Полусовершенные 2-кольца и модули над ними тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГБ ОД

п / нлп 7 - -1 -

Ки1вський ун!верситет 1мен1 Тараса Шевченка

На правах рукохшсу УДК 512.552.1

Халецъка Зоя Петр1вна

Нап1вдосконал1 2-к1льця та модул1 над ними

,01.01.06. - алгебра 1 теор!я чисел

АВТОРЕФЕРАТ

дисертацИ на здобуття вченого ступеня кандидата ф!зино-математичних наук

Ки1в - 1995

Дисертац1я е рукопис

Робота виконана на кафедр1 вшцоЗ. математики Укра1нського державного педагогичного ун!верситету 1мен1 М.П. Драгоманова

Науковий кер1вник_- доктор ф1зико-математичних наук,

професор Кириченко Болодимир Васильович

0ф1ц1йн1 опоненти: доктор ф!зико-математиччних наук,

акадвм1к АН Молдови, професор Рябух1н Юр1й Михайлович, кандидат ф1зино-математичних наук доцент Плахотн1к Володимир Васильович

Пров1даа орган!зац1я - Лъв1вський державний ун1верситет

1м. 1-Я. Франка

Захист в!дбудеться "_"_1995 року о _годин1

на зас1данн! спец1ал1зовано! рада Д.01.01.06 при Ки1нському ун!верситет1 1мен1 Тараса Шевченка за адресою: 252127, Ки1в-127, проспект Глушкова, 6, механ±ко-математичний факультет, аудитор!я 42. 3 дисертац!ею мокна ознайомитись в науковШ б!бл1отец1 университету (вул. Володимирська,62)

Автореферат роз!слано "_"_1Э95р

Вчений секретар спец!ал1зовано1 ради '/ С.А. 0вс1енко

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальность томи. Комутативн! к!льця головних 1деал1в виникають як природне узагальнэння евкл1дових к1лець, як1 в!д!грають важливу роль в р!зних розд!лах теорИ абелевих труп 1 л1н1йно! алгебри.

В 30-х роках Оуло розвинуто теор!ю некомутативних артинових к!лець головних 1деал1в насампервд завдяки працям японського математика Асано та н!мецького алгебра!ста Кете.

Починагочи з 60-х рок!в з'явилося багато роб1т, що присвячен1 вивченню к!лець, кожний 1деал яких породжуеться двома тв!рними.

В передаов! до одн!е1 з сво!х роб!т Метл1с пише: "Сврвд найперших речей, як! повинен знати кошен студент, що вивчав Сучасну Алгебру, е яким чином Двдвк1ндов1 к1льця можуть бути узагальненням к!лець головних 1деал1в. Майже випадковим в той факт, що кожен 1деал Дедек±ндового к!льця мохе бути породжений двома елеменгами. е приклада, як! показують, що ця властив1сть не буде характеристичною для Дедек1ндових к1лець. Таким е, наприклад, к!льце формальных стеленевих ряд!в в!д одн!с1 зм!нно1 без л1нз.йного члену (над довзльним полем).. Немае теоретако - к!льцевих причин, як! можна було б запропонувати 1 як1 б показували чим в!др1зняються к!льця, кокен 1деал яких породжуеться двома тв!рними, в±д к1лець, в!дпов1дно, з трьома, чотирма або дов!льною к!льк1стю тв!рних. Б щось видатне в тому, що можна показати, що число два е единим."

Басс дов!в, що якщо А- нетерова область ц1л1сност1, ц1ле

г

замикання яко! (у 11 пол! в!дношень) е ск1нченно породженим А-модулем, то дов!лъний ск!нчэнно породжеыий А- модуль без скруту розпадаеться в пряму суму А-!деал!в тод! i т!льки тод!, коли кожний 1деал кХльця А породнуеться двома елементами. 3 ц!ею роботою гхсно пов'язана цитуема вищв статгя Ывтл1са.

3.1. Воревич i Д.К. Фаддеев розглянули представления порядк1в з цикл!чним 1ндвксом. Цей клас к!лець фактично сп±впадае в класом к!лэцъ, розглянутих Бассом.

A.B. Ройтер дов!в достатн!сть умов Басса для модул!в представлень некомутативних порядк!в.

A.B. Ройтер, Ю.А. Дрозд i B.B. Кириченко ввели клас бассових порядк!в, яккй м!стить, зокрема, yci спадков! порядки i порядки, кожний правий 1дэал яких мае дв! тв1рн1, i показали, що над такими порядками вс! нерозкладн! модул1 представлень 1зоморфн1 правим 1деалам порядку. Дал! вони показали, що всякий басс!в порядок над повним локальним дэдекЗдцовим к!льцем екв!валентний у сенс! Мор!ти прямому добутку спадкового порядку i порядку, кожний правий 1деал якого мае дв! тв!рн1.

А.В.Ройтер показав, що порядки над повним локальним дедек!ндовим к!льцем, як! лежать в сепарабельних алгебрах, s нап1вдосконалими к!льцями, а з теореми Голд! випливае, що вони нап!впервинн!.

Мета роботи. Вивчення будови та властивостей нап!вдосконалих 2- к!лець (тобто к!лець, кожний !дэал яких мае дв! TBipHi). Досл!даення сагайдак!в таких к!лець. Опис

нап!вдосконалих 2-к!лець дистрибутивно модульного типу.

Наукова новизна та практична ц!нн!сть. Bei результата, що виносяться на захист, е новими. Робота мае теоретичний характер, 11 результата можуть бути застосован! в теорИ к!лець та модул!в, а також при читанн! спвцкурс!в з алгебри.

Апробац!я роботи. Результата роботи доповХдалися на М!жнародд!й науков1й конфэренцИ присвячен!й 100-р1ччю в!д дня народження Н.Г. Чеботарьова (Казань, 1994), заседаниях розширвного КиХвського алгебраЗлного сем!нару, присвячених 80-й р!чниц! в!д лня народження Л.А.Калужн!на (Ки1в, 1994), та 75-р!ччю в!д дня народження B.C. Чар1на (КиХв, 19Э4), Всеукра1нськ1й конференцИ молодах вчених (Ки1в 1994), Всвукра1рськ1й науков!й конференцИ присвячен!® 70-р!ччю в!д дня народження П.С. Казим1рського (Льв!в, 1995).

Публ1кац11. Результата дисертацИ надрукован! в роботах

1-6 , список яких приведено в к1нц! автореферату.

Структура i об'ем дисертацИ. Дисертац1я викладена на 71 стор1нц1 машинописного тексту. Бона складаеться 1з вступу, трьох глав: "Погорэдн! в1домостЗ." (м±стить чотири параграфи), "Слабопервинн! нап!вдосконал! нап!вдистрибутивн1 прав!

2-к1льця i модул! над ними" (м1отить два параграфи), "Будова нап!вдосконалих 2-к!лець" (м!стить три параграфи) i списку л!тератури. Б!бл!ограф1я мае 38 найменувань.

3MICT РОБОТИ

Нумерац1я твердаенъ в автореферат! сгйвпадае з Ix нумерац!ею в дисертацИ.

У вступ1 обгрунтовано актуальн!сть теми дисертацИ, визначено мету досл!джвння, даеться короткий огляд досл!джень дав'язаних з темою дасертацИ, наведено основн! 11 результата.

У перш1й глав! приводяться необх!дн! для нас в!домост! з теорП к!лець i модул!в, та теорИ сагайдакав.

Bei к!льця, що розглядаються в дисертацИ, асоц!ативн! i з одиницею. П1д модулями, якщо не оговорено протилегене, розум!емо ун!тарн! прав! модул!.

В §1.1 вводяться означення дистрибутивних та над!вдистрибутивних к!лець ! приводяться факти про нап!вдосконал! к!льця, що бул! введен! Бассом у i960 роц!. Кр1м цього подаеться критер!й нап!вди.стрибутивност1 нап!вдосконалого к!льця, що налетать A.A. Туганбаеву. Одним з основних засоб!в вивчання структурно! будови нап!вдосконалих к!лець е поняття сагайдака нап!вдосконалого к!льця, яке узагальнюе поняття сагайдака ск1нченновим!рно! алгебри, введене Габр!елем у 1972 роц!.

В §1.2 подаються означення нап1впервинних, первинних та слабопервинних к!лець. Наводиться критер!й слабошрвинност! нап!вдосконалого к!льця:

ТВЕРДЖЕННЯ 1.2.2. [4, предл.3.2] Нехай А- нап!вдосконале к!льц&, 1=е +..+е - розклад одиниц! к!льця А у суму попарно ортогональних !демпотент!в, Au=e.Ae. (i,3=1,...,s). Для

того, щоб кХльце А було слабопервинним необх!дно I досить, щоб множили А., були в1дм1нн! в!д нуля при 1,3=1,...,в.

В §1.3 розглядаеться поняття к!льця головних !деал!в. Важливото е теорема, що характеризуе будову нетерових нап1вдосконалих к!лець головних !деал!в: ТЕОРЕМА 1.3.2. [4, теор.2.3] Нап!вдосконале к1льце головних !деал!в А нетерове з двох стор!н 1 !зоморфне щзямому добутку повних матричних к!лець над лаицюговими артиновими к!льцями, або над дискретно нормовашми к!льцяш (не обов 'язково комутативнши). Навпаки, вс! так! к!льця в нап!вдосконалими к!льцями головних 1деал1в.

В § 1.4 розглядаються -нетеров! нап1вдосконал1 нап!вдистрибутивн! (БРББ) к!лыдя. Говорячи нетерове, артинове, нап!вдистрибутивне ! т. 1н., ми ввакаемо, що вказан! властивост! мають м!сце з обох стор!н.

У цьому параграф! переноситься поняття сагайдака н&терового нап!вдосконалого к!лыдя на випадок дов!лъних БРЗБ-к!лець ! розглядаються його властивост!.

Друга глава присвячена вивченню слабопервинних нап!вдосконалих нап!вдастрибутивних правих 2- к!лець та модул!в над ниш.

Будемо називати правим 2-к!льцем к!льце, кожний правий !деал якого мае дв1 тв1рн!.

В §2.1 розглядаеться будова слабопервинних нетерових нап!вдосконалих нап!вдистрибутивних правих 2- к1лець. ТЕОРЕМА 2.1.1. [4, теор. 4.1] Сагайдак О(А) нетерового слабогорвинного нап!вдосконалого правого 2-к!льця А складаеться не б!льш, н!ж !з двох точок. Яюцо (}(А)

складаеться !з одн1е! точки, то в ц!й точц! не б1льше, н!к дв! петл!. Якщо б(А) складаеться 1з двох точок, то з одн!е! точки в ¿ншу веде р!вно одна стр!лка 1 в кожн1й точц1 нв б!льше одн1е1 петл!.

НАСЛ1Д0К 2.1.3. [4, след.4.3] (ТЕОРЕМА РВДУКЦИ ДЛЯ НЕТЕРОВИХ НАП1ВД0СК0НАЛЖ ПРАВИХ 2-К1ЛЕЦЬ) Дов1льне нетерове слабопэрвинне нап1вдосконале праве 2-к!льца А !зоморфне к!льцю Ып(В), де В- або локальна праве 2-к!льце, або В=Р4©Рг, де (Р1(Р2- нерозкладн1 проективн1 В-модул!), 1 сагайдак

О(В) - це двохточечний сагайдак, який задовольняе умов! теореми 2.1.1.

Основним результатом §2.2 е опис слабопервинних нетерових нап!вдосконалих правих 2-к1лець дистрибутивно модульного типу (д.м.т.)

НАСЛ1Д0К 2.2.2. Нап1вдосконале д. м. т. к!льце нап!вдистрибутивне.

ТЕОРБМА 2.2.8. Наступн! умови р1вносильн! для зведэного нетерового БРББ- к!льця А дистрибутивно модульного типу з двохточечним сагайдаком:

1. А- д.м.т. кХльце;

2. к!льцэ А !зоморфне кХльцю одного з тип!в: (1) А- нап!вланцюгове кХльце;

(Н) А =

О X

1

У

, X? О, УИ О, 01, Ог- ланцюгов! нетеров!

к!льця, тобто або одноряда! к!льця Кате, або дискретно нормован! к!лъця, X 1 У- ланцюгов! пряв! ! ланцюгов! л!в!

модул! над к1льцями 04 I <3, з вдбх!дно1 сторони, ХУ= И,,

ТЫ О, И1Х= ХК2= О, УБ1= о.

Третя глава присвяч&на вивченню будови нап!вдосконалих 2- к!лець.

В §3.1 показана на приклад! (приклад 3) доц!льн!сть розгляду одночасно правих ! л!вих 2- к!лець, тобто к!лець, у яких козкний правий ! кожний л!вий 1деал мае дв! тв!рн!.

ТВЕРДЖЕННН 3.1.3. Якщо А- нап!вдосконале нерозкладне 2-п п п п

к1льцв, А= Р4 ©...© Рза (А= Ф...Ф Ядв)~ розклад к!льця А в

пряму суму нерозкладних попарно не!зоморфних правих (л!вих)

прективних А-модул!в, то п4= п2=...= п .

Основним результатом цього параграфу е теорема редукц!! для нап!вдосконалих 2-к!лець:

НАСЛ1Д0К 3.1.4. Дов!льне нап1вдосконалэ 2-к!льце А !зоморфне к!льцю квадратних матриць порядку п - Мп(В), над зведеним 2-к1льцем В.

В § 3.2 вводиться поняття простого сагайдака, даеться визначення й-симетричного к!льця.

Сагайдак (скшчений ор!ентовний граф) будемо називати прост™ сагайдаком, якщо в ньому немав кратних стр1лок ! кратних петель.

Нетерове нап!вдосконала к!льца А будемо називати симетричним, якщо л!вий сагайдак (А) одержуеться !з сагайдака Й(А) перевертанням ус!х стр!лок.

Важливим прикладом симетрячних к!ледь е ск!нченновим!рн! алгебри над алгебра!чно замкненим полем та нап!вдистрибутивн! нап1вдосконал! нетеров! к!лыдя.

ТЕОРЕМА 3.2.3. Нехай А- нап!вдосконала нерозкладне 0-

симетричне 2- к!льце, що не е повним матричним к1льцем над локальним 2-к1лъцем. Тод! Й(А)- простий сагайдак.

Завершуеться цей параграф теоремою, що описуе будову нап!вдосконалих О-симетричних 2-к1лець.

ТЕОЕЕМА 3.2.4. Сагайдак нерозкладного нап!вдосконалого <2-симетричного 2-к!льця А, в!дм!нного в!д повного матричного к!льця над локальним 2-к!льцем, е або циклом (монливо з петлями), або ланцюгом (мокливо з петлями).

В § 3.3 розглядаеться будова нап!вдосконалих 2-к1лецъ дистибутивно модульного типу.

В теорем! 3.3.1 доводиться, що нап!вдосконале нерозкладне Й- симетричне 2-к!льце, яке не е повним матричним к!льцем над локальним 2-к1льцем, буде нап!вдистрибутивним.

ТЕОРЕМА 3.3.2. Сагайдак нерозкладного нап!вдосконалого д.м.т. 2-к1льця е або цикл, або ланцюг. Якщо число точок в цикл1 дор!внюе в, то число петель не пэрэвищуе 8-1.

Настуша теорема дав повний опис нап!вдосконалого 2-к1льця А дистрибутивно модульного типу.

ТЕОРЕМА 3.3.3. Наступи! умови р!вносильн1 для нап!вдосконалого 2-к!льця А:

(a) к!льцэ А е д.м.т. к!льце;

(b) к!льце А б!рядне; у вшадку, коли сагайдак (2(А) - цикл довжини в, то число петель в ньому не перевищуе в-1 1, при в>2, добуток п!рсовських компонент, що в!дпов!дають сус!дн!м стр1лкам, дор!внюе нулю.

Автор висловлюе щиру подяку нвуковому кер1внику професору Кириченко Володимиру Васильовичу за пост!йну турботу та допомогу у робот! над дисертац!вю.

Результата! дисертацИ опубл!кован1 в сл!дуючих роботах:

1. Кириченко В.В., Халецкая З.П. Об артиновых кольцах дистрибутивно модульного типа.//III Мезкдунар. конф. по алгебре памяти М.И.Наргаполова. Тез. докл. Красноярск. 1993. с. 148

2. Халецкая З.П. Слабопервичные полусовершенные 2-кольца и модули над ними. // Междунар. науч. конф. посвященная 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева. Тез. докл. Казань. 1994. с.48

3. Халецкая З.П. О полусовершенных 2-кольцах дистрибутивно модульного типа. // Деп. "Труды Всеукраинской конференции молодых ученых" Сб. статей. Киев. 1994. с. 37-43

4. Халецька З.П. Нап!вдосконал! 2-кЗльця та модул! над ними. // В!сник Кихвського ун1верситету. Сб. статей. Ки1в. 1994. с. 150-159

5. Халецька 3. П. Про нап!вдосконал! 2- к!льця дистрибутивно модульного типу. //Всеукр. науч. конф. присвяч. 70-р1ччю в!д дня народзкення проф. П.С.Казим!рського. Тез. доп. -Льв!в. 1995. с.43-49

6. Данлыев Х.М., Кириченко В.В., Халецкая З.П., Яременко Ю.В. С-лабопервичные полусовершенные 2-кольца и модули над ними. //" Алгебраические исследования. Сб. статей. Ин-т математики HAH Украины.- Киев. 1995. с.5-32

Халецкая З.П. Полусовершенные 2-кольца и модули над ними. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. Рукопись. Национальный университет им. Тараса Шевченко. Киев. 1995. Защищается работа, которая содержит исследование полусовершенных 2-колец. Получена теорема редукции для полусовершенных 2-колец. Описаны нетеровд полусоваршенные слабопервичные полудистрибутивные 2-кольца и нвтеровы полусовершенные слабопервичные 2- кольца дистрибутивно модульного типа.

М

Khaletskaya Z.P. The semi- perfect 2-rings and modules ower them. Dissertation for academic degree of candidate of physics and mathematics sciences by specialities 01.01.06 -algebra and theory of numbers. Manuscript. The national university by Taras Shevchenko, Kiev, 1995. The work, Is protected, with contains the researches of semi- perfect 2-rings. There has been proved the theorem of reduction for semi- perfect 2-rlngs. There have been described noetherlan semi- perfect weakly prime distributive 2-rings and noetherlan semi- perfect weakly prime 2-rings of distributive module type.

Ключов! слова: нап!вдосконал1 2-к1льця, нап!вдистрибутивн! 2-к1льця, ланцюгов1 та дистрибутивн! модул!, нап!вланцюгов! к1льдя та модул!, 2-к1льдя дистрибутивно модульного типу та б!рядн! к1льця.

Зам. № 52 Тираж 60

ВЩ "Кихвський.унтверситет"

Л%