Применение теории графов в структурной теории полусовершенных колец тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ КИЕВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им.ТАРАС А ШЕВЧЕНКО

? Г и 0В

- а КАЙ «393 •

Ня правах рукописи

САМИР ВАЛИО

УДК 512.552.1

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРШВ В СТРУКТУРНОЙ ТЕОРИИ ПОЛУСОВЕН11ЕННЫХ КОЛЕЦ .

01.01.06- математическая логика, алгебра и теория чисеЛ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандината физико-математических наук

Киев - 1993

Работ* выполнена на кафедре алгебры и математической логики Киевского университета имени Тараса Шевченко

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Кириченко В.В.

Официальные оппоненты -доктор физико-математических наук, профессор Боревич З.И., кандидат физико-математических наук, доцент Шкабара A.C.

Ведущая организация - Львовский университет им.И.Я.Франко

Защита диссертации состоится .. . . 1993г.

в /■//°° час. на заседании специализированного совета К 068.18.II по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Киевском университете имени Тараса Шевченко по адресу: 252127, Киев, проспект акад.Глушкова 6, корпус механико-математического факультета.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке университета.

Автореферат разослан "_"_ 1993г.

Ученый секретарь специализированного совета

Сущанский В.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. В 1971 г. в связи с изучением представлений конечномерных алгебр Габриель ввел понятие колчана конечномерной алгебры и охарактеризовал на языке колчанов конечномерные алгебры над алгебраически замкнутым полем конечного типа, квадрат радикала, которых равен нулю.

В терминологии Габриеля колчан - это конечный ориентированный граф, т.е граф с конечным числом вершин и конечный числом дуг.

Как оказалось, понятие колчана Габриеля играет важную роль не только в теории представлений, но и в структурной теории нелолупростых конечномерных алгебр. Важные результаты в этом направлении изложены в книге Ю.А.Дрозда и В.В.Кириченко "Конечномерные алгебры", Киев, 1980 г. В.В.Кириченко перенес понятие колчана Габриеля на случай нетеровых с одной стороны полусовериенных колец и с его помощью получил конструктивнее описание нетеровых с одной сторон полуцепных колец.

Отметим, что рассматривались и другие понятия колчана. Так свое определение колчана дает Р.Пирс в монографии "Ассоциативные алгебры", Москва, Мир, 1986 г. и с его помощью доказывает теоремы об однозначном разложении артиновых справа алгебр.

В.В.Кириченко, П.П.Костюкевич, Ю.В.Яременко понятие первичного колчана полусовершенного кольца, введенного В.В.Кириченко, применяют для описания различных типов бирядных полусовершенных колец без всяких условий конечностей.

Диссертация посвящена изучению свойств колчанов различных классов полусоверленных колец.

Цель работы. Рассмотрение различных типов колчанов полусоверше::ных колец и их применение в структурной теории полусовериенных колец /кусочных областей, полупервичных колец, колец дистрибутивно модульного типа/.

Научная новизна и практическая ценность. Все результаты, выносимые на защиту, являются новыми. Работа носит теорети-

I

ческий характер, ее результаты могут быть применены при развитии структурной теории полусовершенных колец, а также могут быть использованы при чтении спецкурсов по алгебре.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на международной алгебраической конференции памяти А.И.Ширшова /Барнаул, 1991/ и на. Киевское алгебраическом семинаре /1992/, Публикации. Результаты дисеертации опубликованы в работах Щ-[5] , список которых приведен конце автореферата.

Об"ем и структура диссертации.Диссертация изложена на 83 страницах машинописного текста, состоит из введения, трех глав, приложения к списка литературы. Библиография включает 29 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В автореферате сохраняется нумерация утверждений диссертации.

Во введении приведены краткий обзор исследований по тематике диссертации и краткое описание содержания работы.

Первая глава состоит из трех параграфов. В первом параграфе излагаются необходимые сведения о полусовершенных кольцах. Второй параграф посвящен изложению метода вычисления конечно представимых моделей над произвольным полусовершенным кольцам. В третьем параграфе приводятся основные св(.дения о полудистрибутивных модулях и кольцах. Доказывается, что полусовершенное кольцо дистрибутивно модульного типа является полудистрибутивным кольцом.

Вторая глава посвящена изучению колчанов полусовершенных колец дистрибутивно модульного типа.

Пусть А - полу'совершенное кольцо, для которого определен колчан О. {А) • Определяется производный колчан /граф/ Ц(Х(А) кольца /\ , который связан со строением конечно представимых модулей над ним.

Пусть число точек в колчане 0.(А) равно ^ и это точки I, ..., Гь , причем из точки 1 в точку J

идет ~t/j стрелок. Тогда новый колчан 4*0.(А) состо-

ит из точек I.,,,, Ю и ?(■() ¿fn) , где

точки T(i) ,..., Z (л>) попарно различны. Колчан является двудольным графом, стрелки идут только из точек, лежащих в множестве |1,..., 1ь} в точки, лежащие в множестве (Tf'l) Z(K)] , причем, если в Q.(A) из точки /' в точку j идет ~tjj стрелок, то a RQM) из точки 1 в точку ведут ¿-,•4 стрелок. "Если в колчана HQ. (А) опустить направления всех стрелок и соединить точку / с точкой L Cj) , ijj ребрами,тогда и только тогда,, когда из точки ' в точку

tfj) , идет bij стрелок. В результате получим

неориентированный граф, который мы обозначим через

/А) .

Неориентированный граф вида {_? ... Ю.*_ f2,

будем называть неориентированный цепью. В частности, одна точка - это тоже неориентированная цепь.

Теорема 5.1. Следующие условия равносильны для полусовершенного кольца А с О / £ -радикал Джекоб-сона кольца А /:

а/ А - д.м. т.кольцо;: б/А - полудистрибутивно и

ША) является несвязным об"единением неориентированных цепей.

В шестом параграфа решается задача нахождения связных колчанов G. , для которых bGL является несвязным об"еди-нением неориентированных цепей для колчанов с числом точек 2,3,4.

Для решения этой задачи была составлена программа на языке ТИН&О - PASCAL . Прграмыа производит подсчет общего количества графов, отсортировывает изоморфные графы и выводит их i.a печать,.

С точностью до изоморфизма таких графов при го =2-6, при гъ =3-32, при' гь =4 - 181.

В третьей главе рассматриваются различные определения

»

колчана полусовершеннпго кольца А .

Ненулевое полусовершенное кольцо А назовем блоком /первичным блоком/, если колчан ü /А) /первичный колчан Я&Й) // связен. Следствие 1. Пусть А - нетерово справа полусовершенное кольцо. Тогда справедливы следующие утверждения:

а/ Д единственным образом разлагается в конечное прямое произведение первичных блоке -,

б/ каждый первичный блок является неразложимым кольцом. Следствие 2. Пусть А - артиново справа кольцо. Тогда справедливы следующие утверждения:

а/ А единственным образом разлагается в конечное прямое произведение блоков;

6/ каждый блок является неразложимым кольцом.

§9 диссертации посвящен изучению первичных колчанов кусочных полусоверпенкых областей. Отметин, что всякое наследственное и полунаследственное полусовершенное кольцо является кусочной областью.

Определение. Полусовершенное кольцо А называется кусочной областью, если любой ненулевой гомоморфизм неразложимых проективных А - модулей является мономорфизмам.

Следствие 3. Пусть А - кусочная область. Тогда спра-'. ведливь: следующие утверждения:

а/ А единственным образом разлагается в конечное прямое произведение первичных блоков;

б/ какднй первичный блок является неразложимым кольцом.

Теорема 9.3.Первичный колчан PS/А) кусочной области А не содержит ориентированных циклов и из каждой точки в другую идег не белее одной стрелки. Наоборот, если есть конечный ориентированный грг^, удовлетворяющий указанны»! условиям, то существует кусочная полусонершенная область А такая, что PQfrJ-P .

Обозначим ччоез I первичный радикал кусочной области А ,

А,

fy — / I . II:? теоремы 9.3 получаем такое следствие

4

Следствие 9.6. Кусочная область А , как абелева группа, разлагается в прямую сумму кольца А0 , изоморфного Л" и первичного радикала 2 : А = /4„®1 .

Заключительный десятый параграф посвящен изучению колчанов полусовершенных полупервичных нетеровых колец.

Конечный ориентированный граф /колчан в терминологии Габриеля/ называется сильно связным, если из любой его точки в другую ведет путь.

Теорема ЮЛ. Колчан О /А) нетерова с двух сторон неразложимого полусовершенного полупервичного кольца А сильно связен.

В приложении приводится программа вычисления колчанов, рассмотренных в § 5 и дается список, с точностью до изоморфизма, таких колчанов при ГО =2, .3, 4.

Литер&ту р а

I Самир Валио. Об одной классе двудольных графов. Международная конференция по алгебре памяти А.И.Щиршова. Барнаул,

1991 г

2.Кириченко В.В., Самир Валио, Яременко Ю.В. Колчаны полусовершенных колец . Международная конференция, посвященная ЮО-летио со доя рождения М.Ф.Кравчука. Киев. 19К.

3.Кириченко В.В., Самир Валио, Яременко Ю.В. Колчаны полусовершенных колец, ДАН Украины /в печати/.

4.Кириченко В.В., Самир Валио, Яременко Ю.В. Полусовершенные кольца и их колчаны. // Труда Института математики,

т.1, 1993г. „ .

5 Самир Валио, Сергеев 0.11. Про властивостх сагайдак!в

напхвдосконалих кхлець дистрибутивно^одульного типу

// Шсник КУ /в друцх/.

Подп. к печ. ?3 . Формат 60х84'/,6. Бумага тип. №5 Печать офсетная. Усл. печ. л. С,46. Усл. кр.-отт. (>,{} . Уч.-изд. л ./.О .Тираж-/со _За». М . Бесплатно._

~ фирм* .ВНПОЛ.. ■ . ,

252151, г. Киев, ул. Волынская, 60.