Гипергеометрические решения разностного уравнения Книжника-Замолодчикова тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

введение.

1. Разностное уравнение Книжника-Замолодчикова.

Представления квантовой группы ?7д(з12).

Квантованная алгебра петель л/л(ол2).

Тригонометрическая К-матрица.

Тригонометрическое разностное уравнение Книжника-Замолодчикова, ассоциированное

Представления эллиптической квантовой группы ЕрЛА{812) и динамические эллиптические К-матрицы.

Библиографические комментарии.

2. Базисный гипергеометрический интеграл и гипергеометрическое тождество Римана.

Предварительные обозначения.

Базисный гипергеометрический интеграл.

Гипергеометрические пространства и гипергеометрическое спаривание.

Спаривания ПТаповалова и гипергеометрическое тождество

Римана.

Гипергеометрическое спаривание при специальных значениях а . 30 Библиографические комментарии.

3. Гипергеометрические решения разностного уравнения Книжника-Замолодчикова

О согласовании обозначений.

Тригонометрические и эллиптические весовые функции.

Тензорные координаты на тригонометрических гипергеометрических пространствах.

Гипергеометрические решения уравнения qACZ и сопряженного уравнения qKZ.

Тензорные координаты на эллиптических гипергеометрических пространствах.

Гипергеометрические отображения.

Библиографические комментарии.

4. Трансформационные свойства гипергеометрических решений разностного уравнения Книжника-Замолодчикова.

Трансформационные свойства решений уравнений qKZ.

Тензорные координаты на гипергеометрических пространствах и гипергеометрические отображения.

Трансформационные свойства гипергеометрических решений уравнения qKZ.

Библиографические комментарии.

5. Асимптотические решения разностного уравнения Книжника-Замолодчикова.

Асимптотические решения уравнения qKZ.

Асимптотики гипергеометрических решений уравнения qKZ и сопряженного уравнения qKZ.

Асимптотики гипергеометрических интегралов от весовых функций.

Библиографические комментарии.

6. Квазиклассические решения разностного уравнения Книжника-Замолодчикова и алгебраический анзатц Бете.

Квазиклассические решения разностных уравнений.

Алгебраический анзатц Бете и собственные векторы операторов qKZ.

Критические точки фазовой функции.

Интегральные представления для квазиклассических решений уравнения qKZ.

Библиографические комментарии.

7. Решения бетевских уравнений и полнота бетевских векторов

Постановка задачи.

Некоторые свойства решений бетевских уравнений.

Решения бетевских уравнений при малых к.

Доказательство Теорем 6.8 и 6.20.

Библиографические комментарии.

8. Янгиан Flflijv) и рациональное разностное уравнение Книжника-Замолодчикова.

Представления алгебры Ли д1дг.

Янгиан У(01дг).

Разностное уравнение Книжника-Замолодчикова, ассоциированное с QIN.

Векторнозначные рациональные весовые функции.

Формальные решения уравнения qKZ.

Квазиклассические решения уравнения qKZ.

Доказательство Теоремы 8.3.

Библиографические комментарии.

9. Неприводимые конечномерные представления янгиана Y{Q. с базисами Гельфанда-Цетлина.

Подалгебра Гельфанда-Цетлина и образующие Дринфельда янгиана ¥{д1АА).

Ручные неприводимые представления Y(QIA).

Действие образующих Дринфельда в базисе Гельфанда-Цетлина.

Многочлены Дринфельда ручных представлений.

Доказательство Теоремы 9.18.

Библиографические комментарии.

Дифференциальные уравнения Книжника-Замолодчикова (уравнения KZ) были введены в 1984 г. в работе [KZ] как уравнения для корреляционных функций в конформной теории поля на сфере. Уравнения KZ зависят от простой алгебры Ли 5, параметризующей конформную теорию поля. Они представляют собой голономную систему дифференциальных уравнений на функцию <<(А1,., гп) от п комплексных переменных Ах,., со значениями в тензорном произведении Ух (8). (8) представлений алгебры Ли д :

Здесь к ф О — комплексное число, Г2 е д (2) 0 — тензор, отвечающий невырожденной билинейной форме на д, а элемент € и{о)®"' есть образ П при вложении и [д) а и{д) как тензорного произведения г-того и А-того сомножителей.

Уравнение KZ играет исключительно важную роль в теории представлений аффинной алгебры Ли 0 и квантованной универсальной обертывающей алгебры ид{д), а также связанных с ними других алгебраических структур, в частности, аффинных алгебр Гекке, см., например, [Д5], [КЫ], [КЬ2], [КЗ], Ь], [ЕК]. В частности, уравнению KZ удовлетворяют матричные элементы сплетающих операторов для представлений аффинной алгебры Ли д.

Функция г(г) = О/г, входящая в правую часть уравнений ACZ, является простейшим примером классической г-матрицы — решением классического уравнения Янга-Бакстера. Это наблюдение можно обобщить следующим образом. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

0.1)

С некоторыми функциями Ггл{г), %ф 2 , удовлетворяющими условию кососимметричности и

Тогда условия совместности для системы уравнений (0.1) эквивалентны классическому уравнению Янга-Бакстера на функции гц{£):

ГгА(и-г;),ПА;(м)+гАА;(г;)] + [rfc(n), рА-й(г,)] = 0.

Последнее наблюдение восходит к работе [44], см. также [СЬЗ]. Голономная система дифференциальных уравнений (0.1) также называется уравнениями KZ. В соответствии с характером зависимости функций гц{£) от переменной х различают три основных случая: рациональный, тригонометрический и эллиптический.

Разностный аналог уравнений К2 — квантованные уравнения KZ (уравнения дКЕ) был получен в работе [РК] исходя из теории представлений квантовых аффинных алгебр. Уравнения qKZ представляют собой голономную систему разностных уравнений первого порядка, коэффициенты которой выражаются через некоторое решение квантового уравнения Янга-Бакстера. В частности, матричные элементы сплетающих операторов представлений квантовой аффинной алгебры С/д(о) удовлетворяют уравнению qKZ, коэффициенты которого выражаются через универсальную Л-матрицу для С/д(о), см. [РК]. Аналогично уравнениям KZ различают три случая уравнений qKZ*. рациональный, тригонометрический и эллиптический.

Подробное и последовательное введение в дифференциальные и разностные уравнения Книжника-Замолодчикова содержится в монографии [ЕРК .

Одним из центральных результатов относительно уравнения KZ является теорема Коно-Дринфельда о его группе монодромии. А именно, монодромия уравнения ACZ, ассоциированного с алгеброй Ли д, вокруг диагонали г» = выражается через универсальную Д-матрицу для квантовой группы Uq{Q) с параметром д = ллг/к Существует три подхода к доказательству теоремы Коно-Дринфельда: аналитический [Ко1 Ко2], алгебраический [Д5 и геометрический [8У2], [ЗУЗ], [У2].

Доказательство Коно [Ко1], [Ко2] основывалось на разложении оператора монодромии в ряд, составленный из итерированных интегралов, и исследовании данного разложения. Дринфельд [Л5] формализовал алгебраические свойства функций перехода между асимптотическими решениями дифференциального уравнения и показал, что эти свойства однозначно определяют группу монодромии уравнения KZ, которая, в результате, не может быть ничем иным как Л-матричным представлением группы кос, отвечающей группе Вейля алгебры Ли д.

Основная идея геометрического доказательства состоит в том, чтобы представить уравнения KZ как систему дифференциальных уравнений для связности Гаусса-Манина некоторого локально тривиального векторного расслоения. В этом случае решения уравнения KZ параметризуются замкнутыми циклами в слое и задача о вычислении монодромии решений уравнения KZ сводится к задаче о нахождении монодромии элементов соответствующей группы гомологии при их непрерывной деформации вдоль замкнутых петель на базе. Последняя задача оказывается прощеАчем прямое изучение аналитического продолжения решений уравнения KZ, и ответ на нее может быть получен в терминах Л-матриц. Для реализации этой программы решения уравнения KZ были построены в терминах многомерных гипергеометрических интегралов 8У1] [8У21, [8УЗ], [У2

В случае разностных уравнений аналогом матриц монодромии дифференциальных уравнений являются матрицы перехода между так называемыми асимптотическими решениями разностного уравнения. Гипотетически, для матриц перехода между асимптотическими решениями уравнения qKZ должен иметь место аналог теоремы Коно-Дринфельда. Для рационального и тригонометрического уравнений qKZ, ассоциированных с алгеброй Ли , такой результат был получен в работах [ТУЗ] и [ТУ4] соответственно. При этом было использовано квантование геометрического подхода к доказательству теоремы Коно-Дринфельда. Были построены решения уравнения qKZ в терминах многомерных интегралов гипергеометрического типа; при этом решения параметризуются элементами некоторого пространства функций, причем асимптотическим решениям соответствуют явно описываемые выделенные базисы в данном пространстве. С другой стороны, те же самые выделенные базисы позволяют отождествить рассматриваемое пространство функций с весовыми пространствами некоторых представлений квантовой аффинной алгебры Uq{sl2) (в рациональном случае) или же эллиптической квантовой группы EpAA{5l2) (в тригонометрическом случае). Это позволяет вычислить функции перехода между выделенными базисами в пространстве функций, а значит, и функции перехода между асимптотическими решениями уравнения qKZ через соответствуюпхие Л-матрицы.

Конструкция гипергеометрических решений уравнения KZ допускает красивую геометрическую интерпретацию в терминах канонического спаривания гомологии и когомологий конфигурационных пространств с коэффициентами в одномерных локальных системах. В этой связи, построение гипергеометрических решений уравнения qKZ можно рассматривать как "квантование" данной геометрической конструкции, то есть, как своего рода пример некоммутативной геометрии.

Суш;ествует несколько разных подходов к построению гипергеометрических решений уравнения KZ, см. [DJMM], [Mal], [Ch3], [SV2], [V2], с различными областями применимости. В случае алгебры Ли 5(2 все они приводят к одним и тем же формулам для гипергеометрических решений. Однако, в случае алгебры Ли старшего ранга окончательные формулы, вообгце говоря, не совпадают, хотя и похожи друг на друга. Доказательство эквивалентности формул для гипергеометрических решений уравнения KZ, полученных разными методами, пока остается нерешенной задачей.

Перейдем к изложению содержания диссертации. Диссертация состоит из введения, девяти глав, заключения и четырех приложений. Первая глава носит вводный характер. В ней формулируются основные обозначения и даются необходимые предварительные сведения относительно квантовой группы Uq{sl2), квантовой алгебры петель [/А(бАг) А эллиптической квантовой группы EpAA{5l2) • Здесь же описан основной объект исследования в диссертации — тригонометрическое уравнение qKZ, ассоциированное с алгеброй Ли SI2, см. (1.15), (1.17). Оно представляет собой голономную систему разностных уравнений для функции Zi,. ,Zn) от п комплексных переменных zi,.,Zn СО значениями в тензорном произведении VI0. .(ЭКг представлений квантовой группы Uq{sl2) •

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим основные результаты работы, а также сформулируем некоторые открытые вопросы, изучение которых которых естественным образом продолжает направление исследований, развитое в диссертации.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Построены гипергеометрические решения тригонометрического разностного уравнения Книжника-Замолодчикова (уравнения qKZ), ассоциированного с алгеброй Ли 5(2, и соответствующего сопряженного уравнения цК2. Для этого введен в рассмотрение базисный гипергеометрический интеграл и гипергеометрическое спаривание специальных пространств рациональных и эллиптических рациональных функций - гипергеометрических пространств. Для гипергеометрического спаривания установлено гипергеометрическое тождество Римана, которое является аналогом тождества Римана для спаривания дифференциальных форм и циклов посредством интегрирования форм по циклам.

2. Изучены трансформационные свойства и асимптотическое поведение гипергеометрических решений уравнения qKZ. Определены асимптотические зоны и построены асимптотические решения уравнения qKZ\ асимптотическое решение в данной асимптотической зоне получается как совокупность гипергеометрических решений, отвечающих специальному выбору базиса в эллиптическом гипергеометрическом пространстве, согласованному с асимптотической зоной. Вычислены функции перехода между асимптотическими решениями, отвечающими различным асимптотическим зонам, и показано, что функции перехода выражаются через динамические Д-матрицы, связанные с эллиптической квантовой группой Ер,А5\2).

3. Построены интегральные представления для квазиклассических решений уравнения qKZ и с их помощью получено новое доказательство формулы Родена-Корепина для норм бетевских векторов. Доказана полнота бетевских векторов в неоднородной обобщенной XXZ модели произвольного спина с квазипериодическими граничными условиями.

4. Построены формальные интегральные решения и квазиклассические решения рационального уравнения qKZ, ассоциированного с алгеброй Ли 01дг. С точностью до локально постоянного множителя доказана формула Годе-на-Корепина для норм бетевских векторов, полученных с помощью иерархического анзатца Бете.

5. Дано полное описание конечномерных неприводимых представлений ян-гиана ¥(д\АА) с базисами Гельфанда-Петлина. Указанные представления находятся во взаимно-однозначном соответствии с тензорными произведениями неприводимых представлений, отвечающих косым диаграммам Юнга, в которых тензорные сомножители "сдвинуты" друг относительно друга на нецелое число. Показано, что конечномерное неприводимое представление допускает базис Гельфанда-Цетлина тогда и только тогда, когда нули его многочленов Дринфельда расположены "достаточно далеко" друг от друга, см. Теорему 9.18.

6. Получены явные формулы для определителей, являющихся многомерными деформированными аналогами определителя Вандермонда, а также для определителей некоторых матриц, составленных из гипергеометрических интегралов.

Следующие задачи тесно связаны с результатами, полученными в диссертации, и, вероятно, их решение может быть получено с помощью более или менее непосредственного обобщения использованных в диссертации методов.

1. Построение гипергеометрических решений уравнения qKZ, ассоциированного с алгеброй Ли 01™. Эта задача включает в себя вопрос о явном описании особенностей векторнозначных весовых функций и, в частности, о получении для них формул, аналогичных формулам (3.2), (3.3), (3.6), (3.7) для весовых функций в случае алгебры Ли • Другим открытым вопросом, связанным с данной задачей, является нахождение надлежащего контура интегрирования для соответствующего аналога гипергеометрического интеграла.

2. Доказательство полноты бетевских векторов и завершение доказательства формулы Годена-Корепина для норм бетевских векторов в моделях, связанных с алгеброй Ли QAJA.

3. Установление связи базиса Гельфанда-Цетлина ручного представления ян-гиана У(0[дг) с векторнозначными весовыми функциями, построенными для данного представления.

Все результаты диссертации практически дословно переносятся с рассмотренного случая алгебры Ли д1лл на случай алгебры Ли • Более отдаленной и сложной задачей, решение которой, вероятно, потребует новых идей и методов, является перенос результатов диссертации на случай других (для начала классических) простых алгебр Ли.

1. Bl. А.Н.Варченко, Определитель матрицы многомерных гипергеометрических интегралов, Доклады АН СССР 308 (1989), №4, 777-780.

2. ВЗ. А.Н.Варченко, Детерминантная формула для сельберговых интегралов, Функц. Анализ и его прил. 25 (1991), вып. 4, 65-66.

3. ВТ. А.Н.Варченко, В.О.Тарасов, Джексоновские интегральные представления для решений квантового уравнения Книжника-Замолодчикова, Алгебра и Анализ 6 (1995), вып. 2, 275-313.

4. ГР. Дж. Распер, М.Рахман, Базисные гипергеометрические ряды (перевод Н.М.Атакишева и С.К.Суслова), Мир, М., 1993, 349с.

5. Д1. В. Г. Дринфельд, Алгебры Хопфа и квантовое уравнение Янга-Бакстера, Доклады АН СССР 283 (1985), №5, 1060-1064.

6. Д2. В. Г. Дринфельд, Вырожденные аффинные алгебры Гекке и япгианы, Функц. Анализ и его прил. 20 (1986), вып. 1, 69-70.

7. ДЗ. В. Г. Дринфельд, Новая реализация янгианов и квантованных аффинных алгебр, Доклады АН СССР 296 (1987), №1, 13-17.

8. Д4. В.Г. Дринфельд, Квантовые группы, Зап. науч. семин. ЛОМИ 155 (1990), 1419-1457.

9. Д5. В.Г. Дринфельд, Квазихопфовы алгебры. Алгебра и Анализ 1 (1989), вып. 6, 114-148.

10. G.Gasper and M.Rahman, Basic hypergeometric series, Encycl. Math. AppL, Cambridge University Press, 1990.

11. ГЦ. И.М.Гельфанд, М.Л.Нетлин, Конечномерные представления унимоду-лярной группы. Доклады АН СССР 71 (1950), 1Ч&5, 825-828; Доклады АН СССР 71 (1950), №6, 1070-1080.

12. Ж1. Д. П.Желобенко, Компактные группы Ли и их представления. Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., М., 1970, 664с.

13. Ж2. Д.П.Желобенко, S-алгебры и модули Верма над редуктивными алгебрами Ли, Доклады АН СССР 273 (1983), №4, 785-788.

14. К1. А.Н.Кириллов, Комбинаторные тождества и полнота состояний магнетика Гейзенберга, Зап. науч. семин. ЛОМИ 131 (1983), 88-105.

15. К2. А.Н.Кириллов, Полнота состояний обобщенного магнетика Гейзенбер-га, Зап. науч. семин. ЛОМИ 134 (1984), 169-189.

16. КЗ. А.Н.Кириллов, Комбинаторика таблиц Юнга и оснащенные конфигурации, Труды С.-Петербургского Матем. Общества 7 (1999), 23-115.

17. К4. А.Н.Кириллов, Биективные соответствия для оснащенных конфигураций. Алгебра и Анализ 12 (2000), №1, 204-240.

18. ККР. С.В.Керов, А.Н.Кириллов, Н.Ю.Решетихин, Комбинаторика, анзатц

19. Бете и представления симметрической группы. Зап. науч. семин. ЛОМИ 155 (1986), 50-64.

20. КР. А.Н.Кириллов, Н.Ю.Решетихин, Анзатц Бете и комбинаторика таблиц Юнга, Зап. науч. семин. ЛОМИ 155 (1986), 65-111.

21. КуР. П.П.Кулиш, Н.Ю.Решетихин, Квантовая линейная задача для уравнения синус-Гордон и высшие представления, Зап. науч. семин. ЛОМИ 101 (1981), 101-110.

22. MHO. А.И.Молев, М.Л.Назаров, Г.И.Ольшанский, Янгианы и классические алгебры Ли, Успехи Матем. Наук 51 (1996), вып. 2, 27-104.

23. Г.И.Ольшанский, Расширение олгебрм U{Q) для бесконечномерныхклассических алгебр Ли Q и янгианы Уд1{т)) , Доклады АН СССР 297 (1987), №5, 1050-1054.

24. Р. Н.Ю.Решетихин, Вычисление норм бетевских векторов в моделях с SU(3) симметрией. Зап. науч. семин. ЛОМИ 150 (1986), 196-2 13.

25. РТФ. Н.Ю.Решетихин, Л.А.Тахтаджян, Л.Д.Фаддеев, Квантование групп Ли и алгебр Ли, Алгебра и Анализ 1 (1989), вып. 1, 178-206.

26. С. Е.К. Склянин, Об одной алгебре, порождаемой квадратичными соотношениями. Успехи Матем. Наук 40 (1985), вып. 2, 214.

27. СТФ. Е.К.Склянин, Л.А.Тахтаджян, Л.Д.Фаддеев, Квантовый метод обратной задачи, I, Теорет. Матем. Физика 40 (1979), №2, 194-220.

28. Т1. В. О.Тарасов, Неприводимые матрицы монодромии для R-матрицы XXZ модели и решеточные локальные квантовые гамильтонианы, Теорет. Матем. Физика 63 (1985), №2, 175-196.

29. ТФ1. Л.А.Тахтаджян, Л.Д.Фаддеев, Квантовый метод обратной задачи и XYZ модель Гейзенберга, Успехи Матем. Наук 34 (1979), вып. 5, 13-63.

30. ТФ2. Л. А.Тахтаджян, Л.Д.Фаддеев, Спектр и рассеяние возбуждений в одномерном изотропном магнетике Гейзенберга, Зап. науч. семин. ЛОМИ 109 (1981), 134-178.

31. И.В.Чередник, О неприводимых представлениях эллиптических квантовых R-алгебр, Доклады АН СССР 291 (1986), №1, 49-53.

32. И.В.Чередник, О специальных базисах неприводимых представлений вырожденной аффинной алгебры Гекке, Функц. Анализ и его прил. 20 (1986), вып. 1, 87-88.

33. И.В.Чередник, О q-аналогах базисов Гельфанда-Цетлина, Функц. Анализ и его прил. 22 (1988), вып. 1, 89-90.

34. И.В.Чередник, Обобщенные группы кос и локальные г-матричные системы. Доклады АН СССР 307 (1989), №1, 27-34.

35. Al. K. Aomoto, g-analogue ofde Rham cohomology associated with Jackson integrals, I, Proc. of Japan Acad. 66 Ser. A (1990), no. 7, 161-164; H, Proc. of Japan Acad. 66 Ser. A (1990), no. 8, 240-244.

36. A2. K. Aomoto, Finiteness of a cohomology associated with certain Jackson integrals, Tohoku Math. J. 43 (1991), 75-101.

37. A3. K. Aomoto, On connectionsfor q-difference systems of A-type Jackson integrals, SIAM J. Math. Anal. 25 (1994), 256-273.

38. AKl. K. Aomoto and Y.Kato, Gauss decomposition of connection matrices and application to Yang-Baxter equation, I, Proc. of Japan Acad. 69 Ser. A (1993), no. 7, 238-242; 11, Proc. of Japan Acad. 69 Ser. A (1993), no. 8, 341-344.

39. AK2. K. Aomoto and Y.Kato, Gauss decomposition of connection matrices for symmetric A-type Jackson integrals, Selecta Math., New Series 1 (1995), no. 4, 623-666.

40. AKM. K.Aomoto, Y.Kato and K.Mimachi, A solution of the Yang-Baxter equation as connection coefficients of a holonomic q-difference system. Int. Math. Res. Notices (1992), no. 1, 7-15.

41. As. R. Askey, Some basic hypergeometric extensions of integrals of Selberg and Andrews, SIAM J. Math. Anal. 11 (1980), 938-951.

42. Be. D.Bernard, On the Wess-Zumino-Witten model on the torus, Nucl. Phys. B 303 (1988), 77-93; On the Wess-Zumino-Witten model on Riemann surfaces, Nucl. Phys. B 309 (1988), 145-174.

43. Bet. H.A.Bethe, Zur Theorie der Metalle: I. Eigenwerte und Eigenfunktionen der linearen Atomkette, Z. Phys. 71 (1931), 205-226.

44. Chi. I.V. Cherednik, A new interpretation of Gelfand-Zetlin bases, Duke. Math. J. 54 (1987), 563-577.

45. Ch2. I. Cherednik, Quantum groups as hidden symmetries of classic representation theory, in Differential geometric methods in theoretical physics (A.I.Solomon, ed.). World Scientific, Singapore, 1989, pp. 47-54.

46. Ch3. I. Cherednik, Integral solutions of trigonometric Knizhnik-Zamolodchikov equations and Kac-Moody algebras, Publ. RIMS, Kyoto Univ. 27 (1991), no. 5, 727-744.

47. Ch4. I. Cherednik, Lectures on Knizhnik-Zamolodchikov equations and Hecke algebras. Math. Society of Japan Memoirs 1 (1998), 1-96.

48. CM. K.Cho and K.Matsumoto, Intersection theory for twisted cohomologies and twistedRiemann's period relations, I, Nagoya Math. J. 139 (1995), 67-86.

49. CP. V.Chari and A.Pressley, A guide to quantum groups, Cambridge University Press, Cambridge, 1994.

50. D. V.G.Drinfeld, Quantum groups, in Proceedings of the ICM, Berkley, 1986 (A.M.Gleason, ed.), AMS, Providence RI, 1987, pp. 798-820.

51. DP. J.Ding and I.B.Frenkel, Isomorphism of two realizations of quantum affine algebra Uq{A)), Comm. Math. Phys. 156 (1993), 277-300.

52. DJMM. E.Date, M.Jimbo, A.Matsuo and T.Miwa, Hypergeometric-type integrals and the s(2,C) Knizhnik-Zamolodchikov equation, Int. J. Mod. Phys. B 4 (1990), no. 5, 1049-1057.

53. DT. A.Douai and H.Terao, The determinant of a hypergeometric period matrix. Invention. Math. 128 (1997), 417-436.

54. EFK. P.I.Etingof, I.B.Frenkel and A.A.Kirillov Jr., Lectures on representation theory and Knizhnik-Zamolodchikov equations. Math. Surveys and Monographs vol. 58, AMS, Providence RI, 1998, 198 p.

55. EK. P. Etingof and D.Kazhdan, Quantization of Lie bialgebras, /, Selecta Math., New Series 2 (1996), no. 1, 1-41; U, III, Selecta Math., New Series 4 (1998), no. 2, 213-231, 233-269.

56. EKS. F.Essler, V.E.Korepin and K.Schoutens, Fine structure of the Bethe ansatzfor the spin-l/2 HeisenbergXXX model, J. Phys. A 25 (1992), no. 15, 4115-4126.

57. F. J.D.Fay, Theta functions on Riemann surfaces, Lect. Notes in Math. 352 (1973), 1-137.

58. Pel. G.Felder, Conformaifield theory and integrable systems associated to elliptic curves, in Proceedings of the ICM, Zurich, 1994, Birkhauser, 1994.

59. Fe2. G.Felder, Elliptic quantum groups, in Proceedings of the ICMP, Paris 1994 (D.Iagolnitzer, ed.), Intern. Press, Boston, 1995, pp. 211-218.

60. FFR. B.Feigin, E.Frenkel and N.Reshetikhin, Gaudin model, Bethe ansatz and critical level. Comm. Math. Phys. 166 (1994), 27-62.

61. FR. I.B.Frenkel and N.Yu.Reshetikhin, Quantum affine algebras and holonomic difference equations. Comm. Math. Phys. 146 (1992), 1-60.

62. FTVl. G.Felder, V.Tarasov and A.Varchenko, Solutions of elliptic qKZB equations and Bethe ansatz, I, Amer. Math. Society Transi, Ser.2 180 (1997), 45-75.

63. FTV2. G.Felder, V.Tarasov and A.Varchenko, Monodromy of solutions of the elliptic quantum Knizhnika-Zamolodchikova-Bemarda difference equations. Int. J. Math. 10 (1999), no. 8, 943-975.

64. FVl. G.Felder and A.Varchenko, Integral representation of solutions of the elliptic Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard equation. Int. Math. Res. Notices (1995), no. 5, 221-233.

65. FV2. G.Felder and A.Varchenko, On representations of the elliptic quantum group Er,v{sk), Comm. Math. Phys. 181 (1996), no. 3, 741-761.

66. G. M.Gaudin, Diagonalization d'une classe d'hamiltoniens de spin, J. Physique 37 (1976), no. 10, 1087-1098.

67. Go. M.D.Gould, On the matrix elements of the U{n) generators, J. Math. Phys. 22 (1981), 15-22.

68. Jl. M.Jimbo, A q-difference analogue of U{Q) , and the Yang-Baxter equation, Lett. Math. Phys. 10 (1985), 63-69.

69. J2. M.Jimbo, A q-analogue of Ugl{N-\-1)) Hecke algebra and the Yang-Baxter equation, Lett. Math. Phys. 11 (1986), 247-252.

70. J3. M.Jimbo, Quantum R-matrix for the generalized Toda system. Comm. Math. Phys. 102 (1986), 537-547.

71. JKMQ. M.Jimbo, T.Kojima, T.Miwa and Y.-H.Quano, Smirnov's integrals and the quantum Knizhnik-Zamolodchikov equation of level 0, J. Phys. A 27 (1994), no. 9, 3267-3283.

72. JMl. M.Jimbo and T.Miwa, Algebraic analysis of solvable lattice models, CBMS Regional Conf. Series in Math. 85 (1995).

73. JM2. M.Jimbo and T.Miwa, Quantum KZ equation with \q\ = 1 and correlation functions of the XXZ model in the gapless regime, J. Phys. A 29 (1996), 2923-2958.

74. K. K. Kadell, A proofofAskey's conjectured q-analogue of Selberg's integral and a conjecture of Morris, SIAM J. Math. Anal. 19 (1988), 969-986.

75. KKN. A.N.Kirillov, A.Kuniba and T.Nakanishi, Skew Young diagram method in spectral decomposition of integrable lattice models II, Higher levels, Nucl. Phys. B 529 (1998), 611-638.

76. KLl. D.Kazhdan and G.Lusztig, Affine Lie algebras and quantum groups, Intern. Math. Research Notices 2 (1991), 21-29.

77. KL2. D.Kazhdan and G.Lusztig, Tensor structures arisingfrom affine Lie algebras, I, II, J. Amer. Math. Society 6 (1993), 905-947, 949-1011; ///, IV, J. Amer. Math. Society 7 (1994), 335-381, 383-453.

78. KLil. A.N.Kirillov and N.A.Liskova, Completeness ofBethe's statesfor generalized XXZ model, J. Phys. A 30 (1997), no. 4, 1209-1226.

79. KLI2. A.N.Kirillov and N.A.Liskova, Bethe's states for generalized XXX andXXZ models, in Physics and Combinatorics 2000, World Scientific, Singapore, 2001.

80. KN. A. Kuniba and T. Nakanishi, Bethe equation at q — 0, Mobius inversion formula, and weight multiplicities: I. sh case. Progress in Math. 191 (2000), 185-216.

81. Kol. T. Kohno, Monodromy representations of braid groups and Yang-Baxter equations, Ann. Inst. Fourier 37 (1987), 139-160.

82. Ko2. T. Kohno, Linear representations of braid groups and classical Yang-Baxter equations, Contemp. Math. 78 (1988), 339-363.

83. Kor. V.E.Korepin, Calculations of norms of Bethe wave functions. Comm. Math. Phys. 86 (1982), 391-418.

84. KQ. T.Kojima and Y.-H. Quano, Quantum Knizhnik-Zamolodchikov equation for UqislA) and integral formula, J. Phys. A 27 (1994), 6807-6826.

85. KR. A.N.Kirillov and N.Yu.Reshetikhin, The Yangians, Bethe ansatz and combinatorics, Lett. Math. Phys. 12 (1986), 199-208.

86. KuR. P.P.Kulish and N.Yu.Reshetikhin, Diagonalization of GL{n) invariant transfer-matrices and quantum N-wave system (Lee model), J. Phys. A 15 (1983), 591-596.

87. KRS. P.P.Kuhsh, N.Yu.Reshetikhin and E.K.Sklyanin, Yang-Baxter equation and representation theory I, Lett. Math. Phys. 5 (1981), 393-403.

88. KS. D. Kazhdan and Ya. S. Soibelman, Representation theory of quantum affine algebras. Selecta Math., New Series 3 (1995).

89. KuS. P.P.Kulish and E.K.Sklyanin, Quantum spectral transform method: recent developments, Lect. Notes in Phys. 151 (1982), 61-119.

90. KZ. V.Knizhnik and A. Zamolodchikov, Current algebra and Wess-Zumino model in two dimensions, Nucl. Phys. B 247 (1984), 83-103.

91. G.Lusztig, Monodromic systems on affine flag manifolds, Proc. Royal Soc. London, Ser. A 445 (1994), 231-246.1.. F.Loeser, Arrangements d'hyperplans etsommes de Gauss, Ann. Scient. Ecole Normale Super. 4-e serie, t. 24 (1991), 379-400.

92. S. F.Loeser and C.Sabbah, Equations aux differences fmies et determinants d'in-tegrales defonctions multiformes. Comment. Math. Helv. 66 (1991), 458-503.

93. I. R. Langlands and Y. Saint-Aubin, Algebro-geometric aspects of the Bethe equations, Lect. Notes in Phys. 447 (1994), 40-53.

94. R. Langlands and Y. Saint-Aubin, Aspects combinatories de equations de Bethe, CRM Proc. Lect. Notes 11 (1997), 231-301.

95. М. K.Matsumoto, Intersection numbers for logarithmic k-forms, Osaka J. Math. 35 (1998), 873-893.

96. Mai. A.Matsuo, An application of Aomoto-Gelfand hypergeometric functions to the SU(n) Knizhnik-Zamolodchikov equation, Comm. Math. Phys. 134 (1990), 65-77.

97. Ma2. A.Matsuo, Jackson integrals ofJordan-Pockhammer type and quantum Knizh-nik-Zamolodchikov equation, Comm. Math. Phys. 151 (1993), 263-274.

98. МаЗ. A.Matsuo, Quantum algebra structure of certain Jackson integrals. Comm. Math. Phys. 157 (1993), 479-498.

99. Mil. K.Mimachi, Connection problem in holonmic q-difference system associated with a Jackson integral of Jordan-Pochhammer type, Nagoya Math. J. 116 (1989), 149-161.

100. Mi2. K.Mimachi, A solution to quantum Knizhnik-Zamolodchikov equations and its application to eigenvalue problems of the Macdonald type, Duke. Math. J. 85 (1996), 635-658.

101. Mic. J. Mickelsson, Step algebras of semi-simple subalgebras of Lie algebras. Reports on Math. Phys. 4 (1973), no. 4, 307-318.

102. Mol. A.I.Molev, Gelfand-Tsetlin basis for representations ofYangians, Lett. Math. Phys. 30 (1994), 53-60.

103. Mo2. A.LMolev, Yangians and transvector algebras. Preprint SMS 98-30 (1998), 1-29.

104. Mo3. A.LMolev, A basis for representations of symplectic Lie algebras. Comm. Math. Phys. 201 (1999), 591-618.

105. Mo4. A.I.Molev, Weight bases of Gelfand-Tsetlin typefor representations of classical Lie algebras. Preprint SMS 99-21 (1999), 1-29.

106. MTl. T. Miwa and Y. Takeyama, Determinant formulafor the solutions of the quantum Knizhnik-Zamolodchikov equation with |q| = l, Contempor. Math. 248 (1999), 377-393.

107. MT2. T. Miwa and Y. Takeyama, The integralformulafor the solutions of the quantum Knizhnik-Zamolodchikov equation associated with Uq{slN), CRM Proc. Lect. Notes 25 (2000), 315-327.

108. MTT. T. Miwa, Y. Takeyama and V. Tarasov, Determinantformulafor solutions ofthe Uq{slN) qKZ equation at \q\ = 1, Publ. RIMS, Kyoto Univ. 35 (1999), no. 6, 871-892.

109. MTV. Ya. Markov, V. Tarasov and A.Varchenko, The determinant of a hypergeometric period matrix, Houston J. Math. 24 (1998), no. 2, 197-220.

110. MVl. E.Mukhin and A.Varchenko, Functorialproperties of the hypergeometric map, Contemp. Math. 248 (1998), 395-418.

111. MV2. E.Mukhin and A.Varchenko, Quantization of the space of conformal blocks, Lett. Math. Phys. 44 (1998), 157-167.

112. MV3 . E. Mukhin and A.Varchenko, On algebraic equations satisfied by hypergeometric solutions of the qKZ equation, Amer. Math. Society Transl., Ser. 2 194 (1999), 189-209.

113. MV4. E. Mukhin and A.Varchenko, Solutions ofthe qKZB equation in tensor products of finite-dimensional modules over the elliptic quantum group E-r,rjish) i Fields Inst. Comm. 24 (1999), 385-396.

114. N. A. Nakayashiki, Some integralformulasfor the solutions of the 5I2 dKZ equation with level 4, Int. J. Mod. Phys. A 9 (1994), no. 32, 5673-5687.

115. Nal. M.Nazarov, Quantum Berezinian and the classical Capelli identity, Lett. Math. Phys. 21 (1991), 123-131.

116. Na2. M.Nazarov, Yangians and Capelli identities, Amer. Math. Society Tra^ ., Ser. 2 181 (1997), 139-164.

117. NPT. A. Nakayashiki, S.Pakuliak and V.Tarasov, On solutions of the KZ and qKZ equations at level zero, Ann. Inst. H.Poincare Phys. Theor. 71 (1999), no. 4, 459-496.

118. NTl. M.Nazarov and V.Tarasov, Yangians and Gelfand-Zetlin bases, Publ. RIMS, Kyoto Univ. 30 (1994), no. 3, 459-478.

119. NT2. M.Nazarov and V.Tarasov, Representations of Yangians with Gelfand-Zetlin bases, J. Reine Angew. Math. 496 (1998), 181-212.

120. NT3. M.Nazarov and V.Tarasov, On irreducibility of tensor products of Yangian modules, IMRN/ (1998), no. 3, 125-150.

121. G.I.Olshanski, Representations of infinite-dimensional classical groups, limits of enveloping algebras, and Yangians, Advances in Soviet Math. 2 (1991), 1-66.

122. G.I.Olshanski, Twisted Yangians and infinite-dimensional classical Lie algebras, Lect. Notes in Math. 1510 (1992), 103-120.

123. R. N.Yu.Reshetikhin, Jackson-type integrals, Bethe vectors, and solutions to a difference analogue of the Knizhnik-Zamolodchikov system, Lett. Math. Phys. 26 (1992), 153-165.

124. RS. N.Yu.Reshetikhin and M. A.Semenov-Tian-Shansky, Central extensions of the quantum current groups, Lett. Math. Phys, 19 (1990), 133-142.

125. RV. N.Reshetikhin and A.Varchenko, Quasiclassical asymptotics of solutions to the KZ equations. Preprint (1993), 1-29.

126. F.A.Smirnov, Form factors in completely integrable models of quantum field theory. Advanced Series in Math. Phys., vol. 14, World Scientific, Singapore, 1992.

127. F.A.Smirnov, Counting the local fields in SG theory, Nucl. Phys. B 453 (1995), 807-824.

128. F.A.Smirnov, On the deformation ofAbelian integrals, Lett. Math. Phys. 36 (1996), no. 3, 267-275.

129. Se. A. Selberg, Bemerkninger om et multipelt integral, Norsk. Mat. Tidsskr. 26 (1944), 71-78.

130. SVl. V.V.Schechtman and A.N.Varchenko, Hypergeometric solutions of Knizhnik-Zamolodchikov equations, Lett. Math. Phys. 20 (1990), 279-283.

131. SV2. V.V.Schechtman and A.N.Varchenko, Arrangements of hyperplanes and Lie algebras homology. Invention. Math. 106 (1991), 139-194.

132. SV3. V.V.Schechtman and A.N.Varchenko, Quantum groups and homology of local systems, in Algebraic Geometry and Analytic Geometry, Proceedings of the ICM Satellite Conference, Tokyo, 1990, Springer-Verlag, Berlin, 1991, pp.182-191.

133. T2. V.Tarasov, Cyclic monodromy matrices for sl(n) trigonometric R-matrices, Comm. Math. Phys. 158 (1993), no. 3, 459-483.

134. T3. V.Tarasov, Bilinear identity for q-hypergeometric integrals, Osaka J. Math. 36 (1999), no. 2, 409-436.

135. T4. V. Tarasov, Completeness of the hypergeometric solutions of the qKZ equation at level zero, Amer. Math. Society Trans^, Ser. 2 201 (2000), 309-321.

136. T5. V.Tarasov, Hypergeometric solutions of the qKZ equation at level zero, Czech. J. Phys. 50 (2000), no. 1, 193-200.

137. TU. K.Takemura and D. Uglov, The orthogonal eigenbasis and norms of eigenvectors in the spin Calogero-Sutherlandmodel, J. Phys. A 30 (1997), 3685-3717.

138. TVl. V.Tarasov and A.Varchenko, Completeness of Bethe vectors and difference equations with regular singular points. Int. Math. Res. Notices (1996), no. 13, 637-669.

139. TV2. V.Tarasov and A.Varchenko, Asymptotic solutions to the quantizedKnizhnik-Zamolodchikov equation and Bethe vectors. Amer. Math. Society Transi., Ser. 2 174 (1996), 235-273.

140. TV3. V.Tarasov and A.Varchenko, Geometry of q-hypergeometric functions as a bridge between Yangians and quantum affine algebras. Invention. Math. 128 (1997), no. 3, 501-588.

141. TV4. V.Tarasov and A.Varchenko, Geometry of q-hypergeometric functions, quantum affine algebras and elliptic quantum groups. Asterisque 246 (1997), 1-135.

142. Ul. D. Uglov, Symmetric functions and the Yangian decompositions of the Fockand basic modules of the affine Lie algebra 5\N, Math. Society of Japan Memoirs 1 (1998), 183-241.

143. U2. D.Uglov, Yangian Gelfand-Zetlin bases, Q\A-Jack polynomials and computation of dynamical correlation functions in the spin Calogero-Sutherland model. Comm. Math. Phys. 191 (1998), no. 3, 663-696.

144. VI. A.Varchenko, QuantizedKnizhnik-Zamolodchikov equations, quantum Yang-Baxter equation, and difference equationsfor q-hypergeometricfunctions. Comm. Math. Phys. 162 (1994), 499-528.

145. V2. A.Varchenko, Multidimensional hypergeometric functions and representation theory of Lie algebras and quantum groups. Advanced Series in Math. Phys., vol. 21, World Scientific, Singapore, 1995, 371 p.

146. V3. A.Varchenko, Asymptotic solutions to the Knizhnik-Zamolodchikov equation and crystal base. Comm. Math. Phys. 171 (1995), 99-137.

147. Y. C.N.Yang, Some exact results for the many-body problem in one dimension with repulsive delta-function interaction, Phys. Rev. Lett. 19 (1967), no. 23, 1312-1314.

148. Zh. D.P. Zhelobenko,, On Gelfand-Zetlin bases for classical Lie algebras, in Representations of Lie Groups and Lie Algebras (A. A.Kirillov, ed.), Akademiai Kiado, Budapest, 1985, pp. 79-106.