Локальные автоморфизмы и локальные дифференцирования нильпотентных алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

—

На правах рукописи

Елиеова Анна Петровна

Локальные автоморфизмы и локальные дифференцирования нильпотентных алгебр

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

7 ФЕВ 2013

00504928Б

Красноярск - 2013

005049286

Работа выполнена в ФГАОУ ВПО "Сибирский федеральный университет"

Научный руководитель

д-р физ.-.мат. наук, профессор Левчук Владимир Михайлович

Официальные оппоненты:

Пожйдаев Александр Петрович, д-р физ.-ыат. наук, доцент, Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН, ведущий научный сотрудник

Старикова Ольга Александровна, канд. фйз.-мат. наук, Северо-Восточный государственный университет, кафедра. Высшей. математики, доцент

Ведущая организация

Национальный исследовательский Томский государственный университет

Защита состоится 22 февраля 2013 года в 14 часов на заседании, диссертационного совета Д 212.099.02 при ФГАОУ ВПО "Сибирский федеральный университет" по адресу: г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией, можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета.

Автореферат разослан /У января 2013 года.

Ученый секретарь ^

диссертационного совета <7/7 Вушуева Наталья Александровна

Общая характеристика работы 1

Актуальность темы. Изучение автоморфизмов и дифференцирований алгебр а колец имеет очень давнюю историю, [2], [3], [9] и др. Локальные автоморфизмы и локальные дифференцирования алгебр стали систематически изучаться с 90-х годов. Напомним, что локальный автоморфизм алгебры А - это любой ее модульный автоморфизм, действующий на каждый элемент а Є А как некоторый автоморфизм алгебры А, зависящий, вообще говоря, от а.

Тривиальные, локальные автоморфизмы дают автоморфизмы. Локальные дифференцирования аналогично обобщают дифференцирования; последние, как известно, образуют кольцо Ли,-, обозначаемое через Der А. Далее, Laut А -совокупность локальных автоморфизмов, a [.order А - совокупность локальных дифференцирований алгебры А.

D. Larson и А- Soüfpttr [1.2] доказали, что автоморфизмы й: антиавтоморфизмы комплексной матричной алгебры M (ri, С) исчерпывают ее локальные авто-морфизмьь Дифференцирования кольца А1(п, К) над коммутативным кольцом К с единицей исчерпывают, локальные дифференцирования, [15]. Близки к тривиальным также локальные автоморфизмы и локальный дифференцирования параболических (в частности, треугольных) подалгебр в M (п. К), [4], [10], [15]. Один из первых примеров" нетривиального локального автоморфизма достроил R. Crist [5] для подалгебры треугольных матриц в М(3,С) с попарно совпадающими элементами на каждой диагонали.

Проблемы описания локальных автоморфизмов и локальных дифференцирований исследовались для полупростых Банаховых алгебр,, операторных алгебр, супералгебр и др., [б]-[8], [11], [14], (16],. [І7].

К классическим шяьпотеитньщ алгебрам относится алгебра NT(n, К) нижних нильтреугольных пх п матриц над К, то есть матриц с нулями на глав-

1 Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 12-01-0096S) и проекта "АлгебрО-логические структуры и комплексный анализ с приложениями к передаче и защите информации" , вьшолияйьюму в рамках "Задание Ми-нобрнауки РФ"

ной диагонали и над ней; когда К - поле, ее автоморфизмы- еще в 1952 году огшеали R. Dubish и S. Perlis. Пусть К - произвольное ассоциативно коммутативное кольцо с единицей. В 1983 году в [1] описаны автоморфизмы алгебры R = NT (п. К), а также ассоциированной с ней алгебры Ли Л(Я); описание Der R и Der Л (R) дано в 2010 году в [13].

Открытыми остаются: следующие вопросы.

Проблема (А) . Выявить нетривиальные локальные автоморфизмы алгебр R, A(R) и описать Laut R, Laut Л (Я).

Проблема (Б). Выявить нетривиальные локальные дифференцирования алгебр R, A(R) и описать Loader R, Locder Л(Я).

Цель диссертации - исследовать проблемы (А) и (Б).

Методы исследования. Наряду с классическими методами общей теории групп, колец и алгебр, используются методы исследования линейных групп и колец, разработанные в красноярской алгебраической школе.

Научная новизна и пргцстическая ценность. Все основные результаты диссертации являются новыми. Работа носит.теоретический характер.

Апробация диссертации. Результаты диссертации апробировались на всероссийском симпозиуме " Абелевы группы" в Бийске (2010), всероссийской конференции "Алгебра, логика и методика обучения математике" в Красноярске (2010), на международных алгебраических конференциях в Киеве (Украина, 2012), Красноярске (2010), Новосибирске (2011, 2012). Екатеринбурге (2012), на VII Всесибиреком конгрессе женщин-математиков в Красноярске (2012). на международной малодакнОй школе-конференции "Современные проблемы математики" в Екатеринбурге (2012).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в: работах. [19]—[29]. Публикации [19] и [20] входят в издания из перечня ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена па 68 страницах. Olía состоит из введения, двух-глав и списка литературы, включающего 40

Наименований. Номер теоремы, леммы и др.'включает последовательно номер главы, параграфа и порядковый номер в параграфе.

Содержание диссертации

Основные результаты диссертации направлены на решение проблем (А) и (В) для алгебр R — /VT(n, К) и ассоциированных алгебр Ли А(Щ над ассоциативно коммутативным кольцом К с единицей. К ним относятся следующие:

- построены новые примеры нетривиальных локальных автоморфизмов и локальных дифференцирований алгеб'р R й А (Л);

- установлены редукционные теоремы для локальных автоморфизмов и локальных дифференцирований алгебр R (ri > 3) и Л(R) (и > 4);

- получено решение проблем (Л) и (Б) при п — 3;

- найдено описание Laut R. Laut A(R), Loader R, Loader Л (Я) и решение проблем (А) и (Б) в Случае, когда л = 4 и К - поле.

В §1.1 главы 1 диссертации, наряду с постановкой основных задач, рассматриваются общие свойства локальных дифференцирований и локальных автоморфизмов алгебр: показано, что они характеризуются (лемма 1.1.3) действием на порождающих алгебру как модуль (в отличие от тривиального, случая), доказано, что Laut Д но умножению i-иш композиции есть, группа (лемма 1.1,5) и др. В конце параграфа приведен список основных обозначений.

Всюду далее в главе 1 К есть произвольное ассоциативно коммутативное кольцо с единицей, К* - мультипликативная группа обратимых элементов кольца К и Л. — NT{ii,K) (п > 3), В § 1.2 .устанавливаются редукционные, теоремы для локальных дифференцирований и локальных автоморфизмов алгебры Я.

Очевидно, R как К ■- модуль порождают матричные единицы еу, 1 < j < i < п. При п > 4 и любом t G К введем отображение

ut : a -* ta-jie-ii + tös^e« + ••• + tam-2enn~2 (а = ||'ау || е R).

Теорема 1.2.1. Всякий локальный автолюрфизл* алгебры Я. с точностью до умножения на автоморфизм, тождественен на элементах ец-ь 1 < г < п, а при п > 4 действует по модулю. Я? па элементы е,,_2, 2 < г < п как 1 + ті при некотором 1 + ґ € К'.

Теорема 1.2.2. Всякое локальное дифференцирование алгебр-ы Я, с точностью до прибавления ее дифференцирования, является нулевым на элементах е«-і, 1 < г < п. а на элемента^ еа_г,. 2 < г < п при п > 4 совпадает, по модулю В/ с подходящим, отображением и>і-

Обе теоремы опубликованы в [20];: теорему 1.2.1 доказали автор и В.М. Левч чук в нераздельном соавторстве. Уточнение теорем при п > 4 дают леммы 1.2.13 и 1.2.14 о тривиальности локальных дифференцирований вида и локальных автоморфизмов вида 1+и>< (то есть і = 0); их существований при і Ф 0> когда п =4 и К - поле^ показало в лемме 2.1.1 из § 2.1. В § 1.3 сходную (но более' слабую) редукцию локальных лиевых автоморфизмов алгебры В дает

Теорема 1.3.1. При п > А всякий локальный автоморфизм алгебры Ли А(Я) действует по модулю Я2 как ее автоморфизм-

В §: 1.4 выявляются нетривиальные локальные дифференцирования вида 9т ■ а іа31ет, <рпп~2,і а ->іа^г-2епг (а = |]оу|| в Я);

6І: а -* іОпіет (а =* ||ауЦ € Я) (1)

при £ Є К и локальные автоморфизмы вида 1 ■+ <рзі,ь 1 + и І + $ при

1 ■+ £ Є К1. Их существование доказано (леммы 1.4.3 - 1.4.6 и 1.5.1), когда Кі єсть единственный минимальный ненулевой идеал в К, причем п > 3 для рзн И <Рпп-2,и И п - 3', 4 для ¿1.

В § 1.5 решеиие. проблем (А) и (В) для случая п — 3 дают две теоремы.

Теорема 1.5.2. Пусть Я = ДТТ(п,К) и п = 3. Тогда всякое локальное дифференцирование алгебры Я есть сумма диффереіщирования и локального дифференцирования вида (1), Всякий локальный автоморфизм алгебры Я есть произведение е.ё автоморфизма и локального автоморфизма вида 1 + 5е с обратимым элементом 1 + с.

Теорема 1.5.4. Если и = 3, то

Locder A(R) = Der A(R) + Locder R, Laut A(R) = Aut A(R) ■ Laut R.

Утверждение теоремы 1,5-2 о локальных автоморфизмах: доказано автором в [21]; утверждение о локальных дифференцированиях установлено позднее в [19] с соавторами. Теорема 1.5.4 опубликована в [20], включая доказательство первого равенства; второе равенство доказано в [18].

Вторая глава решает проблемы (А) и (Б) при п — 4, когда К - поле. Основным результатом § 2.1 является

Теорема 2.1.1. Всякое локальное дифференцирование алгебры R = NT(A,K) над полем К есть сумма дифференцирования и локальных дифференцирований вида <5< и wj. Всякий локальный автоморфизм есть, произведение ее автоморфизма, и локальных автоморф-измов вида l + 5ts 1 + wt

При t ф —1 U 1 + <p3l.it 1+V42,i-

В отличие от алгебры R (над полем К), ее ассоциированная алгебра Ли Л(Я) обладает (см. § 2.2) нетривиальными локальными автоморфизмами вида

7 : а —» а + (азіСц - аАІС2і)ец + (а42С22 - оаі^иїе« + ац{сцс22 + Ci2C2i)e«> 1 + pk •' а —« + &<ЧзЄ42 (а € R) при 7 = ||<5у|| Є GL(2, К}, 2сцс]2 = 2с2,с22 = О и любом к Є К. В § 2.3 доказана.

Теорема 2.3.1. Пусть я = 4 и К - поле. Всякий локальный лиев автоморфизм алгебры R над К есть произведение ее лиева автоморфизма, локального автоморфизма алгебры R и локальных лиевых автоморфизмов вида у. и 1 +

Теорема 2.3.2, доказанная в [20], дает аналогичной описание локальных лиевыхдифференцирований. Теоремы 2.1.1 и 2.3.1 опубликованы в [20], ас полными доказательствами - в [18].

Автор благодарна научному руководителю, профессору Левчуку Владимиру Михайловичу за постановку задач, и внимание к работе, Признательна сотрудникам .кафедры алгебры и математической логики и Института математики СФУ за хорошие условия работы над диссертацией.

Список литературы •

[1] Левчук В. М. Связи унатреугояьиой группы с некоторыми кольцами. И. Группы автоморфизмов // СМЖ. 1983. Т.24. № 4. C.S43-557.

[2] Мерзляков Ю. И. Линейные группы // В сб. Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. М.: ВИНИТИ. 19Г8. Т. 16. С. 35-89.

[3] Beidar К. I., Martindale III W. S., Mikhalev A. V. Rings with generalized identities // Marcel Dekker, Inc., New York. 1996. 522 p.

[4] Chengjun H.. Shengzhao H. Local automorphisms of nest algebras.// Indian J. Pure Appl, Math. 200.1, Vol. 32. № 11. P. 1667-1678.

[5] Crist R. Local automorphisms .// Proc. AMS. 2000. Vol. 128. P. 1409-1-114.

[6] Crist R, Local derivations on operator algebras // J.. Fimct. Anal, 1996. Vol. 135. P. 72-92.

[7] Fosner A. A note on local automorphisms // Czech. Math. J. 2006. Vol. -56. № 3. P. 081-986.

[8]' Hadwin D., Li J. Local derivations and. local automorphisms //' J. Math. Analysis and Appl. 2004. Vol. 290. P. 702-714.

[0] Hahn A. J., James D.G.. WeisfeilerB. Homomorphisms of algebraic aiid classical groups: a survey. - Can, Math. Soc. Conf, Proc. - 1984. - №4. - P. 249-296.

[10] Han D., Wei S. Local derivations of nest algebras // Proc. AMS. 1995. Vol. 123. № 10. P. 3095-3100.

[1.1] Kadison R. Local derivations // J. Algebra- 1990. Vol. 130. P, 494-509.

[12] Larson D. R.. Sourour A. R.. Local Derivations and local automorphisms of B(H) // Proc. Sympos. Pure Math. 1990. Vol. 51. P. 187-194.

[13] Levchuk V. M., Radchenko О. V. Derivations of the locally nilpotent matrix • rings // J. Algebra and Appl. 2010. Vol. 9. № 5. P. 717-724.

[14] Moblar L. Local automorphisms of operator algebras on Banach spaces /'/ Proc. AMS. 2003. Vol. 131. P. 1807-1874.

[15] Nowicki A., Nowosad I. Local derivations of subrings. of matrix rings // Acta Matheraatica Hungarica. 2004. Vol. 105. № 1-2. P. 145450.

[1G| Semrl P. Local automorphisms and dérivations on B(H) /'/ Proc. AMS. 1997. Vol. 125. P. 2677-2680..

[17] Wang X. Local derivations of a matrix algebra over a commutative ring //' J. Math, Research and Exposition. 2011. Vol. 31. № 5. P. 781-790.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[18] Елисова А. П. Локальные автоморфизмы нильпотеитных алгебр матриц малых порядков // Известия вузов. Математика. 2013. №2. С. 40-48.

[19] Елисова А. П., Зотов И.Н., Левчук В.М., Сулейманова Г.С. Локальные автоморфизмы и локальные дифферепдирования нильпотеитных матричных алгебр // Известия ИГУ. 2011. Т.4. № 1. С. 9-19.

[20]. Елисова А. П. Локальные дифференцирования и автоморфизмы нильпо-тентных алгебр матриц малых порядков // Вестник. СибГАУ. 2012. Т.44. №4. С. 17-21.

[21] Елисова А. П. Локальные автоморфизмы алгебры иильтрёуголышх матриц над кольцом // Материалы Всерое. конф. "Алгебра, логика и методика обучения математике"/ Красноярск: КГПУ. 2010: С. 37-42.

[22] Елисова А- П. Локальные автоморфизмы нильпотеитных матричных алгебр над кольцами // Тезисы докладов Межд. конф. "Алгебра, логика н приложения" / Красноярск: СФУ. 2010. С. 35-37.

[23] Елисова А. П. Нетривиальные локальные автоморфизмы кольца NT(n, К) нильтреугольных матриц над ассоциативно коммутативными кольцами // Материалы Bcepôc. симп. " Абелёвы группы"/ Бийск: ВШУ. 2010. С. 31-33.

[24] Елисова А. П. Локальные автоморфизмы и дифференцирования алгебр иильтреуголышх матриц // Тезисы докладов Межд. конф. по теории колец / Новосибирск: ИМ СО РАН. 2011. С. 8-10.

[25] Елисова А. П. Локальные автоморфизмы лиевых алгебр нильтреугольт-ных матриц малых: размерностей // Тезисы докладов Межд. молодежной школы-конф. "Современные проблемы математики"/ Екатеринбург: ИММ УрО РАН. 2012. С. 33-35.

[26] Елисова А. П. Локальные автоморфизмы и дифференцирования нильпо-тентиых алгебр матриц // Тезисы докладов Межд. конф. "Алгебра и линейная оптимизация"/ Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2012. С. 65-66.

[27] Елисова Л. П. Локальные автоморфизмы и дифференцирования ниль-потентных матричных алгебр // Материалы VII Всесибир. конгресса жецщии-матсм. / Красноярск: СФУ. 2012. С.59-61.

[28] Elisûva A. Local automorphisms' and derivations öf nilpotent matrix algebras // Int. Coüf: on Algebra / Kyiv: Ukrainian NAS. 2012. P, 46.

[29] Елисова А. П. Локальные автоморфизмы и локальные дифференцирования алгебры NT(n,K) // Тезисы докладов Межд. конф. "Мальцевские чтения - 2012" [Электронный ресурс] / Новосибирск: ИМ СО РАН. 2012. С. 100. http : //math.nsc.г iij con fer епсе/mal meet/12/malmeet J2Q12.pdf

автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЕЛИСОВА Анна Петровна

Локальные автоморфизмы

и локальные дифференцирования нильпотентных алгебр

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

на правах рукописи

Подписано в печать 14.01.2013. Печать плоская. Формат 60x84/16 Бумага офсетная. Усл. печ. л. 0,75. Тираж 100 экз. Заказ № 52

Отпечатано полиграфическим центром Библиотечно-издательского комплекса Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр Свободный, 82а, тел.: +7(391) 206-26-49, 206-26-67, E-mail: print_sfu@mail.ru

Введение

1 Локальные дифференцирования и локальные автоморфизмы алгебр

1.1 Общие свойства и постановка основных задач

1.2 Редукционные теоремы для алгебры R — NT(n, К)

1.3 Редукция для ассоциированной алгебры Ли (п > 4)

1.4 Примеры нетривиальных локальных дифференцирований и автоморфизмов алгебры R.

1.5 Локальные автоморфизмы и локальные дифференцирования алгебр R и А(Я), R = А/Т(3, К).

2 Локальные дифференцирования и автоморфизмы алгебр R и A(R) при п — 4 над полем

2.1 Группы Laut R и Loader R, R = NT{4, К).

2.2 Нетривиальные локальные лиевы дифференцирования и автоморфизмы.

2.3 Группы Laut A(R) и Locder A(/?.), R = NT{A, К)

Изучение автоморфизмов и дифференцирований алгебр и колец имеет очень давнюю историю, [1], [5]-[8], [15], [19], [22] и др. Локальные автоморфизмы и локальные дифференцирования алгебр стали систематически изучаться с 90-х годов. Напомним, что локальный автоморфизм алгебры А - это любой ее модульный автоморфизм, действующий на каждый элемент a £ А как некоторый автоморфизм алгебры Д зависящий, вообще говоря, от а.

Тривиальные локальные автоморфизмы дают автоморфизмы. Локальные дифференцирования аналогично обобщают дифференцирования; последние, как известно, образуют кольцо Ли, обозначаемое через Der А. Далее, Laut А - совокупность локальных автоморфизмов, a Locder А - совокупность локальных дифференцирований алгебры А.

D. Larson и A. Sourour [20] доказали, что автоморфизмы и антиавтоморфизмы комплексной матричной алгебры М(п, С) исчерпывают ее локальные автоморфизмы. Дифференцирования кольца М(п, К) над коммутативным кольцом К с единицей исчерпывают локальные дифференцирования, [24]. Близки к тривиальным также локальные автоморфизмы и локальные дифференцирования параболических (в частности, треугольных) подалгебр в М{п.К), [10], [16], [18], [24]. Один из первых примеров нетривиального локального автоморфизма построил R. Crist [11] для подалгебры треугольных матриц в М(3, С) с попарно совпадающими элементами на каждой диагонали.

Проблемы описания локальных автоморфизмов и локальных дифференцирований исследовались для полупростых Банаховых алгебр, операторных алгебр, супсралгебр и др., [9], [ 11]-[14], [17], [23], [26] - [28].

К классическим нильпотентным алгебрам относится алгебра NT{n, К) нижних нильтреугольных п х п матриц над К, то есть матриц с нулями на главной диагонали и над ней; когда К - поле, ее автоморфизмы еще в 1952 году описали R. Dubish и S. Perlis. Пусть К - произвольное ассоциативно коммутативное кольцо с единицей. В 1983 году в [4] описаны автоморфизмы алгебры R = NT{n: К), а также ассоциированной с ней алгебры Ли А(І?); описание Der R и Der A(R) дано в [21], [25].

Открытыми остаются следующие вопросы.

Проблема (А). Выявить нетривиальные локальные автоморфизмы алгебр R, А(R) и описать Laut R, Laut A(R).

Проблема (Б). Выявить нетривиальные локальные дифференцирования алгебр R, А(R) и описать Boeder R, Locder A(R).

Цель диссертации - исследовать проблемы (А) и (Б).

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, включающего 40 наименований. Номер теоремы, леммы и др. включает последовательно номер главы, параграфа и порядковый номер в параграфе.

1. Автоморфизмы классических групп // Сб. перевод, ин. ст. (ред. Мерзляков Ю. И.) - М.: Мир. 1976. 264 с.

2. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре // СПб.: Лань, 2007.

3. Левчук В. М., Минакова Е.В. Элементарная эквивалентность и изоморфизмы локально-нильпотентных матричных групп и колец // Доклады РАН. 2009. Т.425. № 2. С. 165-168.

4. Левчук В. М. Связи унитреуголыюй группы с некоторыми кольцами. II. Группы автоморфизмов // Сиб. матем. журн. 1983. Т.24. № 4. С.543-557.

5. Мерзляков Ю. И. Линейные группы // В сб. Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. М.: ВИНИТИ. 1978. Т.16. С. 35-89.

6. Bcidar К., Chebotar М. On Lie derivations of Lie ideals of prime algebras // Israel J. Math. 2001. Vol. 123. P. 131-148.

7. Beidar К. I., Martindale III W. S., Mikhalev A. V. Rings with generalized identities // Marcel Dekker, Inc., New York. 1996. 522 p.

8. Bresar M., Chebotar M., Semrl P. On derivations of prime rings // Comm. Algebra. 1999. Vol. 27. № 7. P. 3129-3135.

9. Bresar M., Semrl P. Mappings which preserve idempotents, local automorphisms and local derivations // Canad. J. Math. 1993. Vol. 45. № 3. P. 483-496.

10. Chengjun H., Sheugzhao H. Local automorphisms of nest algebras // Indian J. Pure Appl. Math. 2001. Vol. 32. № 11. P. 1667-1678.

11. Crist R. Local automorphisms // Proc. AMS. 2000. Vol. 128. P. 1409-1414.

12. Crist R. Local derivations on operator algebras //J. Funct. Anal. 1996. Vol. 135. P. 72-92.

13. Fosner A. A note on local automorphisms // Czech. Math. J. 2006. Vol. 56. № 3. P. 981-986.

14. Hadwin D., Li J. Local derivations and local automorphisms // J. Math. Analysis and Appl. 2004. Vol. 290. P. 702-714.

15. Hahn A. J., James D.G., Weisfeiler B. Homomorphisms of algebraic and classical groups: a survey. // Can. Math. Soc. Conf. Proc. 1984. №4. P. 249-296.

16. Han D., Wei S. Local derivations of nest algebras // Proc. AMS. 1995. Vol. 123. № 10. P. 3095-3100.

17. Kadison R. Local derivations // J. Algebra. 1990. Vol. 130. P. 494509.

18. Kim Sang Og, Kim Ju Seon. Local automorphisms and derivations on Mn 11 Proc. AMS. 2004. Vol. 132. № 5. P. 1389-1392.

19. Kuzucuoglu F., Levchuk V. The automorphism group of certain radical matrix rings //J. Algebra. 2001. Vol. 243. P. 473-485.

20. Larson D. R., Sourour A. R. Local Derivations and local automorphisms of B(H) // Proc. Sympos. Pure Math. 1990. Vol. 51. P. 187-194.

21. Levchuk V. M., Radchenko 0. V. Derivations of the locally nilpotent matrix rings //J. Algebra and Appl. 2010. Vol. 9. № 5. P. 717-724.

22. Martindale III W.; Miers C. Herstein's Lie theory revisited // J. Algebra. 1986. Vol. 98. P. 14-37.

23. Molnar L. Local automorphisms of operator algebras on Banach spaces // Proc. Amer. Math. Soc. 2003. Vol. 131. P. 1867-1874.

24. Nowicki A., Nowosad I. Local derivations of subrings of matrix rings // Acta Mathematica Hungarica. 2004. Vol. 105. № 1-2. P. 145-150.

25. Ou S., Wang D., Yao R. Derivations of the Lie algebra of strictly upper triangular matrices over a commutative ring // Linear Alg. Appl. 2007. Vol. 424. P. 378-383.

26. Semrl P. Local automorphisms and derivations on B(H) // Proc. AMS. 1997. Vol. 125. P. 2677-2680.

27. Semrl P. Local automorphisms and derivations of operator algebras // Clas. Mat. Ser. III. 1984. Vol. 19 (39). № 1. P. 135-138.

28. Wang X. Local derivations of a matrix algebra over a commutative ring // J. Math. Research and Exposition. 2011. Vol. 31. № 5. P. 781-790.РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

29. Елисова А.П. Локальные автоморфизмы нильпотентных алгебр матриц малых порядков // Известия вузов. Математика. 2013. №2. С. 40-48.

30. Елисова А.П., Зотов И.Н., Левчук В.М., Сулейманова Г.С. Локальные автоморфизмы и локальные дифференцирования нильпотентных матричных алгебр // Известия ИГУ, Иркутск. 2011. Т.4. № 1. С. 9-19.

31. Елисова А.П. Локальные дифференцирования и автоморфизмы нильпотентных алгебр матриц малых порядков // Вестник СибГАУ. 2012. т. С. 17-21.

32. Елисова А.ГІ. Локальные автоморфизмы алгебры нильтре-угольных матриц над кольцом // Материалы Всерос. конф. "Алгебра, логика и методика обучения математике" . Красноярск: КГПУ. 2010. С. 37-42.

33. Елисова А. П. Локальные автоморфизмы нильпотентных матричных алгебр над кольцами // Тезисы докл. Межд. конф. "Алгебра, логика и приложения". Красноярск: СФУ. 2010. С. 35-37.

34. Елисова А. П. Нетривиальные локальные автоморфизмы кольца NT(n, К) нильтреугольных матриц над ассоциативно коммутативными кольцами // Материалы всерос. симпозиума "Абе-левы группы". Бийск: БГПУ. 2010. С. 31-33.

35. Елисова А. П. Локальные автоморфизмы и дифференцирования алгебр нильтреугольных матриц // Тезисы докл. Межд. конф. по теории колец, Новосибирск: ИМ им. С.Л.Соболева СО РАН. 2011. С. 8-10.

36. Елисова А. П. Локальные автоморфизмы лиевых алгебр нильтреугольных матриц малых размерностей // Тезисы докл. Межд. молодежной школы-конф. "Современные проблемы математики". Екатеринбург: ИММ УрО РАН. 2012. С. 33-35.

37. Елисова А.П. Локальные автоморфизмы и дифференцирования нильпотентных алгебр матриц // Тезисы докл. Межд. конф. "Алгебра и линейная оптимизация". Екатеринбург: ИММ УрО РАН. 2012. С. 65-66.

38. Елисова А. П. Локальные автоморфизмы и дифференцирования нильпотентных матричных алгебр // Материалы VII Всс-сибир. конгресса женщин-математиков, Красноярск: СФУ. 2012. С.59-61.

39. Elisova A. Local automorphisms and derivations of nilpotent matrix algebras // Int. Conf. on algebra, Kyiv, Ukrainian National Academy of Sciences. 2012. P. 46.