Сервантные вполне инвариантные подмодули модулей над дедекиндовыми кольцами и сервантные вполне характеристические подгруппы абелевых групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫХ! УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н. И. ЛЕНИНА

Диссертационный Сонет ГС 0".4.(11.02

На правах рукописи

ШАПОШНИКОВ АльПерт Игоревич

сервантные вполне инвариантные

подмодули модулей над дедекпндовымп кольцами и сервантные шюлне характеристические подгруппы а бе левых групп

Специальность 0l.0l.0l) математическая логика, алгеПра и Iспрп.ч чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учешш степени кандидата физпко-мятеыатнчеекпх наук

Москва 1994

Работа выполнена на кафедре алгебры Томского государственного университета имени В. В. Куйбышева.

Научный руководитель:

(Кандидат физико-математических наук, доцент С. К. РОСОШЕК

Официальные оппоненты:

диктор физико-математических паут;, профессор Л. Л. ТУ ГАПБЛЕВ,

кандидат фи;)ш;о-математическнх наук1, доцент Е. II. КОМПЛГЩЕВЛ

Ведущая организация — Институт математики СО ЛИ СССР. '

Защита состоится «/.3......г. п часов

на заседании диссертационного Совета К 053.01.02 по нрнсуж-деишо ученой степени кандидата физико-математических наук л Московском педагогическом университете имени В. И. Ленина по адресу: 107140, г. Москва, ул. Краснопрудная, 14, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться и библиотеке МПГУ.

Автореферат разослан «............»........................199 г.

Ученый сеифетат^псЬортацпошюто Совета, кандидат Днмикр-^ттематичеакпх наук ( Г. А. К АР АС ЕВ

- з -

Актуальность темы. Изучение сервантных вполне характеристических подгрупп (вдетых вполне инвариантных подмодулей) - важная задача теории абелевых груш и модулей. Так, например, при изучении строения линейных операторов конечномерных векторных пространств одним из центральных вопросов является изучение инвариантных подпространств этих операторов. Знание строения сервантных вполне характеристических подгрупп и алгебраических систем, ими образуемых, существенно помогает при изучении как самой группы, так и колец ее эндоморфизмов и квазиэндоморфизмов [1, 2, 3, 4]. После работ [5, 6, 7} изучение сервантных вполне характеристических подгрупп абелевых групп стало особенно интересным. Многие результаты из [8, 9, 10, ИЗ, доказательства неразложимости, сильной неразложимости абелевых групп основаны на изучении сервантных вполне характеристических подгрупп этих групп.

Интерес, который представляет решетка сервантных вполне характеристических подгрупп абелевой группы без кручения при изучении этой группы и ее кольца квазиэндоморфизмов, объясняется тем, что имеется взаимно однозначное соответствие между решеткой сервантных вполне характеристических подгрупп абелевой группы В и решеткой подмодулей делимой оболочки группы в, рассматриваемой как модуль над кольцом квазиэндоморфизмов группы С. Это соответствие замечено еще в работах Рейда, и используется разными авторами. Кроме того, полезные свойства исследуемого класса подгрупп абелевой группы (подмодулей модуля) помогают при изучении других классов подгрупп (подмодулей), поскольку он содержится во многих классах подгрупп (подмодулей). Так, в работах [12, 13], изучая сбалансированные и сильно сбалансированные подгруппы, авторы рассматривают также сер-вантные вполне характеристические подгруппы исследуемых классов абелевых групп.

Вопросы сервантности в категории абелевых групп плодотворно и

разносторонне изучались разными авторами с момента появления этих понятий. Огромное количество фактов и результатов стало благодатной почвой для большого числа обобщений понятия сервантности и для распространения его в теорию модулей. Однако, несмотря на обилие всевозможных результатов, сказать что-либо о решетке или строении сервантных подгрупп абелевой группы удается лишь в частных случаях. Например, в однородной вполне разложимой абелевой группе всякая сервантная подгруппа выделяется прямым слагаемым и, следовательно, тоже является однородной вполне разложимой абелевой группой. Другой путь изучения роли сервантных подгрупп абелевых групп, основанный на том, что всякую абелеву группу можно вложить в качестве сервантной подгруппы, в алгебраически-■ компактную абелеву группу, - изучение классов абелевых; групп, изоморфных сервантным подгруппам абелевых групп, принадлежащих некоторым хорошо изученным классам абелевых групп. Например, .задача изучения групп Батле-ра - сервантных. подгрупп вполне разложимых'абелевых групп конечного ранга - привлекает внимание многих математиков.

Вопросы чистоты в теории модулей затрагивались разными исследователями. Самке близкие к тематике предлагаемой работы - Н4, 15, 16, 171. В этих работах абелевы группы без кручения рассматриваются как модули над своими кольцами эндоморфизмов и, в полученном модуле, изучаются чистые подмодули. Соответствующие подгруппы называются эндочистыми подгруппами. Ясно, что всякая эндочистая • подгруппа абелевой группы без кручения является сервантной вполне характеристической подгруппой, но обратное, вообще говоря, не верно. В указанных работах исследованы вполне разложимые абелевы группы, сепарабельные абелевы группы, группы ранга 2 и другие классы абелевых групп.

Вполне характеристические подгруппы абелевых групп (вполне инвариантные подмодули модулей) менее исследованы, чем сервантные

подгруппы (чистые подмодули). Описание вполне характеристических подгрупп для некоторых классов р-групп подучено в работах Бэра [183, Капланского [33 и других авторов. Эти классы р-групп включает в себя, например, все сепарабельные и все тотально проективные р-груплы. В частности, обобщив понятие последовательности Ульма, Капланский [33 изучает частично упорядоченное множество вполне инвариантных подмодулей вполне транзитивного редуцированного при-марного модуля М над кольцом дискретного нормирования. Впоследствии идеи этой книги стали источником для многих работ по изучению абелевых групп. Некоторые из них используются и в предлагаемой работе.

О сервантных вполне характеристических подгруппах абелевых групп известно немного. Описание сервантных вполне характеристических подгрупп периодических абелевых групп получено еше в 50-60 годах. А именно, сервантная вполне характеристическая подгруппа периодической абелевой группы есть в точности прямая суша ее различных р-компонент или их делимых частей. Этот результат является простым следствием того факта, что редуцированная р-группа не имеет собственных сервантных вполне характеристических подгрупп, вытекающего из результатов Прюфера и Куликова. В работе Фомина [193 дано описание сервантных вполне характеристических подгрупп абелевых групп без кручения конечного ранга. Других значительных продвижений в этом направлении не имеется. Для абелевых групп без кручения это объясняется тем, что сами они исследованы еще недостаточно, а для смешанных абелевых групп усложняется еще и тем, что понятие сервантной оболочки в группах этого.класса не работает. По этой причине до сих пор не было доказано, что сервантные вполне характеристические подгруппы смешанной абелевой группы образуют решетку.

Цель работы. Описать строение сервантных вполне инвариантных

подмодулей сепарабельного модуля без кручения над дедекиндовым кольцом и строение сервантных вполне характеристических подгрупп произвольной абелевой группы; описать класс алгебраических систем, образуемых сервантными вполне инвариантными подмодулями сепара-бельных модулей без кручения над дедекиндовым кольцом и класс алгебраических систем, образуемых сервантными вполне характеристическими подгруппами произвольных абелевых групп.

Методы исследования. В диссертации использованы методы" теории абелевых групп и модулей, методы теории множеств.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Основными результатами работы можно считать следующие:

1) дано структурное описание сервантных вполне инвариантных подмодулей сепарабельных модулей без кручения над дедехиндовыыи кольцами и описан класс решеток, ими образуемых, а также приведен алгоритм нахождения дедекиндова кольца и построения сепарабельного модуля без кручения над ■этим кольцом, решетка сервантных вполне инвариантных подмодулей которого изоморфна заданной решетке из найденного класса;

2) доказано, что во всех абелевых группах сервантные вполне характеристические подгруппы образуют решетки, дано описание строения этих решеток и структурное описание указанных подгрупп.

Практическая ценность. Работа -имеет в основном теоретическое значение. Результаты данной работы могут быть использованы при изучении сепарабельных модулей над дедекиндовыми кольцами и сепарабельных абелевых групп, а также при изучении смешанных абелевых групп и их колец эндоморфизмов. Практический интерес представляют следствия, имеющиеся во всех параграфах, и примеры из второго, третьего и пятого параграфов.

I

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на I международной конференции по алгебре, посвященной памяти А.И.

Мальцева /Новосибирск, 1989 г./, на международной конференции по алгебре, посвященной памяти А.И. Ширшова /Барнаул, 1991/, на III международной конференции по алгебре, посвященной памяти М.И. Кар-гополова /Красноярск, 1993/, на симгозиме "Абелевы группы" /Бийск, 1994/ и неоднократно обсуждались на алгебраических семинарах Томского государственного университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано б работ [20-253-

Структура и объем работы. Диссертация выполнена на 86 печатных листах и состоит из введения и двух глав. Бибилиография содержит 37 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Введение содержит краткий обзор литературы по теме диссертации, обоснование актуальности решаемых в диссертации задач, а также краткое содержание.

Первая глава посвящена изучению сервантных вполне инвариантных подмодулей сепарабельных модулей без кручения над дедекиндовк-ми кольцами. В первом параграфе изучаются сервантные вполне инвариантные подмодули сеиарабельного модуля над произвольным дедекин-довым кольцом. Основные направления исследования таковы:

1) изучить строение сервантных вполне инвариантных подмодулей сепарабельного модуля без кручения над дедекиндовым кольцом;

2) описать класс алгебраических систем, образуемых сервантны-ми вполне инвариантными подмодулями сепарабельных модулей без кручения над дедекиндовым кольцом.

Главное определение данного параграфа: для подмодуля N модуля М через П(И,М) будем обозначать множество типов всех прямых слагаемых ранга 1 модуля м, которые содержатся в модуле N.

Строение сервантных вполне инвариантных подмодулей сепара-

бельного модуля описывают следующие результаты:

Теорема 1.1. Подмодуль N сервантен и вполне инвариантен в модуле М тогда и только тогда, когда £ М(-Ь).

Теорема 1.3. Цусть М - сепарабельный И-модуль, П - некоторое множество типов. Сервантный вполне инвариантный подмодуль N модуля М такой, что П=П(Ы,М) существует тогда и только тогда, когда ПеП(М,М) и выполнено условие:

(«) для всякого зеП(И,М), если то эеП.

На основании теоремы 1.1 положительно решен вопрос о строгой рП-корректности сепарабельного модуля без кручения над дедекиндо-вым кольцом (теорема 1.2).

Изучение решеток сервантных вполне инвариантных подмодулей сепарабельных модулей разделяется на две задачи:

1) описание класса решеток, изоморфных решеткам сервантных вполне инвариантных подмодулей сепарабельных модулей над фиксированным дедекиндовым кольцом;

2) описание класса сепарабельных модулей, имеющих изоморфные решетки сервантных вполне инвариантных подмодулей.

В теоремах 1.10 и 1.11 разрешаются вторая задача и сходный с нею вопрос, представляющие и самостоятельный интерес, - что можно сказать о изоморфных сервантных вполне инвариантных подмодулях сепарабельного модуля, и однозначно ли определяется множеством П(И,М) сервантный вполне инвариантный подмодуль N модуля М?

Теорема 1.10. Пусть м - сепарабельный модуль, N и И' - его сервантные вполне инвариантные подмодули. Следующие условия эквивалентны:

(1) N=N'5

(3) П(М,НИ)(И',М). •

Теорема 1.11. Решетки сервантных вполне инвариантных подмоду-

лей сепарабельных модулей м и к' изоморфны тогда и только тогда, когда П(М,М)£П(М',М').

Критерий представимости некоторой решетки решеткой сервантных вполне инвариантных подмодулей сепарабельного модуля шд фиксированным дедекиндовым кольцом дает следствие 1.12.

Следствие 1.12. Пусть теперь М - некоторая решетка. Лля того, чтобы над некоторым дедекиндовым кольцом 1? существовал сепарабель-ный модуль М такой, что решетка (Н(М) его сервантных вполне инвариантных подмодулей изоморфна М, необходимо и достаточно, чтобы решетка И была решеткой всех верхних конусов частично упорядоченного множества, антиизоморфного подмножеству решетки всех И-типов.

Используя понятие алгебраической решетки, следствие 1.12 можно переформулировать так:

Следствие 1.12'. Сепарабельный модуль М над дедекиндовым кольцом И такой, что решетка его сервантных вполне инвариантных подмодулей изоморфна заданной решетке М, существует тогда и только тогда, когда И - алгебраическая дистрибутивная решетка, а множество ее недостижимых элементов вложимо в решетку всех И-типов.

Подробный разбор алгоритма построения модуля с указанными свойствами и все необходимые доказательства приведены в утверждениях 1.6-1.9.

Заключительная часть первого параграфа посвящена описанию классов сепарабельных модулей над дедекиндовым кольцом, решетки сервантных вполне инвариантных подмодулей которых принадлежат некоторым известным классам решеток. Ниже перечислены наиболее интересные из полученных результатов.

Следствие 1.13. Решетка всех сервантных вполне инвариантных подмодулей сепарабельного модуля над дедекиндовым кольцом является полной дистрибутивной решеткой.

Следующие условия эквивалентны (следствия 1.14-1.18):

- ю -

а) модуль М однородно разложим, а его однородные компоненты имеют несравнимые типы;

б) всякий сервантный вполне инвариантный подмодуль сепара-бельного модуля м выделяется прямым слагаемым, и каждый элемент решетки сервантных вполне инвариантных подмодулей модуля М представим в виде суммы элементов ее конечного подмножества;

в) решетка сервантных вполне инвариантных подмодулей сепара-бельного модуля М является решеткой с дополнениями;

г) решетка сервантных вполне инвариантных подмодулей сепара-бельного модуля М является атомной решеткой, причем атомы решетки образуют частично упорядоченное множество антиизоморфное (и изоморфное) множеству 0(И,М);

д) решетка сервантных вполне инвариантных подмодулей сепара-бельного модуля М является булевой решеткой;

е) решетка сервантных вполне инвариантных подмодулей сепара-бельного модуля М является инъективной решеткой.

Вс втором параграфе речь идет о сервантных вполне инвариантных подмодулях сепарабельного модуля над полулокальным дедекиндо-вым-кольцом. Благодаря тому, что полулокальное дедекиндово кольцо имеет конечное число простых идеалов, найденные в первом параграфе инварианты дают возможность получить полное описание класса решеток сервантных вполне инвариантных подмодулей сепарабельных модулей над фиксированным полулокальным дедекиндовым кольцом. В этом параграфе: -.

1) установлено, что решетка сервантных вполне инвариантных подмодулей сепарабельного модуля над полулокальным дедекиндовым кольцом конечна (лемма 2.3), а также конечно и множество решеток, изоморфных решеткам сервантных вполне инвариантных подмодулей сепарабельных модулей над фиксированным полулокальным дедекиндовым кольцом (лемма 2.4);

- и -

2) построены все решетки, являющиеся рэшетками сервантнш вполне инвариантных подмодулей сепарабельных модулей над полулокальными дедекиндовыми кольцами с двумя (7 решеток, пример 1) и тремя (48 решеток, пример 2) простыми идеалами.

Вторая глава состоит из трех параграфов (§§ 3, 4, 5). В третьем параграфе рассмотрены сервантные вполне характеристические подгруппы смешанной редуцированной абелевой группы. Основные направления исследования такие:

1) описать класс алгебраических систем, образуемых сервантны-ми вполне характеристическими подгруппами смешанной редуцированной абелевой группы;

2) свести исследование сервантных вполне характеристических подгрупп смешанных редуцированных абелевых групп к исследованию подгрупп абелевых групп из более простого класса, а именно, к исследованию подгрупп абелевых групп без кручения.

Вопрос о том, как связаны сервантные вполне характеристические подгруппы смешанной абелевой группы с р-компонентами этой группы, разобран в утверждениях 3.1 - 3.4. Их общий итог выглядит так:

пусть Б - редуцированная абелева группа, Тр - р-компонента периодической части группы в (р - простое число), Н - сервантная вполне характеристическая подгруппа группы С, тогда

а) если рН-Н, то ТрЛН=0;

б) если рН*Н, то Тр£Н;

в) пусть Пб={р; р - простое число, Тр*0). Н является группой без кручения тогда и только тогда, когда Н - Пе-делимая группа;

г) если П(з содержит все простые числа, то в не содержит сервантных вполне характеристических подгрупп, являющихся группами без кручения.

В частности, из а) и б) следует, что случай, когда Трпн*0 и

Тр не содержится в Н невозможен.

Для дальнейшего рассмотрения множества сервантных вполне характеристических подгрупп смешанной абелевой группы введены следующие понятия: классы сервантных вполне характеристических подгрупп, имеющих в факторгруппе по периодической части равные образы при естественном эпиморфизме, назовем Т-классами; инвариантную относительно всех эндоморфизмов, индуцированных эндоморфизмами смешанной редуцированной абелевой группы С, подгруппу Г факторгруппы группы Э по ее периодической части - 9-инвариантвой.

В лемме 3.6 дан критерий принадлежности различных сервантных вполне характеристических подгрупп одному Т-классу. А затем, в теоремах 3.7 и 3.9, описаны Т-классы и множество всех Т-классов смешанной абелевой группы.

Лемма 3.6. Пусть С - смешанная редуцированная абелева группа, {Тр, реП} - р-компоненты периодической части группы Б, Р и Н -собственные сервантные вполне характеристические подгруппы группы С. Подгруппы Р и Н принадлежат одному Т-классу тогда и только тогда, когда для некоторых непересекающихся подмножеств ПР и Пн множества П имеем Р® ® Т =Н® ® Т .

репг р реп„ р

Теорема 3.7. Ведай Т-класс образует дистрибутивную решетку.

Теорема 3.9. Частично упорядоченные множества сервантных Б-инвариантных подгрупп группы С, сервантных вполне характеристических подгрупп группы Б, содержащих периодическую часть группы в, и всех Т-классов являются полными изоморфными решетками.

В теореме 3.5 доказано, что операция пересечения подгрупп определяет инфимум двух элементов в частично упорядоченном множестве сервантных вполне характеристических подгрупп смешанной редуцированной абелевой группы. Существование второй решеточной операции и ее явный вид описаны в утверждениях 3.10 и 3.11.Окончательно, в теореме 3.12, доказано, что частично упорядоченное мно-

жество сервантных вполне характеристических подгрупп смешанной редуцированной абелевой группы образует решетку. Некоторые свойства этой решетки рассмотрены в следствиях 3.13 и 3.14.

Следствие 3.13. Решетка сервантных вполне характеристических подгрупп смешанной редуцированной абелевой группы в замкнута относительно бесконечных суш.

Следствие 3.14. Если решетка сервантных вполне характеристических подгрупп смешанной редуцированной абелевой группы С дистрибутивна, то дистрибутивна и решетка сервантных Б-инвариантных подгрупп группы б/т, где т - периодическая часть группы Б.

В качестве примера (3.15) разобрано строение решетки сервантных вполне характеристических подгрупп смешанной сепарабельной абелевой группы 6.

Делимая часть произвольной абелевой группы, как и периодическая часть, является сервактной вполне характеристической подгруппой. Этот факт служит основой для переноса методов третьего параграфа на нередуцированные абелевы группы, чему и посвящен четвертый параграф. В этом случае, как и в третьем параграфе, множество всех сервантных вполне характеристических подгрупп абелевой группы разбивается на классы и изучаются отдельно эти классы и связи между ними. Поскольку делимая часть всякой абелевой группы выделяется прямым слагаемым, то задача описания алгебраической системы, образуемой упомянутыми выше классами, значительно упрощается. С другой стороны, однородные компоненты делимой части могут быть связаны гомоморфизмами. Это придает исследованию, проведенному в четвертом параграфе, специфику, отличающую его от третьего.

Пусть Б - произвольная абелева группа, Р и Н - ее сервантные вполне характеристические подгруппы, тогда следующие условия эквивалентны (теорема 4.4):

1) образы Р и Н при естественном эпиморфизме группы 6 на ее

фактор-групцу по делимой части совпадают;

2) пусть 6' - произвольная редуцированная часть группы Б, тогда РпС=НпС ;

3) Р®( ® В,Ч)=Н®( ® В, ), где ПР и П„ - непересекающиеся под-

рез Р Р€П„ Р

множества множества Пи{0}, П - множество всех простых чисел, Пр -р-комгонента делимой части, 0о - часть без кручения делимой части.

Это предложение позволяет ввести понятие редуцированно-равных сервантных вполне характеристических подгрупп абелевой группы, для которых получены аналоги теорем предыдущего параграфа. А именно,

Теорема 4.6. Частично упорядоченное множество классов редуцированно-равных сервантных вполне характеристических подгрупп нере-дуцироьанной группы С образует решетку, изоморфную решетке сервантных вполне характеристических подгрупп факторгруппы группы в по ее делимой части. Каждый класс редуцированно-равных подгрупп есть решетка, изоморфная решетке верхних конусов подмножеств счетного

й А

частично упорядоченного множества вида ч\| ///

Следствие 4.7. Частично упорядоченное множество сервантных вполне характеристических подгрупп произвольной абелевой группы образует решетку.

Естественно возникает вопрос о таких полезных свойствах решеток сервантных вполне характеристических подгрупп произвольных абелевых групп, как дистрибутивность или полнота. Следствия 4.8 и 4.9 позволяют ответить на этот вопрос.

Следствие 4.8. Решетка сервантных вполне характеристических подгрупп произвольной абелевой группы дистрибутивна тогда и только тогда, когда дистрибутивна решетка сервантных вполне характеристических подгрупп любой ее максимальной редуцированной подгруппы.

Следствие 4.9. (1) Решетка сервантных вполне характеристических подгрупп произвольной абелевой группы замкнута относительно бесконечных сумм. (2) Решетка сервантных вполне характеристических

подгрупп произвольной абелевой группы полна тогда и только тогда, когда полна решетка сервантных вполне характеристических подгрупп любой ее максимальной редуцированной подгруппы.

Соединение идеи разбиения решетки сервантных вполне характеристических подгрупп абелевой группы на легко описываемые блоки, используемой в третьем и четвертом параграфах, и методов первой главы позволило исследовать сервантные вполне характеристические подгруппы 5-сепарабельных абелевых групп. Этому посвящен пятый параграф второй главы. Все понятия и теоремы этого параграфа проиллюстрированы примерами.

5-типом назовем класс абелевых групп, изоморфных некоторой группе из системы 5. Будем говорить, что 5-тип ¿е1 касается сер-вантной вполне характеристической подгруппы Н абелевой группы Б, если существует прямое слагаемое С группы в, -имеющее З-тип 1 и ненулевое пересечение с Н. Множество 5-типов, касающихся данной подгруппы Н группы Б, будем называть множеством 5-касательных подгруппы Н и обозначать через П(Н,Б). Вместо 0(Б,й) будем чписать 0(0).

Получено следующее описание решетки сервантных вполне характеристических подгрупп 5-сепарабельной абелевой группы Б:

1) частично упорядоченное множество классов З-равных сервантных вполне характеристических подгрупп группы С изоморфно решетке верхних конусов множества 0(6) и потому есть полная дистрибутивная решетка (теорема 5.3);

2) (а) множество всех 5-равных между собой сервантных вполне характеристических подгрупп группы Б образует полурешетку с наибольшим элементом;

(б) если Н^Н^Нз - сервантные вполне характеристические подгруппы группы Б, н1ей2ен3 и подгруппа Н1 5-равна подгруппе Н3, то подгруппа \\2 5-равна подгруппам и Н3;

(в) полурешетка всех S-равных между собой сервантных вполне характеристических подгрупп группы G является решеткой тогда и только тогда, когда во всякой группе из множества S-касательных подгрупп из данной полурешетки имеется наименьшая ненулевая сер-вантная вполне характеристическая подгруппа, в этом случае данная решетка является полной решеткой с наименьшим ненулевым элементом.

Теорема 5.3 описывает решетку сервантных вполне характеристических подгрупп S-сепарабельной абелевой группы с точностью до S-равенства. Последний результат пятого параграфа - следствие 5.8, позволяет определить, когда теорема 5.3 описывает точно решетку сервантных вполне характеристических подгрупп S-сепарабельной абелевой группы. С другой стороны, это следствие дает возможность определить строение групп из системы S, исходя из строения решеток сервантных вполне характеристических подгрупп S-сепарабельных абе-левых групп либо из строения сервантных вполне характеристических подгрупп вполне S-разложимых абелевых групп.

Следствие 5.8. Следующие условия эквивалентны:.

(1) группы полужесткой системы S не имеют собственных сервантных вполне характеристических подгрупп;

(2) решетка сервантных вполне характеристических подгрупп всякой S-сепарабельной группы изоморфна решетке всех верхних конусов множества S-типов S-слагаемых группы G;

(3) всякая сервантная вполне характеристическая подгруппа любой вполне S-разложимой группы G выделяется прямым слагаемым в группе G.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю С.К. Росошеку и И.Х. Беккеру за многочисленные замечания, постоянное внимание и моральную поддержку.

ЛИТЕРАТУРА.

1. Beaumont R.A., Pierce R.S. Torsion free groups of rank two// Mem. Amer. Math. Soc., #38, 1961.

2. Griffith P. Purely indecomposable torsion free groups// Proc. Amer. Math. Soc.. 196?. V. 18. P. 738-742.

3. Kaplansky I. Infinite abelian groups. Univ. of Michigan Press, Ann Arbor, Michigan, 1968.

4. Baer R. Abelian groups without elements of" infinite order// Duke Math. J., 1937. V. 3. P. 68-122.

5. J^nsson B. On direct decomposition of torsion free abelian groups// Math. Scand., 195?. V.5, 230-235.

6. J6nsson B. On direct decomposition of' tcrsion free abelian groups// Math. Scand.. 1959. V.7, 361-371.

?. Reid J.D. On the ring of q.uasi-endomorphisms of torsion free groups// Topics in abelian groups. Chicago, Illinois, 1353. r 51-68.

8. Крылов П.А. Об абелевых группах без кручения, ,1// Абелевы группй и модули. Томск: йзд-во Том. ун-та, 1983. С.40-64.

9. Турманов М.А. Чистота над кольцом эндоморфизмов// Абелевы группы и модули. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1991. Вып. 10. С. 153156.

10. Добрусин Ю.Б. Квазисервантно инъективные абелевы группы без кручения// Абелевы группы и модули. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1980. С. 45-69.

11. Мишина А.П. 0 прямых слагаемых полных прямых сумм абелевых групп без кручения ранга 1// Сиб. Матем. Н., 1962. Т. 3. С. 244-249.

12. Rangaswamy K.M. On strongly balanced subgroups of separable torsion free abelian groups// Lect. Notes in Math., 1983. V. 1006. P. 268-274.

13. Nongxa L.G. Balanced subgroups of finite rank completely decomposable abelian groups// Trans. Amer. Math. Soc., 1987. V. 301. P. 63?-648.

14. Rangaswamy K.M. Separable abelian groups as modules over their endomorphism rings// Proc. Amer. Math. Soc., 1984. V. 91. P. 195-198.

15. Росошек С.К. Турманов М.А. Периодические абелевы группы как модули над своими кольцами эндоморфизмов// Абелевы группы и модули. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1988. Вып. 7. С. 108-109.

16. Турманов М.А. Сепарабельные группы без кручения как модули над своими кольцами эндоморфизмов// Абелевы группы и модули. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1989. Вып. 8. С. 128-138.

17. Турманов М.А. Эндочистые подмодули абелевых групп без кручения ранга 2// Абелевы группы и модули. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1990. Был. 9. С. 119-124.

18. Baer R. Types of elements and characteristic subgroups of abelian groups// Proc. London Math. Soc.. 1935. V. 56. P. 481-514.

19. Фомин А.А. Абелевы группы без кручения ранга з//-Jta*3 сборник, I989J (ЗЙ 119-124#

20. Шапошников А.И. Сервантные вполне характеристические подгруппы S-сепарабельных абелевых групп без кручения// Абелевы группы и модули. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1990. Вып. 9. С. 131-135.

21. Шапошников А.И. Сервантные вполне характеристические подгруппы S-сепарабельных абелевых групп без кручения// Международная конференция по алгебре, посвященная памяти А.И. Мальцева. Тезисы докладов. Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1989. С. 138.

22. Шапошников А.Н. Чистке Еполне инвариантные подмодули модулей без кручения над дедекиндошми кольцами// VI симпозиум по теории колец, алгебр и модулей. Тезисы сообщений. Львов: Львовский госуниверситет им И.Я. Франко, ШШ АН УССР, 1990. С. 148.

23. Шапошников А.И. О pii-корректности збелевнх групп// Международная конференция по алгебре, посЕжденная памяти А.И. Ширшова. Тэзисы докладов. Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1991. С. 132.

24. Шапошников А.И. Решетка сервантных вполне инвариантных подмодулей сепарзбелъных модулей над дедекивдовнми кольцами// III Мездународазя конференция по алгебре, посвященная памяти М.И. Кзргсполова. Тезисы докладов. Красноярск: Инопроф, 1993. С. 363364.

25. Шапошников А,И. Решетки сервантных вполне характеристических подгрупп абедешк групп без кручения// Симпозиум Абелева группы. Тезисы выступлений участников. Бийск: НИЦ ЕиГПИ, 1994. С. 37-39.