Автоморфизмы группы гомоморфизмов абелевых групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Некоторые обозначения.

Введение.

ГЛАВА I. Группа AutHom(A, В) и ее подгруппы, индуцированные автоморфизмами групп А и В.

1.1 Определения и известные результаты.

1.2 Свойства отображений абелевых групп.

1.3 Свойства подгрупп А* и В*.

1.4 Подгруппы А* и В* для конечных циклических групп.

ГЛАВА II. Мономорфизмы и эпиморфизмы в некоторых классах абелевых групп, их связь с подгруппами А* и В* группы AutHom(A, В).

2.1 Предварительные леммы.

2.2 Характеризация мономорфизмов и эпиморфизмов в некоторых классах абелевых групп. Совпадение групп А* и В* с группами автоморфизмов групп А и В.

ГЛАВА III. Мономорфизмы и автоморфизмы в некоторых классах абелевых групп без кручения.

3.1 Группа автоморфизмов однородно разложимой группы.

3.2 Существование мономорфизмов вполне разложимых групп без кручения.

Актуальность темы. При изучении алгебраических систем большую роль играют отображения этих систем, среди которых особое значение имеют гомоморфизмы и автоморфизмы.

Тот факт, что множество всех гомоморфизмов из одной абелевой группы в другую образует абелеву группу Нот(А, В), оказался исключительно важным. Кроме того, группы гомоморфизмов можно рассматривать как функторы, особая роль которых была установлена С. Эй-ленбергом и С. Маклейном в [Е]. Алгебраическое строение группы Нот(А, В) известно только в некоторых частных случаях. Основные результаты здесь были получены P.C. Пирсом в [Р], который нашел инварианты группы Нот (А, В) как алгебраически компактной группы в случае периодической группы А.

В последние годы тематика, связанная с группой Нот(А, В) и вообще гомоморфизмами абелевых групп, приобретает все большую актуальность. Изучению строения групп гомоморфизмов абелевых групп и исследованию их свойств посвящены работы JI. Фукса, П. Гроссе, П. Шульца, Л.И. Власовой, С.Я. Гриншпона, П.А. Крылова, A.M. Се-бельдина ([Ful]-[G], [S], [Вл], [Г], [Кр], [С]). Подобная тематика проявляется и в исследованиях алгебраических систем, близких к абелевым группам. Например, А.И. Купцовым изучались свойства полугруппы эндоморфизмов коммутативной регулярной полугруппы ([Ку]). Отметим также, что обзор большого количества работ, связанных с гомоморфизмами абелевых групп, содержится в [Ми].

Важное значение в теории групп имеет группа автоморфизмов. Следует отметить, что почти все прошлое столетие группы воспринимались как группы автоморфизмов, и прошло много времени, пока было осознано, что группу можно рассматривать и абстрактно, независимо от объекта, на котором она действует. Ясно, что для абелевой группы А группа автоморфизмов AutA есть группа обратимых элементов кольца эндоморфизмов этой группы и дает меньше сведений о группе, чем кольцо эндоморфизмов, но, рассматривая АиЬА, мы получаем возможность использовать теоретико-групповые методы. Отметим, что кроме автоморфизмов группы можно рассматривать автоморфизмы произвольной алгебраической системы, множество которых также образует группу. Исследованиями в этой области занимались А.И. Мальцев, Р. Бэр, Ф. Холл, Б.И. Плоткин ([Ма], [В1], [В2], [Н], [П]) и другие алгебраисты.

Р. Бэром [В2] для бесконечной абелевой р-группы А была изучена структура нормальных подгрупп АЫА, в этих результатах особое место среди других простых чисел заняло число 2. Дальнейшие результаты в изучении структуры нормальных подгрупп группы А^А принадлежат X. Фридману, Л. Фуксу, Г. Лептину, А. Мадеру, Ф. Хиллу ([Г]—[БЧ12],

И. [М], И).

Интуитивно понятно, что свойства группы АиЬА должны быть тесно связаны со свойствами группы А, но, несмотря на это, информация о группе автоморфизмов остается скудной. Не решен вопрос, как по группе АиЬА определить длину абелевой р-группы А, не говоря уж об ее инвариантах Ульма-Капланского.

Следует отметить, что особую сложность представляет изучение групп автоморфизмов абелевых групп без кручения. Автоморфизмы таких групп изучались Дж.Т. Холлеттом, К.А. Хирше, М. Крулем, И.Х. Беккером, С.Ф. Кожуховым ([На], [Кг], [Б], [К]) и другими алгебраистами.

Большой интерес представляет изучение эндоморфизмов и автоморфизмов группы Нот(А,С), индуцированных эндоморфизмами и автоморфизмами групп А и С. Задача исследования такого множества эндоморфизмов заявлена Л. Фуксом как проблема 36 в [Ф1].

Цель работы. Целью диссертационной работы является изучение автоморфизмов группы Ногп(А, В), индуцированных автоморфизмами групп А и В. Такие автоморфизмы образуют подгруппы группы автоморфизмов группы Нот(А, В) и обозначаются в диссертации А* и В* соответственно.

Научная новизна. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми. Основными результатами работы можно считать следующие.

• Исследование свойств подгрупп А* и В* группы АиШот(А, В)-, получение критериев тривиальности этих подгрупп и условий их изоморфизма группам автоморфизмов АЫА и АиЬВ соответственно.

• Получение критериев существования мономорфизма и эпиморфизма из группы А в группу В, где хотя бы одна из групп - прямая сумма циклических групп, а также приложение этих критериев для исследования подгрупп А* и В*.

• Получение критерия существования мономорфизма для вполне разложимых групп без кручения из некоторого класса.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы в исследованиях по теории абелевых групп и модулей, а также при чтении спецкурсов.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на Международной конференции "Всесибирские чтения по математике и механике" (Томск, 1997 г.), на II Областной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Молодежь и наука: проблемы и перспективы" (Томск, 1998 г.), на Третьем и Четвертом Сибирских конгрессах по прикладной и индустриальной математике (Новосибирске, 1998 г. и 2000 г.), на Межрегиональной конференции "Исследования по анализу и алгебре" (Томск, 1998 г.), на Региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Сибирская школа молодого ученого" (Томск, 1999 г.), на XXXVII Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 1999 г.), на Международном семинаре "Универсальная алгебра и ее приложения" (Волгоград, 1999 г.), на XXII Конференции молодых ученых механикоматематического факультета МГУ (Москва, 2000 г.), на Международной конференции "Математика в восточных регионах Сибири" (Улан-Уде, 2000 г.), на IV Международной алгебраической конференции (Новосибирск, 2000 г.), на Международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения" (Красноярск, 2000 г.), на Международной конференции "Algebra and Discrete Mathemetics" (Hattingen, Germany, 2001 г.), на Международном семинаре по теории групп (Екатеринбург, 2001 г.), на Международной конференции "Алгебра и ее приложения" (Красноярск, 2002 г.). Основные результаты неоднократно докладывались на семинарах кафедры алгебры Томского государственного университета. По теме диссертации опубликовано 16 работ ([Ко1]-[Ко16]).

Структура и объем работы. Представляемая диссертационная работа состоит из введения, списка обозначений, трех глав, приложения и списка литературы. Первая глава содержит четыре параграфа, вторая и третья главы - по два параграфа. Работа изложена на 86 страницах. Список литературы содержит 44 наименования.

1. Вл. Власова Л.И. Об определяемости групп группами гомоморфизмов / /Вестник МГУ. Мат., мех. 1979. № 5 . 52-55.

2. Г. Гриншпон Я. О равенстве нулю групп гомоморфизмов абелевых групп / / И з в . высш. уч. завед. Матем. 1998. № 9 . 41-46.

3. К. Кожухов Ф. Продолжение автоморфизмов в почти вполне разложимых абелевых группах без кручения / /Абелевы группы и модули. Томск, 1980. 91-101.

4. Ма. Мальцев А.И. Об одном классе алгебраических систем //Успехиматем. наук. 1953. Т. 8, № 1 (53). 165-171.

5. Ми. A .B . Михалев, А.П. Мишина. Бесконечные абелевы группы: методы и результаты. / /Фундамент, и прикл. матем. 1995. № 2 . 1. 319-375.

6. П. Плоткин Б.И. Группы автоморфизмов алгебраических систем.1. М., 1966. 604 с.

7. Себельдин A . M . Определяемость нередуцированной абелевойгруппы без кручения своей группой эндоморфизмов / /Абелевы группы и модули. Томск, 1980. 102-108.

8. Ф1. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М., 1974. Т. 1. 336 с.

9. Ф2. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М., 1977. Т. 2. 416 с.

10. В1. Баег R. Irreducible groups of automorphisms of abelian groups//Pacif. J . of Math. V . 14, №2. 1964. P. 385-406. 'B2. Baer R. Types of elements and characteristic subgroups of abelian groups / /Proc . London Math. Soc. 1935. №39. P. 481-514.

11. B3. Baer R. Abelian groups without elements of finit order / /Duke

12. Math. J. 3. 1937. P. 68-122.'E. Eilenberg S. MacLane S. Group extensions and homology / / A n n . of

14. F. Freedman H . The automorphisms of countable primary reducedabelian groups / /P roc . London Math. Soc. 1962. №12. P. 77-99.

15. Ful. Fuchs L. Note on Linearly compact abelian groups / / J . Austral.

17. Fu2. Fuchs L. On the automorphism group of abelian p-groups / / P u b l .

18. Math. Debrecen. 1960. №7. P. 122-129.

19. G. Grosse P. Periodizität der iterierten Homomorphismengruppen/ / A r c h . Math. 1965. V . 16. P. 393-406.

20. H. Hall Ph. On group of automorphisms / / J . reine angew. Math. 1940.1. Ко 182. P. 194-204.

22. Hi. Hi l l Ph. The automorphisms of primary abelian groups / /P roc .1.ndon Math. Soc. 1971. №22. P. 24-38.

23. Kr. Krol M . The automorphism groups and endomorphism rings oftorsion-free abelian groups of rank two. Dissertationes Math. 1. Warsaw. 1967. № 55. 1.ptin Н. Abelsche p-Gruppen und ihre Automorphismengruppen / /Me th . Z. 1960. № 7 3 . P. 235-253.

25. P. Pierce R.S. Homomorphisms of primary abeham groups //Topics in

26. Abehan Groups. Chicago, Ilhons. 1963. P. 215-310.

28. Kol. Коновалов В.Б. О группах автоморфизмов групп гомоморфизмов

29. Нот{А, В) I/Международная конференция "Всесибирские чтения по математике и механике": Тез. докл. Т. 1. Математика. 1. Томск, 1997. 19-20.

30. Ко2. Коновалов В.Б. Группа автоморфизмов группы гомоморфизмов

31. Нот{А, В) и ее подгруппы / / Т р е т и й сибирский конгресс поприкладной и индустриальной математике, посвященный памяти С Л . Соболева (1908-1989). Тез. докл., часть V . Новосибирск, 1998. 17-18.

32. КоЗ. Коновалов В.Б. Свойства группы автоморфизмов группы гомоморфизмов Нот{А,В) / /Молодежь и наука: проблемы и перспективы: Тез. док. П областной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. Физико-математическая секция. 1. Томск, 1998. 7-8.

33. Ко4. Коновалов В.Б. Группы гомоморфизмов и их автоморфизмы//Исследования по математическому анализу и алгебре. Томск, 1998. 165-168.

34. Ко7. Коновалов В.Б. Автоморфизмы групп гомоморфизмов

35. Нот{А,В) и их свойства //Универсальная алгебра и ееприложения: Тез. докл. междунар. семинара, посвящ. памяти проф. Л.А. Скорнякова (1924-1989). Волгоград, 6-11 сент. 1999 г.

36. Волгоград, 1999. 37-38.

37. Ко8. Коновалов В.Б. Подгруппы группы АиИ1от(А, В), индуцированные автоморфизмами конечных циклических групп А и Б / / И с следования по анализу и алгебре. Сборник науч. трудов. Томск, 2000. 57-62.

38. КоЮ. Коновалов В.Б. Мономорфизмы и эпиморфизмы ограниченныхгрупп / /Четвертый сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000), посвященный памяти М.А. Лаврентьева (1900-1980): Тез. докл., ч. IV. Новосибирск, 2000. 108-109.

39. Rol l . Коновалов В.Б. Пересечение подколец кольца Е(Нот{А, В)), индуцированных эндоморфизмами групп Ли В //IV Международная алгебраическая конференция, посвященная 60-летию профессора Ю.И. Мерзлякова (Новосибирск, 7-11 августа 2000 г.):

40. Тез. докл. Новосибирск, 2000. 90-91.

41. Ко12. Коновалов В.Б. Группа автоморфизмов однородно разложимойгруппы / /Симметрия и дифференциальные уравнения. Труды международной конференции. Красноярск, 2000. 123-125.

42. Ко13. Коновалов В.Б. Подгруппы Л* и В* группы AutHom(A, В) иих обобщения / /Математика и методы ее преподавания: Сб. ст. 1. Улан-Уде, 2000. 48-57.

43. Ко14. Коновалов В.Б. Эндоморфизмы и автоморфизмы группы

44. Нот{А, В), индуцированные автоморфизмами групп А и В/ /Аналитические и численные методы в математике и механике. МГУ.М.,-2001. 75-76.

45. Ко15. Коновалов В.Б. Подгруппы группы AutHo'm{A, В), индуцированные автоморфизмами групп А и В //Международный семинар по теории групп, посвященный 70-летию А.И. Старостина и 80-летию Н.Ф. Сесекина, Екатеринбург, 17-21 декабря 2001 г.:

46. Тез. докл. Екатеринбург, 2001. 112-115.

47. Ко16. Коновалов В.Б. Существование мономорфизмов вполне разложимых групп / /Международная конференция "Алгебра и ее приложения": Тез. докл. Красноярск, 2002. 65.