Определяемость абелевых групп своими кольцами эндоморфизмов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

СЕБЕЛЬДИН Анатолий Михайлович

ОПРЕДЕЛЯЕМОСТЬ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП СВОИМИ КОЛЬЦАМИ ЭНДОМОРФИЗМОВ

01.01.06. - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск 1997

Работа выполнена в Нижегородском государственном педагогическом университете

Официальные оппоненты :

доктор физико-математических наук, профессор БОКУТЬ JI.A.

доктор физико-математических наук, профессор КРЫЛОВ П.А.

доктор физико-математических наук, профессор МИХАЛЕВ A.B.

Ведущая организация : Московский педагогический государственный университет им. В.И.Ленина

Зашита состоится "¿Л-" м^Л^рЛ 199?- г. в № часов на заседании диссертационного совета Д 002.23.01 в Институте математики СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск-90, Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002.23.01

ФЕДОРЯЕВ С.Т.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория абелевых групп является одним из важных направлений современной алгебры. Все возрастающий интерес к абелевым группам понятен: теория абелевых групп тесно переплетается с теориями модулей, колец, множеств, категорий, чисел. С одной стороны, теория абелевых групп являясь частью теории модулей использует ее идеи и методы, с другой стороны, она - один нз основных побудителей новых исследований в теории модулей (см. [1МС]).

Глубокая структурная теория периодических абелевых групп, заложенная Прюфером, Ульмом, Куликовым, позволяет решать многие задачи для этого класса абелевых групп. Другое дело - теория абелевых групп без кручения. Классы групп с хорошей структурной теорией немногочисленны. Работы Понтря-гииа [1По], Куроша [1Кур], Мальцева [1Ма1], Дэрри [20е], Куликова [1Кул1]-[1Кул9] положили начало теории абелевых групп без кручения. Удовлетворительной структурной теории даже для групп без кручения конечного ранга не существует до сих пор. А из работы Яковлева [1Я] вытекает, что "хорошей" классификации групп конечного ранга вообще не может быть. В книгах [2А], [2Ве] отражено развитие теории групп без кручения, в основном конечного ранга, после появления монографии фукса [1Ф1], [1Ф2] (см. также [1МиМ], [1Миш1]-[1Миш2]).

Важной задачей теории абелевых групп является изучение связей между абелевой группой и ее кольцом эндоморфизмов. Теория колец эндоморфизмов абелевых групп берет начало в теории линейных операторов векторных пространств. Основы ее заложены Бэром, Капланским, Селе, Пирсом и др. (см. [2В], [1МаМ], [1Мнх1]). Одним из наиболее естественных вопросов при изучении связей между абелевой группой и ее кольцом эндоморфизмов является вопрос об изоморфизме абелевых групп с изоморфными кольцами эндоморфизмов (известная проблема 43 книги Фукса [2Р1]). Если для периодических абелевых групп ответ на поставленный вопрос положителен, то для абелевых

групп без кручения это далеко не так. Вместо кольца эндоморфизмов можно рассматривать, например, только его аддитивную или мультипликативную части.

Настоящая работа посвяшена изучению связей между абеле-выми группами с изоморфными кольцами (группами, полугруппами) эндоморфизмов, а также близким вопросам.

Все вышесказанное позволяет считать тему диссертации актуальной.

Цель работы. Основной целью работы является исследование вопроса об изоморфизме абелевых групп с изоморфными кольцами, полугруппами, аддитивными группами эндоморфизмов для некоторых известных классов абелевых групп, а также для вновь введенных в работе классов.

Общая методика исследований. В диссертации используются методы теории абелевых групп, теории колец и модулей, методы линейной алгебры, теории чисел и теории множеств. При изучении вопроса об изоморфизме абелевых групп с изоморфными кольцами, полугруппами, аддитивными группами эндоморфизмов применяется понятие определяемости абелевой группы ее кольцом (группой, полугруппой) эндоморфизмов в некотором классе, что позволяет, например, сводить решение этой задачи к более узкому классу групп н, таким образом, ее упростить. В работе введены новые классы абелевых групп, для которых решается вопрос об изоморфизме групп из данных классов с изоморфными кольцами эндоморфизмов, что позволяет получать, как следствия, результаты для уже известных классов.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Основными результатами данной работы можно считать следующие.

1) Решение проблемы 43 книги [2П], а также ее аналогов с полугруппами и аддитивными группами эндоморфизмов для вновь введенных, а также для уже известных классов абелевых групп.

2) Выделение из известных классов абелевых групп без кручения специальных подклассов с помощью которых получены решения проблем 34 из [1Ф1] и 42 из [2Р1].

3) Сведение вопроса об определяемое™ кольцом, группой и полугруппой эндоморфизмов абелевой группы без кручения в классе всех абелевых групп к этому же вопросу в классе всех абелевых групп без кручения.

4) Выделение классов абелевых групп, для которых задача определяемости полугруппами эндоморфизмов эквивалентна аналогичной задаче с кольцами эндоморфизмов.

5) Для определяемости абелевой группы без кручения своим кольцом эндоморфизмов в классе всех абелевых групп без кручения найдено необходимое условие, которое оказывается и достаточным для многих классов абелевых групп без кручения.

Как следствия получены многие известные соответствующие результаты Бэра, Капланского, Крылова, Мэя, Пуусемпа и др.

П2актическая_ценность. Результаты, изложенные в диссертации, имеют теоретическое значение. Идеи и методы, изложенные в работе, могут применяться при решении аналогичных задач в теории модулей и других алгебраических структурах. Ряд утверждений работы позволяет получить информацию о строении кольца эндоморфизмов, группы гомоморфизмов абелевых групп без кручения. Введение новых классов расширяют знания о строении абелевых групп. Ряд теорем использован автором при чтении спецкурсов, некоторые результаты работы вошли в монографию [2Ве].

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на 11, 12 н 19 Всесоюзных алгебраических конференциях (Кишинев, 1971 г., Свердловск, 1973 г., Львов, 1987 г.), Всесоюзном симпозиуме по теории групп (Гомель, 1986 г.), Всесоюзном симпозиуме по теории колец, алгебр и модулей (Львов, 1990 г.), Международных конференциях по алгебре (Новосибирск, 1989 г., Барнаул, 1991 г. Красноярск, 1993 г.), на заседании международной школы "Алгебра и анализ" (Иркутск, 1992 г.), на международной конференции по теории полугрупп (Санкт-Петербург, 1995 г.), на международных конференциях по теории абелевых групп (Padova, 1994 г., Colorado Springs, 1995 г.), на семинарах по теории групп и теории колеи в Новосибирском госуниверситете (1992 -

1993 г. г.)» на семинаре "Алгебра и логика" (1993 1995 г.г.)» на алгебраических семинарах Московского госуниверситета, Московского педагогического госуниверситета, Томского госуниверситета (1972 - 1995 г.г.), Ленинградского госуннверситета (1991 г.), Нижегородского госуниверситета, Нижегородского педагогического университета (1990 1995 г. г.). Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [3C1]-[3C37].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, списка обозначений, четырех глав, первая и четвертая из которых, содержат по четыре параграфа, вторая и третья - по пять. Список литературы содержит 105 наименований. Диссертация изложена на 252 страницах машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Классический результат (теорема Бэра-Капланского [2Р1], § 56) о том, что любые две периодические абелевы группы с изоморфными кольцами эндоморфизмов изоморфны, дал толчок многочисленным исследованиям в этом направлении. Вышеупомянутую проблему 43 книги [2Р1] Фукса: "когда изоморфизм колец эндоморфизмов абелевых влечет изоморфизм самих групп?" можно трактовать по-разному.

Будем говорить, что группа <7 из некоторого класса £ абелевых групп определяется своим кольцом Е(в) эндоморфизмов в этом классе, если в классе I нет такой группы Н, что И » О и Е(Н) = Е(С). Через *(£) будем обозначать подкласс класса ЗЕ групп определяющихся своим кольцом эндоморфизмов в классе ЭЕ.

Таким образом, проблему 43 теперь с одной стороны, можно рассматривать как вопрос об определяемости абелевой группы в классе и всех абелевых групп, т.е. описание класса ЩЕ).

Будем говорить, что некоторый класс X абелевых групп является £-классом, если каждая группа из этого класса определяется своим кольцом эндоморфизмов в этом классе т.е. ЩЕ) = Класс ЭГ назовем ЫЕ-классом, если в I нет групп определяющихся своим кольцом эндоморфизмов в классе I т.е. 3Е(£) = 0. Подкласс групп С из £(£) для которых всякий кольцевой изоморфизм

а: £((/) -» Е(Н) индуцируется некоторым групповым изоморфизмом

£:(? -> И (а: г -> РПГ1) обозначим через !(£/). Класс 2 назовем £/-классом, если Ж = £(£/). В частности, класс 2 всех периодических абелевых групп является и £/-классом ([2Р1], § 56).

Таким образом, описание всех £-классов (£/-классов) является также одним из вариантов трактования проблемы 43.

Аналогичные определения можно дать для мультипликатнв-

ной полугруппы £*(G) н аддитивной группы E*(G) кольца E(G).

Описание класса ЩЕ) естественно начать с пересечения ï п ЩЕ) которое фактически описано в [2МаТ]. Ясно, что пересечение 3 л ЩЕ) - непустое, где 3 - класс всех абеле-вых групп без кручения. Действительно, легко видеть, что любая делимая абелева группа без кручения принадлежит классу ЩЕ). В работе показано, что в классе ЩЕ) есть и редуцированные абелевы группы без кручения. Найдено пересечение класса нередуцированных вполне разложимых абелевых групп без кручения конечного ранга с классом ЩЕ). Выделены классы смешанных абелевых групп из ЩЕ). Вопрос об опреде-ляемости абелевой группы без кручения своим кольцом эндоморфизмов в классе всех абелевых групп сведен к этому же вопросу в классе всех абелевых групп без кручения. Если G € S и редуцированная часть R(G) группы G принадлежит Ъ(Е), то ясно, что G е Ъ(Е)., Обратное уже неверно. Редуцированные абелевы группы без кручения достаточно редко попадают в 3(Е). Известный результат Корнера [2G>] говорит о том, что класс всех счетных редуцированных абелевых групп без кручения является ЫЕ-классом. Обобщая этот результат, Дугас и Гебель показали, что класс всех редуцированных абелевых групп без кручения, не содержащих подгрупп изоморфных для любого простого р, является NE-классом ([2DuG]). С другой стороны, в настоящей работе показано, что класс 3АС алгебраически компактных абелевых групп без кручения является f-классом и группа из 3АС принадлежит 3(£) тогда и только тогда, когда она почти делима (абелеву группу назовем почти делимой, если почти для всех простых р pG = G). Условие почти делимости оказалось очень существенным при изучении вопроса определяемостн абелевых групп своими кольцами эндоморфизмов. В данной работе найдено условие на группу G € 3 :

всякая сервантная подгруппа ранга 1 почти делима (а) необходимое для того, чтобы G € 3(£).

Класс t назовем Е -классом, если условие (совокуп-

ность условий) (у) на группу G е Ж является необходимым и достаточным для того, чтобы G € Э?(£). В работе показано, что £а-классамн являются класс Sq, вполне разложимых абелевых групп без кручения и класс Зю однородно разложимых сепарабельных абелевых групп без кручения. Причем, при решении этого вопроса для класса Sqj существенно использовался известный результат Бэра-Куликова-Капланского о том, что прямое слагаемое группы из этого класса само принадлежит этому классу. Можно заметить, что условие (а) для групп вышеуказанных классов эквивалентно условию:

всякое прямое слагаемое ранга 1 почти делимо, (ß) Класс 3™ редуцированных векторных абелевых групп без кручения мощность которых не превосходит первого кардинала X1 ненулевой меры является Е^-классом. При получении этого результата существенно использовались результаты Сонсяды и Мишиной для векторных групп.

В работе выделяются специальные классы, являющиеся ¿¡/-классами, а также £а-классами, при этом получаются интересные пересечения с известными классами.

При переходе к вопросу об определяемостн абелевых групп своими аддитивными группами эндоморфизмов, прежде всего очевидна связь с вопросом о строении группы Нот(А, Б), кроме того, связь с теорией множеств. Например, следующее предложение:

"класс делимых абелевых групп без кручения бесконечного ранга является £*-классом"

эквивалентно следующему теоретико-множественному предложению:

"для любых бесконечных кардиналов 1 и Я

я» t>

равенство 2 - 2 влечет равенство 1 = Я . В системе аксиом (ZFC+G.C.H.) в работе получено описание класса I п ЩЕ?). Ясно, что делимые группы без кручения конечного ранга, расщепляющиеся смешанные группы с конечной периодической частью, часть без кручения которых - делимая конечного ранга принадлежат ЩЕ*). Оказывается, что класс И(Е*) содержит и неделимые группы без кручения. В работе

полностью описаны классы 2н Б*), что позволяет легко строить примеры для положительного решения проблемы 42 из [2Р1]. В системе аксиом (НРС+С.С.Н.) класс всех делимых абелевых групп без кручения - подкласс класса ЩЕ*), класс 3*с редуцированных алгебраически компактных абелевых групп без кручения является ^-классом. Вопрос об определяемости абелевой группы без кручения своей группой эндоморфизмов в классе всех абелевых групп сводится к этому же вопросу в классе всех абелевых групп без кручения.

Изучение строения группы Нот(А, В) (см. проблемы 40 и 30 из [1Ф1] и [2Р1]) полезно также и при решении вопроса об определяемости абелевых групп своими группами эндоморфизмов. В работе исследуются условия при которых группа Нот(А, В) изоморфна одной из групп А или В для групп А и В некоторых известных классов. Связь с теорией множеств здесь тоже достаточно заметна.

Оказывается, изоморфизм полугрупп эндоморфизмов абелевых групп связывает эти группы гораздо сильнее чем изоморфизм аддитивных частей колец эндоморфизмов. Для класса периодических абелевых групп справедлив аналог теоремы Бэра-Капланского т.е. класс периодических абелевых групп является £*-классом ([1Пу1]). В настояшей работе описаны классы

3□>(£*), 5д(£*), Зу3 п Зд(£') и 3ДС(£*),

где З3 - класс всех сепарабельных, а Зте - класс всех векторных сепарабельных абелевых групп без кручения.

Пусть I - некоторый класс абелевых групп, тогда нередуцированная абелева группа без кручения С принадлежит £(£*), если её редуцированная часть принадлежит

£(£*). Нередуцированная абелева группа <7 без кручения, принадлежит !(£*) тогда и только тогда, когда <7 е Х(Е). В частности, делимые абелевы группы без кручения принадлежат 11(£*). Вопрос об определяемости абелевых групп без кручения своими полугруппами эндоморфизмов также сводится к определяемости только в классе абелевых групп без кручения. Интересные £*-классы абелевых групп можно получить из модульных результатов работ [1Мих2] - [1Мих6].

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Естественный изоморфизм

Нст(А, ®Л€ЛВЛ) = 9>ь€АНот(А, В^) для абелевых групп не всегда имеет место. В первом параграфе исследуется вопрос, когда этот изоморфизм имеет место. В частности, если А - абелева группа без кручения конечного ранга, Вд - произвольные абелевы группы без кручения, то это так. Кроме того, в первом параграфе работы доказываются некоторые вспомогательные результаты. Следующая теорема дает отрицательное решение проблемы 34 из [1Ф1].

Теорема 1(1.9). Существует класс нензоморфных абелевых групп без кручения такой, что для любых групп А и В из этого класса группы Нот(А, X) и Мот(В, X) изоморфны для произвольной абелевой группы X.

Второй, третий и четвертый параграфы работы посвящены изучению вопроса об изоморфизме группы гомоморфизмов Нот(А, В) группе А или группе В в классах вполне разложимых векторных Зу и алгебраически компактных 3АС абелевых групп без кручения. Для групп А из вышеуказанных классов, в частности, решен вопрос об изоморфизме Е*(А) £ А (см. проблема 45 из [2Р1]).

Вторая глава посвящается вопросу об определяемости абелевых групп своими кольцами эндоморфизмов.

В пятом параграфе основной вопрос этой главы для абелевых групп без кручения в классе всех абелевых групп сводится к этому же вопросу в классе всех абелевых групп без кручения.

В шестом параграфе для специального класса абелевых групп без кручения (теорема 6.4) рассмотрен основной вопрос второй главы и, как следствия, получены результаты для других, известных, классов, в частности для алгебраически компактных абелевых групп без кручения.

Кроме того в § 6 (предложение 6.16) выделены классы смешанных абелевых групп из класса ЩЕ).

Обозначим через класс всех абелевых групп, являющихся циклическими модулями над своими кольцами эндоморфизмов, через И^ц подкласс класса ^ всех групп у которых каждый эндоморфизм полностью определяется заданием образа образующего элемента. Пусть G е элемент g е С являющийся ¿(ф-образующнм назовем EU-образующим, если он принадлежит неразложимому прямому слагаемому Gv (G = <7а© Gz) и чКе) = Ш) влечет

для любых р, ф е E(G). Если А - некоторая неразложимая группа из класса через обозначим подкласс групп

G класса содержащих группу А в качестве прямого слагаемого, причем всякое неразложимое прямое слагаемое группы G принадлежит и всякое прямое слагаемое, изоморф-

ное А, содержит ¿¿/-образующий группы G. Основным результатом седьмого параграфа является

Теорема 2(7.1). Для любой неразложимой группы А € IL. класс V" является ¿/-классом.

Классы достаточно широки, однако, наиболее содержательные их примеры относятся к случаю, когда А - группа без кручения. Если же А - периодическая группа, то из ее неразложимости и принадлежности к следует, что А -

циклическая р-группа, порядка р\ а является классом

ограниченных р-групп, где рк является максимальным порядком элементов. Далее, неразложимые группы из класса не могут быть смешанными, поскольку смешанные группы всегда разложимы. Если А - группа без кручения ранга 1 идемпотент-ного типа, тогда в классе можно выделять известные

подклассы которые, естественно, будут являться ¿'/-классами. Таким образом можно получить соответствующие результаты работ [2На], [2MS], [2We].

Легко получается, что класс является ¿/-классом

и даже ¿^-классом. Как следствие, можно получить, например, соответствующий результат работы [1Кр1], выделяя подкласс вполне транзитивных абелевых групп без кручения являющийся подклассом класса

Пусть - класс всех абелевых групп, имеющих нераз-

ложнмые прямые слагаемые, причем все они принадлежат и содержат Ш-образуюшнй всей группы. Тогда сооветствуюшим подбором группы А можно показать, что с и, следовательно, класс является £/-классом.

Следующая теорема восьмого параграфа играет существенную роль в исследовании основного вопроса настоящей работы: ' Теорема 3(8.4). Если группа принадлежит классу 3(£), то всякая ее сервантная подгруппа ранга 1 почти делима т.е. выполнено условие (а).

Заметим, что условие (а) не является достаточным для принадлежности группы классу 3(Е>. С другой стороны, существует множество таких классов Ж абелевых групп без кручения, для которых условие (а.) на группу из этого класса является необходимым и достаточным для ее принадлежности классу Ж(Е) (Еа- классы).

Класс £ с 3 назовем Г-классом, если для любой характеристики V = у которой все отличны от ® имеет место С ® А е Ж, где <7 - произвольная группа из Ж, А - абелева группа без кручения ранга 1 и типа, определяемого характеристикой р.

Следующая теорема восьмого параграфа занимает центральное место во второй главе:

Теорема 4(8.7). Пусть - такое семейство клас-

сов, что их об'единение является Г-классом, группы из классов ЭГ^ - однородные типа Гд (тл * т3 при А * 5, А, б е Л) без кручения, и ЭЕЛ является £-классом, если группы СА из Ж^ почти делимы. Тогда класс I2 всех , групп вида ®Л€д<?д (Д с Л, Сд € Ж^) является £а-классом.

Используя эту теорему в восьмом параграфе получаем такой результат:

Теорема 5(8.8). Пусть ЗЕ^ - классы однородных типа тл {т^ * та при А * 8} вполне транзитивных абелевых групп без кручения, каждый эндоморфизм которых есть мономорфизм. Тогда ЭЕ2 является £а-классом.

С помощью этой теоремы получаем, что классы Зт, Зю -£а-классы. Доказательство того, что класс является

Е^классом проведенное уже в девятом параграфе существенно опирается на описание кольца эндоморфизмов произвольной группы из 3™. полученное в работе.

Завершает восьмой параграф следующий результат:

Теорема 6(8.21). Класс 3АС является E-классом и группа из 3АС принадлежит 3(£) тогда и только тогда, когда она почти делима.

Нетрудно заметить особую роль класса Здс алгебраически компактных абелевых групп без кручения в решении основного вопроса второй главы. Подход разработанный Ершовым в работах [1Е1],[1Е2] дает надежду на решение вопроса о принадлежности абелевой группы без кручения с ненулевой алгебраически компактной подгруппой классу 3 п ЧЕ) равного Ш) \ & (теорема 5.8).

Третья глава настоящей работы посвящена вопросу определяемое™ абелевых групп своими группами эндоморфизмов.

Прежде всего, отметим следующий результат из § 10:

Теорема 7(10.11).(ZFC+G.C.H.) 3 п «(£*) = 3(0 \ 3*. где 3+ = 3*с и у, а 3' - класс нередуцированных абелевых групп без кручения, редуцированные части которых, являются прямыми суммами двух их вполне характеристических подгрупп, причем одна из них - всегда ненулевая алгебраически компактная группа.

Таким образом, определяемость абелевых групп без кручения своими группами эндоморфизмов достаточно рассматривать только в классе абелевых групп без кручения.

В одиннадцатом параграфе показывается (ZFC+G.C.H.), что класс 3*с является £*-классом, в общем же случае справедлива следующая теорема.

Теорема 8(11.7). (ZFC+G.C.H.) Алгебраически компактная абелева группа А без кручения принадлежит 3АС(£*) тогда и только тогда, когда ранг ее редуцированной части R(A) меньше ранга ее делимой части D(A), если D(A) * 0.

Следующая теорема, полученная объединением результатов параграфов 12 и 13, описывает сразу два класса ЪС0(ЕФ') и 3¡(E*)r где Зу - класс векторных групп редуцированная часть

которых принадлежит классу 3™. Если <? = ®хеЛСА е Зт или С = е Зу, то положим Цт) = РкбЛ; т(С^) = г/.

Теорема 9(12.2+13.3). Пусть зе = Зт, либо Г = 3*. Группа в принадлежит классу £(£*) тогда и только тогда, когда:

1) всякое прямое слагаемое ранга 1 почти делимо;

' 2) если |Л(т')| < К0, то |ит<т,Л(т)| < Ко,

3) для любого бесконечного кардинала Я равенстю Зг=

влечет равенство Я = л(0(С)) ;

4) если г(ЩО)) 2 к0, то г(0(в)) > г(Щв)).

В четырнадцатом параграфе получено описание периодических абелевых групп из класса ЩЕ*), а именно:

Теорема 10(14.1). (2РС+С.С.Н.) Периодическая абелева группа А = ®р€5(А)^р определяется своей группой эндоморфизмов в классе всех абелевых групп тогда н только тогда, когда выполняются следующие условия :

1) группа А ограничена;

2) если ¡Лр(к) 2 Хо, то при I < к, либо /Ар(0 - 0, либо ¡кр(1) > ¡кр(к), где к,1 <= К р е

= (раАр)Ср]/(ра*1Ар)[рЗ - о'-й Ульмовский инвариант.

Примеры, построенные в работе, дают более ясное представление о введенных классах. Например, пересечение классов 5 и ЩЕ?) непусто, 3 п ЦЕ*) * Ъ(Е*) и так далее.

Четвертая глава посвящена вопросу определяемостн абелевых групп своими полугруппами эндоморфизмов.

Из изоморфизма полугрупп эндоморфизмов довольно часто вытекает изоморфизм самих колец эндоморфизмов, что помогает при решении основного вопроса этой главы. В § 15 выделяются такие классы абелевых групп.

Абелеву группу А назовем Е-группой, если любой полугрупповой изоморфизм Е'(А) = Е'(В) для любой абелевой группы В является кольцевым и £*-группой, если для любого класса абелевых групп I содержащего А она определяется в нем своим кольцом эндоморфизмов тогда и только тогда, когда она определяется своей полугруппой эндоморфизмов в этом классе. Ясно, что всякая Е-группа является £*-группой, но

не наоборот (см., например, теорему 15.9).

Множество прямых слагаемых абелевой группы А

назовем существенным, если для любого ненулевого эндоморфизма группы А существует разложение

А = Лк © Ал 9 Л^ в котором образ некоторого элемента из Ак имеет ненулевую компоненту в А^ {к,зеК}. Разумеется при к-л разложение имеет вид

Изоморфизм (I полугруппы эндоморфизмов £ {А) абелевой группы А на полугруппу эндоморфизмов Е'(В) произвольной абелевой группы В будем называть просто мультипликативным изоморфизмом группы А. Будем называть изоморфизм ^ аддитивным на прямом слагаемом А', группы А, если его ограничение на Е(А') является кольцевым изоморфизмом. В этой терминологии можно сформулировать следующий важный результат пятнадцатого параграфа.

Теорема 11(15.5). Абелева группа является £-группой тогда н только тогда, когда любой ее мультипликативный изоморфизм аддитивен на каждом прямом слагаемом существенного множества ее прямых слагаемых.

Следствие 12(15.12). ([2Ма], [1Пу2]) Для любой абелевой группы А существует такая делимая группа О, что их прямая сумма А ® О определяется своей полугруппой эндоморфизмов в классе всех абелевых групп.

Равенство ЩЕ') п 3 = Ъ(Е') \ 3*с (теорема 15.13) говорит о том, что определяемость абелевых групп без кручения своими полугруппами эндоморфизмов достаточно рассматривать только в классе абелевых групп без кручення. Таким образом, получаем следующий результат.

Теорема 13(5.8+10.11+15.13). Редуцированная абелева группа без кручения принадлежит ЩЕ), ЩЕ*) или ЩЕ') тогда и только тогда, когда она принадлежит соответственно Ъ(Е), 3(Е*) или 3(Е*) и не является алгебраически компактной.

Отметим также важные равенства, доказанные в § 15:

ЩЕ') п 1 = «(£) о I и 3АС = ЗдсС£*,). Кроме того, в этом параграфе показано, что делимые абелевы группы без кручения принадлежат классу ЩЕ') (следствие 15.10).

Результаты параграфов 16 и 17 формально можно объединить в одну теорему.

Введем вспомогательные обозначения. Через П обозначим множество всех различных почти делимых типов (т.е. типов, соответствующие группы ранга 1 которых, почти делимы), через обозначим множество всех таких типов из £2 характеристики которых содержат ровно п (еЛ0) мест не соответствующих символам Тип т ей назовем изолированным в некотором подмножестве £7 множества Я, если любой тип из СУ несравним с ним, либо равен ему. Множество £2* назовем изолированным во множестве £7 (Я*, с £2), если каждый тип из множества П* изолирован в £7. Наконец, подмножество £2" множества назовем сверхизолнрованным в £7, если

£У изолировано в £7 и для любого £7"С П из того, что £7" изолировано в П"и (£7 \ £Г), СГп (£7 \ = и и |£Гп £у = |£Гп для каждого п = 0,1,2,..., следует £7"= £Г.

По определению считаем, что пустое подмножество всегда сверхизолировано.

Пусть А принадлежит одному из классов Зд, Зт или

Через ЩА) обозначим множество всех различных типов прямых слагаемых ранга 1 группы А, через £7(А) - множество всех таких типов т из £2(Д), что тип т изолирован в £!(А) и в любом прямом разложении группы А нет однородных прямых слагаемых типа т ранга два. Пусть £ - один из трех вышеупомянутых классов, тогда имеет место следующий результат:

Теорема 14(16.5+17.1+17.4). Группа А принадлежит £(£*) тогда и только тогда, когда каждое прямое слагаемое ранга 1 группы А почти делимо и £7(А) сверхизолировано в ЩА).

Кроме того, в § 17 найдено пересечение классов Зте и З3(£*), а также описаны сепарабельные и векторные £-группы

(теоремы 17.7 и 17.8).

В работе не рассматривается вопрос об определяемости абелевых групп своими группами автоморфизмов. Можно только отметить, что для одного специального класса абелевых групп решен (теорема 18.5) вопрос об аддитивной порождаемости кольца эндоморфизмов группой автоморфизмов (проблема 31 из [2F2]), который оказался очень тесно связанным с аддитивными задачами теории чисел. Используя этот результат, ответ на поставленный вопрос полностью решен для классов Sq, и 3yR. В частности, это позволяет строить примеры групп задача описания которых есть суть проблемы 51 из [2F1]. Задача об определяемости абелевой группы своей группой автоморфизмов рассматривалась в работах [1Н], [1С], [2DE], [2Le], [2Li]. Истоки этой задачи восходят к работе Мальцева [1Ма2]. Работы в этом направлении Бейдар, Голубчика и Михалева [1БМ], [1Го], [1ГМ], [1Мих4], [1Мих5] позволяют надеяться на существенные продвижения в этом вопросе.

Основными результатами работы являются теоремы 1 - 4, 11, 13 и 14.

Литература

[1БМ] Бейдар К.И., Михалев A.B., On Mal'cev's theorem on elementary equivalence of linear groups // Contemp. Math. 1992, V. 131, P. 29-35.

[1Г] Голубчик И.З., Isomorphisms of a group GL^R), over on associative ring R // Contemp. Math. 1992, V. 131, P. 123-136.

[1ГМ] Михалев A.B., Изоморфизмы полной линейной группы над ассоциативным кольцом // Вест. Моск. ун-та, сер. мат. мех. 1983, № 3, С. 61-72.

[1Гр] Гриншион С.Я., Примарные абелевы группы с изоморфными группами эндоморфизмов // Матем. заметки. 1973, Т. 14, № 5, С. 733-740.

[1Е1] Ершов Ю.Л., Об алгебраически компактных группах // Алгебра и логика, 1978, Т. 17, № 6, С. 684-692.

[1Е2] -, Об алгебраически компактных группах И //

Алгебра и логика, 1979, Т. 18, № 4, С. 408-414.

[lK.pl] -, Неприводимые абелевы группы без кручения и их кольца эндоморфизмов // Абелевы группы и модули, Томск: Изд-ю Томск, ун-та, 1986, С. 73-100.

[1Кул1] Куликов Л.Я., К теории абелевых групп произвольной мощности // Матем. сб. 1941, Т. 9, С. 165-182.

' [1Кул2] к теории абелевых групп произвольной мощности // Матем. сб. 1945, Т. 16, С. 129-162.

[1КулЗ] -, О прямых разложениях групп // Укр. матем. жури. 1952, Т. 4, С. 230-275.

[1Кул4] -, Обобщенные примарные группы // Труды Моск. Матем. об-ва, 1952, Т. 1, С. 247-326.

[1Кул5] -, Обобщенные примарные группы // Труды Моск. Матем. об-ва, 1953, Т. 2, С. 85-176.

[1Кул6] -, Универсально полные абелевы группы // Труды

3-го Всесоюзн. матем. съезда, 1956, Т. 1, С. 26-28.

[1Кул7] -, Условия расшепляемости смешанных абелевых групп // УМН. 1958, Т. 13, Л 3, С. 247.

[1Кул8] -, Группы расширения абелевых групп // Труды

4-го Всесоюзн. матем. съезда, 1961, Т. 2, С. 9-11.

[1К,ул9] Строение группы абелевых расширений произвольной абелевой группы с помощью периодической. // УМН. 1964, Т. 19, № 2, С. 228.

flKyp] Курош А.Г., Primitive torsionfreie abelsche Gruppen vom endlichen Range // Ann. of Math. 1937, V. 38, P. 175-203.

[IMal] Мальцев А.И., Абелевы группы конечного ранга без кручения // Матем. сб. 1938, Т. 4, С. 45-68.

[1Ма2] Об элементарных свойствах линейных групп // Некоторые вопросы математики и механики, Новосибирск, 1981, 110-132.

[1МаМ] Марков В.Т., Михалев A.B., Скорняков Л.А., Ту-ганбаев A.A., Кольца эндоморфизмов модулей и структуры подмодулей. В кн.: Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия., 1983, Т. 21, С. 183-254.

[1Мих1] Михалев A.B., Кольца эндоморфизмов модулей и

структуры подмодулей. В кн.: Итогн науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия., 1974, Т. 12, С. 51-76.

[1Мих2] -, Изоморфизмы полугрупп эндоморфизмов модулей // Алгебра и логика., Новосибирск., Издательство "Наука" Сибирское отделение, 1966, Т. 5, вып. 5, С. 59-67,

[1МихЗ] Изоморфизм полугрупп эндоморфизмов модулей II // Алгебра и. логика., Новосибирск., Издательство "Наука" Сибирское отделение, 1967, Т. 6, вып. 2, С. 35-47.

[1Мих4] Мультипликативная классификация ассоциативных колец // Мат. сб. 1988, Т. 135 (177), Jfe 2, С. -210-224.

[1Мих5] -, Изоморфизмы колец эндоморфизмов модулей, близких к свободным // Вест. Моск. ун-та, сер. мат. мех. 1989, № 2, С. 20-27.

[1Миш1] Абелевы группы. В кн.: Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия., 1979, Т. 17, С. 3-63.

[1Миш2] Абелевы группы. В кн.: Итогн науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия., 1985, Т. 23, С. 51-118.

[1МС] -, Скорняков Л.А., Абелевы группы и модули. М.: Наука, 1969,

[1Н] Никифоров В.А., Абелевы группы без кручения с конечными группами автоморфизмов // Матем. заметки, 1986, V. 39, 5, С 641-646.

[1По] Понтрягин Л.С., The theory of topological commutative groups <//»Ann. Math. 1934, V. 35, P. 361-388.

[1Пу1] Пуусемп П., Об определяемости периодической абе-левой группы своей полугруппой эндоморфизмов в классе всех периодических абелевых групп // Изв. АН ЭстССР, Физ. мат., 1980, Т. 29, № 3, С. 246-253.

[1Пу2] -, Об одной теореме Мэя // Изв. АН ЭстССР, Физ. Мат., 1989, Т. 38, Jfe 2, С. 139-145.

[1С] Солонина А.Г., Об определяемости р-адических модулей группами автоморфизмов // Моск. гос. пед. ин-т им. В.И.Ленина. М. 1975, 15 с. (рукопись деп. в ВИНИТИ 15.09.75. № 2660-75).

[1Ф1] Фукс Л., Бесконечные абелевы группы, Т. 1, М.: Мир, 1974.

[1Ф2] Бесконечные абелевы группы, Т. 2, М.: Мир,

1977.

[1Я] Яковлев A.B., К. проблеме классификации абелевых групп без кручения конечного ранга // Зап. Научн. семинаров ЛОМИ АН СССР, 1976, Т. 57, С. 171-175.

[2А] Arnold D.M., Finite rank torsion-free abelian groups and rings. Lecture Notes Math. 1982, V. 931.

[2B] Baer R., Abelian groups without elements of finite order // Duke Math. J. 1937, V. 3, P. 68-122.

[2BaM] Bazzoni S., Metelli C., On abelian torsion free separable groups and their en do mo rph ism rings // Symp. math. 1st. Naz. Alta mat. Francesco Severi., 1979, V. 23, Roma, P. 259-285.

[2Be] Benabdallah К., Groupes abeliens sans torsion. Montreal. 1981.

[2Co] Corner A.LS., Every countable reduced torsionfree ring is an endomorphisrn ring // Proc. London Math. Soc. 1963, V. 13, P. 687-710.

[2De] Derry D., Uber eine Klasse von abelschen Gruppen // Proc. London Math. Soc. 1937, V. 43, P. 490-506.

[2DuG] Dugas M., Göbel R., Every cotosion-free algebra is an endomorphisrn algebra // Math. Z. 1982, V. 184, P. 451-470.

[2F1] Fuchs L, Abelian groups. Budapest, 1958.

[2F2] -, Resent Results and Problems on abelian groups. Topic in abelian groups. Chicago, 1963.

[2Ha] Hauptfleisch G.I., Torsion-free abelian groups with endomorphisrn rings // Arch. M. 1973, № 3, P. 269-273.

[2Le] Leptin H., Abelsche p-Gruppen und ihre Automorph ismengruppen // Math. Z. 1960, V. 73, P. 235-253.

[2Li] Liebert W., Isomorphic automorphism groups of primary abelian groups // Abelian group theory, Proc. 3rd Conf., Oberwolfach, Aug. 11-17, 1985, New York etc., 1987, P. 9-31.

[2Ma] May W., Endomorphisrn rings of abelian groups with ample divisible subgroups // Bull. London Math. Soc., 1978,

V. 10, № 3, P. 270-272.

[2MaT] Toubassi E., Endomorphisms of abelian groups and the theorem of Baer and Kaplansky // J. Algebra, 1976, Л lf P. 1-13.

[2MS] Metelli C, Salce L, The endomorphism ring of an abelian torsion free homogeneous separable group // Arch. Math. 1975, V. 26, № 5, P. 480-485.

[2We] Webb M.C., The endomorphism ring of pointed separable torsion-free abelian groups // J.Algebra, 1978, V. 55, Jfe 2, P. 446-454.

Работы автора по теме диссертации

[ЗС1] Себельдин A.M., Кольца эндоморфизмов вполне разложимых абелевых групп без кручения // 11 Всесоюзный алгебраический коллоквиум, резюме сообщений и докладов. Кишинев, 1971, С. 16.

[ЗС2] -, Условия изоморфизма вполне разложимых абелевых групп без кручения с изоморфными кольцами эндоморфизмов // Матем. заметки, 1972, Т. 11, вып. 4, С. 403-408.

[ЗСЗ] -, Полные прямые суммы абелевых групп без кручения ранга 1 с изоморфными группами или кольцами эндоморфизмов 1 // Матем. заметки, 1973, Т. 14, вып. 6, С. 867-878.

[ЗС4] -, Группы гомоморфизмов вполне разложимых абелевых групп без кручения // Известия ВУЗов. Математика, 1973, Т. 7, С. 77-84.

[ЗС5] Абелевы группы без кручения, разложимые в прямые или полные прямые суммы групп ранга 1 с изоморфными группами эндоморфизмов // 12 Всесоюзный алгебраический коллоквиум. Тезисы сообщений, тетрадь 1, Свердловск, 1973, С. 55.

[ЗС6] -, Вполне разложимые абелевы группы без кручения с изоморфными группами эндоморфизмов // Сборник аспирантских работ, Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1974, С. 28-34.

[ЗС7] -, Определяемость редуцированных абелевых групп без кручения своими кольцами и группами эндоморфизмов //

Вестник Моск. ун-та, 1974, Т. 6, С. 134.

[ЗС8] -, Суммы автоморфизмов вполне разложимых абеле-вых групп без кручения // Известия ВУЗов, Математика, 1975, Т. 2, С. 85-92.

[ЗС9] -, О группах гомоморфизмов абелевых групп без кручения // Группы и модули, Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1976, С. 70-77.

[ЗС10] -, Об определяемое™ абелевых групп без кручения своими кольцами и группами эндоморфизмов // Группы и модули, Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1976, С. 78-85.

[ЗС11] -, Полные прямые суммы абелевых групп без кручения ранга 1 с изоморфными группами или кольцами эндоморфизмов 2 // Абелевы группы и модули, Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1979, С. 159-164.

[ЗС12] -, Абелевы группы без кручения с изоморфными кольцами эндоморфизмов // Абелевы группы и модули, Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1979, С. 165-170.

[3C13] -, Определяемость нередуинрованной абелееой группы без кручения своей группой эндоморфизмов // Абелевы группы и модули, Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1980, С. 102-108.

[ЗС14] -, fsomorphisme naturel des groupes des homomor-phismes des groupes abéliens // Ann. de L'IPGANC, Conakry, 1982, V. VIH, serie A, P. 155-158.

[3C15] -, Un problème des groupes abéliens separables sans torsion // Ann. de l'Université de Conakry, Conakry, 1984, V. IX, serie A, P. 18-22.

[3C16] -, Об определяемое™ абелевых групп своими кольцами эндоморфизмов // Всесоюзный симпозиум по теории групп. Тезисы докладов. Гомель, 1986, С. 203.

[ЗС17] -, Определяемость полугруппами эндоморфизмов вполне разложимых абелевых групп без кручения // XIX Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы сообщений. Львов, 1987, Ч. 2, С. 253.

[ЗС18] -, Определяемость абелевых групп своими кольцами и полугруппами эндоморфизмов // Междунар. конф. по алгеб-

ре памяти А.И.Мальцева. Тезисы докладов по теории групп. Новосибирск, 1989, С. 105.

[ЗС19] -, Определяемость абелевых групп своими кольцами эндоморфизмов // Абелевы группы и модули, Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1989, С. 113-123.

[ЗС20] -, Об определяемое™ сепарабельных абелевых групп своими полугруппами эндоморфизмов // VI Симпозиум по теории колец, алгебр и модулей. Тезисы сообщений. Львов, 1990, С. 111.

[ЗС21] Об определяемости абелевых групп своими полугруппами эндоморфизмов // Абелевы группы и модули, Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1991, С. 125-134.

[ЗС22] Эндоморфизмы абелевых групп без кручения // Вторая междунар. конф. по алгебре памяти А.И. Ширшова. Тезисы докладов по теории колец, алгебр и модулей. Барнаул, 1991, С. 106.

[ЗС23] -, Сепарабельные векторные группы с изоморфными полугруппами эндоморфизмов // Нижегор. гос. пед. нн-т. Н. Новгород, 1993, 8 е., (рукопись деп. в ВИНИТИ 10.06.93. № 1616-В93).

[ЗС24] -, Определяемость периодических абелевых групп своими группами эндоморфизмов // Третья междунар. конф. по алгебре памяти М.И.Каргаполова. Тезисы докладов. Красноярск, 1993, С. 98-99. (совм. с С.Я.Гриншпоном).

. [ЗС25] Определяемость абелевых групп своими кольцами (полугруппами) эндоморфизмов // Третья междунар. конф. по алгебре памяти М.И.Каргаполова. Тезисы докладов. Красноярск, 1993, С. 296-297.

[ЗС26] -, Об условиях изоморфизма Нот(А,В) = В. // Абелевы группы и модули, Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1994, С. 204-208. (совм. с Н.Ю.Антоновой).

[ЗС27] -, Определяемость векторных групп своими полугруппами эндоморфизмов // Абелевы группы и модули, Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1994, С. 129-133. (совм. с Л.Н. Макухн-ной).

[ЗС28] Сепарабельные абелевы группы без кручения с

изоморфными полугруппами эндоморфизмов //Тезисы докладов на Симпозиуме по абелевым группам. Бийск, 1994, С. 25-26.

[ЗС29] Абелевы группы с изоморфными кольцами и полугруппами эндоморфизмов // Тезисы докладов на Симпозиуме по абелевым группам. Бийск, 1994, С. 26-27.

[ЗСЗО] -, Определяемость векторных групп полугруппами эндоморфизмов // Алгебра и логика, 1994, Т. 33, Да 4, С. 422-428.

[3C31] -, Абелевы группы с изоморфными полугруппами эндоморфизмов // Успехи мат. наук, 1994, Т. 49, № 6, С. 211-212.

[3C32] -, Абелевы группы некоторых классов с изоморфными кольцами эндоморфизмов // Успехи мат. наук, 1995, Т. 50, Ht 1, С. 207-208.

[ЗСЗЗ] Об изоморфизме группы гомоморфизмов двух абелевых групп без кручения одной из этих групп // Известия ВУЗов, Математика, 1995, Т. 2(393), С. 53-59. (совм. с Н. Ю.Антоновой).

[3C34] Определяемость периодических абелевых групп своими группами эндоморфизмов // Матем. заметки, 1995, Т. 57, № 5, С. 663-669. (совм. с С. Я. Грин шпоном).

[3C35] -, Determination of separable vector groups by their endomorphism semigroups // Int. Conf. "Semigroups with Applications, including semigroup Rings", St.-Petersburg, Abstracts, 1995, C. 60.

[3C36] Определяемость сепарабельных абелевых групп полугруппами эндоморфизмов // Алгебра и логика, 1995, Т. 34,

№ 5, С. 523-530.

[3C37] -, Determination of abelian groups by their endornorphism rings // Proceedings of the IHrd International Conference on Algebra held in Krasnoyarsk, August 23-28, 1993, de Gruyler, Berlin-New York, 1996, XI!f, P. 217-223.