Квантовые аффинные алгебры и янгианы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

ШАПИРО Александр Михайлович

КВАНТОВЫЕ АФФИННЫЕ АЛГЕБРЫ И ЯНГИАНЫ

Специальность 01.01.Об - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

005047015

УДК 512.81

2 О СЕН 2012

Москва 2012

005047015

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Научные руководители:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Хорошкин Сергей Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор Зайцев Михаил Владимирович

Неретин Юрий Александрович, доктор физико-математических наук, профессор Институт теоретической и экспериментальной физики имени А. И. Алихапова, старший научный сотрудник

Пакуляк Станислав Здиславович, доктор физико-математических наук Учебно-научный центр Объединенного института ядерных исследований, директор

Математический институт имени В.А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 28 сентября 2012 г. п 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.84 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ имени М. В. Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова (Глапное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 28 августа 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.84 при МГУ, доктор физико-математических наук,

профессор ^^ А. О. Иванов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертация посвящена изучению алгебраической структуры и теории представлений некоторых квантовых аффинных алгебр и янгнанов. Оба типа исследуемых объектов являются квазитреугольными алгебрами Хопфа. Иными словами, оба типа алгебр допускают реализацию, н которой их образующие собраны в матричнозначные производящие функции, удовлетворяющие уравнению Янга-Бакстсра. Квазнтре-уголыгые алгебры Хопфа активно изучались, начиная с 1970-х годов XX века, после того, как Бакстер, 1,2 используя теорию представлений квантового варианта аффинной алгебры 5Î2, вывел нетривиальное обобщение анзатца Бете 3 и успешно использовал его для решения задач квантовой и статистической физики.

В первой главе диссертации изучается скрученная квантовая аффинная алгебра Uq(Aj2'). Впервые алгебра Uq(A^) появилась п физических работах 4 в качестве группы симметрий квантовой версии модели Шабата-Михайлова, также известной под именем модели Изергипа-Корепина. Позднее 5,6 па алгебру Uq(A¿2') была распространена техника Бете-анзатца. Классификация 7 конечно-мерных представлений алгеб-(2)

ры Uq{AK2") была получена Чари и Пресли. Кроме того, в работах Дин-га, Толстого и Хорошкина 8,9 были изучены различные описания алгебры Uq(A\ ), структуры алгебры Хопфа и связи между ними.

1R. Baxter, Partition function of the eight-vertex lattice model, Ann. Phys. 70 (1972), 193-228.

2R. Baxter, One-dimensional anisotropic Heisenberg chain, Ann. Phys. 70 (1972), 323-337.

3H. Bethe, Zur Theorie der Metalle. f. Eigenwerte und Eigenfunktionen Atomkette, Zeitschrift fur Physik 71: 3-4 (1931), 205-226.

4 A. Izergin, V. Korepin. The inverse scattering method approach to the quantum Shabat-Mikhailov model. Comm. Math. Phys. 79 (1981), No.3, 303-316.

°V. Tarasov. Algebraic Bethe ansatz for the Izergin-Korepin R-matrix. Theor. and Math. Phys. 76 (1988), No.2, 793-803.

6D. Fioravanti, M.Stanishkov, F. Ravanini. Generalized KdV and Quantum Inverse Scattering description of Conformai Minimal Models. Phys. Lett. B. 367 (1996), 113-120.

7V. Chari, A. Pressley. Twisted quantum affine algebras. Comm. Math. Phys. 198 (1998), No.2, 461-476.

й J. Ding, S. Khoroshkin. Universal R-matrix for quantum affine algebras Vq{A^) and i/,(S3p(l|2)) with Drinfeld comultiplication. Adv. in Math. 189 (2004), 413-438.

9S. Khoroshkin, V.Tolstoy. The uniqueness theorem for the universal R-matrix. Let. Math. Phys 24 (1992), No.3, 231-244.

Квантовые аффинные алгебры допускают три различные реализации с разными структурами алгебр Хоифа. Считается общеизвестным, что все три реализации изоморфны, однако точные доказательства 10.и'12 существуют лишь для алгебр д(„-серии. В первой главе диссертации дается полное описание трех реализаций алгебры описываются изоморфизмы между всеми реализациями и связи между тремя структурами алгебры Хопфа.

Далее в первой главе диссертации вычислена универсальная весовая функция для алгебры Uq(AУниверсальной весовой функцией квантовой аффинной алгебры называют семейство функций со значениями в бо-релевской подалгебре, удовлетворяющее определенным коалгебраическим соотношениям. Это семейство используется как для построения решений q-разностных уравнений Книжника-Замолодчикова 13 так и для построения собственных векторов Бете в процедуре Бете-анзатца. 14 Также в диссертации получены интегральные формулы для сомножителей универсальной Д-матрицы алгебры Uq{A— элемента тензорного квадрата алгебры, играющего ключевую роль в ее описании и связывающего различные структуры алгебры Хопфа.

Вторая глава диссертации посвящена конечномерным представлениям янгиана Y(g[J. Янгиан Y(g(„) является деформацией в классе алгебр Хопфа универсальной обертывающей алгебры алгебры Ли полиномиальных функций g[„[tí] па прямой со значением в gín. Его неприводимые конечномерные представления классифицированы, 15 причем, параметрами классификации являются наборы "полиномов Дринфсльда". Известно

10J. Ding, I. Frenkel, Isomorphism of two realizations of quantum affine algebra Uq(gЦп)), Comm. Math. Phys. 156 (1993), No.2, 212-216.

UJ. Ding, S. Khoroshkin, On the. FRTS approach to quantized current algebras, Lett. Math. Phys. 45 (1998), No.4, 331-352.

12E. Frenkel, E. Mukhin, The Hopf algebra Rep [/„(¿i^.), Selecta Math. 8 (2002), No. 4, 537-635.

13V. Tarasov, A. Varchenko, Jackson integral representations for solutions to the quantized KZ equation, Algebra and Analysis 6 (1994), No.2, 275-313.

14P. Kulish, N. Reshetikhin, Diagonalization of GL(N) invariant transfer matrices and quantum N-wave system (Lee model), J.Phys. A: Math. Gen. 16 (1983), 591-596.

loV. Drinfeld, A new realization of Yangians and quantum affine algebras, Sov. Math. Dokl. 36 (1988), 212-21G.

несколько конструкций 1(!'17 неприводимых представлений в внде факторов тензорных произведений некоторых стандартных представлений. Назовем представление янгиана Y(g(n) полиномиальным, если оно изоморфно подфактору тензорного произведения векторных представлений Y(g[n), и рациональным, если оно изоморфно подфактору тензорного произведения векторных и ковекторных представлений Y(gln). Рациональные представления янгиана Y(g(n), связанные с косыми диаграммами Юнга, изучались Назаровым. 18 Кроме того, в работах Хорошкипа и Назарова 19 были построены неприводимые полиномиальные представления янгпана Y(g(n) и его скрученных аналогов, соответствующих ортогональной и симплек-тической группе. Это построение, объединяющее идеи •'цептрализаторной конструкции" Ольшанского и двойственность Хау, можно рассматривать как поднятие (Í, д)-двойствености Хау, где (6, g) — пара Хау классических алгебр Ли, до функтора между теориями представлений алгебры Ли Е и (скрученного) янгиана Y(g). В диссертации ставится задача описания и естественной конструкции неприводимых рациональных представлений янгиана Y(g[„).

Цель работы. Полное описание трех реализаций скрученной квантовой аффинной алгебры Uq(A^) и связей между ними, вычисление универсальной весовой функции для алгебры Uq(A\ '), описание и конструкция неприводимых рациональных представлений янгиана Y(g(n).

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Получены явные изоморфизмы между тремя реализациями алгебры Uq(A^) и описаны связи между тремя структурами алгебры Хопфа.

2. Найдена явная формула для универсальной весовой функции алгебры Uq{A^), получены интегральные формулы для сомножителей универсальной ñ-матрицы алгебры.

16Т. Akasaka, M. Kashiwara, Finite-dimensional representations of quantum affine algebras, Publ. Res. Inst. Math. Sei. 33 (1997), 839-867.

17V. Chari, A.Pressley, Fundamental representations of Yangians and singularities of H-matrices, J. Reine Angew. Math. 417 (1991), 87-128.

18M. Nazarov, Rational representations of Yangians associated with skew Young diagrams, Math. Z. 247 (2004), 21-03.

19S. Khoroshkin, M. Nazarov, Mickelsson algebras and Representations of Yangians, Trans. Amer. Math. Soc. 364 (2012), No.3, 1293-1367.

3. Построена серия рациональных представлении янгиана Y(gln) и сплетающие операторы между ними. При определенных условиях на представления, их образы, относительно фиксированного сплетающего оператора, являются неприводимыми. Сформулирована гипотеза о том, что все рациональные представления могут быть получены таким образом.

Методы исследования. В работе используются различные методы теории квантовых групп и теории представлений. В первой главе основную роль играет метод проекций, предложенный в работе Пакуляка, Хо-рошкина и Энрикеса. Во второй главе ключевую роль играет построенный функтор из категории ир ,-модулей со старшим весом в категорию J-модулсй. Этот функтор является модификацией функтора, описанного Назаровым и Хорошкиным. Также во второй главе для описания сплетающих операторов между построенными У(д[п)-модулями использована теория редукционных алгебр и теория сплетающих операторов Желобен-ко. 20-21

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. Ее результаты и методы могут найти применение в теории представлений и теории квантовых групп.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались: На семинаре по теории представлений, МГУ. Москва, руководитель — д.ф.-м.н., проф. Ю.А. Неретин в 2010 г.; На

семинаре «Избранные вопросы алгебры», МГУ, Москва, руководитель — д.ф.-м.н., проф. М. В. Зайцев в 2011 г.;

На международной конференции "Workshop ou Geometrie Methods in Mathematical Physics II", SISSA, Триест, в 2009 г.;

На международной конференции "Journee Quaiitique des Jeunes Chercheurs", Université d'Angers, Angers, в 2010 г.;

На международной конференции "Representation Theory, Geometry, and Combinatorics Conference", UC Berkeley, Berkeley, в 2011 г.;

20D. Zhelobenko, Extremal cocycles on Weyl groups, Funct. Anal. Appl. 21 (1987), 183192.

21D. Zhelobenko, Extremal cocycles and generalized Mickelsson algebras over reductive Lie algebras, Math. USSR Izvestiya 33 (1989), 85-100.

На международной конференции "AMS Sectional Meeting" University of Nebraska, Lincoln, в 2011 г.;

На семинаре "Infinite-Dimensional Algebra Seminar", MIT, Бостон, руководитель — проф. В. Кац в 2010 г.;

На семинаре "Representation Theory Combinatorics and Geometry", UC Berkeley, Berkeley, руководитель — проф. H. Решетихин в 2010 г.;

На семинаре "Séminaire Quant X - Paris 7", Université Paris 7, Paris, руководитель — проф. P. Cartier в 2010 г.;

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в трех статьях в научных журналах, входящих в перечень ВАК. Список работ приведен в конце автореферата [1-3].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и двух глав. Текст диссертации изложен на 102 страницах. Список литературы содержит 4G наименований.

Содержание работы

Во введении описана история рассматриваемой проблемы, изложено содержание диссертационной работы, кратко описаны основные результаты и методы их получения.

В первой главе речь идет об алгебраической структуре квантовой аф-(1)

финной алгебры t/^yl^ ), являющейся деформацией алгебры скрученных токов со значениями в алгебре Ли 5Í3.

Как и любая квантовая аффинная алгебра, алгебра Uq(A^) допускает различные описания. Наиболее известно определение, предложенное Дринфельдом и Джимбо, в которой алгебра задана образующими Шевал-ле е±а и к^1, где а пробегает множество простых корней алгебры и д-аналогами соотношений Серра. В так называемой "новой реализации" Дринфельда алгебра задается бесконечным числом образующих, объединенных в производящие функции ("токи")

ф) = Е

—п

— п

и функциональными соотношениями между ними. Наконец, можно воспользоваться формализмом уравнений Янга-Бакстера на матричнознач-ную производящую функцию L(z) (L-оператор), развитым в школе Л. Д. Фаддеева. В качестве ß-матрицы выступает решение уравнения Янга-Бакстера, изученное в свое время Изергиным и Корепиным. В первом параграфе настоящей диссертации приводится полное описание трех реализаций алгебры Uq(A\ ') и соответствующих структур алгебр Хопфа.

Считается общеизвестным, что все три реализации изоморфны, однако точные доказательства существуют лишь для алгебр д[п-сернн. Во втором параграфе построены явные изоморфизмы между тремя реализациями алгебры Uq(A2 ), и описаны связи между различными структурами алгебр Хопфа. Изоморфизм между "стандартной" реализацией Дринфельда-Джимбо и "новой реализацией" Дринфельда описан в Теореме 2.2. Для этого. стартуя с образующих Шевалле в "стандартной" реализации, построен линейный базис алгебры — базис Картана-Вейля — и показано, как связаны элементы этого базиса с образующими "новой реализации" Дринфельда. Далее во втором параграфе найдено дополнительное соотношение на L-оператор, которое вместе с уравнениями Янга-Бакстера полностью описывает изучаемую квантовую аффинную алгебру, получен полный набор соотношений на гауссовы координаты ¿-оператора, и, в конечном итоге, установлены изоморфизмы между абстрактной алгеброй, заданной матричными элементами ¿-оператора, и квантовой аффинной алгеброй Uq(A^) в "стандартной" реализации (Теорема 2.5) и "новой" реализации Дринфельда (Теорема 2.8). Попутно в предложениях 2.4 и 2.G устанавливается связь между тремя коумножениями, естественными для трех разных реализаций.

Универсальной весовой функцией квантовой аффинной алгебры называют семейство функций со значениями в борелевской подалгебре, удовлетворяющее определенным коалгебраическим соотношениям. Это семейство используется как для построения решений g-разностпых уравнений Киижпика-Замолодчикова, так и для построения собственных векторов Бете в процедуре Бете-анзатца. Для вычисления универсальной весовой функции в настоящей диссертации использован метод проекций, предложенный в работе 22 Пакуляка, Хорошкина и Энриксса. Суть метода со-

22В. Enriquez, S. Khoroshkin, S. Pakuliak, Weight functions and Drinfeld currents, Comm. Math. Phys. 276 (2007), No.3, 691-725.

стоит в построении набора элементов квантовой аффинной алгебры, для которых две различные коалгебраические структуры, возникшие из двух разных реализаций квантовой аффинной алгебры, совпадают при действии на старшие векторы представлений. Эти наборы, и составляющие универсальную весовую функцию, могут быть получены в результате применения некоторых канонических проекционных операторов к произведениям дринфельдовских "токов":

Упомянутые канонические проекционные операторы отображают борелев-скую подалгебру квантовой аффинной алгебры на ее пересечение с бо-релевской подалгеброй иного тина, возникающего в "новой" реализации. В третьем параграфе описаны борелевские подалгебры, соответствующие "стандартной" и "новой" реализации", также описаны пересечения борелев-ских подалгебр и операторы проекций. Далее в третьем параграфе определена универсальная весовая функция для алгебры и^А^)-

Вычисление весовой функции для квантовой аффинной алгебры (2)

ич(А2 ) проведено в диссертации методами комплексного анализа, основанными на аналитических свойствах матричных коэффициентов "токов" в представлениях со старшим весом. При этом естественным образом возникает еще одна пара производящих функций элементов алгебры (2)

IIч(Л2 ), соответствующая составному корню алгебры Ли 3(3. Эти производящие функции также называют "сложными токами". Универсальная весовая функция выражается через произведения различных "токов" с рациональными функциональными коэффициентами. В четвертом параграфе описаны "сложные токи" и аналитические свойства произведений "токов". Здесь речь идет о наличии пулей и полюсов произведений "токов", рассматриваемых в качестве мероморфпых операторнозначных функций па левых (2)

ич(А\ )-модулях старшего веса.

В пятом параграфе диссертации сформулированы основные результаты первой главы. В Теоремах 5.2 и 5.4 вычислены образы двух из четырех канонических проекционных операторов па произведении токов /(¿1)... /(г*;). Образы двух оставшихся операторов получены применением инволюции алгебры ич(А^) к результатам указанных теорем. Вычисленные проекции дают формулу для универсальной весовой функции и интегральные формулы для сомножителей универсальной 7^-матрицы ал-

гсбры ич(А(22)).

Параграфы 6 и 7 носят технический характер. В параграфе б приведены примеры формулы, вычисляющей проекцию произведения "токов" , для к — 2,3, 4. Это имеет определенный смысл в виду сложности формулы для общего значения к. В параграфе 7 приведены доказательства основных теорем первой главы, доказательства достаточно техничны и, в основном, опираются на методы комплексного анализа.

Вторая глава диссертации посвящена теории представлений янгиана У(д[„) алгебры Ли невырожденных комплексных матриц п-го порядка. Янгиан ¥(0[п)

является деформацией в классе алгебр Хопфа универсальной обертывающей алгебры алгебры Ли полиномиальных функций д(п[и] на прямой со значениями в д1п. Ассоциативная алгебра с единицей У(д!п) порождена семейством образующих

т(1) гр(2) . . .

Рассмотрим производящие функции

ад = ¿0- + Т^и-1 + 7£>и-2 + • ■ • € УШИ«-1]]

с формальным параметром и. Тогда определяющие соотношения в ассоциативной алгебре У(д(п) могут быть записаны в виде

(«-«)■ Ру(и),Ты(«)] = Ткз(и)Ти(ь) - Тф)Т«{и), где = 1,..

■. ,п. Легко видеть, что для любого степенного ряда (I(и) по и-1 с комплексными коэффициентами и единичным первым членом, отображение

Тг](и) ^ д(и)Т^(и)

задаст автоморфизм алгебры У(д1п).

Неприводимые конечномерные представления янгиана У(д(п), рассмотренные с точностью до действия описанного выше автоморфизма, были классифицированы Дринфельдом. Параметрами классификации являются наборы так называемых "полиномов Дринфельда". Известны несколько конструкций неприводимых представлений в виде факторов тензорных произведений некоторых стандартных представлений. Назовем представление янгиана У(д(п) полиномиальным, если оно изоморфно подфактору

тензорного произведения векторных представлении Y(g(n), и рациональным, если оно изоморфно подфактору тензорного произведения векторных и ковекторных представлений Y(glJ. В диссертации ставится задача описания и естественной конструкции неприводимых рациональных представлений янгиана Y(g(n). Для этого использована конструкции, разработанная Назаровым и Хорошкиным для построения неприводимых полиномиальных представлений янгиана Y(gln) и его скрученных аналогов, соответствующих ортогональной и симплектической группе.

В работах Назарова и Хорошкина был построен функтор £т из категории д(П!-модулей со старшим весом в категорию Y(g(n)-M0,iy0ieñ. Этот функтор возник как композиция ранее известных функторов Дринфелг,-да 23 и Чередннка 2В 8 параграфе настоящей диссертации описана структура алгебры Y(g(n). приведены необходимые сведения из ее теории представлений, а также построена модификация £Р]Ч функтора £т, основанная на (Uр д[„) двойственности Хау.

В параграфе 9 доказывается теорема о параболической индукции, которая, в частности, позволяет свести р;1ССМ0трение всего образа функтора £p,<j к изучению тензорных произведений некоторых стандартных представлений янгиана Y(g(n). Пусть U — произвольный модуль над алгеброй g(¡, причем I = 1{+12, тогда £iui2(U) является Y(g(n)-M0^ieM. Для любого комплексного числа г G С обозначим через £f h(U) модуль над Y(gln), полученный из £iui2(U) при помощи взятия обратного образа относительно автоморфизма

Tz ■■ Тц(и) Н- Ту (и - г), где г, j = 1,..., п

алгебры Y(g(n). Обозначим символом VMU модуль над g(m+í параболически индуцированный с gím © д(гмодуля V ® U. Тогда верна следующая теорема.

Теорема, i) Ч($\.п)-модуАъ £рл+г{у Klí/)q изоморфен тензорному произведению модулей £p q(V) ® £¿nr([/).

У(в^п)-модуль £p+r,q(VS$U)q изоморфен тензорному произведению модулей £Tiü{V) ® £;ju).

23V. Drinfeld, Degenerate affine Hecke algebras and Yangians, Funct. Anal. Appl. 20 (1986), 56-58.

24I. Cherednik, Lccturcs on Knizhnik-Zamolodchikov equations and Hecke algebras, Math. Soc. Japan Memoirs 1 (1998), 1-96.

Пусть теперь

0[,„. = п + Ь +

задает треугольное разложение алгебры д(т. Тогда из теоремы о параболической индукции следует, что подмодуль п-коинвариантов £р.ч(М(1)п образа функтора £рч на модуле Верма А/м с весом ц изоморфен тензорному произведению модулей

А,о(мМ1) ® г}>0(Мм) ® • - • ® £Го\м^) ® £>л (ММр+1) ® ■.. ® £™уЧм^).

Также в 9 параграфе показано, что модули и ^^(Мщ)

изоморфны стандартным представлениям янгиана У(д(п) в (анти)-симметрических степенях векторного и ковекторного представления алгебры Ли д!п.

Десятый параграф посвящен сплетающим операторам между построенными модулями. Для построения сплетающих операторов применяется теория редукционных алгебр и операторов Желобенко. А именно, в диссертации показано, что модуль £р 1<?(Л'//4)П можно воспринимать как представление некоторой алгебры Микельссона, и образы операторов Желобенко при факторизации являются сплетающими операторами для У(д(п)-модулей. Более того, образ модуля £р.ч(М^)п под действием оператора Желобенко, соответствующего длинному элементу группы Вейля, является неприводимым У(д[„)-модулем.

Все построенные представления У(д1„) являются рациональными. В 11 параграфе вычислены образы старших векторов построенных модулей под действием сплетающих операторов. В параграфе 12 высказана гипотеза о том, что таким образом могут быть получены все неприводимые рациональные представления янгиана У(д(п). В настоящее время гипотеза доказана, однако этот результат еще не опубликован. Наконец, в параграфе 13 приведены технические доказательства некоторых утверждений второй главы.

Автор выражает огромную благодарность своим научным руководителям — доктору физико-математических наук, профессору Хорошкину Сергею Михайловичу за постановку задач, постоянную поддержку и многочисленные обсуждения и доктору физико-математических наук, профессору Зайцеву Михаилу Владимировичу за обсуждения, советы и внимание на всех этапах подготовки диссертации.

Работы автора по теме диссертации

[1| А. Шапиро

Три реализации квантовой аффинной алгебры [/^(Д^), Теоретическая и Математическая Физика, 165 (2010), No.2; 217-232,

[2| S. Khoroshkin, A. Shapiro,

Weight, function for the quantum affinc algebra Uq(A Journal of Geometry and Physics 60 (2010). 1833-1851,

[31 A. Shapiro

Rational representations of the Yangian Y(g(u), Journal of Geometry and Physics 62 (2012), 1G77-1G9G.

В работе [2] диссертанту принадлежит вычисление универсальной весовой функции и интегральных формул для факторов универсальной R-матрицы.

Подписано в печать 24.08.2012 Формат 60x88 1/16. Объем 1.0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 1230 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

Введение

Глава 1. Квантовые аффинные алгебры

1. Реализации ал гебры ия(42))

1.1. Реализация Дринфельда.

1.2. Стандартная реализация.

1.3. ИЬЬ-реализация.

2. Связи между реализациями

2.1. Универсальная 7^-матрица.

2.2. Стандартная реализация и реализация Дринфельда

2.3. От стандартной к ДЬЬ-реализации.

2.4. От .^¿/-реализации к реализации Дринфельда.

3. Универсальная 7^-матрица и весовая функция

3.1. Борелевские подалгебры в ид(А2 ).

3.2. Проекции.

3.3. Пополнения

3.4. Соотношения между коумножениями и универсальной Я-матрицей

3.5. Универсальная весовая функция

4. Сложные токи

4.1. Определения.

4.2. Аналитические свойства.

5. Вычисление весовой функции

5.1. Обозначения.

5.2. Основные результаты.

5.3. Вычисление остальных проекций.

5.4. Связь ИЬЬ-реализации со сложными токами

6. Примеры

Диссертация посвящена изучению квантовых аффинных алгебр и янги-анов. С одной стороны, оба типа исследуемых объектов являются квазитреугольными алгебрами Хопфа, что позволяет использовать их теорию представлений при решении различных задач квантовой и статистической физики. С другой, как квантовые аффинные алгебры так и янгиа-ны являются деформациями алгебр токов над универсальными обертывающими алгебрами классических алгебр Ли. Это замечание позволяет применить для их изучения многочисленные техники разработанные для классических алгебр Ли.

Квантовые аффинные алгебры допускают три различные реализации с разными структурами алгебр Хопфа. Первая из них — "стандартная" реализация — задается при помощи образующих Шевалле и соотношений, определяемых соответствующей матрицей Картана. Стандартная реализация содержит малое число образующих, но, к сожалению, крайне неудобна для использования в приложениях. Вторая реализация — это "новая реализация" Дринфельда, впервые описанная в [13] при помощи производящих функций (токов Дринфельда) и соотношений на них. Реализация Дринфельда позволяет использовать методы комплексного анализа при изучении алгебры. Более того, именно в ней описываются все конечно-мерные представления квантовой аффинной алгебры. Наконец, третья — это реализация в терминах //-операторов, основанная на подходе, развитом в школе Л. Д. Фаддеева. В тексте мы для краткости будем использовать ее жаргонное название — ДЬЬ-реализация. При этом подходе образующие собраны в матричнозначные производящие функции, удовлетворяющие уравнению Янга-Бакстера (см. [18], [41]). Простота ко-умножения в ЯХ^-рсализации позволяет строить новые представления, как тензорные произведения уже известных. По этой причине именно ЯI/¿-реализация широко используется в физических моделях.

Считается общеизвестным, что описанные реализации квантовых аффинных алгебр изоморфны, несмотря на то, что точные доказательства существуют лишь для алгебр £}1п-серии. Для алгебры ид(з[п) изоморфизм между стандартной реализацией и реализацией Дринфельда был описан в работе [6], связь между реализацией Дринфельда и /¿¿¿-реализацией была установлена в [7]. Изоморфизмы всех трех реализаций для алгебр ид(д1п) позднее появились в работе [19].

В случае квантовых скрученных аффинных алгебр ЙЬЬ-реализация требует дополнительных соотношений. Хотя считается, что три реализации остаются изоморфными и в случае скрученных алгебр, пока что нет полного понимания, как в точности должны выглядеть изоморфизмы. Изоморфизм между стандартной реализацией и реализацией Дринфельда алгебры ич{Абыл установлен в [33], кроме того, в работе [44] был частично установлен изоморфизм между .^//-реализацией и реализацией Дринфельда.

В первой главе настоящей диссертации дается полное описание трех реализаций алгебры Цд^А^)1, описываются изоморфизмы между всеми реализациями и связи между тремя структурами алгебр Хопфа. Особое внимание уделено следующему факту: каждая реализация обладает "минимальным" (или почти минимальным в случае скрученных алгебр) набором образующих, и расширенным набором образующих. Для этих наборов, по всей видимости, должен существовать аналог теоремы Пуанкаре-Биркгофа-Витта. В стандартной реализации такими наборами являются соответственно образующие Шевалле и базис Картана-Вейля (см. [34]). В реализации Дринфельда эти функции выполняют токи Дринфельда и так называемые "сложные токи" (см. [8]). Наконец, в /¿¿¿-реализации гауссовы координаты, находящиеся непосредственно над или под диагональю, образуют минимальный набор, а все гауссовы координаты дают уже расширенный набор. Заметим, что эти расширенные наборы играют ключевую роль при вычислении универсальной весовой функции. В данной работе устанавливается связь между проекциями сложных токов и гауссовыми координатами для алгебры в духе того, как это было проделано для ич(д1п) в работе [32].

Кроме того, в первой главе диссертации вычислена универсальная весовая функция для алгебры 11Ч(А^)- Универсальной весовой функцией квантовой аффинной алгебры называют семейство функций со значени

1бсз градуирующего элемента и с нулевым центральным зарядом. ями в борелевской подалгебре, удовлетворяющее определенным коалгеб-раическим соотношениям. Это семейство используется как для построения решений ^-разностных уравнений Книжника-Замолодчикова [43] так и для построения собственных векторов Бете в процедуре Бете-анзатца [35, 42]. Общая конструкция весовых функций для квантовых аффинных алгебр была предложена в работе [15]. Эта конструкция использует существование двух различных типов борелевских подалгебр в квантовых аффинных алгебрах. Первый тип связан со стандартной реализацией Шевалле, тогда как второй происходит из реализации Дринфельда. Как было показано в [15], универсальную весовую функцию квантовой аффинной алгебры можно представить как проекцию произведения токов Дринфельда на пересечение Борелевских подалгебр обоих типов.

В настоящей диссертации мы применяем подход, предложенный в статье [15], и в результате получаем явную формулу для универсальной весовой функции квантовой аффинной алгебры в терминах образующих Дринфельда. Наряду с вычислением проекции произведений токов Дринфельда, представляющей весовую функцию, мы также вычисляем проекции на остальные пересечения борелевских подалгебр, что позволяет нам получить интегральное представление для сомножителей

9) универсальной /¿-матрицы алгебры ид(А2 ) — элемента тензорного квадрата алгебры, играющего ключевую роль в описании ее -ЙЬЬ-реализации и связывающего различные структуры алгебр Хопфа.

Вторая глава диссертации посвящена теории представлений янгианов. Здесь мы развиваем идеи, предложенные Хорошкиным и Назаровым в работах [25] — [28]. Янгиан У(д[п) является деформацией в классе алгебр Хопфа (см. [13]) универсальной обертывающей алгебры алгебры Ли полиномиальных токов Будем называть два конечно-мерных представления алгебры У(д[п) эквивалентными, если одно получается из другого подкруткой на автоморфизм вида (8.10). С точностью до эквивалентности все неприводимые конечно-мерные представления ян-гиана У(д1п) были описаны в [13]. Согласно этой классификации каждый неприводимый конечно-мерный У(д1п)-модуль с точностью до эквивалентности определяется набором многочленов Дринфельда. Позднее аналогичные результаты, относящиеся к теории представлений сдвинутых янгианов и W-алгебр были получены в [3].

Рассмотрим подалгебру янгиана Y(glTl), состоящую из элементов, инвариантных относительно всех автоморфизмов вида (8.10). Эта подалгебра называется специальным янгианом алгебры 0ÍTO и изоморфна ян-гиану Y(sín) специальной линейной алгебры Ли sín С введенному в [12, 13]. Таким образом, два У(£)[„)-модуля эквивалентны, если и только если изоморфны их ограничения на специальный янгиан. Значит, наборы многочленов Дринфельда соответствуют неприводимым конечномерным представлениям янгиана Y(sín).

В работах [25, 26] был построен функтор £т из категории д1ш-модулей в категорию Y(gln)-MOriiyjieft. Этот функтор возник как композиция ранее известных функторов Дринфельда (см. [12]) и Чередника (см. [4, 2]). Эту конструкцию можно понимать, как "поднятие" (GLm, gln) двойственности Хау (см. [20, 21]) на уровень янгианов, либо как переформулировку централизаторной конструкции Ольшанского (см. [39, 40]). Применение функтора £т к модулем Верма алгебры glm дает серию стандартных представлений янгиана Y(g[n). Затем, опираясь на теорию операторов Желобенко в алгебрах Микельссона (см. [45, 46, 24, 31]), были построены сплетающие операторы между стандартными Y(gln)-мoдyлями. В итоге, в статьях [29, 30] было показано, что все с точностью до эквивалентности неприводимые конечно-мерные Y(gln)-MO,DüuiH могут быть получены, как образы сплетающих операторов, построенных в [25, 26]. Подход, предложенный в [25, 26], приводит к более явному, чем в [13], описанию Y (g ) - м одул ей. Аналогичный результат для представлений квантовых аффинных алгебр был получен ранее в работе [1].

Назовем представление янгиана Y(gln) полиномиальным, если оно изоморфно подфактору тензорного произведения векторных представлений янгиана Y(g(n). Все Y^l^-MOflynn, построенные в [25, 26] полиномиальны. Более того, любой полиномиальный Y (gín)-модуль можно получить при помощи конструкции, описанной в [25, 26]. В данной диссертации мы рассматриваем модификацию £p¡q функтора £т, основанную на (UР)9, gín) двойственности Хау (см. [14], [16], [23]). Эта модификация приводит к более широкому классу рациональных Y(gín)-Mo^yneñ. Мы называем представление янгиана Y(g[n) рациональным, если оно изоморфно подфактору тензорного произведения векторных и ковекторных представлений У(д[п). Неприводимые рациональные представления алгебры У(д1„), ассоциированные с косыми диаграммами Юнга изучались в работе [38]. Используя параболическую индукцию, мы раскладываем образы модулей Верма алгебры д[т относительно функтора £рл в тензорное произведение векторных представлений янгиана. Затем, используя технику разработанную для скрученных янгианов У(502П), в работах [27, 28], мы строим сплетающие операторы между построенными тензорными произведениями и вычисляем образы старших векторов под действием сплетающих операторов. Далее, опираясь на результаты, полученные в [29], мы замечаем, что при определенных условиях на параметры построенных модулей, образ некоторого сплетающего оператора является неприводимым рациональным У(д [п)-модулем. В конце мы формулируем гипотезу, состоящую в том, что все неприводимые рациональные У (д!п)-модули могут быть получены таким образом.

Опишем более подробно структуру диссертации. В первой главе диссертации изучается квантовая скрученная аффинная алгебра ид(А2 ). В первом параграфе дается полное описание трех реализаций алгебры ид(А2^). Во втором — описываются изоморфизмы между всеми реализациями и связи между тремя структурами алгебр Хопфа. В начале третьего параграфа описываются борелевские подалгебры различных типов, затем определяются операторы проекции на пересечения борелевских подалгебр, далее обсуждаются некие естественные пополнения алгебры и наконец, дается определение универсальной весовой функции. Четвертый параграф посвящен сложным токам. Сложные токами называются некоторые производящие функции элементов естественного пополнения квантовой аффинной алгебры, соответствующие составному корню алгебры Ли $13. Сложные токи играют ключевую роль в вычислении универсальной весовой функции алгебры ид(А^). Также в четвертом параграфе обсуждаются аналитические свойства различных произведений токов Дринфельда. Здесь речь идет о наличии нулей и полюсов матричных элементов алгебры, соответствующих этим произведениям, что позволяет рассматривать произведения токов Дринфельда и сложные токи, как мероморфные операторнозначные функции на левых

Uq{A2 )-модулях старшего веса. В пятом параграфе сформулированы основные результаты первой главы диссертации: формулы для проекций произведений токов на различные пересечения борелевских подалгебр, и связь между проекциями сложных токов и гауссовыми координатами алгебры Uq{Af). В шестом параграфе приводятся примеры формулы для универсальной весовой функции для проекции произведения малого числа токов. Наконец, в 7 параграфе приводятся доказательства основных результатов первой главы диссертации.

Во второй главе диссертации мы обращаемся к теории представлений янгиана Y(gtn). В восьмом параграфе описывается алгебра Y(gln) и приводятся необходимые сведения из ее теории представлений. Также в восьмом параграфе строится функтор 8РА. В девятом параграфе образ модулей Верма алгебры QÍm относительно функтора 8p q раскладывается в тензорное произведение простейших У(д(п)-модулей. Десятый параграф посвящен теории операторов Желобенко и построению сплетающих операторов между полученными тензорными произведениями. В одиннадцатом параграфе вычисляются образы векторов старшего веса относительно построенных сплетающих операторов. Наконец, в двянна-дцатом параграфе формулируется гипотеза об общем виде всех рациональных Y ({^-модулей.

Результаты диссертации опубликованы в статьях автора:

• S. Khoroshkin, A. Shapiro,

2)

Weight function for the quantum affine algebra Uq(A2 ), Geom. and Phys. 60 (2010), 1833-1851,

• А. Шапиро

Три реализации квантовой аффинной алгебры Uq(A^), ТМФ, 165 (2010), No.2, 217-232,

• А. Шапиро

Rational representations of the Yangian Y(gln), Geom. and Phys. 62 (2012), 1677-1696.

Основные результаты докладывались на конференциях:

• Workshop on Geometric Methods in Mathematical Physics II (SISSA, 2009)

• Jour nee Quantique des Jeunes Chercheurs (Université d'Angers, 2010)

• Representation Theory, Geometry, and Combinatorics Conference (UC Berkeley, 2011)

• AMS Sectional Meeting (University of Nebraska, 2011) а также на семинарах:

• Семинар по теории представлений

МГУ, руководитель — проф. Ю.А. Неретин)

• Infinite-Dimensional Algebra Seminar (MIT, руководитель — проф. Виктор Кац)

• Representation Theory, Combinatorics and Geometry (UC Berkeley, руководитель — проф. H. Решетихин)

• Séminaire Quant X - Paris 7

Université Paris 7, руководитель — проф. P. Cartier)

Автор выражает огромную благодарность своим научным руководителям — Сергею Михайловичу Хорошкину за постановку задач, неоценимую помощь, многочисленные обсуждения и советы, и Михаилу Владимировичу Зайцеву за постоянную поддержку и внимание на всех этапах подготовки диссертации.

Квантовые аффинные алгебры

выводим у + 9Е')ф , ХаЬ(и) = в (бъдХ^и) - 5аНХдЪ{и)).

Умножая полученное равенство на Хсд(у) слева, на Хм{у) справа и суммируя по индексам д, /г, мы приходим к соотношению

77*1

Хаъ(и),Хсс1(у)} = в ^ \Хсъ(у)ХаН{и)Хм(у) - Хсд{у)ХдЬ{и)ХаЛ{у)]. д,11=1

Теперь используя результат пункта 1), мы получаем (и -у) ■ [ХаЬ(и),Хы(у)} = е(хсь(у)(хас1(у) - ХаЛ(и)) - (ХсЬ^-Х^Ха^у)), откуда и следует утверждение пункта 11). □

Доказательство предложения 8.2

Мы доказываем пункт 1) прямым вычислением. В продолжение доказательства мы будем обозначать символом не элемент янгиана У(д(п), а образ этого элемента в алгебре т)®%Т> (Ст <8> Сп) относительно гомоморфизма ат. Из соотношений (8.17) и (8.18) имеем т и -у)- [Тц (и), Ты (у)} = ^ (п-^)х а,Ъ,с,й= 1 х (хаъ(и)хс(1{у) ® (вЕск ,<й + $Ьс^кЕм,<11 — @йаъдцЕск,(ц) —

Хсл(у)Хаь(и) (8 {вЕск^Еа1д + 5аа6цЕСкм — 05аъ5цЕскд, т ^ (и - у) ■ ([ХаЬ(гг), Хса(у)] <8 в{Еск,ыЕа^л - 5аЪ5цЕсмг)+

ХаЪ{и)Хс<1(у) (8) 5ъс^кЕаг,(11 ~ ХЫ(у)ХаЬ(и) <8> 5ай^цЕск,Ь^ ■ Затем, используя соотношения (13.1) и (13.2) получаем и-у)-[Тф),Ты{у)] = тп , ^ ( (ХсЬ{и)Ха(1{у) - Хсъ{у)Ха(1{и)) 0 {Еск^Еа1д - 5аЬ5^Ескд)+ а,Ь,с,с1= 1 и - у) ■ (хаъ(и)хсс1(у) (8) 5Ьс5^Еаг41 - ХсЛ(у)ХаЪ{и) <8> 5ай5цЕсКь^ ).

Теперь, по определению гомоморфизма ат выполнено

Тф) - Sjk) (Tü(v) - ¿и) - (Тф) - 5jk) (Та(и) - 5«) m

-Sa 52 ~ №№)L) ® Eck,di+ c,d= 1 m jk J2(U~V) {(X(U)X(.V))ad) ® Eai4i + a,d=1 m

6Ü Y(U-V)({X{V)X(U))cb) ® b,c= 1

Из соотношения (13.1) вытекает равенство X(u)X(v) = X(v)X(u). Теперь мы можем завершить доказательство пункта i) посредством следующих вычислений: и - v) ■ [Тф),Ты(и)} = Тф)Тг1(у) - Tkj(v)Tü(u)

- Sjk(Tü(v) - Тц(и)) - Sü(Tkj(u) - Тф)) + Sjk(Tü(v) - Tü(u)) + 6й(Тф) - Тф)) = Тф)Тй(у)-Тф)Ти(и). Пункт И) также доказывается прямой проверкой:

Ecd®l+ !&(;„№„!),Tij{u) m m a,b=1

Ecd® 1, ^ Xab(u) <g> Eai,bj + 1 0 Y EcKdk, 52 X^(u) ® Eai, k=1 a,b=l a,b—1 52 (¿bdXcJu) - 5acXdb(u)^ ® Eai,bj+ n m, 52 52 (Xab(u) 0 (ÖadÖikEckibj ~~ SbcSjkEai, i.dk) I k=\ft'b=l 52 Xac(u) ® Eai,dj ~ 52 XdM ® Eci,bj + a=1

6=1 m m 52 Xdb(u) ® Edjbj - Y Xac(u) 0 Eaitf = 0. b=1 a=l

1. T.Akasaka, M.Kashiwara, Finite-dimensional representations of quantum affine algebras, Publ. Res. 1.st. Math. Sci. 33 (1997), 839-867.

2. T. Arakawa, T. Suzuki, A. Tsuchiya, Degenerate double affine Hecke algebras and conformal field theory, Progress Math. 160 (1998), 1-34.

3. J. Brundan, A. Kleshchev, Representations of shifted Yangians and finite W-algebras, Mem. Amer. Math. Soc. 196 (2008), 1-107.

4. I. Cherednik, Lectures on Knizhnik-Zamolodchikov equations and Hecke algebras, Math. Soc. Japan Memoirs 1 (1998), 1-96.

5. V. Chari, A. Pressley, Fundamental representations of Yangians and singularities of R-matrices, J. Reine Angew. Math. 417 (1991), 87-128.

6. J. Ding, I. Frenkel, Isomorphism of two realizations of quantum affine algebra Uq(ol(n)), Comm. Math. Phys. 156 (1993), No.2, 212-216.

7. J. Ding, S. Khoroshkin, On the FRTS approach to quantized current algebras, Lett. Math. Phys. 45 (1998), No.4, 331-352.

8. J. Ding, S. Khoroshkin, Weyl group extension of quantized current algebras, Transform. Groups 5 (2000), 35-59.

9. J. Ding, S. Khoroshkin, S. Pakuliak, Factorization of the universal R-matrixforUg(si2), Theor. and Math. Phys. 124 (2000), No.2, 1007-1036.

10. J. Ding, S. Khoroshkin, S. Pakuliak, Integral presentations for the universal R-matrix, Lett. Math. Phys. 53 (2000), No.2, 121-141.

11. V. Drinfeld, Hopf algebras and the quantum Yang-Baxter equation, Soviet Math. Dokl. 32 (1985), 254-258.

12. V. Drinfeld, Degenerate affine Hecke algebras and Yangians, Funct. Anal. Appl. 20 (1986), 56-58.

13. V. Drinfeld, A new realization of Yangians and quantum affi,ne algebras, Sov. Math. Dokl. 36 (1988), 212-216.

14. T. Enright, R.Howe, N.Wallach, A classification of unitary highest weight modules, Progress Math. 40 (1983), 97-143.

15. B. Enriquez, S. Khoroshkin, S.Pakuliak, Weight functions and Drinfeld currents, Comm. Math. Phys. 276 (2007), No.3, 691-725.

16. T. Enright, R. Parthasarathy, A proof of a conjecture of Kashiuiara and Vergne, Lecture Notes Math. 880 (1981), 74-90.

17. B. Enriquez, V. Rubtsov, Quasi-Hopf algebras associated with si2 and complex curves, Israel J. Math. 112 (1999), 61-108.

18. L. Faddeev, N. Reshetikhin, L. Takhtajan, Quantization of Lie groups and Lie algebras, Leningrad Math. J. 1 (1990), 193-225.

19. E. Frenkel, E.Mukhin, The Hopf algebra Rep ^(flO, Selecta Math. 8 (2002), No. 4, 537-635.

20. R. Howe, Remarks on classical invariant theory, Trans. Amer. Math. Soc. 313 (1989), 539-570.

21. R. Howe, Perspectives on invariant theory: Schur duality, multiplicity-free actions and beyond, Israel Math. Conf. Proc. 8 (1995), 1-182.

22. M. Jimbo, Quantum R-matrix for the generalized Toda system, Comm. Math. Phys. 102 (1986), No.4, 537-547.

23. M.Kashiwara, M.Vergne, On the Segal-Shale-Weil representation and harmonic polynomials, Invent. Math. 44 (1978), 1-47.

24. S. Khoroshkin, Extremal projector and dynamical twist, Theoret. Math. Phys. 139 (2004), 582-597.

25. S. Khoroshkin, M. Nazarov, Yangians and Mickelsson algebras I, Transformation Groups 11 (2006), 625-658.

26. S. Khoroshkin, M. Nazarov, Yangians and Mickelsson algebras II, Moscow Math. J. 6 (2006), 477-504.

27. S. Khoroshkin, M. Nazarov, Twisted Yangians and Mickelsson algebras

28. Select a Math. 13 (2007), 69-136.

29. S. Khoroshkin, M. Nazarov, Twisted Yangians and Mickelsson algebras1., St. Petersburg Math. J. 21 (2010), 111-161.

30. S. Khoroshkin, M. Nazarov, Mickelsson algebras and Representations of Yangians, Trans. Amer. Math. Soc. 364 (2012), No.3, 1293-1367.

31. S. Khoroshkin, M. Nazarov, P. Papi, Irreducible representations of Yangians, J. Algebra 346 (2011), 189-226.

32. S. Khoroshkin, O. Ogievetsky, Mickelsson algebras and Zhelobenko operators, J. Algebra 319 (2008), 2113-2165.

33. S. Khoroshkin, S. Pakuliak, A computation of an universal weight function for the quantum affine algebra Uq(QlN) J. Math. Kyoto Univ. 48 (2008), 277-322.

34. S. Khoroshkin, A. Shapiro, Weight function for the quantum affine algebra Uq{Af), Geom. and Phys. 60 (2010), 1833-1851.

35. S. Khoroshkin, V. Tolstoy, The uniqueness theorem for the universal It-matrix, Let. Math. Phys. 24 (1992), No.3, 231-244.

36. P. Kulish, N. Reshetikhin, Diagonalization of GL(N) invariant transfer matrices and quantum N-wave system (Lee model), J.Phys. A: Math. Gen. 16 (1983), 591-596.

37. A. Molev, Yangians and classical Lie algebras, Amer. Math. Soc., Providence, 2007.

38. A. Molev, M. Nazarov, G. Olshanski, Yangians and classical Lie algebras, Russian Math. Surveys 51 (1996), 205-282.

39. M. Nazarov, Rational representations of Yangians associated with skew Young diagrams, Math. Z. 247 (2004), 21-63.

40. G.Olshanski, Extension of the algebra U(g) for infinite-dimensional classical Lie algebras g, and the Yangians Y(gl(m)), Soviet Math. Dokl. 36 (1988), 569-573.

41. G. Olshanski, Twisted Yangians and infinite-dimensional classical Lie algebras, Lecture Notes Math. 1510 (1992), 103-120.

42. N. Reshetikhin, M. Semenov-Tian-Shansky, Central extensions of quantum current groups, Lett. Math. Phys. 19 (1990), 133-142.

43. V. Tarasov, An algebraic Bethe anzats for the Izergin-Korepin R-matrix, Theor. and Math. Phys. 76 (1988), No.2, 793-804.

44. V. Tarasov, A. Varchenko, Jackson integral representations for solutions to the quantized KZ equation, Algebra and Analysis 6 (1994), No.2, 275-313.

45. W. Yang, Y. Zhang, Drinfeld basis of the twisted quantum affine algebra2)

46. Uq(A2 ) from the Gauss decomposition of an L-operator, J. Phys. A: Math. Gen. 34 (2001), L205.

47. D. Zhelobenko, Extremal cocycles on Weyl groups, Funct. Anal. Appl. 21 (1987), 183-192.

48. D. Zhelobenko, Extremal cocycles and generalized Mickelsson algebras over reductive Lie algebras, Math. USSR Izvestiya 33 (1989), 85-100.