Методы интегрируемых систем в теории представлений тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Федеральное государственное унитарное предприятие Государственный научный центр Российской Федерации Институт Теоретической и Экспериментальной Физики им. А. И. Алиханова

На правах рукописи

Лебедев Дмитрий Ростиславович

Методы интегрируемых систем в теории представлений

Специальность: 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени ' доктора физико-математических наук

003492478

МОСКВА 2010 г.

003492478

УДК 539.1.01

Работа выполнена в ГНЦ РФ - Институте теоретической и экспериментальной физики, г. Москва.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

H.A. Славнов (Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, г. Москва)

доктор физико-математических наук A.C. Горский (ГНЦ РФ ИТЭФ, г. Москва)

доктор физико-математических наук М.А. Ссменов-Тян-Шанский ( Петербургское отделение Математического института РАН, г. С.Петербург)

Ведущая организация: ЛТФ ОИЯИ, г. Дубна

Защита диссертации состоится 2 марта 2010 г. в Ц часов на заседании Диссертационного совета Д 201.002.01 по защите докторских диссертаций в конференц-зале Института теоретической и экспериментальной физики по адресу: 117218, г. Москва, ул. Большая Черемушкинская, 25

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТЭФ. Автореферат разослан 29 января 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук '' / В.В. Васильев

1. Общая характеристика работы

1.1. Актуальность темы

Исследование взаимосвязей между точно решаемыми моделями и теорией представлений групп Ли (конечномерных и бесконечномерных) является важной задачей современной теоретической и математической физики. Настоящая работа посвящена исследованию и нахождению таких взаимосвязей.

Первые работы по применению групповых методов в теории интегрируемых систем появились в конце 1970-х годов и в настоящее время являются одним из базовых подходов в теории интегрируемых систем.

Другим базовым подходом в теории точно решаемых квантовых систем является квантовый метод обратной задачи рассеяния, введенный и разработанный группой Л.Д. Фаддеева. Бесспорным преимуществом последнего подхода является его применимость к квантовым системам, отвечающим бесконечномерным группам Ли. Применение теоретико группового подхода, к примеру для построения волновых функций в виде матричных элементов, наталкивается на серьезные трудности, связанные с недостаточным пониманием бесконечЕюмерной ситуации.

Несомненно, сравнение этих базовых методов является важной задачей и полезно как для теории представлений, так и для теории интегрируемых систем. Одним из центральных результатов этой работы является интерпретация волновых функций цепочки Тода, построенных в рамках метода разделения переменных в виде итеративного интеграла Меллина-Барнса в терминах теории представлений. Основным инструментом конструкции является обобщение метода Гельфанда-Цейтлина на случай бесконечномерных представлений основной серии. Напомним, что оригинальный результат Гельфанда-Цейтлина доставляет конструкцию неприводимых конечномерных представлений классических групп. Фактически решающим шагом является выбор специальных координат на группах Ли и в максимальных коммутативных подалгебрах универсальных обертывающих алгебр. Так понимаемый метод Гельфанда-Цейтлина обобщается на случай Янгианов и

квантовых аффинных алгебр, отвечающих произвольной полупростой алгебре Ли, а также на случай произвольных квантовой групп. Это приводит к построению специального класса представлений Янгианов и квантовых аффинных алгебр, которые задают квантование пространства модулей С-монополей в случае Янгианов и пространства модулей периодических С-монополей в случае квантовых аффинных алгебр. Таким образом, модули монополей задают класс универсальных разделенных переменных, которые переходят в разделенные переменные интегрируемых систем в результате различных специализаций и редукций. Таким образом, теория монополей связывается с теорией интегрируемых систем. Заметим, что квантование пространства модулей монополей (точнее, его большой открытой клетки) задается квантованием группы Пуассона - Ли и, следовательно, задается специальным классом представлений Янгианов и квантовых аффинных алгебр.

Другой пример взаимосвязи точно решаемых систем с теорией представлений доставляет новый класс деформаций алгебр Каца-Муди и представлений вершинными операторами, построеных в этой работе. Этот новый класс бесконечномерных алгебр Ли тесно связан с теорией нелокальных итегрируемых уравнений построенной в этой работе .

Поэтому тема диссертации является актуальной, а решение поставленных в ней задач представляет безусловный интерес как для специалистов по теории интегрируемых систем и теории представлений, так и для широкого круга физиков-теоретиков, которые, так или иначе используют изложенные результаты в приложениях к квалтовой теории поля и теории струн.

1.2. Цели и задачи работы

Целью диссертации является изучение связей между точно решаемыми системами и теорией групп, их представлений и геометрией пространств модулей монополей. С одной стороны, в работе изучаются соответствующие математические структуры . С другой стороны, изучение таких структур позволяет получить информацию о свойствах самих точнорешаемых уравнений. Например, изучение интегральных представлений волновых функций цепочки Тода в разделенных переменных групповыми методами, приводит к обобщению метода Гельфанда - Цейтлина на случай бесконечномерных представлений основной серии. Правильная переформулировка постановки классической задачи приводит с одной стороны к объяснению глубокой групповой природы одного из наиболее мощных методов теории точно решаемых систем - метода разделения переменных, а с другой стороны позволяет построить новый класс бесконечномерных представлений Янгианов и квантовых

аффинных алгебр отвечающих любой полупростой алгебре Ли. В тоже время, исследование структуры построенных представлений раскрывает связь между интегрируемыми системами и теорией монополей.

Все это указывает на высокую эффективность применения современной теории точно решаемых квантовых систем для выявления новых математических структур в теории представлений, геометрии и теории чисел. Обратное влияние на точнорешаемые модели также весьма существенно.

1.3. Основные результаты, выносимые на защиту

1. Используя методы геометрии комплексных торов, описан общий класс твистованных граничных условий и самодуальных связностей постоянной кривизны, обобщающий решения с дробным топологическим зарядом, введенных т'Хоофтом (тороны). Введены торонные поля на решетке, являющиеся решениями решеточных уравнений самодуальности.

2. Построены и классифицированы минимумы действия в твистованной теории Егучи-Каваи.

3. Построена алгебраическая теория нелокальных итегрируемых уравнений на прямой, являщихся интегрируемыми деформациями обобщенных уравнений KdV, MKdV и двумеризованной цепочки Тода. Покачано, что эффекты некоммутативной геометрии отвечают за появление нелокальных дисперсий. Построенные системы являются новыми интегрируемыми иерархиями.

4. Построена алгебраическая теория нелокальных интегрируемых уравнений на окружности, являщихся интегрируемыми деформациями обобщенных уравнений KdV, MKdV и двумеризованной цепочки Тода. Построенные системы являются новыми интегрируемыми иерархиями.

5. Введен новый класс бесконечномерных алгебр Ли серий Л, В, С, D, обобщающих т.н. Sin- алгебру Ферли. Построенные алгебры Ли являются деформацией алгебр Каца-Муди и тесно связаны с нелокальными интегрируемыми уравнениями, описанными в пунктах 3 и 4 . Построено представление вершинными операторами этих алгебр Ли.

6. Установлена связь квантового метода разделения переменных и теории представлений.

7. Предложен новый, теоретико групповой метод построения интегральных представлений для волновых функций в разделенных переменных, основанный на обобщении метода Гельфанда-Цейтлина на случай представлений основной серии и построения матричных элементов в построенной реализации.

8. Получено обобщение метода Гельфанда-Цейтлина, являющегося основным техническим средством для описания этой связи: данные рассеяния в С^ЗМ предстают параметрами Гельфанда-Цейтлина в представлениях основной серии.

9. Построены новые, факторизованные, интегральные представления для волновых функций цепочки Тода и модели Сазерленда.

10. Построен новый класс бесконечномерных представлений Янгиана для любой полупростой алгебры Ли. Описана Пуассонова геометрия, ассоциированная с построенным классом представлений. В частности, показано, что соответствующие симплекти ческие листы изоморфны пространству модулей С-монополей.

11. Показано, что пространство модулей С-монополей играет роль пространства универсальных данных рассеяния и что построенный класс бесконечномерных представлений Янгиана является квантованием пространства модулей С-монополей. Как следствие, эта конструкция устанавливает явную связь теории интегрируемых систем с теорией С-монополей, что решает известную проблему Атьи-Хитчина.

12. Аналогичный результат получен для пространства модулей периодических С-монополей. Точнее, построен новый класс бесконечномерных представлений квантовых алгебр Каца-Муди для любой полупростой алгебры Ли, являющийся квантованием пространства модулей периодических С-монополей.

13. Построен новый класс бесконечномерных представлений квантовых групп 179(д) для произвольной полупростой алгебры Ли д.

1.4. Научная новизна и практическая значимость результатов

Все представленные на защиту результаты являются оригинальными разработками автора диссертации и новыми на момент их публикации. Результаты опубликованы в ведущих российских и зарубежных журналах, докладывались на международных конференциях и представлены в их публикациях; они широко известны в научном сообществе и цитируются в работах других авторов в близких областях теоретической и математической физики. Результаты, лежащие в основе диссертации, были опубликованы в 1983-2005 годах в работах 11-17].

1.5. Апробация диссертации

Результаты, полученные в диссертации, неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах ИТЭФ, ФИАН, МИАН, ПОМИ и ИТФ им. Л.Д.

Ландау. Результаты диссертации были также представлены автором на научных семинарах в Математическом Институте Макса Планка (Германия), РИМС, Киото (Япония), Институте высших научных исследований (Бюр-сгор-Иветт, Франция). Результаты были представлены на многочисленных международных конференциях по различным областям теоретической и математической физики, в частности на конференциях:

Фаро (21-25.07.03)Португалия; Твснти (15-17.12.03) Голандия; Карлштад (5-10.07. 2004) Швеция; Дубна (24-28. 01.2005) Россия; Санкт Петербург, (27.06-3.07. 2005) Россия; Лидс (16-17.12.2005) Англия.

1.6. Публикации

По материалам исследований, представленных в диссертации, опубликовано 17 работ, из них 14 в журналах из Списка ВАК.

1.7. Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 52 наименований. Объем работы составляет 120 страниц.

2. Содержание работы

В Главе 1 описывается связь геометрии комплексных торов и торонов т'Хоофта. Первый пример самодуальных решений с постоянной кривизной на четырехмерном евклидовом торе, удовлетворяющих нетривиальным твис-товапным граничным условиям, был построен в 1981 году Г. т' Хоофтом. Эти решения, называемые торонами, обладают дробным топологическим зарядом.

В этой главе, используя геометрию комплексных торов, получены наиболее общие решения уравнений самодуальности, отвечающие твистованным граничным условиям, обобщающие торонные решения т'Хоофта. В конструкции твистованных граничных условий существенную роль играет теория многомерных 0-функций. Построены также решеточные аналоги торонов.

К этой конструкции естественно примыкает классификация минимумов в твистованной модели Егучи-Каваи. Как показано в этой главе, эти минимумы описываются унитарными представлениями конечной группы Гейзенберга, действующей в пространстве 0- функций на комплексных (абелевых) торах.

Глава 2 посвящена построению алгебраической теории интегрируемых уравнений с нелокальной дисперсией. В ней строятся иерархии интегрируемых

уравнений с неполиномиальной дисперсией. Простейшим уравнением в иерархии является нелинейное уравнение

щ + «Г1«* + 2иих + Т[ихх\ = 0, (0.1)

где и = и(х, ¿), щ — ди/д1,, их — ди/дх и

1 ГОО г ,

Ти(х) = - Р.У. у соСЬ [-(г/ - х)\ и(у)с1у . (0.2)

Уравнение (0.1) описывает распространение длинных волн на границе двухслойной жидкости (5 - глубина слоя) и в пределе 5 0 переходит в уравнение К (IV ^

щ + 2 иих + -иххх = 0. . (0.3)

О

Уравнение (0.1) является интегрируемой деформацией уравнения К (IV (0.3). Мы будем обозначать его К(1У&.

Алгебраическая теория обобщенных уравнений К(IV была построена И,М. Гельфандом и Л.А. Диким. Алгебраическая теория уравнений нелокальных аналогов т.н. КдУй была построена в работе [5].

Пусть В дифференциальное кольцо комплекснозначных функций (гладких, убывающих вместе со всеми своими производными на ±оо). Такое кольцо снабжается дифференцированием дх: В —> В. Обозначим через В((£~'))

N

кольцо формальных рядов Лорана X = ^ наД & с конечным

^'=-00

числом положительных членов. В кольце #((£-1)) имеется два дифференцирования

= д/д£ и дх : ^дхХМУ ■

Введем ассоциативное (некоммутативное) умножение

X о У = ^ 1/»! Х^У^, (0.4)

а>0

где Х^ — д£Х, Ух^ = д'*У. С помощью умножения о (символьное умножение) кольцо В((СУ)) наделяется структурой комплексной алгебры Ли Я с коммутатором [а, 6] = а о Ь - Ь о а. Алгебра Ли Я разбивается в

{ N Л

прямую сумму подалгебр Ли Я = Я+ + Я-, где Я+ = < ^^(г^)-7 > и

и=° )

г -1 1

£/- = < >. Будем обозначать Х+{Х-) проекции символа X на

I I

g+(S-). Пусть res = -X-1- Для любого X € ^((Г1)) введем

функцию tr

trX

00

= J resXdx. (0.5)

Основным свойством следа £г является свойство ¿г [ж, у] = 0. Таким образом, на алгебре Ли Я определено инвариантное, невырожденное скалярное произведение {х,у) = 1г(ху).

п

Теорема 1. Пусть Ьо = 1^ск{т-€)к> Ск £ С^^М-1], °п = 1- Пусть

к=О

щ(х), ] = 0,... ,п — 1 являются функциями, убывающими вместе со всеми

своими производными. Тогда существует единственный символ -1

К = ^ такой, что

j=-co

(г) коэффициенты являются голоморфными функциями, ограни-

ченнъши и непрерывными вплоть до границы полосы —6 < 1тг < 5;

(гг)

(1 + к-)Ьо{1 + к+)~1 = ьед+, (0.6)

где коэффициенты = К](х—гд), = К^{х+г5) символов К± являются ограниче- ниями голоморфных функций на нижнюю (верхнюю) границы полосы Пгг = {г = х + гу, — 5 < у <

(т) ЦК- - К+) := £ Т(К; ~ = г(К- + К+);

_7=-сс

(т) коэффициенты Кр символов К± лежат в кольце, порожденном функциями и^(х) и операторами й/йх и Т.

Уравнения

и = ьм+ - М~Ь, (0.7)

где Ь определен условием (0.6), а

М±=[(1 + К±)М0(1 + К±)-1] + ,

771

где Мо = Щ^У, тз С С(й, и К построен в теореме 1, называется

иерархией обобщенных уравнений К<1Уь. Перепишем уравнение (0.7) в виде

и = -г{Ь{ХЬ)+ - (ЬХ)+Ь), (0.8)

где X = [(1 + К+)Х0(1 + К~)~]_, Х0 :== М0/Ь0. Уравнение (0.8) указывает на то, что обобщенные уравнения КсГУг являются Гамильтоновыми уравнениями относительно второй скобки Гельфанда-Дикого и, следовательно, должны существовать нелокальные функционалы На, такие, что

8На = У гез(1 + К+)1№*)( 1 + К~)5Ь. (0.9)

Существует описание кольца нелокальных функционалов 5К/с(ио,.. • и«-1), на котором скобки Гельфанда-Дикого определены корректно и такие, что

На е эг^ио, ...и„-1). Напомним известную конструкцию Гельфанда-Дикого. Рассмотрим подпространство N С 9+, определенное как N = < Ь = Ьо + г щ(г£)к г • Для

I к=0 )

любого построим векторное поле Ух па N

УХ(Ь) = -г(Ь(ХЬ)+ - (ЬХ)+Ь). Поля Ух образуют алгебру Ли относительно скобок

[Ух(Ь),УуЩ) = У[хх]„ где [Х,У\Ь = 1{Х{ЬУ)+{ХЬ)_У - гдГ/дЬУх(Ь))^ -(*<-> У).

Два форма ш(Ух, Уу) = {Ух(Ь),У} на векторных полях Ух кососиммет-рична и замкнута.

Теорема 2. Обозначим через У = —г{К~ — К' ), где символ К определен в теореме 1. Тогда

(1). Обобщенные уравнения К(1Уь являются Гамильтоновыми относительно второй Гамильтпоновой структуры Гельфанда-Дикого и обладают бесконечной ссриви законов сохранения На в инволюции

{На,Щ} = 0.

(2). Гамильтонианы На для а = 0,1... представимы в виде

2к / . \'2А+1

На = res

00 хВ / . \ ¿К+1

(zL0 + Ьи/25Ш)а х g (^J (J У) /(2к + 1)

где i/o,? =

(3). Эквивалентно, Гамильтонианы На могут быть представлены в виде

На = J res {гЬо(Х) - L0,x{\)/25) i(»A)°[ln(l + К~{А)) - 1п(1 + К+(А)],

где 1 + К^(Х) считаются рядами от коммутативной переменной А и осе члены в последней формуле умножаются как формальные ряды (а не как символы).

Следствие. Иерархия обобщенных уравнений KdVs является интегрируемой деформацией иерархии обобщенных уравнений KdV.

В работе [7] строятся интегрируемые деформации иерархий MKd V и обобщенных уравнений 2d Toda. В работе [8] построенные иерархии описываются в терминах билинейных уравнений типа Хироты. В работе [6] аналогично построена формальная теория обобщенных уравнений KdV¿, отвечающая периодическим граничным условиям.

В Главе 3 вводятся алгебры Ли квантовых торов серий А, В, С и D.

Алгебраическая формулировка интегро-дифференциальных интегрируемых систем, описанная в Главе 2, равносильна введению специальных неа-белевых алгебр некоммутативного тора. Впервые такие алгебры возникли в работах Конна и Риффеля в связи с изучением двумерной теории Янга-Миллса на некоммутативных торах. В этой главе мы построим алгебры Ли некоммутативных торов типов А, В, С, D.

1. Серия Ah, H = (Ki,.. .,hk).

k ^

Пусть a — (ai,...«*) Ç. Zh и (h, a) = tk&i- Алгебра Ли Ац задается

i= i

генераторами Aa¡m, занумерованными индексами (а, т) Е (ZkxZ)/(0,..., 0) и центральным элементом с и определяющими соотношениями

[Aa<mApj\ = 2i sin [т(Н, ¡3) - l(h, a)] /ía+/3,m+¡ + m¿a+/3i0<W,o • c. (0.10)

Алгебра Ли (0.10) является многопараметрическим обобщением тригонометрической алгебры Ферли и обладает замечательным представлением вершинными операторами. Точнее, рассмотрим ее бесконечномерную подалгебру Гайзенберга s = {Aotm\m G Z\ 0}. Определим производящие функции генераторов Xa(z) как

lez

где a S \ (0,..., 0). Заметим, что все генераторы Ац лежат либо в s, либо являются коэффициентами Лорана рядов Xa(z).

Рассмотрим вершинные операторы

^ 2i 22 2msin(m(/j,a))xm 2г £ Ап{т{П,а))д/дхт

Xa(z) = аае с mïl ,

где а е %к/{0,... ,0). Определим Xaj = dzzl~lXa(z), где контур интег-

т р

рирования Г содержит 0.

Теорема 3. Отображение ж такое, что

тг(Л0,„) = Xa,n; aeZ*\(0,...,0); ,m) = д/дхт, 7г(Ло_т) = ТПХт, 7г(с) = 1 Ш > 0

задает неприводимое представление старшего веса алгебры Ли Ац в пространстве V = С[хi,X2, хз,...] при условии, что константы аа удовлетворяют уравнению

аааа, = |>+Q' - «T(aW)] - q~°) (V' - <Г°')]

которое имеет единственное решение (с точностью до умножения на

¿М), A = (Aj...Afc)J

Qa

аа =-•

qa - q~a

Вакуумное состояние равно |0) = 1 и старший вес А е Н* определяется из уравнения Л(Ла)о) = аа. Здесь Н = [Aaß[a &Zk/{0,...,0)} является максимальной коммутативной подалгеброй An.

Пусть Eij, i,j €= Z удовлетворяют коммутационным соотношениям А^ с произвольным центральным зарядом с

Ekti] = 5jtkEij - 5itiEkj + ip(Eij,Ektl) ■ с,

где ф есть 2-ко цикл на А», определяемый условиями

Ejti) = —ip(Ejti,Eij) = 1, * < 0, j > 1,

i}{Eu,Ekil) = 0,i>0, j < 0.

Следствие 2. Генераторы Anjn: (а, m) G Ък xZ/0 определяемые формулой

Aa,m — QmX (l2nXEn,n+m + <^m,0ßA ' c, (0-H)

nez

г<9е ад — qx/(qx — </~Л) удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Ли Ah.

2. Серия Bh, tl = (Hh ...,hk) Тригонометрический базис в ßjt имеет вид

Ва,т = Ла,т - (-1)тЛ_а,т, (а, то) е Ък х Z \ 0.

Подалгебру Вд можно описать как подмножество неподвижных точек автоморфизма второго порядка тв алгебры Ли Ац, определяемого формулой

т~в(Аагп) = (—l)mv4_ajm,

т.е. тв{Ва,тп) = Ba¡rn. Коммутационные соотношения для В а в базисе Ват имеют вид

[Ва,т, Bpj] = 2i sin(m(h, ¡3) - l{h, a))Ba+f},m+i+{-l)l2i sin (m(h, /3)+l(h, a))+

+Ba-(3tm+l + m(5a+J¡3io — (-l)™íarft())5m+!,0 ' С

Пусть Bœ подалгебра Aœ, сохраняющая билинейную форму ^ C¿5 Bj ^-

в С°° х С°°. Обозначим через Вж одномерное центральное расширение Во с помощью коцикла 1/2ip. Тогда вложение Вп в Bœ определяется формулой

Bot,m ~ Qma У ] Q2"a (Еп,п+т — ( —1 )тЕ-п,-т,-п) + Smflba ■ С, nez

где ba = z"1 (qa + q~a) (qa — q~ayl. В случае, когда h = h¡ и h\ € irQ алгебра Ли Bf¡ совпадает с центральным расширением квантованного по Вейлю-Моялу алгебры Ли, сохраняющей площадь для бутылки Клейна.

3. Серия Сп

Тригонометрический базис в Сц

Са,т — ( 1) Q -А— а,m-

Пусть тс(Аат) = (—1 )mq2aA-a¡m, автоморфизм второго порядка алгебры An, тогда Тс{Сат) — Са,т и Алгебра Ли Сп задается генераторами Са,т и определяющими соотношениями

[Са,т,СрД = 2г s\n(m(h, /?) - l(h,a))Ca+(3,m+i. + 2t(-l)V"sm(m(M)+

+l(h, a))Ca-p¡m+í + m(25a+p¡6 - (-l)m cos(2A, o¿)5a_f%ñ)5mnfi ■ c.

Пусть С,» подалгебра Д», сохраняющая билинейную форму < e¿, Cj >— (—l)*¿£,i_j в С00 х С00. Обозначим через Ссо одномерное центральное расширение Сое с помощью коцикла гр. Тогда вложение Сц в Cœ определяется формулой

Са,т = Zq2na (En¡n+m - (-l)m^1_n_m>1_n) + 25т,0qa ■ с.

4. Серия Dh

Тригонометрический базис в Dh

Г) — А — п2а А

Пусть то(Аа,т) = д2аЛ_ага автоморфизм второго порядка алгебры Ан. Тогда Tß(Daim) = Da-m. Алгебра Ли DTl задается генераторами Dam,c и соотношениями

[Da,m, Dßj] = 2ism(m(h,ß) - l(h, a))Da+ßtm+l+

+2iq2ß sin(m(h, ß) + l(h, а)) x Da.ß>m.H + - q2aSa^ßfi) ■ 6mUß ■ c.

Пусть D0о подалгебра До, сохраняющая билинейную форму < ег-, ej > — в С00 х С°°. Обозначим через Д» одномерное центральное расширение Дх, с помощью коцикла 1/2-0. Тогда вложение/Л в Д» определяется формулой

Д>,т = Qma У ] {,Еп,п+т — -^Т-п-тД-и) + ¿mßda ' С. n£Z

Рассмотрим специальное значение h = h) , h\ G тtQ. Пусть V^,i7l2]ТГ1, где V = А, В, С или D. Можно показать, что при специальном значении Н— hij можно наложить дополнительное условие

Vni+rN,П2,т —

^пх,п2,т•

Теорема 4. Алгебры С^/^Лг ^-/nm имеют следующие

пределы при h\ О

1. At/N}tlJ переходит о .

2. B^/fffi^ переходит в если N = 21 + 2 и в А%\ если N = 21 + 1.

3. Ся/xfa переходит о Gf\ если N = 2/ и в Л®, если N = 21 + 1.

4. Ar/W,/« переходит в если N = 21 и в если N — 21 + 1.

Глава 4 посвящена квантованию пространства модулей G-монополей.

Пусть f) с b С g полупростая алгебра Ли 0 ранга I над С с подалгеброй Картана f) и Борелевской подалгеброй Ь. Пусть а — Ца^Ц матрица Картана i,j — 1 Г множество вершин диаграмм Дынкина g, {cti G

fj*,г G Г} множество простых корней и ,i G Г} множество ко-корней (üij = аУ). Существуют положительные целые d\,..., de, такие, что матрица (¡(•¿¿fl^-jj симметрична. Следуя В.Г. Дринфельду, удобно определить генераторы алгебры Хопфа Y(g) в терминах производящих формальных рядов

Я,-(и), Е^и), и ¿¿(и), г € Г

5—0

(0.12)

5=0

удовлетворяющих соотношениям

[Щ(и),Щ(у)] = 0, (0.13)

(0.14)

2 4 " и-V

[£?,-(«), = 5.., (0.15)

[ВД.ЗД] = [^.ад-ад]

^ и 1) а V

г Ф 3, аИ Ф

Е Шиа{2)),..., Щь)} ...]] = 0 ,

себ„

£ [ЯОчи). №.(2)), • ■ ■ > №К(п))> ВД] •••]] = 0.

<х£бп

п= 1 - ,

где [а, 6]+ := аЬ + 6а.

Введем множество переменных {7^; г 6 Г; г = 1,....гп;}, где тп{ произвольные положительные числа. И пусть 971 обозначает пространство меро-морфных функций этих переменных. Пусть = , где дЪк :=

являются дифференцированиями по Введем полиномы степени m* от переменшой и

Ж") = - 7if) > * е г- (0.17)

p=i

Рассмотрим операторы

иг \ пм^^1 (°-18)

Щ(и) = Щи) ^Mu-fia,,«)) '

I -ан

т( П П рзЫк ~ %i(oti + ras, а,))

и и рфк

mi

-1/2

к= 1

Щи) - ~d;1/2 £ Rib,к + f(«b^)) х

»-1

П П Ps{%k - f (a, + ras, а3) + Щоц, а{)) (0.20)

_/З.к>

{и - 7i,fc ~ f (ai, ai)) П Ык - lip)

Тфк i — l,...,ê,

где полиномы Ri(u) будут описаны ниже.

Теорема 5. (1). Для любого множества целых положительных чисел {rrii}, удовлетворяющих условиям Ц := uijCiji S £4-, рассмотрим полиномы

к=1

где {v^k G Г, к = 1,..., ¿¿} является множеством произвольных комплексных параметров. Тогда операторы (0.18)-(0.20) рассматриваемые как формальные ряды по м-1 задают представление F(g) в пространстве Л4. Это представление параметризуется выбором целых положительных {шг}, удовлетворяющих ограничениям (Ц > 0) и произвольными комплексными параметрами {щ,к}-

(2). Пусть {m;} произвольные целые и Fti(u) рациональные функции вида

П («-"&)

ВД = ^-, (0.22)

А_=1

где ,i е Г,А = 1,...,/^}- множество произвольных комплексных параметров и If — /г" = Ylj=imjaji- Тогда операторы (0.18)-(0.19), рассматриваемые как формальные ряды от W1, задают представление У(Ь) в пространстве Ai. Эгпо представление параметризуется выбором {т*} и произвольными комплексными параметрами

Опишем Пуассонову геометрию, отвечающую пределу h—> 0 описанного представления Янгиана . Это приводит к точной связи построенного представления У(д) с пространством модулей G- монополей.

Пусть Yd(g) и Усг(Ь) Пуассоновы алгебры, отвечающие классическим пределам У(д) и У(Ь). Генераторы могут быть описаны как функции на формальной группе петель LG- в окрестности тривиальной петли д{и) — е, где е е G единичный элемент. Мы используем ее параметризацию в терминах бесконечных рядов вида

F(u) =

з=0

Описание Пуассоновой алгебры Ус;(д) в терминах генераторов и соотношений может быть получено из (0.13)-(0.16) в пределе Й 0

{/ц(«),М«)} = 0, (0-23)

к

= -(<*, а,-)

Ы(иЩи) - fj(v))

(0.24)

ti-v

г / \ е / \Л a hi{u)-hi{v) {ei{u)Jj{v)} = —Sij-jj—-jj-,

(0.25)

г / \ , м , ЛФ) -е<(г>))2

(ег(и),е.г(г;)} = -{оц,аО— у ,

Ш«) ,/<(«)} = («.^М^да,

ЩиЩу)} = м'МШ") -^

и и ни

г Ф 3, ч Ф

X] {^Ко))» (ег(ист(2)), • • •, {<*(«„(„)), еДг>)} ...}}= О,

<т€б„

£ Ш*чи)> Ш«*®). • • •, Ш*ч„)), /»} ...}} = о, (0.26)

п = 1 — ац, (гфз)-

Существует простая интерпретация генераторов 1ц(и), в{(и), /¿(и). Фиксируем разложение Гаусса для элемента д(и) е ЬС-

I

д{и) = ехр(]Г/а(«)^а) • ехр (£<Ж#0 • ехр (£еа(и)£а), (0.27)

а ¿=1 а

где Щ, Еа обозначают базис в алгебре Ли д занумерованный положительными корнями а, а ф,(и),/а{и),еа(и) задают локальные экспоненциальные координаты на группе Функции (¡¡(и) := еа1 (и), /¿(и) := /а.(-и), отвечающие простым корням «г вместе с /¿¿(и) = схр{ - апФАи)\ определяют множество генераторов, удовлетворяющих соотношениям (0.23)-(0.26). Локальные координаты <&(ы), е;(м), /¿(и) записываются в терминах матричных элементов фундаментальных представлений [/(д). Пусть {щ} будет множеством фундаментальных представлений, отвечающих фундаментальным весам {о^} о£ д, а будут старшим/младшим векторами этих представлений. Обозначим через а*(и), Ь{(и), Сг(и), и) формальные ряды

ф) = {««МЯК-С? ,

й(и) = (г^тт¿Е^ШЫР^?) ■

Генераторы ^(в) выражаются через матричные коэффициенты (0.28) формулами

I

}ц(и) = ехр{- ^алф^и)}, еф<{и) = ец(и),

о» (и)

Ми) = —- . сц{и)

Рассмотрим классический предел представления Янгиана, построенного в теореме 5. Это представление обладает следующим свойством: образы Е^(и) есть рациональные операторно-значные функции от и с простыми полюсами.

Пусть даны скобки (0.23)-(0.26) на ЬС~, тогда построенные представления задают симплектические листы в ЬС-. Подобное описание, в терминах симп-лектических листов в ЬВ- справедливо и в случае У^(Ь).

Будем называть симплектический лист О рациональным, если ограничения генераторов е^и) на О являются рациональными функциями от и и пусть ОС О определяет открытое подмножество генераторов е^и) имеющих только простые полюсы.

Построенные симплектические листы допускают описание как симплектические многообразия. Открытые части О^ рациональных симплектических листов в ЬВ- отвечающие представлениям построенным в теореме 5 изоморфны (как абстрактные многообразия) открытым подмножествам пространства ■Мь(т) базированных рациональных отображений

е = (еь ■ • • , еА : (Р1, оо) (Р1 х ■ ■ ■ х Р*,,0 х • - • х 0), (0.30)

£

фиксированной мультистепени т = (шх, • • • , те), где е^и) являются генераторами У^г(Ь), отвечающими простым корням. Аналогично открытые части Орациональных симплектических листов в отвечающие представлениям построенным в теореме 5 изоморфны открытым подмножествам пространства Мь(т) с дополнительными ограничениями = ^ е

Можно переформулировать описание симплектических листов следующим образом. Рассмотрим пространство .А4(т) голоморфных отображений Р1 —> О/В мультистепени ш = {ту,..., те) € Л^, где Л^/ = Нг{С/В, Щ является решеткой ковесов д. Будет полезно рассматривать С/В как многообраие параметризованое Борелевскими подгруппами в С. Фиксируем некоторую В+ и пусть Ь+ С С?/В задает соответствующую точку многообразия флагов.

Фиксируем локальную координату в Р1 и рассмотрим отображение e.Voc : Л4(т) —> G/B, определеное как еуж : / —> ¡(об). Таким образом, Л4(гп) наделяется структурой расслоенного пространства над G/B со слоем, естественно отождествляемым с пространством модулей А'ЬДт) базированных голоморфных отображений / : (Р^оо) —> (G/B,b+) мультистепени ш. Оказывается, открытая часть A4j(m) отождествляется с пространством модулей _Mf,(m), введенном выше. Действительно, это следует из результатов В.Г. Дринфельда. Известно, что Л4ь(т) является гладким многообразием размерности

dim Л^б(т) = 2|т| = 2(mi + ... + mi).

Явное описание Л^б(т) получается обобщением классического вложения Плюккера G/B в произведение Пгсг^(^) нроективизаций фундаментальных представлений VWi следующим образом. Пусть яд : U(q) End(Vx) является неприводимым представлением универсальной обертывающей алгебры U(д.) старшего веса А. Обозначим Уд — V\ Opi соответствующее тривиальное векторное расслоение на Р1. В локальной координате Г(А1, Уд) = Va®C[m]. Обозначим через старший вектор в Уд относительно В+. Пусть Vх обозначает младший вектор в дуальном представлении VAv, нормализованный условием = 1. Введем также дополнительное множество векторов TT\(Fi)v+, ir\(Ei)vx, где F* и Ei являются генераторами, отвечающими простым корням о.{. Таким образом для сечения vx Е Г(А1, Уд) имеется разложение vx(u) = ад (и) • t>+ + ]£i6r bx(u)^(Fi)v+ + ФХ(и) с <АА С Г(Л\ Уд) удовлетворяющее {иА|</>А} — = 0.

Следуя В.Г. Дринфельду, пространство модулей A1j(m) изоморфно пространству Zm множества сечений Vх(и) для любых А С удовлетворяющих соотношениям

1. Многочлены яд (и) являются monic степени (т, А);

2. Степень (?;А — a\(u)vx) строго меньше {т, А);

3. Для любого (7-эквивариантного морфизма ф : V\ <g> V^ —* Vv такого что v = ц + Х и сопряженного морфизма такого что ф*(у") = Vх ® v'i имеем ф(ух <g> v^) = vu;

4. Для любого G-эквивариантного морфизма ф : V\ <g> V^ —> Vv такого что v < ц + А имеем ф{их <g> v*1) = 0.

Легко видеть, что множество {i>A, А & Л^.}, удовлетворяющее соотношениям (1)-(4), определено своим подмножеством {г/"'1}, соответствующим фундаментальным представлениям щ. Более того, для любых полиномов aUi(u) и

Ъхш {и), удовлетворяющих условиям (1) и (2), существует такое сечение ф"'{и), что для гГ'(и) = а„<(и) •+ + фш*(и) соотношения (3) и (4)

выполнены. Рассмотрим подмножество полиномов и Ь^ таких, что корни 7полиномов а^(и) не совпадают7^ Ф 7^ для (г, к) ^ (_7,/). Пространство таких полиномов аг(и) = 6;(и) = имеет размерность 2|т| и

потому изоморфно открытому подмножеству в пространстве модулей Л4ь(т). Заметим, что полиномы а^и) и Ь{(и) определяют отображение е € ЛАь(т)

(Р\оо) (Р1 х ... х Р1,0 х ... х 0),

£

задаваемое

е(и) = {Ь\{и)1а\(и)) х ... х (Ье(и)/ае{и)). Таким образом, мы установили изоморфизм открытых частей пространств модулей

ф : Мь{т) —> Мь(т). Суммируем вышесказанное в нижеследующей теореме Теорема 6. (1). Открытые части

рациональных симплектических листов У^г(Ь), отвечающие представлениям, построенным в теореме 5, изоморфны открытым частям пространств базированных отображений

(Р1, оо) —» {С/В, Ь+) (0.31)

фиксированной степени ш = (ту, ■ • ■ ,те) б Н2(С/В,Ъ).

(2). Открытые части О^ рациональных симплектических листов отвечающие представлениям построенным в теореме 5 изоморфны открытым частям пространств базированных отображений(0.31) с дополнительным условием "Ъ'Яг'г = ^

Явная связь с описанной параметризацией представлений Яигиана описывается следующим образом. Параметризуем открытое подмножество С/ С Л^б(ш) с помощью эталыюй системы координат

{Хг,к,у^к), г = 1,... к = 1,...,пц, определяемых условиями

а^Хг,к) = 0, = Тогда координаты (ж**, г/г*) связаны с координатами (7,-^, щ^) простой заменой

XI,к = Ъ,к> (0.32)

У1,к = Щ,к П(ъ,к ~ 7м) ■ (°-33)

з^к

Классический предел части определяющих соотношений Янгиана наделяет открытую окрестность пространства Мь(т) симплектической структурой

{7.\*. 7;,«} = 0, (0.34)

(т¿.ь^'Л ~ \(щ, 1*3,1, (0.35)

= (а.-, а?) , (г,к)ф{э,1). (0.36)

1%,к -13,1

Глава 5 посвящена описанию связи теории представлений с методом разделения переменных в квантовых интегрируемых моделях. Пусть д — д[д>. Рассмотрим представление ^(д^), построенного в теореме 5, с фиксированным значением мультистепени т = (т^..., тлг) с тп = п. Приведем явные выражения для производящих функций генераторов д = дЬу

П — Inj)

n(A-7n-ij-f)

з=\

ßn(A) = 1 х Пг^аЫ 7n+i,r 2) e-mynj^ (°-37)

j=l ^ — Inj IL* (inj ~ Ins)

3=

F (X) = — 1 x П?=1 (inj — In l,r + V) i,

x - 7nj - 1Г1 n,/i (inj - Ins)

Обозначим вычеты в бесконечности по А от формальных рядов //„, Еп и F„ через Епп, Еп<п+\ и Е„-i>n соответственно. Тогда операторы

^ п п—1

Е»» = а( X/4nj - 7n-ij) (n = l,...,JV), (0.38)

j=l j=l

n+1

1 n П (7nj — ln+\,r — y)

П (inj ~ 7ns)

3

n—1

! n П (inj - 7n-i,r + f )

^-¡»Гшх-и e'^(" = 1.....ЛГ"1'

задают представление алгебры Ли дГдг в пространстве мероморфных функций [1/2)N(N — 1) переменных 7м, к = 1,..., JV — 1; г = 1,..., к. Построенные

1) ешоУпК

представления является приводимыми и параметризуются, вообще говоря, комплексными числами 7дг;, г = 1,..., ЛГ. Наша задача состоит в описании неприводимых Уиттекеровских модулей и двойственных им модулей.

Пусть п+ и п- являются подалгебрами д!(Л'), порожденными генераторами, отвечающими положительным и отрицательным корням соответственно. Гомоморфизмы : п+ —> Сх- : П-—» С однозначно определенные своими значениями на генераторах, отвечающих простым корням, называются не вырожденными, если комплексные числа х+(Дг,п+]) и х~(Еп+1,п) пе равны нулю при п -- 1,..., N — 1.

Пусть V будет Ы = ¿/(д1(А''))-модулем. Обозначим действие и & И па V 6 V как иг>. Вектор и) Е V называется Уиттекеровским относительно характера х+ если

Вектор ги' е V' называется Уиттекеровским относительно характера х- если

Уиттекеровский вектор называется циклическим для V если Ыю = V, и ¿¿-модуль называется Уиттекеровским, если он содержит Уиттекеровский вектор. Ы- модули V и V' называются дуальными, если существует не вырожденное спаривание (.,.): V' х V —> С талое, что (Хь',у) = —(у',Ху) для всех и е V, г/ 6 V и X е д!(ЛГ).

Опишем явные выражения для Уиттекеровских векторов в представлении

Еп<п+\Ь) = х+{Еп,п+1)и), (п = 1,...,ЛГ-1). (0.39)

Еп+1,пгю'= х-(Яп+у,п)™', (п= 1,...,ЛГ-1). (0.40)

(0.38).

Предложение 1. Уравнения

(0.41)

£п,п+1«>лг = -¿Л '^л,

(0.42)

для есех п = 1,..., N — 1, допускают решения

К = 1.

(0.43)

~1пк—Уп+1,т . 1 ¡Л 2

г/1

1

■). (0.44)

Ь=1 т—1

Для построения неприводимых Уиттекеровских подмодулей введем модули Ш и У/', циклически порожденные Уиттекеровскими векторами гиЛ и соответственно.

Предложение 2. Пусть тп = (тп 1,..., тпп) множество положительных целых чисел. Уиттекеровский модуль IV = Ыион порожден элементами

N-1 п

ГЦ,

П=1 ¿=1

г<Зео-д;(7п) есть элементарные симметрические функции переменных 7"Ь- 'чТшг порядка к

°к{-1п)= X] (0.46)

]1<~<1ъ

Соответственно Уиттекеровский модуль \У = ¿•/ги^, порожден полиномами

N-1 п

Ю

, = (0-47)

п=1

Модули [V и пеприводимы.

Вычислим явный вид действия элементов центра¿¿(д[(п)) на пространстве М. Известно, что производящая функция Ап{\) элементов центра £/(д[(п)) (операторов Казимира) представляется в виде

Лп(Х) = (0.48)

= ^ - гПЕ^пл^ ■■■ (А - гНр^бр^п - гЬЕр{„)^,

ЈЄ

где р^ = ¿(га—2к+1), к = 1,..., п и суммирование производится по группе перестановок Рп.

Предложение 3. На пространстве , операторы (0.^8) приводятся к виду:

п

А,(А) = П(А-7Ц*)> (П=1,...,ЛГ). (0.49)

Остается построить невырожденное спаривание между модулями IV и И7', и доказать, что модули к ЦТ' дуальны относительно этого спаривания.

Определение. Пусть ф € IV' и ф & \У. Определим спаривание (,): \¥' <8> V/ —>■ С формулой

ЛГ-1

ь, Ф) = J ЙоЫФЬ) ФЬ) П >

л-(«~1) "=1

(0.50)

К 2 ]<П

где

N-1

1М>Ь) = 1111(7п, -7пр)(е " -е " )■ (0.51)

гг—2

Напомним, что открытая цепочка Тоды, отвечающая алгебре Ли д[(7У, М)), это интегрируемая квантово-механическая система с N степенями свободы, определенная коммутирующим набором из N Гамильтонианов. Первые два Гамильтониана имеют вид

N

Ъ = ^Рз>

(0-52)

)<к

где [х„,рт] = гЫпт. Напомним общую идею, стоящую за теоретико пред-ставлеическим подходом в теории квантовых интегрируемых систем, на примере открытой цепочки Тода. Пусть V и V' два произвольных дуальных неприводимых Уиттекеровских ¿У(д[(7У,Ж))- модуля и пусть и> е V и и}' £ V' два соответствующих циклических Уиттекеровских вектора относительно характеров х+(Еп,п+1) = —г/^1 и х-(Еп^л,п) = —¿Й-1. Предположим, что действие подалгебры Картана интегрируется до действия Картановского

тора, так что функция

^.....^ = (°"53)

корректно определена. Эта функция совпадает с СЬ(М, К)- Уиттекеровской, записанной в терминах Гауссова разложения. Фиксируем представление Гель-фанда-Цейтлина (0.38) и подставим (0.43), (0.44) и (0.38) в (0.53), что приведет к выражению

Ът,.., 7™ = е-"(*°х (0.54)

/ П ^_—_- е^"^1 "'' ГТ ^

.'Ш-1У П=1 II 1 ( р)\ П=1

Л'(АГ-1)

К—Т--8<р ]<п

' где 7nj — 0 for j > п. При изучении аналитических свойств этого решения относительно ук, удобна следующая переформулировка построенного интегрального представления.

Теорема 7. Аналитическое продолжение (0.54) как функции уN может быть описано в виде

V>TN (>ь..., av) = (0.55)

П П-+-1 -у t.—л< ,1 _

.N-i п П ft2^ Г(М^) , * ^-t

- /П — ^ J п**,

П г(^)

где область интегрирования 5 определяется условиями

тт{1т 7у} > тах{1т Ук+1 т} для всех к = I,..., Лг — 1. Интеграл (0.55)

^ т '

сходится абсолютно.

Квантовая модель Сазерленда, отвечающая дС(Т^), является интегрируемой, квантово-механической системой с N степенями свободы. Она описывается системой N коммутирующих Гамильтонианов. Простейшие два имеют вид:

N

hi = YlPn>

»74 (0'56)

= У] {РпРт + . -2, -г}-

smh\xm - хп) i

Волновые функции системы являются решениями уравнений

N

= ° 1ЫФ,

4=1

ft2/4 1т (0.57)

Е fphPm + ■ .2/ -7 = ^Ы®,

frl 1 sinh (жт - хп) >

Известно, что модель Сазерленда (с константой связи 1/4) допускает решение в рамках теории представлений. Пусть V задает представление £/(д[(Лг, I и определяет вектор V такой, что

{Еп,п+1 - En+hn)vN = 0, (n = 1,..., N - 1). (0.58)

Рассмотрим Ф(хь..., хы) вида

л , - Е хкЕкк (0.59)

Можно показать что (0.59) задает (с точностью до множителя) волновую функцию модели Сазерленда. Окончательно, волновая функция Ф определяемая как

Ф = фД8тЬ1/2(^-хА)

(0.60)

3<к

удовлетворяет уравнениям (0.57).

Аналогично, как и в случае цепочки Тода, используя представление (0.38) получаем новое, факторизованное интегральное представление для волновой функции модели Сазерленда. Пусть V представление универсальной обертывающей и вектор € V удовлетворяет (0.57)- (0.58). Тогда справедливо

Предложение 4. Пусть

п п+1 л

ФпЬпПпн) = П П Й2*^* + (0.61)

т= 1

Тогда вектор

ЛГ-1 п Лг_,

V« = е 2а 4 П фп{7п) 7п+1) (0.62)

п= 1

удовлетворяет уравнениям (0.58).

Окончательно получаем новое интегральное представление для волновой функции в разделенных переменных.

Теорема 8. Решение (0.57) допускает, интегральное представление ф7^,.,7«л'(а;ь = ДвтЬ'^ж,- - хк)х

3<к

, лг-1 П П1 +1)|2 х « N-1 (0.63)

/ А-А Т-Г р/7»5-7пр\ Г АХ

щи-1) 11 [Ч щ )\ п=1

-Кр ]<п

В заключении сформулированы результаты представленные к защите.

Список публикаций автора по теме диссертации

1. D.R. Lebedev, M.I. Polikarpov, А.А. Rosly, Nucl.Phys. B325 (1989) 138-160.

2. Д.P. Лебедев, М.И. Поликарпов, АА. Рослый , ЯФ 49 (1989) 304-320. 3. Д-Р- Лебедев, М.И. Поликарпов, А.А. Рослый , ЯФ 49 (1989) 1799-1806.

4. D.R. Lebedev, M.I. Polikarpov, Nucl. Phys. B269 (1986) 285-294.

5. D.R. Lebedev, A.O. Radul, Comm. Math. Phys. 91 (1983) 543-555.

6. Д.Р. Лебедев , A.O. Радул, ТМФ 70:2 (1987) 202-210.

7. D. Lebedev, S. Pakuliak, Phys. Lett. A160 (1991) 173-178.

8. D. Lebedev, A. Orlov, S. Pakuliak, A. Zabrodin, Phys. Lett. A160 (1991) 166-172.

9. М.И. Голенищева-Кутузова, Д.Р. Лебедев, Письма в ЖЭТФ 52 (1990) 1164.

10. М.И. Голенищева-Кутузова, Д.Р. Лебедев, Письма в ЖЭТФ 54 (1991) 473-476.

11. М. Golenishcheva-Kutuzova, D. Lebedev, Comm. Math. Phys. 148 (1992) 403-416.

12. М.И. Голенищева-Кутузова, Д.Р. Лебедев, Функциональный Анализ 27 N 1 (1993) 403-416.

13. A. Gerasimov, S. Kharchev, D. Lebedev , International Mathematical Research Notices (2004) no.17 823-854.

14. A. Gerasimov, S. Kharchev, D.Lebedev, Int. J. Mod. Phys.A 19 Suppl.

(2004) 205-216.

15. A. Gerasimov, S. Kharchev, D. Lebedev, Progress in Mathematics v. 237

(2005) 133-156.

16. A. Gerasimov, S. Kharchev, D. Lebedev and S. Oblezin, Comm. Math. Phys. 260 (2005) 511-525.

17. A. Gerasimov, S. Kharchev, D. Lebedev and S. Oblezin, Contemporary Mathematics v. 391 (2005) 101-110.

Подписано к печати 21.01.10 г. Формат 60x90 1/16

Усл. печ. л. 2,75 Уч.-изд. л. 2,0 Тираж 100 экз. Заказ 559

Отпечатано в ИТЭФ, 117218, Москва, Б.Черемушкинская, 25

1 Тороны т' Хоофта и многомерные 0 - функции

1.1 Граничные условия и топология калибровочных полей на торе.

1.2 Тороны на решетке

1.3 Экстремумы твистованного действия Игучи- Каваи и представления конечной группы Гейзенберга.

1.4 Антисимметричные формы и пфаффианы

1.5 Конечная группа Гейзенберга и экстремумы действия.

1.6 Представления 1пс1^х.

1.7 Экстремумы действия и представления С?.

2 Нелокальный аналог теории Гельфанда—Дикого

2.1 Теория нелокальных интегрируемых уравнений в бесконечной полосе

2.2 Билинейный формализм Хироты для нелокальных уравнений

2.2.1 Билинейный формализм для КсГУд.

2.2.2 Билинейный формализм для МКсГУ^.

2.2.3 Нелокальное обобщение двумеризованной решетки Тоды в билинейном формализме.

2.2.4 ЛГ-солитонные решения.

2.3 Теория нелокальных интегрируемых уравнений на окружности.

2.3.1 Вещественность оператора Т.

2.3.2 Оператор Т и граничная задача тта торе.

2.3.3 Операторная форма уравнения РКсГУ^.

2.3.4 Теорема о приведении к каноническому виду.

2.3.5 Вариационные производные С^.

2.3.6 Высшие уравнения РКсГУ^.

2.3.7 Гамильтонов вид высших РКс1У£

2.3.8 Иерархия РКс1У£

3 Л, В, С, И—алгебры Ли квантовых торов

3.1 Серия ЛГп /? = (/?!., Нк).

3.2 Серия В г,, /г = (/'ь • • •, Ьк).

3.3 Серия С,„ Ь = (1ц, .,Пк).

3.4 Серия Зп, Ь=(П1,.,Пк).

4 Квантование пространства модулей (7-монополей

4.1 Различные реализации Яигиана

4.2 Построение представления У(д) и

4.3 Симплектическис листы Янгиана и пространство модулей монополей.

4.4 Представление Uq(Q)c=о.

4.5 Представление 1/д(д).

4.6 Uq(QÍv) в терминах квантового тора.

4.7 Uq(o) 0 С^(д)-бпмодуль.

5 Квантовый метод разделения переменных и теория представлений

5.1 Интегрируемые структуры на T*GL(N)

5.2 Спектральная башня ассоциированная с T*GL(N).

5.3 Обобщенный метод Гельфанда-Цейтлина

5.3.1 Метод орбит для GL(N, М) и представление Гельфанда-Цейтлина

5.3.2 Янгиан Y(qí(N)) и представление

Гельфанда-Цейтлина

5.4 Применение к квантовым интегрируемым системам

5.4.1 Открытая цепочка Тоды.

5.4.2 Гиперболическая модель Сазерлснда.

5.5 Связь с КМОЗ.

В конце семидесятых годов были сформулированы два базовых подхода к квантовым интегрируемым системам. Олынанецкий и Переломов открыли явную связь между теорией представлений некомпактных полупростых групп Ли и системами Сазерленда-Калоджеро-Мозера (СКМ) [1|-[3). Методами теории представлений удалось решить классические (квантовые) системы СКМ. Вскоре Костант и Каждан реализовали этот проект для более общих классов интегрируемых систем включая открытые квантовые цепочки Хода |4|, [5]. Волновые функции СКМ и открытых цепочек Тода оказались зональными сферическими функциями [6], [7] и функциями Уиттекера [8]—[10], соответственно. Существует обобщение этого метода на более широкие классы интегрируемых систем, отвечающих аффинным алгебрам Ли и аффинным квантовым группам (см. [11], [12] и ссылки в них). Однако до сих нор этот подход не достаточно эффективен для построения явных представлений волновых функций в силу аналитических трудностей соответствующей теории представлений.

В тоже самое время был разработан другой подход для решения и исследования квантовых интегрируемых моделей. В работах Фаддеева, Кулиша, Склянина и Тах-гаджана [13]-[1б[ был сформулирован квантовый метод обратной задачи рассеяния (КМОЗ). Этот мощный метод был успешно применен для исследования широкого спектра интегрируемых моделей [18]. Тесно связанный с КМОЗ квантовый метод разделения переменных был сформулирован в [19], [20]. Неоспоримым достоинством этого метода является возможность применения в теориях связанных с бесконечномерными группами Ли, т.е. КМОЗ существенно оперирует с бесконечномерными структурами. В подходе, базирующемся на теории представлений вещественных иолупростых групп Ли, такие структуры скрыты и поэтому он сталкивается с серьезными аналитическими трудностями при переходе к бесконечномерным группам.

Поэтому исследование взаимосвязей между вышеупомянутыми подходами является одним из приоритетных направлений современной теоретической и математической физики. Естественно ожидать, что любое продвижение в направлении от КМОЗ к теории представлений может открыть новые структуры в аналитической теории представлений и наоборот. Одним из главных результатов этой работы является описание связи КМОЗ, точнее метода квантового разделения неременных с теорией представлений.

Начнем с неформального общего определения квантовой интегрируемой системы. Общая квантовая интегрируемая система может быть описана четверкой данных (А, Н, тг, К), где А является С*-алгеброй, гамильтониан Н является элементом А, который определяет эволюцию квантовой системы, И. определяет Гильбертово пространство состояний системы и тг есть некоторое представление алгебры А унитарными операторами, действующими в И. Под интегрируемой структурой динамической системы (/1, Н, тг, "Н) будем понимать максимальную коммутативную подалгебру I а А такую, что Н & I. В невырожденном случае, условие максимальности эквивалентно условиям на размерность подалгебры I равной половинной размерности А. В том случае, когда А включается в гладкое семейство алгебр А)г таких, что А о является коммутативной подалгеброй, последнее условие означает сНт(8рес(/)) = ^сИт(8рес(/10)). Подалгебра I

1об1ор раннего периода развития метода см. [17]. является алгеброй интегрируемых гамильтонианов. С точностью до некоторых деталей, Гильбертово пространство И. может быть реализовано как подпространство функций на некотором конфигурационном пространстве X: "Н ~ 1г(Х). Таким образом мы получим другую максимальную коммутативную подалгебру /п С А - алгебру функций X. В интересных случаях, подалгебры / и /о различны и в частности Н не совпадает с /о-Под решением квантовой интегрируемой системы обычно подразумевается некоторая явная конструкция общей волновой функции для коммутативной подалгебры I, действующей в Н. Из условия максимальности для I следует, что собственные пространства одномерны для общей точки Зрес(/). Ясно, что явное решение задается некоторым преобразованием (типа преобразования Фурье) из подалгебры I в подалгебру /о- Выбор конкретного гамильтониана Н & I не будет для нас сейчас важен и мы будем описывать интегрируемую систему четверкой: (А,1,тг,Т-С). Более конкретно, мы ограничимся случаем квантовых интегрируемых систем, ассоциируемых с группами Ли.

В качестве основного примера квантовой интегрируемой системы рассмотрим систему ассоциированную с квантованием кокасательного расслоения к группе Ли ОЬ(Аг). Определим максимальную коммутативную подалгебру квантованной алгебры функций на Т*СЬ(А). Напомним, кратко некоторые примеры квантовых редукций. Начиная с работ [1, 2, 3] конструкция интегрируемых систем связанных с группой Ли С с алгеброй Ли 0 следует, более или менее, одинаковой схеме. Рассматривая квантованную алгебру функций на Т*0 мы имеем естественный выбор коммутативной подалгебры - центр универсальной обертывающей алгебры 2, С II(д). Однако функциональная размерность такой подалгебры слишком мала для определения интегрируемой структуры на Т*С?. По стандартным соображениям, для того, чтобы определить интегрируемую систему необходимо рассмотреть редукцию относительно (правого/левого) действия группы С такую, что 2 редуцируется к достаточно большей коммутативной подалгебре, чтобы задать интегрируемую структуру для редуцированной системы. С концептуальной точки зрения, это не вполне удовлетворительно. Интегрируемая структура появляется только на завершающем шаге и соображения размерности накладывают сильное ограничение на возможные редукции.

Для 'того чтобы подправить ситуацию, хотелось бы определять интегрируемую структуру прямо на Т*С до редукции. Одна такая конструкция хорошо известна. В классическом пределе, т.е. когда рассматривается максимальное коммутативное семейство относительно скобок Пуассона, такая интегрируемая структура была рассмотрена Мищенко [25] (см. также [26], [27]). Позднее, подобная конструкция появилась в [28, 29, 30], где был использован центр алгебры петель для определения интегрируемой структуры на общих орбитах конечномерных групп.

Мы будем использовать другую возможность и определим различные коммутативные максимальные подалгебры в квантованной алгебре функций на Т*ОЬ(<V). Нашим основным объектом будет конструкция максимальной коммутативной подалгебры в и(а,1м) Гельфанда-Цейтлина [21], [22, 23]. Очевидно, что так определенная система тесно связана с теорией представлений групп Ли. В частности, матричные элементы в представлении Гельфанда-Цейтлина [24] задают явное описание волновых функций соответствующих интегрируемых систем.

Нетривиальные интегрируемые системы обычно ассоциируются с интересной спектральной геометрией. Их динамика реализуется на Якобиане соответствующей спектральной кривой. Будет показано, что обсуждаемая интегрируемая структура на Т*СЬ(М) и общих орбит конрисоединенного действия приводят к интересному обобщению спектральной геометрии - спектральной башне. Удивительно, что можно сопоставить спектральную геометрию самой группе (или точнее Т*СЬ(АТ)) а не ее специальным редукциям.

Подчеркнем, что подалгебра используемая нами для определения интегрируемой структуры, не содержится в центре алгебры петель. Было бы интересно скомбинировать предложенную конструкцию с подходом Мищенко-Фоменко для построения единого подхода для описания различных интегрируемых структур на кокосательных расслоениях групп (групп петель).

Обратимся теперь к конкретной интегрируемой системе - квантовой цепочке Тода. Начнем с нового метода для вывода интегрального представления волновой функции СЬ(М,Ж) цепочки Тода [31], где для построения рекурсивной формулы для волновой функции был существенно использован метод разделения переменных [19]. Связь с теорией представлений однако оставалась непонятной. Однако наличие двух подходов для построения волновой функции-методами теории представлений ( см. работу [32] и ссылки в ней) и КМОЗ [31] доставляет редкую возможность исследовать взаимосвязи между этими двумя подходами.

В этой работе мы представим рекурсивную формулу для волновой функции V, К) цепочки Тода [31] как матричный элемент. В качестве основного инструмента будет использовано обобщение метода Гельфанда-Цейтлина [21], [24] на случай бесконечномерных представлений д((ЛГ, М). Это приводит к конструкции представления ¿У(д[(7У, К)) в терминах разностных операторов, дает возможность построить явные формулы для Уиттекеровских векторов и воспроизвести интегральную формулу для Уиттекеровской функции полученной ранее в [31] с помощью КМОЗ.

Напомним, что в работах [33], [19] были построены разделенные переменные для классической цепочки Тода. Система может быть проквантована в этих переменных. В нашей работе, с помощью обобщения метода Гельфанда-Цейтлина для д М) будет построено большее множество разделенных переменных ( — 1)/2 вместо (Лг — 1)). Идея использования увеличенного числа переменных восходит к работе Гельфанда и Кириллова о поле отношений универсальной обертывающей алгебры [34|. С другой стороны, построенные нами представления тесно связаны с представлениями Янгиана У(01(ЛО).

Далее мы обобщаем описанную конструкцию представлений на широкий класс квантовых групп включая квантовые группы, Янгианы и квантовые аффинные алгебры для произвольной полупростой алгебры Ли.

Так в секции 4.2 построен класс представлений Янгиана Ул(д) для произвольной алгебры Ли д. Этот класс представлений возникает при квантовании некоторых сим-плектических листов групп Пуассона-Ли Янгиан. Удивительным обстоятельством является совпадение этих симплектических листов с пространством модулей мононолей, наделенных специальной симплектической структурой. Явный вид для симплектиче-ской структуры на пространсве модулей С? -монополей был указан Атьей и Хитчиным

35] для О = 37/(2), в [36] для С? = ви^И) и в [37] для общего случая. Таким образом построений класс представлений Янгиана задает квантование пространства модулей монополей как алгебры Хоифа и решает известную проблему Атьи и Хитчина.

Замечательная связь между переменными возникающими в контексте КМОЗ с переменными возникающими при изучении монополей с использованием твисторного метода [35] является яркой иллюстрацией глубокой связи между этими двумя объектами.

Далее мы строим подобную реализацию для класса бесконечномерных представлений конечномерных квантовых групп (д) и аффинных квантовых алгебр Г/ч(д)с=о с нулевым центральным зарядом с = 0 для произвольной полупростой алгебры Ли д. В качестве промежуточного шага, мы строим вложение квантовых групп в алгебру рациональных функций на квантовом многомерном торе. Подобно связи представлений Янгиана с квантованием пространства модулей монополей на К3 предложенное представление аффинных квантовых алгебр может быть связано с квантованием пространства модулей периодических мононолей. В частности, классификация тригонометрических г-матриц соответствующих квантовым аффинным алгебрам ид(о) отвечает классификации специального класса асимптотических граничных условий для монополей

Перейдем к описанию краткого содержание работы.

В Главе 1 описывается связь геометрии комплексных торов и торонов т'Хоофта. Первый пример самодуальных решений с постоянной кривизной на четырехмерном Евклидовом торе, удовлетворяющих нетривиальным твистованным граничным условиям, был построен в 1981 году т' Хоофтом [38]. Эти решения, называемые торонами, обладают дробным топологическим зарядом.

В этой главе, используя геометрию комплексных торов, получены наиболее общие решения уравнений самодуальности, отвечающие твистованным граничным условиям, обобщающие торонные решения т'Хоофта. В конструкции твистованных граничных условий существенную роль играет теория многомерных 0-функций. Построены также решеточные аналоги торонов.

К этой конструкции естественно примыкает классификация минимумов в твистован-ной модели Игучи-Каваи [39]. Как показано в этой главе, эти минимумы описываются унитарными представлениями конечной группы Гейзенберга, действующей в пространстве в - функций на комплексных (абелевых) торах.

Глава 2 посвящена построению алгебраической теории интегрируемых уравнений с нелокальной дисперсией. В ней строятся иерархии интегрируемых уравнений с неполиномиальной дисперсией. Простейшим уравнением в иерархии является нелинейное уравнение [40, 41] па М2 х 51. щ + 6 1их + 2 иих + Т[г^,т] = 0,

0.1) где и = и(х, ¿), щ = ди/дЬ, их — ди/дх и X

ОО соЛ ^(у-х) и(у)Лу .

0.2)

ОО

Уравнение (2.1) описывает распространение длинных волн на границе двухслойной жидкости (5 - глубина слоя) и в пределе 5 —► 0 переходит в уравнение KdV ut + 2u ur, + -иххх = 0. (0.3)

Уравнение (2.1) является интегрируемой деформацией уравнения KdV (2.3). Мы будем обозначать его KdVg.

Алгебраическая теория обобщенных уравнений KdV была построена И.М. Гельфан-дом и JT А. Диким [42. 13]. Алгебраическая теория нелокальных аналогов т.н. KdVs была построена в работе [L5].

Пусть В дифференциальное кольцо комплекспозначных функций (гладких, убывающих вместе со всеми своими производными на ±оо). Такое кольцо снабжается дифференцированием дх: В —> В. Обозначим через £?((£-1)) кольцо формальных рядов Лорана n

X = -Vj(г ^над В с конечным числом положительных членов. В кольце <В((£-1))

J = -CX1 имеется два дифференцирования д/д£ и дг : ■

Введем ассоциативное (некоммутативное) умножение

Xoy = ^l/a!AfyW, (0.4) а>0 где помощью умножения о (символьное умножение) кольцо £?((£ )) наделяется структурой комплексной алгебры Ли Q с коммутатором [а,Ь] = а о Ь — b о а. Алгебра Ли Q разбивается в прямую сумму подалгебр Ли Q = Q+ + Q , n \ г -1 V где Q+ = < > и Q = < >. Будем обозначать А{(А") проекции

0 J [i=-oo J символа X на Q+(QJ). Пусть res = Для любого X G В((С-1)) введем функцию tr

ЬгХ = J resXdx. (0.5) со

Основным свойством следа ¿г является свойство £г[х, у] = 0. Таким образом, на алгебре Ли 0 определено инвариантное, невырожденное скалярное произведение (х, у) = ¿г(х у). п

Теорема 2.1 Пусть Ьо — ск £ С[<5,г], сп = 1. Пусть Uj(x), у = к=0

0,. ,тг—1 являются функциями, убывающими вместе со всеми своими производными.

Тогда существует единственный символ -1

К = V К3{г){г^У такой, что сю

1) коэффициенты Kj(z) являются голоморфными функциями, ограниченными и непрерывными вплоть до границы полосы —ó < Imz < 6;

2)

1 + K-)L0(1 +К*)'1 = L&G+, (0.6) где коэффициенты Kj = Kj(x — ió), = Kj(x + iS) символов K± являются ограничениями голоморфных функций на нижнюю (верхнюю) границы полосы П2й = {z = х + iy,-5 <у < 6};

3) Т(К- - Л'+) := £ T(Kj - К+ШУ = i(K~ + К+);

3=~оо

4) коэффициенты Kf символов К± лежат в кольце, порожденном функциями Uj(x) и операторами d/dx и Т.

Уравнения

Lt = LM+ - M~L, (0.7) где L определен условием (2.6), а

М± = [(l + tf^/oCl + A^)"1]^ т где Mq = г £ i mj £ Cfí. и К построен в теореме 1, называется иерархией

7=0 обобщенных уравнений KdV¿.

Перепишем уравнение (2.7) в виде

Lt = -i(L(XL)+ - СLX)+L), (0.8) где X = [(1 + /Г+).Хо(1 + А" ], Х0 := Mq/Lq. Уравнение (2.8) указывает на то, что обобщенные уравнения KdV¿ являются Гамильтоновыми уравнениями относительно второй скобки Гельфанда-Дикого [44] и, следовательно, должны существовать нелокальные функционалы На, такие, что

Шп

J res(l 4- К] )¿(¿£Q)(1 + K~)5L. (0.9)

Существует описание кольца нелокальных функционалов Ш.к(щ,. на котором скобки Гельфанда-Дикого определены корректно [Ь5] и такие, что

11а е ■ .ип-0

Напомним известную конструкцию Гельфанда-Дикого. Рассмотрим подпространство

Г П1 . 1

N С Я+, определенное как N = I Ь = Ь^ + г г- Для любого X 6 0- построим

I к=0 ) векторное поле Ух на N

УХ{Ь) = -г(ЦХЬ)+ - (ЬХ)+Ь).

На = res

Поля Ух образуют алгебру Ли относительно скобок

Vx(L),Vy(L)] = VlXiylL, где [X,Y]l = i(X(LY)+(XL).Y - idY/dLVx(L)) - {X ^ Y).

Два форма uj(Vx,Vy) = (VX(L),Y) на векторных полях Vx кососимметрична и замкнута.

Теорема 2.2 Обозначим через V = — г(К~— К'^), где символ К определен в теореме 2.1. Тогда

1). Обобщенные уравнения KdV$ являются гамильтоновыми относительно второй гамилътоповой структуры Гельфанда-Дикого и обладают. бесконечной серне ti законов сохранения На в инволюции

ПЛ,НР} = 0.

2). Гамилътонгшны На для а = 0,1. представимы в виде

00 / 1 \ 2k Í Г \ 2к f 1 lo + LQ¿/25)i(itr х Е ) [J V) /(2k + !) где L0¿ =

3). Эквивалентно, гамильтонианы Ha могут быть представлены в виде

На = J res(iL0(\) - L0,a(A)/25) г(/Л)а[1п(1 + К~(Х)) - 1п(1 + К+(Х)], где 1 + К±(Х) считаются рядами от коммутативной переменной Л и все члены в последней формуле умножаются как формальные ряды (а не как символы).

Следствие. Иерархия обобщенных уравнений KdV$ является интегрируемой деформацией иерархии обобщенных уравнений KdV.

В работе [L7] строятся интегрируемые деформации иерархий MKdV и обобщенных уравнений 2d Toda. В работе [L8] построенные иерархии описываются в терминах билинейных уравнений типа Хироты. В работе [L6] аналогично построена формальная теория обобщенных уравнений KdV¿, отвечающая периодическим граничным условиям.

В Главе 3 вводятся алгебры Ли квантовых торов серий А, В, С и D.

Алгебраическая формулировка интегро-дифференциальных интегрируемых систем, описанная в Главе 3, равносильна введению специальных неабелевых алгебр некоммутативного тора. Впервые такие алгебры возникли в работах Конна и Риффеля в связи с изучением двумерной теории Янга-Миллса на некомму тативных торах [46]. В этой главе мы построим алгебры Ли некоммутативных торов типов А, В, С, D.

1. Серия Ац, h = (hi,., hk).

Пусть а = (ai,. а/с) £ 2 и (h,a) = Алгебра Ли Ал задается генерат оi рами Аа^т, занумерованными индексами (а,т) € х ^)/(0,.,0) и центральным элементом с и определяющими соотношениями

Иа.тЛбм] = 2/ Hi" МЛ, /3) - ¿(Л, Q)] Aa+/3,m+i + mSa+(3fiSm+ifi ■ с. (0.10)

Алгебра Ли (3.1) является многопараметрпческим обобщением тригонометрической алгебры Ферли [114, 48] и обладает замечательным представлением вершинными операторами (см. Теорему 3.1).

2. Серия Вп, Н= (hi----, fik)

Тригонометрический базис в 1?/, имеет вид

Ва,т = Аа,п - (-1)"'Ла,т. (а, 777) е 7} х Z \ 0.

Подалгебру В/г можно описать как подмножество неподвижных точек автоморфизма второго порядка тв алгебры Ли -1/,. определяемого формулой

ТВ(Ла,гП) = (-1ГЛ-а.П1, т.е. тв(Ва,т) = Впт. Коммутационные соотношения для Вг, в базисе Ват имеют вид [Ва,т, Bf,,i] = 2i sin(т(/г, /3)-l(h, а))Ва+(3,m+i + (-1)' 2/ sm(m (h, (3) + l(h,a))+ +В

Пусть B0о подалгебра сохраняющая билинейную форму < с,. ej >= (—1 в

С°° х С°°. Обозначим через В^ одномерное центральное расширение В^ с помощью коцикла 1/2-0. Тогда вложение В^ в В^ определяется формулой

Ва,т = (1ша У ] <fna (Ещп+т — (—1)тЕ-п^тг 1г) + 5т^Ьа ■ с, nez где Ъа = z"1 (qa + q~a) (qa — gQ)1. В случае, когда h = h\ и hi G ttQ алгебра Ли Вп совпадает с центральным расширением квантованного по Вейлю-Моялу алгебры Ли, сохраняющей площадь для бутылки Клейна.

3. Серия Сп

Тригонометрический базис в Сц

Г1 — А — ( — Л \тл2а А а,т ■ria,m V ) У ■Гх—а,т

Пусть тс(Аа^т) = (—l)mq2aA^a>m, автоморфизм второго порядка алгебры Ah, тогда t"c(Cq,m) = С-а,т и Алгебра Ли Сп задается генераторами Са<т и определяющими соотношениями

Ca,m,CptC] = 2i sm(m(h, (3) — l(h, a))Ca+p,m+i + 2г(—1)У sin(m(ft, /3)4l(h, a))Ca-p,m+i + rn(2Sa+^o - (-l)m cos(2h, a)Sa0to)8m+lfi ■ c. Пусть Coo подалгебра A^ сохраняющая билинейную форму iyditi4 в

С00 x C°°. Обозначим через Coo одномерное центральное расширение С^ с помощью коцикла ф. Тогда вложение Сд в С^ определяется формулой са,т = qma J2ne Z(l2na (Еп,п+т - (-1ГЯ1-п-т,1-„) + 25т, 0qa ■ с.

4. Серия Dh

Тригонометрический базис в Dh

Г) — А — п'2а 4

-^a^m — -^Qjín Ч - х—а,т

Пусть rD(Aa, т) = q2aA автоморфизм второго порядка алгебры А^. Тогда гд(Оа)т) = ся генераторами Оа т. с и соотношениями

Datm. Алгебра Ли D^

Алгебра Ли D^ задается генераторами D,

Д*,т, Dpj\ = 2ism(m(h, в) - l(ñ,a))Da ,0,т+г+

2iq2/3 sin(m(h, ¡3) + 1{K, о)) х Da-Ptm+1 + m(<W,o - д2аёа^0>о) ■ <W,0 • с.

Пусть Doc подалгебра сохраняющая билинейную форму < e¿,ej >= в С°° х

С°°. Обозначим через D x одномерное центральное расширение DXt с помощью коцикла 1/2Ф. Тогда вложение/^ в Д^ определяется формулой

Рассмотрим специальное значение Я = 1 е кС). Пусть где V =

А, В, С или I). Можно показать, что при специальном значении К — (^,/¿1) можно наложить дополнительное условие

Теорема 3.2 Алгебры В^/м^, C^/n^ DJT/¡^jn имеют следующие пределы при /ii —> О

Глава 4 посвящена квантованию пространства модулей С-моноиолей. Пусть [) С Ь С 0 полуиростая алгебра Ли д ранга £ над С с подалгеброй Картана () и Борелевской подалгеброй Ь. Пусть а = матрица Картана г,^ = 1 Г множество вершин диаграмы Дынкина д, {«,■ Е \)* .1 е Г} множество простых корней и / с- Г} множество ко-корней (йу = п). Существуют положительные целые с/х,., с1с. такие, что матрица \ \йга^\\ симметрична. Следуя В.Г. Дринфельду [49], удобно определить генераторы алгебры Хопфа У(д) в терминах производящих формальных рядов Е^и), и к\(и),г е Г

1. А1г/лг.гг, переходит в

2. В,г/ат,й.1 переходит в если N = 21 + 2 и в , если N = 21 + 1.

3. Сп/им переходит в С\1\ если N = 21 ив А®, если N = 21 + 1. 4■ Дг/лг.ти переходит в В\1\ если N = 21 ив В\1\ если N = 21 + 1. оо вд = 1 + 5>iw

00

00

0.11) s=0 удовлетворяющих определяющим соотношениям Янгиана (см. секцию 4.1)

Введем множество переменных {7^; г € Г; г = 1,. т*}, где Шг произвольные положительные числа. И пусть 9Я обозначает пространство мероморфных функций этих переменных. Пусть = где := являются дифференцированиями по 7^. Введем полиномы степени т,г от переменной и

Р№)=П(ц-<)г.р). г'бГ. (0.12)

Р=1

Рассмотрим операторы тт ( \ Т> ( (0.13)

Щ{и) = Щи)----гг-,

Рг{и)Рг(и - г-§(ач,сц))

I -азг тг П П Рз(ъ,к - + га^а3)) и - ъ,к) П Ык- - ъ.р) г'к

Рт^к ъ(и) = -чг1/2х; ъЫк+у(ог,о,)) х к=1

1—1 —

П и рвЫк-гЦ^ + гав,а3) + ^(аиа1)) (0.15) х 3=1 р. к и - 7г> - Т(«г, «г)) П (Т»,А■ ~ Ъ,р) рфк = 1,., где полиномы Я,(а) будут описаны ниже.

Теорема 4.1 (1). Для любого .множества целых положительных чисел {т^}, удовлетворяющих условиям := ^ рассмотрим полиномы

1г

Щи) = Ц(и - (0.16) к=1 где , 2 ^ Г , к = 1,., является множеством произвольных комплексных параметров. Тогда операторы (4-21)-(4-23) рассматриваемые как формальные ряды по и-1 задают представление У(д) в пространстве Л4. Это представление параметризуется выбором целых положительных {ш^}, удовлетворяющих ограничениям (Ь>0) и произвольными комплексными параметрами {щ^к}

2). Пусть {тг} произвольные целые и Ri(u) рациональные функции вида П

Ri(u) = ^-, (0.17)

П (« - "а ) k-=1 zcte {^fc± ,г£Г,Д; = 1,., Z^}- множество произвольны и комплексных параметров и If — = frijUji- Тогда операторы (4-21)-(4-22). рассматриваемые как формальные ряды от и~1, задают представление У(Ь) в пространстве Л4. Это представлен г! с параметризуется выбором {rrii} и произвольными комплексными параметрами {^.j

Опишем Пуассонову геометрию, отвечающую пределу Й —> 0 описанного представления Янгиана . Это приводит к точной связи построенного представления У (g) с пространством модулей G- монополей.

Пусть У;(д) и Yci(b) Пуассоновы алгебры, отвечающие классическим пределам У (g) и У(Ь). Генераторы У;(д) могут быть описаны как функции на формальной группе петель LG- в окрестности тривиальной петли д(и) = с, где е G G единичный элемент. Мы используем ее параметризацию в терминах бесконечных рядов вида оо s=0

Теорема 4.2 (1). Открытые част,и

0(0) ра ц и опал ъ ных симплектических листов Yd(b), отвечающие представлениям, построенным в теореме Jhl, изоморфны открытым частям пространств базированных отображений

Р\оо)->(С/В,М (0.18) фиксированной степени т = (тх, • • • ,те) £ Н2{С/В,Ж).

2). Отьрытьк части О^ рациональных симплектических листов Уг(д), отвечающие представлениям построенным в теореме 4-1 изоморфны открытым частям пространств базированных отображений(4-50) с дополнительным условием = и е %+.

Глава 5 посвящена описанию связи теории представлений с методом разделения переменных 1? квантовых интегрируемых моделях. Пусть д = д[дг. Рассмотрим представление У(д1,у), построенное в теореме 4.1, с фиксированным значением мультистепени т = (тх, • • ■ с тп = п. Приведем явные выражения для производящих функций генераторов g = д1дг

П(А-7п.) = ^

П (А - 7n1J - f)

Е„(А) = £ -J х О-1») = 1 А 7nj ПзуУ i^nj Ins) n 1 ТТП—1/ i г,

А — 7nj- - %ti Пв# (V; - 7ns)

2 /

3 'TIJ t

Обозначим вычеты в бесконечности по Л от формальных рядов Нп,Еп и Еп через Епп, Еп,п+г и EnitTl соответственно. Тогда операторы га п 1 ~ ^"-iJ') (га = 1,., А*), (0.20) j=i j=i n+l

I п п (7nj - 7n+l,r - у) гН П (7nj - 7ns) n-1 П (7ni - 7»-i,r + f) w - -h E "'пы-vi <»=1. 4 задают представление алгебры Ли giw в пространстве мероморфных функций (1/2)N(N-1) переменных 7и, А; = 1,., Ат — 1; г = 1,. к. Построенные представления является приводимыми и параметризуются, вообще говоря, комплексными числами i = 1 ,.,N. Наша задача состоит в описании неприводимых Уиттекеровских модулей и двойственных им модулей.

Пусть п+ и являются подалгебрами g((iV), порожденными генераторами, отвечающими положительным и отрицательным корням соответственно. Гомоморфизмы х+ '■ п+ —> С, Х- : п—> С однозначно определенные своими значениями на генераторах, отвечающих простым корням, называются не вырожденными, если комплексные числа Х+(ЕП!П+1) и \-(Еп+1>п) не равны нулю при n = l,.,N - L.

Пусть V будет U = W (g [ (А;)) - модулем. Обозначим действие и е U на v G V через uv. Вектор w Е V называется Уиттекеровским относительно характера х+ если

En,n+iw = X+(En,n+i)w , (п = 1,., N - 1). (0.21)

Вектор w' £ V' называется Уиттекеровским относительно характера х~> если

En+hnw' = x~{EnM,n)w\ (77 = 1,., iV — 1). (0.22)

Уиттекеровский вектор называется циклическим для V, если Ыхи — V, и /^-модуль называется Уиттекеровским, если он содержит Уиттекеровский вектор. 1А- модули V и V' называются дуальными, если существует не вырожденное спаривание (.,.) : V'XV —> С талое, что (Хи',у) = — {у',Ху) для всех V Е V, у' Е V и X Е

Вычислим явный вид действия элементов центра ¿^(д[(п)) на пространстве М. Известно, что производящая функция ДП(А) элементов центра Ы{$1(п)) (операторов Кашмира) представляется в виде

Аг(А) = (0.23) siSnP (Л - - гПЕрШ^ . (А - ¿ft^n))5p(n)in - ШЕр{п)^ , реРп где pj^ = — 2k + 1), к = 1.пи суммирование производится по группе перестановок Рп.

Предложение 5.5 На пространстве , операторы (5.58) приводятся к виду п

Л,(Л) = П(А - Inj), (тг = 1, • ■ ■ - N). (0.24)

3=1

Остается построить невырожденное спаривание между модулями Н и W', и доказать, что модули W и W' дуальны относительно этого спаривания.

Определение. Пусть ф Е W' и ф Е W. Определим спаривание (,): W' <g> W —> С формулой

N-1 мчШ^ФЬ) п ^,

N(N-1) ™=1

R-^— 3<п

0.25) где

ЛоЫ - ПШ*« - - е2^). (0.26) тг=2 «<р

Напомним, ч то о ткрытая цепочка Тоды, отвечающая алгебре Ли д[(Л/", К)), это интегрируемая кваптово-механическая система с N степенями свободы, определенная коммутирующим набором из N гамильтонианов. Первые два гамильтониана имеют вид N

3 1 (0.27)

JV—1

3<k 3=1 где [хп,рт] = гШпт. Напомним общую идею, стоящую за теоретико преде гавленчес-ким подходом в теории квантовых интегрируемых систем, на примере открытой цепочки Тода. Пусть V и V' два произвольных дуальных неприводимых Уиттекеровских модуля и пусть и> £ V и ги' Е V' два соответствующих циклических Уиттекеровских вектора относительно характеров= -¿Гг'их-^+^п) = —//г-1 Предположим, что действие подалгебры Картана интегрируется до действия Картапов-ского тора, так что функция N

-х-о^ / I ~Т.*кЕкк (0.28) корректно определена. Э та (функция совпадает с ОЬ(Ы, М)- Уиттекеровской, записанной в терминах Гауссова ра.гюжепии. Фиксируем представление Гельфанда-Цейтлина (5.45) и подставим (5.50), (5.51) и (5.45) в (5.99), что приведет к выражению tfW/r™ = e~~x pi%) х (0.29) п п\-1 лг-1 п П П^^Н +1) А „ ^ w п]

П.- --- —'"П^ n[p/7ns-7np\ I

JV,JVt, I V ih )\ n=l к — S<P 3<™ где ")„, =0 for j > п. При изучении аналитических свойств этого решения относительно 7\, удобна следующая переформулировка построенного интегрального представления.

Теорема 5.1 Аналитическое продолжение (5.101) как функции -yN может быть описано в виде v(.ti.rN)= (0.30) п га+1 ~ , . ,

-Ink -Уп ( 1 „I r/22fcZ^i+l£I1) у

11 п гЛ Н—ш—> ± f ь -л , ь N 1 - I 11 yi r(7n*~7np) ii ciinj • n—1 A1 V гН ' 7i = l j<n

S " ' S7tp где область интегрирования 5 определяется условиями тт{1т7д.;7} > тах{1т т} для всех к = 1,., N — 1. Интеграл (5.102) сходится

3 "г абсолютно.

Квантовая модель Сазерленда, отвечающая дС(АГ), является интегрируемой, квантово-мехлническои системой с N степенями свободы. Она описывается системой N коммутирующих гамильтонианов. Простейшие два имеют вид: N

Ы = У

71=1 (0.31) и2/4 h,

2 — 1 РпРт + . ,2/

I- sinn (xm — J',. m<n v 111 ''

Волновые функции системы являются решениями уравнений n

П=1 Г /г2/4 ч т . . т (0.32)

Известно, что модель Сазерленда (с константой связи 1/4) допускает решение в рамках теории представлений. Пусть V задает представление и определяет вектор V такой, что

Я„,„+1 - Я„+1,„Н = 0 , (п = 1,.,ЛГ-1). (0.33)

Рассмотрим Ф(х'1,. ,Ждг) вида

Л'

- Е *кЕкк ("о 34)

Можно показать что (5.112) задаст (с точностью до множителя) волновую функцию модели Сазерленда. Окончательно, волновая функция Ф определяемая как

Ф = фДвшЬ1/2^ -хк)

0.35)

3<к удовлетворяет уравнениям (5.110).

Аналогично, как и в случае цепочки Тода, используя представление (5.45) получаем новое, факторизованное интегральное представление для волновой функции модели Сазерленда.

Теорема 5.2 Решение (5.110) допускает интегральное представление

Ф7Л'1.,7NN (ЖЬ • • • , = П - хк) X к п п+1 2 «ПП + , » А--1

0.36)

П[р/7пз-7пР\И Г*- гП >\ п=1

6 Заключение

В заключении сформулируем кратко основные результаты нашей работы

1. Используя методы геометрии комплексных торов, описан общий класс гвистован-ных граничных условий и самодуальных связностей постоянной кривизны обобщающий решения с дробным топологическим зарядом введенных т' Хоофтом (тороньт).

2. Введены торонные поля на решетке являющиеся решениями решеточных уравнений самодуальности.

3. Построена алгебраическая теория нелокальных итегрируемых уравнений на прямой, являщихся интегрируемыми деформациями обобщенных уравнений KdV, MKdV и двумеризованной цепочки Тода. Показано, что эффекты некоммутативной геометрии отвечают за появление нелокальных дисперсий. Построенные системы являются новыми интегрируемыми иерархиями.

4. Построена алгебраическая теория нелокальных итегрируемых уравнений на окружности, являщихся интегрируемыми деформациями обобщенных уравнений KdV. Построенные системы являются новой интегрируемой иерархией.

5. Введен новый класс бесконечномерных алгебр Ли серий A, B,C,D, обобщающих т.н. Sin- алгебру Ферли. Построенные алгебры Ли являются деформацией алгебр Каца-Муди и тесно связаны с нелокальными итегрируемыми уравнениями описанными в пунктах 3-4 . Построено представление вершинными операторами этих алгебр Ли.

6. Установлена связь квантового метода разделения переменных и теории представлений.

7. Предложен новый метод построения интегральных представлений для волновых функций в разделенных переменных, основанный на обобщении метода Гельфанда-Цейтлина на случай вещественных групп Ли и построения матричных элементов в построенной реализации.

8. Получено обобщение метода Гельфанда-Цейтлина, являющегося основным техническим средством для описания этой связи: данные рассеяния в КМОЗ предстают параметрами Гельфанда-Цейтлина в представлениях основной серии.

9. Построены новые, факторизованные, интегральные представления для волновых функций цепочки Тода и модели Сазерленда.

10. Построен новый класс бесконечномерных представлений Янгиана для любой полупростой алгебры Ли. Описана Пуассонова геометрия ассоциированная с построенным классом представлений. В частности показано, что соответствующие симплектические листы изоморфны пространству модулей G-монополей.

11. Показано, что пространство модулей G-монополей играет роль пространства универсальных данных рассеяния и что построенный класс бесконечномерных пред--ставлений Янгиана является квантованием пространства модулей G-монополей. Как следствие, эта конструкция устанавливает явную связь теории интегрируемых систем с теорией G-монополей, что решает известную проблему Атьи-Хитчина.

12. Аналогичный результат получен для пространства модулей периодических Gмонополий Точнее, построен новый класс бесконечномерных представлений квантовых алгебр Каца-Муди для любой полупростой алгебры Ли являющийся квантованием пространства модулей периодических С-монополей.

13. Построен новый класс бесконечномерных представлений квантовых групп 11д(д) для произвольной полупростои алгебры Ли д.

Суммируя работу приведем схему распределения материала по главам. Глава 1 использует работы (Ы-Ь4). Глава 2 базируется на работах (Ь5-Ь8). Глава 3 основана на работах (Ь9-Ь12). Глава 4 основана на работах (1Л6-Ы7). Глава 5 основана на работах (ЫЗ-Ы5).

Список публикаций автора по теме диссертации

LI. D.R. Lebedev, M.I. Polikarpov, A.A. Rosly, Nucl.Phys. В325 (1989) 138-160. L2. Д.Р. Лебедев, М.И. Поликарпов, А.А. Рослый , ЯФ 49 (1989) 304-320. L3. Д.Р. Лебедев, М.И. Поликарпов, А.А. Рослый , ЯФ 49 (1989^ 1799-1806. L4. D.R. Lebedev, M.I. Polikarpov, Nucl. Phys. B269 (1986) 285-291. L5 D.R. Lebedev, A.O. Radul, Comm. Math. Phys. 91 (1983) 543-555. L6. Д.Р. Лебедев , A.O. Радул, ТМФ 70:2 (1987) 202-210. L7. D. Lebedev, S. Pakuliak, Phys. Lett. A160 (1991) 173-178.

L8. D. Lebedev, A. Orlov, S. Pakuliak, A. Zabrodin, Phys. Lett. A160 (1991) 166-172. L9. М.И. Голенищева-Кугузова, Д.Р. Лебедев, Письма в ЖЭТФ 52 (1990) 1164. L10. М.И. Голенищева-Кутузова, Д.Р. Лебедев, Письма в ЖЭТФ 54 (1991) 473-476. Lll. М. Golenishcheva-Kutnzova, D. Lebedev, Comm. Math. Phys. 148 (1992) 403-416. L12. М.И. Голенищева-Кутузова, Д.Р. Лебедев, Функциональный Анализ 27 N 1 (1993) 403-416.

L13. A. Gerasimov, S. Kharchev, D. Lebedev , International Mathematical Research Notices

2004) no. 17 823-854.

LI 1. A. Gerasimov, S. Kharchev, D.Lebedev, Int. J. Mod. Phys.A 19 Suppl. (2004) 205216.

L15. A. Gerasimov, S. Kharchev, D. Lebedev, Progress in Mathematics v. 237 (2005) 133-156.

L16. A. Gerasimov, S. Kharchev, D. Lebedev and S. Oblezin, Comm. Math Phys. 260

2005) 511-525.

L17. A. Gerasimov, S. Kharchev, D. Lebedev and S. Oblezin, Contemporary Mathematics v. 391 (2005) 101-110.

1. M.A. Olshanetsky, A.M. Perelomov, Quantum completely integrable systems connected with semi-simple Lie algebras, Lett.Math.Phys. 2, (1977), 7-13.

2. M.A. Olshanetsky, A.M. Perelomov. Quantum systems and symmetric spaces, Phys.Rep., 94, (1983), 313-404.

3. M.A. Olshanetsky. A.M. Perelomov, Quantum systems related to root systems and the radial components of Laplace operators., Funct Anal, and Appl., 12, (1978), no 2, 6068.

4. B. Kostant, Quantization and representation theory. In: Representation Theory of Lie Groups, Proc. of Symp., Oxford, 1977, pp. 287-317, London Math. Soc. Lecture Notes series, 34, Cambridge, 1979.

5. B. Kostant, On Whittakei vectors and representation theory, Inventiones Math. 48,1978), 101-184.

6. I.M. Gel'fand, Spherical functions on symmetric Riemannian spaces, Dokl.Akad.Nauk SSSR. 70, (1950), 5-8.

7. Harish-Chandra, Spherical functions on a semi-simple Lie group. I, Amer. J.Math., 80, (1958), 241-310.

8. II. Jacquet, Fonctions de WhMaker associées aux groupes de Chevalley, Bull.Soc.Math. France, 95, (1967), 243-309.9j G. Scliiffmann, Intégrales d'entrelacement et fonctions de Whittaker, Bull.Soc.Math. France, 99, (1971), 3-72.

9. M. Hashizume, Whittaker models for real reductive groups, J.Math.Soc. Japan, 5,1979), 394-401;

10. Whittaker functions on semi-simple Lie groups, Hiroshima Math.J., 12, (1982), 259293.

11. P.I. Etingof, I.B. Frenkel, A.A. Kirillov,Jr. Spherical functions on affine Lie groups. Duke Math. J., 80, (1995), no. 1, 59-90.

12. P.I. Etingof, Whittaker functions on quantum groups and q-deformed Toda operators. Differential topology, infinite-dimensional Lie algebras, and applications, 9-25, Amer. Math. Soc. Transi. Ser. 2, 194, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999.

13. L.D. Faddeev, E.K. Sklyanin, Quantum mechanical approach to completely integrable field theory models, (Russian) Dokl.Akad. Nauk SSSR, 243, (1978), 1430-1433.

14. E.K. Sklyanin, The method of the inverse scattering problem; and the quantum nonlinear Schrôdinger equation. Dokl.Akad. Nauk SSSR, 244, (1979), 1337-1341.

15. P.P. Kulish, E.K. Sklyanin, Quantum, inverse scattering method and the Heisenberg ferromagnet. Phys. Lett., A 70, (1979), 461-463.

16. E.K. Sklyanin. L.A. Takhtajan, L.D. Faddeev, Quantum inverse problem method. I. Teor. Mat. Fiz. 40, (1979), 194-220.

17. L.D. Faddeev, Quantum completely integrable models in field theory, Sov.Sci.Rev., Sect.C (Math.Phys.Rev.), 1, (1980), 107-155.

18. P.P. Kulish, E.K. Sklyanin, Quantum spectral transform method. Recent developments, Lecture Notes in Phys., 151, pp. 61-119, Springer, Berlin-New York, 1982.

19. EK. Sklyanin, The quantum Toda chain, Lect.Notes in Phys., 226, (1985), 196-233.

20. E.K. Sklyanin, Separation of variables new trends, Quantum field theory, integrable models and beyond, (Kyoto, 1994). Progr.Theor.Phys.Suppl., 118, (1995), 35-60.

21. I.M. Gelfand, M.L. Tsetlin, Finite- dimensional representations of the group of uni-modular matrices, Dokl.Akad. Nauk SSSR 71, (1950), 825-828.

22. I.V. Cheretlnik. Quantum groups as hidden symmetries of classic representation theory, Differential geometric methods in theoretical physics (Chester,1988), 47-54, World Sci. Publishing. Teaneck, NJ, 1989.

23. I.V. Cherednik, A new interpretation of Gelfand-Tzetlin bases, Duke Math.J., 54, (1987), 563-577.

24. I.M. Gelfand, M.I. Graev, Finite-dimensional irreducible representations of the unitary and the full linear groups, and related special functions, Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser.Mat. 29, (1965), 1329-1356; Transí., II Ser.,Am.Math.Soc. 64, (1965), 116-146].

25. A.S. Mischenko, Integral geodesies of a flow on Lie groups, Funk. Analis i Ego Pril., 4, No.3, (1970), 73-77

26. S.V. Manakov, Note on integration of the n-dimensional Euler top equations, Funk. Analis i Ego Piil., 10, No.4, (1976), 93-94.

27. A.S. Mishenko, A.T. Fomenko, Euler equations on finite-dimensional Lie groups, Izv. AN SSSR, 42, (1978), 396-415.

28. L.D. Fadeev, N.Y. Reshetikhin, Hamiltonian structures in integrable models of field theories, Teoret. i Matem. Fizika, 56, No 3, (1983), 323-343.

29. L.D. Fadeev, L.A. Takhtajan, Hamiltonian Approach to the Soliton Theory, M: Nauka, 1986, 528 p.

30. S. Kharchev, D. Lebedev, Ei g enfunctions ofGL(N, K) Toda chain: The Mcllin-Barnes representation, JET? Lett. 71. (2000). 235-238

31. M.A. Semenov-Tian-Shansky, Quantization of Open Toda Lattices, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol. 16. Dynamical Systems VII. Ch. 3. Springer Verlag, 1994, pp. 226-259.

32. H. Flaschka, D. McLaughlin, Canonically conjugale variables for the Korteweg-de Vries equation and the Toda lattice with periodic boundary conditions, Progr.Theor.Phys., (1976), 55, 438-456.

33. I. Gelfand, /V. Kirillov, Sur les corps lits aux algébres enveloppant es des algébres de Lie, Publ.Mat., Hautes Etud.Sei., 31, (1966), 509-523.

34. M.F. Atiyah, N. Hitchin, The geometry and dynamics of magnetic monopoles, Princeton, NJ University Press (1988)

35. R. Bielawski, Asymptotic metrics for SU(N)- monopoles with maximal symmetry breaking, Comm Math. Phys. 199. (1998), 297-325.

36. M. Finkelberg, A. Kuznetsov, N. Markarian, and I. Mirkovic, A note on the symplectic structure on the space of G-monopoles, Comm. Math. Phys. 201,(1999), 411-421.

37. G. t'Hooft, Comm. Math. Phys. 81, (1981), 267

38. T. Eguchi, H. Kawai, Phys. Rev. Lett. 48, (1982), 1063.

39. J. Satsuma, M J. Ablowitz, Y. Kodama, Phys. Lett. 73A, (1979) ,283-286.

40. Y. Kodama, J. Satsuma, M.J. Ablowitz, Phys. Rev. Lett., 46, (1981), 677-690.

41. И.М. Гельфанд, JI.А. Дикий, Дробные степени операторов и гамилътоновы системы, Фуик анализ и его приложения, 10:4, (1976), 13-29.

42. И.М. Гельфанд, Л А. Дикий, Резольвента и гамилътоновы системы, Функ. анализ и его приложения, 11:2, (1977), 11-27.

43. V. Drinfeld, V. Sokolov,Zwe algebras and Korteveg-de Vries equations, J.Sov.Math.30,(1985),1975.

44. D.R. Lebedev, A.O. Radul , Commun. Math. Phys., 91,(1983), 543-555.

45. F. Connes, M. Rieffel, Contemp. Math.,62, (1987), 237.

46. D. Ferli, P. Fletcher, C. Zaehos, Phys.Lett.218 B, (1989), 203.

47. M.V. Saveliev, A.M. Verchik, Phys.Lett,.143 A,(1989), 367.

48. V.G. Drinfeld, -4 new realization of Yangians and of quantum affine algebras, (Russian) Dokl. Akad. Nauk SSSR, 296, (1987), no. 1, 13-17; translation in Soviet Math. Dokl., 36, (1988), 212-216

49. V.G. Drinfeld,Hopf algebras and the quantum Yang-Baxter equation, Dokl. Akad. Nauk SSSR 283, (1985), 1060-1064 ; translation in Soviet Math. Dokl. 32, (1985), 254-258.

50. V.G. Drinfeld, Quantum groups. Proc. Int. Congr. Math. Berkeley, California (1986), AMS Providence, 1, (1987),718-820.

51. G. t'Hooft, Nucl.Phys.,B153, (1975), 141.

52. M. Lusher, Comrn Math. Pyes. 81, (1981), 267.

53. P. van Baal. Comm. Math. Phys. 85, (1982), 529.

54. D. Mamford, Tata Tjcctures on Theta Functions, Vol. T and II, Birkhauser, Boston, 1983.

55. A. Gonzalez-Arroyo, M. Okawa, Phvs Rev. D27, (1983), 2397.

56. Y. Brihaye, P. Rossi, Nucl. Phys. B235 FS11], (1984), 226.

57. F. Klinkhamer, P. van Baal, Nucl. Phys. B237, (1984), 274.

58. K. Fabricius, C.P. Korthals Altes, Nucl. Phys. B240, FS12] (1984), 237.

59. J. Ambjorn, H. Flyvbjerg, Phys. Lett. 7B, (1980), 241.

60. P. van Baal, Comm. Math. Phys. 92, (1983), 1.

61. Y. Brihaye, J. Maiella, P. Rossi, Nucl. Phys. B222, (1983), 309.

62. Y. Brihaye, Phys. Lett. 122B, (1983), 154.

63. J. Igusa, Theta functions, Springer. 1972.

64. P. Griffiths, J. Harris, Principles of algebraic geometry, New York, 1978. vol 1.

65. A.A. Kirilov, Elements of the theory of representations, Springer, 1976.

66. E. Date et al., Transformation groups for soliton equations, in- Nonlinear integrable systems classical theory and quantum theory, eds. M.Jimbo and T.Miwa (world Scientific, Singapore, 1984).

67. H. H Chen and Y. C. Lee, Phys. Rev. Lett. 43, (1979), 264.

68. K. Ueno, K. Takasaki, Adv. Stud, pure Math.,4, (1984), 1.

69. M. Sato, Kokyuroku Res. Inst. Math. Sci. Kyoto Univ. 439, (1981), 30; T. Shiota, Inv. Math. 83 (1986) 333.

70. A. Newell, Sohtons in mathematics and physics (SIAM, Philadelphia, 1985)

71. G. Segal, G. Wilson, Publ. IHES 61, (1985), 1.

72. D. Lebedev, S. Pakuliak, Phys. Lett.AlOO, (1991), 173.

73. H.H. Chen, Y.C. Lee , Phys. Rev. Lett., 43,(1979), 264-266.

74. R.I. Joseph, J. Phys. A., 10,(1977), L225-L227.

75. T. Kubota, R.S. Egre, L.D. Dobbs , J.Hydronautics, 12, (1978), 157-165.

76. R.I. Joseph, R.S. Egre, J. Phys. A., A 11, (1978), L97-L102.

77. Y. Kodama, M.J. Ablowitz, J. Satsuma, J.Math. Phys., 23(4),(1982), 564-576.

78. A.O. Радул , ДАН СССР, 283, no 2.C. (1985), 303-308.

79. D.R. Lebedev , A.O. Radul, Commun. Math. Phys., 91, (1983), 543-555.

80. M.J. Ablowitz, A.S Fokas, J. Satsuma, H. Segur, J. Phys. A: Math. Gen. 15,(1982), 781-786.

81. А.Г. Рейман, M.A Семенов-Тяи-Шапский, Зап. научн. семин. ЛОМИ 133,1984) 197-211.

82. A.V. Belitsky, V.M. Braun, A.S. Gorsky and G.P. Korchemsky.Integrability in QCD and beyond, Int. J.Mod.Phys.,A 19, (2004). 4715.

83. A. Gerasimov, S. Kharchev, A. Marshakov. A Mironov. A. Morozov, M. Olshanetsky, Liouville type models in the group theoi~y framework. I Fmite-dimensional algebras. Int.J.Mod.Phys., A12, (1997), 2523-2583.

84. B. Feigin, A Odesskii, Elliptic deformations of current algebras and their representations by difference operators, Funk. Anal. 31,(1977), 57-70.

85. A. Gerasimov, A Marshakov, A. Morozov, Hamiltonian reduction of the Wess-Zumino-Witien theory fiorn the point of view of bosonization, Phys.Lett. В 236, (1990), 269272.

86. F. Lemire, J. Patera, Formal analytic continuation of Gelfand's finite-dimensional representations of gl(n,C), J. Math. Phys., 20, (1979), 820-829.

87. A.A. Kirillov, Elements of the theory of representations. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 220. Springer-Vorlag, Berlin-New York, 1976.

88. A. Alekseev, L. Faddeev, S. Shatashvili, Quantization of symplectic orbits of compact Lie groups by means of the functional integral, J Geom. Phys., 5, (1989), 391-406.

89. S. Shatashvili, Correlation functions in the Itzykson-Zuber Model, Commun. Math. Phys., 154, (1993), 421-432.

90. M. Nazarov. V. Tarasov, Yangians and Gelfand-Zetlin bases, Publ.Res.Inst.Math.Sci., 30,(1994), 159-478.

91. I.S. Gradshteyn, I.M. Ryzhik, Table of integrals, series, and products, Sixth edition, Acad.Press., 2000.

92. Bateman Manuscript Project, ed. A. Erdelyi, Higher transcendental functions, vol 1. McGrawHill, 1953.

93. A. Molev, Yangian and their applications. In "Handbook of Algebra", Vol.3, (M. Hazewinkel, Ed.), Elsevier, (2003), 907-959.

94. A. Gerasimov, S. Kharchev, D. Lebedev, Representation theory and quantum inverse scattering method: the open Toda chain and the hyperbolic Sutherland model, Int. Math. Res. Notices 17,(2004), 823-854.

95. A. Gerasimov, S. Kharchev, D. Lebedev, On a class of integrablc systems connected with GL(N, M), Int. J. Mod. Phys. A 19, Suppl., (2004), 205-216.

96. K. Vaninsky, The At.iyah Hitchin bracket and the open Toda lattice, Jour. Geometry and Physics 46, (2003), 283-307.

97. K. Vaninsky, The Atiyah-Hitchin bracket for the cubic nonlinear Schrodmger equation. I. General potentials, math-ph/0111017

98. V. Chari, A. Pressley, A guide to quantum groups. Cambridge Univ. Press, Cambridge,1994)

99. S.M. Khoroshkin, V.N. Tolstoy, Yangian Double, Lett. Math. Phys. 36,(1996), 373-402.

100. J. Ding, I. Frenkel, Isomorphism of two realizations of quantum affine algebra Uq($l(n)), Commun. Math. Phys. 156, (1993), 277-300.

101. V.G. Drinfeld, Hamdtonian structures on Lie groups, Lie bialgebras and the geometric meaning of the classical Yang-Barter equations, Dokl. Akad. Nauk SSSR 268 no 2, (1983), 285-287; translation in Soviet Math. Dokl. 27, (1983), 68-71.

102. M.A. Semenov-Tian-Shanskv, Dressing transformations and Poisson group actions, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 21(6), (1985), 1237-1260.

103. K. Iohara, Bosonic i epresentations of Yangian dotd)le ~DYn(g) with g = gi^, si^, J.Phys. A29,(1996), 4593-4621.

104. J. Hurtubise, The Classification of the monopoles for the classical groups, Comm. Math Phys 120, (1989), 613-641

105. J Hurtubise, M.K. Murray, On the construction of monopoles for the classical groups, Commun. Math. Phys. 122, (1989), 35-89.

106. S. Jarvis, Euclidean monopoles and rational m,aps, Proe. London Math Soe.(3)77, (1998), 170-192.

107. M. Jimbo, --1 q-difference analogue of U(q) and the Yang-Baxter equation, Lett. Math. Phys. 10, (1985), 63-69.

108. L.D. Faddeev, Quantum completely integrable models in field theory, Sov. Sci. Rev., Sect. C (Math. Phys. Rev.) 1, (1980), 107-155.

109. A. Gerasimov, S. Kharchev, D. Lebedev, Representation Theory and Quantum Inverse Scattering Method: The Open Tod a Cham and the Hyperbolic Sutherland Model, Int. Math. Res. Notices 2004, no. 17, (2004), 823-854.

110. F. Lemire, J. Patera, Formal analytic continuation of Gelfand's finite-dimensional representations of gl(n,C), J. Math. Phys. 20, (1979), 820-829.

111. A. Gerasimov, S. Kharchev, D. Lebedev, Representation theory and quantum integrability, Progress in Mathematics, v. 237, (2005), 133-156.

112. L. D. Faddeev, Discrete Heisenberg-Weyl group and modular group, Lett. Math. Phys. 34, (1995), 249-254.

113. L.D. Faddeev, Modular double of a quantum group, in: Conférence Moshé Flato 1999, Quantization, Deformations, and Symmetries. Vol. I, 149-156, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2000.

114. A.P. Isaev, P. Pyatov, Spectral Extension of the Quantum Group Cotangent Bundle, Comm. Math.Phys., 288,(2009), 1137-1179.

115. S. Kharchev, D. Lebedev, M. Semenov-Tian-Shansky, Unitary representations of Uq(sl(2,R)). the modular double and the multiparticle q-deformed Toda chains, Comm. Math. Phys. 225, (2002), 573-609.

116. G Lusztig, Introduction to quantum groups, Progress in Mathematics, 110, Birkhâuser Boston, Inc., Boston, MA, 1993

117. A. Connes, Non commutative gt ometry, Academic Press, 1994.

118. M. Rieftel, C*-algebras associated with irrational rotations, Pacific J. Math 93, (1981), 415-430.

119. J. Adams, D Barbasch, D. Vogan Jr. The Langlands Classification and Irreducible Chracters for Real Reductive Groups, Progress in Mathematics 104, Birkhâuser 1992.

120. B. Kostant, On Whittaker vectors and representation theory, Inventiones Math. 48. (1978), 101-184.

121. R. Howe. T. Umeda, The Capelli identity, the double commutant theorem, and multiplicity-free actions, Math. Ann. 290, (1991), 569-619.

122. A. Sevostyanov, Regular ml potent elements and quantum, groups, Comm. Math Phys. 204, (1999), 1-16.

123. R. Bott, H. Samelson, Applications of the theory of Morse to symmetric spaces, Amer.J Math., 80, (1958), 964-1029.

124. R. Bott, L.W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, Springer-Verlag, New-York, 1982.

125. M. Grossberg, Y. Karshon, Bott Towers, Complete Integrability and the Extended Character of Representation, Duke Math. Journal, 76, (1994), 23-57.

126. M. Duflo, Operateurs différentiels bi-invariants sur un groupe de Lie Ann. Sci. Ecole Norm., Sup. 4-e sér , 10, (1977), 265-288.

127. A.G. Rcyman, M.A. Semenov-Tian-Shansky, Reduction Hamiltonian systems, affine Lie algebras and Lax equations. I, Invent.Math., 54, (1979), 81-100;

128. Reduction Hamiltonian systems, affine Lie algebra* and Lax equations. II, Invent. Math., 63, (1981), 423-432.

129. P. Dieft, L.C. Li, T. Nanda, C. Tomci, The Toda flow on a generic orbit is integrable, Comm Pure and Appl. Math., 39, (1986), 183-232.

130. B.A. Dubrovin, V.B. Matveev, S.P. Novikov, Non-linear equations of the KdV type, finite zone linear operators, and Abelian varieties, Uspekhi Mat. Nauk, V. 31, 1976, P. 55-136. English transi, in Russian Math.Surveys V. 31, 1976.