Элементарная эквивалентность колец эндоморфизмов и групп автоморфизмов абелевых ρ-групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ
|
Ройзнер, Михаил Александрович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2014
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.06
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
ФГБОУ ВПО МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА
Ройзнер Михаил Александрович
Элементарная эквивалентность колец эндоморфизмов и групп автоморфизмов абелевых р-групп
Специальность 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория
чисел
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук
О 4 СЕН 2014
Москва - 2014
005552141
Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета ФГБОУ ВПО "Московский государственный'университет имени М. В. Ломоносова".
Научные руководители: Михалёв Александр Васильевич,
доктор физико-математических наук, профессор,
Бунина Елена Игоревна,
доктор физико-математических наук, профессор.
Официальные оиноненты: Туганбаев Аскар Аканович,
доктор физико-математических наук, профессор (ФГБОУ ВПО "Российский экономический университет имени Г. В. Плеханова"). Степанова Алена Андреевна, доктор физико-математических наук, профессор (ФГБОУ ВПО "Дальневосточный федеральный университет").
Ведущая организация: ФГБОУ ВПО "Московский педагогический государственный университет".
Защита диссертации состоится 17 октября 2014 года в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.84 на базе ФГБОУ ВПО "Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова" по адресу: 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, ФГБОУ ВПО "Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова", механико-математический факультет, аудитория 14-08.
С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке ФГБОУ ВПО "Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова" но адресу: Москва, Ломоносовский проспект, д. 27, сектор А, 8 этаж.
Автореферат разослан 17 сентября 2014 года.
Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84, созданного на базе ФГБОУ ВПО МГУ им. М.В. Ломоносова, доктор физико-математических наук,
профессор А. О. Иванов
Общая характеристика работы Актуальность темы
Работа посвящена элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов и групп автоморфизмов абелевых р-групн и ее связи со свойствами второго порядка самих групп.
Две модели U и U' одного языка первого порядка С (например, две группы или два кольца) называются элементарно эквивалентными, если любое предложение <р языка £ истинно в модели U тогда и только тогда, когда оно истинно в модели W. Любые две конечные модели одного языка элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда они изоморфны. Любые две изоморфные модели элементарно эквивалентны, однако для бесконечных моделей обратное неверно. Например, поле С комплексных чисел и иоле Q алгебраических чисел элементарно эквивалентны, но не изоморфны, так как имеют различную мощность1.
Классической книгой по теории моделей (в том числе, и но элементарной эквивалентности) является книга «Теория моделей»1. Подробным обзором 1984 года результатов по элементарной эквивалентности и смежным вопросам является обзор В.Н. Ремесленникова и В. А. Романькова «Теоретико-модельные и алгоритмические вопросы теории групп»2. Более новые результаты включены в обзоры Е.И. Буниной и A.B. Михалева3 4, а также — в обзор В. Гоулда, A.B. Михалева, Е.А. Палютина, A.A. Степановой5. Справочный материал по теории моделей можно найти в книгах6 7 8 9. Испытательным полигоном для большинства результатов теории моделей служат алгебра, теория чисел и анализ. Среди многочисленных книг и обзоров по приложениям теории моделей можно выделить те, в которых затрагиваются приложения к теории групп. Основные методы доказательств разрешимости и неразрешимости элементарных теорий изложены в книгах Тарского, Мостовского, Робинсона10 и Ю. Л. Ершова7.
'-Кейслер Г., Чэн Ч.Ч. Теория моделей. Москва, Мир, 1977.
2Ремесленников В. Н., Романьков В. А. Теоретнко-модельные и алгоритмические вопросы теории гр.уии. Алгебра. Геометрии. Топология. Итоги науки. ВИНИТИ, 1083, 3-79.
3Bunina E.I., Mikhalev A.V. Elementary properties of linear and algebraic groups. Journal of Mathematical Scicnces, 2002, 110(3), 2595-2659.
4Bunina E.I., Mikhalev A.V. Elementary properties of linear groups and related questions. Journal of Mathematical Sciences, 2004, 123(2), 3921-39S5.
"Гоулд В., Михалев A.B., Палюгин E.A., Степанова A.A. Теоретнко-модельные свойства свободных, проективных и плоских S-полигонов. Фундаментальная и прикладная математика, 200S, 14(7), 63-110.
"Теория моделей. Справочная книга по математической логике. Часть I. Персв. с англ. М.: Наука, 1982.
7Ершов Ю. Л. Проблемы разрешимости и конструктивные модели. M. Наука, 1980.
8Мальцев А. И. Алгебраические системы. — М.: Наука. — 1970.
9Сакс Дж. Теория насыщенных моделей. — Пер. с англ. М.: Мир, 197С.
1DTarski A., Mostowski А., Robinson R. М. Undecidable theories. Amsterdam. North-Holland Publishing Сотр., 1953.
Кроме того, в книге Ю. JI. Ершова приведена классификация полных теорий абелевых групп и показано на примерах из алгебры, как работает метод модельной полноты и родственное понятие относительной алгебраической замкнутости. Результаты по проблеме разрешимости элементарных теорий до 1964 года с подробным изложением методов доказательств освещены в обзоре Ю. JI. Ершова, И. А. Лаврова, А. Д. Тайманова, М. А. Тайц-лина11. Вопросы разрешимости расширенных теорий, особенно расширенных теорий абелевых групп, разобраны в обзоре А. И. Кокорина и А. Г. Пи-нуса12.
Известная теорема Бэра-Капланского13 утверждает, что периодическая абелева группа определяется своим кольцом эндоморфизмов: если две группы имеют изоморфные кольца эндоморфизмов, то сами группы также изоморфны. В 1960 году Лептин14 доказал аналогичную теорему для групп автоморфизмов абелевых р-груии для;? ^ 5: если две группы имеют изоморфные группы автоморфизмов, то сами группы также изоморфны. В 1989 году Либерт15 доказал такую же теорему для случая р ^ 3. Также Либерт классифицировал все изоморфизмы между группами автоморфизмов двух абелевых р-групп (р ^ 3). Наконец, в 1998 году Шульц15 доказал аналогичную теорему для случая р = 2. Однако затем в этой статье была найдена ошибка, не устранимая внутренними методами. Таким образом, случай р = 2 все еще остается открытым.
Е.И. Бунина и A.B. Михалев17 установили связь между свойствами второго порядка абелевой р-группы и свойствами первого порядка ее кольца эндоморфизмов. В этой работе были раздельно доказаны необходимые и достаточные условия элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов для различных случаев, однако критерий получен не был — оставались некоторые случаи, в которых эти условия не совпадали между собой.
Цель работы
Цель работы состоит в развитии старых и создании новых методов для выражения свойств второго порядка абелевых р-групн с помощью свойств
пЕршов Ю. Л., Лавров И. A., Taib'*KOB А. Д., Тай ил un M. А. Элементарные теории. Успехи мат. наук, 1965, 20(4), 37-108.
12Кокорин А. И., Пи"Ус А. Г. Вопросы разрешимости расширенных теорий. Успехи мат. наук, 1978, 33(2), 49-84.
13Фукс Л. Бесконечные абелевы группы, т. 1,2. Мир, Москва, 1974.
"Leptin H. Abelsche p-Gruppen und ihre Automorphismengruppen, Math. Z., 73 (1960), 235-253.
15Liebert W. Isomorphic automorphism groups of primary abelian groups. II. Contemp. Math., 87 (1989), 51 -59.
IeSchultz P. Automorphisms which determine an Abelian p-group. Abelian groups, module theory, and topology, Marcel Dekker Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, 201, Eds. D. Dikranjan and L. Salce, 1998, 373-379.
"Бунина Е.И., Михалев A.B. Элементарная эквивалентность колец эцдоморизмов абелевых р-групп. Фундаментальная и прикладная математика, том 10 (2004), вып. 2, 135-224.
первого порядка таких производных структур, как группы автоморфизмов и кольца эндоморфизмов, в установлении связи между элементарной эквивалентностью производных структур и эквивалентностью второго порядка самих групп. Основным задачами диссертации являются: продолжение теоремы Бэра-Капланского об изоморфизмах колец эндоморфизмов абелевых р-групн на случай элементарной эквивалентности, продолжение теорем Леитина и Либерта об изоморфизмах групп автоморфизмов абелевых р-групн на случай элементарной эквивалентности, усиление результата Е.И. Буниной и A.B. Михалева об элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов абелевых р-грунп, получение критерия элементарной эквивалентности групп автоморфизмов и колец эндоморфизмов абелевых р-групн в терминах эквивалентности второго порядка самих групп.
Научная новизна
Результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно. Основные результаты диссертации состоят в следующем:
• усиление результата Е.И. Буниной и A.B. Михалева об элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов абелевых р-групн в виде полного критерия элементарной эквивалентности;
• интерпретация логики второго порядка абелевой р-группы (р > 3) в группе ее автоморфизмов, разработка методов кодирования элементов абелевой группы в группе ее автоморфизмов;
• критерий элементарной эквивалентности групп автоморфизмов редуцированных абелевых р-грунп (р ^ 3);
• критерий элементарной эквивалентности групп автоморфизмов абелевых р-групп (р ^ 3) с ненулевой делимой частью.
Методы исследования
В работе используются классические методы теории абелевых групп, теории автоморфизмов и эндоморфизмов периодических абелевых групп, теории моделей и математической логики. Также автором разработаны некоторые новые методы выражения свойств второго порядка абелевых р-грунп через свойства первого порядка их групп автоморфизмов (для р ^ 3) и колец эндоморфизмов.
Теоретическая и практическая ценность
Работа имеет теоретический характер; полученные в ней результаты могут быть использованые в различных задачах теории групп, математической логики, теории моделей.
Апробация диссертации
Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и международных конференциях:
• школа-семинар "Синтаксис и семантика логических систем", посвя-щённая памяти профессора Ю.Е. Шишмарёва (Владивосток, 25-29 августа, 2008 г.);
• международная алгебраическая конференция на Украине (Харьков. Украина, 18-23 августа 2009 г.);
• XVII Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов" (Москва, 12-15 апреля 2010 г.);
• международная конференция "Logic Colloquium 2010" (Париж, Франция, 25-31 июля 2010 г.);
• международный алгебраический симпозиум, иосвящённый 80-летию кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ и 70-летию профессора А. В. Михалёва (Москва, 15-18 ноября 2010 г.);
• 9-ая международная летняя школа "Пограничные вопросы теории моделей и универсальной алгебры" (Эрлагол, 22-27 июня 2011 г.);
• семинары "Алгебра и теория моделей", "Теория групп" и "Кольца и модули" кафедры высшей алгебры МГУ (неоднократно) в 2007-2013 гг.
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в 5-ти работах автора, список которых приведен в конце автореферата [1-5].
Структура диссертации
Диссертация состоит из введения, шести глав, содержащих 23 раздела, и списка литературы. Библиография содержит 38 наименований. Текст диссертации изложен на 98 страницах.
Содержание работы
Доказанные в диссертации теоремы могут быть обобщены в одну следующим образом.
Теорема 1 (теорема 41). Кольца эндоморфизмов абелевых р-групп (либо группы автоморфизмов абелевых р-групп, р ^ 3) А\ и Ач элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда
1) если одна из групп Ах или А2 является редуцированной, то
Th2*>(Ai) =ТК(А2),
где — это мощности базисных подгрупп групп А\ и А2, соответ-
ственно;
2) если одна из групп А\, Ai не является редуцированной, то
Th2(Ai) = Th2(A2).
Замечание 1. Заметим, что в любом случае две абелевы группы, у которых кольца эндоморфизмов или группы автоморфизмов элементарно эквивалентны, либо обе являются редуцированными, либо обе таковыми не являются.
Следствие 1. При р ^ 3 эле.ментарные теории группы автоморфизмов абелевой р-группы и ее кольца эндоморфизмов взаимно интерпретируемы.
В главе 1 вводятся определения и известные теоремы, необходимые в данной работе. Первый параграф посвящен сведениям из теории абелевых групп. В нем вводятся основные понятия об абелевых р-груипах, рангах абелевых групп, делимых группах, сервантных и базисных подгруппах, кольцах эндоморфизмов и группах автоморфизмов абелевых р-групп.
Абелева группа А называется п-ограниченной, если пА = 0. Группа называется ограниченной, если она n-ограничена для некоторого натурального п. Если такого п не существует, то такая группа называется неограниченной.
Будем говорить, что элемент а группы А дыится на натуральное число п (обозначение: п\а), если уравнение пх = a (a S А) имеет решение в группе А. Группа D называется делимой, если п\а для всех a G D и всех натуральных чисел п. Группы Q, служат примерами делимых групп. Группа А называется редуцированной, если она не имеет ненулевых делимых подгрупп.
Всякая группа А является прямой суммой делимой группы D и редуцированной группы G,
A = D®G.
Подгруппа И здесь определена однозначно и называется делимой частью группы А, подгруппа б определена однозначно с точностью до изоморфизма.
Подгруппа б группы А называется сервантной, если уравнение пх = д е С?, имеющее решение во всей группе А, имеет решение и в С. Подгруппа (? сервантна в группе А тогда и только тогда, когда
Уп е Ъ пв = С П пА.
Подгруппа В группы А называется р-базисной, если выполнены следующие три условия:
1) подгруппа В является прямой суммой циклических р-групп и бесконечных циклических групп;
2) В есть сервантная подгруппа группы Л;
3) факторгруппа А/В является р-делимой группой.
Всякая группа для любого простого числа р содержит р-базисные подгруппы.
Нам в дальнейшем будут важны р-группы и их р-базисные подгруппы. Если А есть р-груипа и 5 — простое число, отличное от р, то группа А имеет лишь одну су-базисную подгруппу, равную 0. Поэтому в случае р-групп мы будем называть р-базисные подгруппы просто базисными.
Так как базисная подгруппа В имеет базис, а факторгруппа А/В — прямая сумма групп, изоморфных группе 2(р°°) (т.е. А/В также имеет систему образующих, которую легко описать), то естественно объединить эти системы образующих и таким путем получить систем}' образующих группы А.
Запишем
В = 0<а4> и А/В = 0 С], где С* = 2(р°°). ¿е/
Если прямое слагаемое Спорождается смежными классами с]!,...,по подгруппе В, для которых рс*п = 0, рс)п+1 =-(п = 1,2,...), то в группе А можно выбрать элементы с/„ € того же порядка, что и Тогда получится следующая система соотношений:
рея — о, рс^п+1 = с;-п + Ь]п (п > 1,€ В),
где элемент должен иметь порядок, не превышающий р", так как о{с,п) = Рп-
Систему элементов мы будем называть квазибазисом
группы А.
Второй параграф посвящен необходимым сведениям из теории моделей. В нем определяются язык и модели второго порядка, эквивалентность
второго порядка, язык второго порядка абелевых групп, ограниченные теории второго порядка.
Язык второго порядка определяется так же, как и язык первого порядка, с тем лишь отличием, что в нем добавлены предикатные переменные. Именно, если Р1 — предикатная переменная, а ti,..., i; — термы, то знакосочетание Pl(ti,... ,ti) является формулой, а если ц> — формула, то знакосочетание (VP'(u 1,... ,v{) ip) также является формулой, и вхождение переменной Р1 в нее является связанным. Выполнимость произвольной формулы ip в модели U с универсумом А определяется естественным образом так, что предикатным переменным вида Р1 сопоставляются произвольные подмножества множества А1. Теорией второго порядка модели U называется множество выполнимых в ней предложений второго порядка (обозначение: Th2(f/)). Две модели эквивалентны в логике второго порядка, если их теории второго порядка совпадают.
Важным примером для нас будет групповой язык. Мы будем считать, что в нем нет функциональных и константных символов и есть единственный трехместный предикатный символ Q3, отвечающий за умножение. Вместо Q3(x 1,Х2,Хз) мы будем писать х\ = Х2 • хз или, если речь идет об абелевых группах, то х\ = X2+x%. В качестве примера предложения второго порядка можно привести предложение, выражающее простоту группы:
VP1 (Р(1) А VxVy (Р(х) А Р(у) Р(х ■ у-1))) А
Л VxVy(P(x) => Р{у-х- у-1)) => (Vx Р(х) V Vz (Р(х) х = 1)).
Пусть х — некоторое кардинальное число. Выполнимость формулы tp в модели U с универсумом А с ограничением х определяется так же, как и обычная выполнимость в логике второго порядка с тем лишь отличием, что предикатным переменным вида Р1 сопоставляются произвольные подмножества множества А' мощности не больше х. я-Ограниченной теорией второго порядка модели U называется множество выполнимых в ней предложений второго порядка с ограничением х (обозначение: Th^{U)). Две модели эквивалентны в логике второго порядка, ограниченной х, если совпадают их ^-ограниченные теории второго порядка. Заметим, что если х ^ |А|, то теории ТЬг(С/) и Th%(U) совпадают. Если же х < оо, то эквивалентность в ограниченной логике второго порядка равносильна элементарной эквивалентности.
Глава 2 посвящена доказательству импликаций теоремы 1 в обратную ("легкую") сторону, а также подготовке к доказательству импликаций в прямую сторону.
В первом параграфе выражается элементарная теория кольца эндоморфизмов (а значит, и группы автоморфизмов) в теории второго порядка
абелевой группы. Доказывается следующая теорема.
Теорема 32. Для любых абелевых групп А\ и Ач если группы А\ и эквивалентны в языке второго порядка £2, то кольца Епс1(Л1) и ЕпсЦДг) (и, значит, группы автоморфизмов Агй А\ и Aut А2) элементарно эквивалентны.
Далее для того, чтобы полностью доказать простую импликацию в основном результате, в языке второго порядка абелевой группы записывается формула, которая выполняется для редуцированных р-групи, базисные подгруппы которых меньше их по мощности (и поэтому счетны), и только для них. Тем самым, доказательство простой импликации завершается следующей теоремой.
Теорема 33. Бели абелевы группы А\ и А2 редуцированны и их базисные подгруппы счетны, то из ТЩ{А{) = ТЩ(А2) следует элементарная эквивалентность колец ЕпсМх и ЕпйА? (и, значит, элементарная эквивалентность групп Аи1 А\ и Аг^ Лг).
Вся дальнейшая часть работы посвящена прямой импликации основного результата.
Во втором параграфе вводятся дополнительные понятия, помогающие работать с группой автоморфизмов: инволюции и экстремальные инволюции. Инволюции используются для того, чтобы выразить разделение абелевой группы в прямую сумму двух подгрупп. Экстремальные инволюции используются для выделения неразложимых прямых слагаемых. Так как с помощью одной инволюции нельзя выразить произвольное прямое слагаемое, а можно выразить только разделение на прямую сумму двух слагаемых, вводится понятие пары инволюции — набора из двух коммутирующих инволюций, одна из которых экстремальная. С помощью таких пар можно выразить произвольные прямые слагаемые группы. Приводятся формулы, выражающие отношения между прямыми слагаемыми (такие как прямая сумма, пересечение, подмножество).
В третьем параграфе вводятся понятия, помогающие работать с кольцом эндоморфизмов: проекторы и неразложимые проекторы. Они используются для выделения прямых слагаемых и неразложимых прямых слагаемых. Все отношения между прямыми слагаемыми также выражаются формулами для проекторов. Эти понятия нужны только для случая р — 2, так как из элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов следует элементарная эквивалентность групп автоморфизмов. Таким образом, в случае р > 3 можно просто воспользоваться результатом для групп автоморфизмов. В этом случае проекторы однозначно соответствуют инволюциям.
В четвертом параграфе все абелевы р-группы разделяются на сле-
дующие три подкласса:
1) ограниченные р-группы;
2) группы вида Офб, где О — ненулевая делимая группа, С — ограниченная группа;
3) группы с неограниченной базисной подгруппой.
Для каждого из подклассов приводится формула первого порядка группы автоморфизмов, выделяющая этот подкласс. В следующих главах для каждого случая в теории первого порядка группы автоморфизмов или кольца эндоморфизмов выражается теория второго порядка (возможно, ограниченная) самой группы.
Глава 3 посвящена подклассу ограниченных р-групп. В первом параграфе выделяются прямые слагаемые, отвечающие разложению группы на "слои". Каждый "слой" состоит из неразложимых прямых слагаемых определенного порядка.
Во втором параграфе теорема Шелаха адаптируется для случая группы автоморфизмов в следующем виде. Пусть — множество экстремальных инволюций, соответствующих прямым слагаемым из базисной подгруппы.
Теорема 36. Существует формула <р(...), удовлетворяющая следующему условию. Пусть {/¿}гед — множество элементов из Епс1(А'). Тогда можно найти вектор д такой, что формула <р{/,д) истинна в Епс1(Л') тогда и т.олъко тогда, когда / = /; для некоторого г € ¡л.
В следующих частях эта теорема используется для выделения необходимых множеств инволюций (или проекторов). В частности, в третьем параграфе выделяется множество прямых слагаемых, которые нужны для интерпретации элементов группы. Именно, выделяется ц — \А\ прямых слагаемых, каждое из которых счетно-порожденное. В следующем параграфе показывается, как на каждом из этих слагаемых интерпретировать произвольный элемент группы. Это делается с помощью разложения элемента по базису и отображения элементов прямого слагаемого в соответствующие элементы разложения. Наконец, в последнем параграфе показывается, как, интерпретируя на каждом слагаемом один элемент группы, выразить на всех слагаемых последовательности элементов мощности ¡л и тем самым выразить теорию второго порядка всей группы.
Глава 4 посвящена второму подклассу групп. Этот случай отличается от предыдущего наличием неограниченного "слоя" — делимой части. Доказательство теоремы для этого подкласса во многом повторяет предыдущее. Отличие заключается в том случае, когда неограниченный слой является самым мощным, и служебные счетно-порожденные прямые слагаемые надо выделять в нем. Тогда отображать элементы этих слагаемых
в элементы базиса группы с помощью автоморфизмов или эндоморфизмов невозможно, так как все гомоморфизмы из делимой группы в редуцированную тривиальны. Чтобы обойти эту трудность, выделяется дополнительное прямое слагаемое в делимой части, в которую отображаются все элементы редуцированной части, и с помощью которой они интерпретируются.
Глава 5 посвящена третьему подклассу — группам с неограниченной базисной подгруппой. В этом случае базисная подгруппа не всегда совпадает со всей редуцированной подгруппой. Именно в этом случае проявляется разница в критериях элементарной эквивалентности в зависимости от наличия ненулевой делимой части.
В первых двух параграфах базисная группа выделяется формулой. Она задается одним автоморфизмом, выражающем соответствие между циклическими слагаемыми всей группы и циклическими слагаемыми базисной подгруппы.
В третьем параграфе вновь доказывается применимость теоремы Шелаха, теперь — для случая прямых слагаемых базисной группы.
Теорема 37. Существует формула <р(...), удовлетворяющая следующему условию. Пусть {/¡}г6^ — множество элементов изП — множества экстремальных инволюций, соответствующих прямым слагаемым базисной подгруппы. Тогда можно найти вектор д такой, что формула истинна в П тогда и только тогда, когда / = /< для некоторого г ё ц.
Четвертый параграф посвящен заданию структуры на базисной подгруппе. В нем выделяется множество автоморфизмов для каждой пары циклических слагаемых в базисной подгруппе, которые переводят фиксированные порождающие элементы этих слагаемых друг в друга.
В пятом параграфе мы выражаем теорию второго порядка делимой части и базисной подгруппы в языке первого порядка группы автоморфизмов. Это делается по уже известной схеме из предыдущих двух случаев. Отличие возникает в случае, когда группа счетна, и может не существовать слоя, равномощного всей группе. Тогда служебные слагаемые выделяется не в одном слое, а одновременно во всех слоях редуцированной подгруппы. Тем самым, доказывается следующая теорема.
Теорема 38. Если кольца эндоморфизмов абелевых р-групп (либо группы автоморфизмов абелевых р-групп, р ^ 3) А\ и Аг элементарно эквивалентны, то группы сами группы А\ и А% обладают эквивалентными в логике второго порядка делимыми частями и базисными подгруппами.
В шестом параграфе мы выражаем логику первого порядка всей группы. Это делается с помощью автоморфизмов, которые сопоставляют
произвольному элементу группы некоторый элемент базисной подгруппы. В следующем параграфе интерпретируется ограниченная логика второго порядка редуцированой группы. Сначала интерпретируется логика, ограниченная финальным рангом базисной подгруппы. Это делается так же, как и прежде, с помощью выделения соответствующего количества счетпо-порожденных прямых слагаемых базисной подгруппы, на каждом из которых выражается элемент группы. Затем интерпретируется логика, ограниченная мощностью всей базисной подгруппы. Тем самым, доказывается
Теорема 39. Пусть С? и С — редуцированные абелевы р-группы с базисными подгруппами В и В' соответственно, р ^ 3. Тогда если АиЬв = А\Л С, то Тк]?\С) =
Оставшаяся часть главы относятся к группам с ненулевой делимой частью £>. В восьмом параграфе мы интерпретируем фактор-группу редуцированной группы О но базисной подгруппе В в языке первого порядка группы автоморфизмов. Эта фактор-группа делимая, поэтому для того, чтобы ее интерпретировать, достаточно выразить квазибазисы ее квазициклических слагаемых, каждый из которых может быть задан одним автоморфизмом. Наличие делимой части делает возможным интерпретацию теории первого порядка группы Нот(С/В, Б) и выражение независимости системы квазициклических слагаемых. С помощью этого в параграфе 9 показывается применимость теоремы Шелаха для случая квазициклических слагаемых из фактор-группы.
Наконец, в последнем параграфе мы интерпретируем полную теорию второго порядка всей группы. Это делается так же, как и раньше, но теперь в интерпретации участвуют не только делимая часть и базисная подгруппа, но и фактор-группа (3/Б. Так как эта фактор-группа делимая, то она участвует так же, как и делимая часть, и служебные прямые слагаемые для интерпретации выделяются из делимой части или из факторгруппы в зависимости от того, кто из них больше по мощности.
Последняя глава подводит итог всей работе и объединяет все результаты для всех случаев. В ней формулируется критерий элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов (или групп автоморфизмов) — теорема 41.
Благодарности
Автор выражает благодарность своим научным руководитлям д. ф.-м.н., профессору Михалеву Александру Васильевичу и д.ф.-м.н., профессору Буниной Елене Игоревне за постановку задач и постоянный интерес к работе. Автор выражает благодарность всем сотрудникам кафедры высшей алгебры за внимание к работе и доброжедательное отношение.
Работы автора по теме диссертации
[1] Бунина Е.И., Ройзнер М.А. Элементарная эквивалентность групп автоморфизмов абелевых р-групи. Фундаментальная и прикладная математика, 2009, 15, вьш. 7, 81-112.
М.А. Ройзнеру принадлежат основные результаты работы. Е.И. Буниной принадлежит введение и общая редакция работы.
[2] Ройзнер М.А. Элементарная эквивалентность групп автоморфизмов редуцированных абелевых р-гругш. Вестник МГУ. Серия математика, механика. 2013, 3, 29-34.
[3] Ройзнер М.А. Критерий элементарной эквивалентности групп автоморфизмов редуцированных абелевых р-групп. Фундаментальная и прикладная математика, 2011/2012, 17, вып. 5, 157-163.
[4] Ройзнер М.А. Критерий элементарной эквивалентности групп автоморфизмов абелевых нередуцированных р-групп. Фундаментальная и прикладная математика, 2013, 18, вып. 1, 159-170.
[5] Бунина Е.И., Михалёв A.B., Ройзнер М.А. Критерий элементарной эквивалентности групп автоморфизмов и колец эндоморфизмов абелевых р-групп. Доклады академии наук, 2014, 457, вып. 1, 11-12.
М.А. Ройзнеру принадлежат основные результаты работы. Е.И. Буниной принадлежит введение. A.B. Михалёву принадлежит общая редакция работы.
Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Подписано в печать «¿^ » 2014 г.
Тираж 160 экз. Заказ № 3/
р
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Механико-математический факультет
На правах рукописи
УДК 512.541.6 + 510.67
04201460979
Ройзнер Михаил Александрович
Элементарная эквивалентность колец эндоморфизмов и групп автоморфизмов абелевых р-групп
01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Научные руководители: д. ф.-м. н. Бунина Елена Игоревна д. ф.-м. н., профессор Михалев Александр Васильевич
Москва 2014
Оглавление
Введение 3
1 Основные понятия 19
1.1 Предварительные сведения об абелевых группах............19
1.2 Языки и модели второго порядка...............26
2 Прямые теоремы и разделение задачи на случаи 32
2.1 Доказательство "более легких" импликаций в теореме. . . . 32
2.2 Подготовительная работа в группе автоморфизмов.....41
2.3 Подготовительная работа в кольце эндоморфизмов.....46
2.4 Разделение задачи на случаи....................................48
3 Ограниченные р-группы. 53
3.1 Разделение пар инволюций...................53
3.2 Выделение специальных множеств (по Шелаху).......55
3.3 Специальные множества для случая ограниченных групп. 59
3.4 Интерпретация группы А для каждого элемента ¥"..........61
3.5 Доказательство первого случая в теореме..........64
4 Прямые суммы делимых и ограниченных р-групп. 67
4.1 Сравнение мощностей множеств экстремальных инволюций. 67
4.2 Доказательство второго случая в теореме..........69
5 Группы с неограниченной базисной подгруппой. 73
5.1 Сравнение порядков экстремальных инволюций..............73
5.2 Выделение базисной подгруппы................................74
5.3 Выделение формульных множеств в базисной подгруппе . 77
5.4 Введение структуры на базисной подгруппе..................78
5.5 Интерпретация теорий второго порядка подгрупп В и О . 80
5.6 Интерпретация логики первого порядка группы А.....81
5.7 Интерпретация ограниченной логики второго порядка группы С........................................................82
5.8 Интерпретация фактор-группы О/В..........................86
5.9 Разложение фактор-группы С/В на прямые слагаемые . . 89
5.10 Интерпретация логики второго порядка группы А.....90
6 Заключение: критерий элементарной эквивалентности 93
Литература 94
Введение
Работа посвящена элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов и групп автоморфизмов абелевых р-грунп и ее связи со свойствами второго порядка самих групп.
Две модели Ы и W одного языка первого порядка С (например, две группы или два кольца) называются элементарно эквивалентными, если любое предложение <р языка С истинно в модели Ы тогда и только тогда, когда оно истинно в модели W. Любые две конечные модели одного языка элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда они изоморфны. Любые две изоморфные модели элементарно эквивалентны, однако для бесконечных моделей обратное неверно. Например, поле С комплексных чисел и поле Q алгебраических чисел элементарно эквивалентны, но не изоморфны, так как имеют различную мощность (для более подробных примеров см. [5]).
Классической книгой по теории моделей (в том числе, и по элементарной эквивалентности) является книга [5]. Подробным обзором 1984 года результатов по элементарной эквивалентности и смежным вопросам является обзор [11] В.Н. Ремесленникова и В. А. Романькова "Теоретико-модельные и алгоритмические вопросы теории групп". Более новые результаты включены в обзоры Е.И. Буниной и A.B. Михалева [17] и [18], а также — в обзор В. Гоулда, A.B. Михалева, Е.А. Палютина, А.А.Степановой [2]. Справочным материалом по теории моделей могут служить книги [13], [3], [10], [12]. Испытательным полигоном для большинства результатов теории моделей служат алгебра, теория чисел и анализ. Среди многочисленных книг и обзоров по приложениям теории
моделей можно выделить те, в которых затрагиваются приложения к теории групп. Основные методы доказательств разрешимости и неразрешимости элементарных теорий изложены в книгах Тарского, Мосто в-ского, Робинсона [33] и Ю. JI. Ершова [3]. Кроме того, в книге Ю. Л. Ершова приведена классификация полных теорий абелевых групп и показано на примерах из алгебры, как работает метод модельной полноты и родственное понятие относительной алгебраической замкнутости. Результаты по проблеме разрешимости элементарных теорий до 1964 года с подробным изложением методов доказательств освещены в обзоре Ю.Л. Ершова, И. А. Лаврова, А. Д. Тайманова, М. А. Тайцлина [4]. Вопросы разрешимости расширенных теорий, особенно расширенных теорий абелевых групп, разобраны в обзоре А. И. Кокорина и А. Г. Пину-са [6].
Известная теорема Бэра-Капланского 4 утверждает, что периодическая абелева группа определяется своим кольцом эндоморфизмов: если две группы имеют изоморфные кольца эндоморфизмов, то сами группы также изоморфны. В 1960 году Лептин доказал аналогичную теорему 8 для групп автоморфизмов абелевых р-групп для р ^ 5: если две группы имеют изоморфные группы автоморфизмов, то сами группы также изоморфны. В 1989 году Либерт доказал такую же теорему 9 для случая р ^ 3. Также Либерт в работе [27] классифицировал все изоморфизмы между группами автоморфизмов двух абелевых р-групп (р ^ 3). Наконец, в 1998 году Шульц в статье [30] доказал аналогичную теорему 10 для случая р = 2. Однако затем в этой статье была найдена ошибка, не устранимая внутренними методами. Таким образом, случай р = 2 все еще остается открытым.
В работе [1] Е.И. Бунина и A.B. Михалев установили связь между свойствами второго порядка абелевой р-группы и свойствами первого порядка ее кольца эндоморфизмов. В этой работе были раздельно доказаны необходимые и достаточные условия элементарной эквивалент-
ности колец эндоморфизмов для различных случаев (теоремы 5, 6, 7), однако критерий получен не был — оставались некоторые случаи, в которых эти условия не совпадали между собой.
Цель работы состоит в развитии старых и создании новых методов для выражения свойств второго порядка абелевых р-групп с помощью свойств первого порядка таких производных структур, как группы автоморфизмов и кольца эндоморфизмов, в установлении связи между элементарной эквивалентностью производных структур и эквивалентностью второго порядка самих групп. Основным задачами диссертации являются: продолжение теоремы Бэра-Капланского об изоморфизмах колец эндоморфизмов абелевых р-групп на случай элементарной эквивалентности, продолжение теорем Лептина и Либерта об изоморфизмах групп автоморфизмов абелевых р-групп на случай элементарной эквивалентности, усиление результата Е.И. Буниной и A.B. Михалева об элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов абелевых р-групп, получение критерия элементарной эквивалентности групп автоморфизмов и колец эндоморфизмов абелевых р-групп в терминах эквивалентности второго порядка самих групп.
В работе используются классические методы теории абелевых групп, теории автоморфизмов и эндоморфизмов периодических абелевых групп, теории моделей и математической логики. Также разработаны некоторые новые методы выражения свойств второго порядка абелевых р-групп через свойства первого порядка их групп автоморфизмов (для р ^ 3) и колец эндоморфизмов.
Основные результаты работы являются новыми. Среди них:
• усиление результата Е.И. Буниной и A.B. Михалева об элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов абелевых р-групп в виде полного критерия элементарной эквивалентности.
• интерпретация логики второго порядка абелевой р-группы (р ^ 3) в группе ее автоморфизмов, разработка методов кодирования эле-
ментов абелевой группы в группе ее автоморфизмов.
• критерий элементарной эквивалентности групп автоморфизмов редуцированных абелевых р-групп (р ^ 3).
• критерий элементарной эквивалентности групп автоморфизмов абелевых р-групп (р ^ 3) с ненулевой делимой частью.
Доказанные в диссертации теоремы могут быть обобщены в одну следующим образом.
Теорема 1 (теорема 41). Кольца эндоморфизмов абелевых р-групп (либо группы автоморфизмов абелевых р-групп, р ^ 3) А\ и А2 элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда
1) если одна из групп А\ или А2 является редуцированной, то
где хх, Х2 — это мощности базисных подгрупп групп А\ и А2, соответственно;
2) если одна из групп А\, А2 не является редуцированной, то
Т Ъ2(А1) = Т Ъ2(А2).
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Заметим, что в любом случае две абелевы группы, у которых кольца эндоморфизмов или группы автоморфизмов элементарно эквивалентны, либо обе являются редуцированными, либо обе таковыми не являются.
Следствие 1. При р ^ 3 элементарные теории группы автоморфизмов абелевой р-группы и ее кольца эндоморфизмов взаимно интерпретируемы.
Для простоты изложения мы будем принимать континуум-гипотезу. Введем основные определения.
Абелева группа А называется п-ограниченной, если пА = 0. Группа называется ограниченной, если она n-ограничена для некоторого натурального п. Если такого п не существует, то такая группа называется неограниченной.
Будем говорить, что элемент а группы А делится на натуральное число п (обозначение: п|а), если уравнение пх = a (a G А) имеет решение в группе А. Группа D называется делимой, если п\а для всех a G D и всех натуральных чисел п. Группы Q, служат примерами делимых групп. Группа А называется редуцированной, если она не имеет ненулевых делимых подгрупп.
Теорема 2 (теорема 22). Всякая группа А является прямой суммой делимой группы D и редуцированной группы G,
A = D®G.
Подгруппа D здесь определена однозначно и называется делимой частью группы А, подгруппа G определена однозначно с точностью до изоморфизма.
Подгруппа G группы А называется сервантной, если уравнение пх = g G G, имеющее решение во всей группе А, имеет решение ив G. Подгруппа G сервантна в группе А тогда и только тогда, когда
VneZ nG = GHnA.
Подгруппа В группы А называется р-базисной, если выполнены следующие три условия:
1) подгруппа В является прямой суммой циклических р-групп и бесконечных циклических групп;
2) В есть сервантная подгруппа группы А;
3) факторгруппа А/В является р-делимой группой.
Всякая группа для любого простого числа р содержит р-базисные подгруппы ([14]).
Нам в дальнейшем будут важны р-группы и их р-базисные подгруппы. Если А есть р-группа и q — простое число, отличное от р, то группа А имеет лишь одну g-базисную подгруппу, равную 0. Поэтому в случае р-групп мы будем называть р-базисные подгруппы просто базисными.
Так как базисная подгруппа В имеет базис, а факторгруппа А/В — прямая сумма групп, изоморфных группе (т. е. А/В также име-
ет систему образующих, которую легко описать), то естественно объединить эти системы образующих и таким путем получить систему образующих группы А. Запишем
в = 0Ы и А/В = 0 С*, где с; = Z(p°°).
iei jeJ
Если прямое слагаемое Cj порождается смежными классами Сд,... ,с*-п,... по подгруппе В, для которых рс*г = 0, рс*п+1 — c*jn (п = 1,2,...), то в группе А можно выбрать элементы cjn £ с*-п того же порядка, что и с*п. Тогда получится следующая система соотношений:
pcji = 0, pcj,n+1 = cjn + bjn (n > 1, bjn e B),
где элемент bjn должен иметь порядок, не превышающий рп, так как °(cjn) = Рп-
Систему элементов {a¿, Cjn}¿e/jGj;7lGw мы будем называть квазибазисом группы А.
Теорема 3 ([14]). Если {a¿,Cjn} — квазибазис р-группы А, то любой элемент а £ А можно записать в виде
а = sia¿1 -i-----Ь smaim + tiajlTll Н-----f- ír%nr, (1)
где Si и tj — целые числа, ни одно tj не делится нар и индексы ii,..., im, так же как и индексы ji,..., jr все различны. Запись (1.1) единственна в том смысле, что в ней однозначно определены члены sai и tcjn.
Теперь введем некоторые понятия, связанные с логикой второго порядка.
Язык второго порядка определяется так же, как и язык первого порядка, с тем лишь отличием, что в нем добавлены предикатные переменные. Именно, если Р1 — предикатная переменная, а ... , ¿/ — термы, то знакосочетание Pl(t\,... ,t{) является формулой, а если (р — формула, то знакосочетание (yPl(vi,..., vi) ср) также является формулой, и вхождение переменной Р1 в нее является связанным. Выполнимость произвольной формулы (р в модели U с универсумом А определяется естественным образом так, что предикатным переменным вида Р1 сопоставляются произвольные подмножества множества А1. Теорией второго порядка модели U называется множество выполнимых в ней предложений второго порядка (обозначение: TI12(£/)). Две модели эквивалентгт в логике второго порядка, если их теории второго порядка совпадают.
Важным примером для нас будет групповой язык. Мы будем считать, что в нем нет функциональных и константных символов и есть единственный трехместный предикатный символ Q3, отвечающий за умножение. Вместо Q3(x 1, Х2, хз) мы будем писать х\ = Х2 • х$ или, если речь идет об абелевых группах, то х\ = Х2+Х3. В качестве примера предложения второго порядка можно привести предложение, выражающее простоту группы:
VP1 (Р( 1) Л VxVy (Р(х) А Р(у) =Ф- Р(х • у'1))) А
A VxVy(P(x) Р{у • х - у'1)) =» (Ух Р(х) V Va; (Р(х) =>х = 1)).
Пусть х — некоторое кардинальное число. Выполнимость формулы ip в модели U с универсумом А с ограничением >с определяется так же, как и обычная выполнимость в логике второго порядка с тем лишь отличием, что предикатным переменным вида Р1 сопоставляются произвольные подмножества множества А1 мощности не больше х. н-Ограпиченной теорией второго порядка модели U называется множество выполнимых в ней предложений второго порядка с ограничением я
(обозначение: Th%(U)). Две модели эквивалентны в логике второго порядка, ограниченной к, если совпадают их х-ограниченные теории второго порядка. Заметим, что если к ^ \А\, то теории TI12(U) и Th^(i7) совпадают. Если же х < оо, то эквивалентность в ограниченной логике второго порядка равносильна элементарной эквивалентности.
Эндоморфизмы абелевой группы А образуют кольцо относительно операций сложения и композиции гомоморфизмов. Это кольцо мы будем обозначать через End (А).
Теорема 4 (Бэр [15], Капланский [25]). Если А и С — периодические группы, кольца изоморфизмов которых изоморфны, то группы А и С изоморфны.
Если группа А — где группа D делима, группа G редуциро-
ванна, то выразимым рангом группы А мы будем называть кардинальное число
rexp - max(fiD,fiG),
где {¿в — это ранг группы D, & цс — это ранг базисной подгруппы группы G.
Теорема 5 ([1]). Для любых бесконечных р-групп А\ и Ач из элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов End(Ai) и End(^2) следует совпадение теорий второго порядка Th2exp^^(Ai) и Thr2exp{A2) (А2) групп А\ и А2, ограниченных кардинальными числами reXp(Ai) и гехр(А2) соответственно.
Теорема 6 ([1]). Для любых абелевых групп А\ и если группы А\ и А2 эквивалентны в языке второго порядка С2, то кольца End (Ai) и End (А2) элементарно эквивалентны.
Теорема 7 ([1]). Если абелевы группы А\ и А2 редуцированны и их базисные подгруппы счетны, то из Th%(Ai) = ТЬ^Аг) следует элементарная эквивалентность колец End(Ai) и End(A,2).
Автоморфизмы абелевой группы А образуют группу относительно операции композиции. Эту группу мы будем обозначать через АиЬ (А).
Теорема 8 (Лептин [26]). Если р ^ 5 и А, С — некоторые р-группы с изоморфными группами автоморфизмов, то группы А и С изоморфны.
Теорема 9 (Либерт [27]). Если р ^ 3 и А, С — некоторые р-группы с изоморфными группами автоморфизмов, то группы А и С изоморфны.
Теорема 10 (Шульц [30]). Если р ^ 2 и А, С — некоторые р-группы с изоморфными группами автоморфизмов, то группы А и С изоморфны.
Аналогичные теоремы об элементарной эквивалентности групп автоморфизмов доказываются в данной диссертации.
В главе 1 вводятся определения и известные теоремы, необходимые в данной работе. Первый параграф посвящен сведениям из теории абелевых групп. В нем вводятся основные понятия об абелевых р-группах, рангах абелевых групп, делимых группах, сервантных и базисных подгруппах, кольцах эндоморфизмов и группах автоморфизмов абелевых р-групп. Второй параграф посвящен необходимым сведениям из теории моделей. В нем определяются язык и модели второго порядка, эквивалентность второго порядка, язык второго порядка абелевых групп, ограниченные теории второго порядка.
Глава 2 посвящена доказательству импликаций теоремы 41 в обратную ("легкую") сторону, а также подготовке к доказательству импликаций в прямую сторону.
В первом параграфе выражается элементарная теория кольца эндоморфизмов (а значит, и группы автоморфизмов) в теории второго порядка абелевой группы. Доказывается следующая теорема.
Теорема 11 (теорема 32). Для любых абелевых групп А\ и Л 2 если группы А\ и А2 эквивалентны в языке второго порядка С2, то колъ-
ца ЕпсЦАх) и ЕпсЦЛг) (и, значит, группы автоморфизмов АШ,А1 и Ах&Аъ) элементарно эквивалентны.
Далее для того, чтобы полностью доказать простую импликацию в теореме 41, в языке второго порядка абелевой группы записывается формула, которая выполняется для редуцированных р-групп, базисные подгруппы которых меньше их по мощности (и поэтому счетны), и только для них. Тем самым, доказательство простой импликации завершается следующей теоремой.
Теорема 12 (теорема 33). Если абелевы группы А\ и А2 редуцированны и их базисные подгруппы счетны, то из ТЩ{А\) = ТЩ^А?) следует элементарная эквивалентность колец Епс1Л1 и Епс1А2 (и, значит, элементарная �
