Абелевы группы с UA-кольцами эндоморфизмов

Любимцев, Олег Владимирович

Абелевы группы с UA-кольцами эндоморфизмов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Любимцев, Олег Владимирович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Нижний Новгород МЕСТО ЗАЩИТЫ

1998 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Абелевы группы с UA-кольцами эндоморфизмов»

Автореферат диссертации на тему "Абелевы группы с UA-кольцами эндоморфизмов"

V Б 01 , ц ЦИ 49*

На правах рукописи

ЛЮБИМЦЕВ Олег Владимирович

АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ С иА-КОЛЬЦАМИ ЭНДОМОРФИЗМОВ

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1998

Разота выполнена на кафедре алгебры Нижегородского государственного педагогического университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор СЕБЕЛЬДИН А. М.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор МИХАЛЕВ A.B. доктор физико-математических наук, профессор ФОМИН А. А.

Ведущая организация - Томский государственный университет им. В. В. Куйбышева.

заседании Диссертационного Совета К 033.01.02 в Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, Москва, Краснопрудная ул., д. 14, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке МПГУ по адресу: 119433, Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1.

Защита состоится

часов на

Автореферат разослан "•

г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета

КАРАСЕВ Г.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Абелевы группы составляют один из важнейших классов групп, и их теория достаточно хорошо разработана. Глубокие структурные результаты были получены Прю-фером, Ульмом, Куликовым для периодических абелевых групп, что позволяет решать многие задачи для этого класса абелевых групп. Для абелевых групп без кручения положение иное: даже для групп без кручения конечного ранга не известно никакой удобной полной системы инвариантов. Начало теории абелевых групп без кручения положили работы Понтрягина [1], Мальцева [23, Куроша ЕЗЗ, Дэрри [43.

Важной задачей теории абелевых групп является поиск точных соотношений между абелевой группой и ее кольцом эндоморфизмов, в частности, какое влияние оказывает кольцевая структура кольца эндоморфизмов на соответствующие группы. Имеется ряд классов колец, строение которых достаточно хорошо изучено. Можно было бы исследовать их роль как колец эндоморфизмов. Эта программа, предложенная Селе [5], послужила началом многочисленных исследований в этом направлении. Значительных успехов в рассмотрении связей между свойствами группы и свойствами ее кольца эндоморфизмов достигли Рангсвами, Шульц, Альбрехт, Иванов, Крылов и другие авторы Сем. [63, [73).

Интересен также вопрос о взаимоотношении абелевой группы и ее полугруппы эндоморфизмов. Ясно, что полугруппа эндо-

морфизмов Е СО дает, вообще говоря, меньше сведений о группе в, чем кольцо эндоморфизмов ЕС в). Несмотря на этот факт, в этом направлении также получен ряд интересных результатов. Например, если полугруппа эндоморфизмов конечной абелевой группы в изоморфна полутруппе эндоморфизмов некоторой Сне обязательно абелевой) группы Н, то группы в и Н изоморфны С[8], теорема 4.2).

А. В. Михалев указал на заметную роль мультипликативных свойств в структурной теории колец Ст.е. свойств, выразимых е языке мультипликативной полугруппы кольца). С этой точки зрения особый интерес представляет вопрос о том, когда все мультипликативные изоморфизмы кольца являются кольцевыми изоморфизмами [9]. Такие кольца называется кольцами с однозначным сложением, или кратко 11А-кольцами Сем. 19], СЮ], [11], [12], [13], [14]). В теории колец эндоморфизмов линейных пространств и модулей этот вопрос затрагивался в работах [15], [163, [173, [183.

Настоящая работа посвящена изучению абелевых групп, имеющих иА-кольца эндоморфизмов, а также близким вопросам.

Все вышесказанное позволяет считать тему диссертации актуальной.

Цель работы. Исследовать абелевы группы с ЦА-кольцами эндоморфизмов в некоторых известных классах абелевых групп. Рассмотреть отдельные вопросы, касающиеся взаимосвязи абелевой группы в и ее полугруппы эндоморфизмов ЕЧв), в случае, когда в принадлежит классу сепарабельных групп без кручения; классу алгебраически компактных групп без кручения.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории абелевых групп, теории колец и модулей, теории чисел и теории множеств.

Научная новизна и практическая ценность. Все результаты диссертации являются новыми. В работе

1. Получено удобное описание абелевых групп с УА-кольцами эндоморфизмов в следующих классах абелевых групп; сепара-бельных и векторных группах без кручения, периодических группах, нередуцированных расцепляющихся смешанных группах. Вышеназванные группы исследуются также в некоторых классах абелевых групп без кручения конечного ранга.

2. Выделен класс сепарабельных абелевых групп без кручения в, мультипликативная полугруппа эндоморфизмов которых ооладает следующим свойством: для всякого сложения + на полугруппе ЕЧв) кольцо СЕ'(в), +} является кольцом эндоморфизмов некоторой абелевой группы.

3. Исследуется вопрос определяемое™ алгебраически компактных абелевых групп без кручения своими полутруппами эндоморфизмов.

Работа имеет теоретическое значение. Результаты работы могут быть использованы при изучении мультипликативных свойств колец эндоморфизмов абелевых групп и модулей.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции по теории полугрупп С Санкт-Петербург 1993 г.), на алгебраических семинарах МГУ, МПГУ и НПГУ.

Публикации. Основное содержание диссерашга отражено в

восьми публикациях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертационная работа выполнена на 70 страницах машинописного текста и состоит из введения и четырех глав. Список литературы содержит 44 наименования работ отечественных и зарубежных авторов.

Содержание диссертации

Далее под словом "группа" понимается "абелева группа". Все кольца, рассматриваемые в работе, - ассоциативные с 1.

Во введении обосновывается актуальность выбранного направления исследований, приводится краткий обзор работ по теме диссертации и смежным вопросам, а также кратко излагаются полученные в диссертации результаты.

Теорема 1.5. Предположим, что кольцо К ссладает такой системой идемпотентов F„ = (е., i е 1>, что

Гч 1

CD для любого 0 * х е К существует идемпотент е. € F.. для

1 14

которого хе. * 0;

C2J для всякого идемпотента е е FK найдется ортогональный ему идемпотент ej е FK, такой, что для произвольного х е К из е.хе.Ке. = 0 = е.Ке.хе. следует, что е.хе. = 0.

11J J 1 I J ' X 1

Тогда К - ил-кольцо.

Эта теорема, вместе с теоремой A.B. Михалева, играет решающую роль в диссертации при описании групп с UA-кольцами эндоморфизмов. Некоторые результаты §2 свидетельствуют о том, что принадлежность кольца к классу UA-колец в отдельных случаях сильно зависит от структуры его аддитивной группы. Действительно, согласно теореме 1.6, всякое кольцо, аддитивная группа которого есть редуцированная почти делимая группа без кручения, удовлетворяющее некоторому кольцевому свойству, не является UA-кольцом. В частности, UA-кольцом не является кольцо целых р-адических чисел О* (следствие 1.7). Кроме того, в §2 замечено, что если группа G раскладывается в прямую сумму попарно изоморфных групп, то G есть End-UA--группа Стеорема 1.9). Наконец, если группа G разлагается в прямую сумму своих вполне характеристических подгрупп, то G является End-UA-группой в том, и только том случае, если каждая компонента прямой суммы является End-UA-группой (теорема 1.8).

Во второй главе рассматриваются группы оез кручения с UA-кольцами эндоморфизмов. В доказывается, что Еопрос

описания ЕгоЗ-иД-групп без кручения сводится к этому же вопросу для редуцированных Епб-ид-групп без кручения (теорема £.1). Показано также, что класс всех редуцированных почти делимых групп без кручения, у которых все р-базисные подгруппы являются циклическими группами, не содержит ЕпсЫ!А--групп (следствие 2.3).

В §2 найдены ЕпсЫ1А-группы в классе сепарабельных и векторных групп без кручения.

Пусть в является сепарабельной группой оез кручения. Прямое слагаемое А ранга 1 сепарабельной группы й назовем полусвязанным, если в его дополнительном прямом слагаемом найдется прямое слагаемое ранга 1, тип которого сравним с типом А. В противном случае слагаемое А будем называть изолированным. При этом группу С назовем полусвязанной, если любое ее прямое слагаемое ранга 1 полусвязано.

Теорема 2. 7. Пусть G - сепарабельная группа без кручения. Тогда в является ЕпсЬиА-группой в том, и только том случае, если она полусвязана.

На основании теоремы 2.7, нетрудно описать вполне разложимые Епй-иА-группы без кручения на языке полной системы инвариантов этих групп. Действительно, обозначим через Т(6) множество всех типов прямых слагаемых ранга 1 фиксированного разложения вполне разложимой группы С. Тип т е ТСС) назовем изолированным,если никакой другой тип из Т(6) несравним с т.

Теорема 2.8. Пусть С = ® - фиксированное разложение вполне разложимой группы С без кручения, где все С. есть группы ранга 1, г(0>1. Тогда в является £псЫ!А-группой

s том. ;ï только в том случае, если ks содержит изо-

лированных типов.

георема ¿. 9. Пусть У - ¡1. У - фиксированное раз -лс-жание Еекторной группы без кручения, мощность редуцированной части которой не превосходит первого кардинала ненулевой меры. Тогда V является End-UA-группой в том, и только том случае, если ГСУ) С множество всех типов прямых слагаемых Фиксированного разложения) не содержит изолированных типов.

Б §3 изучаются End-UA-группы в некоторых классах групп без кручения конечного ранга. Пусть iLoc - класс групп G конечного ранга, таких что G = Soc G для любой группы G е С осс G - сервантная подгруппа в G, порожденная семейством всех ее минимальных сервантных вполне характеристических подгрупп (.рП-подгрупп)). Получено достаточное условие того, чтсси группа из класса ti являлась End-UA-группой Стеорема 2.10). Рассмотрены также почти вполне разложимые группы без кручения конечного ранга с UA-кольцами эндоморфизмов.

Б третьей главе этой ваботы получено описание групп с ил-кольцами эндоморфизмов в классе периодических групп и классе нередуцированных расщепляющихся смешанньп-: групп. В §1 доказан ряд предварительных результатов. В частности, предложение 3.1 позволяет свести изучение периодических End-UA--групп к изучению примарных End-UA-групп. В §2 теоремы 3.8, 3.9 и 3.10 полностью описывают примарные End-UA-группы.

Тесвема 3,а. Пусть G - р-группа, имеющая неограниченную базисную подгруппу. Тогда G является Еш-ЦА-гоуппоЯ.

Георема 3.9. Пусть G = B(.G) © lXG) - р-группа, причем

БСШ - ограниченная, СС6) - ненулевая делимая группы. Тогда группа 6 не является ЕпсЫ!А-группой в том, и только том случае, если ОС в) = Zp( оо).

Пусть теперь порядки элементов р-группы 0 ограничены в совокупности некоторым числом рг, здесь р - простое. Тогда Б = ®.е1 В1( где I с Ш, В1 = е Назовем группу в максимальной, если В = 1 г.

г р

Теорема 3.10. Пусть в С * 2г,2.) - ограниченная р-груп-па. Тогда С не является ЕпсЬиА-группой в том, и только том случае, если она максимальная.

Полученные результаты позволяют распространить известную теорему Бэра-Капланского на полугруппы эндоморфизмов Стеорема 3.11). В §3 найдены ЕпсЫ!А-группы в классе в нередуцированных расщепляющихся смешанных групп. Если й е 6, то в = ТС6) ш ГСв), где 0 * ТСО есть периодическая часть, О * ГСв) - группа без кручения.

Теорема 3.12. Пусть Сев. Если ТС в) - редуцированная, ГСв) - делимая группы, то в с в п ОцА тогда, и только тогда, когда ГСв) = 0 или некоторая примарная компонента ТрС6) группы ТСО является максимальной ограниченной группой.

Теорема 3.13. Пусть веб. Если ТСО - редуцированная группа, а ГС О не является делимой группой, или ТСв) - нередуцированная группа, то в € © п ОцА в том, и только том случае,если некоторая примарная компонента ТрС6) группы ТСв) есть максимальная ограниченная группа и ГСв) - р-делима.

Б качестве примеров выделены ЕпсЫМ-группы среди групп, имеющих артиновы кольца эндоморфизмов и среди делимых групп

(.примеры 3.14 и 3.13).

Глава 4 посвящена изучению связей между свойствами группы и свойствами ее полугруппы эндоморфизмов. В §1 найдены сепарабельные группы без кручения 6, полугруппа эндоморфизмов Е'Св) которых обладает следующим свойством: для всякого сложения + на полугруппе Е'СС), кольцо СЕ"С01), +) является кольцом эндоморфизмов некоторой абелевой группы. Такие группы названы Е"-группами. Группу без кручения в назовем почти неделимой, если множество Р(С) = <р: р'З = С) конечно.

Теорема 4. 3 Пусть С - сепарабельная группа без кручения. Тогда в является Е"-группой в том, и только том случае, если Э есть Еп<3-иА-группа или любое изолированное прямое слагаемое ранга 1 группы 6 - почти неделимая группа.

Этот результат получен совместно с А.М. Себельдиным и Ч. Винсонхаллером. В §2 доказывается, что среди групп без кручения, полных в своей р-адической топологии только аддитивная группа целых р-адических чисел 1р не является Епс1-иА-группой (теорема 4.4). Показано также, что группа I Ср * 2) определяется своей полугруппой эндоморфизмов в некотором, достаточно большом классе групп без кручения (предложение 4.3).

Аетор выражает глубокую благодарность своему научному

руководителю, Себельдину Анатолию Михайловичу, за внимание к

работе, советы и указания; Михалеву Александру Васильевичу за ряд ценных замечаний.

Литература

Ш Понтрягин Я. С. , The theory of topological commutative groups // Ann. Math. 1934, V. 33, P.361-388.

[2] Мальцев А.И., Абелевы группы конечного ранга без кручения // Матем. сб. 1938, т. 4, с. 43-68.

13] Курош А.Г., Primitive torsionfreie abelsche Gruppen vom endlichen Range // Ann. of Math. 1937, V. 38, P. 173-203.

[4] Derry D., über eine Klasse von abelschen Gruppen // Proc. London Math. Soc. 1937, V. 43, P. 490-506.

[5] Szele T., Gruppentheoretische Beziehungen der Primkür per // Mat. Aineiden Aikakauskirja, 1949, V.13, P. 80-85.

[6] Михалев A.B., Мишина А.П., Бесконечные абелевы группы: методы и результаты // Фундаментальная и прикладная математика, 1993, т. 1, Я 2, с. 319-373.

[7] Фукс Л., Бесконечные абелевы группы, т.2, М.: Мир,

1977.

[8J Пуусемп П. , Идемпотенты полугрупп эндоморфизмов групп // Уч. зап. Тартуск. ун-та, 197S, Н 366, с. 76-104.

L93 Михалев А.В., Мультипликативная классификация ассоциативных колец // Мат. сб. 1988, т. 133 (177), И 2, с. 210-224.

[10] Johnson R.E. , Rings with unique addition // Proc. Amer. Math. Soc. 1938, V.9, P. 33-61.

[11] Martindale W.S.III., When are multiplicative mappings additive ? // Proc. Amer. Math. Soc. 1969, V.21, fl 3, P. 695-698.

112] Rickart G.E.f One-to-one mappings of rings and lattice // Bull. Amer. Math. Soc. 1948, V.54, P. 738-764.

[13] Stephenson W., Unique addition rings // Can. J. Math. 1969, V. 21, Я 6, P. 1453-1461.

[141 Nelius Chr.-F. , Ringe mit eindentiger Addition, Padeborn, 1974.

[1SJ Глускин Л.M., Полугруппы и кольца эндоморфизмов линейных пространств // Изв. АН СССР, Сер. Матем. , 1959, т. 23, с. 841-870.

[16] Глускин JIM., Od эндоморфизмах модулей // Алгебра и математическая логика, Киев: КГУ, 1966, с. 3-20.

[17] Михалев А.В., Изоморфизмы полугрупп эндоморфизмов модулей. I. // Алгебра и логика, 1966, т. 5, Я 5, с. 59-67.

[18] Михалев AB., Изоморфизмы полугрупп эндоморфизмов модулей. II. // Алгебра и логика, 1S67, т. 6, Я 2, с. 35-47.

Публикации автора по теме дисертации.

[19] Любимцев О.В., Кольца эндоморфизмов с однозначным сложением вполне разложимых абелевых групп без кручения конечного ранга // Симпозиум "Абелевы группы", Бийск, 1994, сборник тезисов, с. 18-19.

{20]Любннцев О.В., Однозначность сложения на мультипликативной полугруппе эндоморфизмов сепарабельной абелевой группе без кручения // Международная конференция "Полугруппы и их приложения, включая полугрупповые кольца" в честь Е.С. Лялина, Санкт-Петербург, 1995, тезисы докладов, с. 100.

[21]Любнмцев О.В., Unique addition endomorphism rings of abelian torsion groups // Международная алгебраическая конференция памяти Д. К. Фадеева, Санкт-Петербург, 1997, тезисы докладов. с. 82-83.

{22]ЛкюкицевО.В., Separable torsion free abelian E-groups // Международная алгебраическая конференция памяти Д.К.Фадеева, Санкт-Петероург, 1997, тезисы докладов, с. 83 Ссовместно с Себельдиным А. М. и Винсонхалером Ч. ).

[23]Люикнцев О.В., Нередуцированные расщепляющиеся абелевы группы с UA-кольцами эндоморфизмов // Международная алгебраическая конференция памяти Л. М. Глускина, Славянск, 1997, тезисы докладов, с. 58.

рфЬобнмцев О.В., Почти вполне разложимые абелевы группы без кручения с UA-кольцами эндоморфизмов // Всесибирские чтения по математике и механике, 1997, т.1, Математика, тезисы докладов, с. 23-24.

[25]Любиицев О.В., Сепарабельные абелевы группы без кручения с UA-кольцами эндоморфизмов // Фундаментальная и прикладная математика, 1998, вып. 4, с. ±425-1428.

[26]Любимцев О.В., Вполне разложимые и векторные абелевы группы без кручения с UA-кольцами эндоморфизмов // Межрегиональная научная конференция "Исследования по анализу и алгебре", сборник трудов, Томск, 1998, с. 185-189.

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Любимцев, Олег Владимирович, Нижний Новгород

■о

Нижегородский государственный педагогический университет

На правах рукописи

ЛЮБИМЦЕВ Олег Владимирович

АБЕДЕВЫ ГРУППЫ С УА-КОЛЬНАМИ ЭНДОМОРФИЗМОВ

01.01.08. - математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

доцент Себельдин А.М.

Нижний Новгород - 1998

ар с прмшг

Аоелевы группы составляют один из важнейших классов групп, и их теория достаточно хорошо разработана. Глубокие структурные результаты были получены Прюфером, Ульмом, Куликовым для периодических абелевых групп, что позволяет решать многие задачи для этого класса абелевых групп. Для абелевых групп без кручения положение иное: даже для групп без кручения конечного ранга не известно никакой удобной полной системы инвариантов. Начало теории абелевых групп без кручения положили работы Понтрягина [1ПоЗ, Мальцева [1Ма], Куроша [1Кур], Дэрри [2Де].

Важной задачей теории абелевых групп является поиск точных соотношений между абелевой группой и ее кольцом эндоморфизмов, в частности, какое влияние оказывает кольцевая структура кольца эндоморфизмов на соответствующие группы. Имеется ряд классов колец, строение которых достаточно хорошо изучено. Можно было бы исследовать их роль как колец эндоморфизмов. Эта программа, предложенная Селе [28е], послужила началом многочисленных исследований в этом направлении. Значительных успехов в рассмотрении связей между свойствами группы и свойствами ее кольца эндоморфизмов достигли Рангсвами, Шульц, Альбрехт, Иванов, Крылов и другие авторы Сем. ИМиМЗ, 11Ф2П.

Интересен также вопрос о взаимоотношении абелевой группы и ее полугруппы эндоморфизмов. Ясно, что полугруппа эндоморфизмов Е'Св) дает, вообще говоря, меньше сведений о груп-

ne G, чем кольцо эндоморфизмов ЕСG3. Несмотря на этот факт, в этом направлении также получен ряд интересных результатов. Например, если полугруппа эндоморфизмов конечной абелевой группы G изоморфна полугруппе эндоморфизмов некоторой Сне обязательно абелевой) группы Н, то группы G и H изоморфны aiiIylJ, теорема 4.3).

А. В. Михалев указал на заметную роль мультипликативных свойств в структурной теории колец Ст.е. свойств, выразимых в языке мультипликативной полугруппы кольца). С этой точки зрения особый интерес представляет вопрос о том, когда все мультипликативные изоморфизмы кольца являются кольцевыми изоморфизмами С1Мих1]. Такие кольца называются кольцами с однозначным сложением, или кратко UA-кольцами Сем. [1Мих1], [2J3, [2МаЗ, [2RiJ, [2St3, E2Ne3). В теории колец эндоморфизмов линейных пространств и модулей этот вопрос затрагивался в работах [1Гл13, [1Гл23, [1Мих23, [1МихЗЗ.

Настоящая работа посвящена изучению абелевых групп, имеющих UA-кольца эндоморфизмов, а также близких вопросов. Цель работы: исследовать абелевы группы с UA-кольцами эндоморфизмов в некоторых известных классах абелевых групп. Рассмотреть отдельные вопросы, касающиеся взаимосвязи абелевой группы G и ее полугруппы эндоморфизмов E'CG), в случае, когда G принадлежит классу сепарабельных групп без кручения; классу алгебраически компактных групп без кручения. Научная новизна и практическая ценность: все результаты диссертации являются новыми. В работе

1. Получено удобное описание абелевых групп с UA-кольцами

эндоморфизмов б следующих классах аселевых групп: сепара-бельных и векторных группах без кручения, периодических группах, нередуцированных расщепляющихся смешанных группах. Вышеназванные группы исследуются также в некоторых классах абелевых групп без кручения конечного ранга.

2. Выделен класс сепарабельных абелевых групп без кручения G, мультипликативная полугруппа эндоморфизмов которых обладает следующим свойством: для всякого сложения + на полугруппе E'CG) кольцо CE'CG), +) является кольцом эндоморфизмов некоторой абелевой группы.

3. Исследуется вопрос определяемости алгебраически компактных абелевых групп без кручения своими полугруппами эндоморфизмов.

Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции по теории полугрупп ССанкт-Петербург 199S г.), на алгебраических семинарах МГУ, МПГУ, НПГУ и содержатся в работах [JI1] - СЛ8].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, Себельдину Анатолию Михайловичу, за внимание к работе, советы и указания.

Содержание диссертации

Первая глава работы содержит предварительные сведения и общие предварительные результаты, используемые в последующих главах. В §1 приведены основные обозначения, определения UА-кольца и End-UA-группы, как группы, имеющей UA-кольцо эндоморфизмов, а также ряд известных фактов. В §2 доказаны некоторые общие вспомогательные результаты, имеющие самостоятельный интерес. Согласно результату A.B. Михалева Сем. [1Мих1], теорема 2.12), кольцо, обладающее системой попарно ортогональных идемпотентов с некоторыми условиями, является UÄ-кольцом. В теореме 1.3 показано, что при дополнительных предположениях от условия ортогональности можно отказаться. Последняя теорема вместе с теоремой A.B. Михалева играет решающую роль при описании групп с UA-кольцами эндоморфизмов. Некоторые результаты §2 свидетельствуют о том, что принадлежность кольца к классу UA-колец в некоторых случаях в большой степени зависит от структуры его аддитивной группы. Действительно, согласно теореме 1.6, всякое кольцо, аддитивная группа которого есть почти делимая группа без кручения, удовлетворяющее некоторому кольцевому свойству,

не является UA-кольцом. В частности, UA-кольцом не является

кольцо целых р-адических чисел (следствие 1.7). Кроме

того, в этом параграфе замечено, что если группа G раскладывается в прямую сумму попарно изоморфных групп, то G есть End-UA-группа (теорема 1.9). Наконец, если группа G разлагается в прямую сумму своих вполне характеристических подгрупп, то G является End-UÂ-группой в том, и только том случае, если каждая компонента прямой суммы является End-liA-группой (теорема 1.8).

Во второй главе рассматриваются группы без кручения с UA-кольцами эндоморфизмов. В §1 доказывается, что вопрос описания End-UA-трупп без кручения сводится к этому же вопросу для редуцированных End-UA-групп без кручения (теорема 2.1). Показано также, что класс всех редуцированных почти делимых групп, у которых все р-базисные подгруппы - группы циклические, не содержит End-UA-групп (следствие 2.3).

В §2 найдены End-UA-группы в классе сепарабельных и векторных групп без кручения (теоремы 2.7 и 2.9). Описание вполне разложимых End-UA-групп получено на языке полной системы инвариантов этих групп (теорема 2.8).

В §3 изучаются End-UA-группы в некоторых классах групп без кручения конечного ранга. Пусть QSbc - класс групп G конечного ранга, таких что G = Soc G для любой группы G € QSôc С здесь Soc G - сервантная подгруппа группы G, порожденная семейством всех ее минимальных вполне характеристических подгрупп (pfi-подгрупп)). Получено достаточное условие того, чтобы группа из класса Q^ являлась End-UA-группой (теоре-

ма 2.10). Рассмотрены' также почти вполне разложимые группы конечного ранга с 11А-кольцами эндоморфизмов.

8 третьей главе этой работы получено описание групп с иА-кольцами эндоморфизмов в классе периодических групп и классе нередуцированных расщепляющихся смешанных групп. В §'1 доказан ряд предварительных результатов. В частности, предложение 3.1 позволяет свести изучение периодических ЕпсЫ1А-- групп к изучению примарных ЕпсЫ1А-груш1. В §2 теоремы 3.8, 3.9 и 3.10 полностью описывают примарные Епс1-иА-группы. Полученные результаты позволяют распространить известную теорему Бэра-Капланского на полугруппы эндоморфизмов (теорема 3.11). В §3 найдены ЕпеЬид-группы в классе нередуцирован-ных расщепляющихся смешанных групп Стеоремы 3.12 и 3.13). В качестве примеров выделены Епё-ЦА-группы среди групп, имеющих артиновы кольца эндоморфизмов и среди делимых групп (примеры 3.14 и 3.13).

Глава 4 посвящена изучению связей между свойствами группы и свойствами ее полугруппы эндоморфизмов. В §1 найдены сепарабельные группы без кручения 6, полугруппа эндоморфизмов Ё ЧС) которых обладает следующим свойством; для всякого сложения + на полугруппе Е'(С), кольцо (Е'(©,+) является кольцом эндоморфизмов некоторой абелевой группы (теорема 4.3). Такие группы названы Е'-группами. Результаты этого параграфа получены совместно с А. М. Себельдиным и Ч. Винеон-халлером. В §2 доказывается, что среди групп без кручения, полных в своей р-адической топологии только аддитивная группа целых р-адических чисел I не является ЕпсЫ1А-группой

(теорема 4.4). Показано также, что группа I определя-

ется своей полугруппой эндоморфизмов в некотором, достаточно большом классе групп без кручения (предложение 4.3).

Г (TARA i

Л tfJLTVL/n X

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ

§ 1. Основные обозначения, определения и некоторые

известные результаты

Список основных обозначений:

К - кольцо всех СпхпЗ матриц над ассоциативным кольцом с 1;

char К ~ характеристика кольца К;

LCA3 - ÍX € К: хА = 0> и RCA) = <х € К: Ах = 0> - левый и правый аннуляторы некоторого подмножества А в кольце К, соответственно;

UCK3 ~ группа обратимых элементов кольца К;

Q - поле рациональных чисел и его аддитивная группа, соответственно;

Ж, Z - кольцо целых чисел и его аддитивная группа, соответственно ;

€f - кольцо целых р-адических чисел;

i - аддитивная группа кольца Cf; р р

(N - множество всех натуральных чисел;

ÍN - множество всех целых неотрицательных чисел;

ECG3, Е (G3, E4G) -кольцо, полугруппа, аддитивная группа всех эндоморфизмов группы G, соответственно; НотСА,8) - группа всех гомоморфизмов группы А в группу В; © - знак прямой суммы;

П - знак прямого произведения;

I СС} - множество всех примитивных идемпотентов кольца ЕС6);

1ФССЗ - множество всех примитивных идемпотентов кольца ЕС03,

соответствующих фиксированному разложению группы в в прямую сумму своих неразложимых подгрупп (т.е. если '3 = ф С., где группы 6. - неразложимы, то е.С0) = в. для е. € 1®СС)3;

1 т - циклическая группа порядка рт;

р ,. .. .

Жт - кольцо вычетов по модулю рт; р

2 С со) - квазициклическая группа; р

Ь Сд) - р-высота элемента д в группе У;

Р - множество всех простых чисел; г(УЗ - ранг группы 0; |Ц - мощность множества 1.

Мультипликативная полугруппа (К,-3 называется кольцом с однозначным сложением СиА-кольцом, см. напр. [213), если на ней можно задать единственную бинарную операцию + , превращающую ее в кольцо (К,-,+). Очевидно, что кольцо К будет 1)А-кольцом тогда, и только тогда, когда всякий ш-изоморфизм колец о£: К -* 8 (т.е. изоморфизм их мультипликативных полугрупп, см. [1МихШ является изоморфизмом колец. Мы будем называть абелеву группу ЕпсЬЦА-группой, если ее кольцо эндоморфизмов есть ид-кольцо.

Следующие известные факты будут часто использоватся в дальнейшем.

Теорема 1.1.([22133 Кольцо К , п > 2, есть ид-кольцо.

Теорема 1.2. С11Мих13) Предположим, что кольцо К обладает такой системой попарно ортогональных идемпотентов Р„ = <е., 1 € 1>, что

к 1

(1) если 0 * х € К, то е.хе. * О для некоторых 1,..] € Г,

С2) для любого индекса х е I найдется индекс € Гм такой,

что для х € К из е.хе.Ке. = 0 = е.Ке.хе. следует е.хе. =0.

1 1 Л Л 1 I 11

Тогда К - 11А-кольцо.

Теорема 1.3.([ЗМеЗ) Для семейства колец А. С1 с I) с 1 следующие условия эквивалентны: С а) П._т А. - иА-кольцо.

1 с! 1

СЫ для каждого 1 € I кольцо А. является 11А-кольцом.

Теорема 1.4.СГ1Ф233 Пусть 6 = ®.€1 6. - прямое разложение группы С. Тогда кольцо ЕСизоморфно кольцу всех сходящихся по столбцам 1x1 матриц [с*..]. , 1 € I, где ы.. € Ношсе. ,е.з.

Л* 1 л

Если (з = С., е.С1 € 1) - соответствующие проекции,

1 сх х 1

то мы будем отождествлять НотСС?. ,6.) с подгруппой е.ЕС63е.

1 Л Л 1

аддитивной группы ЕЧС).

§ 2. Некоторые общие предварительные результаты

Следующая теорема показывает, что при некоторых дополнительных предположениях от условия ортогональности идемпотентов в теореме 1.2 можно отказаться.

Теорема i.S. Предположим, что кольцо К обладает такой системой идемпотентов Fv = {е., i € I), что

¿S 1

Ш для любого 0 * х € К существует идемпотент е. е Fv для

1 ¿ч

которого хе; * 0;

л.

(2) для всякого идемпотента е; е Fv найдется ортогональный

1 i<v

ему идемпотент е. € F,,, такой, что для произвольного х € К

J "

из е.хе.Ке. = 0 = е.Ке.хе. следует, что е.хе. =0.

X X j j X X XX

Тогда К - UA-кольцо.

Доказательство. Пусть d: К = S - ш-изоморфизм колец К и S. Покажем, что d аддитивен на Ке. для любого е. € F-:

X 1 14

día + b) = d(a) + d(b) для всех a,b € Ке.. Пусть a, b - про-

извольные элементы из Ке.. Тогда а = аге. = е. а'е. + е*а'е.,

X I i X 1 д.

b - b'e. = e.b*'e. + e*b'e., где е* = i - е., a?,bf € К.

X X X X X X X

Учитывая, что die. + ef) = die.) + die*) (см. напр. [2StD,

11 1 1

получаем:

- dl (е. + efJia' + b')ej = (d(eJ + d(e*))dl(a? + b')e.3 =

XX X i X X

= otfCe.a'e. + e.b'e.) + d(e*a'e. + e*b'eJ.

XX XX 1111

Далее, из ([2S13, лемма 3; следует, что d аддитивен на е*Ке.. Пусть е. - идемпотент из условия 2). Так как

XX j

е.Ке.е.Ке. £ е.Ке. (е.Ке.е.Ке. £е.Ке.),

X X X j X J J X X X .1 X

и of сохраняет сложение на е.Ке.(е.Ке.) (см. ИМих!J, до-

J- j J X

казательство теоремы 2.12), то, согласно ([2SIJ, лемма 2),

d аддитивен на е.Ке., Значит, d аддитивен на Ке..

11 1

Проверим, что d - изоморфизм колец К и S. Предположим противное; d(a) + d(b) = d(c), но с * а + Ь для некоторых

dí а + b) = с«, ела' + b')e. + е*Са' + b')e.) =

X XX X

a,b,c € К. Согласно (13 найдется идемпотент е. € fr' такой

I 14

что се; * ае. + be.. В самом деле, из с - С а + b) * 0 еле-111

дует, что Lc - Са + bi J е. * 0 для некоторого е4 € F„. Далее,

1 1 %>.

dC ае.) + d'Cbe.) = td'Ca) + dCb) JdCe.j = die) die..) = dice.).

II XXI

Но ее. ^ ae. + be., и мы пришли к противоречию с тем, что d аддитивен на Ке,. Теорема доказана.

Группа G называется почти делимой, если множество PCG) - ip: pG * G, р € Р> конечно.

Теорема 1.6. Пусть аддитивная группа К/ кольца К является редуцированной почти делимой группой без кручения. Тогда, если факторкольцо К/Ср-1) является областью целостности для каждого р € PCК*), то К - не UA-кольцо Сздесь и далее через Ср-1) обозначаем главный идеал, порожденный элементом р-1).

Доказательство. Пусть 0 * а € К. Из редуцированности группы К+ следует, что а не может иметь бесконечную р-высоту для всех р € РСК'). Выберем все простые числа р. € РСК'), 1-1,...,ш; такие что h Са) = s., где s. € IN . Тогда

' р. X X о

а - p\..pSm а', причем число t = s +...+ s однозначно определено.

оЬ i IU

Строим m-автоморфизм d кольца К: dCa) = С-1) "а. Ви~ ективность отображения d очевидна. Проверим, что d сохраняет

3 3 г г

умножение. Пусть а = ptl...pmm а'", b - q/. • • qnn b' - разложения элементов а и b, определенные выше. Тогда

1 1К

оСС а) ¿¡'С ЬЗ = С-1) "аС-13 "Ь = С-1) а ъаЬ, где 1Ь = г +... + г . Далее,

аЬЗ - с^Ср"1. .. р*® цГ\ .. аГп а' Ь' 3.

• 1 - т -х т»

Предположим, что уравнение рх = а'Ь' разрешимо в группе К+

для некоторого р € РСК*3, Ь Са'Ь'З < со. Тогда Ь. Са'З < оо и

р р

Ь (Ь?3 < оо ШФ2], стр 3263. Так как в факторкольце КЛр-13

нет нетривиальных делителей нуля, то идеал Ср-1; - вполне

простой. Значит, в группе К+ разрешимо уравнение рх = аг или

рх - Ь\ В этом случае р = р., 1 € <1,... ,ш> или р = д.,

1 * л

е <1,...,п>, что невозможно. Следовательно, о('(аЬЗ - С-13 а йаЬ = о(1аЗо£СЬЗ.

Поскольку

с£р-13 - -р-1 * ро£'С 13 - р-1, для всякого р € РСК4), то К - не ид-кольцо.

Следствие 1.7. Кольцо €г* целых р-адических чисел не

является 11А-кольцом.

Теорема 1.8. Пусть С = © € С. - прямое разложение группы причем все 0 - вполне характеристичны в 0. Тогда С является ЕпсЬид-группой в том, и только том случае, если каждая компонента прямой суммы является Епё-УД-группой.

Доказательство. По условию ЕС63 = П. _т ЕСС.З, и остает-

X х 1

ся применить теорему 1.3.

группа С является ЕпсЫЛА-группой.

Доказательство. В этом случае, согласно теореме 1.4, кольцо ЕСС) изоморфно кольцу матриц над кольцом ЕС6.3. Тогда утверждение теоремы следует из теоремы 1.1.

г илнд Р

АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ БЕЗ КРУЧЕНИЯ С 11А-КОЛЬЦАМИ ЭНДОМОРФИЗМОВ

В главе 2 под словом "группа" мы будем понимать абелеву группу без кручения Св том числе в формулировках теорем). По-прежнему для группы С через РСОЗ обозначаем множество {р е Р: рС * 6>.

§ 1. Общие результаты

Теорема 2.1. Пусть 0 - нередуцированная группа. Тогда группа С4 не является ЕпсЫМ-группой в том, и только том случае, если С = 0.

Доказательство. Если С = 0, то ЕС£3 = & Однако поле О не является УА-кольцом Сем. напр. [1МихШ. Тем самым доказана достаточность. Доказательство необходимости опирается на ту же идею, что и в [1Себ1] - использовать иньективность делимых групп. Пусть в = КС в) ® ОССЗ, где 0 * и КС© есть делимая и редуцированная части группы 0, соответственно. Если кСв) =0, ОССЗ = ©х 0, |X| > 1, то 0 является ЕпсЬиА-группой, согласно теореме 1.9.

Пусть КС0) * 0. Достаточно проверить, что ЙСНотСКСеЗ,ОСеЗЗ л ЕСКССЗЗ = О, и Ноте КС 03, СС аз 3 П Е�