Объединение конечнообразируемых многообразий алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На ираках рукописи

ОБЪЕДИНЕНИЕ КОТ1ЕЧПОБЛЗНРУЕМЫХ МНОГООБРАЗИИ АЛГЕБР

Специальность 01.01.06 — математическая логика, алгебра п теория чисел

Л КТО I' К Ф 1С I" л т

диссертации па соискание ученом степени кандидата фпаико-математических наук

Москва 1996

Работа выполнена в Московском "педагогическом государственном университете им. В. II. Ленина на кафедре алгебры.

доктор физико-математических наук, профессор ПЧЕЛИНЦЕВ С. В.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ЗАЙЦЕВ М. В.,

кандидат физико-математических наук, доцент ПИХТЕЛЬКОВ С. А.

Ведущая организация — Институт математики СО РАН.

Защита состоится ......».....1996 г. в ...часов

на заседании Диссертационного Совета К 053.01.02 в Московском ¡педагогическом государственном университете имени В. И. Ленина по адресу: Москва, ул. Краснойрудная, д. 14, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ имени В. И. Ленина по адресу: 119435, Москва, Малая Пироговская ул., д. 1.

Автореферат разослан «............»........................1996 г.

Научный руководитель:

Общая характеристика работы

Актуальность тепы исследования. Теория многообразий ал-ебр в настоящее время представляет собой довольно обширную и ктивно развивающуюся часть теории колец. Ядром этой теории вляется хорошо развитая теория многообразий ассоциативных ал-ебр, в рамках которой получено много глубоких результатов. Среди ольшого круга вопросов теории многообразий важное место занимает гзучение строения идеалов тождеств различных многообразий, нахож-;ение и исследование систем порождающих (базисов) этих идеалов. Так ; теории многообразий алгебр долгое время оставалась открытой и анимала центральное место следующая проблема Шпехта: верпо ли, [то всякое многообразие ассоциативных алгебр над полем характерис-ики 0 задается конечным базисом тождеств.

Хорошо разработанная структурная теория ассоциативных алгебр ущественно облегчает развитие теории тождеств или теории многообразий ассоциативных алгебр. И наоборот, результаты, полученные в рамках ■еории многообразий ассоциативных алгебр находят свое отражение в ■лубоких структурных свойствах.

Для ассоциативных алгебр важной оказалась опубликованная в 1946 г. работа Дж. Левицкого [7], в которой было дано положительное зешение ограниченной проблемы А.Г. Куроша о локальной нильпотентности алгебр, удовлетворяющих тождеству х" = 0, и локальной конечномерности алгебраических алгебр ограниченной степени. Вместе с опубликованной в 1948 году работой И. Капланского [8] о строении примитивных

ассоциативных алгебр, удовлетворяющий нетривиальному полиномиаль ному тождеству, работа Дж. Левицкого положила начало последующи» исследованиям структуры ассоциативных алгебр, удовлетворяющих не тривиальному полиномиальному тождеству (PI-алгебр) и изучению тож деств ассоциативных алгебр.

Из других результатов в этом направлении следует отметить опубли кованные в 1957 г. теоремы Ш. Амицура о локальной нильпотентностг радикала Джекобсона в конечно порожденной PI-алгебре и о совпадение радикала Джекобсона в относительно свободной PI-алгебре с идеалом тождеств некоторой полной матричной алгебры над полем, а также теорему Ширшова о высоте, которая дала конструктивное решение ограниченной проблемы А.Г. Куроша.

В то же время не ослабевает интерес к проблеме конечной базируемое-ти тождеств в многообразиях ассоциативных алгебр. В 1977 году В.Н. Латышев и независимо Г.Генов и А.Попов доказали, что любая ассоциативная алгебра над полем характеристики О, удовлетворяющая тождеству вида

[*,. ••• - *ДУ,, ... , yjz,, ... , zj = О имеет конечный базис тождеств. Из этих результатов, в частности, следует шпехтовость многообразия, порожденного алгебрами треугольных матриц произвольного порядка над полем характеристики 0. В 1982 году А.В. Яковлев анонсировал следующий результат: полные алгебры матриц любого порядка над полем характеристики 0 имеют конечный базис тождеств.

И, наконец, в 1988 году проблема Шпехта была положительно решена

А.Р. Кемером [б]. Этот успех, естественно, стпмулировал попытки найти положительный ответ на подобный вопрос для других многообразий алгебр. Так через год А.Я. Вайс, Е.И. Зельманов установили шпехтовость многообразия, заданного конечно порожденной йордановой Р1-алгеброй.

В многообразиях с хорошо развитой структурной теорпей особый интерес представляют подмногообразия, порожденные конечномерными алгебрами. В 1970 году М.Воон-Ли построил пример конечномерной алгебры Ли над бесконечным полем характеристики 2, не имеющей конечного базиса тождеств, а в 1974 В. Дренски получил подобный результат для бесконечного поля произвольной простой характеристики. Однако, конечномерная алгебра Ли над конечным полем, оказалось, всегда имеет конечный базис тождеств. Это было доказано Ю.А. Бахтури-ным и А.Ю. Ольшанским. Значительные результаты для аналогичного вопроса для поля характеристики нуль были получены Ю.П. Размысло-вым, шпехтовость многообразия, порожденного конечномерной лиевой алгеброй для поля характеристики нуль была доказана в 1991 году A.B. Ильтяковым.

Пример конечной алгебры, не имеющей конечного базиса тождеств, был построен в 1974 году C.B. Полиным.

Изучение конечнобазируемости конечномерных алгебр, естественно, затронуло и другие классы алгебр, аналогичнве результаты были получены для представлении групп (С.М. Вовси), ассоциативных (И.В. Львов), альтернативных (И.В. Львов), правоальтернативных (И.М. Исаев), типа (-1, 1) (C.B. Пчелинцев ), йордановых (Ю.А. Медведев) и других многообразий алгебр.

Наиболее общий подход в решении проблем конечной базируемости и шпехтовости, по-видимому, может быть реализован в терминах решеток многообразий алгебр относительно операций пересечения и объединения многообразий. В самом деле, в изучении данного многообразия ® и, в особенности, в изучении тождеств, справедливых в этом многообразии, существенную помощь может оказать возможность разложения многообразия (? в объединение 21 и © - многообразий, определяемых более простыми тождествами.

Естественный интерес представляет и обратная задача, по тождествам, определяющим многообразия 21 и описать тождества, задающие их объединение. Эта задача, как и первые, в общем виде представляет значительные трудности.

Такая постановка проблемы и вопросы наследования свойств в решетках многообразий алгебр появилась в 70-е годы в работах Г.В. Дорофеева [1,2]. Были построены системы определяющих тождеств объединения многих классических многообразий алгебр, доказано, что объединение шпехтовых многообразий алгебр является шпехтовым многообразием и построен пример многообразия алгебр, обладающего бесконечным базисом тождеств, которое разлагается в объединение конечноба-зируемых многообразий алгебр. Эти примеры очертили в классе всех многообразий те границы, в которых следует искать многообразия, обладающие конечным базисом тождеств.

Очевидно, что многообразие ассоциативных алгебр неразложимо в объединение, С.В. Пчелинцев построил решетки подмногообразий многообразия алгебр типа (-1, 1) конечного ранга, В.Т. Филиппов исследовал

решетки, порожденные многообразиями мальцевских и альтернативных алгебр. М.В. Зайцев [4] доказал, что объединение многообразий всех нильпотентных алгебр с любым конечнобазируемым многообразием алгебр обладает конечным базисом тождеств.

Цель работы: исследовать наследование свойств конечной басшру-емости в решетках многообразий алгебр относительно операции объединения многообразий.

Методы исследования. Получают некоторое развитие методы Г.В. Дорофеева; используются методы линейной алгебры и комбинаторные методы неассоциативных алгебр.

Научная новизна. Основные результаты диссертации новые. Они получены лично автором и опубликованы.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших научных исследованиях, связаных с изучением проблем конечной базируемости иногообразий алгебр.

Апробаиия работы. Результаты работы докладывались на V сибирской школе по многообразиям алгебраических систем (г. Барнаул, 1988), на семинаре по теории колец при ИМ СО РАН (г. Новосибирск, 1995), на алгебраических семинарах в Московском педуниверситете и Орском пединституте.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 70 страницах. Состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержа-

щего 75 наименований.

Нумерация результатов, изложенных в диссертации, ведется по параграфам, например, номер теоремы 2.1 означает первую теорему второго параграфа соответствующей главы.

Обзор содержания работы

В первой главе изучается строение тождеств объединения конечноба-зируемых многообразий алгебр, для любых двух многообразий 91 и © строятся системы элементарных и «нуль» - тождеств, на основании таких систем доказывается достаточный признак конечной базируемости объединения конечнобазируемых многообразий алгебр.

Основным результатом первой главы является следующая теорема.

ТЕОРЕМА. Объединение конечнобазируемых многообразий алгебр-с нильпотентным пересечением является конечнобазируемым.

И ее следствия.

СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть 21 и © - конечнобазируемые многообразия алгебр. Допустим, что 21 - многообразие йордановых алгебр, 93 многообразие лиевых алгебр. Тогда их объединение 21 + ® - конечнобази-руемое многообразие алгебр.

СЛЕДСТВИЕ 2. Пусть й и © - конечнобазируемые многообразия

алгебр. Допустим, что 2Г - многообразие альтернативных алгебр, © -многообразие мальцевских алгебр. Тогда их объединение 2Î + 95 - конечно-базируемое многообразие алгебр.

СЛЕДСТВИЕ 3. Пусть и - конечнобазируемые многообразия разрешимых конечного индекса алгебр. Допустим, что 21 - многообразие альтернативных алгебр, "В - многообразие (-1,1) алгебр. Тогда их объединение 21 + © - конечнобазируемое многообразие алгебр.

СЛЕДСТВИЕ 4. Объединение многообразия нильпотентных конечного индекса алгебр с любым конечнобазируемым многообразием алгебр обладает конечным базисом тождеств.

Еще раз отметим, что последнее следствие независимо было доказано VLB. Зайцевым [4].

В § 1 главы 1 вводятся некоторые определения и обозначения. Далее, » §§1-3 разрабатывается основной аппарат элементарных и «нуль» -•ождеств и доказывается достаточное условие конечной базируемое™ »бъединения конечнобазируемых многообразий алгебр. Основа такого ;оказательства заключается в лемме 2.1, идея которой восходит к работам '.В. Дорофеева и C.B. Пчелинцева [1-3].

В § 4 на основе достаточного условия доказывается конечная базиру-мость объединения многообразий с нильпотентным пересечением.

Вторая глава посвящена изучению многообразий с ассоциативно-оммутативным пересечением. Основным результатом этой главы являет-

ся следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть 21 и © - конечнобазируемые многообразия алгебр. Допустим, что 21 п 23 - ассоциативно-коммутативое конечной степени п > 3 многообразие алгебр. Тогда 21 + 23 - конечнобазируемое многообразие алгебр.

Эта теорема обобщает основной результат первой главы, описывая базируемость объединений всех классических многообразий алгебр.

В первом параграфе второй главы вводится определение ассоциативно-коммутативного многообразия конечного индекса и рассматриваются примеры ассоциативно-коммутативных многообразий конечного индекса. В том числе, доказывается, что многообразие правоальтернативных строго эластичных алгебр является ассоциативно-коммутативным многообразием конечного индекса. В § 2 доказывается основная теорема этой главы.

В третьей главе доказано, что решетка, порожденная тремя конечно-базируемыми многообразиями правоальтернативных, йордановых п мальцевских алгебр состоит лишь из конечнобазируемых многоообразий. Кроме того, доказано, что конечная базируемость сохраняется и для довольно широкого класса таких решеток с другими образующими. Это и составит содержание первого параграфа. Во втором параграфе в четырех теоремах выписаны базисы тождеств объединений многообразия йордановых алгебр с многообразиями антикоммутативных, лиевых, мальцевских и бинарно лиевых алгебр.

ТЕОРЕМА 2.1. Минимальное многообразие алгебр, содержащее многообразия йордановых и антикоммутативных алгебр определяется системой двух тождеств (ab)c - с(Ъа)и (а2, Ь, а). То есть является некоммутативным йордановым многообразием, удовлетворяющим тождеству строгой эластичности.

ТЕОРЕМА 2.2. Минимальное многообразие алгебр, содержащее многообразия йордановых и лиевых алгебр определяется системой тождеств

(ab)c - с(Ьа), (а2, Ь, а),

J(а, Ь, с) - J(a, с, Ь), ^де J(a, b, с) (ab)c + (Ьс)а + (са)Ь - якобпан.

ТЕОРЕМА 2.3. Минимальное многообразие алгебр, содеря:ащее хногообразпя йордановых и мальцевских алгебр определяется системой ождеств

(ab)c - с(Ьа), (а2, Ь, а),

J(а, Ь, с) а - J(a, с, Ъ)а.

ТЕОРЕМА 2.4. Минимальное многообразие алгебр, содержащее ногообразия йордановых и бинарно лиевых алгебр определяется систе-ой тождеств

(аЪ)с - с(Ьа),

(a2, b, а), J(a, b, [a,b]).

В третьем параграфе вводится метод, позволяющий определять конеч ную базируемость объединения в решетке одночленных многообразие алгебр и доказывается, что в основной теореме первой главы нельзя заменить требование нильпотентности на требование разрешимости объединения.

Литература

1. Дорофеев Г.В. О многообразиях обобщенно стандартных и обобщен но достижимых алгебр//Алгебра и логика.-1976.-т.15,№ 2.-С.143-176.

2. Дорофеев Г.В. О некоторых свойствах объединения многообразш алгебр//Алгебра и логика.-1977.-т.16,№ 1.-С.24-39.

3. Дорофеев Г.В., Пчелинцев C.B. О многообразиях стандартных i достижимых алгебр//Сиб. матем. журнал.-1977.-т.18,№ б.-С.995-1001

4. Зайцев М.В. О конечной базируемости многообразий алгебр Ли/, Матем. сб.-1978.-т.106,№ 4.-С.499-506.

5. Кемер А.Р. Решение проблемы конечной базируемости тождеста ассоциативных алгебр//ДАН СССР.-1988.-т.298,№ 2.-С.273-277.

6. Kaplansky I. Rings with polynomial indentity//Bull. Amer. Math Soc.-1948.-V.54.-P.575-580.

7. Levitzki J. A problem of A. Kurosh//Bull.Amer.Math.Soc.-1946. V.52.-P.1033-1035.

Публикации автора по теме диссертации

1. Шашков О.В. Конечная базируемость объединения некоторых многообразий алгебр//Тезисы:Всесоюзная XIX конференция.-Львов.-1987.

2. Шашков О.В. Конечная базируемость объединения некоторых многообразий алгебр//Матем. заметки.-1990.-т.48,№1.-С. 134-137.

3. Шашков О.В. О решетке многообразий алгебр, порожденной некоторыми многообразиями альтернативных, йордановых и

малъпевских алгебр// V сибирская школа по многообразиям алгебраических систем:"Гезисы сообщений.-Карнаул, 1988.-С.77-79. 1. Шашков О.В. Объединение многообразий алгебр с нильпотентным терссечеиием//Алгебра и логика,-1996.-в печати.