Эндочистые подмодули Абелевых групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

,» а 3 ¿.

московский ордена ленина II ордена трудового красного знамени

педагогический государственный университет

имени В. И. ЛЕНИНА Специализированный совет К 053.01.02

На правах рукописи

ТУРМАНОВ Мадпн Аскарович

ЭНДОЧИСТЫЕ ПОДМОДУЛИ ЛБЕЛЕВЫХ ГРУПП

01.01.00 — «Математическая логика, алгебра н теория чисел»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1991

Работа выполпепа в Томском ордена Октябрьской Революции п ордена Трудового Красного Знаменн государственном университете им. В. В. Куйбышева.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент БЕККЕР II. X.

Официальные онп о центы:

доктор физико-математических наук ТУГАНБАЕВ А. А. кандидат физико-математических паук СЕРДЮКОВА II. А.

Ведущая организация: Институт математики СО АН СССР.

Защита диссертации состоится «....5.....г.

в на заседании специализированного Совета К 053.01.02 по присуждению ученой степени кандидата паук в Московском ордена Лошша и ордена Трудового Красного Знамени педагогическом государственном университете имени В. И. Ленина по адресу: 107140, Москва, ул. 'Краснопрудная, д. 14, ауд....................

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ имени В. И. Ленина (адрес университета: Москва, 119435, Малая Пироговская, 1, МПГУ имени В. И. Ленина).

Автореферат разослан <<...!.?....>>.г.

Ученый секретарь спвщ«ллшзщ<овапного Совета, доцент ( С^Г -Г. А. КАРАСЕВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА PABOTU

,, г Актуальность тема

1959 году П.Кон*^ впервые дал определение чистого подмодуля.'Затем в работах Б.Штенптрема , Д.ФильдхаузаЪ понятие чистого подмодуля было аксиоматизировано и обобщено на категории. Результирующее обобщение понятия чистоты было дано в монографии А.П.Мишиной и Л.А.Скорнякова \ В общей теории чистоты чистота в смысле П.Кона является только частным случаем понятия Г -чистота. Однако чистота в смысле П.Кона интересна тем, что она обладает, в некотором смысле, свойством минимальности среди всех индуктивно замкнутых чистот. Так как для абелевой группы понятие.чистой подгруппы в смысле П.Кона совпадает с понятием сервантной подгруппы, то моино сказать, что источником возникновения понятия чистоты в смысле П.Кона служит понятие сервант-ности, введенное Г.Промером. А отспда, аналогично тому, как в теории абелевых групп изучались сервантная инъективность, сер-вантная проективность, в теории модулей начались исследованця чистых аналогов некоторых классических понятий. Р.Б.Уорфилд-5^ исследовал чисто проективность, чисто инъективность, а также ввел понятие чисто инъективной оболочки модуля. В этой работе показано, в частности, что чисто инъективность совпадает с алгебраической компактность!. Так возникла так называемая "чистая теория модулей". Гомологический подход в чистой теории модулей

1) Cohn P. On the free product of associative rings I // Math. Z.- 1959.- V. 71.- P. 3BO-398.

2) Stenstrom B. Pure submodules // Arkiv Math.- 196?.- ?„

н io.- p. 159-171.

3) Fieldhouse D.I. Pure theories // Math. Ann.- 1969.-V. 184, И I.- P. I-I8.

Мишина А.П., Скорняков З.А. Абелевы группы и модули. - й. Наука, 1969. - 152 с. 5) Varfield Н.В. Purity and algebraic compactness for iaedu-les // Pacif. J. liath.— I9&9.- V. 28.- P. 599-719.

г

был сделан в работе Е.Г.Скляренко^. Ясно, что в чистой теории модулей можно использовать лобус чистоту, однако в современной чистой теории модулей используется, в основном, чистота в смысле П.Кона. Систематической изучение чистых по Кону подмодулей проведено в работах Д.ФильдхаузаЪ, Ж.Саббаха*^. В работах С.К.Росошека , Д.Симсона ' определено чисто полупростое кольцо (.чистота в смысле П.Кона), изучены его свойства и получены гомологические характеризации. Б связи с этим интересна работа

Ф.Гельми , в которой определено чисто полупростое кольцо, но уже в другом - категорном смысле (чистота также в смысле П.Кона), в также изучается категория модулей над таким кольцом. В этой же работе в несколько иной, чем обычно, форме определяется чисто полупростые модули и чисто полупростые категории. Изучение колец, обладавших тем или иным свойством относительно чистоты в смысле П.Кона, посвящены работы многих алгебраистов.

Абелевы группы как модули над кольцами своих эндоморфизмов относительно тех или иных модульных свойств изучались во многих работах по теории абелевых групп. Модули как модули над кольцами своих эндоморфизмов или как модули над кольцами своих биэндо-морфизмов рассматривается почти во всех монографиях по алгебре. В связи с изучением чистых подмодулей модуля как модуля над кольцом своих эндоморфизмов возникает целый ряд вопросов:

1. Для данного R -модуля MR описать все чистые £ -подмодули модуля ЕМ , где E = EndRM.

2. Описать кольца, над которыми всякий правый модуль эндо-чисто полупрост (этот вопрос представляется довольно трудным, хотя бы из-за того, что до сих пор не получено удовлетворительного описания внутренней структуры чисто полупростого кольца).

6) Скляренко Е.Г. Относительная гомологическая алгебра в категории модулей // УМН. - 1978. - Т.ЭЗ.вып.З. - C.85-I20.

7) Sabbagh Q. Bur la purete dans les moduleо // С. г. Acad.eel.-1970.- 271, H 18.- A865-A867.

8) Росоиек С.К.' Чисто пол'упростые кольца н модули // Абелевы группы и модули. - Томск, 1985. - С. 80-87.

9) Blmaon D. Eight pure semlslinple hereditary rings // L.N.H.-I960.- V. 852.- P. 573-578.

10) Heaulme FrancoiB. Uodulee pure-eeei-eloplea // Commun. Algebra.- 1909.- 17, H I.- P. 35-58.

3. Существует ли чистые аналоги многих классических результатов (например, таких как теоремы Жордана-Гельдера-Шрайера, Крулдя-Ремака-Шмидта, лемма Шура и др.).

Вопрос 3 интересно рассмотреть, в частности, для модулей над ограниченным дедекиндовым первичным кольцом в связи с работами Марубояси**' К

Вопросы I и 3 могут быть сформулированы и для абелевых групп, а именно, для абелевой группы можно поставить вопрос об описании всех чистых Е-подмодулей модуля ^ , где Е -кольцо эндоморфизмов группы С . Ввиду необозримости вопроса 3, можно ограничиться, исследованием для модуля ^ чистых аналогов полупростоты и композиционного ряда модуля.

В данной работе используется чистота в смысле П.Кона. Исключение составляет лишь 3.2 главы П1, в котором рассматривается универсальная чистота. Чистота по П.Кону обладает свойством минимальности в том смысле, что если В есть чистый подмодуль модуля А для произвольно фиксированной индуктивно замкнутой чистоты, то В есть чистый и в смысле П.Кона подмодуль модуля А . но обратное не верно. Поэтому всякий раз, когда модуль не обладает некоторым свойством относительно чистоты в смысле П.Кона (например, свойство модуля быть чисто полупростым, см.3.2 главы Ш) возникает естественный вопрос: для какой чистоты модуль этим свойством обладает?

Итак, в дальнейшем будем говорить просто о чистоте, подразумевая под этим чистоту в смысле П.Кона.

Цель работы

1. Изучить чисто артиновы, чисто нётеровы у модули конечной чистой длины над ограниченным дедекиндовым первичны» кольцом.

2. Изучить кольца, над которыми каждый правый модуль как модуль над кольцом биэндоморфизмов чисто вполне приводим.

3. Исследовать эндочисто полупростые абелевы группы в определенных классах абелевых групп.

11) liarubayashi H, Modules over Dedekind bounded prime rings // Osaka J. Hath. - 1972.- V.9.- P. 95-110. .

12) Marubayashi H. Modules over Dedekind bounded prime rings I.IT // Proc. Japan Acad.- 1971.- V. 519-526,

Таким образом, в настоящей работе в качестве исходных алгебраических систем выступают кольца, модули и абелевы группы, а в качестве изучаемых свойств - чисто артиновость, чисто нете-ровость, чисто полупростота и другие чистые аналоги классических понятий.

Научная новизна

1. Описаны чисто простые, чисто артиновы, чисто нетеровы модули и модули конечной чистой длины над ограннченним дедеюш-довим первичным кольцом.

2. Описаны кольца К , над которыми каждый правый й -модуль биэндочисто вполне приводим (т.е. для V М б „Ц^сЫ? модуль ^М чисто вполне приводим, где <5 = В^пЯдМ ).

3. Описаны чистые подмодули модуля ЕСг ( Е = Е(С)), где б пробегает следующие классы абелевых групп: периодические, сепарабельные (без кручения и смешанные), векторные без кручения, почти вполне разлокшмые без кручения, группы без кручения ранга 2, эндопроективные группы без кручения конечного ранга, эндопроективные андоконечные смешанные группы, зНдоиньек-тивные абелевы группы.

Практическая и теоретическая ценность

Результата, полученные в диссертации, имеет теоретическое значение. Утверждения, каеасциеся чисто артпновости и чисто нс-теровости, могут бить применены для изучения модулей над ограниченным дедекиндовык первичный кольцом. Результаты из 1.2 главы I могут бить применены для изучения антнеингулярных колец и колец биэндоморфнзмов модулей.

Разработан подход к изучении чистых подмодулей абелевых групп как модулей над кольцами своих эндоморфизмов. Идея этого подхода базируется иа синтезе свойств сервантных вполне характеристических подгрупп абелевых групп со свойствами колец звдонор- ' фнзиов абелевых групп. Кроме того, при доказательстве чистоты подмодуля еА в модуле ЕС ( Е = Е(0) построен конкретный алгоритм нахождения реиениЯ в подмодуле ЕА конечных систем линейных уравнений над А с коэффициентами из Е , имевшие решения в модуле ЕС . Результаты диссертации, касавшиеся обеле-г вых групп, могут быть применены к изучение некоторых классов отих групп, их колец ондоиорфизно'в, а такие для изучения модуль-пых свойств абелевых групп как модулей над кольцами своих эндо-

норфизмов. В частности, результаты 2.3 главы 2 могут быть использованы при изучении сепарабельных и векторных абелевых групп без кручения как модулей как над кольцами эндоморфизмов, "так и над кольцами биэндонорфизмов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры алгебры МГПИ им. В.ИЛенина (1988 г.), на семинаре по теории колец и модулей Московского госуниверситета им. И.В.Ломоносова (1988 г.), а также неоднократно на заседаниях семинара кафедры алгебры Томского госуниверснтета (1985-1988 г.).

Кроме того, результаты работы были доложены на 19-й Всесоюзной алгебраической конференции (г.Львов, 1987 г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 6 подробных .статьях и в виде тезисов научных конференций. Всего по теме диссертации опубликовано 10 работ.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, указателя обозначений и некоторых определений, трех глав и списка литературы из 57 наименований. Диссертация изложена на 115 страницах машинописного текста.

В главе I изучаются чистые аналоги артиновости, нетеровости и полупростоты. В § I вводятся понятия чисто артинова модуля, чисто нетерова иодуля и модуля конечной чистой длины. Показано, что для чисто артинова и чисто нетерова модулей имеет место чистый аналог такого свойства артинова и нетерова модулей, как обрыв цепей (предложения Ы.'» и 1.1.5). Однако теорема 1.1.7 и теорема 1.1.13 (вместе с теоремами 1.1.8 и 1.1.9) показывают, что над некоторыми кольцами понятия чисто артинова модуля*, чисто нетерова модуля и модуля конечной чистой длины совпадают. Теорема 1.1.7 утверкдает, что для проективного правого Й -модуля над совершенными справа кольцом Й следующие условия эквивалентны:

1. Рд - чисто артинов модуль;

2. Р^ - чисто нетеров модуль;

3. - модуль конечной чистой длины.

Теорема 1.1.13 утверждаем что-для любого правого й -модуля над ограниченным дедекиндовым первичным кольцом р? следу! ~ " вивалеитни:

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

артинов модуль;

б

2. .М^ - чисто нетеров модуль;

3. Mr - модуль конечной чистой длины;

Мй= В ©K®F , где © - конечномерный инъек-тивный периодический R -модуль, К ~ конечнопорожденный периодический R -модуль, р - конечномерный R - модуль без кручения.

Для доказательства теоремы I.I.I3 были доказаны две леммы (лемма I.I.II и лемма I.I.12), которые представляют самостоятельный интерес. Лемма I.I.II утверждает, что если А -модуль без кручения над ограниченным дедекиндовым первичным кольцом R такой, ^что А1 = О , то ,А) ^ HomR(%, А/д) ,

где А = QA3 (где 3 - пробегает все ненулевые идеалы кольца R ), Q - двустороннее классическое кольцо частных кольца R н A-R- адическое пополнение модуля А . Таким образом, лемма I.I.II является обобщением аналогичного утверждения из [7 . Лемма 1,1,12 утверждает, что над ограниченным дедекиндовым первичным кольцом R всякий чистый подмодуль УУд модуля Mr удовлетворяет условию: dim М = dim N + cUm. ( М//^-) , где dun обозначает размерность Голди. Пример I.I.I4 показывает, что чистый аналог теоремы Еордана-Гельдера-Шрайера не имеет места.

В 1.2 вводятся понятия чисто полупростого и чисто вполне приводимого модулей. Эти понятия различны, однако в случае коммутативности основного кольца R показано, что для каждого R -модуля М модуль ЕМ чисто полупрост тогда н только тогда, когда нодуль ЕМ чисто вполне приводим, где Е = ЕгЛдМ (предложение 1.2.2). Затем рассмотрены классы колец 2? и Э£т . Класс SC состоит из тех коммутативных колец, над которыми как-дый модуль эндочисто полупрост, а класс 3£ состоит из тех колец, над которыми какдый правый модуль биэндочлсто вполне приводим. Показано, что класс оС непуст (предложение 1.2.6), а теорема 1.2.10 показывает, что всякий простой R -кодуль над кольцом Re ЗС совпадает со своии рациональным замыканием. Отсюда возникает ыисль рассмотреть антисингулярное кольцо R^ 2! (следствия 1.2.II, 1.2.12*и 1.2.13). Наконец, теорема 1.2.D показывает, что класс 3S* совпадает с классом чисто полупростых справа колец; тем саииц к ддшшоку списку гомологических харак-теризациИ чисто полупростых солец (си. в)) добавляется еце одна эквивалентность (кольцо R чисто полупросто справа <=>

%

для УМ.е»ЦооМ? модуль ¿М чисто вполне приводим, где £ =Вшгс1кМ ).

В главе 2 рассматриваются периодические и без кручения абе- • левы группы как модули над своими кольцами эндоморфизмов и изучается чисто полупростота этих модулей. В 2Л приведены одно необходимое (лемма 2.1.1) и одно достаточное (лемма 2.1.2) условия на подгруппу А группы С? для того, чтобы подмодуль еА чист в модуле Е6 , где Е = Е(С) .Необходимое условие формулируется так: если подмодуль ^А чист в , то А - сервантная вполне характеристическая подгруппа в С и Условие же достаточности таково: если А -сервантная вполне характеристическая подгруппа в Сг , а ф(В)ЛА -О для УсреЕ и для каждой подгруппы В группы С такой, что ВПА = 0 , то подмодуль ЕА чист в модуле ¡г(т . Хотя эти условия близки, приведены примера, показывающие насколько они различны. Примеры 2.1.3 и 2.1.4 показывают, что условие (I): Иот(£/А,А) = 0 и условие (П): ср(В)ПА = О для У<реЕ н для УВ<= О такой, что ВЛА=0, в общем случае., не эквивалентны. Если яе потребовать, чтобы группа О была группой без кручения, то условие.(П) влечет условие (I). Доказательство этого факта составляет содержание примера 2.1.5. После рассмотрения этого примера мояет, 'естественно, возникнуть гипотеза о том, что для группы без кручения С необходимое и достаточное условия чистоты подмодуля еА в модуле ЕС? (Е = £(&)) совпадают. На самом деле это не так - построен подходящий контрпример (см. пример 2.1.6). В то не время предложение 2.1.7 описывает класс групп, для которих эти условия совпадают.

В 2.2 показано, что всякая периодическая абелева группа эн-дочисто полупростая, т.е. рассматриваемый модуль для такой группы чисто полупрост (следствие 2.2.2).

В 2.3 рассмотрен случай абелевых групп без кручения. Следует отметить, что в этой параграфе для произвольной группы С? больпуи роль играет ннолество всех различных типов прямых слагаемых ранга I группы С? , которое иы обозначаем через

Же) .

На иноасстве ийз(С) ■ «окно ввести структуру графа, считая, что два типа , т* образуют ребро ( т,, т2 ),если эти

типы сравнимы. Для сепзрабелыюй группы без кручения О теорс-на 2.3.1 дает критерий, когда подгруппа А группы С является чпст'ин Е -подмодулем модуля е<3 . Следствие 2.3.3 попазипзет,

что модуль чисто прост тогда и только тогда, когда граф

на множестве !э2(0) связний, а следствие 2.3.5 утверядает, что модуль ЕС всегда чисто полупрост ( Е - Е(0 ) . Также для всякой почти вполне разложимой группы без кручения С модуль

чисто полупрост (теорема 2.3.8). Далее показано, что для всякой, векторной группы без кручения модуль ЕС равен прямому произведении своих чисто простых подмодулей. Отсюда модуль для векторной группы без кручения С чисто полупрост тогда и только тогда, когда граф на множестве ЗСС») разбивается на конечное число связных компонент (теорема 2.3.II). Используя полученный критерий чисто полупростоты модуля и строение графа для векторной группы без кручения С? , удалось получить критерий зндопроективности векторной группы без крученип С? . при условии, что множество конечное (теорема 2.3.17). Если О - такая векторная группа без кручения, что иножество £¡2(0) конечное, то модуль ЕС? проектнвеи • тогда и только тогда, когда ъе^}^ е. для каждого кеС4»п,3 , где йс^,..., ~ все связные компоненты графа на множестве . Некоторые леммы, предшествующие теореме 2.3.17 интересны сами по себе. Так, например, лемма 2.3.13 является, в некотором смысле, чистым аналогом леммы Шура. Действительно, для абелевой группы Сё^ ( -класс групп, состоящий из сепарабельних и векторных абелевых групп без кручения), модуль ЕСг обладает следующим свойством: если модуль' чисто прост, то Епс(еС — Яе » Где - подкольцо поля <0, , зависящее от группы С . Следствие 2.3.И дает полное описание кольца Егк1еС для • Лемма 2.3.15 утверядает, что если модуль £ плоский для векторной группы без кручения С , то множество направлено вниз (т.е. для Ут1( Згб$2(0такой, что Г1>ъ>, гг3 ). Теорема 2.3.17 вместе с теоремой 2.3.11 показывают, что при конечном множестве £2(0 для векторной группы без кручения С? из проективности модуля £0 следует чисто полупростота модуля ' ЕС} . Если де бесконечно, то существует векторная группа без кручения О такая, что модуль проективен, но не чисто полупроот. В примере 2Л.Ч построена такая группа, а именно группа С- - .Г^ , где { ^ .- семейство групп без кручения ранга I с попарно несравнимыми идемпотентными типами.

_ Наконец, теорема 2.3.18 показывает; что для жесткой группы Сг

чистота подмодуля ЕА в модуле эквивалентна сервант-

ности подгруппы А в группе Сг •

В 2Л собраны результаты относительно различных классов абе-девых групп без кручения. Для абелевоП группы без кручения ранга 2 получено полное описание строения чистых подмодулей модуля ¡гС • В теореме 2.4.3 дани критерии чисто простоты и чисто полупростоты модуля Е£ для группы без кручения О ранга 2.

ТЕОРЕМА 2.4.3. Пусть (2 - группа без кручения ранга 2, \У/ - множество всех различных типов ее элементов, Е = Е(С) и - сервантние подгруппы ранга I группы О .

1) В случае = 1 модуль чисто прост тогда и только тогда, когда либо (¿¡т^/ОЕ) = 2. , либо = , где

2) В случае 2 модуль Е(~г чисто прост тогда и только тогда, когда либо РЕ = I 1,5 с ($1- , либо (} = [3,© , где Ь(Ъ)<{(Ъ). -1

3) В случае |\Х/|= 3 модуль чисто прост тогда и только тогда, когда группа О- квазиразложима, причем число

такое, что ^с^сС , где отлично от единицы (&Ф1),

>0 Модуль еС, чисто полупрост тогда и только тогда,"когда <3 = р?, Г где £(р2).

5) В остальных случаях модуль обязательно содержит

собственные чистые подиодули, но не является чисто полупростим.

Теорема 2.'1.5 показывает, что модуль ЕС^ чисто полупрост для абелевоП группы без кручения О конечного ранга, проективной над кольцом своих эндоморфизмов. Предложение 2.4.6 дает критерий чисто полупростоты модуля для эндопроектисной эндо-понечно порожденной абелевой группы С без кручения. Предложение 2.'1.7 показывает, что если Ст - абелева группа без кру-чення и модуль ^Ст инъективен, то модуль чисто полупрост.

Глава 3, в основном, посвяиена распространения основных результатов главы 2 на случаи смепашшх абелевых групп. Рассмотрены следувэде классы смегшшых групп: сепараОелыше, зндопроск-тшлше я эндоинъективные.

В 3.1 рассмотрены смешанные сепарабельние абелевы группы. Теорема 3.1,1 является обобцением теоремы 2.3.1 на случай сме-саннцх сепарабёлышх групп. Следствие З.Г.З утверждает: для се-

парабельной группы G (Е = Е(Ог) ) .подмодуль ЕА модуля ЕС является чистим тогда и только тогда, когда А -сервант-ная вполне характеристическая подгруппа группы G и Нош (g/a, а) = О . Таким образом, необходимое условие чистоты (лемма 2.1 Л) в случае сепарабельности группы G становится и достаточным. Теорема 3.1.5 является обобщением теоремы 2.3.5 и утверждает, что для всякой сепарабельной группы G

( Е = £(G) ) модуль ÊG чисто полупрост. Известный интерес представляет собой вопрос о расщепляемости смешанных групп, вообще, и смешанных сепарабельных групп, в частности. Во многих работах, посвященных вопросу расщепляемооти сепарабельных групп так и не дано критерия расщепляемости этих групп. Нет даже удовлетворительного достаточного условия расщепляемости сепарабельных групп. Однако при изучении вопроса о чисто полупростоте сепарабельной группы над кольцом своих эндоморфизмов было получено некоторое достаточное условие расщепляемости такой группы. На основе полученных результатов, следствие 3.1.6 утверждает,что если G - сепарабельная группа с периодической частью Т и Нопг ( G/T «Т ) = О , то группа G расщепляемая.

В 3.2 рассматривается связь чисто полупростоты с проективностью и инъективностью. При рассмотрении этой связи было замечено, что некоторые результаты могут быть обобщены на общий случай произвольного модуля над произвольна кольцом. Так, например, предложение 3.2.1 утверждает, что над любым ассоциативным кольцом R чистый подмодуль плоского R -модуля является плоским R -модулем. Согласно же предложению 3.2.2 над любым ассоциативным кольцом R конечно-порожденный чистый подмодуль проективного R -модуля выделяется прямым слагаемым, а теорема 3.2.3 дает критерий чисто полупростоты конечно-порожденного проективного R -модуля над коммутативным кольцом R . Пример 3.2.5 показывает, что не всякая эндоконечная эндопроективная абелева группа является эндочисто полупростой. Возникает естественный вопрос: для какой чистоты эндопроективность эндоконечной абеле-вой группы влечет ее эндочисто полупростоту? Предложение 3.2.8 говорит о том, что зндопроективная эндоконечная абелева группа является эндочисто полупростой, если под чистотой понимать универсальную чистоту (см. Cil). В предложении,3.2.9 сформулирован критерий эндочисто полупростоты зндоинъективной абелевой группы. Следствие Э.2.10 утверждает, что если для абелевой группы G

модуль Е(? янъективен ( Е = E(G) ), то модуль çG чисто полупрост в точности тогда, когда группа G расцепляемая.

В заклпчение автор выражает благодарность своим учителям И.Х.Беккеру за помочь и внимание к работе и С.К.Росошеку за постановки задач и полезные обсуждения.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Росоиек С.К., Турманов М.А. Модули конечной чистой длины // Абелевы группы и модули. - Томск, 1986. - Ban. б. -С. 102-114.

2. Росошек С.К., 1урианов М.А. Периодические абелевы группы как модули над своими кольцами эндоморфизмов // Абелевн группы и модули. - Томск, 1987. - Вып. 7. - С. 106-109.

3. Турманов М.А. Эндочисто полупростота п эндопроектив-ность сепарабельных и векторных абелевых групп без кручения / Том.ун-т. - Томск, 1988. - 17 с. - Деп. в ВИНИТИ 26.01.88,

6 7D-B88.

Турманов М.А. Эвдочистые подмодули абелевых групп без кручения ранга 2 // Абелевы группы и модули. - Томск, 1990. -вып. 9. - С. II9-I24.

5. Турманов U.A. Сепарабелыше абелевы группы без кручения как модули над сеоикп кольцами эндоморфизмов // Абелевы группы в модули. - Томск, 1989. - вып. 8. - С..128-138.

6. Росопек С.К., Турианов "»А. Вполне разложимые абелевы группы без кручения как модуля над своими кольцами эндоморфизмов // Тез.докладов X Всесооз. симпоз. по теории групп. - Гомель, 1986. - С. 197.

7. Турианов H.A. Вполне разлокшые абелевы группы без кручения эвдоконечной чистой длины // Тез.докладов X Всесооз. снипоз. по теории групп. - Гоиелб, 1986. - С. 233.

8. Турианов М.А. Сепарабельние абелева группы без кручения как модули над своими кольцами эндоморфизмов // Тез.докладов XIX Всесооз. алгебраич. конф. - Львов, 1937. - 4.2. -С. 281.

9. Тур?шнов H.A. Чистота над кольцами эндоморфизмов // Тeï. докладов П Всесооз. сяипоз. по теории колец, алгебр и кодулей. - Львов, 1990.

10. Турманов H.A. Чисто полупростые абелевы группы над кольцами своих эндоморфизмов // Тез.докладов ИеадународноП конф. nô алгебре, посвяцеппой памяти Л.И.Мальцева (1909-1967). - Новосибирск; 1989. ■ -