Классификация эллиптических γ-матриц, уравнений Книжника-Замолодчикова и соответствующих систем типа Калоджеро-Мозера

Смирнов, Андрей Валерьевич

Классификация эллиптических γ-матриц, уравнений Книжника-Замолодчикова и соответствующих систем типа Калоджеро-Мозера тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Смирнов, Андрей Валерьевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Классификация эллиптических γ-матриц, уравнений Книжника-Замолодчикова и соответствующих систем типа Калоджеро-Мозера»

Автореферат диссертации на тему "Классификация эллиптических γ-матриц, уравнений Книжника-Замолодчикова и соответствующих систем типа Калоджеро-Мозера"

Федеральное государственное бюджетное учреждение "Государственный научный центр Российской Федерации Институт теоретической и экспериментальной физики" им. А.И.Алиханова

Классификация эллиптических г-матриц,

уравнений Книжника-Замолодчикова и

соответствующих систем типа Калоджеро-Мозера

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

На правах рукописи

Смирнов Андрей Валерьевич

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2013

1 Г- МАП ¿013

005059293

УДК 530.145+ 514.745.82

Работа выполнена в ФГБУ "ГНЦ РФ ИТЭФ", г. Москва

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук Ольшанецкий М.А.

ФГБУ "ГНЦ РФ ИТЭФ", г. Москва

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, вед. н. с. Славнов H.A.

Математический институт им. В.А.Стеклова

РАН, г.Москва

доктор физ.-мат. наук, гл. н. с. Забродин A.B. Институт биохимической физики РАН им. Н.М.Эмануэля, г.Москва

Ведущая организация: ОИЯИ, г. Дубна

Защита состоится "21" мая 2013 г. в 11 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д.201.002.01 ФГБУ ГНЦ РФ ИТЭФ по адресу: 117218, Москва, ул. Б.Черемушкинская, 25.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБУ ГНЦ РФ ИТЭФ.

Автореферат разослан "19" апреля 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук

В.В. Васильев

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Большинство моделей классической механики не может быть решено точно. Редкими исключительными случаями моделей, допускающих точные решения, являются так называемые интегрируемые системы (или, просто, точно решаемые модели).

До середины 60-х годов прошлого века было известно лишь небольшое количество интегрируемых систем с фазовым пространством размерности больше двух. Интегрируемость отвечает наличию достаточно большой "скрытой"группы симметрий системы, что приводит к существованию нужного количества независимых интегралов движения. Несколько позднее были открыты примеры интегрируемых систем многих тел в одномерном пространстве, описывающих движение п частиц, взаимодействующих с некоторыми выделенными потенциалами.

В работе А. Переломова и М. Олыпанецкого было показано, что в основе интегрируемости известных на тот момент систем многих тел лежат скрытые симметрии этих моделей, образующие алгебры Ли. Данное замечание позволило авторам построить новые примеры интегрируемых систем, обобщающих эти системы на случай произвольной системы корней. Метод построения интегрируемых систем, предложенный в данных работах, состоял в редукции свободной динамики на некотором фазовом пространстве большой размерности к фа-

зовому пространству меньшей размерности, динамика на котором становилась нетривиальной. При этом изначально явная симметрия системы становилась "скрытой"на редуцированном пространстве.

Бурное развитие теории интегрируемых систем началось с открытием метода обратной задачи рассеяния в работе К.Гарднера, Дж. Грина, М. Крус-кала и Р. Миуры, преобразованного позднее к алгебраическому виду в работе П. Лакса. Основная идея данного метода состоит в переписывании уравнений движения системы в следующем виде:

~Ь=[Ь,М],

где Ь и М некоторые конечномерные матрицы (пара Лакса), зависящие от динамических переменных системы. Решение данного уравнения, очевидно, имеет вид преобразования сопряжения:

Щ = д{Ь)тд~\1), М =

Таким образом, спектр матрицы Ь{£) не зависит от времени, и характеристические полиномы оператора Лакса

Нк = (;г Ьк

могут быть выбраны в качестве базиса интегралов движения.

Следующим важным шагом в развитии теории стало обобщение уравнений Лакса на случай бесконечномерных алгебр петель, появившихся впервые в работах И. Кричевера и С. Новикова . В этом случае матрицы пары Лакса

начинают зависеть от дополнительного "спектрального" параметра z\

±L{z) = [L(z),M(z)}.

Подобная запись уравнений движения оказалась исключительно полезной и позволила подключить к исследованию теории методы алгебраической геометрии. Было показано, что уравнения движения системы, записанной в таком виде, определяют линейный поток на торе (Абелевом комплексном многообразии), являющимся якобианом римановой поверхности, заданной в CP2 характеристическим уравнением

det(A - L{z)) = 0. • (1)

Данное обстоятельство позволяет взглянуть на интегрируемые системы с совершенно другой точки зрения. Последнее уравнение позволяет трактовать оператор Лакса как мероморфную функцию на римановой поверхности (1), принимающей значение в матрицах, или, более точно, как сечение голоморфного векторного расслоения над римановой поверхностью.

Важным шагом в развитии геометрического подхода к интегрируемым системам стала работа Н. Хитчина, в которой было обнаружено, что кокасатель-ные расслоения пространств модулей стабильных векторных расслоений над римановыми поверхностями являются естественными фазовыми пространствами некоторых интегрируемых систем. Несмотря на отсутствие в данной работе явных примеров интегрируемых систем (в виде дифференциальных уравнений), использование методов алгебраической геометрии позволило сформулировать ряд важных результатов. В частности, наличие нужного количества ин-

тегралов движения в инволюции следует в данном подходе из теоремы Римана-Роха.

Первые явные примеры интегрируемых систем Хитчина были построены в работах Н.Некрасова, Э.Д'Хокера, Д.Фонга и др. В частности, в работе Н. Некрасова была построена эллиптическая модель Годена, обобщающая эллиптическую систему Калоджеро-Мозера. В работах Д'Хокера и Фонга была описана спиновая система Калоджеро-Мозера как система Хитчина. Таким образом, подход Хитчина предлагает ясную программу классификации интегрируемых систем: интегрируемые системы, связанные с кривыми рода д, находятся во взаимнооднозначном соответствии с классами топологически неэквивалентных голоморфных расслоений на данных кривых. В частности, кривые рода 5=1 ведут к интегрируемым системам с эллиптическим потенциалом.

Объединение метода редукции М. Ольшанецкого и А. Переломова с алгебро-геометрической конструкцией Н. Хитчина позволило описать интегрируемые системы на пространствах модулей расслоений сразу в терминах пары Лакса со спектральным параметром. Исходная нередуцированная динамика свободной системы в данном подходе задается на пространстве сечений голоморфного б-расслоения Е над кривой Е„ с п-отмеченными точками, слоем которого служит алгебра Ли 0 структурной группы <3. Для этого рассматриваются поля Ф(г) е $1°°(Еп,Е) и связность А{г), которая задает на Е комплексную структуру. Данные поля преобразуются в присоединенном представлении группы С7. Симплектическая форма на исходном пространстве определяется функциона-

лом:

ш = J{D$,DA), s„

где ^ )-форма Киллинга на д. Гамильтонианы системы имеют вид:

Н{ = J ^Л(Ф),

s„

где ^-некоторые (г — 1,1)-дифференциалы на кривой и Д-инвариантные полиномы на алгебре Ли. При этом гамильтонианы коммутируют:

oj(dHi,dHj) = 0, гфэ

и динамика исходной системы оказывается свободной:

dti '

где ¿¡-время, соответствующее гамильтониану Я,- Можно заметить, что после калибровочного преобразования Ф' = д~гФд последнее уравнение приводится к форме Лакса:

^ = [Ф', Ml Mi = g-ldug. dti

Гамильтонианы и симплектическая форма, определенные выше, являются инвариантными относительно калибровочных преобразований:

Ф -» д_1Фд, А g^dg + д~гАд.

Данное обстоятельство позволяет провести симплектическую редукцию относительно калибровочной группы, после чего мы получаем конечномерную систему, а поле Ф превращается в оператор лакса L(z) со спектральным параметром (роль которого играет локальная координата на Е„) который определяется

из условия фиксации моментов

ц(А, Ф) = <Й> + [А, Ф] = 0.

Заданный таким образом оператор Лакса полностью фиксируется следующими данными: вычетами в отмеченных точках и глобальной топологией расслоения Е, которая определяет монодромии оператора Лакса вокруг фундаментальных циклов кривой £п. При обходе вокруг цикла аг оператор Лакса преобразуется следующим образом:

Ь(г + <ц) = <Ы,(2)07\

где Qi € й - так называемые операторы переклейки расслоения. Последнее уравнение играет роль граничных условий, которые вместе с фиксированными вычетами в отмеченных точках позволяют, в принципе, выписать оператор Лакса явно в терминах тэта-функций с характеристиками.

В нашей работе мы будем рассматривать только случай эллиптических кривых д = 1 с одной отмеченной точкой г — 0. Эллиптическая кривая имеет два фундаментальных цикла, и голоморфные линейные расслоения задаются двумя операторами переклейки 2, Л 6 С, удовлетворяющими условию коцикла

ака^А-1 =1.

Если заменить условие коцикла на более общее

длд^л-1 = с,

где £ Е 2(С) - некоторый центральный элемент группы, то, хотя данные операторы переклейки не дают С-расслоение, они, очевидно, определяют некоторое

(]аа = С/2(С)-расслоение. Как будет обсуждаться ниже, элемент С € Я (С) естественно понимать как характеристический класс, представляющий препятствие для поднятия (^¿-расслоения до С-расслоения. Мы будем говорить, что расслоение, отвечающее данным операторам переклейки, имеет нетривиальный

характеристический класс С-

Первые примеры систем Хитчина для 5Ь(]У)-расслоений с нетривиальным характеристическим классом были построены в работах А.Левина и А.Зотова. Как оказалось, структура пространства модулей и вид соответствующих интегрируемых систем для разных С отличается. Например, для С = 1 система Хитчина совпадает с известной эллиптической системой Калоджеро-Мозера, описывающей систему АГ-частиц, взаимодействующих с потенциалом в виде функции Вейерштрасса

Нкм +

1=1 *Фз

В случае, когда С является генератором группы 2(8Ь(Ы)) Ъх, мы получаем так называемый эллиптический волчок Эйлера-Арнольда, обобщающий классическую интегрируемую задачу о движении твердого тела в трехмерном пространстве на произвольную размерность

Н1ор = (5р5),

где тензор инерции волчка р выражается через значения функции Вейерштрасса. В промежуточной ситуации, когда С порождает некоторую нетривиальную подгруппу центра, мы приходим к спиновой системе Калоджеро-Мозера, описывающей движение взаимодействующих волчков.

В нашей работе мы обобщаем данную картину на случай произвольной простой группы Ли. Эллиптические интегрируемые системы, таким образом, классифицируются выбором простой группы Ли G и характеристическим классом С € /72(ЕГ, Z(G)) ~ Z(G)1. Для каждого набора (G, £) мы явно строим соответствующие расслоения, определяем пространства модулей, выписываем явные формулы для соответствующих матриц Лакса, классических г-матриц и гамильтонианов интегрируемых систем. Интегрируемость систем доказывается в главе 4 проверкой того, что определенные r-матрицы удовлетворяют классическому уравнению Янга-Бакстера. Таким образом, в данной работе мы пополняем список эллиптических классических r-матриц и получаем явное представление для произвольной системы Хитчина для д = 1, п = 1.

13алютим, что в исходном теоретико-групповом подходе А. Переломова и М. Ольшанецкого интегрируемые системы классифицировались выбором системы корней, и глобальная топология группы G не учитывалась. В подходе, рассматриваемом здесь, интегрируемые системы для групп G и Gad неэквивалентны,

хотя данные группы имеют одинаковые алгебры Ли. Таким образом, выбор характеристического класса соответствует выбору некоторой группы из набора групп с одинаковыми алгебрами Ли.

блоков Е(г 1,..., гп). Данное пространство оказывается конечномерным и может быть отождествлено со слоем голоморфного расслоения над пространством положений отмеченных точек на кривой X. Связность в данном расслоении называется связностью КнижникагЗамолодчикова и описывает монодромию конформных блоков при изменении положения отмеченных точек.

Например, в случае сферы Римана д = 0, пространство положений отмеченных точек имеет вид: X = СР'1\6'гл£ОплЪ, т.е. множество положений каждой отдельной точки образует СР, и мы исключаем положения, когда две произвольные точки совпадают. Монодромия конформного блока ф(г ..., гп) е Е{гь..., гп) при изменении положения г-ой точки описывается известным уравнением Книжника-Замолодчикова:

где Та - ортонормальный базис в соответствующей алгебре Ли, ф € \л ®... ® К и Т{1 действует в г-той тензорной компоненте. Легко проверить, что система уравнений Книжника-Замолодчикова представляет собой компоненты плоской голоморфной связности над X:

Последние уравнения мы называем уравнениями совместности для связности Книжника-Замолодчикова. Данная связность характеризует расслоение конформных блоков в случае нулевого рода.

= О,

где

В случае рода д = 1 аналоги данных уравнений были впервые рассмотрены в работах Бернарда. Пространство конфигураций отмеченных точек в данном случае имеет следующий вид: рассмотрим верхнюю полуплоскость Я + = {г 6 C|Imr > 0} и для г е Н+ рассмотрим решетку Ь(т) = Z + rZ, тогда

X = {(zi, z2,..., zn, г), Zi€C,re H+\Zi ф Zj mod L(t)}.

Связность Книжника-Замолодчикова-Бернарда в расслоении конформных блоков над X задается системой

S7iXp{zi,Z2,...,zn,T) = О, 2 = 1,...,п, VTip(zi,z2, ...,zn,r) = 0, где операторы V, и Vr имеют вид:

Va = dZa + да + VT = 2тггдг+ Д +

Ф1 b,d

(см. раздел 4.1 для введенных обозначений). Было показано, что в некоторых частных случаях оператор rab представляет классическую r-матрицу эллиптической системы Калоджеро-Мозера, действующую в a-том и 6-том пространствах, а оператор f* однозначно восстанавливается по гаЬ. Система уравнений совместности в данном случае имеет вид

[VbV,-] = 0, V,] = о,

при этом уравнения [Vb Vj] = о сводятся к уравнению Янга-Бакстера для r-матрицы гаЪ. Уравнения типа [Vr, Vj] = 0 представляют собой некоторые дополнительные условия на эллиптическую r-матрицу системы Калоджера-Мозера.

Классические г - матрицы, построенные здесь, являются естественными обобщениями г - матриц для системы Калоджеро-Мозера на случай нетривиального характеристического класса. Естественно предположить, что данные г - матрицы также удовлетворяют системе совместности уравнений Книжника-Замолодчикова-Бернарда. Данное предположение проверяется явным вычислением в главе 4.

Естественным шагом к классификации рациональных и тригонометрических г-матриц является изучение вырождений полученных нами эллиптических г-матриц. Вырождения соответствуют случаю, когда один или оба периода эллиптической кривой стремятся к бесконечности. Эллиптические функции при этом имеют тригонометрические или рациональные пределы соответственно. Как известно, вырождение эллиптических г-матриц не является однозначной процедурой. Например, из эллиптической г-матрицы системы Калоджеро-Мозера могут быть получены г-матрицы для тригонометрической системы Калоджеро-Мозера, открытой цепочки Тоды и замкнутой цепочки Тоды.

В данной работе, на примере эллиптического волчка мы показыва-

ем, что полученные г матрицы для нетривиальных характеристических классов допускают некоторый дополнительных класс тригонометрических и рациональных вырождений. В частности, будет получено описание некоторых тригонометрических и рациональных волчков. Мы находим также квантовые Я-матрицы для данных систем. Данные Д-матрицы обобщают стандартные рациональные и тригонометрические решения квантового уравнения Янга-Бакстера, являясь их однопараметрическими деформациями.

Конструкция данных пределов такова: рассмотрим оператор Лакса эллиптической системы Le(z). Кроме стандартного тригонометрического предела

LHz) = lim Le{z)

Т—МОо

может быть построен новый калибровочно неэквивалентный тригонометрический предел:

L\{z) = lim A{t)L\z)A~\t),

т—моо

где А{т) - матрица некоторого калибровочного преобразования, зависящая от параметра вырождения т, лежащая в калибровочной группе для любого значения т так, что det А(т) = 1, но являющаяся сингулярной в пределе г = гоо. Если рассмотреть множество преобразований А{т), имеющих данные свойства, то условие того, что предел для L\{z) конечен (т.е. пределы всех матричных элементов оператора Лакса являются конечными выражениями), оказывается довольно сильным. В случае SL{N) волчка нам удалось построить некоторое однопараметрическое семейство таких калибровочных преобразований.

Сингулярность калибровочного преобразования в точке г = гоо приводит к тому, что предельные операторы Лакса L\z) и L\{z) оказываются калибровочно неэквивалентными и, таким образом, описывают разные системы.

Аналогичная процедура вырождения квантовой эллиптической R - матрицы позволяет получить некоторые новые тригонометрические и рациональные Д-матрицы. В тригонометрическом пределе мы приходим к Д-матрицам, появившимся впервые в работе А. Антонова, К. Хасегавы и А.Забродина. В рациональном случае мы приходим, по-видимому, к новым, ранее не рассматривав-

шимся, Я-матрицам. Например, в N квантовой Я-матрице:

= 2 случае мы приходим к 11-вершинной

Ц+2 ч 2т, 0 0 0

—и {и + 2т))Р и 2ч 1 0

-и(и + 2г))Р 1 и 2») 0

и/32 (и + 217) (4?72 + 2 иг? + и2) и(и + 2г])0 и (и + 2 т,)Р и+2 ч 24 .

решающей квантовое уравнение Янга-Бакстера

Щ2{и - V) Щ3(и) Щ3(у) = Щ3(у) ДГз(«) ЛГ2(" - »)

для любого значения параметра /3 и совпадающей со стандартной рациональной Я-матрицей в пределе /9 = 0.

Цель работы

Целью данной диссертации является классификация и построение классических интегрируемых систем типа Хитчина связанных с голоморфными расслоениями над эллиптическими кривыми.

Целью диссертации является явное построение операторов Лакса и классических г-матриц интегрируемых систем на пространствах модулей голоморфных эллиптических расслоений. Данные интегрируемые системы однозначно определяются следующим набором данных: структурной группой расслоения С и характеристическим классом расслоения С б

Целью диссертации является описание локальной геометрии пространств

модулей голоморфных расслоений для произвольной структурной группы и характеристического класса расслоений.

Целью предложенной работы является изучение свойств полученных г-матриц и операторов Лакса. В подходе Н.Хитчина интегрируемость динамических систем на кокасательных расслоениях к пространствам модулей голоморфных расслоений (т.е. системы рассматриваемые в нашей работе) неявно гарантирована: гамильтонианы являются коммутирующими по самой конструкции, а наличие нужного количества гамильтонианов следует из теоремы Римана-Роха. Это свидетельствует о том, что полученные здесь г-матрицы являются решениями уравнения Янга-Бакстера, что гарантирует интегрируемость в алгебраическом подходе. В пашей работе было показано, что полученные г-матрицы удовлетворяют более общей системе уравнений Книжника-Замолодчикова-Бернарда.

Целью данной работы является обобщение базиса синус-алгебры на случай произвольной системы корней. Данный базис является естественным обобщением базиса матриц Паули в 5/(2) случае и матриц Геллмана в 3) случае. Выделенным свойством данного базиса является диагональный вид в нем операторов переклейки соответствующих расслоений над эллиптической кривой, что в итоге позволяет выписать явные выражения для операторов Лакса и г-матриц в терминах тэта-функций.

Целью диссертации является изучение тригонометрических и рациональных пределов эллиптических систем. Одна и та же эллиптическая система может иметь несколько таких пределов. Например, эллиптическая система

алоджеро-Мозера может быть вырождена в тригонометрическую систему Калоджеро-озера-Сазерленда в пределе т —»• оо или в цепочки Тоды в случае более ожного предела Иноземцева. Исследование в данном направлении является тественным шагом к классификации тригонометрических и рациональных стем Хитчина.

Научная новизна

Основные результаты работы являются новыми. Перечислим их.

Получены явные выражения для операторов Лакса, г-матриц и гамильтони-ов интегрируемых систем отвечающих произвольному выбору структурной уппы и характеристического класса голоморфного расслоения над эллипти-ский кривой.

Построено семейство базисов в простых алгебрах Ли, находящихся во вза-мнооднозначном соответствии с множеством топологически неэквивалентных асслоений.

Доказана алгебраическая интегрируемость полученных систем: прямым вы-ислением проверено, что полученные г-матрицы удовлетворяют уравнениям овместности Книжника-Замолодчикова-Бернарда и, как частный случай, ре-юют уравнения Янга-Бакстера.

Построены однопараметрические деформации стандартных тригонометри-еского и рационального решений квантового уравнения Янга-Бакстера.

Практическая и научная ценность

Предложено конструктивное описание голоморфных расслоений над эллиптическими кривыми в терминах операторов переклеек: получено алгебраическое уравнение на данные операторы и найдены его решения для произвольного выбора структурной группы и характеристического класса расслоения.

Предложен метод явного построения эллиптических интегрируемых систем типа Хитчина для произвольных характеристик голоморфного расслоения.

Апробация диссертации и публикации

Результаты диссертации докладывались на международных конференциях: XVI международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики "Петровские чтения" (Казань, 2004 г.); IV,V,VI,VII международные школы ИТФ-ИТЭФ по теоретической и математической физике для одаренной молодежи (Киев, 2004, 2005, 2007,2008гг.); 4th International Workshop "Quantum Particles and Fields" (Baku, September 19 - 24, 2005 ); 47rd International School of Subnuclear Physics (Erice, Sicily, Italy, 29 August - 7 September 2009 ); Second International Conference on String Field Theory and Related Aspects(Moscow, April 2009); 2nd Workshop on Geometric Methods in Theoretical Physics (Trieste, Italy, July 2009). 3nd Workshop on Geometric Methods in Theoretical Physics (Trieste, Italy, July 2010). Classical and Quantum Integrable Systems (Protvino, Russia, January 21-24, 2008); Workshop on Classical and Quantum Integrable Systems (CQIS-2011 January 24-27 ); Conformal Field Theory, Integrable Models and Liouville gravity (Chernogolovka June 27- Jule 2009)

По материалам диссертации опубликовано 6 научных работ.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав и двух дополнений. Список литературы содержит около 70 наименований. Общий объем диссертации составляет около 100 страниц.

Содержание диссертации

Ведение обосновывает актуальность поставленных задач, содержит обзор литературы и методов, используемых в диссертационной работе.

В главе 2 мы обсуждаем общую конструкцию квазипараболических голоморфных расслоений, заданных структурной группой <3, характеристическим классом С € Н2(Е,£(б)) и набором отмеченных точек. Приведено два типа описания таких расслоений - глобальное, описывающее расслоение в терминах операторов переклеек, определяющих монодромии вокруг фундаментальных циклов римановой поверхности, и локальное, основанное на тривиализации любого расслоения над кривой без отмеченной точки Е 2. В случае эллиптических кривых расслоения описываются в терминах двух операторов переклеек Q и Л, принадлежащих выбранной калибровочной группе и удовлетворяющих условию коцикла:

ОЛе^Л-1 = С- С еЯ2(Е,2(С)). (2)

Множество кашгбровочно неэквивалентных решений (2, Л) уравнения (2) для выбранных (? и £ отождествляется с пространством модулей С-расслоений, имеющих характеристический класс

Мы доказываем,что общее решение (2) имеет следующий вид: с точностью до калибровочного преобразования, оператор Л однозначно определяется характеристическим классом ( и представляет собой элемент группы Вейля, определяющий некоторую симметрию расширенного графа Дынкина группы С. Второй оператор имеет вид О, = ехр где полусумма положи-

тельных кокорней, /¿-число Кокстера и q - произвольный вектор, лежащий в пересечении фундаментального алькова группы (7 и Л-инвариантного подпространства в подалгебре Картана. Вектор я параметризует пространство модулей соответствующего расслоения. Таким образом, для произвольного выбора пары (С, С) мы явно строим операторы переклеек и описываем пространство модулей.

В данной главе также вводится понятие конформной группы С(?- некоторого центрального расширения группы С. Показывается, что любое (З-расслоение поднимается до СС-расслоения. Выводится формула, дающая связь характеристического класса б-расслоения и степени С(?-расслоения.

Глава 3 посвящена построению специального базиса в алгебрах Ли, в которых присоединенное действие операторов переклеек диагонализуется. Для произвольного выбора пары ((7, С) мы строим данный базис явно как Л-преобразование Фурье стандартного базиса Шевалле. Мы называем полученный базис обобщенным базисом синус алгебры (СА-базис), поскольку в частном случае, когда

д = й/(АО и С-генератор группы Я2(£, £((?)), данный базис совпадает с базисом синус-алгебры. Базис синус алгебры для «/(АО, в свою очередь, является естественным обобщением базиса матриц Паули для 5/(2) ~ вм(2) и матриц Гелл-Манна для б/(3) ~ ви(3). Мы явно строим форму Киллинга и вычисляем коммутационные соотношения в СА-базисе.

Оператор Лакса определяется как поле Хиггса в присоединенном представлении и представляет собой матричнозначное мероморфное сечение с фиксированным вычетом в одной отмеченной точке и квазипериодами вокруг двух циклов А и 2. Диагональное действие операторов переклеек в СА-базисе позволяет легко выписать явные выражения для операторов Лакса в терминах эллиптических тэта-функций с нужными квазипериодами. По аналогии строятся формулы для классических г-матриц. Используя форму Киллинга в СА-базисе, находятся явные выражения для гамильтонианов соответствующих интегрируемых систем.

Глава 4 посвящена исследованию некоторых свойств полученных г-матриц и операторов Лакса. Явным вычислением, используя коммутационные соотношения в СА-базисе, мы проверяем, что полученная г-матрица удовлетворяет классическому, динамическому уравнению Янга-Бакстера, а также, что полученные г-матрицы и ¿-операторы совместны (ДЬЬ-соотношение). Проверяется, что полученные г-матрицы удовлетворяют уравнениям совместности Книжника-Замолодчикова-Бернарда.

В главе 5 детально разбирается пример случая корней типа Агу_1- Описываются базис Шевалле, решетки корней и весов. Подробно обсуждается по-

строение операторов переклеек и СА-базисов для произвольного выбора характеристического класса. Выписываются операторы Лакса, г-матрицы и гамильтонианы соответствующих динамических систем. Показано, что для £ = 0, полученная система совпадает с эллиптической системой Калоджеро-Мозера для случая, когда ^-генератор центра, мы получаем эллиптический волчок Эйлера-Арнольда.

Глава 6 посвящена получению некоторых специальных рациональных и тригонометрических пределов полученных систем. Находятся однопараметри-ческие деформации тригонометрической и рациональной квантовой Д-матриц.

Дополнения содержат список формул,соотношений и тождеств для эллиптических функций, используемых в диссертации. Также собраны необходимые сведения из теории групп и алгебр Ли, необходимые в данной работе.

Результаты выносимые на защиту диссертации

Предложен конструктивный метод построения расслоений над эллиптической кривой для произвольной простой структурной группы Ли и произвольного характеристического класса.

Построено семейство базисов в простых алгебрах Ли, находящихся во взаимнооднозначном соответствии с множеством топологически неэквивалентных расслоений.

Для произвольного выбора расслоения (т.е. выбора группы и характеристического класса) выписаны формулы для операторов Лакса, гамильтонианов и

классических r-матриц соответствующих систем.

Доказано, что полученные r-матрицы удовлетворяют уравнению Янга-Бакстера, и системе уравнений совместности Книжника-Замолодчикова-Бернарда.

Получены новые тригонометрические и рациональные пределы эллиптического волчка. Выписаны соответствующие квантовые .R-матрицы.

Основные публикации по теме диссертации

[1] A. Smirnov, Two-body systems from SL(2,C)-tops. Theor. and Math. phys. 157 (2008) 8-21

[2] A. Smirnov, Integrable SL(N,C)-tops as Calogero-Moser systems. Theor. and Math. phys. 158 (2009) 300-312

[3] A. Smirnov, Degenerate Sklyanin Algebras CEJP 8 (2010) 542-554

[4] A.Levin, M.Olshanetsky, A.Smirnov, A.Zotov, Characteristic Classes and Integrable Systems. General Construction,

Comrnun. Math. Phys. 316 (2012) 1-44

[5] A.Levin, M.Olshanetsky, A.Smirnov, A.Zotov, Calogero-Moser systems for simple Lie groups and characteristic classes of bundles,

J. Geom. Phys. 62 (2012) 1810-1850, [6J A.Mironov, A.Morozov, Sh.Shakirov, A.Smirnov, Proving AGT conjecture as HS duality: extension to five dimensions , Nucl. Phys. В 855 (2012) 128-151

Подписано к печати 17.04.13 г. Формат 60x90 1/16

Усл. печл. 1,0 Уч.-изд. л. 0,7 Тираж 100 экз. Заказ 583

Индекс 3646

Отпечатано в ИТЭФ, 117218, Москва, Б.Черемушкинская, 25

Текст научной работы диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Смирнов, Андрей Валерьевич, Москва

институт теоретической и экспериментальной физики

На правах рукописи

Смирнов Андрей Валерьевич

04201357440

Классификация эллиптических г-матриц, уравнений Книжника-Замолодчикова и соответствующих систем

типа Калоджеро-Мозера

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физ.-мат. наук М.А. Ольшанецкий

Москва 2013

Оглавление

1 Введение 3

1.1 Содержание диссертации........................................................12

1.2 Результаты выносимые на защиту диссертации..............................14

2 Голоморфные расслоения над римановыми поверхностями 16

2.1 Глобальное описание голоморфных расслоений..............................16

2.2 Локальное описание голоморфных расслоений и модификаций............18

2.3 Модификация расслоений........................................................19

2.4 Голоморфные расслоения над эллиптическими кривыми....................21

3 Обобщённый базис в Алгебрах Ли 38

3.1 Построение обобщённого базиса................................................39

3.2 Форма Киллинга в СА-базисе..................................................41

3.3 Коммутационные соотношения в СА-базисе..................................42

3.4 Построение интегрируемых систем ............................................44

4 Некоторые свойства полученных г-матриц 51

4.1 Классическое уравнение Янга-Бакстера........................................52

4.2 Уравнения Книжника-Замолодчикова для С - расслоений над £т\{г1, ...,гп} 55

5 Пример ЭЦЛГ, С) -система корней ^4дг_1 63

5.1 Корни и веса......................................................................63

5.2 Матрицы переклейки............................................................65

5.3 Базисы ............................................................................66

5.4 Операторы Лакса и Гамильтонианы............................................69

6 Тригонометрический и рациональный пределы 73

6.1 Основной пример: Ранг 2........................................................74

6.2 Формулы для случая произвольного ранга....................................77

6.3 Квантовые Д-матрицы ..........................................................79

7 Приложения 81

7.1 Приложение А. Простые группы Ли [48, 64]..................................81

7.2 Приложение В. Эллиптические функции ....................................90

Глава 1 Введение

Большинство моделей классической механики не могут быть решено точно. Редкими исключительными случаями моделей допускающих точные решения являются, так называемые интегрируемые системы (или, просто, точно решаемые модели).

До середины 60-годов прошлого века было известно лишь небольшое количество интегрируемых систем с фазовым пространством размерности больше двух (см. введение в [1]). Интегрируемость отвечает наличию достаточно большой "скрытой"группы симметрий системы, что приводит к существованию нужного количества независимых интегралов движения. Несколько позднее были открыты примеры интегрируемых систем многих тел в одномерном пространстве, описывающие движение п частиц, взаимодействующих с некоторыми выделенными потенциалами [2].

В работе А. Переломова и М. Олынанецкого [3] было показано, что в основе интегрируемости известных на тот момент систем многих тел лежат скрытые симметрии этих моделей, образующие алгебры Ли. Данное замечание позволило авторам построить новые примеры интегрируемых систем, обобщающих эти системы на случай произвольной системы корней [4, 5]. Метод построения интегрируемых систем, предложенный в данных работах, состоял в редукции свободной динамики на некотором фазовом пространстве большой размерности к фазовому пространству меньшей размерности, динамика на котором становилась нетривиальной. При этом изначально явная симметрия системы становилась "скрытой"на редуцированном пространстве.

Бурное развитие теории интегрируемых систем началось с открытием метода обратной задачи рассеяния в работе К.Гарднера, Дж. Грина, М. Крускала и Р. Миуры [6], преобразованного позднее к алгебраическому

виду в работе П. Лакса [7]. Основная идея данного метода состоит в переписывании уравнений движения системы в следующем виде:

Щ = д№(0)д-\^ М =

Таким образом, спектр матрицы Ь{Ь) не зависит от времени, и характеристические полиномы оператора Лакса:

Нк = ЬтЬк

могут быть выбраны в качестве базиса интегралов движения.

Следующим важным шагом в развитии теории стало обобщение уравнений Лакса на случай бесконечномерных алгебр петель, появившееся впервые в работах [8], [9] . В этом случае матрицы пары Лакса начинают зависеть от дополнительного "спектрального"параметра г:

±Цг) = [Ь(г),М(г)}

Подобная запись уравнений движения оказалась исключительно полезной и позволила подключить к исследованию теории методы алгебраической геометрии. Было показано, что уравнения движения системы, записанной в таком виде, определяют линейный поток на торе (Абелевом комплексном многообразии), являющимся якобианом римановой поверхности, заданной в СР2 характеристическим уравнением:

(^(А -Ь(г)) = 0 (1.0.1)

Данное обстоятельство позволяет взглянуть на интегрируемые системы с совершенно другой точки зрения. Последнее уравнение позволяет трактовать оператор Лакса как мероморфную функцию на римановой поверхности (1.0.1), принимающей значение в матрицах, или, более точно, как сечение голоморфного векторного расслоения над римановой поверхностью.

Важным шагом в развитии геометрического подхода к интегрируемым системам стала работа Н. Хитчина [11], в которой было обнаружено, что ко-касательные расслоения пространств модулей стабильных векторных расслоений над римановыми поверхностями являются естественными фазовыми пространствами некоторых интегрируемых систем. Несмотря на отсутствие в данной работе явных примеров интегрируемых систем (в виде дифференциальных уравнений), использование методов алгебраической геометрии позволило сформулировать ряд важных результатов. В частности, наличие нужного количества интегралов движения в инволюции следует в данном подходе из теоремы Римана-Роха.

Первые явные примеры интегрируемых систем Хитчина были построены в работах [23, 25, 19, 20]. В частности, в работе Н. Некрасова была построена эллиптическая модель Годена, обобщающая эллиптическую систему Калоджеро-Мозера. В работах Д'Хокера и Фонга [19, 20] была описана спиновая система Калоджеро-Мозера как система Хитчина. Данный подход получил дальнейшее активное развитие в работах [12]-[25]. Таким образом, подход Хитчина предлагает ясную программу классификации интегрируемых систем: интегрируемые системы, связанные с кривыми родад, находятся во взаимно-однозначном соответствии с классами топологически неэквивалентных голоморфных расслоений на данных кривых. В частности, кривые рода д = 1 ведут к интегрируемым системам с эллиптическим потенциалом.

Объединение метода редукции М. Ольшанецкого и А. Переломова с ал гебро-геометр и ческой конструкцией Н. Хитчина позволило описать интегрируемые системы на пространствах модулей расслоений сразу в терминах пары Лакса со спектральным параметром [39]. Исходная не редуцированная динамика свободной системы, в данном подходе, задаётся на пространстве сечений голоморфного С-расслоения Е над кривой Еп с п-отмеченными точками, слоем которого служит алгебра Ли 0 структурной группы С. Для этого рассматриваются поля Ф(г) 6 Г2°°(Еп, Е) и связность Л (г), которая задаёт на Е комплексную структуру. Данные поля преобразуются в присоединённом представлении группы С. Симплектическая форма на исходном пространстве определяется функционалом:

ьо — У (£>Ф ,£>А)

где (, )-форма Киллинга на 0. Гамильтонианы системы имеют вид:

Нг = 11УгРг( Ф)

^п

где ^-некоторые — 1?1)-дифференциалы на кривой и Рг-инвариантные полиномы на алгебре Ли. При этом гамильтонианы коммутируют:

и(<1Н1,(1Н3)= О

и динамика исходной системы оказывается свободной:

£ = о

аЬъ

где ¿г-время, соответствующее гамильтониану Нг. Можно заметить, что после калибровочного преобразования Ф' = <7_1Фд последнее уравнение приводится к форме Лакса:

г/Ф'

— = [Ф/,М,], Мг = д-%гд

Гамильтонианы и симплектическая форма, определённые выше, являются инвариантными относительно калибровочных преобразований:

Ф д'Чд, А д'Чд + д~1Ад.

Данное обстоятельство позволяет провести симплектическую редукцию относительно калибровочной группы, после чего мы получаем конечномерную систему, а поле Ф превращается в оператор Лакса Ь(г) со спектральным параметром, роль которого играет локальная координата на£п, который определяется из условия фиксации моментов:

ц(А, Ф) = ¿Ф + [А, Ф] = 0

Ь(г + аг) = ЯгЦг)Я;1

где 0,г б С - так называемые операторы переклейки расслоения. Последнее уравнение играет роль граничных условий, которые, вместе с фиксированными вычетами в отмеченных точках, позволяют, в принципе, выписать оператор Лакса явно в терминах тэта-функций с характеристиками.

В нашей работе мы будем рассматривать только случай эллиптических кривых д = 1с одной отмеченной точкой г = 0. Эллиптическая кривая имеет два фундаментальных цикла, и голоморфные линейные расслоения задаются двумя операторами переклейки 2, А € С, удовлетворяющими условию коцикла:

акя-'к-1 = 1

Если заменить условие коцикла на более общее:

длд^л-1 = с

где £ Е 2(О) некоторый центральный элемент группы, то, хотя данные операторы переклейки не дают С-расслоение, они, очевидно, определяют некоторое С0^ = расслоение. Как будет обсуждаться ниже, эле-

мент С б 2(С) естественно понимать как характеристический класс, представляющий препятствие для поднятия (^-расслоения до (2-расслоения. Мы будем говорить, что расслоение, отвечающее данным операторам переклейки, имеет нетривиальный характеристический классы-

Первые примеры систем Хитчина для ¿Х(Л^)-расслоений с нетривиальным характеристическим классом были построены в [27]. Как оказалось, структура пространства модулей и вид соответствующих интегрируемых систем для разных £ отличается. Например, для £ = 1 система Хитчина совпадает с известной эллиптической системой Калоджеро-Мозера, описывающей систему Л^-частиц, взаимодействующих с потенциалом в виде функции Вейерштрасса:

я™ = ;£>? + ,2 ]>>(«,-«,).

г=1 гф]

В случае, когда С является генератором группы 2{8Ь{И)) ~ мы получаем так называемый эллиптический волчок Эйлера-Арнольда [10], обобщающий классическую интегрируемую задачу о движении твёрдого тела в трёхмерном пространстве на произвольную размерность:

Н1ор =

где тензор инерции волчка р выражается через значения функции Вейер-штрасса. В промежуточной ситуации, когда £ порождает некоторую нетривиальную подгруппу центра, мы приходим к спиновой системе Калоджеро-Мозера, описывающей движение взаимодействующих волчков [27].

В нашей работе мы обобщаем данную картину на случай произвольной простой группы Ли. Эллиптические интегрируемые системы, таким образом, классифицируются выбором простой группы Ли G и характеристическим классом С g Я2(£т, 2(G)) ~ -2(C)1. Для каждого набора (G, С) мы явно строим соответствующие расслоения, определяем пространства модулей, выписываем явные формулы для соответствующих матриц Лакса, классических r-матриц и гамильтонианов интегрируемых систем. Интегрируемость систем доказывается в главе 4 проверкой того, что определённые r-матрицы удовлетворяют классическому уравнению Янга-Бакстера. Таким образом, в данной работе мы пополняем список эллиптических классических г-матриц [28, 29] и получаем явное представление для произвольной системы Хитчина для д — 1, п = 1.

Кроме того, что полученные здесь r-матрицы удовлетворяют уравнению Янга-Бакстера, мы доказываем более общий результат. В главе 4 будет доказано, что данные r-матрицы удовлетворяют уравнениям согласованности для связности Книжника-Замолодчикова-Бернарда. Данные уравнения появляются следующим образом: рассмотрим теорию Весса-Зумино-Виттена над кривой Ед рода д с калибровочной группой G. Произвольному выбору п точек zi,..,zn € Т,д на кривой и некоторому выбору представлений группы G для каждой точки Vi,..., Vn в теории сопоставляется пространство конформных блоков E(z\,..., zn). Данное пространство оказывается конечномерным, и может быть отождествлено со слоем голоморфного расслоения над пространством положений отмеченных точек на кривой X. Связность в данном расслоении называется связностью Книжника-Замолодчикова и описывает монодромию конформных блоков при изменении положения отмеченных точек.

Например, в случае сферы Римана д — 0, пространство положений отмеченных точек имеет вид: X = CPn\diagonals, т.е. множество положений

'■Заметим, что в исходном теоретико-групповом подходе А. Переломова и М. Ольшанецкого интегрируемые системы были классифицированы выбором системы корней, и глобальная топология группы g не учитывалась. В подходе, рассматриваемом здесь, интегрируемые системы для групп g и gad неэквивалентны, хотя данные группы имеют одинаковые алгебры Ли. Таким образом, выбор характеристического класса соответствует выбору некоторой группы из набора групп с одинаковыми алгебрами Ли.

каждой отдельной точки образует СР, и мы исключаем положения, когда две произвольные точки совпадают. Монодромия конформного блока ..., гп) £ Е{г\, ...,гп) при изменении положения г-ой точки описывается известным уравнением Книжника-Замолодчикова:

где Та - ортонормальный базис в соответствующей алгебре Ли, ф Е ... 0 Уп и Тга действует в ¿-ой тензорной компоненте. Легко проверить, что система уравнений Книжника-Замолодчикова представляет собой компоненты плоской голоморфной связности над X:

В случае рода д = 1 аналоги данных уравнений были впервые рассмотрены в работах Бернарда [30], [31]. Пространство конфигураций отмеченных точек в данном случае имеет следующий вид [32]: рассмотрим верхнюю полуплоскость Н+ = {т Е С|1тт > 0} и для т g Н+ рассмотрим решётку Ь(т) = Z + rZ, тогда:

X = {(zi, z-2,..., zn, т), ггеС,т е Н+\гг ф z3 mod L(r)}

Связность Книжника-Замолодчикова-Бернарда в расслоении конформных блоков над X задаётся системой:

Vtip{zi,z2, ...,zn,r) = 0, г = 1, ...,п, VTtft(zi, Z2, zn, т) = 0, где операторы Vz и Vr имеют вид:

(см. раздел 4.1 для принятых обозначений). В работах [30]-[32] было показано, что в некоторых частных случаях оператор гаЬ представляет классическую г-матрицу эллиптической системы Калоджеро-Мозера, действующую

Vt^(zi,...,zn) = 0,

где

[V, V,] = 0

сфа

b,d

в а-ом и Ь-ом пространстве, а оператор /аЬ однозначно восстанавливается по гаЬ. Система уравнений совместности в данном случае имеет вид:

[УьУ7-]=0, [Уг,У,-] = 0,

при этом уравнения [У^, У^] = 0 сводятся к уравнению Янга-Бакстера для г-матрицы гаЬ. Уравнения типа [Уг, У^] = 0 представляют собой некоторые дополнительные условия на эллиптическую г-матрицу системы Калоджеро-Мозера.

Классические г - матрицы, построенные здесь, являются естественными обобщениями г - матриц для системы Калоджеро - Мозера на случай нетривиального характеристического класса. Естественно предположить, что данные г - матрицы также удовлетворяют системе совместности уравнений Книжника - Замолодчикова - Бернарда. Данное предположение проверяется явным вычислением в главе 4.

В данной работе, на примере эллиптического волчка мы показы-

ваем, что полученные г матрицы для нетривиальных характеристических классов допускают некоторый дополнительных класс тригонометрических и рациональных вырождений. В частности, будет получено описание некоторых тригонометрических и рациональных волчков. Мы находим также квантовые Д-матрицы для данных систем. Данные /^-матрицы обобщают стандартные рациональные и тригонометрические решения квантового уравнения Янга-Бакстера, являясь их однопараметрическими деформациями.

Конструкция данных пределов такова: рассмотрим оператор Лакса эллиптической системы Ье(г). Кроме �