Топологические методы в теории линейных пфаффовых систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.04 ВАК РФ

о-1 П 4 9'*

МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. И. ЛЕНИНА

Специализированны» совет If.053.01.02

На правах рукописи

ЛЕКСНП Владимир Павлович

УДК 513.838

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ПФАФФОВЫХ СИСТЕМ

(01.01.04 — геометрия п топология)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Москва 1991

/у Г

Работа выполнена на кафедре алгебры п геометрии Коломенского педагогического института.

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор ЧЕРНАВСКИЙ А. В.

доктор физико-математических наук ГОЛУБЕВА В. А.

Официальные! оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор МАНТУРОВ О. В.

кандидат физико-математических паук, доцент ИЛЬЯШЕНКО 10. С.

Ведущая организация — Московский физико-технический институт.

Защита состоится «... ..»......и&б.199 I г. в ............ час.

на заседании специализированного Совета К.053.01.02 по присуждению ученой степени кандидата наук в Московском педагогическом государственном университете имени В. И. Ленина но адресу: 107140, Москва, Краснопрудная, 14, ауд. №...................

С диссертацией можно ознакомиться ш библиотеке МПГУ: 119435, Москва, Малая Пироговская, 1, МПГУ им. В. И. Ленина.

Автореферат разослан «............»........................199 г.

Ученый е<(кредарь ^.т^-тргали.'шрованного совета

КАРАСЕВ Г. А.

' ■'"Л ;

к! к ? у а л ь н о с т ь т 9 м ы . В настоящее время нн--.•тенс^вно исследуются линейные интегрируемые пфаффовы системы мно-:>"гих'комплексных поременных. Основной темой исследований является обобаенке результатов о системах линетшх обыкновенных дифференциальных уравнений на случаи линейных пфаффовых систем на многомерных комплексных многообразиях. В первую очередь, ото выделение классов регулярных и фуксовых пфаффовых систем, исследование их структуры и локального вида фундаментальной матрицы решений в окрестности особой точки систему. Второй темог исследований является проблема Римана-Гильберга в классе фуксових или регулярных пфаффовых систем. На многомерный случай обобщена теория иэомоио-дромных деформаций Илезингара и Лаппо-Дан'ллевсхогр. Первые работы по названной.тем&тике были выполнены Ьсраром и Делинем в конце бОх годов и были продолжены многими авторами, среди которых отметим работы Болибруха A.A., Иосида М. и Такано К. - по асимптотике фундаментальных матриц решений фуксових систем в особых точках, Голубевой В.Л., Василевича Н.Д. и Ладиса H.H. - по условипм полной интегрируемости фуксових систем, Болибруха A.A..Голубевой В.А., Сузуки 0,, Кита М., Хейна Р. - по условиям разрешимости проблемы Римана-Гильберта в классе фукоовых систем, Кларе Б,- по теории изомонодромних деформаций фуксових систем на комплексных проективных пространствах, Голубевой Б.к., Хейна Р., Кларо Б. и Садлэра С. - по алгебраизации на основе итерированных интегралов Чена и перенесению на многомерный случай теории матричных рядов Лаппо-Данилевского.

Интерес к линейным пфаффовым системам стимулируется также тем фактом, что новые аналитические функции многих комплексных переменных, а именно, факнмановские интегралы, являются решениями систем линейных дифференциальных уравнении в частных производных с полиномиальными коэффициентами, которые приводятся к конечным пфаффовым системам. Для некоторых тлпэв диаграмм Фелнмана ножио привести соответствующую систему дифференциальных уравнений sc пфаффовой системе типа Фукоа. ото позволяет чорез теорию фукоовых пфаффовых систем получить более детальную mioqормацию о зетвлении фейнмановских интегралов и их поведении ь особых точках. В 19&i году физики-теоретики Книжник и Замолодчиков показали, что корреляционные функции двумерной конформной калитозои теории поля яьляются решениями буксовых тк^фоы:* euer ом на С'п с особенностями ня наборе гиперплоскостей -г^о,*. Реоения указанных систем используется для построения р^аенип

квантових уравнений Янга-Бакстера. Многие классические гипергеометрические функции многих комплексных переменных, в также недавно введенные обобщенные гипергеометрические функции являются решениями систем дифференциальных уравнений, которые приводятся к. фуксовыы системам. Имеются приложения изомонодромных деформаций интегрируемых пфаффовых систем к интегрированию нелинейных уравнений в частных производных, которые являются обобщениями нелинейных уравнений математической физики.

Перечисленные факты делают весьма насущным изучение структуры линейных интегрируемых пфаффовых систем, условий их интегрируемости, шнодромии и условий разрешимости проблемы Римана-Гильберта в заданном классе систем.

В настоящей работе мы исследуем топологические условия разрешимости проблемы Римана-Гил&бсрта в классе фуксових пфаффовых систем на комплексных проективных пространствах и компактных кэлеровых многообразиях. Изучаем влияние, через условия интегрируемости, топологии и геометрии дивизора на структуру фуксовой пфаффовой системы и ее представление монодромии. Выясняем топологическую природ^' условий полной интегрируемости фуксовых систем. Приводим алгоритм вычисления формы фуксовой системы по монодро-мии и доказываем интегрируемость полученной системы для униао-тонтных представлений монодромии или близких к единичному представлению.

История и современное состоя -нив вопроса. На многомерных комплексных многообразиях уравнения фуксового типа начали интенсивно изучать, как уже было отмечено выше, в конце 60-х годов. Под фуксовын уравнением понималась связность в голоморфной расслоении с логарифмическими полюсами на дивизоре. То есть форму связности в окрестности особой точки можно представать в виде = + С20 , где ^=0,... , ~ локальные уравнения компо-

нент дивизора в особой точко, .ДДг),..- , ЛЦ'2' - гсионорф-¡ше функции, - голоморфная Г-форма. В точках нормальных

пересечения компонент дивизора асомптотика фундаментальной наг-рииы горизонтальны* г,вчпти'—девзности-с—логордфиичпс'кйми полосами детально исследована в работах Болибруха, Ьерара и. Левшгя, Иосида и Такано в 1975-77- годах. Для особых точек дивизора другого типа о поведении фундаментальной патрицы горизонтальных сечений мало что известно, кроив факта степенного роста матричных элементов.

• Д&линь П. решил проблему Римана-Гильберга в следующем смысле. Он доказал, что категория конечномерных представлений фундаментальной группы дополнения к фиксированному дивизору О* с нормальными пересечениями в заданном комплексном многообразии Мп эквивалентна категории голоморфных векторных расслоении на с мероморфноП связностью, имеющей логарифмические по-

люса на 2) , голоморфной и интегрируемой на дополнении

Мп-£>

Голоморфно тривиальные расслоения со связностью будем называть пфаффовой системами. Это прямой многомерный аналог линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Проблему Ри~ мана-Гильберта ми понимаем ¡¿ак реализаши произвольного представления фундаментальной группы в качестве представления монодромии фуксовой системы с особенностями только на . Разрешимость проблемы Римана-Гильбзрта в более узком классе "уравнений",. классз пфаффовых систем фуксового типа, изучалась в работах Аомото, Болибруха, Голубевойг, .Кита, Сузуки, Хо!ша. Ответ, конечно, зависит от индивидуальных топологических и аналитических свойств многообразий М ^ 5) , а также от свойств представления фундаментальной группы. Первые примеры, когда задача Рймана-Гильберга не имеет решения, приведены в 1979 году.

Б работе Болибруха в 1960 году показано, что разрешимость проблемы Римана-Гильберга на СРП для дивизора с нормальными пересечениями зависит от набора рациональных чисел

••■ . . Мы интерпретируем эти числа через классы Чженя одномерных подрасолооний плоского расслоения на дополнении к дие визору, построенного но представлению фундаментальной группы. Такая интерпретация позволяем сделать обобщения для коммутативных представлений, когда особенности дивизора но обязательно нормального типа.

Условие существования мероморфной пфаффовой системы с особенностями на дивизора © .о одной стороны, как показал Вейль А. (1947), накладывает гомологические ограничения на диви-аор £> , о другой стороны, геометрия пересечение компонент дивизора $> и их топология накладывают ограничения на форму интегрируемой пфаффовой систем», а следовательно, и на ее представление монодромии. В этом направлонии наполнены работ и Засн-девича и Громака (1981), Голубевой (1980 Л985) для пфаффовых систем фукоового.типа на СР^ иди Сп . Мы иоследозатольно

используен аппарат итерированных интегралов Чека, чго позволяет естественным образом связать ограничения на форму интегрируемой пфаффовой системы с дзуквркини классами гоиологий дополнения М и соотвегствуюЕтимк коммутаторными соотноиенияки в

Фундаментальной группе ( ос.) , причем многооб-

разие Ма необязательно является СРп или Сп Обобщив методы Лаппо-Двнилевокого ка многомерные многообразия, Голубева (1960) представила матрицы мояодромии в виде рядов от коэффициентов фуксобой системы л обращая этк ряды выразила коэффициенты системы через матрицы моаодромии, исследовала тоже сходимость полученных рядов. Однако вопрос об интегрируемости фуксовой оистемы, полученной методом обращения по представление фундаментальной группы, в роботе Голубввой ко рассматривался. Мы доказываем интегрируемость фуксоЕИх с к схем полученных методом обращения рядов Лаг.яо-Данилввокого, кспсяьзук для этого аналитические семейства представлений фундаментахьной грукпн и фук-сових систем, а также связь соотношений комкутагораого типа в Фундаментальной группе и уояоззай интегрируемости фухсовых систем. .

В настоящее время проблема Йшана-Гильберга исследуется дая более общих аналогов систем линейных дифференциальных уравнений, чем связность в векторном расслоении. Зткми объектами является голономнне пучки модулей над пучком колец дчф&вреицкельквх операторов с голоморфными когй'нциенгаии. Аналогом конечномерных представлений фундаментальной группа является г.окструктпышо пучки .комплексных векторных проот ранете» Проблема Бшаке-Гйль-берта состоит в устенсвлсняи эквкЕеяйиуиоора. шиегарая щтланых модулей и категории констругоивдих лубков ияи кк пронв» водных категорий. Названные зкшвзлв&шюети явхясгоя категории-ми обобщениями двойственности Пуанкаре. Осаовиьге работы б згоя направлении выполнены Каинварой, Иобкху к Бок:. .

Цель работ«. Основный обьакгок исойОДОЕаклй в настоящей работе ямяюгоя линейные пфаффовы с истоки еипй фукоа на СРп йм

тштервсШэ_прилоте1шя в теории нелинейных уравнение в чосгцых . производных и теоретической физике.

Настоявдя работа проследует две тесно связанные цели* Первая цель - определить влияние через условия полной интегрируемости топологии многообразия, топологии к геометрии дивизора особенностей и топологии дополнения к дивизору на форму интог-

рируомой пфаффовой системы типа Фукса а представление моподро-нт системы.

Вторая цель - найти топологические условия разрешимости проблемы Римана-Гильбарта в клпосо фуксовых систем и при выполнении условий разрешимости найти вффокгивний алгоритм вычисления коэффициентов формы фуксовой системы по представлению моиодромии.

Общие погоды нос л вдова пня. В диссертация применяется метод» теории векторных расслоении и пучкоь, теории связностей в расслоениях и пучках, теории итерированных интегралов в сннслэ Чена, а также методи алгебраической топологии при исследовании расслоений и условии интегрируемости пфаффовых систем.

Научная новизна. Новыми з работе являются следу зздпе результаты. НвАдены топологические условия ( в терминах клаосов Чженя подрасслсэний расслоения построенного по коммутативному представлении фундаментальной группы | разрешимости проблемы Римана-Гильборта в классэ интегрируемых пфаффовых систем типа 5укса на СРп , Приведен пример неразрешимости задача йма::п-Гильборга. Условия полной интегрируемости пфаффовых систем типа Фухоа дани через значения 2-иторированного интеграла о: форны система на потляк представлявших образующие второй группа 'гонслопШ фундаментальной группы дополнения. Выяснен топологический омнел ( коэффициенты зацеплений ) числовых коэффициентов в коммураториы.х соогнопениях ( типа билинейных соотношении Рикана) обеспечивающих пол »у а интегрируемость пфаффовых систем типа §укса. Для аналитических семейств представлоний фундаментальной группы дополнения х набору гиперплоскостей в СРп доказана разрэвиыость задачи Йшана-Гильберга, если семейство содержит единичное представление и параметр семейства достаточно •мал. В частности, доказана разрешимость задачи Романа-Гильберта для любого унйпотептного представления.

Теоретическое а практическое значение. Развитый в диссертации прием исследования голономии пфафДовоЙ системы и ео кривизны о помощью итерированных интегралов позволяет о несколько на традиционно:'; точки зрения взглянуть на основное понятия диЭДереншальноп геометрии. Это можно использовать при чтении обязательных и сношал».и.-х курсов по диффорешиал шоп геометрии. Представл-от интерес рассмотрение с точки зрения итерированных интоггплоь такою к-та классического анализа, каким лвл!ется ряд Тейлора а гоом<;гр:-

ческая интерпретация его слагаемых. Интересно проследить, что означает связь условий полной интегрируемости линейных пфаффовых систем и коммутаторных соотношений в фундаментальной группе дополнения к особенностям системы д.ля нелинейных уравнений в частных производных, которые можно получить при редукции уравнений Шлезингера изомонодромной деформации пфаффовой системы. Интересно таете выяснить, что означает разрошимость проблемы Рима-на-Гильберта в класса фуксовь'х систем с особенностями на гиперплоскостях в СР для теорий квантовых полей, где такие фук-совы системы появляются.

Аппробация работы. Результаты полученные автором по теме диссертации докладывались на семинаре по алгебраической топологии и ее приложениям в МГУ, на семинаре по фук-совим системам в КГУ, на семинаре по дифференциальной геометрии в МГПИ и на семинаре по геометрическому анализу в Коломенской педагогическом институте. Результаты из главы Ш докладывались на УП Всесоюзной топологической конференции в г.Минска в 1977 г. Результати из глав I и П докладывались на Международной топологической конференции в г.Москве в 1979 г. и на Ленинградской международной топологической конференции в 1962 г.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 7 работ.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 117 страницах машинописного текста. Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 57 названий.

Обзор содержания диссертации. В первой главе состоящей из трех параграфов, дается решение следующей задачи:

В комплексном проективном пространстве СР задан'дивизор £) — .и без кратных компонент. Предполоким, что все его компоненты неособые подмногообразия в СР .для заданного представления фундаментальной^грушгы^ополнонюпОшшзору

- х.)--дцт.о

требуется найти интегрируемую изронорфнув связность в тривиально;.! расслоении на СРп с логарифмически*..» полкзанн на £) и голоморфную на СРп*~ ¡¿) » представление ыонодроиии которой

совпадает ср.

£>га задача является прямым многомерным аналогом 21 проблемы Гильборга.

В § I глави I ми излагаем'но координатном япико определения: векторного расслоения, операций над векторнкми расслоениями, связности в векторной расслоении, операций'над расслоениями со соязностями. В § 2 дается определение представления монодромии интегрируемой связности, которое опирается на ф! ксированную систему постоянных функции перехода в расслоении с интегрируемой связностью для конечного покрытия базы расслоения. В конца параграфа формулируются различные варианты основной задачи, и именно, проблемы Рймана-Гильберта, и излагаются общие схемы их решения. В начале § 3 приводятся необходимые условия разрешимости проблемы Вшана-Гильберга в классе пфаффовых систем на кэлеровых многообразиях, а также примеры представлений и дивизоров, когда задача не имеет решений. Затем ми изучаем структуру расслоения £Гр на СРп - £) построенного по конечномерному представлению фундаментальной группы с коммутативным образом ]тр с Доказывается, что оно изоморфно пряной сумме одномерных

Ер - @ "Ч^/ъФ--- ©"^^рс, ,

где Ь- голоморфные одномерные расслоения постро-

енные по одйомвркнм представлениям фундаментальной группы, ту, («л,..., - краткости расслоений в

разложении в прямуп сукму.

Мы выясняем, ¡сакое крученио имеет одномерная группа топологий Н4( СРп-ч£), и опираясь на это вычисляем класс Чженя каждого расслоения £^ . Показано, что класс Чженя расслоения равен нулю тогда и только тогда, когда

является целым число

М = ^ Ъми)

гЛО р-$г> * ~ система образующих в ССР

и (Л — наибольший общий делитель степеней полинсмоз (ср =г с^едА»! , =/?еСРг1/ (х ^сх) — О } . Уго влечет, что расслоение £Г^> тр1виально, если все числа ^ ,... , 5 являются целыми числами. Пусть дивизор имеет сеченио с

неособыни компонентам;! двумерной плоскостьп. При этом огрпничо-нии доказана теорона.

Теорема . Задача Римага-Гильберга для представления о коммутативном образом тогда и только тогда имеет решение в клаоое интегрируемых пфаффовых систем с формой вида

о» = •

когда все числа ... , ' являются цзлшш.

В главе П главной цель» является изучение влияния геометрии дивизора © в комплексном проективном пространство СР'1 на форму интегрируемой фукоовоЯ система с особенностями ка 2). В этой главе основным техническим инструмэнтом являйся итерированные интегралы в смысле Чена, определение и основные свойства которых изложены з § I. В § 2 мы разолраем геомэтричоокув овязь между двумерными кяаосами гомологнй из коммутаторными петлями на Н , гомотопныт постоянной пзгло. Опираясь на топологические и алгебраические овойстза итерированных интегралов, в § 3 мы доказываем теорему:

Т в о р а н а I . Пусть форма пфаффовой оистоны на глад;ж связном многообразий являотоя замкнутой формой н элемэн-

ты ох ой матричной формы С2. при на дл окат алгэбра

дифферэнциальных форы, точность которых влечет их равеаотао нулю, тогда условие полной интегрируемости пфаффовой олотони равносильно равенству нулю значений матричного ¿-итерированного интеграла

С = О С-.0

. *. '

на петлях коммутаторного типа

построенных по свободным образующий во второй группа гомологнй. Равенство С можно записать в аоимутаторной форме

Соотномэния с*. . для "периодов" форма являкгоя

^залогом билинейных соотношений Рииана.

На основа теорема I доказана теорема, в которой опиоываетоя влияние геометрии дивизора £) <=СРЧ. на форму фукоовой сио-

темы С? - £ ^ ^ > 4 - сопи, £ Щ = О

Те о р о м в 2. Условие полной ннтегр1руемости фукоовой око-темы на Ср о формой равносильно система коммута-

торных равенств

С А, 2 кЧЩ Л: ] =' О , Тса) , Л .

гдо 7С&\ и коночные множества, а к-^(а) _ целке

чиола, связанные о геометрией множества особенностей дивизора

£> = IУ {геСРп1 Ш =

4

Детальное описание множеств

и целых чисел

ку(а>, кга;: иозффкциентеэ зацеплений окружностей в трехмерной офе-ре, дано в § Ц.

Затем мы усганаачиваем Связь условий полной интегрируемости' фукоовой системы о поровдапсит ооогиоаеиияш коммутаторного типа в {«¡представлении фундвиэнтаЛьной группы дополнения к дивизору особенностей системы. я •

А икекно, пусть копредогпатеико фун-

даментальней группа дополнения. Пусть !.. » - система

слободки« образу тгх в свободной группе

спсгспа езободннх образуспих в свободной подгруппе 1%пСГ,Р], п X},... , Х;/ Сагио о Н{(СРС) . Причек базис Х|, . ., X// Бибран, что пря естественном от обра кем? к

сбрзэ сбразувдей сеть педоториЯ элемент базиса .

Т о о р а и а ') Цвтрпчтя 1-форыа ~ ¿^Г Д

• 1-1 П1

удовлетворяет усхосно полней шггограрусмосга С^л^'я О

тогда к рольгго тегда, когда катрпци «Л, ..... удоплотзоря-

с? систеко ко:шутяуарких уравнений

К : Р .

Ловце частя зтпх уравнений получены формальным логарафмкроваии-еи пороядвкяих соотноаониП

и заменой $1 на соответствующие ,

В главе И в § I мы рассматриваем ряды Пеано и Яаппо-Данилев-ского, изучаем их сходимость. В § 2 мы применяем эти ряды к решению проблемы Римана-Гильберга для аналитических семейств представлений рд фундаментальной группы дополнения к набору гиперплоскостей в Срп , Разрешимость проблемы Римана-Гильбер-та доказана для семейств представлений , где .Л дос-

таточно мало и р0 единичное представление. Это достигается следующим образом. Пусть 5)= м х>: - дивизор из гипер-

плоскостей и ^,.. . , петли каждая из которых обходит одну из гипарплоокоотей дивизора и они представляют систему обраэу-юцих в 9Г, С Матрицы Ри^-Ур , ¿'--Л..., л' соответствующие .....уы по уолови» на разлагаются в ряд

= й * лм1 + *гн{+ ... - .

Мы ищем такое аналитическое семейство интегрируемых фукоовых форм о особенностями на £>

чтобы матрицы монодроши фуксовой сиотемь с// совпа-

дали с , ■ ^ ы

Пусть = ^ ,гдв /ёЗси^Оу

итерированный интеграл Чена кратнисти п , выражение матрицы монодромии о помощью ряда Пеано. Приравнивая коэффициенты при одинаковых отепенях Л , получаем рекуррентную систему

уравнений относительно , Мы учитываем, что

■ , ^

ь м(, ¿--Л...,*-

и- '

jQa + ¿2 ZU ¡,

Из этой систекц последовательно находим М'п , и , следовательно, находим семейство . Доказана сходимость полученных рядов при достаточно маша значениях параметра Л . Проверка- интегрнрл-емости осуществляется с помощью предложения 4.4 i з § 4 .используемого в доказательстве теоремы 3. А именно, воспользуемся тождественными по > равенствами j . /.....s

Ä - i Я/ «fr. -. JV» = ^ < 7-,JV).....>) = T Cty f Ji....; w)

где 71 ^) - $ * [¿^¿v^Qc^. эти равенства равносильны системе равенств * ""

J°'-s0 . ¡ч.....s

Если учесть коммутаторный характер соотношении и вое-»-

пользозаться индукцией по п , то получш равшзсилькув систему рог-венств .

=0 , ' ,.....л

. _ ' . ____

J = О , i-S.....s •

. . я. .*♦?»« ....

i - ' ,

Пелученкая система равенств равносзлыа интегрируемости семейства фуксовшс форы ,

На qckoeo изложенного штода решения проблема Ркшиа-Гкльбор-са доказшжотся ее разрешимость для произвольного ушшотеитного представления фундаментальной грушш.

В заютчвийя хочу выразить благодарность своим учителям проф. М.М. Постникову, ьроф. парнасскому A.B., д.ф.-м.н. Голу белой В.А. за кноголетяее благожелательное внго«лш:е к автору. Я благодарен такяе участника!,t семинара по алгебраической топологии в №У и преподавателям математических кафедр Колсмзнсиого педагогического института за многочисленные полезные обсуждения моих выступлении перед пики.

Oohoehuq результаты диссертации опубликованы в следующих

работах:

1. Лексин ii.il. Матричные функции с заданным ветвлением: Тозисы 7 Всесоюзной топологической конференции.- Минск, 1977, с.

2. Лексин В.П. Линейные матричные уравнения с нильпотентной' ионодромибй.- Геометрические методы в задачах анализа и алгебры.—Ярославский, гос.ун-гет.- Ярославль, 1978, с.121-129.

3. Лексин В.П. О фуксовых представлениях фундаментальной группы комплексного многообразия.- Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений,- Ярославский гос. ун' -тот.- Ярославль, 1979, с.109-114.

4. Лексин В.П. (совм. с Болибрухом A.A..) О некоторых топологических задачах в теории фуксовых систем: Тезисы Ленинградской международной топологической конференции.- Ленинград, 1982, с.

5. Лексин D.O. Условия полной интегрируемости линейных" пфаффовых систем дифференциальных уравнений:- Дифференциальные уравнения ( теории устойчивости).- Рязань, 198^, о.83-92.

6. Лексин В.П. (совм. о Болибрухом A.A.) О некоторых задачах в теории многомерных пфаффовых систем.- Некоторые проблемы современной математики и их приложение к задачам математической физики,- М&ТИ.- Москва, 1985, с.19-26.

7. Лекоин В.П. Мероморфные пфаффовы системы на комплексных про.. ективных пространствах// Мат ем. сб., 1986, т.129: 2, 0.201-217:.