Определяемость абелевых групп группами гомоморфизмов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

БЕРЕГОВАЯ ТАТЬЯНА АЛЕКСАНДРОВНА

»

1 ОПРЕДЕЛЯЕМОСТЬ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП ГРУППАМИ ГОМОМОРФИЗМОВ

Специальность 01.01.06. — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва-2003

Работа выполнена в Нижегородском государственном педагогическом университете на кафедре алгебры и геометрии математического факультета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор СЕБЕЛЬДИН АНАТОЛИЙ МИХАЙЛОВИЧ

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ФОМИН АЛЕКСАНДР АЛЕКСАНДРОВИЧ

кандидат физико-математических наук, доцент КОВЯЗИНА ЕЛЕНА МИХАЙЛОВНА

Ведущая организация - Нижегородский технический государственный

университет.

Защита состоится "__£_" -€>*£Т 2003 г. в_часов

на заседании диссертационного совета К 212.154.03 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, Москва, Краснопрудная ул., д. 14, ауд._, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1.

Автореферат разослан hué 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

КАРАСЕВ Г.А.

А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Абелевы группы составляют один из важнейших классов групп. Теория абелевых групп тесно связана с теориями модулей, колец, множеств, категорий, чисел. Начало теории абелевых групп положили работы Понтрягина [1], Мальцева [2], Куроша [3], Дэрри [4], Прюфера, Ульма, Куликова и др.

Глубокая структурная теория периодических абелевых групп позволяет решать многие задачи для этого класса абелевых групп. Для абелевых групп без кручения положение иное: даже для групп без кручения конечного ранга неизвестно никакой удобной полной системы инвариантов [5].

Важной задачей теории абелевых групп является установление связей между свойствами группы и свойствами её групп гомоморфизмов. В книге Л.Фукса [6] поставлена 34 проблема: существует ли такой класс X абелевых групп X, что всякий раз из изоморфизма Нот(А,Х) = Нот[В,Х) для любой группы X из X вытекает изоморфизм самих групп Л и В? Отрицательный ответ на этот вопрос в 1971 г. дал П.Хилл, который нашёл неизоморфные группы А я В среди класса периодических групп. А в 1976 г. Себельдин A.M. нашёл неизоморфные группы А ж В в классе абелевых групп без кручения. Задачи, близкие с 34 проблемой Л.Фукса рассматривались рядом авторов: Власовой Л.И. [7], Антоновой Н.Ю. [8], Гриншпоном С.Я. [9], Глазыриной Е.Д. [9].

Аналогом вышеуказанной проблемы является задача описания класса X всех таких абелевых групп X, что всякий раз из изоморфизма Нот(Х, А) = Нот(Х, В) для любой группы X из Л' следует

SJirlOTEKA

А = В. Понятно, что класс X не пуст, поскольку группа Ъ в нём содержится.

Пусть имеются два класса X и У абелевых групп, группа X из X. Назовём класс У ^Я-классом, если для любых двух групп А и В из

из изоморфизма Нот(Х, А) = Нот(Х, В) следует А = В. Аналогично, класс У назовём хЕН-кл&ссои (хЕ'Н-, хЕ+Н-классом), если для любых двух групп А и В из У из изоморфизмов Нот(Х. А) = £ Нот{Х,В) и Е{А) а £(£) (соответственно, Я* (Л) = Е'(В), Е+(А) = Е+(В)) следует Л Э 5. В свою очередь, все такие группы X из X, для которых класс У является ^Я-классом (хЕН-,хЕ'Н-, хЕ+Н-классом) назовём Я-тестовыми (соответственно, ЕН-, Е'Н-, Е+Н-тестовыми) для класса У.

Заметим, что задачей определяемости абелевых групп своими кольцами эндоморфизмов, аддитивными группами эндоморфизмов, мультипликативными полугруппами эндоморфизмов занимались Мэй [10], Вольфсон [11], Пуусемп П.[12], Гриншпон С.Я.[13], Себельдин А.М.[14].

Настоящая работа посвящена описанию таких абелевых групп X из некоторого класса X абелевых групп, чтобы заданный класс У абелевых групп являлся хН-, хЕН-, хЕ'Н-, хЕ+Н-классои.

Цель диссертационной работы: исследовать вопрос об изоморфизме абелевых групп с изоморфными группами гомоморфизмов; группами гомоморфизмов и кольцами (группами, полугруппами) эндоморфизмов в некоторых известных классах абелевых групп.

Научная новизна. Все результаты, полученные в процессе диссертационного исследования, являются новыми. Основными результатами работы можно считать следующие:

1. Найдены все Я-тестовые группы в классах вполне разложимых абелевых групп без кручения и векторных абелевых групп для классов: 9^ вполне разложимых абелевых групп без кручения конечного ранга, 9*$ вполне разложимых абелевых групп без кручения, где каждое прямое слагаемое ранга 1 почти делимо, абелевых групп без кручения ранга 1 и других. Показано, что классы 7/ конечных р-групп, % ограниченных р-групп, Типь р-групп, имеющих неограниченную базисную подгруппу не имеют Я-тестовых р-групп.

2. В классах и векторных групп, мощность редуцированной части которых не превосходит первого кардинала ненулевой меры, найдены все 2?Я-тестовые и Е'Н-тестовые группы для классов

91!, Я-тестовые группы без кручения ранга 1 полностью описаны для класса 9 абелевых групп без кручения.

3. Найдены все Е'+Я-тестовые р-группы для классов 7}, %, Ти„ь, 7Ъ делимых р-групп и др.

Теоретическое и прикладное значение. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при изучении групп гомоморфизмов абелевых групп и модулей, могут применяться при решении аналогичных задач в теории групп и модулей. Кроме того, они могут найти своё применение в качестве материалов для специальных курсов по теории абелевых групп в высших учебных заведениях.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на международной конференции "Математика. Экономика. Экология. Тендерные проблемы." (г. Воронеж, 2000 г.); на IV Нижегородской сессии молодых учёных (г. Саров, 2002

г.); на заседании научных алгебраических семинарах МГУ (руководитель — доктор физико-математических наук, профессор Михалёв A.B.), МПГУ (руководитель — доктор физико-математических наук, профессор Фомин A.A.), НПГУ (руководитель — доктор физико-математических наук, профессор Себельдин A.M.).

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 11 публикациях. Их список приведён в конце автореферата. В совместных работах постановка задачи и выбор метода исследования принадлежат Себельдину A.M. Диссертанту принадлежат формулировки и доказательства всех теорем.

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, включающих 7 параграфов, и списка литературы, содержащего 43 работы отечественных и зарубежных авторов. Работа выполнена на 92 листах машинописного текста.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении приводится краткий обзор литературы по теме диссертации, обосновывается актуальность решаемых в диссертации задач, а также кратко излагаются полученные в диссертации результаты.

В первой главе рассматривается вопрос об определяемости групп без кручения группами гомоморфизмов.

Пусть Q{G) — множество всех различных типов прямых слагаемых ранга 1 группы без кучения А; £2 — множество всех различных типов групп без кручения ранга 1; Qo(G) ■— множество всех типов из f2(G), характеристики которых не содержат символов оо; По — множество

5

всех типов из Q, характеристики которых не содержат символов оо, t(G) — тип абелевой группы G без кручения ранга 1, Q^ — аддитивная группа рациональных чисел, знаменатели которых являются степенями простого р.

В §1 настоящей главы найдены условия на группу X G. чтобы класс SScd являлся х^-классом. А именно, доказана

Теорема 1.1. Пусть X — вполне разложимая абелева группа без кручения. Класс вполне разложимых абелевых групп без кручения является хН-классом тогда и только тогда, когда группа X удовлетворяет следующим условиям:

1. X имеет прямое слагаемое, изоморфное Z;

2. Q(X) содержит только идемпотентные типы;

3. X имеет конечный ранг.

Заметим, что в классе имеются подклассы, для которых условия 1, 2 или 3 теоремы 1.1 не являются необходимыми. Такими подклассами являются, например, классы: Sr^J, Si. Получены следующие результаты.

Теорема 2.1. Пусть X — вполне разложимая абелева группа без кручения. Класс вполне разложимых абелевых групп без кручения конечного ранга является хН-классом тогда и только тогда, когда группа X удовлетворяет следующим условиям:

1. X имеет прямое слагаемое, изоморфное Z;

2. X имеет конечный ранг.

Теорема 3.1. Пусть X — вполне разложимая абелева группа без кручения. Класс вполне разложимых абелевых групп без кручения, где каждое прямое слагаемое ранга 1 почти делимо, является

хН-классом тогда и только тогда, когда группа X удовлетворяет следующим условиям:

1. ЩХ) ф 0;

2. X имеет конечный ранг.

Теорема 4.1. Пусть X — вполне разложимая абелева группа без кручения. Класс абелевых групп без кручения ранга 1 является хН-классом тогда и только тогда, когда группа X удовлетворяет одному из следующих условий:

1. X содержит прямое слагаемое, изоморфное Ъ;

2. т(2) ^ Г2(Х) и для любого типа то из П, где то ф т{Ъ), найдется тип т из такой, что г < то.

Кроме этого, ¿/-тестовые вполне разложимые абелевы группы без кручения выделены и для других подклассов класса (теоремы 5.1, 6.1, 7.1).

В §2 для некоторых классов абелевых групп без кручения найдены //-тестовые группы в классе векторных групп (теоремы 8.1, 9.1, 10.1, 11.1).

Во второй главе получен ряд результатов об определяемости абелевых групп без кручения своими кольцами эндоморфизмов и группами гомоморфизмов. В начале главы (§1) описаны ЕН-тестовые группы в классе для класса 9 абелевых групп без кручения (см. теорему 1.2); в классе для классов и (теоремы 2.2, 3.2) и

др.

Теорема 1.2. Пусть X — абелева группа без кручения ранга 1. Класс 3 абелевых групп без кручения является хЕН—классом тогда и только тогда, когда группа X изоморфна Ъ.

Теорема 2.2. Пусть X — вполне разложимая абелева группа без кручения. Класс абелевых групп без кручения ранга 1 является хЕН-классом тогда и только тогда, когда группа X удовлетворяет одному из следующих условий:

1. X содержит прямое слагаемое, изоморфное Ъ;

2. т(2) ^ И(Х) и для любого типа то из По, где То ф т(2), найдется тип г из По(Х) такой, что т < то.

Теорема 3.2. Пусть X = ® ф Хк — вполне разложимая

геП(Х) к€К(т)

абелева группа без кручения. Класс вполне разложимых абелевых групп без кручения конечного ранга является хЕН-классом тогда и только тогда, когда группа X удовлетворяет условию:

— для любого типа т 6 Й,т ф найдется тип т1 Е (2(Х) такой, что т' <т и \К(т')\ < НоВ §2 найдены .ЕЯ-тестовые абелевы группы для различных классов

абелевых групп без кручения в классе

В §3 рассматривается вопрос об определяемое™ вполне разложимых абелевых групп без кручения своими полугруппами эндоморфизмов и группами гомоморфизмов. Найдены группы X из такие, что классы Зъ ^ы и другие были хЕ'Н-классами. Доказаны следующие теоремы:

Теорема 12.2. Пусть X = Ф ф Хк — вполне разложимая

теЩХ) кеК(т)

абелева группа без кручения. Класс вполне разложимых абелевых групп без кручения конечного ранга является хЕ'Н-классом тогда и только тогда, когда группа X удовлетворяет условию:

— для любого типа т £ П, т ф т(2) найдется тип т' Е £1(Х) такой, что т' < т и |^(т')[ < Ко-

Теорема 13.2. Пусть X — вполне разложимая абелева группа без кручения. Класс вполне разложимых почти делимых абелевых групп без кручения является х Е' Н-классом тогда и только тогда, когда группа X удовлетворяет хотя бы одному из условий:

1) П0(Х) ф 0;

2) если Qq(X) = 0, то для любого почти делимого типа то найдется тип т1 £ П(Х) такой, что т' < tq.

Теорема 14.2. Пусть X — вполне разложимая абелева группа без кручения. Класс Öi абелевых групп без кручения ранга 1 является хЕ*Н-классом тогда и только тогда, когда группа X удовлетворяет условию 1 или 2, где

1. X содержит прямое слагаемое, изоморфное Z;

2. а)т(Z)

б) если найдётся такое простое р, что r(Q^) ^ &(Х), то для всехqeP, дфр тип r(Qw) е П(ЛГ),

в) для любого типа то из По, где го Ф r(Z), найдется тип т из Qq(X) такой, что г <tq.

Глава III посвящена задаче описания Я-тестовых и Е+Н-тестовых примарных групп для некоторых классов р-групп. Результаты этой главы получены совместно с О.В.Любимцевым.

В §1 приведены некоторые общие предварительные результаты. В частности, найдены некоторые необходимые условия, чтобы данный подкласс класса ограниченных р-групп был хЕ+Н-классом для некоторой ограниченной р-группы X.

В §2 найдены Я-тестовые и Е+Н-тестовые примарные группы для различных классов р-групп. Показано, что классы: Т/j Ть} Тъ& при-

марных групп А вида А = R(A) © D(Ä), где R(A) — ограниченная, D{A) ф {0} — делимая группы, %пь не являются хЕ+Н-классами ни для какой периодической группы X (следствия 2.3, 3.3, 4.3) Напротив, класс делимых р-групп является ^/?+Я-классом для любой абелевой группы X (теорема 8.3).

Сужая вышеуказанные классы периодических групп, можно получить более содержательные результаты. А именно, Я-тестовые р-группы X найдены в классе % — циклических р-групп.

Теорема 4.3. Класс Тс всех циклических р-групп является хН-классом для некотоой р-группы X тогда и только тогда, когда группа X имеет неограниченную базисную подгруппу.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, Себельдину Анатолию Михайловичу, а также Любимцеву Олегу Владимировичу за внимание к работе, советы и указания.

ЛИТЕРАТУРА.

[1] Понтрягин Л. С. The theory of topological commutative groups// Ann. Math. - 1934. - V. 35. - P. 361-388

[2] Мальцев А. И. Абелевы группы конечного ранга без кручения// Матем. сб. - 1938. - Т. 4. - No 4. - С. 45-68

[3] Курош А. Г. Primitive torsionfreie abelschen Gruppen vom endlichen Range// Ann. of Math. - 1937. - V. 38. - P. 175-203

[4] Derry D. Uber eine Klasse von abelschen Gruppen// Proc. London Math. Soc. - 1937. - V. 43. - P. 490-506

[5] Яковлев А. В. К проблеме классификации абелевых групп без кручения конечного ранга// Зап. Науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. -

1976. - Т. 57. - С. 171-175

[6] Фукс JI. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1977. - Т.1

[7] Власова JI. И. Об определяемое™ групп группами гомоморфизмов// Вестник Моск. ун-та. Серия 1. Математика, механика. 1979. -No 5. - С. 52-55

[8] Себельдин А. М., Антонова Н. Ю. Об изоморфизме группы гомоморфизмов двух абелевых групп без кручения одной из этих групп// Известия ВУЗов. Математика, 1995. - 2(393). - С. 53-59

[9] Гриншпон С. Я., Глазырина Е. Д. Тестовые группы для групп гомоморфизмов. // Сб-к "Абелевы группы и модули", Томск: изд-во ТГУ, 1996. - Вып. 13, 14. - С. 63-66

[10] W. May. Endomorthism rings of mixed abelian group// Contemp. Math. - 1989. - No 87. - P. 61-74

[11] Мишина А. П. Абелевы группы// Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. 1972. - М.:ВИНИТИ АН СССР. - Т. 10. -С. 5-45.

[12] Пуусемп П. Об определяемости периодических абелевых групп своей полугруппой эндоморфизмов в классе всех периодических абелевых групп// Изв. АН Эст ССР, Физ. Мат. - 1980. - Т. 29. - Вып. 3.

- С. 246-253

[13] Гриншпон С. Я., Себельдин А. М. Определяемость периодических абелевых групп группами эндоморфизмов// Матем. заметки. - 1995.

- Т. 57. - Вып 5. - С. 663-669

[14] Себельдин А. М. Определяемость абелевых групп своими кольцами эндоморфизмов// Абелевы группы и модули, Томск: изд-во ТГУ. -1989. - С. 113-123

Публикации автора по теме диссертации:

[1] Береговая Т. А. Вполне разложимые А-тестовые слева абелевы группы// г. Ростов-на-Дону, 1999, VII Международная конференция "Математика. Экономика. Экология. Образование.": тезисы докладов. - С. 79-80 (0,06 п.л.)

[2] Береговая Т. А., Себельдин А. М. Е-тестовые слева абелевы группы// ) г. Санкт-Петербург, 1999, II Международная конференция "Полугруппы: теория и приложения": тезисы докладов. - С. 70 (0,06 п.л., соискателем выполнено 70% работы)

[3] Beregovaya T. A., S.L.Fofana, A.M.Sebeldine. Groupes des homomor-phismes des groupes abeliens sans torsion// Revue des sciences. Serie Math-Phys, Conacry. - 1999. - No 2. - P. 17-19 (0,19 п.л., соискателем выполнено 30% работы)

[4] Береговая Т. А. А-тестовые слева абелевы группы// г. Н.Новгород, 2000, IV Нижегородская сессия молодых ученых. Математические и гуманитарные науки. Тезисы докладов. - С. 70-71 (0,06 п.л.)

[5] Береговая Т. А. Определяемость вполне разложимых абелевых групп без кручения группами гомоморфизмов// г. Воронеж, 2000, Международная конференция "Математика. Образование. Экология. Тендерные проблемы.": тезисы докладов. - Т. 1. - С. 53-54 (0,06 п.л.)

[6] Береговая Т. А. Об определяемости некоторых классов вполне разложимых абелевых групп без кручения своими группами гомоморфизмов// г. Н.Новгород, 2001, Труды Российской ассоциации "Женщины-математики." Математика. Экономика. Образование. - Т. 8. - Вып. 1. - С. 21-25 (0,5 п.л.)

[7] Береговая Т. А. Об определяемости некоторых классов абелевых

группп без кручения своими кольцами эндоморфизмов и группами гомоморфизмов// г. Екатеринбург, 2001, Международный семинар по теории групп. Тезисы докладов. - С. 39-40 (0,06 п.л.)

[8] Береговая Т. А. Векторные Н-тестовые группы для некоторых классов абелевых групп без кручения// г. Ростов-на-Дону, 2002, X Международная конференция "Математика. Экономика. Образование. Тезисы докладов. - С. 117 (0,06 п.л.)

[9] Береговая Т. А., Себельдин A.M. Определяемость вполне разложимых абелевых групп без кручения группами гомоморфизмов слева// г. Екатеринбург, 2002. Международный семинар, посвящённый 90-летию со дня рождения С.Н. Черникова. Алгебра и линейная оптимизация. - С. 54-58 (0,5 п.л., соискателем выполнено 70% работы)

[10] Береговая Т.А. Векторные ЕН-тестовые группы для некоторых классов абелевых групп без кручения// г. Саров, 2002, VII Нижегородская сессия молодых учёных. Математические науки. Тезисы докладов. - С. 38-39 (0,06 п.л.)

[11] Береговая Т.А., Себельдин A.M. Определяемость вполне разложимых абелевых групп без кручения группами гомоморфизмов// Матем. заметки. - 2003. - Т. 73. - Вып. 5. - С. 643 - 648 (0,6 п.л., соискателем выполнено 70% работы)

-

I

Типография МПГУ

IP 11 771

4.00J - A \177I

ВВЕДЕНИЕ.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ИЗВЕСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

ГЛАВА I. ОПРЕДЕЛЯЕМОСТЬ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП БЕЗ КРУЧЕНИЯ ГРУППАМИ t ГОМОМОРФИЗМОВ.

§1. Определяемость вполне разложимых абелевых групп без кручения А группами гомоморфизмов Нот(С, А), где С — вполне разложимая абелева группа без кручения.

§2. Определяемость некоторых классов абелевых групп без it кручения А группами гомоморфизмов Нот(С, А), где

С — векторная группа.

ГЛАВА И. ОПРЕДЕЛЯЕМОСТЬ РАЗЛИЧНЫХ КЛАССОВ ГРУПП БЕЗ КРУЧЕНИЯ СВОИМИ КОЛЬЦАМИ (ПОЛУГРУППАМИ) ЭНДОМОРФИЗМОВ И ГРУППАМИ ГОМОМОРФИЗМОВ.

§1. Определяемость некоторых классов вполне разложимых абелевых групп без кручения А своими кольцами эндоморфизмов и группами гомоморфизмов Нот(С, А), где С — вполне разложимая абелева группа без кручения.

§2. Определяемость некоторых классов абелевых групп без кручения А своими кольцами эндоморфизмов и группами гомоморфизмов Нот(С, А), где С — векторная группа.

§3. Определяемость некоторых классов вполне разложимых абелевых групп без кручения А своими полугруппами эндоморфизмов и группами гомоморфизмов Нот(С, А), где С — вполне разложимая абелева группа без кручения.

ГЛАВА III. ОПРЕДЕЛЯЕМОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП СВОИМИ ГРУППАМИ ЭНДОМОРФИЗМОВ И ГРУППАМИ ГОМОМОРФИЗМОВ.

§1. Предварительные результаты.

§2. сН- и с-Е+Я-определяемость некоторых классов периодических групп своими группами эндоморфизмов и группами гомоморфизмов.

Абелевы группы составляют один из важнейших классов групп. Теория абелевых групп тесно связана с теориями модулей, колец, множеств, категорий, чисел. Начало теории абелевых групп положили работы Понтрягина [1], Мальцева [2], Куроша [3], Дэрри [4], Прюфера, Ульма, Куликова и др.

Глубокая структурная теория периодических абелевых групп позволяет решать многие задачи для этого класса абелевых групп. Для абелевых групп без кручения положение иное: даже для групп без кручения конечного ранга неизвестно никакой удобной полной системы инвариантов [5].

Важной задачей теории абелевых групп является установление связей между свойствами группы и свойствами групп гомоморфизмов и колец (полугрупп) эндоморфизмов. Вышеуказанная тематика рассматривалась многими авторами. Для классов периодических групп, вполне разложимых абелевых групп без кручения, векторных групп Гриншпон [б], [7] и Себельдин [8], [9], [10] дали полный ответ на вопрос, когда из изоморфизма групп эндоморфизмов двух групп из одного из рассматриваемых классов следует изоморфизм самих групп (проблема 42 [11]).

В тех случаях, когда для определяемости абелевой группы А изоморфизма групп эндоморфизмов недостаточно, естественно возникает необходимость рассмотреть связи между группами А и В вида Нот(С, А) = Нот(С, В) для некоторых абелевых групп С. Задачи такого типа решались рядом авторов (см. [12], [13], [14]). В частности, будем говорить, что абелева группа А из некоторого класса

X абелевых групп сН-определяется в классе X для некоторой абе-левой группы С, если для всякой группы В G X из изоморфизма Нот(С, А) = Нот(С, В) следует изоморфизм А = В. Вопрос существования такой группы С решается положительно, так как для любой группы А существует естественный изоморфизм Hom(Z,A) = А, то есть любая абелева группа А является группой гомоморфизмов #ora(Z, А).

Настоящая работа посвящена поиску вышеуказанных абелевых групп С в различных классах абелевых групп, а также изучению близких вопросов.

Цель работы: исследовать вопрос об изоморфизме абелевых групп с изоморфными группами гомоморфизмов; группами гомоморфизмов и кольцами (полугруппами) эндоморфизмов в некоторых известных классах абелевых групп.

Научная новизна и практическая ценность: все результаты диссертации являются новыми. Основными результатами работы можно считать следующие:

1. Найдены необходимые и достаточные условия на абелеву группу С, где С берется из класса вполне разложимых абелевых групп без кручения, класса векторных абелевых групп, класса Тр при-марных абелевых групп, класса Т периодических абелевых групп, чтобы всякий раз из изоморфизма групп гомоморфизмов Ногп(С, А) = = Нот{С, В) для абелевых групп А и В из хорошо известных классов абелевых групп следовал бы изоморфизм самих групп А и В.

2. Найдены необходимые и достаточные условия на абелеву группу С, где С берется из класса вполне разложимых абелевых групп без кручения, класса векторных абелевых групп, чтобы всякий раз из изоморфизмов Нат{С,А) ^ Нот(С,В) и Е(А) * Е(В) (Е'(А) = = Е*{В)) для абелевых групп А, В из некоторых известных классов абелевых групп следовал бы изоморфизм А = В.

3. Описаны необходимые и достаточные условия на примарную абелеву группу С, чтобы всякий раз из изоморфизмов Нот(С, А) = = Нот(С, В) и Е+(А) = Е+(В) для примарных абелевых групп Л, В следовал бы изоморфизм А = В.

Работа имеет теоретическое значение. Результаты данной работы могут быть использованы при изучении групп гомоморфизмов абелевых групп и модулей, могут применяться при решении аналогичных задач в теории групп и модулей.

Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции "Математика. Экономика. Экология. Тендерные проблемы." (г. Воронеж, 2000 г.), IV Нижегородской сессии молодых учёных (г. Саров, 2002 г.), на алгебраических семинарах МГУ, МПГУ, НПГУ и содержатся в работах [44]-[54].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, Себельдину Анатолию Михайловичу, а также Любимцеву Олегу Владимировичу за внимание к работе, советы и указания.

Содержание диссертации

Далее под словом "группа" понимается "абелева группа".

Во введении приводится краткий обзор литературы по теме диссертации, обосновывается актуальность решаемых в диссертации задач, а также кратко излагаются полученные в диссертации результаты.

В I главе рассматривается вопрос об определяемости групп без кручения группами гомоморфизмов.

Пусть С — абелева группа. Обозначим класс групп, сН-определяющихся в некотором классе X абелевых групп (см. введение), через Х{сН). Если X = Х{сН), то класс X назовем сН-клвссом. В §1 настоящей главы найдены условия на группу С £ чтобы класс $>cd являлся с#-классом (теорема 1.1). Кроме этого, данная задача рассматривается для различных подклассов класса класса вполне разложимых групп без кручения конечного ранга (теорема 2.1); класса вполне разложимых групп без кручения, где каждое прямое слагаемое ранга 1 почти делимо (теорема 3.1); класса Si групп без кручения ранга 1 (теорема 4.1) и других (теоремы 5.1, 6.1, 7.1).

В §2 решена аналогичная задача, если С £ ^ (теоремы 8.1, 9.1, 10.1, 11.1).

Во второй главе получен ряд результатов об определяемости различных классов групп без кручения своими кольцами эндоморфизмов и группами гомоморфизмов. В начале главы (§1) описаны группы С в различных подклассах вполне разложимых групп без кручения такие, что из Е(А) = Е(В) и Нот(С,А) = Нот(С,В) следует

А = В, где А, В из класса S абелевых групп без кручения (здесь С € Si, см. теорему 1.2); класса Si (С € $>cd, теорема 2.2); класса (с € 3W, теорема 3.2) и т.д.

В §2 рассматривается аналогичная задача при условии, что С — векторная группа.

В §3 рассматривается вопрос об определяемости вполне разложимых абелевых групп без кручения своими полугруппами эндоморфизмов и группами гомоморфизмов. Найдены группы С из такие, что классы Si, и другие были сЕ*классами (теоремы 10.2, 11.2, 12.2, 13.2, 14.2).

1. Понтрягин J1. С. The theory of topological commutative groups// Ann. Math. - 1934.- V. 35.- P. 361-388

2. Мальцев А. И. Абелевы группы конечного ранга без кручения// Матем. сб. 1938.- Т. 4.- No 4.- С. 45-68

3. Курош А. Г. Primitive torsionfreie abelschen Gruppen vom endlichen Range// Ann. of Math. 1937. - V. 38. - P. 175-203

4. Derry D. Uber eine Klasse von abelschen Gruppen// Proc. London Math. Soc. 1937. - V.43. - P. 490-506

5. Яковлев А. В. К проблеме классификации абелевых групп без кручения конечного ранга// Зап. Науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. 1976. - Т. 57. - С. 171-175

6. Гриншпон С. Я. Примарные абелевы группы с изоморфными группами эндоморфизмов// Матем. заметки. 1973. - Т. 14. -Вып. 5. - С. 733-741

7. Гриншпон С. Я., Себельдин А. М. Определяемость периодических абелевых групп своими группами эндоморфизмов// Матем. заметки. 1995. - Т. 57. - Вып 5. - С. 663-669

8. Себельдин А. М. Вполне разложимые абелевы группы без кручения с изоморфными группами эндоморфизмов// Сборник аспирантских работ по математике. Томск. 1974. - С.28-34

9. Себельдин А. М. Об определяемости абелевых групп без кручения своими кольцами и группами эндоморфизмов// Группы и модули. Томск: изд-во ТГУ. 1976. - С. 78-85

10. Себельдин А. М. Полные прямые суммы абелевых групп без кручения ранга 1 с изоморфными группами или кольцами эндоморфизмов// Абелевы группы и модули. Томск: изд-во ТГУ. 1979. -С. 159-164

11. Fuchs L. Abelian groups. Budapest, 1958.

12. Власова JI. И. Об определяемости групп группами гомоморфизмов// Вестник Моск. ун-та. Серия 1. Математика, механика. -1979. No 5. - С. 52-55

13. Себельдин А. М., Антонова Н. Ю. Об изоморфизме группы гомоморфизмов двух абелевых групп без кручения одной из этих групп// Известия ВУЗов. Математика. 1995. - 2(393). - С. 53-59

14. Гриншпон С. Я., Глазырина Е. Д. Тестовые группы для групп гомоморфизмов. //Сб-к "Абелевы группы и модули", Томск: изд-во ТГУ. 1996. - Вып. 13, 14. - С. 63-66

15. Фукс JI. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1977. - Т.1

16. Фукс JI. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1977. - Т.2

17. Sebeldin А. М. Isomorphisme naturel des groupes des homomor-phismes des groupes abeliens// Ann. de L'IPGANG, Conakry. 1982. - V.VII. - Serie A. - P. 155-158

18. Baer R. Types of elements and characteristic subgroups of abelian groups// Proc. London Math. Soc. 39, 1935. - P. 481-514

19. Pierce R. S. Homomorphisms of primary abelian groups// Topics in Abelian groups, Chicago, Illinois. 1963. - P. 215-310

20. Себельдин A.M. Группы гомоморфизмов вполне разложимых абелевых групп без кручения // Известия ВУЗов. Математика, 1973. No 7.

21. Warfield R.B. Jr. Homomorphisms and duality for torsion free groups// Math.Z. 1968. - V. 107. - No 3. - P. 189-200

22. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970.

23. Sasiada Е. Proof that every countable and reduced torsion-free abelian group is slender// Bull. Acad. Polon. Sci. 1959. - 7. -P. 143-144

24. Fuchs L. Abelian groups// Publ. House of the Hungar. Acad. Sci., Budapest. 1958.

25. R. Baer. Automorphism rings of primary Abelian operator groups// Ann. Math. 1943. - 44. - P. 192-227

26. I. Kaplansky. Some results on Abelian groups// Proc. Nat. Acad. m Sci. USA. 1952. - 38. - P. 538-540

27. I. Kaplansky. Infinite Abelian Groups. Univ. of Michigan Press. 1954; rev.ed.

28. Мишина А.П. Абелевы группы// Итоги науки и техники. Серия: Современная математика и её приложения. Тематические обзоры. Т. 10. Алгебра-2.М.: ВИНИТИ. 1969.

29. Мишина А.П. Абелевы группы// Итоги науки и техники. Алге-Ф бра. Топология. Геометрия. Т. 10. М.: ВИНИТИ АН СССР. 1972.- С. 5-45

30. W. May and Е. Toubassi. End-sms of Abelian groups and the theorem of Baer and Kaplansky// J. Algebra 43. 1976. No 1. - P. 1-13

31. W. May and E. Toubassi. A result on problem 87 of L. Fuchs// Lecture Notes in Math. 616. 1977. P. 354-367

32. Себельдин A. M. Абелевы группы без кручения с изоморфными кольцами эндоморфизмов// Абелевы группы и модули, Томск: изд-во ТГУ. 1979. - С. 165-170

33. Себельдин А. М. Определяемость абелевых групп своими кольцами эндоморфизмов// Абелевы группы и модули, Томск: изд-во ТГУ 1 ряд с 11 г.] 93JL к/ * */ K-J«/ » * JL С/ -Х- '--J

34. С. J. Hauptfleisch. Torsion-free Abelian. groups with isomorphicendomorphism rings//' Arch. Math (Basel) 24. 1973. P. 269-273

35. W. May. Endomorthism rings of mixed abelian group// Contemp, Math. 1989. - No 87. - P. 61-74

36. Пуусемп П. Об определяемости периодических абелевых групп своей полугруппой эндоморфизмов в классе всех периодических абелевых групп// Изв. АН Эст СОР, Физ. Мат. 1980. - Т. 29. - No 3.- О. 246-2ьЗ

37. Пуусемп II. Об одном теореме1 Мэя// Изв. АН Эст ССР, Физ. Мат. 1989. - Т. 38. - No 2. - С. 139-145

38. Себельдин А. М. Определяемость векторных групп полугруппами эндоморфизмов// Алгебра и логика. 1994. - Т. 33. - No 4. -С 422-428

39. Себельдин А. М. Абелевы группы с изоморфными полугруппами эндоморфизмов// Успехи мат. наук. 1994. - Т. 49. - No 6. - С. 211-212

40. Себельдин А. М. Определяемость сепарабельных абелевых групп полугруппами, эндоморфизмов// Алгебра и логика. 1995. - Т. 34.- No 5. С. 523-530

41. Себельдин А. М. Условия изоморфизма вполне разложимых абелевых групп без кручения с изоморфными кольцами эндоморфизмов/ / Матем. заметки. 1972. - Т.Н. - Вып. 4. - С.403-408

42. Любимцев О. В. Сепарабельные абелевы группы без кручения сUА— кольцами эндоморфизмов// Фундам. и приклад, математика. 1998. - Т. 4. - No 4. - С. 1419-1422

43. Пуусемп П. Идемпотенты полугрупп эндоморфизмов групп// Уч. зап. Тартуск. ун-та. 1975. - No 366. - С. 76-104

44. Береговая Т. А. Вполне разложимые А-тестовые слева абелевы группы// г. Ростов-на-Дону, 1999, VII Международная конференция "Математика. Экономика. Экология. Образование.". Тезисы докладов. С. 79-80

45. Береговая Т. А., Себельдин А. М. Е-тестовые слева абелевы группы// г. Санкт-Петербург, 1999, II Международная конференция "Полугруппы: теория и приложения". Тезисы докладов. - С. 70

46. Beregovaya Т. A., S.L.Fofana, A.M.Sebeldine. Groupes des homo-morphismes des groupes abeliens sans torsion// Conacry, 1999, Revue des sciences. Serie Math-Phys. No 2. - P. 17-19

47. Береговая Т. А. А-тестовые слева абелевы группы// г. Н.Новгород, 2000, IV Нижегородская сессия молодых ученых. Математическиеи гуманитарные науки. Тезисы докладов. - С. 70-71

48. Береговая Т. А. Определяемость вполне разложимых абелевых групп без кручения группами гомоморфизмов// г. Воронеж, Международная конференция "Математика. Образование. Экология. Тендерные проблемы." Тезисы докладов. 2000. - Т. 1. - С. 53-54

49. Береговая Т. А. Об определяемости некоторых классов абелевых группп без кручения своими кольцами эндоморфизмов и группами гомоморфизмов// г. Екатеринбург, Международный семинар по теории групп. Тезисы докладов. 2001. - С. 39-40

50. Береговая Т. А. Векторные Н-тестовые группы для некоторых классов абелевых групп без кручения// г. Ростов-на-Дону, X Международная конференция "Математика. Экономика. Образование."- Тезисы докладов. 2002. - С. 117

51. Береговая Т.А. Векторные ЕН-тестовые группы для некоторых классов абелевых групп без кручения// г. Саров, VII Нижегородская сессия молодых учёных. Математические науки. Тезисы докладов. - 2002.- С. 38-39

52. Береговая Т. А., Себельдин А. М. Определяемость вполне разложимых абелевых групп без кручения группами гомоморфизмов// Матем. заметки. 2003. - Т. 73. - Вып. 5. - С. 643-648