Автоморфизмы и элементарная эквивалентность групп Шевалле и других производных структур тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 512.54+512.55+512.54.03

00461233?

БУНИНА ЕЛЕНА ИГОРЕВНА

Автоморфизмы и элементарная эквивалентность групп Шевалле и других производных структур

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел.

1 1 НОЯ 2010

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва — 2010

004612359

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор А. В. Михалев

доктор физико-математических наук, член-корр. РАН JI. Д. Беклемишев доктор физико-математических наук, профессор В. М. Левчук доктор физико-математических наук, профессор A.A. Туганбаев

Омский филиал Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН

Защита диссертации состоится " ноа¥А- 2010 г. в 16 ч. 45 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, механико-математический факультет, аудитория 14-08. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж). Автореферат разослан " 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук

профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Работа посвящена автоморфизмам и изоморфизмам групп Шевалле над кольцами, а также элементарной эквивалентности различных производных структур (в том числе групп Шевалле).

Автоморфизмы и изоморфизмы линейных и классических групп — задача, изучаемая математиками с начала прошлого века. Линейные группы являются традиционным объектом исследования математиков. Различные вопросы, связанные с их структурой, изучались К. Жорданом, Л. Диксоном, Б. ван дер Варденом, Г. Вейлем, Ж.Дьедонне, Ж. Титсом и их многочисленными последователями в огромном количестве работ. Ко второй половине XX века сложилось несколько крупных направлений исследования линейных групп, среди которых изучение нормальных подгрупп, описание линейных групп с помощью образующих и определяющих соотношений, описание подгрупп, порожденных некоторыми специальными элементами, а также описание автоморфизмов и изоморфизмов между линейными группами.

Изучение автоморфизмов классических групп началось работой Шрайера и Ван-дер-Вардена1 1928 г., в которой были описаны автоморфизмы группы PSLn (n ^ 3) над произвольным полем. Затем Дьедонне2 в 1951 г. и Ри-карт3 в 1950 г. ввели метод инволюций, с помощью которого были описаны автоморфизмы группы GLn (п ^ 3) над телом.

Первый шаг в построении теории автоморфизмов над кольцами, а именно для группы GL„ (n ^ 3) над кольцом целых чисел, сделали Хуа Логен и Райнер4 в 1951 г. В 1957 г. Лэндин и Райнер5, а также Вань Чжесянь6 обобщили результат Хуа Логена и Райнера на некоммутативные области главных идеалов.

Методы отмечавшихся выше работ основывались главным образом на изучении инволюций в рассматриваемых группах. В 1976 г. О'Мира7 придумал совершенно новый так называемый метод вычетных пространств, не использующий инволюций, с помощью которого ему удалось описать автоморфиз-

1Schreier О., van der Varden B.L. Die Automorphismen der projektiven Gruppen. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1928, 6, 303-322.

2Dieudonne J. On the automorphisms of the classical groups. Mem. Amer. Math. Soc., 1951, 2, 1-95.

3Rickart C.E. Isomorphic group of linear transformations. Amer. J. Math, 1950, 72, 451-464.

4Hua L.K., Reiner I., Automorphisms of uniinodular groups, TVans. Amer. Math. Soc., 71, 1951, 331-348.

'Landein I., Reiner 1. Automorphisms of the general linear group over a principal ideal domain. Ann. Math., 1957, 65(3), 519-526.

6Wan C.A. The automorphism of linear group over a uoiicomjuutative principal ideal domain of characteristic ± 2. Acta Math. Sinica, 1957, 7, 533-573.

rO'Meara O.T., The automorph isms of linear groups over any integral domain, J. reine angew. Math., 223, I960, 56-100.

мы группы GLn (n > 3) над областями целостности. Независимо от О'Миры, опираясь на изучение инволюций, автоморфизмы группы En(R) (n 3) над областями целостности характеристики ф 2 описал Янь Шицзянь8 (1965 г.).

Помфрэ и Макдональд9 в 1972 г. определили автоморфизмы группы GLn (п ^ 3) над коммутативным локальным кольцом, в котором двойка обратима. Обратимость в кольце двойки дает возможность привлекать к изучению автоморфизмов группы GL „ технику, опирающуюся на изучение инволюций. Г.А. Носков 10 и В.Я. Блошицын11 в 1975 г. описали автоморфизмы группы GLn(R) (n ^ 3), если R — коммутативное кольцо, которое не порождается делителями нуля, с обратимой двойкой. B.C. Дроботенко и Э.Я. Погориляк12 в 1977 г. сделали то же для конечных сумм локальных колец, Макдональд 13 в 1978 г. — если коммутативное кольцо R содержит только нулевой и единичный идемпотенты.

Уотерхауз14 в 1980 г. доказал стандартность автоморфизмов групп GLn (n ^ 3) над произвольным коммутативным кольцом с обратимой двойкой. Если 2 — необратимый элемент коммутативного локального кольца R, то автоморфизмы групп SLn(i2), GLn(R) были изучены В.M. Петечуком в 1980 г. при n ^ 415 и в 1982 г. при п — З16. Основываясь на результатах над локальными кольцами в 1982 г. В.М. Петечук 17 описал автоморфизмы линейных групп GLn, SLn (n > 4) над произвольными коммутативными кольцами.

В качестве результатов для некоммутативных колец в 1980-х годах в работе И.З. Голубчиком и A.B. Михалевым 18 было дано описание изоморфизмов групп GLn(Ä) и GLm(S") над ассоциативными кольцами R и S с | при 3, и несколько иным способом в работе Е.И. Зельманова19. Затем, в

"Shi-jian Yan. Linear groups over a ring. Chinese Math., 1965, 7(2), 163-179.

9Pomfret I., McDonald B.R. Automorphisms of GL „(Л), R a local ring. Trans. Amer. Math. Soc., 1972, 173, 379-388.

10Носков Г.А. Автоморфизмы группы GLn(0) при dim Ai ax(O) <n - 2. Мат. Заметки, 1975, 17(2), 285-291.

пБлошицын В.Я. Автоморфизмы общей линейной группы над коммутативным кольцом, ке порождаемым делителями нуля. Алгебра и логика, 1978, 17(6), 639-642.

12Дроботенко B.C., Погориляк Б.Я. Автоморфизмы полной линейной группы над некоммутативным полулокальным кольцом. УМН, 1977, 32(2), 157-158.

"McDonald B.R., Automorphisms of GL „(Я)., Trans. Amer. Math. Soc., 215, 1976, 145-159.

"Waterhouse W.C. Automorphisms of GL„(R). Proc. Amer. Math. Soc., 1980, 79, 347-351.

15Петечук В.М. Автоморфизмы групп SLn, GLn над некоторыми локальными кольцами. Математические заметки, 28(2), 1980, 187-206.

16Петечук В.М. Автоморфизмы групп SL3(A"), GLa(Ä'). Математические заметки, 31(5), 1982, 657-668.

17Петечук В.М. Автоморфизмы матричных групп над коммутативными кольцами. Математический сборник, 1982, 117(4), 534-547.

18Голубчик И.З., Михалев A.B. Изоморфизмы общей линейной группы над ассоциативиым кольцом. Вестник МГУ, серия математика, 1983, 3, 61-72.

19Зельманов Е.И. Изоморфизмы полных линейных групп пад ассоциативными кольцами. Сибирский математический журнал, 1985, 26(4), 49-67.

1997 году И.З. Голубчиком20 описание изоморфизмов между общими линейными группами было продолжено на случай произвольных ассоциативных колец и n, m > 4.

С другой стороны, теория алгебраических групп также является одной из важнейших областей современной алгебры. Она возникла в середине XX века, на стыке алгебраической геометрии, теории групп и теории Ли, и в настоящее время имеет приложения как в этих, так и в других областях математики: теории конечных групп, теории чисел, теории инвариантов, теории дифференциальных уравнений и т. д. Центральное место в теории алгебраических групп занимают полупростые алгебраические группы и их непосредственное обобщение — группы Шевалле.

Основы теории групп Шевалле были заложены в 1950-х, 1960-х годах в работах К. Шевалле, Ж. Титса, А. Бореля, А. Вейля, А. Гротендика, М. Демазюра, Р. Стейнберга и др. В частности, в 1956-1958 годах К. Шевалле получил классификацию полупростых алгебраических групп над алгебраически замкнутым полем. Позднее Шевалле показал, что все полупростые группы над алгебраически замкнутым полем в действительности определены над Z, или, иначе говоря, получаются в результате расширения базы из некоторых групповых схем над Z, называемых схемами Шевалле-Демазюра. Группы точек схем Шевалле-Демазюра над коммутативными кольцами называются группами Шевалле. Частными случаями групп Шевалле являются расщепимые классические группы матриц SLn(R), SO „(R), Sp„(R) (над коммутативным кольцом R с единицей); конечные простые группы типа Ли An(q)-G2{q) являются центральными факторами групп Шевалле.

Таким образом, группы Шевалле являются естественным продолжением как алгебраических групп, так и классических линейных групп над коммутативными кольцами.

Изучением групп Шевалле занимались такие известные математики, как К.Шевалле, Э.Абе, Р.Стейнберг, Дж.Хамфри, Н.А.Вавилов, Е.Б.Плоткин, В.М. Левчук, С.Г. Колесников и многие другие. В том числе, изучались автоморфизмы и изоморфизмы групп Шевалле над полями и различными классами колец. Например, Р. Стейнберг и Дж. Хамфри описали изоморфизмы групп Шевалле над полями. Описанию автоморфизмов групп Шевалле над различными коммутативными кольцами были посвящены работы многих ав-

20И.З. Голубчик. Линейные группы над ассоциативными кольцами. Диссертация на соискание степени доктора физико-математических наук. "Уфа, 1997.

торов, среди которых отметим работы Бореля-Титса21, Картера-Ю Чена22, Ю Чена23, Э.Абе, А.А.Клячко.

Э. Абе24 доказал стандартность автоморфизмов для нетеровых колец, что теоретически могло бы закрыть вопрос об автоморфизмах групп Шевалле над произвольными коммутативными кольцами (для случая системы корней ранга ^ 2 и колец с обратимой двойкой), однако в рассмотрении случая присоединенных элементарных групп в работе Э.Абе содержится ошибка, которую не удается устранить методами этой статьи. Именно, в доказательстве леммы 11 используется то, что ad(xa)2 = 0 для всех длинных корней, что неверно в присоединенном представлении. Главной проблемой здесь является случай групп типа так как во всех остальных случаях группы Шевалле допускают представление, обладающие свойством ad (xQ)2 = 0 для всех длинных корней, а в случае Eg таких представлений нет.

Случаи, когда кольцо содержит достаточно много обратимых целых чисел (например, все рациональные числа) полностью закрыт в работе A.A. Клячко25 Таким образом, наибольший интерес на данный момент представляют кольца, в которых мало обратимых целых элементов (например, обратимы только единица и двойка, либо только единица).

По этой причине особый интерес представляет рассмотрение групп Шевалле над локальными кольцами (с обратимой двойкой или без нее), так как появляется возможность перейти к описанию автоморфизмов (и изоморфизмов) групп Шевалле над всеми коммутативными кольцами с помощью метода локализации. В данной диссертационной работе описаны автоморфизмы групп Шевалле всех типов над локальными кольцами с обратимой двойкой, а также типов Ai,Di,E¡ над локальными кольцами с необратимой двойкой.

Заметим, что случай A¡ был полностью рассмотрен в работах В.Уотер-хауза, В.М. Петечука, Ли Фу-аня и Ли-Дзун-сяна, причем даже без условия обратимости двойки в кольце. Работы И.3. Голубчика и А.В.Михалева охватывают случай системы корней C¡, который в данной диссертационной работе не рассматривается.

Если алгебра рассматривает различные модели (группы, кольца и т. п.) с

21Bore] A., Tits J. Homomorphismes "abstraits" de groupes algébriques simples. Ann. Math., 1973, 73, 499571.

"Carter R.W., Chen Yu. Automorphisms of affine Kac-Moody groups and related Chevalley groups over rings. J. Algebra, 1993, 155, 44-94.

23СЪеп Yu. Isomorphisms of Chevalley groups over algebras. J. Algebra, 2000, 226, 719-741.

24Abe E. Automorphisms of Chevalley groups over commutative rings. Algebra and Analysis, 5(2), 1993, 74-90.

25Klyachko Anton A. Automorphisms and isomorphisms of Chevalley groups and algebras. arXiv:math/0708.2256v3 (2007).

точностью до изоморфизма, то теорию моделей интересует классификация структур с точностью до элементарной эквивалентности.

Две модели UuU' одного языка первого порядка С (например, две группы или два кольца) называются элементарно эквивалентными, если любое предложение ip языка С истинно в модели U тогда и только тогда, когда оно истинно в модели U'. Любые две конечные модели одного языка элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда они изоморфны. Любые две изоморфные модели элементарно эквивалентны, однако для бесконечных моделей обратное неверно. Например, поле С комплексных чисел и поле Q алгебраических чисел элементарно эквивалентны, но не изоморфны, так как имеют различную мощность.

Ряд интересных задач в теории групп возник в связи с применением в ней теоретико-модельных методов. К их числу относится проблема классификации групп с точностью до элементарной эквивалентности, или в другой формулировке — проблема классификации полных теорий групп.

Анализ решений проблемы элементарной классификации групп определенного класса позволяет выделить три основных метода доказательств: модельной полноты, перехода к насыщенным моделям и прямой, когда доказывается формульность характеристик, определяющих групповую структуру исследуемой группы. Наиболее полные результаты по проблеме элементарной эквивалентности были получены для абелевых и линейных групп.

Весьма прозрачная и полезная в приложениях классификация абелевых групп по элементарным свойствам получена в 1954 г. польским математиком Шмелевой26. Одним из наиболее важных следствий теоремы Шмелевой является разрешимость элементарной теории класса абелевых групп.

Проблема классификации групп по элементарным свойствам, как правило, является трудной задачей. Удовлетворительные результаты по ее решению получены для свободных групп, для некоторых классов нильпотентных групп и для классических линейных групп.

Сформулируем результаты по элементарной эквивалентности для степенных нильпотентных групп:

Теорема. (А. Г. Мясников, В. Н. Ремесленников27). Пусть G и Н — нилъ-потентные Q-группы конечного ранга. Тогда группа G элементарно экви-

2eSzmielew W. Elementary properties of Abelian groups. — Fundamenta Mathemalica, 1955, 41, 203-271.

27Мясннков А. Г., Ремесленников B.H. Изоморфизмы и элементарные свойства нильпотентных степенных групп. В кн. Мат. логика и теория алгоритмов, Новосибирск, Наука, 1982, 56-87. Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Изоморфизмы и элементарные свойства нильпотентных степенных групп. ДАН СССР, 1981, 258(5), 1056-1059. Мясников А.Г., Ремесленников В.Н. Формульность множества мальцевских баз И элементарные теории конечных алгебр. I., 1982, 23(5), 152-167.

валентна группе H тогда и только тогда, когда основы G и H изоморфны, причем G и H одновременно либо совпадают со своими основами, либо не равны им.

По определению, подгруппа G ^ G называется основой группы G, если Z{G) ^ G' и G = G X С, где Z(G) - центр G, G' - коммутант G и С ^ Z(G). Основа по группе определяется единственным образом с точностью до изоморфизма.

Эта теорема резко контрастирует с соответствующим результатом для абе-левых групп и сводит проблему элементарной эквивалентности к проблеме изоморфизма для нильпотентных Q-групп конечного ранга. Последняя проблема алгоритмически разрешима28.

Ситуация в случае нильпотентных групп, т. е. степенных групп над кольцом Z, более сложная, чем в случае поля Q. Б. И. Зильбер29 построил пример двух неизоморфных элементарно эквивалентных конечно порожденных 2-нильпотентных групп.

В районе 1945 года Тарский сформулировал два предположения об элементарных теориях свободных групп. Первое из них состояло в том, что две свободные неабелевы группы различных рангов элементарно эквивалентны. Второе состояло в том, что элементарная теория свободной неабелевой группы разрешима. Обе гипотезы были доказаны в окрестности 1999 года А. Мяс-никовым и О. Харлампович30.

Впервые вопросы связи элементарных свойств некоторых моделей с элементарными свойствами производных моделей были рассмотрены в 1961 г. А.И.Мальцевым31. Он доказал, что группы Gn(K) и Gm(L) (G = GL, SL, PGL, PSL, n, m ^ 3, K,L — поля характеристики 0) элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда т. = п и поля К и L элементарно эквивалентны.

Продолжение эта теория получила в 1992 году, когда с помощью кон-

Саркисян P.A. Об одной проблеме равенства для когомологий Галуа. Алгебра и логика, 1980, 19{6), 707-725.

293ильбер Б. И. Пример двух элементарно эквивалентных, но не изоморфных конечно порожденных метабелезых групп. Алгебра и логика, 1971, 10(3), 309-315.

30Kharlampovich Olga, Myasnikov Alexei. Elementary theory of free non-abelian groups. Journal of Algebra, 2006, 302, 451-552. Kharlampovich O., Myasnikov A. Tarski^s problem about the elementary theory of free groups has a positive solution, Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc. 4 (December 1998) 101-108. Kharlampovich O., Myasnikov A., Irreducible affine varieties over a free group: I. Irreducibility of quadratic equations and nullstellensatz, J. Algebra 1998, 200, 472-516. Kharlampovich O., Myasnikov A., Irreducible affine varieties over a free group: II. Systems in triangular quasiquadratic form and description of residually free groups, J. Algebra, 1998, 200, 517-570

31Мальцев А.И. Об элементарных свойствах линейных групп. Проблемы математики и механики, Новосибирск, 1961, 110-132.

струкции ультрапроизведения и теоремы об изоморфизме32 К.И.Бейдар и A.B. Михалев33 нашли общий подход к проблемам элементарной эквивалентности различных алгебраических структур и обобщили теорему Мальцева для случая, когда К и L являются телами и ассоциативными кольцами.

Продолжением исследований в этой области явились работы Е.И. Буниной 1998-2001 гг., в которых результаты А.И. Мальцева была распространены на унитарные линейные группы над телами и ассоциативными кольцами с инволюцией, а также на группы Шевалле над алгебраически замкнутыми полями.

Тематика исследований А.И. Мальцева активно продолжается в данной диссертации. Во второй главе изучается элементарная эквивалентность групп Шевалле над полями и локальными кольцами.

В третьей главе изучены элементарные свойства полугрупп неотрицательных матриц над линейно упорядоченными кольцами. Элементарные свойства полугрупп неотрицательных матриц над частично упорядоченными коммутативными кольцами были изучены Е.И. Буниной и П.П. Семеновым34, они не вошли в данную диссертацию.

Элементарная эквивалентность колец инцидентности изучалась автором совместно с A.C. Доброхотовой-Майковой35 и также не вошла в данную работу.

В конце прошлого века стало ясно, что элементарная эквивалентность производных структур не всегда связана именно с элементарной эквивалентностью структур, по которым они были построены, в некоторых случаях возникает эквивалентность в логиках более высоких порядков.

Фелгнер36 предложил изучить проблему элементарной эквивалентности бесконечномерных общих линейных групп и других классических групп над полями. В.Толстых37 решил эту проблему для бесконечномерных групп типов GL, PGL, FL, PTL для достаточно широкого класса тел. Предмет изучения работы В.Толстых может быть описан как исследование выразительности языка логики первого порядка для бесконечномерных классических

32Кейслер Г., Чэн ЧЛ. Теория моделей. Москва, Мир, 1977.

33Beidar C.I., Michalev A.V. On Malcev's theorem on elementary equivalence of linear groups. Contemporary mathematics, 1992, 131, 29-35.

34Е.И. Бунина, П.П. Семенов. Элементарная эквивалентность полугрупп обратимых матриц с неотрицательными элементами над частично упорядоченными коммутативными кольцами. Фундаментальная и прикладная математика. 2008, 14(4), 3-17.

35Бунина Е.И., Доброхотова-Майкова A.C. Элементарная эквивалентность обобщенных колец инцидентности. Фундаментальная н прикладная математика, 2008, 14(7), 37-42.

36Felgner U. Problem Notebook Model Theory and groups. LMS Durham Symp., 16-28 July 1988.

37Tolstykh V. Elementary equivalence of infinite-dimensional classical groups. Annals of Pure and Applied Logic, 2000, 105, 103-156.

групп и близких структур. Похожие проблемы изучались во многих статьях, например, Шелахом для бесконечномерных симметрических групп, полугрупп эндоморфизмов свободных алгебр, автоморфизмов групп булевых алгебр и т. п.

Другая работа В. Толстых38 посвящена исследованию теории группы автоморфизмов бесконечно порожденной свободной группы. Пусть Fk — свободная группа бесконечного ранга к. В ней доказано, что теория второго порядка множества к и элементарная теория группы Aut F¡¡ интерпретируются друг в друге равномерно по Fk, а следовательно, группы автоморфизмов AutF¿ и Aut F\ элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда fc и А эквивалентны в логике второго порядка.

Связь между совпадением теорий первого порядка одних структур и совпадением теорий второго порядка некоторых других структур была установлена в ряде работ А. Г. Пинусом. Например, он доказал39, что выразительные возможности решеток разбиений в логике первого порядка совпадают с выразительными возможностями логики второго порядка. Именно, пусть L(A) — решетка разбиений на множестве A, Th(L(A)) — теория первого порядка решетки L(A), Thz(A) — теория множества А (с пустой сигнатурой) в полной логике второго порядка. Доказано, что для любых множеств А, В теории 77i(L(yl)) и Th(L(B)) совпадают тогда и только тогда, когда Th2(A) = Th2{B).

Результаты, полученные в 2000 г. А. Г. Пинусом и Г. Роузом40, посвящены элементарной эквивалентности решеток подалгебр свободных алгебр.

В силу элементарной эквивалентности любых двух бесконечно порожденных V-свободных алгебр понятен интерес к вопросу об элементарной эквивалентности производных структур от свободных алгебр многообразий41.

В четвертой главе данной диссертации рассмотрена связь свойств второго порядка ассоциативных колец и свойств первого порядка категорий модулей, колец эндоморфизмов, групп автоморфизмов и проективных пространств модулей бесконечного ранга над этими кольцами.

Также в четвертой главе доказываются теоремы, аналогичные теореме Бэра-Капланского о кольцах эндоморфизмов абелевых р-групп (абелева р-

3sTolstyh V. Set theory is interpretable in the automorphism group of an infinitely generated free group. J. London Math. Soc., 2000, 62(1), 17-26.

39Пинус А. Г. Элементарная эквивалентность решеток разбиений. — Сибирский математический журнал. - 1988. - т. 29. - в. 3. - с. 211-212.

40Пинус А. Г., Роуз Г. Элементарная эквивалентность решеток подалгебр свободных алгебр. Алгебра и логика, 2000, 39(5), 595-601.

41Pinus A. G., Rose H. Second order equivalence of cardinals: an algebraic approach, Contributions to General

algebra. 13, Verlag J. Heyn, Klagenfurt, 2001, 275-284.

группа определяется своим кольцом эндоморфизмов), но для элементарной эквивалентности. Показано, что элементарная теория кольца эндоморфизмов абелевой р-группы определяет полную теорию второго порядка (в некоторых случаях ее счетное ограничение) самой абелевой группы.

Е.И. Бунина и A.B. Михалев42 рассматривали категории полигонов над моноидами, а также моноиды эндоморфизмов свободных полигонов над моноидами. Было показано, что при определенных условиях на исходные моноиды моноиды эндоморфизмов свободных полигонов над ними элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда сами моноиды эквивалентны в логике второго порядка (эти результаты не включены в диссертацию).

Различными математиками рассматривалась также элементарная эквивалентность других структур и производных конструкций.

Для модулей существует достаточно простой критерий элементарной эквивалентности. Именно: два модуля М и N над кольцом R элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда для любых двух 1-позитивно-примитивных формул (т. е. формул вида 3x6, где Q — конъюнкция атомных формул) ip, ■ф таких, что ф tp, мощности абелевых групп ip(M)/ip(M) и cp(N)/ij;(N) либо бесконечны, либо конечны и совпадают.

В ряде работ изучался вопрос о сохранении элементарной эквивалентности для различных теоретико-групповых конструкций. Например, для модулей над вполне приводимым кольцом тензорное произведение, рассматриваемое как абелева группа, сохраняет элементарную эквивалентность; для счетного свободного булевого кольца R существуют Д-модули A,B,C,D такие, что А = В, С = D, А ®д С Sé (0) и В ®r D Z(2).

Фильтрованные произведения, фильтрованные степени, прямые произведения сохраняют элементарную эквивалентность.

Не сохраняют элементарной эквивалентности: а) операция сплетения групп, б) нильпотентные произведения групп.

Большое число работ посвящено проблеме элементарной эквивалентности расширенных теорий абелевых групп43.

Уилер44 установил, что кольца верхних треугольных матриц порядка > 3 над полями Р и Р* элементарно эквивалентны в том и только том случае, когда элементарно эквивалентны поля Р и Р*.

"Бунина Е.И., Михалев A.B. Элементарные свойства категории полигонов над моноидом. Алгебра и логика, 2006, 45(6), 687-709.

"Кокорин А. И., Пинус А. Г. Вопросы разрешимости расширенных теорий. Успехи мат. наук, 1978,33(2), 49-84.

44Weeler W. Н. Model theory of strictly upper triangular matrix rings. J, Symb. Logic, 1980, 45(3), 455-463.

Цель работы и основные задачи. Цель работы состоит в создании новых универсальных методов исследования автоморфизмов, изоморфизмов и элементарной эквивалентности различных важнейших производных алгебраических структур таких, как кольца эндоморфизмов, группы автоморфизмов, проективные геометрии, категории модулей, матричные группы (в первую очередь, группы Шевалле), в установлении связи между изоморфизмами или элементарной эквивалентностью производных структур и условиями, которым должны отвечать базисные структуры, в точном описании автоморфизмов различных алгебраических структур, таких, как группы Шевалле над коммутативными кольцами, полугруппы неотрицательных обратимых матриц над упорядоченными кольцами. Основными задачами диссертации являются: описание (доказательство стандартности) автоморфизмов групп Шевалле над локальными кольцами; нахождение необходимых и достаточных условий того, что (элементарные) группы Шевалле над полями или локальными кольцами элементарно эквивалентны; описание автоморфизмов и элементарной эквивалентности полугрупп неотрицательных обратимых матриц над линейно упорядоченными кольцами; нахождение необходимых и достаточных условий того, чтобы две категории модулей над кольцами, два кольца эндоморфизмов, две группы автоморфизмов, две проективные геометрии модулей бесконечного ранга над кольцами были элементарно эквивалентны; продолжение теоремы Бэра-Капланского об изоморфизмах колец эндоморфизмов абелевых р-групп на случай элементарной эквивалентности.

Основные методы исследования. В работе используются классические методы структурной теории колец, линейной алгебры, теории линейных групп, теории моделей и математической логики, в том числе методы А.И. Мальцева, К.И. Бейдара, A.B. Михалева, И.З. Голубчика, В.М. Петечука, метод инволюций, переработанный автором в кандидатской диссертации, а также новые методы,введенные автором, в том числе метод перевода задач об автоморфизмах матричных групп над локальными кольцами к системам целочисленных линейных уравнений, метод интерпретации теорий второго порядка алгебраических систем в их производных структурах.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. Они заключаются в следующем.

• Разработаны новые методы описания автоморфизмов и изоморфизмов групп Шевалле с помощью линейных уравнений над локальными кольцами. Получено полное описание (доказательство стандартности) автоморфизмов групп Шевалле следующих типов:

— типов Ah Di, Ей Bi, Си I > 1, над локальными кольцами с обратимой двойкой;

— типа (?2 над локальными кольцами с обратимыми двойкой и тройкой;

— типов Ai, Di, Ei, I > 2, над локальными кольцами с необратимой двойкой (теорема 1.1).

• Описаны элементарные свойства и элементарная эквивалентность групп Шевалле над полями и локальными кольцами с обратимой двойкой с использованием метода инволюций (доработанного автором для случая групп Шевалле), методов А.И. Мальцева и метода ультрастепеней К.И. Бейдара и А.В. Михалева. Элементарная эквивалентность групп Шевалле описанных типов сведена к элементарной эквивалентности базисных полей или колец (теоремы 2.1 и 2.2).

• Описаны автоморфизмы и элементарная эквивалентность полугруппы неотрицательных обратимых матриц над линейно упорядоченными кольцами с обратимой двойкой, что является продолжением описания аналогичных полугрупп над линейно упорядоченными телами, полученного А.В. Михалевым и A.M. Шаталовой (теоремы 3.1 и 3.2).

• Получена связь между элементарной эквивалентностью

— категорий модулей над кольцами,

— колец эндоморфизмов свободных модулей над кольцами бесконечных рангов,

— групп автоморфизмов свободных модулей над кольцами бесконечных рангов,

— проективных геометрий свободных модулей над кольцами

и эквивалентности в логике второго порядка структур, связанных с кольцами (теоремы 4.7, 4.13, 4.15 и 4.19).

Автором разработаны методы работы с логикой второго порядка, построена интерпретация теории второго порядка кольца в теории первого порядка его производной структуры (категории модулей над ним, кольца эндоморфизмов, группы автоморфизмов, проективной геометрии модулей над ним).

Получено в качестве следствий полное описание элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов и групп автоморфизмов модулей бесконечного ранга над

— телами;

— областями главным идеалов;

— коммутативными кольцами;

— локальными кольцами;

— артиновыми кольцами;

— полупростыми кольцами (следствия из теорем 4.13 и 4.19).

• Получен аналог теорема Бэра-Капланского об изоморфизме колец эндоморфизмов абелевых р-групп для элементарной эквивалентности. Логика второго порядка абелевой р-группы проинтерпретирована в кольце ее эндоморфизмов, разработаны методы кодирования элементов абелевой группы в кольце ее эндоморфизмов (теоремы 4.33, 4.34, 4.35).

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в различных задачах теории групп, теории колец, линейной алгебры, математической логики, теории моделей.

Апробация результатов. Результаты диссертации неоднократно (с 1998 по 2010 гг.) докладывались на научно-исследовательских семинарах: кафедральный семинар по алгебре кафедры Высшей алгебры МГУ; семинар "Кольца и модули" в МГУ; семинар "Алгебра и теория моделей" в МГУ; на различных алгебраических семинарах кафедры высшей алгебры МГУ; были сделаны доклады по результатам диссертации на Международной алгебраической конференции, Москва, 2004; на Логическом коллоквиуме-2005, Афины, Греция; на конференции по теории моделей и ее приложениям, 2005, Кембридж, Англия; на конференции по частично упорядоченным множествам, 2005, Сан-Франциско, США; на Международной конференции "Мальцевские чтения-2005", Новосибирск, Россия (пленарный доклад); на международной конференции "Геометрическая теория групп и ее приложения", 2006, Барселона, Испания; на Международной конференции "Мальцевские чтения-2006", Новосибирск, Россия; на Второй международной конференции "Матричные методы и операторные уравнения", 2007, Москва, Россия; на Международной алгебраической конференции, посвященной 75-летию профессора Шункова, 2007, Красноярск, Россия; на Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша, 2008, Москва, Россия (пленарный доклад); на Школе-семинаре "Семантика и логические системы", 2008, Владивосток, Россия (пленарный доклад); на Международной

алгебраической конференции на Украине, 2009, Харьков, Украина (пленарный доклад); на Международной конференции "Мальцевские чтения-2009", посвященной 100-летию А.И. Мальцева, 2009, Новосибирск, Россия (пленарный доклад). Большинство результатов диссертации вошло в тезисы этих конференций.

Публикации. Основные результаты опубликованы в 26 работах автора, список которых приведен в конце автореферата. Тезисы докладов не включены в этот список.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, разбитых на параграфы (нумерация параграфов подчинена нумерации глав, нумерация теорем подчинена нумерации глав) и списка литературы. Полный объем диссертации — 313 страниц, библиография включает 206 наименований, из которых 26 — публикации автора по теме диссертации.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1 посвящена изучению автоморфизмов групп Шевалле над локальными кольцами. Автоморфизмы групп Шевалле над полями были полностью описаны в 1970-е годы Стейнбергом и Хамфри, в 1993 году появилась работа Э. Абе, описывающая автоморфизмы групп Шевалле над нетеровыми кольцами с обратимой, двойкой. В этой работе для случая системы корней Ев имела место ошибка, не устранимая методами самой работы. В главе 1 данной диссертации проблема автоморфизмов групп Шевалле решена для групп Шевалле различных типов над локальными кольцами с обратимой двойкой, а также для групп Шевалле типов Аи А, Ей I ^ 3, над локальными кольцами с необратимой двойкой. Для доказательства объединены различные методы, использованные ранее для описания автоморфизмов групп СЬ и йЬ над локальными кольцами, методы линейной алгебры, а также их специфическое объединение, придуманное автором диссертации. Для доказательства приходилось проводить очень много различных матричных расчетов, они выполнялись как вручную, так и на компьютере, не все из них приведены в тексте диссертации. Особенно сложными подсчетами отличается случай необратимой двойки, в процессе вычислений неоднократно возникали матрицы размера, большего чем 20 х 20.

Основными объектами, рассматриваемыми в первой главе, являются группа Шевалле б^Ф,/?) с системой корней Ф ранга, большего единицы, над локальным кольцом К (с обратимой или необратимой двойкой) и ее элемен-

тарная подгруппа ЕЖ(Ф, Я), порожденная элементарными корневыми унипо-тентами ха(1), а € Ф, < € Д.

В первом параграфе приводятся основные определения групп Шевалле, их свойства, определяются четыре типа автоморфизмов группы Шевалле СЖ{Ф,Я), называемые стандартными:

Центральные автоморфизмы. Пусть Сс(Д) — центр группы (7„-(Ф, Я), т : С7,г(Ф, Я) —> Сс{Щ — гомоморфизм групп. Тогда отображение х т(х)х из С7Г{Ф,Я) на себя является автоморфизмом группы С?7Г(Ф, i?), который обозначается буквой т и называется центральным автоморфизмом группы СЖ(Ф,Я).

Кольцевые автоморфизмы. Пусть р : К —> К — автоморфизм кольца К Отображение (х^) >-> (р(х^)) из (^(Ф,/?) на себя является автоморфизмом группы С7Г(Ф, К), который обозначается той же буквой р и называется кольцевым автоморфизмом группы СЦФ, Я). Заметим, что для всех а € Ф и Ь € Я элемент ха{Ь) отображается в ха{р{£)).

Внутренние автоморфизмы. Пусть 51 — некоторое кольцо, содержащее Я, д — элемент группы СЯ-(Ф,5'), нормализующий подгруппу ^(Ф, Я). Тогда отображение х ь-» дхд~г является автоморфизмом группы (^(Ф, Я), который обозначается ig и называется внутренним автоморфизмом, индуцированным элементом д 6 С,г(Ф,5). Если д € то назовем г5 строго внутренним автоморфизмом.

Диаграммные (графовые) автоморфизмы. Пусть 5 — автоморфизм системы корней Ф такой, что 5Д = Д. Тогда существует единственный автоморфизм группы бЦФ, Я) (будем обозначать его той же буквой ¿) такой, что для любого а 6 Ф и £ € Я элемент переходит в х&(а)(£(а){), где е(а) = ±1 для всех а € Ф и е(а) = 1 для всех а 6 Д.

Автоморфизм а группы СЖ(Ф,Я) (или ЕЖ(Ф,Я)) называется стандартным, если он является композицией автоморфизмов введенных четырех типов.

Наряду со стандартными автоморфизмами автором вводится следующий "временный" тип автоморфизмов элементарной присоединенной группы Шевалле:

Автоморфизмы-сопряжения. Пусть V — пространство представления группы Е^(Ф,Я), С £ £,!,{}/) — матрица, оставляющая группу Шевалле на месте:

СЕ^(Ф,Я)С-1 = Е^(Ф,Я).

Тогда отображение х н-> СхС~1 из Е7Г(Ф, Я) на себя является автоморфизмом группы Шевалле, который обозначается г и называется автоморфизмом-

сопряжением группы Е(Я), индуцированным элементом С группы СЬ (V).

Далее в первом параграфе формулируется следующая основная теорема:

Теорема 1.1. Пусть С? = (^(Ф, Я) (Е„(Ф,Я)) — (элементарная) группа Шевалле со следующими условиями:

1) если рассматривается система корней А/, Д или Е\, I ^ 3, то Я — произвольное локальное коммутативное кольцо;

2) если рассматривается система корней Аг,^, I ^ 2, то Я — произвольное локальное коммутативное кольцо с 1/2;

3) если рассматривается система корней С?2, тпо Я — произвольное локальное коммутативное кольцо с 1/2 и 1/3.

Тогда любой автоморфизм группы С? стандартен. Если группа Шевалле при этом присоединенная, то внутренний автоморфизм в композиции является строго внутренним.

Этот основной результат получается с помощью применения двух следующих теорем:

Теорема 1.2. Каждый автоморфизм элементарной присоединенной группы Шевалле рассматриваемого выше типа является композицией кольцевого, диаграммного автоморфизмов и автоморфизма-сопряжения.

Теорема 1.3. Каждый автоморфизм-сопряжение элементарной присоединенной группы Шевалле рассматриваемого типа является композицией строго внутреннего (сопряжения с помощью элемента соответствующей группы Шевалле) и диаграммного автоморфизмов.

Во втором, третьем, четвертом и пятом параграфах доказывается теорема 1.2 для колец с обратимой двойкой: во втором параграфе по произвольному автоморфизму элементарной присоединенной групп Шевалле С? строится (с помощью замены базиса в пространстве представления группы О) изоморфизм группы О на некоторую подгруппу СЬп(Я), с тем свойством, что ее образ при факторизации Я по радикалу совпадает с кольцевым автоморфизмом. В третьем параграфе с помощью еще одной замены базиса мы приходим к изоморфизму (? на подгруппу в СЬ п(Я) со всеми свойствами предыдущего и такому, что все элементы и>а(1) переходят сами в себя. В четвертом параграфе проводится еще одна дополнительная замена базиса такая, что рассматриваемый изоморфизм начинает обладать дополнительным свойством: все элементы ха(1), а £ Ф, также переходят в себя. Доказано, что при этом элементы На(Ь) переходят в элементы ¡1а(з). В пятом параграфе показало, что соответствие Ь н-> й продолжается до автоморфизма кольца Я, после чего получается, что композиция изначального автоморфизма и некоторой замены

базиса (т. е. внутреннего автоморфизма) является кольцевым автоморфизмом группы Шевалле (3. Таким образом, в параграфе 5 теорема 1.2 доказана для локальных колец с обратимой двойкой.

В шестом и седьмом параграфах доказывается теорема 1.3. В шестом параграфе первой главы показано, как свести доказательство к линейным уравнениям над локальными кольцами, а в седьмом параграфе показано, как найти нужное решение этих уравнений для различных систем корней. В конце седьмого параграфа полностью доказывается теорема 3. Наконец, восьмой параграф первой главы посвящен доказательству теоремы 1.1. Для присоединенных элементарных групп Шевалле эта теорема является прямым следствием теорем 1.2 и 1.3, теорему 1.1 остается доказать для всех других элементарных групп Шевалле, а далее для самих групп Шевалле.

Девятый параграф посвящен рассмотрению групп Шевалле типов А[, Д, Е{ над локальными кольцами с необратимой двойкой. Требуется только доказать теорему 1.2, так как теорема 1.3 доказывается сразу и для колец с обратимой двойкой, и для колец с необратимой двойкой. Для этого случая все основные идеи и методы остаются теми же, но приходится рассматривать более сложные матрицы (матрицы порядка три вида гоа(1) • £а(1)), которые требуется на первом этапе переводить в себя заменой базиса. Все вычисления усложняются из-за того, что нет возможности делить на два.

Глава 2 посвящена элементарной эквивалентности групп Шевалле над полями и локальными кольцами. Теоремы об элементарной эквивалентности линейных групп восходят к А.И. Мальцеву, доказавшему в 1961 году, что линейные (СЬ, ЭЬ) и проективные линейные (РйЬ, РБЬ) группы над полями элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда их размеры совпадают, а поля элементарно эквивалентны. Подобные теоремы получены и для групп Шевалле:

Теорема 2.1. Пусть С = СЦФ,К) и С = ',К') (или ЕЖ(Ф,К) и ЕЖ<{Ф',К')) — две (элементарные) группы Шевалле над бесконечными полями К и К' характеристики, отличной от двух, с решетками весов А и А' соответственно. Тогда группы С и С элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда системы корней Ф и Ф' изоморфны, поля К и К' элементарно эквивалентны, решетки А и А' совпадают.

Теорема 2.2. Пусть £ = ^„(Ф, Д) и С = Ф',Д') (или Е^Ф^П) и Е„'{Ф',В!)) — две (элементарные) группы Шевалле над локальными кольцами И, и В! с обратимой двойкой (в случае системы корней еще и с обратимой тройкой), в одной из систем корней Ф, Ф' присутствует про-

стая подсистема корней, отличная от А\. Пусть решетки весов групп и С обозначены через А и А1 соответственно. Тогда группы и С' элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда системы корней Ф и Ф' изоморфны, кольца Я и Я' элементарно эквивалентны, решетки А и А' совпадают.

В первом параграфе доказываются более простые импликации, а именно, следующие две теоремы:

Теорема 2.3. Если две группы Шеваме б = 6'Г(Ф, Я) и С = СГ(Ф, Я!) построены с помощью одной и той же комплексной алгебры Ли типа Ф и одного и того же ее представления 7г, а также с помощью элементарно эквивалентных колец Я и Я', то 6? = С.

Теорема 2.4. Если две элементарные группы Шевалле Е = Еп(Я, Ф) и Е' — Ек(Я', Ф) построены с помощью одной и той же комплексной алгебры Ли типа Ф и одного и того же ее представления к, а также с помощью элементарно эквивалентных полулокальных колец Я и Я' с 1/2, то Е = Е'.

Во втором параграфе доказано, что если две (элементарные) группы Шевалле элементарно эквивалентны, то их системы корней совпадают, а исходные кольца элементарно эквивалентны, решетки весов изоморфны. Далее, имея две элементарно эквивалентные элементарные группы Шевалле Е и Е', мы также имеем две элементарно эквивалентные элементарные присоединенные группы Шевалле Е^ и Е'аа, являющиеся факторами по центру исходных групп.

В параграфах 3-12 рассматриваются группы Шевалле над полями, доказывается теорема 2.1. Можно считать, что поле имеет характеристику, отличную от двух, и бесконечно (для конечных полей элементарная эквивалентность совпадает с изоморфизмом, поэтому результат будет следовать из теорем Стейнберга и Хамфриса).

В §3 классические элементарные присоединенные группы Шевалле над полями отождествляются с некоторыми подгруппами группы СЬП(Х).

В § 4 описывается, как устроены инволюции (элемента порядка два) в классических группах Шевалле над полями.

В пятом параграфе второй главы доказано, что для любых двух классических групп Шевалле с неизоморфными системами корней существует предложение первого порядка, истинное в одной группе и ложное во второй. Делается это с помощью рассмотрения инволюций, максимальных множеств коммутирующих инволюций, коммутантов централизаторов инволюций.

В параграфах 6-10 рассматриваются по отдельности исключительные системы корней. Например, в § б рассматриваются группы Шевалле типа (?2 и доказывается следующая лемма:

Лемма 2.10. Существует предложение сра2 первого порядка, истинное в любой присоединенной группе типа и ложное во всех классических присоединенных группах Шевалле.

В §7 рассматриваются группы Шевалле типа ^4, а в §8,9,10 соответственно группы типа Е&, Ег, Е&. Наконец, в конце десятого параграфа доказано следующее

Предложение 2.3. Если две (элементарные) группы Шевалле над бесконечными полями характеристики, не равной 2, элементарно эквивалентны, то соответствующие системы корней совпадают.

Параграф И посвящен доказательству того, что если'две группы Шевалле одинакового типа элементарно эквивалентны, то поля, по которым они построены, элементарно эквивалентны. Для этого сначала данный результат доказывается для самой "маленькой" системы корней — А\:

Лемма 2.15. Если группы РБЬг^) и РЭГ^/С') {К, К' — бесконечные поля характеристики ф 2) элементарно эквивалентны, то поля К, К' элементарно эквивалентны.

Этот результат, в том числе, является дополнением к теореме А.И. Мальцева об элементарной эквивалентности линейных групп над полями, так как в работе Мальцева для групп БЬ и РБЬ рассматривался размер, больший Двух.

Далее в § 11 для произвольной системы корней Ф берется фактор по центру коммутанта централизатора подходящей инволюции, который является прямым произведением двух групп Шевалле, одна из них есть РБЬг^) (в предыдущих параграфах показано, что такая инволюция всегда найдется). После этого достаточно воспользоваться леммой 2.15. В результате получается

Предложение 2.4. Если две присоединенные элементарные группы Шевалле (?(Ф, К) и С(Ф,К') {К, К' — бесконечные поля характеристики, отличной от двух) элементарно эквивалентны, то поля К, К' элементарно эквивалентны.

В § 12 остается рассмотреть решетки весов групп Шевалле. Доказывается

Предложение 2.5. Если две (элементарные) группы Шевалле элементарно эквивалентны, то их решетки весов совпадают.

Таким образом, к концу § 12 полностью доказывается теорема 4. Остальные параграфы второй главы посвящены доказательству теоремы 5.

В §13 сначала доказывается, что подгруппа Ез = 7) опреде-

лима в группе Е — Еа^(Ф,К), т.е. если две элементарные присоединенные группы Шевалле над локальными кольцами элементарно эквивалентны, то и соответствующие элементарные присоединенные группы Шевалле над вы-четными полями элементарно эквивалентны. Таким образом, в § 12 доказано, что если две группы Шевалле над локальными кольцами элементарно эквивалентны, то их системы корней совпадают.

В § 14 второй главы доказывается, что известное разложение Гаусса для элементов групп Шевалле над локальными кольцами можно задавать в виде формул:

Предложение 2.7. (1) Любой элемент, х группы Шевалле <7 (Е) над локальным кольцом К представляется в виде

х --- Ыьи1 (х = икии'),

где и,и! € и (Я), и е У(Я), * е Т(Д), /г е Я(Я);

(2) Для разложений х\ = щ^щи'^ их 2 = «г^г"^

Ь = г = 1,2,

существует формула первого порядка кольцевого языка

(А1) М ¿(2) ,(2) (1) (1) (2) (2)

г(1) (1) (2) (2) М) М А2) .(2)ч

истинная тогда и только тогда, когда

хх = х2;

(3) Аналогично, для разложений х\ = и^г^и'^ Х2 = и^и?.^ и ^з —

изкизи'3, где

Uj = ... xan(t

ui = ^Oiisi • • • ^Oni5^)"

ti = hai(^)...hai(f), i = 1,2,3, существует формула первого порядка кольцевого языка

ib(t{i) t® s(i) № r(i) rW iW fWi

VVn >bl 1 • • • ! ön l'l >--ч'п 'VI )--->Sn Л

истинная тогда и только тогда, когда

X-j — Xi- Х2-

В параграфе § 14 с помощью перехода к ультрастепеням и теореме Кейслера-Шелахаоб изоморфизме (методы, впервые использованные К.И. Бейдаром и A.B. Михалевым для линейных групп над кольцами показано, что если две рассматриваемые группы Шевалле элементарно эквивалентны, то элементарно эквивалентны и базисные кольца, по которым они построены.

В последнем параграфе все результаты сводятся воедино и доказывается теорема 5.

Третья глава диссертации посвящена автоморфизмам и элементарной эквивалентности полугрупп неотрицательных обратимых матриц над упорядоченными кольцами. В первом параграфе вводятся основные определения. Определяется полугруппа Gn(R), состоящая из обратимых в группе GL „(Л) матриц, все коэффициенты которых неотрицательны. Далее вводятся следующие важные подполугруппы и подмножества полугруппы Gn(R):

Определение 3.4. Пусть I = /„, Г„(R) — группа, состоящая из всех обратимых матриц из Gn(R), Еп — симметрическая группа порядка n, Sa — матрица перестановки и € £„ (т. е. матрица где — символ

Кронекера^, Sn = {¿v|<7 € £„}, diag [dj,... ,d„] — диагональная матрица с элементами di,..., dn на диагонали, di,..., dn е R+. Через Dn(R) обозначим группу всех обратимых диагональных матриц из Gn(R), через D%(R) — центр группы Dn(R).

Определение 3.8. Через Вц{х) обозначим матрицу I + xEij. Пусть Р обозначает подполугруппу в Gn(R), порожденную всеми матрицами Sa (а G £п), Вф) (х е j) и diag [аь ..., а„] € Dn(R).

Определение 3.9. Две матрицы А, В £ С„(Я) называются 'Р-эквивалентными если существуют матрицы А3- & Сп{Я), 3 = 0,..., к, А = Ао, В = Ак, и матрицы Ри Р{, е Р, г = 0,..., к - 1 такие, что PiAiPi = (Э;А;+1<Э{-

Определение 3.10. Через СЕ+(Я) обозначим подполугруппу в СП(Д), порожденную всеми матрицами, ^-эквивалентными матрицам из Р.

Второй параграф посвящен описанию автоморфизмов полугруппы неотрицательных обратимых матриц над линейно упорядоченными кольцами с обратимой двойкой. Основным результатом этого параграфа является следующая

Теорема 3.1. Пусть Ф — автоморфизм полугруппы С „(Я), п ^ 3, 1/2 € Я, кольцо Я линейно упорядочено. Тогда на полугруппе СЕ^(Д) Ф = ФмФсС1, где Фм ~ внутренний автоморфизм с помощью матрицы М е Гп(Я), Фс — кольцевой автоморфизм при помощи автоморфизма с(-) £ А^(Я+), Г2(-) — центральная гомотетия полугруппы СЕ^(Л).

В третьем параграфе рассматривается элементарная эквивалентность полугрупп С„(Д), автоморфизмы которых были найдены в §,2. Параграф посвящен доказательству следующей теоремы:

Теорема 3.2. Полугруппы б?„(Д), (п,т -> 3, 1/2 £ Я, 1/2 €

кольца Я и Б линейно упорядочены) элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда п — т и полукольца Я+ и 5+ элементарно эквивалентны.

В четвертой главе диссертации рассматриваются элементарные свойства категорий модулей над кольцом, колец эндоморфизмов свободных модулей бесконечного ранга над кольцами и групп автоморфизмов свободных модулей бесконечного ранга над кольцами, а также колец эндоморфизмов абеле-вых р-групп. Выясняется, что элементарная эквивалентность таких структур равносильна эквивалентности базисных структур, по которым они строятся, в логике второго порядка (или какой-то ее части). Таким образом, требуются строгие определения логики второго порядка (языках и теориях второго порядка, их моделях, формулах, выполнимости), которые приводятся в первом параграфе.

Второй параграф посвящен элементарным свойствам и элементарной эквивалентности категорий модулей над кольцом.

В первом пункте второго параграфа приводятся некоторые дополнительные сведения о категории тос!-.й.

Во втором пункте показано, что в категории mod-Д понятие прообразующего объекта определимо без параметров, т. е. существует формула в языке первого порядка теории категорий с одной свободной объектной переменной, истинная в категории mod-/? для прообразующих модулей этой категории, и только для них.

В пункте 2.3 показано, что для данного прообразующего модуля Р на полугруппе Mor{P, Р) можно ввести операции сложения и умножения так, чтобы эта полугруппа превратилась в кольцо, изоморфное кольцу End r(P).

В пункте 2.4 рассматривается случай конечных колец и доказывается теорема о том, что категории mod-R и mod-S, где R — конечное кольцо, элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие кольца Морита-эквивалентны.

В пункте 2.5 мы формулируем, как распространить результаты С. Шелаха об интерпретации теории множеств в категории на случай категории mod-i?.

В пункте 2.6 результаты п. 2.5 используются для того, чтобы в категории mod-Д для некоторых фиксированных модулей X и Y выделить элементарными средствами множество линейно независимых проекторов из X на Y.

В пункте 2.7 описывается структура (Cn,ring), состоящая из класса Сп всех кардинальных чисел, который состоит из множеств мощности х для каждого я £ Сп, и кольца ring с отношениями суммы и произведения, а также логика второго порядка такой структуры (мы обозначаем ее через L2((Cn,ring))), позволяющая в формулах использовать произвольные предикатные символы вида

где — фиксированные кардинальные числа, c\,...ck — перемен-

ные для элементов из Ai,..., А^ соответственно, v\,...,vn — переменные для элементов кольца. Кроме того, доказана следующая теорема

Теорема 4.5. Пусть даны кольца R и S и существует предложение ф языка L2((Cn,ring)), истинное в кольце R и ложное во всех кольцах, ему подобных и не эквивалентных ему в языке L2{(Cn,ring)). Пусть, кроме того, категории mod-R и mod-S элементарно эквивалентны. Тогда существует кольцо S', подобное кольцу S и такое, что структуры {Сп, R) и {Сп, S1) эквивалентны в логике Ьъ-

Пункт 2.8 посвящен доказательству "обратной" теоремы: Теорема 4.6. Для произвольных колец с единицей RuS если структуры {Сп, R) и {Сп, S) эквивалентны в логике второго порядка L2, то категории mod-R и mod-S элементарно эквивалентны.

В результате в п. 2.9 из двух предыдущих теорем выводится теорема, являющаяся аналогом теоремы Мориты для элементарной эквивалентности, и несколько полезных следствий из нее:

Теорема 4.7. Пусть даны кольца Я и Б и существует предложение -ф языка Ь2({Сп,ггпд)), истинное в кольце Я и ложное во всех кольцах, ему подобных и не эквивалентных ему в языке 1,2((Сп,гтд)). Тогда категории тос1-Я и то<1-5 элементарно эквивалентны в том и только том случае, когда существует кольцо 5", подобное кольцу 5 и такое, что структуры (Сп,Я) и {Сп, 5') эквивалентны в логике £,2-

Следствие 1. Для произвольных тел и категории той-Р\ и той-Е,г элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда структуры (Сп, Ех) и (Сп,Р2) эквивалентны в логике второго порядка 1/2-

Следствие 2. Для произвольных коммутативных колец Ях и Лг категории той-Я\ и той-Я2 элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда структуры (Сп, Ях) и (Сп, Дг) эквивалентны в логике второго порядка ¿2-

Следствие 3. Для произвольных локальных колец Ях и /?2 категории тод,-Ях и тос1-Я2 элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда структуры (Сп:Ях) и (Сп,Я2) эквивалентны в логике второго порядка ¿2-

Следствие 4. Для произвольных областей главных идеалов Ях и Яг категории той-Ях и той-Я2 элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда структуры (Сп,Ях) и (Сп,^) эквивалентны в логике Ьг.

Следствие 5. Для произвольных артиновых колец Ях и Я2 категории тос1-Ях и той-Я2 элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют кольца 51! и подобные кольцам Ях и /?2 соответственно, такие, что структуры (Сп,Бх) и (Сп, ¿¡2) эквивалентны в логике ¿2.

Третий параграф посвящен рассмотрению тех же вопросов для колец эндоморфизмов модулей бесконечных рангов.

На протяжении всего параграфа предполагается, что кольцо Я и бесконечное кардинальное число я таковы, что в кольце Я существует максимальный идеал, порожденный не более чем я элементами (например, это всегда так, когда я > |й| или кольцо Я полупросто или является кольцом главных идеалов).

В первом пункте этого параграфа для каждого свободного модуля V бесконечного ранга над кольцом вводится некоторая специальная категория См\у)

такая, что элементарная эквивалентность колец эндоморфизмов двух свободных модулей бесконечных рангов над кольцами равносильна элементарной эквивалентности соответствующих категорий.

Второй пункт третьего параграфа посвящен изучению элементарной эквивалентности категорий вида См(у), в результате чего в третьем пункте доказаны следующая основная теорема и следствие из нее:

Теорема 4.13. Пусть V\ и V2 — свободные модули бесконечных рангов х\ и Х2 над кольцами Ri и R2 соответственно, и существует предложение ф € ложное во всех кольцах, подобных кольцу Ri и имеющих

другую теорию Th"'1 ■ Тогда кольца Endfl,(Vi) и Endfl^V-j) элементарно эквивалентны в том и только в том случае, когда существует кольцо S, подобное кольцу R2 и такое, что теории Th2'(х\, Ri) и Th22{x2,S) совпадают.

Следствие 1. Для пространств Vi и V2 бесконечных размерностей х\ и н2 над произвольными телами (областями главных идеалов) F\ и F2 кольца End^Vi и End f2V2 элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда теории Th2l({x\,Fi)) uTh22{{x2,F2)) совпадают.

Следствие 2. Предположим, что х\ и х2 — бесконечные кардинальные числа, R\ и R2 — коммутативные (локальные) кольца, и каждый максимальный идеал кольца Ri порожден не более, чем х\ элементами кольца. Тогда для свободных модулей V\ и \2 рангов х\ и х2 над кольцами R\ и R2 соответственно, кольца Endfl,Vi и End,R2V2 элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда теории Thp((xi, Ri)) и Th22((x2, R2}) совпадают.

Следствие 3. Предположим, что х\ и х2 — бесконечные кардинальные числа, R\ и R2 — артиновы кольца, и каждый максимальный идеал кольца Ri порожден не более, чем щ элементами кольца. Тогда для свободных модулей V\ и V2 рангов х\ и х2 над кольцами Ri и R2 соответственно, кольца Endfl,V"i и End д2Уг элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют кольца Si и S2, подобные кольцам R\ и R2 соответственно, такие, что теории Th2l{{xi,Si)) uTh22{(x2,S2)) совпадают.

Следствие 4. Для свободных модулей Vj и V2 бесконечных рангов х\ и х2 над полупростыми кольцами Ri и R2 соответственно, кольца End #1(^1) и Endfi2(V2) элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют кольца S\ и S2, подобные кольцам Ri и R2 соответственно, такие, что теории Si)) uTh22((x2,S2)) совпадают.

В четвертом параграфе рассматриваются проективные пространства модулей бесконечных рангов.

В первом пункте этого параграфа описывается язык проективной геометрии над кольцом (т. е. решетки подмодулей модуля на кольцом) и основные понятия, выразимые в этом языке.

Во втором пункте показано, как в проективной геометрии модуля бесконечного ранга интерпретировать кольцо, изоморфное кольцу End цР для некоторого прообразующего модуля Р.

В третьем пункте четвертого параграфа показано, как в проективной геометрии модуля V интерпретировать кольцо Епёя1Л

В результате в этом пункте доказана следующая теорема:

Теорема 4.14. Для свободных модулей V\ и Vj бесконечных рангов над произвольными кольцами R\ и Ri соответственно из элементарной эквивалентности решеток подмодулей P(Vj) и Р(Уг) следует элементарная эквивалентность колец эндоморфизмов End^,(Vi) и End,R2(V2).

В четвертом пункте доказывается "обратная" теорема:

Теорема 4.15. Предположим, что V\ и — свободные модули бесконечных рангов х\ и хч над кольцами R\ и R2 соответственно, и каждый подмодуль модуля V\ (V2) имеет не более х\ (Х2) порождающих элементов (например, это так, если х\ ^ ]i?i| и Х2 ^ R2 или если R\, R2 — полупростые кольца или кольца главных идеалов). Тогда из

En<U(V0 = Endj^CVa)

следует

P{VX) = P{V2).

В пятом параграфе рассматриваются группы автоморфизмов модулей бесконечных рангов над кольцами.

В пункте 5.1 доказывается, что если кольца R и S с 1/2 не содержат центральных идемпотентов, отличных от О и 1, V и V' — свободные модули бесконечных рангов над кольцами R и S соответственно, то группы Aut^(^) и Aut5(V") изоморфны тогда и только тогда, когда End#(V) = End S{V).

В пункте 5.2 результаты п. 5.1 распространяются на элементарную эквивалентность. Это делается с помощью перехода к ультрастепеням. Доказана следующая теорема:

Теорема 4.17. Предположим, что кольца R, S содержат 1/2 и не содержат центральных идемпотентов, отличных от 1 и 0. Тогда группы Aut;j(V) и Aut,s(V') элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда кольца Endfl(V) и Ends(V') элементарно эквивалентны.

В пункте 5.3 мы считаем, что кардинальное число ус\ таково, что существует максимальный идеал кольца Ri, порожденный не более чем щ элементами.

Доказана следующая теорема и следствия из нее:

Теорема 4.19. Предположим, что кольца R\ и R2 содержат 1/2 и не содержат центральных идемпотентов, отличных от 1 и 0. Пусть, кроме того, Vi и V2 — свободные модули бесконечных рангов и к% над кольцами R\ и i?2 соответственно, и пусть существует предложение ф € Th^1 ((hi,R{)), ложное во всех кольцах, подобных кольцу Ri и имеющих другую теорию ThТогда группы Autft,^) и Аи4д2(Ц) элементарно эквивалентны в том и только том случае, когда существует кольцо S, подобное кольцу R2 и такое, что Th^dxi^i)) = Th%2({x2,S)).

■ Следствие 1. Для свободных модулей V\ и V2 бесконечных рангов щ и Н2 над телами (коммутативными или локальными кольцами, не содержащими центральных идемпотентов, отличных от 1 или 0, областями целостности) F\ и F2, содержащими 1/2, соответственно, группы Autf\(Vi) и AutFj(Vi) элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда

TW((xuF1)) = Th?((xi,F2)).

Следствие 2. Для свободных модулей V\ и V2 бесконечных рангов щ и К2 над артиновъши кольцами R1 и R2, не содержащими центральных идемпотентов, отличных от 0 или 1, содержащими 1/2, соответственно, группы Aut дД^) и AutR2(V2) элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют кольца Si и S2, подобные кольцам R\ и R2 соответственно, такие, что

Th?({x1,S1)) = Th?{(x2lS2))

В шестом параграфе четвертой главы устанавливается связь между свойствами второго порядка абелевой р-группы и свойствами первого порядка ее кольца эндоморфизмов.

В первом пункте приведены все нужные н для дальнейших построений сведения об абелевых группах, а также сформулировано, как распространить

результаты С. Шелаха45 об интерпретации теории множеств в категории на случай кольца эндоморфизмов специальной абелевой р-группы, являющейся прямой суммой циклических групп одного порядка.

В пункте 6.2 еще раз описан групповой язык второго порядка £2, а также его ограничение JZ2 некоторым кардинальным числом х, после чего в п. 4.2 вводим выразимый ранг гехр абелевой группы Л, представленной в виде прямой суммы D © G своих делимой и редуцированных частей как максимум мощностей группы D и базисной подгруппы В группы А. В п. 6.2 мы сформулирована основная теорема этого параграфа:

Если А\ и А2 — абелевы р-группы, щ = техр(А\), н2 = гехр(А2), то из элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов End (Л1) и End (Л2) следует Th?{A{) = Thf(A2).

Заметим, что гехр(Л) = \А\ во всех случаях, кроме случая, когда \D\ < |G|, базисная подгруппа группы А счетна, а группа G несчетна. В этом случае

Гехр(А) = ш.

В том же пункте мы доказываем две "обратных импликации" основной теоремы:

1. Для любых абелевых групп А\ и А2 если группы А\ и Л2 эквивалентны в логике второго порядка Ь2, то кольца End (Л)) и End^2) элементарно эквивалентны.

2. Если абелевы группы А\ и А2 редуцированны и их базисные подгруппы счетны, то из Th2[Ai) = Th2(A2) следует End (Л}) = End(Л2).

Таким образом, для всех абелевых групп, за исключением случая A — D® G, D ф О, |Z?| < |G|, |G| > ш, базисная подгруппа в Л счетна, элементарная эквивалентность колец ЕгиЦЛг) и End(Л2) равносильна соотношению

Th2l(A\) = Th?(A2).

В конце п. 6.2 доказательство основной теоремы разделено на три случая:

1) группы А\ и А% ограниченны;

2) At = D\ ф Gi, А2 = D2 ф G2, группы Di и D2 делимы, группы G\ и G2 ограниченны;

3) группы А\ и Л2 обладают неограниченными базисными подгруппами.

В следующих трех пунктах шестого параграфа эти три случая рассматриваются по отдельности. В последнем пункте шестого параграфе окончательно доказана основная теорема.

45S. Shelah. Interpreting set theory in the endomorphism semi-group of a free algebra or in the category. Annales Scientifiques L'universite Clermont, 1976,13, 1-29.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

1. Разработаны новые методы описания автоморфизмов и изоморфизмов групп Шевалле с помощью линейных уравнений над локальными кольцами. Получено полное описание (доказательство стандартности) автоморфизмов групп Шевалле следующих типов:

— типов At, Di, Ei, Bi, Q, F4,1 > 1, над локальными кольцами с обратимой двойкой;

— типа С?2 над локальными кольцами с обратимыми двойкой и тройкой;

— типов Ai,Di, Ei, I > 2, над локальными кольцами с необратимой двойкой (теорема 1.1).

2. Описаны элементарные свойства и элементарная эквивалентность групп Шевалле над полями и локальными кольцами с обратимой двойкой с использованием метода инволюций (доработанного автором для случая групп Шевалле), методов А.И. Мальцева и метода ультрастепеней К.И. Бейдара и А.В. Михалева. Элементарная эквивалентность групп Шевалле описанных типов сведена к элементарной эквивалентности базисных полей или колец (теоремы 2.1 и 2.2).

3. Описаны автоморфизмы и элементарная эквивалентность полугруппы неотрицательных обратимых матриц над линейно упорядоченными кольцами с обратимой двойкой, что является продолжением описания аналогичных полугрупп над линейно упорядоченными телами, полученного А.В. Михалевым и A.M. Шаталовой (теоремы 3.1 и 3.2).

4. Установлена связь между элементарной эквивалентностью

— категорий модулей над кольцами,

— колец эндоморфизмов свободных модулей над кольцами бесконечных рангов,

— групп автоморфизмов свободных модулей над кольцами бесконечных рангов,

— проективных геометрий свободных модулей над кольцами

и эквивалентности в логике второго порядка структур, связанных с кольцами (теоремы 4.7, 4.13, 4.15 и 4.19).

Автором разработаны методов работы с логикой второго порядка, построена интерпретации теории второго порядка кольца в теории первого порядка его производной структуры (категории модулей над ним, кольца эндоморфизмов, группы автоморфизмов, проективной геометрии модулей над ним).

В качестве следствий получено полное описание элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов и групп автоморфизмов модулей бесконечного ранга над

— телами;

— областями главным идеалов;

— коммутативными кольцами;

— локальными кольцами;

— артиновыми кольцами;

— полупростыми кольцами (следствия из теорем 4.13 и 4.19).

5. Получен аналог теорема Бэра-Капланского об изоморфизме колец эндоморфизмов абелевых р-групп для элементарной эквивалентности. Логика второго порядка абелевой р-группы проинтерпретирована в кольце ее эндоморфизмов, разработаны методы кодирования элементов абелевой группы в кольце ее эндоморфизмов (теоремы 4.33, 4.34, 4.35).

Автор выражает благодарность своему научному консультанту, профессору Александру Васильевичу Михалеву, за постоянное внимание к работе и полезные советы, а также всему коллективу кафедры высшей алгебры МГУ имени М.В. Ломоносова за доброжелательное отношение и поддержку.

СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ (работы 1-18 входят в официальный Перечень ВАК)

[1] Бунина Е.И. Элементарная эквивалентность унитарных линейных групп над полями // Фундаментальная и прикладная математика. — 1998. — Т. 4. - С. 1-14.

[2] Бунина Е.И. Элементарная эквивалентность унитарных линейных групп над кольцами и телами // Успехи математических наук. — 1998. — Т. 53, вып. 2. - С. 137-138.

[3] Бунина Е.И. Элементарная эквивалентность групп Шевалле // Успехи Мат. наук. - 2001. - Т. 56, вып. 1. - С. 157-158.

[4] Бунина Е.И., Михалев А.В. Элементарные свойства категорий модулей над кольцом, колец эндоморфизмов и групп автоморфизмов модулей // Фундаментальная и прикладная математика. — 2004. — Т. 10, вып. 2. — С. 51134 (диссертанту принадлежат результаты о связи элементарной эквивалентности производных структур с эквивалентностью в логике второго порядка исходных структур).

[5] Бунина Е.И. Группы Шевалле над полями и их элементарные свойства // Успехи мат. наук. — 2004. — Т. 59, вып. 5. — С. 952-953.

[6] Бунина Е.И., Михалев А.В. Элементарная эквивалентность колец эндоморфизмов абелевых р-групп // Фундаментальная и прикладная математика. — 2004. — Т. 10, вып. 2. — С. 135-224 (диссертанту принадлежат результаты о необходимых и достаточных условиях элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов абелевых р-групп).

[7] Bunina E.I., Mikhalev A.V. Combinatorial and Logical Aspects of Linear Groups and Chevaliey Groups // Acta Applicandae Mathematicae. — 2005. — V. 85, N. 1-3. — P. 57-74 (это обзорная статья, в которой собраны результаты авторов).

[8] Е.И. Бунина, А.В. Михалев. Автоморфизмы полугруппы обратимых матриц с неотрицательными элементами // Фундаментальная и прикладная математика. — 2005. — Т. И, вып. 2. — С. 3-23 (диссертанту принадлежит структурная теорема об автоморфизмах полугрупп обратимых матриц с неотрицательными коэффициентами над линейно упорядоченными кольцами).

[9] Бунина Е.И. Элементарные свойства групп Шевалле над локальными кольцами // Успехи математических наук. — 2006. — Т. 61, вып. 2. — С. 349— 350.

[10] Е.И. Бунина, А.В. Михалев. Элементарная эквивалентность полугрупп обратимых матриц с неотрицательными элементами // Фундаментальная и

прикладная математика. — 2006. — Т. 12, вып. 2. — С. 39-53 (диссертанту принадлежит описание необходимых и достаточных условий элементарной эквивалентности полугрупп обратимых матриц с неотрицательными коэффициентами над линейно упорядоченными кольцами).

[11] E.I. Bunina, A.V. Mikhalev. Elementary Theories of Abelian p-groups and second-order theories of their automorphism rings // The Bulletin of Symbolic Logic. — 2006. — V. 12, N. 2. — P. 326 (диссертанту принадлежат результаты о необходимых и достаточных условиях элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов абелевых р-групп).

[12] Бунина Е.И. Элементарная эквивалентность групп Шевалле над полями // Фундаментальная и прикладная математика. — 2006. — Т. 12, вып. 8.

- С. 29-77.

[13] Бунина Е.И., Михалев А.В. Элементарные свойства категории полигонов над моноидом // Алгебра и логика. — 2006. — Т. 45, вып. 6. — С. 687-709 (диссертанту принадлежат необходимые и достаточные условия элементарной эквивалентности категорий полигонов над моноидами).

[14] Бунина Е.И. Автоморфизмы групп Шевалле некоторых типов над локальными кольцами // Успехи математических наук. — 2007. — Т. 62, вып. 5.

- С. 143-144.

[15] Бунина Е.И. Автоморфизмы присоединенных групп Шевалле типов i?2 и G'2 над локальными кольцами // Фундаментальная и прикладная математика. — 2007. — Т. 13, вып. 4. — С. 3-27.

[16] Бунина Е.И. Автоморфизмы элементарных присоединенных групп Шевалле типов А[, D{, Ei над локальными кольцами // Алгебра и логика. — 2009. -Т.48, вып. 1. - С.443-470.

[17] Бунина Е.И. Элементарная эквивалентность групп Шевалле над локальными кольцами // Математический сборник. — 2010. — Т. 201, вып. 3. -С. 3-20.

[18] Bunina E.I. Automorphisms of Chevalley groups of type F4 over local rings with 1/2 // Journal of Algebra. - 2010, V. 323. - P. 2270-2289.

[19] Bunina E.I., Mikhalev A.V. Elementary properties of linear and algebraic groups // Journal of Mathematical Sciences. — 2002. — V. 110, N. 3. — P. 25952659 (обзорная работа, в которой §§3-5 — это результаты диссертанта).

[20] Bunina E.I., Mikhalev A.V. Elementary properties of linear groups and related questions // Journal of Mathematical Sciences. — 2004. — V. 123, N.2. — P. 3921-3985 (обзорная работа, в которой §§ 4-6 — это результаты диссертанта).

[21] Е.И. Бунина, А.В. Михалев. Элементарная эквивалентность моноидов

эндоморфизмов свободных полигонов // Чебышевский сборник. — 2005. — Т. 6, вып. 4. — С. 49-63 (диссертанту принадлежат необходимые и достаточные условия элементарной эквивалентности категорий полигонов над моноидами).

[22] BuninaE.I., Mikhalev А. V. Elementary equivalence of categories of modules and other algebraic structures // Journal of Mathematical Sciences. — 2005. — V. 131, N. 5. — P. 6004-6013 (диссертанту принадлежат результаты о связи элементарной эквивалентности производных структур с эквивалентностью в логике второго порядка исходных структур).

[23] Balmasov E.S., Bunina E.I. Elementary equivalence of unitary linear groups over rings // Journal of Mathematical Sciences. — 2009. — V. 162, N. 5. — P. 594604 (диссертанту принадлежат результаты об элементарной эквивалентности унитарных линейных групп).

[24] Бунина Е.И. Автоморфизмы и нормализаторы групп Шевалле типов Ai, Du Ei над локальными кольцами с 1/2 // Фундаментальная и прикладная математика. — 2009. — Т. 15, вып. 2. — С. 35-59.

[25] Бунина Е.И. Автоморфизмы групп Шевалле типов Ai,Di,Et над локальными кольцами с необратимой двойкой // Фундаментальная и прикладная математика. — 2009. — Т. 15, вып. 7. — С. 47-80.

[26] Бунина Е.И. Автоморфизмы групп Шевалле типа Bi над локальными кольцами с 1/2 // Фундаментальная и прикладная математика. — 2009. — Т. 15, вып. 7. - С. 3-46.

Подписано в печать Об. 40. /О Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. £ Тираж-{00 экз. Заказ .33

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имени М. В.Ломоносова

1 Автоморфизмы групп Шевалле

1.1 Определения и формулировки основных теорем.

1.2 Замена изначального автоморфизма на специальный изоморфизм.

1.3 Образы элементов гиа{.

1.3.1 Системы корней Лг, Д, Е1.

1.3.2 Системы корней В

1.3.3 Система корней С?

1.4 Образы элементов 1) и диагональных матриц.

1.4.1 Системы корней Д,

1.4.2 Система корней В1.

1.4.3 Система корней

1.4.4 Система корней С?

1.5 Доказательство теоремы 2.

1.6 Начало доказательства теоремы 3.

1.7 Доказательство теоремы 3.

1.7.1 Линейные системы в случае

1.7.2 Линейные системы в случаях А, £7, / ^

1.7.3 Система корней /<4.

1.7.4 Система корней (?

1.7.5 Системы корней

1.8 Доказательство основной теоремы (теоремы 1)

1.9 Группы Шевалле над кольцами с необратимой двойкой.

1.9.1 Замена изначального автоморфизма на специальный изоморфизм

1.9.2 Образы элементов (1) и некоторых элементов группы Вейля

1.9.3 Ограничение рассмотрения образов элементов ха{1) и ъиа( 1) на различные части базиса.

1.9.4 Образы элементов ша. и 1^(1).

1.9.5 Образы элементов .ИЗ

1.9.6 Доказательство основной теоремы.

2 Элементарная эквивалентность групп Шевалле

2.1 Обратная импликация.

2.2 Переход к элементарной присоединенной группе

2.3 Идентификация в классических случаях.

2.4 Изучение инволюций для классических групп Шевалле.

2.4.1 Изучение инволюций для группы PSLn (К).

2.4.2 Изучение ииволюций для групп типа Ci.

2.4.3 Изучение инволюций в группах типа В{

2.4.4 Изучение инволюций для групп типа Dt (I ^ 4).

2.5 Формулы, различающие разные классические группы Шевалле.

2.6 Группа Шевалле типа G2.

2.7 Группы Шевалле типа F4.

2.8 Группа Шевалле типа Е6.

2.9 Группа Шевалле тина Е7.

2.10 Группа Шевалле типа Е$.

2.11 Определимость поля в группах Шевалле.

2.12 Изоморфизм решеток весов.

2.13 Факторизация для локальных колец.

2.14 Формулы для разложения Гаусса групп Шевалле.

2.15 Элементарная эквивалентность базисных колец.1G

3 Полугруппы неотрицательных матриц

3.1 Необходимые определения и понятия.

3.2 Автоморфизмы полугруппы Gn(R).

3.2.1 Построение автоморфизма Ф'

3.2.2 Действие автоморфизма Ф' на диагональных матрицах

3.2.3 Основная теорема.

3.3 Элементарная эквивалентность полугруппы Gn(R).

4 Эквивалентность в логике второго порядка

4.1 Языки и модели второго порядка.

4.2 Элементарная эквивалентность категорий модулей.

4.2.1 Некоторые сведения о категории модулей над кольцами.

4.2.2 Выделение прообразующего объекта в категории mod- Н,.

4.2.3 Кольцо End rP

4.2.4 Случай конечных колец.

4.2.5 Красивые линейные комбинации.

4.2.6 Порождающее множество модуля V.

4.2.7 Логика второго порядка и структура (Сп,ггпд), алгоритм перевода формул.

4.2.8 Обратная теорема.

4.2.9 Аналог теоремы Мориты и следствия.

4.3 Элементарная эквивалентность колец эндоморфизмов.

4.3.1 Кольца эндоморфизмов модулей и категории См{у)

4.3.2 Элементарная эквивалентность в категориях вида Cm(v)

4.3.3 Основная теорема.

4.4 Проективная геометрия модуля V.

4.4.1 Язык проективной геометрии и основные понятия, определимые в этом языке.

4.4.2 Кольцо EndRP.

4.4.3 Построение кольца End rV.

4.4.4 Обратная теорема.

4.5 Эквивалентность групп автоморфизмов модулей.

4.5.1 Изоморфизм групп AutR,(V)

4.5.2 Элементарная эквивалентность групп автоморфизмов и колец эндоморфизмов модулей бесконечных рангов.

4.5.3 Основная теорема.

4.6 Эквивалентность колец эндоморфизмов абелевых групп.

4.6.1 Предварительные сведения об абелевых группах.

4.6.2 Формулировка основной теоремы, обратные теоремы, разбиение на случаи.

4.6.3 Ограниченные ^-группы

4.6.4 Прямые суммы делимых и ограниченных р-групп.

4.6.5 Группы с неограниченной базисной подгруппой.

4.6.6 Основная теорема.

Работа посвящена автоморфизмам и изоморфизмам групп Шевалле над кольцами, а также элементарной эквивалентности различных производных структур (в том числе групп Шевалле).

Исторический обзор

Автоморфизмы и изоморфизмы линейных и классических групп

Линейные группы — традиционный объект исследования математиков. Различные вопросы, связанные с их структурой, изучались К. Жорданом, JI. Диксоном, Б. ван дер Варденом, Г. Вейлем, Ж. Дьедонне, Ж. Титсом и их многочисленными последователями в огромном количестве работ. Ко второй половине XX века сложилось несколько крупных направлений исследования линейных групп, среди которых изучение нормальных подгрупп, описание линейных групп с помощью образующих и определяющих соотношений, описание подгрупп, порожденных некоторыми специальными элементами, а также описание автоморфизмов и изоморфизмов между линейными группами.

Изучение автоморфизмов классических групп началось работой Шрайера и Ван-дер-Вардена [147] 1928 г., в которой были описаны автоморфизмы группы PSL„ (п ^ 3) над произвольным полем. Затем Дьедонне [98] в 1951 г. и Рикарт [145] в 1950 г. ввели метод инволюций, с помощью которого были описаны автоморфизмы группы GLn (n ^ 3) над телом.

Первый шаг в построении теории автоморфизмов над кольцами, а именно для группы GLn (п ^ 3) над кольцом целых чисел, сделали Хуа Логен и Райнер[110] в 1951 г. В 1957 г. Лэндин и Райнер [124], а также Вань Чжесянь [175] обобщили результат Хуа Логена и Райнера на некоммутативные области главных идеалов.

Методы отмечавшихся выше работ основывались главным образом на изучении инволюций в рассматриваемых группах. В 1976 г. О'Мира [129] придумал совершенно новый так называемый метод вычетных пространств, не использующий инволюций, с помощью которого ему удалось описать автоморфизмы группы GL п (п ^ 3) над областями целостности. Независимо от О'Миры, опираясь на изучение инволюций, автоморфизмы группы

Еп(Я) (п ^ 3) над областями целостности характеристики ф 2 описал Янь Шицзянь [151] (1965 г.).

Помфрэ и Макдональд [143] в 1972 г., используя теорема Капланского, утверждающую, что проективные модули над локальным кольцом свободны, определили автоморфизмы группы ОЬ п (п ^ 3) над коммутативным локальным кольцом, в котором двойка обратима. Обратимость в кольце двойки даег возможность привлекать к изучению автоморфизмов группы СЬ п технику, опирающуюся на изучение инволюций. Г.А. Носков [45] и В.Я.Блошицын [2] в 1975 г. описали автоморфизмы группы СЬ„(Я) (п ^ 3), если Я — коммутативное кольцо, которое не порождается делителями нуля, с обратимой двойкой. В.С. Дроботенко и Э.Я. Погориляк [18] в 1977 г. сделали то же для конечных сумм локальных колец, Макдональд [128] в 1978 г. — если коммутативное кольцо Я содержит только нулевой и единичный идемиогенты.

Уотерхауз [177] в 1980 г. доказал стандартность автоморфизмов групп СЬ „ (п ^ 3) над произвольным коммутативным кольцом с обратимой двойкой. Если 2 — необратимый элемент коммутативного локального кольца Я, то автоморфизмы групп БЬ „(/?), вЬ „ (Я) были изучены В.М. Пеаечуком в 1980 г. при п > 4 ([47]) и в 1982 г. при п = 3 ([48]). Основываясь на результатах над локальными кольцами в 1982 г. В.М. Петечук [46] описал автоморфизмы линейных групп СЬП, 8ЬП (п ^ 4) над произвольными коммутативными кольцами.

В качестве результатов для некоммутативных колец в 1980-х годах в работе И.З. Голубчиком и А.В. Михалевым [16] было дано описание изоморфизмов групп СЬП(Д) и вЬ т(<5') над ассоциативными кольцами Я и 5 с | при п, т ^ 3, и несколько иным способом в работе Е.И. Зельманова [24]. Затем, в 1997 году И.З. Голубчиком [15] описание изоморфизмов между общими линейными группами было продолжено на случай произвольных ассоциативных колец ип,т^4

Группы Шевалле, их автоморфизмы и изоморфизмы

С другой стороны, теория алгебраических групп также является одной из важнейших областей современной алгебры. Она возникла в середине XX века, на стыке алгебраической геометрии, теории групп и теории Ли, и в настоящее время имеет приложения как в этих, так и в других областях математики: теории конечных групп, теории чисел, теории инвариантов, теории дифференциальных уравнений и т. д. Центральное место в аеории алгебраических групп занимают нолупростые алгебраические группы и их непосредственное обобщение — группы Шевалле.

Основы теории групп Шевалле были заложены в 1950-х, 1960-х годах в работах К. Шевалле, Ж. Титса, А. Бореля, А. Вейля, А. Гротендика, М. Демазюра, Р. Стейпберга и др. В частности, в 1956-1958 годах К. Шевалле получил классификацию полупроетых алгебраических групп над алгебраически замкнутым полем. Позднее Шевалле показал, что все полупростые группы над алгебраически замкнутым полем в действительности определены над или, иначе говоря, получаются в результате расширения базы из некоторых групповых схем над называемых схемами Шевалле-Демазюра Группы точек схем Шевалле-Демазюра над коммутативными кольцами называются группами Шевалле.

Частными случаями групп Шевалле являются расщепимые классические группы матриц SLn(R), SOn(R)i Spn(R) (над коммутативным кольцом R с единицей); конечные простые группы типа Ли An(q)-G2{(l) являются центральными факторами групп Шевалле.

Таким образом, группы Шевалле являются естественным продолжением как алгебраических групп, так и классических линейных групп над коммутативными кольцами.

Изучением групп Шевалле занимались такие известные математики, как К. Шевалле, Э.Абе, Р. Стейнберг, Дж. Хамфри, Н.А.Вавилов, Е.Б.Плоткин, В.М. Левчук, С.Г. Колесников и многие другие. В том числе, изучались автоморфизмы и изоморфизмы групп Шевалле над полями и различными классами колец. Например, Р. Саейнберг и Дж. Хамфри описали изоморфизмы групп Шевалле над полями. Описанию автоморфизмов групп Шевалле над различными коммутативными кольцами были носвящены работы многих авторов, среди которых отметим работы Бореля-Титса [83], Картера Ю Чена [86], Ю Че-на [88]—[92], Э.Абе [69], A.A. Клячко [121].

Э.Абе [69] доказал стандартность автоморфизмов для нетеровых колец, чго полностью могло бы закрыть вопрос об автоморфизмах групп Шевалле над произвольными коммутативными кольцами (для случая системы корней ранга ^ 2 и колец с обратимой двойкой), однако в рассмотрении случая присоединенных элементарных групп в работе [69] содержится ошибка, которую не удается устранить методами этой статьи. Именно, в доказательстве леммы 11 используется то, что ad (ха)2 = 0 для всех длинных корней, что неверно в присоединенном представлении. Главной проблемой здесь является случай групп типа Е8, так как во всех остальных случаях группы Шевалле допускают представление, обладающие свойством ad (х-«)2 = О для всех длинных корней, а в случае Eg таких представлений нет.

Случаи, когда кольцо содержит достаточно много обратимых целых чисел (например, все рациональные числа) полностью закрыт в работе A.A. Клячко [121]. Таким образом, наибольший интерес на данный момент представляют кольца, в которых мало обратимых целых элементов (например, обратимы только единица и двойка, либо только единица).

По этой причине особый интерес представляет рассмотрение групп Шевалле над локальными кольцами (с обратимой двойкой или без нее), так как появляется возможность перейти к описанию автоморфизмов (и изоморфизмов) групп Шевалле над всеми коммутативными кольцами с помощью метода локализации. В данной диссертационной работе описаны автоморфизмы групп Шевалле всех типов над локальными кольцами с обратимой двойкой, а также типов Ai, Di, Ei над локальными кольцами с не обратимой двойкой.

Заметим, что случай Ai был полностью рассмотрен в работах В.Уотерхауза [176], В.М.Петечука [46], Ли Фу-аня и Ли-Дзун-сяна [114], причем даже без условия обратимости двойки в кольце. Статья И.З. Голубчика и A.B. Михалева [15] охватывает случай системы корней Си который в данной диссертационной работе не рассматривается.

Элементарная эквивалентность

Две модели U и U' одного языка первого порядка С (например, две группы или два кольца) называются элементарно эквивалентными, если любое предложение у? языка С истинно в модели U тогда и только тогда, когда оно истинно в модели U'. Любые две конечные модели одного языка элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда они изоморфны.

Любые две изоморфные модели элементарно эквивалентны, однако для бесконечных моделей обратное неверно. Например, поле С комплексных чисел и поле Q алгебраических чисел элементарно эквивалентны, но не изоморфны, так как имеют различную мощность (для более подробных примеров см. [28]).

Обзоры и книги по элементарной эквивалентности

Классической книгой по теории моделей (в том числе и по элементарной эквивалентности) является книга [28]. Подробным обзором 1984 года результатов но элементарной эквивалентности и смежным вопросам является обзор [52] В. Н. Ремесленникова и В. А. Романькова "Теоретико-модельные и алгоритмические вопросы теории групп". Более новые результаты включены в обзоры Е.И. Буниной и A.B. Михалева [199] и [200], а также в обзор В.Гоулда, A.B. Михалева, Е.А. Палютнна, А.А.Степановой [17]. Справочным материалом по теории моделей могут служить книги [58], [22], [36], [54]. Испытательным полигоном для большинства результатов теории моделей служат алгебра, теория чисел и анализ. Среди многочисленных книг и обзоров по приложениям теории моделей можно выделить те, в которых затрагиваются приложения к теории групп. Основные методы доказательств разрешимости и неразрешимости элементарных теорий изложены в книгах Тарского, Мостовского, Робинсона [167] и Ю. Л. Ершова [22]. Кроме того, в книге Ю. Л. Ершова приведена классификация полных теорий абелевых групп и показано на примерах из алгебры, как работает метод модельной полноты и родственное понятие относительной алгебраической замкнутости. Результаты по проблеме разрешимости элементарных теорий до 1964 года с подробным изложением методов доказательств освещены в обзоре Ю.Л. Ершова, И. А. Лаврова, А. Д. Тайманова, М. А. Тайцлина [20]. Вопросы разрешимости расширенных теорий, особенно расширенных теорий абелевых групп, разобраны в обзоре А. И. Кокорина и А. Г. Пинуса [31].

Элементарная эквивалентность различных классов групп

Ряд интересных задач в теории групп возник в связи с применением в ней теоретико-модельных методов. К их числу относится проблема классификации групп с точностью до* элементарной эквивалентности, или в другой формулировке — проблема классификации полных теорий групп.

Анализ решений проблемы элементарной классификации групп определенного класса позволяет выделить три основных метода доказательств: модельной полноты, перехода к насыщенным моделям и прямой, когда доказывается формульность характеристик, определяющих групповую структуру исследуемой группы. Наиболее полные результаты по проблеме элементарной эквивалентности были получены для абелевых и линейных групп.

Весьма прозрачная и полезная в приложениях классификация абелевых групп по элементарным свойствам получена в 1954 г. польским математиком Шмелевой [152]. В настоящее время известны несколько доказательств ее результатов, полученных либо методом модельной полноты [27], [29] (исправление в [30], [79]), либо переходом к насыщенным группам [100], либо комбинацией этих методов [22]. Одним из наиболее важных следствий теоремы Шмелевой является разрешимость элементарной теории класса абелевых групп.

Проблема классификации групп по элементарным свойствам, как правило, является трудной задачей. Удовлетворительные результаты по ее решению получены для свободных групп, для некоторых классов нилыютентных групп и для классических линейных групп.

Сформулируем результаты по элементарной эквивалентности для степенных нильпо-тентных групп:

Теорема (А. Г. Мясников, В. Н. Ремесленников [42], [43], [41]). Пусть G и II — нильпо-тентпные Q-группы конечного ■ранга. Тогда группа G элементарно эквивалентна группе Н тогда и только тогда, когда основы G и II изоморфны, причем G и Н одновременно либо совпадают со своими основами, либо не равны им.

По определению, подгруппа G ^ G называется основой группы G, если Z(G) ^ G" и G = G х С, где Z(G) — центр G, G' — коммутант G и С ^ Z(G). Основа но группе определяется единственным образом с точностью до изоморфизма.

Эта теорема резко контрастирует с соответствующим результатом для абелевых групп и сводит проблему элементарной эквивалентности к проблеме изоморфизма для нильпо-тентных Q-груип конечного ранга. Последняя проблема алгоритмически разрешима ([55]). В [41] доказательство теоремы получено с помощью перехода к насыщенным группам и детального изучения связей между абстрактными и алгебраическими изоморфизмами ушпютентных алгебраических /¿-групп, где к — поле нулевой характеристики. В [43] доказательство теоремы получено прямым методом.

Ситуация в случае нильпотентных групп, т. е. степенных групп над кольцом Z, более сложная, чем в случае поля Q. Б. И. Зильбер [25] построил пример двух неизоморфных элементарно эквивалентных конечно порожденных 2-нильпотентных групп.

Ряд результатов 1980-1998 гг., принадлежащих французскому математику Франсису Огеру (Francis Oger), посвящен, элементарной эквивалентности различных (конечно порожденных, в основном почти абелевых или почти нильпотентных) групп ([138], [133], ^ [132], [139], [130], [135], [1371, [134], [136], [140]).

В районе 1945 года Тарский сформулировал два предположения об элементарных тео- -риях свободных групп. Первое из них состояло в том, что две свободные неабелевы группы различных рангов элементарно эквивалентны. Второе состояло в том, что элементарная теория свободной неабелевой группы разрешима. Обе гипотезы были доказаны в окрестности 1999 года А. Мясниковым и О. Харлампович в работах [117]-[120].

Элементарная эквивалентность линейных групп

Впервые вопросы связи элементарных свойств некоторых моделей с элементарными свойствами производных моделей были рассмотрены в 1961 г. А.PI. Мальцевым в работе [37]. Он доказал, что группы Gn{K) и Gm(L) (G = GL, SL, PGL, PSL, n, m ^ 3, K,L -поля характеристики 0) элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда т = п и ноля К и L элементарно эквивалентны.

Продолжение эта теория получила в 1992 году, когда с помощью конструкции ультрапроизведения и теоремы об изоморфизме [28] К.И.Бейдар и А.В.Михалев в работе [81] нашли общий подход к проблемам элементарной эквивалентности различных алгебраических структур и обобщили теорему Мальцева для случая, когда К и L являются телами и ассоциативными кольцами.

Продолжением исследований в этой области явились работы Е.И. Буниной 1998-2001 гг. (см. [181], [183], [192]), в которых результаты А.И.Мальцева была распространены на унитарные линейные группы над телами и ассоциативными кольцами с инволюцией, а также на группы Шевалле над алгебраически замкнутыми полями.

Тематика исследований А.И. Мальцева активно продолжается в данной диссертации. Во второй главе изучается элементарная эквивалентность групп Шевалле над полями и локальными кольцами (эти результаты опубликованы в работах [185], [189], [192], [197]).

В третьей главе изучены элементарные свойства полугрупп неотрицательных матриц над линейно упорядоченными кольцами (эют результат опубликован в рабохе [190]). Элементарные свойства полугрупп неотрицательных матриц над частично упорядоченными коммутативными кольцами были изучены E.II. Буниной и П.П. Семеновым в работе [5], не вошедшей в данную диссертацию.

Элементарная эквивалентность колец инцидентности изучалась автором совместно с А С. Доброхотовой-Майковой (см. [6]) и также не вошла в данную работу.

Структуры бесконечных рангов и логика второго порядка

В [102] Фелгнер предложил изучить проблему элементарной эквивалентности бесконечномерных общих линейных групп и других классических групп над полями. В [169] В. Толстых решает эту проблему для бесконечномерных групп типов GL, PGL, TL, РГЬ для достаточно широкого класса тел. Предмет изучения статьи [169] может быть описан как исследование выразительности языка логики первого порядка для бесконечномерных классических групп и близких структур. Похожие проблемы изучались во многих статьях, например, в [149], [150] Шелахом для бесконечномерных симметрических групп, в его статье [169], посвященной полугруппам эндоморфизмов свободных алгебр, в серии статей об автоморфизмах групп булевых алгебр (Рубин и Шелах, [146]), в работе [125] Магидора, Розенталя, Рубина и Срура о решетках замкнутых подмножеств систем Штейница.

Другая работа В. Толстых [168] посвящена исследованию теории группы автоморфизмов бесконечно порожденной свободной группы. Пусть F/. — свободная группа бесконечного ранга к. В работе [168] доказано, что теория второго порядка множества к и элементарная теория группы Aul Fi интерпретируются друг в друге равномерно по 'Ff;, а следовательно, группы автоморфизмов Aut Fk и Aut F\ элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда к и Л эквивалентны в логике второго порядка.

Связь между совпадением теорий первого порядка одних структур и совпадением теорий второго порядка некоторых других структур была установлена в ряде работ А. Г. Пинусом. Например, работа [50] посвящена элементарной эквивалентности решеток разбиении В ней показано, что выразительные возможности решеток разбиений в логике первого порядка совпадают с выразительными возможностями логики второго порядка. Именно, пусть Ь(А) — решетка разбиений на множестве A, Th(L(A)) — теория первого порядка решетки L(A), Tho{A) — теория множества А (с пустой сигнатурой) в полной логике второго порядка. Доказано, что для любых множеств А, В теории Th(L(A)) и Th(L(B)) совпадают тогда и только тогда, когда Th2(A) = Th,2(B).

Результаты, полученные в 2000 г. в [49] А. Г. Пинусом и Г. Роузом, посвящены элементарной эквивалентное!и решеток подалгебр свободных алгебр.

В силу элементарной эквивалентности любых двух бесконечно порожденных F-свободных алгебр понятен интерес к вопросу об элементарной эквивалентности производных.структур от свободных алгебр многообразий, обзор но этому поводу см. [142]. В частности, там доказано, что для любого нормального многообразия V, решетка конгруэнций алгебры Fy(k) элементарно определима в классе всех подобных решеток тогда и только тогда, когда кардинал к определим в полной логике второго порядка. Возникает вопрос об элементарной эквивалентности структур, связанных с понятием подалгебры, для V-свободных алгебр с различным числом порождающих.

В четвертой главе данной диссертации рассмотрена связь свойств второго порядка ассоциативных колец и свойств первого порядка категорий модулей, колец эндоморфизмов, групп автоморфизмов и проективных пространств модулей бесконечного ранга над этими кольцами (данные результаты опубликованы в [184]).

Также в четверюй главе доказываются теоремы, аналогичные теореме Бэра-Каплан-ского о кольцах эндоморфизмов абелевых /'-групп (абелева р-группа определяется своим кольцом эндоморфизмов), но для элементарной эквивалентности. Показано, что элементарная теория кольца эндоморфизмов абелевой р-группы определяет полную теорию второго порядка (в некоторых случаях ее счетное ограничение) самой абелевой группы. Данный результат опубликован в работе [186].

В работах [193] и [201] Е.И. Буниной и A.B. Михалева (не вошедших в данную диссертационную работу) рассматривались категории полигонов над моноидами, а также моноиды эндоморфизмов свободных полигонов над моноидами. Было показано, что при определенных условиях на исходные моноиды моноиды эндоморфизмов свободных полигонов над ними элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда сами моноиды эквивалентны в логике второго порядка.

Элементарная эквивалентность других структур и производных конструкций

В работе [99] приводится пример двух групп G и Н, таких, что G = Н, но G' ф Н', где G', IV — коммутанты групп G и Н.

Для модулей существует достаточно простой критерий элементарной эквивалентности. Именно: два модуля М и N над кольцом Я элементарно'эквивалентны тогда и только тогда, когда для любых двух 1-позитивно-иримитивных формул (т.е. формул вида 3xG, где © — конъюнкция атомных формул) ip, ф таких, что ф —> (р, мощности абелевых групп tр(М)/ф(М) и (p(N)fip(N) либо бесконечны, либо конечны и совпадают.

В ряде работ изучался вопрос о сохранении элементарной эквивалентности для различных теоретико-групповых конструкций. Например, в работе [80] доказано, что

1) для модулей над вполне приводимым кольцом тензорное произведение, рассматриваемое как абелева группа, сохраняет элементарную эквивалентность;

2) для счетного свободного булевого кольца R существуют Ä-модули А, В, С, D такие, что А = В, С = D, A®RC = (0) и В ®R D = Z(2).

В [28] (стр.392) доказано, что фильтрованные произведения, фильтрованные степени, прямые произведения сохраняют элементарную эквивалентность.

Проблема элементарной эквивалентности свободных произведений Ну * G\ и * G2, где Gi, Go, #1, tf2 — группы и при этом Нг = #2, G1 = С?2, остается открытой в настоящее время (сообщено автору В.Н. Ремесленниковым).

Не сохраняют элементарной эквивалентности: а) операция сплетения групп [59], [60], [61], б) нилыютентные произведения групп [141].

Работа [44] рассматривает элементарную эквивалентность свободных произведений групп.

Большое число работ посвящено проблеме элементарной эквивалентности расширенных теорий абелевых групп (см. библиографию и обзор [31]).

Уилер [180] установил, что кольца верхних треугольных матриц порядка > 3 над полями Р и Р* элементарно эквивалентны в том и только том случае, когда элементарно эквивалентны поля Р и Р*.

Общая характеристика работы

Цель работы и основные задачи

Цель данной работы состоит в создании новых универсальных методов исследования автоморфизмов, изоморфизмов и элементарной эквивалентности различных важнейших производных алгебраических структур таких, как кольца эндоморфизмов, группы автоморфизмов, проективные геометрии, категории модулей, матричные группы (в первую очередь, группы Шевалле), в установлении связи между изоморфизмами или элементарной эквивалентностью производных структур и условиями, которым должны отвечать базисные структуры, в точном описании автоморфизмов различных алгебраических структур, таких, как группы Шевалле над коммутативными кольцами, полугруппы неотрицательных обратимых матриц над упорядоченными кольцами. Основными задачами диссертации являются: описание (доказательство стандартности) автоморфизмов групп Шевалле над локальными кольцами; нахождение необходимых и достаточных условий того, что (элементарные) группы Шевалле над полями или локальными кольцами элементарно эквивалентны; описание автоморфизмов и элементарной эквивалентности полугрупп неотрицательных обратимых матриц над линейно упорядоченными кольцами; нахождение необходимых и достаточных условий того, чтобы две категории модулей над кольцами, два кольца эндоморфизмов, две группы автоморфизмов, две проективные геометрии модулей бесконечного ранга над кольцами были элементарно эквивалентны; продолжение теоремы Бэра-Капланского об изоморфизмах колец эндоморфизмов абелевых р-групп на случай элементарной эквивалентности.

Основные методы исследования

В работе используются классические методы структурной теории колец, линейной алгебры, теории линейных групп, теории моделей и математической логики, в том числе методы А.И. Мальцева, К.И. Бейдара, A.B. Михалева, И.З. Голубчика, В.М. Петечука, метод инволюций, переработанный автором в кандидатской диссертации, а также новые методы, в том числе метод перевода задач об автоморфизмах матричных групп над локальными кольцами к системам целочисленных линейных уравнений, метод интерпретации теорий второго порядка алгебраических систем в их производных структурах.

Научная новизна

Основные результаты работы являются новыми. Среди них:

• Разработка новых методов описания автоморфизмов и изоморфизмов групп Шевал-ле с помощью линейных уравнений над локальными кольцами. Получение полного описания (доказательство стандартности) автоморфизмов групп Шевалле следующих типов: типов Ai, Di, Ei, Bi, Ci, F4, I > 1, над локальными кольцами с обратимой двойкой; типа G2 над локальными кольцами с обратимыми двойкой и тройкой; типов Ai, Di, Ei, I > 2, над локальными кольцами с необратимой двойкой (теорема 1.1).

• Описание элементарных свойств и элементарной эквивалентности групп Шевалле над полями и локальными кольцами с обратимой двойкой с использованием метода инволюций (доработанного автором для случая групп Шевалле), методов А.И. Мальцева и метода ультра степеней К.И. Бейдара и А.В. Михалева. Сведение элементарной эквивалентности групп Шевалле описанных типов к элементарной эквивалентности базисных полей или колец (теоремы 2.1 и 2.2).

• Описание автоморфизмов и элементарной эквивалентности полугруппы неотрицательных обратимых матриц над линейно упорядоченными кольцами с обратимой двойкой, что является продолжением описания аналогичных полугрупп над линейно упорядоченными телами, полученного А.В. Михалевым и A.M. Шаталовой (теоремы 3.1 и 3.2).

• Получение связи между элементарной эквивалентностью категорий модулей над кольцами, колец эндоморфизмов свободных модулей над кольцами бесконечных рангов, групп автоморфизмов свободных модулей над кольцами бесконечных рангов, проективных геометрий свободных модулей над кольцами и эквивалентности в логике второго порядка структур, связанных с кольцами (теоремы 4.7, 4.13, 4.15 и 4.19).

• Разработка методов работы с логикой второго порядка, построение интерпретации теории второго порядка кольца в теории первого порядка его производной структуры (категории модулей над ним, кольца эндоморфизмов, группы автоморфизмов, проективной геометрии модулей над ним).

• Получение в качестве следствий полного описания элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов и групп автоморфизмов модулей бесконечного ранга над телами; областями главным идеалов; коммутативными кольцами; локальными кольцами; артиновыми кольцами; полупростыми кольцами (следствия из теорем 4.13 и 4.19).

• Получение аналога теорема Бэра-Капланского об изоморфизме колец эндоморфизмов абелевых р-групи для элементарной эквивалентности. Интерпретация логики второго порядка абелевой р-группы в кольце ее эндоморфизмов, разработка методов кодирования элементов абелевой группы в кольце ее эндоморфизмов (теоремы 4.33, 4.34, 4.35).

Краткое содержание работы

1. Абе Э. Автоморфизмы групп Шевалле над коммутативными кольцами. Алгебра и анализ, 1993, 5(3), 74-90.

2. Блошицын В.Я. Автоморфизмы общей линейной группы над коммутативным кольцом, не порождаемым делителями нуля. Алгебра и логика, 1978, 17(6), 639-642.

3. Борель А. Свойства и линейные представления групп Шевалле. Семинар по алгебраическим группам, М., 1973, 9-59.

4. Е.И. Бунина, П.П. Семенов. Автоморфизмы полугруппы обратимых матриц с неотрицательными элементами над частично упорядоченными коммутативными кольцами. Фундаментальная и прикладная математика. 2008, 14(2), 65-100

5. Е.И. Бунина, П.П. Семенов. Элементарная эквивалентность полугрупп обратимых матриц с неотрицательными элементами над частично упорядоченными коммутативными кольцами. Фундаментальная и прикладная математика. 2008, 14(4), 3-17.

6. Бунина Е.И., Доброхотова-Майкова A.C. Элементарная эквивалентность обобщенных колец инцидентности. Фундаментальная и прикладная математика, 2008, 14(7), 37-42.

7. Н, Бурбаки. Алгебра. Модули, кольца, формы. Москва, Наука, 1966.

8. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Группы Кокстера и системы Титса, группы, порожденные отражениями, системы корней. Москва, Мир, 1972.

9. Вавилов H.A. Параболические подгруппы групп Шевалле над коммутативным кольцом. Записки научных семинаров ЛОМИ, 1982, 116, 20-43.

10. Вавилов H.A., Гаврилович М.Р. Аг-доказательство структурных теорем для групп Шевалле типов Ев и Е7. Алгебра и Анализ, 2004, 116(4), 54-87.

11. Вавилов Н.А, Гаврилович М.Р., Николенко С.И. Строение групп Шевалле: доказательство из книги. Записки научных семинаров ЛОМИ, 2006, 330, 36-76.

12. Вавилов H.A., Лузгарев А.Ю. Нормализатор группы шевалле типа Еб- Алгебра и анализ, 2007, 19(5), 37Ц-64.

13. Вавилов H.A., Петров В.А. О надгруппах Ep(2l,R). Алгебра и Анализ, 2003, 15(3), 72-114.

14. Голубков А.Ю. Первичный радикал классических групп над ассоциативными кольцами. Диссертация к.ф.-м.н., Москва, 2001.

15. И.З. Голубчик. Линейные группы над ассоциативными кольцами. Диссертация на соискание степени доктора физико-математических наук. Уфа, 1997.

16. Голубчик И.З., Михалев A.B. Изоморфизмы общей линейной группы над ассоциативным кольцом. Вестник МГУ, серия математика, 1983, 3, 61—72.

17. Гоулд В., Михалев A.B., Палюгин Е.А., Степанова A.A. Теоретико-модельные свойства свободных, проективных и плоских ¿"-полигонов. Фундаментальная и прикладная математика, 2008, 14(7), 63-110.

18. Дроботенко B.C., Погориляк Е.Я. Автоморфизмы полной линейной группы над некоммутативным полулокальным кольцом. УМН, 1977, 32(2), 157-158.

19. Дьедонне Ж. Геометрия классических групп. Мир, М., 1974.

20. Ершов Ю.Л., Лавров H.A., Тайманов А. Д., Тайцлин М. А. Элементарные теории. Успехи мат. наук, 1965, 20(4), 37-108.

21. Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. М. Наука, 1979.

22. Ершов Ю. Л. Проблемы разрешимости и конструктивные модели. М. Наука, 1980.

23. Залесский А.Е. Линейные группы. Итоги науки. Фундаментальные направления, М., 1989, 114-228.

24. Зельманов Е.И. Изоморфизмы полных линейных групп над ассоциативными кольцами. Сибирский математический журнал, 1985, 26(4), 49-67.

25. Зильбер Б. II. Пример двух элементарно эквивалентных, но не изоморфных конечно порожденных метабелевых групп. Алгебра и логика, 1971, 10(3), 309-315.

26. С. Н. Ильин. Обратимые матрицы над (неассоциативными) антикольцами. Универсальная алгебра и ее приложения. — Волгоград, Перемена, 2000, С. 81-89.

27. Каргаиолов М. И. Об элементарной теории абелевых групи. — Алгебра и логика, 1963, 1(6), 26-36.

28. Кейслер Г., Чэн Ч.Ч. Теория моделей. Москва, Мир, 1977.

29. Козлов Г. Т., Кокорин А. И. Элементарная теория абелевых групп без кручения с предикатом, выделяющим подгруппу. Алгебра и логика, 1969, 8(3), 320-334.

30. Козлов Г. Т., Кокорин А. И. Доказательство леммы о модельной полноте. Алгебра и логика, 1975, 14(5), 533-535.

31. Кокорин А. И., Пинус А. Г. Вопросы разрешимости расширенных теорий. Успехи мат. наук, 1978, 33(2), 49-84.

32. Куликов Л.Я. К теории абелевых групп произвольной мощности. Мат. сборник, 1941, 9, 165-182.

33. Куликов Л.Я. К теории абелевых групп произвольной мощности. Мат. сборник, 1945, 16, 129-162.

34. Куликов Л.Я. Обобщенные примарные группы, I. Труды ММО, 1 (1952), 247-326; II. Труды ММО, 2 (1953), 85-167.

35. С. Ленг. Алгебра. Мир, Москва, 1968.

36. Мальцев А. И. Алгебраические системы. — М.: Наука. — 1970.

37. Мальцев А.И. Об элементарных свойствах линейных групп. Проблемы математики и механики, Новосибирск, 1961, 110-132.

38. Э.Мендельсон. Введение в математическую логику. Москва, Наука, 1976.

39. Дж. Милнор, Введение в алгебраическую К-теорию, Мир, Москва, 1974.

40. А. В. Михалев, М. А. Шаталова. Автоморфизмы и антиавтоморфизмы полугруппы обратимых матриц с неотрицательными элементами. Математический сборник. 1970, 81(4), 600-609.

41. Мясников А. Г., Ремесленников В.Н. Изоморфизмы и элементарные свойства ниль-потентных степенных групп. В кн. Mam. логика и теория алгоритмов, Новосибирск, Наука, 1982, 56-87.

42. Мясников А. Г., Ремесленников В.Н. Изоморфизмы и элементарные свойства ниль-потентных степенных групп. ДАН СССР, 1981, 258(5), 1056-1059.

43. Мясников А. Г., Ремесленников В.Н. Формульность множества мальцевских баз и элементарные теории конечных алгебр. I., 1982, 23(5), 152—167.

44. Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Элементарная эквивалентность свободных произведений групп. Препринт, ВЦ СО АН СССР, 1987, 719, 2-3.

45. Носков Г.А. Автоморфизмы группы GLn(0) при dim Мах (О) ^ п —2. Мат. Заметки, 1975, 17(2), 285-291.

46. Петечук В.М. Автоморфизмы матричных групп над коммутативными кольцами. Математический сборник, 1982, 117(4), 534-547.

47. Петечук В.М. Автоморфизмы групп SLn, GLn над некоторыми локальными кольцами. Математические заметки, 28(2), 1980, 187-206.

48. Петечук В.М. Автоморфизмы групп SLj(K), GL3(K). Математические заметки, 31(5), 1982, 657-668.

49. Пинус А. Г., Роуз Г. Элементарная эквивалентность решеток подалгебр свободных алгебр. Алгебра и логика, 2000, 39(5), 595-601.

50. Пинус А. Г. Элементарная эквивалентность решеток разбиений. — Сибирский математический журнал. — 1988. — т. 29. — в. 3. — с. 211-212.

51. Постников М.М. Лекции по геометрии. Группы и алгебры Ли. Семестр V. Наука, 1982

52. Ремесленников В.Н., Романьков В. А. Теоретико-модельные и алгоритмические вопросы теории групп. Алгебра. Геометрия. Топология. Итоги науки. ВИНИТИ, 1983, 3-79.

53. Ремесленников В. Н. Нестандартные свободные произведения. Тезисы докладов 7-го Всесоюзн. симпозиума по теории групп, Красноярск, 1980, 97.

54. Сакс Дж. Теория насыщенных моделей. — Пер. с англ. М.: Мир, 1976.

55. Саркисян Р. А. Об одной проблеме равенства для когомологий Галуа. Алгебра и логика, 1980,19(6), 707-725.

56. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. Москва, Мир, 1975.

57. Суслин A.A. Об одной теореме Кона. Записки научных семинаров ЛОМИ, 1976, 64, 127-130.

58. Теория моделей. Справочная книга по математической логике. Часть I. Перев. с англ. М.: Наука, 1982.

59. Тимошенко Е. И. О сохранении элементарной и универсальной эквивалентности при сплетении. Алгебра и логика, 1968, 7(4), 114-119.60| Тимошенко Е. И, Некоторые элементарные свойства сплетений. Новосибирский инж.-строит. инст-т, Новосибирск, 1977.

60. Тимошенко Е. И. Об элементарных теориях сплетений. Вопр. теории групп и гомоло-гий алгебры, Ярославль, 1979, 2, 169-174.

61. К. Фейс. Алгебра, кольца, модули и категории, 1. Москва, Мир, 1977.

62. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы, т. 1,2. Мир, Москва, 1974.

63. Дж. Хамфрис. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений. Москва, МЦНМО, 2003.

64. Шевалле К. О некоторых простых группах. Математика. Период, сб. перев. иносгр. статей, 1958, 2(1), 3-58.

65. Abe Е. Whitehead groups of Chevalley gioups over Laurent polynomial rings. Comm. algebra, 1983, 11(12), 1271-1308.

66. Abe E. Whitehead groups of Chevalley groups over Laurent polynomial rings. Preprint Univ. Tsukuba, 1988.

67. Abe E., Suzuki K. On normal subgroups of Chevalley groups over commutative rings. Tohoku Math. J., 1976, 28(1), 185-198.

68. Abe E. Automorphisms of Chevalley groups over commutative rings. Algebra and Analysis, 5(2), 1993, 74-90.

69. Abe E. Chevalley groups over local rings. Tohoku Math. J., 1969, 21(3), 474-494.

70. Abe E. Chevalley groups over commutative rings. Proc. Conf. Radical Theory, Sendai —1988, 1-23.

71. Abe E. Normal subgroups of Chevalley groups over commutative rings. Contemp. Math.,1989, 83, 1-17.

72. Abe E., Hurley J. Centers of Chevalley groups over commutative rings. Comm. Algebra, 1988, 16(1), 57-74.

73. Bak A. Nonabelian K-theory: The nilpotent class of Kx and general stability. K-Theory, 1991, 4, 363-397.

74. Bak A., Vavilov Normality of the elementary subgroup functors. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 1995, 118(1), 35-47.

75. Bass H., Milnor J., Serr J.-P. Solution of the congruence subgroups problem for SLn (n > 3) and Sp2n (n > 2). Publ. Math. Inst. Hautes Et. Sci., 1967, 33, 59-137.

76. Baer R. Der kern, eine charakteristische Untergruppe. Compositio Matli., 1 (1934), 254283.

77. Baer R. Automorphism rings of primary abelian operator groups. Ann. Math., 44 (1943), 192-227.

78. Baudish A. A note on the elementary theory of torsion free Abelian groups with one predicate of subgroups, Wiss. Humboldt-Univ, Berlin, Math.-natur wiss. R., 1977, 26(5), 611-612.

79. Baudish A. Tensor products of modules and elementary equivalence. Algebra Universalis, 1984, 19, 120-127.

80. Beidar C.I., Michalev A.V. On Malcev's theorem on elementary equivalence of linear groups. Contemporary mathematics, 1992, 131, 29-35.

81. Borel A. Properties and linear representations of Chevalley groups. Lect. Notes in Math., Berlin; Heidelberg; N.Y.: Springer, 1970, 131, 1-55.

82. Borel A., Tits J. Homomorphismcs "abstraits" de groupes algebriques simples. Ann. Math., 1973, 73, 499-571.

83. Boyer D.L. On the theory of p-basic subgroups of abelian groups. Topics in Abelian Groups, 323-330 (Chicago, Illinois, 1963).

84. Carter R.W. Simple groups of Lie type, 2nd ed., Wiley, London et al., 1989.

85. Carter R.W., Chen Yu. Automorphisms of affine Kac-Moody groups and related Chevalley groups over rings. J. Algebra, 1993, 155, 44-94.

86. Charles B. Le centre de l'anceau des endomorphismes d'un groupe abélien primaire. C.R. Acad. Sei. Paris, 1953, 236, 1122-1123.

87. Chen Yu. Isomorphic Chevalley groups over integral domains. Rend. Sem. Mat. univ. Padova, 1994, 92, 231-237.

88. Chen Yu. On representations of elementary subgroups of Chevalley groups over algebras, proc. Amer. Math. Soc., 1995, 123(8), 2357-2361.

89. Chen Yu. Automorphisms of simple Chevalley groups over Q-algebras. Tohoku Math. J., 1995, 348, 81-97.

90. Chen Yu. Isomorphisms of adjoint Chevalley groups over integral domains. Trans. Amer. Math. Soc., 1996, 348(2), 1-19.

91. Chen Yu. Isomoiphisms of Chevalley groups over algebras. J. Algebra, 2000, 226, 719-741.

92. Chevalley C. Certain schémas des groupes semi-simples. Sem. Bourbaki, 1960-1961, 219, 1-16.

93. Cohn P. On the structure of the GL2 of a ring. Publ. Math. Inst. Hautes Et. Sei., 1966, 30, 365-413.

94. Costa D.L. Zero-dimensionality and the GE2 of polynomial rings, J. Pure Appl. Algebra, 1988, 50, 223-229.

95. Dem azure M., Gabriel P. Groupes algébriques. I. North Holland, Amsterdam et al., 1970, 1-770.

96. Demazure M., Grothendieck A. Schémas en groupes. I, II, III, Lecture Notes Math., 1971, 151, 1-564; 152, 1-654; 153, 1-529.

97. Dieudonne J. On the automorphisms of the classical groups. Mem. Amer. Math. Soc., 1951, 2, 1-95.

98. Dries Van Den, Glass A.M.W., Macintyre A., Mekler A.H., Polland J. Elementary equivalence and the commutator subgroup. Glasgow Math. J., 1982, 23, 115-117.

99. Eklof P.C., Fisher E.R. The elementary theory of Abelian groups. Ann Math. Logic, 1972, 4(2), 115-171.

100. Erdélyi M. Direct Summands of abelian torsion groups. Acta Univ. Debrecen, 1955, 2, 145-149.

101. Felgner U. Problem Notebook Model Theory and groups. LMS Durham Symp., 16-2S July 1988.

102. Fuchs L. On the srtucture of abelian p-groups. Acta Math. Acad. Sei. Hungar., 1953, 4, 267-288.

103. Puchs L. Notes on abelian groups, I. Ann. Univ. Sei. Budapest, 1959, 2, 5-23; II, Acta Math. Acad. Sei. Hungar., 1960, 11, 117-125.

104. Golubchik I.Z. Isomorphisms of the linear general group GL n(/ï), n > 4, over an associative ring. Contemp. Math., 1992, 131(1), 123-136.

105. Grothendieck A. Eléments de géoméntie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné). IV. Etude locale des schémas et des morphisms de schémas, 1967, 32, Puhl. Math. IHES, 5-361.

106. Grünewald F., Mennicke J., Vaserstein L.N. On symplectic groups over polynomial rings. Math. Z., 1991, 206(1), 35-56.

107. Hahn A.J., O'Meara O.T. The classical groups ans K-theory. Springer, Berlin et al., 1989.

108. Hazrat R., Vavilov N.A. R\ of Chevalley groups are nilpotent. J. Pure Appl. Algebra, 2003, 179, 99-116.

109. Hua L.K., Reiner I., Automorphisms of unimodular groups, Trans. Amer. Math. Soc., 71, 1951, 331-348.

110. Humphreys J. F., On the automorphisms of infinite Chevalley groups, Canad. J. Math., 21, 1969, 908-911.

111. Humphreys J.E. Introduction to Lie algebras and representation theory. Springer-Verlag New York, 1978.

112. Jantzen J.C. Representations of algebraic groups. Academic Press, N.Y., 1987.

113. Fuan Li, Zunxian Li. Automorphisms of SL3(#), GL3(i?). Contemp. Math., 1984, 82, 47-52.

114. Kaplansky I. Some results on abelian groups. Proc. Nat. Acad. Sei. USA, 1952, 38, 538540.

115. Kaplansky I. Infinite abelian groups. University of Michigan Press., Ann. Arbor, Michigan, 1954 and 1969.

116. Kharlampovich Olga, Myasnikov Alexei. Elementary theory of free non-abelian groups. Journal of Algebra, 2006, 302, 451-552

117. Kharlampovich O., Myasnikov A. Tarski^s problem about the elementary theory of free groups has a positive solution, Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc. 4 (December 1998) 101-108.

118. Kharlampovich O., Myasnikov A., Irreducible affine varieties over a free group: I. Irreducibility of quadratic equations and nullstellensatz, J. Algebra 1998, 200, 472-516.

119. Kharlampovich O., Myasnikov A., Iireducible affine varieties over a free group: II. Systems in triangulai quasiquadratic form and description of residually free groups, J. Algebra, 1998, 200, 517-570.

120. Klyachko Anton A Automorphisms and isomorphisms of Chevalley groups and algebras. arXiv:math/0708.2256v3 (2007).

121. Kopeiko V.I. The stabilization of symplectic groups over a polynomial ring, Math. U.S.S.R. Sbornik, 1978, 34, 655-669.

122. Kopeiko V.I. Unitary and orthogonal groups over rings with involution. Algebra and discrete Math., 1985, 3-14.

123. Landein I., Reiner I. Automorphisms of the general linear group over a principal ideal domain. Ann. Math., 1957, 65(3), 519-526.

124. Madigor M., Rosental J., Rubin M., Srour G. Some highly undecidable laticces. Ann Pure Appl. Logic, 1990, 46, 41-63.

125. Mackey G.W. Isomorphisms of normed spaces. Ann. Math., 1942, 43, 244-260.

126. Matsumoto H. Sur les sous-groupes arithmétiques des groupes semi-simples déployés. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 4eme ser., 1969, 2, 1-62.

127. McDonald B.R., Automorphisms of GLn(i?)., Trans. Amer. Math. Soc., 215, 1976, 145159.

128. O'Meara O.T., The automorphisms of linear groups over any integral domain, J. reine angew. Math., 223, 1966, 56-100.

129. Oger F. Elementary equivalence and profinite completions: a characterixation of finitely generated abelian-by-finite groups. Pioceedings of the Ameiican Mathematical Society, 1988, 103(4), 1041-1047.

130. Oger F. Finite images and elementary equivalence of completely regular inverse semigroups. Semigroup Forum, Springer-Verlag NY Inc, 1992, 45, 322-331.

131. Oger F. Cancellation and elementary equivalence of groups. Journal of Pure and Applied Algebra, North Holland, 1983, 30, 293-299.

132. Oger F. Equivalence élémentaire entre groups fînis-par-abélicns de type fini. Comment. Math. Helvetia, 1982, 57, 469-480.

133. Oger F. Cancellation and elementary equivalence of finitely generated finite-by-nilpotent groups. J. London Math. Society, 1991, 44, 173-183.

134. Oger F. Cancellation of abelian groups of finite rank modulo elementary equivalence. Matliematica Scandinavica, 1990, 67, 5-14.

135. Oger F. Elementary equivalence of finitely generated nilpotent groups and multilinear maps. Bull. Austral. Math. Soc., 1998, 58(3), 479-493.

136. Oger F. Elementary equivalence of a polycyclic-by-finite group and its profinite completion. Arch. Math., 1989, 52(6), 521-525.

137. Oger F. Elementary equivalence and genus of finitely generated abelian groups. G.R.Acad. Sc. Paris., 293 (6.07.1981).

138. Oger F. Elementary equivalence and genus of finitely generated nilpotent groups. Bull. Australian Math. Society, 1988, 61-68.

139. Oger F. The model theory of finitely generated finite-by-abelian groups. J. Symbolic Logic, 1984, 49(4), 1115-1124.

140. Olin P. Elementary properties of V-free products of groups. J.Algebra, 1977, 47(1), 105114.

141. Piuus A. G., Rose H. Second order equivalence of cardinals: an algebraic approach, Contributions to General algebra. 13, Verlag J. Heyn, Klagenfurt, 2001, 275-284.

142. Pomfret I., McDonald B.R. Automorphisms of GLn(/?), R a local ring. Trans. Amer. Math. Soc., 1972, 173, 379-388.

143. Prufer H. Untersuchungen uber die Zerlegbarkeit der abzahlbaren primaren abelschen Gruppen. Math. Z., 1923, 17, 35-61.

144. Rickart C.E. Isomorphic group of linear transformations. Amer. J. Math, 1950, 72, 451464.

145. Rubin M., Shelah S. On the elementary equivalence of automorphism groups of Boolean algebras, downward Skolem—Lowenheim theorems and completness of related quantifiers. J. Symbolic Logic, 1980, 45, 263-283.

146. Schreier O., van der Varden B.L. Die Automorphismen der projektiven Gruppen. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1928, 6, 303-322.

147. S. Shelah. Interpreting set theory in the endomorphism semi-group of a free algebra or in the category. Annales Scientifiques L'universite Clermont, 1976, 13, 1-29.

148. Shelah S. First order theory of permutation groups, Israel J. Math., 1973, 14, 149-162.

149. Shelah S. errata to: First order theory of permutation groups. Israel J. Math., 1973, 15, 437-441.

150. Shi-jian Yan. Linear groups over a ring. Chinese Math., 1965, 7(2), 163-179.

151. Szmielew W. Elementary properties of Abelian groups. — Fundamenta Mathematica, 1955, 41, 203-271.

152. R.M. Solovay. Real-valued mesurable cardinals. Proceedings of Simposia in Pure Math XIII Part I. ed D. Scott, AMS Providence R.I. 1971

153. Stein M.R. Generators, relations and coverings of Chevalley groups over commutative rings. Amer. J. Math., 1971, 93(4), 965-1004.

154. Stein M.R. Surjective stability in dimension 0 for K2 and related functors, Trans. Amer. Soc., 1973, 178(1), 165-191.

155. Stein M.R. Stability theorems for Ki, K2 and related functors modeled on Chevalley groups. Japan J. Math., 1978, 4(1), 77-108.

156. Steinberg R. Lectures on Chevalley groups, Yale University, 1967.

157. Steinberg R., Automorphisms of finite linear groups, Cañad. J. Math., 121, 1960, 606-615.

158. Suslin A.A. On a theorem of Cohn. J. Sov. Math., 1981, 17(2), 1801-1803.

159. Suslin A.A. On the structure of geneal linear group over polynomial ring. Soviet Math. Izv., 1977, 41(2), 503-516.

160. Suslin A.A., Kopeiko V.I. Quadratic modules and orthogonal groups over polynomial rings. J. Sov. Math., 1982, 20(6), 2665-2691.

161. Suzuki K., On the automorphisms of Chevalley groups over p-adic integer rings, Kumamoto J. Sci. (Math.), 16(1), 1984, 39-47.

162. Swan R. Generators and relations for certain special linear groups. Adv. Math., 1971, 6, 1-77.

163. Szele T. On direct decomposition of abelian groups. J. London Math. Soc., 1953, 28, 247-250.

164. Szele T. On the basic subgroups of abelian p-groups. Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 1954, 5, 129-141.

165. Taddei G. Normalité des groupes élémentaire dans les groupes de Chevalley sur un anneau. Contemp. Math., Part II, 1986, 55, 693-710.

166. Tarski A., Mostowski A., Robinson R.M. Undecidable theories. Amsterdam. North-Holland Publishing Comp., 1953.

167. Tolstyh V. Set theory is interpretable in the automorphism group of an infinitely generated free group. J. London Math. Soc., 2000, 62(1), 17-26.

168. Tolstykh V. Elementary equivalence of infinite-dimensional classical groups. Annals of Pure and Applied Logic, 2000, 105, 103-156.

169. Vaserstein L.N. On normal subgroups of Chevalley groups over commutative rings. Tohoku Math. J., 1986, 36(5), 219-230.

170. Vavilov N.A. Structure of Chevalley groups over commutative rings. Proc. Conf. Non-associative algebras and related topics (Hiroshima 1990). World Sci. PubL, London et al., 1991, 219-335.

171. Vavilov N.A. An Лз-proof of structure theorems for Chevalley groups of types E6 and E7. J. Pure Appl. Algebra, 2007, 1-16.

172. Vavilov N.A., Plotkin E.B. Chevalley groups over commutative rings. I. Elementary calculations. Acta Applicandae Math., 1996, 45, 73-115.

173. Vorst T. The general linear group of polynomial rings over regular rings. Comm. Algebra, 1981, 9(5), 499-509.

174. Wan C.A. The automorphism of linear group over a noncommutative principal ideal domain of characteristic ф 2. Acta Math. Sinica, 1957, 7, 533-573.

175. Waterhouse W.C. Introduction to affine group schemes. Springer-Verlag, N.Y. et al., 1979.

176. Waterhouse W.C. Automorphisms oiGLn(R). Proc. Amer. Math. Soc., 1980, 79, 347-351.

177. Waterhouse W.C. Automorphisms of quotients of ПGL(rii). Pacif. J. Math., 1982, 79, 221-233.

178. Waterhouse W.C. Automorphisms of det(Xfj): the group scheme approach. Adv. Math., 1987, 65(2), 171-203.

179. Weeler W. H. Model theory of strictly upper triangular matrix rings. J. Symb. Logic, 1980, 45(3), 455-463.Публикации автора no теме диссертации.

180. Бунина Е.И. Элементарная эквивалентность унитарных линейных групп над полями. Фундаментальная и прикладная математика, 1998, 4, 1—14.

181. Бунина Е.И. Элементарная эквивалентность унитарных линейных групп над кольцами и телами. Успехи математических наук, 1998, 53(2), 137-138.

182. Бунина Е.И. Элементарная эквивалентность групп Шевалле. Успехи Мат. наук, 2001, 56(1), 157-158.

183. Бунина Е.И. Группы Шевалле над полями и их элементарные свойства. Успехи мат. наук, 2004, 59(5), 952-953.

184. Бунина Е.И. Элементарные свойства групп Шевалле над локальными кольцами. Успехи математических наук, 2006, 61(2), 349-350.

185. Бунина Е.И. Элементарная эквивалентность групп Шевалле над полями. Фундаментальная и прикладная математика, 2006, 12(8), 29-77.

186. Бунина Е.И., Михалев A.B. Элементарные свойства категории полигонов над моноидом. Алгебра и логика, 2006, 45(6), 687-709 (диссертанту принадлежат необходимые и достаточные условия элементарной эквивалентности категории полигонов над моноидами) .

187. Бунина Е.И. Автоморфизмы групп Шевалле некоторых типов над локальными кольцами. Успехи математических наук, 2007, 62(5), 143-144.локальными кольцами. Фундаментальная и прикладная математика, 2007, 13(4), 327.

188. Бунина Е.И. Автоморфизмы элементарных присоединенных групп Шевалле типов Ai, Di, Ei над локальными кольцами. Алгебра и логика, 2009, 48(1), 443-470 (arXiv:math/0702046).

189. Бунина Е.И. Элементарная эквивалентность групп Шевалле над локальными кольцами. Математический сборник, 2010, 201(3), 3-20.

190. Bunina E.I. Automorphisms of Chevalley groups of type F4 over local rings with 1/2. Journal of Algebra, 2010, 323, 2270-2289 (arXiv:0907.5592).

191. Bunina E.I., Mikhalev A.V. Elementary properties of linear and algebraic groups. Journal of Mathematical Sciences, 2002, 110(3), 2595-2659 (обзорная работа, в которой §§3-5 — это результаты диссертанта).

192. Bunina E.I., Mikhalev A.V. Elementary properties of linear groups and related questions. Journal of Mathematical Sciences, 2004, 123(2), 3921-3985 (обзорная работа, в которой §§4-6 — это результаты диссертанта).

193. Balmasov E.S., Bunina E.I. Elementary equivalence of unitary linear groups over rings. Journal of Mathematical Sciences, 2009, 162(5), 594-604 (диссертанту принадлежат результаты об элементарной эквивалентности унитарных линейных групп).

194. Бунина Е.И. Автоморфизмы и нормализаторы групп Шевалле типов Ai, Dt, Е над локальными кольцами с 1/2. Фундаментальная и прикладная математика, 2009, 15(2), 35-59 (arXiv:0907.5595).

195. Бунина Е.И. Автоморфизмы групп Шевалле типа Bi над локальными кольцами с 1/2. Фундаментальная и прикладная математика, 2009,15(7), 47-80. (arXiv:0911.4243).

196. Бунина Е.И. Автоморфизмы групп Шевалле типов Ai, Du Ei над локальными кольцами с необратимой двойкой. Фундаментальная и прикладная математика, 2009, 15(7), 3-46.