Первичный радикал артиновых алгебр Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Мещерина Елена Владимировна

ПЕРВИЧНЫЙ РАДИКАЛ АРТИНОВЫХ АЛГЕБР ЛИ

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 2 МАЙ 2014

Ульяновск - 2014

Работа выполнена на кафедре алгебры и математической кибернетики в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Оренбургский государственный университет"

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Пихгильков Сергей Алексеевич доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО "Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации", профессор кафедры математика-1 Пчелинцев Сергей Валентинович доктор физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО "Самарский государственный университет", профессор кафедры алгебры и геометрии Воскресенская Галина Валентиновна ФГБОУ ВПО "Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого"

Защита состоится 18 июня 2014 г. в 1300 на заседании диссертационного совета Д 212.278.02 при ФГБОУ ВПО "Ульяновский государственный университет" по адресу: г. Ульяновск, ул. Набережная реки Свияги, 106, корп. 1, ауд. 703.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ульяновского государственного университета и на сайте вуза - http://ppo.ulsu.ru. С авторефератом - на сайте вуза http://ppo.ulsu.ru и на сайте Высшей аттестационной комиссии при Министерстве образования и науки Российской Федерации http://vak.ed.gov.ru. Отзывы на автореферат просьба присылать по адресу: 432017, г. Ульяновск, улица Л. Толстого, 42, УлГУ, отдел послевузовского профессионального образования.

Автореферат разослан

2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

-А /

'У

МА. Волков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Областью исследования работы является "теория радикалов алгебр Ли". Теории радикалов алгебр Ли посвящены работы R. Amayo, F. Kubo1, I. Stewart2, S. Togo3, А.И. Ko-стрикина 4, К.А. Жевлакова, А.М. Слинько, И.П. Шестакова, А.И. Ширшова5 и других математиков.

Начало создания теории конечномерных алгебр Ли относится к концу XIX века. Оно связано с именами таких математиков как Софус Ли, Ф. Энгель, Э. Картан, В. Киллинг и др.6

Одним из впечатляющих достижений Софуса Ли явилось открытие, что большинство известных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, казавшихся ранее искусственными и лишенными внутренней связи, могут быть выведены единообразно при помощи теории групп и алгебр Ли. Более того, Ли дал классификацию всех обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка по допускаемым группам и тем самым описал всю совокупность уравнений, интегрирование или понижение порядка которых возможно осуществить групповыми методами 7.

По аналогии с теорией групп было введено понятие разрешимой

'Kubo F. Infinite-dimensional Lie algebras with null Jacobson radical // Bull. Kyushu Inst. Technol. Math. Nat. Sei. 1991. V. 38. P. 23-30.

2Amayo R., Stewart I. Infinite dimensional Lie algebras. Leyden: Noordhoof, 1974.

3Togo S. Radicals of infinite-dimensional Lie algebras // Hiroshima Math. J. 1972.

V. 2, P. 179-203.

4Кострикин А.И. Вокруг Бернсайда.- М.: Наука, 1986.

5Жевлаков К.А., Слинько А.М., Шестаков И.П., Ширшов А.И. Кольца, близкие к ассоциатвным.- М.: Наука, 1978.

6Бурбаки, Н. Группы и алгебры Ли (главы I-III).- М.: Мир, 1976.- стр. 453.

7Li е S. Vorlesungen fiber Differentialgleichungen mit bekannten infinitesimalen Transformationen/Bearbeitet und herausgegeben von Dr. G. Scheffers.- Leip-zig: B. G. Teubner, 1891.

и нилыютентной алгебр Ли. В. Киллинг ввел понятие радикала и полупростой алгебры Ли.

В дальнейшем развитие теории конечномерных алгебр Ли привело к классификации конечномерных простых алгебр Ли над полем характеристики нуль, доказательству теоремы Леви-Мальцева и многих других.

При изучении теории гладких многообразий естественно возникают бесконечномерные алгебры Ли векторных полей.

Бесконечномерные алгебры Ли оказались полезным инструментом при решении различных математических проблем. Например, Ю. П. Размыслов использовал бесконечномерные алгебры Ли при построении примера группы, удовлетворяющей тождеству хр = 1, где р> 5 -простое, которая не является разрешимой8. Бесконечномерные алгебры Ли широко использовались в работах А. И. Кострикина по проблеме Берн сайда9. Они находят и другие применения в математике.

Разработка структурной теории алгебр Ли является актуальной темой исследования. В настоящее время в этой области имеются тысячи научных работ.

Для различных алгебраических систем важную роль при построении структурной теории играет понятие радикала.

Радикал это такой класс идеалов, фактор по которым имеет нулевой радикал и хорошо устроен.

В теории конечномерных алгебр Ли в качестве радикала используют наибольший разрешимый идеал.

Впервые понятие "внутренний идеал" употребил Натан Джекобсон

8Размыслов Ю. П. Об энгелевых алгебрах Ли // Алгебра и логика.- 1971,- Т. 10.- №10. С. 33-44.

9Кострикин А. И. Вокруг Бернсайда. М.: Наука, 1986.- 232 с.

в 1970 году при рассмотрении теории йордановых алгебр10.

Понятие внутреннего идеала для алгебр Ли было введено Джорджией Бенкарт11.

Считается, что внутренний идеал алгебры Ли является аналогом одностороннего идеала ассоциативной алгебры.

Понятие артиновости играет важную роль в теории колец. Оно используется как одно из условий конечности (конечномерности).

Так, например, радикал Джекобсона артинова кольца является нильпотентным.

Ситуация для алгебр Ли отличается. Любой идеал алгебры Ли является двусторонним.

Артиновость для алгебр Ли через идеалы определяли Ю.А. Бах-турин12, С.А. Пихтильков13 и В.М. Поляков14.

Возможно лучшим аналогом одностороннего идеала для алгебр Ли являются подалгебры или внутренние идеалы.

Ф. Лопес, Е. Гарсия, Г. Лозано исследовали понятие внутреннего идеала применительно к артиновости15, 16.

10 Jacobson N. Structure theory of quadratic Jordan algebras // Lecture Notes.- Tata Institute.- Bombay, 1970,- 128 pp.

nBenkart G. The Lie inner ideal structure of associative rings // J. Algebra.- 1976.-V. 43.- P. 561-584.

12Вахтурин, Ю.А. Артиновы специальные алгебры Ли / Ю.А. Бахтурин // Алгебра,- М.: Изд-во МГУ, 1982,- С. 24-26.

13Пихтильков, С.А. Артиновые специальные алгебры Ли / С.А. Пихтильков // В мв. сб. Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп,- Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л.Н. Толстого, 2001.- С. 189-194.

14Пихтильков, С.А. О локально нильпотентных артиновых алгебрах Ли / С.А. Пихтильков, В.М. Поляков// Чебышевский сборник,- 2005,- Т. 6,- Вып. 1,- С. 163169.

15Fernandez Lopez A., Garcia Е., Gomez Lozano М. An artinian theory for Lie algebras // Journal of Algebra.- 2008.- V,- 319,- N 3,- P. 938-951.

leFernandez Lopez A., Garcia E., Gomez Lozano M. Inner ideal

Объектом исследования диссертационной работы является первичный радикал алгебр Ли. Предметом исследования является разрешимость первичного радикала алгебр Ли.

Цель работы состоит в изучении свойств внутренних идеалов над полем характеристики нуль, соотношений между различными определениями артиновости и разрешимости первичного радикала артино-вых алгебр Ли.

Задачи работы. В соответствии с целью выделим следующие задачи нашего исследования:

1. Провести исследование свойств собственных внутренних идеалов алгебры Ли sln(F) над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль и свойств собственных внутренних идеалов алгебры Ли линейных преобразований ограниченного ранга бесконечномерного векторного пространства.

2. Провести исследование между различными определениями артиновости;

3. Решить ослабленную проблему А.В. Михалева для а-артиновых и гпп-артиновых алгебр Ли.

Как следует из вышесказанного эти задачи являются актуальными.

Методы исследования. В диссертации используются: методы коммутативной алгебры, классические методы теории колец, теории многообразий ассоциативных алгебр и алгебр Ли.

Научная новизна. К новым результатам, полученным в данной работе в направлении решения поставленных задач, нужно отнести проведенное исследование свойств собственных внутренних идеалов

structure of nearly artinian Lie algebras // Proc. Amer. Math. Soc.- 2009.-V. 137,- P. 1-9.

алгебры Ли sln(F) над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль.

В диссертации также изучены свойства внутренних идеалов алгебры Ли линейных отображений конечного ранга бесконечномерного векторного пространства V над алгебраически замкнутым полем F характеристики нуль в себя.

В диссертационной работе также проведено исследование соотношений различных определений артиновости.

Для алгебр Ли артиновых относительно подалгебр или внутренних идеалов доказана разрешимость первичного радикала, то есть решена ослабленная проблема A.B. Михалева.

Основные положения выносимые на защиту. Автором защищаются следующие положения:

1. Доказанное свойство внутренних идеалов состоящее в том, что все собственные внутренние идеалы Н алгебры Ли sln(F) над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль удовлетворяют условию: А, В € Я AB = 0;

2. Доказанное свойство внутренних идеалов специальной линейной slfr(V) алгебры Ли линейных преобразований V ограниченного ранга состоящее в том, что все собственные внутренние идеалы Н алгебры Ли slfr(V) удовлетворяют условию: /, g€H=$*fog = 0. В частности собственные внутренние идеалы Н алгебры Ли slfr(V) являются абелевыми;

3. Обоснованное соотношение между различными определениями артиновости. Приведены примеры, показывающие что из г-артиновости может не следовать а-артиновость и гпп-артиновость;

4. Решенная ослабленная проблема A.B. Михалева для а-артиновых и mn-артиновых алгебр Ли. Доказано, что первичный радикал

а-артиновых и тп-артиновых алгебр Ли - разрешим.

Все приведенные выше результаты опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК и материалах Международных конференций по алгебре и теории чисел.

Теоретическая и практическая значимость работы. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при решении различных задач в теории алгебр Ли. Кроме того, они могут найти свое применение в качестве материалов для специальных курсов по теории радикалов алгебр Ли для студентов Самарского государственного университета, Оренбургского государственного университета, Ульяновского государственного университета.

Достоверность. Достоверность полученных в диссертации результатов обеспечивается строгими теоретическими выкладками и доказательствами, опирающимися на методы коммутативной алгебры, теории ассоциативных алгебр и алгебр Ли.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на следующих международных алгебраических конференциях:

— Третья международная школа-конференция "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов", посвященная 75-летию Э.Б. Винберга. Тольятти, Россия, 25-30 июня 2012 г.;

— X Международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения". Волгоград, Россия, 10-16 сентября 2012 г.;

— XI Международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения". Саратов, Россия, 9-14 сентября 2013 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, в том числе 3 статьи в журналах из перечня ВАК. Список статей приведен в конце автореферата.

Личный вклад автора. Все результаты приведенные в диссертации и выносимые на защиту получены автором самостоятельно или в соавторстве, причем вклад диссертанта был определяющим.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы, заключения и списка литературы. Нумерация лемм, предложений и теорем привязана к своему разделу, а нумерация формул сквозная. Полный объем диссертации 91 страница, библиография включает 67 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе рассматриваются свойства внутренних идеалов алгебры Ли и различные определения артиновости.

В разделе 1.1 изучаются некоторые свойства внутренних идеалов.

Скажем, что подпространство В алгебры Ли Ь является внутренним идеалом, если [В, [В, Ь\\ С В.

Естественно возникает следующий вопрос: существует ли внутренний идеал алгебры Ли, не являющийся алгеброй Ли?

Приведен пример 1 внутреннего идеала конечномерной нильпо-тентной алгебры Ли, который не является алгеброй Ли.

Приведен пример 2, показывающий, что взаимный коммутант внутренних идеалов может не быть внутренним идеалом.

Естественно поставить следующий вопрос.

Пусть В - внутренний идеал алгебры Ли Ь. Является ли В^ внутренним идеалом?

Следующая лемма дает ответ на этот вопрос для внутреннего иде-

ала, являющегося алгеброй Ли. Аналогичное утверждение для множества Вп доказано в17.

Лемма 1 Пусть подалгебра Ли В является внутренним идеалом алгебры Ли L. Тогда В<п> - внутренний идеал.

В разделе 1.2 рассматриваются различные определения артиново-сти для алгебр Ли.

Пусть L - алгебра Ли.

а) Если убывающая цепочка идеалов стабилизируется, то алгебра называется г-артиновой;

б) если убывающая цепочка алгебр стабилизируется, то алгебра называется а-артиновой;

в) если убывающая цепочка внутренних идеалов стабилизируется, то алгебра называется гпп-артиновой.

Приведен пример 3 бесконечномерной гпп-артиновой алгебры Ли.

Пусть F - поле характеристики нуль, К - бесконечномерное алгебраически замкнутое расширение поля F.

Алгебра Ли L = sl2K, бесконечномерная над F, является inn-артиновой алгеброй Ли.

Можно отметить, что алгебра L содержит бесконечномерную абе-леву подалгебру.

Следовательно, алгебра Ли L не является а-артиновой.

Это означает, что из гпп-артиновости может не следовать о-арти-новость.

Легко проверить, что из гпп-артиновости следует г-артиновость и из а-артиновости следует г-артиновость.

17Benkart G. On inner ideals and ad-nilpotent elements of Lie algebras // Transaction of the American Mathematical Society.- 1977,- V. 232.-P. 61-81.

Приведен пример 4, показывающий что из г-артиновости может не следовать а-артиновость.

Приведен пример 5, показывающий что из г-артиновости не следует гггп-артиновость.

Представляют интерес примеры бесконечномерных а-артиновых алгебр Ли.

Известно, что многие результаты переносятся с групп на алгебры Ли.

Для групп существуют даже абелевы бесконечные группы удовлетворяющие условию минимальности для подгрупп. Такие группы называются квазициклическими.

Примером такой группы может служить мультипликативная группа комплексных корней уравнений хр" = 1 , п = 1,2,... для простого числа р.

Все подгруппы квазициклических групп конечны. О.Ю. Шмидт сформулировал проблему о существовании бесконечных неабелевых групп все, подгруппы которых конечны.

Эта проблема была решена А.Ю. Ольшанским 18.

Для алгебр Ли ситуация отличается. Все абелевы а-артиновы алгебры Ли - конечны.

Бейдар К.И., Зайцев М.В. и Пихтильков С.А.19 показали, что все специальные алгебры Ли с условием максимальности на абелевы подалгебры - конечномерны.

Условие максимальности на абелевы подалгебры означает отсут-

18Олыыанский А.Ю. Бесконечная группа с подгруппами простых порядков // Изв. АН СССР. Сер. мат.- 1980,- Т. 44,- №2,- С. 309-321.

19Вейдар К.И., Зайцев М.В., Пихтильков С.А. Алгебры Ли с условием максимальности на абелевы подалгебры // Вестник МГУ. Сер. 1. Матем., мех.- 2002.-№ 5.- С. 27-32.

ствия бесконечных абелевых подалгебр. Условие максимальности на абелевы подалгебры эквивалентно условию минимальности на абеле-вы подалгебры.

Из работы Бейдара К.И., Зайцева М.В. и Пихтилькова С.А. следует, что все специальные а-артиновы алгебры Ли - конечномерны.

Алгебра Ли L называется первичной, если из равенства нулю взаимного коммутанта [U, V] = 0 любых двух идеалов U и V следует, что U = О или V = 0.

Идеал Р алгебры Ли L называется первичным, если фактор-алгебра L/P - первична.

Алгебра Ли L называется полупервичной, если если она не содержит ненулевых абелевых идеалов.

Естественно поставить следующий вопрос: существуют ли бесконечномерные а-артиновы алгебры Ли?

Пример А.Ю. Ольшанского построен с помощью геометрических методов в теории групп. Его перенесение на алгебры Ли не представляется возможным.

В диссертационной работе показано, что предыдущий вопрос эквивалентен следующему вопросу: существуют ли первичные бесконечномерные а-артиновы алгебры Ли?

В главе 2 рассматриваются внутренние идеалы алгебры Ли sln(F).

В разделе 2.1 изучаются внутренние идеалы алгебры Ли sfaiF).

A.A. Премет доказал существование собственных внутренних идеалов в любой простой конечномерной алгебре Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики р > 520, 21.

20Премет, А. А. Алгебры Ли без сильного вырождения / A.A. Премет // Математический сборник. 1986. Т. 129 (171). № 1, С. 140-153.

21Премет, А. А. Внутренние идеалы в модулярных алгебрах Ли / A.A. Премет // Весщ АН БССР. Сер. фхз.-мат. навук. 1986. № 5. С. 11-15.

В алгебре Ли У3 трехмерных векторов над Я по отношению к сложению и векторному произведению нет внутренних идеалов. Поэтому интересен только случай алгебраически замкнутого поля.

Следующая теорема характеризует все внутренние идеалы алгебры йЬС-Р) над алгебраически замкнутым полем.

Теорема 1 Рассмотрим алгебру Ли над алгебраически за-

мкнутым полем ^ характеристики не равной 2. Тогда все ее собственные внутренние идеалы одномерны, порождены матрицами ви-

Доказанная теорема позволяет поставить следующий вопрос, ответ .на который дается в диссертации: справедливо ли утверждение: в любой простой алгебре Ли над алгебраически замкнутым полем собственный внутренний идеал является нильпотентным в ассоциативном смысле?

Этот вопрос был поставлен автором диссертации на Третьей международной школе-конференции "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов", посвященной 75-летию Э.Б. Винберга (Тольятти, Россия, 25-30 июня 2012 г.).

В разделе 2.2 рассматриваются внутренние идеалы алгебры Ли над полем Р1 нулевой характеристики.

Установлено, что одномерный внутренний идеал алгебры с/шг-Р1 = 0, в некотором базисе порождается матрицей А = 621 или в более общем виде еу, г ф

Через е^ мы обозначаем матричные единицы - квадратные матрицы, у которых на персечении г-ой строки и ¿-то столбца стоит единица, а остальные элементы равны нулю.

, где х2 + ух — 0, х, у, г не равны нулю одновременно.

Доказано, что все двумерные внутренние идеалы

Н С sl3{F),char F = О

приводятся в некотором базисе к виду

' / О О

О

\

Н = { а О Р а,Р &Р

1\° 0 о/

и удовлетворяют условию А,В € Н => АВ = 0.

В разделе 2.3 исследуются внутренние идеалы алгебры Ли з1п(Р). Элемент х алгебры Ли называется абсолютным делителем нуля, если [ж, [х, Х-]] = 0. Алгебра Ли называется невырожденной, если она не содержит абсолютных делителей нуля.

Дж. Бенкарт показала22, что в невырожденной гпп-артиновой простой алгебры Ли все собственные внутренние идеалы абелевы.

Такими алгебрами являются алгебры над полем Р харак-

теристики нуль.

В диссертации дано независимое доказательство результата Дж. Бенкарт для специальной линейной алгебры Ли над полем характеристики нуль.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2 В алгебре Ли Ь = в1п{Р) над полем Р характеристики нуль все собственные внутренние идеалы абелевы.

В разделе 2.4 доказывается ассоциативная нильпотентность внутренних идеалов алгебры Ли sln(F).

22Benkart G. On inner ideals and ad-nilpotent elements of Lie algebras // Transaction of the American Mathematical Society.- 1977.- V. 232,-P. 61-81.

В разделе 2.1 показано, что для алгебры Ли в/гС^1) над алгебраически замкнутым полем Р характеристики не равной 2 все ее собственные внутренние идеалы одномерны, порождены матрицами ви-х и I

, где х2+ух — 0, х,у,г- не равны нулю одновременно.

\ 2 —х )

Для такого внутреннего идеала Я выполнено условие

да:

АВ = 0.

Для любого натурального тг в алгебре Ли sln(F) существуют одномерные внутренние идеалы вида Я = {аеу|а £ F}, i ф j23. Пусть А,ВеН, тогда АВ С {/?еу • еу |/3 е F} = 0.

Автором диссертации показано, что все двумерные внутренние идеалы Я С sl3(F), char F = 0 приводятся в некотором базисе к виду

/

Я =

V

о о о ^

с* 0/3 0 0 0 у

a,fi G F

.

и удовлетворяют условию А,В€Н=> АВ = 0.

Рассмотренные утверждения дают основание поставить следующий вопрос.

Верно ли, что все собственные внутренние идеалы Я алгебры Ли з1п(Р) для поля ^ характеристики нуль удовлетворяют условию А,В е. Н АВ = 0?

Частичный ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

23Benkart G. On inner ideals and ad-nilpotent elements of Lie algebras // Transaction of the American Mathematical Society.- 1977.- V. 232.-P. 61-81.

Теорема 3 Пусть F - алгебраически замкнутое поле, char F = 0. Все собственные внутренние идеалы Н алгебры Ли sln(F) удовлетворяют условию: А,В е Н => AB = 0.

Обобщим полученный результат на один класс бесконечномерных алгебр Ли.

Обозначим через glfr(V) множество линейных отображений конечного ранга бесконечномерного векторного пространства V над полем F в себя. Пусть slfr(V) = [glfr(V), glfr{V)}.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 4 Пусть F - алгебраически замкнутое поле, char F = 0, V - бесконечномерное векторное пространство над F. Все собственные внутренние идеалы Н алгебры Ли slfr(V) удовлетворяют условию: f,g£H=>fog = 0.

В главе 3 дается частичное решение проблемы A.B. Михалева для алгебр Ли.

В разделе 3.1 излагаются элементы теории первичного радикала алгебр Ли в соответствии с24.

В разделе 3.2 исследуется первичный радикал артиновых алгебр Ли.

В 2001 году A.B. Михалев на семинаре механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова "Кольца и модули "поставил проблему: существует ли артинова алгебра Ли, первичный радикал которой не является разрешимым?

24Валаба И.Н. Первичный радикал градуированных П-груют / И.Н. Балаба, A.B. Михалев, С.А. Пихтильков // Фундаментальная и прикладная математика.- 2006.- Т. 12.- Ш 2.- С. 159-174.

В 1963 г. В.Н. Латышев ввел понятие специальной алгебры Ли25.

Алгебра Ли L называется специальной алгеброй или SPJ-алгеброй, если существует ассоциативная Р7-алгебра А такая, что L вложена в Акак алгебра Ли, где - алгебра Ли, заданная на Ас помощью операции коммутирования \х, у]—ху — ух.

С.А. Пихтильков доказал, что первичный радикал специальной г-артиновой алгебры Ли является разрешимым26.

Известно, что первичный радикал произвольной алгебры Ли является слабо разрешимым, может не быть разрешимым и даже локально

97

разрешимым '.

В разделе 1.2 было показано, что свойства а-артиновости и гпп-артиновости сильнее, чем свойство г-артиновости.

Было доказано следующее предложение, представляющее самостоятельный интерес.

Предложение 1 Пусть В - ненулевой идеал алгебры Ли L, L - а-артинова или inn-артинова. Тогда В содержит ненулевой идеал I такой, что [7,7] = I или В удовлетворяет тождеству разрешимости некоторой ступени.

Предложение 1 было использовано для доказательства следующей теоремы, которая дает решение ослабленной проблемы A.B. Михалева.

25Латышев, В.Н. Об алгебрах Ли с тождественными соотношениями / В.Н. Латышев// Сиб. мат. журнал.- 1963.- Т 4,- № 4.- С. 821-829.

26Пихтильков, С.А. Артиновые специальные алгебры Ли / С.А. Пихтильков // В мв. сб. Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп.- Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л.Н. Толстого, 2001,- С. 189-194.

27Валаба И.Н. Первичный радикал градуированных fi-групп / И.Н. Балаба, A.B. Михалев, С.А. Пихтильков // Фундаментальная и прикладная математика,- 2006.- Т. 12,- № 2.- С. 159-174.

Теорема 5 Пусть Ь - а-артинова или гпп-артинова алгебра Ли.

Тогда первичный радикал Р{Ь) алгебры Ли Ь - разрешим.

Основные результаты и выводы. В соответствии с поставленными целью и задачами в диссертации изучены свойства внутренних идеалов над полем характеристики нуль, соотношения между различными определениями артиновости, разрешимость первичного радикала артиновых алгебр Ли. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Проведено исследование свойств собственных внутренних идеалов алгебры Ли з1п(Р) над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль.

Показано, что все собственные внутренние идеалы Н алгебры Ли з1п(Р) над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль удовлетворяют условию: А,В£Н=> АВ — 0.

2. Для специальной линейной з1/г(У) алгебры Ли линейных преобразований V ограниченного ранга над алгебраически замкнутым полем .Р характеристики нуль показано, что все собственные внутренние идеалы Н алгебры Ли з1/г(У) удовлетворяют условию: /,д € Н / о д = 0. В частности собственные внутренние идеалы Н алгебры Ли э1/г(У) являются абелевыми;

3. Проведено исследование соотношений между различными определениями артиновости.

Приведены примеры, показывающие что из артиновости по идеалам может не следовать артиновость по подалгебрам и артиновость по внутренним идеалам;

4. Показано, что первичный радикал артиновых по подалгебрам и по внутренним идеалам алгебр Ли - разрешим, то есть решена ослабленная проблема А.В. Михалева.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

В изданиях из перечня ВАК:

[1] Мещерина, Е.В. О собственных внутренних идеалах простых алгебр Ли / Е.В. Мещерина, С.А. Пихтильков, O.A. Пихтилькова // Ученые записки Орловского государственного университета.-2012,- № 6.- Часть 2,- С. 156-162. (ISSN 1998-2739, ИФ РИНЦ 0,005)

[2] Мещерина Е.В. О некоторых свойствах внутренних идеалов алгебры Ли / Е.В. Мещерина, С.А. Пихтильков // Вестник Оренбургского государственного университета.- 2013.- № 9 (158).- С. 110-114. (ISSN 1814-6457, ИФ РИНЦ 0,142)

[3] Мещерина, Е.В. О проблеме A.B. Михалева для алгебр Ли / Е.В. Мещерина, С.А. Пихтильков, O.A. Пихтилькова // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика.- 2013.- Вып. 4.- Ч. 2. С. 84-89. (ISSN 1816-9791, ИФ РИНЦ 0,043)

В других изданиях:

[4] Мещерина Е.В. О свойствах внутренних идеалов алгебр Ли /Е.В. Мещерина, С.А. Пихтильков, O.A. Пихтилькова // Тезисы третьей международной школы-конференции "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов", посвященная 75-летию Э.Б. Винберга (Тольятти, Россия, 25-30 июня 2012 г.): тезисы до-кладоа. Тольятти: Изд-во ТГУ, 2012,- С. 32-34.

Мещерина Е.В., Пихтильков С.А., Пихтилькова O.A. Об одной проблеме для внутренних идеалов алгебры Ли / Е.В. Мещерина, С.А. Пихтильков, O.A. Пихтилькова // Тезисы X международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Волгоград, Россия, 10-16 сентября 2012 г.): тезисы докладов. Волгоград: Изд-во ВГСПУ "Перемена", 2012.- С. 46-47.

Мещерина Е.В., Пихтильков С.А., Пихтилькова O.A. О собственных внутренних идеалах простых алгебр Ли / Е.В. Мещерина, С.А. Пихтильков, O.A. Пихтилькова // Тезисы XI международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Саратов, Россия, 9-14 сентября 2013 г.): тезисы докладов. Саратов: Изд-во Саратовского университета, 2013.-С. 61-62. 46-47.

Мещерина, Е.В. О различных определениях артиновости для алгебр Ли / Е.В. Мещерина // Чебышевский сборник,- 2013.- Т. 14.-Вып. 3 (47).- С. 86-91. (ISSN 2226-8383, ИФ РИНЦ 0,036)

Мещерина Елена Владимировна

ПЕРВИЧНЫЙ РАДИКАЛ АРТИНОВЫХ АЛГЕБР ЛИ

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 06.04.2014. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,0. Печать оперативная. Бумага офсетная. Заказ № 7059. Тираж 100 экз.

Издательский центр ОГАУ 460014, г. Оренбург, ул. Челюскинцев, 18. Тел.: (3532) 77-61-43

Отпечатано в Издательском центре ОГАУ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Оренбургский государственный университет"

На правах рукописи 04201459060 УДК 512.554.32+512.554.36

Мещерина Елена Владимировна

Первичный радикал артиновых алгебр Ли

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Пихтильков С.А.

Оренбург, 2014

Содержание

Список обозначений 3

Введение 4

0 Исторический очерк. Основные определения и обозначе-

ния 16

1 О различных определениях артиновости алгебр Ли 37

1.1 Основные свойства внутренних идеалов алгебр Ли..........37

1.2 О соотношениях между различными определениями артиновости для алгебр Ли..........................................44

2 Внутренние идеалы алгебры Ли sln(F) 51

2.1 Внутренние идеалы алгебры Ли sfoiF) ......................51

2.2 Внутренние идеалы алгебры Ли sl^(F) ......................56

2.3 Абелевость внутренних идеалов

алгебры Ли sln{F)..............................................63

2.4 Ассоциативная нильпотентность внутренних идеалов алгебры Ли sln(F) ................................................68

3 О проблеме A.B. Михалева для алгебр Ли 74

3.1 Первичный радикал алгебры Ли..............................74

3.2 Разрешимость первичного радикала mn-артиновой

и а-артиновой алгебр Ли ......................................77

Заключение 82

Литература

83

Список обозначений

[а, Ь] - коммутатор элементов в ассоциативной алгебре или алгебре Ли ДН - ассоциативная алгебра А по отношению к операции коммутирования [х,у\ = ху — ух

А(М) - ассоциированная алгебра представления, порожденная элементами алгебры Ь в алгебре Епс1(М) как ассоциативная алгебра, где М -¿-модуль

Ас1 Ь - присоединенная ассоциативная алгебра для алгебры Ли Ь Пп - алгебра матриц порядка п над алгеброй И

1, хп] - кольцо многочленов над полем Р

Г(х1,х2, -.., хп) - свободная ассоциативная алгебра над полем Р с образующими Х\, Х2, ■ ■ ■, хп

J(D) - радикал Джекобсона ассоциативной алгебры И

Ьр(х\, Х2,хп) - свободная алгебра Ли над полем Р с образующими ■•■■>

и или ь2- коммутант алгебры Ли Ь

Ь^ - элементы производного ряда алгебры Ли Ь

Ьп - элементы нижнего центрального ряда алгебры Ли Ь

Р(-О) - первичный радикал ассоциативной алгебры или алгебры Ли I)

5/п(Р) - специальная линейная алгебра порядка п над полем Р

зрап(у1, ...,уп) - линейная оболочка векторов ..., уп

б'РРалгебра Ли - специальная алгебра Ли

и(Ь) ~ универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли Ь

Z(X) - централизатор множества X алгебры Б

Введение

Областью исследования диссертационной работы является "теория радикалов алгебр Ли". Теории радикалов алгебр Ли посвящены такие работы как [4], [9], [48], [51], [58], [59] и др.

Цель работы - доказательство разрешимости первичного радикала алгебр Ли, при наложении различных условий артиновости.

Актуальность темы диссертации. Начало создания теории конечномерных алгебр Ли относится к концу XIX века. Оно связано с именами таких математиков как Софус Ли, Ф. Энгель, Э. Картан, В. Киллинг и др. [6, стр. 453].

По аналогии с теорией групп было введено понятие разрешимой и нильпотентной алгебр Ли. В. Киллинг ввел понятие радикала и полупростой алгебры Ли.

В дальнейшем развитие теории конечномерных алгебр Ли привело к классификации конечномерных простых алгебр Ли над полем характеристики нуль, доказательству теоремы Леви-Мальцева и многих других.

Конечномерные алгебры Ли возникли при изучении групп Ли. В настоящее время они имеют хорошо разработанную теорию, которая находит приложение в различных областях математики.

При изучении теории гладких многообразий естественно возникают бесконечномерные алгебры Ли векторных полей.

Бесконечномерные алгебры Ли оказались полезным инструментом при построении примеров групп. Например, Ю. П. Размыслов использовал бесконечномерные алгебры Ли при построении примера группы, удовлетворяющей тождеству хр = 1, где р > 5 - простое, которая не является разрешимой [25]. Бесконечномерные алгебры Ли широко использовались в работах А. И. Кострикина по проблеме Бернсайда [11].

Они находят и другие применения в математике.

Разработка структурной теории алгебр Ли является актуальной темой исследования. В настоящее время в этой области имеются тысячи научных работ.

Для различных алгебраических систем важную роль при построении структурной теории играет понятие радикала.

Радикал это такой класс идеалов, фактор по которым имеет нулевой радикал и хорошо устроен.

В теории ассоциативных колец используются радикалы Джекобсона, первичный, Левицкого и другие.

В общем случае нельзя утверждать, что полупростое в смысле некоторого радикала кольцо хорошо устроено.

Если наложить на полупростое кольцо дополнительно некоторое условие, то оно может стать хорошо устроенным. Такими условиями могут служить конечномерность, артиновость, наличие полиномиального тождества и другие.

Различные радикалы для алгебр Ли исследовались в работах [51], [58], [59] и других.

В теории конечномерных алгебр Ли в качестве радикала используют наибольший разрешимый идеал.

К числу часто используемых радикалов относится также нильпотент-ный радикал конечномерной алгебры Ли.

Нильпотентным радикалом N(1*) для конечномерной алгебры Ли Ь называется пересечение ядер ее неприводимых конечномерных представлений [6].

Для конечномерных алгебр был введен аналог радикала Джекобсона для ассоциативных алгебр.

Назовем радикалом Джекобсона J(L) алгебры Ли Ь пересечение мак-

симальных идеалов и саму алгебру L, если их нет [56].

Для конечномерной алгебры Ли над полем характеристики нуль нильпотентный радикал совпадает с радикалом Джекобсона [56].

В 1963 г. В.Н. Латышев ввел новый класс алгебр Ли [13], которые он назвал специальными по аналогии с йордановыми алгебрами.

Скажем, что алгебра Ли L специальная алгебра Ли, если существует ассоциативная Pi-алгебра А такая, что L вложена в АН как алгебра Ли, где АН - алгебра Ли, заданная на А с помощью операции коммутирования [х,у] = ху — ух.

С.А. Пихтильков и К.И.Бейдар показали, что в специальных алгебрах Ли первичный радикал является наибольшим локально разрешимым идеалом [3], [4].

С.А. Пихтильков ввел понятие локально нильпотентного радикала специальной алгебры Ли [19].

Локально нильпотентным радикалом N{L) специальной алгебры Ли L над полем F называется пересечение наибольших идеалов локальной нильпотентности всех PI-представлений алгебры Ли L над полем F.

В 1969 году были опубликованы "Лекции о квадратичных йордановых алгебрах" Джекобсона ("Lectures on Quadratic Jordan Algebras") [46], где было впервые введено понятие внутреннего идеала квадратичной йорда-новой алгебры.

Понятие внутреннего идеала для алгебр Ли было введено Джорджией Бенкарт [35].

Скажем, что подпространство В алгебры Ли L является внутренним идеалом, если [В, [В, L]} С В.

Считается, что внутренний идеал алгебры Ли является аналогом одностороннего идеала ассоциативной алгебры. Внутренние идеалы сыграли важную роль в классификации простых конечномерных алгебр Ли

над полями положительной характеристики. В частности было показано, что в любой конечномерной алгебре Ли над алгебраически замкнутым полем существуют одномерные внутренние идеалы [23] и [24].

Свойства внутренних идеалов исследовались также для бесконечномерных алгебр Ли [33]

Понятие артиновости играет важную роль в теории колец.

Ассоциативное кольцо Л называется право (лево) артиновым, если любая убывающая цепочка его правых (левых) идеалов идеалов - стабилизируется [12], [28].

Известны примеры право, но не лево артиновых колец [12].

Понятие артиновости используется как одно из условий конечности (конечномерности).

Так, например, радикал Джекобсона артинова кольца является ниль-потентным, полу простая артинова алгебра является прямой суммой простых артиновых подалгебр, артинова простая алгебра изоморфна алгебре матриц над телом [28].

Ситуация для алгебр Ли отличается. Любой идеал алгебры Ли является двусторонним.

Артиновость для алгебр Ли через идеалы определяли Ю.А. Бахтурин [2], С.А. Пихтильков [18] и В.М. Поляков [20].

Они рассматривали специальные артиновы алгебры Ли.

Возможно лучшим аналогом одностороннего идеала для алгебр Ли являются подалгебры или внутренние идеалы.

Ф. Лопес, Е. Гарсия, Г. Лозано исследовали понятие внутреннего идеала применительно к артиновости с помощью йордановых пар [43], [44].

Сформулируем определения артиновости в трех смыслах.

Пусть Ь - алгебра Ли.

а) Если убывающая цепочка идеалов стабилизируется, то алгебра на-

зывается i-артиновой;

б) если убывающая цепочка алгебр стабилизируется, то алгебра называется а-артиновой;

в) если убывающая цепочка внутренних идеалов стабилизируется, то алгебра называется гтт-артиновой.

В диссертации проведено исследование свойств внутренних идеалов над полем характеристики нуль, соотношений между различными определениями артиновости и разрешимости первичного радикала артино-вых алгебр Ли.

Научная новизна. Полученные результаты являются новыми.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Проведено исследование свойств собственных внутренних идеалов алгебры Ли sln(F) над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль.

Показано, что все собственные внутренние идеалы Н алгебры Ли sln(F) над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль удовлетворяют условию: А, В б Н АВ = 0.

2. Пусть F - алгебраически замкнутое поле, char F = 0, V - бесконечномерное векторное пространство над F.

Обозначим через glfr(V) множество линейных отображений конечного ранга бесконечномерного векторного пространства V над полем F в себя. Пусть slfr(V) = [glfr{V), glfr(V)] - специальная линейная алгебра Ли преобразований ограниченного ранга.

Для специальной линейной slfr(V) алгебры Ли линейных преобразований V ограниченного ранга показано, что все собственные внутренние идеалы Н алгебры Ли slfr(V) удовлетворяют условию: /,^ G Н / од = 0.В частности собственные внутренние идеалы Н алгебры Ли slfr(V) являются абелевыми;

3. Проведено исследование соотношений различных определений ар-тиновости. Легко проверить, что из mn-артиновости следует г-артиновость и из а-артиновости следует г-артиновость.

Приведены примеры, показывающие что из г-артиновости может не следовать а-артиновость и гпп-артиновость;

4. Для а-артиновых и гпп-артиновых алгебр Ли решена проблема A.B. Михалева. То есть показано, что для а-артиновых или mn-артиновых алгебр Ли их первичный радикал - разрешим.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при решении различных задач в теории алгебр Ли.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на следующих международных алгебраических конференциях:

— Третья международная школа-конференция "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов", посвященная 75-летию Э.Б. Винберга. Тольятти, Россия, 25-30 июня 2012 г.;

— X Международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения". Волгоград, Россия, 10-16 сентября 2012 г.;

— XI Международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения". Саратов, Россия, 9-14 сентября 2013 г.

Список публикаций по теме диссертации из 7 работ (трех тезисов и четырех статей) приведен в конце диссертации.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы, и списка литературы. Нумерация лемм, пред-

ложений и теорем привязана к своему разделу, а нумерация формул сквозная. Полный объем диссертации составляет 91 страницу, библиография включает 67 наименований.

Краткое содержание. В первой главе рассматриваются свойства внутренних идеалов алгебры Ли и различные определения артиновости.

В разделе 1.1 изучаются некоторые свойства внутренних идеалов.

В диссертации поставлен ряд вопросов, ответ на которые не известен автору диссертации.

Естественно поставить следующий вопрос.

Вопрос 1 Пусть В - внутренний идеал алгебры Ли Ь. Является ли В' = [В, В] внутренним идеалом?

Ответ на этот вопрос неизвестен автору диссертации.

Приведен пример 1.1.1 внутреннего идеала конечномерной нильпо-тентной алгебры Ли, который не является алгеброй Ли.

Естественно возникает следующий вопрос.

Вопрос 2 Существует ли внутренний идеал в полупростой алгебре Ли, не являющийся алгеброй Ли?

Приведен пример 1.1.2, показывающий, что взаимный коммутант внутренних идеалов может не быть внутренним идеалом.

Естественно поставить следующий вопрос.

Вопрос 3 Пусть В - внутренний идеал алгебры Ли Ь. Является ли внутренним идеалом?

Следующая лемма дает ответ на этот вопрос для внутреннего идеала, являющегося алгеброй Ли. Аналогичное утверждение для множества Вп доказано в [35].

Лемма 1.1.3 Пусть подалгебра Ли В является внутренним идеалом алгебры JIu L. Тогда В^ - внутренний идеал.

В разделе 1.2 рассматриваются различные определения артиновости для алгебр Ли.

Пусть L - алгебра Ли.

а) Если убывающая цепочка идеалов стабилизируется, то алгебра называется г-артиновой;

б) если убывающая цепочка алгебр стабилизируется, то алгебра называется а-артиновой;

в) если убывающая цепочка внутренних идеалов стабилизируется, то алгебра называется inn-артиновой.

Приведен пример 1.2.1 бесконечномерной ¿rm-артиновой алгебры Ли.

Легко проверить, что из inn-артиновости следует ¿-артиновость и из а-артиновости следует г-артиновость.

Приведен пример 1.2.2, показывающий что из г-артиновости может не следовать а-артиновость.

Приведен пример 1.2.3, показывающий что из г-артиновости не следует inn- артиновость.

В главе 2 рассматриваются внутренние идеалы алгебры Ли sln(F).

В разделе 2.1 изучаются внутренние идеалы алгебры Ли sfaiF).

A.A. Премет доказал существование собственных внутренних идеалов в любой простой алгебре Ли над алгебраически замкнутым полем [23], [24].

В алгебре Ли V3 трехмерных векторов над R по отношению к сложению и векторному произведению нет внутренних идеалов. Поэтому интересен только случай алгебраически замкнутого поля.

Следующая теорема характеризует все внутренние идеалы алгебры

над алгебраически замкнутым полем.

Теорема 2.1.1 Рассмотрим алгебру Ли в^Р) над алгебраически замкнутым полем -Р характеристики не равной 2. Тогда все ее собственные внутренние идеалы одномерны, порождены матрицами вида:

Доказанная теорема позволяет поставить следующий вопрос.

Вопрос 4 Справедливо ли утверждение: в любой простой алгебре Ли над алгебраически замкнутым полем собственный внутренний идеал является нильпотентным?

Этот вопрос был поставлен автором диссертации на Третьей международной школе-конференции "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов", посвященной 75-летию Э.Б. Винберга (Тольятти, Россия, 25-30 июня 2012 г.).

В разделе 2.2 рассматриваются внутренние идеалы алгебры Ли sls(F) над полем F нулевой характеристики.

Установлено, что одномерный внутренний идеал алгебры sl3{F), charF = 0, в некотором базисе порождается матрицей А = в21 или в более общем виде е^-, i Ф j.

Доказано, что все двумерные внутренние идеалы

где х2 + yz = 0, х, у, z не равны нулю одновременно.

Н С sk(F),char F = 0

приводятся в некотором базисе к виду

if 0 0 0 \

а 0 (3 a,fieF

{ V 0 0 0 у

и удовлетворяют условию А, В £ Н АВ = 0.

В разделе 2.3 исследуются внутренние идеалы алгебры Ли й/ДР).

Дж. Бенкарт показала [35], что в невырожденной тп-артиновой простой алгебры Ли все собственные внутренние идеалы абелевы.

Такими алгебрами являются алгебры в/^Р) над полем Р характеристики нуль.

В диссертации дано независимое доказательство результата Дж. Бенкарт для специальной линейной алгебры Ли над полем характеристики нуль.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.3.1 В алгебре Ли Ь = з/п(Р) над полем Р характеристики нуль все собственные внутренние идеалы абелевы.

В разделе 2.4 доказывается ассоциативная нильпотентность внутренних идеалов алгебры Ли 5^П(Р).

В разделе 2.1 показано, что для алгебры Ли (Р) над алгебраически замкнутым полем Р характеристики не равной 2 все ее собственные внут-

Для любого натурального п в алгебре Ли з1п(Р) существуют одномерные внутренние идеалы вида Н = {ае^\о> € Р},г ф 3 [35]. Пусть

А,В еН, тогда АВ С {¡Зе^ • е^\/3 е Р} = 0.

В [61] показано, что все двумерные внутренние идеалы Н С 5/3 (Р),

ренние идеалы одномерны, порождены матрицами вида:

х2 + уг = 0, х, у, г - не равны нулю одновременно.

Для такого внутреннего идеала Н выполнено условие

А, В е Н АВ = 0.

char F — 0 приводятся в некотором базисе к виду

f / 0 0 0 ^

Н =

eF \ .

а О ¡3

у о о о у

и удовлетворяют условию А, В £ Н => АВ — 0.

Рассмотренные утверждения дают основание поставить следующий вопрос.

Вопрос 5[61] Верно ли, что все собственные внутренние идеалы Н алгебры Jlu sln(F) для поля F характеристики нуль удовлетворяют условию А,В е Н АВ = 0?

Частичный ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема 2.4.1 Пусть F - алгебраически замкнутое поле, char F = 0. Все собственные внутренние идеалы Н алгебры Ли sln(F) удовлетворяют условию: А, В £ Н АВ = 0.