: Academic Press, 1985.

178. Langer H. and Najman B. Remarks on the perturbation of analytic matrix functions1.. Integral Equations Operator Theory. 1989. V. 12. No. 3. P. 392-407.

179. Langer H. and Najman B. Remarks on the perturbation of analytic matrix functions

180. I. Integral Equations Operator Theory. 1992. V. 15. No. 5. P. 798-806.

181. Langthjem M.A. Dynamics, stability and optimal design of structures with fluid interaction. DCAMM Report no. S 71. Lyngby: Technical University of Denmark, 1996.

182. Laub A.J. Survey of computational methods in control theory. In: Electric Power Problems: The Mathematical Challenge. (Erisman A.M., Neves K.W. and Dwarakanath M.IL, eds.) Philadelphia: SIAM, 1980. P. 231-260.

183. Leipholz H. Stability of Elastic Systems. Alphen aan den Rijn: Sijthoff and Nordhoff, 1980.

184. Leipholz H. Stability Theory. Stuttgart: Wiley and B. G. Teubner, 1987.

185. Lindh K.G. and Likins P.W. Infinite determinant methods for stability analysis of periodic-coefficient differential equations. AIAA J. 1970. V. 8. No. 4. P. 680-686.

186. MacKay R.S. Movement of eigenvalues of Hamiltonian equilibria under non-Hamiltonian perturbation. Physics Letters A. 1991. V. 155. No. 4-5. P. 266-268.

187. Maddocks J.H. and Overton M.L. Stability theory for dissipatively perturbed Hamiltonian systems. Comm. Pure Appl.' Math. 1995. V. 48. No. 6. P. 583-610.

188. Mailybacv A.A. Transformation of families of matrices to normal forms and its application to stability theory. SIAM J. Matrix Anal. Appl. 1999. V. 21. No. 2. P. 396-417.

189. Mailybaev A.A. Transformation to versal deformations of matrices. Linear Algebra Appl. 2001. V. 337. No. 1-3. P. 87-108.

190. Mailybaev A.A. On stability domains of nonconservative systems under small parametric excitation. Acta Mechanica. 2002. V. 154. No. 1-4. P. 11-33.

191. Mailybaev A.A. Uncontrollability for linear autonomous multi-input dynamical systems depending on parameters. SIAM Journal on Control and Optimization. 2003. V. 42. No. 4. P. 1431-1450.

192. Mailybaev A.A. Computation of multiple eigenvalues and generalized eigenvectors for matrices dependent on parameters. Numerical Linear Algebra with Applications. 2006. V. 13. P. 419-436.

193. Mailybaev A.A., Kirillov O.N. and Seyranian, A.P. Geometrie phase around exceptional points. Physical Review A. 2005. V. 72. No. 1. 014104.

194. Mailybaev A.A. and Marchesin D. Hyperbolicity singularities in rarefaction waves. Journal of Dynamics and Differential Equations. 2008. V. 20. P. 1-29.

195. Mailybaev A.A. and Seyranian A.P. On singularities of a boundary of the stability domain. SI AM J. Matrix Anal. Appl. 1999. V. 21. No. 1. P. 106-128.

196. Mailybaev A.A., Seyranian A.P. Bifurcations of Equilibria in Potential Systems at Bimodal Critical Points. Journal of Applied Mechanics. 2008. V. 75. 021016.

197. Mailybaev A.A., Yabuno H. and Kaneko H. Optimal shapes of parametrically excited beams. Structural and Multidisciplinary Optimization. 2004. V. 27. No. 6. P. 435-445.

198. Malgrange B. The preparation theorem for differentiable functions. In: Differential Analysis, Bombay Colloq. London: Oxford Univ. Press, 1964. P. 203-208.

199. Marchesin D. and Mailybaev A.A. Dual-family viscous shock waves in n conservation laws with application to multi-phase flow in porous media. Archive for Rational Mechanics and Analysis. 2006. V. 182. No. 1. P. 1-24.

200. Mathieu E. Mémoire sur le mouvement vibratoire d'une membrane de forme elliptique. J. de Math. Pures et Appliquées (J. de Liouville). 1868. V. 13. P. 137-203.

201. Moro J., Burke J.V. and Overton M.L. On the Lidskii-Vishik-Lyusternik perturbation theory for eigenvalues of matrices with arbitrary Jordan structure. SIAM J. Matrix Anal. Appl. 1997. V. 18. No. 4. P. 793-817.

202. Müller P.C. Stabilität und Matrizen. Berlin: Springer, 1977.

203. Najman B. Remarks on the perturbation of analytic matrix functions. Integral Equations Operator Theory. 1986. V. 9. P. 593-599.

204. Nayfeh A.H. and Balachandran B. Applied Nonlinear Dynamics: Analytical, Computational, and Experimental Methods. New York: Wiley, 1995.

205. Nayfeh A.H. and Mook D.T. Nonlinear Oscillations. New York: Wiley, 1979. 506p.

206. Newton I. Enumeration of Lines of the Third Order, Generation of Curves by Shadows, Organic Description of Curves, and Construction of Equations by Curves. London: Printed by H. G. Bohn, 1860.

207. Olhoff N. and Rasmussen S.H. On single and bimodal optimum buckling loads of clamped columns. Intern. J. Solids Structures. 1977. V. 13. No. 7. P. 605-614.

208. Paidoussis M.P. Fluid-Structure Interactions: Slender Structures and Axial Flow. V. 1. London: Academic Press, 1998.

209. Paidoussis M.P. and Issid N.T. Dynamic stability of pipes conveying fluid. J. Sound Vibration. 1974. V. 33. No. 3. P. 267-294.

210. Paidoussis M.P. and Li G.X. Pipes conveying fluid: a model dynamical problem. J. Fluids Structures. 1993. V. 7. P. 137-204.

211. Paidoussis M.P. and Sundararajan C. Parametric and combination resonances of a pipe conveying pulsating fluid. Trans. ASME, J. Appl. Mech. 1975. V. 42. P. 780784.

212. Patel R.V., Laub A.J. and Van Dooren P.M. Numerical Linear Algebra Techniques for Systems and Control. New York: IEEE Press, 1994.

213. Patera J., Rousseau C. and Schlomiuk D. Versai deformations of elements of real classical Lie algebras. J. Phys. A. 1982. V. 15. No. 4. P. 1063-1086.

214. Paul W. Electromagnetic traps for charged and neutral particles. Reviews of Modern Physics. 1990. V. 62. No. 3. P. 531-542.

215. Pedersen P. and Seyranian A.P. Sensitivity analysis for problems of dynamic stability. Int. J. Solids Struct. 1983. V. 19. No. 4. P. 315-335.

216. Poincaré H. Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste, 3 vols. Paris: Gauthier-Villars, 1899.

217. Prager S. and Prager W. A note on optimal design of columns. Int. J. Mech. Sci. 1979. V. 21. P. 249-251.

218. Rayleigh J.W.S. Maintenance of vibrations by forces of double frequency, and propagation of waves through a medium with a periodic structure. Philosophical Magazine. 1887. V. 24. P. 145-159.

219. Ryu S.-U., Sugiyama Y. and Ryu B.-J. Eigenvalue branches and modes for flutter of cantilevered pipes conveying fluid. Comput. and Struct. 2002. V. 80. No. 14-15. P. 1231-1241.

220. Schmidt D.S. Transformations to versal normal form. In: Meyer K.R. and Schmidt D.S., eds. Computer Aided Proofs in Analysis. IMA Vol. Math. Appl. V. 28 (New York: Springer, 1989). P. 235-240.

221. Schmidt D. Versal normal form of the Hamiltonian function of the restricted problem of three bodies near L\. J. Comput. Appl. Math. 1994. V. 52. P. 155-176.

222. Seyranian A.P. Optimization of structures subjected to aeroelastic instability phenomena. Arch. Mech. 1982. V. 34. No. 2. P. 133-146.

223. Seyranian A.P. Stability and Catastrophes of Vibrating Systems Depending on Parameters. Lecture Notes. Lyngby: Technical University of Denmark, 1991.

224. Seyranian A.P. Sensitivity analysis of multiple eigenvalues. Mech. Struct. Mach. 1993. V. 21. No. 2. P. 261-284.

225. Seyranian A.P. and Elishakoff I., eds. Modern Problems of Structural Stability. Wien: Springer, 2002.

226. Seyranian A.P. and Kirillov O.N. Bifurcation diagrams and stability boundaries of circulatory systems. Theor. Appl Mech. 2001. V. 26. P. 135-168.

227. Seyranian A.P., Kirillov O.N. and Mailybaev A.A. Coupling of eigenvalues of complex matrices at diabolic and exceptional points. J. Physics A: Math. General. 2005. V. 38. No. 8. P. 1723-1740.

228. Seyranian A.P. and Kliem W. Bifurcations of eigenvalues of gyroscopic systems with parameters near stability boundaries. Trans. ASME, J. Appl. Mech. 2001. V. 68. No. 2. P. 199-205.

229. Seyranian A.P., Lund E. and Olhoff N. Multiple eigenvalues in structural optimization problems. Struct. Optimization. 1994. V. 8. P. 207-227.

230. Seyranian A.P. and Mailybaev A. A. On stability boundaries of conservative systems. J. Appl. Math. Phys. (ZAMP). 2001. V. 52. No. 4. P. 669-679.

231. Seyranian A.P. and Mailybaev A.A. Interaction of eigenvalues in multi-parameter problems. J. Sound Vibration. 2003. V. 267. P. 1047-1064.

232. Seyranian A.P. and Mailybaev A.A. Multiparameter Stability Theory with Mechanical Applications. New Jersey: World Scientific, 2003. 420p.

233. Seyranian A.P. and Pedersen P. On two effects in fluid/structure interaction theory. In: Fluid-Induced Vibration (Bearman P., ed.). Rotterdam: Balkema, 1995. P. 565576.

234. Seyranian A.P. and Privalova O.G. The Lagrange problem on an optimal column: old and new results. Structural and Multidisciplinary Optimization. 2003. V. 25. P. 393-410.

235. Seyranian A.P., Solem F. and Pedersen P. Stability analysis for multi-parameter linear periodic systems. Archive Appl. Mech. 1999. V. 69. P. 160-180.

236. Seyranian A.P., Solem F. and Pedersen P. Multi-parameter linear periodic systems: sensitivity analysis and applications. J. Sound Vibration. 2000. V. 229. No. 1. P. 89111.

237. Seyranian A.P., Stoustrup J. and Kliem W. On gyroscopic stabilization. Z. Angew. Math. Phys. 1995. V. 46. P. 255-267.

238. Sinha S.C. and Wu D.-H. An efficient computational scheme for the analysis of periodic systems. J. Sound Vibration. 1991. V. 151. P. 91-117.

239. Sontag E.D. Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems. New York: Springer-Verlag, 1990.

240. Sugiyama Y. and Noda T. Studies on stability of two-degree-of-freedom articulated pipes conveying fluid. Bull. JSME. 1981. V. 24. No. 194, P. 1354-1362.

241. Supple W. J. Coupled branching configurations in the ellastic buckling of symmetric structural systems. Intern. J. Mech. Sci. 1967. V. 9. P. 97-112.

242. Supple W. J. Coupled buckling modes of structures. In: Structural Instability (Supple W.J., Ed.). Guildford: IPC Science and Technology Press, 1973. P. 28-53.

243. Szabo Z., Sinha S.C. and Stepan G. Dynamics of pipes containing pulsative flow. In: Proc. EUROMECH: 2nd European Nonlinear Oscillation Conf. Prague, 1996. P. 439-442.

244. Tadjbakhsh I. and Keller J.B. Strongest columns and isoperimetric inequalities for eigenvalues. Trans. ASME. J. Applied Mechanics. 1962. V. 29. No. 1. P. 159-164.

245. Teller E. The crossing of potential surfaces. J. Phys. Chemistry. 1937. V. 41. P. 109.

246. Thomsen J.J. Vibrations and Stability: Advanced Theory, Analysis and Tools. Berlin: Springer, 2003. 404p.

247. Thompson J.M.T. and Hunt G.W. A General Theory of Elastic Stability. London: John Wiley and Sons, 1973.

248. Thomson W. and Tait P.G. Treatise on Natural Philosophy. Cambridge: Cambridge University Press, 1879.

249. Tondl A., Ruijgrok T., Verhulst F. and Nabergoj R. Autoparametric Resonance in Mechanical Systems. Cambridge: Cambridge University Press, 2000.

250. Troger H. and Stcindl A. Nonlinear Stability and Bifurcation Theory. New York: Springer, 1991.к

251. Troger Н. and Zeman К. Zur korrekten Modellbildung in der Dynamik diskreter Systeme. Ingenieur Archiv. 1981. V. 51. P. 31-43.

252. Weierstrass K. Einige auf die Theorie der analytischen Functionen mehrerer Veränderlichen sich beziehende Sätze. In: Mathematische Werke, II. Berlin: Mayer und Müller, 1895. P. 135-188.

253. Wilkinson J.H. Sensitivity of eigenvalues. Utilitas Mathematica. 1984. V. 25. P. 5-76.

254. Wilkinson J.H. Sensitivity of eigenvalues II. Utilitas Mathematica. 1986. V. 30. P. 243-286.

255. Wu W.-T., Griffin J.H. and Wickert J.A. Perturbation method for the Floquet eigenvalues and stability boundary or periodic linear systems. J. Sound Vibration. 1995. V. 182. No. 2. P. 245-257.

256. Yabuno H., Miura M. and Aoshima N. Bifurcation in an inverted pendulum with tilted high-frequency excitation: analytical and experimental investigations on the symmetry-breaking of the bifurcation. J. Sound Vibration. 2004. V. 273. P. 493-513.

257. Ziegler H. Die Stabilitätskriterien der Elastomechanik. Ing.-Arch. 1952. V. 20. No. 1. P. 49-56.