Грассмановы структуры на гладких многообразиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Алгебры Грассмана

1. Поливекторы.

2. Мультипликативные грассмановы модули.

3. Поливекторные метрики.

Глава 2. Алгебры Грассмана на гладком многообразии

1. Грассмановы расслоения.

2. Грассмановы связности.

Г 3. Кривизна.

Глава 3. Аффинные пространства с поливекторными метриками

1. Поливекторная длина дуги.

2. Формулы Френе для пространств с поливекторными метриками.

Глава 4. Поливекторные метрики на гладких многообразиях

1. Тензоры высших порядков.

2. Грассмановы метрики, присоединенные к поверхности в п-мерном евклидовом пространстве.

В диссертации рассматриваются некоторые дифференциально-геометрические структуры, связанные с внешними алгебрами Грассмана. Актуальность темы:

Внешние алгебры Грассмана и связанные с ним алгебраические и дифференциально-геометрические структуры являются важным объектом изучения, как в самой геометрии, так и в ее многочисленных приложениях. Здесь, прежде всего, можно отметить внешнюю алгебру дифференциальных форм, естественно возникающую на гладких многообразиях и ставшую одним из инструментов исследования практически во всех разделах геометрии и топологии [1], [2], [3], [4]. С другой стороны, алгебры Грассмана векторных полей стали основным аппаратом в тех разделах геометрии и ее приложений к математической физики, в которых исследуются некоммутативные структуры [5], [6], [7] и т. д.

Особую актуальность внешние алгебры Грассмана приобретают в связи с исследованиями симметрий между коммутативными и некоммутативными переменными в квантовой теории поля. Такие симметрии в физике высоких энергий и в космологии получили название "суперсимметрий" [8], [9], [10] и т.д.

Проблемы, возникающие при изучении симметрий между коммутативными и некоммутативными переменными, как правило, связаны с мероопределением в некоммутативных алгебрах, а также с совместимостью некоммутативных структур с локальной (и глобальной) геометрией на гладких многообразиях. Эти проблемы в частных случаях пространственно-временных многообразий решаются путем присоединения дополнительных алгебраических структур к алгебре Грассмана внешних дифференциальных форм и поливекторных полей [11], [12], [13], [14], [15]. Однако, использование егшнорных, твисторных и Клиффордовых алгебр для описания различных антикоммутативных структур на гладких многообразиях не обладает той общностью, которая присуще внешним алгебрам Грассмана, естественно реализующихся на расслоениях внешних форм и поливекторных полей на гладких многообразиях. Поэтому задача описания и исследования грассмановых структур на гладких многообразиях является актуальной как для самой геометрии, так и для ее многочисленных приложений в теоретической и математической физике. Исторический обзор:

Антикоммутативные алгебры впервые возникают в работах Грассмана [16] и Гамильтона [17] в середине 19-го века, их появление было связано с решением ряда геометрических задач, актуальных для того времени. Работа Грассмана [16] отличалась большой абстракцией и тяжелым стилем изложения и не сразу получила признание математиков. Однако, уже в конце 19-го века Куммер использовал идеи Грассмана для изучения некоторых вопросов интегрирования линейных дифференциальных форм [18]. Ему же (Куммеру) принадлежит понятие внешней дифференциальной формы и внешнего произведения дифференциальных форм.

Но настоящий триумф идеи Грассмана получают после целой серии работ Картана [1], который применил понятие внешнего произведения дифференциальных форм для исследования большого количества различных проблем дифференциальной геометрии. И после работ Картана внешние алгебры Грассмана прочно входят в арсенал геометрических исследований.

В кратком историческом обзоре невозможно описать все многообразие приложений внешних алгебр Грассмана к различным областям математики и математической физики, поэтому мы остановимся только на тех аспектах, которые относятся к тематике диссертации. Здесь, прежде всего, следует отметить общее мероопределение для площадей, объемов и гиперобъемов различных фигур, как в евклидовых, так и на римановых, и на псевдоримановых многообразиях. Из множества работ, относящихся к этому предмету, мы отметим основополагающие работы Пуанкаре [19] и его последователей [20], [21]. Среди отечественных математиков можно отметить классические работы Рашевского [22], Финикова [23], Ефимова [24] и многих других.

С другой стороны, мероопределение, основанное на использовании внешнего произведения векторов и поливекторов (форм), легло в основу многочисленных работ по аффинной дифференциальной геометрии. Среди этих работ, прежде всего, отметим капитальный труд Широкова П.А. и Широкова А.П. [25], а также работы [24], [26] и т.д.

Дальнейшим развитием этих исследований можно считать с одной стороны исследования метрических структур на пространствах поливекторных полей и неоднородных сумм внешних форм, выполненных в основном зарубежными исследователями [27], [28], [29], а также некоторыми отечественными математиками [30], [31], [32]. С метрическими структурами на пространствах поливекторов ассоциируются дифференциально-геометрические конструкции связностей, ковариантного дифференцирования, кривизны и кручения с поливекторными компонентами [33], [34], [35].

С другой стороны, широким обобщением мероопределений, связанных с инвариантами аффинной дифференциальной геометрии, являются исследования по дифференциально-геометрическим структурам высших дифференциальных порядков. Здесь, среди отечественных математиков, следует, прежде всего, назвать работы Л. Е. Евтушика [36], [37], а также его многочисленных учеников [38], [39], [40] и т.д.

Следует также отметить, что в последнее время интерес к дифференциально-геометрическим структурам с некоммутативными координатами возрастает в связи с изучением нелокальных объектов в физике высоких энергий и в космологии [41], [42] и т.д. Целью данной работы является:

1. Обобщение тензорных конструкций на некоммутативный случай внешних грассмановых алгебр - мультипликативные грассмановы модули;

2. Определение билинейной меры на произвольных алгебрах Грассмана при помощи поливекторных метрик;

3. Построение общей теории расслоений со структурой алгебры Грассмана на дифференцируемых многообразиях;

4. Обобщение аффинной связности и ковариантного дифференцирования на случай грассмановых расслоений - грассмановы связности;

5. Изучение кривизны грассмановых расслоений;

6. Обобщение эквиаффинных метрик на случай пространств произвольной размерности: поливекторная длина дуги и теория кривых в пространствах с поливекторной метрикой;

7. Исследование поливекторных метрик на гладких многообразиях и их связи со структурами высших порядков.

Методика исследований:

В работе используются общие методы теории расслоений, аппарат векторных полей и внешних форм, тензорный анализ и его модификации. Существенную роль играет теория алгебр Грассмана и некоммутативных модулей.

Краткое изложение:

Диссертация состоит из четырех глав. Первая глава содержит три параграфа и посвящена общим алгебраическим вопросам с учетом некоммутативности внешнего произведения.

В первом параграфе приводятся основные сведения о поливекторах, алгебрах Грассмана и их структуре. Этот параграф носит вводный характер и изложение, представленных в нем сведений, построено так, чтобы в дальнейшем классические линейные конструкции можно было обобщить на некоммутативный случай.

Во втором параграфе приводится обобщение тензорных конструкций на тот случай, когда вместо подстилающего вещественного линейного пространства выбирается внешняя алгебра Грассмана. Такое обобщение основано на использовании структуры мультипликативного модуля, специализирующего понятие тензорных произведений линейных алгебр в унитальном случае: если еу - базисные поливектора, то

Элементами мультипликативного грассманого модуля являются грассмановы тензоры, компоненты которых содержат антикоммутирующие переменные. Конструкция мультипликативного модуля позволяет распространить классические тензорные конструкции на некоммутативный случай.

Третий параграф первой главы посвящен определению билинейной меры на подпространствах внешней алгебры Грассмана. В этом параграфе вводиться понятие поливекторной метрики, которая обобщает классический вариант мероопределения объемов т-мерных тел в евклидовых и псевдоевклидовых пространствах. В частности, величина поливектора £'!•••',« Л Л е определяется по формуле

И данная метрика представляет собой элемент пространства дваждыковариантных грассмановых тензоров. Здесь также дается классификация поливекторных метрик (Теорема 1.3.1) как с использованием базовой евклидовой или псевдоевклидовой структуры, так и в ее отсутствии.

Во второй главе диссертации рассматриваются расслоения алгебр Грассмана над произвольным гладким многообразием и дифференциально-геометрические структуры, связанные с такими расслоениями. Эта глава содержит три параграфа.

В первом параграфе описаны расслоения алгебр Грассмана (ТМн,л",Мн), построенных над касательным и кокасательным пространством., где ®е/))А(еи ®ег)= (еа Аеи[вр леу). л тм п и Т А+Х®А X

- тотальное пространство расслоения грассмановых тензорных алгебр + \ а естественная проекция п : ТМН —» Мн задается по правилу л; ®лЛж v Г л; ® л л: б М„. v л

Сечения этих расслоений представляют собой бесконечномерные алгебры грассмановых тензорных полей.

В качестве примера грассмановых тензорных полей рассмотрены к-векторные и поливекторные метрики при помощи которых определяется скалярное произведение двух к-векторов в любой точке многообразия хеМн по формуле = С,,.,„;,.;, (*У'"Л (4 где с = Ё Iс"(х)е. (х)л.л(л-)е Л"(М„)з Т.1 (М„);

А=0/'| <.</А

4=1 (*>,. (л-)л.л^. ЛА(М„)^тДм,()

А=0/|<.<Уд А

-векторные поля на Мп и у у - коэффициенты сечения Т2*(М/г). Это скалярное произведение определяет билинейную меру р-мерного объема на гладких многообразиях.

Во втором параграфе изучаются грассмановы связности и ковариантное дифференцирование, определенное при помощи грассмановых связностей. При этом операция ковариантного дифференцирования вводится аксиоматически и представляет собой обобщение "аффинной ковариантной производной" с учетом мультипликативной структуры грассманого расслоения: линейный оператор

Я: А1 (Мп )х Л+ (Мп) —» Л+ (М;|), удовлетворяющий аксиомам

2) 0Г/+^)=0Г/(<г)+0У2(<г)

3) = где /: Мп -» И - функция на многообразии Мп

4) /)у(/) = у(/), где у(/) результат действия векторного поля у(х)еЛ'(МЛ) на функцию /: Мп -> /?

5) А $-2 )=/>,($■,) л $-2 Л/)У(^2) называется грассмановой ковариантной производной.

Здесь же рассмотрен закон преобразования грассмановой связности при замене базисных векторных полей. Дана классификация грассмановых связностей (Теорема 2.2.2, Лемма 2.2.2, Лемма 2.2.3) и приведены их примеры. Показано, что однородная связность пространства скользящих векторов является обобщением конструкции параллельного переноса в геометрической статике.

В третьем параграфе определяется оператор кривизны при помощи коммутаторов грассманого ковариантного дифференцирования:

Приведены примеры вычисления оператора кривизны (Теорема 2.3.1). л. Д + л.ле<1т)л(ер1 л.лерт), где л/£=в/(гл)-еу(г/г)+г;4г/;-гдг5-^гд, рР\-Рт — ,, [гР\ Рт ,, [гР\-Рт\, Г(> Г^'7'»' ИГ^ ■Рт 4- Г ^ ■Рг-Рт г' "//А - V }к ) СУ V /а Г 1 уА1 /V/ 1 ¡к1 у7/ ^1 уА 1 ¡р, р/>,.р,.,.рт р/ Ч г-Р\.Рт 1 'А 1 }р, 0 <7 А

У А ~ 1 уА 1 ,7/( 1 /А 1 у7/,

В третьей главе диссертации, состоящей из двух параграфов, поливекторные метрики, определенные на аффинных пространствах, используются для обобщения некоторых конструкций эквиаффинной дифференциальной геометрии.

В частности, в первом параграфе этой главы рассмотрены ш-векторная длина дуги в п-мерных пространствах, определяемая по формуле [ УС, . . .

0 \'1 <•••<'« V Л <■■■<)т

Если т=п, то т-векторная длина дуги совпадает с эквиаффинной длиной дуги в п-мерном пространстве. Следует особо отметить, что в случае, когда поливекторная метрика индуцирована некоторой евклидовой или псевдоевклидовой метрикой в п-мерном пространстве, т-векторная длина дуги сохраняет геометрический смысл эквиаффинной длины дуги в п-мерном пространстве, т.е. является пределом объемов вписанных в дугу соприкасающихся т-параллелепипедов при неограниченном разбиении этой дуги.

Во втором параграфе приведено обобщение конструкций эквиаффинной кривизны кривой в т-мерном пространстве. Это обобщение основано на ш-векторных метриках в п-мерном пространстве. В этом же параграфе строится аналог классической теории кривых для пространств с поливекторными метриками [1], [50]: в частности, определяется бивекторная кривизна кривой по формуле

Гг{а) (I3г {а) л , з I-к\ а а (1ст и в общем случае р-векторная кривизна кривой

1г{а) (12г(ст) (1^г{а) (1^ г {а)

-Л -;— Л . Л -г— Л -:— = /С. ,

Лг (1а2 (1арс1(тр+] далее строится базис, аналогичный базису Френе, р-вектора которого удовлетворяют формулам

1со,

1а

1(0 кх со2

1а -к1со1 +к2со}

В четвертой главе приведены обобщения конструкций ш-векторной длины дуги на случай произвольных гладких многообразий. В этом случае для определения т-векторной длины дуги необходимо рассматривать дифференциально-геометрические объекты, включающие в себя производные высших порядков. Эта глава содержит два параграфа.

В первом параграфе приведены конструкции грассмановых тензоров высших порядков на основе структуры полупрямой суммы векторных которых являются дифференциально-геометрические объекты различных порядков. Используя сечения построенных расслоений, дается определение р-векторной метрики на гладком многообразии, как некоторой дифференциально-геометрической структуры дифференциального порядка р.

Во втором параграфе общие конструкции применяются для случая т-мерной поверхности в п-мерном евклидовом пространстве, т.е. над р). поверхностью Рт с=/?" строятся расслоения (Т(Рт),л",Р„г), при помощи которых определяются р-векторные метрики на этой поверхности.

В конце работы дается краткое заключение и приведен список цитируемой литературы, который содержит 60 источников. Основные результаты, выносимые на защиту:

1. В диссертации построены алгебраические структуры, обобщающие тензорную алгебру на случай антикоммутативных переменных.

2. Исследована билинейная метрика, заданная на пространстве поливекторов грассмановой алгебры. пространств. Построена система сечениями

3. Построена общая теория расслоений со структурой алгебры Грассмана на гладких многообразиях.

4. Исследованы грассмановы связности и грассманово ковариантное дифференцирование на гладких многообразиях.

5. Вычислен грассманов тензор кривизны для многообразий с грассмановой связностью.

6. Построены обобщения эквиаффинных метрик на случай пространств произвольной размерности.

Научная новизна полученных в диссертации результатов состоит в том, что ряд понятий теории пространств с аффинной связностью обобщен на случай грассмановых алгебр. С помощью аппарата грассмановых расслоений исследованы билинейные метрики на гладких многообразиях, с одной стороны, обобщающие структуры римановых и псевдоримановых метрик, с другой, классические метрики эквиаффинной дифференциальной геометрии. Следует также отметить, что развитый в диссертации аппарат грассмановых структур на гладких многообразиях позволяет обобщать различные алгебраические и дифференциально-геометрические конструкции на случай антикоммутативных переменных.

Практическое значение результатов диссертационного исследования заключается в том, что они могут быть использованы для исследования дифференциально-геометрических структур с антикоммутативными переменными. А также, результаты диссертации примыкают к исследованиям суперсимметрических теорий в квантовой гравитации и физике высоких энергий.

Материалы диссертации могут быть использованы при чтении специальных курсов по дифференциальной геометрии некоммутативных структур и анализу с антикоммутативными переменными для студентов математических и физических специальностей.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры геометрии МПГУ, на Международном геометрическом семинаре имени Г.Ф. Лаптева в г. Пенза, на Международной научной конференции "Математика. Образование. Культура" в г. Тольятти. Тезисы докладов по тематике диссертации были представлены на Международном семинаре "Геометрия в Одессе - 2005. Дифференциальная геометрия и ее применение".

Основные результаты диссертации освещены в 5 публикациях [56], [57], [58], [59], [60].

Заключение.

Метрические структуры, определенные на пространствах поливекторных полей (или внешних дифференциальных форм) представляют собой широкое обобщение понятия римановой метрики и могут быть, в частном случае, получены с ее помощью. Однако, в общем, эти конструкции не сводятся к конструкциям римановой геометрии, а определяются как дополнительные. Это видно уже из того, что другим частным случаем грассмановых метрических структур (помимо индуцированных римановой метрикой) являются мероопределения, принятые в эквиаффинных пространствах различной размерности.

Такие конструкции с точки зрения физических приложений описывают геометрическую сущность различных многокомпонентных полей, таких как кваркглюонные поля (выражающие "цветовые" симметрии), различные "струнные" и другие нелокальные объекты и т.д.

Важно еще отметить, что грассмановы структуры, определенные на гладких многообразиях, зачастую требуют привлечения дифференциально-геометрических конструкций высших дифференциальных порядков, что, однако, н самом общем случае выходит за рамки данной работы и может представлять собой объект самостоятельного исследования.

117

1. Риманова геометрия в ортогональном репере. М., Изд. МГУ, 1960,307с.

2. Хьюзмолер Д. Расслоенные пространства. М.: Мир, 1970, 442с.

3. Остиану Н.М. Метод Картана-Лаптева в исследовании G-структур на многообразиях. Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. Том 30. М.: ВИНИТИ, 2002, 5-125с.

4. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: методы и приложения. М.: Наука.1986.

5. Картан Э. Теория спиноров М.: ГИИЛ, 1947, 223с.

6. Пенроус Р. Твисторная программа. Твисторные и калибровочные поля. М.: Мир, 1983, 13-27с.

7. Мизнер Ч., Торн К., Уиллер Дж. Гравитация. Том 1. М.: Мир, 1977, 515с.

8. Березин Ф.А. Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными. М.: Изд. МГУ, 1983, 208с.

9. Владимиров B.C., Волович И.В. Суперанализ. Дифференциальное исчисление. Теоретическая и математическая физика, Том 50, 1984, 3-27с.

10. Уэст П. Введение в сеперсимметрию и супергравитацию. М., Мир, 1989, 328с.

11. Hasiewicz Z., Kwasniewki А.К., Morawiec P. Supersymmetry and Clifford algebras. J. Math. Phys.-1984. 25, №6. - C.2031 -2036.

12. Kwasniewki A.K., Clifford and Grassman like algebras. Rend. Cire. Mat. Palermo-1985. -34, Suppl. 9. - C. 141 -155.

13. Dabrowski L., Trantman A. Spinor structures on spheres and projective spaces. J. Math. Phys.-1986. 27, №8. - C. 2022-2028.

14. Saligaros N. The relationship between finite groups and Clifford algebras. J. Math. Phys.-1984. 25, №4. - C.738-742.

15. Saligaros N., Wene G.P. The Clifford algebras of differential forms for Minkowski space, 11. Acad. RSR.-1986. 28, №2. - С. 173-179.

16. Grassmann H.G. Gesammelte mathematsche und physikalische Werke. Berlin, 1911, 736p.

17. Hamilton W.R. Lectures on Quaternions. Dublin, 1853.

18. Ганкель Г. Теория комплексных числовых систем, преимущественно обыкновенных мнимых чисел и кватернионов Гамильтона вместе с их геометрическим толкованием. Казань, 1912, 136с.

19. Пуанкаре А. Избранные труды, т.2, Новые методы небесной механики. Топология. Теория чисел. М., Изд. Наука, 1972, 999с.

20. Стенбарг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М., Мир, 1970, 412с.

21. Лихнерович А. Теория связностей в целом и группы гомологий. М., Изд. иностр. лит., 216с.

22. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М., Наука, 1967, 664с.

23. Ефимов Н.В. Введение в теорию внешних форм. М., Наука, 1977, 88с.

24. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М.-Л., Гостехиздат, 1946.

25. Широков П.А., Широков А.П. Аффинная дифференциальная геометрия. М.: ГИФМЛ, 1959.

26. Яглом И.М., Ашкинузе В.Г. Идеи и методы аффинной и проективной геометрии. Часть 1. М., Учпедгиз, 1962, 247с.

27. Кобояси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии., т. 1, М., Наука, 1981,344с.

28. Delanghe R., Brackx F., Sommen F. Clifford analysis. Boston-London-Mellon: Pitnam Publ. Inc., 1982, 302p.

29. Chisholm J.S.R., Farwell R.S. Clifford approach to metric manifolds. 10th Winter Sch. Geom. and Phys. Palermo, 1991, №26, 123-133p.p.

30. Бурлаков М.П. Клиффордовы связности на римановых пространствах. Изв. вузов, Математика, 1990, №7, 3-7с.

31. Бурлаков М.П., Показеев В.В., Фрейдензон Л.Е. Клиффордов анализ.

32. А алгебры Клиффорда. Интегральные представления. Ряды Тейлора.

33. Грозный, Деп. в ВИНИТИ, 1988, №№ 1959, 1960, 1961 В-88, 24с., 58с., 33с.

34. Бурлаков М.П., Евтушик J1.E. Клиффордова структура и клиффордово дифференцирование на римановых пространствах. Вестник МГУ, сер. 1, Математика, механика. №2, 1994.

35. Бурлаков М.П. Клиффордовы структуры на многообразиях. Итоги науки и техники. Современная математика и приложения. Тематические обзоры. т.ЗО, Геометрия 3. М., ВИНИТИ, 1995, 205-237с.

36. Бурлаков М.П., Фирсова И. Ю. Обобщенные внешние алгебры дифференциальных форм. Некоммутативные структуры в математической физике. Тольятти, 1993, 21-26с.

37. Бурлаков М.П. Клиффордовы структуры высших порядков. Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1989. Вып.20, 19-28с.

38. Евтушик JT.E., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. Итоги науки и техники. Проблемы геометрии, т.9, М., ВИНИТИ, 1979, 248с.

39. Евтушик Л.Е. Дифференциальные связности и инфинитезимальные преобразования продолженной псевдогруппы. Труды Геом. семинара, т.2, М., 1969, 119-150с.

40. Евтушик Л.Е. Производная Ли и дифференциальные уравнения поля геометрического объекта. Докл. АН СССР №1, 1962, 146с.

41. Евтушик Л.Е., Третьяков В.Б. О структурах, определяемых системой обыкновенных дифференциальных уравнений высшего порядка. Труды Геометрического семинара, т.6, М., 1974, 243-255с.

42. Третьяков В.Б., Евтушик Л.Е., Степанов Н.Б., Редуктивная связность Картана, ассоциированная с пространством М-протяжений над опорными элементами касания второго порядка. Труды семинара кафедры геометрии, Вып.8, КГУ, 1975, 79-84с.

43. Весе Й. Суперсимметрия супергравитация. Геометрические идеи вфизике. М., Мир, 1983, 125-150с.

44. Зумина Б. Супергравитация и великое объединение. Геом. идеи в физике. М., Мир, 1983, 191-204с.

45. Мосолов Б.Г. Поливекторные поля. Ташкент, изд. "Фан", 1986. 184с.

46. Малаховский B.C. Введение в теорию внешних форм. Калининград, КГУ, 1978, 84с.

47. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр 2. Линейная алгебра. М., Наука, 1986. 400с.

48. Шутц Б. Геометрические методы математической физики. М., Мир, 1984. 304с.

49. Джеймс С., Стел К.С., Вест П.К. Алгебраическая мотивировка суперпространственных связей в супергравитации. М., Мир, 1980, 170-190с.

50. Петров А.З. Новые методы в общей теории относителности. М. Наука, 1966, 496с.

51. Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. М., Мир, 1973, 188с.

52. Норден А.П. Теория поверхностей. М., Гостехиздат, 1956, 338с.

53. Диментберг Ф.М. Винтовое исчисление. М., Наука, 1965, 200с.

54. Вагнер В.В. Алгебраическая теория касательных пространств высших порядков. Труды геом. семинара, т.4, М., 1973. 217-230с.

55. Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции нескольких вещественных переменных. М., Наука, 1972, 622с.

56. Бурлаков М.П., Третьяков В.Б. Структуры на дифференцируемых многообразиях. Грозный, 1991, 112с.

57. Бурлаков М.П. Лекции по классической дифференциальной геометрии. Грозный, 1992, 114с.

58. Денисова H.H. Поливекторные метрики. МПГУ, М., деп. ВИНИТИ, 2004, 24с.

59. Денисова H.H. О некоторых обобщениях эквиаффинной длины дугикривой. Лаптевские чтения. Сборник трудов Международного геометрического семинара имени Г.Ф. Лаптева, ПГУ им. В.Г. Белинского, Пенза, 2004, 39-44с.

60. Денисова H.H. Поливекторные метрики на гладких многообразиях. Научные труды МПГУ. Серия: естественные науки. Сборник статей. М.: «Прометей», 2005, 51-55с.

61. Денисова H.H. Поливекторные метрики и структуры высших порядков. Тезисы докладов Международного семинара «Геометрия в 0дессе-2005. Дифференциальная геометрия и ее применение», ОНУ им. И.И. Мечникова, Одесса, 2005, 41-42с.

62. Денисова H.H. Поливекторные связности и пространства скользящих векторов. Математика и ее приложения. Сборник трудов 11 Международной научной конференции "Математика. Образование. Культура" ТГУ, Тольятти, 2005, 24-29с.