Структура, представления и радикалы ассоциаторно-циклических алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫ!! УНИВЕРСИТЕТ имени В. И. ЛЕНИНА

Специализированный Совет К 053.01.02

Н16 04-

На правах рукописи

/ ¡.Ь' '! НПО и ■ пил

ВАХИГОГС Риф Хамзпсвпч

СТРУКТУРА, ПРЕДСТАВЛЕНИЯ II РАДИКАЛЫ АССОЦИАТОРНО-ЦИКЛИЧЕСКИХ АЛГЕБР

01.01.06—математическая логина, алгебра и теорпя чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата фнзнио-математипескнх наук

Москва 1993

алгебр» /

Работа выполнена зш кафедре МПГУ им. В. И. Ленина.

Научный руководя те ль:

доктор фи;шко-математическпх наук, профессор С. В. ПЧЕЛИПЦЕВ

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В. А. АРТАМОНОВ

доктор фн.чттко-матемагических наук, профессор Г. В. ДОРОФЕЕВ '

Ведущая организация — Институт математики Сибирского Отделения РАН.

Защита состоится «./$....»...........................1994 года

..чае. на заседании Специализированного Совета К 053.01.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических: наук в Московском ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени педагогическом государственном университете имени В. И, Ленина (107140, Москва, Краснопрудная, 14, МПГУ им. В. И. Ленина, аудитория 301).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ им. В. И. Ленина (119435, Москва, М. Пироговская, 1, МПГУ им. В. И. Ленина).

Автореферат разослан ............1993

Ученый секретарь Сп^цуашпзнрованного Совета

Г. А. К APACE В

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ АКТУАЛШОСТЬ ТЕШ ИССЛЕДОВАНИЯ. Первые неассошативные алгебры возникли в, связи с грушшми Ли /лиевы алгебры/, о проективными плоскостями /альтернативные алгебры/ и о аксиоматикой квантовой механики Дордановы алгебры/. Б настоящее время они имеют развитые структурные теории. Вслед за лиевыми, альтернативными в йордановыми;алгебрами рассматривались и другие неассощтишные алгебры. Многие из них определяется с помощью тождеств, содержащих функции ассоциатора 2) - х(у2) и коммутатора Г£,у] ~ -уаг. Чада всего она вводятся как обобщения лиевых, альтернативных и йордаиовых алгебр. Например, обобщениями альтернативных и йорденовшс алгебр являются эластичные, ., ■ г - -. »

стандартные и достижимые алгйбры. Мальдевские и бинарно-лиевы

'/ - г

алгебры обобщают лиевы алгебры. Заметим, что в определении лиевых', мальцввских и .бинарно-лиевых алгебр используется функция якобиана С) = (аВ)С + (Зс)а +(са) 8 . которая

в антикоммутативньк алгебрах связана с функцией 5 (а, 8, с) < (аЛс)+-(Ьс,а) + (с,аЛ тождеством 2. £ В, с) - ] (а^ В, с).

Напомним, что присоединенная когалутаторная алгебра А является лиевой тогда а только тогда, когда в алгебре А выполняется тождество

Такие алгебры

называются Ли-допустимыми/. Ла-допустимыэ, эластичные, анти-аластичные-, (уу §) -алгебры и некоторые другие неассоциативныв алгебры определяются о помощью линейных зависимостей между ассоциаторами ввда С ¿/Г (эс), ЗГ (у) , ЗГ (2) ) , где Ж - перестановка элементов X » У и 2 . ,' Указанные многообразия неассоциативных алгебр тесно свя-

залы с ассоциативными, лнеЕши, альтернативными и мордановши алгебрами. Они интенсивно изучались, в развитие структурных теорий алгебр указанного взда а других линейных алгебр существенный вклад внесли А.Алберт, Р.Блок, Э.Клеинфелд, Д.Родабо, Н. Стерлинг, А.Тэди, И.Хониель, P.fajep, р.фже, Б.А.Артамонов, К.И.Бе1щар, А.Т.Га&юв, А.Н .Гриппов, Г.Е.Дорофеев, E.H.Кузьмин, А.С.Марковичей, И.М.Михеев, А.А.Никитнн, С.В.Пчелинцев, Л.А. Скорняков, В.Г.Скосырский, В .Т.Филиппов, И.П.Шестаков! А.И.Швр-шои н другие.

ITjc-ib Ф - ассоциативное и коммутативное кольцо с единицей 1. Предположим, тго -^-¿Ф. Тогда Ф -операторное кольцо А

называется ассошшторно-циклической /вкратце, ассоцикличес-кой/ алгеброй, если удовлетворяет тождеству Ассоциклнчэские кольца астесгвенно 'обобщают альтернативные кольца". Если асооцшишческое кольцо удовлетворяет тождеству

~ О , ю оно альтернативно. Другим известным случаем ассоциклических колец -лглж57ся ассоскшетрпчные кольца: в них все ассоциаторы вида (ог(сс) , &Z(y), ) , где <7Г - перестановка элементов X , у н Z , равны друг другу.''

Ассоциклические алгебры относятся к алгебрам, с линейно-за-т.испт,ми ассоциаторами вида (JT(sc) , яг(у), 3TCZ) ). Допустим, что А - алгебра над полем характеристики отличной от 2 и 3, удовлетворягадая тождеству г ада (X, у, 2) -*

+ ОС±(у,2,Х) чсс3 (2,0:,у) + 0rv (x.z.y) +ссг(2,у,г)+ос6 (у.зс.ъУ^о, где ау , ссл , сс3 , CCf , осг , осs - фиксированные скаляры. Тогда /это легко доказывается/: 1/ А удовлетворяет тождеству ,5(X, S (я, ют: тегдгетву (х,х, х) ~ О ,

ила тстдестгу гида ct(Vc,Xy) =0 (*),

э'

где ос - и.екогорыа .¡кксироЕанныо скаляры; 2/если алгебра удовлетворяем тождествам (?) и -О . яо она эластич-

на /то есть удовлетворяет тождеству (я,, или янтиэлас-титяа /то есть удотлетторяет готдестэд (х,у/ 2) - (х,у, £)/, или же является при ос л ч-ос,А л

£ - о^'2 *-2 ~ ос*

и ■ « ¿¿^-уЭ л ; 3/если алгебра А удовлетворяет даум

неэквивалентным тоадестгам иода (4-) , гэ она ассодиклическаа.

Еще в тридцатые годы П .Морды; показал, что в ассоциклическнх алгебрах выполняется токдество ( X, Эс,ЭС Д.Ауткольт до-

казал тождества (СОС, Т ), X, X ) - О и (у, X) 3 - О-Э.Кле1шфёдд в Л.Ввдмер* доказала тояшества ((</, X ), а X ~0. Д.Ауткольт2 дсчетал, что простив ассо-

цлклическиа алгебры альтернаткши, следовательно, они ассоциативны пли. являются апгебрама Кэлв-Даксояа. Н.Стерлинг 3 доказал,

что даже яолупервичные ассошзошчоеклв алгебры альтернативны, следовательно, они являются подпрямшш суммами первичных ассоциативных алгебр а центральных порядков в алгебрах Кэли-Диксона. А.Л.9?окину доказал, что понятия' правсшильзотентностя а нильпотентности в асооциопческих алгебрах -эквивалентны.

Дсссцпатарц зада ("X, 0:, г/), в (у, т,х) называются

такяв альтернагораст'. Э.КлеЬнфелд и Я.Ридмзр доказали, что идеал ¿т^ в ассощкличесиой алгебре А , порожденный альтернаторами вида (у,я, х) , гдо £ - произвольный, а X - фиксированным элемент из А , .тривиален, то ость

При изучении ассоцгаиичесхих алгебр № сталкиваемся с некоторыми трудностями. Во-первых, у ни степени неассоидативнн. Во-вторых, в конечномерных ассоцнкличэскнх алгебрах теорема

Еедцерберна-Маяьцева об оицеилвнзн радикала но имеет моста.

Многообразия алгебр, я которых ктадрат идеала вновь является идеалом, назкгаются 2-шогообрпзиямв. Из тести с, что существу юг дга типа 2-гаогообразий неальтернатихных алгебр о ассоциативными степенями; многообразие ¿'/-алгебр и многообразие почти альтернативных алгебр. Многообразие ассоцшиических алгебр. , также относится к 2-тогообразпщ.

Ассоциклические алгеСрц вызывают интерес также еотоод, что относятся к ьшадевски-допустамым алгебрам, то есть удовлетворяет тождеству £ (ГаЛ, а,с) - 2 (Га, с, а) ~

— С<Х, /5 (а, 8,с) -3(о,С,6)3 заметим, что ассоцислическое кольцо шльпевсЁси-допусташ, еслд ($ 1, о,с) — с,в)~

- Г а, ((О, С, Ю] Это тождество можно инвеста, используя тождество /10/ второй главы диссертации: ' . -

3 (Га,ез> С, " -Га. +Гс, (о,I- Гс, С&а [¿>С£м,с)3-

/Отсэда следует простой ответ ка вопрос 2.109 из "Днестровской тетрада" о Iложи,гости бшюрно-.шекых алгебр в коммутаторнне алгебры от ассоцш'лгчес1глк алгебр; ответ отрицательный/..

1ЩЬ РАБОТЫ. Настоящая „лпоертеийш посвящена "изучения строения ассашаторко-шислячесжгх адгебр, ах япль-радакалов и бкпредста*леяи2. ' ' .

Лльтернаторныа хдоалж а&Ь (А I алгебры Л назкха-ется идеал г А , шроетеанШ всевозтюязшда альтернаторами Центральном результатом диссертации является теорекао триви-ачькости «льтернагорного вдеалп гссодиутческоЯ алгебры.Заглэ-Л ткы. что фактор-алгебра аС{ ¿А ) альтернативна. Псэтсад метод расширен»]'. етдиется сшшл из ссненн-тс ыетодог-, пспольэуо-

мах в диссертации. Кроме метода расшреыш, в диссертации применяются методы общей теории радикалов, алгебры умножений и теории бвмодулей.

: Все теоремы в диссертации нсвне, доказаны ьперрые.

Диссертация имеет теорага^вское- значение: изучено строение ассоцааторно-иикличееких алгебр, их * / наль-радакалов и неприводщ&д бкшдулей.

АПРОБ-АЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались диссертантом а обсуждалась на шу^то--тесрэ?и'ческогл семинаре ка4«-дрц ал^обрц !,ШГ7 ш. В .И.Ленина ДЗЭЗ г,/, на саганаре "Алгебра я логета" ИМ 00 РЖ /Л933 г./ а ка Третьей Международной, ^ конференции по алгебре гшттп ^Маргаполова./Красноярск, 1993 т;./.,

ШШШШ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах Г11- 3, описок, которых приложен в конце автореферата. •

' ¡1 ■ ; СОДЕРЗШШЕ 13'ССЕРТАЩИ.

Диссертация состояв из введения, т?рех глав и списка литературы. Она изложена на 83 страницах,, бпбяиографш содержат 52 наименования. Б кагдой глава овоя нумэрадая формул, лет а теорем. Ссшжа, пазгршдар,. на лекму 2.3 означает соылку на лемму 3 главы 2.

Первая глава "Радикалы ассоодаторно-циклнчэишх алгебр" посвящена, в осношоп, изучению ниль-раднкалов. Она соотоит из ■ трех параграфов, первый пз которых - "Радикальные и шлупроо-

таэ классы" - носит вводный характер, в нем приведены необходимые результаты из общой теорзд рздвкагов колец я алгебр.

Б о втором параграфе ' Метацлеалы ассоидаторно-циклических алгебр" доказана следуодья

Теорема 1.1 Пусть А - ассодиклическая Ф -алгебра,

<7 - идеал в Л , // - вдег-л в 3 , а в А и"

Ма = м •* аМ+Ма. Тогда (¡МаХ) * ^Д'

Из теоремы 1.1» в силу известных результатов К.И.Еейдара и А. А.Никитина, следуют некоторые интересные теоретико-радикальные следстгЕЯ, например.:

а/полупростые классы замкнуты относительно взятая идеалов; б/цепи Курсша обрываются 'не более, чем да счетном шаге. Е третьем параграфе "Наль-радикалы ассодааторно-пиклических алгебр" для класса ас со; шел!-; чг ек их алгебр доказаны известные условия Ю.А.Рябухина, достаточные для построения теории нижнего ниль-радикала /теорека 3-2А Следуя К.А.Жевлакову с И.П.Шос-такову * , доказано, что в классе ассоциклнчеесих алгебр существует локально конечный е смысяз. Ширшова радикал, причем, со свойствами, аналогичными свойствам этого радикала в класса ассоциативных: а альтяргга^ивякх алгебр /теоремы 1,3 и 1.4/.

Вторая глаза "Структура ассоаиат&рно-цвклаческих алгебр" состоит из четырех параграфов, э первом из яах"Тривиальность альгорнаторггого идеала* - доказывается клэтзвой результат: Теопсма 2.1; Альтеряатоунай идеал (А) сссодиклическоЁ ^-аяпч^ри / С Р / траввалев в содержатся х альтернативном центре алгебры А , то есть а££ £{А) ■=• О р для всякого элемента йбА. ". ■

Иатворемы 2.1 елгдупт к.-'ескйзашао результаты А}ткольга,' . Стортинга, Кле*л$<иша к Ч

Пусть через ¿Еу ,.. Хл ) обозначается нормированный полилинейный одночлен. Тогда произведение СС,...,Х) назовем степени элемента X . Следовательно, /п -аг./ степень элемента Ой определяется неоднозначно. Если существует нормированный полилинейный одночлен , такой, что степень

) равна- нулю, и /2 - наименьшее такое натурйль-но-зчисло, то, будем говорить, что имеет место слабый аналог нильпотентности элемента X индекса П. . Если же ' "X? — О • для всех нормированных полилинейных одночленов'' , ' : ,... , Хп ) , и П - наименьшее такое натуральное- час-.

ло, то, будем говорить, что икает место сильный аналог н&льпо- •'

«

тентносга элемента ¿С индекса П. .

Б о втором параграфе "Нильпотентность элементов" доказано, что из слабого алалога нильпотентности элемента х индекса т следует сильный* аналог нильпотентности элемента X индекса ив более 6/71 ~ 3 /теорема 2:2/. ' ■" — ■

Степень разрешимости алгебры А определяется по индукщш:

. А'<" -А д ; А <лЧ) ^ А<п)А(п\ •

В алгебрах:- с ассоциативными "степенями, из разрешимости ■ А пддекса Я /то есть, А ^ ~ $ /.. очевидным образом, следует* что А является пяль-ялгеброй индекса но более 2- ^ Из -теоремы 2.2 следует,,'что п разреаикая ассошклическая алге- - . бра является киль-алгеброй сгршгичзкного щдекса.

Пусть, вно5я, X») -'нормрованный полилиней-

ный одночлен. Тогда . У «чягеш® элеяекга X определяется по шдзкдаа: = Ъ'фЩ

-■Олскенг казкЕезгся V-япльпотетгнга, есгз некоторая его- "1^"- ■ степень рзвна нулю. Идеал называется нпиа-адеалом, 'если

все его элементы V -няльдотантны. .

Б алгебрах с ассециативннш степенями максимальный ниль-вдеая • алгебры является ниль-радикалом. В произвольных алгебрах же максимальный У-ниль-адеал Л/^у (А) алгебры А является рада-калом / V -ккль-радккалои/. Д.Покрасс® показал, что в ассо-щщдаческах алгебрах все V -кшгь-радикалы <Лу равна друг другу. Иэтеорещ 2.2 следует более сильный результат: в ассовж-лаческих алгебрах идеал« алгебры А совпадают с макси-

мальным ниль-вдеалом алгебры А .

В третьей параграфе "Ниль-алгебры ограниченного индекса" на ассоциклическш. алгебры перенесены теоремы Ширшова и Еевлакова об альтернативных наль-алгебрах ограниченного индекса.

Для ассоциативных алгебр известна теорема Нагаты-Хшшща о нильпотентности ниль-алгебр ограниченного индекса. .Известен такне пример Г .В ,Доро$вева разрешимой, но нз нплыютентной альтернативной алгебры. К.А.Кевлакоэ доказал, чяо альтернативная нвль-алгебра индекса Л и характеристики больше п разрешима

индекса не более < —■

' . Теорема 2,д. Пусть /1 . - аесоцкклаческая ииль-алгебра индекса /2 а без элементов порядка ив больше /г в аддитивной груп-

. ■ т (п*1) . >

пе. Тогда, А разрешала индекса т более -

• На асссеишегричные алгебры переносится георема Нагаты-Хигма-. на1 ассосйшетркчная киль-алгебра индекса п и без элементов •' порядка не больше ц в сдатавксИ группе разрешима индекса па, более % нилыютонхна индекса не более % — 13

. /теорема 2.4/.

Известна теорема Шар-;«ова о лекальной мялытотентпЬсти агьтор-негягноИ киль-алгебры ограниченного индекса. При доказательстве аналога георемь Йиршова для ассоиикличвсиих алгебр мн следуем схема, прелло^еняой Г.Р.Дорофеевым^ , В третьем параграфе . также доказано, что из локальной'разреишэстг. ассоциклкчоской алгебры следует ое локальная нильпотентность /теорема 2.5/1

Теопемп 2.6. .Аесовдагоряо-Никллческая ниль-алгвбра над кольцом скаляров, содержащим 1/6, локально иильпогентИаЛ «

В четвертом параграфе "Разрешит алгебры" доказало, .что *' сую® двух разрешима подалгебр ассттклаческоИ алгебры такке • является' разрешимой подалгеброй /тсорег.я 2.7/, я теорема Пчашг-цева о нильпотентности квадрата разрешимой альтерназивной алгебры перенесена на ассоцдклнческне алгебра. При доказательство'

8

аналога теореш П^алшндева т следуем работа ЯМТ.НГестакова • Теорема 2,я. Г.елн ассоцаатсряо-щшличессая алгебра А н^д кольцом скаляров, содержат®*'1/6, ■ разрешима щдекса Д

то ее кпадрат А 2 нильпотентен индекса не'более ——

■ - ... , У

5" третьей главе "Асортачорю-ттллчетшв бимодулн" рассмотрены бккодули пз класса ассоцжлвческях атгебр /кис известно, понятая бшлодулзЁ я бяпредстевлшай эжетшатентш/.

В пэрвон параграфе "Структура ассоцЕаторно-ЦЕКлачес»Ех .би— . ?<;ояулей над вогшозвдконяшш ашздрэмз" доказана следующая

■7фоу$щ с Л.. Лссоипаторяо-цгзсякчесрсий бйдадул® над комиозн-шонной алгеброй А , характеристика ^ 2, ассопиатибея> если Шт А рлгна 1 хЫ .2,, а .алмйряетЕвен; есяя /4 равна ■4'йли 3. - *' '••'.■.■..'..''•''■''. . • ■ ■ ' ' '

Во втором параграфе "Точные неприводимое асоощаторко-цшиш-ческие бвшдули" доказана следующая

Теопеыа 3.2, Точный неприводимый ассощшшческий бимодудь над алгеброй А характеристики 2 или 3, альтернативен.

Заметил, что описания точных неприводимых альтернативных би-модулей над конечномерными алгебрами и альтернативных унитадьных бшиодулей.над комрозищгашшш-алгебрами даны соответственно Н. Джекобсоном^ и К. Маккрамоном^ .

Автор выражает глубокую благодарность профессэру С.В.Пчелин-деву, вод нйу^кй руководством которого билз. выполнена дасеерга-щя.

. ' ПУБЖАЩ»!'АВТОРА ГО-ГЕМЕ ДЙОСЕРТАЩЙ:' 1. Вахитов р .1. Дягебрц е лькаино-эаввсшнш альтернаторами. -,'М., 1991. -12с. - рукоШсь пред ставлена Старлагамак.-гос. шд. ен-том. Деп. е ШМГГИ 2 октября 1991, 3354-5912. Вахитоп Р.Х. .0 наследственности радикалов слабо альторнатав-. иых колец. - И., 1395. - 10 с. - Рукопись представлена Стерлита-мди. гос. пед. лн-г'оы. Дея.. в ВЯШШ 2 дезр. 1993, .В 243-В93. 3, Вахктсв РрС.. 0бсб2;ешш шшдкгеентаостй в слабо альтернативных кольцах.« - !.1., 1993. - 22 с. - Рукошоь представлена Стерт-тгшк.гос. дед.' ан-тем. Дел.-в ШШ'2 <|евр. 1993,-й 242-ВЭЗ. •4. Вахитов КХ. Слабо альтернативные кольца. В кв. Тезиен Третьей Международной конференции по алгебре лашти Ц.И.Каргаполова. Красноярск, 1993.:- 65.

5'. Вахитов Р.Х. АльтернаториыЙ идеал в слаЗо альтернативных кольцах// Алгебра .в логика. - 1993. - 32, Л 3. -

ПРИМЕЧАНИЯ

1. â., V/iJiner L. setisjyins 2)" Су, г,х) Ц Commun. Mgcir. - ШЗ. ~

i?, /И»./У - P. Я6&3 - леи?.

2. Outcae* jb. tfh e*ientf4* о/ Ше cfast

aêtei-pttitvc rings /! Салс/с/- J. J/atA. ~ fSJS'.r-i7, yVo. / ~ P.

3. Sèerécng <У. Jltngt î^j/W fai/,3) -'tybVlJ/ Can* J- J. jteH. - -lQt M - P. 3/3-3/8, . :

4. Фокин JLÀ. Об эквивалентности некоторых нильпотентностей в не-"

■ йссонийгигных кольцах. В кн. 12-ый Всесоюзный алгебрапчееки!! кол-', локраум. Тезасн сообщений.Т.1. - Свердловск. - 1973. - С. 185. '

5. 'Яевлоков К.Л., Шест ахов II.П. О локальной конечности в смысле Шяршова U Алгебра а ловка* - 1S73. - 12, В 1., - С. 41-73.

6. PôÂrass д. Some r-adtCaé />sv/>e/-é/es b{п'пдъ wrfi (alê.c) "(Sa «) jlPaCijJJJatrï - /Ш. - M, P.J?$-№

7. Дорс^ер Г .Б. О локально нильпотентяом радикале неассоцаатив-ных колец // Алгебра и логина. - 1Э71. - 10, Л 4., - С. 355-364. Я. Иестаков И.П. О разрешимых альтернативных алгебрах //Сиб. матеы. журн. - 1909. -30, Я 6, - С.219-222.

9. JûcùSsàh №. Sïtttàitire ¿>/ alierhaiiire ап^ Je г Jan êctvMes И Osa fa J. j-P. 1-

10. ■ JfcCHM net* 7f. ftéma/uées i?vr

at g etra s If Рыс. J-mtr-.J/M Soc. --