О проективности конечно порожденных плоских модулей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

НАСРУТДИНОВ Марат Фаритович

О ПРОЕКТИВНОСТИ КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННЫХ ПЛОСКИХ МОДУЛЕЙ

01 01 06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ульяновск - 2007

003062666

Работа выполнена на кафедре алгебры Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Казанский государственный университет им В И Ульянова-Ленина"

Научный руководитель

Официальные оппоненты

Ведущая организация

доктор физико-математических наук, профессор Сахаев Исхак Идрисович

доктор физико-математических наук, доцент Петроградский Виктор Михайлович доктор физико-математических наук, профессор Туганбаев Аскар Аканович

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Самарский государственный университет

Защита состоится 16 мая 2007 года в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212 278 02 при ГОУВПО Ульяновский государственный университет по адресу Университетская набережная, 1, ауд 703.

Отзывы по данной работе просьба отправлять по адресу' 432000, г Ульяновск, ул Л Толстого, 42, УлГУ, Управление научных исследований

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного университета и на сайте http //www um ulsu ru

Автореферат разослан /J апреля 2007 г

Ученый секретарь 7U г,

диссертационного совета ^/¿/у^шггм^ Веревкин А Б

Актуальность темы.

В 1960 году в своей известной статье 1 Басс получил характериза-цшо колец над которыми проективны все правые плоские модули Такие кольца называются совершенными справа Совершенные справа кольца имеют внутреннее описание, а именно копьцо R является совершенным справа тогда и только тогда когда R - полулокалыюе кольцо и его радикал Джекобоона Т-нильпотентен слева то есть для всякой последовательности элементов ai, ,о„, из J(R) существует такое к, что ЧкО-к-i oí = 0

Возникает естественный вопрос какое строение имеют кольца, над которыми проективны все конечно порожденные (правые) плоские модули'?

В 1961 год}'2 проф Л А Скорняков предложил про1рамму по гомологической классификации колец, в которой предлагалось охарактеризовать кольца при помощи гомологических свойств категории модулей над ними Одним из классов таких колец были кольца, над которыми проективны все конечно порожденные правые плоские модули

В 1965 году проф И И Сахаев получил критерий для колец, над которыми все конечно порожденные правые плоские модули проективны в терминал стабилизации главных идеалов специального вида колец матриц над исходным кольцом Поэтому, вслед за работой Г Ленинского и Ф Ротмалера3, опубликованной в 2004 году, будем называть такие кольца (правыми) S-кольцамн (кольцами Сахаева)

S-кольцам были посвящены многие работы, в частности можно отметить работы С Эидо4 и В Васкенселоса1" в которых рассматривались

'Bass H Fimtistic dimension and a homological generalization of semi-primary rings'/ Trans Arner Math So< 1060 Vol Oí P 466-488

2Скорнякоя Л А Гомологическая классификация колец // Труды IV Всесокиного математического съезда Москва 1961 г Т2 1961 С 22-32

1Pumiiski G , Rothmaler Ph И hen eiery finitely generated flat modules projective // J Algebra 2004 Vol 277 P 542-558

4bndo S On it rm-hcditnry rings /' J Math Soc Japan 1961 13 P 109-119

5Vasr one elos W \'Ou finitely qeneratcd flat module1} / /Irons Araer Math Sot 1969 Vol 138 P 505-512

коммутативные S-кольца, работы И И Сахаева6'7, С Йоидрупа8, недавние совместные работы И И Сахаева А Факкини и Д Херберы'' 1,1

Можно отметить, что S-кольца являют< я ( табилыш конечными, то есть каждая односторонне обратимая матрица будег двусгоронне обратимой Поэтому для некоторых классов колец исследования проективности конечно порожденных плоских модулей позволяют получить и стабильную конечность рассматриваемого кольца В частности, в работе изучаются групповые S-алгебры Одним из побудительных мотивов изучения послужила гипотеза И Капланского об обратимости односторонне обратимых элементов групповых алгебр

Методы, используемые и развиваемые в работе позволяют получать новые результаты в теории колец и модулей и теории групповых колец

Цель работы.

Целью настоящей работы является

1 Изучение 5-колец и условий, при которых проективны конечно порожденные плоские модули особого вида

2 Нахождение новых классов колец, являющихся 5-кольцами

3 Исследование условий, при которых групповые кольца являются S-кольцами

Методы исследования.

В работе используются методы теории модулей и ассоциативных колец, теории групповых колец, теории групп

6Сшм< в II II О nponmuanormv конечно nopot« депиъп пюгкиг иодцлеп , /Снб мат жури 1965 Т 6 С 564-573

7Сахаев И И О проективности конечно порожденных тъюских модулей над полулегальны и кольцами Ц Матеч чачетки Т 37 (1985) V2 С 152-161

8Jondiup S On Finitely generated flat modules ,Math Stand 1970 26 P 233-240

yFaithim A , Herbem D Sakhajev I Finitely Generated Flat Module* and a Characterisation of Semiperject Rmqi , Commun Algebra 2003 Vol 31 P 4195-4214

"'Far f him A Herbera D , Sakhajc\ i Flat modules and lifting of finitely generated projeetne modules* / Рас lfic journal of math 2005 Vol 220 P 49-67

Научная новизна

Полечен ряд результатов о конечно порожденных плоских модулях полз'чены новые классы 5-колец Все теоремы и следствия, которые приводятся ниже при изложении содержания диссертации, являются новыми

Основные положения, выносимые на защиту.

1 Доказано, чю групповое кольцо линейно упорядоченной группы над телом является 5-кольцом Как следствие получена стабильная конечность групповых колец локально нильпотентных групп и локально свободных групп над полупримарными кольцами

2 Доказано что если групповая алгебра конечно порожденной группы является Р/-кольцом, то она будет и 5-кольцом Как следствие получена стабильная конечность групповых алгебр являющихся Р1-кольцами

3 Получен новый критерий полулокальных 5-колец в терминах дуальной размерности Голди

Теоретическая и практическая значимость.

Работа носит теоретический характер Результаты и методы, изложенные в диссертации, могут быть использованы как в дальнейших исследованиях в теории колец и модулей, так и при чтении специальных курсов по алгебре

Апробация результатов.

Результаты диссертации докладывались

• на Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения - 2001" в Казанском государственном университете

(Казань, 2001 г),

• на Международной алгебраической конференции посвященной 200-

летию КГУ "Алгебра и анализ'^Казань, 2004 г).

• на семинаре "Кольца и модули" кафедры ал1ебры Московского ю-(ударе тврнного унивср! итетя им М В Ломоно< ова

• на семинарах кафедры алгебры КГУ в 2000-2006 гг (руководитель - д ф -м н проф Сахаев ИИ) и итоговых конференциях кафедры алгебры Казанского государственного университета им В И Ульянова-Ленина

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 11 работ, список которых приведен в конце автореферата Результаты, полученные в совместной с научным руководителем и профессором Ломпом в работе [1], принадлежат авторам в равной мере

Структура и объем работы.

Диссертационная работа изложена на 74 страницах и состоит из введения, трех глав и библиографического списка использованных источников, включающего 60 наименований

Содержание работы

Во введении проводится обзор исследований, связанных с темой диссертации, содержание поставленных задач и методы их решения

В первой главе приведены известные определения и результаты использующиеся в доказательстве основных результатов Часть из них приведена с доказательствами

Приведено новое доказательство критерия ¿-колец, то есть колец, для которых выполнено следующее условие проективный модуль Р конечно порожден тогда и только тогда, когда конечно порожден фактор-модуль Р/Р7(Я)

Отметим что для полулокальных колец понятие ¿-кольца и й1-кольца совпадают

Получена следующая теорема для полулокальных колец с инволюцией

Теорема 1.7.2. Пусть R полулокальное кольцо с инволюцией *, R = R/J(R) = ©гД, где Д = М„гТг и Тг тела Если индуцированная инволюция на факторкольце R удовлетворяет условию (Д)* = Д, то кольцо R является 5-кольцом

Во второй главе рассматриваются проективные модули с полуло-кальныч кольцом эндоморфизмов и модули с конечной дуальной размерностью Голди

Определение Модуль M имеет конечную дуальную размерность Голди, равную п, если существует точная последовательность модулей

M ©вд —> о, 1=1

где все М/í/, неразложимые в сумму Л-модулн и Кег (tp) <С M В этом случае пишут codim цМ — п

Отметим три известных факта Теорема 11 Кольцо R полу локально тогда и только тогда когда его дуальная размерность Голди codim дR конечна В этом случае codim rR = codim rR/J{R) < oo

Теорема12 Пусть P (само-)проективный /¿-модуль и S = Нотя(Р, Р) его кольцо эндоморфизмов Тогда codim дР = codim sS

Следствие. Кольцо эндоморфизмов любого конечно порожденного проективного модуля над полулокальным кольцом полулокально

Учитывая вышеизложенное проф К Ломи в своей статье13 задал следующий вопрос Будет, ли конечно порожденным любой самопроективный R-модуль Р, -нольцо эндоморфизмов которого полулокально?

11Предложение 2 13, Facxhini Л Module theory endomorpkism ггпдэ and direct sum decomposition m some classes of modules - Ba^el, Boston, Berlin Birkhauser, 1998 285 p

12lakcucln 1 СоитКъ of « quasi-piojutav module- and tfi uidomotyhom rtntj/ Glasgow Math ) 1994 36 P 381-383

13Lomz> С On seimlocal modules and гтдч; /Commun Algebra 1999 27 V I P 1921-1935

В совместной статье К Ломпа М Ф Насрутдипова и И И Сахаева (<м [1]) получена следующая

Лемма 2.2.1. Пусть Р (само-)проекгивный левый Я-модуль Обозначим 5 = Нотд(Р, Р) кольцо эндоморфизмов модуля Р, I = Нотд(Р, J{P)) идеал кольца 5 Если 5/7 является полулокальным кольцом то фактормодуль Р/ J(P) конечно порожден

Следующая теорема и следствие из нее являются основным результатом той же статьи

Теорема 2.2.5. Проективный правый Я-модуль Р кольцо эндоморфизмов которого полулокально, является конечно порожденным если и только если соскт (Р) = сосЬт (Р/J(P))

Следующий результат доказан Насрутдиновым Следствие 2 2.6 Пусть Я - нолулокальное кольцо Р - проективный правый Я-модуль, такой, что Р/</(Р) конечно порожден Тогда Р является конечно порожденным если и только если сосЬт (Р) = < осЬт (Р/«/(Р))

Учитывая это следствие, в работе получен новый критерий полулокальных б'-колец

Теорема 2.2.7. Пусть Я полулокалыюе кольцо Тогда следующие условия эквивалентны

(1) всякий конечно порожденный плоский модуль нроективен,

(2) для любого проективного модуля Р, такого что сос1пп Р/,/(Я)Р < оо выполнено сосЬт Р = сосЬт Р/,/(Я)Р

Далее в работе показано, что для любого целого положительного п существует полулокальное кольцо Л и такой проективный Д-модуль Р что сосЬт Л(Р/7(Р)) = п и сосЬш ц(Р) ^ п

В конце второй главы рассмотрены некоторые взаимосвязи между понятием полусовершенного кольца и полулокального 5-кольца

Кольцо Я называется полусовершенньш если Я полулокальное и идемпотеиты поднимают« я по модулю радикала Джекобе она

Хорошо известно что всякое полусовершенное кольцо является S-

кольцом

Будем говорить, что модуль М обладает плоской оболочкой П если П плоский модуль и существует косущественный эпиморфизм (р П —> М Отметим, что это определение отлично от плоской оболочки, введенной Энокоом (Enochs), которая всегда существует

Теорема 2.3 2. Пусть над R всякий циклический правый плоский модуль проективен Кольцо R полусовершенно тогда и только тогда, когда каждый простой правый модуль обладает плоской оболочкой

Следствие 2 3 3 Пусть R правое 5-кольцо Кольцо R полусовершенно тогда и только тогда, когда каждый модуль обладает плоской оболочкой

Третья глава посвящена нахождению условий, при которых групповая алгебра будет 5-кольцом

Под алгеброй всюду понимается алгебра над по нем В некоторых случаях удается заменить поле полупримарным кольцом

Кольцо R называется (правым) п — FGFP-кольцом если проективен всякий n-порожденный (правый) плоский Д-модуль

Одним из побудительных мотивов исследования грз'пповых 5-колец послужила проблема Канланского А именно, кольцо R называется конечным по Дедекинду если для любых х,у € R равенство ху = 1, влечет ух = 1 Кольцо называется стабильно конечным, если для любою п кольцо матриц Rn конечно по Дедекинду Капланским было доказано что групповые алгебры над полем нулевой характеристики конечны по Дедекинду И он выдвинул следующую гипотезу

Гипотеза Капланского (1970). Групповые алгебры конечны по Дедекинду независимо от характеристики пояя

Отметим, что любое 1 — FGFP-кольцо конечно по Дедекинду, а 5-кольна явтяются стабильно конечными

В первом параграфе рассматриваются групповые алгебры линейно

упорядоченных групп Так как техника доказательства позволяет доказать результат для более широкого кла< < а колец - групповых колец над полупримарными кольцами, то теоремы доказывались для этого случая Группа G называется линейно упорядоченной, если все элементы группы сравнимы и, если х < у, то ахЬ < ayb для всех элементов a,b,x,y е G

Ключевым для дальнейших рассуждений служит следующий результат Мальцева

Те о р е м а ( M ал ь це в14 1948) Пусть к - ноле G - линейно у норядо-ченная группа Групповая алгебра вкладывается в алгебру с делением

Та же, самая конструкция, называемая конструкцией Мальцева-Нейман15, позволяет доказать, что групповое кольцо k[G] линейно упорядоченной группы G над телом к вкладывается в тело Доказаны следующие теоремы

Теорема 3.1.4 Пу;ть R = k[G\ групповое кольцо группы G над телом к Если в G существует линейно упорядочиваемая подгруппа конечного индекса, то R является S-кольцом

Определение. Кольцо R называется полупримарным если R полулокальное и радикал Джекобсона нильпотентен

Теорема 3.1 6. Пусть R[G] групповое кольцо группы G над полупримарным кольцом R Если в G существует линейно упорядочиваемая подгруппа конечного индекса, то R'[G] является ¿"-кольцом

Следствие 3 1.7. Пусть G локально свободная группа, R ~ полу-примарное кольцо, тогда 7Î[G] является 5-кольцом

Следствие 3.1.8. Пу<ть G группа, R - полупримарпое кольцо Если G конечно порожденная почти ннльпотентная группа (то есть в G

14Мальцев А И О включении группоеъя: алгебр е алгебры с делением /1 ДЛИ СССР 1948 Т 60 №9 С 1499-1501

15(w Colin PVT Ггее rinqs and their relations - 2nd ed - Lundon AiudernM Ргеьь 1985 Vol ]9, L M S Monographb 590 с

существует нильиотентная подгруппа конечного индекса), то -R[Gj являет! я ¿'-кольцом

Следующий простой пример показывает чго от конечной порож-денности избавиться нельзя

Пример. Пусть к поле нулевой характеристики, G — Ср-'- квазициклическая группа порядка р, то есть группа комплексных корней из единицы степени рп Тоща групповая алгебра k[G] не являегся S кольцом

Кольцо R называется конечным но Дедекинду, если для любых х,у G R равенство ху = 1, влечет ух — 1 Кольцо называется стабильно конечным, если для любого п кольцо матриц Rn конечно по Дедекинду Следствие 3.1 9 Пусть G нильпотентная группа, R - полупри-марное кольцо Тогда групповое кольцо i?[G] является стабильно конечным

Отметим, что в случае поля нулевой характеристики групповая алгебра k[G\ конечна по Дедекинду для произвольной группы В (лучае поля ненулевой характеристики вопрос о конечности по Дедекинду остается открытым

Следующий пример показывает, что существует конечно порожденная разрешимая группа G такая, что групповая алгебра Ат[С] над полем нулевой характеристики не является 5-кольцом

Пример. Пусть G прямое сплетение G = Z2 ? Z группы порядка 2 и бесконечной, циклической группы, к иоле нулевой характеристики Групповая алгебра k[G] не является ¿'-кольцом

Пусть А =< а > бесконечная циклическая группа В =< Ь\Ь2 = 1 > группа порядка 2 Группа G = В I А ус троена < ледующим образом:

ОС

Элементы группы ак * /, где ак е А, а / б fun(/l. В) = Ва. =

г—-сс

{/ А —у £?|п вс f(ak) = 1} - группа функций А —► В с конечными носителями, (/ * al){ak) = а1 * f(alak)

G разрешимая конечно порожденная группа степени 2 и 1рупповая

алгебра k[G] не является ¿"-кольцом

Во втором параграфе ра( ( матривагот( я групповые Р1 -алгебры Напомним, что группа G называется р-абелевой, если в ней существует подгруппа конечного индекса H, коммутант которой конечная р-группа Доказана следующая теорема

Теорема 3 2.4. Пусть R — k[G] групповая алгебра Если G конечно порожденная р-абелена группа и характеристика поля = р то R является ¿'-кольцом

Следствие 3.2 5 Пусть fc[G] 1рунновая PI-алгебра Toi да для всякого проективного &[СУ] -модуля Р конечная порожденность модуля Р/PJ{k[G\) влечет конечную порожденность модуля Р

В общем случае из проективности всех циклических плоских модулей, вообще говоря, не следует проективность всех конечно порожденных плоских модулей

Для групповых колец которые является Р/-алгеброй, справедлива ( ледующая теорема

Теорема 3 2.6, Пусть групповая Pi-алгебра Тогда k[G] является ¿"-кольцом тогда и только тогда когда проективны все циклические плоские &[(?]-модули

В третьем параграфе рассматривались нолулокальные групповые алгебры которые являются ¿-кольцом Проф Сахаев И И выдвинул следующую гипотезу

Гипотеза (Сахаев) Всякая полулокальная групповая алгебра является ¿"-кольцом

Далее приводятся условия, при которых эта гипотеза справедлива Введена конструкция, которая может оказаться полезной при изучении полулокальных групповых алгебр А именно, пусть k[G] - групповая алгебра Рассмотрим группу (относительно умножения) G = {g + J(k[G])\g Е G} и гомоморфизм групп в G —> G Ясно, что 9 - эпиморфизм Обозначим через Я = Кег(9) нормальную подгруппу группы G

Элемент д € Н тогда п только тогда когда 1 — д £ 1(к[С}) Заметим, что ш(Н)к[С(\ С J{k{G))

Теорема 3.3 2. Пусть А:[С] - полулокальная групповая алгебра группы (3 над полем к Обозначим через Н = {д & й]! — д € 7(А:[С])} нормальную подгру ппу группы б

1 Если характеристика поля к равна р, то Н является р-груипой

2 В случае поля нулевой характеристики группы С п С изоморфны

Теорема 3 3.3 Если к [С] - по ту локальная групповая алгебра конечно порожденной группы С над алгебраически замкнутым несчетным полем к характеристики р, то в группе С? существует нормальная р-подгруппа Н конечного индекса, такая что ш{Н)к[0\ С J(k\G}) Как следствие доказана

Теорема 3 3.4. Если к[С] полулокальная групповая алгебра группы <3 над алгебраически замкнутым полем к, то любой конечно порожденный плоский А;[С?]-модуль проективеи

В четвертом параграфе приведена редукция, показывающая, что гипотезу Сахаева можно свести к случаю полулокальных нолуцервичных груповых алгебр

Пусть С? - группа Нормальная подгруппа Д = Д(<3) — {х Е <3|[С? Сс{х)} < оо} группы С называется РС-центром группы С Наряду с РС-центром вводятся нормальные подгруппы Д+ = {х 6 Д|о(х) < оо}, где о(х) - порядок элемента х, и Др = {х е Д+|о(х) = степень простого числа р}

Теорема 3.4.3. Пусть к[С] полулокальная групповая алгебра над полем простой характеристики р Алгебра ¿[(5] является 5-кольцом тогда и только тогда, когда 5-кольцом является алгебра /:[£?/Др]

Выводы.

1 Доказано, что групповое кольцо линейно упорядоченной группы над телом является ^-кольцом

2 Доказано, что групповая Р/-алгебра конечно порожденной группы ¿"-кольцом Как следствие получена стабильная конечность групповых алгебр, являющихся Р1-кольцнми

3 Получен новый кри герий полулокальных ¿"-колец в терминах дуальной размерности Голди

Благодарности Автор выражает благодарность научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору И И Сахаеву за постоянное внимание к работе

Публикации автора по теме диссертации в журналах, входящих в список ВАК:

[1 ] Ломи X , Наср> тдинов М Ф , Сахаев ИИ О проективных модулях, кольцо эндоморфизмов которых полулокально // Известия высших учебных заведений Математика - 2002 - №8(483) - С 23-29

[2 ] Насрутдинов МФ О полулокалъных групповых алгебрах '/Математические заметки - 2005 - №3 - С 409-412

[3 ] Насрутдинов М Ф Стабильная конечность групповых колец / /Известия высших учебных заведений Математика - 2006 -№11(534) -С 29-32

Публикации автора по теме диссертации в журналах, не входящих в список ВАК

[4 ]Насрутдинов М Ф Сахаев И И Конечная порождснность проективных модулей и ее применения //Универсальная алгебра и ее приложения Тр участи межд семинара, посвящ памяти проф МГУ Л А Скорнякова Волгоград Перемена - 2000 - С 261-270

[5 ] Насрутдинов МФО конечной порожденности проективных моду-,ieü // Kurobh algebiait (onference98 Abstrae t of talks Мо(ква Изд-во мехмата МГУ - 1998 - С 194

[6 ] Насретдинов МФ Проективность плоских модулей над кольцами с инволюцией// Третья межд атгебр конф на Украине Суми СумДПУ им А С Макаренко - 2001 - С 216-217

[7 ] Ломи X , Насретдинов М Ф , Сахаев И И On projective modules of finite dual Goldi dimension/ // Труды мат центра им Н И Лобачевского Казань Ушшресс -2001 - Т 5 - С 243

[8 ] Насрутдинов М Ф 0 конечной порожденности проективных модулей над полу локальными групповыми алгебрами/ / Труды мат центра им Н И Лобачевского Казань ДАС - 2001 - Т 12 - С 45-46

[9 ] Насрутдинов М Ф Проективность конечно порожденных плоских модулей над групповыми алгебрами // Треды XXIV конф молодых ученых МГУ им М В Ломоносова Москва Изд-во мехмата МГУ -2002 - С 122

[10 ] Насрутдинов М Ф On finitely generated fiat modules over group algebras //Межд алгебр конф, посвящ 75-легию каф высшей алгебры МГУ Москва Изд-во мехмата МГУ-2004-С 100

[11 ] Насрутдинов М Ф Полулокальные групповые алгебры // Труды мат центра им Н И Лобачевского Казань Казанское математическое общество -2004 -Т 23 - С 58

м

Подписано в печать 9 04 2007 Форм 60x 84 1/16 Гарнитура «Тайме» Печать ризографическая Печл 1 Тираж 100 Заказ 112

Лаборатория оперативной полиграфии УМУ КГУ 420045, Казань, Кр Позиция, 2а Тел 231-52-12

Введение.

1 Проективность конечно порожденных плоских модулей. Предварительные сведения

1.1 Обозначения и соглашения.

1.2 Модули типа Р(Ат = Ат+1Ат)

1.3 Циклические плоские модули и модули типа Р(ат = ат+хат).

1.4 Переход от п-порожденных Д-модулсй к циклическим модулям

1.5 Наследование свойства п — РСРР родственными кольцами.

1.6 Гипотеза Лазара.!.

1.7 Кольца с инволюцией.

2 Дуальная размерность Голди

2.1 Дуальная размерность Голди - предварительные сведения

2.2 Проективные модули с полулокальным кольцом эндоморфизмов.

2.3 Полусовершеные кольца

3 Групповые 5-кольца

3.1 Групповые кольца упорядоченных групп.

3.2 Групповые Р1-алгебры.

3.3 Полулокальные групповые алгебры.

3.4 От полулокальных груповых алгебр к полупервичным. Редукционная теорема

Предмет исследования и актуальность темы. Кольца над которыми все конечно порожденные плоские модули проективны будем называть правыми 5-кольцами. Класс правых 5-колец включает в себя ряд известных и хорошо изученных классов колец. В класс правых ¿'-колец попадают, например, артиновы и нетеровы кольца, полусовершенные кольца, квазилокальные кольца.

В 1960 году Бассом в его известной статье [28] были рассмотрены кольца, над которыми проективны все правые плоские модули. Такие кольца называются совершенными справа. Эти кольца имеют внутреннее описание: кольцо Я совершенное справа тогда и только тогда, когда Я - полулокальное кольцо и его радикал Джекобсона Т-нильпотентен слева, то есть для всякой последовательности элементов а^ ., ап,. из J{R) существует такое к, что . а\ = 0.

Естественно поставить вопрос о строении колец над которыми проективны все конечно порожденные плоские модули. Таким кольцам посвящены работы Эндо [33], Васконселоса [58], Йондрупа [41]- [44], Сахаева [14, 13, 16, 18], недавняя работа Пунинского и Ротмаллера [52], и совместные статьи трех авторов Сахаева, Факкини и Херберы [36, 37].

В 1965 году Сахаевым в работе [14] был получен критерий проективности всех п-порожденных плоских правых модулей в терминах стабилизации возрастающих цепочек правых идеалов специального вида. Поэтому

Пунинским и Ротмалером в работе 2004 года [52] было предложено называть кольца, над которыми все конечно порожденные плоские модули проективны, правыми ¿-кольцами.

В 1962 году проф. Л.А. Скорняков предложил программу по гомологической классификации колец (см. [21] и [22]), в которой предлагалось охарактеризовать кольца при помощи гомологических свойств категории модулей над ними. Одним из классов таких колец были кольца, над которыми проективны все конечно порожденные правые плоские модули.

Отметим, что остается открытым вопрос о том будет ли всякое правое ¿'-кольцо левым ¿"-кольцом.

С вопросом о проективности конечно порожденных плоских модулей тесно связан следующий вопрос, поставленный в работе 1974 года Д. Лаза-ром [45]: Пусть Рц проективный К-модуль и его фактормодуль по радикалу Доюекобсона Р/РЗ{Я) конечно порожден. Будет ли конечно порожден модуль Р ?

Кольцо Я будем называть (правым) кольцом, если для любого проективного модуля Р выполняется следующее условие: Модуль Р конечно порожден тогда и только тогда, когда конечно порожден фактормодуль Р/Р^Я).

Для полулокальных колец понятие ¿-кольца и 5-кольца совпадают. Ла-заром было доказано, что коммутативные кольца являются //-кольцами. В работе [61] показано, что правые Ь-кольца являются левыми ¿/-кольцами.

В 1984 году в работе Герасимова и Сахаева [2] был построен пример полулокалыюго кольца не являющегося кольцом. Сахаевым в [17] построен пример полулокального кольца, показывающий, что проективность циклических плоских модулей не влечет проективности всех конечно порожденных плоских модулей.

В последнее время наблюдается новый всплеск интереса к ¿'-кольцам. В частности, техника, применяемая в исследовании конечно порожденных плоских модулей, оказалась полезной при исследованиях вопросов выполнимости теорем типа теоремы Крулля-Ремака-Шмидта (см. книгу Факкини [35]).

Цель работы: изучение ¿'-колец, нахождение новых классов колец, являющихся 5-кольцами. Исследование условий при которых групповые кольца являются ¿'-кольцами.

Основные результаты работы.

1. Получен новый критерий полулокальных 5-колец в терминах дуальной размерности Голди.

2. Показано, что групповое кольцо линейно упорядоченной группы над телом является ¿"-кольцом. Как следствие получена стабильная конечность групповых колец локально нильпотентных групп над полупримарными кольцами.

3. Показано, что если групповая алгебра конечно порожденной группы является Р/-кольцом, то она будет и 5-кольцом. Как следствие получена стабильная конечность групповых алгебр, являющихся Р/-кольцами.

Краткое содержание диссертации.

Первая глава диссертации посвящена свойствам колец, над которыми все ^-порожденные правые плоские модули проективны.

В этой главе определяются проективные модули особого вида, введенные в работах проф. И.И. Сахаева, которые тесно связаны с вопросом проективности конечно порожденных плоских модулей. Обсуждается вопрос наследования свойства быть ¿-кольцом факторкольцами.

Вторая глава посвящена изучению модулей, с полулокальным кольцом эндоморфизмов. Получена новый критерий проективности всех конечно порожденных плоских модулей над полулокальным кольцом в терминах дуальной размерности Голди. С помощью этого результата показывается, что существуют проективный модуль Р дуальная размерность Голди которого не совпадает с дуальной размерностью Голди фактормодуля Р/3{Р) по его радикалу Джекобсона.

Третья глава посвящена изучению групповых колец, которые являются ¿'-кольцами. В частности, этот вопрос для групповых колец интересен в связи с одной проблемой Капланского: всякий ли обратимый справа элемент групповой алгебры обратим. В случае поля нулевой характеристики ответ положительный. Для полей простой характеристики проблема остается открытой. В работе получено алгебраическое доказательство проблемы для групповых алгебр локально нильпотетных групп.

Показано, что групповые кольца над полупримарным кольцом линейно упорядоченной группы является 5-кольцом. В частности, показано, что групповые алгебры свободных групп являются 5-кольцами. Исследовался вопрос о проективности конечно порожденных плоских модулях над полулокальной групповой алгеброй. Проведена редукция к полу первичным полулокальным групповым алгебрам.

Теперь перейдем к изложению работы с точными формулировками полученных результатов.

Первая глава состоит из шести параграфов. В параграфе 1.1 приводятся основные соглашения, определения и факты из теории колец и модулей, которые используются в работе. Параграфы 1.2-1.4 посвящены изложению техники, разработанной проф. Сахаевым, для изучения конечно порожденных плоских модулей с помощью проективных модулей типа Р(Ат = Ат+1Ат). В параграфе 1.5 показано, что если / - нильпотентный идеал, то кольцо К - ¿-кольцо тогда и только тогда, когда Я/1 является

5-кольцом.

Теорема 1.5.6 21 - нилыютентный идеал кольца Я, то кольцо Я является п — .Р(2.РР-кольцом тогда и только тогда, когда таковым является кольцо Я/21.

Параграф 1.6 посвящен Ь-кольцам. В нем приведен критерий ¿/-кольца. В параграфе 1.7 показано что полулокальные кольца с инволюцией, удовлетворяющей некоторому дополнительному условию, являются 5-кольцам и. А именно, справедлива следующая

Теорема 1.7.2 Пусть Я полулокальиое кольцо с инволюцией *, Я = Я/./(Я) = ©¿Д, где Д = МпТ{ и 7] тела. Если индуцированная инволюция на факторкольце Я удовлетворяет условию (Д)* = Д, то кольцо Я является й1-кольцом.

Вторая глава состоит из трех параграфов. В первом приведены вспомогательные сведения о дуальной размерности Голди. Результаты этого параграфа по большей части известны и разбросаны по различным статьям. Доказательства приведены для тех утверждений, доказательство которых автору не удалось найти в доступных ему статьях или утверждения были переформулированы в более удобной для дальнейшего изложения форме.

Во-втором параграфе получен новый критерий проективности конечно порожденных плоских модулей для иолулокальных колец.

Лемма 2.2.1 Пусть Р (само-)ироективный левый Я-модуль. Обозначим Б = Нотц{Р,Р) кольцо эндоморфизмов модуля Р, I = Нот7(Р)) идеал кольца Б. Если Б/1 является полулокальным кольцом, то фактор-модуль Р/3{Р) конечно порожден.

Пусть Я - кольцо. Будем обозначать через сосИт (Р) дуальную размерность Голди правого Р-модуля Р.

Теорема 2.2.5. Проективный левый Р-модуль Р, кольцо эндоморфизмов которого полулокально, является конечно порожденным если и только если сосНт (Р) = сосНт (Р/</(Р)).

Следствие 2.2.6. Пусть Я - полулокальное кольцо. Р - проективный правый Р-модуль, такой, что Р/«7(Р) конечно порожден. Тогда Р является конечно порожденным если и только если сосНт (Р) = сосНт (Р/7(Р)).

Теорема 2.2.7. Пусть Я полулокальное кольцо. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) всякий конечно порожденный плоский модуль проективен;

2) для любого проективного модуля Р, такого, что сосНт Р/</(Р)Р < оо, выполнено сосНт Р = сосИт Р/7(Р)Р.

В конце параграфа показано (пример 2.2.9), что для любого целого положительного п можно построить полулокальное кольцо Я, над которым существует проективный Р-модуль Р со свойством сосНт д(Р/</(Р)) = п и сосИт д(Р) ф п.

В параграфе 2.3 обсуждаются вопросы существования плоского накрытия модулей.

Третья глава посвящена изучению вопроса проективности всех конечно порожденных плоских модулей над групповыми алгебрами (под алгеброй всюду понимается алгебра над полем.) Она состоит из четырех параграфов.

В первом параграфе рассматриваются групповые алгебры над линейно упорядоченными группами. Техника позволяет доказать результаты для более широкого класса нежели групповые алгебры, а именно для групповых колец линейно упорядоченных групп над полупримарными кольцами.

Теорема 3.1.6 Пусть R[G] групповое кольцо группы G над полупри-марным кольцом R. Если в G существует линейно упорядочиваемая подгруппа конечного индекса, то является S-кольцом.

Следствие 3.1.7 Пусть G локально свободная группа, R - полупри-марное кольцо, тогда R[G] является 5-кольцом.

Следствие 3.1.8 Пусть G группа, R - полупримарное кольцо. Если G конечно-порожденная почти нильпотентная группа (то есть в G существует нильпотентная подгруппа конечного индекса), то R[G] является S-кольцом.

Кольцо R называется конечным по Дедекинду, если для любых х,у 6 R равенство ху = 1, влечет ух = 1. Кольцо называется стабильно конечным, если для любого п кольцо матриц Rn конечно по Дедекинду.

Следствие 3.1.10 Пусть G нильпотентная группа, R - полупримарное кольцо. Тогда групповое кольцо R[G] является стабильно конечным.

В конце параграфа приведен пример конечно порожденной разрешимой группы G, такой, что групповая алгебра k[G] поля нулевой характеристики над группой G не является S-кольцом.

Параграф 3.2 посвящен групповым Р/-алгебрам. Строение групповых алгебр связано с р-абелевыми группами.

Намомним, что группа G называется р-абелевой, если в ней существует подгруппа конечного индекса Н, коммутант которой - конечная р-группа.

Теорема 3.2.4 Пусть R = k[G] групповая алгебра. Если G конечно порожденная р-абелева группа и характеристика поля = р, то R является ¿"-кольцом.

Теорема 3.2.5 Пусть k[G] групповая Р/-алгебра. Тогда для всякого проективного А;[С]-модуля Р конечная порожденность модуля Р/ РЗ{к[С\) влечет конечную порожденность модуля Р.

В параграфе 3.3 рассматриваются полулокальные групповые алгебры. Пусть &[(?] - групповая алгебра. Рассмотрим группу (относительно умножения) ё = {д + J(k[G})\g Е (3} и гомоморфизм групп в : (7 —>•

Теорема 3.3.2 Пусть к\С\ - полулокальная групповая алгебра группы над полем к. Обозначим через Я = Кег в. Справедливы следующие утверждения.

1) Если характеристика поля к равна р, то Я является р-группой.

2) В случае поля нулевой характеристики группы £ и (2 изоморфны.

Теорема 3.3.3 Если — полулокальная групповая алгебра конечно порожденной группы (7 над алгебраически замкнутым несчетным полем к характеристики р, то в группе (3 существует нормальная р-подгруппа Я конечного индекса, такая что ш{Н)к[С\ С J{k[G\).

Теорема 3.3.4 Если к[С\ полулокальная групповая алгебра группы С? над алгебраически замкнутым несчетным полем к, то любой конечно порожденный плоский £[(7]-модуль проективен.

В параграфе 3.4 показано, что при рассмотрении вопроса о проективности конечно порожденных плоских модулей можно считать, что групповая алгебра полупервична, то есть не содержит нильпотентных идеалов.

Благодарность. Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору И.И. Сахаеву за постановку задачи, постоянное внимание к работе и полезные обсуждения.

1. Бовди A.A. Групповые кольца. Киев: УМК ВО - 1988. - 156 с.

2. Герасимов В.Н., Сахаев И. И. Контрпример к двум гипотезам о проективных и плоских модулях.// Сиб. матем. журн 1984. - Т. XXV. - №6. - С. 31-35.

3. Жучин A.B. О полулокальных полугрупповых кольцах// Фунд. и прикладная математика 1999. - Т. 5. - №1. - С. 139-147.

4. Залесский А.Е., Михалев A.B. Групповые кольца //Итоги науки и техники. Сер. "Современные проблемы математики."Т. 2. М.:ВИНИТИ -1979.- с. 5-118.

5. Мальцев А.И. О включении групповых алгебр в алгебры с делением // ДАН СССР 1948. - Т. 60. - №9. - С. 1499-1501.

6. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. 3-е изд-М.:Наука - 1982.- 288 с.

7. Каш Ф. Модули и кольца. М.:Мир - 1981- 370 с.

8. Кокорин А.И., Копытов В.М. Линейно упорядоченные группы. -М.:Наука 1972 - 200 с

9. Кон П. Свободные кольца и их селзи.-М.:Мир 1975. - 422 с.

10. Курош А.Г. Теория групп 3-е издание - М.:Наука - 1967. - 648 с.

11. Ламбек И. Кольца и модули-М.:Мир 1971. - 280 с.

12. Мерзляков Ю.И. Рациональные группы М.:Наука - 1980. - 464 с.

13. Сахаев И.И., Чирков Ч. В. Проективность конечно порожденных плоских модулей над полулокальным кольцом с единственным примитивным идеалом. // Известия вузов. Математика. 1970. - №6. - С.100.

14. Сахаев И.И. О проективности конечно порожденных плоских модулей //Сиб. мат. журн. 1965. - Т. 6. - С 564-573.

15. Сахаев И.И. О конечной порожденности проективных модулей //Известия вузов. Математика. 1977. - №. 9. - С. 69 - 79.

16. Сахаев И.И. О проективности конечно порожденных плоских модулей над полулокальным кольцами. // Матем. заметки. 1985. - Т.37 -№2 - С.152-161.

17. Сахаев И. И. О группе Kq(AU) для полулокальных колец. //Math. Nachrichten. 1987. - Bd. 130,- 157-175.

18. Сахаев И.И. О поднятии конечной порожденности проективного модуля по модулю его радикала// Матем. заметки. 1991. - Т.49. - №3. - С.97-107.

19. Сахаев И.И. О конечной порожденности проективных модулей над кольцами с полиномиальными тождествами// // Известия вузов. Математика 1993. - №8 (375). - С.65-75.

20. Сахаев И.И. Конечная порожденность проективных модулей над некоторыми кольцами. // Известия вузов. Математика. 1996. - №10 (413). - С.63-75.

21. Скорняков JI.А. Гомологическая классификация колец // Труды IV Всесоюзного математического съезда. Москва 1962 г.

22. Скорняков Л.А. Гомологическая классификация колец // Мат. вестник.- 1967. Т.4. - №4 (19). - С.415-434.

23. Туганбаев А.А. Кольца с дистрибутивной структурой правых идеалов. // Успехи мат. наук. 1986. - Т.41. - №3 (249). - С.203-204.

24. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории. Т.1. М.:Мир - 1977690 с

25. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории. Т.2. М.:Мир - 1979464 с

26. Херстейн И. Некоммутативные кольца М.:Мир - 1972 - 192 с

27. Anderson F.W., Fuller K.R. Rings and Categories of Modules. New York: Springer-Verlag - 1992 - 380 p.

28. Bass H. Finitistic dimension and a homological generalization of semi-primary rings.// Trans. Amer. Math. Soc. -1960. V. 95 - P. 466-488.

29. Beck I. Projective and free modules.// Math. Z. 1972. - Bd. 129. -P. 231-234.

30. Chase S.U. Direct product of modules. // Trans. Amer. Math. Soc. 1960.- V. 97. P. 457-473.

31. P. M. Cohn. Inversive localization in Noetherian rings// Comm. Pure Appl. Math.- 1973.- №26-P. 679-691.

32. Cohn P.M. Free rings and their relations. 2nd ed. - London: Academic Press - 1985. - Vol. 19, L.M.S. Monographs - 590 c.

33. Endo S. On semi-heditary rings. //J. Math. Soc. Japan 1961. - V. 13. -P. 109-119.

34. A. Facchini and D. Herbera. Kq of a semilocal ring// J. Algebra-2000-№225-P. 47-69.

35. Facchini A. Module theory: endomorphism rings and direct sum decomposition in some classes of modules Basel; Boston; Berlin: Birkhauser, 1998. p.285

36. Facchini A., Herbera D., Sakhajev I. Finitely Generated Flat Modules and a Characterisation of Semiperfect Rings// Commun. Algebra -2003 V. 31 - №9 -P. 4195-4214.

37. Facchini A., Herbera D., Sakhajev I. Flat modules and lifting of finitely generated projective modules// Pacific journal of math- 2005. Vol. 220.- №. 1 -P. 49-67

38. P.Grezeszcuk and E.R.Puczylowski. On Goldie and dual Goldie dimension// J. Pure and Applied Algebra. 1984. - V. 31. - P. 47-54.

39. A.Hanna and A.Shamsuddin. Dual Goldie dimension// Rendiconti dell' Istitutio di Mathematica dell' Universita di Trieste 1992. - 24. - №.1-2.- P. 25-38.

40. D.Herbera and A.Shamsuddin. Modules with semi-local endomorphism ring// Proc. American Math. Soc.-1995-V. 123 P. 3593-3600. //Comm. Algebra - 2003. - Vol. 39. - №9. - P.4195-4214

41. Jondrup S. On Finitely generated flat modules. //Math. Scand. 1970. -Vol. 26. - P. 233-240.

42. Jondrup S. On Finitely generated flat modules II. //Math. Scand. 1970.- Vol. 27. P. 105-112.

43. Jondrup S. On Finitely generated flat modules III. //Math. Scand. 1970.- Vol.29. P. 206-210.

44. Jondrup S. Projective flat modules. //Proc. Amer. Math. Soc. 1976. -Vol. 59. - №2. - P. 217-221.

45. Lazard D. Liberie des Gros Modules projective. //J. Algebra. 1974. -31. - P. 434-457.

46. Lazard D. Autor de la platitude. La these de doctoral es sciences// Bull. Soc. Math. France. 1969. - 97. - P. 81-118.

47. Lomp C. On dual Goldie dimension, Diplomarbeit, HHU Düsseldorf (1996)

48. Lomp C. On semilocal modules and rings// Commun. Algebra 1999-Vol. 27.- M -P. 1921-1935.

49. Mount K. Some remarks on Fitting invariants// Pacific J. Math. -1963-V. 13. -P. 1353-1957.

50. Okninski J. Spectrally finite and semilocal group rings. // Commun. Algebra. 1980. - Vol 8. - P. 533-541.

51. Okninski J. Semilocal Skew Group Rings. // Proc. Amer. Math. Soc. -1980. Vol. 80. - №4. - P. 552-554.

52. Puninski G., Rothmaler Ph. When every finitely generated flat modules projective. //J. Algebra. 2004. - Vol. 277. - P. 542-558.

53. Sakhaev I.I. The finite generation of projective modules//Algebra. Proc. Int. Conf. Krasnoyarsk 1993 Gruyter, Berlin 1996 - P. 209-216.

54. B.Sarath and K.Varadarajan. Dual Goldie dimension //// Commun. Algebra. 1979.- Vol. 7,- P. 1885-1899.

55. Takeuchi T. On cofinite-dimensional modules// Hokkaido Math. J 1976. - №5. - P. 1-43.

56. Takeuchi T. Coranks of a quasi-projective module and its endomorphism ring// Glasgow Math. J. 1994. - Vol. 36. -P. 381 - 383.

57. K.Varadarajan. Dual Goldie dimension// Commun. Algebra. -1979. №7. -P. 565-610.

58. Vasconcelos W.V. On finitely generated flat modules. // Trans. Amer. Math. Soc. 1969. - Vol. 138. - P. 505-512.

59. Ware R. Endomorphism rings of projective modules// Trans. American Math. Soc. 1971. - Vol. 155. - P. 233-256 .

60. Woods S.M. On perfect group rings. // Proc. Amer. Math. Soc. 1971. -Vol. 27. - M. - P. 49-52.

61. Zoschinger H. Projektive Moduln mit endlich erzeugten Radikalfaktormodul. // Math. Annalen. 1981. - Bd. 255. - P. 199-206.Публикации автора по теме диссертации

62. Насрутдинов М.Ф. (совм. с Ломп X., Сахаев И.И.) О проективных модулях, кольцо эндоморфизмов которых полулокально // Изв.ВУЗов. Математика 2002. - №8. - С. 23-29.

63. Насрутдинов М.Ф. О полулокальных групповых алгебрах //Мат. заметки 2005. - №3. - С. 409-412.

64. Насрутдинов М.Ф. Стабильная конечность групповых колец //Известия вузов. Математика 2006. - №11. - С. 29-32.

65. Насрутдинов М.Ф. О конечной порожденности проективных модулей // Kurosh algebraic conference'98: Abstract of talks. Москва: мехмат МГУ, 1998, С.194.

66. Насрутдинов М.Ф. Проективность плоских модулей над кольцами с инволюцией// Тезисы докладов 3 Межд. алгебр, конф. в Украине, Сумы. Суми: СумДПУ им. А.С. Макаренко, 2001. -С. 216-217.

67. Насрутдинов М.Ф. (совм. с Ломп X., Сахаев И.И.) On projective modules of finite dual Goldi dimension// Труды мат. центра им. Н.И. Лобачевского. Казань:"Унипресс". 2001. Т. 5. -С. 243.

68. Насрутдинов М.Ф. О конечной пороэюдённости проективных модулей над полулокальными групповыми алгебрами// Труды мат. центра им. Н.И. Лобачевского. Казань:11ДАС". 2001. Т. 12. -С. 45-46.

69. Насрутдинов М.Ф. Проективность конечно порооюденных плоских модулей над групповыми алгебрами// Труды XXIV конф. молодых ученых МГУ им. М.В. Ломоносова. Москва: мехмат МГУ, 2002. -С. 122.

70. Насрутдинов М.Ф. On finitely generated flat modules over group algebras //Межд алгебр конф, посвящ. 75-летию каф. высшей алгебры МГУ Москва:Изд-во мехмата МГУ. 2004 -С. 100.

71. Насрутдинов М.Ф. Полулокальные групповые алгебры// Труды мат. центра им. Н.И. Лобачевского. Казань:изд-во математического общества. 2004. Т. 23. С. 58.