Многопараметрические спектральные задачи для полиномиальных и рациональных матриц. Методы решения многопараметрических задач алгебры тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ХАЗАНОВ Владимир Борисович

МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ И РАЦИОНАЛЬНЫХ МАТРИЦ. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ.

специальность: 01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 2006

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и математического моделирования Санкт-Петербургского государственного морского технического университета.

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Кублановская Вера Николаевна

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Икрамов Хаким Дододжанович,

доктор физико-математических наук, профессор Руховец Леонид Айзикович,

доктор физико-математических наук, профессор Рябов Виктор Михайлович.

Ведущая организация:

Институт вычислительной математики РАН

Защита диссертации состоится " шонЯ 2006 г. в -Г3> часов на заседании диссертационного совета Д 212.232.49 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете в ауд. 3536 математико-механического факультета по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., д. 28.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб. д.7/9.

Автореферат разослан " д ч^-ги Я 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физико-математических наук А. А. Архипова

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена изучению свойств многопараметрических полиномиальных и рациональных матриц, разработке методов решения спектральных задач для них и других многопараметрических задач алгебры.

Актуальность темы диссертации определяется многочисленными приложениями, которые приводят к многопараметрическим задачам. Многопараметрическая проблема собственных значений имеет свое происхождение в классическом анализе. Такие задачи возникают в различных краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений, аналогичных задачам Штурма-Лиувилля. Исследованию и решению таких задач посвящены, например, работы Р.У^ктэоп, Р.А.Вшс1нщ, Е.К.В1ит, РЛ.Вгочупе, Ь.Со^г, В.В.81еетап, -Г.-О.Бип, Г.А.Исаева. В матричной формулировке (получаемой при конечно-разностной аппроксимации) решаются, в основном, два вида многопараметрических спектральных (МПС) задач: несвязанная

= О и слабо связанная (Д. -Х^лЧ^у)*' = ®> которые в однородной формулировке принимают вид: О

и = 0, ¡'=1,...,д. К многопараметрическим спектральным

задачам могут быть сведены: проблема собственных значений для пучка комплексных матриц и для полиномиальной матрицы, обратные задачи на собственные значения матрицы. Многомерным (20, лБ) моделям управляемых процессов, которые приводят к многопараметрическим рациональным матрицам (в том числе, сингулярным) посвящены работы 1.Ь.Агауепа, Е.Рогпазвш, О.МагсЬезин, Т.Касгогек. Параметризированные нелинейные уравнения Г(х,Х) = О возникают в физических системах кратного равновесия с некоторым числом управляющих параметров. Задачи с нелинейной зависимостью (как от /., так и от л:) рассматриваются в работах Р.А.ВтсПгщ, К.Г.МиПег, А.Брепсе, 1.-0.8ип. Решению многопараметрических задач алгебры (факторизация полиномов, вычисление их НОД, решение полиномиальных систем, вычисление ранга и базиса нуль-пространства полиномиальной матрицы) методами компьютерной алгебры посвящены работы Б.Бухбергера, .Г.Р.Саппу, Г.Б.Епшз, Б.Оао, 1.М.0е1Гапс1,1.СгаЬше1ет, Е.КакоГеп, Б.Кариг, В.МапосЬа, Т.Бахепа.

Существующая многопараметрическая спектральная теория охватывает в основном регулярный случай. Необходимость развития спектральной теории и разработки новых методов диктуется как

новыми приложениями, так и необходимостью более полного осмысления свойств существующих и разрабатываемых методов решения многопараметрических задач алгебры.

Цель работы состоит в исследовании спектральных характеристик многопараметрических полиномиальных и рациональных матриц и разработке методов решения многопараметрических задач алгебры, в том числе, спектральных задач.

Практическая значимость работы заключается в разработке и обосновании новых методов решения некоторых многопараметрических задач алгебры, которые могут быть использованы в приложениях.

Научная новизна. Разработана спектральная теория для многопараметрических полиномиальных матриц общего вида. Введены обобщения отвечающих им результантных матриц.

Для многопараметрической рациональной матрицы обобщены понятия особых точек, полиномиальной реализации, системной матрицы, несократимых факторизаций; исследованы их свойства.

Исследованы свойства методов ранговых факторизаций полиномиальной матрицы. Разработаны методы вычисления базисов образа и нуль-пространства полиномиальной матрицы, основанные на ре-зультантном подходе. На базе вышеуказанных методов разработаны методы решения некоторых многопараметрических задач алгебры, включая спектральные задачи.

Предложены обобщения известных методов для решения частичной проблемы собственных значений для многопараметрических полиномиальных матриц в различных постановках.

Методика исследований. Исследование свойств многопараметрических полиномиальных и рациональных матриц базируется на принципах согласованности и непротиворечивости. Так, обобщения известных характеристик однопараметрических матриц на многопараметрический случай полностью согласуются с ними, когда число параметров равно единице.

При разработке прямых методов решения многопараметрических задач алгебры (в том числе, спектральных) используются два подхода: "унимодулярный" и "результантный". Первый подход, предложенный В.Н.Кублановской, предполагает преобразование полиномиальной матрицы с помощью унимодулярных (по одному параметру) матриц, в основе второго - результантный подход к вычислению произведения многопараметрических полиномиальных матриц

(с обобщением известных видов результантных матриц, отвечающих однопараметрической полиномиальной матрице). На базе первого подхода разрабатываются методы ранговой факторизации полиномиальной матрицы, а на базе второго - методы вычисления минимального базиса нуль-пространства полиномиальной матрицы и базиса линейной оболочки ее столбцов. Методы решения других многопараметрических задач строятся путем сведения их к вышеуказанным "базовым" задачам.

Разработка итерационных методов решения многопараметрических спектральных задач основана на сведении исходных задач к системам нелинейных (в основном алгебраических) уравнений с последующим применением обобщений известных методов.

Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждается приведенными доказательствами.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на всесоюзных конференциях "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики" (Новосибирск, 1987 г.), "Современные проблемы численного анализа" (Тбилиси, 1989 г.); на международном симпозиуме "А1§огШш1з'89" (ЧССР, 1989 г.), на международной алгебраической конференции, посвященной памяти Д.К.Фаддева (С.-Петербург, 1997 г.), на научно-технических конференциях Ленинградского кораблестроительного института (Санкт-Петербургского государственного морского технического университета); на научных семинарах Ленинградского отделения математического института им. В.А.Стеклова АН СССР, университета Чалмерс (Гете-борг, Швеция, 1998 г.), Института вычислительной математики РАН (2004 г.); на между народных конференциях по вычислительной математике (Новосибирск, 2004 г.), на международной конференции по матричным методам и операторным уравнениям (Москва, 2005 г.).

По теме диссертации имеется 23 публикации. Из них 13 статей опубликованы в реферируемых изданиях (5 совместных), 5 статей -в сборниках научных трудов ЛКИ (СПбГМТУ), 5 (включая тезисы) -в сборниках трудов всесоюзной и международных конференций (2 совместных). Из совместных публикаций в диссертации защищаются результаты, полученные автором.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, восьми глав, заключения, приложения и списка цитированной литературы, включающего 239 наименований. Общий объем работы -480 страниц текста.

Основное содержание работы

Во введении приводится краткое содержание работы, используемые обозначения, обзор многопараметрических задач, возникающих в приложениях, ссылки на методы их решения и разновидности постановок многопараметрических спектральных задач.

Первая глава носит вводный характер и посвящена основным понятиям, относящимся к полиномиальным и рациональным объектам, зависящим от многих параметров (переменных), записываемых в виде мультипараметра X — (А,,,...,?^) е С. Рассмотрение точек с бесконечными координатами достигается переходом к проективному пространству: X = (Х0е СП*, = Х]!Х0. В ряде случаев >1 представляется в виде: X = (Х,{1). Рассмотрение точек с бесконечным значением параметра X осуществляется заменой X = к'1 и переходом к мультипараметру к = (к,ц). Вводится понятие мультиндекса к = (ки...,кд), е которому ставится в соответствие по-

рядок |&| = ^ • Рассматриваются два вида частично упорядоченных множеств К мультииндексов, представляющих собой нижние полурешетки: /-полурешетки, задаваемые условными супремумами, и 5-полурешетки К, порядка порядки мультииндексов которых изменяются в пределах: 0<|&|<£.

Рассматриваются алгебраические полиномы /(X) е С[Х] и рациональные функции г(Х) е С "(>.), а также системы нелинейных алгебраических /,{Х) = 0 и рациональных = 0 уравнений, г=1 ,...,р. Отмечаются свойства корней (нулей) полиномов и систем нелинейных алгебраических уравнений, и особых точек (нулей, полюсов и точек неопределенности) рациональных функций и систем рациональных уравнений как конечных, так и бесконечных (по всем или по одному параметру). Так точки неопределенности г(Х) определяются как общие нули числителя и знаменателя несократимой дроби.

Приводятся основные понятия, относящиеся к полиномиальным х(Х) е= со1{хД,)}ы е С"|>] и рациональным г(Х) = со1{г,(1)}м е С"(>.) векторам, формы их представления и некоторые их свойства. Полиномиальный базис рационального векторного пространства (подпространства) называется минимальным, если минимальной является сумма степеней образующих его полиномиальных векторов.

пая матрица уровня í>0 Fn

R t

~ rowfc? J,, f

имеет

Приводятся основные понятия, относящиеся к многопараметрическим полиномиальным F(k) = matr{^(^)} е С""" [1] и рациональным R(X) - maír{ry{X)}™, е Стхп(Х) матрицам (регулярные и сингулярные, столбцово приведенные), формы представления и некоторые их свойства. Рассматриваются вопросы, связанные с понятиями делителей и кратных полиномиальных матриц.

Рассматриваются известные виды результантных матриц, отвечающих однопараметрическим полиномиальным матрицам, которые обобщаются на случай многопараметрических полиномиальных матриц. Обобщение матрицы Сильвестра для ^-параметрической тхп матрицы F('k) = ^Fkhk = Х^,...*,^*1—'степени s вводится следующим образом. Результантная матрица уровня 0 (результант-ный вектор) определяется как блочный m^j'jxn столбец из матричных коэффициентов Ft¡ ^ , расположенных в относительном лексикографическом порядке: F*„.f.s = F™.,., := col {F, . Резулътант-

"r-Rí-1

т

О

размеры' Здесь F^n.q.sit - результантный m[sH*g^xn

вектор, отвечающий матрице F'(k) := k' F(X) степени s+t, t = j/|. "Строчная" (обобщение матрицы W.A.Wolovich) и "столбцовая" ре-зультантные матрицы уровня t имеют вид

F**' •= col if fT~)K' I" FRc'' •= row kf <-s's"+,) 1"

где fy (X) и /J 00 - столбцы и строки степени scJ, j = и sr¡,

i = 1,..., m, соответственно матрицы F(X), s = max s. = maxsri. Резуль-

j •

тантный вектор матрицы H(k) = F(X)G(k) удовлетворяет следующим соотношениям: = F* '„.g.s G„Rxf);?;¡, = F^^G*^.,,

ЛRc = /rR ' ¡p/R = fRc l~s c^

Рассматривается сведение объектов, определенных над полем комплексных чисел и результатов операций с ними, к объектам, определенным над полем вещественных чисел.

Вторая глава посвящена спектральным характеристикам многопараметрической полиномиальной матрицы и их свойствам. Определения и понятия, приведенные для многопараметрических поли-

номиалыгых матриц с числом параметров д>1, имеющие смысл и при числе параметров q = 1, совпадают с соответствующими классическими определениями и понятиями для однопараметрических полиномиальных матриц.

Спектральная задача для полиномиальной /их« матрицы F(k) связана с задачей нахождения нетривиальных решений уравнения /^(Цх: = 0, д: Ф О, относительно неизвестного вектора х и условий его существования. Первый вид нетривиальных решений - это рациональные (полиномиальные) векторы х(Х), удовлетворяющие при любых X уравнению F(k)x(k) = 0, существующие у сингулярной матрицы F(k) ранга р < п. Совокупность таких векторов (jt(i.)} образует правое нуль-пространство NC[F] з Nc(/.) с С (к) матрицы F(k) размерности dim NC[F( = п-р. Полиномиальный вектор х(к) е NC(J») называется правым полиномиальным решением матрицы F(k).

Второй вид нетривиальных решений уравнения - это отвечающий точке 1* е С вектор л; е С", который удовлетворяет уравнению:

ДХ.У = 0,* g Nc(};*), где NC(X,*) с С" - множество векторов *(>.*), где х(л) е NC(X.). Совокупность таких точек X е С определяет конечный спектр стс[/7| матрицы F(k), а вектор х называется правым собственным вектором, отвечающим точке X . Таким образом, конечный спектр ac[F] полиномиальной тхп матрицы F(k) ранга р есть множество точек

k = ()'t.....)'q) е С, координаты которых удовлетворяют системе

нелинейных алгебраических уравнений

f; ; \

J„-,Jt

р _~(p)m = n 1 р

1 < г, <... < г < т,

р/

1 <j, <...<jp <п.

Конечный спектр ас[/<] ^-параметрической полиномиальной матрицы Р(Х) представляет собой совокупность (^-А:)-мерных решений

(многообразий), (¡"Ж''= = 0'>'->Л)-

Совокупности (<7~&)-мерных решений называются при к = 1 регулярной частью конечного спектра Стс^/*], а при к > 1 — сингулярной частью конечного спектра аС5[/;]. НОД миноров называется характеристическим полиномом (сГегГ^7] определяется его пулями), а любой его делитель — собственным полиномом матрицы

Для определяемых очевидным образом аналитической (алгебраической) г и геометрической г0 кратностей точки X е ст^Т7] доказано следующее свойство: е0 <

Для кратных точек конечного спектра даются определения двух типов жордановых полурешеток векторов и порождающего корневого вектора. В частности, совокупность векторов {хк}, к е К, называется правой жордановой х-полурешеткой векторов порядка t+l матрицы отвечающей точке X* е ст^К], если выполняются равенства

уЛ/г^'л: =У' У''

1 а|'|^(Х1,...д9)

=0, (2.1.6)

1-Х"

I е К„ :с0 е и найдется мультииндекс I е Кн-Л К,, для которого

система - £ является несовместной. Полиномиаль-

о<*2/ А!

ный вектор называется правым порождающим корневым вектором матрицы Р(Х), отвечающим точке X е Стс^/7], если выполняются равенства 0, т = 0,1,...,?, причем д:(Х*) г >1С()»*) и

сГ1^)^)]^.

Лемма 2.1.3. Правый порождающий корневой вектор х(/»), отвечающий точке X е ст^/^, порождает совокупность векторов из пра-

1 (Ъ\*

вой жордановой полурешетки векторов: хк = — дг ' , к е К а. Кг,

А!

которая начинается с собственного ¿вектора л"0. Правое полиномиальное решение х(Х) при любом X = X* порождает "паразитическую'" жорданову полурешетку векторов.

При X* = 0 соотношения (2.1.6) могут быть записаны в виде:

= (2.1.14)

Здесь - т[к+дЧ^\хп[к^ матрица, образованная первыми ^^

блочными строками результантной матрицы Р^Хч^» а =

со1{х,}^0 - результантный вектор, отвечающий вектору хк(Х) степени к, образованный соответствующими первыми членами порождающего корневого вектора х(Х) = ^¡^о-*^'.

Вводится понятие правого порождающего собственного вектора х(к), стС1[х] = 0, матрицы ДД отвечающего ее собственному полиному %(к), который удовлетворяет соотношению

РЩх(к) = %(к)г(к), г(Х) Ф О, (2.1.15)

при условии, что для почти всех нулей к полинома %(к), к* £ стС8[д:], х := является правым собственным вектором матрицы Р(к), отвечающим точке к* ее регулярного спектра: Р(к*)х* = 0, х € ЫС(Х ). Некоторые свойства порождающих собственных векторов даются в следующих утверждениях.

Лемма 2.1.4. Каждому собственному полиному матрицы соответствует правый порождающий собственный вектор. Лемма 2.1.5. Если является регулярной матрицей, то один или несколько столбцов присоединенной матрицы Рп(к) являются (с точностью до полиномиального множителя) правыми порождающими собственными векторами, отвечающими всей совокупности ее собственных полиномов.

Левые векторные характеристики матрицы Р(к) определяются как правые векторные характеристики матрицы Р" (к) или РТ (Я).

Для рассмотрения спектральных характеристик матрицы Р(к) степени ^ в бесконечно удаленных точках осуществляется переход к однородной полиномиальной матрице степени я:

^Л-.-ДЛо)-

Соответствующим образом изменяются определения спектральных характеристик и их свойства. Устанавливается связь спектральных характеристик матриц и Р(к).

Рассматриваются спектральные характеристики матрицы когда единственным спектральным параметром является к. Конечный к-спектр Стс-Д/*] полиномиальной т*п матрицы ранга р определяется как множество точек к -(к ), координаты которых удовлетворяют системе нелинейных алгебраических уравнений (»,,...,/„ ^ , > 1</\ <...</</и,

(.У.....»ЛJ l<Jl<...<Jp<n,

за исключением (^-¿)-мерных решений, определяемых системами уравнений вида /г/ц) = 0,/=1 левые части которых не зависят от параметра X. Совокупность точек, принадлежащих таким цилиндрическим многообразиям, называются конечным ц-псевдоспектром матрицы Р{к,\С). Жордановы цепочек векторов, отвечающие кратным точкам ^.-спектра, и порождающие (корневые и собственные) векто-

ры полиномиальной матрицы F(À,,n) с единственным спектральным параметром X определяются аналогично соответствующим характеристикам однопараметрической полиномиальной матрицы. Рассмотрение характеристик матрицы F(X,pC) = Ак (ц.)Х* при "бесконечном" значении параметра X осуществляется переходом к матрице F(к,ц) :=к" F(k~' = IL А * •

Далее исследуются свойства спектральных характеристик многопараметрических полиномиальных матриц.

Вводятся понятия свободного полиномиального базиса: е,(Х) е С"[}.], /=1,...,т, подпространства, когда соответствующая полиномиальная базисная матрица Е(Х) := row(е,(л)} ™, размеров пхт не имеет конечного регулярного спектра. Доказывается Утверждение 2.4.2. Не в любом многопараметрическом рациональном векторном подпространстве существует свободный базис.

Связь спектральных характеристик полиномиальных матриц, связанных эквивалентным или регулярным преобразованием:

F(X) = P(X)F{X)Q(X), (2.4.1)

и матриц из полиномиальных факторизаций

F(X) = Fi(X)F2(X), (2.4.2)

F(X) = Fl(X)F2(X)F3(X) (2.4.3)

дается в следующих утверждениях.

Лемма 2.4.5. Пусть полиномиальная тхп матрица F(X) ранга р представлена в виде полиномиальной факторизации (2.4.2). где mxl и 1хп матрицы F\(X) и F:().) имеют ранги р, и р2, соответственно. Тогда (i) ctc[F]зac[F], если pi = р; (и) of/7]:Da[Fi]ua[F)], если р, = р2 = р; (Hi) ac[Fj = ac[F,] (за исключением, быть может, дополнительных точек oc[F,j,yVi), если det Fj{X) Ф 0; (iv) a [F] = a[Fi]ua[Fi], если m = n = /= p = p, = p2; (v) ac[F] = ac[F,], если det /•}().) = const,

Если одна из матриц F ¡(У.) имеет полный ранг (I = pj, то (vi) NC[F] = NC[F2], при i= 1 ; (vii) Nr[F] = Nr[Fi], при i=2. Следствие 2.4.6. Пусть полиномиальная матрица F(X) представлена полиномиальной ранговой факторизацией (2.4.3). Тогда: 0) стс[/-1 = ac[F,]uac[F2]uac[F3],- (и) NC[F] = NC[F3], Nr[f] = Nr[F,]. Следствие 2.4.7. В случае эквивалентного преобразования (2.4.1).-(V crc[Fl = ctc[F], dim NC[F] = dim NC[F], dim NC[F] = dim NC[F]; (ii) полиномиальные решения и порождающие (собственные, корневые) векторы связаны соотношениями:

лД) = Q{k) х (к), у" (к) = ун (к)Р(к), (2.4.8)

х(к) = у" (к) =ун(к)Р~1(к).^

В случае регулярного преобразовании: (Hi) ac[.F] r> oc[F], dim NC[F] = dim Nef/7], dim N^T7] = dim NC[F]; (iv) полиномиальные решения матриц F(k) и F (к) связаны соотношениями (2.4.8); (v) порождающие (собственные или корневые) векторы связаны соотношениями (2.4.8), если стс[Р]иас[0] не содержит соответственно нули собственного полинома, которому отвечает порождающий собственный вектор, или точку спектра, которому отвечает порождающий корневой вектор.

Помимо характеристического рассматриваются и другие инвариантные полиномы матрицы, в том числе, минимальный полином, нули которого также определяют ее регулярный спектр. Установлен ряд свойств порождающих собственных векторов, в том числе, связанных с "интеграцией" и "дезинтеграцией" собственных полиномов и с фиксированием к = к или ji = ji у мультипараметра к = (Х,ц).

Основное свойство сингулярного спектра дает Теорема 2.4.10. Пусть Х(к) и Щ.) - пх(п-р) и тх{т~р) базисные матрицы, столбцы которых образуют полиномиальные базисы соответственно правого Nc[F] и левого NrfF| нуль-пространств тхп матрицы F(k) ранга р: F(k)X(k) = Om,„_p, Y" (k)F(k) = Оот_р.„. Тогда •Сс,й = ойИиов[У"].

Следствие 2.4.11. Если матрица F(k) представлена факторизацией (2.4,2) и матрица F,(k) имеет полный ранг, то: (i) acs+[FJ = aCST[F2], при i= 1; (ii) ~ [/*)]■ при /=2. Если матрица F(k)

представлена ранговой факторизацией (2.4.3), то (Hi) сгС1[/-] = acrfF^UCTcr^JUCTcrfFj],- (iv) СТСЛЛ = Oes+t/^].

Свойства векторных характеристик, имеющих сингулярный спектр, даются в следующих утверждениях.

■Лемма 2.4.22. Пусть л~(Х) - правый порождающий собственный вектор л"(х), отвечающий собственному полиному %(к ), и оС5-[л"] Ф 0. Тогда первые из отличных от нуля вычисленных в к в oCs-M значения х"1' g Nc(>.*) являются собственными векторами матрицы F(k), если к* является кратным нулем %(к ) или к eacs_[z], где z(k) -вектор из соотношения (2.1.15).

Следствие 2.4.23. Максимальное число линейно независимых правых собственных векторов матрицы F(k), отвечающих точке

). e CTcs+f/7], равно сумме е0 + snx, где еох — геометрическая кратность к* е стС5[Х|.

Установлены свойства понижающих подпространств и блочных спектральных характеристик полиномиальной матрицы. Совокупность коммутирующих 1x1 матриц Лу J=l,...,g, и их/ матрица X полного столбцового ранга называются соответственно правым блочным собственным набором и блочным собственным вектором тхп мат-рицы/р.) = , если ХЪХА*Л*2...Л*< = От!.

Теорема 2.4.28. Если х* — общий правый собственный вектор, отвечающий собственным значениям матриц Aj, то х := Хх является либо правым собственным вектором матрицы F(k), отвечающим точке ее спектра "к = либо вычисленным в к значением ее правого полиномиального решения.

Рассматриваются многопараметрические полиномиальные матрицы, имеющие линейную зависимость от одного или всех параметров. Приводятся два способа линеаризации многопараметрической полиномиальной матрицы: последовательный переход к сопровождающим пучкам матриц по каждому из скалярных параметров и переход к сопровождающему пучку матриц по совокупности всех скалярных параметров. Так, во втором случае пучок, отвечающий тхп матрице F(X,|i,v) степени s = 2 имеет вид:

сю Л Ч»

» -Л Л V/.

-к ит ц/„ v/„

01 -1* pj„ Г>П Iя.

-L

-I.

-I.

1F -J

2 011

002 ¡т

Устанавливается связь между спектральными характеристиками полиномиальной матрицы /7(>.) и ее сопровождающих пучков.

Приводятся "определенные" несвязанные МПС-задачи (неоднородные и однородные) с ограничениями на векторную характеристику (учитывающими различные условия нормировки). Рассматривается сведение комплексных задач к вещественным.

R

Г.- ; ^ 1</, <...<;■ <т,

= ZTT____ , . , ..

\_JI >•'• >Jk J

Третья глава посвящена многопараметрическим рациональным матрицам, на которые переносятся известные определения, понятия и характеристики, относящиеся к однопараметрической матрице.

Приводятся основные "спектральные" характеристики многопараметрической рациональной матрицы: нуль-пространства из правых и левых полиномиальных решений, особые точки (полюсы, нули, точки неопределенности). Пусть \|/(Х) - НОК знаменателей всевозможных миноров порядка к многопараметрической рациональной тхп матрицы /?(>.) ранга р: 'i >■••>'* _

y(λ) ' 1<у, <...<Л где мультииндексы i = (/,,...,j = {j\,—,jk) определяют номера строк и столбцов рассматриваемого минора порядка к. Конечные полюсы, нули и точки неопределенности определяются как совокупности нулей полинома \|/(>.) и пулей систем нелинейных алгебраических уравнений

«ц-о. Isi' К'М-«.'*«-^».

» W ' ]£j,<...<j,<it. [ ч/(Х) = 0, \<j,<...<jkin, соответственно. Приведенные определения согласуются с соответствующими классическими определениями для однопараметрической рациональной матрицы, использующими ее каноническую форму Смита-МакМиллана.

Представление рациональной тхп матрицы R(X) ранга р в виде

= (3.2.1)

■называется полиномиальной реализацией (PFD - polynomial fraction description). Здесь SÇk), VQ.) и W(k) - многопараметрические полиномиальные матрицы размеров тхр, рхп и тхп, соответственно, а Т(к) - регулярная многопараметрическая полиномиальная матрица порядка р\ (р > р). Полиномиальная реализация матрицы R(ï.) называется неприводимой (irreducible), если полиномиальные матрицы полного ранга

:= [Д>.) -Sfr)]*, := ЦЩ ФО] (3.2.2) размеров (р+т)хр и рх(р+п) соответственно не имеют конечного регулярного спектра. Полиномиальной реализации (3.2.1) рациональной тхп матрицы R(k) ставится в соответствие полиномиальная (р+т)х(р+п) матрица вида

(3.2.3)

Г (к) V(k) -S{k) W(k)_

"называемая системной матрицей, свойства которой дает Теорема 3.2.1. Пусть рациональная матрица R(k) представлена в виде неприводимой PFD вида (3.2.1). Тогда ее конечные полюсы, нули и точки неопределенности совпадают соответственно с конечным спектром матрицы Т(к), с конечным спектром матрицы PQ.) вида (3.2.3) и с объединением конечных спектров матриц М(к) и N(k) вида (3.2.2).

Рассматриваются правая и левая факторизации (MFD - matrix fraction description) рациональной тхп матрицы R(k) ранга р:

R(k) = S(k)T'l(k), (3.3.1)

R(k) = Г"1 (X) S(k), (3.3.2)

где S(k) - полиномиальная тхп матрица ранга р, Т().) - регулярная полиномиальная матрица (соответственно порядка п или т) и факторизация

R(k) = S(k)T~] (k)V(k), (3.3.3)

гд<г5(Х), V(k) и T(k) - полиномиальные матрицы размеров тх.р,рхп и рхр, соответственно (р > р). Правая (3.3.1) или левая (3.3.2) факторизация (MFD) называется несократимой (irreducible), если соответствующая ей матрица Mi}.) = [Г(Х) -¿"(X)]в или N(k) = [T(k) 5(Х)] не имеет конечного регулярного спектра. Ранговая факторизация вида (3.3.3) называется несократимой, если обе матрицы М(Х) и Лг(>.) вида

(3.2.2) не имеют конечного регулярного спектра.

Утверждение 3.3.1. Если рациональная матрица R(k) представлена в виде факторизации: (i) (3.3.1) или (3.3.2), то Nr[7?] = Nr[5] или Nc[/?] = Nc[5]; (H) (3.3.3), то Nr[tf] = Nr[S], NC\R] = NJF]. Следствие 3.3.3. Если рациональная матрица R(k) представлена в виде (i) несократимой MFD (3.3.1) или (3.3.2), то ее конечные полюсы, нули и точки неопределенности совпадают соответственно с стс[7], ас[5] и ас[М] или ac[7V]; (ii) несократимой факторизации

(3.3.3). то ее конечные полюсы, нули и точки неопределенности совпадают соответственно с ад[7], стс[5]иас[К] и ac[M]uac|7V].

Для рассмотрения бесконечно удаленных особых точек переходят к рациональной матрице R"(k) := Л(^,/?с0,...Д?/?с0). В случае единственного спектрального параметра X соответствующим образом определяются конечные особые точки рациональной матрицы R(k,fi). Для рассмотрения особых точек при "бесконечном" значении пара-

метра X переходят к рациональной матрице Л(к,ц) := 1 ,ц). Устанавливаются свойства соответствующих характеристик.

Четвертая глава посвящена многопараметрическим спектральным задачам для совокупностей полиномиальных матриц, связанных общим мультипараметром X (слабо связанные задачи).

Спектральная задача для совокупности многопараметрических полиномиальных матриц Р,(Х), ¿=\,..,р, связана с задачей нахождения нетривиальных решений уравнений: /\(/.) л1,- = 0, x¡ ^ 0, относительно неизвестных векторов л:/, /=1 ,..,р, и условий их существования. Первый вид нетривиальных решений - это полиномиальные решения х,(Х): /^(/фгД) = 0, д:,(>.) ^0, существующие у сингулярных матриц Р,(Х) ранга р,- < п,, 1=1,..,р.

Второй вид нетривиальных решений уравнений - это отвечающие точке X* собственные векторы х* г'=1,..,р, которые удовлетворяют уравнениям при фиксированном значении мультипараметра X = X*: Г{Х')х* = 0, х* й Кс,•(>.*), /=1,,.,р. Совокупность таких точек X* е Ся называется совместным конечным спектром с^/7!,...,/*},] совокупности многопараметрических полиномиальных матриц Р,{Х), а векторы дг;, г=1 ,..,р, — соответствующими им правыми собственными векторами. Таким образом, совместный конечный спектр .....Рр] полиномиальных т^щ матриц ранга р„ /-1,,.,р, определяется как множество точек X = (X* координаты которых удовлетворяют системе нелинейных алгебраических уравнений

(к к /с,,..., «.р.

.....Л,,

Совместный конечный спектр сТеГ^ь-,^] ^-параметрических полиномиальных матриц Р{Х), /=1 ,..,р, представляет собой совокупность (<7-&)-мерных решений, 1<Етш{//,<?}, N = • Совокупности (<7-#)-мерных решений называются при к= 1 регулярной частью стсг[^1,а при ¿>1 - сингулярной частью конечного совместного спектра. НОД рассматриваемых миноров называется общим характеристическим полиномом, а любой его делитель - общим собственным полиномом матриц. Можно рассматривать также условно регулярные, собственно сингулярные и сингулярно-регулярные точки спектра.

На случай слабо связанной задачи переносятся понятия, введенные для несвязанной задачи: жордановы полурешетки векторов, по-

рождающие корневые и собственные векторов, понижающие подпространства и блочные спектральные характеристики, включая левые характеристики. Установлены их свойства.

Приводится известная процедура (Р.У^кшэоп) сведения МПС-задачи для пучков постоянных матриц Р^Х) = А1 , /=1,

к совокупности обычных задач на собственные значения для коммутирующих матриц. Условия отличия от нуля векторов записываются в виде условий их некоторой "нормировки" , н>,) = 1, (получаемая задача называется "определенной"). Приводятся известные способы сведения строго и вполне связанных задач к слабо связанной задаче.

Пятая глава посвящена двум подходам к построению прямых методов решения многопараметрических задач алгебры: методам ранговых факторизаций многопараметрических полиномиальных матриц и результантному подходу вычисления минимального базиса нуль-пространства.

Рассматриваются обобщения ранговых факторизаций для многопараметрической полиномиальной матрицы, в основе которых лежит рекурсивный по числу параметров метод разложения д-

парамегрической полиномиальной матрицы (идея методов ранговых факторизаций принадлежит В.Н.Кублановской, в основе рекурсии лежит метод Д^У-1 разложения). А\У-с/ разложением ^-параметрической полиномиальной тхп матрицы Г(Х,ц) ранга р называется преобразование вида:

Здесь Д(Х,ц) - полиномиальная тхр матрица столбцово приведенная по параметру X, степень которой по параметру к не превосходит аналогичной степени матрицы /^(Х.ц); а ЩХ,ц) - унгшодулярная по параметру X матрица порядка п: с!е1 ЩХ,ц) = <р(ц), с блоками Ж, (Х,ц) и 1¥и(?,.,ц) размеров ихр и пх(п~р), соответственно.

На шаге к метода выполняется перестановка столбцов тхщ-\ матрицы в порядке не возрастания их степеней по пара-

метру X с исключением нулевых столбцов (если таковые имеются). Из старших по параметру X векторных коэффициентов столбцов полученной тхпк матрицы формируется тхщ матрица Л/Дц), к которой применяется метод А\У-(д-1) разложения, и находится базисная пкх(пк-Гк) матрица IV^ (ц) се правого нуль-пространства. Затем мат-

рица ^ц(ц) преобразуется (применением метода Л\*Л((7-1) разложения к ее строкам без их перестановки) к левой трапециевидной пкхИк (Ик > пк-гк) матрице Ьк(уС) с ненулевыми диагональными элементами. Поддиагональные элементы матрицы ¿*(ц) умножаются на соответствующие степени X, что дает левую трапециевидную пк*Ик матрицу ¿¿(Х,ц), которая дополняется столбцами единичной матрицы до уни-модулярных по X матриц \Ук (Х,ц) и 1Ук (Х,ц) порядка пк и п соответственно. Результатом шага к являются матрицы

Процесс заканчивается на шаге /, когда матрица Л/;(ц.) является столбцово приведенной по X. Свойства АЧ/'у разложения дает Теорема 5.3.1. Матрицы А(7.,ц) и 1¥(Х,р.) = [1У1 (Х,ц) 1Уд(Х,ц)], подумаем ые в результате применения к матрице Р\Х,}1) метода Ди7-«? разложения, обладают следующими спектральными свойствами: (О ос[Д] 2 ас[Лиас[!К,]; (И) = 1МГ[Д], = а«_[А]; (Ш) если

сгС5+[/г] ^ 0, то: стсг[Д] = С7сг[77]и^с[\|;], где *у(д) - некоторый полином, причем Стк+^с^у]; стС5_[1-К0] = аС5+[^] с Сс[ф], где ф(ц) = сЫ 1У(л,ц). Замечания. 1. Дополнительный конечный регулярный ц-спектр может появиться у матрицы ЩХ,ц) не только в случае, когда ^сэ+Г^] 0- Возможность его появление связана со следующими свойствами алгоритма. Во-первых, таковой может появиться у матрицы МОО, а следовательно, и у матрицы 1Ук0 (ц). Во-вторых, конечный (регулярный или сингулярный) спектр может иметь преобразуемая строка матрицы ¡V* (ц) в процессе приведения ее к левой трапециевидной форме. Наконец, матрица ¿¿(Х,ц) обязательно будет иметь правый конечный сингулярный спектр, если таковой будет иметь матрица, составленная из старших по параметру X членов столбцов матрицы (из коэффициентов которых по парамет-

ру X и формируется матрица Мк(ц)).

2. Появление у матрицы ЩХ,}1) дополнительного конечного регулярного ц-спектра сопровождается появлением ц-спектра хотя бы у одной из ее подматриц: у 1-¥0(Х,ц) - только регулярного ц-спсктра, у IV, (Х,ц) - регулярного и/или сингулярного ц-спектра. Появление "конечного ц-спектра у матрицы IV{приводит к появлению дополнительного конечного регулярного ц-спектра у матрицы Д(Х).

3. Конечный регулярный ц-спектр матриц IVк (А.,ц) и \Ук (Х,ц) определяется отличными от констант диагональными элементами матрицы Ьк(Х,ц).

Приведены некоторые модификации Д\У-<у метода, направленные на исключение возможности появления указанных дополнительных спектральных характеристик (метод неполного разложения)

или исчерпывание их (ОФ-<7, ЛВ-д методы).

Далее приводятся методы построения базиса линейной оболочки столбцов и минимального базиса правого нуль-пространства одно- и многопараметрических полиномиальных матриц, основанные на ре--зультантном подходе (обобщающем аналогичный подход В.О.О.Апёегзоп, Е.М.АпЮпюи, .Г.С.ВазПю К.Я.Вкшеас!, к решению соответствующих однопараметрических задач). В основе этого подхода лежит замена уравнения Е(),)Х(}.) - О на уравнения вида: р-к! у-п =о ' УК =0 рКс у~Пг =0

В отличие от однопараметрического случая линейная независимость столбцов тхп матрицы Г(}.) степени л: не следует из линейной независимости столбцов се результантного вектора. Метод вычисления се ранга и базиса линейной оболочки ее столбцов состоит в "следующем. Строится последовательность результантных матриц или ^пуж.д-л (последние имеют меньшее число строк, если степень хотя бы одной строки матрицы /*"(>.) меньше степени самой матрицы), 0 5 г < 5гт'п{/«,/7-1}, до тех пор, пока ранг не окажется меньше числа столбцов. После этого определяются и исключаются столбцы матрицы являющиеся линейными комбинациями остальных столбцов. Процесс заканчивается на шаге, когда все резуль-тантные матрицы имеют полный столбцовый ранг. При этом используется следующая

Лемма 5.5.1. Если младший матричный коэффициент Г, квадратной матрицы = Х^А* является невырожденным, то Е(к) является регулярной.

Минимальный базис правого нуль-пространства тхп матрицы Г().) степени л- вычисляется в порядке возрастания степеней полиномиальных решений. Строится последовательность результантных матриц /•'„Ц,., или , 0 < / < лтнп{т,и-1}, до тех пор, пока ранг

не окажется меньше числа столбцов. Начиная с этого момента, на

каждом шаге t вычисляются: базисная матрица Х^. правого нуль-пространства матрицы /rmRxr„'9.J; базисная матрица X, (I) линейной оболочки столбцов соответствующей полиномиальной матрицы Х,(Х)\ базисная матрица Х^^., разности подпространств

r,-.qи \ и> наконец, базисная ихс, матрица X, (I) линей-

ной оболочки столбцов матрицы X, (>.).

Шестая глава посвящена прямым методам решения некоторых параметрических задач алгебры, в основе большинства которых лежат методы ранговых факторизаций полиномиальных матриц и ре-зультантный подход к построению базисов образа и нуль-пространства полиномиальной матрицы. Некоторые из методов решения многопараметрических задач являются обобщениями соответствующих методов решения однопараметрических задач.

Вначале приводятся основанные на методах ранговых факторизаций полиномиальных матриц алгоритмы решения одно- и многопараметрических задач алгебры, в том числе: вычисление НОД и НОК, частных от деления на общий делитель, относительных факторизаций скалярных и матричных полиномов; вычисление базовых факторизаций, несократимых MFD и минимальной по размерам факторизации рациональной матрицы.

Приводятся метод следов Леверье - Фаддеева вычисления присоединенной матрицы и характеристического полинома регулярной полиномиальной матрицы, а также методы вычисления порождающих собственных векторов и соответствующих собственных полиномов полиномиальной матрицы, в том числе методы, основанные на интерполировании с неопределенными коэффициентами.

Рассматриваются задачи исчерпывания спектральных характеристик многопараметрической полиномиальной матрицы и подходы к их решению.

Далее приводятся методы решения параметрических задач алгебры, которые сводятся к задаче вычисления минимального базиса правого нуль-пространства некоторой полиномиальной матрицы с использованием результантного подхода к вычислению последнего (ниже указание параметра опускается).

Задачи вычисления частного от деления полинома /j на полином /2 и их НОД и НОК сводятся к вычислению минимального базиса правого нуль-пространства матрицы [/] /2], состоящего из одного

столбца: [/i /2]

= 0. При этом используется естественное для

и2

этого случая "столбцово-строчное" соотношение F^'1 х^., = 0.

Задача построения правой минимальной по степени MFD SR рациональной тхп матрицы R = T[i SL сводится к вычислению минимального базиса правого нуль-пространства матрицы [¿5^ 7) ]:

[SL rL]

TR

= о.

Приводятся методы решения линейной системы Fx = g и матричного уравнения FX - G (с полиномиальными или рациональными F, g и G), а также вычисления для регулярной или сингулярной матрицы F обратной F~* или псевдообратной F* матрицы соответственно. Искомые решения являются в общем случае рациональными.

В случае регулярной полиномиальной задачи вычисляется минимальная правая MFD sRtR вектора д: = F~xg или SR Т~] матрицы X = F~XG соответственно. Матричное уравнение FX= G может решаться как совокупность линейных систем FXj = gj,j~l,...,p, где gj и д:Jt

J=l,...,p - столбцы матриц G и ^соответственно. Аналогично решаются задачи с рациональными объектами, для которых предварительно вычисляются соответствующие MFD. Если правые части являются линейными комбинациями с полиномиальными коэффициентами столбцов матрицы F, то соответствующие алгоритмы дают "явно полиномиальное" представление решения.

В основе методов решения совместных полиномиальных задач с сингулярной матрицей F лежит вычисление базиса линейной оболочки столбцов вспомогательной полиномиальной матрицы. На базе этих методов, в свою очередь, разработаны методы построения ранговых факторизаций полиномиальной и рациональной тхп матрицы F ранга г < min {т,п}: F = ST-1 V, где S, Т, V- полиномиальные матрицы размеров mxr, rxr, rxn, Т - регулярная матрица. Представление ST'1 V называется минимачьнойранговой факторизацией, если ST'1 и Г"1 Vявляются минимальными по степени MFD.

Предложены методы решения системы Fx = g общего вида и методы вычисления минимальных MFD псевдообратной матрицы для полиномиальной и рациональной матрицы F. Эти методы основаны на использовании трансформаций Гаусса и описанных выше мето-

дов. Значение получаемого решения, вычисленное в точке, которая не принадлежит спектру полиномиальной матрицы или особым точкам рациональной матрицы F, является таковым и для соответствующей задачи с вычисленным в этой точке значением матрицы F.

Задача вычисления порождающего собственного вектора л:, отвечающего заданному собственному полиному % тхп матрицы F: Рх = сводится к задаче вычисления вектора, принадлежащего пра-

-К

■ вому нуль-пространству матрицы [F %Im ]: [F %1т ]

-z

= 0.

Метод построения жордановой полурешетки векторов матрицы F(X) = ^ FkXk степени .v, которые отвечают кратной точке X' - 0 ее спектра, основан на использовании соотношений вида (2.1.14). Учитывая, что результантные матрицы, отвечающие порождающему корневому вектору jc(X) = хкХк степени /, удовлетворяют соотношениям Fn*„'*':s x*J.4., = 0, возникает необходимость исключения из рассмотрения характеристик, отвечающих ранее вычисленным жор-дановым полурешеткам векторов меньших порядков. Аналогичные рассуждения справедливы в отношении правых полиномиальных решений л*(Х) = ^хкХ1 матрицы F(X), которые (в случае их существования) порождают "паразитические" жордановы полурешетки векторов. При Т.* Ф 0 следует вначале сделать замену X := Х-Х'.

Седьмая глава посвящена методам решения частичной проблемы собственных значений многопараметрической матрицы (т.е. методы уточнения заданного приближения к собственному вектору и нахождение соответствующей точки спектра или, возможно, вычисление значения полиномиального решения при соответствующем значении мультипараметра): F(>-)x = 0 с ограничениями на вектор х:

W ,CeR'H"";rf= 1

с J Ld.

варианта нормировки вектора дг, когда w -х, w = es и w = const ф 0.

Вначале рассматриваются методы решения задачи для регулярного неоднородного пучка F(X) = Л Ч^/ порядка п:

C(x)x=d, С(х) =

. Рассматриваются три

J{z) = 0, где z :=

х

,AZ) :=

(A-ZlM)x C(x)x - d

Помимо функционала абсолютной невязки системы

ф(г) - ф(М = || F(X)x II i- + II С (х)х-d || ¡ рассматриваются и другие функционалы, в частности,

Фс(х) = 11|FUx)x|| 2£, фсо(л-) = i Ц^хЦ = || C(x)x-d

ФсонС*) = i Ц/Ъ.,*нЦ II Он II ¡,ХН ^х/ЦхЦ

Понятие отношений минимальных невязок (P.A.Binding), обоб-тцающих известное отношение Релея, дает

Теорема 7.1.1. При фиксированном значении х, не являющимся собственным вектором, отвечающим точке бесконечного спектра ■/•(}.), функционал фс(-*0 достигает минимума в точке, отвечающей решению X := Х(х) системы линейных алгебраических уравнений А(х)Цх) = g{x), А(х) = matr{ (В,х, В,х)} , g(x) = col{(Ах, В,х)} «.,.

Рассматриваемая задача решается методами Ньютона, Чебышева, Хэлли^ касательных гипербол, обратных итераций и градиентными методами. С этой целью получены выражения (ниже приводятся выражения, отвечающие только первому условию нормировки х), определяющие производные Фреше нелинейного оператора j{z):

JizY

2*7 Ol

О

,f\z)

2 hT O,-..-

o

o

<¡-\.q

и функционалов невязки фс0(х), фСон(х):

Уфс0(х) = FTMx)FMx)x + е'((х,х)-1)х + еаСТ(Сх - d),

УфС0„(х)={д:,х}^[(^,г),Рад+ е"C' C\xh-(\\FUx9ch || \+е" ||Схн|| ;>„]•

Метод Ньютона, начиная с Я,0, х°, вычисляет на каждом шаге k очередные приближения = Ukbk; + где 5* находит-

ся из систем порядков п и q: Fk Uk=Yk, D*S* = dk. Здесь Fk = (A X)Bj), Yl = row {BjXk }%t,Dk - Ck Uk

и, в зависимости от используемого условия нормировки дг,

Лт~

С4 =

JC

С

,dk = ~j(l + {x\x*))" ; С* = IV 1 , dk= "Г

С

Ck=C, dk=d.

Метод Чебышева, для определения поправок второго порядка

•приближений х

х + Л -g , X = X + 5 - 4с требует решения

систем F* V* =г\Z)V = с\ где hk = Uk6k -хк, zk = 2,

Ckv (в случае использования первого условия нормировки д:

с* := = £/*е*-у*. Метод Хэлли (А.Сик) отличает-

ся от предыдущего только формулами вычисления очередных при-

ближеиий:*^' + (6')2

it*

8к +

и'

, где операции ум-

ножения и деления векторов осуществляются покомпонентно.

Метод касательных гипербол, представляется менее эффективным, поскольку требует решения систем порядка (п+д). Аналогичная ситуация имеет место в случае применении метода к решению задач, рассматриваемых ниже.

Метод обратных итераций основан на представлении к = р + б (где р характеризует сдвиг спектра) и записи исходного уравнения в виде (A -^j^fijBj )хг = SjBjX. Замена точного значения д: приближенным д:' и использование зависящего от к сдвига р* приводят к соотношениям р* + 8к ,хк = Uk8k, CkUk8k = dk, которые могут использоваться как для определения поправки б*, так и для вычисления очередных приближений кк+1 и^*1. Обратные итерации с ньютоновскими сдвигами, получаемые при замене р* на текущее приближение кк и соответствующем вычислении поправки 8к, отличается от метода Ньютона только нормировкой итерируемых векторов, которая выполняются на каждом шаге процесса. В случае использования нормировки по фиксированной компоненте s предлагается модификация (обобщающая подход G.Peters, J.H.Wilkinson, предложенный для однопараметрических задач), которая позволяет избежать необходимости решения систем с плохо обусловленными матрицами. Поправки hk, 5* определяются из решения системы по-

рядка («+<7-1):

~Fk -Yk~ ~-Fkxk~

С °<H,J 6* d-Cxk

, где hk, Fk, С

век-

тор и матрицы, получаемые исключением у А' и Т7*, С их 5-ой нулевой компоненты и 5-ых столбцов соответственно. Метод обратных итераций с обобщенными поправками вычисляет б* как обобщенное

решение системы

Uk Dk

х* d

. Варианты метода обратных ите-

раций с отношениями минимальных невязок вычисляют кк как обобщенное решение системы Уккк = , где = Ах*. Последующее определение 8к и л"'4' осуществляется, как в итерациях с ньютоновскими сдвигами или с обобщенными поправками.

Обобщение градиентного метода (Е.К.В1иш, С.Н.Кос^^ие) минимизации функционала фсо(л:) вычисляет к* как обобщенное решение системы Уккк =gk и поправку/»* = -2(ф^/||и>* || ^н»*, где

а к

н'* = гi+ví', И

с чк,ик = скхк-а, ск = с(**),

Ф» = * II/ Н+ \\"к II =Г1х1,г" =

Градиентный метод минимизации функционала фсон(х) вычисляет ■нормированное приближение.V*"1 = лг*+| =хл+ к1, где

Фюн = 2 II/ II £ + 2 е° IIй* II а и» в зависимости от условия нормировки, и>* = г*+И~2ф^онл-*, и>* = г*+ И-2ф^н е,, к>* = г* + и>

Далее приводятся аналогичные методы решения задачи для регулярного однородного пучка /-"Ч^) =Ц0*А:

/о(г0) = О, где г0 =

X X

А

,/0(г0) =

С( х)х-(/

ЛоМ-1

Помимо функционала абсолютной невязки системы

Фо(г0) - ф0<*.х) = || Р* (Ь)*|| 2Е+ || С(х)х-а || \ + (|| * || 1-1), рассматриваются и другие функционалы, в частности,

Фос(*) = * II ,, Фосо(х) = *II Р^хЦ II С(х)х-а

■3 II 2

ФосонС*) = т || /Ч*,,,)*» || £ + ^ || СХ„ ||

Обобщение понятия отношений минимальных невязок в однородном случае дает

Теорема 7.2.1. При фиксированном векторе х функционач фос(:с) достигает минимума в точке к := к(х), отвечающей нормированному собственному вектору, соответствующему наименьшему собственному значению матрицы С(х) = пШг {(В]х, х} } * ^.

Выражения, определяющие производные Фрсше нелинейного оператора/0(г0) имеют вид:

/: (г0)=

2хГ

с о„

о;,

о

,/о"(г„)

^Д.Я, го 2А7 О

ч

./-о

С

д-1.п

О

2го*{8у>%0

Метод Ньютона, начиная с приближений ?с°, л:0, вычисляет на каждом шаге к очередные приближения хк+] = -£/* 8*; = 9с* + 8*,

где 8* находится из систем: ик - У/, Вк 8* = ¿к порядков п и (<?+1) соответственно, где

кик к*

ски,

г

! "о

Метод Чебышева для определения поправок второго порядка приближений лг*+1 = хк+/гк-^к, км = 9=*+8*—требует решения систем V* = г*, Щ ** = сак, где кк= -£/* 8*-х*, г* = 2^Ь)В}ку,

Г— С*у* 1

с* ~ / к (ПРИ нормировке первого вида ск := ск+{Ик,кк)е,),

= -[/к0к-гк. Метод Хэлли, отличается от предыдущего только формулами вычисления очередных приближений:

(А*)2 а.**- ^ С»*)2

Метод обратных итераций основан на представлении & = р + 8 и записи исходного уравнения в виде = "Х^о^у®;-*- Заме-

на точного значения д; приближенным хк и использование зависящего от к сдвига р* приводят к соотношениям

к = р* + 8\х* = ик0&к, ск ик 8* =

Обратные итерации с ньютоновскими сдвигами, как и прежде, отличается от метода Ньютона только нормировкой итерируемых векторов, которая выполняются на каждом шаге процесса. Модификация, позволяющая избежать решения плохо обусловленных систем (при нормировке по фиксированной компоненте), приводит к реше-

нию системы:

рп*

С О, гс

«-1.9+1

0Т тп™1Эгк \1

~-Р'кхк~

н1'

Ик II й -Схк

о 0

порядка (п+д).

В методе обратных итераций с обобщенными поправками 8* вычис-

ляется как обобщенное решение системы

'иу 8* = V

А.

где

. Варианты метода обратных итераций с отношениями минимальных невязок вычисляют кк как нормированный собственный вектор, отвечающий наименьшему собственному значению матрицы €(хк) = matr{(^Вухк ,Blxk<j}JJ=0.

Использование сопровождающих пучков и декомплексификации позволяют применять указанные методы для решения задач с полиномиальными и комплексными матрицами.

Восьмая глава посвящена методам решения частичной проблемы собственных значений слабо связанной задачи F,{k)x¡ := О, /=1,...,<7, для регулярных полиномиальных матриц F,{k) порядка щ. с одним из условий нормировки: (х,,х,) = 1, = I, {x¡,w¡) = 1,

Wt = const 0, i=l,...,q. Такая задача может быть сведена к несвязанной задаче из предыдущей главе с соответствующими ограничениями на вектор .v := col {x¿} f„,. При первом виде нормировок векторов лг; все ограничения нал: являются нелинейными: С(х) := col {xf }. Поэтому предлагаемые методы большей частью обобщают соответствующие методы из предыдущей главы. В частности, отношения минимальных невязок для регулярных пучков F¿(k) = A¡ XjBy и

= Sy-о^Ду' *~1>--'>У> Дают теоремы 8.1.1 и 8.2.1, являющиеся обобщениями теорем 7.1.1 и 7.2.1 соответственно, где А(х) -matrix) } , g(x) := соЦ^./Л^»^)}^, С(х) := matr

Приводятся также методы решения задачи с произвольной нелинейной зависимостью элементов матриц F¡(k), i=\,...,q. В основе этих методов лежит идея замены системы детерминантных уравнений det F¡(X) = 0, i=l,...,q, на систему/,(к) = = 0, i=l,...,q, левые

части которой являются последними диагональными элементами левых треугольных матриц L¡(k), получаемых в результате нормализованных разложений Q,(k)F,(k) = L¡(k)Qf(k), i=\,...,q, где ©A), Q,(k) и £,().) - соответственно результирующие матрицы перестановок, ортогональные и левые треугольные матрицы порядка n¡. Получены выражения для частных производных Это позволяет приме-

нить для решения системы, например, методы Ньютона (обобщение метода, предложенного В.Н.Кублановской для однопараметрической задачи) и наискорейшего спуска. В частности, метод Ньютона, начиная с на шаге к вычисляет = >»* +5*, где поправка б* находится как решение системы 5* = — со1 {1} ^. Здесь - последние компоненты векторов г*,, являющихся решениями сис-темЬк, =у1, где/, - , Я*. = ^А)| , ^=1,...,?, а

- последние столбцы матриц из нормализованных разложений = Ь), /=1,...,<у. Предложена модификация метода, позволяющая избежать решения плохо обусловленных систем.

В заключении перечислены основные результаты работы, относящиеся к исследованию свойств спектральных характеристик многопараметрических полиномиальных и рациональных матриц и к разработке методов решения многопараметрических задач алгебры, в том числе, многопараметрических спектральных задач.

В приложении представлены примеры, иллюстрирующие понятия, введенные в главах 1 - 4, в том числе, спектральные характеристики и их свойства; прямые методы факторизации полиномиальных матриц, относительной факторизации скалярного полинома и решения некоторых многопараметрических задач алгебры (основанные на использовании, как методов факторизации, так и результантного "подхода), описанных в главах 5, 6; итерационные методы решения слабо связанной МПС-задачи для пучков постоянных матриц, описанные в главе 8.

Основные результаты работы

Основные теоретические результаты относятся к исследованию свойств спектральных характеристик многопараметрических полиномиальных матриц (некоторые из которых могут быть перенесены на случай произвольной функциональной зависимости элементов матрицы от спектральных параметров) и особых точек многопараметрических рациональных матриц.

Получены обобщения известных результантных матриц Сильвестра и Воловича, отвечающих однопараметрической полиномиальной матрице, на многопараметрический случай. В терминах введен-тоах результантных матриц реализуются операции сложения и умножения многопараметрических полиномиальных матриц.

Введены основные понятия, относящиеся к спектральным характеристикам многопараметрической полиномиальной матрицы: полиномиальные решения, конечный спектр, регулярная и сингулярная "части конечного спектра (в том числе, (#-£)-мерные собственные значения, собственные полиномы), аналитическая и геометрическая кратности точек спектра, собственные векторы, жордановы полурешетки векторов и порождающие корневые векторы, порождающие собственные векторы. Установлены некоторые свойства этих спектральных характеристик.

Определены спектральные характеристики в бесконечно удаленных точках (при равноправных спектральных параметрах) и спектральные характеристики матрицы, когда только один из параметров является спектральным.

Установлены свойства спектральных характеристик многопараметрических полиномиальных матриц, связь спектральных характеристик матриц, связанных эквивалентными и регулярными преобразованиями, матриц из полиномиальных факторизаций, свойства регулярного и сингулярного спектров. Введены и исследованы свойства свободного полиномиального базиса подпространства, понижающих подпространств, блочных спектральных характеристик (набор ■матричных решений, блочный собственный набор с соответствующим блочным собственным вектором).

Предложена линеаризация многопараметрической полиномиальной матрицы, осуществляемая последовательным переходом к сопровождающим пучкам матриц по каждому из параметров или по их совокупности. Установлена связь спектральных характеристик полиномиальной матрицы и ее сопровождающих пучков.

Введены основные понятия, относящиеся к "спектральным" характеристикам многопараметрической рациональной матрицы: нуль-пространства из полиномиальных решений, конечные особые точки (полюса, нули, точки неопределенности). Доказана согласованность введенных характеристик с классическими определениями для од-нопараметрической рациональной матрицы.

Определены бесконечно удаленные особые точки (при равноправных спектральных параметрах) и особые точки матрицы, когда только один из параметров является "спектральным".

Рассмотрены полиномиальная реализации рациональной матрицы, соответствующая ей системная матрица и различные виды факторизации рациональной матрицы (базовые, несократимые, минимальные). Установлены их свойства.

На многопараметрические спектральные задачи для совокупностей полиномиальных матриц, связанных общим мультипараметром к (слабо связанные задачи) распространены определения спектральных характеристик, введенные для несвязанной задачи; рассмотрены их свойства.

Основные практические результаты относятся к разработке методов решения многопараметрических задач алгебры, основанных на ранговой факторизации и результантном подходе, а также методов решения частичной задачи для несвязанной и связанной МПС-задач.

Установлены некоторые свойства рекурсивного метода AW-q разложения ^-параметрической полиномиальной матрицы, лежащего в основе методов построения ее ранговых факторизаций. Предложе-'на модификация метода, позволяющая в ряде случаев избежать появления "паразитического" спектра у получаемых матриц.

На базе результантного подхода к вычислению произведения полиномиальных матриц разработаны методы вычисления ранга и построения базиса линейной оболочки столбцов многопараметрической полиномиальной матрицы, построения минимального базиса ее нуль-пространства.

В свою очередь на базе вышеуказанных методов, разработаны методы решения некоторых многопараметрических задач алгебры, в 'частности, деление, вычисление НОД, НОК скалярных и матричных полиномов; построение базовых и минимальных по степени MFD; решение линейных систем, матричных уравнений и вычисление обратных и псевдообратных матриц; вычисление порождающих собственных векторов и жордановых полурешеток векторов.

Для решения частичной проблемы собственных значений (несвязанной определенной и слабо связанной) для многопараметрического пучка постоянных матриц (неоднородного и однородного) предложены различные варианты методов Ньютона, Чебыше-ва, Хэлли, касательных гипербол; обратных итераций (с ньютоновскими сдвигами, с обобщенными поправками, с отношениями минимальных невязок) и градиентных методов (для различных функционалов).

Предложенные методы обобщаются на случай полиномиальных матриц и матриц с произвольной функциональной зависимостью ее элементов от спектральных параметров. Предложено обобщение метода решения нелинейной однопараметрической спектральной задачи, основанной на использовании нормализованного процесса разложения.

Основные публикации

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих

работах:

1. Кублановская В.Н., Хазанов В.Б. О несократимых факторизациях рациональных матриц и их применении // Зап. научн. ссмин. ПОМИ. 1994. Т. 219. С. 117-156.

2. Кублановская В.Н., Хазанов В.Б. Относительная факторизация многочленов от нескольких переменных // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т. 36, № 8. С. 6-11.

3. Кублановская В.Н., Хазанов В.Б. Несократимые факторизации параметрических рациональных матриц // Зап. научн. семин. ПОМИ. 1998. Т. 248. С.147-164.

4. Кублановская В.Н., Хазанов В. Б. Модификации метода Д\У-д разложения многопараметрических полиномиальных матриц и их свойства // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2004. Т. 309. С. 154-165.

5. Кублановская В.Н., Хазанов В.Б. Методы решения параметрических задач алгебры // 'Груды Международной конференции по вычислительной математике. Часть 1. Новосибирск. 2004. Т. 309. С. 42-47.

6. Хазанов В.Б. Решение двухпараметрической проблемы собственных значений // В кн.: Сб. научн. тр. ЛКИ, САПР в судостроении и судовом машиностроении. Л.: Изд. ЛКИ, 1984. С. 109-113.

7. Хазанов В. Б. Решение двухпараметрической проблемы собственных значений // В кн.: Сб. научн. тр. ЛКИ, Математическое моделирование и автоматизированные системы в судостроении. Л.: Изд. ЛКИ, 1986. С. 84-91.

8. Хазанов В.Б. Методы решения двухпараметрической проблемы собственных значений общего вида // В кн.: Сб. научн. тр. ЛКИ, Математическое обеспечение автоматизированных систем в судостроении. Л.: Изд. ЛКИ, 1987. С. 118-125.

9. Хазанов В.Б. Методы решения многопараметрических спектральных задач для матриц // Тезисы докладов Всесоюзной конф. "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики", Новосибирск, 1987. С. 191-192.

10. Хазанов В.Б. Методы решения многопараметрических задач, основанные на минимизации функционалов невязок // В кн.: Сб. научн. тр. ЛКИ, Математические методы и средства автоматизи-

рованных систем в судостроении. Л.: Изд. ЛКИ, 1987. С. 109-114.

11. Хазанов В.Б. Методы решения многопараметрических спектральных задач // In: Algorithms'89, Proc. "10th Symp. Algorithms, Bratislava. 1989. P. 46-48.

12. Хазанов В.Б. Многопараметрическая проблема собственных значений: жордановы полурешетки векторов // Зап. научн. семин. ПОМИ. 1994. Т. 219. С. 213-221.

13. Хазанов В.Б. О спектральных свойствах многопараметрических полиномиальных матриц // Зап. научн. семин. ПОМИ. 1995. Т. 229. С. 284-321.

14. Хазанов В.Б. О собственных порождающих векторах многопараметрической полиномиальной матрицы // Зап. научн. семин. ПОМИ. 1998. Т. 248. С.165-186.

15. Хазанов В.Б. О некотором свойстве полиномиальных базисов подпространств над полем рациональных функций многих переменных // Зап. научн. ссмин. ПОМИ. 2002. Т. 284. С. 177-191.

16. Хазапов В.Б. Методы решения спектральных задач для многопараметрических пучков матриц // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2003. Т. 296. С.139-168,

17. Хазанов В.Б. К решению многопараметрических спектральных задач для матриц // В трудах конф. "Кораблестроительное образование и наука-2003". СПб, 2003. С. 305-310.

18. Хазанов В.Б. О некоторых спектральных характеристиках многопараметрических полиномиальных матриц // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2004. Т. 309. С. 166-173.

19. Хазанов В.Б. Методы решения некоторых параметрических задач алгебры //Зап. научн. семин. ПОМИ. 2005. Т. 323. С. 164-181.

20. Хазанов В.Б. Результантный подход к вычислению векторных характеристик многопараметрических полиномиальных матриц // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2005. Т. 323. С. 182-214.

ИЦ СПбГМТУ, Лоцманская, 10 Подписано в печать 27.02.2006. Зак. 3136. ТирЛОО. 1,7 печ. л.

ВВЕДЕНИЕ. 2

В.1. Содержание работы. 2

В.2. Обозначения и сокращения. 6

В.З. Происхождение многопараметрических задач.12

В.3.1. Задачи классического анализа.12

В.3.2. Полиномиальная проблема собственных значений.15

В.3.3. Обратные задачи на собственные значения.16

В.3.4. Многомерные модели управляемых процессов. 17

В.3.5. Параметризированные задачи.18

В.3.7. Параметрические задачи алгебры.20

В.4. Разновидности постановки МПС-задач. 20

В.4.1. Несвязанные МПС-задачи.20

В.4.2. Связанные МПС-задачи.21

В.4.3. Сведение связанных МПС-задач к несвязанной.22

В.4.4. Классификация МПС-задач.23

ЧАСТЬ 1. Свойства многопараметрических полиномиальных и рациональных матриц.24

ГЛАВА 1. Основные определения.24

1.1. Полиномы и рациональные функции от многих переменных. Системы нелинейных алгебраических и рациональных уравнений. 24

1.1.1. Мультипараметры, формы представления. 24

1.1.2. Мультииндексы, полурешетки мультииндексов.26

1.1.3. Алгебраические полиномы.28

1.1.4. Системы нелинейных алгебраических уравнений.36

1.1.5. Рациональные функции. 40

1.1.6. Системы рациональных уравнений. 42

1.2. Векторные пространства над полем рациональных функций и модули над кольцом полиномов.45

1.2.1. Рациональные и полиномиальные векторы.45

1.2.2. Базис пространства, полиномиальный базис.50

1.2.3. Пространства со скалярным произведением.51

1.3. Многопараметрические полиномиальные и рациональные матрицы.53

1.3.1. Многопараметрические матрицы: основные определения. 53

1.3.2. Многопараметрические полиномиальные матрицы: формы представления, основные определения.54

1.3.3. Многопараметрические рациональные матрицы: формы представления, основные определения. 62

1.3.4. Линейные пространства над полем рациональных функций и линейные операторы.64

1.4. Результантные матрицы. 69

1.4.1. Результантные матрицы, отвечающие однопараметрическим полиномиальным матрицам. 69

1.4.2. Результантные матрицы, отвечающие многопараметрическим полиномиальным матрицам. 72

1.5. Прямая сумма и тензорное произведение линейных пространств; действующие в них линейные операторы. 77

1.5.1. Прямая сумма линейных пространств и линейные операторы.77

1.5.2. Мультилинейные функции.78

1.5.3. Тензорное произведение линейных пространств.79

1.5.4. Тензорные произведения и линейные операторы. 81

1.6. Сведение комплексной формулировки к вещественной.81

1.6.1. Сведение комплексных мультипараметров к вещественным.81

1.6.2. Сведение операций с комплексными объектами к операциям с вещественными объектами.82

ГЛАВА 2. Несвязанная МПС-задача для полиномиальных матриц. 83

2.1. Спектральные характеристики.83

2.1.1. Правое нуль-пространство и правые полиномиальные решения.83

2.1.2. Конечный спектр и правые собственные векторы.84

2.1.3. Регулярная и сингулярная части конечного спектра.86

2.1.4. Правые жордановы полурешетки векторов и порождающие корневые векторы.87

2.1.5. Правые порождающие собственные векторы.91

2.1.6. Левые векторные характеристики. 93

2.2. Спектральные характеристики на бесконечности. 96

2.2.1. Нуль-пространства, полный спектр полиномиальной матрицы. 96

2.2.2. Регулярная и сингулярная части полного спектра. 98

2.2.3. Жордановы полурешетки векторов и порождающие векторы. 99

2.3. МПС-задача с одним спектральным параметром.102

2.3.1. Постановка задачи, определение спектральных характеристик.102

2.3.2. Кратные точки спектра, жордановы цепочки векторов и порождающие векторы. 105

2.3.3. Спектральные характеристики на бесконечности. 108

2.4. Свойства спектральных характеристик.108

2.4.1. Частные виды регулярных полиномиальных матриц и полиномиальных базисов, их спектральные свойства. 108

2.4.2. Факторизации и преобразования полиномиальной матрицы, свойства спектров. 112

2.4.3. Свойства сингулярного спектра.117

2.4.4. Свойства регулярного спектра и порождающих собственных векторов. 122

2.4.5. Максимальное число линейно независимых собственных векторов . 131

2.4.6. Понижающие подпространства. 132

2.4.7. Блочные спектральные характеристики. 136

2.5. Свойства результантных матриц. 139

2.5.1. Однопараметрический случай. 139

2.5.2. Многопараметрический случай. 140

2.6. Линейные МПС-задачи.141

2.6.1. Пучок полиномиальных матриц.141

2.6.2. Многопараметрический пучок постоянных матриц. 142

2.6.3. Сопровождающие пучки многопараметрической полиномиальной матрицы. 143

2.6.4. Блочные спектральные характеристики. 151

2.7. Определенные несвязанные МПС-задачи и сведение комплексных задач к вещественным. 152

2.7.1. Постановка определенной несвязанной задачи. 152

2.7.2. Регулярная определенная несвязанная задача. 153

2.7.3. Сингулярная определенная несвязанная задача. 155

2.7.4. Сведение комплексной задачи к вещественной. 156

ГЛАВА 3. Многопараметрические рациональные матрицы: характеристики и их свойства.157

3.1. Характеристики многопараметрической рациональной матрицы 157

3.1.1. Нуль-пространства и полиномиальные решения. 157

3.1.2. Конечные особые точки. 158

3.1.3. Связь с однопараметрическим случаем. 160

3.1.4. Особые точки на бесконечности. 161

3.1.5. Особые точки в случае одного спектрального параметра. 163

3.1.6. Особые точки полиномиальной матрицы. 165

3.2. Полиномиальная реализация рациональной матрицы, системная матрица.165

3.2.1. Полиномиальная реализация рациональной матрицы. 165

3.2.2. Системная матрица, ее свойства. 166

3.2.3. Случай проективного пространства. 168

3.2.4. Случай одного спектрального параметра.170

3.3. Факторизации рациональной матрицы. 170

3.3.1. Виды факторизаций.170

3.3.2. Свойства факторизаций.172

3.3.3. Случай проективного пространства.174

3.3.4. Случай одного спектрального параметра.175

ГЛАВА 4. Связанные МПС-задачи для полиномиальных матриц177

4.1 Слабо связанная МПС-задача.177

4.1.1. Основные спектральные характеристики. 177

4.1.2. Жордановы полурешетки векторов, порождающие векторы.181

4.1.3. Случай проективного пространства.183

4.1.4. Случай одного спектрального параметра.184

4.1.5. Понижающие подпространства.185

4.1.6. Блочные характеристики.187

4.1.7. Линейные задачи. 187

4.2. Сведение слабо связанной МПС-задачи к совокупности обычных задач на собственные значения.188

4.2.1. Матричнозначные определители в тензорном произведении линейных пространств.188

4.2.2. Сведение к совокупности обычных задач на собственные значения . 191

4.2.3. Определенная слабо связанная МПС-задача.192

4.3. Строго и вполне связанные МПС-задачи.192

4.3.1. Постановка строго и вполне связанных МПС-задач. 192

4.3.2. Сведение строго и вполне связанных МПС-задач к слабо связанной МПС-задаче.194

ЧАСТЬ 2. Методы и алгоритмы решения многопараметрических задач алгебры. 195

ГЛАВА 5. Методы построения ранговых факторизаций полиномиальных матриц.196

5.1. Методы построения ранговых факторизаций постоянной матрицы.196

5.1.1. Виды ранговых факторизаций постоянной матрицы, методы их построения. 196

5.1.2. Метод AW-0 разложения постоянной матрицы, его свойства.198

5.1.3. Построение VV-0 и UTV-0 факторизаций постоянной матрицы. 199

5.1.4. Решение некоторых задач линейной алгебры.199

5.2. Методы построения ранговых факторизаций однопараметрической полиномиальной матрицы.200

5.2.1. Ранговые факторизации полиномиальной матрицы и их свойства . 201

5.2.2. Метод AW-1 разложения полиномиальной матрицы и его свойства . 201

5.2.3. Построение VV-1 и UTV-1 факторизаций полиномиальной матрицы . 204

5.2.4. Решение некоторых задач линейной алгебры.205

5.3. Методы построения ранговых факторизаций многопараметрической полиномиальной матрицы.206

5.3.1. Элементарные унимодулярные матрицы и их свойства. 207

5.3.2. Виды ранговых факторизаций ^-параметрической полиномиальной матрицы.210

5.3.3. Метод AW-q разложения ^-параметрической полиномиальной матрицы.211

5.3.4. Свойства метода AW-q разложения, метод неполного разложения . 215

5.3.5. AW-q метод: ОФ-q, АВ-</ и VV-q методы.217

5.4. Результантный подход к вычислению базисов образа и нуль-пространства однопараметрической полиномиальной матрицы . .224

5.4.1. Построение базиса линейной оболочки однопараметрических полиномиальных векторов. 224

5.4.2. Построение минимального базиса нуль-пространства однопараметрической полиномиальной матрицы. 226

5.5. Результантный подход к вычислению базисов образа и нуль-пространства многопараметрической полиномиальной матрицы 228

5.5.1. Построение базиса линейной оболочки многопараметрических полиномиальных векторов. 229

5.5.2. Построение минимального базиса нуль-пространства многопараметрической полиномиальной матрицы.232

ГЛАВА 6. Прямые методы решения спектральных задач для полиномиальных и рациональных матриц и других параметрических задач алгебры.236

6.1. Решение однопараметрических задач методами ранговой факторизации.236

6.1.1. Задачи для скалярных полиномов. 236

6.1.2. Задачи для матричных полиномов. 238

6.1.3. Решение систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений 240

6.1.4. Решение спектральных задач для полиномиальных матриц.243

6.1.5. Решение задач для рациональных матриц.250

6.2. Решение многопараметрических задач методами ранговой факторизации.255

6.2.1. Задачи для скалярных полиномов. 255

6.2.2. Задачи для матричных полиномов.258

6.2.3. Построение факторизаций рациональной матрицы.262

6.2.4. Решение систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений 264

6.2.5. Решение спектральных задач для полиномиальных матриц.266

6.2.6. Решение задач для рациональных матриц.276

6.3. Решение параметрических задач на базе результантного подхода 277

6.3.1. Задачи для скалярных полиномов. 278

6.3.2. Построение базисов суммы, разности и пересечения подпространств 280

6.3.3. Построение MFD рациональной матрицы. 281

6.3.4. Построение полиномиальных базисов образа и нуль-пространства рациональной матрицы.283

6.3.5. Решение линейных систем, матричных уравнений; обращение и факторизация матриц.284

6.3.6. Задачи для матричных полиномов.293

6.3.7. Вычисление порождающих собственных векторов.294

6.3.8. Вычисление жордановых цепочек и полурешеток векторов полиномиальной матрицы. 296

ГЛАВА 7. Методы решения несвязанных МПС-задач для полиномиальных матриц.305

7.1. Методы решения неоднородной несвязанной МПС-задачи для пучка постоянных матриц. 305

7.1.1. Сведение к нелинейным системам; функционалы невязок.306

7.1.2. Методы Ньютона.309

7.1.3. Методы Чебышева и Хэлли. 314

7.1.4. Метод касательных гипербол.317

7.1.5. Метод обратных итераций. 320

7.1.6. Градиентные методы.326

7.2. Методы решения однородной несвязанной МПС-задачи для пучка постоянных матриц. 332

7.2.1. Сведение к нелинейным системам; функционалы невязок.332

7.2.2. Методы Ньютона.336

7.2.3. Методы Чебышева и Хэлли. 340

7.2.4. Метод касательных гипербол.344

7.2.5. Метод обратных итераций. 346

7.3. Методы решения нелинейных и комплексных задач. 353

7.3.1. Обобщение методов параграфа 7.1. 353

7.3.2. Обобщение методов параграфа 7.2. 355

7.3.3. Решение комплексных задач.356

ГЛАВА 8. Методы решения слабо связанных МПС-задач для полиномиальных матриц.357

8.1. Методы решения неоднородной слабо связанной

МПС-задачи для пучков постоянных матриц.357

8.1.1. Сведение к нелинейным системам; функционалы невязок.

Сведение к несвязанной задаче.359

8.1.2. Метод Ньютона.362

8.1.3. Методы Чебышева и Хэлли.366

8.1.4. Метод касательных гипербол.369

8.1.5. Метод обратных итераций. 371

8.1.6. Градиентные методы.376

8.2. Методы решения однородной слабо связанной МПС-задачи для пучков постоянных матриц. 380

8.2.1. Сведение к нелинейным системам; функционалы невязок.381

8.2.2. Метод Ньютона. 383

8.2.3. Методы Чебышева и Хэлли.388

8.2.4. Метод касательных гипербол.391

8.2.5. Метод обратных итераций. 393

8.3. Методы решения нелинейных и комплексных слабо связанных МПС-задач.398

8.3.1. Обобщение методов параграфа 8.1.398

8.3.2. Обобщение методов параграфа 8.2.400

8.3.3. Сведение к нелинейной системе на основе нормализованного разложения матрицы.402

8.3.4. Метод Ньютона.403

8.3.5. Метод наискорейшего спуска.406

8.3.6. Решение комплексных задач.408

Работа посвящена исследованию спектральных характеристик многопараметрических полиномиальных и рациональных матриц и разработке методов решения многопараметрических задач алгебры, в том числе, спектральных задач. Основным объектом исследования являются сингулярные матрицы (т.е. прямоугольные матрицы или квадратные матрицы, определитель которых тождественно равен нулю). Рассматриваются также задачи алгебры, приводящие к многопараметрическим задачам, и задачи с нелинейностью общего вида.

Работа состоит из введения, двух частей, содержащих восемь глав, которые имеют сквозную нумерацию, заключения, приложеиия и списка литературы. В конце работы приводится подробное оглавление.

Введение состоит из четырех параграфов. В параграфе В.1 приводится краткое содержание работы. Параграф В.2 содержит основные используемые обозначения. В параграфе В.З указываются задачи, которые приводят к многопараметрическим спектральным задачам и другим многоиараметрическим задачам алгебры, и приводятся ссылки на работы, посвященные методам решения указанных задач. В параграфе В.4 указываются разновидности постановок многопараметрических спектральных задач.

В.1. Содержание работы

Первая часть посвящена исследованию свойств многопараметрических матриц.

В Главе I приводятся основные определения, понятия и свойства многопараметрических алгебраических объектов. В параграфе 1.1 приводятся основные понятия, относящиеся к полиномам и рациональным функциям от многих переменных, системам нелинейных алгебраических и рациональных уравнений. В параграфе 1.2 рассматриваются векторные пространства над полем рациональных функций и модули над кольцом полиномов и их базисы, а также пространства со скалярным произведением. В параграфе 1.3 приводятся основные понятия, относящиеся к многопараметрическим полиномиальным и рациональным матрицам. В параграфе 1.4 рассматриваются результантные матрицы, отвечающих однопараметрическим полиномиальным матрицам, которые обобщаются на случай многопараметрических полиномиальных матриц. В параграфе 1.5 приводятся определения, относящиеся к понятиям, связанным с суперпозицией линейных пространств: прямым суммам линейных пространств, мультилинейным функциям и тензорным произведениям линейных пространств. Параграф 1.6 посвящен сведению комплексных формулировок к вещественным.

В Главе 2 рассматривается "несвязанная" многопараметрическая спектральная задача для полиномиальных матриц. В параграфе 2.1 приводятся основные понятия, относящиеся к спектральным характеристикам многопараметрической полиномиальной матрицы: нуль-пространства, полиномиальные решения, конечный спектр, регулярная и сингулярная части спектра, аналитическая и геометрическая кратности точек спектра, собственные векторы, жордановы полурешетки векторов, порождающие собственные и корневые векторы. Устанавливаются некоторые свойства этих спектральных характеристик. В параграфе 2.2 даются определения "бесконечного" и полного спектров многопараметрической полиномиальной матрицы и соответствующих им характеристик (кратности точек спектра, жордановы полурешетки векторов, порождающие векторы). В параграфе 2.3 рассматриваются особенности многопараметрической задачи, когда только один из скалярных параметров является спектральным. В параграфе 2.4 исследуются свойства спектральных характеристик многопараметрических полиномиальных матриц (в том числе, свойства факторизаций, свойства сингулярного и регулярного спектров, свойства базисов нуль-пространств и порождающих векторов, существование свободных полиномиальных базисов подпространств, понижающие подпространства, блочные спектральные характеристики). В параграфе 2.5 рассматриваются свойства результант-ных матриц, относящиеся к задачам определения ранга полиномиальной матрицы и построения базисов ее образа (линейной оболочки столбцов) и нуль пространства. В параграфе 2.6 рассматриваются линейные многопараметрические спектральные задачи: пучок полиномиальных матриц (линейность по одному параметру), матрица линейная по каждому из параметров и пучок постоянных матриц; сопровождающие пучки полиномиальных матриц, свойства их спектральных характеристик. В параграфе 2.7 рассматриваются "определенные" несвязанные задачи с ограничениями на векторные характеристики, а также сведению комплексной задачи к вещественной.

В Главе 3 рассматривается характеристики и свойства многопараметрических рациональных матриц. В параграфе 3.1 приводятся основные "спектральные" характеристики многопараметрической рациональной матрицы: нуль-пространства, полиномиальные решения, конечные и "бесконечные" особые точки (полюса, нули, точки неопределенности). Параграф 3.2 посвящен полиномиальной "реализации" рациональной матрицы, связанной с ней системной матрицей и их свойствам. В параграфе 3.3 рассматриваются различные виды факторизации рациональной матрицы (базовые, несократимые, минимальные) и исследуются их свойства.

В Главе 4 рассматриваются "связанные" многопараметрические спектральные задачи для полиномиальных матриц. В параграфе 4.1 рассматриваются "слабо связанные" многопараметрические спектральные задачи для совокупностей полиномиальных матриц, связанных общими спектральными параметрами, и спектральные характеристики таких задач. Наибольшее внимание уделяется задаче для пучков постоянных матриц, которая сводится к совокупности обобщенных задач на собственные значения однопа-раметрических пучков матриц, действующих в тензорном произведении исходных пространств и имеющих общие векторные характеристики. В параграфе 4.2 рассматриваются "строго связанные" и "вполне связанные" многопараметрические спектральные задачи для совокупностей полиномиальных матриц, связанных соответственно общими векторными характеристиками или всеми спектральными характеристиками: векторными и параметрами. Приводятся способы сведения этих задач к "слабо связанным".

Вторая часть посвящена методам решения многопараметрических задач алгебры.

В Главе 5 рассматриваются методы построения факторизаций полиномиальных матриц (в том числе, ранговых) и рациональных матриц (в том числе, несократимых), а также методы построения базисов образа и ядра полиномиальных матриц, основанные на использовании результантного подхода. В параграфе 5.1 приводятся виды ранговых факторизаций постоянных матриц, известные методы их построения и их свойства. В параграфе 5.2 приводятся виды полиномиальных ранговых факторизаций однопарамет-рических полиномиальных матриц, известные методы их построения и их свойства. В параграфе 5.3 для многопараметрической полиномиальной матрицы рассматриваются обобщения ранговых факторизаций однопараметрической полиномиальной матрицы, в основе которых лежит рекурсивный метод AW-q разложения ^-параметрической полиномиальной матрицы. Исследуются его свойства и рассматриваются некоторые его модификации. Он включает использование методов относительной факторизации (ОФ-q) и VV-</ факторизации ^-параметрических полиномиальных матриц полного ранга и АВ-q метода построения несократимых факторизаций ^-параметрических рациональных матриц полного ранга. В параграфах 5.4 и 5.5 описывается основанные на результантом подходе методы вычисления базисов образа и нуль-пространства одно- и многопараметрической полиномиальной матрицы соответственно.

В Главе 6 приводятся прямые методы решения некоторых параметрических задач алгебры, в основе большинства которых лежат методы ранговых факторизаций полиномиальных матриц и результантный подход к построению базисов образа и нуль-пространства полиномиальной матрицы. В параграфах 6.1 и 6.2 приводятся методы решения соответственно однопараметрических и многопараметрических задач, основанные на методах ранговых факторизаций полиномиальных матриц, а также вспомогательные алгоритмы. В параграфе 6.3 приводятся алгоритмы решения параметрических задач, основанные на результантном подходе. Рассматривается решение комплексных задач в вещественной арифметике.

В Главе 7 рассматриваются итерационные методы решения "несвязанных" многопараметрических спектральных задач для полиномиальных матриц. В параграфах 7.1 и 7.2 описываются методы решения частичной проблемы собственных значений соответственно для многопараметрического неоднородного и однородного пучка постоянных матриц (методы Ньютона, Чебышева, Хэлли, касательных гипербол, обратных итераций, градиентные). В параграфе 7.3 некоторые из методов, описанных в предшествующих параграфах, распространяются на МПС-задачи с нелинейной зависимостью элементов матрицы от скалярных параметров (как алгебраической, так и общего вида), а также рассматривается решение комплексных задач в вещественной арифметике.

В Главе 8 рассматриваются итерационные методы решения "слабо связанных" многопараметрических спектральных задач для полиномиальных матриц. В параграфах 8.1 и 8.2 рассматриваются методы решения частичной проблемы собственных значений соответственно для неоднородных и однородных пучков постоянных матриц (методы Ньютона, Чебышева, Хэлли, касательных гипербол, обратных итераций, градиентные). В параграфе 8.3 приводится метод, который может быть использован для МПС-задач с нелинейной зависимостью элементов матриц от скалярных параметров, а также рассматривается решение комплексных задач в вещественной арифметике.

Приложение состоит из трех параграфов. В параграфе П.1 приводятся примеры, иллюстрирующие понятия, введенные в Главах 1 - 4, в том числе, спектральные характеристики и их свойства; в параграфе П.2 - примеры, иллюстрирующие прямые методы факторизации полиномиальных матриц, относительной факторизации скалярного полинома и решения некоторых многопараметрических задач алгебры, описанных в Главах 5, 6; в параграфе П.З -примеры, иллюстрирующие итерационные методы решения слабо связанной МПС-задачи для пучков постоянных матриц, описанные в Главе 8.

В Заключении приводятся основные результаты работы.

В списке литературы приводится библиография работ, посвященных многонара-метрическим задачам (включая однопараметрические) для матриц и линейных операторов (как теоретическим аспектам, так и методам их решения).

В.2. Обозначения и сокращения

В работе повсеместно используется тройная нумерация в отдельности для определений, утверждений (теоремы, леммы, утверждения, следствия, свойства), алгоритмов, формул и примеров. При этом первая и вторая цифры соответствуют номеру главы и параграфа; третье число является порядковым номером. В ряде случаев, нумерация имеет дополнительное расширение, в качестве которого используются цифры и буквы. Для алгоритмов расширение используется для нумерации различных модификаций одного и того же метода. При этом расширения могут объединяться. В нумерации формул расширение используется в двух случаях: для удобства ссылок на связанную совокупность формул и для нумерации вариантов формул, относящихся к определению сходных объектов. В обоих случаях при ссылке на связанную совокупность формул или на все варианты формул расширение может опускаться. Используется независимая нумерация сносок.

Ниже приводится перечень используемых в работе обозначений и сокращений, которые за небольшим исключением являются традиционными. Р - некоторое поле или кольцо

Р" - «-мерное векторное пространство (модуль) над полем (кольцом) Р Pmxn - пространство (модуль) т*п матриц над полем (кольцом) Р N - множество натуральных чисел Z - кольцо целых чисел Q - поле рациональных чисел R - поле вещественных чисел С - поле комплексных чисел

С = С и{оо} - поле комплексных чисел, пополненное бесконечно удаленной точкой Rq - вещественное g-мерное аффинное пространство, вещественное ^-мерное векторное пространство С - комплексное ^-мерное аффинное (векторное) пространство СП'' - комплексное (/-мерное проективное пространство к = (&, ,к2 ,.,кч) - мультииндекс (узел), &,eN, i=l,.,q к\ ]~['=| кj! - "факториал" мультииндекса к := Хи^у ~ порядок мультииндекса к к =(£0,£,,£2,.,£ч)-мультииндекс(узел), к, eN, /=0,1,.,<7 №. := — "факториал" мультииндекса к

1*1 := сА порядок мультииндекса к к = (Х] Д2,. Д ) - мультипараметр; точка ^-мерного аффинного пространства С9; вектор iy-мерного пространства С9 к = Д, Д2 :.Д ) - однородный мультипараметр; точка ^-мерного проективного пространства СП4; вектор (</+1)-мерного пространства С+| Х = (г|,9) - одна из форм представления мультипараметра к, где цеСк, QeC4~k (1 <k<q) к = (А.,ц) - одна из форм представления мультипараметра к, где ХеС, цеС С(^) - поле рациональных функций от к (от X,, Х2,., Хч)

С[Х] - кольцо полиномов от X (от X,, Х2,., X ) СЩЗЪ) — поле рациональных функций от )с (от , , Х2,Xq) СП[)с] - кольцо однородных полиномов от к (от к0, , Х2,., ) С[А.(ц)] - кольцо полиномов от X с коэффициентами из поля С(ц) С" - пространство «-мерных рациональных векторов над полем С(Х) СП" (к) - пространство «-мерных рациональных векторов над полем СП()с) С" [XI - модуль «-мерных полиномиальных векторов над кольцом С[Х] СП" [ к ] - модуль «-мерных полиномиальных векторов над кольцом СП( к) С(X) - пространство рациональных т*п матриц над полем С(Х) СПтх" (к) - пространство рациональных т*п матриц над полем СП()с) С'""' [X] - модуль полиномиальных т*п матриц над кольцом С[Х] СП тлп [ 9с] - модуль полиномиальных т*п матриц над кольцом СП()с) х - вектор (вектор-столбец) х' - вектор-строка

0 - нулевой вектор; нулевой мультииндекс (узел); нулевая точка аффинного пространства (нулевое значение мультипараметра) 0„ - нулевой и-мерный вектор

1 - столбец (мультииндекс), все компоненты которого равны единице; е., - столбец 5 единичной матрицы; мультииндекс с единственной отличной от нуля .v-ой компонентой, равной единице

О - нулевая матрица (нулевой оператор) Отп ~ нулевая матрица размеров тхп I- единичная матрица (тождественный оператор) /„ - единичная матрица порядка п

1у - матрица с единственным ненулевым элементом, равным единице, расположенным в позиции (у) д G р'"х" тхп матрица; линейный оператор, действующий из Р" в Рм

А1 - матрица, транспонированная к матрице А

А" - матрица, блочно транспонированная к матрице А

А н - матрица, (эмитово) сопряженная к матрице А

А - матрица, обратная к матрице А

А- строка i матрицы А

А. - столбец / матрицы А

ДХ) G Р[Х] - полином г(к) е Р(Х) - рациональная функция f(k) g Р" [X] - полиномиальный вектор r(k) е Р" (X) - рациональный вектор F(k) е Р[>.] - полиномиальная матрица R("k) е Р""" (>.) - рациональная матрица

FmJn q s ~ результантная матрица уровня t, отвечающая ^-параметрической полиномиальной тхп матрице F(X) степени s ,9~(Х) - некоторое подпространство рациональных векторов, зависящих от параметра X - некоторое подпространство рациональных векторов, зависящих от мультипара-метра X

М - некоторое подпространство линейного пространства

Мд - дополнение подпространства М до всего пространства

М1 - ортогональное дополнение подпространства М до всего прос транства

М© N- прямая сумма пространств Ми N

М ® N- тензорное произведение пространств М и А/

AM - образ подпространства М при линейном преобразовании А

Am - сужение линейного преобразования А на подпространство М (оператор, индуцированный на подпространство М) Ем - базисная матрица, столбцы которой образуют базис подпространства М 5,у - символ Кронекера (8у = 1, если /=/', 5,у = 0, если /*/) col { Xj } *=; — col (xi, ., Хк) = [х/. Хк]' € Pi/+I - вектор-столбец, образованный из компонент л:, е Р, М,.,к col { Xj'} *=/ = col (дт i , ., Хк ) = [ xi . Хк]1 е р<4-/+|>*" - блочный вектор-столбец, образованный из строкxt',лг/ е Р", М,.,к col { Xi} кы1 = col (дг/,., дг;) = [л:/. Хк ]н е Р" - блочный вектор-столбец, образованный из столбцов дг, е Р", /=/,., п = col {Xi} *=/ = col (Xi,., Хк) -[Xi .Xk]H eP m'n - блочный столбец (блочно-столбцовая матрица), образованный из блоков (матриц) Xt е Рт''" , i-/,.,k; т = diag { а, } s diag ( а/, ., а*) е p^-'+'wt-'+i) диагональная матрица, образованная из диагональных элементов а, 6 Р, /=/,.,& diag { Aj} *=/ s diag (А/,., Ak) e P"""" - блочно диагональная матрица, образованная из блоков (матриц) Л/ е ¥т'*"' , /=/,.,&; т=^1=1т, > п = diag (А ) := diag { an } *=1 = diag (а,,,., акк) е Pixl - диагональная матрица, образованная из диагональных элементов матрицы А е РЬ4 deg а - степень полиномиального объекта а (полинома, полиномиального вектора, полиномиальной матрицы) det А = | Л | - определитель матрицы (оператора) А dim М - размерность подпространства (пространства) М im А = span { А } = {у е Рга | у = Ах,х е Р"} - линейная оболочка столбцов т*п матрицы А (образ оператора А, действующего из Р" в Р"') ker А — Ь1С[Л] = {дгеР"|Лдг = 0}- правое (столбцовое) нуль-пространство т*п матрицы А (ядро оператора А, действующего из Р" в Рш) Nr[^] — Ь1С[Л " ]=ker А " - левое (строчное) нуль-пространство матрицы А grad ф = ф' = Уф - градиент функционала ф matr { fl,7} "=l - mx« матрица с элементами fl,7, i=\,.,m;j=\,.,n matr { Ay } - блочная m*n матрица (блочный линейный оператор) с блоками А,,, rank Л - ранг матрицы (оператора) А row { X/ } = row ( х/, ., Хк) = [xi . Хк ] е P'*(i~'+I) - вектор-строка, образованная из компонент*, е Р, /=/,.,£ row { Xj) = row (X/,., Xk) = [ xi. Хк ] e рих<*~/+|> блочная вектор-строка, образованная из столбцов Xi е Р", i=l,.,k row{jt/}*=/ s row (x/7,., x^ ) = [ xi' .Хк'] g P1*" - блочная вектор-строка, образованная из строкх,7 ,Xj e Ри', i=l,.,k; п = row {Xj} kl=l s row (Xi,., Xk) = [ Xi. Хк ] e P m*" - блочная строка (блочно-строчная матрица), образованная из блоков (матриц) X, е Ртхи', /=/,.,&; п = span {Xj} кы = span (дс/,.,Хк) - линейная оболочка векторовдс, е Р", i=l,.,k tr А = аи - след матрицы А [Х\. XkYi =xi~ блочная компонента i блочного столбца [ Х\. Хк ]/ = Xi - блочная компонента i блочной строки ш = { к | Дк) = 0} -конечные нули полиномаДХ) - { ^ I /" = 0} -нули однородного полинома /" (к) Сс[Л s { ^ I ЛЬ)= 1 v-Д} -конечные нули нелинейной системыДХ) = 0 С,[Г] = { ^ 1/л(Ь) = 0} -нули нелинейной системы/1 (к) = 0 ш - конечные нули рациональной функции сосИ - конечные полюсы рациональной функции 1СИ - конечные точки неопределенности рациональной функции г(к) C\rK \ - нули рациональной функции г" (к) со[г" ] — полюсы рациональной функции г" (к) i[r" ] - точки неопределенности рациональной функции г" (к) СсИ - конечные нули рационального вектора г(к) шс[г] - конечные полюсы рационального вектора г(к) ic[r] - конечные точки неопределенности рационального вектора г(к) r"]- нули рационального вектора г" (к) и[г"] - полюсы рационального вектора г" (Jc) i[r* ] — точки неопределенности рационального вектора г" (к) p| F] - резольвентное множество регулярной матрицы F(k) a[F] - спектр матрицы F(k) ctc[F| - конечная часть спектра матрицы F(k) cs,r{Fn ] - бесконечно удаленная часть спектра матрицы F" (Jc)

Gcrf/7] - конечная часть регулярного спектра матрицы F(k) ats[F| - конечная часть сингулярного спектра матрицы F(k)

R] - полюса матрицы R(k) юс[Л] - конечные полюса матрицы R(k) k[R " ] - бесконечные полюса матрицы R" (к)

- нули матрицы R(k)

- конечные нули матрицы R(k) Cp>[R" ] - бесконечные нули матрицы R"(k)

- точки неопределенности матрицы R(k) vcf/?] - конечные точки неопределенности матрицы R(k) U,[R'\ - бесконечные точки неопределенности матрицы R" (к) (jc, j) - скалярное произведение векторов х и у

-хг|| Л. = ||, || 2 = (jc,jt)^ - евклидова ("вторая") норма векторалс

II Ml 2 = fcoM ~ "вторая" норма мультипараметра к

МПС - многопараметрическая спектральная (задача) НОД - наибольший общий делитель (полиномов) НОК - наименьшее общее кратное (полиномов)

ЛНОД (ПНОД) - левый (правый) наибольший общий делитель (полиномиальных матриц)

JTHOK (J1HOK) - левое (правое) наименьшее общее кратное (полиномиальных матриц) MFD - matrix fraction description (представление рациональной матрицы в виде произведения полиномиальной матрицы и обратной к полиномиальной матрице) PFD - polynomial fraction description (представление рациональной матрицы в виде суммы MFD и полиномиальной матрицы)

В.З. Происхождение многопараметрических задач

Приведем примеры происхождения многопараметрических спектральных задач для матриц, а также некоторые ссылки на работы, посвященные теоретическим аспектам и методам решения соответствующих задач.

В.З. 1. Задачи классического анализа

Многопараметрическая проблема собственных значений имеет свое происхождение в классическом анализе. Такие задачи, в частности, возникают в различных краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений, аналогичных задачам Штурма-Лиувилля. Дифференциальное уравнение в частных производных, такое как приведенное волновое уравнение V2 ф + tap = 0, определяющее вибрацию однородной эллиптической мембраны, при разделении переменных и при введении эллиптических координат сводится к двухпараметрическому уравнению Матье: + (k - 2q coslv) у = О, (В.З. I) dv d2z jj-- (I-2q ch2v) z = 0. (B.3.2)

Имеющие физическую значимость решения y(v) являются периодическими с периодом л и удовлетворяют периодическим граничным условиям:

Я0)-Я*) = 0,/(0)-/(л) = 0. (В.3.3)

Общая система Штурма-Лиувилля имеет вид:

L(y> + ОЛу) ~ g(v))y = 0, dv dv a ^(a) + a 2y(b) + a 3/(a) + a4 a ^y'(b) = 0,

M«)+M*)+Pj/(«)+P4/(*) = 0.

Для произвольного вещественного параметра q в (В.3.1) получаем систему Штурма-Лиувилля:

Lq{y) = 0, где р = 1 ,/= 1, g(v) = 2q cos2v, и периодическими условиями (В.3.3). Согласно классической теории Штурма-Лиувилля существует последовательность собственных значений h(q), /=0,1,2,. таких, что с соответствующими собственными функциями <p, (v). Причем <p0(/ (v) не имеет нулей в [О,л], тогда как ф2/+| (v) и Ф2,+2;, (v), '^0, имеет, каждая, точно 2/+2 нуля в [0,л).

Обобщенное уравнение Матье:

У + (X + 2 Х] cos х + 2 Х2 cos 2х)у = О является трехпараметрической задачей на собственные значения. Существование решения доказано для обобщения этой задачи, которая формулируется следующим образом. Имеется «-параметрическое дифференциальное уравнение т~) + (W) + - + UCv)) У = О (В.3.4) as as с п парами граничных условий: сиУМ + с21у1(а1) = 0, i=\,.,п, (В.3.5) duyl(bl) + d2iy,(bl) = 0, где а] <6, < а2 < Ь2 < . < ап< Ьп, а определитель матрицы matr {.//(.У;) }имеет один и тот же знак для St е (я,,bt). Требуется определить "собственную группу" (X,, ., Хп) такую, что существует п решений уравнения (В.3.4), например, , уп, которые удовлетворяют граничным условиям (В.3.5). Теоретические вопросы для подобных многопараметрических задач рассматриваются также в [90, 159, 166].

Другая двухпараметрическая задача возникает при решении уравнения Лапласа V2 ф = 0 в эллиптических координатах. Разделение переменных приводит к уравнению Ламе:

ЧМтг + ^ т + + йУ= (В-16) as 2 as где i|/(,v) =2 (.у - е{ )(.v - е2 )(s - е-,), е] < е2 < е}, а - собственная пара. Краевая задача, связанная с уравнением Ламе, имеет следующий вид. Пусть (а,,Ь,) с (е],е2) и (a2,b2)cz (е2,е}). Требуется определить такие (1,ц), для которых в ) существуют решения yt, обращающиеся в нуль в точках я, и , /=1,2.

Следующая двухпараметрическая трехточечная краевая задача1 as

У(а) ~ У(Ь) ~ у{с) = 0 имеет важный аспект, отсутствующий в задаче Матье (В.3.1), (В.3.3), который приводит к существенным последствиям с точки зрения численных методов решения задачи. В Численные методы ее решения рассматриваются в [ 151 ], аналитические подходы к решению специальных примеров см. в [78]. задаче (В.3.1), (В.3.3) при любом выборе параметра q существуют соответствующие числа X, которые дают решения. Таким образом, методы вычисления собственных пар (X,q) и соответствующим им собственных функций могут быть основаны на стандартных численных методах вычисления обычных собственных значений. В частности, дискретизация задачи при фиксированном значении параметра q приводит к стандартной проблеме собственных значений для матрицы: Ах = Хх. В задаче же (В.3.7), при некоторых условиях на функцию/ существует несчетное множество пар (X,,ja). Следовательно, только для некоторых значений ц существует вещественное значение X, которые и определяют решение задачи (В.3.7). Так что эта задача не сводится просто к обычной проблеме собственных значений. Численное решение задачи, основанное на замене дифференциального уравнения конечно-разностной аппроксимацией (вторая производная заменяется разностным отношением второго порядка) с выбором шага h = (с-а)/п -(Ь-а)/к приводит к системе уравнений yr-)+(2 - h2g(*r))>v + y^HXh2yr + \ih2fisr)+ g(sr))>v = 0, r=\,.n-\,

Уо=Ук = Уп = 0В матричной формулировке имеем

Ах = ХВ]Х+ЦВ2Х, (В.3.8) гдел: = [>>| . 0 . уп ]7. Матрица А является трехдиагональной, а В,, В2 диагональные матрицы. Можно ожидать, что задача (В.3.8) имеет континуум вещественных решений, так как неизвестных имеется на одно больше, чем уравнений (при условии включения уравнения нормировки: ||jc|| = 1). Однако, в действительности, при этом игнорируются вопросы существования и кратности вещественных решений систем алгебраических уравнений.

Теоретические аспекты многопараметрических спектральных задач (в основном, в операторной постановке) рассматривались в работах [3,4, 6, 14-21, 23, 79, 82, 83, 85, 88, 91,93-96, 98, 100, 101, 113-117, 122-124, 130, 134, 141, 147, 148, 167, 192, 193, 203,215, 218, 221, 222, 231, 235-237]. К многопараметрическим спектральным задачам сводятся также задачи для многомерных матриц [50].

В [151] представлен метод пристрелки для двухпараметрической трех точечной граничной задачи. В [168] использовалась соответствующая начально-граничная задача для дифференциальных уравнений в частных производных. В [80, 92] приводится итерационный метод, основанный ни использовании фазового метода Priifer'a, сводящий исходную задачу к обычной (однопараметрической) на каждом шаге. Матричные методы были предложены в работах [1,86, 87, 89, 104-110, 112, 118, 169, 171, 172, 223, 224, 228, 229]

В.3.2. Полиномиальная проблема собственных значений

Следующий пример [51] является иллюстрацией еще одного происхождения двухпараметрической матричной задачи на собственные значения, а также позволяет продемонстрировать тот факт, что может оказаться, что (В.3.8) будет иметь только конечное число вещественных решений. Обобщенная проблема собственных значений для пучка комплексных матриц

Ах-ХВх (В.3.9) модифицируется таким образом, чтобы получить вещественную задачу. Используя представления:

А = AR + iA,,B = BR +iB,,X= X, + iX2,x =и +;v, где i2 = -1, а все остальные объекты являются вещественными, задача (В.3.9) записывается в виде эквивалентной ей вещественной двухпараметрической задачи

A z = ,kI В1 z+hB2z, где

В.3.10)

Ar -А] в] =

BR -В{ в, в„ в2 =

Я, -BR BR -в, z =

Другим примером происхождения двухпараметрических матричных задач на собственные значения является подход к решению задач на собственные значения для квадратичной полиномиальной матрицы, предложенный в работе [5]. Квадратичная проблема собственных значений для полиномиальной матрицы к2А2 + М]+А0)х = 0 (В.3.11) модифицируется следующим образом. Выполняется замена i = l2, (В.3.12) которая преобразует (В.3.11) к виду

LA2+U\+A0)x = 0, (В.3.13) а сама связь параметров (В.3.12) записывается в виде существования нетривиального решения системы второго порядка

X, ц1

1 X г = 0.

Таким образом, исходная задача сведена к двухпараметрической связанной задаче вида

Л,о + м< 1 + Мо)*/ = о, г-1,2. (В.З.14) с некоторыми условиями нормировки векторов х,.

Аналогичным образом проблема собственных значений для полиномиальной матрицы степени s х = 0 с помощью замены А. . := V, j-\,.,s, сводится к s-параметрической проблеме вида

1 х,

В.3.3. Обратные задачи на собственные значения

В виде многопараметрических спектральных задач могут быть сформулированы многие обратные задачи на собственные значения матрицы (Условия разрешимости и численные методы решения обратных задач представлены, например, в работах [84, 119, 120, 129, 152]). В частности, аддитивная и мультипликативная задачи на собственные значения матрицы формулируются следующим образом: для матрицы А порядка п требуется найти такую диагональную матрицу Л = diag (А,1,.Д„), чтобы матрица В вида

В = А + А, (В.З. 15а)

В = АА, (В.3.15Ь)

В = КА, (В.З. 15с) соответственно, имела заданный набор собственных значений [ih i=\,.,n:

Bxj = цл, i= 1,.,п. (В.З. 16)

Задачи (В.З. 15), (В.З. 16) могут быть записаны соответственно в виде

НА - цл) + К1 л Ух<=°>м■ (-ц,/„ + М7//) = 0' /=1 »•

-ц,/„ + ^J1 и А ) х> = о, /= 1,. ,п.

Существуют обратные задачи на собственные значения и в других постановках. Например [121], для заданных матриц А, В, С порядка п найти такую диагональную матрицу Л = diag (?ц,., Х„), чтобы двухпараметрическая задача

АЛЛ + \iB + vQ лс = 0, имела заданный набор точек (n/,v,), /=1,.,«, на ее собственных кривых. Это приводит к следующей многопараметрической задаче:

Еще один вид многопараметрической задачи возникает в каноническом корреляционном анализе [232J: для заданной симметричной блочной матрицы А = matr {А„}, где блоки A,j имеют размеры п,щ, надо найти диагональную матрицу и блочный вектор

А = diag { }",,* = col {х,} , где х, - нормированные векторы (||jt(||=l) размерности м„ i=\,.,m, удовлетворяющие уравнению

А х = Л х.

В.3.4. Многомерные модели управляемых процессов

Многомерные (wD) модели управляемых процессов приводят к многопараметрическим рациональным матрицам. Например, дискретная wD модель (см., например, [77, 153, 172-175]) описывается уравнениями

Ехш = A0Xf + I",+ Z Aikxi,e,,et + +

I <j<kiN V, + + I B^U, + ,

I ij<ki.N y„ =Cxy+DuiJt

Здесь / = (/,,.,/д,) - мультииндекс; вектора состояний jc, входа и и выходаj имеют размерности n, т и р соответственно, матрицы Е, Аi, Alk и имеют размеры гхп, матрицы S/, В1к и е - размеры rxm, a D и С - размерырхп и рхт соответственно.

В частности, сингулярная дискретная 2D модель Fornassini-Marchesini [102, 131, 149], описывается уравнениями

Ех„К.М = А\ *<♦!./ + A2X'J + 1 + + + l •

У,J =Cx,+DuIJ,

Введение операторов z,,z2: дг)+|>/+| - z, z2x,;, ul+iJ = z, u(l, utJI] = z2ufl, приводит к соотношению

У и = \с( 22 Е~ z\ Л\ -z2A2) "' (z, 5, + z2 В2 )+D] и у.

Таким образом, свойства управляемого процесса определяются двухпараметрической сингулярной рациональной рхт матрицей

R( z,, z2) = С( Z| z2 Е- z, Л, - z2 А2)(z, Bt + z2 B2 )+D.

Различные виды nD моделей (положительные, нормальные, с запаздываниями) рассматриваются в работах [176,177,179,180]; некоторым свойствам многопараметрических полиномиальных и рациональных матриц посвящены работы [178,181].

В.3.5. Параметризированные задачи

Параметризированные нелинейные уравнения F(x, X) = 0, где F - нелинейное отображение из R" в Rm, с нелинейной зависимостью от векторного параметра дс (переменная состояний) и, в общем случае, нелинейной зависимостью от скалярных параметров один из которых является параметром бифуркации, а остальные - образуют вектор параметров управления, возникают в физических системах кратного равновесия с некоторым числом управляющих параметров. В работе [227] приводятся примеры задач такого типа (задачи течения жидкости, задачи теории упругости, биологические модели и модели химических реакторов, теория термального воспламенения), а также обсуждаются вычислительные аспекты решения таких задач, приводится классификация диаграмм бифуркации для случая одного параметра и их обобщения на случай большего числа параметров. При естественных условиях решения (дс, X) задачи образуют дифференцируемые многообразия в произведении пространств состояний и параметров, размерность которых совпадает с размерностью параметров. В большинстве приложений интерес концентрируется не столько на вычислении каких-либо решений, а на определении специальных особенностей (свойств) многообразия решений. В частности, если рассматриваемое уравнение определяет задачу равновесия, то можно определять диаграммы бифуркации или границы областей устойчивости (см., например, [214]). Численный анализ параметризированных динамических систем вида х(1) = / (дс, X), и соответствующий программный пакет рассматриваются, например, в работе [140] (см., также [49]).

Большие колебательные системы, большие системы управления, а также другие задачи часто зависят от физических и геометрических параметров [230]. Это приводит, например, к следующей проблеме собственных значений

А(р)х(р) = 1(р)В(р)х(р). Здесь А(р), В(р) - вещественные пхп матрицы, элементы которых аналитически зависят от N параметров р = (рх, ., ри). Требуется определить вещественнозначные "собственные значения" Цр) и отвечающие им "собственные векторы" х(р). Параметризированные задачи на собственные значения вида

A(\i) х = 1 Я(ц) х, А(к, v, ц) дс = 0Д, v е С, ц е С, и методы их решения рассматриваются в работах [210-212].

Динамическая система с двумя различными временными запаздываниями, описываемая уравнением x(t) = A x(t) + Я, *(/-!,) + В2 x(t-x2), представлением решения в виде х(() = q eh сводится к спектральной задаче для матрицы XI - А - В, е~И[ - В2 е~"2. Являющаяся точной для X = /со подстановка Рикасиуса

-Хх 1-Че ' =-- приводит к кубической (относительно X) спектральной задаче

1 + h j

А0 + XA](t],t2)+X2 A2(tt,t2)+\3 Л3(/р/2)]* = 0, где

Л =-(А+В{ + В2), A,{tvt2) = I~{t{+t2)A-{t2-t,) Я, -(f,-/2) В2, Л2(/,,/2) = (/,+/2)/- /,/2 Л + /,/2 (Я, + В2), A}(t„/2)= t,t2 I. Задача2 состоит в определении таких значений параметров /, и /2, при которых существуют чисто мнимые собственные значения X = ±/со.

Примером параметризированной задачи является исследование демпфированных колебательных систем [161], описываемых полиномиальной матрицей

F(X) = Х2А + ХеВ + С, где А, В, С - положительно определенные матрицы, а в - параметр демпфирования. Когда 8 = 0, все собственные значения матрицы F(X) являются чисто мнимыми и образуют сопряженные пары. Когда в является достаточно большим, все собственные значения матрицы F(X) являются вещественными и неотрицательными. Особый интерес представляют те значения параметра в, при которых полиномиальная матрица имеет кратные собственные значения, в том числе, точки ветвления, в которых X = Х(с) оказывается не аналитической. Рассматриваемая задача имеет также отношение к теории возмущений (см., например [74, 183, 184]).

Примером нелинейной двухпараметрической задачей является также следующая задача [97, 99]

-div( |V и\р 2 Vm)+(^(x)-W(x)) |Vw|p"2Vw = n |Vh|'"2Vw, где исследуются свойства, так называемой, главной собственной кривой ц = которая характеризуется тем свойством, что для ее точек рассматриваемая задача имеет положительное решение.

В.3.7. Параметрические задачи алгебры

Решение некоторых из указанных выше задач приводит к решению таких классических задач алгебры, как факторизация полиномов, вычисление их НОД, решение полиномиальных систем, вычисление ранга и базиса нуль-пространства полиномиальной матрицы. Большинство параметрических задач алгебры решаются средствами компьютерной алгебры [2,9,13,22] с использованием таких систем как Maple, Mathematica, Reduce и другие (см., например, [166, 234]). Методы решение подобных задач, основанные, в частности, на использовании обобщений результантов и дискриминантов, базисов Гребнера и метода исключения, описаны в работах [8, 125-128, 132, 136, 137-139, 142, 143, 146, 154-158, 160,164, 186-191, 198, 199, 201, 202, 205-208, 209, 219, 220, 238]. В последнее время развиваются также комбинированные символьно-численные методы (см., например, [111,144, 145, 200, 225, 226]).

В.4. Разновидности постановки МПС-задач

Не претендуя на универсальность, приведем классификацию МПС-задач, обращая основное внимание на матричные постановки задач и на полиномиальную (в том числе, линейную) и рациональную зависимость от параметров.

В.4.1. Несвязанные МПС-задачи.

В общей (нелинейной) постановке несвязанная МПС-задача определяется векторным уравнением где Xj е P,j=\,.,q;x е Р"\{0}, aF: Р^хР" ->Р*;^и,ше\.В случае линейной зависимости F от вектора л: получаем матричную формулировку несвязанной МПС-задачи где F(X, Д2,.Д ) - тхп матрица, элементы которой являются функциями скалярных параметров Xj е Р, j=\,.,q. Наиболее важным являются случаи полиномиальной Fe¥mx" [X, Д2,.Д ] и рациональной Fe¥m*"(X] ,Х2,.,ХЧ) зависимости элементов матрицы F{X] Д2,. Д ). В случае линейной зависимости от скалярных параметров X) е j-\,.,q, будем использовать следующий частный вид уравнения (В.4.2)

F(Xl Д2,.Д„;х) = 0,

В.4.1)

В.4.2)! Яо+^i В\+ . +XqBq ) л: - 0,

ВАЗ)

2 Постановка задачи получена от Wagner N. (Inst. Angew. Experim. Mech., Univ. Stuttgart)

20 где Bj е Pmxn ,j=0,\,.,q.

Несвязанная задача может рассматриваться вместе с некоторыми ограничениями на векторх: g,(x) = 0, i=\,.,p, включающими условие отличиях от нулевого вектора.

В.4.2. Связанные МПС-задачи.

Связанные МПС-задачи представляют собой совокупности приведенных выше МПС-задач, имеющих общие скалярные и/или векторные параметры.

В нелинейной постановке слабо связанная (скалярно связанная) МПС-задача определяется имеющей общие скалярные параметры системой векторных уравнений

В.4.4) где Xj е ?,j=\,.,q; х, е Р"' \{0}, a F,: Р'' х Р"' Pm<; q, щ, т, е N, i=\,.,р. Наиболее важным является случай равенства числа векторных уравнений числу скалярных параметров: р = q. В случае линейной зависимости F, от вектора х„ /=1,.,/?, получаем матричную формулировку слабо связанной МПС-задачи

В.4.5) где Fi{\,X2,.,Xq) - /и,хя, матрицы, элементы которых являются функциями скалярных параметров Xj е P,j=l,.,q. Как и в случае несвязанных задач, наиболее важным являются случаи полиномиальной и рациональной зависимости элементов матриц Fj(k\ Д2,. Д ). В случае линейной зависимости от скалярных параметров Xj е Р, j=\,.,q, будем использовать следующий частный вид уравнений (В.4.5)

Bi0+X]Bli+.+X<jBiq)xl = 0, М,.,/?, (В.4.6) где By е Pm,x"' ,у'=0,1,.,<7; i=\,.,p.

В нелинейной постановке сильно связанная (векторно-связанная) МПС-задача определяется имеющей общий векторный параметр системой векторных уравнений

FA;;*) = 0,/=1,.,<?, (В.4.7) где Xj е ?,хе Р"\{0}, aF,: Р х Р" -> Рт> q, п, т{ е N, /=1,.,</.

В случае линейной зависимости F, от вектора х получаем матричную формулировку сильно связанной МПС-задачи

Fi(Xi)x = 0,i=\,.,q, (В.4.8) где Fj(Xj) - т,хп матрица, элементы которой являются функциями скалярного параметра Xj е Р, i=\,.,q. Как и в случае несвязанных задач, наиболее важным являются случаи полиномиальной и рациональной зависимости элементов матриц Fj(X[). В случае линейной зависимости от скалярных параметров Xt е Р, i=\,.,q, будем использовать следующий частный вид уравнений (В.4.8)

Bi(l+hBn)x = 0,i=l,.,q, (В.4.9) где By € Рт'*п ,j=0,\] i=l,.,q.

В нелинейной постановке вполне связанная (скалярно- и векторно-связанная) МПС-задача определяется имеющей общие как скалярные, так и векторный параметры системой векторных уравнений

F,(\,l2,.,l4-x) = Q,i=\,.,p, (В.4.10) где X, е ?,j=\,.,q;x е Р"\{0}, aF,: Р"х Р" Рт ; q, п, mt е N, МНаиболее важным является случай равенства числа векторных уравнений числу скалярных параметров: p-q.

В случае линейной зависимости Ft от вектора х, i-\,.,p, получаем матричную формулировку вполне связанной МПС-задачи

Fi(X],X2,.,Xq)x^0, i=],.,p, (ВАМ) где F,{X) ,X2,.,Xq) - т,хп матрицы, элементы которых являются функциями скалярных параметров Xj е ?,j=l,.,q. Как и в случае несвязанных задач, наиболее важным являются случаи полиномиальной и рациональной зависимости элементов матриц Fj(Xх,Х2,.,Х ). В случае линейной зависимости от скалярных параметров Xj е Р, j=\,.,q, будем использовать следующий частный вид уравнений (В.4.11)

Яю+Мм+.+АА )* = 0' (В.4.12) где By е Рт,х" ,/=0,1,.,<7; i-\,.,p.

В.4.3. Сведение связанных МПС-задач к несвязанной.

С формальной точки зрения любая связанная МПС-задача для матриц может быть сведена к несвязанной МПС-задаче. Действительно, использование блочных объектов л: := [х, . xp]\F:= diag {F\,., Fp}, B}:= diag {By,., BPJ},j=0,\,.,q, (B.4.12) где* e ; F, Bj g ?m"" ,j=\,.,q, m := ^ /и( , n := ' позволяет свести системы

B.4.5) и (В.4.6), определяющие слабо связанные МПС-задачи, к уравнениям вида (В.4.2) и (В.4.3), соответственно, которые определяют несвязанные MIIC-задачи. Следует, однако, отметить, что в действительности в отличие от стандартной постановки несвязанной МПС-задачи вместо условия х Ф 0 должны быть выполнены более строгие условия исходной задачи: Jt/ ф 0, i=\,.,p.

Аналогично, использование блочных объектов

F := [F, . Fq\й, Во := [Bl0. Bq0]в, В, := [О . Д,,. О]", /=1,. ,q, (В.4.13) где F, Bt е Pmx", i=\,.,q, т := Xmw< ' позволяет свести определяющие сильно связанные МПС-задачи системы (В.4.8) и (В.4.9) к уравнениям вида (В.4.2) и (ВАЗ), соответственно, которые определяют несвязанные МПС-задачи. В данном случае получаем стандартные постановки несвязанных МПС-задач. Аналогично, использование блочных объектов

F-=[FX . FPY ,Bj := [By . BPJ],j=0,\,.,q, (B.4.14) где F, Bj e Pmxn, j=0,\,.,q, m - ' гюзволяет свести определяющие вполне связанные МПС-задачи системы (В.4.11) и (В.4.12) к уравнениям вида (В.4.2) и (ВАЗ), соответственно, которые определяют несвязанные МПС-задачи. В данном случае также получаем стандартные постановки несвязанных МПС-задач.

Способы сведения сильно и вполне связанных МПС-задач к слабо связанной МПС-задаче приводятся в Главе 4.

В.4.4. Классификация МПС-задач.

В работах [130, 167] предлагается следующая классификация в случае несвязанной задачи (ВАЗ). Вводится функционал ф.^) := (Fx,x) = ^0лг,лг) и для фиксированного векторах определяется множество Ях = (X) = 0}, называемое "гиперплоскостью Релея". Их объединение Я = |JЯх называется "значимой областью" xeR" value-domain") матрицы F. Аналогично вводятся выпуклые множества Я+ = (J {X |ф (X) > 0}, Я- = (J Я |ф < 0}, так, что Я и Я+ и Я- = R4. Если оба множества хеК" xeR"

Я+ и Я являются неограниченными, то задача называется гиперболической. Если одно из множеств является пустым, а второе - неограниченным, то задача называется параболической; если же второе множество является ограниченным и не пустым, то задача называется эллиптической.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Полученные результаты можно разделить на две составляющие, которые относятся к

• исследованию характеристик многопараметрических полиномиальных и рациональных матриц и их свойств;

• разработке методов решения многопараметрических задач алгебры, в том числе, многопараметрических спектральных задач.

3.1. Основные теоретические результаты

Основные теоретические результаты относятся к свойствам спектральных характеристик многопараметрических полиномиальных матриц (некоторые из которых могут быть перенесены на случай произвольной функциональной зависимости элементов матрицы от спектральных параметров) и особых точек многопараметрических рациональных матриц. Характеристики, введенные для многопараметрических матриц, согласуются с аналогичными характеристиками однопараметрических матриц, за исключение тех, которые существуют только в многопараметрическом случае.

3.1.1. Результантные матрицы многопараметрической полиномиальной матрицы и их свойства.

Получены обобщения известных результантных матриц Сильвестра и Воловича, отвечающих однопараметрической полиномиальной матрице, на многопараметрический случай. В терминах введенных результантных матриц реализуются операции сложения и умножения многопараметрических полиномиальных матриц, что позволяет выполнять сводить их к операциям с постоянными матрицами.

3.1.2. Спектральные характеристики многопараметрических полиномиальных матриц и их свойства.

Введены основные понятия, относящиеся к спектральным характеристикам многопараметрической полиномиальной матрицы: полиномиальные решеиия, конечный спектр, регулярная и сингулярная части конечного спектра (в том числе, (<у-£)-мерные собственные значения, собственные полиномы), аналитическая и геометрическая кратности точек спектра, собственные векторы, жордановы полурешетки векторов и порождающие корневые векторы, порождающие собственные векторы. Установлены некоторые свойства этих спектральных характеристик.

Определены спектральные характеристики в бесконечно удаленных точках (при равноправных спектральных параметрах) и спектральные характеристики матрицы, когда только один из параметров является спектральным.

Установлены некоторые свойства спектральных характеристик многопараметрических полиномиальных матриц, связь спектральных характеристик матриц, связанных эквивалентными и регулярными преобразованиями, матриц-сомножителей из полиномиальных факторизаций, свойства регулярного и сингулярного спектров. Введены понятия свободного полиномиального базиса подпространства, понижающих подпространств, блочных спектральных характеристик (набор матричных решений, блочный собственный набор с соответствующим блочным собственным вектором) и установлены их свойства.

Предложена линеаризация многопараметрической полиномиальной матрицы, осуществляемая либо последовательным переходом к сопровождающим пучкам матриц по каждому из скалярных параметров, либо к сопровождающему пучку по всем параметрам одновременно. Установлена связь спектральных характеристик многопараметрической полиномиальной матрицы и ее сопровождающих пучков.

Рассмотрена постановка несвязанной задачи с ограничениями на векторные характеристики.

3.1.3. Спектральные характеристики многопараметрических рациональных матриц и их свойства.

Введены основные понятия, относящиеся к "спектральным" характеристикам многопараметрической рациональной матрицы: нуль-пространства из полиномиальных решений, конечные особые точки (полюса, нули, точки неопределенности). Доказана согласованность введенных характеристик с классическими определениями для однопараметрической рациональной матрицы.

Определены бесконечно удаленные особые точки (при равноправных спектральных параметрах) и особые точки матрицы, когда только один из параметров является "спектральным".

Рассмотрена полиномиальная реализации рациональной матрицы и соответствующая ей системная матрица, установлены их свойства.

Рассмотрены различные виды факторизации рациональной матрицы (базовые, несократимые ранговые) и установлены их свойства.

3.1.4. Спектральные характеристики связанных многопараметрических полиномиальных матриц и их свойства.

На многопараметрические спектральные задачи для совокупностей полиномиальных матриц, связанных общим мультипараметром X (слабо связанные задачи) распространены определения спектральных характеристик, введенные для несвязанной задачи; рассмотрены их свойства.

3.2. Основные практические результаты

Основные практические результаты представляют собой разработанные методы решения многопараметрических задач алгебры (как прямые, так и итерационные) и исследование их свойств. Прямые методы базируются на двух подходах к решению параметрических задач: ранговые факторизации полиномиальной матрицы и результантный подход, которые позволяют вычислять ранг, базис линейной оболочки столбцов и базис правого нуль-пространства полиномиальной матрицы. Итерационные методы предназначены для решения частичной многопараметрической спектральной задачи не(как связанной, так и слабо связанной): вычисление точки спектра и соответствующего собственного вектора. Разработанные алгоритмы ориентированы на минимизацию вычислительных затрат.

3.2.1. Методы ранговой факторизации многопараметрических полиномиальных матриц.

Установлены некоторые свойства рекурсивного метода AW-q разложения q-параметрической полиномиальной матрицы, лежащего в основе методов ранговой факторизации. Предложены некоторые модификации метода, позволяющие в ряде случаев избежать появления "паразитического" спектра у искомой матрицы полного ранга. Тем не менее, рассмотренные примеры показывают ограниченность применения -л ого подхода.

3.2.2. Результантный подход к решению многопараметрических задач.

На базе результантного подхода разработаны методы вычисления ранга, построения базиса линейной оболочки столбцов многопараметрической полиномиальной матрицы, построения минимального базиса ее нуль-пространства, а также построения жордановых полурешеток векторов, отвечающих кратной точке ее спектра. Отмечены виды результантных матриц, которые позволяют минимизировать вычислительные затраты в зависимости от вида решаемой задачи.

3.2.3. Прямые методы решения многопараметрических задач алгебры.

На базе метода AW-*/ разложения и результантного подхода построены методы решения некоторых параметрических задач алгебры:

• Задачи линейной алгебры (построение базисов суммы, пересечения и разности подпространств, базиса дополнения подпространства).

• Задачи для скалярных полиномов (деление, вычисление НОД, НОК).

• Задачи для рациональных матриц (вычисление базовых и минимальных факторизаций ; вычисление ранга и полиномиальных базисов линейной оболочки столбцов и правого нуль-пространства, разделение полюсно-нулевой структуры).

• Решение систем линейных алгебраических уравнений и матричных уравнений с полиномиальной и рациональной матрицами (как регулярными, так и сингулярными), вычисление присоединенной, обратной и псевдообратной матриц, вычисление ранговой факторизаций полиномиальной матрицы

• Задачи для матричных полиномов ("деление", вычисление НОК).

• Спектральные задачи для полиномиальных матриц общего вида (построение базисов нуль-пространств из полиномиальных решений; вычисление порождающих собственных векторов, отвечающих собственному полиному; вычисление порождающих корневых векторов и жордановых полурешеток векторов, отвечающих кратной точке спектра; вычисление/исчерпывание "регулярной части"; инвариантных полиномов).

3.2.4. Итерационные методы решения несвязанных определенных задач.

Несвязанная МПС-задача с линейными ограничениями на собственный вектор и некоторым условием его нормировки1 рассматривается как система нелинейных алгебраических уравнений, которой ставится в соответствие некоторые виды функционалов невязки. Для неоднородного и однородного пучков постоянных матриц получены обобщения отношения Релея.

Для решения частичной проблемы собственных значений соответственно для мно-гопараметричеекого неоднородного и однородного пучка постоянных матриц, т.е. для Рассматриваются три вида нормировки векторов. уточнения заданного приближения к собственному вектору и нахождение соответствующей точки спектра (или, возможно, вычисление значения полиномиального решения при соответствующем значении мультипараметра) предложены следующие методы:

• методы Ньютона, Чебышева, Хэлли, касательных гипербол;

• методы обратных итераций (с ньютоновской и с обобщенной поправками, с отношениями минимальных невязок);

• градиентные методы (для различных видов функционалов невязок).

Предложенные методы обобщаются на случай полиномиальных матриц и матриц с произвольной функциональной зависимостью ее элементов ог спектральных параметров.

3.2.5. Итерационные методы решения связанных задач.

Слабо связанная МПС-задача с некоторыми условиями нормировки собственных векторов рассматривается как система нелинейных алгебраических уравнений, которой ставится в соответствие некоторые виды функционалов невязки. Для совокупностей неоднородных и однородных пучков постоянных матриц получены обобщения отношения Релея.

Для решения частичной проблемы собственных значений соответственно для многопараметрического неоднородного и однородного пучка постоянных матриц, т.е. для уточнения заданных приближений к собственным векторам и нахождение соответствующей точки спектра (или, возможно, вычисление значений полиномиальных решений при соответствующем значении мультипараметра) предложены следующие методы:

• методы Ньютона, Чебышева, Хэлли, касательных гипербол;

• методы обратных итераций (с ньютоновской и с обобщенной поправками, с отношениями минимальных невязок);

• градиентные методы (для различных видов функционалов невязок).

Предложенные методы обобщаются па случай полиномиальных матриц и матриц с произвольной функциональной зависимостью ее элементов от спектральных параметров.

Для решения нелинейной многопараметрической спектральной задачи (с произвольной зависимостью от параметров) предложено обобщение подхода, основанного на замене системы детерминантных уравнений эквивалентной нелинейной системой па базе нормализованного процесса разложения постоянной матрицы.

1. Абрамов А.А. Метод решения некоторых многопараметрических задач на собственные значения, возникающие при использовании метода Фурье // Ж. вычисл. мат. и мат. физики. 1994. Т. 34, № ю. С. 15-27.

2. Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями. М.: Мир, 1994.

3. Алмамедов М.С., Асланов А.А., Исаев Г.А. К теории двухпараметрических спектральных задач //ДАН СССР. 1985. Т. 283, №5. С. 1033-1035.

4. Алмамедов М.С., Исаев Г.А. Разрешимость несамосопряженных линейных операторных систем и множество разрешимость многопараметрических спектральных задач // ДАН СССР. 1985. Т. 282, № 3. С. 521-523.

5. Балинский А.И. Двухпараметрический вариант квадратичной спектральной задачи // Матем. методы и физ.-мех. Поля. 1985. № 21. С. 23-26.

6. Березанскш Ю.М., Константинов А.Ю. О разложении по собственным векторам многопараметрических спектральных задач // Функц. анализ и его приложения. 1992. Т. 26, № 1.С. 81-83.

7. Белый В.А., Кублановская В.Н., Хазанов В.Б. Спектральные задачи для пучков матриц. Методы и алгоритмы. 3. Препринт ЛОМИ Р-4-88, 1988.

8. Бухбергер Б. Базисы Гребнера. Алгоритмический метод в теории полиномиальных идеалов // В кн.: "Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления". М.: Мир, 1986. С.331-372.

9. Бухбергер Б., Коллинз Дж,, Лаос Р. Компьютерная алгебра: Символьные и алгебраические вычисления. М.: Мир, 1986.

10. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976.

11. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.

12. Гретцер Г. Общая теория решеток. М.: Мир, 1982.

13. Девенпорт Дж., Сирэ И., Турнье Э. Компьютерная алгебра. М.: Мир, 1991.

14. Исаев Г.А. К многопараметрической спектральной теории // ДАН СССР. 1976. Т. 229, №3. С. 544-547.

15. Исаев Г.А. К многопараметрической спектральной теории // ДАН СССР. 1980. Т. 250, № 2. С. 284-287.

16. Исаев Г.А. Введение в общую многопараметрическую спектральную теорию // Спектральная теория операторов. 1980. № 3. Баку. С. 202-221.

17. Исаев Г.А. Разложение по собственным функциям самосопряженных сингулярных многопараметрических дифференциальных операторов // ДАН СССР. 1981. Т. 260, № 4. С. 786-790.

18. Исаев Г.А. К теории индексов дефекта сингулярных многопараметрических дифференциальных операторов типа Штурма-Лиувилля // ДАН СССР. 1981. Т. 261, № 4. С. 788-791.

19. Исаев Г.А. Генетические операторы и многопараметрические спектральные задачи // ДАН СССР. 1983 Т. 268, № 4. С. 785-788.

20. Исаев Г.А. О сингулярных многопараметрических дифференциальных операторах. Теоремы разложения //Мат. сб. 1986. Т. 131, № 1. С. 52-72.

21. Исаев Г.А., Аллахвердиев Б.П. Осцилляционные теоремы для многопараметрических спектральных задач, связанных с дифференциальными уравнениями второго порядка // Спектральная теория операторов. 1980. № 3. Баку. С. 142-201.

22. Кокс Д., Литтл Дж., О'Ши Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы. М.: Мир, 2000.

23. Константинов А.Ю. Многопараметрические спектральные задачи и коммутирующие расширения эрмитовых операторов // Функц. анализ и его приложения. 1994. Т.28,№2.С. 55-57.

24. Конькова Т.Я., Симонова В.Н. Библиотека MATLAB-функций для полиномиальных матриц // Зап. научн. семин. ПОМИ. 1994. Т. 219. С, 53-80.

25. Кублановская В.Н. Метод Ньютона для определения собственных значений и собственных векторов матриц // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1972. Т. 12, № 6. С. 1371-1380.

26. Кублановская В.Н. О некоторых факторизациях двухпараметрических полиномиальных матриц // Зап. научн. семин. ПОМИ. 1994. Т. 219. С. 94-116.

27. Кублановская В.Н. Метод наименьших квадратов для матриц, зависящих от параметров // Зап. научн. семин. ПОМИ. 1994. Т. 219. С. 176-185.

28. Кублановская В.Н. Решение системы нелинейных алгебраических уравнений от трех переменных. Методы и алгоритмы. 3 // Зап. научн. семин. ПОМИ. 1995. Т. 229. С. 159-190.

29. Кублановская В.Н. Некоторый подход к решению многопараметрических задач // Зап. научн. семин. ПОМИ. 1995. Т. 229. C.I91-246.

30. Кублановская В.Н. Методы и алгоритмы решения спектральных задач для полиномиальных и рациональных матриц // Зап. научн. семин. ПОМИ. 1997. Т. 238. С. 3-330.

31. Кублановская В.Н. Решение системы нелинейных алгебраических уравнений общего вида. Методы и алгоритмы. IV // Зап. научн. семин. ПОМИ. 1998. Т. 248. С. 124-146.

32. Кублановская В.Н. О некотором подходе к решению обратных задач на собственные значения матрицы // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2000. Т. 268. С. 95-114.

33. Кублановская В.Н. Применение метода ранговой факторизации к анализу спектральных характеристик многопараметрической полиномиальной матрицы // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2000. Т. 268. С. 115-144.

34. Кублановская В.Н. К решению многопараметрических задач алгебры. 1. Методы вычисления наследственных полиномов и их применения // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2002. Т. 284. С. 143-162.

35. Кублановская В.Н. К решению многопараметрических задач алгебры. 2. Метод неполной относительной факторизации и его и его применение // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2003. Т. 296. С. 89-107.

36. Кублановская В.Н. К решению многопараметрических задач алгебры. 3. Цилиндрические многообразия регулярного спектра матрицы // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2003. Т. 296. С. 108-121.

37. Кублановская В.Н. К решению многопараметрических задач алгебры. 4. /IB-алгоритм и его применение // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2004. Т. 309. С. 127-143.

38. Кублановская В.Н. К решению многопараметрических задач алгебры. 5. Алгоритм W-q факторизации и его применение // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2004. Т. 309. С. 144-153.

39. Кублановская В.Н, Ващенко Т.В. Построение фундаментального ряда решений пучка матриц // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1984. Т. 139. С. 74-93.

40. Кублановская В.Н., Хазанов В.Б. Спектральные задачи для пучков полиномиальных матриц. Методы и алгоритмы. У // Зап. научн. семин. ПОМИ. 1992. Т. 202. С. 6-70.

41. Кублановская В.Н., Хазанов В.Б. О несократимых факторизациях рациональных матриц и их применении // Зап. научн. семин. ПОМИ. 1994. Т. 219. С. 117-156.

42. Кублановская В.Н., Хазанов В.Б. Относительная факторизация многочленов от нескольких переменных // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т. 36, № 8. С. 6-11.458

43. Кублановская В.Н., Хазанов В.Б. Несократимые факторизации ^-параметрических рациональных матриц // Зап. научн. семин. ПОМИ. 1998. Т. 248. С. 147-164.

44. Кублановская В.Н., Хазанов В.Б. К решению частичной проблемы собственных значений для полиномиальных матриц // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2002. Т. 284. С.163-176.

45. Кублановская В.Н., Хазанов В.Б. Модификации метода AW-<y разложения многопараметрических полиномиальных матриц и их свойства // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2004. Т. 309. С. 154-165.

46. Кублановская В.Н., Хазанов В.Б. Методы решения параметрических задач алгебры // Труды Международная конференция по вычислительной математике. Часть 1, Новосибирск. 2004. С. 42-47.

47. Кублановская В.Н., Хазанов В.Б., Численные методы решения параметрических задач алгебры. Часть 1. Однопараметрические задачи С.-Пб.: Наука, 2004.

48. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975.

49. Слива В. В. О движении собственных значений диссипативного пучка операторов // Мат. заметки. 1993. Т. 53, №4. С. 153-155.

50. Соколов Н.П. Введение в теорию многомерных матриц Киев. Наукова думка, 1972.

51. Тополянский Д.Б., Крылова Т.В. Комплексные собственные значения в двухпара-метрических задачах // В кн.: Дифференциальные уравнения и их применение. -Днепропетровск, 1971. С. 148-151.

52. Фаддеев Д.К., Кублановская В.Н., Фаддеева В.Н. О решении линейных алгебраических систем с прямоугольными матрицами // В кн.: Современные вычислительные методы. Вып. 1. Материалы международной летней школы по численным методам. Киев, 1966. С. 16-75.

53. Хазанов В.Б. О спектральных свойствах А-матриц // Зап. научи, семин. ЛОМИ. 1981. Т. 111. С. 195-217.

54. Хазанов В.Б. О некоторых спектральных характеристиках Х-матриц // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1984. Т. 139. С. 111-124.

55. Хазанов В.Б. Нормализованный процесс ортогонализации Грама-Шмидта // Сб. нучн. тр. ЛКИ: САПР в судостроении и судовом машиностроении. 1984. С. 109-113.

56. Хазанов В.Б. Решение двухпараметрической проблемы собственных значений // Сб. научн. тр. ЛКИ: Математическое моделирование и автоматизированные системы в судостроении. Л.: Изд. ЛКИ, 1986. С. 84-91.

57. Хазанов В.Б. Методы решения двухпараметрической проблемы собственных значений общего вида // Сб. научн. тр. ЛКИ: Математическое обеспечение автоматизированных систем в судостроении. Л.: Изд. ЛКИ, 1987. С. 118-125.

58. Хазанов В.Б. Методы решения многопараметрических спектральных задач для матриц // Тезисы докладов Всесоюзной конф. "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики", Новосибирск, 1987. С. 191-192.

59. Хазанов В.Б. Методы решения многопараметрических задач, основанные на минимизации функционалов невязок // Сб. научн. тр. ЛКИ: Математические методы и средства автоматизированных систем в судостроении. Л.: Изд. ЛКИ, 1988. С. 109-114.

60. Хазанов В.Б. Методы решения многопараметрических спектральных задач // Algorithms 89, Proc. 10th Simp. Algorithms, Bratislava. 1989. P. 46-48.

61. Хазанов В.Б. Многопараметрическая проблема собственных значений: жордановы полурешетки векторов// Зап. научн. семин. ПОМИ. 1994. Т. 219. С. 213-221.

62. Хазанов В.Б. О спектральных свойствах многопараметрических полиномиальных матриц // Зап. научн. семин. ПОМИ. 1995. Т. 229. С. 284-321.

63. Хазанов В.Б. О собственных порождающих векторах многопараметрической полиномиальной матрицы // Зап. научн. семин. ПОМИ. 1998. Т. 248. С. 165—186.

64. Хазанов В.Б. О некоторых свойствах минимальных по степени несократимых факторизаций рациональной матрицы // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2000. Т. 268. С. 185-189.

65. Хазанов В.Б. О некотором свойстве полиномиальных базисов подпространств над полем рациональных функций многих переменных // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2002. Т. 284. С. 177-191.

66. Хазанов В.Б. Методы решения спектральных задач для многопараметрических пучков матриц // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2003. Т. 296. С. 139-168.

67. Хазанов В.Б. К решению многопараметрических спектральных задач для матриц // В трудах конф. "Кораблестроительное образование и наука 2003". СПб, 2003. С. 305-310.

68. Хазанов В.Б. О некоторых спектральных характеристиках многопараметрических полиномиальных матриц // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2004. Т. 309. С. 166-173.460

69. Хазанов В. Б. Методы решения некоторых параметрических задач алгебры // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2005. Т. 323. С. 164-181.

70. Хазанов В. Б. Результантный подход к вычислению векторных характеристик многопараметрических полиномиальных матриц // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2005. Т. 323. С.182-214.

71. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. Т. 1. М.: "Наука", 1988.

72. Яковлев М.И. О некоторых методах решения нелинейных уравнений // Тр. Матем. ин-та АН СССР., 1965. Т. 84. С. 8-40.

73. Anderson B.D.O., Jury E.I. Generalized Bezoutian and Sylvester matrices in multivari-able linear control // IEEE Trans Automat. Control, 1976. V. AC-21, No. 3. P. 551-556.

74. Andrew A.L., Eric C.K.-W., Lancaster P. Derivatives of eigenvalues and eigenvectors of matrix functions // SIAM J. Matrix Anal, and Appl. 1993. V. 14, No. 4. P. 903-926.

75. Anselone P.M. Matrices of linear operators // Enseigntment Math. 1963. V. 9, No. 2. P. 191-197.

76. Antoniou E.N., Vardulakis A.I.G., Vologiannidis S. Numerical computations of minimal polynomial bases: A generalized resultant approach // Linear Algebra Appl., to appear.

77. Aravena J.L., Porter W.A. State representation for m-D systems with generalized causality structures. Mathematical system theory. New York: Springer, 1987.

78. Arscott F. V. Two-parameter eigenvalue problems in differential equations // Proc. London Math. Soc. 1964. V. 14, No. 3. P. 439-470.

79. Atkinson F. V. Multiparameter Eigenvalue Problems. Vol. 1. Matrices and Compact Operators New York: Academic Press, 1972.

80. Bailey P.B. The automatic solution of two-parameter Sturm-Liouville eigenvalue problems in ordinary differential equations // Appl. Math. Comput. 1981. V. 8. P. 251-259.

81. Basilio J.C., Kouvaritakis B. An algorithm for coprime matrix fraction description using Silvester matrix // Linear Algebra Appl. 1997. V. 266. P. 107-125.

82. Bhattia R., Bhattacharyya T. A Henrici theorem for joint spectra of commuting matrices. -Proc. Amer. Math. Soc. 118, No. 1, P. 2-44 (1993).

83. Bhattacharyya Т., Binding P.A., Seddighi K. Two-parameter right definite Sturm-Liouville problems with eigenparameter-dependent boundary conditions // Proc. R. Soc. Edinb., Sect. A, Math. 2001. V. 131, No. I. P. 45-58.

84. Biegler-Konig F. W. Sufficient conditions for the solubility of inverse problems // Linear Algebra Appl. 1981. V. 40. P. 89-100.

85. Binding P.A. Multiparameter root vectors // Proc. Edinburgh Math. Soc. 1989. V. 32. P. 19-29.

86. Binding P.A., Browne P.J. A variation approach to multiparameter eigenvalue problems for matrices // SIAM J. Math. Anal. 1977. V. 8, No. 5. P. 763-777.

87. Binding P.A., Browne P.J. A variation approach to multiparameter eigenvalue problems in Hilbert space // SIAM J. Math. Anal. 1978. V. 9, No. 6. P. 1054-1067.

88. Binding P.A., Browne P.J. Spectral properties of two parameter eigenvalue problems // Proc. Roy. Soc. Edinburgh,.Sect. A. 1981/ V. 89, No. 1/2. P. 157-173.

89. Binding P.A., Browne P.J. Two parameter eigenvalue problem for matrix // Linear Algebra Appl. 1989. V. 113. P. 139-157.

90. Binding P.A., Browne P.J. Application of two parameter eigencurves to Sturm-Liouville problems with eigenparameter-dependent boundary conditions // Proc. R. Soc. Edinb., Sect. A. 1995. V. 125, No.6. P. 1205-1218.

91. Binding P.A., Browne P.J., Huang Y.X., Picard R.H. On eigencurves of elliptic boundary value problems//Proc. R. Soc. Edinb., Sect. A. 1991. V. 118, No. 1/2. P. 161-171.

92. Binding P.A., Browne P.J., Ji X. A numerical method using the Priifer transformation for the calculation of eigenpairs of two-parameter Sturm-Liouville problems // IMA J. Nu-mer. Anal. 1993. V/13, No.4. P. 559-569.

93. Binding P.A., Browne P.J., Seddighi K. Two parameter asymptotic spectra // Result. Math. 1992. V. 21, No. 1/2. P. 12-23.

94. Binding P.A., Browne P.J., Seddighi K. Two parameter asymptotic spectra in the uniformly elliptic case//Result. Math. 1997. V. 31, No. 1-2. P. 1-13.

95. Binding P., Browne P.J., Tyrun L. Existence conditions for two parameter eigenvalue problems // Proc. Roy. Soc. Edinburgh, Sect. A. 1981. V. 91, No. 1/2. P. 15-30.

96. Binding P.A., Huang Y.X. Linked eigenvalue problems for the />Laplacian // Proc. R. Soc. Edinb., Sect. A. 1994. V. 124, No. 5. P. 1023-1036.

97. Binding P.A., Huang Y.X. The principal eigencurve for the /;-Laplacian // Differ. Integral Equ. 1995/ V/ 8, No.2. P. 405-414.

98. Binding P.A., Huang Y.X. Existence and nonexistence of positive eigenfunctions for the />Laplacian // Proc. Am. Math. Soc. 1995. V. 123, No. 6. P. 1833-1838.

99. Binding P.A., Huang Y.X. Two parameter problems for the p-Laplacian // Proc. of the first World congress of nonlinear analysts' 92. Berlin: de Gruyter. 1996. P. 891-900.

100. Binding P.A., Seddighi K. Elliptic multiparameter eigenvalue problems // Proc. Edinb. Math. Soc., II. Ser. 1987. V. 30. P. 215-228.

101. Binding P. A., Sleeman B.D. Spectral decomposition of uniformly elliptic multiparameter eigenvalue problems//J. Math. Anal. Appl. 1991. V. 154,No.l.P. 100-115.

102. Bisiacco M., Fornassini E., Marchesini G. 2D systems feedback comprensation: An approach based on commutative transformations // Linear Algebra Appl. 1989. V. 134. P. 135-150.

103. Bilmead R.R., Kung S.-Y., Anderson B.D.O. Generalized Greatest common matrices divisors via generalized Sylvester and Bezout matrices // IEEE Trans Automat. Control. 1978. V. AC-23, No. 6. P. 1043-1047.

104. Blum E.K. Numerical solution of eigentuple-eigenvalue problems in Hilbert spaces // Lect. Notes Math. 1979. V. 701. P. 80-96.

105. Blum E.K., Chang A.F. A numerical methods for the solution of the double eigenvalue problems // J. Inst. Math. Appl. 1978 V. 22, No. 1. P. 29-42.

106. Blum E.K., Chang A.F. Corrigendum to: "A numerical methods for the solution of the double eigenvalue problems" // J. Inst. Math. Appl. 1979. V. 23, No. 1.

107. Blum E.K., Curtis A.R. A convergent gradient method for matrix eigenvector-eigenvalue problems // Numer. Math. 1978. V. 31, No. 3. P. 247-263.

108. Blum E.K., Geltner P.B. Numerical solution of eigentuple-eigenvalue problems in Hilbert spaces by a gradient method // Numer. Math. 1978. V. 31, No. 3. P. 231-246.

109. Blum E.K., Reid G.J. On the numerical solution of three-dimensional boundary value problems by separation of variables // SIAM J. Numer. Anal. 1988. V. 25, No. 1. P. 75-90.

110. Blum E.K., Rodrigue G.H. Solutions of eigenvalue problems in Hilbert spaces by a gradient method // J. Comput. System Sci. 1974. V. 2. P. 220-237.

111. Bondyfalat D., Mourrain В., Pan V.Y. Controlled iterative methods for solving polynomial systems // ln: Proc. Int. Symp. Symbolic and Algebraic Comput. 1998. P. 252-259.

112. Bothe Z. Numerical solution of some two-parameter eigenvalue problems // Prepr. Ser. Dep. Math. Univ. Ljubljani, 1981, No. 19. P. 37-55.

113. Browne P.J. A multi-parameter eigenvalue problems // J. Math. Anal. Appl. 1972. V. 37, No. 3. P. 553-568.

114. Browne P.J. Two-parameter eigencurve theory // Pitman Res. Notes Math. Ser. 1989. V. 216. P. 52-59.

115. Browne P.J. Abstract multi-parameter theory. I // J. Math. Anal. Appl. 1977. V. 60, No. l.P. 259-273.

116. Browne P.J., Sleeman B.D. Analytic perturbation of multiparameter eigenvalue problems for ordinary differential equations // Quart. J. Math. Anal. Appl. 1979. V. 30, No. 119. P. 257-263.

117. Browne P. J., Sleeman B.D. Non-linear multiparameter eigenvalue problems for ordinary differential equations//J. Math. Anal. Appl. 1980. V. 77. P. 425-432.

118. Browne P.J., Sleeman B.D. A numerical technique for multiparameter eigenvalue problems // IMA J. Numer. Anal. 1982. V. 2, No. 4. P. 451 -457.

119. Browne P.J., Sleeman B.D. Inverse multiparameter eigenvalue problems for matrices. I // Proc. R. Soc. Edinb. 1985. Sect. A 100. P. 29-38.

120. Browne P.J., Sleeman B.D. Inverse multiparameter eigenvalue problems for matrices. II // Proc. Edinb. Math. Soc., II. 1986. Ser. 29, No.l. P. 343-348.

121. Browne P.J., Sleeman B.D. Inverse multiparameter eigenvalue problems for matrices. Ill // Proc. Edinb. Math. Soc., II. 1988. Ser. 31, No.l. P. 151-155.

122. Browne P.J., Sleeman B.D. Multiparameter deficiency index theory // Appl. Anal. 1988. V. 29, No. 1/2. P. 45-54.

123. Browne P. J., Sleeman B.D. Asymptotic estimates for eigenvalues of right definite two parameter Sturm-Liouville problems // Proc. Edinb. Math. Soc., II. 1993. Ser. 36, No. 3. P. 391-397.

124. Buzano E. A two-parameter spectral theorem // Ann. Math. Pure Appl. 1992. V. 161. P. 139-151.

125. Canny J.F., Kaltofen E., Lakshman Y.N. Solving systems of nonlinear polynomial equations faster // In: Proc. Int. Symp. Symbolic and Algebraic Comput. 1989. P. 121-128.

126. Chtxherba A.D., Kapur D. On the efficiency and optimality of Dixon-based resultant methods // In: Proc. Int. Symp. Symbolic and Algebraic Comput. 2002. P. 29-36.

127. Chtxherba A.D., Kapur D. Constructing Sylvester-type resultant matrices using the Dixon formulation // J. Symbolic Comput. 2004. V. 38, No. 1. P. 777-814.

128. Chtxherba A.D., Kapur D., Minimair M. Cayley-Dixon resultant matrices of multi-univariate composed polynomials // Lecture Notes in Computer Science. V. 3718 (Proc. 8lh Int. Workshop Computer Algebra in Sci. Сотр.). 2005. P. 125-137.

129. Chu M.T., Golub G.H. Inverse Eigenvalue Problems: Theory, Algorithms, and Applications. Oxford: University Press, 2005.

130. Collatz L. Multiparametric eigenvalue problems in inner-product spaces // J. Comput. System Sci. 1968. V. 2, No. 2. P. 333-341.

131. Conte G., Perdon A.M. A geometric approach to the theory of 2D-systems // IEEE Trans. Autom. Control. 1988. V. AC-33, No. 10. P. 946-960.

132. Corless R.M., Galligo A., Kotsireas I.S., Watt S.M. A geometric-numeric algorithm for absolute factorization of multivariate polynomials // In: Proc. Int. Symp. Symbolic and Algebraic Comput. 2002. P. 37-45

133. Cuit A. Pade approximants for operators: Theory and applications // Lect. Notes Math. 1984. V. 1065.

134. Debnath L, Verma R.U. On multiparameter spectral theory // Int. J. Math. Sci. 1991. V. 14, No. 4. P. 813-814.

135. Dennis J.E., Traub J.F., Weber R.P. Algorithms for solvents of matrix polynomials // SIAM J. Numer. Anal. 1978. V. 13, No. 5. P. 523-533.

136. Diaz A., Kaltofen E. On computing greatest common divisors with polynomials given by black boxes for their evaluations // In: Proc. Int. Symp. Symbolic and Algebraic Comput. 1995. P. 232-239.

137. Dickenstein A., Emiris I.Z. Multihomogeneous resultant matrices // In: Proc. Int. Symp. Symbolic and Algebraic Comput. 2002. P. 46-54.

138. Dickenstein A., Emiris I.Z. Multihomogeneous resultant formulae by means of complexes // J. Symb. Comput. 2003. V. 36, No. 3-4. P. 317-342.

139. Dickenstein A., Emiris I.Z. (Eds.) Algorithms and Computation in Mathematics. V. 14 (Solving Polynomial Equations: Foundations, Algorithms, and Applications). -Springer-Verlag, 2005.

140. Doedel E.J., Champneys, Fairgrieve T.F., Kuznetsov Yu.A., Sanstede В., Wang X.J. AUTO 2000: Continuation and bifurcation software for ordinary differential equations: User's Guide. Montreal, Concordia University: Technical report, 2001.

141. Dunford N. A spectral theory for certain operators on a direct sum of llilbert spaces // Math. Ann. 1966/ V. 162. H. 294-300.

142. Emiris I.Z., Canny J.F. A practical method for the sparse resultant // In: Proc. Int. Symp. Symbolic and Algebraic Comput. 1993. P. 183-192.

143. Emiris I.Z., Canny J.F. Efficient incremental algorithms for the sparse resultant and the mixed volume//J. Symbolic Comput. 1995. V. 20, No. 2. P. 117-150.

144. Emiris I.Z, Mourrain В., Pan V.Y. Algebraic and numerical algorithms // Theor. Comput. Sci. 2000. V. 315, No. 2-3. P. 307-308.

145. Emiris I.Z., Pan V.Y. Symbolic and numeric methods for exploiting structure in constructing resultant matrices // J. Symbolic Comput. 2002. V. 33, No. 4. P. 393-413.

146. Emiris I.Z., Pan V.Y. Improved algorithms for computing determinants and resultants // J. Complexity. 2005. V. 21, No. 1. P. 43-71.

147. Faierman M. An eigenfunction expansion associated with a two-parameter system of differentional equations. I // Proc. R. Soc. Edinb. 1981. Sect. A 89, No. 1/2. P. 143-155.

148. Faierman M. On the distribution of the eigenvalues of a two-parameter system of ordinary differential equations of the second order // SIAM J. Math. Anal. 1977. V. 8, No. 5. P. 854-870.

149. Fornassini E., Marchesini G. Doubly indexed dynamical systems: State space models and structural properties//Math. Syst. Theory. 1978. V. 12. P. 59-72.

150. Forney G.D. Minimal bases of rational vector spaces with applications to multivariable linear systems // SIAM J. Control. 1975. V. 13, No. 3. P. 493-520.

151. Fox L., Hayes L., Mayers D.F. The double eigenvalue problems // In: Topics in Numerical Analysis. (Proc. Royal Irish Academy Conf. Numer. Anal., 1972) Acad. Press, 1973.

152. Friedland S., Nocedal J., Overton M.L. The formulation and analysis of numerical methods for inverse eigenvalue problems // SIAM J. Numer. Anal. 1987. V. 24. P. 634-667.

153. Gakowski K. State-Space Realization of Linear Systems with Extensions to the General nD (n>2) Case. London: Springer-Verlag, 2001.

154. Gao S. Factoring multivariate polynomials via differential equations // Math. Comput. 2003. V. 72. P. 801-822.

155. Gao S., Kaltofen E., May J., Yang Z, Zhi L Approximate factorization of multivariate polynomials via differential equations // In: Proc. Int. Symp. Symbolic and Algebraic Comput. 2004. P. 167-174.

156. Gao S., Lauder A.G.B. Decomposition of polytopes and polynomials // Discrete Comput. Geometry . 2001. V. 26. P. 89-104.

157. Gao S., Lauder A.G.B. Hensel lifting and polynomial factorization // Math. Comput. 2002. V. 71. P. 1663-1676.

158. Gelfand I.M., Kapranov M.M., Zelevinsky I. Discriminants, resultants and multidimensional determinants. Boston: Birkhauser, 1994.

159. Gertrude B. Mathieu function in Handbook of Mathematical Function. Nat. Bur. Stan-darts Appl. Math. Ser. 55. Washington, 1964.

160. Giusti M, Lecerf G., Salvy B. A Grobner free alternative for polynomial system solving //. J. Complexity. 2001. V. 17, No. 1,P. 154-211.

161. Gohberg I, Lancaster P., Rodman L. Quadratic matrix polynomials with a parameter // Operator Theory: Advances and Applications. 1983. V. 8.

162. Gohberg I, Lancaster P., Rodman L. Matrices and Indefinite Scalar Products // Operator Theory: Advances and Applications. 1986. V. 7. P. 253-281.

163. Golub G.H., Kahan W. Calculating the singular values and pseudoinverse of matrix // J. SIAM Numer. Anal. 1965. Ser. B2, No. 2. P. 205-224.

164. Grabmeier J., Kaltofen E., Weispfenning V. (eds.) Computer Algebra Handbook. -Heidelberg: Springer Verlag, 2002.

165. Gredus M., Neuman F., Arscott F.H. Three-point boundary value problems in differential equations.-. London Math. Soc. 1971. V. 3, No. 2. P. 429-436.

166. Greuel G.-M., Pfister G., Schonemann II Singular A computer algebra system for polynomial computations // In: Symbolic Computation and Automated Reasoning (eds. Kerber M., Kohlhase M.). The Calculemus-2000 Symposium. 2001. P. 227-233.

167. Hadeler K.P. Mehrparametrige und nichtlineare eigenwertaufgaben. // Archive Rat. Mech. Anal., 1967.

168. Hargrave B.A., Sleeman B.D. The numerical solution of two-parameter eigenvalue problems in ordinary differential equations with an application to the problem of diffraction by a a plane angular sector // J. Inst. Math. Appl. 1974. V. 14. P. 9-22.

169. Hochstenbach M.F., Plestenjak B. A Jacobi Davidson type method for a right definite two-parameter eigenvalue problem // SIAM J. Matrix Anal, and Appl. 2002. V. 24, No. 2. P. 392-410.

170. Ji X. A two-dimensional bisection method for solving two-parameter eigenvalue problems // Int. J. Comput. Math. 1991. V. 39, No. 1. P. 109-123.

171. Ji X. An iterative method for the numerical solution of two-parameter eigenvalue problems // SIAM J. Matrix Anal, and Appl. 1992. V. 13, No. 4. P. 1085-1093.

172. Kaczorek T. Two-dimensional linear systems. New York: Springer-Verlag, 1985.

173. Kaczorek T. Singular general model of 2-D systems and its solutions // IEEE Trans Automat. Control. 1988. V. AC-33, No. 11. P. 1060-1061.

174. Kaczorek T. Linear Control Systems. V. 2 New York: Wiley, 1992.

175. Kaczorek T. Singular of 2-D continuous-discrete linear systems: Dynamics of continuous, discrete and impulse systems // In: Advances in Systems Sciences and Applications. 1995. P. 103-108.

176. Kaczorek Т. Positive 1D and 2D Systems. London: Springer-Verlag, 2002.

177. Kaczorek T. Structure decomposition of normal 2D transfer matrices // Bull. Acad. Pol. Sci. Techn. 2004. V. 52, No. 4. P. 353-357.

178. Kaczorek T. Generalization of Gayley-Hamilton theorem for n-D polynomial matrices // IEEE Trans Automat. Control. 2005. 50, No. 5. P. 671-674.

179. Kaczorek T. Elimination of anticipation of a class of singular 2D Roesser models systems and its solutions // Multidimensional Systems and Signal Processing. 2005. V. 16. P. 237-250.

180. Kaczorek T. Reachability and minimal energy control of positive 2D systems with delays // Control and Cybernatics. 2005. V. 34, No. 2. P. 411-423.

181. Kaczorek Т., Buslowich Minimal realization for positive multivariable linear systems with delay // Int. J. Appl. Math. Comput. 2004. V. 14, No. 2. P. 181-187.

182. Kailath T. Linear systems. Prentice Hall, 1980.

183. Kalaba R., Springarn K, Tesfatsion L. Variational equations for the eigenvalues and eigenvectors of nonsymmetric matrices // J. Optimiz. Theory Appl. 1981. V.33, No. 1. P. 1-8.

184. Kalaba R., Springarn K, Tesfatsion L. Individual tracking of an eigenvalue and eigenvector of a parametrized matrix // Non-linear Anal. Theory, Meth. and Appl. 1981. V. 5, No. 4. P. 337-340.

185. Kalman R. E. Irreducible realization and the degree of rational matrix // SIAM J. Appl.Math. 1965. V. 13, No. 2. P. 520-544.

186. Kaltofen E. Polynomial factorization: a success story // In: Proc. Int. Symp. Symbolic and Algebraic Comput. 2003. P. 3-4.

187. Kaltofen E., May J. On approximate irreducibility of polynomials in several variables // In: Proc. Int. Symp. Symbolic and Algebraic Comput. 2003. P. 161-168.

188. Kaltofen E., Trager B. Computing with polynomial given by black boxes for their evaluations: Greatest common divisors, factorization, separation jf numerators and denominators // J. Symbolic Comput. 1990. V. 9, No. 3. P. 301-320.

189. Kapur D., Lakshman Y.N. Elimination Methods: an Introduction. Symbolic and Numerical Computation for Artificial Intelligence Academic Press, 1992.

190. Kapur D., Saxena T. Comparison of various multivariate resultant formulations // In: Proc. Int. Symp. Symbolic and Algebraic Comput. 1995.: P. 187-194

191. Kapur D., Saxena T. Extraneous factors in the Dixon resultant. // In: Proc. Int. Symp. on Symbolic and Algebraic Computation. 1997. P. 141-148.468

192. Kallstrom A., Sleeman B.D. An abstract multiparameter eigenvalue problem // Uppsala Univ. Rep. 1975. No. 2.

193. Konstantinov A. Yu. Eigenfunction expansion of right definite multiparameter problems // Math. Results Quantum Mech.: Int. Conf., Blossin, 1993. Basel, 1994, 343-346.

194. Khazanov V.B. A resultant approach to solving the parametric problems of algebra // In: Abstracts of Int. Conf. on Matrix Methods and Operator Equations, Moscow. 2005. P. 18.

195. Kublanovskaya V.N. Rank division algorithms and their applications // J. Numer. Lin. Algebra Appl. 1992. V. 1, No. 2. P. 199-213.

196. Kublanovskaya V.N., Khazanov V.B. The application of the unimodular matrices for solving the parameter problems of algebra // In: Abstracts of Int. Conf. on Matrix Methods and Operator Equations, Moscow. 2005. P. 17.

197. Lancaster P. Lambda-matrices and vibrating systems. Pergamon Press, 1966.

198. Lewis R.H., Bridgett S. Conic tangency equations and Apollonius problems in biochemistry and pharmacology // Math. Comput in Simulation. 2003. V. 61, No. 2. P. 101-114.

199. Lewis R.H., Stiller P.F. Solving the recognition problem for six lines using the Dixon resultant // Math. Comput in Simulation. 1999. V. 49, No. 3. P. 205-219.

200. Li T. Y. Numerical solution of polynomial systems by homotopy continuation methods // In: Handbook of Numerical Analysis. V. (Cucker F., ed.). North-Holland, 2003. P. 209-304.

201. Manocha D. Computing selected solutions of polynomial equations // In: Proc. Int. Symp. Symbolic and Algebraic Comput. 1994. P. 1-8.

202. Manocha D., Canny J. Multipolynomial resultant algorithms // J. Symbolic Comput. 1993. V. 15, No. 2. P. 99-122.

203. McChee D.F., Roach G.F. The spectrum of multiparameter problems in Hilbert space // Proc. R. Soc. Edinb. 1981. Sect. A 91, No. 1-2. P. 31-42.

204. McMillan B. Introduction to formal realizability theory. 1 and 2 // Bell. Syst. Techn. J. 1952. V. 31. P. 217-279, 541-640.

205. Minimair M. Dense resultant of composed polynomials: Mixed-mixed case // J. Symbolic Comput. 1997. V. 36, No. 6. P. 825-834.

206. Minimair M. Sparse resultant under vanishing coefficients // Int. J. Algebr. Combin. 2003. V. 18, No. l.P. 53-73.

207. Minimair M. Factoring sparse resultant of linearly combined polynomials // In: Proc. Int. Symp. Symbolic and Algebraic Comput. 2003. P. 207-214.

208. Mourrain В., Pan V. У. Asymptotic acceleration of solving multivariate polynomial systems of equations // In: Proc. of 13th ACM Simp. Theory Comput. 1998. P. 488-496.

209. Mourrain В., Pan V.Y., Ruatta O. Accelerated solution of multivariate polynomial systems of equations // SIAM J. Comput. 2003. V. 32, No. 2. P. 435-454.

210. Miiller R.F. Discretization of multiparameter eigenvalue problems // Numer. Math. 1982. V. 40, No. 3. P. 319-328.

211. Miiller R.F. Numerical solution of multiparameter eigenvalue problems // Z. Angew. Math. Mech. 1982. V. 62, No. 12. P. 681-686.

212. Miiller R.F. Computations of holomorphic multiparameter eigenvalue problems // SIAM J. Numer. Anal. 1984. V. 21, No. 2. P. 373-387.

213. Peters G., Wilkinson J.H. Inverse iteration, ill-conditional equations and Newton's method // SIAM Review. 1979. V. 21, No. 3. P. 339-360.

214. Reeinboldl W.C. On the computation of multidimensional solution manifolds of parametrized equations//Numer. Math. 1988. V. 53. P. 339-360.

215. Roach G.F., Sleeman B.D. Generalized multiparameter spectral theory // Proc. Conf. Funct. Theor. Meth. in Partial Diff. Eqs., 1976, Springer-Verlag. P. 394-411.

216. Rosenbrock H. H. Generalized resultant // Electron. Lett. 1968. V. 4. P. 250-251.

217. Rosenbrock H. State-space and multivariable theory. London: Nelson, 1970.

218. Rynne B.P., Sleeman B.D. Bloch waves and multiparameter spectral theory // Proc. R. Soe. Edinb. 1983. Sect. A 95. P. 73-93.

219. Sasaki T. Approximate multivariate polynomial factorization based on zero-sum relations // In: Proc. Int. Symp. Symbolic and Algebraic Comput. 2001. P. 284-291.

220. Shoup V. A new polynomial factorization algorithm and its implementations // J. Symbolic Comput. 1995. V. 20, No. 4. P. 363-397.

221. Sleeman B.D. Multiparameter spectral theory in Hilbert space // Res. Notes Math. 1983. No. 22).

222. Sleeman B.D. The two parameter Sturm-Liouville problem for ordinary differential equations//Proc. Roy. Soc. Edinb. 1971. V. 10. P. 139-148.

223. Slivnik Т., Tomdic G. A numerical method for multiparameter eigenvalue problems // 4th Conf. Appl. Math., Split, May 28-30,1984. Split, 1985. P. 65-71.

224. Slivnik Т., Tomdic G. A numerical method for the solution of two-parameter eigenvalue problems//J. Comput. Appl. Math. 1986. V. 15, No. 1. P. 109-115.

225. Sommese A.J., Wampler C. W. The Numerical solution of systems of polynomials arising in engineering and science. Singapore: World Scientific Press, 2005.

226. Sommese A.J., Verschelde J., Wampler C.W. Introduction to Numerical Algebraic Geometry // In: Solving Polynomial Equations: Foundations, Algorithms, and Applications. Springer-Verlag, 2005. P. 339-392.

227. Spence A., Jepson A. Numerical technique for nonlinear multi-parameter problems // Lect. Notes Math. 1984. V. 1066. P. 169-185.

228. Sun J.-G. An algorithm for the solving of multiparameter eigenvalue problems. I // Math. Numer. Sin. 1986. V. 8, No. 2. P. 137-149.

229. Sun J.-G. An algorithm for the solving of multiparameter eigenvalue problems. II // Math. Numer. Sin. 1986. V. 8, No. 4. P. 354-363.

230. Sun J.-G. Multiple eigenvalue sensitivity analysis // Linear Algebra Appl. 1990. V. 137138. P. 183-211.

231. Sun J.-G. On the sensitivity of semisimple multiple eigenvalues // J. Comput. Math. 1992. V. 10, No. 3. P. 193-203.

232. Sun J.-G. Backward errors for the inverse eigenvalue problems // Numer. Math. 1999. V. 82, No. 2. P. 339-349.

233. Takayama N. An approach to the zero recognition problem by Buchberger algorithm // J. Symbolic Comput. 1993. V. 14, No. 3. P. 265-282.

234. Verschelde J. Algorithm 795: PHCPack A general-purpose solver for polynomial systems by homotopy continuation // ACM Trans. Math. Soft. 1999. V. 25, No. 2. P. 251276.

235. Volkner H. On multiparameter theory // J. Math. Anal. Appl. 1982. V. 86. P. 14-53.

236. Volkner H. On an expansion theorem of F.V.Atkinson and P.Binding // S1AM J. Math. Anal. 1987. V. 18, No. 6. P. 1669-1680.

237. Volkner H. Multiparameter eigenvalue problems and expansion theorems. -New York: Springer Verlag, 1988.

238. WallackA., Emiris I.Z., Manocha D. MARS: A Maple/Matlab/C resultant based solver // In: Proc. Int. Symp. Symbolic and Algebraic Comput. 1998. P. 244-251.

239. Wolovich W.A. Linear multivariable systems. New York: Springer Verlag, 1974.