Многообразия альтернативных алгебр с тождеством [x1,x2,...,x5]=0

Ваулин, Андрей Николаевич

Многообразия альтернативных алгебр с тождеством [x1,x2,...,x5]=0 тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Ваулин, Андрей Николаевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Многообразия альтернативных алгебр с тождеством [x1,x2,...,x5]=0»

Автореферат диссертации на тему "Многообразия альтернативных алгебр с тождеством [x1,x2,...,x5]=0"

На правах

Ваулин Андрей Николаевич

МНОГООБРАЗИЯ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР С ТОЖДЕСТВОМ [а^ж,,...,^] = О

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА-2005

Работа выполнена на кафедре алгебры математического факультета Московского педагогического государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Пчелинцев Сергей Валентинович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Зайцев Михаил Владимирович -

кандидат физико-математических наук, доцент Трушина Марина Николаевна

Ведущая организация:

Тульский государственный педагогический университет им Л.Н. Толстого

Защита состоится «11_» коаЗр* 2005 г. в _ на заседании

диссертационного совета К 212.154.03 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, г. Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, математический факультет, ауд.301.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, г. Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1.

Автореферат разослан «_»_2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Г. А. Карасёв

Т9Ш~

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

из

Актуальность темы. Теория многообразий алгебр в настоящее время представляет собой довольно обширный и активно развивающийся раздел теории колец. Ядром этого раздела является значительно развитая теория многообразий ассоциативных алгебр, в рамках которой получено много глубоких результатов. Среди большого круга вопросов теории многообразий важное место занимает изучение строения идеалов тождеств различных многообразий, нахождение и иссле-

дование систем порождающих этих идеалов (базисов тождеств). Так в 1950 г. возникла проблема Шпехта: верно ли, что всякое многообразие ассоциативных алгебр над полем характеристики 0 задается конечным набором тождеств?

В связи с этой проблемой появилось важное понятие шпехтовости: многообразие называется шпехтовым, если оно само и любое его собственное подмногообразие имеет конечный базис тождеств. Формально более слабым условием является понятие унитарной шпехтовости, которое означает, что всякое подмногообразие, порожденное алгеброй с единицей, имеет конечный базис тождеств. На языке решеток шпехтовость означает, что любая убывающая цепь подмногообразий стабилизируется на конечном шаге.

Вопросам шпехтовости и унитарной шпехтовости различных многообразий, таких как многообразия ассоциативных, лиевых, альтернативных и йордановых алгебр, посвящена обширная литература: В.А. Артамонов [2, 3], А.Р. Кемер [1,1618], В.Н. Латышев [21-26], Ю.А. Медведев [28,29], C.B. Пчелинцев [32-35], Ю.П. Размыслов [37,38] и др.

Серьезный интерес к проблеме конечной базируемое™ многообразий алгебр Ли проявлял академик А.И. Мальцев. Эта проблема представляет несомненный интерес и для других многообразий алгебр, прежде всего, альтернативных и йордановых.

Одним из первых в нашей стране начал заниматься проблемой Шпехта профессор В.Н. Латышев. В частности, в 1972 году он доказал, что многообразие ассоциативных алгебр над полем характеристики 0, удовлетворяющих тождеству [[а!,^, — !1!!^])!®»-!'®»]] ~ 0, является конечно-базируемым [23]. В 1987 проблему Шпехта решил А.Р. Кемер [18], доказав, что всякое многообразие ассоциативных алгебр над полем характеристики 0 имеет конечный базис тождеств. Однако, над полями конечной характеристики, существуют бесконечно базируемые многообразия [8,9,41].

В 1976 г. A.M. Слинько в Днестровской тетради [10] сформулировал проблему о конечной базируемое™ произвольного многообразия разрешимых альтернативных (йордановых) алгебр. В том же 1976 г. В.П. Белкин [7] доказал существование бесконечно базируемых многообразий правоальтернативных алгебр -это первый пример бесконечно базируемого многообразия в теории колец, близких к ассоциативным.

Примерно в это же время C.B. Полин доказал существование многообразия, порожденного некоторой конечной алгеброй над произвольным конечным полем, имеющее бесконечный базис тождеств. Немного позже И.В. Львов [27] построил 6-мерную неассоциативную алгебру, обладающую указанными свойствами. Кроме того, оказалось, что решетка подмногообразий многообразия, порожденного этой конечной алгеброй, бесконечна.

Для конечных ассоциативных, лиевых, альтернативных, йордановых и мальцевских колец ситуация в корне иная: любое конечное кольцо в каждом из указанных многообразий порождает кроссово многообразие (И.В. Львов; Ю.А. Бахтурин и А.Ю. Ольшанский; Ю.А. Медведев [6]).

Ряд глубоких результатов о решетках многообразий алгебр и цепных многообразиях получили Г.В. Дорофеев [11,12] и В.А. Артамонов [2, 3].

В 1978 году Ю.А. Медведев [28] доказал конечную базируемость произвольного многообразия с двучленным тождеством, в частности, многообразий

разрешимых индекса 2 альтернативных, йордановых и других алгебр, близких к ассоциативным. В 1980 году Ю.А. Медведев [29] доказал, что многообразие альтернативных алгебр над полем характеристики 2, определенное тождествами:

[(яаХ^Ж = = 0, (...((х2х1)х2)...хп}х = 0,

не имеет конечного базиса тождеств.

В 1981 году С.В. Пчелинцевым были введены понятия конечномерности и топологического ранга многообразия и изучены решетки многообразий метабеле-вых алгебр, близких к ассоциативным [30]. Строение решетки подмногообразий многообразия альтернативных метабелевых алгебр над полем характеристики 0, при некотором дополнительном ограничении, описано A.B. Ильтяковым [14]. Им же в 1991 году была доказана шпехтовость конечно-порожденной альтернативной PI-алгебры над полем характеристики нуль [15].

В 1985 году У.У. Умирбаев [39] положительно решил отмеченную проблему А.М. Слинько для произвольного многообразия альтернативных алгебр над полем характеристики, отличной от 2 и 3.

С.В. Пчелхшцев в [30-32] указал бесконечно базируемые многообразия алгебр над полем характеристики 3, удовлетворяющие тождествам [[a;,j/],z] = 0, ((xy)(zt))v = v((xy){zt)) = 0, а в [35] привел первый пример почти шпехтова многообразия линейных алгебр над полем.

Отметим также, что A.B. Бадеев [5] доказал существование бесконечно базируемых многообразий коммутативных альтернативных алгебр и коммутативных луп Муфанг.

В этих работах при доказательстве основных результатов существенно использовались грассмановы оболочки вспомогательных супералгебр. Возможность применения супералгебр для построения контрпримеров была впервые указана И.П. Шестаковым [40].

В целом, изучение супералгебр и алгебр Грассмана, в последнее время, привлекает все чаще внимание специалистов [34, 36, 40, 47]. И это не случайно, ведь такой подход является достаточно мощным аппаратом при изучении тех или иных структурных свойств.

Цель работы. Задача диссертации заключается в изучении строения идеалов тождеств многообразий альтернативных алгебр с тождествами

\х1,х2,х3,хл] = 0 - лиевой нильпотентности индекса 4, ([п4) и

[х1,х2,...,хй] = 0 лиевой нильпотентности индекса 5, ('п5)>

Методы исследования. В работе используются комбинаторные методы, метод Хигмана (вполне-частично упорядоченных множеств) и метод построения вспомогательных супералгебр.

Научная новизна. Все результаты являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказана тривиальность идеала тождеств ассоциативной алгебры Грассмана в альтернативной алгебре с тождеством ([п5).

2. Доказано, что решетка унитарных подмногообразий многообразия альтернативных алгебр с тождеством (Гп4), содержащих многообразие всех ассоциативных алгебр с тождеством (1п4), является цепью.

3. Доказана шпехтовость многообразия альтернативных алгебр над полем характеристики 0 с тождеством ((п5).

4. Указан базис тождеств альтернативной алгебры Грассмана с тождеством (1п5).

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы по теории многообразий неассоциативных алгебр.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на V Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», (г. Тула, 2003 г.), Международной алгебраической конференции посвященной 250-летию МГУ и 75-летию кафедры алгебры МГУ (г. Москва, 2004 г.), а также на семинарах кафедры алгебры Mill У.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Текст диссертации изложен на 73 страницах. Список литературы содержит 52 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение. Во введении обосновывается актуальность темы, предистория вопроса, а также формулируются основные результаты диссертации.

Глава 1 состоит из двух параграфов. В первом приводятся основные понятия и известные результаты, относящиеся к тождествам, многообразиям, свободным алгебрам. Здесь же приведены понятия, связанные с теорией решеток. В последнее время серьезный интерес проявляется к супералгебрам, которым посвящен отдельный пункт. Второй параграф содержит основные определения, обозначения и тождества, используемые в диссертации, например £91я - многообразие алгебр, лиево нильпотентных индекса п. Кроме того, здесь же доказывается

Теорема 1.1. Пусть А 6 Тогда идеал тождеств ассоциативной алгебры Гроссмана является тривиальным идеалом в алгебре А.

Глава 2 посвящена изучению решеток многообразий алгебр с единицей, удовлетворяющих одному из тождеств:

= 0 - лиева нильпотентность индекса 4, (in4)

[х, у, у] = 0 - энгелевостъ индекса 2. (eng)

В 1965 г. В.Н. Латышев [21] доказал шпехтовость многообразия £ := £91°. Более того, в этой работе было дано «описание решетки Ри(£) унитарно замкнутых подмногообразий многообразия £». В данной главе уточняется это описание, и показывется, что не существует собственных подмногообразий, выделяемых тождествами 1x^x2,х3][х^хь]...[хп,х2к+1], к> 2. Справедлива

Теорема 2.2. Произвольный набор Т1}Т2....,Тя,... унитарных вербальных идеалов алгебры Р = Рх [£914], содержащихся в -О(^), является цепью.

В этой главе приведено описание решеток Ри (<£пд) и Ри (£914) унитарных

подмногообразий, в частности, неассоциативные части указанных решеток совпадают.

Глава 3 состоит из трех параграфов. В первом изучается многообразие альтернативных алгебр с тождеством Тэди \(х,у,г),{\ = 0, не обязательно удовлетворяющих тождествам лиевой нильпотентности1. Доказано, что указанное выше многообразие является объединением многообразий альтернативных лиево ниль-потентных алгебр индекса 4 и многообразия ассоциативных алгебр. Отсюда на основании работ А.Р. Кемера [18] и Г.В. Дорофеева [12] выведена

Теорема 3.2. Многообразие альтернативных алгебр над полем характеристики О с тождеством Тэди [(я, у, г), ¿] = 0 является шпехтовым.

Во втором вводятся и доказываются основные свойства функций /,д^д * в свободной альтернативной алгебре с тождеством [х1,х2,...,хй] = 0, например, ](х,у,:= [(ж,у,г)Л\. В частности, доказано, что указанные функции являются относительными дифференцированиями, и указывается система линейных порождающих для Г-идеала, определенного функцией. Результаты этого параграфа существенны для дальнейшего изложения.

1 Простые алгебры с этим тождеством изучал А.Тэди в работе [48].

В третьем параграфе доказана

Теорема 3.3. Многообразие £9Î5 является шпехтоеым,

В главе 4 рассматривается многообразие Ш альтернативных алгебр с тождеством (ln5) лиевой нильпотентности индекса 5. Глава состоит из четырех параграфов и посвящена изучению тождеств алгебры Грассмана G[X]:= Gm{X}. В первом параграфе строится аддитивный базис свободной супералгебры, порожденной одним нечетным элементом. В втором рассматривается ассоциативная ме-табелева алгебра. В третьем параграфе находятся основные тождества алгебры Грассмана G [А']. В четвертом параграфе указан базис тождеств алгебры G[X\.

Теорема 4.1. Система тождеств

\xv х2,х3,х4, хб] = 0 (лиева нильпотентность индекса 5),

[x,yf = 0 (квадрат коммутатора),

[х, у, z,z]= 0 (ослабленная 2-энгепевостъ).

является базисом тождеств альтернативной алгебры Грассмана многообразия

mf.

В качестве следствия указан базис тождеств алгебры Грассмана в многообразии альтернативных алгебр с тождеством лиевой нильпотентности индекса 4, состоящий из одного дополнительного тождества (eng) энгелевости индекса 2.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору C.B. Пчелинцеву, за постановку задач, полезные обсуждения полученных результатов и помощь при подготовке диссертации.

Цитированная литература

1. Ананьин A3., Кемер А.Р. Многообразия ассоциативных алгебр, решетки подмногообразий которых дистрибутивны//Сибирский математический журнал. 1976. Т. 17, №4. С. 723-730.

2. Артамонов ВА. Цепные многообразия линейных алгебр/ЛГруды ММО. 1973. Т. 29. С. 51-78.

3. Артамонов ВА. Решетки многообразий линейных алгебр//УМН. 1978. Т. 33, №2. С. 135-167.

4. Бадеев A3. Многообразия центрально-метабелевых коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3//Деп. в ВИНИТИ 04.11.98. №3209 В-98 ред. Сибирский математический журнал.-16 с.

5. Бадеев A.B. О шпехтовости многообразий коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3 и коммутативных луп Му-фанг//Сибирский математический журнал. 2000. Т. 41, № 6. С. 1252-1268.

6. Бахтурин ЮА. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука, 1985.

7. Белкин В.П. О многообразиях правоальтернативных алгебр//Алгебра и логика. 1976. Т. 15, №5. С. 491-508.

8. Белов АЯ. Контрпримеры к проблеме Шпехта//Математический сборник. 2000. Т. 191, №3. С. 13-24.

9. Гришин A.B. Примеры не конечной базируемости Т-пространств и Т— идеалов в характеристике 2//Фундаментальная и прикладная математика. 1995. Т.1, № 3. С. 669-700.

10. Днестровская тетрадь. Нерешенные задачи теории колец и модулей. Новосибирск: ИМ СО АН РАН, 1993.

11. Дорофеев Г. В. Объединение многообразий алгебр//Алгебра и логика. 1976. Т. 15, №3. С. 267-291.

12. Дорофеев Г. В. О некоторых свойствах объединения многообразий ал-гебр//Алгебра и логика. 1977. Т. 16, №1. С. 24-39.

13. Жевлаков КА., Слинько А.М., Шестаков ИЛ., Ширшов А.И. Кольца, близкие к ассоциативным. М.: Наука, 1978.

14. Ильтяков A.B. Решетка подмногообразий многообразия двухступенчато разрешимых альтернативных алгебр//Алгебра и логика. 1982. Т. 21, №2. С. 170— 177.

15. Ильтяков A.B. Конечность базиса тождеств конечно-порожденной альтернативной PI-алгебры над полем характеристики нуль//Сибирский математический журнал. 1991. Т. 32, № 6. С. 61-75.

16. Кемер А.Р. Шпехтовость Г-идеалов со степенным ростом коразмерно-стей//Сибирский математический журнал. 1978. Т. 19, № 1. С. 54-69.

17. Кемер А.Р. О нематричных многообразиях//Алгебра и логика. 1980. Т. 19, № 3. С. 255-283.

18. Кемер А.Р. Конечная базируемость тождеств ассоциативных алгебр//Алгебра и лотка, 1987. Т. 26, № 5. С. 597 - 641.

19. Кон П. Универсальная алгебра. М..Издательство «Мир», 1968.

20. Курош AT. Лекции по общей алгебре. М.: Наука, 1973.

21. Латышев В.Н. О конечной порожденное™ Т -идеала с элементом [:Ei, ж2,z3,]//Сибирский математический ж. 1965. Т. 6, №6. С.1432-1434.

22. Латышев ВН. О шпехтовости некоторых многообразий ассоциативных алгебр // Алгебра и логика. 1969. Т. 8, №6. С. 660-673.

23. Латышев В Л. Шпехтовость Г-идеала [[гс15 х2....,хп_2], [хп_г //ДАН 1972. Т. 207, №4, С. 777-780.

24. Латышев В.Н. О некоторых многообразиях ассоциативных алгебр//Изв. АН СССР. Сер. мат. 1973. Т. 37, №5. С. 1010-1037.

25. Латышев В.Н. Конечная базируемость тождеств некоторых колец//УМН. 1977. Т. 32, № 4. С. 259-260.

26. Латышев В.Н. Нематричные многообразия ассоциативных алгебр (Автореферат диссертации на соискание степени доктора математических на-ук)//Математические заметки. 1980. Т. 27, № 1. С. 147-156.

27. Львов И.В. Конечномерные алгебры с бесконечными базисами тож-деств//Сибирский математический журнал. 1978. Т. 19, № 1. С. 91-99.

28. Медведев Ю.А. Конечная базируемость многообразий с двучленным тождест-вом//Алгебра и логика. 1978. Т. 17, № 6. С. 705-726.

29. Медведев Ю.А. Пример многообразия разрешимых альтернативных алгебр над полем характеристики 2, не имеющего конечного базиса тож-деств//Алгебра и логика. 1980. Т. 19, № 3. С. 300-313.

30. Пчелинцев C.B. Разрешимые индекса 2 многообразия алгебр//Математический сборник. 1981. Т. 115. С. 179-203.

31. Пчелинцев C.B. О многообразиях, порожденных свободными алгебрами типа (-1,1) конечного ранга//Сибирский мат. журнал. 1987. Т.28, №2, С. 149-158.

32. Пчелинцев C.B. Многообразия разрешимых индекса 2 альтернативных алгебр над полем характеристики 3//Математические заметки, 1999. Т. 66, № 4. С. 556-566.

33. Пчелинцев C.B. Структура слабых тождеств центрально-метабелевых альтернативных алгебр Грассмана над полем характеристики 3. Международный семинар "Универсальная алгебра и ее приложения" памяти Л.А.Скорнякова//Тез. Докл. Волгоград. 1999. С. 57-58.

34. Пчелинцев C.B. Структура слабых тождеств на грассмановых оболочках центрально метабелевых альтернативных супералгебр супер-ранга 1 над полем характеристики 3//Фундаментальная и прикл. мат. 2001. Т.7, № 3. С.849-871.

35. Пчелинцев C.B. Об одном почти шпехтовом многообразии центрально-метабелевых альтернативных алгебр над полем характеристики ЗУ/Математический сборник. 2000. Т. 191, № 6. С. 127-144.

36. ТТчелинцев С.В. Правоальтернативные метабелевы алгебры Грассамна//ХГП Международная конференция «Математика. Экономика. Образование.» Ш Международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения». Тезисы докладов. Ростов н/Д, 2005-195с. С-87.

37. Розмыслов ЮЛ. О конечной базируемости тождеств матричной алгебры второго порядка над полем характеристики нуль//Алгебра и логика. 1973. Т. 12, № 1.С. 83-113.

38. Розмыслов Ю.П. Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр, Алгебра и логика//1974. Т. 13, № 6. С. 685-693.

39. Умирбаев У.У. Шпехтовость многообразия разрешимых альтернативных ал-гебр//Алгебра и логика. 1985. Т. 24, № 2. С. 226-239.

40. Шестаков И.П. Супералгебры и контрпримеры//Сибирский математический журнал. 1991. Т.32, №6. С. 187-196.

41. Щиголев В.В. Примеры бесконечнобазируемых Г-идеалов//Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т. 6, № 1. С. 307-312.

42. AmitsurA. S. The T-ideals of free rings//Jour. London Math. Soc. 1955. V. 30. P. 470-475.

43. Dremky V.S., Rashkova T.G. Varieties of metabelian Jordan algebras//Serdica Bulgarical mathematical publications. 1989. V.15, N 4. P. 293-301.

44. G. Higman Ordering by divisibility in abstract algebras//Proc. London Math. Soc. 1952. V. 3, N2. P. 326-336.

45. M. Humm, E. Kleinfeld On free alternative rings//J. Combin theory. 1967. V.2, N 2. 140-144.

46. A. Sagle Malcev algebras//Tranc, Amer Math. Soc. 1961. V.101,N3. P. 426-458.

47. Shestakov I.P. Free Malcev Superalgebra on One Odd Generator//Journal of Algebra and Its Applications. 2003. Vol. 2, № 4. P. 451-461.

48. A. Thedy On rings satisfysing [(a,b,c),d\ = 0//Proc. Amer. Math. Soc. 1971. Vol 29.P.250-254.

Публикации автора по теме диссертации

1. Ваулин А.Н. Свободная альтернативная алгебра с тождеством [[[z,2/]iz],i] = 0: Тезисы докладов V Международной конференции «Алгебра и

теория чисел: современные проблемы и приложения»//Тула. 2003. С. 65-66. (0.08 п.л.)

2. Ваулин А.Н. Свободная альтернативная алгебра с тождеством [[[я,у],*],*] = 0//Чебышевский сборник. 2003. вып.1, Т. 4. С. 54-60. (0.44 п.л.)

3. Ваулин АЛ. Об одном многообразии альтернативных ал-гебр//Фундаментальная и прикладная математика. 2004. Т. 10, № 4. С. 23-34. (0.75 пл.)

4. Ваулин А.Н. Базис тождеств алгебры Грассмана многообразия альтернативных алгебр с тождеством лиевой нильпотентности индекса 5, Тезисы докладов V Международной алгебраической конференции на Украине/Юдесса. 2005. С. 223. (0.06 пл.)

Подл, к печ. 28.09.2005 Объем 0.75 п.л. Заказ №.350 Тир 100 экз.

Типография МПГУ

*21013

РНБ Русский фонд

2006-4 19648

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Ваулин, Андрей Николаевич

ВВЕДЕНИЕ. ф

ГЛАВА 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ.

СЛЕДСТВИЯ ТОЖДЕСТВА [ж^,.,^] = 0.

§ 1. Основные понятия и обозначения.

§ 2. Тривиальность грассманова идеала.

ГЛАВА 2. СТРОЕНИЕ РЕШЕТОК МНОГООБРАЗИЙ

АЛГЕБР С ТОЖДЕСТВОМ [xvx2,xz,xA] = 0.

§1.0 многообразии ассоциативных алгебр.

§ 2. О решетке многообразий альтернативных алгебр с тождеством энгелевости [х,у,у] = 0 индекса 2.

• ГЛАВА 3. ШПЕХТОВОСТЬ МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР

С ТОЖДЕСТВОМ [ж1,ж2,.,ж5] = 0.

§ 1. Многообразие альтернативных алгебр с тождеством Тэди [(ж,y,z),t] = 0.

§ 2. Функции J,ga,g* и их основные свойства.

§ 3. Шпехтовость многообразия £91(5).

ГЛАВА 4. БАЗИС ТОЖДЕСТВ АЛГЕБРЫ ГРАССМАНА

• МНОГООБРАЗИЯ Ш1П£9Т(5).

§ 1. Вспомогательная супералгебра.

§ 2. Ассоциативная алгебра с тождествами x,yUz,t]} = 0 и [я, у ].[*,*] = О.

§ 3. Основные тождества алгебры Грассмана.

§ 4. Базис тождеств алгебры Грассмана.

Введение диссертация по математике, на тему "Многообразия альтернативных алгебр с тождеством [x1,x2,...,x5]=0"

Теория многообразий алгебр в настоящее время представляет собой довольно обширный и активно развивающийся раздел теории колец. Ядром этого раздела является значительно развитая теория многообразий ассоциативных алгебр, в рамках которой получено много глубоких результатов. Среди большого круга вопросов теории многообразий важное место занимает изучение строения идеалов тождеств различных многообразий, нахождение и исследование систем порождающих этих идеалов (базисов тождеств). Так в 1950 г. возникла проблема Шпехта: верно ли, что всякое многообразие ассоциативных алгебр над полем характеристики 0 задается конечным набором тождеств?

Вопросам шпехтовости и унитарной шпехтовости различных многообразий, таких как многообразия ассоциативных, лиевых, альтернативных и йорда-новых алгебр, посвящена обширная литература: В.А. Артамонов [2,3], А.Р.Кемер [1, 16-18], В.Н.Латышев [21-26], Ю.А.Медведев [28,29], С.В. Пчелинцев [32-35], Ю.П. Размыслов [37, 38] и др.

Серьезный интерес к проблеме конечной базируемости многообразий алгебр Ли проявлял академик А.И. Мальцев. Эта проблема представляет несомненный интерес и для других многообразий алгебр, прежде всего, альтернативных и йордановых.

Одним из первых в нашей стране начал заниматься проблемой Шпехта профессор В.Н. Латышев. В частности, в 1972 году он доказал, что многообразие ассоциативных алгебр над полем характеристики О, удовлетворяющих тождеству [[ж1,ж2,.,жп2],[ж7г1,а;п]] = 0, является конечно-базируемым [23]. В 1987 проблему Шпехта решил А.Р. Кемер [18], доказав, что всякое многообразие ассоциативных алгебр над полем характеристики 0 имеет конечный базис тождеств. Однако, над полями конечной характеристики, существуют бесконечно базируемые многообразия [8, 9, 41].

В 1976 г. A.M. Слинько в Днестровской тетради [10] сформулировал проблему о конечной базируемости произвольного многообразия разрешимых альтернативных (йордановых) алгебр. В том же 1976 г. В.П. Белкин [7] доказал существование бесконечно базируемых многообразий правоальтернативных алгебр - это первый пример бесконечно базируемого многообразия в теории колец, близких к ассоциативным.

Примерно в это же время С.В. Полин доказал существование многообразия, порожденного некоторой конечной алгеброй над произвольным конечным полем, имеющее бесконечный базис тождеств. Немного позже И.В. Львов [27] построил 6-мерную неассоциативную алгебру, обладающую указанными свойствами. Кроме того, оказалось, что решетка подмногообразий многообразия, порожденного этой конечной алгеброй, бесконечна.

В 1978 году Ю.А. Медведев [28] доказал конечную базируемость произвольного многообразия с двучленным тождеством, в частности, многообразий разрешимых индекса 2 альтернативных, йордановых и других алгебр, близких к ассоциативным. В 1980 г. Ю.А. Медведев [29] доказал, что многообразие альтернативных алгебр над полем характеристики 2, определенное тождествами:

1Х2){?Ъ Хк) ХЬ ~ ХЬ (Х1Х2 ) (Х3Х4) = 0 J (""((Ж Xl)X2 )-"Xri)X = не имеет конечного базиса тождеств.

В 1981 году С.В. Пчелинцевым были введены понятия конечномерности и топологического ранга многообразия и изучены решетки многообразий метабе-левых алгебр, близких к ассоциативным [30]. Строение решетки подмногообразий многообразия альтернативных метабелевых алгебр над полем характеристики 0, при некотором дополнительном ограничении, описано А.В. Ильтяковым [14]. Им же в 1991 году была доказана шпехтовость конечно-порожденной альтернативной PI-алгебры над полем характеристики нуль [15].

В 1985 году У.У. Умирбаев [39] положительно решил отмеченную проблему A.M. Слинько для произвольного многообразия альтернативных алгебр над полем характеристики, отличной от 2 и 3.

С.В. Пчелинцев в [30-32] указал бесконечно базируемые многообразия алгебр над полем характеристики 3, удовлетворяющие тождествам [[ж,г/],z\ = 0, iK{xy){zt)^v — v((xy)(zt)) = 0, а в [35] привел первый пример почти шпехтова многообразия линейных алгебр над полем.

Отметим также, что А.В. Бадеев [5] доказал существование бесконечно базируемых многообразий коммутативных альтернативных алгебр и коммутативных луп Муфанг.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Ваулин, Андрей Николаевич, Москва

1. Ананьин А.З., Кемер А.Р. Многообразия ассоциативных алгебр, решетки подмногообразий которых дистрибутивны//Сибирский математический журнал. 1976. Т. 17, № 4. С. 723-730.

2. Артамонов В А. Цепные многообразия линейных алгебр//Труды ММО. 1973. Т. 29. С. 51-78.

3. Артамонов В А Решетки многообразий линейных алгебр//УМН. 1978. Т. 33, №2. С. 135-167.

4. Бадеев А.В. Многообразия центрально-метабелевых коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3//Деп. в ВИНИТИ 04.11.98. №3209 В-98 ред. Сиб. мат. ж.- 16 с.

5. Бадеев А.В. О шпехтовости многообразий коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3 и коммутативных луп Му-фанг//Сибирский математический журнал. 2000. Т. 41, № 6. С. 1252-1268.

6. Бахтурин ЮА. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука, 1985.

7. Белкин В.П. О многообразиях правоальтернативных алгебр//Алгебра и логика. 1976. Т. 15, № 5. С. 491-508.

8. Белов А.Я. Контрпримеры к проблеме Шпехта//Математический сборник. 2000. Т. 191, №3. С. 13-24.

9. Гришин А.В. Примеры не конечной базируемости Т-пространств и Т— идеалов в характеристике 2 // Фундаментальная и прикладная математика. 1995. Т.1, № 3. С. 669-700.

10. Днестровская тетрадь. Нерешенные задачи теории колец и модулей. Новосибирск: ИМ СО АН РАН, 1993.

11. Дорофеев Г. В. Объединение многообразий алгебр//Алгебра и логика. 1976. Т. 15, №3. С. 267-291.

12. Дорофеев Г. В. О некоторых свойствах объединения многообразий алгебр//Алгебра и логика. 1977. Т. 16, №1. С. 24-39.

13. Жевлаков К.А., Слинъко A.M., Шестаков И.П., Ширшов А.И. Кольца, близкие к ассоциативным. М.: Наука, 1978.

14. Илътяков А.В. Решетка подмногообразий многообразия двухступенчато разрешимых альтернативных алгебр//Алгебра и логика. 1982. Т. 21, №2. С. 170-177.

15. Илътяков А.В. Конечность базиса тождеств конечно-порожденной альтернативной PI-алгебры над полем характеристики нуль//Сибирский математический журнал. 1991. Т. 32, № 6. С. 61-75.

16. Кемер А.Р. Шпехтовость Г-идеалов со степенным ростом коразмерностей/Сибирский математический журнал. 1978. Т. 19, № 1. С. 54-69.

17. Кемер А.Р. О нематричных многообразиях//Алгебра и логика. 1980. Т. 19, № 3. С. 255-283.

18. Кемер А.Р. Конечная базируемость тождеств ассоциативных ал-гебр//Алгебра и логика, 1987. Т. 26, № 5. С. 597 641.

19. Кон П. Универсальная алгебра. М.Издательство «Мир», 1968.

20. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. М.: Наука, 1973.

21. Латышев В.Н. О конечной порожденности Г-идеала с элементом ж^ж^жд,^.//Сибирский математический журнал. 1965. Т. 6, №6. С. 1432 -1434.

22. Латышев В.И. О шпехтовости некоторых многообразий ассоциативных ал-гебр//Алгебра и логика. 1969. Т. 8, №6. С. 660-673.

23. Латышев В.Н. Шпехтовость Г-идеала [ж15 ж2,.,ж712.,[жп1,жп]]Т//ДАН 1972. Т. 207, №4, С. 777-780.

24. Латышев В.Н. О некоторых многообразиях ассоциативных алгебр//Изв. АН СССР. Серия математика. 1973. Т. 37, №5. С. 1010-1037.

25. Латышев В.Н. Конечная базируемость тождеств некоторых колец // УМН. 1977. Т. 32, № 4. С. 259-260.

28. Медведев Ю.А. Конечная базируемость многообразий с двучленным тожде-ством//Алгебра и логика. 1978. Т. 17, № 6. С. 705-726.

30. Пчелинцев С.В. Разрешимые индекса 2 многообразия алгебр/Математический сборник 1981. Т. 115. С. 179-203.

31. Пчелинцев С.В. О многообразиях, порожденных свободными алгебрами типа (-1,1) конечного ранга//Сибирский математический журнал. 1987. Т.28, №2. С. 149-158.

32. Пчелинцев С.В. Многообразия разрешимых индекса 2 альтернативных алгебр над полем характеристики 3//Математические заметки. 1999. Т. 66, № 4. С. 556-566.

33. Пчелинцев С.В. Структура слабых тождеств на грассмановых оболочках центрально метабелевых альтернативных супералгебр супер-ранга 1 над полем характеристики 3//Фундаментальная и прикладная математика. 2001. Т.7, № 3. С.849-871.

34. Пчелинцев С.В. Об одном почти шпехтовом многообразии центрально-метабелевых альтернативных алгебр над полем характеристики 3//Математический сборник. 2000. Т. 191, № 6. С. 127-144.

35. Пчелинцев С.В. Правоальтернативные метабелевы алгебры Грассмана//ХШ Международная конференция «Математика. Экономика. Образование.». III Международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения». Тезисы докладов. Ростов н/Д, 2005-195с. С-87.

36. Розмыслов Ю.П. О конечной базируемости тождеств матричной алгебры второго порядка над полем характеристики нуль//Алгебра и логика. 1973. Т. 12, № 1.С. 83-113.

37. Розмыслов ЮЛ. Конечная базируемость некоторых многообразий ал-гебр//Алгебра и логика. 1974. Т. 13, № 6. С. 685-693.

38. Умирбаев У.У. Шпехтовость многообразия разрешимых альтернативных алгебр//Алгебра и логика. 1985. Т. 24, № 2. С. 226-239.

39. Шестаков И.П. Супералгебры и контрпримеры//Сибирский математический журнал. 1991. Т.32, №6. С. 187-196.

40. Щиголев В.В. Примеры бесконечнобазируемых Т-идеалов//Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т. 6, № 1. С. 307-312.

41. Amitsur A. S. The T-ideals of free rings//Jour. London Math. Soc. 1955. V. 30. p. 470-475.

42. Drensky V.S., Rashkova T.G. Varieties of metabelian Jordan algebras//Serdica Bulgarical mathematical publications. 1989. V.15, N 4. P. 293-301.

43. G. Higman Ordering by divisibility in abstract algebras//Proc. London Math. Soc. 1952. V. 3, N 2. P. 326-336.

44. M. Humm, E. Kleinfeld On free alternative rings//! Combin theory. 1967. V.2, N 2. 140-144.

45. A. Sagle Malcev algebras//Tranc, Amer Math. Soc. 1961. V.l01, N 3. P. 426458.

46. Shestakov I.P. Free Malcev Superalgebra on One Odd Generator//Journal of Algebra and Its Applications. 2003. Vol. 2, № 4. P. 451-461.

47. A. Thedy On rings satisfysing (a,&,c),d. = 0//Proc. Amer. Math. Soc. 1971. Vol 29. P. 250-254.Работы автора по теме диссертации

48. Ваулин А.Н. Свободная альтернативная алгебра с тождествомж,y.,z],t = 0: Тезисы докладов V Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения»//Тула. 2003. С. 65-66.

49. Ваулин А.Н. Свободная альтернативная алгебра с тождествомx,y.,z],t — 0//Чебышевский сборник. 2003. вып.1, Т. 4. С. 54-60.

50. Ваулин АЛ. Об одном многообразии альтернативных ал-гебр//Фундаментальная и прикладная математика. 2004. Т. 10, № 4. С. 2334.

51. Ваулин А.Н. Базис тождеств алгебры Грассмана многообразия альтернативных алгебр с тождеством лиевой нильпотентности индекса 5, Тезисы докладов V Международной алгебраической конференции на Украине/Юдесса. 2005. С. 223.