Элементы дифференциальной геометрии ... многообразий в евклидовых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВКГСШТ

На правах руизтгая

Каладчук Роман Иванович

ЭЛЕМЕНТЫ ДШБРШИАЛЫЮЯ ГЕОМЕТРИЙ «НЕВЫХ МНОГООБРАЗИЯ В ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

01.01.04 - геоматрия и топология

Автореферат диеезртащт на соисканиэ ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 1991

Райста выполнена иа кафедре математического анализа Камз-ровсного государственного университета.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук Слухаев Ей

ОМициадыше оппоненты: доктор физико-математических

наук Квтушик Л Е. кандидат физико-математических наук Фомин ЕЕ.

Ведущая организация:

; Ижиовский институт стаи и ' сплавов

Защита состоится "23. "-января—— 1892 г. вхд_час

т васедашгл специализированного Совета по математик» к 053.28.05 в Казанском государственной ' унигерситете имонИ Е И.Ульянова-Ленина по адресу :420008, г.Казань, ул.Ленина 18, корп. 2, ауд.217.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета (г. Казань, ух Левина,18).

Автореферат разослан "22. и декабря 1921 г.

Ученый секретарь специатгеированного Сошг^-, я доцеи'*

ЕЕШапуков

I Общая характеристика работа 1!ост<шовка проблемы и её актуальность. Теория неголокомных систем - одна ?1з бурно развивающихся областей современной математики, которая имеет обширное применение в теоретической механике и физике.

В ди№?ронциальной геометрии эта теория начиналась с работ А,Яосса и поначалу сводилась к изучение геометрических уравнений Пфаффа в тр&хмеряом евклидовом пространстве. Позли Сил явидеи тор- • мин "пфаффово многообразно" .который использовался для обозначения совокупности интегральных кривих пфаффова уравнения, В последние десятилетия появилось очень мясго работ но теории п^о^сглд многообразий, которое либо изучается абстракгяо (тогда это бесконечномерное многообразие ), либо изучается поведение каждой линии, погруженной с евклидово пространство;

^посредственным обобйоиисм 1К}а{ф}31й уравнений является дифференциальные уравнения, однородное1 степени к>1 относительно дифференциалов. Геометрически, с каллой точке области задания обобщенного дифференциального уравнения возижает конус к-го порядка В этом случае пфаффово уравнение нвляотся во просто частным случай« обобщенного дифференциального уравнения, а. случаем его б «рождения ( конус."разворачивается" л плоскость), что со многих ситуациях приводят к совершенно различной теории. Термин "мошгово уравнение" или "уравнение Монжа" ьяервиз появился у 0, Ли в 1898. В _ соответствии с этим конус, возншсапкйй с каждой точке, бил назван "локальный '|соиусом Мокла" или иройго "локальным конусом". Прямолинейные образуэдие, локального шсуса является касательными к интегральным кривым кюнжева уравнения,проходящим через ого вершину. В соответствии с мим шнжево многообразие определялось кап совокупность интегральных кривых, касавдхся лекального ноиуса, ортогональных пело нормалей к локальному конусу Мо8яа,то есть, вообк}?, говоря ортогональных в некотором/ чегиреитрамотричооксму секторное пол» в Е3. Термин "ион«ею многообразие", по ксйП видимости, впервые появился в работах М, А. Яишлзянко.

Поело с. Ли теории данжоии уравнений развивал Д. 14 Синцм. Ия ' множества' илтегральш« криках он выявляя асимптотические4 линии,

линии кривизны 1-го и 2-го рода и геодезические линии. Л. Я Синцов вцвел уравнения геодезических "прямейших" и "кратчайших", о расцеплении свойств которых из принципа наименьшего действия Е Гамильтона н принципа прямейшего пути Г. Герца,по-видимому, знал еш£ С. Ли.

Вздьсой'вклад в развитие теории монжевых многообразия внес ЕЕ Вагнер,результаты которого, гю сути дела,подучены новш методом ,а именио-методом подвиааюго репера Э. Карт ал а. Геометрия нелинейного обобщенного многообразия изучалась им в случае п-ыерно-го финслерава пространства,но особенно интересны результаты в работе по нелинейным неголснокным многообразиям в еи'лндовои пространстве. Теркин "ненелинейное неголономное многообразие" аналогичен "шюезу многообразию",а "линейное иеголоношюе многообразие" - "пфаффову многообразию", а В. Вагнер ввел понятия нормальной и геодезической кривизны интегральной кривой .омбилической точки и омбилического монжева многообразия .абсолютного угла, абсолютного дифференциала к понятия внутреннего и внешнего параллельного переноса допустимых линейных элементов.

Исследования ионхешх многообразий далее в, основном продолжались в геометрических школах Харькова и Томска

В Харькове М. А. Николаенко вывела дифференциальные уравнения характеристических линий из самого уравнения Монжа в трёх-н многомерном евклидовом пространстве. Ею ко была доказана теорема о совпадении геодезических линий с характеристиками иа монжевоы многообразии в Еэ , то есть теорема о »ом, что если интегральная кривая мояжева многообразия обладает одновременно двумя из трёх свойств, то есть свойство» бить а)- геодезической "прямейшей", б)- геодевической "кратчайшй", в)- характеристической линией, то она обладает и третьим свойством Л Н. Сергиенко обобщила данный результат на случай евклидова пространства произвольной размерности, а так^-же исследовала системы иа двух уравнений Монха в Е^ .Все вычисления проводились относительно неподвижного базиса,в котором задавалось »сходное уравнение Шнжа.

В Томске методом подвижного репера К В. Слухаев и В. М. <&инкель-штейн изучали геометрию нед^ейных негояономных многообразий как

геометрию четнрсхпарзкетричсского поля напразлений.

0 более общей -точки зрения диИйренциальнзя гссмэтрия ыон.тавих многообразий рассматривалась И. Л. Лкнвиесм и 'яо:®тори?л1 ого учениками.

В связи с этим представляется ¡шгеросним сочетание результатов, получению разними спосоОа?/л и синод ковнх спсПств монжепл-: многообразия на основе синтеза двух методов.

3 1825 году С. Ли привел пример дифференциального уравнения Мэнг-а в Е,,е системе интегральных кривих. которого гаеты характеристика является геодезической ("прямейшей"). 11 i. Николае нко заметила, что в этом случае каждая интегральная кривая является одновременно и геодезической "кратчайшей". Однако етроэнт такого рода монжеьа многообразия как "поля конических пучков направлений" (по ii. Е Вагнеру) осталось неизвестным,остался открытым вопрос о существовании других типов юнулвих многообразий,сбладшэ-ших тагаго рода неопределенностью геодезических "кратчайших".

Цель работы состоит в разработке метода исследования шалевых многообразий, у которых каждая интегральная кривая является геодезической "кратчайпйП" и полном решении псевдоклассической задачи С. Ли.

Работа выполнялась в соответствии с планом 1ЙР кемеровского государственного университета в рампах тега " Исследование краевых задач для эллиптических и параболических уравнений" имавдоА государственный регибтращюншй! номер М 01,87.0029-14

Столика исследования. Исследования ведутся методом подвижного репера. При выводе и обосновании результатов диссертации широко используются связи подвижного и стационарного реперов.

Научная новизна работы. В диссертации регкнэ задача о которой говорилось выше. Исследовано геометрическое строение ьшясвих многообразий з £3 ,у которых каждая интегральная кривая является геодезической "кратчайшей". Доказано, что пример такого рода дифференциалы!!« уравнений - единственный. /¡агапгЯ результат распространен на случай евклидовых пространств произвольной размерности,- Лока-зала невырожденность такого рода шшевых многообразий. Кнзэдднц необходимые и достаточные условия интегрируемости для некоторых

классов монжевых уравнений (в частности, уравнения С. Ли) с Е. с геометрической точки зрения. Рассмотрены вопросы параллельного перенесения на монжевых многообразиях.

Практическая и теоретическая значимость работа. Диссертация носит теоретический характер. Полученные с ней результаты могУ? найти применение при разработке конкротных алгоритмов интегрирования дифференциальных уравнений Монжа второго порядка. Они могут быть применены также и в физике при исследовании элеютромагкитного.излучения источников во Вселенной, а также при изучении монохроматического и когерентного излучения лазеров.

Апробация результатов работы. Результаты работы , по ы'гре их получения .докладывались на семинаре по геометрии и анализу кафедры математического анализа Кемеровского университета, на городском семинаре им. Туганова в Томском университете, в МГУ (семинар под руководством проф. Евтулика Л Е.), в Новосибирске ( НГУ, семинар под руководством проф. Борисова Ю. Ф.). А такмэ на Всесоюзных школах "Оптимальное уравнение. Геометрия и анализ." (Кемерово 1086,1988,1930),на Всесоюзной геометрический конференции (Ки-шенёв,1988),иа Всесоюзном совещании молодых учйных по дифференциальной геометрии (Абрау-Дкрсо, 1390), на У-ой школе молодых математиков Сабири и Дальнего Востока (Новосибирск,1990). Работа обсуждалась на геометрическом семинаре Казанского университета (рук. проф. А. Е Широков) в 1991 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в одиннадцати работах, список которых приведён в конце автореферата.

Структура и объём диссертация. Диссертация содержит 118 страниц машинописного текста и состоит из введения, двенадцати параграфов и описка литературы,- который содермгг 65 наименований. Ери ссылке на формулу (¡с,у); х означает номер параграфа, у-номер формулы.

И Содержание диссертации.

Во введении дан обзор работ, относящихся к теме диссертации, и кратга изложено содержание .работы.

Двенадцать параграфов текста условно разбиваются на три группы, в которых изучается дифференциальная геометрия монжевых многообразий в в4 ( $2-$9), 'к, (||ю,11) и Ей($12).

В fil даются OCilOEHL'J? понятия 1! определения, СВЯСаЧШП С Ю1№-вши мизгеобразияш. (.Ьрфпг.м m-mpuoro векторного расслоения з тасателыгае расслоение ТОО многообразия Н будет шататься rsmu стсбражннем, если размерность балы расслоения больсо раз-морнссти '/погосбразпя И ,а размерность слоя мзньвг.В лоиамяш координатах коияяю отображение арсяотгюлястси г сидо систсш üin'síon1::', уравнений ^

P¡.(x,Ucl-/"0, (1)

где i-I ,2,... din !!, a S-1.... ,dlm tl-m Исключением t* »dc;:ctoi.h (1), полу истся система вида

Са1,&лЧ*-0, • . ' (2)

где А «си m tl+t..... din Í3, где В -бога ргюаюсявя. Вззянкащпз в lyi

в сбаэм случае гошгюсиу» поверхность будем нжиАпзд конусом tbnra.

В дааыийтом ш огсхпгстйдяом коня» tro стобрагеяиз с его обрэдом и называем шизмиш отображниом сомс-йство ;я-кортк плоскостей (1), а иоптчш многообразием семейство гсонуссш (2). В с.-учле 11-К„ естественно ВВОДИТЬСЯ СВЯЗНОСТЬ IM MjnrÄCVI)О допустимых ВСКТбрОП (в отличие от И. К Рлглера мы называем допустимая iicm-opu й точке хе Е„ .касательные к.одной из плоскостей (1) иояяям отображения, а веотори направленные по образующей легального конусо Kojto -■интегральными). Если pt:T» Е, -■> Рь- оператор проектирования D касательную плоскость Pt моплэва отображения (t - Фиксировано), тогда V-pto d - оператор ковариатного дифференцирования допустимых сектор них полей в Е„ . В этом случае количество возникающих геештри- ,> ческих образов увеличивается за счёт того, что каждая касательная плоскость к локальному конусу Мошка имеет единичную нормаль е( x.t).

вводится подвижный репер двумерного мошкепа отображения в Еэ .излагаем, что с каждой точкой х области задания мояжвва многообразия соединено семейство реперов {е, .зависящих от параметра 5 таким образом,чтобы вектор ),бнл бц вектором нормали к двумерной плоскости монжева отображения при соответствующем у . Вектор "ё, направляется по образующей локального itoiiyca Мошка, а е,. {(мест место деривационные формулы и уравнения структуры

- а -

Гаусса-Кодащда. Замечается, что с базис форм , помимо &?1; нужно включить либо ^¿..апоо ^.шоор каждой га них имеет свои неудобства Теорема 2.1 ц Теорема 2,2 исследует понижение до трёх ¡1 до двух класса дар;/, "'и г-3"' .

В $3 исследуятси замкнутце диздеренкаальнш формы. Вследствие аналогичности, геометрической харагаеркстики рассматривается только Форш бо^ло^ и^л^ло . Первую £орьу моааю интегрировать вдоль поверхностей (. при задашш у - г"(хО) или вдоль линий (при свободном ^ ). Соотьетствукда! интеграл определяет илоездь сферического иообро:&зк:ш ино.ткства векторов ё3 . Вгорум ¿ерму модно интегрировать по обойму, задав у -Г(-/а) .В этом случае вое Форш становятся форшш только ст трех ¡¡ергыешнк кг.. Отсюда получаем равенство К»<31у I ,гдэ К - гауссова кривизна векторного нолл

Д ~ лрнсэеденёаиый вектор и доживается теорема 3.1 о том, .что для жбего векторного поля п-ёл поток паяя присоединении): векторов I через гранвду области равен интегралу от гауссовой кривизны поля п ко данной сбдасти (пли интегральной гауссовой кривизне).

Связности к параллельному переаесешю на мэюкзвом многообразии посвяцен $ 4. Вводится понятие параллельного перенесения в коэффициентах подекяного репера при помощи связности .определённой в 1. В силу кссоетайтричлости матрица связности выполняется все обычныз свойства параллельного перенесения.

Теорема 4.1 Угол поворота вектора, параллельно переносимого вдоль крат йпогообразия равен плос&дн сферического изображения поля нормалей ёз к иопжеву многообразию вдоль 21.

Если паралзльно переносимый вектор единичный , то есть у=созлё, + о, ,то уравнение параллельного перенесения сводится к одному

+ =0 (3)

И в заключение данного параграфа решены две задачи

I.ИаЯдэн закон параллельного перенесения .который совпадает с (3) для'допустимых кривых, при условии, что существуют отображения,для которых параллельное перенесение не вав.нсит от пути,

II. Найден закон параллель;:; го перенесения , который совпадает с

13) длл интегральных кривия, при условии, что суигствуки моняввм стобраганля с независящим от пути параллельным перенесением.Дска-зиваегся, что для задачи I закон параллельного перенесения -единственный.

В $5 рассматривается ваиша частный случаи моидавьи ююгсоСразиЯ, у которых лзкгльпио конусы но произвольного, а второго порядка и Солее того кругогш. С теорией такого рода моихгшх многообразий мелю тесно связап теорию пфоффогнх многообразия. Так как еехт локальный конус К - пряной 'фуговой,то ноле плоскостей, ортогональное? векторному поли т осей конусов, определяет пфаффово многообразно, заданное в той г© области, что и кенжево. Вводя яодшпяшй репер [ии} П(фафс|йГ5а многообразия, ми о псисщью сферических координат Л ;; у , где^ЛСхО - Функция угла полураствора конуса,у- свободный пара-|.мтр,:'0-лч? выразить векторы из подвитого репера мопяева многообразия через нодвкжгсй репер гЛхи^фо-ва многообразия ¡; сферические координаты Тогда и инвариант кон.тава многообразия круго-

вых конусов определяются через инвариант пфаффова гшогоооразья, скалярную функцию «г и параметр^. Вычислены гее коэффициента

связности ыонхе-ва многообразия крутегих конусов.

Теорема 5.1 Если прямолинейные образующие иоитева многообразия кругозих конусов образуют линейчагчй комплекс ,то поле осей конусов есть поле нормалей наголонемной сферы.

Теорема 5.2 Если прямолинейные образующие локальных конусов мокмэва многообразия круговых конусов образуют специальный коми-лею, то поле осей конусов есть поле нормалей семейства концентрических сфер.

В рассматривается множество интегральных кривых монжова многообразия. о понопьго формул, полученных Д. Я Синцовым и М. Л. Никола-екко, выводятся уравнения замечательных классов интегральных кривых уже в коэффициентах педтгаюго репера, так гак в неподвижном базисе работать с этими уравнениям! довольно затруднительно. Можно заметить, что из полученных уравнений для геодезических "прямейших", характеристических линий и геодезических "кратчайших" сразу следует теорема, доказанная № А. Николаенко,о совпадении геодезических линяй с характеристиками ка монжевом многообразии.

в$б также выведены формулы для вычисления коэффициентов связности в неподвижном базисе.

Теорема 6.1. Швыроадеииссть мопяева многообразия, задаваемого мошипым уравненном х^,с1.ч;.)-0 .эквивалентна невиро?аешгоотп линейного оператора с матрицей ( ^ )

* 9x^3}:]' , сЬ , г.-длина дуги интегральной кривой .

В §7 существенно использованы рузультати п /б. В данном параграфе речь идет о моикевих многообразиях, у которых каждая интегральная кривая обладает свойством ешь геодезической "кратчайшей" данного шзгообршия. С. Ли нрав&г пример шижега уравнения (с1з1-йЬ(х,у.^)1'-0 , где сЮг«с1х1ч-с1уг+<Згг-; Ь-Мх,у.г!" - произвольная функция ),в системе интегральных кривых которого катдая интегральная является геодезической "кратчайшей".

Теорема 7.1 Если у кесиро-дешюго монхева многообразия наддач интегральная кривая является геодезической "кратчай®»';". то локальные конусы огого шюгообразия являются кругосьггл, а поле осей конусов есть поле нормалей некоторого семейства произвольных поверхностей.

То есть по теореме 7.1 ассоциированное пфжЭДгаво многообразие является годоноынцм. Таким образом, если в теории а$аФ*овых кногооб-разий совпадение геодезических "прямейют" с геодезическими "кратчайшими" влечёт ннтегрируеюеть уравнения Пфаффа, тс в теории мон-жевых многообразий совпадение "прямейиих" и "кратчайших" педёт к интегрируемости ассоциированного ийаффзва многообразия, помимо того, что все локальныэ конусы являются круговыми. Поэтому данное свойство монжевих многообразий можно считать характеристическим.

В $8 окончательно решена задача С. Ли, о которой идет речь в ¿7, то есть задача об исследовании геометрического строения мойтева многообразия у которого каждая интегральная кривая является геодезической "кратчайшей" к гадача об единственности примера такого рода шгагообрааия, который ¿ил приведен С. Ли.

Теорема 8,2 Ыонжево многообразие круговых конусов, построенное вдоль некоторого семейства поверхностей, гадаётея уравнением Мопга

вида; А^-й&Цгца х:'<-произвольная функция, а ,

Следствием данной теоремы является доказательство того факта,что ионжгьо многообразие с неонрсдеяёкнши геодезическими "кратчайшини" всюду псвирсэдено. Уравнение семейства поверхностей Г( х*г) -со)«! и функций ¡чх;), л(хи связывает медцу собой дифференциальное уравнение вида , г

М !<&><*

откуда следует, что функция нолураствора конуса Л'-^не произвольна,

В $9 рассматривается,так называемые, допустимые нффафовы многообразия {по В. К Вагнеру) или однопараметрическсе семейство плоскостей в каждой точке области задания монлвва многообразия, которые касаются локального конуса Мон.ка. Таким образом речь ид-эт об однопара-метрическом семействе пфаффовых многообразий, которое полностью определяется заданным монкевш многообразием. Такое семейство пфаф-<|обьпс многообразий изучается в случае моикзва многообразия круговых конусов. Вычислены основные инварианты семейства пфаффовых многообразий. Интегрирование моижева уравнения эквивалентна нахождению семейств поверхностей, которые в каздой точке касается локального конуса Цонжа, то есть эквивалентно голономкости семейства допустимых пфаффовых многообразий. Лолученч геометрические признаки интегрируемости монк'ва уравнения у которого локальные конусы круговые.

Теорема 9.1 Если семейство допустимых' пфаффовых многообразий для манте ва многообразия круговых конусов интегрируемо Сголономно), то ассоциированное пфаффово многообразие является негааояомной сферой.

Теорема 9.1 становится критерием интегрируемости, если на функцию полураствора конуса будут наложены некоторые дополнительные условия.

В ^ 10 и ,$11 основные результаты ,р7 и распространяются на случай четырёхмерного евклидова пространства .эти результаты имеют и самостоятельное значение. Выделяются кошевы многообразия конусов, то есть монжзвы многообразия, у которых при' сечении локального конуса гиперплоскостью, ортогональной оси конуса, получается двумерная сфера йикслены все коэффициенты связности в терминах ассоциированного пфаффова многообразия в Е^. Ясследова-

ние неопределенности геодезических "кратчайших" в кажется необходимый еце и потому, что случай Е3 во многих ситуациях является Быровденнш, а размерность 4 является интересной во многих физических приложениях.

В ^'12 исследуется геометрическое строение тн.тевых многообразий в многомерном евклидовом пространстве Е„ . Изучаются многообразия у которых каздая интегральная кризая является геодезической "кратчаЛ-щей".

Вводится подвидной репер монжева многообразия в Ел . При помощи п-мерных сферических координат {<*,у¡, ■■-■, У »-О,где -¿-»¿(хЦ, определяются мошвш многообразия к»*.* -конусов, то есть многообразия, у которых при сечении локального конуса гиперплоскостью, ортогональной оси конуса, получается (п-2)-мерная с$ера В этом случае подвижной репер монмгва многообразия и его инварианты однозначно определяются через подвижной репер ассоциированного (п-1)-меркого пфаффова многообразия, его коэффициенты и п-мерные сферические координаты в Е „ . Найдены условия на коэффициенты связности Г, которым долмш удовлетворять монжевы многообразия, чтобы они были монжгвыш многообразиями 5иа -конусов.

Теорст 12.2 Если у моняе-ва многообразия в Еп каздая интегральная кривая является геодезической "кратчайшей", то локальные конусы являются вы -конусами, а поле осей юнусов ость поле нормалей некоторого сешйства гиперповерхностей в Б».

В процессе доказательства этой теоремы.выведена система уравнений, определяйся множество геодезических "кратчайших" для монжгвых многообразий П Еп .произвольной однородности.

Теорема 12.3 Нонкою кногообразие, отвечающее условиям теореш

12.2,н задаётся шшювкы уравнением вида с)з,--с11т'-0 в Еп ,

. ,Хл) - произвольная функция.

Теореш 12,4 !.£>1ы.эвс многообразие, отвечающее условиям теореш

12.3, всюду невыродлено в Ег, .

III Заключение.

В диссертации получены и выносятся на зашггу следующие основ-

- 13 -

те результаты: /

1. Предложи ноенй подход к изучения моияевш многообразий посрэд-стшм ассоциирована« пЯаМовкх многообразий, который моя&т бить перенесён на случай монжевш многообразий произвольной однородности,

2. Полностью исследовано геометрическое строение шгазэвшЕ многообразии в у которых яе определены геодезические кратчайгле. Доказано, что уравнение, приведённое С. Ли и распространённое на олучай евклидовых пространств произвольной размерности единственное, которое определяет такого рода моилево многообразие.

3. Выведено необходимое геометрическое условие для интегрируемости монигвих уравнений, у которых локаткий конус - круговой. Данное условие молкт быть обобщено на случай произвольных ьшжевых уравнений степени однородности 2.

В заключение выражаю штреннюю благодарность своему научному руководителю - доценту ТГУ Слухаеву Вадиму Васильевичу за постановку задач и руководство работой.

Ш теш диссертации опубликованы следуйте работ» ;

1. Каланчук Р. И. .Слухаев Е В. Геометрия иоляевьос отображений в евклидовом пространстве. -Геоиетр. сб., .Точек, 1(388, вш. 28.-с. 62-69

2. Каланчук Р. Я О четырЗхпараметрическом многообразии круговых конусов.- Всесоюзная школа "Оптимальное управление,гесметряя л анализ". Тезисы докладов: Кемерово,1986

3. Каланчук Р, И. К геометрии многообразия Шпжа некоторого частного вида - Всессюная школа "Оптимальное управление .геометрия и анализ". Тезисы докладов: Кемерово,.19В8

4. Каланчук Р. И. О неопределённости геодевических кратчайших на многообразии Мояяа - Геометр, сб..Томок, 1989,вып.30-С126-141

5. Каланчук Р. И, О строении многообразия при неопределённости его геодезических кратчайших. - ДАН ссср;ы ,1989,т. 305, N5-0.1035-1041,

6. Каланчук Р. И. О геометрии многообразия Моюш в Ец .-Деп. ВИНИТИ 13 ноября 1989,М. ,1969, N6752-639,-18' с.

7. Каланчук Р. И. О задаче С. Ли для монжевих шюгообразий в . -Всесоюзное совещание молодых учбкых по дифференциальной геоизтрик, посвященное 80-летию Н. В. Ефиыоза. Тезиса докладов: Ростов-ка-Дэну,

1990.

8. Калакчук Р. 11 Нелинейные иеголопомные многообразия Б-конусов в многомерном евклидовом пространстве Е„ .-III Всесоюзная икола "Оптимальное управление. Геометрия и анализ." Тезисы докладов: Кемерово, 1900.

9. Каланчук Р. И. О невырожденности многообразия интегральных кривых дифференциального уравнения в Е3. -V школа молодых математиков Сибири и Дального Востока. Теаисы докладов: Новосибирск. 1930

10. Кадгшчук Р. И. Геометрия исняйенх многообразий. -Всесоюзная геометрическая конференция Л'егисы докладов: Кишинев,1088

11. Каланчу« V. й. Моажвц многообразия з многомерных евклидовых пространствах ЕИ . -Дэн. ВИНИТИ 10 ИМЯ 1990,11,1£90,N5843-КТО. -28 с.