Клиффордовы группы движений на обобщенных римановых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ЗАХАРОВА ОЛЬГА АЛЕКСАНДРОВНА

КЛИФФОРДОВЫ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ НА ОБОБЩЕННЫХ РИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Специальность 01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва-2003

Работа выполнена в Московском педагогическом государственном университете на кафедре геометрии математического факультета.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент БУРЛАКОВ Михаил Петрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ЕВТУШИК Леонид Евгеньевич кандидат физико-математических наук, доцент ПАНЬЖЕНСКИЙ Владимир Иванович

Ведущая организация — Казанский государственный университет.

Защита состоится " 2003г. в ча-

сов на заседании диссертационного совета К 212.154.03 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, Москва, Краснопрудная ул., д.14, ауд. 301, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1.

Автореферат разослан" ^ " иЛ&^ЬХ 2003 года.

Ученый секретарь у" -ч л

диссертационного совета КАРАСЕВ Г.А.

172 Я? ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

/ Актуальность темы. Множество физических объектов, будучи совершенно различными по своей природе, зачастую описывается одними и теми же математическими структурами. Так, например, напряженность магнитного Н и электрического Е полей, имея одинаковую векторную структуру и образуя единое электромагнитное поле, все же принадлежат различным векторным пространствам. Еще одним примером таких объектов может служить пространство скоростей и пространство ускорений, которые зачастую (как в случае классической механике в трехмерном евклидовом пространстве) не различимы между собой.

Проблему математического различения объектов, имеющих с одной

стороны одинаковую векторную или тензорную природу, а с другой

стороны существенно различных так, что о линейных операциях над ними

можно говорить только в формальном смысле, можно разрешить вводя

дополнительную алгебраическую структуру. Введение алгебраической

структуры в линейное пространство приводит к понятию пространства над

алгебрами. Пространства над алгебрами являются предметом

интенсивного изучения многими математическими школами, как

отечественными так и зарубежными. В частности, существенные успехи в

этом направлении были достигнуты Казанской геометрической школой

(А.П. Норден, В.В. Вишневский, А.П. Широков, В.В. Шурышн и др.) При

этом «-мерное линейное пространство над т-мерной алгеброй в работах

Казанской и многих других школ реализуется в и • т -мерном линейном

пространстве с т инвариантными операторами. При таком подходе

объекты отнесенные к различным базисным элементам т-мерной алгебры

лежат, вообще говоря, в различных подпространствах п ■ т -мерного

линейного пространства. Это обстоятельство является основным

препятствием при использовании линейных алгебр для различения

объектов, имеющих однородную природу. Это прКвоСхй^ШЙ^^снять

бИБЛИОТьлЛ СП«тер61ИИГ 09

введя понятие многолистного пространства, листы которого идентичны между собой.

Многолистные пространства, как геометрический объект, сами по себе, безусловно, не требуют привлечения каких - либо алгебраических структур для своего определения. Интуитивно, многолистную плоскость можно мыслить как стопку бумаги. Более строго многолистное пространство размерности п можно определить как прямую сумму т линейных п - мерных пространств с указанием правила соответствия точек (или векторов), лежащих на различных листах. Причем геометрии листов согласованы настолько, что появляется возможность изображения объектов с различных листов объектами одного п - мерного пространства, различая их лишь метками принадлежности к тому или иному слагаемому прямой суммы. При этом «расстояние» между различными листами не определено, так что можно считать его нулевым.

Если в качестве метки принадлежности выбирать различные цвета, то многолистное евклидово пространство можно представлять «обычным» евклидовым пространством, все объекты которого окрашены в т различных цветов. В этом случае можно говорить от — цветном п -мерном евклидовом пространстве как о наглядной модели построенного выше т - листного п - мерного евклидова пространства. Подобная модель аналогична той, которая используется в теории неабелевых калибровочных полей, где многоцветные поля отвечают за кварк - глюонные взаимодействия. В другом случае, в качестве меток можно выбрать «индексы порядка» и говорить о «евклидовом» пространстве, элементами которого являются упорядоченные наборы элементов одного и того же л -мерного пространства. Разумеется, все эти модели структурно эквивалентны, и их общими структурными свойствами является линейная независимость линейных объектов, помеченных различными метками (номерами лис1&в). .

.с,«*

, 1 -■с • ~ _ _

Наиболее простой способ «координации» многолистных пространств связан с групповыми алгебрами, Ассоциируя каждый из элементов конечной группы 2 мощности т с соответствующим и-мсрным линейным пространством, мы наделяем геометрическую конструкцию многолистного пространства структурой п - мерного модуля над

соответствующей групповой алгеброй R[£]. Таким образом,

i

многолистные пространства Q"m можно рассматривать как п - мерные линейные пространства над групповой алгеброй. При этом линейные преобразования с коэффициентами из групповой алгебры определяют моноид Ln(Z) преобразований этого многолистного пространства. Такова общая схема координации многолистных пространств, которые, безусловно, не зависят от данной процедуры координации, то есть от группы Е и групповой алгебры R[Z], и представляют собой самостоятельный геометрический объект. Вместе с этим, алгебра R[Z] задает на Q"m дополнительные структуры и выделяет некоторые подгруппы группы ¿„(2), относительно которых эти структуры инвариантны, порождая возможность исследования геометрии многолистных пространств с дополнительной структурой.

Таким образом, представленные в настоящей работе конструкции многолистных пространств, в силу их геометрического и алгебраического строения, относятся, вообще говоря, к пространствам над алгебрами, представляя в определенном смысле альтернативу классического их толкования. С другой стороны, формальный аппарат теории многолистных пространств с алгебраической структурой в значительной степени аналогичен тому классическому аппарату, который был развит в работах А.П. Котельникова [5], [6], П.А. Широкова [16], [17], Э. Келера [18], П.К. Рашевский [14], а позднее, в 50 - 60-х гг. в исследованиях А.П. Норденом [10], [11], [12], Г.И. Кручковича [7], [8], С.Л. Певзнера [13], Б.А.

Розенфельда [15]. Из зарубежных монографий, теория пространств над алгебрами посвящены работы Кулиджа [19], Э. Картана [20], Яно [21] и А. Вейля [2].

Из сказанного выше усматривается существенная роль выбора алгебраической структуры, адекватно отражающей геометрию, реализованную на листах многолистного пространства, и адекватной к конструкции соединения листов в одном пространстве. Такой выбор фактически представляет собой задачу алгебраической координации (выбора алгебраических координат) многолистного пространства, тем самым, превращая его в некоторое пространство над алгеброй. При этом выбор алгебры должен преследовать еще одну существенную цель - при помощи умножения на элемент выбранной алгебры необходимо представлять движение исследуемого пространства, то есть представлять такие преобразования в многолистном пространстве, которые сохраняют инварианты, определяющие в нем некоторую геометрию.

Классическим примером выбора алгебр, адекватных к геометрической природе евклидовых и псевдоевклидовых пространств, являются алгебры Клиффорда. Эти алгебры доставляют удобный аппарат для представления движений (евклидовых и псевдоевклидовых поворотов) в многомерных пространствах.

Исторически первым нетривиальным примером алгебры Клиффорда являются алгебры кватернионов, рассмотренные еще У. Гамильтоном в 1843 г. [15]. Определения кватернионов или гиперкомплексных чисел Дж. У. Гиббсом и О. Хевисайдом были положены в основу построенного ими векторного исчисления, интенсивно используемого в дальнейшем в математической физике. Алгебры Клиффорда малых размерностей -кватернионы, антикватернионы, бикватернионы, а также коммутативные алгебры двойных и дуальных чисел сыграли важную роль в изучении неевклидовой геометрии и теории непрерывных групп. Приложение этих

алгебр в геометрии берет начало еще в работах Г. Грассмана и У. Клиффорда, а дальнейшее развитие алгебраических методов относится к работам Д.Н. Зейлингера, В.В. Широкова и др [3], [4]. В общем случае, алгебры Клиффорда были использованы Р, Брауэром, Г. Вейлем и Э. Картаном для представлений групп движений. Обширный обзор различных приложений алгебр Клиффорда к изучению евклидовых и неевклидовых пространств был дан в работе Б.А. Розенфельда [15]. С конца 70-х - начала 80-х годов в работах Ф.Бракса, Р.Деланжа, Ф.Соммена и ряда др. авторов была построена аналитическая часть теории алгебр Клиффорда, то есть анализ над алгебрами Клиффорда, в определенной степени напоминающий многомерный комплексный анализ. В свою очередь, развитие клиффордового анализа позволило перенести классические результаты исследования алгебр Клиффорда в изучение евклидовых и псевдоевклидовых пространств на гладкие многообразия с римановой и псевдоримановой метрикой. Клиффордовы структуры на гладких многообразиях интенсивно изучались в 80 - 90 гг. и нашли многочисленные приложения в математический и теоретической физике.

Следует отметить, что классические клиффордовы структуры адаптированы к «двулистным» пространствам, что характерно для евклидовой структуры, определяемой фундаментальной квадратичной формой. В локальном варианте эта двулистность воспроизводится в классических пространствах в точках римановых и псевдоримановых многообразий.

Для изучения многолистных (т-листных) пространств с фундаментальными формами (формами выше степени 2) требуется модификация классических алгебр Клиффорда [1] с тем, чтобы т-степень вектора давала однородную скалярную форму от его координат, степень которой равна т.

Цель диссертационной работы состояла в изучении

дифференциальной геометрии многолистных пространств.

Основными задачами диссертационного исследования являлись:

1. Построение конструкции многолистных многообразий как пространства над алгебрами специального класса.

2. Изучение калибровочных групп алгебраических преобразований в соответствующих касательных пространствах.

3. Исследование инвариантных продолжений дифференциальных операторов, ковариантных относительно калибровочной группы, а также исследование дифференциальных инвариантов этих операторов.

Новизна результатов. Основные результаты, полученные в процессе диссертационного исследования, являются новыми. Отметим некоторые из них:

1. Описана конструкция многолистного многообразия как пространства расслоения с дискретным слоем.

2. Установлена связь между многолистной структурой касательных пространств над многолистными многообразиями и их алгебраической структурой, определенной посредством обобщенных алгебр Клиффорда.

3. Введено понятие алгебраических преобразований многолистных пространств и изучены калибровочные группы таких преобразований для многолистных касательных расслоений. Эти группы реализованы как подгруппы регулярной группы обратимых элементов соответствующей алгебры сечений расслоения.

4. Определен аналог ковариантного дифференцирования в многолистных пространствах, являющийся инвариантным продолжением ковариантного дифференцирования в римановых пространствах и пространствах аффинной связности, а также установлена его инвариантность относительно действия алгебраических преобразований пространства.

5. Изучен дифференциальный инвариант этого оператора,

представляющий собой аналог кривизны риманова пространства.

Методы исследования. Результаты работы получены систематическим использованием методов исследования пространств над алгебрами и методов тензорного анализа.

Теоретическое и прикладное значение. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при изучении дифференциальной геометрии многообразий с дополнительными алгебраическими структурами, при изучении калибровочных полей для неабелевых групп, в частности, в квантовой хромодинамике и теориях объединяющих гравитационных, слабых и сильных взаимодействий. Также при чтении специальных курсов в высших учебных заведениях.

Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на заседании Научного семинара кафедры геометрии Московского педагогического государственного университета (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор В.Ф. Кириченко); на X Международной конференции «Математика. Экономика. Образование» (2002г., Ростов-на-Дону); на I Международной конференции «Движения в обобщенных пространствах (2002г., Пенза).

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 10 публикациях. Их список приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, включающих 8 параграфов, и списка литературы, содержащего 53 работы отечественных и зарубежных авторов. Работа выполнена на 110 листах машинописного текста.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении обосновывается актуальность темы, освещается предыстория вопроса, формулируются цели и задачи диссертационного

исследования, дается краткое содержание работы.

В первой главе введено понятие ' многолистного пространства, служащего моделями многих физических процессов и явлений, а также определена алгебраическая структура изучаемых пространств.

В §1 описана конструкция многолистного пространства 0"т и соответствующая ему метрическая структура О. Вместе с этим, посредством определения внешней алгебры построено билинейное продолжение метрической функции, то есть определено скалярное произведение для поливекторов над многолистным пространством.

В §2 конструкция многолистного пространства дополняется некоторой специальной алгебраической структурой, определенной посредством обобщенных групповых алгебр. Рассмотрен ряд примеров обобщенных групповых алгебр, «вскрывающих» групповую структуру многих классических алгебр (алгебры комплексных и двойных чисел, алгебры кватернионов -я дншстатершиитов, тиггебры октав Кэли и др.). Вместе с этим приведены примеры многолистных пространств, наделенных подобными алгебраическими структурами, позволившими описать разнообразные подстановки листов многолистного пространства.

В §3 введено понятие движения на многолистном пространстве и рассмотрены алгебры, служащие естественным аппаратом описания движений. На примере алгебр Клиффорда представлено' обобщение спинорных представлений групп движений многолистных пространства.

Доказаны

Теорема. Для любого вектора х = х1е1 + х2е7 + ... + хпеп вЕп с. Срч справедливо равенство:

х2 = (х^е, +х2е2 +... + х„ег)7 = х2 + ... + л:2 -х2„*1 -...-хгр

Теорема. Для произвольного вектора хе£ с В" справедливо тождество: хт = х,т + х" +... + х".

Теорема. Для произвольного элемента Х = хкек элементальной алгебры В"п (х* е В"'(£к,т)) форма ш - й степени С„(Х) есть сумма детерминантов его циклических коэффициентов х*, то есть

(X) = А(х') + Д(х2) + ... + Д(х"). Основной теоремой параграфа является следующая

Теорема. Преобразования базисных элементов {е} (1 = 1,..., и)

модуля Е"(В") вида: е, = где 4 = Ехр(и) сохраняет структуру

элементальной алгебры В"а и фундаментальную форму (?я (X).

Вторая глава посвящена определению и изучению многолистного многообразия и определенных для него калибровочных групп движений.

В §4 конструкция многолистного пространства локально перенесена на гладкие многообразия. Для определения такой структуры введено понятие т - листного п - мерного многообразия М"т, являющегося своего рода специализацией широко известной структуры расслоения с дискретным слоем.

Рассмотрен ряд примеров, иллюстрирующих приведенную конструкцию многолистного многообразия.

В §5 введено понятие касательного многолистного расслоения АТМ"т, которое оснащено специальной алгебраической структурой, позволяющей изучать вопросы движения описываемых пространств.

В заключении параграфа приведен пример многолистного касательного расслоения над трехлистной сферой.

§6 посвящен определению алгебраических преобразований касательных пространств и соответствующих калибровочных групп движений С. Вместе с этим, значительную часть содержания настоящего параграфа составляет изучение инвариантных продолжений дифференциальных операторов относительно этих калибровочных групп,

представляющих собой аналог ковариантного дифференцирования в римановых пространствах.

Доказана

Теорема. Множество преобразований вида Ф\ = £ ■ Ф, • - • образуют группу Соп( (8), гомоморфную группе О.

Основными теоремами параграфа являются следующие

Теорема. Алгебраическое ковариантное дифференцирование V, ассоциированное с дифференцированием 3, алгебры АМ"п, определенное формулой: V Х = ЗХ + Ф, Х-ХФ,1, инвариантно относительно действия

калибровочной группы в.

Теорема. Алгебраические ковариантные дифференцирования Ук и V,, определенные равенствами: УЛХ = 9Х + ФЯХ и У1Х = ЗХ-ХФЛ, инвариантны относительно действия калибровочной группы в.

Введенные понятия связности и алгебраического ковариантного дифференцирования для многолистных касательных расслоений позволили в третьей главе определить количественную характеристику изменения алгеброзначных векторных полей при параллельном переносе, тем самым определить аналог кривизны многолистных пространств.

В §7 доказана

Теорема. Действие оператора кривизны К[7 ковариантного дифференцирования V на произвольный вектор X е АМ"т определено равенством: £12Х = КпХ-ХКп.

Теорема. Действия операторов кривизны Кпи и алгебраических ковариантных дифференцирований V,, и Уд соответственно на произвольный вектор X е АМ"п определены равенствами: КпХ = Кп • X и КпХ ~Х-Кп.

Вместе с этим, в параграфе вычислены кривизны двулистного трехмерного многообразия М\, алгебраическая структура которого определена алгеброй Клиффорда С3, и многообразия М] с элементальной структурной алгеброй В\.

В §8 рассмотрено применение разработанной в предыдущих параграфах техники на примере трехлистного двумерного многообразия. Определена многолистная геометрическая и алгебраическая структура данного объекта. Изучены алгебраические преобразования многообразия, построена соответствующая калибровочная группа движений. Также определено алгебраическое продолжение оператора дифференцирования, объекты связности и алгебраическое ковариантное дифференцирование. Вычислены кривизны трехлистной поверхности и установлены их свойства.

Автор выражает глубокую признательность кандидату физико-математических наук, доценту М.П. Бурлакову за внимание и помощь, оказанную при работе над диссертацией.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бурлаков М.П. Обобщенные внешние алгебры и их приложения // Известия вузов. Математика. - 1999. - № 9 (448). - С.73 - 77.

2. Вейль Андре. Введение в теорию кэлеровых многообразий. М.: Наука, 1961.

3. Вишневский В.В., Широков А.П., Розенфельд Б.А. О развитии геометрии пространств над алгебрами // Известия вузов. Математика. -1984. - № 7. -С.38 - 44.

4. Вишневский В.В., Широков А.П., Шурыгин В.В. Пространства над алгебрами. - Казань: Изд.-во Казанского ун-та, 1985.

5. Котельников А.П. Винтовое счисление и некоторые приложения его геометрии и механике. - Казань: Изд.-во Казанского ун-та, 1895.

6. Котельников А.П. Проективная теория векторов. - Казань: Изд.-во Казанского ун-та, 1899.

7. Кручкович Г.И. Н - эрмитовы пространства. // Известия вузов. Математика. - 1971. - № 4. - С.42 - 49.

8. Кручкович Г.И. Гиперкомплексные структуры на многообразиях. // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. Вып. 16. -М.: Изд-во МГУ, 1972.-С. 174-201.

9. Лобачевкий Н.И. О началах геометрии. Сочинения по геометрии. Т. 1. -М.: Наука, 1946.

Ю.Норден А.П. Внутренняя геометрия поверхностей пространства биаксиальной группы. - М.: ДАН СССР, 1947. -С. 199-202.

11 .Норден А.П. Теория поверхностей. М.: Наука, 1956.

12.Норден А.П. Конгруэнтные и дуальные числа. // Тр. семинара кафедры геометрии. Вып.З. - Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1968. - С.82 - 98.

13.Певзнер C.JI. О строении пространств над алгебрами. // Известия вузов. Математика. - 1977. - № 6. - С. 107 - 111.

14.Рашевский П.К. Скалярное поле в расслоенном пространстве. // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. Вып. 6. - М.: Изд-во МГУ, 1948,- С.225- 248.

15.Розенфельд Б.А. Неевклидовы пространства. М.: ГИТТЛ, 1969.

16.Широков П.А. Постоянные поля векторов и тензоров 2-го порядка в римановых пространствах // Изв. Казан, физ.-мат. об.-ва. - 1925. -Сер.2, т.25. - С.48-55.

17.Широков П.А. Об одном типе симметрических пространств. // Математ.сб., 1957. - Т.41, №3.-С.361 -372.

18.Kähler Е. Uber eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik. Abhandl. Math. Seminar Univ. Hamburg, Br. 9, 1933, 173 - 186.

19.Coolidge I.L. The geometry of the complex domain. Oxford, 1924.

20.Cartan E. Leçons sur la geometrie projective complexe. Paris, 1931. ■

21.Yano K. Differential geometry on complex and almost complex spaces. N.J., 1965.

Публикации автора по теме диссертации:

22.Бурлаков М.П., Захарова O.A. Группы алгебраических преобразований. Научные труды математического факультета МПГУ: Юбилейный сборник 100 лет. М.: Прометей. 2000. - С. 153 - 156. (0.3 печ.л., соискателем выполнено 70% работы)

23.Бурлаков М.П., Захарова O.A. Циклические алгебры. Моск. пед. гос. ун-т. - М„ 2001. - Деп. в ВИНИТИ 05.05.2001, № 1407-В2001. - 12 с. (0.8 печ.л., соискателем выполнено 80% работы)

24.Бурлаков М.П., Захарова O.A. Расслоение комбинаторных алгебр. Моск. пед. гос.ун-т. - М„ 2002. - Деп. в ВИНИТИ 05.03.2002 № 422-В2002. -9 с. (0.6 печ.л., соискателем выполнено 80% работы)

25.Бурлаков М.П., Захарова O.A. Связность в расслоении комбинаторных алгебр. 11 X Международная конференция «Математика. Экономика. Образование». И международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения». Тезисы докладов. Ростов н/Д, 2002. - С. 119 - 120. (0.1 печ.л., соискателем выполнено 70% работы)

26.3ахарова O.A. Бивекторная связность. Моск. пед. гос.ун-т. - М., 2002. -Деп. в ВИНИТИ 08.07.2002, № 1249-В2002. - 14 с. (0.9 печ.л.)

27.3ахарова O.A. Связность в расслоении элементальных алгебр. // Движения в обобщенных пространствах: Межвузовский сборник научных трудов. ПГПУ им. В.Г. Белинского. - Пенза, 2002. - С. 86 - 94. (0.6 печ.л.)

28.Бурлаков М.П., Захарова O.A. Многолистные пространства и алгебраические структуры. Моск. пед. гос.ун-т. - М., 2003. - Деп. в ВИНИТИ 24.03.2003, № 522-В2003. - 16 с. (1 печ.л., соискателем выполнено 80% работы)

29.Захарова O.A. Комбинаторные алгебры. Моск. пед. гос.ун-т. - М., 2003. - Деп. в ВИНИТИ 24.03.2003, № 521-В2003. - 17 с. (1.1 печ.л.)

ЗО.Захарова O.A. Многолистные касательные расслоения. Моск. пед. гос.ун-т. - М„ 2003. - Деп. в ВИНИТИ 24.03.2003, № 520-В2003. - 8 с. (0.5 печ.л.)

31.Захарова O.A. Многолистное пространство и его алгебраическая структура. Актуальные проблемы математики, физики, информатики и методики их преподавания: Юбилейный сборник 130 лет. М.: Прометей. 2003. - С. 65 - 66. (0.1 печ.л.)

51

Подп. к печ. 20.10.2003 Объем 0,75 пл. Заказ № 422 Тир. 100

Типография Mill У

Р 17 2 8 Ô

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ.

§ 1. Многолистные пространства.

§ 2. Реализация многолистных пространств над алгебрами.

§ 3. Группы движений на многолистных пространствах.

ГЛАВА 2. РАССЛОЕНИЯ С ДИСКРЕТНЫМИ СЛОЯМИ.

§ 4. Многолистные многообразия как расслоения с дискретными слоями.

§ 5. Касательные расслоения над многолистными многообразиями.

§ 6. Калибровочные группы движений на многолистных многообразиях и инвариантные операторы.

ГЛАВА 3. КРИВИЗНА.

§ 7. Поля кривизны на многолистных многообразиях.

§ 8. Геометрия трехлистной поверхности.

Множества физических объектов, будучи совершенно различными по своей природе, зачастую описывается одними и теми же математическими структурами. Так, например, напряженность магнитного Н и электрического Е полей, имея одинаковую векторную структуру и образуя единое электромагнитное поле, все же принадлежат различным векторным пространствам. Еще одним примером таких объектов могут служить пространство скоростей и пространство ускорений, зачастую (как в случае классической механики в трехмерном евклидовом пространстве) неразличимые между собой.

Проблему математического различения объектов, имеющих с одной стороны одинаковую векторную или тензорную природу, а с другой стороны существенно различных так, что о линейных операциях над ними можно говорить только в формальном смысле, можно разрешить, вводя дополнительную алгебраическую структуру. Введение алгебраической структуры в линейное пространство приводит к понятию пространства над алгебрами. Пространства над алгебрами являются предметом интенсивного изучения многими математическими школами, как отечественными так и зарубежными. В частности, существенные успехи в этом направлении были достигнуты Казанской геометрической школой (А.П. Норден, В.В. Вишневский, А.П. Широков, В.В. Шурыгин и др.) При этом «-мерное линейное пространство над w-мерной алгеброй в работах Казанской и многих других школ реализуется в п-т-мерном линейном пространстве с т инвариантными операторами. При таком подходе объекты, отнесенные к различным базисным элементам w-мерной алгебры, лежат, вообще говоря, в различных подпространствах п- т -мерного линейного пространства. Это обстоятельство является основным препятствием при использовании линейных алгебр для различения объектов, имеющих однородную природу. Это препятствие можно снять, введя понятие многолистного пространства, листы которого идентичны между собой.

Многолистные пространства, как геометрический объект, сами по себе, безусловно, не требуют привлечения каких-либо алгебраических структур для своего определения. Интуитивно многолистную плоскость можно мыслить как стопку бумаги. Более строго многолистное пространство размерности « можно определить как прямую сумму т линейных «-мерных пространств с указанием правила соответствия точек (или векторов), лежащих на различных листах. Причем геометрии листов согласованы настолько, что появляется возможность изображения объектов с различных листов объектами одного «-мерного пространства, различая их лишь метками принадлежности к тому или иному слагаемому прямой суммы. При этом «расстояние» между различными листами не определено, так что можно считать его нулевым.

Если в качестве метки принадлежности выбирать различные цвета, то многолистное евклидово пространство можно представлять «обычным» евклидовым пространством, все объекты которого окрашены в т различных цветов. В этом случае можно говорить о /«-цветном «-мерном евклидовом пространстве как о наглядной модели построенного выше w-листного «-мерного евклидова пространства. Подобная модель аналогична той, которая используется в теории неабелевых калибровочных полей, где многоцветные поля отвечают за кварк-глюонные взаимодействия. В другом случае в качестве меток можно выбрать «индексы порядка» и говорить об «евклидовом» пространстве, элементами которого являются упорядоченные наборы элементов одного и того же «-мерного пространства. Разумеется, все эти модели структурно эквивалентны, и их общими структурными свойствами является линейная независимость линейных объектов, помеченных различными метками (номерами листов).

Наиболее простой способ «координации» многолистных пространств связан с групповыми алгебрами. Ассоциируя каждый из элементов конечной группы Е мощности т с соответствующим «-мерным линейным пространством, мы наделяем геометрическую конструкцию многолистного пространства структурой «-мерного модуля над соответствующей групповой алгеброй R[Z]. Таким образом, многолистные пространства Q"m можно рассматривать как «-мерные линейные пространства над групповой алгеброй. При этом линейные преобразования с коэффициентами из групповой алгебры определяют моноид £„(£) преобразований этого многолистного пространства. Такова общая схема координации многолистных пространств, безусловно, конечно, не зависят от данной процедуры координации, то есть от группы £ и групповой алгебры R[£], и представляют собой самостоятельный геометрический объект. Вместе с этим, алгебра R[Z] задает на Q"m дополнительные структуры и выделяет некоторые подгруппы группы Ln(Z), относительно которых эти структуры инвариантны, порождая возможность исследования геометрии многолистных пространств с дополнительной структурой.

Таким образом, представленные в настоящей работе конструкции многолистных пространств, в силу их геометрического и алгебраического строения, относятся, вообще говоря, к пространствам над алгебрами, представляя в определенном смысле альтернативу классического их толкования. С другой стороны, формальный аппарат теории многолистных пространств с алгебраической структурой в значительной степени аналогичен тому классическому аппарату, который был развит в работах А.П. Котельникова. В 1895 - 1988 гг., изучая геометрию и механику евклидова пространства и трехмерных неевклидовых пространств, А.П. Котельников раскрыл роль алгебр дуальных, комплексных и двойных чисел (а также кватернионов и бикватернионов) для теории винтов и линейчатой геометрии этих пространств [23], [24]. Значительный вклад в геометрию пространств над алгебрами был внесен работами профессора П.А. Широкова. В 1925 году в работе [47] им был введен класс так называемых А-пространств, в дальнейшем переоткрытых на другом пути Э. Келером [50] и получивших название келеровых пространств. В работе [48] П.А. Широков исследовал симметрические пространства этого класса, уделив особое внимание тригонометрии геодезических треугольников. П.К. Рашевский в 1948 году ввел гиперболический аналог А-пространств [37].

Позднее исследования по геометрии пространств над алгебрами были продолжены А.П. Норденом [30], [31], [32]. Теории пространств над алгебрами посвящены работы Г.И. Кручковича [25], [26], C.JI. Певзнера [33], Б.А. Розенфельда [40]. Последним была развита теория образов симметрии, находящаяся в непосредственной связи с теорией симметрических пространств и приводящая к большому числу конкретных типов пространств над алгебрами.

Из зарубежных монографий, излагающих основы геометрии комплексных многообразий, отметим книги Кулиджа [51J, Э. Картана [52] и Яно [53]. Глобальные проблемы келеровых многообразий изложены в монографии А. Вейля [9].

Из сказанного выше усматривается существенная роль выбора алгебраической структуры, адекватно отражающей геометрию, реализованную на листах многолистного пространства, и адекватной к конструкции соединения листов в одном пространстве. Такой выбор фактически представляет собой задачу алгебраической координации (выбора алгебраических координат) многолистного пространства, тем самым превращая его в некоторое пространство над алгеброй. При этом выбор алгебры должен преследовать еще одну существенную цель - при помощи умножения на элемент выбранной алгебры необходимо представлять движение исследуемого пространства, то есть представлять такие преобразования в многолистном пространстве, которые сохраняют инварианты, определяющие в нем некоторую геометрию.

Классическим примером выбора алгебр, адекватных к геометрической природе евклидовых и псевдоевклидовых пространств, являются алгебры Клиффорда. Эти алгебры доставляют удобный аппарат для представления движений (евклидовых и псевдоевклидовых поворотов) в многомерных пространствах.

Исторически первым нетривиальным примером алгебры Клиффорда являются алгебры кватернионов, рассмотренные еще У. Гамильтоном в 1843 г. [40]. Определения кватернионов или гиперкомплексных чисел Дж. У. Гиббсом и О. Хевисайдом были положены в основу построенного ими вектороного исчисления, интенсивно используемого в дальнейшем в математической физике. Алгебры Клиффорда малых размерностей -кватернионы, антикватернионы, бикватернионы, а также коммутативные алгебры двойных и дуальных чисел сыграли важную роль в изучении неевклидовой геометрии и теории непрерывных групп. Приложение этих алгебр в геометрии берет начало еще в работах Г. Грассмана и У. Клиффорда, а дальнейшее развитие алгебраических методов относится к работам Д.Н. Зейлингера, А.П. Широкова и др [10], [11]. В общем случае алгебры Клиффорда были использованы Р. Брауэром, Г. Вейлем и Э. Картаном для представлений групп движений. Обширный обзор различных приложений алгебр Клиффорда к изучению евклидовых и неевклидовых пространств дан в книге Б.А. Розенфельда [40].

Теория алгебр Клиффорда получила новое интенсивное развитие с конца 70-х - начала 80-х годов в связи с работами Ф.Бракса, Р.Деланжа, Ф.Соммена и ряда др. авторов, и в настоящее время наблюдается интенсивный рост числа работ, посвященных приложениям алгебр Клиффорда в анализе, геометрии, топологии и в квантовой теории поля.

Следует отметить, что классические клиффордовы структуры адаптированы к «двулистным» пространствам, что характерно для евклидовой структуры, определяемой фундаментальной квадратичной формой. В локальном варианте эта двулистность воспроизводится в классических пространствах в точках римановых и псевдоримановых многообразий.

Для изучения многолистных (/я-листных) пространств с фундаментальными формами (формами выше степени 2) требуется модификация классических алгебр Клиффорда [6] с тем, чтобы w-степень вектора давала однородную скалярную форму от его координат, степень которой равна т.

Цель диссертационной работы состоит в изучении дифференциальной геометрии многолистных пространств.

Основными задачами нашего исследования являлись следующие:

1. Построение конструкции многолистных многообразий как пространства над алгебрами специального класса.

2. Изучение калибровочных групп алгебраических преобразований в соответствующих касательных пространствах.

3. Исследование инвариантных продолжений дифференциальных операторов, ковариантных относительно калибровочной группы, а также исследование дифференциальных инвариантов этих операторов.

Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми, среди которых основными являются:

1. Описана конструкция многолистного многообразия как пространства расслоения с дискретными слоями.

2. Установлена связь между многолистной структурой касательных пространств над многолистными многообразиями и их алгебраической структурой, определенной посредством обобщенных алгебр Клиффорда.

3. Введено понятие алгебраических преобразований многолистных пространств и изучены калибровочные группы таких преобразований для многолистных касательных расслоений. Эти группы реализованы как подгруппы регулярной группы обратимых элементов соответствующей алгебры сечений расслоения.

4. Определен аналог ковариантного дифференцирования в многолистных пространствах, являющийся инвариантным продолжением ковариантного дифференцирования в римановых пространствах и пространствах аффинной связности, а также установлена его инвариантность относительно действия алгебраических преобразований пространства.

5. Изучен дифференциальный инвариант оператора ковариантного дифференцирования, представляющий собой аналог кривизны риманова пространства.

Результаты работы получены систематическим использованием методов исследования пространств над алгебрами и методов тензорного анализа.

Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при изучении дифференциальной геометрии многообразий с дополнительными алгебраическими структурами, при изучении калибровочных полей для неабелевых групп, в частности, в квантовой хромодинамике и теориях объединяющих гравитационных, слабых и сильных взаимодействий. Также при чтении специальных курсов в высших учебных заведениях.

Основные результаты докладывались и обсуждались на заседании Научного семинара кафедры геометрии Московского педагогического государственного университета (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор В.Ф. Кириченко); на X Международной конференции «Математика. Экономика. Образование» (2002г., Ростов-на-Дону); на I Международной конференции «Движения в обобщенных пространствах» (2002г., Пенза).

Основное содержание диссертации отражено в 10 публикациях [54] - [63].

Диссертация состоит из введения, трех глав, состоящих из 8 параграфов, и списка литературы, состоящего из 53 работ. Диссертация изложена на 110 страницах машинописного текста.

1. Артин Э. Геометрическая алгебра. — М.: Мир, 1979.

2. Бишоп Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий. — М.: Мир, 1967.

3. Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. Введение в топологию. М.: Высш. школа, 1980.

4. Б.Л. ван дер Варден. Алгебра. М.: Наука, 1976.

5. Бурлаков М.П. Обобщенные внешние алгебры и их приложения // Известия вузов. Математика. 1999. - № 9 (448). - С.73 - 77.

6. Бурлаков М.П. Комбинаторные алгебры и их приложения. Грозный: ЧИГУ, 1992.

7. Бурлаков М.П. Клиффордовы связности на римановых пространствах. Известия вузов. Математика. 1990. - № 7. - С. 14 - 23.

8. Бурлаков М.П. Алгебры Клиффорда и структуры пространства времени. -Грозный: ЧИГУ, 1991.

9. Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. М.: Мир, 1971.

10. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: методы и приложения. Том II. М.: Едиториал УРСС, 1998.Н.Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. -М.: Наука, 1974.

11. Казанова Г. От алгебры Клиффорда до атома водорода. Волгоград: Платон, 1997.

12. Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. М.: Наука, 1973.

13. Картан Э. Риманова геометрия в ортонормированном репере. — М.: Изд.-во МГУ, 1960.

14. Картан Э. Теория спиноров. М.: Иностр. лит., 1947.

15. Кириченко В.Ф. Дифференциально геометрические структуры, ч. 1. Тверь: Твер. гос. ун-т, 2001.

16. Кириченко В.Ф. Дифференциально — геометрические структуры, ч. 2. Тверь: Твер. гос. ун-т, 2001.

17. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981.

18. Котельников А.П. Винтовое счисление и некоторые приложения его к геометрии и механике. Казань: Изд.-во Казанского ун-та, 1895.

19. Котельников А.П. Проективная теория векторов. Казань: Изд.-во Казанского ун-та, 1899.

20. Кручкович Г.И. Н эрмитовы пространства. // Известия вузов. Математика. - 1971. - № 4. - С.42-49.

21. Кручкович Г.И. Гиперкомплексные структуры на многообразиях. // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. Вып. 16. — М.: Изд-во МГУ, 1972.-С.174-201.

22. Лобачевский Н.И. О началах геометрии. Сочинения по геометрии. Т.1. -М.: Наука, 1946.

23. Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия. Волгоград: Платон, 1996.

24. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М.: Наука, 1950.

25. Норден А.П. Внутренняя геометрия поверхностей пространства биаксиальной группы. М.: ДАН СССР, 1947. - С. 199 - 202.

26. Норден А.П. Теория поверхностей. М.: Наука, 1956.

27. Норден А.П. Конгруэнтные и дуальные числа. // Тр. семинара кафедры геометрии. Вып.З. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1968. - С.82 - 98.

28. Певзнер СЛ. О строении пространств над алгебрами. // Известия вузов. Математика. 1977. - № 6. - С.107 - 111.

29. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1969.

30. Попов Н.Н. Новые представления о структуре пространства — времени и проблема геометризации материи. -М.: Едиториал УРСС, 2002.

31. Постников М.М. Риманова геометрия. Лекции по геометрии. Семестр 5. -М.: Факториал, 1998.

32. Проскуряков В.И. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1967.

33. Рашевский П.К. Скалярное поле в расслоенном пространстве. // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. Вып. 6. М.: Изд-во МГУ, 1948. -С.225 - 248.

34. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1964.

35. Розенфельд Б.А. Неевклидовы геометрии. — М.: ГИТТЛ, 1955.

36. Розенфельд Б.А. Неевклидовы пространства. М.: ГИТТЛ, 1969.

37. Санардашвили Г.А. Современные методы теории поля. М.: Едиториал УРСС, 2002.

38. Спеньер Э. Алгебраическая топология. М.: Мир, 1971.

39. Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. М.: Мир, 1981.

40. Хирш М. Дифференциальная топология. М.: Мир, 1979.

41. Эйзенхарт Л.П. Риманова геометрия, М.: ГИТТЛ, 1948.

42. Шафаревич И.Р. Основные понятия алгебры. — Ижевск: Ижевская республиканская типография, 1999.

43. Широков П.А. Постоянные поля векторов и тензоров 2-го порядка в римановых пространствах // Изв. Казан, физ.-мат. об.-ва. 1925. - Сер.2, т.25. - С.48-55.

44. Широков П.А. Об одном типе симметрических пространств. // Математ.сб., 1957.- Т.41, №3. С.361 - 372.

45. Burlakov М.Р. Clifford structures on manifolds // Journal of mathematical sciences. 1998. - Vol. 89, № 3. - С. 15 - 19.

46. Kahler E. Uber eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik. Abhandl. Malh. Seminar Univ. Hamburg, Br. 9, 1933, 173- 186.

47. Coolidge I.L. The geometry of the complex domain. Oxford, 1924.

48. Cartan E. Lecons sur la geometrie projective complexe. Paris, 1931.

49. Yano K. Differential geometry on complex and almost complex spaces. N.J., 1965.VРаботы автора по теме диссертации:

50. Бурлаков М.П., Захарова О.А. Группы алгебраических преобразований. Научные труды математического факультета МПГУ: Юбилейный сборник 100 лет. М.: Прометей. 2000. С.153 - 156.

51. Захарова О.А. Комбинаторные алгебры. Моск. пед. гос.ун-т. М., 2003. -Деп. в ВИНИТИ 24.03.2003, № 521-В2003. - 17 с.62.3ахарова О.А. Многолистные касательные расслоения. Моск. пед. гос.ун-т. -М., 2003. Деп. в ВИНИТИ 24.03.2003, № 520-В2003. - 8 с.

52. Захарова О.А. Многолистное пространство и его алгебраическая структура. Актуальные проблемы математики, физики, информатики и методики их преподавания: Юбилейный сборник 130 лет. М.: Прометей. 2003. С. 65 -66.