Квантовые деформации аффинных алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

..»V ./

¿2

^ /■ ¡у

А о'М'и^-гш/о 5"

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ -

ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ

ФИЗИКИ

Президиум ВАК России |1

|| (1хщ1ениеот"13_"'ОЬ _ 89 , ^

присудил учекуг ^ , * * '

: ( ' * ' " ;

на правах рукописи УДК 530-145

злшЛЬЯДК УП

ХОРОШКИН Сергей Михайлович

КВАНТОВЫЕ ДЕФОРМАЦИИ АФФИННЫХ АЛГЕБР

Специальность 01.01.03 - математическая физика

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1998

Оглавление

0 Введение 4

1 Квантовые аффинные алгебры 27

1.1 Обзор теории базисов Картана-Вейля........... 27

1.2 Квантовая аффинная алгебра СТ^Ь) ............. 39

1.2.1 Базис Картана-Вейля алгебры ^(вЬ) ....................39

1.2.2 Связь с образующими Дринфельда ......................44

1.2.3 Универсальная /^-матрица.......'....................50

1.3 Квантовая аффинная алгебра 1/д(§)............................57

1.3.1 Базис Картана-Вейля и реализация Дринфельда ... 57

1.3.2 Универсальная Д-матрица и ее характеры....... 63

2 Дубль Янгиана 70

2.1 Дубль Янгиана (с = 0)....................... 70

2.1.1 Алгебраическое описание....................................70

2.1.2 Треугольное разложение и хопфово спаривание .... 74

2.1.3 Универсальная Л-матрица..................................80

2.2 Центральное расширение .цубля янгиана..................89

2.2.1 Конструкция центрального расширения......... 89

2.2.2 Базисные представления 12) ............. 97

2.3 Приложения к ¿'¿/^-инвариантной модели Тирринга 99

2.3.1 Представление алгебры Фадцева-Замолодчикова ... 99

2.3.2 Следы сплетающих операторов..............103

2.4 Квантование других рациональных г-матриц......109

3 Эллиптическая алгебра в непрерывном пределе 119 3.1 Определение и свойства алгебры Л^зЬ) .........119

3.1.1 Определение алгебры «Д^вЬ)...............119

3.1.2 ¿-операторный формализм.................124

3.1.3 Полные токи и коумножение................130

3.1.4 Классическии предел........ ............135

3.2 Представления алгебры A,i(sl2)................142

3.2.1 Конечномерные представления..............142

3.2.2 Представление в пространстве Фока (уровень 1) ... 144

3.2.3 Алгебра Фаддеева-Замолодчикова

модели Синус-Гордон....................148

3.3 Рациональное вырождение...................153

4 Деформации алгебр токов и задача Римана 160

4.1 Деформированные алгебры токов . . . ...........160

4.1.1 Корневые токи и автоморфизмы..............162

4.1.2 Интегральная форма универсальной Д-матрицы ... 173

4.1.3 Сингулярные Д-матрицы и //-операторы........184

4.1.4 Янгианная версия ......................191

4.2 Квантование аффинных алгебр и задачи Римана для деформированных токов.....................196

5 Заключение 208 Литература ........................................................ 210

О Введение

1. В настоящее время считается общепризнанным тот факт, что симметрии двумерной интегрируемой квантовой теории поля и статистической механики образуют алгебры, существенно отличающиеся от таковых, возникающих из теории групп и алгебр Ли. Первые шаги в понимании этого были сделаны в знаменитой работе Г.Бете [1И]. Огромный вклад в исследование симметий точно решаемых моделей принадлежит Р.Бакстеру [Вах]. Большинство из используемых в настоящее время в интегрируемых моделей статистичесакой физики стуктур присутствуют в том или ином виде в его работах.

Большими импульсами в развитии теории интегрируемых моделей явили-сись конструкция Замолодчиковых [ZZ1] точной ¿"-матрицы рассеяния солито-нов в квантовой модели Синус-Гордон и работы В.Е.Корепина, А.Г.Изергина и соавторов [КВ1] по вычислениям корреляционных функций интегрируемых квантовых моделей.

Важнейшим этапом в развитии современного алгебраического подхода явилось создание Л.Д.Фаддеевым и его школой квантового метода обратной задачи (КМОЗ). Квантовый метод обратной задачи [ЕТ1] соединил в себе геометрический и аналитический аппарат классического метода обратной задачи, возникшего при решении классических интегрируемых систем (Захаров, Новиков и др. ^]УШР]) с техникой Бакстера расчетов квантовых систем на решетках. Все дальнейшее развитие теории квантовых интегрируемых систем обязано идеям и методам, развитым в работах Л .Д.Фаддеева, П.П.Кулиша, Н.Ю.Решетихина, Е.К.Склянина, М.А.Семенова-Тян-Шанско-го, Л.А.Тахтаджяна и других участников Ленинградской школы математической физики.

В.Г.Дринфельд и М.Джимбо [1)1], [02], [Л], [32] формализовали математический аппарат квантового метода обратной задачи в рамках теории квантовых групп. Естественным языком для этого оказался язык алгебр Хопфа и тензорных категорий. Одним из первых примеров Дринфельда был янгиан [02], являющийся деформацией алгебры полиномиальных функций со значения-

ми в простой алгебре Ли. Оказалось, что в терминах янгиана Y(g) может быть проведено квантование невырожденного рационального решения Янга классического уравнения Янга-Бакстера, причем одновременно во всех представлениях алгебры Ли g. Более того, В.Г.Дринфельдом и М.Джимбо было дано общее определение квантованной универсальной обертывающей алгебры Ли, (в дальнейшем для краткости именуемой иногда квантованной алгеброй Ли), применимое, в частности, к аффинным алгебрам Ли. Квантованные алгебры Ли стали объектом интенсивного исследования как со стороны физиков, так и со стороны математиков в течение последующего десятилетия, что выразилось в конце концов в образование отдельной математической дисциплины. Отметим, что первый пример квантовой группы принадлежит П.П.Кулишу и Н.Ю.Решетихину [KuR].

Конструкция квантованных универсальных обертывающих алгебр была, тем не менее, жестко привязана к структуре алгебр Каца-Муди в терминах образующих Шевалле и соотношений Серра. В частности, она не отражала специфику аффинных алгебр Ли как центрально-расширенных алгебр токов, что крайне важно в физических приложениях. Этот недостаток был в какой-то мере устранен в работах Ленинградской школы. Вначале Л.Д.Фаддеев, Н.Ю.Решетихин и Л.А.Тахтаджян [RTF] переложили формулировку квантованных алгебр Ли на язык L-операторов, происходящий из КМОЗ. Наконец, Н.Ю.Решетихин и М.А.Семенов-Тян-Шанский [RST] предложили аналогичное описание для центрально-расширенной деформированной алгебры токов. С другой стороны, В.Г.Дринфельд предложил описание квантовой аффинной алгебры, аналогичное классической реализации центрально-расширенной алгебры токов (т.н. "новая реализация" [D3]).

Алгебраическая структура и теория представлений квантовой аффинной алгебры были глубоко изучены различными методами. В частности, теория квантованных базисов Картана-Вейля была обобщена В.Н.Толстым и автором предлагаемой работы [ТК] на случай квантовых аффинных алгебр. Это обобщение привело к явному построению универсальной й-матрицы для квантовых аффинных алгебр, иными словами, к явному квантованию тригонометрическо-

го решения классического уравнения ЯБ. С другой стороны, "новая реализация" Дринфельда позволила изучить бесконечномерные интегрируемые представления аффинных алгебр; реализация Решетихина и Семенова-Тян-Шанского была использована И.Б.Френкелем и Н.Ю.Решетихиным (РК] для вывода квантового аналога уравнения Книжника-Замолодчикова на матричные элементы произведений сплетающих операторов. Весьма нетривиальными оказываются взаимосвязи между различными реализациями квантовой аффинной алгебры [Веск2], [БЕ], [КТ4].

Теория интегрируемых представлений квантовой аффинной алгебры была успешно применена к исследованию квантовой модели XXZ магнетика Гейзенберга в работах М.Джимбо, Т.Мива и соавторов [БРЛШЧ]. Одним из ключевых моментов в этих работах явилась возможность реализации коммутационных соотношений соответствующей алгебры Фаддеева-Замолодчи-кова сплетающими операторами между тензорными произведениями интегрируемых представлений; так что следы произведений сплетающих операторов удовлетворяют аксиомам формфакторов производящих функций локальных операторов по Ф.А.Смирнову [Бий].

Аналогом квантовой аффинной алгебры для теорий с рациональными Я-матрицами является квантовый дубль янгиана. В отличие от квантовой аффинной алгебры, дубль янгиана не является контрагредиентной алгеброй и не может быть задан с помощью образующих Шевалле и соотношений сер-ра. Тем не менее, имеется явная конструкция его бесконечномерных представлений, являющаяся деформацией классических реализаций аффинных алгебр свободными полями. Соответствующие сплетающие операторы в случае дубля янгиана алгебры Ли з12 удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Фаддеева-Замолодчикова 311(2)- инвариантной модели Тирринга и допускают явное описание, что позволяет применить их для описания форм-факторов локальных операторов этой модели [КЬРЗ].

Дальнейшие исследования показали, что симметрии более общих двумерных квантовых интегрируемых моделей образуют более изощренные деформации бесконечномерных алгебр Ли. Так, алгеброй Фаддеева-Замолодчикова

восьмивершинной модели управляет эллиптическая деформация аффинной алгебры, введенная Джимбо и Мива и соавторами [Е1ЖМУ1], [ИЛКМУ2] в 1992 году; соответствующие КБОБ модели описываются в рамках теории представлений эллиптической алгебры динамического типа, введенной Д.Фельде-ром [Ре]; интегрируемые модели теории поля типа Синус-Гордон требуют привлечения непрерывного аналога эллиптических алгебр [КЬР4], а динамика бризерных состояний в этих моделей тесно связана с теорией представлений д-деформации алгебры Вирасоро [АКОБ], [РЕ].

Применение теории представлений деформированных бесконечномерных групп и алгебр Ли в изучении интегрируемых моделей теории поля и статистической физики происходит по двум направлениям, с одной стороны, используется первоначальная идея КМОЗ построения семейства коммутирующих операторов (трансфер-матриц) по конечномерным представлениям квантованных алгебр. При этом использование полной группы симметрий дает возможность строить собственные состояния гамильтонианов, а нетривиальная тензорная структура категории конечномерных представлений позволяет выписывать функциональные соотношения на трансфер-матрицы [К^Э], [В1^1],

[вьгз].

С другой стороны, применение метода угловой трансфер-матрицы для модели на решетке [ЛМ1] и углового квантования в теории поля [ВгЬ] позволяет отождествить полное пространство состояний модели с пространством эндоморфизмов некоторого бесконечномерного представления квантовой алгебры. При этом асимптотические состояния модели выражаются в терминах сплетающих операторов между тензорными произведениями бесконечномерных и конечномерных представлений. Такая интерпретация позволяет в ряде случаев реализовать явно основные операторы теории и вычислить формфак-торы локальных операторов между асимптотическими состояниями.

Отметим также, что в наиболее полной форме исследование и применение симметрий квантовых систем было проведено, начиная с работы [BPZ], в конформных теориях поля. С математической точки зрения это выразилось в детальном изучении и пременениях теории представлений алгебры Вира-

copo. Однако, до недавнего времени методы изучения конформных теорий и интегрируемых массивных теорий поля, о которых и будет идти речь в дальнейшем, существенно различались. Результаты недавних работ [BLZ1], [BLZ2], [BLZ3], [BLZ4], [BBS], [Sm5], позволяют надеяться на создание в скором будущем единой теории квантовых интегрируемых систем, объединяющей методы конформной теории, квантовых деформаций бесконечномерных алгебр Ли и алгебро-геометрических методов решения классических динамических систем.

2. Опишем вкратце основные понятия и методы, используемые в диссертации. В соответствии с названием диссертация посвящена изучению различных "квантовых" деформаций аффинных алгебр Ли, их теории представлений с приложениями к квантовым моделям двумерной теории поля и статистической физики. Аппарат теории представлений аффинных алгебр Ли является одним из важнейших инструментов в исследовании классических динамических интегрируемых систем [FT2], [DJKM], [Kl], [KKL]. Аналогично, квантовые деформации аффинных алгебр Ли порождают большие алгебры симметрий квантовых интегрируемых двумерных систем и позволяют поэтому получить значительную информацию о поведении этих систем. Основными применениями квантовых деформаций аффинных алгебр на данный момент являются:

(i) построение решений квантового уравнения Янга-Бакстера, ассоциированных с представлениями алгебры Ли g высших спинов;

(ii) конструкция коммутирующего семейства квантовых интегралов движения; (Ш) конструкция вершинных операторов, чьи следы и матричные коэффициенты описывают формфакторы локальных операторов и другие характеристики корреляционных функций модели.

Из этих трех задач мы изучаем первую и третью. Построение квантовых интегралов движения связано с изучением двойственной алгебры Хопфа (квантованной алгебры функций), которую мы в данной работе не рассматриваем.

Напомним, что аффинная (нескрученная) алгебра Ли § является бесконечномерной алгеброй Ли, которая может быть описана двумя различными способами. С одной стороны, это контрагредиентная градуированная алгебра Ли конечного роста, определяемая каноническими коммутационными соотношениями [К1] на образующие Шевалле е¿, /¿, /гг-, г = 0,1,..., г по заданной сим-метризуемой матрице Картана А параболического типа. С другой стороны, алгебра § может быть описана как центральное расширение алгебры Ли полиномиальных функций со значениями в простой алгебре Ли g. Аналогичные описания имеются и для квантовых деформаций аффинных алгебр.

Наиболее известные квантовые деформации аффинных алгебр - квантовые аффинные алгебры 6Г9(§) и янгианы У^) естественно возникают в рамках квантового метода обратной задачи. Так, янгиан является алгеброй, порожденной матричными коэффициентами ¿-оператора Ь(и), удовлетворяющего уравнению

Я(и — ь)Ь1(и)Ь2{у) = Ь2(у)Ь1(и)11(и — и),

где Щи) = 1 + Р/и- простейшее решение Янга квантового уравнения Янга-Бакстера. Здесь Р - оператор перестановки в тензорном квадрате С14 ® С1*1, Ь^и) = Ь{и) ® 1, Ь2(у) = 1 <8> Квантовая аффинная алгебра £/д(з1м)

получается применением конструкции квантового дубля [Б1] к алгебре матричных коэффициентов, удовлетворяющих аналогичному уравнению Янга-Бакстера с простейшей тригонометрической квантовой /^-матрицей. Следуя [ЯЭТ], ее можно описать системой уравнений

q-detL±(z) = 1

где

При этом матрица Ь+(и) аналитична в бесконечности, оо) = 0 для i < j^, Ь~(и) аналитична в нуле, ¿¿¿(О) = 0 для г > з, Ь%(оо)Ь^(0) = 1.

Многообразие решений квантового уравнения Янга-Бакстера, ассоциированных с различными конечномерными представлениями простой алгебры Ли g, описывается конструкцией Дринфельда [Б1] универсальной Н-матрицы, примененной к данной деформации аффинной алгебры Согласно [01], уни-веральная Д-матрица алгебры Хопфа А определяется как элемент % некоторого пополнения А ® А, удовлетворяющий условиям

Д'(а) = ПА(а)П-\ а е ид{ё) , (1)

(А ® 16)11 = 7г13тг23, (»<* ® А)7г = тг13тг12, (2)

где Д - коумножение в А, А' - противоположное коумножение: А' = РА, Р(а® Ь) = Ъ 0 а. Основная известная конструкция построения универсальной Я-матрицы использует отождествление алгебры Хопфа А с квантовым дублем подагебры Хопфа А+, так что является каноническим тензором спаривания А+ с дуальной алгеброй А\ с противоположным коумножением: % = е% ® е1.

Таким образом, для построения, к примеру, универсальной Д-матрицы для квантовой аффиной алгебры необходимо построить полный линейный

базис е,- квантованной Борелевской подалгебры £79(Ь+) и вычислить дуальный базис ег в дуальной алгебре IIч{Ь_). Этот базис е,- строится как деформация базиса Картана-Вейля универсальной обертывающей алгебры £/(§). Конструкция квантованного базиса Картана-Вейля не заложена в определение квантовой аффиной алгебры. Для его построения используется определение и (%) в терминах образующих Шевалле, принадлежещее Дринфельду [01] и Джимбо [Л], [Л2]. Процедура построения базиса определяется ^-коммутаторным алгоритмом, использующим теорию нормальных порядков систем корней [АвЬ], [КТЗ]. Отдельного рассмотрения требуют мнимые корни.

Аналогичная рациональная теория требует введения квантового дубля ян-гиана БУ(^) простой алгебры Ли g и развития теории базисов Картана-Вейля в дубле Янгиана. Здесь ситуация еще более сложная, чем в случае квантовой афииной алгебры, связанной с тригонометрическими решениями уравнения Янга-Бакстера. Дубль Янгиана не является конечнопорожденной алгеброй и описание его в терминах образующих Шевалле отсутствует. Тем

не менее, частично (а в случае БУ(в12) - полностью) поставленную задачу можно разрешить и здесь. Более того, для построения нетривиальных представлений необходима конструкция центрального расширения дубля янгиана. В обоих случаях конечное выражение для универсальной /¿-матрицы описывается в форме упорядоченного бесконечного произведения, которое, несмотря на довольно сложную структуру, успешно применяется в конкретных конечномерных представлениях квантованных аффинных алгебр.

В том же частном случае з12 мы предъявляем квантование нестанд