Тождества и радикалы представлений алгебр Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

Глава 0. Предварительные сведения

Глава I. Многообразия и радикальные классы представлений лиевых и ограниченных лиевых алгебр.

§ I. Треугольные произведения представлений алгебр Ли и р-пар

§ 2. О связи треугольного произведения р-пар с операторный на классах пар . 4

§ 3. О тождествах ограниченной алгебры Ли треугольных матриц. Триангулируемость р-алгебр Ли.

§ 4-. Тождества алгебры Ли треугольных матриц. Триангулируемость алгебр Ли

§ 5. Полугруппы радикалов и многообразий лиевских пэр

§ 6. PI -многообразия и малые многообразия представлений алгебр Ли

Глава II.Радикалы в алгебрах Ли линейных преобразований

§ 7. Алгебраические элементы и отвечающие им радикалы алгебр Ли линейных преобразований

§ 8. Алгебраические л.п. и относящиеся к ним радикалы над полями полонительной характеристики. Некоторые примеры

§ 9. Нильпотентные л.п. в действующем радикальной алгебре Ли . III

§ 10. О радикалах в коммутаторных алгебрах Ли

Одним из основных методов изучения алгебраических систем является рассмотрение многообразий и радикалов. Хорошо известны достижения в изучении многообразии групп, колец и линейных алгебр (см. Х.Нейман [28], Ю.А.Бахтурин 16] , К.А.Жевлаков, А.М.Слинько, И.П.Шестэков, А.И.Ширшов [50] ). Начало общей теории радикалов было положено в работах А.Г.Куроша [24-1 и С.Аыицура [ 4 , 5} (см. такие монографию В.А.Андрунакиевичэ и Ю.М.Рябухина [2] ).

Основным объектом изучения настоящей диссертации является двуосновная система (V,L) , где V - векторное пространство над полем К , a L - алгебра Ли, представленная эндоморфизмами пространства V . При этом представление алгебры Ли L в пространстве V (иначе - лиевская пара (V,L) ) изучается как с точки зрения тождеств представления и соответствующих многообразий, так и с точки зрения радикальных свойств.

Хорошо известно естественное соответствие между вполне инвариантными идеалами свободной алгебры F(X) и многообразиями алгебр Ли над К , при котором всякому многообразиюЕ сопоставляется идеал Т(Е) всех элементов таких, что^,**,.,*,)- тождество в Е (см., например, [6] ). В теории многообразий представлений-алгебр Ли аналогичную роль играют специальные идеалы универсальной обёртывающей алгебры , т.е. идеалы замкнутые относительно всех таких эндоморфизмов Jt , что JlCX) 0 Г(Х) (см. Л.А.Си-монянГ4б]). В своём развитии эта теория часто использует методы и идеи теории многообразий представлений групп, основные результаты которой отражены в монографии Б.К.Плоткина и С.М.Вэвси [4-01,

- 4 a также б работах Б.И.Плоткина [37, 39].

Многообразия представлений алгебр Ли в, свою очередь, используются также в приложениях к теории многообразий алгебр Ли. Рассмотрение тождеств представлении алгебр Ли для описании тождеств самих алгебр Ли проводилось в [Ю] , [42] ? [43] и др. В работе И.Б.Воличеико Ею! этим методом устанавливается конечная ба-зируемость подмногообразий в Л.Фц; Ю.П.Размыслов [43] , исследуя тождества канонического представления алгебры (сЪдчК5 = 0 ), доказывает, что все тождества алгебры Ли siU,К) вытекают из тождества у,Xl^xlljtl-O. Каждому многообразию <£ представлений алгебр Ли наряду с вербальным идеалом отвечает также S -радикал. Если (V,L) лиевская пара, то её £ -радикал -это наибольший L, -подмодуль из V > содержащийся в многообразии & .

С другой стороны, имеется 0 -радикал действующем алгебры L в представлении (V5L) - идеал со свойством В , являющийся суммой всех идеалов из L 5 которые обладают свойством 9 . При изучении радикалов представления алгебры Ли, учитываются также свойства ассоциативной оболочки этого представления.

Радикалы абстрактных алгебр Ли изучались для конечномерного случая в работах В.Киллинга [16 - 18], Э.Картана [19] , Ю.д.Адо[1] , А.К.Мальцева [27] и др., для бесконечномерного -Б.И.Плоткина [303 , А.И.Кострикина [23] , Л.Л.Симоняна [44] , Б.Хартли [49] и др.

Диссертация состоит из главы О (предварительные сведения) и из двух глав, включающих 10 параграфов. Основные результаты диссертации состоят в следующем:

I) приводится описание базиса тождеств алгебры ЛиТОцК) и р-алгебры ЛиТ^СцК), а также базиса тождеств их естественных представлений (теоремы 3.1, 3.2, 4.7, 4.8, 4.9). Решён вопрос о существовании триангулируемого представления алгебры Ли с заданной ступенью стабильности коммутанта (теоремы 3.13, 4.10),

2) показано, что полугруппы многообразии и вполне разложимых радикалов свободны (теоремы 5.5, 5.6, 5.7),

3) доказано существование LMJ- и ША -радикалов и исследуются их свойства (теоремы 7.28, 7.33, 7.35). Некоторые применения этих теорем отмечены в теоремах 7.36 и 7АО,

Ц-) доказано совпадение LUN -радикала коммутаторной алгебры Ли Ац с радикалом Левицкого Ш) (теорема 10.I). Показана характеристичность LHN -радикала коммутаторной алгебры Ли (теорема 10.9).

Переходим к изложению содержания диссертации по главам.

В главе 0 содержатся некоторые известные сведения и вводятся используемые в работе обозначения. В п.1 и п.2 этой главы мы определяем категорию р-пар, изучаются связанные с ней понятия и проводится определённый параллелизм с категорией представлений групп.

В первой главе (§1-§4) основным объектом изучения является р-алгебра ЛиТрО^Ютреугольных матриц гъ-ого порядка над полем ■ К ' рассматриваются тождества естественного представления (К^ТрСгцЮ) , тождества самой р -алгебры ТрО\> К) , изучается вопрос о триангулируемости, р -алгебры Ли, т.е. о существовании точного представления ограниченной алгебры Ли матрицами изТр(л,К). Затем аналогичные вопросы изучаются для алгебры ЛиТ(^К)треугольных матриц 1г -ого порядка над К .

При решении этих задач используются идеи, аналогичные тем, которые были применены при описании тождеств полных треугольных групп над полями [и] , [33] • Трудности их реализации связаны, в частности, с отсутствием в алгебрах Ли операции, аналогичной oneрации сплетения в группах. С другой стороны, при описании тождеств алгебры ЛиТОцК) приходится, в отличии от групп, проводить рассмотрения в два этапа: сначала привлекается категория р -алгебр Ли, где ситуация напоминает групповую и выписываются тождества р -алгебрыТрОцК) » и лишь затем, используя структуру слов Джекобсонн, возвращаемся в категорию алгебр Ли для получения тождеств алгебрыК). Этим объясняется, в частности, чтоvasCTW® не разлагается, как в случае групп, в произведение соответствующих многообразий алгебр Ли.

Основным инструментом здесь служит конструкция треугольного произведения представлений р-алгебр Ли, которая вводится в §1. Здесь исследуются функториальные свойства треугольного произведения р-пэр (предложение 1.6, 1.7), доказывается аналог теоремы Калужнина-Краснера Г20] для р-пар (предложение I.I2), вычисляются радикал и вербал треугольного произведения р-пар (лемма 1.5). Исследуются также некоторые другие свойства этой операции.

В §2 рассматривается связь треугольного произведения р -пар с операторами D, С,HjV , действующими на классах р -пар (лемма 2.1). Основным результатом этого параграфа является следующая теорема

2.2) Теорема. Если и - произвольные классы р -пар, т о уаг (3£4v в vca vca

Указанные результаты являются аналогами в категории р -пар соответствующих утверждений для операции треугольного произведения в категории представлений групп [II], [Зб] .

Б §3 вводится в рассмотрение многообразие -алгебр, относительно которых справедливо утверждение.

З.б) Предложение, р-алгебра Ли тогда и только тогда допускает точное гъ-стабильное представление, когда Ь - -алгебра.

Используя операцию треугольного произведения р-пар, а также свойства^ многообразий, доказываются следующие две осгцр новные теоремы этого параграфа.

3.1) Теорема. I. Бели поле К бесконечно, тотгСК^Т^Ю) определяется тождеством

I)

2. Вели поле К конечно (1KW р"1) , то уаг<1 Тр(^Ю) определяется тождествами вида

V. V. V =0, (2) где вместо Vt стоят слова - или ^IJiV» ^ •

3.2) Теорема. I. Если поле К бесконечно, то vwtT Wfi) определяется тождества ми

I. Г ЗД.I, Х^И«о о К-1 К если р 4 гъ<р .

2. Если поле К конечно (1К1* р"1) , то тгСТЧ^Ю) определяется тождествами t. V^l^O (4) • » ♦ р р * • pk Л k-i , ^ К V/ 5 0 при Р ^ vv<p5 pnv » 1 где вместо V-u стоят слова вида Х^ - Х^ или .

В качестве следствия мы получаем следующий результат о триангулируемости р -алгебр Ли.

3.13) Теорема. Конечномерная р-алгебра Ли Ь над алгебраически замкнутым полем К допускает точное конечномерное тризнгулируемое представление с П/ -стабильно действующим коммутантом тогда и только тогда, когда она принадлежит многообразиюУагСТ^Ю) т.е. удовлетворяет тождествам (3) из теоремы 3.2.

Доказывается также, что если конечная р -алгебра Ли над конечным полем К (Ж1*рПи) удовлетворяет тождествам (4) теоремы 3.2, то для неё справедлив аналог предыдущего утверждения (теорема 3.14).

В §4 рассматриваются аналогичные вопросы для алгебры Ли TWO треугольных матриц над К .

Основными здесь являются следующие теоремы, описывающие базис тождеств естественного представления этой алгебры, а также базис тождеств самой алгебры Ли треугольных матриц.

4.7) Теорема. Если поле К конечно (1Kb риг) , tovcii задаётся тождествами

5) р где вместо стоят элементы вида - или .

4.9) Теорема. Если поле К бесконечно, то Vat

TWO) задаётся тождеством t. Н t *а, , IХ^ъ=0. ( б)

4.8) Теорема. Если поле К конечно, то имеет базис тождеств (2) из теоремы 3.1. Если К бесконечно, тоФ^Л.* = VCLt (К* Т(цЮ) , где многообразие tv-стабильных лиев-ских пар, а - многообразие абелезых алгебр Ли над К •

Теорема 4.9 независимо и другими методами получена Бенедиктовичем И.К. [8] .

Следующая теорема отвечает на вопрос о существовании триангулируемых представлений абстрактных алгебр Ли.

4.10) Теорема. Конечномерная алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики р=£0 допускает точное конечномерное триангулируемое представление с гъ -стабильно действующим коммутантом тогда и только тогда, когда она принадлежитvasCTfaК)) т.е. удовлетворяет тождеству (б) из теоремы 4.9.

В отличии от многообразий алгебр Ли, многообразия представлений алгебр Ли и р -алгебр Ли образуют полугруппы над любым полем положительной характеристики. В §5 изучаются эти полугруппы, а также полугруппа радикальных классов р -пэр - объект, двойственный к многообразиям представлений р -алгебр Ли. При этом рассматривается полугруппа вполне разложимых радикалов, т.е. полугруппа, в которой каждый элемент раскладывается в произведение конечного числа неразложимых радикалов.

Получен следующий результат

5.5) Теорема. Над любым полем положительной характеристики полугруппа вполне разложимых радикалов свободна.

Отсюда, в частности, получается теорема о свободе полугруппы многообразий р -пар (теорема 5.6). Аналогичные теоремы о свободе доказываются для полугруппы вполне разложимых радикалов и полугруппы многообразий представлений алгебр Ли над любым полем (теорема 5.7).

В §6 рассматривается полугрупповая пара , где 2ft полугруппа многообразий алгебр Ли над бесконечным полем К , а ftft - полугруппа представлений алгебр Ли над тем же полем. Так же, как и в групповом случае, операциях задаёт представление ft. в качестве полугруппы эндоморфизмов полугруппы 20*1 . Возникает полугрупповая пара , у которой - свободна (см. [6] ) и

Ш. - свободна (теорема 5.7.). Отметим, что вопрос о свободе полугрупповой пары , поставленный в [37] , остаётся открытым. В групповом случае соответствующая теорема о свободе доказана в 136] .

- 10

В полугруппе рассматриваются подполугруппыР1-многообразий и малых многообразий представлений алгебр Ли над К . Естественно возникает вопрос о вычислении их нормализаторов в полугруппе . Доказано, что нормализаторы этих подполугрупп тривиальны (теорема б.10 и теорема 6.13). Эти теоремы аналогичны соответствующим теоремам для многообразий представлений групп 138] . Отметим, что при доказательстве последних теорем используются результаты Ю.А.Бэхтурикз о строении алгебры Ли с PI -универсальной обёртывающей над полем положительной характеристики 17] и П.Неймана о строении FC -алгебр Ли [29] .

Во второй главе диссертации изучаются радикалы абстрактных алгебр Ли и радикалы их представлений. Отметим, что если в первой главе рассматривались радикалы области действия V лиевской пары (VjL) (радикалы, отвечающие многообразиям представлений алгебр Ли, радикальные классы представлений алгебр Ли), то здесь на первый план выходят радикалы действующей алгебры Ли L .

В §7 с абстрактными свойствами алгебр Ли связываются некоторые внешние свойства их представлений, которые классифицируются, исходя из свойств конечности, разрешимости и нильпотентности.

Центральными понятиями второй главы являются следующие свойства алгебр Ли:

LHA - свойство быть действующей локально разрешимой алгеброй Ли, каждый элемент которой является алгебраическим линейным преобразованием (л.п.).

LKN - свойство быть действующей локально разрешимой алгеброй Ли, каждый элемент которой является нильпотентным л.п. LNA - свойство быть действующей локально нильпотентной алгеброй Ли, каждый элемент которой является алгебраическим л.п.

Относительно этих свойств доказывается следующая теорема

- II

7.28) Теорема. Пусть L -алгебра Ли линейных преобразований, действующая в векторном пространстве над полем нулевой характеристики. Тогда

1. Существуют радикалы IMCL), LNUL).

2. 1ЛЦ(Ь) совпадает с совокупностью алгебраических л.п. изЬШЬ),ШСЬ) совпадает с совокупностью нильпотентных л.п. из LRFCU) , LNAUj) совпадает с совокупностью алгебраических л.п. из ШЬ) .

3. t ШСЬШ S LMCL), IШАСЬШ s ЬШЬ).

Известно, что в классе разрешимых алгебр Ли радикал Плот-кина-Хирша ЬЖЬ) не является характеристическим[49] . В §7 доказывается характеристичность URA~ , LUN~ и LNА -радикалов в следующих классах алгебр Ли: класс локально разрешимых алгебр Ли (теорема 7.21), в классе алгебр Ли, состоящих из алгебраических л.п. (теорема 7.35). В §10 доказывается также характеристичность этих радикалов в коммутаторных алгебрах Ли (теорема 10.8).

В качестве следствия получается характеристичность LN -радикала в классе локально конечных локально разрешимых алгебр Ли (теорема 7.40 п. 2).

В §7 рассматриваются также другие радикалы, связанные с представлениями алгебр Ли ( SbA- , SBN- , ЪА- ?FSA** и др.).

При этом переходя к регулярным представлениям, мы получаем радикалы абстрактных алгебр Ли (локально нильпотентный радикал из энгелевых элементов и др.) и некоторые следствия из их существования. Приведём несколько утверждений для абстрактных алгеб Ли.

7.30) Следствие. В абстрактной алгебре Ли над К ( сК-аг К = 0 ) сумма локально конечных идеалов каждый элемент которых энгелев, является скова локально конечным идеалом каждый элемент которого энгелев.

7.26) Следствие. Локально разрешимая алгебра над полем нулевой характеристики, порождённая энгелевыми элементами, является локально нильпотентной.

7.32) Следствие. В произвольной абстрактной алгебре Ли над полем нулевой характеристики сумма "В -идеалов из энгелевых элементов также является В • -идеалом из энгелевых элементов.

Связи между рассматриваемыми свойствами конечности алгебр Ли .линейных преобразований указаны на схеме I.

Аналогичная схема может быть построена для абстрактных алгебр Ли.

В §8 изучаются возможности перенесения результатов предыдущего параграфа для алгебр Ли над полями положительной характеристики р .

Рассматриваются алгебры Ли, удовлетворяющие в данном представлении следующим условиям (А) или (В):

1. алгебра Ли удовлетворяет условию (А), если ixCrn-О < р , где Гь ~ максимальная степень алгебраических л.п. из L , а пг -максимальный показатель энгелевости энгелевых элементов из L ,

2. конечномерная алгебра Ли Ь удовлетворяет условию (В), если tCtti-lVp , где Ъ -размерность алгебры L , а пг - максимальный показатель энгелевости энгелевых элементов из L .

Для алгебр Ли с условиями (А) или (В) доказываются утверждения, аналогичные рассмотренным в §7. Отметим, что при доказательстве ряда фактов используются соображения, отличные от случая поля нулевой характеристики.

В заключении приводятся примеры, иллюстрирующие существенность условий (А) и (В) для справедливости сформулированных в этом параграфе утверждений. При этом показывается, что условие (В) не является необходимым (теорема 8.10).

В §7 при построении LUN -радикала доказывается, что ниль-потентные л.п. в разрешимой алгебре Ли образуют характеристический идеал (теорема 7.17). В §9 рассматриваются возможности распространения этого факта на более широкие классы алгебр Ли.

Справедливо следующее утверждение.

9.8) Предложение. Пусть L - действующая алгебра Ли над V (сКагР«0 )5 обладающая возрастающим инвариантным рядом с локально разрешимыми факторами. Тогда нильпотентные л.п. из L образуют подалгебру.

Вопрос, образуют ли нильпотентные л.п. в алгебрах из вышеприведённого класса идеал, остаётся открытым. Однако, имеют место следующее утверждение:.

9.9) Предложение. Пусть Н - локально разрешимый идеал в действующей алгебре Ли L надР и фактор-алгебра //Н - локально разрешима. Если Н не содержит ненулевых нильпотентных л.п., то нильпотентные л.п. из L, образуют идеал.

Доказывается также, что в условиях предыдущего утверждения алгебраические л.п. образуют подалгебру ( предложение 9.10).

В §10 изучается вопрос: как структура коммутаторной алгебры Ли А^ влияет на свойстза ассоциативной алгебры А . Рассматривается строение обобщённо разрешимой ассоциативной алгебры А , т.е. алгебры, для которой коммутаторная алгебра Ац обладает инвариантным лиевским рядом с абелевыми факторами. Если для некоторого К , то алгебрз

А является лиево разрешимой[12] . В статье С.Амицура [3] доказывается, что над полем характеристики лиево разрешимая алгебра А с нулевым радикалом ЛевицкогоА(А) является коммутативной. Ыы доказываем, что аналогичная теорема справедлива для обобщённо разрешимых ассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики (теорема 10.10).

Предыдущее утверждение можно переформулировать в следующем виде: если алгебра А не является коммутативной и А^ обладает рядом (I), то <£(A)f0 . Следовательно, налагая те или иные требования на ки , можно получить условия существования в А нетривиального радикала Левицкого. Доказывается, что множество нильпотентных элементов из радикала Плоткина-Хирша коммутаторной алгебры Ли Ац совпадает с радикалом Левицкого алгебры А (теорема 10.1). Затем, используя результаты §7, приводятся необходимые и достаточные условия нетривиальности радикала Левицкого Л(А)в А (теорема 10.2), доказывается характеристичность LRA~* ,№N-11 ША -радикалов для коммутаторных алгебр Ли (теорема 10.9).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю проф. Б.И.Плоткину за постоянную помощь и внимание.

Глава О Предварительные сведения.

В данной главе (пункт I и 2) вводится в рассмотрение категория представлений ограниченных алгебр Ли и связанные с ней некоторые понятия и факты. При этом мы следуем, в основном, работе Б.И.Плоткина[35] , посвящённой теории многообразий и радикалов представлений групп. Соответствующие понятия в случае представлений алгебр Ли приводятся в работе 146] .

В пункте 3 главы О рассматриваются радикалы алгебр Ли линейных преобразований. Приводятся некоторые абстрактные свойства алгебр Ли, с которыми: в дальнейшем связываются свойства лиевских пар, т.е. свойства для которых существенна роль ассоциативной оболочки данного представления алгебры Ли.

I. Многообразия р-пар. Пусть А - ассоциативная алгебра линейных преобразований над полем К характеристики р , А^ - соответствующая ей ограниченная алгебра Ли. Представлением ограниченной алгебры Ли L называется гомоморфизм алгебры L в алгебру А, . Мы будем рассматривать ограниченные лиевские пары (V, Ь) U в дальнейшем такие пары будем называть р -парами, или ограниченными парами), предполагая тем самым заданным представление р-алгебры Ли L в А^ . При этомУ называется областью действия, a L - действующей алгеброй. Отметим, что если L - алгебра Ли над произвольным полем F и А^ - алгебра Ли линейных преобразований пространства V над F , то аналогичным образом возникает понятие лиевской пары (V.L) .

Объектами рассматриваемой нами категории служат р -пары

V,L) » а морфизмзми - гомоморфизмы р-пар, определяемые следующим образом: если(Vt,Li) и (Vj>,La) - р-пары, то гомоморфизмом ji: (Vi9Lj) * называется пара гомоморфизмов jx: —>\ и у,: Ц—* L^ таких, что (vt-~ vf- If, Vt е Vj. 3 lL е Li . Гомоморфизм p-пар называется правым, если V^V^, и отображение jt: Vi > Vj> тождественно. Гомоморфизм р-пар называется левым, если Li*sLa и отображение ji: > La тождественно. Естественным образом определяется изоморфизм р-пар.

Понятие изоморфизма позволяет говорить об абстрактных свойствах р-пар. Абстрактные свойства р-пар, в которых существенна роль как области действия V , так и действующей алгебры Li , называются внешними или относительными свойствами, позволяющими говорить о классах р-пар.

Пусть & - класс р-пар, обладающих некоторым свойством. Обозначим через $(V,L) сумму всех L -подмодулей bV > каждый из которых принадлежит л . Если р -пара (ЩЦЦб IE , то назовём подмодуль &(VSL) ограниченным лиевским & -радикалом области действия р-пары

Наряду с радикалами в р-парах имеет смысл рассматривать двойственные радикалы - корадикалы. L -подмодуль Н р-пары называется ко-<£-подмодулем, если р-пара Минимальный ко-& -подмодуль V называется корадикалом р-пары (V.L) и обозначается

Определим теперь операторы на классах р-пар: если Ж -класс р-пар и о - оператор, то - новый класс, причём и с влечёт с B^g, . Класс & называется 8-замкнутым, если = & . Оператор 9 называется оператором замыкания, если 9=0. Определим некоторые специальные операторы на классах р-пар, Пусть ^ - произвольный класс р-пар, тогда:

- 18

- класс всех подпар p-пар из $ ;

QS - класс всех гомоморфных образов р-пар из ; V& - класс всех p-пар, у которых некоторый правый гомоморфный образ содержится в ;

- класс всех правых гомоморфных образов p-пар из& ; С& - класс всех p-пар, являющихся декартовым произведением

-пар;

- класс всех p-пар, являющихся полудекартовым произведением p-пар. При этом р-пара (Vjb) называется полудекартовым (или декартовым справа) произведением p-пар (VA,ЬД 1 , если V есть прямая сумма всех » Li - декартово произведение всех L^ , а действие L в V определяется покомпонентно;

DcE - класс всех прямых произведений p-пар из $ ;

- класс всех p-пар (VSL) таких, что в V есть набор L -подпространств V,*,, л€1 » которые порождают V и для которых

YO^fcs

А& - класс всех p-пар, аппроксимирующихся р-парами из 31 .

Все перечисленные операторы являются операторами замыкания. Класс р-парей называется биркгофовскиы классом, если он замкнут относительно операторов Q5S и С . Соответствующий оператор замыкания есть 0SC .

Класс р -пар называется насыщенным, если он замкнут относительно V и & . Насыщенный биркгошовский класс называется многообразием р -пар.

Если 2, - произвольный класс p-пар, то через уйгЯ обозначим многообразие p-пар, порождённое классом X .

O.I) Теорема. (ср.Г353 теорема 2 ). Если £ - произвольный класс p-пар, то vas

Многообразие p-пар можно также охарактеризовать с помощью битождеств. Обозначим через 2i(L) универсальную обёртывающую алгебру для р-алгебры Ли L , а через (L) - р -алгебру ограниченной алгебры Ь [13] . Алгебра ЩЬ) играет для ограниченной алгебры Ли L такую же роль, что и алгебра ЖЦ для L , рассматриваемой как обычная алгебра Ли.

Пусть У - произвольное множество, «Г(У) -свободная ассоциативная алгебра, свободно порождённая множеством У . Обозначим через Гр (У) - ограниченную алгебру Ли, порождённую множеством У в алгебре5"(У) » рассматриваемой как ограниченная алгебра Ли с операцией Са,Ь>аА-&а и cf1^ = а? . Известно [50] , что F^CY) есть свободная ограниченная алгебра Ли с множеством образующих У

В дальнейшем, когда это ясно из контекста, запись множества образующих У опускается.

Пусть и

- некоторая р-пара. Подставляя в запись а вместо ^«у*,.» ijn, элементы Д^.-.Д^Ь получаем некоторый элемент . Если равенство справедливо для любых ii Д?.,, ^ L) и для любого veV , то будем говорить, что в р-пэре (V,Ь) выполняется битождество амД^.,

0.2) Теорема, (ср.[31] стр. 571 ). Биркгофовский класс определяется некоторым набором битождеств и некоторым набором тождеств ограниченных алгебр Ли. Многообразия р-пар - это классы, задаваемые только битождествами.

Пусть & - некоторый класс р-пар, а А - множество всех и е 21 (Fp^ , для которых в р-парах из $ выполняются битождества SMi«0 . можно доказать, чтоА является идеалом в fcUFp) , выдерживающим все эндоморфизмы алгебры Гр . Всякий идеал с таким свойством будем называть специальным идеалом.

Если % - многообразие р-пар, то многообразие Ш , состоящее из всех р-пар, удовлетворяющих набору битождеств :mi=0 по всем а^Л , совпадает с с£ . Поэтому, если каждому многообразию сопоставить специальный идеал Л , состоящий из всех таких для которых в р-парах из Si выполняются битождества SMtaO , то так определённое соответствие между многообразиями р -пар и специальными идеалами алгебры 2l(Fp) будет соответствием Галуа.

Рассмотрим теперь построение радикалов и корадикалов по многообразиям р-пар. Пусть ^ - многообразие р-пар. Так как то шх) является радикалом области действия р-пары (VjL) • Если ji- правый эпиморфизм, то из соотношения = следует равенство ад, u)if. m.uv CD

Если jb - левый эпиморфизм, то имеется только включение

Эд.ця^ад.ц). (г)

Так как многообразие р-пар замкнуто относительно оператора А , то для всякого представления & в V существует корадикал

L) , называемый также вербальным $ -подмодулем этого представления.

0.3) Предложение. (ср.[35] предложение 13 ). Если Л специальный идеал в W?) 1 отвечающий многообразию р-пэр сЕ , то Ш (VSL)=VA(L) , где

- идеал в mi) , состоящий из всевозможных значений элементов идеалаА на алгебре Ь .

В дальнейшем идеал A(Qбудем называть вербальным идеалом. Определим операцию произведения классов и р-пар: , если в V имеется и -подмодуль п , такой, что

Относительно так определённого умножения многообразия ограниченных лиевских пар образуют полугруппу. При этом, еслиА.£- специальный идеал в отвечающий многообразию » з Ag, - специальный идеал, отвечающий многообразию то многообразию отвечает специальный идеал А^Ар т.е. полугруппа многообразий ограниченных лиевеких пар антиизоморфна полугруппе специальных идеалов вЖрр). Из определений следует, что р-пора (V3L) тогда и только тогда принадлежит когда выполняется одно из следующих равносильных включений: tfW.U.U®»! ш

В каждом многообразии р-пар имеются свободные пары, которые строятся следующим образом. Обозначим через фп свободный г

Fp)-модуль над некоторым множеством X свободных образующих.

Если рассмотреть только действие Fp(Y) наФр , то Фр становится ограниченным лиевским F0(Y) -модулем, а р-пара С^аГ ЛfPV ^Р^ ~

V о/. Р Р свободной парой многообразия <£ , т.е. если \Y,L)€ , то пара отображений jL:X!—^V и jl: У—однозначно продолжается до гомоморфизма

МНлсрЛЬ^Д

Приведём несколько конструкций, связывающих многообразие р-пар с многообразиями р-алгебр Ли.

Пусть - произвольное многообразие представлений ограниченных алгебр Ли над К . Обозначим через & класс всех р-алгебр Ли L 5 для которых существует точное представление . Имеет место теорема (ср.[34] теорема I ).

5>

0.4) Теорема. является квазимногообразием ограниченных алгебр Ли.

Если теперь 8 - произвольный класс р-алгебр Ли, то че 1 рез В (L") обозначим пересечение всех идеалов Н р-алгебры L таких, что ^/ц 6 8. Если при этом 8 замкнут относительно поддекар-товых произведений, то /^'(L) € ® •

Пусть теперь - произвольное многообразие представлений ограниченных алгебр Ли, $ - соответствующее квазимногообразие р-алгебр Ли. Для каждой р-алгебры Lj её идеал §ь(Ь) назовём ядром многообразия & в L . Так как & - квазимногообразие, то а.

ГШ

0.5) Предложение. (ср.[32] предложение I ). Если А -идеал тождеств многообразия представлений р-алгебр Ли I и L -р -алгебра Ли над К » ACQ- вербальный идеал алгебры L , то

0>Л(Ши

Доказательство.Пусть (V,L) - р-пара из Ж nveV . Сопоставим 1 —> V и получим гомоморфизм lliL) -модулей и • Но имеет место также гомоморфизм jv. ^^дДЦ) так какАСО ядро D j Пусть теперь ? - произвольный элемент в ядре представления и пусть 1 = i+A(U). Тогда v-i -7М-iT'lf- (bA(Uf=A(Uf=0.

Значит, V-1= 0 для любого veV . Отсюда следует, что I принадлежит ядру представления (V,Li) .

С другой стороны, (^^vdj)5^ ^ • Поэтому A(U) ПЬ совпадает с пересечением ядер всех представлений алгебры L в Ж .

Проверим теперь равенство

Л(Ь)ПЬ - г (L).

Пусть H<jLi к ]/\\ g S . Возьмём точное представление v, Тогда (свойство насыщенности многообразия) и имеет ядро Н . Поэтому

Обратное включение следует из того, чтоЗ^(Ь)ПН G ^ Пусть теперь % - многообразие р-пар и В - многообразие р-алгебр Ли. Через Эс * 0 обозначим класс р-пар, определяемый следующим образом: (V,Q ^ ^ * В , если в Ь имеется идеал Н , такой, что (V,bf) 6

3- и ее Иначе говоря, тогда и только тогда, когда подпара (Va0'(L,])^ . при этом оказывается многообразием р-пар.

- 23

Отметим также правило выписывания идеала тождеств многообразия 1 * В . Пусть W - идеал тождеств многообразия оС , Е -вербальный идеал многообразия 8 - значение идеала "W на подалгебре Е . Тогда идеал тождеств многообразия ^ * 9 равен

UFp)WCE) .

0.6) Предложение, (ср.[36] предложение 2 ). Если и - многообразия p-пар и 0is6?- многообразия р-алгебр Ли над К » то имеют место соотношения

SjS^VB-CVffl-CV®, *• 0J.V-0г, = Ж-х01

2. Радикальные классы пар. Радикалы области действия. Рассмотрим теперь понятие двойственное многообразию р-пар - радикальный класс р-пар.

Класс р-пар называется радикальным, если он насыщен, зам- . кнут относительно взятия подпар и гомоморфных образов и если в каждой р-паре (V5L) существует Ж -радикал.

Если Я - произвольный класс р-пар, то через геи!% обозначим радикальный класс, порождённый классом^ .

0.7) Теорема, (ср. Г353 теорема I ). Если 2. - произвольный класс р-пар, то md£-V&S>

Так как Vtt£ = V&SC , то многообразие р-пар является одновременно радикальным классом.

Пусть ^ - радикальный класс р-пар. Сопоставим такому X функцию 1 по следующему правилу: если L - р-алгебра Ли, то |(L) есть множество правых идеалов W в Ш) для которых выполняется включение (^^др^)6^. Также как и в случае групп, можно показать, что множество HL) является радикальным фильтром вWL). Функцию | назовём радикальным фильтром класса^ (ср. [35] ).

Если | - радикальный фильтр класса & , то тогда и только тогда, когда для каждого v е V выполняется ArtruG е ] (Li) . Можно доказать, что если $ - радикальный класс, то есть множество всех v е \/ , для которых А^гь(У) elCU.

Нетрудно проверить, что радикальным класс *, тогда и только тогда является многообразием, когда соответствующий фильтр | - главный, т.е. в |(Li) имеется минимальный элемент, являющийся двусторонним идеалом. Этот идеал совпадает с A(L) , где Л - специальный идеал многообразия % .

Радикальные классы р-пар, также как и многообразия р -пар, образуют полугруппу относительно определённого выше умножения классов р-пар. В дальнейшем эту полугруппу будем называть полугруппой радикалов, а радикальный класс - радикалом.

Нас будут интересовать радикалы, которые раскладываются в произведение конечного числа неразложимых радикалов. Такие радикалы называются вполне разложимыми (ср.[II] ). далее будет показано (см. §5 глава I), что многообразия р-пар образуют подполугруппу в полугруппе вполне разложимых радикалов.

Не каждый радикальный класс р-пэр является вполне разложимым. Для построения соответствующего примера рассмотрим понятие верхнего произведения радикалов.

Верхним произведением f^l , где | - произвольный ненулевой ординал, называется класс всех представлений (VjU) , у которых bV имеется возрастающий ряд L -подмодулей:

0-V,sVls.eVi>syuls.sVt-y такой, что Qki^ > для каждого J .

0.8) Теорема, (ср.[II] стр. Z8 ). Верхнее произведение бесконечного числа неединичных радикалов р-пар не является вполне разложимым.

Воспользуемся операцией умножения классов р-пар для выделения различных конкретных радикалов. Пусть §с0 - некоторое многообразие р-пар, а ^ - объединение классов ей» по всем натуральным п . Далее, определим оператор 3 следующим образом: (V9L) е , если для каждого циклического L-модуля Н из V , пара (H,L) £ S& . Теперь, применяя к классу Si оператор 3 , приходим к радикальному классу Ж в .

Например, если с£0 = "Sp - класс р-пар с тривиальным действием, то @р - класс а-стабильных пар: (V5L)^ ©р тогда и только тогда, когда в V имеется ряд:

V = V0 =V4= . . ° Vm,=0 длины m (гтъ П ) из L -допустимых подмодулей, во всех факторах которого алгебра L действует нулевым образом. Обозначим

L+i . через Л идеал в El(Fp), порождённый алгеброй Fp . Тогда, очевидно, что многообразие <ё>р задаётся битождеством х-0 , а идеал тождеств этого многообразия есть Д .

Обозначим, далее, й ©р' . Тогда класс финитно стабильных р-пар, а 3 радикальный класс.

Для получения из (g> других серий радикальных классов рассмотрим следующие два оператора локального типа: (VjLi) ^ , если каждая конечно-порождённая подпара принадлежит $£ ;

V L) е (L £ » если для любой подалгебры с конечным числом образующих Т, из L подпара

Легко проверить, что классы ^р и ® ^р являются радикальными.

Пусть классу (§>р отвечает радикал F4 } классу О^бр- радикал F^ , а классу 0<Е)р- радикал F5 . Для характеризации этих радикалов введём следующие определения.

15сли (VjL) - некоторая р-пара, то элемент v^V называется финитно стабильным, если имеется такой номер гъ = n.(v) , что элементы из р-алгебры L удовлетворяют тождеству . = 0 .

Элемент veV называется локально финитно стабильным, если для любого конечного подмножества 2 CL найдётся номер n, = a(v.X?), что выполняется тождество V- ^ . ^ = 0 для любого i^ gl и 1ь. € и .

Элемент v € L называется стабильным, если для любого конечного подмножества Л сL имеется показатель 1г » h,(v5H) такой, что для всех справедливо V- L]^ = 0 .

0.5) Предложение. Для произвольной р -пары (V3L) радикал Fj(VsL) совпадает с множеством всех финитно стабильных элементов из L , R> (V5L) - множество всех локально финитно стабильных элементов и F3(V,L) - множество всех стабильных элементов из L .

Доказательство. Радикал F4 (V«L) состоит из элементов V для которых Atui(v) е |(L) . Отсюда следует, что р-пара (v-UlLVQ

ШЬ) 1 ' финитно стабильна и, знйчит, финитно стабилен элемент V .

Обратно, если элемент V финитно стабилен, то он аннулируется некоторой степенью идеала Д(Ь) , т.е. Д (Li) 6 Atm(v\ Ко си /I \ Й/Cli) ft тогда Д (L) аннулирует и модуль v- cl(L), что означает (v Е1(Ь)5Ь)€ 6 .

Радикал F^(V,L) состоит из Bcexv для которых пара (vEUL\L) локально финитно стабильна. Последнее условие означает, что для любой подалгебры с конечным числом образующих изЬ найдётся такой номера , что A (Q аннулирует все элементы вида V-1 по всем £ е L. А это, в свою очередь, означает, что элемент V локально финитно стабилен.

Пусть, наконец, Н - множество стабильных элементов из L . Легко видеть, что Н -К -подмодуль bV и что он инвариантен относительно и . При этом р -пара . Отсюда следует, что Н= .

- 27

3. Радикалы алгебр Ли линейных преобразований. Объектом рассмотрения в этом пункте является лиевские пары (V, О , где L - алгебра Ли над произвольным полем F .

Пусть 0 - внешнее свойство лиевской пары (V} Ц) . Подалгебра L^L является В - подалгеброй, если пара (V.L^ является 6 -подпарой. Обозначим через Bv или, если область действия фиксирована, через 8(C) сумму всех 6 -идеалов алгебры Ли L ( В -идеал - это идеал, являющийся В -алгеброй). Если лиевская парз су, BCL3» снова является о -парой, то назовем идеал BCD - лиевским 8 -радикалом, и свойство В -радикальным. Нас будут интересовать абстрактные свойства лиевских пар, для которых существенна роль ассоциативной оболочки действующих алгебр Ли.

Будем исходить здесь только из точных лиевских пар. При этом, если (V,U - точная пара, то алгебруL будем называть линейной алгеброй Ли, и естественное вложение алгебры Ли L в обёртывающую алгебру A(L) этого представления - линеаризацией алгебры Ли L .

Пусть и CV^,Lj) - две лиевские пары, ш И hi Lj) их обёртывающие алгебры. Линеаризованным гомоморфизмом jJi лиевской пары (\[9Ц) в (\l,L) назовём такой гомоморфизм этих пар, который продолнается до гомоморфизма обёртывающих алгебр.

Известно, что с каждым гомоморфизмом абстрактных алгебр Ли LA и ассоциируется линеаризованный гомоморфизм лиевских пар Ш(Ц)ДО в(ЖЦ\Ья). Для произвольной линеаризации алгебр Ll и L?( это, вообще говоря, не имеет места.

Линеаризованным дифференцированием лиевской пары (V,U назовём дифференцирование ассоциативной алгебры A(U , оставляющей инвариантной алгебру Ли L . Идеал 3" линейной алгебры Ли L назовём характеристическим, если он замкнут относительно всех линеаризованных дифференцирований алгебры L . Известно, что всякое ференцировэние абстрактной алгебры Ли L можно продолжить до дифференцирования универсальной обёртывающей алгебры 2KQ [133 . Следовательно, в свободной линеаризации алгебры Ли L каждое её дифференцирование продолжается до линеаризованного дифференцирования пары (£l(L«\Li) . Для произвольной линеаризации алгебры Ли это, вообще говоря, не имеет место. Однако, если в подпаре W,L«) napbiCVjLj) алгебра - идеал в L , то дифференцирование axil I € L алгебры Lji продолжается до линеаризованного дифференцирования пэры (V.U.

Таким образом, возникает категория^- лиевских пар, объектами которой служат точные лиевские пары, а морфизмами - линеаризованные гомоморфизмы. Б категории «И, определены также линеаризованные дифференцирования.

Понятие линеаризованного изоморфизма лиевских пар из категории £ позволяет говорить об абстрактных линеаризованных внешних свойствах 0 . В этой категории, также как и ранее, вводится понятие 8 -радикала действующей алгебры Ли.

Здесь на первом плане стоит алгебра Ли L , и задача состоит в том, чтобы изучить связь между некоторыми внутренними (абстрактными) свойствами этой алгебры и её линеаризованными внешними свойствами, связанными с представлением алгебры L в категории с£ . При этом выясняется, какие из рассматриваемых линеаризованных внешних свойств являются радикальными, а также свойства соответствующих радикалов в некоторых классах алгебр Ли.

Основными объектами далее будут являтся три радикала LRMH), ШШ и LNA(U), связанные с линеаризованными внешними свойствами фиксированного линейного представления алгебры Ли L и основанные на рассмотрении свойств алгебраических линейных преобразований

- 29 в разрешимых алгебрах Ли линейных преобразований.

Приведём свойства абстрактных алгебр Ли, которые будут использоваться для построения линеаризованных внешних свойств и укажем некоторые связи между ассодированными с ними радикалами.

Рассмотрим свойство слабой разрешимости, введённое в статье Г41] . Пусть F - свободная алгебра Ли над произвольным полем со счётной системой свободных образующих ае4<. .

Положим fi (а., = £ 3 я*] 5. 3 (Xi, St,., = 1*U*' - V^ W^V- 4.VV ^ V11

Алгебра Ли называется слабо разрешимой (SH -алгеброй), если для любого конечного множества элементовМ изЬ существует такое натуральное гъвпЧМ), что значение многочлена на множестве М равно 0. Свойство SR является радикальным, причём слабо разрешимый радикал полупрост в смысле Куроша. Над полями характеристики О -радикал является характеристическим [41] .

Рассмотрим теперь более сильные свойства абстрактных алгебр Ли. Обозначим через 11 - свойство быть разрешимой алгеброй Ли, LR - свойство быть локально разрешимой алгеброй Ли, N -свойство быть нильпотентной алгеброй, LN - свойство быть локально нильпотентной алгеброй Ли. Очевидно, любая LU -алгебра является SR -алгеброй. Несовпадение этих двух классов алгебр Ли над полями нулевой характеристики установлено в [41]. Неизвестно, является ли LR-свойство радикальным. Напротив, свойствоLM будет радикальным для произвольных алгебр Ли [30]. Б статье[49] приведён пример разрешимой алгебры Ли над полем нулевой характеристики, в которой LN -радикал не характеристичен.

Свойства R и N не являются радикальными в произвольной алгебре Ли. Однако, в конечномерной алгебре ЛиЬ идеалы Ш иЖи совпадают с разрешимым и нильпотентным радикалами соответственно. При этом над полями характеристики 0 имеют место соотношения[13]: mumflsNcu-, для произвольного дифференцирования!) алгебры Ли L .

Обратимся теперь к некоторым свойствам конечности абстрактных алгебр Ли. Свойство локальной конечности алгебры Ли обозначим через LF . В статье [23] доказано существование LF-радикала для произвольной алгебры Ли. Над полем нулевой характеристики LF -радикал нехарактеристичен [41] . Объединение свойств LF иЬ"Я обозначим через L*RF . Свойство LRF является радикальным [23] , по LRF - радикал в алгебрах Ли над полями нулевой характеристики нехарактеристичен [41] . Очевидно, имеет место равенство: SWQnLFCLVL'RFOJ) для произвольной алгебры Ли L » а также включение LNll^sURFCC).

Рассмотрим теперь свойства конечности, связанные с конечномерными достижимыми (субинвариантными) подалгебрами произвольной алгебры Ли. Приведём необходимые определения из [44] . Подалгебра Н алгебры ЛиЬ называется субинвариантной в L , если Н является членом некоторого возрастающего нормального ряда в L , и достижимой, если этот ряд конечен. Элемента алгебры L называется субинвариантным, если порождённая им одномерная подалгебра icil субинвариантна в L » и достижимой, если la] достижима. Подалгебра Н алгебры L называется F -субинвариантной (F -достижимой) в L , если Н содержится в некоторой конечномерной субинвариантной (достижимой) bL подалгебре. Элемента из L называется F -субиизари-антным ( F -достижимым) в L , если lal F -субинвариантна ( F -достижима) bL . ПустьЪ обозначает свойство быть алгеброй, каждый элемент которой субинвариантен в ней, SB - свойство быть алгеброй, каждый элемент которой достижим в ней, F -алгеброй, каждый элемент которой F -достижим, Fs -алгеброй, каждый элемент которой F -субинвариантен. В статье [44} доказано существование радикалов Б (Li) , SB(L), Fg(L) и для произвольной алгебры Ли L над полем нулевой характеристики. При этом радикалы F(Li) и Sb(L) являются характеристическими, а радикалы

FS(L) и BCL) нехарактеристические . и.

Обозначим через UN - свойство алгебры иметь возрастающий нормальный ряд с коммутативными факторами. Дословным повторением доказательства соответствующего факта в теории групп легко убедиться в том, что свойство "RN" является радикальным для произвольных алгебр Ли над любым полем. В статье [44] доказано, что B(L.yLN(U)nRN (С) для алгебры Ли L над полем нулевой характеристики. Для свойств Fs и F над полем нулевой характеристики справедливы включения:

Fs(LW(UsLF(L\