О конечной базируемости правоальтернативных метабелевых алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

00306Т321

Кузьмин Алексей Михайлович

О КОНЕЧНОЙ БАЗИРУЕМОСТИ ПРАВОАЛЬТЕРНАТИВНЫХ МЕТАБЕЛЕВЫХ АЛГЕБР

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 2006

003067321

Работа выполнена на кафедре алгебры математического факультета Московского педагогического государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Пчелинцев Сергей Валентинович.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Зайцев Михаил Владимирович;

кандидат физико-математических наук, Ваулин Андрей Николаевич.

Ведущая организация: Институт математики СО РАН им. С. Л. Соболева.

Защита состоится « 1$ » февраля 2007 г. в « |£Г » часов на заседании диссертационного совета К 212.154.03 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, ауд. 301, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного, университета по адресу 119992, Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1.

Автореферат разослан « |2» ¿ЖвсхрЯ 200? г.

Учёный секретарь диссертационного совета

Карасёв Г. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучение строения идеалов тождеств многообразий алгебр представляет собой важное направление исследований в современной теории колец. Принципиальным аспектом подобных исследований является вопрос существования конечных систем порождающих рассматриваемых идеалов, т. е. конечных базисов тождеств. Многообразие алгебр, всякое подмногообразие которого допускает конечный базис тождеств, называют шпехтоеым.

В 1950 году в теории ассоциативных алгебр возникла проблема Шпехта. верно ли, что всякое многообразие алгебр над полем характеристики 0 обладает конечным базисом тождеств? Эта проблема оставалась нерешенной более тридцати лет, что послужило развитию интереса математиков также и к вопросам шпехтовости многообразий неассоциативных алгебр. Так, шпех-товость различных многообразий ассоциативных, лиевых, альтернативных и йордановых алгебр широко изучалась в ряде работ: А. Р. Кемер [17-20], В. Н. Латышев [22-26], Ю. А. Медведев [28, 29], С. В. Пчелинцев [32-34], Ю. П. Размыслов [36, 37] и др.

Одним из первых в нашей стране проблемой Шпехта начал заниматься профессор В. Н. Латышев. В частности, в 1972 году он доказал шпехтовость многообразия ассоциативных алгебр над полем характеристики 0 с тождеством [[а71, Х2,..., Хп-г], [жп-ъ а^]] = 0 [24]. Окончательное решение проблемы Шпехта получил в 1987 году А. Р. Кемер [19], доказав, что произвольное многообразие ассоциативных алгебр над полем характеристики 0 имеет конечный базис тождеств. Однако над полями ненулевой характеристики существуют бесконечно базируемые многообразия [6, 7, 43].

В 1966 году проблема конечной базируемости многообразий алгебр привлекла внимание академика А. И. Мальцева. Так, на Втором Всесоюзном симпозиуме по теории групп в Батуми он [21] сформулировал вопросы о шпехтовости многообразий алгебр Ли и многообразий, порожденных конечными алгебрами Ли. Вскоре, в 1968 году, Воон-Ли [50] доказал шпехтовость многообразия разрешимых индекса 2 (метабелевых) алгебр Ли. Им же в работе [51] построен первый пример бесконечно базируемого многообразия алгебр Ли над полем характеристики 2. Позднее В. С. Дренски [12] распространил результат [51] на случай произвольного поля ненулевой характеристики. В 1978 году Ю. А. Медведев [28] получил обобщение результата [50], установив шпехтовость многообразия метабелевых алгебр Мальцева. Значительным результатом в этой области является опубликованное в 1992 году А. В. Ильтя-

ковым [45] доказательство шпехтовости многообразия, порожденного конечномерной алгеброй Ли. Отметим, что вопрос о шпехтовости произвольного многообразия разрешимых алгебр Ли над полем характеристики 0 до сих пор остается открытым.

Как известно, каждая разрешимая конечнопорождённая альтернативная или йорданова алгебра нильпотентна [13]. Первые примеры разрешимых, но не нильпотентных альтернативных алгебр и алгебр типа (—1,1) построил Г. В. Дорофеев [9, И]. В 1976 году A.M. Слинько [8] сформулировал проблему шпехтовости многообразия разрешимых альтернативных (йордановых) алгебр, вызывающую интерес в том числе и в силу близости многообразия альтернативных алгебр к многообразию ассоциативных алгебр. Эту близость поясняет теорема Артина, утверждающая, что каждая двупорождённая подалгебра альтернативной алгебры ассоциативна [13].

Определенное продвижение в решении проблемы А. М. Слинько дала доказанная Ю. А. Медведевым в 1978 году теорема о конечной базируемости многообразий с двучленным тождеством [28]. Следствием этой теоремы является шпехтовость ряда многообразий метабелевых алгебр, близких к ассоциативным, в частности, альтернативных и йордановых. В 1985 году положительное решение проблемы А. М. Слинько для альтернативных алгебр в случае поля характеристики, отличной от 2 и 3, получил У. У. Умирбаев [40]. Контрпримеры, показывающие принципиальность ограничений на характеристику поля, были построены в 1980 году Ю. А. Медведевым [29] и в 2000 году С. В. Пче-линцевым [33].

В классе правоальтернативных алгебр понятия разрешимости и нильпотентности также в некотором смысле близки. Например, в конечномерном случае разрешимость эквивалентна правой нильпотентности. Первый пример конечномерной правоальтернативной метабелевой правонильпотентной алгебры, которая не является нильпотентной, принадлежит Г. В. Дорофееву [10]. В 1976 году В. П. Белкин [5] доказал нешпехтовость многообразия правоальтернативных метабелевых алгебр, построив первый пример бесконечно базируемого многообразия в теории колец, близких к ассоциативным. Примерно в это же время С. В. Полин доказал существование многообразия, порожденного некоторой конечной алгеброй над произвольным конечным полем, имеющего бесконечный базис тождеств. В 1978 году И. В. Львов [27] построил бесконечно базируемую 6-мерную неассоциативную алгебру, порождающую многообразие, решетка подмногообразий которого бесконечна.

В 1981 году С. В. Пчелинцевым были введены понятия конечномерности и топологического ранга многообразия и изучены решетки многообра-

зий метабелевых алгебр, близких к ассоциативным [30]. Строение решетки подмногообразий многообразия альтернативных метабелевых алгебр над полем характеристики 0, при некотором дополнительном ограничении, описано А. В. Ильтяковым [14]. Им же в 1991 году в работе [15] доказана шпехтовость конечнопорождённой альтернативной Р1-алгебры над полем характеристики 0.

Цель диссертационной работы. Изучение строения идеалов тождеств правоальтернативных метабелевых алгебр

Основные задачи

1. Нахождение достаточных условий шпехтовости многообразий правоальтернативных метабелевых алгебр.

2. Вычисление топологического ранга многообразия правоальтернативных метабелевых алгебр с тождеством лиевой нильпотентности.

3. Построение почти шпехтова многообразия правоальтернативных метабелевых алгебр.

4. Оценка супер-ранга многообразия правоальтернативных метабелевых алгебр.

Новизна результатов. Все полученные результаты являются новыми. Выделим основные из них.

1. Доказана теорема, дающая достаточное условие шпехтовости многообразия правоальтернативных метабелевых алгебр.

2. Вычислен топологический ранг многообразия правоальтернативных метабелевых алгебр с тождеством лиевой нильпотентности произвольной ступени.

3. Построено почти шпехтово многообразие правоальтернативных метабелевых алгебр.

4. Доказано, что многообразие правоальтернативных метабелевых алгебр над произвольным полем ненулевой характеристики не имеет конечного супер-ранга.

Методы исследования. В работе используются комбинаторные методы, метод вполне-частично упорядоченных множеств (метод Хигмана), метод построения аддитивного базиса свободной алгебры многообразия и метод построения вспомогательных супералгебр.

Теоретическое и прикладное значение. Работа имеет теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения разрешимых многообразий алгебр, близких к ассоциативным, и в качестве материалов для специальных курсов в высшых учебных заведениях.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах по теории колец кафедры Высшей алгебры МГУ им. М. В. Ломоносова.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в четырёх публикациях. Их список приведён в конце реферата.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 55 наименований. Текст диссертации изложен на 75 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы, кратко излагается предыстория рассматриваемых вопросов и современное состояние изучаемых проблем, формулируются результаты работы.

В первой главе диссертации получен ряд достаточных условий шпехто-вости многообразий правоальтернативных метабелевых алгебр.

В 1976 году В П. Белкин [5] показал, что над любым полем существуют бесконечно базируемые многообразия правоальтернативных метабелевых алгебр. Как установил И. М. Исаев [16], порождающие алгебры таких многообразий могут быть и конечномерными. Естественным образом возникает необходимость установления достаточных условий конечной базируемости многообразий правоальтернативных метабелевых алгебр. В силу теоремы Медведева [28] шпехтовыми в многообразии правоальтернативных метабелевых алгебр являются подмногообразия альтернативных алгебр, (-1,1)-алгебр и левонильпотентных алгебр. Однако других положительных результатов о

шпехтовости многообразий правоальтернативных метабелевых алгебр до настоящего момента известно не было.

В первой главе диссертации изучается вопрос о шпехтовости многообразий, определяемых тождествами присоединённой алгебры Л^, полученной кососимметризацией [х, у] = ху — ух умножения в правоальтернативной ме-табелевой алгебре Л. Глава 1 состоит из трёх параграфов. В первом параграфе вводятся необходимые обозначения и устанавливаются основные операторные соотношения ассоциативной алгебры умножений, действующих на квадрате свободной правоальтернативной метабелевой алгебры. Второй параграф посвящен доказательству теоремы 1.1, дающей достаточное условие шпехтовости многообразия правоальтернативных метабелевых алгебр.

Длинным коммутатором от переменных хи..., х„ назовём многочлен вида

[хих2,...,хп-1,хп] := [[... [жх, а;2], - - -, жп_1], х„] (п ^ 3).

Длинный коммутатор от п элементов вида [х\, х^,..., хп-к, у,---,у] будем называть к-энгелевым.

Теорема 1.1. Пусть — многообразие правоальтернативных метабелевых алгебр над полем Т характеристики, не равной 2, и 21 — свободная в алгебра от счетного множества порождающих X = {хх, Х2,..., хп,...}. Если для некоторого натурального ЛГ ^ 5 линеаризация

[хм, ...,хз, 12, ®1] + [ядл • • •, яз, ®1| яг] 2-энгелева коммутатора представима в алгебре 21 в виде М-1 Г

53 ( [ХМо1 • • • , Х{2{+Щ<Т, Я(21+1)а, ж(2г)а] +

о£кц 1=1

+ ■■■, К(21+2)<7! х{2г)а, 2?(2гЧ1)ст] ) , Ж(2г-1)гт, • • •,

где км — знакопеременная группа сщепени N и а-"' 6 Т, то многообразие ОТ является шпехтовым.

Из теоремы 1.1 выводятся три следствия о шпехтовости многообразия уаг (Д), порождённого правоальтернативной метабелевой алгеброй А над полем Т.

Следствие 1.1. Если алгебра бинарно-лиева, то многообразие

уаг (А) гипехтово. В частности, шпехтовым является многообразие ме-табелевых бинарно (—1,1)—алгебр над полем Т.

Следствие 1.2. Пусть в алгебре А выполнено тождество вида [ал, 2-21 • • • 1 = а[х\а, ХЧа,Хпа] , .

где а € Т и а — подстановка степени п ^ 3, удовлетворяющая условиям: па ф п и существует г £ [3,п] такое, что число |г — га\ нечётно. Тогда многообразие уаг (.4) гипехтово.

Заметим, что ограничение па фп в условии следствия 1.2 принципиально. Это следует из результатов главы 3, в которой построено бесконечно базируемое многообразие правоальтернативных метабелевых алгебр с тождеством

[®1, Х2, Хз, Х4, Ж5] = - [ц, Х2, Х4, Ж3, Ж5] .

Следствие 1.3. Пусть в алгебре А выполнено нетривиальное тождество вида

<*а [яга, Х2<Т, ■ Хпа] = О,

<гес„

где аа £ Т и Сп — группа подстановок степени п 3, порождённая циклом (12... п). Тогда многообразие уаг (Д) шпехтово.

В частности, многообразие уаг(Л) шпехтово, если алгебра А удовлетворяет произвольному нетривиальному коммутаторному полилинейному тождеству степени 3.

Доказательству следствий 1.1-1.3 посвящен третий параграф первой главы. Там же доказана существенность ограничения на характеристику поля Т в условии теоремы 1.1.

Во второй главе диссертации вычислен топологический ранг многообразия правоальтернативных метабелевых алгебр с тождеством лиевой нильпотентности произвольной ступени.

С. В. Пчелинцевым в работе [30] изучено строение множества нениль-потентных подмногообразий различных многообразий метабелевых алгебр, близких к ассоциативным. Так, указанное множество в случае альтернативных алгебр конечно; в случае алгебр типа (-1, 1) бесконечно, но имеет конечную размерность; в случае алгебр Мальцева оно бесконечномерно, но обладает конечным топологическим рангом; наконец, в случае йордановых алгебр

указанное множество имеет бесконечный топологический ранг. В. С. Дренски и Т. Г. Рашкова [44] доказали конечность топологического ранга всякого собственного подмногообразия в многообразии метабелевых йордановых алгебр над полем характеристики 0.

В 1999 году А. В. Бадеев [3] построил пример многообразия 3) коммутативных альтернативных ниль-алгебр над полем характеристики 3, имеющего бесконечный топологический ранг и обладающего счётной системой подмногообразий 2)„, каждое из которых выделяется в Э некоторым тождеством неограничено высокой степени п так, что топологический ранг г* (2)„) является линейной функцией от п. Других подобных примеров многообразий алгебр до настоящего момента известно не было.

Пусть — многообразие правоальтернативных метабелевых алгебр с тождеством [го, х\,..., хд/-] = 0 лиевой нильпотентности ступени N. В силу теоремы 1.1 многообразие £лг над полем характеристики, не равной 2, является шпехтовым. Во второй главе диссертации решается задача о нахождении топологического ранга многообразия £дг над полем характеристики, отличной от 2 и 3. Как установлено в работе [30], = 1 и ^(£2) = 2.

Результатом главы 2 является следующая

Теорема 2.1. Топологический ранг многообразия £л/ над полем характеристики, отличной от 2 и 3, равен Л/*.

Глава 2 состоит из пяти параграфов. В первом параграфе устанавливаются необходимые в дальнейшем свойства свободной правоальтернативной метабелевой алгебры с тождеством лиевой нильпотентности. Второй параграф посвящён построению аддитивного базиса пространства полилинейных многочленов указанной алгебры. В третьем параграфе даётся определение .АА-выделенного многообразия и получается верхняя оценка его топологического ранга. В четвёртом параграфе строится вспомогательная супералгебра для нижней оценки топологического ранга Л^-выделенного многообразия. После этого в пятом параграфе доказывается теорема о точном значении топологического ранга АГ-выделенного многообразия, непосредственным следствием которой является теорема 2.1.

»

В 2000 году С. В. Пчелинцев [33] построил почти шпехтово многообразие1 центрально-метабелевых альтернативных алгебр над полем характеристики 3. До настоящего момента этот результат оставался единственным известным примером почти шпехтова многообразия алгебр.

'т е. бесконечно базируемое многообразие, всякое собственное подмногообразие которого имеет конечный базис тождеств.

В третьей главе диссертации построено почти шпехтово многообразие правоальтернативных метабелевых алгебр над полем характеристики, не равной 2.

В 2005 году С. В. Пчелинцевым [35] получен ряд результатов о многообразиях, порождённых правоальтернативными метабелевыми алгебрами Грассмана конечного ранга. Напомним понятие алгебры Грассма-на ранга г. Пусть Ш — многообразие алгебр; С — ассоциативная алгебра Грассмана со стандартной системой порождающих e¡ (г = 1,2,...). Если Л = Ло Ф А\ — супералгебра, то через в (Л) обозначается, как обычно, её грассманова оболочка Со ® Ло + ® Л1. Напомним [42], что алгебра Л называется Ш—супералгеброй, если С (Л) € ЭЛ. Пусть [X] — свободная ОТ—супералгебра с множеством X = Хо и свободных порождающих (Хо — множество чётных порождающих; Х\ — нечётных); Г{ = — мощность множества Х{. Пару (го, г{) назовем рангом свободной супералгебры.

Рассмотрим 9Я—свободную супералгебру ШР [X] от г свободных нечётных порождающих х\,...,хт. В ее грассмановой оболочке возьмем элементы — Х{ ® , где е^ (г = 1, г, j = 1,2,...) — стандартные порождающие ассоциативной алгебры Грассмана. Подалгебру бая [а?!,... ,®г], порожденную элементами назовем Ш—алгеброй Грассмана ранга г, а набор г — 1,г, ] = 1,2,...) — набором её стандартных порождающих. Определяющим свойством алгебры Грассмана ранга г является кососимметричность её одночленов относительно одноименных порождающих

¡г«*« ...(< = 1^)-

Как показал С. В. Пчелинцев [35], правоальтернативная метабелева алгебра Грассмана ранга 1 порождает шпехтово многообразие почти конечного топологического ранга.2 Им же доказано, что многообразие, порождённое правоальтернативной метабелевой алгеброй Грассмана ранга 2, нешпехто-во [35].3 Построенное в третьей главе настоящей диссертации почти шпехтово многообразие является подмногообразием в многообразии, порождённом правоальтернативной метабелевой алгеброй Грассмана ранга 2.

Глава 3 состоит из пяти параграфов. В первом параграфе строится правоальтернативная метабелева супералгебра Л над полем характеристики, не равной 2, порожденная двумя нечётными элементами. Там же доказываются основные тождества грассмановой оболочки С (Л). Во втором параграфе изу-

2т е. многообразие бесконечного топологического ранга, всякое собственное подмногообразие которого имеет конечный топологический ранг.

3Автор благодарен С. В. Пчелинцеву за предоставленный развёрнутый вариант тезисов [35], содержащий доказательства отмеченных результатов.

го

чается аддитивная структура свободной алгебры многообразия var(G (Л)). Третий параграф посвящён доказательству шпехтовости некоторых собственных подмногообразий в var(G (Л)). В четвёртом параграфе изучается структура пространства полилинейных многочленов, определяющих нешпехтовы подмногообразия в var(G (.Д)). В заключительном пятом параграфе построено почти шпехтово подмногообразие Ш С var(G (Л)), выделенное бесконечной независимой системой тождеств

(ab)LaRbLCl...LC2n_1LdLd = Q (n е N),

где La и Ra — операторы левого и правого умножения на элемент а соответственно. ^

Для формулировки результатов четвёртой главы диссертации нам потребуется несколько определений. Напомним, что базисным рангом Гь (Ш) многообразия ЯЛ называется наименьшая мощность множества порождающих ГО1—свободной алгебры 21 такой, что var(2l) = ГО1. Известно, что базисный ранг многообразия ассоциативных алгебр равен двум [13]. Такой же базисный ранг имеют многообразие алгебр Ли и многообразие, порождённое всеми специальными йордановыми алгебрами [13]. Однако не каждое многообразие алгебр, близких к ассоциативным обладает конечным базисным рангом. Так для многообразия Alt альтернативных алгебр известен следующий результат И, П. Шестакова [41]: гь (Alt) = Но, т. е. всякая конечнопо-рождённая альтернативная алгебра удовлетворяет некоторому тождеству, не выполняющемуся в свободной альтернативной алгебре от счётного множества порождающих.

Рангом супералгебры А назовём пару (т"о. ri), где го и т\ — мощности множеств чётных и нечётных порождающих алгебры Л соответственно. На множестве рангов супералгебр введём отношение линейного порядка, полагая, что меньшим рангом обладает супералгебра с множеством порождающих меньшей мощности. При этом, множество рангов всех супералгебр с равно-мощными множествами порождающих будем считать упорядоченным лексикографически. Супер-рангом rs (3Jt) многообразия 371 назовём наименьший в смысле введённого линейного порядка ранг ГО1—супералгебры Л такой, что var(GM)) =ГО1.

Легко понять, что всякое многообразие ГО1 конечного базисного ранга гь (S7t) = г обладает конечным супер-рангом4 г„ (ГО?) = (го, п), где ro+ri < г.

4Отметим, что для ассоциативных алгебр имеет место результат А. Р. Кемера [20], согласно которому всякое многообразие над полем характеристики 0 порождается грассмановой оболочкой некоторой конечномерной супералгебры

Обратное утверждение неверно. Например, нетрудно показать, что базисный ранг многообразия, порождённого метабелевой алгеброй Грассмана ранга 1, бесконечен. Таким образом, для всякого многообразия Ш бесконечного базисного ранга п (ШТ) = Ко возникает вопрос: будет ли супер-ранг г„ (ЯК) конечным? В первом параграфе четвёртой главы диссертации построено многообразие правоальтернативных метабелевых алгебр над произвольным полем ненулевой характеристики, для которого ответ на поставленный вопрос оказывается отрицательным.

Через Л^ обозначим, как обычно, присоединённую алгебру, полученную симметризацией х о у = ху + ух умножения в алгебре А. Пусть — многообразие правоальтернативных метабелевых алгебр А таких, что ниль-потентна ступени не выше п, т. е. выделяется из многообразия всех правоальтернативных метабелевых алгебр тождеством

(• • ■ ((оо о о:) о аг) • ■ ■) о а„ = О

йордановой нильпотентности ступени~п. Легко показать, что многообразие З1 является нильпотентным. Но уже среди правоальтернативных мета-' белевьгх алгебр с тождеством йордановой нильпотентности ступени 2 существуют бесконечно базируемые. Такие алгебры построены в работах [5,16,35] и в главе 3 настоящей диссертации.

Результатом первого параграфа главы 4 являются две теоремы.

Теорема 4.1. Многообразие З2 произвольным полем ненулевой характеристики не имеет конечного супер-ранга.

Теорема 4.2. Многообразие Зг над произвольным полем не может порождаться алгеброй Грассмана конечного ранга.

В завершение диссертации рассмотрена известная задача о вычислении топологического ранга многообразия метабелевых алгебр Ли. Несложно показать, что указанное многообразие над полем характеристики 0 не содержит собственных ненильпотентных подмногообразий и, следовательно, имеет топологический ранг 2. Во втором параграфе четвертой главы мы покажем, что в случае поля ненулевой характеристики имеет место принципиально иной результат.

Теорема 4.3. Многообразие метабелевых алгебр Ли над произвольным полем ненулевой характеристики имеет бесконечный топологический ранг.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору С. В. Пчелинцеву за постановку задач исследований и полезные обсуждения полученных результатов.

Литература

[1] Бадеев А. В. Многообразия центрально-метабелевых коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3 // Деп. в ВИНИТИ, 04.11.98, № 3209 В-98, ред. Сиб. мат. ж.-16 с.

[2] Бадеев А. В. О шпехтовости многообразий коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3 и коммутативных луп Му-фанг // Сибирский математический журнал, 2000, т. 41, № б. — С. 1252— 1268.

[3] Бадеев А. В. О шпехтовости разрешимых многообразий коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3: Дис. канд. физ.-мат. наук, Москва, 1999.

[4] Бахтурин Ю. А. Тождества в алгебрах Ли. — М.: Наука, 1985.

[5] Белкин В. П. О многообразиях правоальтернативных алгебр // Алгебра и логика. - 1976. - Т. 15, № 5. - С. 491-508.

[6] Белов А. Я. Контрпримеры к проблеме Шпехта // Математический сборник. - 2000.- Т. 191, № 3. - С. 13-24.

[7] Гришин А. В. Примеры не конечной базируемости Т-пространств и Т-идеалов в характеристике 2 // Фундаментальная и прикладная математика. - 1995. - Т. 1, № 3 . - С. 669-700.

[8] Днестровская тетрадь. Нерешённые задачи теории колец и модулей. Новосибирск: ИМ СО АН РАН, 1993.

[9] Дорофеев Г. В. Пример разрешимого, но не нильпотентного альтернативного кольца // УМН. - 1960. - Т. 15, № 3. - С. 147-150.

[10] Дорофеев Г. В. О нильпотентности правоальтернативных колец // Алгебра и логика. - 1970. - Т. 9, № 3. - С. 302-305.

[11] Дорофеев Г. В. Пример разрешимого, но не нильпотентного (-1,1)-кольца // Алгебра и логика. - 1973. - Т. 12, № 2. - С. 162-166.

[12] Дренски В. С. О тождествах в алгебрах Ли // Алгебра и логика. — 1974. - Т. 13, № 3. - С. 265-290.

[13] Жевлаков К. А., Слинько А. М., Шестаков И. П., Ширшов А. И. Кольца, близкие к ассоциативным. — М.: Наука, 1978.

14] Ильтяков А. В. Решетка подмногообразий многообразия двухступенчато разрешимых альтернативных алгебр // Алгебра и логика. — 1982. — Т. 21, № 2. - С. 170-177.

15] Ильтяков А. В. Конечность базиса тождеств конечно-порождённой альтернативной Р1-алгебры над полем характеристики нуль // Сибирский математический журнал. — 1991. — Т. 32, № б. — С. 61—75.

16] Исаев И. М. Конечномерные правоальтернативные алгебры, порождающие не конечнобазируемые многообразия // Алгебра и логика. — 1986.

- Т. 25, № 2. - С. 136-153.

17] Кемер А. Р. Шпехтовость Т-идеалов со степенным ростом коразмерностей // Сибирский математический журнал. — 1978. — Т. 19, № 1. -С. 54-69.

18] Кемер А. Р. О нематричных многообразиях // Алгебра и логика. — 1980.

- Т. 19, № 3. - С. 255-283.

19] Кемер А. Р. Конечная базируемость тождеств ассоциативных алгебр // Алгебра и логика. - 1987. - Т. 26, № 5. - С. 597-641.

20] Кемер А. Р. Идеалы тождеств ассоциативных алгебр: Дис. док. физ.-мат. наук, Барнаул, 1988.

21] Коуровская тетрадь. Новосибирск, 1976.

22] Латышев В. Н. О конечной порожденности Т-идеала с элементом

Х2, хз, Х4] Ц Сибирский математический журнал. — 1966. — Т. 6, № 6.

- С. 1432-1434.

23] Латышев В. Н. О шпехтовости некоторых многообразий ассоциативных алгебр // Алгебра и логика. - 1969. - Т. 8, ДО 6. - С. 660-673.

24] Латышев В. Н. Шпехтовость Т-идеала .г„]]т // ДАН 1972. - Т. 207, № 4, - С. 777-780.

25] Латышев В. Н. О некоторых многообразиях ассоциативных алгебр // Изв. АН СССР. Серия математика. - 1973. - Т. 37, № 5. - С. 10101037.

26] Латышев В. Н. Конечная базируемость тождеств некоторых колец // УМН. 1977. - Т. 32, № 4. - С. 259-260.

[27] Львов И. В. Конечномерные алгебры с бесконечными базисами тождеств // Сибирский математический журнал. — 1978. — Т. 19, № 1. -С. 91-99.

[28] Медведев Ю. А. Конечная базируемость многообразий с двучленным тождеством // Алгебра и логика. — 1978. — Т. 17, № 6. — С. 705—726.

[29] Медведев Ю. А. Пример многообразия разрешимых альтернативных алгебр над полем характеристики 2, не имеющего конечного базиса тождеств // Алгебра и логика. — 1980. — Т. 19, № 3. — С. 300—313.

[30] Пчелинцев С. В. Разрешимые индекса 2 многообразия алгебр // Математический сборник. - 1981- Т. 115, № 2. - С. 179-203.

[31] Пчелинцев С. В. О многообразиях, порожденных свободными алгебрами типа (—1,1) конечного ранга // Сибирский математический журнал. — 1987. - Т. 28, № 2. - С. 149-158.

[32] Пчелинцев С. В. Многообразия разрешимых индекса 2 альтернативных алгебр над полем характеристики 3 // Математические заметки.

- 1999 - Т. 66, № 4. - С. 556-566.

[33] Пчелинцев С. В. Об одном почти шпехтовом многообразии центрально-метабелевых альтернативных алгебр над полем характеристики 3 // Математический сборник. - 2000. - Т. 191, № 6. - С. 127-144.

[34] Пчелинцев С. В. Структура слабых тождеств на грассмановых оболочках центрально метабелевых альтернативных супералгебр супер-ранга 1 над полем характеристики 3 // Фундаментальная и прикладная математика.

- 2001. - Т. 7, № 3. - С. 849-871.

[35] Пчелинцев С. В. Правоальтернативные метабелевы алгебры Грассмана, с. 87. XIII Международная конференция „Математика. Экономика. Образований' . Щ Международный симпозиум „Ряды Фурье и их приложений. Тезисы докладов. Ростов на Дону. 2005 - 195 с. - ISBN 5-94153097-8.

[36] Размыслов Ю. П. О конечной базируемое™ тождеств матричной алгебры второго порядка над полем характеристики нуль // Алгебра и логика. — 1973. - Т. 12, № 1. - С. 83-113.

[37] Размыслов Ю. П. Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр // Алгебра и логика. - 1974. - Т. 13, № 6. С. 685-693.

[38] Скосырский В. Г. Правоальтернагивные алгебры // Алгебра и логика. — 1984. - Т. 23, № 2. - С. 185-192.

[39] Умирбаев У. У. О метабелевых бинарно-лиевых алгебрах // Алгебра и логика. - 1984. - Т. 23, № 2. - С. 220-227.

[40] Умирбаев У. У. Шпехтовость многообразия разрешимых альтернативных алгебр // Алгебра и логика. - 1985. - Т. 24, № 2. — С. 226-239.

[41] Шестаков И. П. Об одной проблеме Ширшова // Алгебра и логика. — 1977. - Т. 16, № 2. - С. 227-246.

[42] Шестаков И. П. Супералгебры и контрпримеры // Сибирский математический журнал. - 1991. - Т. 32, № 6. - С. 187-196.

[43] Щиголев В. В. Примеры бесконечно базируемых Т-идеалов // Фундаментальная и прикладная математика. —1999. — Т. 6, № 1. — С. 307—312.

[44] V. S. Drensky, Т. G. Rashkova. Verieties of metabelian Jordan algebras // Serdica Bulgarical mathematical publications. — 1989. — V. 15, № 4. — P. 293-301.

[45] A. V. Iltiakov. On finite basis of identities of lie algebra representations // Nova Journ. Algebra Geometry, — 1992, № 3.

[46] G. Higman. Ordering by divisibility in abstract algebras, Proc. London Math. Soc., 1952, 2, p. 326-336.

[47] A. Sagle. Malcev algebras // Tranc, Amer Math. Soc. - 1961. - V. 101, № 3. - P. 426-458.

[48] I. P. Shestakov. Free "Malcev superalgebra on one odd generator // J. of Algebra and its Applications. - 2003. - V. 2, № 4. - P. 451-461

[49] W. Specht. Gesetze in Ringen, Math. Zeits., 52 (1950), 557-589.

[50] M. R. Vaughan-Lee Some varieties of Lie algebras, D. Phil, thesis, Oxford (1968).

[51] M. R. Vaughan-Lee. Varieties of Lie algebras, Quart. J. Math., Oxford, 21, № 83 (1970), 297-308.

Публикации автора по теме диссертации

[52] Кузьмин А. М. О шпехтовых многообразиях правоальтернативных алгебр // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. — Т. 12, № 2. - С. 89-100.

[53] Кузьмин А. М. Об одном почти шпехтовом многообразии правоальтернативных метабелевых алгебр // МПГУ. Москва, 2005. Деп. в ВИНИТИ, М593-В2005, 23 с.

[54] Кузьмин А. М. Многообразия алгебр бесконечного супер-ранга // Некоторые вопросы математики, информатики и методики их преподавания. М: МПГУ, 2006. - С. 111-113.

[55] А. М. Kuz'inin. On the Specht property of varieties of right alternative metabelian algebras // 5th International Algebraic Conference in Ukraine. Odessa, Ukraine. July 20-27, 2005. Abstracts. P. 118-119.

Подл, к псч. 10.01.2007 Объем 1 п.л. Заказ №. 16 Тир 100 экз.

Типография МПГУ

Введение

1. Шпехтовы многообразия правоальтернативных метабе-левых алгебр

1.1. Основные операторные соотношения свободной право-альтернативной метабелевой алгебры

1.2. Достаточное условие шпехтовости многообразия право-альтернативных метабелевых алгебр.

1.3. О шпехтовости некоторых многообразий правоальтернативных метабелевых алгебр.

2. Топологический ранг многообразия правоальтернативных метабелевых алгебр с тождеством лиевой нильпотентности

2.1. Предварительные соотношение и леммы.

2.2. Аддитивная структура пространства Те, (21л/-)

2.3. Верхняя оценка топологического ранга .АЛ-выделенного многообразия.

2.4. Нижняя оценка топологического ранга ЛА-выделенного многообразия

2.5. Доказательство основной теоремы.

3. Почти шпехтово многообразие правоальтернативных метабелевых алгебр

3.1. Вспомогательная супералгебра Л

3.2. Свободная алгебра многообразия уаг(С (Л)).

3.3. О шпехтовых подмногообразиях в уаг(р (Л))

3.4. Аддитивная структура пространства (21).

3.5. Почти шпехтово многообразие Ш С уаг(С (Л))

4. О некоторых метабелевых многообразиях над полем ненулевой характеристики

4.1. О супер-ранге многообразия

4.2. Топологический ранг многообразия метабелевых алгебр Ли.

Изучение строения идеалов тождеств многообразий алгебр представляет собой важное направление исследований в современной теории колец. Принципиальным аспектом подобных исследований является вопрос существования конечных систем порождающих рассматриваемых идеалов, т. е. конечных базисов тождеств. Многообразие алгебр, всякое подмногообразие которого допускает конечный базис тождеств, называют шпехтовым.

В 1950 году в теории ассоциативных алгебр возникла проблема Шпехта: верно ли, что всякое многообразие алгебр над полем характеристики 0 обладает конечным базисом тождеств? Эта проблема оставалась нерешенной более тридцати лет, что послужило развитию интереса математиков также и к вопросам шпехтовости многообразий неассоциативных алгебр. Так, шпехтовость различных многообразий ассоциативных, лиевых, альтернативных и йордановых алгебр широко изучалась в ряде работ: А. Р. Кемер [17-20], В. Н. Латышев [22-26], Ю. А. Медведев [28, 29], С. В. Пчелинцев [32-34], Ю. П. Размыс-лов [36, 37] и др.

Одним из первых в нашей стране проблемой Шпехта начал заниматься профессор В. Н. Латышев. В частности, в 1972 году он доказал шпехтовость многообразия ассоциативных алгебр над полем характеристики 0 с тождеством ., 2^-2], [a^-i, а^]] = 0 [24]. Окончательное решение проблемы Шпехта получил в 1987 году А. Р. Кемер [19], доказав, что произвольное многообразие ассоциативных алгебр над полем характеристики 0 имеет конечный базис тождеств. Однако над полями ненулевой характеристики существуют бесконечно базируемые многообразия [6, 7, 43].

В 1966 году проблема конечной базируемости многообразий алгебр привлекла внимание академика А. И. Мальцева. Так, на Втором Всесоюзном симпозиуме по теории групп в Батуми он [21] сформулировал вопросы о шпехтовости многообразий алгебр Ли и многообразий, порожденных конечными алгебрами Ли. Вскоре, в 1968 году, Воон-Ли [50] доказал шпехтовость многообразия разрешимых индекса 2 (метабелевых) алгебр Ли. Им же в работе [51] построен первый пример бесконечно базируемого многообразия алгебр Ли над полем характеристики 2. Позднее В. С. Дренски [12] распространил результат [51] на случай произвольного поля ненулевой характеристики. В 1978 году Ю. А. Медведев [28] получил обобщение результата [50], установив шпехтовость многообразия метабелевых алгебр Мальцева. Значительным результатом в этой области является опубликованное в 1992 году А. В. Ильтяковым [45] доказательство шпехтовости многообразия, порожденного конечномерной алгеброй Ли. Отметим, что вопрос о шпехтовости произвольного многообразия разрешимых алгебр Ли над полем характеристики 0 до сих пор остается открытым.

Как известно, каждая разрешимая конечнопорождённая альтернативная или йорданова алгебра нильпотентна [13]. Первые примеры разрешимых, но не нильпотентных альтернативных алгебр и алгебр типа (-1,1) построил Г. В. Дорофеев [9, 11]. В 1976 году A.M. Слинь-ко [8] сформулировал проблему шпехтовости многообразия разрешимых альтернативных (йордановых) алгебр, вызывающую интерес в том числе и в силу близости многообразия альтернативных алгебр к многообразию ассоциативных алгебр. Эту близость поясняет теорема Артина, утверждающая, что каждая двупорождённая подалгебра альтернативной алгебры ассоциативна [13].

Определенное продвижение в решении проблемы А. М. Слинько дала доказанная Ю. А. Медведевым в 1978 году теорема о конечной базируемое™ многообразий с двучленным тождеством [28]. Следствием этой теоремы является шпехтовость ряда многообразий метабелевых алгебр, близких к ассоциативным, в частности, альтернативных и йордановых. В 1985 году положительное решение проблемы А. М. Слинько для альтернативных алгебр в случае поля характеристики, отличной от 2 и 3, получил У. У. Умирбаев [40]. Контрпримеры, показывающие принципиальность ограничений на характеристику поля, были построены в 1980 году Ю. А. Медведевым [29] и в 2000 году С. В. Пче-линцевым [33].

В классе правоальтернативных алгебр понятия разрешимости и нильпотентности также в некотором смысле близки. Например, в конечномерном случае разрешимость эквивалентна правой нильпотентности. Первый пример конечномерной правоальтернативной метабе-левой правонильпотентной алгебры, которая не является нильпотент-ной, принадлежит Г. В. Дорофееву [10]. В 1976 году В. П. Белкин [5] доказал нешпехтовость многообразия правоальтернативных метабеле-вых алгебр, построив первый пример бесконечно базируемого многообразия в теории колец, близких к ассоциативным. Примерно в это же время С. В. Полин доказал существование многообразия, порожденного некоторой конечной алгеброй над произвольным конечным полем, имеющего бесконечный базис тождеств. В 1978 году И. В. Львов [27] построил бесконечно базируемую б-мерную неассоциативную алгебру, порождающую многообразие, решетка подмногообразий которого бесконечна.

В 1981 году С. В. Пчелинцевым были введены понятия конечномерности и топологического ранга многообразия и изучены решетки многообразий метабелевых алгебр, близких к ассоциативным [30]. Строение решетки подмногообразий многообразия альтернативных метабелевых алгебр над полем характеристики 0, при некотором дополнительном ограничении, описано А. В. Ильтяковым [14]. Им же в 1991 году в работе [15] доказана шпехтовость конечнопорождённой альтернативной Р1-алгебры над полем характеристики 0.

Содержание диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 55 наименований источников. Общий объем диссертации 75 страниц.

1. Бадеев А. В. Многообразия центрально-метабелевых коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3 // Деп. в ВИНИТИ, 04.11.98, № 3209 В-98, ред. Сиб. мат. ж-16 с.

2. Бадеев А. В. О шпехтовости многообразий коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3 и коммутативных луп Муфанг // Сибирский математический журнал, 2000, т. 41, № 6. С. 1252-1268.

3. Бадеев А. В. О шпехтовости разрешимых многообразий коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3: Дис. канд. физ.-мат. наук, Москва, 1999.

4. Бахтурин Ю. А. Тождества в алгебрах Ли. — М.: Наука, 1985.

5. Белкин В. П. О многообразиях правоальтернативных алгебр // Алгебра и логика. 1976. - Т. 15, № 5. - С. 491-508.

6. Белов А. Я. Контрпримеры к проблеме Шпехта // Математический сборник. 2000.- Т. 191, № 3. - С. 13-24.

7. Гришин А. В. Примеры не конечной базируемое™ Т-пространств и Т-идеалов в характеристике 2 // Фундаментальная и прикладная математика. 1995. - Т. 1, № 3 . - С. 669-700.

8. Днестровская тетрадь. Нерешённые задачи теории колец и модулей. Новосибирск: ИМ СО АН РАН, 1993.

9. Дорофеев Г. В. Пример разрешимого, но не нильпотентного альтернативного кольца // УМН. 1960. - Т. 15, № 3. - С. 147-150.

10. Дорофеев Г. В. О нильпотентности правоальтернативных колец// Алгебра и логика. 1970. - Т. 9, № 3. - С. 302-305.И. Дорофеев Г. В. Пример разрешимого, но не нильпотентного (-1,1)-кольца // Алгебра и логика. 1973. - Т. 12, № 2. -С. 162-166.

11. Дренски В. С. О тождествах в алгебрах Ли // Алгебра и логика.- 1974. Т. 13, № 3. - С. 265-290.

12. Жевлаков К. А., Слинько А. М., Шестаков И. П., Ширшов А. И. Кольца, близкие к ассоциативным. — М.: Наука, 1978.

13. Ильтяков А. В. Решетка подмногообразий многообразия двухступенчато разрешимых альтернативных алгебр // Алгебра и логика.- 1982. Т. 21, № 2. - С. 170-177.

14. Ильтяков А. В. Конечность базиса тождеств конечно-порождённой альтернативной Р1-алгебры над полем характеристики нуль // Сибирский математический журнал. — 1991. — Т. 32, № 6.- С. 61-75.

15. Исаев И. М. Конечномерные правоальтернативные алгебры, порождающие не конечнобазируемые многообразия // Алгебра и логика. 1986. - Т. 25, № 2. - С. 136-153.

16. Кемер А. Р. Шпехтовость Т-идеалов со степенным ростом коразмерностей // Сибирский математический журнал. — 1978. — Т. 19, № 1. С. 54-69.

17. Кемер А. Р. О нематричных многообразиях // Алгебра и логика.- 1980. Т. 19, № 3. - С. 255-283.

18. Кемер А. Р. Конечная базируемость тождеств ассоциативных алгебр // Алгебра и логика. 1987. - Т. 26, № 5. - С. 597-641.

19. Кемер А. Р. Идеалы тождеств ассоциативных алгебр: Дис. док. физ.-мат. наук, Барнаул, 1988.

20. Коуровская тетрадь. Новосибирск, 1976.

21. Латышев В. Н. О конечной порожденности Т-идеала с элементом ж1, $2, Хз, Х4] // Сибирский математический журнал. — 1966. — Т. 6, № 6. С. 1432-1434.

22. Латышев В. Н. О шпехтовости некоторых многообразий ассоциативных алгебр // Алгебра и логика. — 1969. — Т. 8, № 6 — С. 660-673.

23. Латышев В. Н. Шпехтовость Т-идеала [xi,^,.,xn2],[a:ni,a;n]]T // ДАН 1972. Т. 207, № 4, - С. 777-780.

24. Латышев В. Н. О некоторых многообразиях ассоциативных алгебр // Изв. АН СССР. Серия математика. 1973. - Т. 37, № 5.- С. 1010-1037.

25. Латышев В. Н. Конечная базируемость тождеств некоторых колец // УМН. 1977. Т. 32, Ш 4. - С. 259-260.

26. Львов И. В. Конечномерные алгебры с бесконечными базисами тождеств // Сибирский математический журнал. — 1978. — Т. 19, № 1. С. 91-99.

27. Медведев Ю. А. Конечная базируемость многообразий с двучленным тождеством // Алгебра и логика. — 1978. — Т. 17, № 6. — С. 705-726.

28. Медведев Ю. А. Пример многообразия разрешимых альтернативных алгебр над полем характеристики 2, не имеющего конечного базиса тождеств // Алгебра и логика. — 1980. — Т. 19, № 3. — С. 300-313.

29. Пчелинцев С. В. Разрешимые индекса 2 многообразия алгебр // Математический сборник. 1981- Т. 115, № 2. - С. 179-203.

30. Пчелинцев С. В. О многообразиях, порожденных свободными алгебрами типа (—1,1) конечного ранга // Сибирский математический журнал. 1987. - Т. 28, № 2. - С. 149-158.

31. Пчелинцев С. В. Многообразия разрешимых индекса 2 альтернативных алгебр над полем характеристики 3 // Математические заметки. 1999 - Т. 66, № 4. - С. 556-566.

32. Пчелинцев С. В. Об одном почти шпехтовом многообразии центрально-метабелевых альтернативных алгебр над полем характеристики 3 // Математический сборник. — 2000. — Т. 191, № 6.- С. 127-144.

33. А. V. Iltiakov. On finite basis of identities of lie algebra representations // Nova Journ. Algebra Geometry, — 1992, № 3.

34. G. Higman. Ordering by divisibility in abstract algebras, Proc. London Math. Soc., 1952, 2, p. 326-336.

35. A. Sagle. Malcev algebras // Tranc, Amer Math. Soc. 1961. -V. 101, № 3. - P. 426-458.

36. I. P. Shestakov. Free Malcev superalgebra on one odd generator //J. of Algebra and its Applications. 2003. - V. 2, № 4. - P. 451-461.

37. W. Specht. Gesetze in Ringen, Math. Zeits., 52 (1950), 557-589.

38. M. R. Vaughan-Lee Some varieties of Lie algebras, D. Phil, thesis, Oxford (1968).

39. M. R. Vaughan-Lee. Varieties of Lie algebras, Quart. J. Math., Oxford, 21, № 83 (1970), 297-308.Публикации автора по теме диссертации

40. Кузьмин А. М. Об одном почти шпехтовом многообразии право-алыернативных метабелевых алгебр // МПГУ. Москва, 2005. Деп. в ВИНИТИ, М593-В2005, 23 с.

41. Кузьмин А. М. О шпехтовых многообразиях правоальтернатив-ных алгебр // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т. 12, № 2. - С. 89-100.

42. Кузьмин А. М. Многообразия алгебр бесконечного супер-ранга // Некоторые вопросы математики, информатики и методики их преподавания. М: МПГУ, 2006. С. 111-113.

43. А. М. Kuz'min. On the Specht property of varieties of right alternative metabelian algebras // 5th International Algebraic Conference in Ukraine. Odessa, Ukraine. July 20-27, 2005. Abstracts. P. 118-119.