Групы Шевалле и их унипотентные подгруппы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

м 12 9 I1

АКАДЕМИЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

Л Е В Ч У К Владимир Михайлович

ГРУППЫ ШЕВАЛЛЕ И ИХ УНИПОТЕНТНЫЕ ПОДГРУППЫ

01.01.06 - математическая логика , алгебра

и теория чисел |

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени доктора физико- математических наук

Новосибирск - 1991

Работа выполнена в Красноярском государственном университете ,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор БОРЕВИЧ Зенон Иванович; доктор физико-математических наук, профессор МЕРЗЛЯКОВ Юрий Иванович; доктор физико-математических наук, профессор ОЛЬШАНСКИЙ Александр Юрьевич Ведущая организация - Институт математики к механики Уральского отделения АН СССР.

Защита состоится 199 / г. в ~~

часов на заседании специализированного совета Д»002.23.01 при Институте математики СО АН СССР по адресу: 630090, Новосибирск, Университетский пр., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО АН СССР.

Автореферат разослан " /гГ" ШХУС^ и 199.

/

г.

Учёный секретарь специализированного совета

кандидат (Ьиэ.-ыат.наук гьс, В.Г.Скосырский

/Х--""

Актуальность темы. Группы Щевалле нормальных и скручен-нх типов кли группы лиевых типов являются наиболее естест-¡енным обобщением классических линейных групп. К созданию в Ю-бО-е года основ теории групп Щевалле (прежде всего, это С.Шевалле, i.Ерюа, Р.Ри, Р.Стейнберг, Е.Титс, Р.Картер) при-зело накопление глубоких связей мевду теориями линейных групп, алгебраических групп, групп Ли и алгебр Ли.

В теории конечных групп интерес, в первую очередь, вызывают группы Шевалле произвольного типа над конечный полем К; они составляют основной массив известных конечных простых неабелевых групп и исчерпывают их вместе со знакопеременными и 26 спорадическими группами Сем.известные обзоры А.И.Кострикина, С.А.Чунихина и Л.А.Шеметкова, В.Д.Мазурова). Их систематического исследования требует и анонсирование решения задачи классификации конечных простых груш, и необходимость завершения классификации / 6 3 ¥ I. Особый интерес, в частности, как силовская подгруппа, представляет унипотентная подгруппа ЪС&(К) (она порождается корневыми подгруппами, соответствующими всевозможным положительным корням или классам корней), см. Гиббс /S.O /, Д.А.Оупру-ненко / /.В обзоре А.С.Коедратьева записана, как нерешённая,

ПРОБЛЕМА I. Описать автоморфизмы, характеристические подгруппы и центральные ряда группы , когда К -

конечное поле характеристики 2 или 3.

В обзоре задач и результатов, связанных с аппроксимациями конечными группами (это направление восходит к программной работе А.И.Мальцева /9 /), Магнус / S-Ч ' / указал на важность исследования аппроксимаций свободных групп ко-

нечндаи простыми группами. Вопросы такой аппроксимируемости он ставил для некоторых конкретных классов линейных групп степени 2 или 3 и исследовал, совместно с Кацем, для знакопе ременных груш нечётной степени. Б настоящее время остаётся решённой сфорцулированная впервые D.M.Горчаковым / /

ПРОБЛЕМА 2 (1970 г.) Аппроксимируется ли свободная rpyi па степени 2 любым бесконечным множеством конечных простых неабелевых групп?

¡0.1.1.Горчаков и автор ! М ! завершили её положительно ргзеаие в классе линейных групп степени 2. Для классических 4 групп степени 4 3, а также для групп Сузуки она была решена автором / 3.617- /. (Эти исследования отражал обзор /Ii 'i б.) Уже из перечисленных аппроксимационных результатов ле ко следует положительный ответ по модулю KtfflF к проблеме X. Нейман - Ю.М.Горчакова: поровдается ли многообразие всех групп любым бесконечным множеством конечных простых неабелс вых групп? Поэтому б связи с проблемой 1 естественный инте{ стал вызывать высказанный Мескином и записанный автором в "Коуровской тетрада" вопрос 6.18: аппроксимируется ли свобс ная нециклическая группа всяким классом 2-порождённых груш поровдаащим многообразие всех групп? В 1988 году С.В.Ивано: получил отрицательный ответ на него Ud3 /, теорема 39.6) Исследования по проблеме 2, которые развиваются и в д сертации, особенно интенсивно ведутся в последние годы (дл классических групп её решение завершено), а сама она получ ла название проблемы Магнуса - Горчакова - Левчука или, кр ко MGL -проблема. Си. /SS / и обзор Мартино-Тшбурини IS91 г.

— ^ —

Эффективное использование линейных групп над кольцами зри решении различных вопросов, успехи в решении конгруэнц-фоблемы и построение основ К-геории способствовали развитию ; середины 60-х годов исследований линейных групп, а затем и ^рупп Еевалле над ггирокими классами колец. Их-отражают в мо-юграфиях к обзорных статьях Д. А.Супруненко, Х.Басс, Ж.Дье-1снне, £.Л.;«ерзляков, О'мира, В.П.Платонов, А.й.Залееский, .....Суслин,/ ЯЛ /.

песомненнкм достоинством разработанных в теории групп ¿евалле методов является то, что они во многих случаях дают единый подход к исследованию классических групп и групп Ше-залле отдельных типов. Б то же время известные теоремы о классических (в первую очередь, об общей и специальной) ли-*ейных группах стимулируют поиски соответствующих теорем для других групп Шевалле.

Коммутаторное строение различных конгрузнц-подгрупп об-цей и специальной линейных групп изучалось в работах Ф.Холла, 1.А.Супруненко. Эффективный способ построения централов и {оммутаторных рядов даёт теорема Й.К.Мерзлякова о взаимном соммутанте ковровых подгрупп / -£0 /. Б "Коуровской тетради" зоставлен вопрос 6.34: доказать аналогичную теорему а) для зртогональных групп, б) для унитарных групп. Существенный зклад в это направление внесли П.Г.Козел, В.И.Янчевский, ¿¡.Е.Бапнэ, Ю.В.Сосновский, Х.Ролофф, Е.Абэ, Л.Н.Ваеератейн.

Цикл работ З.И.Боревича и его учеников посвящен описа-«ш промежуточных подгрупп, превде всего, параболических подгрупп и надгрупп диагональных подгрупп / 3 /. Промежуточные подгруппы в различных ситуациях изучали Ж.Титс, М. &шен, Н.С.Романовский, Д.А.Супруненко, Г.Зейц, К.Сузуки.

Я.Н.Нужин, А.И.Шкуратский, Е.1.Банкиров и др. В /1С' I и в работах Н.С.Романовского оказался плодотворным метод построения подгрупп общей линейной группы при помощи определённых систем (ковров) идеалов основного кольца. Этот метод обосновывает З.Й.Боревич, вводя понятие сетевой подгруппы. На груг пы Шевалле метод распространили К.Сузуки и Н.А.Вавилов; подход автора с позиции абстрактных групп приводит здесь к вопросу 7.28 / 8 /.

Традиционно ватное направление в теории классических групп, а затем и групп Шевалле - изучение автоморфизмов и гомоморфизмов. 3 последние десятилетия здесь достигнуты успехи в рассмотрении самых общих ситуаций (0'Мира, Ю.В.Сос-новский, В.М.Петечук, й.З.Голубчик и А.В.Михалёв, Е.И.Зельмг нов, В.Н.Герасимов, Л.Н.Васерштейн, Е.Абэ).

В исследованиях групп Шевалле (автоморфизмы, коммутатор ное строение, параболические подгруппы и т.д.) случаи, когдг элемент 2 в основном кольце необратим, как правило, оказываются наиболее трудными и требуют отдельных рассмотрений (в частности, см.проблему I). Прежде всего, это относится к группам Шевалле, соответствующим диаграммам с кратными свяэя ми. Отдельных рассмотрений, как правило, требуют и группы Шевалле малых лиевых рангов.

йцё одно направление, с которым связана диссертация, это исследования предельных групп. На этом цути были построй ны, исходя из унитреугольных групп, первые примеры р-группы, совпадающей с коммутантом (И.Д.Адо, 1943 г.) и пример характеристически простой р-группы (Д.Маклейя, 1954 г.)

Цель работы связана главным образом с решением следую-щх задач:

1} описать автоморфизмы, характеристические подгруппы [ центральные ряды унипотентных подгрупп групп Шевалле над гонечными полями характерис&ки 2 и 3 (проблема (1.5) / 6 /) : над более широкими классами колец;

2) доказать аналог теоремы й.И.Мерзлякова / О / о !заимном коммутанте ковровых подгрупп а) для ортогональных ■рупп, б) для унитарных групп (вопрос 6.34 / В /);

3) найти условия на элементарный ковёр типа $ аддитивна подгрупп коммутативного кольца (в терминах элементов ков->а), которые необходимы и достаточны для его допустимости вопрос 7.26 /8 /);

4) завершить решение -проблемы в классе рупп лиевых типов ранга I.

Общая методика исследований. Применяются как стандарт-ые методы теории групп, теорий ассоциативных колец и линей-ой алгебры, так и специальные методы теории линейных групп, еории групп Шевалле, теории алгебр Ли и их представлений, »•треугольная группа исследуется как присоединённая группа эльца нильтреугольных мат .риц взаимосвязанно с ассоциирован-ш кольцом Ли. Изучение унипотентных подгрупп классических шов использует их специальное представление, которое поэ-эляет естественно рассматривать и обобщённые (предельные) мпотентные подгруппы.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации зляютея новыми.

Практическая ценность, диссертация носит теоретический фактер. Результаты и методы работы могут быть использованы

- У -

в теории конечных и бесконечных групп, в различных вопросах, связанных со с:роением и представлениями классических групп и групп Шевалле, в теории колец.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на 5-11 Всесоюзных симпозиумах по теории групп, на 14-13 Всесоюзных алгебраических конференциях, на международных конференциях по алгебре (Новосибирск, 1989 г.; Барнаул, 1391 г.). Они неоднократно обсуждались на заседаниях семинара "Алгебра и логика", основанного академиком А.И.Мальцевым, семинаров "Теория групп", "Теория колец", "Зварист Галуа" Ш СО Аг1 СЗСР и НГУ), на алгебраических семинарах в УГУ,

ан ссср и лгу, ш ан есср и бгу, ш уро ан ссср, киевского, Ужгородского и Красноярского государственных университетов.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах / 3.2— ЦВ /.

Объём и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав и списка литературы (236 наименований) и занимает 300 страниц машинописного текста. Нумерация теорем сквозная (27 теорем); для остальных утверждений номер включает номер а. ё параграфа и номер а. главы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Основными результатами работы мояно считать следующие:

- описаны автоморфизмы, характеристические подгруппы и центральные ряды унипотентных подгрупп групп Шевалле над некоторыми классами колец и, как следствие, решена проблема (1.5) / 6 /;

- перенесена на группы Шевалле н, шесте с тем, на фтогональные и унитарные группы теорема Ю.И.Мерзлякова о взаимном коммутанте ковровых подгрупп и, таким образом, по-гучено решение вопроса 6.34 /2 /;

- доказана аппроксимируемость свободной неабелевой груп-га любым бесконечным семейством конечных простых групп лие-5ых типов ранга I (частичное решение М&1 -проблемы);

- вопрос 7.28 / £ /об условиях допустимости элемен-'арного ковра над коммутативным кольцом получает решение, согда основное кольцо есть локально конечное поле.

При решении этих задач, а также в близких направлениях, юлучены и другие результаты, из которых отметим следующие:

- найдено обобщение известной георемы Диксона;

- доказано, что диагональный элемент группы Ри лежащий над собственным подполем основного поля, содержит^-

:я точно в трёх её максимальных подгруппах;

- устанавливается теорема об АВА-группах и усиление геммы Шевалле, позволявшие распространить известные описания шраболических подгрупп групп Шевалле на исключительные слу-;аи, когда элемент 2 или 3 основного кольца необратим;

- для кольца нильтреутольных матриц, а также для построенного более общего локально нильпотентного кольца доказано ¡овладение класса идеалов ассоциированного кольца Ди и класса нормальных подгрупп присоединённой группы, взаимосвязанно шисаны автоморфизмы.

Предварительные сведения о группах Шевалле приводятся з 5 1.1. В § 1.2 частично решается проблема 2. Доказана

ТЕСРЫ/ш I. Свободная неабелева группа аппроксимирует-;я любым бесконечным множеством конечных простых групп лие-зкх типов ранга I.

- Э -

Аппроксимации свободной группы степени 2 (и, следовательно, произвольной свободной неабелевой группы) классичес кими группами степени ¿3, а такке группами Сузуки устанавливаются автором в кандидатской диссертации, см. Поэтому теорема I доказывается в § 1.2 только для групп Ри

; этот случай опубликован автором в /36 /, а с полным доказательством - в / 3$ /.

В нашем методе установление аппроксимаций при Еыбсре пар порождающих элементов существенную роль нграмт явные оп; сания подгрупп с заданным диагональным элементом; см.также вопрос 7.27 / $ /. Для групп Сузуки и для классических групп степеней^ 3 такие описания были получены автором на основе известных подгрупповых описаний Д.Диксона, Х.Мктчэда. Р.Хартли, М.Сузуки. Для групп Ри Rs.Cc},) максимальные подгруппы описаны, с точностью до сопряжённости, в совместны;; работах автора к Й.Н.Нудаяа I¿33 У. На основе этого описания (в диссертации оно используется без доказательства! доказывается и существенно используется

ТЮРЕЫА 2.. Подгруппа группы Ри Яе(^) , содержимая диагональный элемент порядка> 2, либо централизует диагональную инволюций, либо нормализует её (максимальную) верхнюю или нижнею ушшотентнуя подгруппу, либо совпадает, с точность» до сопряжения диагональным элементом, с подгруппой

Теорема I включает положительное решение проблемы 2 дл.с

О 9

конечных групп Шеьалле двух из 16 лиевых типов - В^ и £„ В классе знакопеременных групп её решили Р.Кац, Б.Магнус (для подстановок нечётшлс степеней, 1909 г.) и ¿.Уайголд (1977 г.) Дальнейшее яро.цвигеьиэ в её решении связано с не- Ю -

давними достижениями в описаниях максимальных подгрупп (см. /<£3 /) и характеризациями в работах Г.Зейца подгрупп, содержащих максимальный тор. Как проблема Магнуса - Горчакова -Левчука, проблема 2 исследуется в диссертационной работе Т. Ьайгеля (1989 г., /Я.5" /); он завершил её решение для классических групп и групп лиева типа ¿^ . Для некоторых подклассов класса групп Шевалле нормальных типов решение получил А.Люботский (1986 г.).

В 1954 году Ю.й.Мерзляков / 1 О / установил теорему о взаимном коммутанте ковровых подгрупп общей и специальной . линейных групп. Она позволила единообразно исследовать коммутаторное строение различных конгруэнц-подгрупп и, в частности, силовских р-подгрупп групп ¿т/. п • См.также / 5* /, 15.1.2. Её аналог для сишлектических групп установил Ю.З.Сосновский / 4.5 /. Б главе 2 эта теорема перено—• сится на группы Шевалле нормальных и скрученных типов Ш или п3>.

Пусть £ - функция, определённая для натуральных чисел к и Ф (У {о} , принимающая неотрицательные цело-

численные значения с условиями:

(ъъръ&ФУ),

причём для любых фиксированных ср. г А, существует , при котором равенство достигается.

Зафиксируем квазирегулярный вдеал «У кольца К и построим последовательность П-^О. (В § 2.3 последовательность определяется несколько общее.)' В группе Шевалле типа § над К диагональные элементы Л(Х) для всевозможных К-характеров X решётки корней (Ф), у которых все значения равны I по модулю ^ » к

(k)

ства 0СЪ ( Уу) (геФ) порождают подгруппу Q- ,

Её пересечение с элементарной группой Шевалле типа Ф над К + (к) обозначим через о

По аналогии с ! 10 J пару Ф,К называем неособенной,

если р(Ф)!К = К, а при $ = Aj (=Cj) также 2К=К. Число р(Ф),

по определению, равно наибольшему из чисел

Пару k,/и. называем неособенной относительно функции £ ,

если решётка дуальной к Ф системы корней порождается ко-кор-

нями & tt ! (Z}t) , где -г пробегает множество

{ге £tt,k)-b } (I)

(при р('3)=1 это равносильно тому, что множество (I) порождав-решётку L (Ф),) Аналогом теоремы Ю.Н.Мерзлякова для групп Шевалле нормальных типов является

л (k-t-tn) .

TSOPSviA 9. ï) [S- , Cr J CL S ; 2) если A, m.

л «■ - çChi)l

и Ф,К - неособенные пары, то ¿j 5 J=:S •

Теореме Ю.И.Мерзлякова / 1 О / здесь соответствует случай $ , а её симплектическому аналогу, установленному ¿З.В.Сосноеским /ÎS /, - случай Ф = С^ . Применяемые ъ j il функции естественно переносятся и на нашу ситуацию. Так, функция (t/ k) очевидно удовлетворяет условиям F î) - F 3)

(неравенство F3) здесь превращается в равенство), a oco6ei

, /Д)

ных пар й,/« для неё нет. Подгруппа $ здесь являете,

конгруэнц-подгруппой уровня J^ элементарной группы Шевалле типа >5 над К. Из теоремы 9 вытекает, что для любой неосо-бекой пары нижний центральный ряд конгруэнц-подгруппы уровня О состоит из подгрупп S A L = 1,2,3;...), а

/оИ

коммутаторный ряд - из подгрупп J ( i - 0,1,2,3,...)

Таким образом на группы Шевалле распространяются 'результаты

- тг -

А. Супруненко / /. Другую важную функцию получим, полагая г,к) = -[(Мь-Ю/& ] , гце £ - ] - целая часть ¡ела, Ц - число Кокстера системы корней Ф, - высота

>рня % .Б частности, построенные, исходя из неё и идеала ' = (р), подгруппы ( й = 1,2,3,...,т>£ } при р> р(Ф)

5разуют нижний центральный ряд в силовской р-подгруппе эле-гнтарной группы Шевалле типа 5 над кольцом классов вычетов элых чисел по модулю р ** (следствие 2.3.4).

Теоремы 11,12 переносят теорему Ю.И.Мерзлякова на скру-

2

енные группы. Скрученнув группу типа § выделяют в группе евалле типа ф, как централизатор её определённого автоморфиз-а, построенного с помощью инволюции ¿> основного кольца К и одстановки ~ систеш корней индуцированной симметрией её рафа Кокстера. По лемме 1.1.2 системы корней Ш типа Е^, е®^, З.п-л'^5.К, допускают отображение 5Г на-сиегецу корней со-тветственно типа г^ 9 Й>п , С^ » продолжаемое до

омоморфлзма решётки корней, при котором . Не-

■собекную пару А, /»г называем С -неособенной относитель-го функции , если решётка систеш, дуальной К £($), порож-¡ается множеством, дуальным к (I).

Пусть с/ - - ¿, -инвариантный квазирегулярный идеал

:ольца К, причём

выберем функцию £ с условиями

, . а СЮ

. Г е ■*), и пусть ¿> - подгруппа скрученной группы Ье-

залле типа = ^, (П-ЪЧ) или ^/4 1ч>1) над

кольцом К, лооовдённая элементами X (а?) (ъ&Ф еъьЗ.

ь ' X * £

Если 2К=К, чо для любой £ -неособенной пары М, % имеем (теорема И,/ /).

Известно, что ортогональные группы отождествляются с группами Шевалле типов .3) ^ , (Р.Ри, Р.Стейнберг)

и поэтому теоремы 9 и II решают вопрос 6.34,а) ! В ! Ю.И. Мерзлякова. Вопрос 6.34,6) о перенесении его теоремы на унитарные группы решает в случае чётных размерностей теорема II й

(яш А ), а в случае нечётных размерностей (тип Ал

- более громоздкая теорема 12.

Рассматриваемые в теоремах Ю.И.Мерзляксва и ¡О.Б.Сосноз-сксго подгруппы определяются ковром идеалов, у которого Есе диагональные идеалы квазирегулярны. В более общей ситуации коммутаторное строение таких подгрупп исследовал Х.Ролофф, 1982 г. Оказывается, любая такая подгруппа факторизуется тремя сеокми подгруппами: пересечения с двумя (противоположными) унипотентными подгруппами и с диагональной подгруппой. Это вытекает из теоремы 10, / /, которая в ряде принципиальных случаев доказывалась ранее (Ивахори и Мацумото, Абз, Штейн, Н.А.Вавилов и Е.Б.Плоткин).

Важную роль в развитии метода выделения подгрупп групп при помощи определённых систем (ковров и сетей) идеалов сыграли работы Ю.И.Ыерзлякоза, Н.С.Романовского и З.й.Боревича. На группы Шевалле этот метод перенёс К.Сузужи и, в большей общности, Н.А.Вавилов. Основываясь на работах З.И.Боревича, он называет / % / сетью типа $ над кольцом К всякий набор идеалов (или даже аддитивных подгрупп) { Оиг I -г 6 Ф } с условием С%г &5 с + 5 . К близкому понятию мы приходим в 5 2,1 с позиции абстрактных групп.

Подгруппа Н произвольной группы называется W -ковровой относительно набора W sfXpXg,«.. } подмножеств, если пересечения МлХр МлХ£, ... порождают 'Л и

при любых ¿f<¿£<"'<r • Haí5oP W^{xif ^s.'"' '^nl подмножеств группы В называем её нормальным базисом, если выполняются условия = x. , x/j.o"' X „ , íp¿ ¿^ у1,—

o-íí t-rz л *

нормальные подгруппы в 3; элементы из X' записываются в

виде Xг [ Х-) единственным способом; Х^

= Б. (Нормальный базис нильпотектной группы Ли, составленный из одлопараметрических подгрупп, рассматривал А.И.Мальцев, называя его системой координат 2-го рода.) Свойство W-коб-ровости подгруппы LI относительно нормального базиса не зависит от выбора упорядочения в W и равносильно (лемма 2.1.9) тс:,';/, что пересечения МЛ X. образует в М нормальный базис. Ба'эшй признак \М -ковровости выявляет

ТаОРгЖ 5 / 3Í, 32. /. Цусть г - группа, <¿>cАм£Г у В-подгрулпа с нормальным базисом W={X ^ > X п т •<., Х„ I причём все подгруппы X '' fO¿L<n) допустк/?ы и

где =г/X^J с X^j . Тогда: а) для всякой г® -допустимой подгруппы М с Г пересечения М АХт, ..., МАХ образуют нормальный базис подгруппы МА 3; б) если rp ([, то зсякел ¡w^rpr/nna А, для ко-

торой Г - АЗА и ^ есть подгруппа группы сопряжений элементами из А, абноруальна з Í'.

В группе ¡Певаллв типа Ф над кольцом К подгруппы, ковровые относительно набора М/ всех её корневых подгрупп, записываются .в виде Е( Ос) ~ (Скх) ( ье £), где Ос -определённый элементарный ковёр типа $ над К, т.е. набор

аддитивных подгрупп основного кольца с условие;,;

Здесь Ос/«5 ~ ко<*станты иэ коммутаторной формулы Шевалле. В частности, в унипогенткой подгруппе ££2КЮ, как показывают леммы 2.1.9, 2.1.11, \А/-ковровые подгруппы - это в точности подгруппы Е( Ос. ), определяемые уни-потентными (т.е. с условиями 0, ге 5") элементарными

коврами типа § над К.

Понятие элементарного ковра расширяет понятие сети типа § б тех случаях, когда р($) > I и р(Ф)! - необратимый элемент кольца К. Зги же случаи, как правило, оказываются исключительными, например, при использовании сетей типа Ф в описаниях параболических подгрупп (К.Сузуки, Н.А.Вавилов, Е.Б.Плоткин). Некоторые такие случаи удаётся изучить с помощью теоремы о к леммы 2.1.13 (предложения 2.1.14, 2.1.15 и теорема б,/32,¡8 /) В качестве $ берутся определённые подгруппы диагональных автоморфизмов. Условия» обеспечивающие выполнение требований на в теореме 5, выявляет лемма 2.1.13. Для любых линейно независимых корней $ е § и Ъ&К она доказывает существование К-характера X фиксированной решётки / с/с/ такого, что ХС'1-)-!, , где о1 есть целое чис-

ЛС, причём либо с1 р(Ф), либо ¿¿¿0 и №, о£)=(А2,3)

, к-ЪЪ . Этот результат усиливает лету II К.Ше-:/ , § 4/, описавшую случаи, когда существует пара

корней и К-характер X решётки фундаменталь-

ных весоЕ (здесь К - поле) такие, что ХСъ) ЯСъ) ФX.

Элементарный ковер типа 3 над К называем допустимым, если кавдая подгруппа ?с( Ос^) (-г. 6 Ф) совпадает со своим пересечением с Е( Ос, ). Н.А.Вавилов / £ / называет всякий набор \ с таким свойством квазисетью типа Ф над К; при р(Ф)!К = К он показал, что квазисети идеалов типа Ф - это в точности сети идеалов типа Ф. Конечно, элементарный ковёр не обязан быть допустимым, даже если К -конечное поле, как показывает известная теорема Л.Диксона. Б/32/и/<? , вопрос 7.28/ автор поставил вопрос: найти условия на элементарный ковёр типа Ф аддитивных подгрупп коммутативного кольца К (в терминах элементов ковра), необходимые и достаточные для его допустимости.

Для элементарного ковра (л. типа Ф над полем К множество 2 (Ое.) = {г. <= <Р I Сг_г фо} по лемме 2.2.1 либо пусто, либо есть объединение попарно ортогональных неразложимых квазизамкнутых подсистем корней ¿V,, ••* > ^ ^ •

Решение вопроса 7.28 / 8 /ь случае, когда основное кольцо есть локально конечное поле, указывает (см./32 /)

ТЕОРЕМА 7. Для допустимости элементарного ковра £ъ типа Ф аддитивных подгрупп локально конечного поля К необходимо и достаточно,-чтобы при непустом £ ) выполнялось условие: для каждого и существует

подполе Р ■ и элементы Ь & К такие, что Ос _ — ^^ Р£

С ь и ^

и если . ={■£,-£}, то либо & Р^ , либо /А/= 3,

(М^)С-* , либо/Л.

Доказательство теоремы 7 основывается на следующих двух теоремах.

ТЮРЗАА 3. Дусгь А,В - ненулевые -аддитивные подгруппы поля Р , причём наименьшее подполе Р АВ локально конечно.

Тогда группа £ = ГР / (£ } либо сопряжена

диагональным элементом над Р с (Р) , либо|А1=[В|= 2 и имеет диагонализируецую подгруппу индекса 2, либо АБ = г 6 , и проективный образ <? изоморфен А^;

во всех случаях £г содержит антидиагональный элемент.

ТЕОРЕМА 8. Пусть М - подгруппа группы Шевалле типа Ф AJ нед полем К. Допустим, что пересечения М Г\ X х.^ (Осъ) (г- е Ф) неединиччы, порождают М, и либо М - периодическая подгруппа, либо выполнено условие: существуют подполе Я и корень ¡> такие, что К алгебраическое расширение /2. , Ос есть Я -модуль, причём р(Ф)=1 или 1< р(Ф) < еЛал-К . Тогда, с точностью до сопряжения диагональным автоморфизмом, выполняется условие (х.^ ЭI для всех простых корней т. , и б этом случае М есть группа Шевалле типа Ф над некоторым подполеы поля К.

Теорема 3 обобщает теорецу Л.Диксона {/ 11 /, теорема 2.6.4), которой соответствует случай, когда Р - конечное поле и / А/=/В/= с&ал. Р > 2. Её доказательство основывается не методах Д.Диксона и теореме Щура. На самом деле, те же методы и известные описания конечных линейных групп приводят к описании всех периодических линейных групп степени 2 над произвольным полем (теорема 4). Далее. Теорема 8 вместе с теоремой Я.Н.дужина о промежуточных подгруппах между группами Шевалле над различными полями Ш /, теорема I) при $ = даёт

- 1В -

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.2.7. Дусть М - подгруппа группы (*h

. над полем К с неединичными пересечениями М Л t¿j(K) — ( Ос. .) , причём хотя бы одно Ос. . есть модуль над подлолем а таким, что л его алгебраическое расширение и Ш р 2,4. Тогда P$LJF)<z А'1 М А с P&LntF) для некоторого подпсля F и диагональногз элемента

¿efi&jKl

В известных подобных описаниях требования являться Я-модуллмл, как правило, накладываются одновременно на все <-*-¿J, • Соответствующее утзервдение устанавливали И.С.Романовский ¡i4 J при [к : ^7=2 я З.л.Еоревич / 1 / при [* П..

Главы 3-5 посвящены исследования унипотентных подгрупп %1 группы Шевалле. Дз.Гиббс / ZO [ описал автомор-

физмы, характеристические подгруппы и центральные ряды группы it&ÍK) над полем К характеристики р И 2,3, а Для - при р / 2. (Более частные результаты получили П.П.Лгвлоз, А.Уир, Э;Шпицнагель, Ж.Харли.) Вопрос же описания в исключительных случаях р = 2,3 уне в случае конечного основного поля составляет содержание проблемы (1.5) / ¿ /. Группы tL^-OcJ лиева ранга I над конечным полем К детально исследовали М. Сузуки, Г.Хигман, Х.Уорд, Дя.Томпсон, З.Янко и др.

В § 4.2 указано специальное представление униаотентных подгрупп классических типов £ (для £ = F^ см. § 5.3). Леммы 4.2.Ó-4.2.9,'5.1.1, 5.1.2, 5.3.1 описывают явно нижний и верхний центральные ряды группы 2С&1Ю над произвольным коммутативным кольцом К с единицей для всех классических типов и для всех нормальных типов £ = <S. Стандартность центральных рядов груши ti $(К) нарушается, если элемент р('5)! необратим в основном кольце. В то яе время дня скрученных типов справедлива

ТЕОРЕМА 25. Верхний и нижний центральные рады унипо-тентной подгруппы скрученного типа над полем всегда стандартны.

Дусть № - совокупность всех нормальных подгрупп группы (.К) , ввдерживающих графовые автоморфизмы (для = 2>) и пороздащихся корневыми подгруппами или (для скрученных типов) их централами. Характеристические подгруппы описывает

ТЮРША 26. Пусть К - произвольное поле, являющееся совераенным, если 2К=0, 6г - В^, ^ > ^^ • КЛ1! ЗК=0, £ = £„ , . Тогда класс характеристических подгрупп группы ^СК) совпадает с У/ , за исключением следующих групп:

КС [К) КФСЮ I

хск Ш %-^Съ), и^и), и и\[к)

• £ л

(5 исключительных случаях характеристические подгруппы таюке описаны.)

Описание автоморфизмов группы в диссертации

получено для произвольного коммутативного кольца К с единицей, ксгде Е (>*- = 6,7,6); для остальных типов ¿г ранга > I описание получено, когда К -поле и в некоторых других случаях (теоремы 16,17,22-25, замечание 5.2.4, леммы 5.1.5, 5.1.7, 5.1.8).

Произвольный автоморфизм в описаниях разложен в произведение стандартного к (явного) гиперцентрального автоморфизма еысоты т>, О , который, по определению, единичен по мо- 20 -

дулю т. -го гиперцентра, а по модулю (пс-1) -го при /я 1 не является внутренним. Если £г - или (п>£~)л то

ж. ^ (для поля К характеристики Z равенство достигается); в остальных случаях т. ¡<5*. (В ситуациях, которые ранее рассматривали Ж.Гиббс и др. - т. , за исключением случая ¿г -С . .) Для групп ранга £ Ц описание

автоморфизмов несколько другое.

5 случае конечного основного поля указанные результаты глав 3-5 даат решение проблемы (1.5) / б /.

Решающим для описания автоморфизмов является случай = /4, т.е. случай унитреугольной группы. В главе 3 она исследуется, как присоединённая группа кольца NГ^ (К) (нижних) нильтреугольных матриц. Ранее идеалы и автоморфизмы ал- .

гебры N Т [Ю над полем К описали Р.Дюбиш и С.Перлис /¿3 /. и.

Показано, что всякий автоморфизм кольца Ы н Ь 3,

над произвольным (не обязательно коммутативным) кольцом К с единицей есть произведение центрального, диагонального, внутреннего и кольцевого автоморфизмов. Взаимосвязанно описаны автоморфизмы присоединённой группы и ассоциированного кольца Ли; при уъ > Ч они являются произведением стандартного автоморфизма и явного гиперцентрального автоморфизма высоты £ 3 (теорема 16); для Л.< ^ полученное, в частности, при условии коммутативности основного кольца описание автоморфизмов несколько более громоздкое (теорема 17). К стандартным автоморфизмам здесь относятся автоморфизмы кольца /V Тл (к) и введённые идемпотектно-кояьцевые автоморфизмы. При М= вычислены порядки групп автоморфизмов (следствие 3.4.10). 3 частности,/^ и М> А?= (И-£)( Ск> Ц).

СЛЕДСТВИЕ 3.4.II. Всякая конечная 2-группа изоморфно вложима в конечную 2-группу, у которой группа автоморфизмов также является 2-грсуппой.

Аналогичное утверждение для р-группы при нечётном р вытекает из результатов М.В.Хорошевского. В § 3.5 указано также приложение к описанию автоморфизмов треугольной группы.

Важную роль в описаниях играют выявившиеся тесные структурные связи присоединённой группы и ассоциированного кольца Ли. В главе 4 они выявляются в более общих ситуациях. (Для различных радикальных колец такие связи изучали А.И. Мальцев, С.Дясеннингс, К.К.Андреев и др.) Цусть Г - произвольная цепь (линейно-упорядоченное множество). Кольцо NTр(К), по определению, поровдается элементами*^. (х£ К, L^e- Г,

, « 9

), подчиняющимися обычным правилам сложения и умножения элементарных матриц; в известном смысле это есть локально нильтреугольнае кольцо. В теореме 13 и предложении 4.1.I показано, что класс всех нормальных подгрупп присоединённой группы кольца N 7*р(Н) совпадает с классом всех идеалов ассоциированного кольца Ли. Ограничение I 6 К здесь можно заменить более слабым требованием поровдаемости кольца К подмножеством ^ху/ х,уб К} ; последнее ограничение снять нельзя, как показывает пример 3.1.5. Е.И.Хухро дал отрицательный ответ на поставленный автором в связи с леммой 3.1.3 вопрос (см. вопрос 6.19 / t / и комментарий к нему).

Теорема 14 и предложение 4.1.2 дают явное описание класса идеалов кольца А/Гр(К) над телом К и класса идеалов ассоциированного кольца Ли. Когда Г - плотная цепь, оказалось, что эти классы совпадают (следствие 4.1.3). В § 4.3 построены обобщённые унипотентные подгруппы типов Вр, Ср, и

изучаются аналогичные связи нормальных подгрупп и идеалов для типов Бр, Ср (теорема 21 и предложение 4.3.7^/45 /). Случай сФ исследовала Д.А.Мартынова.

¡¿зоыетрии и антиизометрик цепи Г индуцируют автоморфизмы присоединённой группы кольца N7р(Ю (аналогично, ассоциированного кольца Ли); естественно определяется диагональные, кольцевые и локально внутренние автоморфизмы. Если К -кольцо без делителей нуля (I & а) и /р/>4, то произвольный автоморфизм оказывается произведением перечисленных автоморфизмов и явного гиперцектрального автоморфизма, по-прежнему, высоты 4 3 (теорема 20, ¡40 /). В случае тела К приходам также к списанию характеристических подгрупп и идеалов (тзо-рема 18, /¿{О /).

Присоединённая группа ¿г кольца /"г"р(Ю в той или иной форме изучалась ранее. Й.Д.Ддо (1943 г») указывает пример р-группы, совпадающей с комцутангоа, рассматривая для случая , Г - цепь рациональных чисел отрезка [0,1] . Д.Маклейн (1954 г.) аналогично построил пример характеристически простой р-группы. Когда Г-цепь натуральных чисел, К -конечное поле, автоморфизмы и характеристические подгруппы группы ¿г » как предельной унктреугзльной группы, ранее исследовал Е.Г.Косман. Как и в случае конечной цепи Г (§ 3.3), он использует метод исследования автоморфизмов по модулю централов. В общем случае этот ь-етод не применим, как показывает пример И.Д.Адо. В доказательстве теоремы 20 используется описание макчсмальных абелевых нормальных подгрупп группы (£ , когда К - кольцо без дглителзй нуля (леша 3.2.4, теорема 15т предложение 4.1.4). Дяя уда'греуга-ЕьнсЯ группы над хг^ечшчк полем нэчётного порядка они бьош описаны А.Уир. Отметим, что максимальные абелевы подгруппы унипотьнтнш: подгрупп лзут^'Ч

И.Щур, А.И.Мальцев, Д.А.Супруненко, Р.А.Тышкевич, К.Еэррк и ДР-

Литература

1. Борэвич З.И. О подгруппах линейных групп, богатых тране-Еекцикми. - Зап.научн.сеыин. ЛОМИ АН СССР, 1978, 75,

с.22-31,

2. Вавилов H.A. О параболических подгруппах групп Шевалле над подулок&льным кольцом. - Там же, 1978, 75, с.43-56.

3. Вавилов H.A. Подгруппы .рас^епимых классических групп. -Докт.дисс., Л., 1987, 335 с.

4. Горчаков D.M., Я&вчук В.М. Об аппроксимации свободных групп. - Алгебра и логика, 1970, 9, $ 4, с.415-421.

5. Каргаполов K.II., Мерзляков S.Ii. Основы теории групп. -Ы.: Наука, 1982, 283 с.

5. Кондратьев A.C. Подгруппы конечных групп Шевалле. -

Успехи мат.наук, 1986, 41, * I, с.57-95. 7. ловдратьев A.C., Махнёв A.A., Старостин А.И. Конечные группы. - Итоги науки и техн. Сер.Алгебра.Топология.Гео-метрия. М.: ВИНШИ, I9S5, 24, с.3-120. ,8. КоуроЕСкая тетрадь. Новосибирск: Ш СО АН СССР, 19Б5, 132 с.

9. Мальцев А.И. О гомоморфизмах на конечные группы. - Уч.зап. Ибеноеского лед.ин-та, 1958, 18, с.49-50.

10. Мерзляков D.H. Центральные ряды и ряды комцутантов матричных групп. - Алгебра и логика, 1954, 3, £ 4, с.49-59,

11. Носков Г.А., Ремесленников В.Н., Романьков В.А. Бесконечные группы. - Итога науки и техн. Сер.Алгебра.Топология.Геометрия. М.: ВИНИТИ, 1979, 17, с.65-158.

22. Нуетн Я.Н. О группах, заключённых между группами лиева типа над различными полями. - Алгебра и логика, 1933,

22, » 5, с.525-541»

13. Ольшанский А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. - М.: Наука, 1989, 448 с.

14. Романовский it.С. О подгруппах общей и специальной линейной групп над кольцами. - Мат.заметки, 1971, 9, № 6,

с.699-703.

15. Сссновский Ю.З. Коммутаторное строение сишлектических групп. Мат.заметки , 1973, 24, £ 5, с.641-648.

13. Супруненко-Д.А. Ядро одного гомоморфизма. - Сиб.мат.а., 1965, д,>Т-11, с. 199-206»

17. Супрунекхо Д.А. Группы матриц. - М.: Наука, 1972, 351 с.

■ 13. LIfeB-алле К. О некоторых простых группах. - Математика. Период.сб.перев.ин.статей, 1953, 2, $ I, с.3-58.

19. -Subish R., Perils S. On total nilpotent groups. - Aser. J.Katb., 1951, 73, Ho.3, p.439-452.

20. Cibbs' J.A. Automorphisms of certain unipotesi groups. -J .Algebra, 1970, 14, Ho.2, p.203-228..

21. Gorenatein D. finite groups. - N.Y-r Harper and Sew, 1963, 527 p.

22. Raton A.J., James D.G., Wiafelier B. Homoaorphisras of algebraic and classical groups: a survey. - Gaa.Jiatli.3oc., 1984, iTo.4, p.24-9-296.

23. ЖГехШйап P.В.,'Lieback U.U. A survey of the aaxiaal subgroups of the finite 3imple grcup3. - Geam. Dad., 1333, 25, Bo.3, p-375-389.

24- Magnus f. Residually finite groups. - Bull.Amer.Matli.Зое.,

1969, 75, Iio.2, p.305-31 625. Vfaigel J. Residuelle Bigenschai-fcea ireier C-ruppen. Die Vernutung 7on Kagsus-Gorchak-o-v-Levchuk. - Dissertation, Preiourg: Albert-ludwig-Univerait&t, 1Э53, 203

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИЙ

26. Об одном свойстве групп Сузуки. - Алгебра и логика, 1972, II, * 5, с.551-55?.

27. Аппроксимации свободных групп факторами групп

- В сб.: .Некоторые вопросы теории групп и колец, Красно-, ярск: Ж СО АН СССР, 1973, с.123-149.

28. Подгруппы унитреугольной группы. - Изв.АН СССР, сер.матем. 1974, 36, & 6, с.1202-1220.

29. Автоморфизмы некоторых нкльпотентных матричных групп и колец. - ДАН СССР, 1975, 222, $ 6, сЛ279-1282.

30. Сбязи унитреугольной группы с некоторыми кольцами. -Алгебра к логика, 1976, 15, ¡Р> 5, с.558-578.

31. К теореме Титса о параболических подгруппах. - В сб.: 7-й Всесоюз.спмпоз. по теории групп, Красноярск, КрасГУ, 1980, с.65-65.

32. Параболические подгруппы некоторых АВА-групп. - Мат.заметки, 1982, 31, ¥ 4, с.509-525.

33. Об одном вопросе В.И.Мерзлякова. - Б сб.: 8-й Всесоюз. симпоз. по теории групп, Кие'в: ИМ АН УССР, 1982, с.71-72.

34. О подгруппах групп Ри. - Там же, 1982,- с.72 (сэвм. с Лужиным Я.Н.).

35. Связи унитреугольной группы с некоторыми кольцами. 4.2. Группы автоморфизмов. - Сиб.мат.к., 1983, 24, $ 4, с.64-4

35. Автоморфизмы некоторых подгрупп классических групп. -В сб.: 17—я Ъсесош.алгебр.конф,, Минск: ИМ АН БССР, 1983, с.112.

37, Замечание к теореме Л.Диксона. — Алгебра и логика, 1983,

£2, Г 4, с.421-434.

С" псгсех.егзп: ьсксгествах корневых элементов герж Вэввюи ксг. п-лем. - Алгебра г. лггикб, 1983, 22, * 5, с.504-517.

39. О строении групп Ри. - Алгебра и логика, 1985, 24, $ I, с.25-41 (совм. с пужиным Я.Н.)

40. Некоторые локально нильпотентные кольца и их присоединённые группы. - Мат.заметки, 1987, 42, 9 5, с.631-641.

41. Центральные ряды и ряды коммутантов некоторых подгрупп групп Шевалле» - ДАН СССР, 1990 , 313, Р 4, с»799-802.

42. Автоморфизмы группы обратимых треугольных матриц над кольцом.. - В сб.: Перманенты: теория и приложения,. Красноярск: КГМ, 1990, с.38-45.

43. Нормальное строение унипотентных подгрупп групп Шевалле и идеалы ассоциированного кольца Ли. - В сб.: Конструкции в алгебре и логике, Тверью TIT, 1990, с.бО-бб (совм.с Мар-тыновой Л.А.).

44. Автоморфизмы унипотентных подгрупп груш лиева типа малых рангов. - Алгебра и логика, 1990, 29, $ 2, е.141-161.

45. Автоморфизмы унипотентных подгрупп групп Шевалле. - Алгебра и логика, 1990, 2?, 9 3, с.315-338.

46. О силовских р-подгруппах групп Шевалле. - Мевдунар.конф. по алгебре. Тез.докл. па т.групп. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1991, с.бГ»

Красноярский государственный университет Огяел полиграфия Захаз 564

Подписано к печа-гя 4/Х1 — 1991г.