Специальные классы многомерных фуксовых систем и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517.9

Лексин Владимир Павлович

Специальные классы многомерных фуксовых систем и их приложения

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена на кафедре алгебры и геометрии Коломенского государственного педагогического института

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук

Г.А.Алексеев;

доктор физико-математических наук А .Б .Богатырев;

доктор физико-математических наук А.Г.Хованский

Ведущая организация: механико-математический факультетет

Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова

Защита состоится "2% "окТД^рй 2005_года в 14_часов на заседании диссертационного совета Д 002.022.02 в Математическом институте им. В.А.Стеклова РАН по адресу:

117966, Москва, ул. Губкина, д.8, Математический институт им.В. А.Стеклова РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В.А.Стеклова РАН.

Автореферат разослан " СсН7лТрЛ 2005 года

Ученый секретарь диссертационного

совета Д 002.022.02,

доктор физико-математических наук

Ю.Н.Дрожжинов

<2006-4 /39S€

Общая характеристика работы Актуальность темы

Работа посвящена интегрируемым линейным мероморфным пфаффовым системам на многомерных комплексных многообразиях. Эти системы записываются в виде:

где мероморфная матричная дифференциальная 1-форма П удовлетворяет условию интегрируемости Фробениуса ¿П = 12 Л П и имеет полюса на некоторой конечной конфигурации комплексных гиперповерхностей (дивизор

порядка, то такие системы называют фуксовыми. Их активное исследование началось в конце шестидесятых годов XX века.

В работе, в основном, исследуются фуксовы системы на комплексных линейных пространствах С", которые имеют полюса на конечных конфигурациях гиперплоскостей и постоянные коэффициенты. А именно, эти системы записываются в следующем виде

где функция Ф(г) принимает значения в некотором комплексном линейном пространстве О1, р > 2, tj - постоянные матрицы размера р х р, стандартно действующие на С, a a¿(г) линейные функции на С". Такие системы названы в дисссертации системами Жерара-Левеля. В случае систем Жерара-Левеля условие интегрируемости Фробениуса принимает вид П Л ÍÍ = 0, так как ясно, что дифференциальная 1-форма (I замкнута. Это условие равносильно следующей системе коммутационных соотношений на матрицы tj :

где 3 максимальный набор индексов, для которого гиперплоскости Нц = {г € Р*|ак(«) = 0}, к € 7 пересекаются по плоскости комплексной коразмерности два. Отметим, что дивизор особенностей рассматриваемых систем

d<t(z) = «Ф(г),

особенностей) в комплексном многообразии. Если полюса у системы первого

[*<,£>] = 0, Vt € J, VJ,

(то есть, конфигурация гиперплоскостей), в общем случае, не удовлетворяет условию нормальности пересечений (или, в другой терминологии, трансверсальности) со&т Я^ПЯ.П-П — к для всех наборов 1 < ¿1 < ]г < • • • < Зк < N. Иначе, в случае нормальных пересечений, как следует из указанных соотношений на коэффициенты любые два коэффициента ^ системы Жерара-Левеля обязаны коммутировать между собой, и можно в явном виде выписать фундаментальную систему решений системы, и все задачи, формулируемые ниже, легко решаются. Для любой интегрируемой системы Жерара-Левеля (как, впрочем, и для любой интегрируемой фуксовой системы), с помощью аналитического продолжения её решений, определяется линейное представление фундаментальной группы дополнения к дивизору N

особенностей Н= У #_,• з=1

\ Н,г0) СЬ(р, С).

Это представление называется представлением монодромии системы или просто монодромией системы.

Фундаментальное значение систем Жерара-Левеля выявлено во многих областях математики и математической физики. Укажем некоторые из них.

Специальные функции многих комплексных переменных, введенные ещё в конце XIX веке в работах П.Аппеля, Я.Горна, Э.Пикара, Дж.Лауричелла, и являющиеся аналогами классических гипергеометрических функций одного переменного, удовлетворяют дифференциальным уравнениям в частных производных с полиномиальными коэффициентами, приводимым к линейным мероморфным пфаффовым системам, а некоторые из них приводятся к системам Жерара-Левеля.

В работах Н.И.Лобачевского и Л.Шлефли по объемам неевклидовых многогранников появились функции многих комплексных переменных, которые, как было установлено значительно позже японским математиком Аомото, удовлетворяют дифференциальным уравнениям, также приводимым к системам Жерара-Левеля.

Особое стимулирующее влияние на развитие теории многомерных специальных фуксовых систем оказало то обстоятельство, что некоторые фейн-

мановские интегралы, рассматриваемые в методе теории возмущений квантовой теории поля, являются функциями многих комплексных переменных, удовлетворяющих системам дифференциальных уравнений в частных производных, приводимым к такого рода системам. А также открытие, сделанное В.А.Книжником и А.Б.Замолодчиковым в 1984 году, которое показало, что аналитические корреляционные функции двумерной конформной теория поля являются решениями фуксовых систем, инвариантных относительно действия симметрической группы . Эти системы позже стали называть уравнениями Книжника-Замолодчикова (КЗ уравнения). В конструкцию КЗ уравнений входит алгебра Ли д симметрий исходной физической теории и представления этой алгебры Ли.

Так как КЗ уравнения и их различные обобщения и модификации являются основными объектами рассмотрения в нашей работе, мы сразу более подробно охарактеризуем их.

Первоначальные КЗ уравнения определяются следующими данными. Пусть У]., ..., Уп набор представлений простой комплексной алгебры Ли 0 и И (Е С - комплексный параметр. Рассмотрим тензор Белавина-Дринфельда < = ® 'о 1 где £<,, а = 1,2,..., сИтпд — ортонормальный базис в алгебре Ли д относительно формы Киллинга. По тензору I определим операторы и, = действующие в тензорном произведении ® ® • • • ® К, по правилу: каждое слагаемое ¿а ® действует на ¡-том и .^том сомножителях в тензорном произведении ® ® • • • х Уп как 1а , а на других сомножителях тождественно, затем результаты действия слагаемых 1а ® £„ суммируем относительно индекса а. Как показали В.А.Книжник и А.Б.Замолодчиков, п-точечные корреляционные функции Ф«(г1,... , 2„) = (^1(г1)02(22)... фп(г„)) со значениями в • -®Уп для голоморфных примарных полей ф\,фъ, ■ -фп конформной

теории поля удовлетворяют следующей системе уравнений:

Операторы удовлетворяют коммутационным соотношениям

[**,*«] = о, {¿,лГкм} = 0

[и3,ик + = о, V», таких, что1 <%<]<к<п,

которые равносильны условиям интегрируемости КЗ уравнений. Если представления У\ — Уг = • • • = Уп совпадают и равны некоторому представлению V, а симметрическая группа 5,, действует на К®" перестановками тензорных сомножителей, то операторные коэффициенты КЗ уравнения обладают свойством эквивариантности: л<у(г>„) = для всех элементов

€ V®", з € 5„, 1 < г < ] < п. Отметим, что уравнения Книжникаг Замолодчикова принадлежат классу интегрируемых систем Жерара-Левеля.

Такие же КЗ уравнения появляются в трехмерной квантовой теории поля, отвечающей классическому действию Черна-Саймонса, как уравнения на корреляционные функции для линий Вильсона. Отметим также связь, обнаруженную А.Мацуо и И.В.Чередником КЗ операторов V; = ^— I Л £ 1

' \ /-НА« ' 7

и их собственных функций с интегралами и собственными состояниями квантовых моделей Калоджеро-Мозера с гамильтонианом Нем = А— £

В 1999 году А.П.Веселов показал, что условия интегрируемости некоторых обобщенных КЗ уравнений равносильны обобщенным уравнениям Виттенаг Дийхграфа-Верлинда-Верлинда ( называемых также уравнениями ассоциативности), которые выражают условия ассоциативности умножения примар-ных полей в некоторых топологических теориях поля.

При геометрической трактовке коэффициентов интегрируемого КЗ уравнения, как хордовых диаграмм, подчиненных 4-членным соотношениям, то тахие уравнения используются в теории инвариантов конечного порядка узлов при доказательстве существования их универсального инварианта Васильева-Концевича.

Систематическое изучение многомерных регулярных и фуксовых систем началось в работах Р.Жерара, А.Х.М.Левеля, П.Делиня, К.Аомото, А.А.Бо-либруха и В.А.Голубевой более 30 лет назад. В первую очередь изучались системы, дивизоры особенностей которых имели нормальные пересечения.

Первоначально большинство общих задач теории линейных мероморф-ных пфаффовых систем со многими переменными ставились по аналогии с задачами классической теории систем уравнений с одной переменной. Первой среди таких задач традиционно рассматривается задача о поведении решения при подходе к особой точке системы и представлении решения в окрестности особой точки. В частности, вычисление матриц локальной монодромии системы при обходе компонент дивизора особенностей в окрестности его особой точки. Далее, в соответствии с типом поведения решений системы, выделяют класс регулярных систем (степенной рост решений в точках дивизора особенностей), и расматривается класс фуксовых систем, выделяемых требованием на 1-форму системы (логарифмические полюса). Изучается взаимоотношение между этими классами (в классическом случае все фуксовы системы являются регулярными). По локальным свойствам решений фуксовых систем проверяется достаточность выявленных локальных свойств решений для характеризации фуксовых систем (критерии фуксовости). Исчерпывающая локальная теория многомерных регулярных и фуксовых систем, имеющих дивизоры особенностей с нормальными пересечениями, была построена в работах Р.Жерара, П.Делиня, А. А.Болибруха, М.Иошида и К.Такано. Были развиты категорные варианты этой теории, в рамках категорий пучков аналитических /^-модулей, которые продолжают активно развиваться в работах французских и японских математиков.

Следущий комплекс задач связан с глобальными аспектами теории интегрируемых линейных мероморфных систем: а именно, с описанием представления монодромии фундаментальной группы дополнения к дивизору особенностей заданной системы и глобальными критериями фуксовости. Для компактных кэлеровых многообразий и дивизоров с нормальными пересечениями, глобальные критерии фуксовости были сформулированы А.Болибрухом в середине 70-х годов прошлого века. Естественным также является вопрос о том, насколько полно представление монодромии определяет фуксову систему. Часть поставленного вопроса: любое ли линейное представление фундаментальной группы дополнения к некоторому дивизору будет представлением монодромии фуксовой системы, для которой, заданный дивизор есть диви-

зор особенностей системы, является вариантом известной проблемы Римана-Гильберта (или 21 проблемы Гильберта) в теории фуксовых систем на сфере Римана.

Наибольшие успехи в решении многомерной проблемы РГ были достигнуты для многомерных фуксовых систем, имеющих дивизоры особенностей с нормальными пересечениями. Р.Жерар доказал разрешимость многомерной проблемы Римана-Гильберта на стягиваемом многообразии Штейна Для дивизоров с нормальными перечениями на неособых алгебраических многообразиях П.Делинь и О.Сузухи решили проблему, но с допущением дополнительных "ложных" особенностей. М.Кита решил проблему РГ без "ложных" особенностей для двумерных многообразий Штейна и произвольного дивизора, однако требовалось, чтобы вторые гомологии многообразия Штейна обращались в нуль (для С2 это условие, конечно, выполняется), но структура формы системы, в окрестностях тех особых точек дивизора особенностей, которые не являются нормальными пересечениями, не была исследована.

Когда дивизор особенностей имеет не только нормальные пересечения, то в этом случае достижений значительно меньше. Единственным значительным достижением является распространение метода Лаппо-Данилевского, в двух различных вариантах, на многомерные фуксовы системы на комплексном линейном или проективном пространствах. С помощью одного из них Р.Хейн дал критерий разрешимости многомерной проблемы РГ. На основе этого критерия Т.Коно решил проблему РГ в классе систем Жерара-Левеля для конфигурации диагональных гиперплоскостей |J {z; = Zj} и пред-

l<t<j<n

ставлений монодромии, близких к единичному представлению. С помощью другого варианта, изложенного в диссертации, решена многомерная проблема РГ в классе систем Жерара-Левеля. В этом решении разрешается произвольная конфигурация гиперплоскостей, в качестве дивизора особенностей системы Жерара-Левеля, а линейное представление фундаментальной группы дополнения к дивизору особенностей предполагается достаточно близким к единичному представлению. Если фундаментальная группа дополнения к дивизору обладает таким точным "малым" представлением, то доказано от-

сутствие алгебраческих препятствий для разрешимости проблемы Римана-Гильберта для произвольных линейных представлений. Перечислены конфигурации гиперплоскостей, для которых фундаментальные группы их дополнения обладают точным "малым" представлением.

В решении задачи описания монодромии заданной системы Жерара-Левеля имеется не так много общих результатов. Кроме характеризации Дринфель-дом с помощью Я-матрнц представлений монодромии оригинальных уравнений КнижникагЗамолодчикова и результатов, изложенных в диссертации, об описании монодромии некоторых специальных видов систем Жерара-Левеля, связанных с корневыми системами, других результатов нет. Можно еще назвать результаты И.Чередника о факторизации представлений монодромии некоторых систем Жерара-Левеля, ассоциированных с корневыми системами, через алгебры Гекке.

Все перечисленные выше задачи, в многомерном случае далеки от своего полного решения, несмотря на многочисленные исследования. С другой стороны, как отмечено выше, теория многомерных фуксовых систем имеет приложения во многих областях математики и математической физики, что указывает на актуальность поставленных задач.

Цель работы

Целью работы является изучение ветвления решений специальных фуксовых систем на многомерных комплексных линейных пространствах, которое состоит в явном описании, или характеризации представлений монодромии этих систем, или в решении обратной задачи восстановления фуксовой системы по её представлению монодромии. Также ставится задача изучения связей дифференциальных операторов первого порядка, определяемых такими системами с потенциалами и гамильтонианами различных моделей теоретической физики, и рассматриваются связи многомерных фуксовых систем с задачами иэомонодромной деформации одномерных фуксовых систем.

Научная новизна

В диссертация получены следующие результаты:

• Построена многомерная теория Лаппо~Данилевского и рассмотрены её приложения.

• Решена задача описания монодромии для фуксовых систем на комплексных линейных пространствах, ассоциированных с комплексными системами корней.

• Построен аналог теории Дринфельда-Коно, отвечающий вещественным системам корней типа В, и доказан В-аналог теоремы Дринфельда-Коно.

• Для вещественных систем корней построены универсальные модели Калоджеро-Моэера и универсальные операторы Книжника-Замолодчшсова, и уста- ) новлена связь между ними.

• Обнаружена связь между уравнениями Книжника-Замолодчикова и теорией изомонодромных деформаций фуксовых систем на сфере Римана.

Практическая и теоретическая ценность

Разработанные методы и полученные результаты могут быть применены к широкому кругу задач в аналитической теории дифференциальных уравнений, математической физике и топологии, исследуемых в МИАН им. В. А.Стек-лова, МГУ им. М.В.Ломоносова, ПОМИ РАН им.В.А.Стеклова, МИ СО РАН им. С.Л.Соболева и Челябинском ГУ, в том числе для исследования многомерной проблемы Римана-Гильберта, исследования решений уравнений ассоциативности, решений уравнений изомонодромной деформации и исследования интегрируемых моделей квантовой механики.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались и представлялись на международных конференциях и конгрессах: Международном математическом

конгрессе в Цюрихе (1СМ'94, 1994, Цюрих, Швейцария); 2-ом Европейском математическом конгрессе (2ndECM, 1996, Будапешт, Венгрия); 12-ом Международном конгрессе по математической физике (1СМР'97, 1997, Брисбен, Австралия); Международной конференции посвященной 90-летию со дня рождения Л.С.Понтрягина (1998, Москва, Россия); "Monodromy and Differential Equations in Singularity Theory and Group Representations (1999, Luminy, Prance); "Differential equations and Dynamical Systems" (2000, Суздаль, Россия); "Monodromy and Differential Equations in Singularity Theory and Group Representations, II" (2000, Москва,Россия); "Differential Equations and Related Topics"(dedicated to the Centenary Anniversary of I.G.Petrovskii) ( 2001, Москва, Россия); "Monodromy in Geometry and Differential Equations" (2001, Москва, Россия); "Progress in nonlinear sciences" (dedicated 100th Anniversary of A.A.Andronov) (2001, Нижний Новгород, Россия); "Differential Equations and Related Topics" (dedicated to the memory of I.G.Petrovskii)( 2003, Москва, Россия); "Singularities of Differential Equations, Integrable Systems and Quantum Groups" (dedicated to the memory of A.A.Bolibrukh) (2004, Strasburg, France), а также на на научных семинарах отдела дифференциальных уравнений МИАН им. В. А. Стек лова под руководством академиков Д.В.Аносова и

А.А.Болибруха ; на семинаре по алгебраической топологии и ее приложе-

ниям под руководством профессора!М.М.Постникова в МГУ им. М.В.Ломо-

носова, на семинаре по динамическим системам и эргодическои теории под руководством профессора А.М.Степина в МГУ им. М.В.Ломоносова, на семинаре по теории представлений в Независимом университете, на научном семинаре по математике под руководством профессора В.А.Голубевой в Коломенском государственном педагогическом институте.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[17]

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из оглавления, введения, пяти глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Объем диссертации — 221 страница, список литературы содержит 89 наименований.

Содержание работы

Во введении изложена история задач, изучаемых в диссертационной работе. Описаны приложения методов, излагаемых в работе, как к некоторым классическим задачам из различных разделов математики, так и к современным задачам математической физики и топологии. Изложены основные результаты представляемой диссертации.

В первой главе мы излагаем, в своей трактовке, ранее известные результаты об условиях интегрируемости в смысле Фробениуса фуксовых систем на С, с особенностями на гиперплоскостях, и многомерный метод Лаппо-Данилевского. Фуксовы системы на С с особенностями на конфигурациях гиперплоскостей и постоянными коэффициентами, мы называем системами Жерара-Лев еля. Мы рассматриваем приложение метода Лаппо-Данилевского к решению многомерной проблемы Римана-Гильберта в классе систем Жерара-Левеля и представлений, близких к единичному представлению, фундаментальной группы дополнения к заданной конфигурации гиперплоскостей. Извлекаем алгебраическое следствие из разрешимости проблемы РГ для малых точных линейных представлений. Это следствие обеспечивает тривиальность алгебраического препятствия к разрешимости проблемы РГ в классе систем Жерара-Левеля и для произвольных представлений фундаментальной группы дополнения к дивизору особенностей.

Мы также определяем обобщенные уравнения Книжника-Замолодчикова и описываем представления обобщенных групп кос, связанные с ними.

Опишем названные результаты болеее подробно. Условия интегрируемости систем Жерара-Левеля формулируются в следующей теореме.

Теорема 0.0.1. Система Жерара-Левеля на С

<№(*) = ОоьЩ*), Пог. = £

с особенностями на конечной конфигурации гиперплоскостей 'Н — {Н1,... , Ду}, удовлетворяет условию полной интегрируемости Фро-бениуса = 0 тогда и только тогда, когда выполняется следующая

система коммутационных соотношений для коэффициентов системы

где каждый набор индексов .7». таков, что гиперплоскости Я,-, г € «7* образуют максимальный набор гиперплоскостей конфигурации М, пересечение всех гиперплоскостей которого есть некоторая плоскость коразмерности два. Причем наборы исчерпывают все возможные максимальные

наборы с указанным свойством.

Эта теорема доказана с использованием теоремы Хопфа о двумерных го-мологиях фундаментальной группы топологического пространства, техники итерированных интегралов Чена и теоремы Аряольда-Брискорна-Орлика-Соломона об изоморфизме алгебры когомологий дополнения к центральной конфигурации гиперплоскостей и алгебры логарифмических форм с полюсами на этой конфигурации.

Мы применяем сформулированную теорему для предъявления коммутационных соотношений, обеспечивающих интегрируемость систем Жерара-Левеля, в случай, когда конфигурация гиперплоскостей есть конфигурация зеркал отражения некоторых конечных вещественных групп отражений.

В последующих параграфах дано подробное изложение обобщения на многомерный случай метода Лаппо-Данилевского обращения рядов

Здесь -у, —петли, представляющие образующие в фундаментальной группе Я"1(С \Н, го), а / обозначает значение итерированного интеграла Чена

= V» б л с {1,..• Щ, * = !,...,/,

Уел

кратности т/1 от формы системы Жерара-Левеля на пути 73- и 1 обозначает единичную матрицу.

Для полноты определения ряда Лаппо-Данилевского-Чеиа, напомним определение итерированных интегралов от дифференциальных 1-форм и перечисляй простейшие свойства.

Пусть о»1, шг,... ,шт — дифференциальные 1-формы на некотором гладком многообразии М. Итерированный интеграл $и>1.. .шт кратности г > 1, по определению, является функцией на пространстве кусочно-гладких путей на М, значение которой на пути 7 :1 М, I = [0,1] определяется равенством

где в правой части стоит обычный кратный интеграл Римана по г-мерному симплексу Дг = {(ть т2,..., тг) £ Нг|т1 < тг < ... < гГ} от произведения функций одного переменного /,(т), г = 1,... , г, определяемых равенствами 7*(о><) = /¿(т)с*г, г = 1,... ,г. Переходя от кратного интеграла по симплексу к повторному, получаем следующее выражение итерированного интеграла через повторный (это выражение также можно взять за определение итерированного интеграла)

/и>]...и>Р— [ /г(тг)(1тг [ /г_1(тг_1)Лгг_1... [ /Пп)^).

Jч Jo ./о J о

При г = 1 1-итерированный интеграл совпадает с обычным криволинейным интегралом. Положим, что значение О-итерированного интеграла равно единице.

Ясно, что определение итерированного интеграла распространяется на матричнозначные, операторнозначные или дифференциальные 1-формы с формальными коэффициентами.

Рассматриваются приложения метода Лаппо-Данилевского к решению многомерной проблемы Римана-Гильберта. Пусть аналитические семейства матриц

рх(ъ) = 1 + М?А + ---+М^Лга + --- , j = l,...,N определяют аналитическое семейство представлений фундаментальной группы (С" \ "Н, *о).

Доказаны следующие утверждения. Теорема 0.0.2. Для любого аналитического семейства представлений

Рх '• яч(Х„, 2о) -> С1((р,С)

и достаточно малых значений параметра А разрешима многомерная проблема Римана-Гильберта в классе аналитических семейств систем Жера-ра-Левеля.

Следствие 0.0.1. Для любого представления

р-.^СХи^Щ, г0)-К?1(р,С),

которое принадлежит достаточно малой окрестности единичного представления, разрешима многомерная проблема Римана-Гильберта в классе систем Жерара-Левеля.

Пусть С? произвольная группа и С[(7] — её групповая алгебра, состоящая из конечных линейных комбинаций элементов группы. Пусть е : С[(?] —>• С — гомоморфизм аугиентации и = кегс его ядро. Определим систему окрестностей нуля групповой алгебры, взяв все степени идеала J и по этой системе определим топологию на групповой алгебре. Пополнение групповой алгебры, относительно этой топологии обозначим С[С]Л. Назовем это пополнение нилыютентным пополнением групповой алгебры. Определен естественный гомоморфизм з \ в С[(7]л в нильпотентное пополнение. Обозначим ядро этого гомоморфизма через £)°°((7).

Теорема 0.0.3. Если существует точное представление фундаментальной группы

Р '■ ^(С1 \ И, «о) —► С),

принадлежащее достаточно малой окрестности единичного представления, то ядро 7Г1(С" \ Н, го)) естественного гомоморфизма ] равно единичной группе.

Согласно результату Хейна, ядро D°°[it{) является алгебраическим препятствием для разрешимости проблемы Римана-Гильберта. Ядро представления р должно содержать подгруппу D°°(iri). Группу D°°(iri) очень трудно вычислить или описать, и потому необходимое условие разрешимости проблемы Римана-Гильберта, фактически, невозможно проверить. Сформулированная теорема показывает, когда препятствие к разрешимости должно быть тривиальным. Ниже приведены примеры конфигураций гиперплоскостей, когда условия следствия выполняются.

В первой главе приведены некоторые факты об обобщенных уравнениях Книжника-Замолодчикова. Бели система Жерара-Левеля определена по некоторой неприводимой системе корней й в С (гиперлоскости дивизора особенностей ортогональны корням системы относительно невырожденной эрмитовой формы), и форма системы обладает свойством инвариантности относительно действия конечной группы отражений W(R), отвечающей этой системе корней, то такие системы Жерара-Левеля мы называем обобщенными уравнениями Книжника-Замолодчикова. Определим отвечающую системе корней R или группе W(R), обобщенную группу кос Bn(W(R)) как фундаментальную группу Bn(W(R)) = wi((C \ U {(z,a) = 0)})/W((R), *о).

а еЯ

Фундаментальная группа Pn(W(R)) = \ (J {(г, а) = 0)}, z0), по опреде-

а£Д

лению, называется обобщенной группой крашенных кос, и она является подгруппой обобщенной группы кос Bn(W(i2)). По представлениям монодромии обобщенных уравнений КнижникагЗамолодчикова можно определить представления обобщенных групп кос. Из недавних результатов о точных представления обобщенных групп кос и следствия 2 получено, что подгруппа D°° группы крашенных кос является тривиальной для конфигураций зеркал отражения групп Коксетера и комплексных импримитивных групп G (de, е, п). Это дает примеры, когда условия следствия 2 выполняются.

Доказано важное свойство голономии обобщенных КЗ уравнений коксе-теровского типа А я В. Она перестановочна с операциями удвоения нитей геометричеких кос.

Определены так называемые ассоциаторы Дринфельда коксетеровских

типов А, В и <?2, которые исчерпывают все возможные виды ассоциаторов для вещественных систем корней.

С помощью новых ассоциаторов дано обобщение, на случай систем корней типа В, явных формул Дринфельда для образующих группы монодромии обобщенного формального КЗ уравнения:

Теорема 0.0.4. Представление монодромии рКг(вп) ■ В(Вп) -> СКп{В) принимает следующие значения на образующих группы кос Брискорна В(Вп)

РК2(в„)(Ь1) = е^зг, »-1 »-1

к= 1 к=1

РК2{В„)(С) = В(«Г„ «?„«?),

где Ф- это ассоциаторы типа А и типа В, выведенные из К2(В) уравнения.

Во второй главе дано описание представлений монодромии систем Жерара-Левеля, имеющих вид

Эти системы мы называем Д-системами или системами Веселова-Коно-Че-редника. й-системы полностью определяются по заданной неприводимой системе корней К в С" и являются вариантом обобщенных уравнений Книжни-ка-Замолодчикова. Операторные коэффициенты а*® а этих систем являются операторами ранга один на С и равны тензорному произведению корня и двойственного к нему вектора. Представления монодромии этих систем эквивалентны обобщенным представлениям Бурау, определенным по заданной системе корней Я. При этом необходимо выбрать параметр, входящий в определение представления Бурау, подходящим образом.

Представление Бурау, отвечающее неприводимой системе корней йсС, определяется как деформация стандартного действия комплексной группы

отражений, отвечающей заданной системе корней. А именно, рассмотрим "матрицу Картана" К = ^(1 — Cm) ) j' отве<1аю1ДУю системе

"простых корней" «i,... ,ап в R п корням из единицы ,... , определяющих порядки соответствующих комплексных отражений saj (г) = z— („j^Qj-При выбранном наборе простых корней R, комплексной системе корней можно сопоставить граф Дынкина-Коэна, по которому полностью восстанавливается задание образующими и соотношениями, соответствующей комплексной группы отражений. В терминах простых корней и матрицы Картана К для Я, любое порождающее отражение за> записывается в следующем виде

(г) = г - (ггКа'})а^

где верхний индекс "t" обозначает транспонирование вектора-столбца, а верхний индекс"*" обозначает комплексное сопряжение координат вектор-столбца.

Представим матрицу Картана в виде К = К~ + К+, где матрица К~ является нижнетреугольной с единицами на диагонали, а матрица К+ — верхнетреугольная с числами —... , — на диагонали. Рассмотрим деформацию Кя матрицы К : Кч — К~ + qK+. где q комплексный или формальный параметр. Рассмотрим свободный модуль С ® g-1] = С\д, д-1]фп ранга п над кольцом многочленов Лорана C[g, <j-1]. Будем полагать, что операция сопряжения " * " включает замену q*1 —>• q*1. Определим обратимые преобразования модуля C[q, gr_l]®n

= v - (z*Kqaj)aj.

Мы доказываем следующие теоремы:

Теорема 0.0.5. Для неприводимой комплексной системы корней R, у которой существует граф Дынкина-Коэна, являющийся деревом, преобразования рв(&г) i — 1, • • ■ , п определяют представление обобщенной группы кос Bn(W(.ß)) в группу автоморфизмов свободного модуля Aut(C[q,q~l]9n).

Теорема О.О.в. Пусть й С С" неприводимая система корней и W(R), соответствующая ей комплексная группа отражений. Предположим, что

диаграмма Дынкина-Коэпа для Я является деревом. Тогда представление монодромии К-системы

при достаточно малых значениях параметра Н, эквивалентно обобщенному представлению Бурау с параметром д = ехр(2эт»Л).

В качестве приложения Д-систем, мы доказываем обобщенный вариант наблюдения Веселова: каждая Д-система, отвечающая неприводимой вещественной системе корней Я, интегрируема тогда, и только тогда, когда функция ■ ■ • , г„ = £аеяМ2> а)2 удовлетворяет обобщенным урав-

нениям ассоциативности (в другой терминологии WDW уравнения). Мы дополняем, в сравнении с результатом Веселова, комплексными системами корней, класс конфигураций векторов, для которых функция многих комплексных переменных Рц(г1,... ,гп) задает решение обобщенных уравнений ассоциативности. Для полноты укажем вид и описание величин входящих в эти уравнения. Пусть Р{г) трижды дифференцируемая комплекснозначная функция от п комплексных переменных г = (21,... ,г„) 6 С. Матричные функции ^¡(г), г = 1,... ,п определяются равенствами Р%(г) = (?_1(г)^(г), где ^(г) — п х п матрицы составленные из третьих производных функции F(г), а именно, (^(г))^ = а^е^о*,' а матричная функция С{г) определяется равенством б(г) = Мы полагаем, что матричная функция О(г)

и ее определитель det (?(*) не равняются тождественно нулю.

Уравнения ассоциативности на функцию F(г) имеют вид коммутационных соотношений

[£(*),£•(*)] = 0, 1<»<><п,

где квадратные скобки [•, •] обозначают коммутатор матриц.

В третьей главе описаны алгебраические структуры связанные с голо-номией обобщенных уравнений Книжника-Замолодчикова, ассоциированных с системой корней типа В. Эти структуры использованы для характеризации монодромии этих обобщенных КЗ уравнений.

Вводятся сплетенные квазибиалгебры коксетеровского типа В. Сплетенная квази-биалгебра типа Вп — это некоторая биалгебра А со следующим набором структурных элементов

где ц обозначает умножение, Д — коумножение, т) есть единица, £ — хоеди-ница, Ra € A9i и Rs € А — Я-матрицы типа А и В, Фд € Л®3, Фв € A®s — ассоциаторы типа А я В.

Пусть г обозначает теперь гомоморфизм, задающий перестановку тензорных сомножителей г : ¿4®1 —> Л®3, а ® 6 -У Ь ® a and Дор = тД. Мы требуем, чтобы выполнялись равенства

Эти равенства определяют "почти кокоммутативность " и "почти коассо-циативность" коумножения Д.

Мы также требуем, чтобы структурные элементы удовлетворяли еше следующим аксиомам:

1. АгЯл =

А Ял = ЮЧ-Ч^ФЯМ*?)-1,

2. Д(RB) = ® ® /)Фв,

3. Д3(Фл)Д1(Ф>|) = (/ ® ® /),

4. Д1(Фв) = Ф;1(Фв® Д2Фв = Фв ® 1,

5. ei(Ax) = е,(Дд) = 1 ® 1,

6. еПФч) = е2(Фд) = £э(Фл) = 1 ® 1 ® 1,

Д< = Д ® id, id ® Д, , Д ® id ®»J, id® A® id, id ® ufA, £i = е ® 1,1 ® е, £®1®1,1®е®1,1®1®е,

Д<*>(а) = ДлДМДд1, (A ® id)A(a) = ФЛ(г<* ® Д)Д(а)Фд1.

7. е(Лв) = 1, (е ® 1)Фв = (1 ® Фв = 1 в 1,

где е — коединица в А и Д — коумножение в Л.

Эти аксиомы моделируют свойства голономии КЗ уравнения типа В„, которые вытекают из свойства перестановочности голономии с операцией симметрического инфинитезимального удвоения нитей симметрических кос со свободными концами.

Доказывается, что голономия обобщенного КЗ уравнения типа В порождает такую структуру на тривиальной формальной деформации универсальной обертывающей алгебры. Она характеризуется следующими данными:

Вкг = «2*.

где В™ = € (17(в)[М])в1, 2 = € £%)[[*]], ФКА* € (1/(0)[[А]])®3, ф£г € (Щв)[[А]])®2- Символы Г и *0 = + о- ® (<*■ — автоморфизм

Вейля-Шевалле) обозначают квадратичный тензор Белавина-Дрянфельда в Я ® 0 С и (о)® и(д) и элемент Лейбмана в 1/(д), Ф%2 и ф£г — ассоциаторы Дринфельда для КЗ уравнения типа В.

Умножение /х, коумножение А, единица ц и коединица е совпадают с соответствующими операциями в тривиальной деформации универсальной обертывающей алгебры 1/(д). Можно показать, что указанный набор структурных элементов определяет структуру сплетенной квази-биалгебры типа Вп на г7(0)[[А]].

Определяется скручивание произвольной структуры В квази-биалгебры типа Вп на некоторой алгебре А. Скручивание определяется элементами Ра € А®2, Рд е'А, и скрученная структура задается следующими набором структурных элементов:

Вв = РвВ-вРв1, , В.л = РаВ-аРа Х> Фв = (ДРв)Фв(ДРв)~1, Фх = (1 ® Ра)А2РаФаЛ1(Р^)(Ра ® 1), Д(о) = РАД(а)Р;\ /¡(а ® Ь) = М(РА(а ® Ь)Р?)

Множество скрученных объектов сплетенной квази-биалгебры типа В также удовлетворяют аксиомам сплетенной квази-биалгебры типа В.

Рассматривается существование такой структуры с тривиальными ассоциаторами на алгебре Дринфельда-Джимбо.

По определению, алгебра Дринфельда-Джимбо ¿^(б) коксетеровского типа В является ассоциативной алгеброй порожденной элементами Х{ = Ха,, У< = У-ап - На,,» = 1,2,... , то, которые удовлетворяют соотношениям

= 0,

[Я,-, X,] = =

вшЬ(НЯ/2) ~ 8тЬ(Ы/2) '

'=0,

а,,-к _

к=о \ « /,,

Е^-^РТ0) = 0.

*=0 ^ ' 9>

Здесь мы используем обозначения

Чг = ем,/2, /п\ . К>-!]„..>-А:+ 1]9,

ил. м*1

9. - 9,-

[*]*> = [1],. И,

и ау — элементы матрицы Картана алгебры Ли д.

Топология кольца С* = С[[Л]], где Н - формальный параметр, или модуля М над этим кольцом определяется степенями идеалов 1 — {К) или их действием на модуле М.

Мы определим коумножение Д/, для алгебры 11ь(д) как непрерывный гомоморфизм алгебр

Дл : ин(д) £М0)®£Мв),

где ® — топологическое тензорное произведение. Этот гомоморфизм на об-

радующих алгебры 11н{д) определяется формулами:

ДН{Щ) = Я< ® 1 + 1 ® Ни Д„(*) = * ® еы'я'/4 + ® X,,

Дь(у;) = У< ® еы'н</* + е-'*"./« ® Уи Мы определим коединицу и антипод на образующих в С/ь(<?) формулами:

е(Н{) = ерЬ) = е(У4) = О, = = е^'Л^У.) = е-^/'У-.

и распространим на все ¡7ь(д) по мультипликативности, как гомоморфизм и антигомоморфизм соответственно.

Пусть цн обозначает умножение в С/ь(д) и пусть щ

т]к : Сь (7ь(£|)

обозначает единицу в 17/, (д).

Алгебру Хопфа будем называть алгеброй Дрин-

фельда-Джимбо.

Рассматривается обобщение теоремы Дринфельда-Коно для уравнений КЗ, отвечающих системе корней типа В.

В общем случае, структура сплетенной квази-биалгебры типа В„ на ас-сциативной алгебре А и некоторая инволюция на А, позволяют определить представление группы Брискорна тина В(\У(Вп))

рв : В(УГ{Вп)) А®"

по формулам подобным формулам определенным описанным в главе 1

Рв{°= «иДд,

РвЫ = (* УГ\<+1Лл,«,т)*11\ рв(т) =

Обозначим структуру скрученной квази-биалгебры В(рл,рв)- Две структуры, получающиеся одна из другой скручиванием, называются калибров очно эквивалентными. Две калибровочно эквивалентные структуры сплетенной

квазибиалгебры типа В определяют эквивалентные представления группы кос Брискорна В(Вп).

Для формулировки обобщения теоремы Дринфельда-Коно нам необходимо следующее утверждение.

Для алгебры Дринфельда-Джимбо Uh(g) существуют такие элементы R.A,h € Uh(8)®а, Rb.h € Uh(Q), что следующий набор объектов

Вн - /ifc, Дь, т, £h, Ra,k, Re,h, = 1 ® 1 ® 1, Фв,н - 1 ® 1

определяет сплетенную топологическую биалгебру над Сл.

Элемент Ra,k — универсальная Д-матрица, которая упоминалась выше. Любая такая сплетенная биалгебра определяет представление группы кос Брискорна типа В(Вп) по формулам, указанным выше в этом разделе, где в качесве а а берется продолжение aw автоморфизма Вейля-Шевалле на Uh(g) (для этого можно использовать линейный непрерывный изоморфизм Uh(g) и ?/(<7)[[Л]]). В частности, мы получаем элементы Ra,h = «н-йд.ь and Двл = dvyRgh, удовлетворяющие одному из порождающих соотношений для кос Брискорна типа Вп

(RA,h(RB,h ® 1))а = №в,Н ® 1 )RA,K?.

Это уравнение на Д-матрицы для Вп-случая необходимо добавить к уравнениям Янга-Бакстера в Ап-х случае.

Теперь мы сформулируем теорему, которая обобщает теорему Дринфель-да на случай систем корней типа В.

Теорема 0.0.7. Существует такие два скручивающих ряда

FaO0 € Fs(h) £ £/(д)[[Л]], что имеет место изоморфизм

Bkz = ( £%)[[% р, Д, Ra = в'"/', RB = е"°/3, Ф**, фЙ й ^ > Fb)

= Bh= ({Uh(g), Ra,HI Rb,h, Флл = 1 ® 1 ® 1, ФBjk = 1 ® l).

Теперь сформулируем основную теорему главы.

Теорема 0.0.8. Пусть д — любил простая комплексная конечномерная алгебра Ли, € д®д С и(д)®1 — д-инвариантный тензор Белавина-Дринфельда и € и(д) — элемент Лейбмана. Тогда представление монодромии КЗ уравнения типа Вп с коэффициентами, определяемыми =

эквивалентно представлению группы кос Брискорна В(Вп), определяемому по структуре сплетенной квази-биалгебры типа В на алгебре Дринфелъда-Джимбо Uh(g) с тривиальными ассоциаторами Фа,н = 1®1®1 и Фв,н = 1®1.

Таким образом теорема Дринфельда-Коно дает характеризацию монодромии уравнений КЗ через Я-матрицы.

Четвертая глава посвящена приложениям операторов КнижнихагЗа-молодчикова, ассоциированных с некоторой вещественной системой корней, к исследованию интегрируемости квантовых моделей Калоджеро-Мозера со спином и соответствующей симметрией. Рассмотрены вопросы отыскания собственных состояний этих моделей по собственным функциям КЗ операторов , а также решение обратной задачи восстановления.

Более подробно. Пусть ДсС — комплексификация вещественной неприводимой системы корней и будем рассматривать функции f(z), принимающие значения в модуле над W{R).

Определим операторы äaf{z) = saf{a~lz). Обозначим через V4 дифференциально-разностный оператор Книжника-Замолодчикова-Дункла

ut°,

РКП ■ В(Вп) (!%)[[*]])•".

Определим многочлены от переменных т} и А:

Ш,Х,г,)= Y[(t-w\,r,),

шб W

P(lAg)

(i-woA ,г))'

Определим оператор

где V, — оператор Книжника-ЗамолодчиковагДункла.

Определение 1. Назовём элемент А € С* регулярным, если (А, а) ф 0, для всех а € Я.

Определение 2. Назовём элемент т) € К" типичным, если (»7, ^А — ю2А) ф 0, для всех ш^ед Справедлива следующая теорема.

Теорема 0.0.9. Для ]У(11)-инвариантных собственных функций оператора Калоджеро, отвечающего системе корней Д,

(где А = д\ - обычный оператор Лапласа) с собственным значением —(А, А) решение Ф(г) = £ Фш-[ги] уравнения КЗ для любых регулярных А € О*

где V — ограничение полинома 7-'(V,, А, 17) от коммутирующих операторов

на \У(11)-инвариантные функции « V; - базисные операторы Книжника-Замолодчикова-Дункла.

Для произвольной неприводимой вещественной системы корней Я С К" С С определяются универсальные КЗ операторы и универсальные модели Ка-лоджеро-Мозера на пространстве С^' с координатами иа, а € Я, где |Л|-число элементов в системе корней Я. Пусть Fд(a:, у) = а)(а, у), ж, у €

С каноническая билинейная форма на С". Пусть а —► € С,а 6 Я, задает IV(Я)-инвариантную функцию на системе корней Д, я А,, 7 6 Д операторы вида

V

и любых типичных г\ можно восстановить по формуле

Эти операторы порождают эквивариантное семейство операторов, то есть, для Ау мы имеем равенства

■ш о Ау = о ю.

Определяются "универсальные операторы" Книжника-Замолодчикова-Дун-кла

V, = -Д, + Ау, V* = У7±Ь7(и)

для 7 € Л и 17(м) = Е„ед Р(7, Это семейства операторов также является эхвивариантным. Коммутаторы первых операторов имеют вид

[V У1= V I у ЪЫРЖъаЩЫЗ) - Уд(7,)?)Р,(<,А)) 1 « I ¿^ <иа- и.а)(ия - и-я)

На пространстве С'л' определим квадратичную форму (}(и) равенством

Определим "универсальные" гамильтонианы с потенциалами Калоджеро и Калоджеро-Мозера равенствами:

Не = —Д + X)

абЛ+ («а-«_„)»

Яом = Нс + (¡{и) где Д оператор, определенный равенством

Легко проверить, что эти гамильтонианы являются И^-инвариантными операторами, то есть

хю о Не ~ Не о ги ж то Нем — Нем о ги, Уги 6

Универсальные гамильтонианы Калоджеро и Калоджеро-Мозера имеют следующие выражения через универсальные операторы Книжяика-Замолод-

чикова-Дункла:

- и° {к - -»-,> г

Х)^7? - -я« - {Е"Ьл>+2 £ ^Ц.

тел иел «6Л+ ° ~а )

Определение 0.0.1. Алгебраическое подмногообразие в С'л' определенное системой уравнений

Ма(Щ= £ М»( ^

а „ ТТ* - «-а)(«й - И-й) I

Чъ 8 е Л, V» е ЩЯ). будем называть многообразием Дункла.

Определение 0.0.2. Алгебраическое подмногообразие в С'л' определенное системой уравнений

V» € ЩЯ)

будем называть многообразием Бете и обозначать Мд(Л).

Определение 0.0.3. Пересечение многообразий Дункла и Бете назовем многообразием Бете-Дункла.

На этих многообразиях все предыдущие равенства упрощаются. Мы получаем следующие утверждения.

Теорема 0.0.10. (1) На многообразии Дункла операторы 1,6 6 Я

коммутируют.

(2) На многообразии Бете мы имеем следующее представление гамильтониана Не

тел

(3) На многообразии Бете-Дункла квантовая модель с гамильтонианом Не интегрируема и множество алгебраически независимых интегралов задается формулами

'.-IX

ч€Я

В пятой главе рассмотрены приложения КЗ уравнений в теории изо-монодромных деформаций линейных систем дифференциальных уравнений на сфере Римана. Изучаются решения уравнений Шлезингера, которые получаются редукцией n-точечных КЗ уравнений и в некоторых случаях дается характеризация этих решений.

Уравнения Шлезингера являются нелинейными мероморфными пффаффо-. выми системами на комплексном линейном пространстве С" с особенностями

на множестве диагональных гиперплоскостей z,- — Zj — 0, г ^ j, i,j = 1,.. .п

dB{ = - Т [Ви = 1,... , п.

..... A Zj

Здесь В,, i — 1,... ,п являются матрицами размера р х р я [•, •] обозначает коммутатор матриц.

* Рассмотривается класс решений уравнений Шлезингера , определяемый

следующими свойствоми.

А: 0 = 0, то есть, дивизор Мальгранжа пуст, другими словами, рассматриваются голоморфные решения на универсальном накрытии Z = Хп (здесь Х„ = С\ (J ){zi—zj = 0}) пространства параметров деформации.

В: Для действия группы крашенных кос Рп = 1г1(Хп,г°) на Z, как группы накрывающих скольжений, мы предполагаем, что решения преобразуются по формуле

Bitfx) = МЫ"1 Д-(*)М(7), i = 1,... ,в, V* € Z, V7 € Р„,

где М(7) является постоянной матрицей для каждого 7 6 Рп.

Каждое решение (Вт) := ..., Вп) уравнений Шлезингера со свойствами А и В определяет представление р{вт) группы крашенных кос Рп

Примеры решений уравнений Шлезингера со свойствами А и В даются редукцией уравнений КнижникагЗамолодчикова. Названная редукция сводит п-точечное уравнение Книжника-Замолодчикова ¿Ф„ = П„Ф„ к деформации Шлезингера

фуксовой системы на сфере Римана с помощью локальной замены Ф„

Ф„, где Ф„_1 («1,... , г„_1) решение (п— 1)-точечного уравнения КЗ: £/Ф„_1 = Пп-1Ф„-1 и его переменные рассматриваются как параметры деформации. Мы получаем решение уравнений Шлезингера

обладающее упомянутыми свойствами А и В.

Вспомогательная проблема Римана-Гильберта: Найти уравнение типа КЗ уравнения, которое имеет представление монодромии равное представлению р(вт)-

Основная теорема данной главы дает, в нерезонансном случае, характе-ризацию решений уравнений Шлезингера, обладающих свойствами А и В.

Теорема 0.0.11. Пусть (Вт) является решением уравнений Шлезингера со свойствами А, В, Вх = Вш - постоянная матрица, и Р(вт) — соот-

ветствующее представление группы крашенных кос . Предположим, что вспомогательная проблема Римана-Гильберта для р(вт) имеет решение, и соответствующие коэффициенты и фундаментальная матрица

р{вт) : Рп = *1(Х„, —► СЦр, С),

если мы сопоставим

7

Д(а) = «-^(а^Фп-^а), » = 1,... ,п - 1,

решений п-точечного уравнения типа уравнения Книжника-Замолодчикова. Предположим, что собственные значения постоянной матрицы ■Bao + 2i<»<j<n не отличаются на положительное целое число. Тогда решение (Вт) уравнений Шлезингера можно получить редукцией (п + 1)-точечного уравнения типа уравнения Книжника-Замолодчикова.

Автор выражает благодарность академику Д.В.Аносову и всем сотрудникам отдела дифференциальных уравнений Математического института имени В.А.Стеклова РАН за внимание и помощь. Автор признателен академику

А.А.Болибруху и профессорам А.В.Чернавскому и В. А.Голубевой за много-

летнее сотрудничество и поддержку.

»

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. В.П.ЛЕКСИН, Мероморфные пфаффовы системы на комплексных проективных пространствах. Матем. сборник, 129:2(1986), 201-217.

2. В.П.ЛЕКСИН, Соотношения в алгебре голономии многообразия и теорема Хопфа о Ht(M). Алгебраические вопросы анализа и топологии, Воронеж, вып. 4(1990), 130-136.

3. В.П.ЛЕКСИН, О задаче Римана-Гильберта для аналитических семейств представлений. Матем.заметки 50(1991), вып. 2, 89-97.

4. В. А.ГОЛУБЕВ А, В.П.ЛЕКСИН, Обобщенные уравнения Книжника-За-молодчикова и факторизация их решений. Матем.заметки 54(1993), вып. 5, 25-34.

5. В.а.голубева, В.П.лексин, О формуле восстановления Веселова-Фельдера в теории операторов Калоджеро-Сазерленда. ТМФ, 106(1996), ном. 3, 62-75.

6. В.А.ГОЛУБЕВА, В.П.ЛЕКСИН, Квадратичные соотношения в когомо-логиях обобщенных крашенных кос и тождества Данкла. Фунхц. анализ и его прилож., 30(1996), вып. 2, 73-76.

7. V.A.Golubeva, V.P.Lexin, Quantum problems with symmetries and generalized Knizhnik-Zamolodchikov equations. New Frontiers in Algebras, Groups and Geometries, Hadronic Press, Palm Harbor(1996), 19-73.

8. В.П.ЛЕКСИН, Об общих алгебраических структурах моделей Калод-жеро и Сазерленда. Международная конференция посвященная 90-летию со дня рождения Л.С.Понтрягина (Москва, 1998), Тезисы докладов (Дифференциальные уравнения), 144-146.

9. V.A.golubeva, V.P.Lexin, Heisenberg-Weyl operators algebras associated to the models of Calogero-Sutherland type and isomorphism of rational and trigonometric models. J.Math.Sci., 98, no. 3(2000), 291-318.

10. V.P.Lexin, Monodromy for the KZ equations of the Bn-type and accompanying algebraic structures. Functional Differential Equations, 8(2001), no. 3-4, 335-344.

11. V.A.golubeva, V.P.Lexin, Rigidity theorems for multiparametric deformations of the universal enveloping algebras. J.Math.Sci., 108, no. 3(2002), 420-431.

12. В.П.ЛЕКСИН, Операции удвоения и монодромия обобщенных уравнений Книжника-Замолодчикова. Труды Математического института

им. В.А.Стеклова. Дифференциальные уравнения и динамические системы, 236(2002), 218-225.

13. В.а.голубева, В.П.лексин, Алгебраическая характеризация мо-нодромии обобщенных уравнений Книжника-Замолодчикова типа В„. Труды Математического института им. В.А.Стеклова. Монодромия в задачах алгебраической геометрии и дифференциальных уравнений, 238(2002), 124-143.

14. V.P.LEXIN, Holomorphic solutions of the isomonodromic deformation equations. Progress in Nonlinear Sciences, International Conference dedicated to the 100-th Anniversary of A.A.Andronov, vol. 8: Mathematical problems of nonlinear Dinamics, Nizhniy Novgorod, 2002, 290-295.

15. V.P.LEXIN, WDVV equations and generalized Burau representations. Тезисы международной конференции "Математические идеи П.Л.Чебышёва и их приложения к современным проблемам естествознания", 2002, Обнинск, Россия), 59-60.

16. V.P.LEXIN, Monodromy of rational KZ equations and some related topics. Acta Appl. Math., 75(2003), 105-115.

17. В.П.ЛЕКСИН, Монодромия систем Веселоеа-Чередника для вещественных и комплексных конфигураций векторов. Тезисы международной конференции, посвященной 103-летию со дня рождения И.Г.Петровского, Москва, 16-22 мая 2004 года, 127-128.

РОС НАЦИОНАЛЬ БИБЛИОТЕКА СЯстсрбург 09 ПО ш

Подписано в печать Q6.PS Формат 60x84/16. Усл.псч п. 2,0 Тираж <00 экз. Заказ 28 Отпечатано а Отделе печати МГУ

№16 9 5 9

PH Б Русский фонд

2006-4 13986

i

1

»

Введение.

1 Фуксовы системы и обобщенные уравнения Книжника-Замо-лодчикова

1.1 Конфигурации гиперплоскостей и фуксовы системы на С1. Интегрируемость фуксовых систем.

1.2 Монодромия многомерных фуксовых систем. Проблема Римана-Гильберта.

1.3 Многомерная теория Лаппо-Данилевского

1.4 Метод Лаппо-Данилевского и пересечение радикалов элементов нижнего центрального ряда некоторых фундаментальных групп.

1.5 Коксетеровские и комплексные группы отражений. Обобщенные уравнения Книжника-Замолодчикова

1.6 Голономия обобщенных КЗ уравнений с формальными коэффициентами. Ассоциаторы Дринфельда.

2 Монодромия фуксовых Д-систем с коэффициентами ранга один

2.1 Билинейные и эрмитовы формы на С1, ассоциированные с конфигурациями векторов в С"

2.2 Условие Веселова и интегрируемые

R- системы

2.3 Монодромия Д-связностей Веселова-Коно-Чередника для вещественных систем корней.

2.4 Монодромия й-связностей для комплексных систем корней

2.5 Интегрируемые /2-системы и специальные решения уравнений ассоциативности.

3 Теорема Дринфельда-Коно для КЗ уравнений коксетеровских типов В

3.1 Теория Дринфельда-Коно для КЗ уравнений типа А.

3.2 Введение в теорию Дринфельда-Коно типа Вп.

3.3 Сплетенные квази-биалгебры коксетеровского типа Вп и обобщение теоремы Дринфельда-Коно.

3.4 Теоремы жесткости и доказательство

Вп-аналога теоремы Дринфельда-Коно.

4 Обобщенные КЗ операторы и операторы Шредингера с потенциалами Калоджеро-Мозера

4.1 Обобщенные уравнения Книжника-Замолодчикова и операторы Калоджеро.

4.2 Отображение Веселова-Мацуо-Чередника.

4.3 Обобщенная формула восстановления

Веселова-Фельдера.

4.4 Канонические формы и универрсальные операторы Лапласа

4.5 Универсальные операторы Дункла и универсальные гамильтонианы. Многообразия Бете-Дункла.

4.6 Об изоморфизме универсальных моделей Калоджеро во внешнем поле осциллятора и универсальных моделей Сазерленда

5 Уравнения Книжника-Замолодчикова и изомонодромные деформации

5.1 Деформации Книжника-Замолодчикова и их редукция к нормам лизованным деформациям Шлезингера.

5.2 Уравнения Шлезингера и аналитические свойства их решений

5.3 Характеризация KZn решений уравнений Шлезингера.

Работа посвящена интегрируемым линейным мероморфным пфаффовым системам на комплексных многообразиях. Эти системы записываются в виде

1Щг) = ПЩг), где мероморфная матричная дифференциальная 1-форма удовлетворяет условию Фробениуса (Ю, — 0 Л Г2 и имеет полюса на некоторой конфигурации комплексных гиперповерхностей в комплексном многообразии. Если полюса у системы логарифмические, то такие системы называют фуксовыми. Их активное исследование началось в конце шестидесятых годов XX века.

В работе, в основном, исследуются фуксовы системы на комплексных линейных пространствах С", которые имеют логарифмические полюса на конечных конфигурациях гиперплоскостей и постоянные коэффициенты. А именно, эти системы записываются в следующем виде где функция Ф(>г) принимает значения в некотором комплексном линейном пространстве Ср, р > 2, ^ — постоянные матрицы размера р х р, стандартно действующие на Ср, а — линейные функции на Сп. Такие системы названы в дисссертации системами Жерара-Левеля. В случае систем Жерара-Левеля условие интегрируемости Фробениуса принимает вид О А П = О, так как ясно, что дифференциальная 1-форма и замкнута. Это условие равносильно следующей системе коммутационных соотношений на матрицы : О, Уг€V/, ш где 3 максимальный набор индексов, для которого гиперплоскости Щ = {г € О^а^-г) = 0}, к € .7 пересекаются по плоскости комплексной коразмерности два. Отметим, что дивизор особенностей рассматриваемых систем (в нашем специальном случае -это конфигурация гиперплоскостей), в общем случае, не удовлетворяет условию нормальности пересечений (или, в другой терминологии, трансверсальности) сосНт Н^ р| Н)2 П • • ■ П НЗк = ^ для всех наборов 1 < < & < • • • < ¿к < N. Иначе, в случае нормальных пересечений, как следует из указанных соотношений на коэффициенты любые два коэффициента системы Жерара-Левеля обязаны коммутировать между собой, и можно в явном виде выписать фундаментальную матрицу решений системы, при этом все задачи, формулируемые ниже, легко решаются. Для любой интегрируемой системы Жерара-Левеля (как, впрочем, и для любой интегрируемой фуксовой системы), с помощью аналитического продолжения её решений, определяется линейное представление фундаментальной группы дополнения к n дивизору особенностей Н = У Яу

3=1 с).

Это представление называется представлением монодромии системы или просто монодромией системы.

Фундаментальное значение систем Жерара-Левеля было выявлено во многих областях математики и математической физики. Укажем некоторые из них.

Специальные функции многих комплексных переменных, введенные еще в XIX веке П.Аррелем, Э.Пикаром, Я.Горном, Дж.Лау-ричелла, являющиеся аналогами классических гипергеометрических функций одного переменного, удовлетворяют система дифференциальных уравнений в частных производных, которые приводятся к таким системам (см. [14], и ссылки в этой работе).

В работах Н.И.Лобачевского, Л.Шлефли по объемам неевклидовых многогранников появились функции многих комплексных переменных, которые, как было установлено значительно позже японским математиком К.Аомото, удовлетворяют дифференциальным уравнениям также приводимым к таким системам (см. [33]).

Особое стимулирующее влияние на развитие теории многомерных специальных фуксовых систем оказало то обстоятельство, что некоторые фейнмановские интегралы, рассматриваемые в методе теории возмущений квантовой теории поля, являются функциями многих комплексных переменных, удовлетворяющих системам дифференциальных уравнений в частных производных, приводимым к такого рода системам [12], [79]. А также открытие сделанное в 1984 году В.А.Книжником и А.Б.Замо-лодчиковым [66], которое показало, что аналитические корреляционные функции двумерной конформной теории поля являются решениями фуксовых систем, которые инвариантны относительно действия симметрической группы. Эти системы позже стали называть уравнениями Книжника-Замолодчикова (КЗ уравнения). В конструкцию КЗ уравнений входит натуральное число п, комплексный параметр к, алгебра Ли 0 симметрий исходной физической теории и представления этой алгебры Ли.

Так как КЗ уравнения и их различные обобщения и модификации являются основными объектами рассмотрения в нашей работе, мы сразу более подробно охарактеризуем их.

Первоначальные КЗ уравнения определяются следующими данными. Пусть У\, Уг,., Уп набор представлений простой комплексной алгебры Ли д. Рассмотрим тензор Белавина-Дринфельда £ = ^еЙ0^» ® ¿а , где а = 1,2,., ортонормальный базис в алгебре д относительно формы Киллинга. По тензору £ определим операторы действующие в тензорном произведении У\ ® 0 • • • <8> Уп по правилу: каждое слагаемое ¿а <8> £а действует на ьтом и j-тoм сомножителях в произведении У\ ® У% ® • • • х как , а на других сомножителях тождественно. Как показали В.А.Книжник и А.Б.Замолодчиков [66], п-точечные корреляционные функции Уп(г 1,. , гп) = (<^1(^1)^2(^2). фп(^п)} со значениями в У\ 0 У2 0 • - • <8> Уп для голоморфных примарных полей Фи 02, • • • Фп конформной теории поля удовлетворяют следующей системе уравнений:

Операторы ¿у удовлетворяют коммутационным соотношениям = О» VI, к таких, что 1 <г<3<к<п, которые равносильны условиям интегрируемости КЗ уравнений. Если представления У\ = У% — • • • = Уп совпадают и равны некоторому представлению V, а симметрическая группа 5П действует на У0П перестановками тензорных сомножителей, то операторные коэффициенты КЗ уравнения обладают свойством эквивариантности: — для всех элементов уп 6 $ £ 5П, 1 < I < ] < п. Отметим, что уравнения Книжника-Замолодчикова принадлежат классу интегрируемых систем Жерара-Левеля.

Такие же уравнения появляются в трехмерной квантовой теории поля, отвечающей классическому действию Черна-Саймонса, как уравнения на корреляционные функции для линий Вильсона [49]. Отметим, что КЗ уравнения входят в класс систем = о, {г,Лр|{М} = 0;

Жерараа-Левеля. А.Мацуо и И.В.Чередник обнаружили связь КЗ операторов V* = щ - и их собственных функций с интегралами и собственными состояниями спиновых квантовых моделей Калоджеро-Мозера [39, 76].

В 1999 году А.П.Веселов показал [88], что условия интегрируемости некоторых обобщенных КЗ уравнений равносильны обобщенным уравнениям Виттена-Дийкграфа-Верлинда-Верлинда ( называемых также уравнениями ассоциативности), которые выражают условия ассоциативности умножения примарных полей в некоторых топологических (то есь независящих от метрики основного пространства) теориях поля. Были найдены приложения монодромии систем Жерара-Левеля к теории квантовых вычислений [52].

При геометрической трактовке коэффициентов ¿у КЗ уравнений как хордовых диаграмм, эти уравнения используются в теории инвариантов конечного порядка, для доказательства существования универсального инварианта Васильева-Концевича узлов и зацеплений [70].

Систематическое изучение многомерных регулярных и фук-совых систем, когда дивизор особенностей имеет нормальные пересечения, началось в работах Р.Жерара, А.Х.М.Левеля, П.Де-линя, К.Аомото, А.А.Болибруха и В.А.Голубевой более 30 лет назад ( [50, 51],[46], [33], [2, 3], [12]).

Первоначально, большинство общих задач теории линейных мероморфных пфаффовых систем со многими переменными ставились по аналогии с задачами классической аналитической теории систем дифференциальных уравнений с одной переменной. Первой среди таких задач традиционно рассматривается задача о поведении решения при подходе к особой точке системы и представлении решения в окрестности особой точки ( [2], [89], [51]). В частности, рассматривается задача о вычислении локальной монодромии системы при обходе заданной точки дивизора особенностей. Затем, в соответствии с типом поведения решений системы, выделяют класс регулярных систем (степенной рост решений в особых точках), и расматривается класс фуксовых систем, выделяемых требованием на 1-форму системы (логарифмические полюса). Изучается взаимоотношение между этими классами (в классическом случае все фуксовы системы являются регулярными). По локальным свойствам решений фуксовых систем проверяется достаточность выявленных локальных свойств решений для характеризации фуксовых систем (критерии фуксовости). Исчерпывающая локальной теории многомерных регулярных и фуксовых систем, имеющих дивизоры особенностей с нормальными пересечениями, была построена в работах Р.Жерара, П.Делиня и А.А.Болибруха [3, 46, 50]. Были развиты категорные варианты этой теории, в контексте категории пучков аналитических /^-модулей, которые продолжают активно развиваться в работах французских и японских математиков.

Следущий комплекс задач связан с глобальными аспектами теории линейных мероморфных систем: а именно, с описанием представления монодромии фундаментальной группы дополнения к дивизору особенностей фуксовой системы и глобальными критериями фуксовости. Для компактных кэлеровых многообразий и дивизоров с нормальными пересечениями глобальные критерии фуксовости были сформулированы А.А.Болибрухом в середине 70-х годов прошлого века [3].

Естественным является вопрос о том, насколько полно представление монодромии определяет фуксову систему. Часть поставленного вопроса: любое ли линейное представление фундаментальной группы дополнения к заданному дивизору будет представлением монодромии некоторой фуксовой системы,для которой заданный дивизор есть дивизор особенностей, является многомерным вариантом известной проблемы Римана-Гильберта в теории фуксовых систем на сфере Римана.

Наибольшие успехи в решении многомерной проблемы Римана- Гильберта были достигнуты для многомерных фуксовых систем, имеющих дивизоры особенностей с нормальными пересечениями. Р.Жерар доказал разрешимость многомерной проблемы Римана-Гильберта на стягиваемом многообразии Штейна. Для дивизоров с нормальными перечениями на неособых алгебраических многообразиях П.Делинь и О.Сузуки решили проблему, но с допущением дополнительных "ложных" особенностей [46, 80]. М.Кита решил проблему РГ без "ложных" особенностей для двумерных многообразий Штейна и произвольного дивизора [63], однако требовалось, чтобы вторые гомологии многообразия Штейна обращались в нуль (для С2 это условие, конечно, выполняется), но структура формы системы, в окрестностях тех особых точек дивизора особенностей, которые не являются нормальными пересечениями, не была исследована.

Когда дивизор особенностей имеет не только нормальные пересечения, то в этом случае достижений значительно меньше. Единственным значительным достижением является распространение метода Лаппо-Данилевского [23], в двух различных вариантах, на многомерные фуксовы системы на комплексном линейном или проективном пространствах. С помощью одного из них Р.Хейн [59] дал критерий разрешимости многомерной проблемы РГ. На основе этого критерия Т.Коно [69] решил проблему РГ в классе систем Жерара-Левеля для конфигурации диагональных гиперплоскостей и = г^} и представлений монодромии,

1<г<^'<тг близких к единичному представлению. С помощью другого варианта, изложенного в диссертации, решена многомерная проблема РГ в классе систем Жерара-Левеля [25]. В этом решении разрешается произвольная конфигурация гиперплоскостей в качестве дивизора особенностей системы Жерара-Левеля, а линейное представление фундаментальной группы дополнения к дивизору особенностей предполагается достаточно близким к единичному представлению. Если фундаментальная группа дополнения к дивизору обладает точным "малым" представлением, то доказано отсутствие алгебраческих препятствий для разрешимости проблемы Римана-Гильберта для произвольных линейных представлений. Перечислены конфигурации гиперплоскостей, для которых фундаментальные группы их дополнения обладают точным "малым" представлением.

В решении задачи описания монодромии заданной системы Жерара-Левеля имеется не так много общих результатов. Кроме характеризации Дринфельдом с помощью Д-матриц представлений монодромии оригинальных уравнений Книжника-Замо-лодчикова и результатов, изложенных в диссертации, об описании монодромии некоторых специальных видов систем Жерара-Левеля, связанных с корневыми системами, других результатов нет. Можно назвать результаты И.Чередника [31] и их обобщение в работе [35], о факторизации представлений монодромии некоторых систем Жерара-Левеля, ассоциированных с корневыми системами, через алгебры Гекке.

Все перечисленные выше задачи в многомерном случае далеки от своего полного решения, несмотря на многочисленные исследования. С другой стороны, как отмечено выше, теория многомерных фуксовых систем имеет приложения во многих областях математики и математической физики, что указывает на актуальность поставленных задач.

Основной целью работы является изучение ветвления решений специальных фуксовых систем на многомерных комплексных линейных пространствах, которое состоит в явном описании, или характеризации представления монодромии этих систем, или в решении обратной задачи восстановления фуксовой системы по её представлению монодромии. Также ставится задача изучения связей дифференциальных операторов первого порядка, определяемых такими системами, с потенциалами и гамильтонианами различных моделей теоретической физики, и рассматриваются связи многомерных фуксовых систем с задачами изомонодромной деформации одномерных фуксовых систем.

В диссертации получены следующие результаты:

• Построена многомерная теория Лаппо-Данилевского, и рассмотрены её приложения.

• Решена задача описания представления монодромии для фук-совых систем на комплексных линейных пространствах, асо-циированных с комплексными системами корней.

• Построен аналог теории Дринфельда-Коно, отвечающий вещественным системам корней типа В, доказан В-аналог теоремы Дринфельда-Коно.

• Для вещественных систем корней построены универсальные модели Калоджеро-Мозера и универсальные операторы Книжника-Замолодчикова, и установлена связь между ними.

• Обнаружена связь между уравнениями Книжника-Замолодчикова и теорией изомонодромных деформаций фуксовых систем на сфере Римана.

Опишем более подробно содержание работы

Во введении изложена история задач, изучаемых в диссертационной работе. Описаны приложения методов, излагаемых в работе, как к некоторым классическим задачам из различных разделов математики, так и к современным задачам математической физики и топологии. Изложены основные результаты диссертации.

В первой главе мы излагаем, в своей трактовке, ранее известные результаты об условиях интегрируемости в смысле Фро-бениуса фуксовых систем на С71, с особенностями на гиперплоскостях, и многомерный метод Лаппо-Данилевского. Фуксовы системы на Сп с особенностями на конфигурациях гиперплоскостей и постоянными коэффициентами, мы называем системами

Жерара-Левеля. Мы рассматриваем приложение метода Лаппо-Данилевского к решению многомерной проблемы Римана-Гиль-берта в классе систем Жерара-Левеля и представлений, близких к единичному представлению, фундаментальной группы дополнения к заданной конфигурации гиперплоскостей. Извлекаем алгебраическое следствие из разрешимости проблемы РГ для малых точных линейных представлений. Это следствие обеспечивает тривиальность алгебраического препятствия к разрешимости проблемы РГ в классе систем Жерара-Левеля и произвольных представлений фундаментальной группы дополнения к дивизору особенностей.

Мы также определяем обобщенные уравнения Книжника-За-молодчикова и описываем представления обобщенных групп кос, связанные с ними.

Опишем названные результаты болеее подробно. Условия интегрируемости систем Жерара-Левеля формулируются в следующей теореме.

Теорема 0.0.1. Система Жерара-Левеля на С" с особенностями на конечной конфигурации гиперплоскостей Н = {#1,. ,#лг} удовлетворяет условию полной интегрируемости Фробениуса ПоьЛ = 0 тогда и только тогда, когда выполняется следующая система коммутационных соотношений для коэффициентов системы где каждый набор индексов таков, что гиперплоскости Нг Jk образуют максимальный набор гиперплоскостей конфигурации %, пересечение всех гиперплоскостей которого есть некоторая плоскость коразмерности два. Причем наборы «Л,., «7* X] = VI € Л С {1,. -/V}, к = !,.,£

Шк исчерпывают все возможные максимальные наборы с указанным свойством.

Эта теорема доказана с использованием теоремы Хопфа о двумерных гомологиях фундаментальной группы топологического пространства, техники итерированных интегралов Чена и теоремы Арнольда-Брискорна-Орлика-Соломона об изоморфизме алгебры когомологий дополнения к центральной конфигурации гиперплоскостей и алгебры логарифмических форм с полюсами на этой конфигурации.

Мы применяем сформулированную теорему для предъявления коммутационных соотношений, обеспечивающих интегрируемость систем Жерара-Левеля, в случае, когда конфигурация гиперплоскостей есть конфигурация зеркал отражения некоторых конечных вещественных групп отражений.

В последующих параграфах дано подробное изложение обобщения на многомерный случай метода Лаппо-Данилевского обращения рядов

Здесь т—петли, представляющие образующие в фундаментальной группе 7Ti(Cn \ li,ZQ), QqL обозначает значение итерированного интеграла Чена кратности га от формы системы Жерара-Левеля Qgl на пути 7j и 1 обозначает единичную матрицу.

Для полноты определения ряда Лаппо-Данилевского-Чена, напомним определение итерированных интегралов от дифференциальных 1-форм и перечислим простейшие свойства.

Пусть u)i,U2,. — дифференциальные 1-формы на некотором гладком многообразии М. Итерированный интеграл / . шТ кратности г > 1, по определению, является функцией на пространстве кусочно-гладких путей на М, значение которой на пути 7 : / М, / = [0,1] определяется равенством о/1. иг = / /г(гг)/г 1. /¡(п)^!. йтг,

У 7 где в правой части стоит обычный кратный интеграл Римана по г-мерному симплексу Дг = {(г^гг,. ,тг) 6 ШГ|0 < т\ < < • • • < тг < 1} от произведения функций одного переменного /г(г), г = 1,. ,г, определяемых равенствами 7*(й;г) = /г(г)й!г, г = 1,. , г. Переходя от кратного интеграла по симплексу к повторному, получаем следующее выражение итерированного интеграла через повторный (это выражение также можно взять за определение итерированного интеграла)

Г /*1 />7У ЛГ2

Ш1.ШГ= /г{тг)(1тг /г-1(Тг-1)^Гг1 . . . / /1(^1-1). «/7 Уо Уо Уо

При г = 1 1-итерированный интеграл совпадает с обычным криволинейным интегралом. Положим, что значение О-итерированного интеграла равно единице.

Ясно, что определение итерированного интеграла распространяется на матричнозначные, операторнозначные или дифференциальные 1-формы с формальными коэффициентами.

Рассматриваются приложения метода Лаппо-Данилевского к решению многомерной проблемы Римана-Гильберта. Пусть аналитические семейства матриц рх(ъ) = 1 + М}\ + • •. + М™\т + . определяют аналитическое семейство представлений фундаментальной группы тт^С71

Доказаны следующие утверждения.

Теорема 0.0.2. Для любого аналитического семейства представлений

РХ • 7Г1(Хп,2:о) -» ¿?£(р,С) и достаточно малых значений параметра А разрешима проблема Римана-Гилъберта в классе аналитических семейств систем Жерара-Левеля.

Следствие 0.0.1. Для любого представления которое принадлежит достаточно малой окрестности единичного представления, разрешима проблема Римана-Гилъберта.

Пусть О произвольная группа и С[0] — её групповая алгебра, состоящая из конечных линейных комбинаций элементов группы. Пусть £ : С[(7] —> С — гомоморфизм аугментации и «7 = кег е его ядро. Определим систему окрестностей нуля групповой алгебры, взяв все степени Зк идеала 7 и по этой системе окрестностей определим топологию на групповой алгебре. Пополнение групповой алгебры, относительно этой топологии обозначим С[Сг]Л. Назовем это пополнение нильпотентным пополнением групповой алгебры. Определен естественный гомоморфизм ] : <3 —> С[Сг]А в нильпотентное пополнение. Обозначим ядро этого гомоморфизма через

Следствие 0.0.2. Если существует точное представление фундаментальной группы р:тг1{С1\Н,г0)->вЬ(рХ), принадлежащее достаточно малой окрестности единичного представления, то ядро £>°°(7Г1((Сп\%, ^о)) естественного гомоморфизма ,7 равно единичной группе.

Согласно результату Хейна, ядро Б00^) является алгебраическим препятствием для разрешимости проблемы Римана-Гильберта. Ядро представления р должно содержать подгруппу .О00^). Группу £)°°(7Г1) очень трудно вычислить или описать, и потому необходимое условие разрешимости проблемы Римана-Гильберта, фактически, невозможно проверить. Сформулированное следствие показывает, когда препятствие к разрешимости должно быть тривиальным. Ниже приведены примеры конфигураций гиперплоскостей, когда условия следствия выполняются.

В первой главе приведены некоторые факты об обобщенных уравнениях Книжника-Замолодчикова. Если система Жерара-Левеля определена по некоторой неприводимой системе корней Я в С" (гиперплоскости дивизора особенностей ортогональны корням системы относительно невырожденной эрмитовой формы), и форма системы обладает свойством инвариантности относительно действия конечной группы отражений IV(Я), отвечающей этой системе корней, то такие системы Жерара-Левеля мы называем обобщенными уравнениями Книжника-Замолодчикова. Определим отвечающую системе корней Я или группе \¥(Я), обобщенную группу кос Вп{\¥{Я)) как фундаментальную группу фактор-пространства

ВптЯ)) = ъ«С*\и{(г,а) = 0)})/УГ(ЯУ, г0). а€Я

Фундаментальная группа

РП(ЩД)) = \ и {(*, а) = 0)}, *о), по определению, называется обобщенной группой крашеншых кос, и она является подгруппой обобщенной группы кос Вп(\¥(Я)). По представлениям монодромии обобщенных уравнений Книжника-Замолодчикова можно определить представления обобщенных групп кос. Из недавних результатов о точных представлениях обобщенных групп кос и следствия 2 получено, что подгруппа О00 группы крашен/'ых кос является тривиальной для конфигураций зеркал отражения групп Коксетера и комплексных им-примитивных групп С{йе,е,п). Это дает примеры, когда условия следствия 2 выполняются.

Доказано важное свойство голономии обобщенных КЗ уравнений коксетеровского типа А и В. Она перестановочна с операциями удвоения нитей геометричеких кос.

Определены так называемые ассоциаторы Дринфельда кок-сетеровских типов А, В и (Зг, которые исчерпывают все возможные виды нетривиальных ассоциаторов для вещественных систем корней.

С помощью новых ассоциаторов дано обобщение, на случай систем корней типа В, явных формул Дринфельда для образующих группы монодромии обобщенного формального КЗ уравнения:

Теорема 0.0.3. Представление монодромии ркг(вп) В(Вп) —У СКп{В) принимает следующие значения на образующих обобщенной группы кос Вп(Вп)

Ркг[вп){Ь\) = е 2 «ь г—1 г—1 к~1 к=1

Ркг{вп)(с) = ^{^МъАУ^^в^п^пА), где Фа, Фв — это ассоциаторы типа А и типа В выведенные из К2(В) уравнения.

Во второй главе дано описание представлений монодромии систем Жерара-Левеля, имеющих вид

Эти системы мы называем Д-системами или системами Веселова-Коно-Чередника. Д-системы полностью определяются по заданной неприводимой системе корней й в С и являются вариантом обобщенных уравнений Книжника-Замолодчикова. Операторные коэффициенты а* фа этих систем являются операторами ранга один на Сп и равны тензорному произведению корня и двойственного к нему вектора. Представления монодромии этих систем эквивалентны обобщенным представлениям Бурау, определенным по заданной системе корней Я. При этом необходимо выбрать параметр, входящий в определение представления Бурау, подходящим образом.

Представление Бурау, отвечающее неприводимой системе корней й С С, определяется как деформация стандартного действия комплексной группы отражений, отвечающей заданной системе корней. А именно, рассмотрим "матрицу Картана" К = ((1 — Сто) ¡ак,ат\ ) > отвечающую системе "простых корней" ах,. , ап в В, и корням из единицы Сь • • • , Сп, определяющих порядки соответствующих комплексных отражений (г) = г — (1 — С?)(а^а )аг При выбранном наборе простых корней Д, комплексной системе корней можно сопоставить граф Дынкина-Коэна, по которому полностью восстанавливается задание образующими и соотношениями, соответствующей комплексной группы отражений. В терминах простых корней и матрицы Картана К для любое порождающее отражение записывается в следующем виде за.(г) = 2 - {ггКа))а^ где верхний индекс обозначает транспонирование вектора-столбца, а верхний индекс " * " обозначает комплексное сопряжение координат вектор-столбца.

Представим матрицу Картана в виде К = К~ + К+, где матрица К~ является нижнетреугольной с единицами на диагонали, а матрица К+ — верхнетреугольная с числами —Сь • •. , —Сп на диагонали. Рассмотрим деформацию Кч матрицы К : Кд = К~ + дК+, где д комплексный или формальный параметр. Рассмотрим свободный модуль С" ® С^,^-1] = ранга п над кольцом многочленов Лорана Будем полагать, что операция сопряжения " *" включает замену q±x Определим обратимые преобразования модуля С^,«?-1]®"

Мы доказываем следующие теоремы:

Теорема 0.0.4. Для неприводимой комплексной системы корней R, у которой существует граф Дынкина-Коэна, являющийся деревом, преобразования pß{<^i) г = 1,. , п определяют представление обобщенной группы кос Bn(W(R)) в группу автоморфизмов свободного модуля Aut{C[q,q~l]®n).

Теорема 0.0.5. Пусть R С С™ неприводимая система корней и W{R), соответствующая ей комплексная группа отражений. Предположим, что диаграмма Дынкина-Коэна для R является деревом. Тогда представление монодромии R-системы

V ^ ) для значений общего положения параметра h, эквивалентно обобщенному представлению Бурау с параметром q = ехр(2ттг К)

В качестве приложения Ä-систем, мы доказываем обобщенный вариант наблюдения Веселова: каждая jR-система, отвечающая неприводимой вещественной системе корней R, интегрируема тогда, и только тогда, когда функция Fr(z\,. ,zn = lL,aeR ha\{z, °0|2 log К-2, a)|2 удовлетворяет обобщенным уравнениям ассоциативности (в другой терминологии WDVV уравнения). Мы дополняем, в сравнении с результатом Веселова, комплексными системами корней, класс конфигураций векторов, для которых функция многих комплексных переменных Fr(zi, . , zn) задает решение обобщенных уравнений ассоциативности. Для полноты укажем вид и описание величин входящих в эти уравнения. Пусть F(z) трижды дифференцируемая комплекснозначная функция от п комплексных переменных z = (21,. ,zn) G С71. Матричные функции Fi(z), г = 1,. ,п определяются равенствами Fi(z) — G~1(z)Fi(z), где Fi(z) — п х п матрицы составленные из третьих производных функции F(z), а именно,

Fi(z))ki — dz dJkdzi> а матРичная функция G(z) определяется равенством G(z) = ziFi(z). Мы полагаем, что матричная функция G(z) и ее определитель det G(z) не равняются тождественно нулю.

Уравнения ассоциативности на функцию F{z) имеют вид коммутационных соотношений = О, 1 <i<j<n, где квадратные скобки [•,•] обозначают коммутатор матриц.

В третьей главе описаны алгебраические структуры связанные с голономией обобщенных уравнений Книжника-Замо-лодчикова, ассоциированных с системой корней типа В. Эти структуры использованы для характеризации монодромии этих обобщенных КЗ уравнений.

Вводятся сплетенные квазибиалгебры коксетеровского типа В. Сплетенная квази-биалгебра типа Вп — это некоторая биал-гебра А со следующим набором структурных элементов где /а обозначает умножение, А — коумножение, 77 есть единица, е — коединица, Ra € А®2 и Rb £ А — Ä-матрицы типа А и В, Ф а е аФв € А®2 — ассоциаторы типа Am В.

Пусть г обозначает теперь гомоморфизм, задающий перестановку тензорных сомножителей г : А®2 —> Л®2, а ® b b а и Д°р = тД. Мы требуем, чтобы выполнялись равенства

Д*(а) = ДлА(а)^1,

Д (g) id)A(a) = ФA{id ® Д)Д(а)Ф^1.

Эти равенства определяют "почти кокоммутативностъ" и "почти коассоциативностъ" коумножения Л.

Мы также требуем, чтобы структурные элементы удовлетворяли еше следующим аксиомам:

1. АгЯл = Ф^^а^ТУ^А^А^

А 2Яа = (ФТГ^М^А&ТГ1*

2. Д(ДВ) = Ф^(Дв ® /)ФвД]?Фв № 0 /)ФВ,

3. Дз(Фл)Д1(Фл) = (/ ® Фл)А2(Фл)(Фл О /),

4. Д1(Фв) = Фл1(фв0/)Фл,

Д2Фв = Фв 0 1,

5. £1{яа) = £2{яа) =

6. £1(Фа) = е2(Фл) = = 1 0 1 0 1,

Д,- = Д®1 1<8>Д; , Д 0 1 0 1, 1 0 Д 0 1, 1 0 1 0 Д; = £0 1,106:; £0101, 10501, 1010 8,

7. е(Дв) = 1, (е ® 1)Фв = (10 е)Фв = 10 1, где е — коединица в А и Д — коумножение в Л.

Эти аксиомы моделируют свойства голономии КЗ уравнения типа Вп, которые вытекают из свойства перестановочности голономии с операцией симметрического инфинитезимально-го удвоения нитей симметрических кос со свободными концами.

Доказывается, что голономия обобщенного КЗ уравнения типа В порождает такую структуру на тривиальной формальной деформации универсальной обертывающей алгебры. Она характеризуется следующими данными: где Rkaz = eht~'2 G №)[M])02, ^ = еЛ<0/2 € U(g)[[h]}, Ф™ G

M[MD®3> € (t%)P]])®2. Символы Г и i0 = + о ® l(i-)) (a — автоморфизм Вейля-Шевалле) обозначают квадратичный тензор Белавина-Дринфельда в 0® g С <2) U(q) и элемент Лейбмана в U(g), Фд2 и Ф|Р — ассоциаторы Дринфель-да для КЗ уравнения типа В.

Умножение /г, коумножение А, единица и коединица £ совпадают с соответствующими операциями в тривиальной деформации универсальной обертывающей алгебры U(g). Можно показать, что указанный набор структурных элементов определяет структуру сплетенной квази-биалгебры типа Вп на [[/&]]•

Определяется скручивание произвольной структуры В квази-биалгебры типа Вп на некоторой алгебре А. Скручивание определяется элементами Fa 6 A®2, Fb € А, и скрученная структура задается следующими набором структурных элементов:

Rb = fbrbfbi да = faraf^ \ Фв = (Д^в)Фb(AFb)~\ Фа = (1 <S> <S> 1),

Д(а) = FAA(a)Fx\ Д(а 0 6) = ® б)^1)

Множество скрученных объектов сплетенной квази-биалгебры типа В также удовлетворяют аксиомам сплетенной квази-биалгебры типа В.

Рассматривается существование такой структуры с тривиальными ассоциаторами на алгебре Дринфельда-Джимбо.

По определению, алгебра Дринфельда-Джимбо t4(g) является ассоциативной алгеброй порожденной элементами Х{ = Хап Yi = Ytti.,Hi = Hai,i = 1,2,. ,m, которые удовлетворяют соотношениям = о,

Щ, X]] = а^Ху, = —aijYj, зк^Щ/2)

Х^, У}] — 6ц

Ей)4!1 .^) =

1 — агЛ лгк ЛГ ъг1-ац-к

2(-1)*С1- °«) = 0.

0 4 7 Здесь мы используем обозначения п. - М2 Чг — е 5 [п]„[п - 1]„ . [п - к + 1]„ а1} - п7п

Н» = "г

Чъ ~ Я' и а^ — элементы матрицы Картана алгебры Ли 0.

Топология кольца С^ = С[[/г]], где к - формальный параметр, или модуля М над этим кольцом определяется степенями идеалов I — (к) или их действием на модуле М.

Мы определим коумножение Д^ для алгебры 11н{д) как непрерывный гомоморфизм алгебр где <8> — топологическое тензорное произведение. Этот гомоморфизм на образующих алгебры £^(<7) определяется формулами:

Дь(Я») = Щ 0 1 + 1 (8) Щ,

Дл№) = <8> еад/4 + 0

Ал(Я) = Я ® еы<я'/4 + е-ы'я'/4 (8>

Мы определим коединицу и антипод на образующих в и^д) формулами: е(Щ) = е(Х{) = е(У{) = О, 5Л(Я0 = -Яь5Л(Хг) = ем^Х^8к(Уг) = е"**/2^. и распространим на все (б) по мультипликативности, как гомоморфизм и антигомоморфизм соответственно.

Пусть ^ обозначает умножение в Е/й(б) и пусть щ ик{д) обозначает единицу в ^(д).

Алгебру Хопфа (Е/л(0),/лл, будем называть алгеброй Дринфельда-Джимбо.

Рассматривается обобщение теоремы Дринфельда-Коно для уравнений КЗ, отвечающих системе корней типа В.

В общем случае, структура сплетенной квази-биалгебры типа Вп на ассоциативной алгебре А и некоторая инволюция а а на А, позволяют определить представление обобщенной группы кос Вп(Вп) рв : Вп(Вп) Л®71 по формулам подобным формулам описанным в главе 1

Рв{?\) = 512 Яа, рвЫ =

Рв(г) = Фв1(ТАЛкв)1^В

Обозначим структуру скрученной квази-биалгебры Две структуры, получающиеся одна из другой скручиванием, называются калибровочно эквивалентными. Две калибровочно эквивалентные структуры сплетенной квазибиалгебры типа В определяют эквивалентные представления обобщенной группы кос Вп(Вп).

Для формулировки обобщения теоремы Дринфельда-Коно нам необходимо следующее утверждение.

Для алгебры Дринфельда-Джимбо £4 (б) (для некоторых алгебр Ли д) существуют такие элементы 11а,н £ ^(д)02, € что следующий набор объектов

Bh = Uh(g)1fihlAhirjhiehlRAthlRBtht^Ath = 1®1®1,Фв,л = 1<8>1 определяет сплетенную топологическую биалгебру над С^.

Элемент Ra,h — универсальная Д-матрица, которая упоминалась выше.

Любая такая сплетенная биалгебра определяет представление обобщенной группы кос Вп(Вп) по формулам, указанным выше в этом разделе, где в качесве а а берется продолжение <т w автоморфизма Вейля-Шевалле на [4(g) (для этого можно использовать линейный непрерывный изоморфизм £4(0) и В частности, мы получаем элементы RA,h = S12RA,h and Rs,h = &wRB,h, удовлетворяющие одному из порождающих соотношений для обобщенных кос типа Вп

Это уравнение на Д-матрицы для 2?п-случая необходимо добавить к уравнениям Янга-Бакстера в Ап-\ случае.

Теперь мы сформулируем теорему, которая обобщает теорему Дринфельда на случай систем корней типа В.

Теорема 0.0.6. Существует такие два скручивающих ряда Е и{$гакд)^Щ®2, -Рв(/г) 6 что имеет место изомор

RA,h(RB,h <8> I))2 = ((RBth ® 1 )Ra,h)2. физм

BKZ = £%)№ * A, RA = RB = Ф«*, Ф£* (№(g), RA,h, RB,h, $A,h = 10 1® 1, ФBlh = 1 ® l).

Теперь сформулируем основную теорему главы.

Теорема 0.0.7. Пусть алгебра Ли 0 будет одной из простых комплексных конечномерных алгебр Ли д = б^С), яоги+^С),

6 000 С и(д)®2—д-инвариантный тензор Белавина-Дринфелъда и Е и (о) — элемент Лейбмана. Тогда представление моно-дромии КЗ уравнения типа Вп с коэффициентами, определяемыми ¿+ = {сгуу 0 гс£)(£~) и pKZ : В(Вп) (£%)[[Л]]) п эквивалентно представлению обобщенной группы кос Вп(Вп); определяемому по структуре сплетенной квази-биалгебры типа В на алгебре Дринфелъда-Джимбо Uh(ß) с тривиальными ассоциаторами Ф A,h =10101 и Фд.ь = 1 0 1.

Таким образом теорема Дринфельда-Коно дает характериза-цию монодромии уравнений КЗ через /2-матрицы.

Четвертая глава посвящена приложениям операторов Книж-ника-Замолодчикова, ассоциированных с некоторой вещественной системой корней, к исследованию интегрируемости квантовых моделей Калоджеро-Мозера со спином и соответствующей симметрией. Рассмотрены вопросы отыскания собственных состояний этих моделей по по решениям обобщенных КЗ уравнений, а также решение обратной задачи восстановления решений по собственным состояниям.

Более подробно. Пусть R С О1 — комплексификация вещественной неприводимой системы корней и функции f(z) принимают значения в модуле над W(R).

Определим операторы ö-af(z) = saf(s~1z) = f(saz). Обозначим через дифференциально-разностный оператор Книжника-Замолодчикова-Ду нкл а aeR v '

Z)

Определим многочлены от переменных 7] и Л:

Определим оператор

Д (У.-^т/)), где V,; — оператор Книжника-Замолодчикова-Дунк л а.

Определение 1. Назовём элемент А Е Сп регулярным, если (Л, а) ф 0, для всех а Е Я.

Определение 2. Назовём элемент 77 €Е Еп типичным, если (77, г^хЛ — гУгА) ^ 0 для всех ги^гиг € УУ, и)\ ф гиг-Справедлива следующая теорема.

Теорема 0.0.8. Для Ц?(В)-инвариантных собственных функций оператора Калоджеро, отвечающего системе корней Я

Т Л , 1 ^ М^а ~ 1)(а,а) аед v ; г«?е Д = Е1 г=1 - комплексифицированный обычный оператор Лапласа) с собственным значением —(А, Л) решение Ф(л) = Е Фг« • [Н уравнения КЗ для любых регулярных Л € Сп и любых

XV типичных г} можно восстановить по формуле ф = ■ Ко(У,Л,»;) .

АЛч) П<Р)' где V — ограничение полинома от коммутирующих операторов "Р(Уг,А,?7) на (К)-инвариантные функции u'Чi — базисные операторы Дункла.

Для произвольной неприводимой вещественной системы корней Я, С Мп С С" определяются универсальные КЗ операторы и универсальные модели Калоджеро-Мозера на пространстве с координатами иа, а £ Я, где |.й|- число элементов в системе корней Д. Пусть Рл(х,у) = Х^елС^^Н0^)' х,у Е^1 каноническая билинейная форма на Сп. Пусть а —> ка € Сп, а € -Д, задает Ил(Д)-инвариантную функцию на системе корней .й, и Ау, Ду, 7 6 # операторы вида

XI (у и—/> абЛ+

Эти операторы порождают эквивариантное семейство операторов , то есть для Ау мы имеем равенства т о Ау = Ау,-17 о ад.

Определяются "универсальные операторы" Книжника-Замо-лодчикова-Дункла

У7 = -£>7 + Ау, V* = У7±£7(и) для 7€йи 1,7(и) = -^(7, Р)и/з- Это семейства операторов также является эквивариантным. Коммутаторы первых операторов имеют вид

V,] =

На пространстве определим квадратичную форму и) равенством С}(и) = ]Св€д (3)иаир.

Определим "универсальные" гамильтонианы с потенциалами Калоджеро и Калоджеро-Мозера равенствами:

Не = -А + а)(ка2 - А;а5а) - М-а)2 а<ЕД+

Нем = Не + где А оператор, определенный равенством

Д = ][>(« ЯйаЗ 0 ир

Легко проверить, что эти гамильтонианы являются ^-инвариантными операторами, то есть ги о Не = Не ом иги о Нем = Нем ^ги 6 \¥(И).

Универсальные гамильтонианы Калоджеро и Калоджеро-Мо-зера имеют следующие выражения через универсальные операторы Книжника-Замолодчикова-Дункла: = яс- £ { £

7бЯ -^€№{11) V а^еН+^сЗ^ги какрРК(а,(3) иа - и.а){ир ги,

Г ^ = —Нем - £ Р(ъ7) + 2 £

7бД Ч 7€Д аеЛ+ каЪа{и)за

Иа И—а

Определение 0.0.1. Алгебраическое подмногообразие Мп(В) б (Я определенное системой уравнений

Г какр< а,/?€Д+, афа, иа - - и./з)

У7, 8 е Я, Уте ЩД). будем называть многообразием Дункла.

О,

Определение 0.0.2. Алгебраическое подмногообразие Мв(К) б С|л| определенное системой уравнений как(3Е(а, ¡5) а,/?€Л+, афа, 8а8р=1о иа - и-а){ир - и-р) Угу е \¥(К) будем называть многообразием Бете.

Определение 0.0.3. Пересечение многообразий Дункла и Бете назовем многообразием Бете-Дункла.

На этих многообразиях все предыдущие равенства упрощаются и мы получаем следующие утверждения.

Теорема 0.0.9. (1) На многообразии Дункла операторы У7, 7,6 € Я коммутируют.

2) На многообразии Бете мы имеем следующее представление гамильтониана Не

3) На многообразии Бете-Дункла квантовая модель с гамильтонианом Не интегрируема и множество алгебраически независимых интегралов задается формулами

В пятой главе рассмотрены приложения КЗ уравнений в теории изомонодромных деформаций линейных систем дифференциальных уравнений на сфере Римана. Изучаются решения уравнений Шлезингера, которые получаются редукцией п-точечных КЗ уравнений, и в некоторых случаях дается характеризация этих решений.

76Д

7€Д

Уравнения Шлезингера являются нелинейными мероморфны-ми пфаффовыми системами на комплексном линейном пространстве Сп с особенностями на множестве диагональных гиперплоскостей г{ — Zj = 0, г ф г, у = 1,. п йВ, = - V [Ви < = 1,. ,п.

3=1, Зфг '

Здесь В^ г = 1,. , п являются матрицами размера р х р и [•, •] обозначает коммутатор матриц.

Рассмотривается класс решений уравнений Шлезингера, определяемый следующими свойствоми.

А: 0 = 0, то есть, дивизор Мальгранжа пуст, другими словами, рассматриваются голоморфные решения на универсальном накрытии 2 = Хп (здесь Хп = С1 \ и К2» ~ гз = 0}) ПР°~ г<3 странства параметров деформации.

В: Для действия группы крашенных кос Рп = 7Г1(Хп, 2°) на Z, как группы накрывающих скольжений, мы предполагаем, что решения преобразуются по формуле

В^г) = М(7)-1^ИМ(7), г = 1,. ,п, V* е Я, У7 € Рп>) где М(7) является постоянной матрицей для каждого 7.

Каждое решение (Вт) [В\,., Вп) уравнений Шлезингера со свойствами А и В определяет представление р(вт) группы крашеных кос Рп

Р(вт) • Рп = 7Г1(Хп,г°) —> СЬ(р, С), если мы сопоставим

Примеры решений уравнений Шлезингера со свойствами А и В даются редукцией уравнений Книжника-Замолодчикова. Названная редукция сводит n-точечное уравнение Книжника-Замолодчикова с£Фп = П„ФП к деформации Шлезингера dy = ^ Ф^Ф^ф - ^ фуксовой системы на сфере Римана с помощью локальной замены Фп Ф^Фп, где Фп1(;гь. ,2n-i) решение (п - 1)-точечного уравнения КЗ: с?Фп1 = ОпхФп1 и его переменные рассматриваются как параметры деформации. Мы получаем решение уравнений Шлезингера

Bi(a) = Ф~11(а)^Фп1(а), i = 1,., п - 1, обладающее упомянутыми свойствами А и В.

Вспомогательная проблема Римана-Гильберта: Найти уравнение типа КЗ уравнения, которое имеет представление монодромии равное представлению р(вт)

Основная теорема данной главы дает в нерезонансном случае характеризацию решений уравнений Шлезингера, обладающих свойствами А и В.

Теорема 0.0.10. Пусть (Вт) является решением уравнений Шлезингера со свойствами А, В, Вж = Y^m=i ~ постоянная матрица, и Р(вт) — соответствующее представление группы крашенных кос . Предположим вспомогательная проблема Римана-Гильберта для Р(вт) имеет решение и соответствующие коэффициенты и фундаментальная матрица решений п-точечного уравнения типа уравнения Книжника-Замолодчикова. Предположим, что собственные значения постоянной матрицы В+ Ysi<i<j<n не отличаются на положительное целое число. Тогда решение

Вт) уравнений Шлезингера можно получить редукцией (п+1)-точечного уравнения типа уравнений Книжника-Замолодчикова.

Автор выражает благодарность академику Д.В.Аносову и всем сотрудникам отдела дифференциальных уравнений Математического института имени В.А.Стеклова РАН за внимание и помощь. Автор признателен академику А.А.Болибруху и профессорам А.В.Чернавскому и В.А.Голубевой за многолетнее сотрудничество и поддержку.

Заключение

В работе рассмотрен класс мероморфных пфаффовых систем на комплексных линейных пространствах с логарифмическими полюсами на конфигурациях гиперплоскостей. Кроме естественных внутренних вопросов теории таких систем, которые приводят к рассмотрению многочисленных аналитических, алгебраических и топологических задач, они оказались связанными со многими вопросами современной математической и теоретической физики. В частности, были обнаружены связи с новой теорией квантовых вычислений. Задачи, решенные в работе, приводят к новым вопросам и новым перспективам развития этой многогранной теории. Проведенные исследования показывают какую роль играют конечные наборы векторов (системы корней), во многих задачах, которые на первый взгляд не имеют с ними связей. Дальнейшие исследования, в русле затронутых в работе тем, могут дать новый импульс для использования геометрии конечных конфигураций векторов в самых разных областях математики и теоретической физики.

1. В.И.Арнольд, Кольцо когомологий группы крашенных кос. Матем. заметки, 5, вып.2 (1969), 227-231.

2. А.А.БОЛИБРУХ, О фундаментальной матрице системы Пфаффа типа Фукса. Изв. АН СССР, сер. матем., 41:5(1977), 1084-1109.

3. А.А.БОЛИБРУХ, Системы Пфаффа типа Фукса на комплексном аналитическом многообразии. Ма-тем.сб. 103:1(1977), 112-123.

4. А.А.Болибрух, A.B. Чернавский Фуксовы системы С2 с постоянными коэффициентами и дивизором Ylk=i(z~aku) ~ 0- В.сб. науч. тр.¡Некоторые проблемы математики в задачаж физики, механики, экономики Москва, Изд-во МФТИ, 1990, 11-14.

5. К.С.Браун, Когомологии групп. М.,"Наука", 1987.

6. Э.Брискорн, О группах кос (по В.И.Арнольду). Математика (сб. переводов), 18, ном.З (1974), 46-59.

7. Н.Бурбаки, Группы и алгебры Ли. Главы IV-VI. М.,"Мир", 1972.

8. Н.Д.Василевич, Н.Н.Ладис Интегрируемость уравнений Пфаффа на СРп. Дифференц.уравнения 17, ном.4(1979), 732-733.

9. И.В.гайшун, Вполне разрешимые многомерные дифференциальные уравнения. Минск: "Наука и техника", 1983.

10. Ф.Р.Гантмахер, Теория матриц. М.: "Наука", 1967.и. А.Б.гивенталь, Скрученные формулы Пикара-Лефшеца. Функцион. анализ и его прил., 22:1(1988), 12-22.

11. В.А.Голубева, Некоторые вопросы аналитической теории феймановских интегралов. УМН, 31:2(1976), 174-202.

12. В.А.Голубева, О восстановлении пфаффовых систем типа Фукса по образующим группы монодромии. Изв. АН СССР, 44:4(1980), 979-998.

13. В.А.Голубева, Гипергеометрические функции двух переменных Аппеля и Кампе де Ферье. Сибирский ма-тем. журнал, 20:5(1979), 997-1014.

14. В.А.Голубева, В.П.Лексин Экспоненциальное представление решений систем пфаффа (однопара-метрический случай). Дифференц. уравнения, 27,ном. 9(1991), 1526-1538.

15. В.А.Голубева, В.П.Лексин Обобщенные уравнения Книжника-Замолодчикова и факторизация их решений. Матем. заметки, 54,вып.5(1993), 25-34

16. В.А.Голубева, В.П.Лексин О полной интегрируемости обобщенных уравнений Книжника-Замолодчикова тригонометрического типа. УМН, 50,вып.3(1995), 151-152.

17. В.А.Голубева, В.П.Лексин Квадратичные соотношения в когомологиях обобщенных крашенных коси тождества Данкла. Функц. анализ и его прил., 30, вып.2(1996), 73-76.

18. В.А.Голубева, В.П.Лексин, О формуле восстановления Веселова-Фелъдера в теории операторов Калоджеро-Сазерленда. Теор. и матем физика, 106, ном.1(1996), 62-75.

19. В.В.Горюнов, Когомологии групп кос серий С и И. Труды ММО, 42, 234-242.

20. В.Г.дринфельд, О квазитреугольных квазихопфо-вых алгебрах и группе, связанной с Алгебра и анализ, 2:4(1990), 149-181.

21. К.Кассель, Квантовые группы. М: "Фазис", 1999.

22. И.А.Лаппо-Данилевский, Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. М., ГИТТЛ, 1957.

23. В.П.Лексин, Мероморфные пфаффовы системы на комплексных проективных многообразиях. Матем.сб., 129:2(1986), 201-217.

24. В.П.Лексин, О задаче Римана-Гильберта для аналитических семейств представлений. Матем.заметки, 50,вып.2(1991), 89-97.

25. В.П.Лексин, Соотношения в алгебре голономии многообразия и теорема Хопфа о ^(^(М). В сб.науч.тр.: Алгебраические вопросы анализа и топологии. Воронеж, Изд-во ВГУ, 1990, 130-136.

26. В.П.ЛЕКСИН, Операции удвоения и монодромия обобщенных уравнений Книжника-Замолодчикова. Труды Математического института им. В.А.Стеклова , 236(2002), 218-225.

27. О .В .мантуров,Мультипликативный интеграл. Итоги науки и техники (серия "Проблемы геометрии"), 22(1990), 167-215.

28. Р.Том,Некоторые свойства в "целом" дифференцируемых многообразий. В сб. пер.: Расслоенные пространства и их приложения, Москва, изд-во Иностр. литературы,1958, 243-351.

29. Р. Хейн, Итерированные интегралы и проблемы гомотопических периодов. М., "Наука", 1988.

30. И.В.чередник, Факторизация частиц на полупрямой и корневые системы. ТМФ, 63 (1984), 35-43.

31. И.В. Чередник, Обобщенные группы кос и локальные г-матричные системы. ДАН СССР, 1989, 307:1, 49-53

32. К.АОМОТО, Sur la forme de connexion du type régulier dans un espace projectif complexe. Proc. Japan Acad., 46, no. 7(1970), pp.660-662.

33. A.A.Bolibruch, On isomonodromic deformations of fuchsian systems. Journal of Dynamical and Control Systems, 3(1997), pp. 589-604.

34. M.Broué, G.Malle and R.Rouquier, Complex reflection groups, braid groups Hecke algebras. J.Reine Angew.Math, 500(1998), 127-190.

35. K.T.Chen Iterated integrals of differential forms and loop space cohomology. Ann.of Math. 97(1973), 217-246.

36. K.-T.Chen Iterated path integrals. Bull.Amer.Math.Soc., 83(1977), 831-879.

37. I.V.Cherednik, Monodromy representations for generalized Knizhnik-Zamolodchikov equations and Hecke algebras. Publ.RIMS, Kyoto Univ., 27(1991), 273-302.

38. Cherednik Integration of quantum many-body problems by affine Knizhnik-Zamolodchikov equations. Adv. in Math. 106, No. 1 (1994), 65-95.

39. A.Connes and H.Moscovici, Cyclic homology and the transverse index theorem. Commun.Math.Phys. 48(1999), 97-108.

40. A.Cohen, Finite complex reflection groups. Ann.scient.Éc.Norm.Sup. 4° série 9(1976), 379-436.

41. A.M.Cohen and D.B.Wales, Linearity of Artin groups of finite type. Israel J.Math., 131(2002), 101-123.

42. C. de Concini and C.Procesi, Hyperplane arrangements and holonomy equations. Selecta Math., New series,1,110.3(1995), 495-532.

43. H.S.M.COXETER, The symmetry groups of the regular complex polygons. Arch.Math. 13(1962), 86-97.

44. J.CRISP, Infective maps between Artin groups. in:"Geometric group theory down under," Canberra 1996 (eds. J.Cossey at all), De Gruyter, 1999, pp. 119-137.

45. P.Deligne, Equations différentielles à points singuliers réguliers. Lecture notes in math.,163, Springer-Verlag, 1970.

46. C.F.Dunkl, Differential-difference operators associated to reflection groups. Trans. AMS.311(1989), 167-183.

47. M.Falk and R.Randell, Lower central series of a fiber-type arrangement. Invent.Math., 82(1985), 77-88.

48. J.Frölich and C.King,Chern-Simons Theory and Knot Polynomials. Comm. Math. Phys. 126(1989), 167199.

49. R. Gerard. Théorie de Fuchs sur une variété analytique complexe. J. Math. Pures et Appl., 47(1968), 321-404.

50. V.A. Golubeva, V.P. Leksin. Quantum problems with symmetries and generalized Knizhnik-Zamolodchikov equations. In: New frontiers in algebras, groups and geometries, Hadronic press, Palm Harbor, FL 34682-1577, USA, 1996, p.19-73

51. V.A.Golubeva and V.P.Leksin, On two types representations of the braid group associated with the Knizhnik-Zamolodchikov equation of the Bn type. J. Dynamical and Control Systems.,5, no.4(1999),565-596.

52. V.A.Golubeva and V.P.Leksin, Heisenberg-Weyl operator algebras associated to the models of Calogero-Sutherland type and isomorphism of rational and trigonometric models. J. Math. Sci.,98, no.3(2000), 291318.

53. V.A.Golubeva and V.P.Leksin, On a generalization of the Drinfeld-Kohno theorem. Proceedings of the Second ISAAC Congress,v. 2, pp. 1371-1386, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London, 2000/eds. H.G.W Begehr at all.

54. V.A.Golubeva and V.P.Lexin, Rigidity theorems for multiparametric deformations of the universal enveloping algebras. J.Math.Sci. 108, no. 3, 2002, 420-431.

55. V.A.Golubeva and V.P.Lexin, Two-parametric quantization of Lie bialgebras of the Bjv type. Progress in Analysis v.2(2003), 827-835.

56. R. Hain, On generalization of Hilbert's 21st problem. Ann. Sei. Ec. Norm. Sup., 4-me ser. 19 (1986), 609-627.

57. R. HÄring-Oldenburg, Tensor categories of Coxeter type B and QFT an the half plane. J. Math. Phys.38(1997), 5731.

58. M.Hughes and A.Morris Root systems for two dimensional complex reflection groups. Séminaire Lotharingien de Combiinatoire 45(2001), Article B45e.

59. H.HOPF, Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe. Comment.Math.Helv., 14 (1942), 257-309.

60. M. Kita, The Riemann-Hilbert problem and its application to analytic functions of several complex variables. Tokyo J. Math. 2, N 1(1979), 1-27.

61. M. Kita, The Riemann-Hilbert problem in several complex variables II. Tokyo J.Math., 2, N 2(1979), 293300.

62. B. Kl ares, Sur la Monodromie des systems de Pfaff du type Fuchs sur Pm(C). Springer Lect. Notes in Math., no.712(1979), 293-324.

63. V.G.Knizhnik and A.B.Zamolodchikov, Current algebra and Wess-Zumino models in two dimensions. Nucl. Phys. B287(1997), 83-103.

64. T.KOHNO Série de Poincaré -Koszul associée aux groupes de tresses purés. Invent.Math. 82(1985), 57-75.

65. T.KOHNO,Monodromy representations of braid and Yang Baxter equations. Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 37,no. 4(1987), 139-160.

66. T. KOHNO, Linear representations of braid groups and classical Yang-Baxter equations. In: Braids, Contemp. Math.78(1988), 339-363.

67. M.kontsevich, Vassiliev's knot invariants. Advances in Sov.Mathematics, 16(1993), 137-150.

68. A.leibman, Some monodromy of generalized braid group. Commun.Math.Phys., 164(1994), 293-304.

69. T.Q.T.Le and J.Murakami, Representations of the category of tangles by Kontsevich"s iterated integral. Commun.Math.Phys.,168(1995), 535-562.

70. V.Lexin, Monodromy for KZ equations of the Bn-type and accompanying algebraic structures. Functional Differential Equations 8,no.3-4(2001), 335-344.

71. V.P.LEXIN, Monodromy of rational KZ equations and some related topics. Acta Appl.Math. 75(2003), 105-115.

72. A.matsuo Integrable connection related to zonal spherical functions. Invent.Math.110 (1992), 95-121.

73. E.M.Opdam, Lecture notes on Dunkl operators for real and and complex reflection groups. MSJ Memoirs, 8(2000).

74. P.Orlik and H.Terao Arrangements of Hyperplane. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1992.

75. T.Regge, Algebraic topology methods in the theory of Feynman relativistic amplitudes. Battelle rencontres, N.Y., Benjamin, 1968.

76. O. Suzuki, The problems of Riemann and Hilbert and the relations of Fuchs in several complex variables. Lecture Notes Math., 712, Springer-Verlag, 1978, 325-364.

77. G.C.Shephard and J.A.Todd, Finite unitary reflection groups. Canad.J.Math 6(1954), 274-304.

78. C.C.Squier, Matrix representations of Artin groups. Proc.Amer.Math. Soc. 103(1988), 49-53.

79. K.Takano, A reduction theorem for a linear Pfaffian system with regular singular points Arch.Math., 31(1978-79), 310-316.

80. T.Tanisaki, Killing froms, Harish-Chandra isomorphisms, and universal R-matrices. Intern. J. Modern Phys. A, v. 7, Suppl. 1B(1992), 941-961.

81. V.Taledano Laredo, A Kohno-Drinfeld theorem for quantum Weyl groups. Duke Math. J. 112(2002), 421-451.

82. V.Taledano Laredo, Flat co nnections and quantum group. Acta Appl.Math. 73(2002), 155-173.

83. A.P.Veselov, Calogero quantum problem, Knizhnik-Zamolodchikov equation and Huygens principle. TMO 98,hom. 2(1994), 524-535.

84. A.p.veselov, On geometry of a special class of solutions to generalized WDVV equations. Integrability: the Seiberg-Witten and Whithem Equation (Edinburg, 1998),Gordon and Breach, Amsterdam, 2000, 125-136.

85. M.Yoshida, K.Takano, On a linear system of Pfaffian equations with regular singular points. Funkc. Ekvacioj,19(1976), 175-189.