Определяемость абелевых групп группами эндоморфизмов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

КОЛЕНОВА ЕЛЕНА МИХАЙЛОВНА

□0306Т204

ОПРЕДЕЯЯЕМОСТЬ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП ГРУППАМИ ЭНДОМОРФИЗМОВ

специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертацйд на соискание ученой степени кандидату физико-математических наук

Москва - 2006

003067204

Работа выполнена в Нижегородском государственном педагогическом университете на кафедре алгебры и геометрии математического факультета!

доктор физико-математических Наук, профессор ТУГАНБДЕВ АСКАР АКАНОВИЧ

кандидат физико-математических наук, Доцент ЦАРЕВ АНДРЕЙ ВАЛЕРЬЕВИЧ

Ведущая организация:

Нижегородский государственный технический университет

Защита диссертации состоится сЬбЬРи,7^^2007 г. в « часов

на заседании диссертационного совета' КД12.154. 03 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, 14, математический факультет, ауд. 30{.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, Москва, ул. Малая Пироговская, д.1.

Автореферат разослан « »_2006 года

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор СЕЕЕЛЬДИН АНАТОЛИЙ МИХАЙЛОВИЧ

Официальные оппоненты:

Ученый секретарь диссертационного совета

КАРАСЕВ Г.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Теория абелевых групп является одним из важных направлений современной алгебры. Все возрастающий интерес к абелевым группам понятен: теория абелевых групп тесно переплетается с теориями модулей, колец, множеств, чисел. С одной стороны, теория абелевых групп, являясь частью теории модулей, использует ее идеи и методы, с другой стороны, она - один из основных побудителей новых исследований в теории модулей.

Начало теории абелевых групп положили работы JT.C. Понтрягина, А.И. Мальцева, А.Г. Куроша, Д. Дэрри, Л .Я. Куликова и др. На становление современной теории абелевых групп решающее влияние оказала монография Л. Фукса [24]. Являясь своеобразной энциклопедией этой теории, эта книга, кроме того, содержит большое число проблем, с решением которых связана деятельность многих специалистов и по сей день. Бурное развитие теории модулей и проникновение в математику теоретико-категорного мышления, последовавшие за появлением монографии Фукса, нашли глубокое отражение в теории абелевых групп. Эта тенденция привела к появлению, по существу, новой книги Л. Фукса [22], [23]. Из современных монографий следует отметить книгу П.А. Крылова, A.B. Михалева и A.A. Туганбаева [4], в которой представлены все основные направления теории колец эндоморфизмов и отражены как ранние, так и полученные в последние годы результаты о связях между абелевой группой и ее кольцом эндоморфизмов.

Именно поиск точных соотношений между свойствами группы и свойствами ее групп гомоморфизмов, группы и кольца эндоморфизмов явился, своего рода, катализатором в развитии современной теории абелевых групп. Тот факт, что две периодические абелевы группы с изоморфными кольцами эндоморфизмов изоморфны, был установлен Бэром в 1943 году в случае ограниченных групп и доказан Капланским в 1952 году в общем случае. Этот результат Бэра-Капланского послужил началом многочисленных исследований в этом направлении.

Выяснение условий, при которых группа (кольцо) всех эндоморфизмов данной абелевой группы определяет ее строение, является важной задачей современной теории абелевых групп (см. [24], проблемы 41,43; [22], проблема 31). Одним из аналогов этих известных проблем, поставленных Л. Фуксом, является задача

3

определяемости абелевой группы группами гомоморфизмов, группой (кольцом) эндоморфизмов. Здесь и далее будем придерживаться определения из обзора A.B. Михалева, и А.П. Мишиной [6, с.347]: говорят, что группа А определяется своей группой (колырм) эндоморфизмов в классе групп X, если из End (A)=End(B) (Е(А)вЕ(В)), где ВеХ, следует, что АвВ. Если А и В - р-группы с изоморфными группами эндоморфизмов, то А и В могут быть не изоморфными [5, §Д.34]. Армстронг [7, с.41] указал условия, при которых изоморфизм групп эндоморфизмов End(A) и End(B) влечет изоморфизм групп А и В, но только для случая, когда А и В-прямые суммы циклических р-групп. С.Я. Гриншпон [1] при предположении о том, что справедлива обобщенная гипотеза континуума, получил необходимые и достаточные условия, при которых изоморфизм групп эндоморфизмов End(A) и End(B) влечет изоморфизм групп А и В, для произвольных р-групп А, В (если А ~ редуцированная />-гругпта, то можно заранее не требовать, чтобы группа В была р-группой). См. также [2]. A.M. Себсльдин нашел ряд условий, при которых в некоторых классах абелевых групп существуют неизоморфные абелевы группы с изоморфными группами эндоморфизмов [12], [15]-[19]. Корнер [7] показал, что существуют группы без кручения, группы эндоморфизмов которых изоморфны, а кольца эндоморфизмов не изоморфны. Нужно отметить, что при решении вопроса об определяемости абелевой группы группами гомоморфизмов (эндоморфизмов) важно знать строение группы гомоморфизмов одной абелевой группы в другую.

Алгебраическое строение группы гомоморфизмов представляет как самостоятельный интерес, так и позволяет решать задачи теории групп, колец, модулей. Однако точное строение группы гомоморфизмов известно лишь в некоторых случаях (см. [22], §43, §46, §47). Строение группы Нот(А,В) для некоторых частных случаев выясняется в работах Пирса [25], Гроссе [8, с.115-116], ван Ливена [8, с.183], Мадера [9, с.291], Шульца [9, с.344], Уорфилда [9, с.375], Эды [10, с. 196], Крандика [11, с.301], Крылова П.А. [3].

Задача о строении группы гомоморфизмов Нот(А,В) ставилась в самых различных видах. Рассматривался вопрос о том, когда заданная группа изоморфна некоторой группе Нот(А,В) [8, с.282]. В частности, ставился вопрос о том, какому классу групп принадлежит группа Нот(А,В), если А vi В взяты из заданных классов групп, или когда группа Нот(А,В) изоморфна группе А (группе В). В такой

постановке задача рассматривалась в работах [8, с. 114], [9, с.121], [13], [14], [20], [21], [27].

При определении строения группы эндоморфизмов абелевой группы важной задачей является изучение связей между абелевой группой и ее группой эндоморфизмов. Естественным образом возникает вопрос, при каких условиях абелева группа А и группа всех ее эндоморфизмов End(A) изоморфны (см. [22], проблема 31; [24], проблемы 40,45). Для некоторых классов абелевых групп эта задача решена A.M. Себелъдиным [13], [14] и Ф. Шульцем [26].

Цель диссертационной работы состоит в изучении связей между абелевой группой и ее группой эндоморфизмов.

Основные задачи.

В соответствии с целью выделены следующие задачи исследования:

1) Получить необходимые и достаточные условия, при которых абелева группа изоморфна своей группе эндоморфизмов.

2) Выяснить, когда из изоморфизма групп эндоморфизмов абелевых групп следует изоморфизм самих групп.

Новизна результатов.

Все результаты диссертации являются новыми. Выделим основные из них:

1. Решена задача об изоморфизме между абелевой группой А и ее группой эндоморфизмов End(A) (такую группу будем называть Е* -группой) в некоторых классах абелевых групп.

2. Получены необходимые и достаточные условия на абелеву группу А, при которых изоморфны группы End(A) и End(End(A)) (такую группу будем называть EndE' -группой).

3. В некоторых известных классах абелевых групп найдены такие абелевы группы А, что группы EndfA) и End(End(A)) изоморфны, а группы А и End(A) не изоморфны (такие группы будем называть End-группами).

4. Решена задача определяемое™ абелевой EndE^ -группы своей группой эндоморфизмов в некоторых классах абелевых групп.

Теоретическое н прикладное значение.

Работа носит теоретический характер. Результаты данной работы могут быть использованы при изучении групп гомоморфизмов, групп эндоморфизмов абелевых

групп и модулей, могут применяться при решении аналогичных задач в теории групп, колец, модулей. Кроме того, они могут найти свое применение в качестве материалов для специальных курсов по теории абелевых групп в высших учебных заведениях.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на VIII, IX, X Нижегородских сессиях молодых ученых (г. Саров, 2003г, 2004г, 2005г); на алгебраических семинарах НПТУ (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Себельдин A.M.), ННГУ (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Кузнецов М.И.), МПГУ (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Фомин A.A.); на Всероссийском симпозиуме «Абелевы группы» (г. Бийск, 2005г, 2006г).

Публикации.

Основное содержание диссертации отражено в восьми публикациях, из которых шесть тезисов докладов и две статьи. Их список приведен в конце реферата. В совместной работе постановка задачи исследования принадлежит Себельдину A.M., диссертанту принадлежат формулировки и доказательства всех теорем.

Структура и объем диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, включающих шесть параграфов, и списка литературы. Список литературы содержит 45 наименований работ отечественных и зарубежных авторов. Диссертация изложена на 77 страницах машинописного текста.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Введение.

Во введении приводится краткий обзор литературы по теме диссертации, обосновывается актуальность решаемых в диссертации задач, а также кратко излагаются полученные в диссертации результаты.

Далее везде под словом «группа» понимается «абелева группа».

Глава 1. Об изоморфизме абелевой группы своей группе эндоморфизмов

В первом параграфе главы найдены ^ -группы (напомним, что ¿^-группой называем группу, изоморфную своей группе эндоморфизмов) в классах периодических групп, нередуцированных групп, редуцированных алгебраически компактных групп:

Теорема 1.1.1. Периодическая группа является Е+-группой тогда и только тогда, когда она циклическая.

Теорема 2.1.1. Делимая группа является Е+-группой в том и только том случае, когда она изоморфна аддитивной группераг)ионалъных чисел

Теорема 3.1.1. Нередуцированная неделимая группа является Е' -группой тогда и только тогда, когда ее делимая часть изоморфна группе рациональных чисел 0, а редуцированная часть - конечная циклическая группа.

Теорема 4.1.1. Редуцированная алгебраически компактная группа А=Пр£р(А)Ар является Е' -группой тогда и только тогда, когда для любого простого числа р из Р(А) Ар=1р или Ар ^г(рк), к=к(р) еК

Во втором параграфе исследуется вопрос об изоморфизме между группами Епс1(А) и Епс1(Епй(А)) (напомним, что такую группу А называем Епс1Е*-группой). Получены необходимые и достаточные условия, при которых периодическая группа, нередуцированная группа, вполне разложимая группа без кручения конечного ранга являются .Еи^Е^-группами:

Теорема 1.2.1. Периодическая группа А является Епс1Е*-группой в том и только том случае, когда для любого простого числа р из 8(А) ее р-компонента Ар ~Х(р3') или Ар =г(рк), к=к(р) еК

Теорема 2.2.1. Делимая группа А является ЕпйЁ~ -группой тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

(1)А=а

(2)А=Фр£$(Л)гю.

Теорема 3.2.1. Нередущфованная неделимая группа А=Б(А)ФК(А) (О(А)фО и ЩА)фО) является Епс1Е*-группой тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

(1) ее делгшая часть Б(А) изоморфна группе ФРе&зт2(ра>), а редуцированная часть ЩА) - группе Фр<£Г(А) %(рк)> к=к(р) €N1

(2) ее делимая часть изоморфна группе рациональных чисел 0, а редуцированная часть является конечной циклической группой.

Теорема 4.2.1. Если вполне разложимая группа без кручения конечного ранга является ЕпйЁ -группа й, то типы всех ее прямых слагаемых ранга 1 попарно несравнимы.

Теорема 5.2.1. Вполне разложимая группа без кручения конечного ранга является ЕпйЁ-группой, если типы всех ее прямых слагаемых ранга 1 попарно несравнимы по <х>.

Показано, что любая группа без кручения ранга 1 является ЕпЫЕ*-группой.

Для вполне разложимой группы без кручения бесконечного ранга и векторной группы найдены достаточные условия, при которых эти группы не являются ЕпсВ?-группами:

Теорема 7.2.1. Если у вполне разложимой группы бесконечного ранга существует хотя бы пара прямых слагаемых ранга 1 со сравнимыми типами и множество пар таких прямых слагаемых конечное, то эта группа не является Епс1Е1~-группой.

Теорема 9.2.1. Однородная векторная группа А-П^А,- {г(А$=\, 1/1 ранга больше 1 не является ЕпдЕ:-группой.

Найдены необходимые и достаточные условия, при которых вполне разложимая группа без кручения бесконечного ранга (редуцированная векторная группа) является ■ЕягйГ-группой при условии, что типы всех прямых слагаемых ранга 1 группы попарно несравнимы:

Теорема 6.2.1. Вполне разложимая группа без кручения бесконечного ранга, типы всех прямых слагаемых ранга 1 которой попарно несравнимы, является Епс1Е?-группой тогда и только тогда, когда типы всех ее прямых слагаемых ранга 1 попарно несравнимы по <х>.

Теорема 8.2.1.Редуцированная векторная группа А^П^А, (г(А!)=1, ¡1 /'' типы всех прямых слагаемых ранга I которой попарно несравнимы, является Епс1Е¥-группой, тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из условий:

(1) либо каждое прямое слагаемое ранга 1 группы идемпотентного типа (т.е. группа является Е*~-группой),

(2) либо типы всех ее прямых слагаемых ранга 1 попарно несравнимы по <х>.

В третьем параграфе найдены и описаны £иг/-группы (напомним, что это такая группа А, что Епй(А)гЕпс1(ЕМ(А)), а группы А и Еп(1(А) не изоморфны) в классах периодических групп, нередуцированных групп, групп без кручения ранга 1, вполне разложимых групп без кручения, векторных групп:

Теорема 1.3.1. Периодическая группа А является Епй-группой тогда и только тогда, когда для любого простого числа р из 5(А) ее р-компонента Ар =Е(рю) или Ар к~к(р) еЫ и выполняется хотя бы одно из условий:

1) либо Яс1(А)ф0;

2) либо 8(А) —любое бесконечное подмножество множества Р.

Теорема 2.3.1. Делгшая группа А является Епс1-группой тогда и только тогда, когда А изоморфна группе Фр^л^р00), где 8(А) - любое непустое подмножество множества Р.

Теорема 3.3.1. Нередуцированная неделимая группа А=й(А)ФВ.(А) ф(А)фО, ЩА)фО) является Епс1-группой тогда и только тогда, когда ее делимая часть В (А) изоморфна группе Фре-^(Л)2(рю), а редуцированная часть ЩА) - группе Фр^А)^(рк), к=к(р) еК

Предложение 1.3.1. Группа без кручения ранга 1 является Епс1-группой в том и только том случае, когда ее тип неидемпотентный.

Теорема 4.3.1. Вполне разложимая группа без кручения конечного ранга является Епй-группой, если типы всех ее прямых слагаемых ранга 1 попарно

несравнимы по со, и в ее прямом разложении найдется группа ранга 1 неидемпотентного типа.

Теорема 5.3.1. Если вполне разложимая группа без кручения конечного ранга является Епс1-группой, то в ее прямом разложении найдется группа ранга 1 неидемпотентного типа, и типы ее прямых слагаемых ранга 1 попарно несравнимы.

Следствие 4.3.1. Вполне разложимая группа без кручения бесконечного ранга, типы всех прямых слагаемых ранга 1 которой попарно несравнимы, является Епй-группой тогда и только тогда, когда типы всех ее прямых слагаемых ранга 1 попарно несравнимы по со.

Следствие 5.3.1. Если у вполне разложимой группы бесконечного ранга существует хотя бы пара прямых слагаемых ранга 1 со сравнимыми типами и множество таких пар прямых слагаемых конечное, то эта группа не является Епс1-группой.

Теорема6.3.1. Редуцированная векторная группа А-П^А,- (>(^=1, |/|<Л'г), типы всех прямых слагаемых ранга 1 которой попарно несравнимы, является Епс1-группой тогда и только тогда, когда у нее существует хотя бы одно прямое слагаемое ранга 1 неидемпотентного типа, и типы всех прямых слагаемых ранга 1 несравнимы по со.

Глава 2. Об определяемости .ЕжйГ-групп своими группами эндоморфизмов

В первом параграфе главы задача определяемости абелевой группы своей группой эндоморфизмов решена для периодической £«<#1+-группы.

Показано, что любая периодическая Л'исй"1-группа определяется своей группой эндоморфизмов в классе периодических групп, в классе делимых групп. Найдены необходимые и достаточные условия, при которых периодическая Епй1?-группа определяется своей группой эндоморфизмов в классе всех абелевых групп, в классе редуцированных групп:

Теорема 2.1.2. Периодическая Епс1Е~-группа определяется своей группой эндоморфизмов в классе всех абелевых групп тогда и только тогда, когда она циклическая.

Следствие 1.1.2. Периодическая Епс1Е*-группа определяется своей группой эндоморфизмов в классе редуцированных абелевых групп тогда и только тогда, когда она циклическая.

Показано, что для любой периодической делимой ЕпсО?-группы А в классе нередуцированных групп можно найти группу В, такую, что группы Епй(А) и Епй(В) изоморфны, а сами группы^ и В не изоморфны.

Во втором параграфе задача определяемое™ абелевой группы своей группой эндоморфизмов решена для нередуцированных Еос//Г-групп.

Показано, что любая делимая Епс!^-^^™ определяется своей группой эндоморфизмов в классе периодических групп, в классе делимых групп.

Найдены необходимые и достаточные условия, при которых делимая Епс1Е' -группа определяется своей группой эндоморфизмов в классе всех абелевых групп:

Теорема 4.2.2. Делимая ЕпдЕ?-группа определяется своей группой эндоморфизмов е классе всех абелевых групп тогда и только тогда, когда она непериодическая.

Показано, что для любой делимой периодической -ЕисйГ-группы А в классе нередуцированных групп можно найти группу В, такую, что группы Епс1(Л) и Епс1(В) изоморфны, а сами группы А и В не изоморфны.

Найдены необходимые и достаточные условия, при которых нередуцированная неделимая ЕпсН?-группа определяется своей группой эндоморфизмов в классе всех абелевых групп:

Теорема 5.2.2. Нередуцированная неделимая ЕпЗ.Е^ -группа определяется своей группой эндоморфизмов в классе всех абелевых групп тогда и только тогда, когда она непериодическая.

Доказано, что любая нередуцированная неделимая Епс1Е*-группа определяется своей группой эндоморфизмов в классе нередуцированных групп.

В третьем параграфе задача определяемое™ абелевой группы своей группой эндоморфизмов решена для Еги1Е?-группы без кручения ранга 1 и вполне разложимой ЕпсШ*-группы без кручения конечного ранга. Найдены необходимые и достаточные условия, при которых Епс/Е+-группа без кручения ранга 1 определяется своей группой

эндоморфизмов в классе вполне разложимых абелевых групп без кручения, в классе делимых групп:

Теорема 1.3.2. EneUt-группа без кручения ранга 1 определяется своей группой эндоморфизмов в классе вполне разложимых абелевых групп без кручения тогда и только тогда, когда она либо изоморфна аддитивной группе Q рациональных чисел, либо является почти делимой группой.

Следствие 1.3.2. Группа без кручения ранга 1 определяется своей группой эндоморфизмов в классе делимых групп тогда и только тогда, когда она изоморфна аддитивной группе рациональных чисел Q.

Найдены необходимые и достаточные условия, при которых вполне разложимая EndE+-группа без кручения конечного ранга определяется своей группой эндоморфизмов в классе вполне разложимых групп без кручения:

Теорема 2.3.2. Вполне разложимая EndE?-группа без кручения конечного ранга определяется своей группой эндоморфизмов в классе вполне разложимых групп без кручения тогда и только тогда, когда каждое ее прямое слагаемое ранга 1 почти делимо.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Грин шпон С.Я. Примарные абелевы группы с изоморфными группами эндоморфизмов!'/Математ. заметки. -1973. - Т. 14. -вып.5. - С. 733-741

[2] Гриншпон С.Я., Себельдин A.M. Определяемость периодических абелевых групп своими группами эндоморфизмов//Матем. заметки. -1995. -Т.57. -N.5. -С. 663

[3] Крылов П.А. Группа гомоморфизмов в группу без кручения ранга 111 Абелевы группы и модули. -Томск. -1979. -С. 104-121

[4] Крылов П.А., Михалев A.B., Туганбаев A.A. Связи абелевых групп и их колец эндоморфизмов. -Томск. -2002

[5] Курош А.Г. Теория групп, 3-е издание. - М.: Наука. -1967

[6] Михалев A.B., Мишина А.П. Бесконечные абелевы группы: методы и результаты!7 Фундаментальная и прикладная математика. -1995. -1. —№2. -С. 319-375

[7] Мишина А.П. А белеем группы!I Алгебра. Топология. Геометрия. (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР). -М. -1967. -С. 9-44

[8] Мишина А.П. Абелевы группы!I Алгебра. Топология, Геометрия. Т. 10 (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР). -М. -1972. -С. 5-45

[9] Мишина А.П. Абелевы группы/1 Алгебра. Топология. Геометрия. Т. 17 (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР). -М. -1979. -С. 3-63

[10] Мишина А.П. Абелевы группы!! Алгебра. Топология. Геометрия. Т.23 (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР). -М. -1985. -С. 51-118

[11] Мишина А.П. Абелевы группы!! Итоги науки и техники. Сер. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. Т. 10. Алгебра-2. - М. -ВИНИТИ

[12] Себельдин A.M. Вполне разложимые абелевы группы без кручения с изоморфными группами эндоморфизмов!! Сборник аспирантских работ. -Томск. -1976. -С. 78-85

[13] Себельдин A.M. Группы гомоморфизмов вполне разложимых абелевых групп без кручения!! Известия вузов. Математика. -1973. -№7(134). -С. 77-84

[14] Себельдин A.M. О группах гомоморфизмов абелевых групп без кручения!! Группы и модули. -Томск. -1976. -С. 70-77.

[15] Себельдин A.M. Об определяемости абелевых групп без кручения своими кольцами и группами эндоморфизмов!7 Группы и модули. -Томск. -1976. — С. 78-86

[16] Себельдин A.M. Определяемость алгебраически компактной абелевой группы без кручения своей группой эндоморфизмов!'/Материалы пятой научной конференции по математике и механике. -Томск: -1975. -С. 8485

[17] Себельдин A.M. Определяемость нередуцированных абелевых групп без кручения своими группами эндоморфизмов!7 Абелевы группы и модули. -Томск.-1980.-С. 102-108

[18] Себельдин A.M. Определяемость редуцированных абелевых групп без кручения своими кольцами и группами эндоморфизмов!! Вестник Моск. унта.-1974.-Т.6.-С. 134

[19] Себельдин A.M. Полные прямые суммы абелевых групп без кручения ранга 1 и изоморфными группами или кольцами эндоморфизмов!! Абелевы группы н модули. -Томск. -1979. -С. 159-164

[20] Себельдин A.M., Антонова Н.Ю. Об изоморфизме группы гомоморфизмов двух абелевых групп без кручения одной га этих групп!! Известия вузов. Математика. -1995. -№.2(393). -С. 53-59

[21] Себельдин A.M., Антонова Н.Ю. Об условиях изоморфизма Нот(А,В)=ВИ Абелевы группы и модули. -Томск. -1994. -С. 204-208

[22] Фукс J1. Бесконечные абелевы группы. -М. -1974. -Т. 1

[23] Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. -М. -1974. -Т.2

[24] Fuchs L. Abelian groups. - Budapest, -1958

[25] Pierce R.S. Homomorphisms of primary abelian groups//Topics in Abelian Groups. -Chicago, Illinois. - 1963. - P. 215-310

[26] Schultz P. Periodic Homomorphism Sequences of Abelian Groups!! Arch. Math. -V.XXI. -1970. -P. 132-135

[27] Warficld R.B.Jr. Homomorphism and duality for torsion-free groups!! Matli.Z. -V.107. №3. -1968. -P. 189-200

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[28] Коленова Е.М., Себельдин А.М, Об изоморфности абелевой группы своей группе эндоморфизмов!/ Математические заметки. -2006. - Т. 80-вып. 4- С. 536-545 (0,8 печ. л., соискателем выполнено 80% работы)

[29] Коленова Е.М. Об изоморфизме абелевой группы своей группе эндоморфизмов/! Математические науки: Тезисы докладов на VIII Нижегородской сессии молодых ученых. -Саров. -2003. -С. 29-30 (0,06 печ. л.)

[30] Коленова Е.М. Условия, при которых абелева группа изоморфна своей группе эндоморфизмов!! Математические науки: Тезисы докладов на IX Нижегородской сессии молодых ученых. -Саров. -2004. -С. 46 (0,06 печ. л.)

[31] Коленова Е.М. Условия изоморфгама абелевой группы и ее группы эндоморфизмов!! Математика в высшем образовании: Тезисы докладов

12-й международной конференции. -Чебоксары.-2004.-С. 144 (0,06 печл.)

[32] Коленова Е.М. Абелевы Епс1-группы11 Математические науки: Тезисы докладов; на X Нижегородской сессии молодых ученых. -Саров. -2005. -С. 18-19(0,06 печ. л.)

[33] Коленова Е.М. Критерии изоморфизма абелевой группы и ее группы эндоморфизмов!I Математика в образовании: 200 лет высшему математическому образованию России: сборник статей. -Чебоксары. -2005. -С. 211-216 (0,7 печ. л.)

[34] Коленова Е.М. К проблеме 31 Л.Фукса!I Абелевы группы: Труды всероссийскогосимпоЗиума.-Бийск. -2005. -С. 25-26 (0,06 печ. л.)

[35] Коленова Е.М. Об определяемости абелввых Епс1Е -групп своими группами, эндоморфизмовН Абелевы группы: Труды всероссийского симпозиума.- Бийск. -2006, -С. 28-29 (0,06 печ. л.)

Йодп. кпеч. 15.11.2006 Объем 1 п.л.

Заказ № 146

Типография МП ГУ

Тираж 100 экз.

ВВЕДЕНИЕ.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И НЕКОТОРЫЕ

ИЗВЕСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

ГЛАВА 1.

ОБ ИЗОМОРФИЗМЕ АБЕЛЕВОЙ ГРУППЫ СВОЕЙ ГРУППЕ

ЭНДОМОРФИЗМОВ.

§ 1. Е+-группы в некоторых классах абелевых групп.

§ 2. EndE+-группы в некоторых классах абелевых групп.

§ 3. End-группы в некоторых классах абелевых групп.

ГЛАВА 2.

ОБ ОПРЕДЕЛЯЕМОСТИ EndE'-ГРУПП СВОИМИ ГРУППАМИ

ЭНДОМОРФИЗМОВ.

§ 1. Об определяемости периодической EndE+-rpynnbi своей группой эндоморфизмов.

§ 2. Об определяемости нередуцированной EndE+-rpynm>i своей группой эндоморфизмов.

§ 3. Об определяемости EndE+-rpyim без кручения своими группами эндоморфизмов.

Теория абелевых групп является одним из важных направлений современной алгебры. Все возрастающий интерес к абелевым группам понятен: теория абелевых групп тесно переплетается с теориями модулей, колец, множеств, чисел. С одной стороны, теория абелевых групп, являясь частью теории модулей, использует ее идеи и методы, с другой стороны, она - один из основных побудителей новых исследований в теории модулей (см. [18]).

Начало теории абелевых групп положили работы JI.C. Понтрягина [24], А.И.Мальцева [16], А.Г. Куроша [15], Д.Дэрри [40], Л.Я.Куликова [5]—[13] и др. На становление современной теории абелевых групп решающее влияние оказала монография JI. Фукса [41]. Являясь своеобразной энциклопедией этой теории, эта книга, кроме того, содержит большое число проблем, с решением которых связана деятельность многих специалистов и по сей день. Бурное развитие теории модулей и проникновение в математику теоретико-категорного мышления, последовавшие за появлением монографии Фукса, нашли глубокое отражение в теории абелевых групп. Эта тенденция привела к появлению, по существу, новой книги JI. Фукса [36], [37]. Из современных монографий следует отметить книгу П.А. Крылова, А.В. Михалева и А.А. Туганбаева [4], в которой представлены все основные направления теории колец эндоморфизмов и отражены как ранние, так и полученные в последние годы результаты о связях между абелевой группой и ее кольцом эндоморфизмов.

Именно поиск точных соотношений между свойствами группы и свойствами ее групп гомоморфизмов, группы и кольца эндоморфизмов явился, своего рода, катализатором в развитии современной теории абелевых групп. Тот факт, что две периодические абелевы группы с изоморфными кольцами эндоморфизмов изоморфны, был установлен Бэром в 1943 году [38] в случае ограниченных групп и доказан Капланским в 1952 году [42] в общем случае. Этот результат Бэра-Капланского послужил началом многочисленных исследований в этом направлении.

Выяснение условий, при которых группа (кольцо) всех эндоморфизмов данной абелевой группы определяет ее строение, является важной задачей современной теории абелевых групп (см. [41], проблемы 41,43; [36], проблема 31). Одним из аналогов этих известных проблем, поставленных JI. Фуксом, является задача определяемое™ абелевой группы группами гомоморфизмов, группой (кольцом) эндоморфизмов. Здесь и далее будем придерживаться определения из обзора А.В. Михалева, и А.П. Мишиной [17, с.347]: говорят, что группа Л определяется своей группой (кольцом) эндоморфизмов в классе групп X, если из End(A)= End(B) (Е(А)=Е(В)), где ВеХ, следует, что А=В. Если АиВ - р-группы с изоморфными группами эндоморфизмов, то А и В могут быть не изоморфными [14, §Д.34]. Армстронг [18, с.41] указал условия, при которых изоморфизм групп эндоморфизмов End(A) и End(B) влечет изоморфизм групп А и В, но только для случая, когда А иВ- прямые суммы циклическихр-групп. С.Я. Гриншпон [1] при предположении о том, что справедлива обобщенная гипотеза континуума, получил необходимые и достаточные условия, при которых изоморфизм групп эндоморфизмов End(A) и End(B) влечет изоморфизм групп А и В, для произвольных р-групп А, В (если А -редуцированная /7-группа, то можно заранее не требовать, чтобы группа В была /нгруппой). См. также [2]. A.M. Себельдин нашел ряд условий, при которых в некоторых классах абелевых групп существуют неизоморфные абелевы группы с изоморфными группами эндоморфизмов [25], [28]—[32]. Корнер [18] показал, что существуют группы без кручения, группы эндоморфизмов которых изоморфны, а кольца эндоморфизмов не изоморфны. Нужно отметить, что при решении вопроса об определяемости абелевой группы группами гомоморфизмов (эндоморфизмов) важно знать строение группы гомоморфизмов одной абелевой группы в другую.

Алгебраическое строение группы гомоморфизмов представляет как самостоятельный интерес, так и позволяет решать задачи теории групп, колец, модулей. Однако точное строение группы гомоморфизмов известно лишь в некоторых случаях (см. [36], §43, §46, §47). Строение группы Нот(А,В) для некоторых частных случаев выясняется в работах Пирса [43], Гроссе [19, с. 115116], ван Ливена [19, с.183], Мадера [20, с.291], Шульца [20, с.344], Уорфилда [20, с.375], Эды [21,с.196], Крандика [22,с.301], Крылова П.А. [3].

Задача о строении группы гомоморфизмов Нот(А,В) ставилась в самых различных видах. Рассматривался вопрос о том, когда заданная группа изоморфна некоторой группе Нот(А,В) [19, с.282]. В частности, ставился вопрос о том, какому классу групп принадлежит группа Нот(А,В), если А и В взяты из заданных классов групп, или когда группа Нот(А,В) изоморфна группе А (группе В). В такой постановке задача рассматривалась в работах [19, с. 114], [20, с.121], [26], [27], [34], [35], [45].

При определении строения группы эндоморфизмов абелевой группы важной задачей является изучение связей между абелевой группой и ее группой эндоморфизмов. Естественным образом возникает вопрос, при каких условиях абелева группа А и группа всех ее эндоморфизмов End(A) изоморфны (см. [36], проблема 31; [41], проблемы 40,45). Для некоторых классов абелевых групп эта задача решена A.M. Себельдиным [26], [27] и Ф. Шульцем [44].

Настоящая работа посвящена изучению связей между абелевой группой и ее группой эндоморфизмов, а также близким вопросам.

Целью работы является исследование вопросов об изоморфизме абелевой группы своей группе эндоморфизмов, об изоморфизме абелевых групп с изоморфными группами эндоморфизмов для некоторых известных классов абелевых групп.

Научная новизна и практическая ценность: все результаты диссертации являются новыми. Основными результатами работы можно считать следующие:

1. Решена задача об изоморфизме между абелевой группой А и ее группой эндоморфизмов End(A) (такую группу будем называть Е*-группой) в некоторых классах абелевых групп.

2. Получены необходимые и достаточные условия на абелеву группу А, при которых изоморфны группы End(A) и End(End(A)) (такую группу будем называть EndE*-группой).

3. В некоторых известных классах абелевых групп найдены такие абелевы группы А, что группы End(A) и End(End(A)) изоморфны, а группы А и End(A) не изоморфны (такие группы будем называть End-группами).

4. Решена задача определяемое™ абелевой EndE*-группы своей группой эндоморфизмов в некоторых классах абелевых групп.

Работа имеет теоретическое значение. Результаты данной работы могут быть использованы при изучении групп гомоморфизмов, групп эндоморфизмов абелевых групп и модулей, могут применяться при решении аналогичных задач в теории групп, колец, модулей.

Основные результаты диссертации докладывались на VIII, IX, X Нижегородских сессиях молодых ученых (г. Саров, 2003г, 2004г, 2005г); на алгебраических семинарах НГПУ, ННГУ, МПГУ, на Всероссийском симпозиуме «Абелевы группы» (г. Бийск, 2005г, 2006г) и содержатся в работах [46]-[53].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, Анатолию Михайловичу Себельдину, за внимание к работе, советы и указания.

Содержание диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, включающих шесть параграфов, и списка литературы.

1. Гриншпон С.Я. Примарные абелевы группы с изоморфными группами эндоморфизмов//Математ. заметки. -1973. -Т.14. -вып.5. -С. 733-741

2. Гриншпон С.Я., Себельдин A.M. Определяемость периодических абелевых групп своими группами эндоморфизмов//Матем. заметки. -1995. -Т.57. -N.5. -С. 663

3. Крылов П.А. Группа гомоморфизмов в группу без кручения ранга 1// Абелевы группы и модули. -Томск. -1979. -С.104-121

4. Крылов П.А., Михалев А.В., Туганбаев А.А. Связи абелевых групп и их колец эндоморфизмов. -Томск. -2002

5. Куликов Л.Я. Группы расширений абелевых групп// Труды 4-го Всесоюзного математического съезда. -1961. -Т.2. -С. 9-11

6. Куликов Л.Я. К теории абелевых групп произвольной мощности// Математич. сб. -1941. -Т.9. -С. 165-182

7. Куликов Л.Я. К теории абелевых групп произвольной мощности// Математич. сб. -1945. Т. 16. -С. 129-162

8. Куликов Л.Я. О прямых разложениях групп//Украинский математический журнал. -1952. -Т.4. -С. 230-275

9. Куликов Л.Я. Обобщенные примарные группы//Труды Моск. Математич. общества. -1952. -Т.1. -С. 247-326

10. Куликов JI.Я. Обобщенные примарные группы//Труды Моск. Математич. общества. -1953. -Т.2. -С. 85-176

11. Куликов Л.Я. Строение группы абелевых расширений произвольной абелевой группы с помощью периодической// УМН. -1964. Т. 19. -№2. -С. 228

12. Куликов Л.Я. Универсально полные абелевы групп//Труды 3-го Всесоюзного математического съезда. -1956. -Т.1. -С. 26-28

13. Куликов Л.Я. Условия расщепляемости смешанных абелевых групп// УМН. -1958. -Т. 13. -№3. -С. 247

14. Курош А.Г. Теория групп, 3-е издание. М.: Наука. -1967

15. Курош А.Г. Primitive torsionfreie abelschen Gruppen vom endlichen Range// Ann. of Math. -1937. -V.38. -P. 175-203

16. Мальцев А.И. Абелевы группы конечного ранга без кручения// Математич. сб. -1938. -Т.4. -№4. -С. 45-68

17. Михалев А.В., Мишина А.П. Бесконечные абелевы группы: методы и результаты// Фундаментальная и прикладная математика. -1995. -1. -№2. -С. 319-375

18. Мишина А.П. Абелевы группы//Алгебра. Топология. Геометрия. (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР). -М. -1967. -С. 9-44

19. Мишина А.П. Абелевы группы//Алгебра. Топология. Геометрия. Т. 10 (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР).-М. -1972. -С. 5-45

20. Мишина А.П. Абелевы группы//Алгебра. Топология. Геометрия. Т. 17 (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР).-М. -1979. -С. 3-63

21. Мишина А.П. Абелевы группы//Алгебра. Топология. Геометрия. Т.23 (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР).-М. -1985.-С. 51-118

22. Мишина А.П. Абелевы группы// Итоги науки и техники. Сер. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. Т. 10. Алгебра-2. -М. -ВИНИТИ

23. Мишина А.П., Скорняков JI.А. Абелевы группы и модули. -М. -1969

24. Понтрягин JI.C. The theory of topological commutative groups//Ann. of Math. -1934. -V.35. -P. 361-388

25. Себельдин A.M. Вполне разложимые абелевы группы без кручения с изоморфными группами эндоморфизмов// Сборник аспирантских работ. -Томск. -1976. -С. 78-85

26. Себельдин A.M. Группы гомоморфизмов вполне разложимых абелевых групп без кручения// Известия вузов. Математика. -1973. -№7(134). -С. 77-84

27. Себельдин A.M. О группах гомоморфизмов абелевых групп без кручения// Группы и модули. -Томск. -1976. -С. 70-77.

28. Себельдин A.M. Об определяемости абелевых групп без кручения своими кольцами и группами эндоморфизмов//Группы и модули. -Томск. -1976. -С. 7886

29. Себельдин A.M. Определяемость алгебраически компактной абелевой группы без кручения своей группой эндоморфизмов//Материалы пятой научной конференции по математике и механике. -Томск: -1975. -С. 84-85

30. Себельдин A.M. Определяемость нередуцированных абелевых групп без кручения своими группами эндоморфизмов// Абелевы группы и модули. -Томск. -1980. -С. 102-108

31. Себельдин A.M. Определяемость редуцированных абелевых групп без кручения своими кольцами и группами эндоморфизмов// Вестник Моск. ун-та. -1974. -Т.6. -С. 134

32. Себельдин A.M. Полные прямые суммы абелевых групп без кручения ранга 1 и изоморфными группами или кольцами эндоморфизмов// Абелевы группы и модули. -Томск. -1979. -С. 159-164

33. Себельдин A.M. Isomorphisme naturel des groupes des homomorphismes des groupes abeliens// Ann. de L'IPGANC. -Conakry. -1982. -V.VIII, Ser.A. -P. 155-158.

34. Себельдин A.M., Антонова Н.Ю. Об изоморфизме группы гомоморфизмов двух абелевых групп без кручения одной из этих групп// Известия вузов. Математика. -1995. -№.2(393). -С. 53-59

35. Себельдин A.M., Антонова Н.Ю. Об условиях изоморфизма Нот(А,В)=ВП Абелевы группы и модули. -Томск. -1994. -С. 204-208

36. Фукс JI. Бесконечные абелевы группы. -М. -1974. -Т. 1

37. Фукс JI. Бесконечные абелевы группы. -М. -1974. -Т.2

38. BaerR. Automorphism rings of primary abelian operator groups// Ann. Math. -44(1943). -P. 192-227

39. Baer R. Types of elements and characteristic subgroups of abelian groups// Proc. London Math. Soc. -39. -1935. P. 481514

40. DerryD. Uber eine Klasse von abelschen Gruppen// Proc. London Math. Soc. -1937. -V.43. -P. 490-506

41. Fuchs L. Abelian groups. Budapest, -1958

42. Kaplansky I. Some results on abelian groups// Proc. Nat. Acad. Sci. USA. -38(1952). -P. 538-540

43. Pierce R.S. Homomorphisms of primary abelian groups// Topics in Abelian Groups. -Chicago, Illinois. -1963. P. 215-310

44. Schultz P. Periodic Homomorphism Sequences of Abelian Groups//Arch. Math. -V.XXI. -1970. -P. 132-135

45. Warfield R.B.Jr. Homomorphism and duality for torsion-free groups// Math.Z. -V.107. №3. -1968. -P. 189-200

46. Коленова E.M. Об изоморфизме абелевой группы своей группе эндоморфизмов// Математические науки: Тезисы докладов на VIII Нижегородской сессии молодых ученых. -Саров. -2003. -С. 29-30

47. Коленова Е.М. Условия, при которых абелева группа изоморфна своей группе эндоморфизмов//Математические науки: Тезисы докладов на IX Нижегородской сессии молодых ученых. -Саров. -2004. -С. 46

48. Коленова Е.М. Условия изоморфизма абелевой группы и ее группы эндоморфизмов// Математика в высшем образовании: Тезисы докладов 12-й международной конференции. -Чебоксары. -2004. -С. 144

49. Коленова Е.М. Абелевы ZsW-группы// Математические науки: Тезисы докладов на X Нижегородской сессии молодых ученых. -Саров. -2005. -С. 18-19

50. Коленова Е.М. Критерии изоморфизма абелевой группы и ее группы эндоморфизмов//Математика в образовании: 200 лет высшему математическому образованию России: сборник статей. -Чебоксары. -2005. -С. 211-216

51. Коленова Е.М. К проблеме 31 J1.Фукса//Абелевы группы: Труды всероссийского симпозиума-Бийск. -2005. -С. 2526

52. Коленова Е.М. Об определяемости абелевых EndE?-групп своими группами эндоморфизмов!I Абелевы группы: Труды всероссийского симпозиума-Бийск. —2006. — С. 28-29

53. Коленова Е.М., Себельдин A.M. Об изоморфности абелевой группы своей группе эндоморфизмов!! Математ. заметки. -2006. Т. 80-вып. 4- С. 536-545