Структурные описания и связи нильпотентных матричных групп и ассоциированных с ними колец тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

Наиболее употребительные обозначения и термины

Глава 1. Нормальное строение присоединенной группы радикального кольца Яп(К,,1) и идеалы ассоциированного кольца Ли

1.1. Г-границы и идеалы кольца

1.2. Лиевы и нормальные Г-границы кольца #„(#,«/)

1.3. Теорема об идеалах ассоциированного кольца Ли

1.4. Нормальные подгруппы присоединенной группы

Глава 2. Нормальное строение унипотентной подгруппы унитарной и ортогональной групп над полем

2.1. Представление групп 1Ю{К) классических типов

2.2. Случай ортогональных групп.

2.3. Случай унитарных групп

Через Яп{К, 3) далее обозначается кольцо всех п х п-матриц и коэффициентами из ассоциативного кольца К с единицей с элементами из его идеала 3 на и над главной диагональю. При 3 = 0 это есть кольцо МТп(К) (нижних) нильтреугольных матриц; как известно, его присоединенная группа (относительно присоединенного умножения аоЬ = а + Ь + аЬ) изоморфна унитреугольной группе иТп{К).

Диссертация состоит из двух глав, разбитых на 7 параграфов. В главе 1 взаимосвязанно исследуются вопросы описания нормальных подгрупп присоединенной группы радикального кольца 3) и идеалов ассоциированных колец. Структурные соответствия различных алгебраических систем, как правило, приводят к эффективным методам описания. В параграфе 1.1 приводятся некоторые известные и вспомогательные понятия и результаты. Вторая глава посвящена аналогичным вопросам для унипотентных подгрупп групп Шевалле.

Вопросы описания различных классов нормальных подгрупп унитреугольной группы над полем рассматривали А. Уир [18] (максимальные абелевы нормальные подгруппы), С. Д. Берман [1, 2], В.М. Лев-чук [5] и др. Идеалы алгебры ЫТп{К) над полем К описали на языке матричных лестниц Дюбиш и Перлис [15] в 1951 году. Идеалы кольца NТп{К) для случая тела К допускают аналогичное описание, как выявилось в [5]. В. М. Левчук и Ф. Кузучуоглу [16] разработали в 2000 году метод описания идеалов кольца Кп{К, 3) в более общей ситуации, когда кольцо коэффициентов К коммутативно, а его идеал 3 - сильно максимален. Они показали, что любой идеал такого кольца Яп{К, 3) порождается подходящей Т-границей (см. §1.1), которые охарактеризованы, как определенные подмножества кольца В,п{К, 3). Идеалы ассоциированного кольца Ли образуют существенно более широкий класс. Естественно возникает задача

А) перенести на лиевы идеалы кольца■ Яп(К, 3) с сильно максимальным идеалом 3 метод построения (ассоциативных) идеалов, основанный на Т-границах.

Ее решению посвящены параграфы 1.2 и 1.3 главы Ь В §1.2 вводятся лиевы Т-границы (определение 1.2.1). Основная в §1.3 теорема 1 устанавливает описание лиевых идеалов кольца Нп(К,3) при условии, когда идеал 3 сильно максимален и для любого идеала I С 3 кольца К выполняется равенство 21 = I. Примерами сильно мак4 симальных идеалов являются максимальные идеалы в кольцах т > 0)[16] и, более общо, в области целостности главных идеалов, см. §1.1. Частным случаем теоремы 1 при 3 — 0 являются теорема 9 [15] и теорема 2 [5] о лиевых идеалах кольца ИТп{К) над1 полем К.

Напомним, что ассоциативное кольцо называют радикальным, если присоединенное умножение в нем является групповой операцией. Конечно, поиски аналога теоремы 1 для описания нормальных подгрупп присоединенной группы кольца Яп(К,,7) целесообразны лишь, когда кольцо Яп(К,«/) радикально, это условие равносильно квазирегулярности идеала <7. На алгебраическом семинаре МГУ и на семинаре "Алгебра и логика" (г. Новосибирск) в 1999 - 2000 гг. В.М. Левчук сформулировал следующую задачу

Б) исследовать гипотезу о существовании алгоритма построения нормальных подгрупп присоединенной группы радикального кольца Яп(К,,]) из его лиевых идеалов.

В 1976 году он доказал [5], что нормальные подгруппы присоединенной группы кольца ЫТп{К) - это, в точности, идеалы ассоциированного кольца Ли (полное их описание было дано, когда К - тело). Указанное структурное соответствие не переносится на кольца Яп(К,«/), как выявилось в [16]. Вопрос о характеризации радикальных колец с таким соответствием записан в [4], вопрос 10.19. Построенный в §1.2 пример 1.2.2 показывает, что для колец Яп(К, /) (п > 2) случай ,7 = 0 (с коммутативным кольцом К) является единственным, когда указанное структурное соответствие выполняется.

В §1.2 вводятся нормальные Г-границы (определение 1.2.3). Теорема 2 описывает нормальные подгруппы присоединенной группы кольца Яп(К,,1)] по существу, она дает алгоритм их получения из лиевых идеалов.

Пусть и С (К) - унипотентная подгруппа группы Шевалле (обычной или скрученной) типа С над К. Известно, что для типа С = Ап-1 она изоморфна присоединенной группе кольца МТп(К), так что описание ее нормального строения содержится в [5]. Нормальное строение для некоторых других типов исследовалось в [11], [17], [12]. В главе 2 исследуется задача

В) завершить описание нормального строения унипотентных подгрупп 1Ю(К) групп Шевалле над полем К для оставшихся классических типов. 5

В [11], [17], [12] нормальное строение группы 1Ю(К) над полем К характеристики ф 2 исследуется, наряду с описанием идеалов ассоциированного кольца Ли, по аналогии с [5], см. §2.1.

Таким образом, нормальное строение групп 1Ю(К) над полем К известно для всех классических типов С?, исключая типы 21)п (ортогональный случай) и 2Ап (унитарный случай). В §2.1 рассматривается введенное в [7] специальное представление унипотентных подгрупп групп Шевалле классических типов. Их нормальное строение для исключительных типов 2Бп и 2АЛ и задача (В) исследованы в основных теоремах 3 и 4 соответственно в §2.2 и §2.3.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [19, 22, 23, 24, 20, 25].

Результаты диссертации докладывались на алгебраических семинарах при Красноярском и Томском государственных университетах, ИМ СО РАН - НГУ. Они были представлены на "Мальцевских чтениях" и 4-й Международной алгебраической конференции (Новосибирск, 2000), на Международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения" (Красноярск, 2000), на Международном семинаре по теории групп (Екатеринбург, 2001) и на 2-м Всесибир-ском конгрессе женщин-математиков (Красноярск, 2002).

В заключение автор выражает благодарность своему научному руководителю Владимиру Михайловичу Левчуку за всестороннюю помощь и постоянное внимание к работе. 6

Наиболее употребительные обозначения и термины

Всюду далее К есть произвольное ассоциативно коммутативное кольцо с единицей, если не оговорено другое. Если Н - множество матриц, то его каноническая т)-проекция | Ца^Ц £ Н} обозначается через 7гкт{Н) или Через еиь обозначается матричная единица, у которой (м, г>)-проекция равна 1, а остальные проекции нулевые. Фиксируются также следующие обозначения: и С {К) - унипотентная подгруппа группы Шевалле типа О над К; 11Тп(К) - унитреугольная группа степени п над кольцом К; МТп(К) - кольцо (нижних) нильтреугольных матриц; Яп{К,,/) - кольцо всех п х п-матриц над К с элементами из идеала ,7 кольца К на и над главной диагональю. 7

1. С.Д. Берман. Нормальные делители группы треугольных матриц над конечным полем // Докл. и сообщ. Ужгор. ун-та, сер. физ.-мат. наук, 1960, №3, с.50.

2. С.Д. Берман. Нормальные делители 1-треугольных матриц над произвольным полем и над кольцом целых чисел // 10-й Всесоюзн. алгебр, колл., Резюме сообщ. и докл., т. 2, Новосибирск, 1969.

3. М.И. Каргаполов, Ю.И. Мерзляков. Основы теории групп. — М.: Наука, 1989.

4. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп). 12-е изд., ИМ СО РАН, Новосибирск, 1992.

5. В. М. Левчук. Связи унитреугольной группы с некоторыми кольцами // Алгебра и логика, 1976, 15, № 5, с. 558-578.

6. В. М. Левчук. Некоторые локально нильпотентные кольца и их присоединенные группы// Мат. заметки, 1987, 42, № 5, с. 631-641.

7. В.М. Левчук. Автоморфизмы унипотентных подгрупп групп Ше-валле // Алгебра и логика, 1990, 29, № 3, с.315-338.

8. В. М. Левчук. Коммутаторное строение некоторых подгрупп групп Шевалле //Укр. мат. журнал, 1992, 44, № 6, с. 786-795.

9. В.М. Левчук. Обобщенные унипотентные подгруппы классических групп II Фунд. и прикл. математика, 1996, 2, № 2, с.625-627.

10. Л. А. Мартынова. Нормальное строение и автоморфизмы унипотентных подгрупп групп лиевых типов (канд. дисс-я). — Москва, МГУ, 1994.

11. Р. Стейнберг. Лекции о группах Шевалле. — М.: Мир,1975.59

12. R. Carter. Simple groups of Lie type. — New York: Wiley and Sons, 1972.

13. R. Dubish, S. Perlis. On total nilpotent groups. — Amer. J. Math., 1951, 73, № 3, p. 439-452.

14. F. Kuzucuoglu, V. M. Levchuk. Ideals of some matrix rings:-Commun.Algebra, 28, № 7 (2000), p. 3503-3513.

15. V. M. Levchuk. Chevalley groups and their unipotent subgroups // Contemporary Mathematics, 1992, 131 (part 1), p. 227-242.

16. A. Weir. Sylow p-subgroups of the general linear group over finite fields of characteristic p. — Proc. Amer. Math. Soc., 1955, 6, № 3, p. 454-464.РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

17. В. М. Левчук, Г. С. Сулейманова. Нормальное строение унипо-тентной подгруппы группы Стейнберга над полем // Вестник КГТУ, вып. 16. — Красноярск: КГТУ, 1999, с. 44-48.

18. В. М. Левчук, Г. С. Сулейманова. Нормальное строение некоторых нильпотентных групп // В сб.: Международный семинар по теории групп, посвященный 70-летию А. И. Старостина и 80-летию Н. Ф. Сесекина. Тезисы докладов. Екатеринбург: УрГУ, 2001, с. 129-133.

19. В. М. Левчук, Г. С. Сулейманова. Нормальное строение присоединенной группы в радикальных кольцах Rn(K,J) //Сиб. мат. журнал, 2002 (в печати).

20. Г. С. Сулейманова. Об идеалах некоторых матричных лиевых колец //В сб. тезисов 4-й международной алгебраической конференции. — Новосибирск: ИМ СО РАН, 2000.

21. Г. С. Сулейманова. Нормальное строение максимальной унипо-тентной подгруппы унитарной группы над полем //В сб.: Симметрия и дифференциальные уравнения. — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2000, с. 206-209.

22. Г. С. Сулейманова. Об идеалах некоторых матричных лиевых колец //В сб.: Абелевы группы и модули, вып. 15. — Томск: ТГУ, 2000, с. 89-97.60

23. Г. С. Сулейманова. Нормальное строение некоторых 'нильпо-тентных групп //В сб. тезисов 2-го Всесибирского конгресса женщин-математиков. Красноярск: КрасГУ, 2002, с. 211-212.