Кольца квазиэндоморфизмов абелевых групп без кручения ранга 3 тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

о*

На правах рукописи

ЧЕРЕДНИКОВА Алла Викторовна

КОЛЬЦА КВАЗИЭНДОМОРФИЗМОВ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП БЕЗ КРУЧЕНИЯ РАНГА 3

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1998

Работа выполнена в Московском педагогическом государственном университете на кафедре алгебры.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор ФОМИН A.A.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор МИХАЛЕВ A.B.

доктор физико-математических наук, профессор ТУГАИБАЕВ A.A.

Ведущая организация - Нижегородский государственный педагогический университет.

Защита состоится " 8 "¿гзег^уаеа^г 1999 года в часов на заседании диссертационного Совета К 053.01.02 в Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИГУ по адресу: 119435, Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1, МПГУ.

Автореферат разослан " 1998 года.

Ученый секретарь диссертационного Совета

КАРАСЕВ Г.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Одним из наиболее интересных направлений современных исследований в классе абелевых групп без кручения конечного ранга являются кольца квазиэндомэр-физмов. Кольца квазиэндоморфизмов были введены в рассмотрение в 1961 г. Р. Бьюмонтом и Р. Пирсом в совместной работе [23] . В этой же работе Р. Бьюмонтом и Р. Пирсом указаны все алгебры над полем рациональных чисел, являющиеся алгебрами квазиэндоморфизмов групп без кручения ранга 2.

В 1963 г. Дж. Рейдом [30] было доказано существование взаимно-однозначного соответствия менду сервантными вполне характеристическими подгруппами группы С- без кручения конечного ранга и с (G-) -подмодулями делимой оболочки группы . Большую роль в исследованиях Дж. Рейда играет псевдоцоколь Soc С- группы 0- без кручения конечного ранга (сервантная подгруппа, порожденная всем минимальными сервантными вполне характеристическими подгруппами группы). Подобный подход оказался очень плодотворным для изучения групп без кручения конечного ранга и их колец эндоморфизмов, потому что кольца квазиэндоморфизмов этих групп являются артиновыми справа. Так, например, развивая идеи теории квазиразложений, П.А. Крылов установил глубокие связи между свойствами группы & без кручения конечного ранга и свойствами ее колец Е((г),£(.й ИЗ] , L 4 3 .

Все вышесказанное позволяет считать задачу классификаций колец квазиэндоморфизмов абелевых групп без 1фучения ранга 3 актуальной.

Методы исследования. В работе используются методы и идеи теории абелевых групп, теории колец и модулей, методы линейной алгебры.

Цель диссертационного исследования. Получить полную классификацию колец квазиэндоморфизмов абелевых групп без кручения ранга 3.

Новизна результатов. »

1. Получено описание колец квазиэндоморфизмов почти вполне разложимых групп без кручения ранга 3.

1. Получено описание колец квазиэндоморфизмов групп без кручения ранга 3, разложимых-в квазипрямую сумму группы ранга 1 и сильно неразложимой группы ранга 2.

3. Получена классификация колец квазиэндоморфизмов сильно неразложимых абелевых групп без кручения ранга 3.

Все результаты работы являются новыми.

Теоретическое и практическое значение. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в научных исследованиях по теории абелевых групп в МИГУ, в Томском университете, а также в алгебраических центрах, в которых ведутся исследования, широко использующие теорию абелевых групп.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на ПТ Международной конференции по алгебре памяти М.И. Каргополова в Красноярске в 1993 г., на симпозиуме

по абелевым грушам, посвященном 80-летию Л.Я. Куликова в Бийске в 1994 г., а также неоднократно обсуждались на научно-исследовательском семинаре кафедры алгебры в МПГУ им. В.И. Ленина.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 3 статьях и 2 тезисах докладов. Их список приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, 8 параграфов и списка литературы из 32 наименований. Диссертация содержит 71 страницу машинописного текста.

ОБЗОР И СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дан исторический обзор, обосновывающий актуальность темы исследования, кратко изложено содержание диссертации.

Первая глава посвящается описанию колец квазиэндоморфизмов почти вполне разложимых групп без кручения ранга 3. Глава состоит из трех параграфов.

Первый параграф носит подготовительный характер. В нем приводятся необходимые сведения теории квазиразложений абелевых групя без кручения.

Во втором параграфе рассматривается матричное представление колец квазиэндоморфизмов вполне разложимых групп без кручения ранга 3.

В третьем параграфе доказывается следующая теорема , которая указывает, что с точностью до изоморфизма или

антиизоморфизма существует семь алгебр над полем рациональных чисел ® , являющихся алгебрами квазиэндоморфизмов почти вполне разложимых групп без кручения ранга 3.

ТЕОРЕМА. 1.3.3. Пусть Б- почти вполне разложимая группа без кручения ранга 3 и С- « К , где

и Аггл1(Я.г') = ■{ для каждого I . Кольцо К реализуется в качестве алгебры квазиэндоморфизмов почти вполне разложимой группы С- без кручения ранга 3, К е £ (Е-) , тогда и только тогда, когда К изоморфно или антиизомор-фно одной из следующих алгебр:

(Ц3 = (Д ф [Ц Ф щ *

¿с о о л о % о

О О 2

л., и, 2 е

¿> о \\

и. % О 1 е

О О 2/1

¿х. гг О и у* о О О X

¿с.

у , г , и, гт в

Ь«- Щ о ^ о Цлф*. 1Ц-,

Т3(Ф)

¿СОР гг 2

¿с

Щ

¿с о о

\ тх се ъ.

± /г Щ ,

При этом

1) К е Щ3 <=г> типы квазислагаемых группы & в разложении (1) попарно несравнимы;

2) к ~ А^ тип одного квазислагаемого группы (г в разложении (1) строго меньше типа другого квазислагаемого, а тип третьего квазислагаемого несравним с остальными;

3) К — А типы двух квазислагаемых группы Св разложении (I1) равны и несравнимы с типом третьего квазислагаемого;

К - типы двух квазислагаемых группы С-

в разложении (1) строго меньше типа третьего квазислагаемого и несравнимы между собой;

5) К антиизоморфно £>5- <==> типы двух квазислагаемых группы Б- в разложении (1) строго больше типа третьего квазнслагаемого и несравнимы между собой;

6) К ® Т3 (50 тип одного квазислагаемого группы в разложении (1) строго меньше типа другого квазислагаемого, тип которого строго меньше типа третьего квазислагаемого;

7) К - А у <==г> типы двух квазислагаемых группы С-

в разложении (1) равны и строго больше типа третьего квазислагаемого;

в) К антнизоморфно А ? <=г> типы двух квазислагаемых группы & в разложении (1) равны и строго меньше типа третьего квазислагаемого;

9) К = 1\/1 з (¡Ц.") <:==> типы всех квазислагаемых группы 1} в разложении (1) равны.

Доказательство теоремы сводится к нахождению кольца квазиэндоморфизмов £ (А.*) вполне разложимой группы к без кручения ранга 3, так как £ (Б-) Щ £23] . Для вычисления 2(X!) используются вспомогательная лемма второго параграфа, а также условие, накладываемое на типы квазислагаемых {Ц и ^ ранга 1 в разложении (1) , при котором | Нот (К , Я £ ^ ф 0 .

Далее в этом же параграфе рассматриваются критерий классической полупростоты кольца квазиэндоморфизмов почти вполне разложимой группы 0- без кручения ранга 3 (следствие 1.3.4) и критерий совпадения почти вполне разложимой группы & без кручения ранга 3 со своим псевдоцоколем (следствие 1.3.5) .

Во второй главе дается описание колец квазиэндоморфизмов групп без кручения ранга 3, разложимых в квазипрямую сумму группы ранга 1 и сильно неразложимой группы ранга 2. Глава состоит из двух параграфов.

В первом параграфе доказывается, что кольцо квазиэндоморфизмов группы без кручения ранга 3, разложимой в прямую сумму группы ранга 1 и сильно неразложимой группы

ранга 2, изоморфно подалгебре полной матричной алгебры

МзКИ.

Второй параграф содержит следующую теорему ][.2.3, которая указывает, что с точностью до изоморфизма или антиизоморфизма существует восемь алгебр и две серии алгебр над полем рациональных чисел, которые являются алгебрами квазиэндоморфизмов групп без кручения ранга 3, разложимых в квазипрямую сумму группы ранга 1 и сильно неразложимой группы ранга 2.

Далее через ¿Ш обозначается тип группы С- без кручения ранга 1, через 1Т(0 и ОТ Ш - соответственно внутренний и внешний типы группы С- без кручения конечного ранга.

ТВОРША 1.2.3. Пусть С- = А. © Ь . где К - группа без кручения ранга 1, а Ь - сильно неразложимая группа без кручения ранга 2. Положим ¿(А) = , П(Ь) = 2|, 0Т(Ь) = 2-3 . Кольцо К реализуется в качестве алгебры квазиэндоморфизмов группы & , К ^ <5 (, тогда и только тогда, когда К изоморфно или антиизоморфно одной из следующих алгебр:

А, =

И

^.

г е

J3Z О О \

{ « Vf 2

1Л о

-

Dji «

A/r =

¿zoo

, s ^0

\ O O ¡I

y

-£E O o

гг f o

" ° f

л o o

* f *

o o f

■se u) o\ гг f oí

y,, г в IB £ 0)

¿e, , г , ¿J- di

Г

o O 2

/

¿c. O O K\ ¿5 7t Ifí t

^00 92

¿C- O

гг у, г И .¿c O O

<f

При этом

1) К изоморфно одному из колец , С ,

2) К

антнизоморфно одному из колец Е^, С5 ,

3) К

изоморфно одному из колец , Ь^ вы-

полняется одно из следующих условий:

а) 2г, меньше либо равен и несравним с 2гг , и существует однозначно определенная сервантная подгруппа

С ранга 1 группы Ь такая, что ¿(1) ;

б) < 2-3 и существует однозначно определенная сервантная подгруппа С ранга 1 группы Ь такая, что ¿(С) ^ , но не существует сервантная подгруппа Ь ранга 1 группы Ь такая, что й ;

4) К антнизоморфно одному из колец £3 выполняется одно из следующих условий:

а-) 2-} больше либо равен 2г£ и несравним с 2| , и существует однозначно определенная сервантная подгруппа Ь ранга 1 группы Ь такая, что ¿(В>/Ь) ;

б) 2"*г и существует однозначно

определенная сервантная подгруппа Ь ранга 1 группы Ь , такая, что ¿"(Ь/Ь) , но не существует сервантная

подгруппа С ранга 1 группы Ь такая, что ¿(С) ^ ;

5^) К изоморфно одному из колец А5, С) 2~г < и существуют однозначно определенные

сервантные подгруппы С и Ь ранга 1 группы Ь такие, что ¿(Ь/Ь") ;

6} К изоморфно одному из колец Ай, А5 выполняется одно из следующих условий:

а) 2г.< несравним с и 2^ ;

б) меньше либо равен 2^ и несравним с , и не существует сервантная подгруппа С ранга 1 группы Ь такая, что (С ) ^ ^ ;

в) больше либо равен 2?а и несравним с 2Г3 , и не существует сервантная подгруппа ранга 1 группы Ь такая, что Ь (Ь / в ) « 2} ;

г) ^ < г^ и не существуют сервантные подгруппы С и В ранга 1 группы Ь такие, что

¿(Ь/М « « ¿- (С).

Доказательстю теоремы сводится к нахоадению кольца квазиэндоморфизмов £ ( к © Ь^ . Для вычисления <5 (к©Ъ) используются вспомогательная лемма первого параграфа, описание колец квазиэндоморфизмов сильно неразложимой группы ранга 2 £21, теорема 3.3 3 . а также условия, накладываемые на типы , и 2~а , при которых Нот(А.Ь) или

(11 Нот (&> , А.1) отличны от нуля и имеют ранг 1 или 2 [31] , 116, лемма 5.13 .

Третья глава посвящена классификации колец квазиэндоморфизмов сильно неразложимых абелевых групп без кручения ранга 3. Глава состоит из трех параграфов.

В первом параграфе рассматриваются кольца квазиэндоморфизмов сильно неразложимых абелевых групп без кручения ранга 3, совпадающих со своими псевдоцоколями.

Доказывается .

ТЕОРЕМА W.1.3. Пусть С- - сильно неразложимая абе-лева группа без кручения ранга 3. = Soc G- тогда и только тогда, когда кольцо квазиэндоморфи змов <5 (£-) группы & является алгеброй над ОД размерности 1 или 3.

При этом

l) £ (£-) = ЭД <—> С- содержит вполне характеристическую подгруппу ранга 1;

2^ сЕ ( С-) - поле алгебраических чисел степени 3 <==> G- неприводима.

Доказательство основано на следующей теореме.

ТВЭРША А С 4 3 . Пусть £ - группа без кручения конечного ранга. Следующие условия эквивалентны:

l) 2 ( СЛ - тело;

2^ G- = Soc t- и группа Ç- сильно неразложима;

3) ¿к-™^ = ¿¡¿гл.%. Р , где Р - некоторая

( равносильно любая) минимальная сервантная вполне характеристическая подгруппа группы £ .

Более того, легко видеть, что теорема Ш.1.3 справедлива для сильно неразложимых абелевых групп без кручения произвольного ранга р , где р - простое число.

В этом же параграфе доказывается, что каждое поле алгебраических чисел степени 3 над полем рациональных чисел реализуется в качестве алгебры квазиэндоморфизмов сильно неразложимой абелевой группы без кручения ранга 3. При доказательстве используются результаты Р. Бьюмонта и Р. Пирса [24, теорема 8.4 3 Д2ЭЗ .

Во втором параграфе рассматривается матричное представление колец квазиэндоморфизмов сильно неразложимых групп

без кручения ранга 3.

В третьем параграфе дается классификация колец квазиэндоморфизмов сильно неразложимых абелевых групп без кручения ранга 3.

Доказывается

ТЕОРЕМА Ш.3.1. Пусть t- - сильно неразложимая абелева группа без кручения ранга 3 и Soc С- Ф С- . Тогда алгебра квазиэндоморфизмов группы £ изоморфна одной из следующих алгебр:

¿с. о 2

= И О уХ О ]| л, Z £ ОД О Р ¿с.

JU«-

¿с Ц £ О О П ¿с, ff } Z £ \ О О ¿с

m

¿с U- £

О ^ ty 01 (Д ?

О О

t*-

¿с lj, Z

О ^ £ Ц , ^ , * , * * (Ц |

о о л

При доказательстве используются методы и идеи теории абелевых групп и теории колец.

Далее в теореме III .3.2 рассматривается реализация всех колец, указанных в теореме ||(.3.1, в качестве колец квази-

эндоморфизмов сильно неразложимых групп без кручения ранга 3, отличных от своих псевдоцоколей. При доказательстве используются методы теории абелевых групп и линейной алгебры.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1979.

2. Каш Ф. Модули и кольца. М.: Мир, 1981.

3. Крылов П.А. Радикалы колец эндоморфизмов абелевых групп без кручения // Матем. сб. 1974. Т.95. № 10. С. 214 - 228.

4. Крылов П.А. Абелевы группы без кручения и их кольца эндоморфизмов // Изв. вузов. Матем. 1979. № 11.

С. 26 - 33.

о. Куликов Л.Я. Обобщенные примарные группы // Тр. Моск. матем. общ-ва. 1952. Т.1. С. 247 - 326.

6. Куликов Л.Я. Обобщенные примарные группы // Тр. Моск. матем. общ-ва. 1953. Т.2. С. 85 - 167.

7. Курош А.Г. Теория групп. П.: Наука, 1967.

8. Курош А.Г. ^¿¿тШье ¿¿^¿ол. ^ге^е ^е Въирр&л. >-от &ги±&сА&п Н ¿2па. с^ .

V. 38. Р. ¿03.

9. Маклейн С. Гомология. М.: Мир, 1966.

10. Мальцев А.й. Абелевы группы конечного ранга без кручения // Матем. сб. 1938. Т.4. С. 45 - 68.

11. Пирс Р. Ассоциативные алгебры. М.: Мир, 1986.

12. Донтрягин A.C. ТДе- ¿g.

comma ±ati*L ^геир&ЦОпл. ej ПЫА. 1334У. 35.Р.ЗБ-i- 3SE.

13. Фомин A.A. Абелевы группы без кручения ранга 3 // Матем. сб. 1989. Т.180. № 9. С. 1155 - 1170.

14. Фомин A.A. Абелевы группы без кручения конечного ранга с точностью до квазиизоморфизма // Международн. конф. по алгебре. 1989. Новосибирск. С. 128.

15. Фомин A.A. Tie г^. fl&rnorrlGZph-L&mZ o^ i^i&LcrL ^aae ¿зггэирз ßüz¿is ¿¿zsz-ßi H

ü. fTLi£'се*-. n^irc^siSi^&L. -/3 23 \ Aosubesnp. /93&. a. /71. S.

16. Фомин A.A. Абелевы группы с одним 2г -адическим соотношением // Алгебра и логика. 1989. Т.28. № 1. С. 83 - 104.

17. Фомин A.A. Абелевы группы без кручения конечного ранга с точностью до квазиизоморфизма. Дисс. ... д. ф.—гл. н. МИГУ: М., 1992.

18. Фригер М.Д. О жестких кольцах без кручения // Сиб. матем. ж. 1986. Т.27. № 3. С. 217 - 219.

19. Фукс 1. Бесконечные абелевы группы. Т.1. й.: Мир, 1974; Т.2. М.: ¿top, 1977.

20. Яковлев A.B. К проблеме классификации абелевых групп без кручения конечного ранга // Зап. науч. семинара Ленингр. отд. Матем. ин-та АН СССР. 1976. Т.57. С.171-175.

21. thnc&L D.ГЛ. ^¿яНе £tzn.k i&bSL&a ¿zße&Jzsi

¿zjicL hlwgs. Jffrt/täe ¿я JlZaMi. V. ЗА А.

22. R. ¿2£>£>£¿£ul

put* //Ou.b= ¡ihzík.j. -jsá?.ч.з. Р. ъг - isa.

23. Ъе^гат&лЬ £1. ZZ., ñ^s^^ R.. S. Т^глг f^*^ s ¿f ¿¿ink // Шт. ¿Zms^.mzífL.Zoc. J3&1 .

V. 38. P.

24. be¿zurru?n.£ Л. ¿2., Я. S. ТЬг^г.'^/г.^ьее //

J. mzíh. В. р. &1-&Я.

25. Ьае/г/г^ S., H. С. ètnçs, ire¿¿&é. spezc&s ¿zszaL ¿stvs/szrz

^.j&fbdvn. rn¿2ífL, -/SÉS.YJO. p. n¿ - ПТ. ПШЛ.. Söe. -Í3B3.4. -fa. Р. Б8? -МО.

27. D. ¿¿Seè /^zsse ляг £LS¿s£sc.fíe/г

feí^íjaee //Рги=. ¡Tbzéfi. Scc. V.43.P.430-SD6.

23. J¿>n£££>SZ. fc>. oU^scJ: d£C£?rnpC&¿¿¿Dn& ÍD¿jS¿C>n fzee ггЗе£й2л. j>£¿>ups II Tïia±L. 1957 .4. S.

P. ¿30 - ess-, -Í3S3. V. P.

29. Ргк^ле Я. S. S^ÂèZ^-s ¿^Г &¿s->zp£z Ä^ÄSüäs // niíchífszn. nicLth.J. tSBO.V.Ï J.âH - £43 .

30. &s¿¿¿ D. ifiG á¿rz¿j>s ¿jf- /£¿¿¿2&¿¿s/z¿¿iz>rnc>zpfi¿srri г^- J/ г/г ¿Léé-J^^n. fr^su^os . . P . ¿V .

31. ÜXtZí^eJ&L Я. oWÄ^i

!/ JTlaUfL. z . .

V. YO?. P. -Í3.9 -¿DO.

32. hscci J.b. Qz - iocsi&si

¿2£e£c^2SL H ¿2пъе£. /Ttelk. Szac . 13&S. . V. -ГЗ. P. SSO - .

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА Ш TEväE ДИССЕРТАЦИИ

1. Чередникова A.B. Кольца квазиэндоморфизмов квазиразложимых абелевых групп без кручения ранга 3 // Междунар. конф. по алгебре. Тезисы докладов. Красноярск: ИНОПРОФ,

1993. С. 357 - 358.

2. Чередникова A.B. Кольца квазиэндоморфизмов'сильно неразложимых абелевых групп без кручения ранга 3 // Сими, по абелевым группам. Тезисы выступлений. Бийск: НИЦ БГШ,

1994. С. 30 - 32.

3. Чередникова A.B. Кольца квазиэндоморфизмов абелевых почти вполне разложимых групп без кручения ранга 3 // Абелевы группы и модули. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1996. Вып. 13, 14. С. 237 - 242.

4. Чередникова A.B. Кольца квазиэндоморфизмов квазиразложимых абелевых групп без кручения ранга 3 // Абелевы группы и модули. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1996.

Вып. 13, 14. С. 224 - 236.

5. Чередникова A.B. Кольца квазиэндоморфизмов сильно неразложимых абелевых групп без кручения ранга 3 // Матем. заметки. Т.63. Вып. 5. 1993. С. 763 - 773.



мосшвс:

1ЩАГОГШЕСШЕ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. В.И.Женима

На нравах рукописи

ЧЕРВДНЙЕЗЭВА Алла Викторовна

КОЛЬЦА КВАЗЙЭНДОМОРШЗШВ АБЕЛЕВЫХ ГРУШ БЕЗ КРУЧЕНИЯ РАНГА 3

Специальность: 01.01.06. Математическая логика, алгебра

и теория чисел

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор МИН А.А.

Москва 1998

ООДЕРЗШШЕ

стр.

Введение............................................... .2 - 6

Обозначения и некоторне определения.....................7 -11

Глава Т. Кольца квазиэндоморфизмов абелевых почти

вполне разложимых груш без кручения ранга 3............12-21

§ 1. Предварительные сведения...........................12-15

§ 2. Матричное представление колец квазиэндоморфизмов

вполне разложимых групп без кручения ранга 3............15-17

§ 3. Кольца квазиэндоморфизмов аб елевых почти вполне

разложимых групп без кручения ранга 3................... 17-21

Глава ]1. Кольца квазиэндоморфизмов квазиразложшшх

абелевых групп без кручения ранга 3.....................22-43

§ 1. Матричное представление колец квазиэндоморфизмов

квазиразложимых групп без кручения ранга 3..............22-24

§2. Кольца квазиэндоморфизмов квазиразложимых групп

без кручения ранга 3................................... .24-43

Глава JL Кольца квазиэндоморфизмов сильно неразложимых

абелевых групп без кручения ранга 3.....................44-68

§ 1. Кольца квазиэндоморфизмов сильно неразложимых абелевых групп без кручения ранга 3, совпадающих со

своими псевдоцоколями...................................44-47

§ 2. Матричное представление колец квазиэндоморфизмов

сильно неразложимых групп без кручения ранга 3..........47-48

§ 3. Кольца квазиэндоморфизмов сильно неразложимых абелевых групп без кручения ранга 3, отличных от своих

псевдоцоколей...........................................48-68

Список литературы...................................... .68-71

Введение

До 30-х годов фактически ничего не бшю известно об абеле-вых группах без кручения» исключая конечно поровденные группы. Работы Л.О.Понтрягина 1121 , Р.Бэра [223 и описания абелевых груш без кручения конечного ранга, полученные в 30-х годах А.Г.Курошем [7, 8 3, ^.Мальцевым [101 и Д.Дэрри [273 , а также работы 1.Я.Куликова [9, 63 стаям основой групп без кручения. В последние десятилетия е в теорию абелевых групп модульных, гомологических» топологических, теоретико-категорных и теоретико-множественных идей и методов стали интенсивно изучаться различные классы абелевых груш без кручения. Причем наибольшее число приходится на группы без кручения конечного ранга.

В 1976 г. А.В^ковжев 1203 показал, что задача щи абелевых групп без кручения конечного ранга является "дикой" в том смысле, что она содержит в качестве подзадачи тестовую задачу о паре матриц. Это означает» что классификация групп без кручения конечного ранга очень сложна и

1а пути решения проблемы классификации груш без кручения конечного ранга Б.Йонсон [283 в 1959 г. ввел понятия квазиизоморфизма и квазигомоморфизма. Так возникла категория квазигомоморфизмов абелевых груш без кручения конечного ранга, объектами которой является эти самые группы, а морфизмами -квазигомоморфизда. Б.Йонсон £283 доказал, что в этой категории любой объект однозначно раскладывается в прямую сумму неразложимых объектов, которые называются сильно неразложимыми

группами, то есть в

категорий имеет место теорема

Чуть позже Р.Бьюмонт ж Р.Пирс в отказавши©!» от принципа физма в пользу принципа

стать® £23] , с точностью до изомор-с точностью до квази-

дали удовлетворительное описание абелевых групп без крученая ранга 2 с точностью до квазиизоморфизма. Эта работа послужила началом серьезных исследований абелевых групп без кручения ранга 2.

Описание с точностью до квазиизоморфизма абелевых груш без кручения ранга 3 было получено А.А,Фоминым в 1989 г. [133. Вскоре С143 удаюсь распространить этот результат на абелевы группы без кручения произвольного конечного ранга.

Одним из наиболее интересных направлений современных исследований в класс© абелевых групп без кручения конечного ранга являются кольца квазиэндоморфизмов. Кольца квазиэндо-¡р введены в рассмотрение в 1961 г. Бьюмонтом и в совместной работе [ 22 3 . В этой же работе Бьюмонтом ж Пирсом указаны все алгебры над полем рациональных чисел, являющиеся алгебрами квазиэндоморфизмов груш без кручения ранга 2, а также поставлен вопрос, всегда ли существует группа без кручения с предписанным кольцом квазиэндоморфизмов. Корнер в [ 263 получил утвердительный ответ для рациональных алгебр конечной размерности, как простое следствие своих результатов. Бренер и Батлер [253 усилили это утверждение, доказав что в рассматриваемом случае эти группы вкладываются в качестве еервантных подгрупп во вполне разложимые группы

конечного ранга.

В 1963 году Рейдом Г 303 была выявлена взаимосвязь между структурой подгрупп с определенными свойствами группы без кручения конечного ранга и структурой кольца ее квазиэндоморфизмов. В качестве приложения он получил описание колец квазиэндоморфизмов редуцированных групп без кручения ранга 2. Большую роль в этих рассмотрениях играет псевдоцоколь Soc(£) группы без кручения 6 . Псевдоцоколь Soc(fr) определяется как оервантная подгруппа, порожденная всеми минимальными с@р-вантннми вполне характеристическими подгруппами. Подобный подход оказался очень плодотворным дая изучения групп без кручения конечного ранга и их колец эндоморфизмов, потому что кольца квазиэндоморфизмов этих групп являются артиновыми справа. Так, например, развивая идеи теории квазиразложений, П.А.Крылов установил глубокие связи между свойствами группы С- без кручения конечного ранга и свойствами ее колец Е(Е), cî ( G-) L 3, 43. В последние годы теория квазиразложений получила дальнейшее развитие и оказалась полезной при изучении групп автоморфизмов колец без ^учения конечного ранга С 18 3 .

В диссертаций получена классификация колец квазиэндоморфизмов абелевых груш без кручения ранга 3.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

Первая глава посвящается описанию колец квазиэндоморфизмов почти вполне разложимых групп без кручения ранга 3. Глава состоит из трех параграфов. Первый параграф носит подготови-

тельный характер. 1 нем приводятся необходимые сведения теории квазираз л ожений абелевых групп без кручения. Во втором параграфе рассматривается матричное представление колец квазиэндоморфизмов вполне разложимых групп без кручения ранга 3. 1 третьем параграфе доказывается теорема Г. 3.3 » которая указывает, что с точностью до изоморфизма или антиизоморфизма существует семь алгебр над полем рациональных чисел, являющихся алгебрами квазиэндоморфизмов почти вполне груш без кручения ранга 3.

Во второй главе дается описание колец групп без кручения ранга 3, разложимых в группы ранга 1 и сильно неразложимой группы ранга 2. Глава состоит из двух параграфов» В нервом параграфе доказывается, что кольцо квазиэндоморфйзмов группы без кручения ранга 3, разложимой в прямую сумму группы ранга 1 и сильно неразложимой группы ранга 2, изоморфно подалгебре полной матричной алгебры М3 (АО . Второй параграф содержит теорему ][.<2.3, которая указывает, что с точность© до изоморфизма или антиизоморфизма существует восемь алгебр и две серии алгебр над полем рациональных чжеея, которые является алгебрами квазигрупп без кручения ранга 3, разложимых в ква-группы ранга 1 ж сильно

ранга 2.

Третья глава шевящена физмов сильно 3. Глава состоит из трех сматриваются кольца

групп без кручения . В первом параграфе сильно неразложимых

абелевых групп без кручения ранга 3, совпадавших о© своими псевдоцоколями. Теорема Ш. 15 показывает, что группа является сильно неразложимой группой без кручения ранга 3, совпадающей со своим псевдоцоколем тогда и только тогда, когда ее кольцо квазиэндоморфизмов является алгеброй над (1 размерности 1 или 3. Более того, эта теорема справедлива для сильно неразложимых абелевых групп без кручения произвольного ранга р , где р - простое число. Здесь же доказывается (замечание Ш . -1.5), что каждое иоле алгебраических чисел степени 3 над нолем рациональных чисел ® реализуется в качестве алгебры квазиэндоморфизмов сильно неразложимой абелевой группы без кручения ранга 3. Во втором параграфе рассматривается матричное представление колец квазиэндоморфизмов сильно неразложимых групп без кручения ранга 3. В третьем параграфе дается классификация колец квазиэндоморфизмов сильно неразложимых абелевых групп без кручения ранга 3 (теорема Ж.З.-/). В теореме рассматривается реализация всех колец квазиэндоморфизмов сильно неразложимых групп без кручения ранга 3, указанных в теореме

/

ОБОЗНАЧЕНИЕ I НЕКОТОРЫЕ ОЖРЩММШ

7L - кольцо целых чисел. 2} - поле рациональных чисел. Ж (т) - кольцо вычетов целых чисел ш модулю m . Z (т. ) - аддитивная группа кольца вычетов по модул® m . Ж(роел) - кольцо целых р -адических чисел. Z ip ) - группа тина р ^ . M g ( - полная алгебра 3x3 - матриц над Щ .

- аддитивная группа кольца Р, . К - ниль-радикал кольца R .

Z [К) - центр кольца & . J (R. ) - радикал Джекобсона кольца R » определение см. в § 1 главы I ( определение 1.8 ) ♦ Е (к) - кольцо эндоморфизмов абелевой группы А . с! (Ь) - алгебра (кольцо) квазиэндоморфизмов абелевой группы без кручения конечного ранга h , определение ем. в § 1 главы I ( определение 1.1 ) . Soc G- - псевдоцоколь абелевой группы С- без кручения конечного ранга,

определение см. в § 1 главы I ( определение 1.6 ) . ÀnnlSoc fr) Е (И1 ч»- о , ¿С £ Soc (Ц - аннулятор псевдоцоколя абелевой группы £ без кручения конечного ранга.

L К '- F 3 размерность ноля К над иодполем F . Ф , © тензорное произведение над ~Ж. и прямая сумма. © - прямая сумма но всем простым числам р .

П. - прямое произведение по всем простым числам

/ р \ ( абелевых колец ).

А Ь - тензорное произведение правого К - модуля А на левый Я - модуль Ь . (ИНот (М , К ) » (!) ® Нот (М. , К - группа квазигомоморфизмов для произвольных абелевых групп М и N без кручения конечного ранга.

Для векторов и ^ , ... , векторного пространства

И над Ц <¿¿4,..., ¿¿л > « ^¿¿^, ..., ¿¿л - подпространство, натянутое на эти векторы.

¿¿¿т ср ■& - размерность векторного пространства над телом Ф .

Если А - абелева группа и , ... , ¿2 л £ А , то

, ¿2- я > - подгруппа группы А , порожденная этими элементами,

^¿2 > обозначается через ,

<¿2.^ , ... , ■># - еервантная оболочка элементов - -в абелевой группе без кручения А .

А - Ь - квазиравенство абелевых групп А и Ь без кручения конечного ранга,

определение ем. в § 1 главы I ( определение 1.2) .

, , Зт у - ядро, коядро и образ

гомоморфизма у абелевых групп.

Пусть Ь подгруппа абелевой группы без кручения конечного ранга С- и V ^ с? ( ) » тогда

'fib - ограничение квазиэндоморфизма <f на Ь . А —Ь - отображение, ¿z £ - соответствие элементов нри данном отображении.

{rrtp) - характеристика, т© есть посл едоватеяьность целых неотрицательных чиеел или символов , занумерованная простыми числами. Другими словами (тр) £ { лг&, т3 , mSt...\ , тр £ { 0 , i. \ .

Две характеристики называются эквивалентными, если они различается не более чем в конечном чиеле конечных мест. То ееть характеристика (пгр) эквивалентна характеристике (£р) тогда и только тогда, когда множества простых чиеел

f Р I /1гр ~ ] й j Р ) = } совпадают, а множество | р | лгр ф конечно.

Класс эквивалентности характеристики называется типом (Бэра) и обозначается I {/Пр)3,

Множество характеристик частично упорядочено : (йр) ^ (pip) с=г> ftp ^ тр для любого простого числа р . Над характеристиками определены следующие операции : пусть = (kp) и Н ~ [гп-р) , тогда

i + Н « ( kp + nip),

¿к/ - (лил [ 1р , Шр\) ,

¿¿¿¡р = (гж^ { ip, Жр}).

1слж Л - £- ~ (rrLp - йр) , Мри

этом считается , что — ^^ 0.

Типы в тексте обозначаются гречеекими буквами , 2г ....

Отношение порядка на множестве типов определено следующим образом : & ^ 2г , если существует характеристики 0-и Н £■ 2? такие , что 6- ^ Н

Над типами также определены операции : пусть ^ С-З и = I Нз » тогда

2г I Н + И

- Н ~ £3 , если В %

= Г { 0-,Н\3 ,

$>ир{2г, £>\ - I зи-р | .

Для данного тина 2г « гпр)1 алгебру над нолем рациональных чисел

= Т(ртг)

будем называть кольцом 2г - адических чисел.

1юбое 0- - адическое число и £ Й(г-) представляется в виде = ^ ® С обр) , где 0 ^ ^ ф ,

о^ Ж (р тр ) 9 р пробегает множество всех простых чисел.

р - высотой элемента ^¿р £ Ж.(ртр) называется наибольший показатель кр степени простого числа р , для

я _

которого о/р делится на р р в кольце Ж (ртр) » если

обр = 0 , то Цр = /т?р . Набор ^ - высот элементов по всем простым числам р образует характеристику, которая определяет £ ( Цр ) 3 , называемый типом 2г -адического числа оС . Тип 2~ - адического числа аС обозначается через .

Все группы, рассматриваемые в этой работе, являются абе-левыш, поэтому в словосочетании "абелева группа1* обычно опукается слово "абелева".

Если ¿1 - элемент группы без кручения А ♦ то &р(г2) -р - высота элемента ¿2 в группе А , то есть максимальная степень простого числа р , для которой ¿г делится на

р кр (¿2.) в группе А . Если ¿г делится на любу© степень р , то Ар(гг}~ = (¿2)) называется

характеристикой элемента группы А .

Тип Г Н^ (¿2)3 называется типом элемента гг. в группе А и обозначается через £ (¿г).

1Т Ш - внутренний тип группы А , ОТ М- вншнй МП грушш к , определения ем. в § 2 главы _Н ( определения 2.1 и 2.2 ) . ■к (к) - тип группы А ранга 1.

Будем писать ¿г. /р ^ вместо бесконечного множества ^/р, , ¿г /рп

<==> - тогда и только тогда, когда ...

Знак □ обозначает конец доказательства или конец

Ссылка на лемму Г.<2.5 означает ссылку на лемму 2.2 второго параграфа первой главы, ссылка на замечание 3.1, сделанная в первой главе, означает ссылку на замечание 3.1 третьего параграфа этой же (первой) главы.

Еели в тексте отсутствуют какие-чжибо определения или не объясняются обозначения, то, значит, они общеприняты, и их также можно найти вЕ1, 2, 9, 11, 19, 213 .

- 12 -

Глава I.

КОЛЬЦА КВАЗЙЗНД0М0РШЗМ0В АБЕИЕВЫХ ПОЧТИ ВПОЛНЕ РА310ЖИШХ ГРУШ БЕЗ КРУЧЕНИЙ РАНГАМ.

§ 1* Предварительные сведения.

Напомним необходимые сведения теории квазиразложений абелевых груш без кручения конечного ранга и теории колец»

Пусть Ег - группа без кручения конечного ранга, тогда

{Ц ® С- - делимая оболочка группы Ц- . Другими словами,

И^® 6- является векторным пространством над (Ц , размерность которого совжадает с рангом группы С- и аддитивная грунна которого содержит Е- в качестве подгруппы.

ОЖРЩЕаШШ 1.1.

Кольцом квазизндоморфизмов £(£-) группы называется кольцо всех таких линейных преобразований ^ пространства

О, ® Е- , что п.^ ( £-) « С- для некоторых ненулевых ■ целых чисел п . О

ОПРЦЩШЙЕ 1.2.

Группа Е- называется квазиравной групже Н ( С- = Н) , если 6- =? п Н э т С- для некоторых ненулевых целых чисел я и т . О

называется семейство ненуле-делимой оболочки Щ® Е-

ШЕ 1.3.

группы £• ВЫХ жодгружп к I ( I £ I)

группы С- таких, что С- ^ ©т * При этом каждая из групп (г/ называется квазислагаемым группы & . □

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4.

Группа С- называется почти вполне разложимой, если она квазиравна прямой сумме групп ранга 1. □

В частности, почти вполне разложимая грунна £ без кручения ранга 3 имеет вид

где ¿¡я./гЖ = 4 для каждого ¿' .

II 1.5.

Груша £ называется сильно неразложимой, если она не обладает нетривиальными квазиразложениями. □

II 1.6.

Псевдоцоколем Бос С- группы £• называется сервантная оболочка суммы всех минимальных сервантных вполне характеристических подгрупп группы О- . О

1Е 1.7.

Кольцо называется артиновым слева (справа) , если обрывается любая убывающая цепочка его левых (правых) идеалов.

Так как кольцо квазяэндоморфизмов абелевой группы С-без кручения конечного ранга является артиновым [19 3 , и существует взаимнооднозначно© соответствие между сервантны-ш вполне характеристическими подгруппами группы С- и <£. ( С-У - подмодулями делимой оболочки группы £• С 30 3 ,

то псевдоцоколь группы С- без кручения конечного ранга всегда отличен от нуля.

3(10) кольца называется чение всех максимальных правых (левых) идеалов кольца

I, .О

ОНВДЕШЙЕ 1.9.

Кольцо Ц называется классически полупростым, если

да-о'.ъ

Далее» введем следующие обозначения для подалгебр полной алгебры над полем рациональных чисел ЬА2 (ИП :

¿к о о О ц о

о о г

¿с

¿с О О и. у, О

о о £

Л , // , г , и £

ь,

Л ¿т О

и. О

0 0 2

¿С О О

о у о

и, гг г

¿с

» •> ^ >

2Г £

и .

¿с.

у , и \ 2Г £

Г/

тлщ-

V

¿с о о и f о

гг ¿¿Г z ;

к, -

л о о

UL fy ±

гг иг z

гг, ***

)

§ Матричное представление колен квазиэшюмор&измов вполне разложимых групп без кручения ранга 3,

опрщщш! гл.

Группа без кручения конечного ранга называется вполне разложимой, если она разлагается в прямую сумму груш ранга 1.П

жат 2.2.

Пусть вполне

групп без щэучения ранга 3, то

есть

А - ® * где

для

каждого i . Тогда кольцо квазиэндоморфизмов 2 (к) изоморфно подалгебре полной матричной алгебры

Доказательство

Обозначим через : —^ А и J£\ : -

возникающие здесь гомоморфизмы вложения и проекции.

Зафиксируем ненулевые элементы ^ £ £ Л^ , £ .

Тогда , ¿& , ¿3 образуют максимальную линей-

но независимую систему группы А .

Всякий квазиэндоморфизм ч>: к~*~к вполне определяется

элементами , > , которые могут быть за-

писаны в следующем виде :

* 4С^ = («^ + ^ * + ^ * , ^¿з Ш - ^ * С^ + ¿Zk ^ + W?).

Так�