Неравенства Фуксова типа и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.927.7; 517.925.56

Гонцов Ренат Равилевич

НЕРАВЕНСТВА ФУКСОВА ТИПА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2005

Работа выполнена на кафедре теории динамических систем механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научные руководители: доктор физико-математических

наук, академик РАН, профессор А. А. Болибрух;

доктор физико-математических наук, академик РАН, профессор Д. В. Аносов.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук А. Г. Хованский; кандидат физико-математических наук, доцент В. П. Лексин.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский

государственный университет.

Защита диссертации состоится 2005 года в 16 часов 15

минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

Т. П. Лукашенко

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Тема данной работы относится к области аналитической теории линейных дифференциальных уравнений.

Основы теории скалярных линейных дифференциальных уравнений с мероморфными коэффициентами были заложены в XIX столетии Б. Рима-ном1, который уделил особое внимание одному специальному классу таких уравнений — классу уравнений второго порядка с тремя особыми точками (полюсами коэффициентов), обладающих следующим свойством: решения в окрестности этих точек имеют не более чем степенной рост. Такие точки называются регулярными особыми точками (поскольку решения как правило являются многозначными функциями, то, говоря о степенном росте, следует ограничиваться случаем, когда аргумент стремится к особой точке, оставаясь при этом в некоторой секториальной окрестности этой точки). Исследования Б Римана продолжил его соотечественник Л Фукс2, некоторые результаты которого были получены еще Б. Риманом для вышеупомянутого класса уравнений Одно из наиболее известных достижений Л. Фукса состоит в том, что он полностью описал класс уравнений произвольного порядка, все особые точки которых регулярны.

Судя по всему, линейные системы вида

с мероморфной матрицей В(г) коэффициентов (заданной на всей сфере Ри-мана или в некоторой области комплексной плоскости) впервые затрагивались в небольшой посмертной заметке Б Римана, но систематически стали рассматриваться несколько позднее. Л. Соваж, А. Пуанкаре, Д. Гильберт, Й. Племель, Л. Шлезингер, Дж Биркгоф и другие математики рубежа XIX-XX веков начали исследования этих систем с различных точек зрения. Их исследования получили свое дальнейшее развитие во второй половине прошедшего столетия в связи с применением к задачам математической физики (теория изомонодромных деформаций), аналитической теории чисел и др. Здесь можно выделить таких математиков современности как А. X. М. Левель, Б. Мальгранж, Й. Сибуйя, В. Бальзер, Д. Бертран. Особо отметим имя А А. Болибруха, удостоенного в 2002 году Государственной премии Российской Федерации в области науки и техники за цикл ра-

2См Я/с/и Ь Ъа ТЬеопе скг кпеагеп О^егепйа^еюЬш^еп тН уегаЫегксЬеп СоеШаеп^п // Лита!

бот "Дифференциальные уравнения с мероморфными коэффициентами"1. Среди полученных им результатов наиболее известным является отрицательный ответ на 21-ю проблему Гильберта (проблему Римана-Гильберта) о возможности построения фуксовой системы линейных дифференциальных уравнений с заданной монодромией (фуксовой называется система, особые точки матрицы В (z) коэффициентов которой суть полюса первого порядка). Монодромия системы описывает характер ветвления решений в особых точках.

Эффективным инструментом для исследования проблемы Римана-Гиль-берта и некоторых других задач аналитической теории линейных дифференциальных уравнений (например, задачи о биркгофовой стандартной форме) оказалась теория левелевских показателей (предложенная голландским математиком А. X. М. Левелем2, описавшим локальное устройство пространства решений системы возле регулярной особой точки) Понятие левелевских показателей (чисел, характеризующих скорость степенного роста решений системы в окрестности регулярной особенности) обобщает известное с XIX века понятие показателей скалярного уравнения с регулярными особыми точками. Соотношение для суммы показателей такого уравнения по всем его особым точкам (зависящее только от порядка уравнения и числа особых точек) получено Л. Фуксом3 и известно как классическое соотношение Фукса. Относительно же системы, все особенности которой регулярны, до недавнего времени было известно, что аналогичная сумма левелевских показателей является целым числом, не превосходящим нуль4. Это утверждение было уточнено французским математиком Э. Корелем5, получившим верхнюю и нижнюю оценки для суммы показателей (зависящие от размера системы и порядков полюсов матрицы B(z) коэффициентов системы). Эти оценки стали называться неравенствами Фукса. Впоследствии Э. Корель6 получил неравенства Фукса и для систем с иррегулярными (т. е. не являющимися регулярными) особыми точками (для иррегулярной особой точки показатели определяются в пространстве

1 Болибруг А А Дифференциальные уравнения с мероморфными коэффициентами // Современные проблемы математики (препринт Матем ин-та им В А Стеклова РАН) Вып 1 С 29-82

'Letieíí АНЯ Hypergeometnc functions П // Proc Komkl Nederl Acad Wetensch Set A 1961

V 64 P 373-385

3Fuchs L Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veränderlichen Coefficienten // Journal für Math 1866 V 66 P 121-160

4См Болибрух А А 21-я проблема Гильберта для линейных фуксовых систем // Тр Матем ин-та им В А Стеклова РАН 1994 Т 206

'Corel Е Inégalités de Fuchs pour les systèmes différentiels réguliers //CR Acad Sei Paris 1999

V 328 Sér I P 983-986

e Corel E Relations de Puchs pour les systèmes différentiels irréguliers // С R Acad Sei Paris 2001

V 333 Ser I P 297 300

формальных решений системы).

А. А. Болибрух отметил, что неравенства Фукса могут быть использованы при исследовании обратных задач аналитической теории дифференциальных уравнений (таких как задача о биркгофовой стандартной форме) и в некоторых приложениях данной теории (например, для оценки порядков нулей компонент решений системы1, — оценки подобного рода применялись специалистами в области аналитической теории чисел2).

Цель работы. Основной целью настоящей работы является уточнение неравенств Фукса, полученных Э. Корелем, и последующее применение уточненных неравенств к оценкам кратностей нулей компонент решений системы.

Методы исследования. Доказательство неравенств Фукса основано на широко используемых А. А. Болибрухом в своих работах3 методах аналитической теории линейных дифференциальных уравнений (теория нормирований Левеля, метод локальных калибровочных преобразований, леммы о факторизации матричнозначных функций) Исследования, связанные с оценкой порядков нулей компонент решений (а также многочленов от компонент решений) некоторых систем, продолжают работу А. А. Болибруха1 и развивают методы этой работы.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. В диссертации получены следующие основные результаты:

• Найдены уточнения неравенств Фукса (как для систем с регулярными особыми точками, так и для систем с иррегулярными особенностями).

• Получено соотношение Фукса для системы двух уравнений (с произвольными особыми точками).

• Исследована возможность построения скалярного фуксова уравнения по произвольному представлению монодромии (с возникновением дополнительных "ложных" особых точек).

• Получены оценки порядков нулей компонент решений систем некоторых видов.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации относятся к аналитической те-

1 Болибрух А А Кратности нулей компонент решений системы с регулярными особыми точками // Тр Матем ин-танм В А Стеклова РАН 2002 Т 236 С 61-65

2См Шидловский А Б Трансцендентные числа М Наука, 1987

3См Болибрух А А 21-я проблема Гильберта для линейных фуксовых систем // Тр Матем инта им В А Стеклова РАН 1994 Т 206 , Болибрух А А Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения М МЦНМО, 2000

ории линейных дифференциальных уравнений и могут найти применения в ходе научной работы (прежде всего, в МГУ и МИАН) по этой теории.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

- В Отделе дифференциальных уравнений МИАН на семинаре по аналитической теории дифференциалных уравнений под руководством академика РАН А. А. Болибруха, академика РАН Д. В. Аносова, к.ф.-м.н., доцента В. П. Лексина (в 2003, 2004 годах);

- На международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 5-10 июля 2004 года);

- На международной конференции "Особенности дифференциальных уравнений, интегрируемые системы и квантовые группы" (Страсбург, 24 - 27 ноября 2004 года).

Публикации. Основные результаты опубликованы в двух работах, список которых приведен в конце автореферата. Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка цитированной литературы. Общий объем текста — 69 страниц. Список литературы содержит 24 наименования.

Краткое содержание диссертации

Во введении дается краткий исторический обзор, определяются основные понятия аналитической теории линейных дифференциальных уравнений и излагаются основные результаты работы.

Первая глава посвящена неравенствам Фукса — оценкам суммы показателей системы по всем ее особым точкам. В §1 рассматриваются системы с регулярными особенностями (и классическими левелевскими показателями в них), а в §2 — системы с произвольными особыми точками (для иррегулярной особой точки определяются формальные показатели). Перед тем как подробнее остановиться на понятии показателей, скажем об одной из важных характеристик системы — о ее монодромии.

Рассмотрим систему

состоящую из р линейных дифференциальных уравнений, с матрицей коэффициентов В(т), мероморфной на расширенной комплексной плоскости

(сфере Римана) и голоморфной вне множества особых точек

Пусть разложение в ряд Лорана матрицы B(z) в окрестности особой точки а, ф оо имеет вид

(если а, = оо, то главная часть матрицы Вв окрестности бесконечности — многочлен степени г, — 1). Тогда число г называется рангом Пуанкаре системы в особой точке а,. Если г, = 0, то особая точка а, называется фуксовой.

Рассмотрим в окрестности неособой точки z0 некоторую фундаментальную матрицу У^) системы (1) (т. е. матрицу, столбцы которой образуют базис в р-мериом векторном пространстве решений этой системы). Вдоль любой петли 7, начинающейся в точке гц и лежащей в С \ {а^..., ап}, матрица допускает аналитическое продолжение, результатом которого является (вообще говоря, другая) фундаментальная матрица У (г). Матрицы У(^) и У{£) связаны соотношением

Соответствие 7 ^ (?7 зависит лишь от гомотопического класса [7] петли 7 и задает гомоморфизм

фундаментальной группы пространства С \ {в1,..., а„} в группу невырожденных комплексных матриц порядка р. Данный гомоморфизм называется представлением монодромии системы (1), а группа 1т х — группой монодромии (шшмонодромией) этой системы. При заменах фундаментальной матрицы У(1) (на матрицы со всевозможными 5 € С)) матрицы заменяются на матрицы Таким образом, монодромия системы (1) определена с точностью до эквивалентности

Матрица б, = х(л), соответствующая продолжению вдоль простой петли д„ обходящей особую точку а,, называется матрицей монодромии системы (1) в особой точке а,. Поскольку образующие ди-..,дп фундаментальной группы связаны соотношением то

Сначала рассмотрим систему (1), все особые точки которой регулярны. В этом случае любое решение ув окрестности особой точки г = а, может быть представлено в виде конечной логарифмической суммы

где íjk{z) — мероморфные в точке а, функции (векторнозначные), числа р> удовлетворяют условию

0<Re/TJ<l, (4)

bk — целые неотрицательные числа и все пары {p'jbk) различны.

Определение 1. Нормированием решения y(z) системы (1) в регулярной особой точке z = а, называется число

<fi(y) = mm ord,,, f}k(z)

(под порядком в точке z = а, векторнозначной функции f]k(z) понимается минимум порядков ее компонент). Для y{z) = 0 полагаем у>(0) = оо.

Обозначим через X пространство решений системы (1) в окрестности регулярной особой точки z = а,. Нормирование <р задает отображение <р : X Z U оо, обладающее следующими свойствами:

1) Ч>(У\ + Уъ) > min {<p{yi),4>(yi)), причем если ip(yi) ф то имеет место равенство;

2) <р(су) = <р(у) для любой постоянной сф 0;

3) v(í?i*y) = tp{y)i гДе 9* — оператор монодромии системы (1) в точке а,, отображающий каждое решение в его аналитическое продолжение вдоль петли 0"1.

Из свойств 1) и 2) следует, что любой конечный набор ненулевых элементов пространства X, нормирования которых попарно различны, образует линейно независимую систему векторов. Следовательно, нормирование (р принимает на X конечное (не более р + 1, считая ) число различных значений и задает фильтрацию

пространства X векторными подпространствами

Теорема (А. X. М. Левель1). В окрестности регулярной особой точки z = а, существует фундаментальная матрица Yt(z) системы (1) (называемая левелевской) вида

1Levelt А Н М Hypergeometnc functions II//Proc Komkl Nedeil Acad Wetensch Ser A 1961 V 64 P 373-385

где

U, (г) — голоморфная в окрестности точки о, матрица,

4, = diag (ip¡,... — диагональная целочисленная матрица и <p¡ >

> ttf — все возможные нормирования системы (1) в точке z = а, (присутствующие с учетом ихкратностей АлтХ1 ¡X1'1),

Е, — верхнетреугольная матрица, собственные значения р[ которой удовлетворяют условию (4).

При этомматрица U,(z) голоморфно обратима вточкеа, (áetU,(a,) ф 0) тогда и только тогда, когда z — а, является фуксовой особой точкой системы (1).

Определение 2. Собственные значения f3¡ = tfP, + р[матрицы А, + Et называются (левелевскими) показателями системы (1) в регулярной особой точке z = а,.

Стоит отметить, что хотя могут существовать несколько левелевских фундаментальных матриц вида (5) (с различными U,(z) и Е,), показатели системы определяются единственным образом.

С помощью формулы Лиувилля

и теоремы о сумме вычетов, примененной к форме tr B{z)dz, сумма

показателей системы (1) по всем ее особым точкам может быть выражена1 через порядки ordo, det{/,(¿) нулей функций detí/,(2) в соответствующих точках

Таким образом, сумма показателей является целым числом, не превосходящим нуль (из теоремы Левеля следует, что Е = О тогда и только тогда, когда все особые точки системы фуксовы).

В §1 первой главы работы с помощью оценок величин ord0l detí/,(z) и формулы (6) получено

'См Болибрух Л А 21-я проблема Гильберта для линейных фуксовых систем // Тр Матем ин-та им В А СтекловаРАН 1994 Т 206

Утверждение 1. Для суммы Е показателей системы (1), (2) с регулярными особымиточкамиа\,..., а„ рангов Пуанкаре., тп соответственно справедливы неравенства

где kt=p- rank£lri_i = dimkerBLri_i, если r, > 0, и k, = 0, если r,=0.

(В оценке, ранее полученной Э. Корелем, в левой части не было слагаем о Е "2—>в пРавой части стояла сумма — Е^г,.)

Теперь рассмотрим систему (1) с произвольными особыми точками. Пусть z = а, — иррегулярная особенность этой системы. В этом случае существует аналог разложения (5), но для формальной фундаментальной матрицы (т. е. матрицы, в записи которой присутствуют степенные ряды с нулевым радиусом сходимости, но которая при формальной подстановке в систему обращает ее в верное равенство). Именно, существует такое натуральное число s,, называемое порядком формального ветвления системы в иррегулярной особой точке z = а,, что в окрестности точки 0 плоскости переменной у системы (1), переписанной в терминах этой

переменной, имеется формальная левелевская фундаментальная матрица Y,(t) вида

где

— многочлен без свободного члена степени не больше гг$„ 1} — единичная матрица размера тп} (кратность, с которой функция gJ(l/i) входит в матрицу Q,(t));

V, (t) — формальный ряд Тейлора в нуле;

А, = diag(J4j,...,Л*,) = diag(i^,1,...,<pf), A{ — матрица формальных нормирований в пространстве формальных решений с одинаковой экспоненциальной частью expgJ(l/t);

— верхнетреугольная матрица, собственные значения p. которой удовлетворяют условию (4).

Определение 3. Собственные значения = + pi/s, матрицы A,/s, + E,/s, называются формальными показателями системы (1) в иррегулярной особой точке г — аг.

Формальные показатели позволяют различать по степенному росту формальные решения с одинаковой экспоненциальной частью.

Определение 4. Индексами иррегулярности Катца иМалъгранжасистемы (1) в особой точке z = а, называются величины

Если особая точка z = а, регулярна, то trr^,, = 1ггм,» = 0 (решение не имеет экспоненциальной части).

Для суммы Е показателей системы (1) по всем ее (произвольным) особым точкам выполнено соотношение (аналогичное соотношению (6) для системы с регулярными особенностями)

(в регулярных особых точках берутся левелевские показатели, в иррегулярных — формальные, и если z = а, — регулярная особая точка, то s, = 1 и под матрицей Ut(t) подразумевается голоморфная в окрестности точки i = О матрица t/,(i + а,) из разложения (5)).

Обозначим через А,1,..., aJ1' различные собственные значения матрицы Bl_ri_i, а через К, — величину

где Ц = dim ker (£Lr i — А\1) (если г, = 0, то положим К, = 0). В §2

первой главы работы с помощью оценок величин ord0 det U,(t) и формулы (7) получено

Утверждение 2. Для суммы S показателей системы (1), (2) с особыми точками ai,... ,ап рангов Пуанкаре i, ■.. ,гп соответственно справедливы неравенства

Рассмотрим теперь систему (1), состоящую из двух уравнений (т. е. р = 2) и обозначим через а, число подряд идущих скалярных матриц (начиная с Bl.^i) в "не фуксовой" части i -I-----h fcf^a разложения (2)

матрицы в окрестности особой точки В частности,

если матрица не является скалярной.

Утверждение 3. Для суммы показателей системы (J), (2) двухурав-нений с особыми точками рангов Пуанкаре соответ-

ственно справедливо соотношение

§3 первой главы работы посвящен скалярным линейным дифференциальным уравнениям с мероморфными коэффициентами. Здесь подробнее рассказано о классическом соотношении Фукса для суммы показателей уравнения с регулярными особыми точками, а также — о его аналоге для уравнения с иррегулярными особенностями, полученном Д. Бертраном и Ж. Ламоном1. Эти соотношения используются во второй главе работы.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение порядка р с меро-морфными на сфере Римана коэффициентами, голоморфными вне множества точек

(8)

Особенность а, ф оо этого уравнения называется фуксовой, если функции

голоморфны в точке . Для скалярного уравнения (в отличие от системы) понятия фуксовой и регулярной особой точки эквивалентны (теорема Фукса2). Фуксовым уравнением называется уравнение, все особенности которого фуксовы.

Известно, что задача о построении фуксова уравнения с заданными особыми точками и заданной монодромией в общем случае имеет отрицательное решение, поскольку число параметров, от которых зависит такое уравнение, меньше числа параметров, от которых зависит множество классов эквивалентности представлений

(такой подсчет параметров восходит к А. Пуанкаре3). Поэтому при построении фуксова уравнения возникают дополнительные "ложные " особые

'Bertrand D Exposants dea systèmes différentiels, vecteurs cycliques et majorations de multiplicities // Strasbourg, Preprint IRMA 1985 P 61-85

1 Puchs L Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veränderlichen Coefficients // Journal fur

Math 1868 V 68 P 354-385 , см также Болибрух А А Фухсовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения M МЦНМО, 2000

3 Пуанкаре А О группах линейных уравнений M Наука, 1974 (Избр тр Т 3)

<Ри , . .(¡ГЧ

-r- + bi(z)-г +

dzf к Uz!"1

+ bp{z)u = 0.

точки (т. е. точки, решения в которых голоморфны, но коэффициенты уравнения могут иметь особенности). А. А. Болибрухом1 было получено точное выражение для минимально возможного числа таких точек в случае неприводимого представления х (т- е- представления, для которого не существует невырожденной матрицы S, приводящей все матрицы G, = к одинаковому блочному верхнетреугольному виду

где G't, G" — блоки положительного размера). В следующем утверждении предлагается оценка числа дополнительных особенностей, возникающих при построении фуксова уравнения по произвольному представлению

Утверждение 4. Для произвольного представления X существует фуксово уравнение (8) с данной монодромией, число m дополнительных ложных особых точек которого удовлетворяет неравенству

где 7mm(х) — минимальный фуксов вес2 представления Х-

Во второй главе рассказывается об одном из возможных применений неравенств Фукса — об их использовании для получения оценок порядков нулей компонент (а также многочленов от компонент) решений некоторых систем. Различные оценки подобного рода содержатся в работах А. Б. Шидловского3, Д. Бертрана4, Ю. В. Нестеренко5. Подход с точки зрения аналитической теории дифференциальных уравнений позволяет по-новому взглянуть на этот круг вопросов, хотя для того случая, который наиболее интересует специалистов по теории чисел (оценка порядка

*См Болибрух А А 21-я проблема. Альберта для линейных фуксовых систем // Тр Матем ин-та им В А Стеклова РАН 1994 Т 206

2 Минимальным фуксов вес представления х определяется (аналогично максимальному фуксову весу неприводимого представления) по целочисленным параметрам семейства всевозможных голоморфных векторных расслоений с логарифмическими сишюстями, построенных на сфере Рим asa по представлению х См Болибрух А А 21 я проблема Гильберта для линейных фуксовых систем // Тр Матем ин-та им В А Стеклова РАН 1994 Т 206, Болибрух А А Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения M МЦНМО, 2000

3См Шидловский А Б Трансцендентные числа M Наука, 1987

4 Bertrand D , Beukers F Équations différentielles linéaires et majorations de multiplicités // Ann scient Ec Norm Sup 1985 V 18 P 181-192 , Bertrand D Exposante des systèmes différentiels, vecteurs cycliques et majorations de multiphatiés // Strasbourg, Preprint IRMA 1985 P 61-85

s Нестеренко Ю В Оценки числа нулей функций некоторых классов // Acta Arithm 1989 V 53 P 29-46

нуля многочлена от координат решения системы), он дает более слабые результаты.

Рассмотрим решение y{z) = (yl(z),..., Ур(г)) ^ 0 системы (1) в окрестности произвольной точки Z0 сферы Римана и его компоненту уJ(z) ф. 0. Если точка Z0 не входит в число особенностей системы (1), то ordi0 y!(z) — это порядок нуля голоморфной функции. Если го = a¡ — регулярная особая точка системы (1), то согласно формуле (3) функция yJ{z) в окрестности этой точки может быть представлена в виде конечной суммы

где hki(z) — мероморфные в точке а, функции, величины рк удовлетворяют условию (4), b¡ — целые неотрицательные числа и все пары (p^^bi) различны. Ввиду такого представления функции y}(z) ее порядок в регулярной особой точке определяется как

ordo, 3/>(z) = min (orda, kk¡(z) + Rep*)

В случае, когда все особые точки системы (1), (2) регулярны, А. А Боли-брухом1 было показано, что

(9)

где Е = /?! — сумма показателей системы по всем особым точ-

кам, Т = р — 1, если го не входит в число особенностей системы, и Т = тах^Ия/З^, если га = а, (напомним, что Е является целым числом). Из неравенств Фукса (утверждение 1) и оценки (9) следует, что

ordZay3(z) <

(п — 2 -f R)p(p — 1) _ £ Цк, - 1)

+ Т,

(Ю)

2 а 2

где Л = г, — сумма рангов Пуанкаре, = diшkeгBLГt_J (если г, = 0, то к, полагается равным нулю).

Используя неравенство (10) и следуя методу из работы А. А. Болибруха2, можно уточнить полученную там оценку порядка в произвольной точке сферы Римана однородного многочлена ... ,хр) степени I, рассмо-

тренного на траектории решения у(г) = (у1(г),... 1ур(г)) системы (1), (2) с регулярными особыми точками. Обозначим через <1(т,1) число

d(m,l) = tinn-í =

_ (т + 1 -1)!

1\ (т — 1)!

1Бомбрух А А Кратности нулей компонент решений системы с регулярными особыми точками //

Тр^Матем ии-таим В А СтехловаРАН 2002 Т 236 С 61-65

сочетаний из тпо(с повторениями. В §1 второй главы работы получено следующее утверждение.

Утверждение 5. Для порядка однородного многочлена Р((х1, , степени I, рассмотренного на траектории решения у — (у1, ,ур) системы (1), (2) с регулярными особыми точками, справедлива следующая оценка (в предположении, что ... ^(г)) ^ 0):

где Т = (1{р,1) — если 20 не входит в число особых точек системы, и если

Оценка подобного вида может быть получена и для произвольного многочлена Р(г,х], .. :Хр) степени т ПО X и степени I ПО II,..., Хр.

В §2 второй главы работы найдена оценка (аналогичная оценке (10)) для порядка компоненты у}(г) решения системы (1), (2) с произвольными особыми точками и неприводимым представлением монодромии.

Утверждение 6. Для порядка компоненты У3{х) решения системы (1), (2) с неприводимым представлением монодромии в точке Х0, не являющейся иррегулярной особенностью системы, имеет место оценка

(п-2 + Д)р(р-1) 2

огсЗго у>(г) < у" " ' -ЕК, + Т,

>=1

где Т = р — 1, если го не входит в число особых точек системы, и Т = тах; Ие/?^, если 2$ = а, — регулярная особая точка системы (величина К, определена перед утверждением 2)

Выражаю глубокую благодарность своим научным руководителям — академику РАН Андрею Андреевичу Болибруху и академику РАН Дмитрию Викторовичу Аносову — за постановки задач, постоянное внимание и большую помощь в написании работы.

Публикации по теме работы

[1] Гонцов Р. Р. Уточненные неравенства Фукса для систем линейных дифференциальных уравнений // Изв. РАН. Сер. матем. 2004. Т. 68. № 2. С. 39-52; № 6. С. 221-222.

[2] Гонцов Р. Р. О порядках нулей многочлена на траектории решения системы линейных дифференциальных уравнений с регулярными особыми точками // Матем. заметки. 2004. Т. 76. № 3. С. 473-477.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете

МГУ им MB Ломоносова

Подписано в печать 28.01.05

Формат 60 x 90 1/16 Уел печ л /С

Тираж 100 экз Заказ

Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059, от 20 02 2001г

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

Of. Of- Of. O i

11 r";-

Введение

I. Неравенства Фукса для систем линейных дифференциальных уравнений с мероморфными коэффициентами

§1. Системы с регулярными особыми точками

1.1. Нормирования системы в регулярной особой точке

1.2. Локальное устройство фундаментальной матрицы. Показатели

1.3. Неравенства Фукса

§2. Системы с иррегулярными особыми точками

2.1. Локальное устройствое формальной фундаментальной матрицы. Формальные показатели

2.2. Неравенства Фукса

§3. Скалярные уравнения с мероморфными коэффициентами

3.1. Соотношения Фукса

3.2. О построении по системе скалярного уравнения

II. Кратности нулей компонент решения системы линейных дифференциальных уравнений с мероморфными коэффициентами

§1.0 порядке нуля многочлена на траектории решения системы с регулярными особыми точками

§2. О порядке нуля компоненты решения системы с неприводимой монодромией

1. Данная работа посвящена некоторым вопросам аналитической теории линейных дифференциальных уравнений. В основном нас будет интересовать система g = *(.)„, ^ ^ (1) состоящая из р линейных дифференциальных уравнений, с матрицей B(z) ме-роморфных на расширенной комплексной плоскости С (сфере Римана) коэффициентов, голоморфных вне множества особых точек а\,.,ап.

Скалярные линейные дифференциальные уравнения в комлексной области подробно начали изучаться еще в середине XIX столетия известным немецким математиком Б. Риманом [10], уделившим особое внимание одному специальному классу таких уравнений — классу уравнений второго порядка со множеством особенностей, состоящим из трех точек, и обладающих следующим свойством: решения в окрестности этих точек имеют не более чем степенной рост (поскольку решения как правило являются многозначными функциями, то, говоря о степенном росте, следует ограничиваться случаем, когда аргумент стремится к особой точке, оставаясь при этом в некоторой секториальной окрестности этой точки). Исследования Б. Римана продолжил его соотечественник JL Фукс, некоторые результаты которого были получены еще Б. Риманом для ^ вышеупомянутого класса уравнений. Одно из наиболее известных достижений

JI. Фукса состоит в том, что он полностью описал класс уравнений произвольного порядка р, все решения которых имеют не более чем степенной рост в особых точках.

Судя по всему, системы вида (1) стали рассматриваться несколько позднее. JI. Соваж, А. Пуанкаре, JI. Шлезингер, Дж. Биркгоф и другие известные математики рубежа XIX-XX веков начали исследования этих систем с различных точек зрения. Их исследования получили свое дальнейшее развитие во второй половине прошедшего столетия в связи с применением к задачам математической физики (теория изомонодромных деформаций), аналитической теории чисел и др. Здесь можно выделить таких математиков современности как А. X. М. Левель, Б. Мальгранж, И. Сибуйя, В. Бальзер, Д. Бертран. Особо отметим имя А. А. Болибруха, удостоенного в 2002 году Государственной премии Российской Федерации в области науки и техники за цикл работ "Дифференциальные уравнения с мероморфными коэффициентами" [4]. Среди полученных им результатов наиболее известным является отрицательный ответ на проблему, включенную Д. Гильбертом на Парижском международном математическом конгрессе 1900 года в число своих " Математических проблем" под номером 21.

О том, какие именно вопросы изучаются в данной работе, скажем чуть позже, а перед этим опишем основные понятия теории линейных дифференциальных уравнений с особенностями.

Пусть разложение в ряд Лорана матрицы B(z) коэффициентов системы (1) в окрестности особой точки а,- ф оо имеет вид

B(z) = ( + — + + (2) z - at'J 1 z - ai если а,- = оо, то главная часть матрицы B(z) в окрестности бесконечности — многочлен степени Г{ — 1). Тогда число г,- называется рангом Пуанкаре системы в особой точке аг\ Если точка оо не входит в число особенностей ai,.,a„ системы (1), то матричная дифференциальная форма w = B(z)dz - £ (. + • • • + dz kj ftl \(z - fli)ri+1 z-qij голоморфна на всей сфере Римана. Действительно, эта форма голоморфна в комплексной плоскости по построению, а в точке оо она голоморфна по следующей причине. В координате t = 1/z в окрестности бесконечности (t — 0) форма и) имеет вид ы- B(Mi\dt I f , , BUt\dt

Согласно теореме о сумме вычетов, resa. B(z)dz = 0, т. е. £ В^ = 0. i=i i=i

Таким образом, форма и голоморфна в окрестности точки t = 0, поскольку там голоморфно слагаемое ± BL^-^ + ^Ut ti (1 - dit)t (1 - ait)t i-i t i=i l — ait i=i l — ait

Итак, матричная дифференциальная форма ui голоморфна на всей сфере Римана, т. е. uj = 0. Следовательно, если точка оо не является особой для системы (1), то матрица B(z) коэффициентов этой системы может быть записана в виде

BL,, . В z - ai)r'+1 z-ai)

Рассмотрим точку zq € C\{al5., a„} и некоторый диск D С C\{ai,., а„} с центром в этой точке. Согласно общей теореме существования и единственности, для всякого вектора уо пространства Ср найдется единственное решение y(z) системы (1), голоморфное в D и удовлетворяющее условию y(zQ) = уо. Из этого следует, что множество решений системы (1) в окрестности ее неособой точки является векторным пространством размерности р (если значения в точке zq каких-либо решений линейно зависимы, то по теореме существования и единственности будут линейно зависимыми и сами решения). Всякая матрица Y(z), столбцы которой образуют базис в этом пространстве, называется фундаментальной матрицей системы (1) и удовлетворяет матричному уравнению

Две фундаментальные матрицы Y(z) и Y'(z) связаны соотношением Y(z) = Y'(z)C, где С — невырожденная постоянная матрица (столбцы этих матриц образуют два базиса в векторном пространстве, которые должны быть связаны невырожденной матрицей перехода).

Всякое решение системы (1) из окрестности D неособой точки zq может быть продолжено в окрестность неособой точки z\ вдоль любого пути 7, соединяющего эти две точки и не задевающего особенности а\,., о„. Для такого продолжения достаточно покрыть путь 7 дисками, лежащими в С \ {ai,., an} и обладающими тем свойством, что центр каждого последующего диска лежит в предыдущем.

Особенность а,- называется регулярной, если любое решение системы (1) при приближении аргумента 2 к точке аг- по любой секториальной окрестности с вершиной в точке аг- и раствора меньше 2т: растет не быстрее некоторой степени величины \z — aj|. В противном случае особенность а,- называется иррегулярной.

ПРИМЕР 1. Рассмотрим систему dy(l/z 1 fz2 dz ~ [ 0 2/z У

Поскольку фундаментальная матрица Y(z) пространства решений этой системы имеет вид то особенность 2 = 0 является регулярной особой точкой ранга Пуанкаре г = 1. Для системы (состоящей из одного уравнения) dy 1 dz 22 ^ точка 2 = 0 является иррегулярной особой точкой, так как общее решение данного уравнения имеет вид y(z) = се-1/г, с = const.

Особенность а; называется фуксовой, если ее ранг Пуанкаре г,- равен нулю. Фуксова особая точка всегда является регулярной (теорема Соважа, см. [11, Глава IV], [2, Лекция 4]), но регулярная особенность не обязана быть фуксовой (пример 1). Фуксова система — система, все особые точки которой фуксовы. Матрица В(z) коэффициентов фуксовой системы имеет вид п тзг i=i z — а,если некоторая особенность а,- является бесконечно удаленной точкой, то нужно исключить слагаемое Bli/(z — а,) из этой записи).

Рассмотрим в окрестности неособой точки zo некоторую фундаментальную матрицу Y{z) пространства решений системы (1). Вдоль любой петли 7, начинающейся в точке zo и лежащей в С \ {oi,., а„}, матрица Y(z) допускает аналитическое продолжение, результатом которого является (вообще говоря, другая) фундаментальная матрица Y'(z). Матрицы Y(z) и Y'(z) связаны соотношением

Y{z) = Y'(z)G1, G^eGLip, С).

Соответствие 7 зависит лишь от гомотопического класса [7] петли 7 и задает гомоморфизм

X : 7Ti(C\{ai,.,a„},z0) -> GL(p, С) фундаментальной группы пространства С \ {ai,., ап} в группу невырожденных комплесных матриц порядка р. Данный гомоморфизм называется представлением монодромии системы (1), а группа Imx — группой монодромии этой системы. При заменах фундаментальной матрицы Y(z) (на матрицы Y(z)S, со всевозможными S G GL(p, С)) матрицы монодромии G7 заменяются на матрицы S^G^S. Таким образом, монодромия системы (1) определена с точностью до эквивалентности.

В малой окрестности каждой из точек а,- зафиксируем по неособой точке z%0 и обозначим через Sj малую петлю с началом в точке Zq, соответствующую однократному обходу точки аг-. В качестве образующих фундаментальной группы 7Ti(C\{aj,. ,a„},zo) выберем гомотопические классы петель gi,. , <7П) где каждая из петель gi есть результат последовательного обхода некоторого пути 7г, соединяющего точку Zq с точкой петли и того же пути проходимого в обратном направлении (петли 5{ и пути 7; выбраны так, чтобы петля П"=1 7А7Г1 была гомотопна нулю). Матрица Gi — X (<?»') называется матрицей монодромии системы (1) в особой точке аг-, г = 1,., п. Поскольку образующие <?1,., дп фундаментальной группы связаны соотношением д\ - • • дп = е, то

G\" - Gn = I.

ПРИМЕР 2. Фундаментальная матрица У(,г) = ( * системы из примера 1 при аналитическом продолжении вокруг нуля переходит в матрицу

Строение пространства решений системы (1) в окрестности регулярной особой точки описано А. X. М. Левелем [21] (см. также [1, Глава I], [2, Лекция 5], [4]). Для регулярной особенности системы определены показатели — числа, характеризующие скорость степенного роста решений в окрестности особой точки. Понятие показателей связано с понятием монодромии, а также — с понятием нормирований решений системы в регулярной особой точке (понятия нормирований и показателей определяются в §1 главы I).

Случай иррегулярной особой точки сложнее, и известен вид формальной фундаментальной матрицы системы (1) в окрестности этой точки (т. е. матрицы, в записи которой присутствуют степенные ряды с нулевым радиусом сходимости, но которая при формальной подстановке в систему обращает ее в верное равенство), см. [24], [5, Глава V]. В работе [14] авторы получают разложение специального вида для формальной фундаментальной матрицы, уточняя известные результаты. По такой формальной фундаментальной матрице определяются формальные показатели системы (1) в иррегулярной особой точке (см. §2 главы I).

2. Основная цель данной работы — представление некоторых оценок для суммы показателей системы (1) по всем особым точкам, так называемых неравенств Фукса (при этом в регулярных особых точках берутся классические показатели Левеля, а в иррегулярных — формальные).

Изначально Л. Фуксом в 1866 году было получено соотношение для суммы Е показателей линейного дифференциального уравнения dpu dp~lu порядка р с регулярными особыми точками ai,., ап. Определение регулярной особой точки для уравнения — такое же, как и для системы, в то время как фуксова особая точка определяется следующим образом. Особенность ф оо уравнения (3) называется фуксовой, если в этой точке функции (z — ai)b\(z), (z — а,)2б2(г),., (z — ai)pbp(z) голоморфны.

Чтобы изучить уравнение (3) в окрестности точки г = оо, нужно переписать его в координате t = 1 /z относительно неизвестной функции x(t) = y(l/t). Свойства полученного уравнения в окрестности точки t = О определяют свойства уравнения (3) в окрестности бесконечности. Так, вычисление коэффициентов уравнения, записанного в координате t, показывает, что 2 = оо является фуксовой особой точкой уравнения (3), если функции zbi(z), z2b2(2),., zpbp(z) голоморфны в окрестности бесконечности.

Существуют стандартные способы перехода от уравнения вида (3) к системе вида (1). Если особенность а,- ф оо является фуксовой для уравнения (3), то с помощью замены у1 = и, у2 = (z- а{) du yp=(z~ а>У dP

-1 и dz' y v " dzP-1 можно перейти к системе (1) (где у = (у1,., ур)) с матрицей коэффициентов

B(z) = 1

2 - а: О О 0 1 р-1 1

2 — а; О О z - a,i)pbp . (z - a{)bi

Следовательно, точка 2 = щ будет фуксовой особой точкой для получившейся системы. По теореме Соважа эта точка будет регулярной, а поскольку первая компонента решения построенной системы является решением уравнения (3), то особенность z = а,- будет регулярной и для уравнения. Итак, фуксова особая точка уравнения (3) является регулярной. Справедливо и обратное. Таким образом, в отличие от системы, для скалярного уравнения понятия фуксовой и регулярной особой точки эквивалентны (теорема Фукса [20], см. также [11, Глава IV], [2, Лекция 4]). Фуксовым уравнением называется уравнение, все особенности которого фуксовы.

Соотношение для суммы показателей уравнения (3), полученное Л. Фуксом [20], имеет вид (п - 2)р(р - 1) 2 и называется классическим соотношением Фукса.

В 1985 году Д. Бертран и Ж. Ламон [15] обобщили это соотношение на случай дифференциального уравнения с иррегулярными особенностями, добавив к правой части классического соотношения слагаемое, связанное с одним из индексов иррегулярности Мальгранжа в особой точке уравнения. Индексы иррегулярности irrM,i, Irr^j Мальгранжа и индекс иррегулярности irrx i Катца в особой точке а^ определяются как для системы (1), так и для уравнения (3), по формальной фундаментальной системе решений (см. §2 главы I). Для уравнения (3) индексы гггд/j- и irrx,i также могут быть определены непосредственно по его коэффициентам согласно Б. Мальгранжу [23] (см. §3 главы I).

Вернемся вновь к системе (1). До недавнего времени было известно, что сумма S показателей такой системы, bee особые точки которой регулярны, является целым числом, не превосходящим нуль, при этом Е = 0 тогда и только тогда, когда система фуксова (см. [1, Глава I], [2, Лекция 7]).

В 1999 году французским математиком Э. Корелем [17] были получены эффективные оценки суммы показателей системы (1) с регулярными особыми точками, зависящие от размера системы р и рангов Пуанкаре п,., гп:

1 i=l t=l (из этих оценок, в частности, следует, что для суммы показателей системы двух уравнений (р = 2) с регулярными особыми точками выполнено соотношение

Е = -ЕГ=1Г1-).

В случае, когда ранги матриц Вгг.х, соответствующих не фуксовым особенностям а,{ системы (1), максимальны (и все особенности регулярны), Э. Корель [18] нашел точное выражение для величины Е:

1 t=l

В 2001 году им же (в [19]) были получены неравенства Фукса для системы (1) общего вида (с иррегулярными особенностями): v(v — 1) " 1 " " " £ г,- + - Е IrrM,i < s < - Е п + Е irrKti. i=l t=l izz 1 i= 1

В утверждении 1 данной работы уточняются полученные Э. Корелем неравенства Фукса для системы с регулярными особыми точками, а в утверждении 2 — для системы общего вида. Уточнение происходит за счет появления в оценке зависимости от величин rankи dimker (Blr—i — <М/), где Л] (j = 1 ,.,/ij) — собственные значения матрицы Вгг.-\ (если особенность а,-регулярна и г,- > 0, то Blr.i — нильпотентная матрица, т. е. А, = 0 — единственное ее собственное значение).

Утверждение 1. Для суммы Е показателей системы (1), (2) с регулярными особыми точками а\,., ап рангов Пуанкаре ., гп соответственно справедливы неравенства р(р - 1) " " Ыкг - 1) " , .

V^ Е г; + Е V 9 J < Е < - Е rank B*r iri, i=l t=l * г=1 где ki = р — rank 5Lr.i = dim ker если г,- > 0, и к{ = 0, если гг- = 0 (см.

§1 главы I).

Утверждение 2. Для суммы Е показателей системы (1), (2) с (произвольными) особыми точками а\,., ап рангов Пуанкаре г\,., г„ соответственно справедливы неравенства р(р- 1) " 1 "

Е ri + - Е Irrjif,,- + Е К{ < S < - Е rank Bl^ri - irrK>i),

2 tl 1 ' 2 i t'=i * i=i t=i i=i где Ki — (1/sj) HjLi si — порядок формального ветвления системы в точке z — а,-, Ц = dimker (Blr г — Ц1), если г,- > 0, и Ц = О, если г,- = О (см. §2 главы I).

В случае системы (1) двух уравнений (р = 2) общего вида удается получить точное выражение для величины S. Обозначим через с^ число подряд идущих

В1r j в* скалярных матриц (начиная с В*г.1) в "не фуксовой" части Ч----разложения (2) матрицы B(z) в окрестности особой точки г = а,-. В частности, ai = 0, если матрица ВгГ.г не является скалярной.

Утверждение 3. Для суммы Е показателей системы (1), (2) размера р = 2 с (произвольными) особыми точками ai,.,a„ рангов Пуанкаре Г],.,Г„ соответственно справедливо соотношение п п 1 п = - + + X £ 1ггМ,г i=l г=1 * 1=1 см. §2 главы I).

§3 главы I посвящен скалярным линейным дифференциальным уравнениям с мероморфными коэффициентами (здесь подробнее рассказывается о соотношениях Фукса для этих уравнений). Одна из наиболее известных задач, связанных со скалярными уравнениями — задача о построении фуксова уравнения с заданными особенностями и заданным представлением монодромии (21-я проблема Гильберта). Эта задача в общем случае имеет отрицательное решение, поскольку число параметров, от которых зависит такое уравнение, меньше числа параметров, от которых зависит множество классов эквивалентности представлений

X : tti(C\ {аь., an},20) -> GL(p, С) см. [1, Глава III], [2, Лекция 8]). Поэтому при построении фуксова уравнения возникают дополнительные яложные" особые точки (т. е. точки, решения в которых голоморфны, но коэффициенты уравнения могут иметь особенности). А. А. Болибрухом было получено точное выражение для минимально возможного числа таких точек (см. теорему 4.4.1 из [1]) для неприводимого представления х (т- е> представления, для которого не существует невырожденной матрицы 5, приводящей все матрицы G; = x(<7i) к одинаковому блочному верхнетреугольному виду

S~lGiS = ( °0 G" ) ' где G'i, G'l — блоки положительного размера). Здесь предлагается некоторая оценка числа дополнительных особенностей, возникающих при построении скалярного уравнения по представлению монодромии системы (1). После этого, используя результат И. Племеля начала XX столетия о существовании системы (1) с заданными регулярными особыми точками и монодромией, можно по произвольному представлению х построить фуксово уравнение и получить оценку числа дополнительных особых точек этого уравнения.

21-я проблема Гильберта применительно к фуксовым системам получила название проблемы Римана-Гильберта. В общем случае эта проблема (так Жб^ кяк и для скалярного уравнения) имеет отрицательное решение. Контрпример к проблеме Римана-Гильберта был построен А. А. Болибрухом в 1989 году, после чего им были проделаны обширные исследования, результатом которых явились многочисленные достаточные условия положительного решения проблемы. Среди наиболее известных — теорема о реализуемости любого неприводимого представления \ как представления монодромии некоторой фуксовой системы (теорема 4.3.1. [1]), а также теорема о возможности построения по любому фуксову уравнению фуксовой системы с теми же особыми точками и той же монодромией (теорема 3.2.1. [1]).

3. Одно из возможных применений неравенств Фукса — их использование для получения оценок порядков нулей многочлена P(z,xi,. ,жр), рассмотренного на траектории решения системы линейных дифференциальных уравнений. С помощью оценок подобного рода А. Б. Шидловским была установлена однородная алгебраическая независимость значений у*(£),., Ур(£) целых функций y1(z),., yp{z) некоторого класса, являющихся компонентами решения системы (1) и однородно алгебраически независимых над полем С (г) рациональных функций (где £ — ненулевое алгебраическое число, не принадлежащее множеству особенностей системы). Напомним, что число £ называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого многочлена с рациональными коэффициентами. Числа ац,. ,ар называются (однородно) алгебраически независимыми, если Р(а\,., о;р) ф 0 для любого (однородного) многочлена Р(х 1,., хр) ф 0 с алгебраическими коэффициентами. Функции f\(z),., fp(z) называются (однородно) алгебраически независимыми над полем С (г), если P(z, f\{z),., fp(z)) ф 0 для любого (однородного по переменным xi,.,xp) многочлена P{z,x\,. ,хр) ф 0 (см. [12, Глава III]).

Если компоненты решения у = (у1,. ,ур) системы (1) алгебраически независимы над полем рациональных функций, то оценка сверху кратности нуля ordZoP(z,y1(z),.,yp(z)) функции P(z,y1(z),.,yp(z)) в точке z0 (через параметры deg2 Р и degx Р) может служить мерой алгебраической независимости функций yl(z),., yp(z) над полем С (г).

В работе Д. Бертрана и Ф. Бейкерса [16] на основе аналитического подхода был получен следующий результат. Пусть P(z,x 1,.,жр) — многочлен степени т по z и однородный степени I по xi,.,xp, a y(z) = (у1 (2),. ,yp{z)) — решение системы (1), голоморфное в окрестности точки zq. Обозначим через

R(z) функцию R(z) = P(z, y1{z),., yp(z)), а через s — размерность векторного пространства над полем С (г), порожденного всеми производными функции R(z) (поскольку y(z) является решением системы (1), данное пространство содержится в векторном пространстве над полем С(z), порожденном мономами степени / от функций y1(z),. ,yp{z), т. е. s < оо). Тогда существуют такие постоянные с\ и сг, зависящие только от системы (1), что либо функция R{z) тождественно равна нулю, либо ordZ0 R(z) < sm + c\sl + c^s2.

Приведем также оценку, полученную Ю. В. Нестеренко [9] с помощью алгебраических методов. Пусть P(z,xi,. ,хр) — многочлен степени m по z и степени I по х\,. ,жр, не равный тождественно нулю, a y{z) = (у1 (г),. ,yp(z)) — решение системы (1), голоморфное в окрестности точки zq, и функции yx{z),. ,yp(z) алгебраически независимы над полем C(z). Тогда существует такая постоянная с, зависящая от системы (1) и функций yl(z),., yp{z), что ord,0 P(z, y\z),., yp(z)) < c(m + 1 )lp.

В §1 главы II неравенства Фукса используются для оценки порядков нулей многочлена P(z,x\,. ,жр), рассмотренного на траектории решения системы (1) с регулярными особыми точками (в дополнение к результатам А. А. Боли-бруха [3]).

В §2 главы II с помощью неравенств Фукса оцениваются порядки нулей компонент решения системы (1) с неприводимым представлением монодромии и произвольными особыми точками.

4. Основным методом, используемым для получения неравенств Фукса, является метод локальных калибровочных преобразований вида

У' = Г(*)у, где Г(г) — голоморфно обратимая (или мероморфно обратимая) в окрестности точки а{ матричная функция. Голоморфная обратимость матрицы Г(г) означает, что эта матрица голоморфна в окрестности точки аг- и detr(a;) ф О, мероморфная обратимость — что матрица Г(г) мероморфна в точке аг- и detr(^) ф 0. Данное преобразование переводит систему (1) в систему (заданную в окрестности точки аг-) с матрицей коэффициентов

B'(z) = Г(2)В(2)Г-1(2) + ^Г-'М. (4)

Голоморфно обратимое преобразование не меняет ранг Пуанкаре rf, заменяя старший коэффициент — матрицу Вгг. 1 — на матрицу Г(а,)Б!г.1Г~1(а,). Мероморфно обратимое преобразование может как повышать, так и понижать ранг Пуанкаре. В качестве мероморфно обратимых преобразований будут использованы преобразования с матрицами Г(,г) = (z — а,)^, где К — диагональная целочисленная матрица. В силу формулы (4) такое преобразование переводит систему (1) в систему с матрицей коэффициентов

B'{z) = (z-ai)KB(z){z-ai)-K + К

Z — tti что часто позволяет проследить, как меняется ранг Пуанкаре г,-. В случае иррегулярной особенности а,- также будет использовано скалярное преобразование вида

У' = е'Му, где q(z) — многочлен от 1 J{z — й{). Хотя функция е9^ имеет существенную особенность в точке аг-, матрица B'(z) преобразованной системы вследствие формулы (4) мероморфна в этой точке: = *(,) +

Способ оценки порядков нулей многочлена на траектории решения системы с регулярными особыми точками состоит в следующем. Сначала с использованием неравенств Фукса оценивается порядок нуля произвольной компоненты решения в произвольной точке сферы Римана. Затем строится система большего размера с теми же особыми точками, одной из компонент решения которой и является данный многочлен. Переход к такой системе осуществляется с помощью тензорного произведения фундаментальных матриц исходной системы. Этот метод изложен в работе А. А. Болибруха [3] и является некоторой интерпретацией метода, используемого Д. Бертраном в своих работах [16], [15]. Мы следуем данному аналитическому подходу, лишь уточняя оценки А. А. Болибруха после получения уточненных неравенств Фукса. Напомним здесь, что если А = (a,ij) и В — квадратные матрицы размера р, то их тензорное произведение А® В определяется формулой а\\В . а\рВ А®В= ; : ар\В . аррВ и является квадратной матрицей размера р2. Если данные матрицы рассматривать как матрицы линейных операторов А и В в базисе {t>i,. ,vp} р-мерного векторного пространства V, то матрица определенного выше тензорного произведения будет матрицей оператора А® В в базисе {v,-(g> vj} (при соответствующем упорядочении элементов) р2-мерного векторного пространства V ®V (оператор А<%>В действует по формуле А<£>В(u<g>v) = A(u)<g>B(v), u,v €V; подробнее о тензорном произведении векторных пространств и операторов см., например, в [8]).

•

Результаты данной работы докладывались на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 5-10 июля 2004 года) и на международной конференции "Особенности дифференциальных уравнений, интегрируемые системы и квантовые группы" (Страсбург, 24 - 27 ноября 2004 года). Основные результаты работы опубликованы в [Г1], [Г2].

Выражаю особую благодарность Андрею Андреевичу Болибруху — своему первому научному руководителю — за постоянное внимание и большую помощь в написании работы. Им были предложены аналитические доказательства результатов Э. Кореля, послужившие основой для дальнейших уточнений этих результатов (сам Э. Корель использовал алгебраический подход для получения своих оценок).

Благодарю Д. В. Аносова и В. П. Лексина за оказанные внимание и помощь.

1. Болибрух А. А. 21 -я проблема Гильберта для линейных Фуксовых систем // Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. 1994. Т. 206.

2. Болибрух А. А. Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения. М.: МЦНМО, 2000.

3. Болибрух А. А. Кратности нулей компонент решений системы с регулярными особыми точками // Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. 2002. Т. 236. С. 61-65.

4. Болибрух А. А. Дифференциальные уравнения с мероморфными коэффициентами // Современные проблемы математики (препринт Матем. ин-та им. В. А. Стеклова РАН). 2003. Вып. 1. С. 29-82.

5. Базов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968.

6. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.

7. Зеегер А., Лай В., Славянов С. Ю. Вырождение фуксовых дифференциальных уравнений второго порядка // Теор. и матем. физика. 1995. Т. 104. С. 233-247.

8. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, т.1. М.: Наука, 1981.

9. Нестеренко Ю. В. Оценки числа нулей функций некоторых классов // Acta Arithm. 1989. V. 53. P. 29-46.

10. Риман Б. Сочинения. М.: Гостехтеоретиздат, 1948.

11. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

12. Шидловский А. Б. Трансцендентные числа. М.: Наука, 1987.

13. Balser W. Formal power series and linear systems of meromorphic ordinary differential equations. Springer-Verlag, New York, 2000.

14. Balser W., Jurkat W. В., Lutz D. A. A general theory of invariants for meromorphic differential equations. I. Formal invariants // Funk. Evac. 1979. V. 22. P. 197-221.

15. Bertrand D. Exposants des systemes differentiels, vecteurs cycliques et majorations de multiplicities // Strasbourg, Preprint IRMA. 1985. P. 61-85.

16. Corel E. Inegalites de Fuchs pour les systemes differentiels reguliers // C. R. Acad. Sci. Paris. 1999. V. 328. Ser. I. P. 983-986.

17. Corel E. Relations de Fuchs pour les systemes differentiels reguliers // Bull. S. M. F. 2001. V. 129. P. 189-210.

18. Corel E. Relations de Fuchs pour les systemes differentiels irreguliers // C. R. Acad. Sci. Paris. 2001. V. 333. Ser. I. P. 297-300.

19. Fuchs L. Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veranderlichen Coefficienten // Journal fur Math. 1866. V. 66. P. 121-160.

20. Levelt A. H. M. Hypergeometric functions. II // Proc. Konikl. Nederl. Akad. Wetensch. Ser. A. 1961. V. 64. P. 373-385.

21. Lutz D. A., Schafke R. On the identification and stability of formal invariants for singular differential equations j j Linear Algebra and its Applications. 1985. V. 72. P. 1-46.

22. Malgrange B. Sur les points singuliers des equations differentielles // Enseign. Math. 1974. V. 20. P. 147-176.