Почти регулярные автоморфизмы нильпотентных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Российская академия наук Сибирское отделение Институт математики им. С. Л. Соболева

Диссертационный совет Д 002.23.01

На правах рукописи

Макаренко Наталья Юрьевна

ПОЧТИ РЕГУЛЯРНЫЕ АВТОМОРФИЗМЫ НИЛЬПОТЕНТНЫХ ГРУПП

(01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск 1995

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук профессор Е.И.Хухро.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук В. В. Беляев, кандидат физико-математических наук В. А. Чуркин.

Ведущая организация — Институт математики и механики УрО РАН.

Зашита диссертации состоится_ 1996 г. в

_ часов на заседании диссертационного совета Д 002.23.01

при Институте математики СО РАН по адресу: 630090 Новосибирск, Университетский пр., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН.

Автореферат разослан_ 1996 г.

секретарь „^

диссертационного

совета к. ф.-м. н. у . //Р^О С.Т.Федоряев

/

Общая характеристика работы

Предмет и актуальность темы. Одним из важнейших направлений современной теории групп является изучение групп, допускающих автоморфизмы с теми или иными свойствами. Существует тесная взаимосвязь между группой и ее автоморфизмами. Например, имеется немало результатов, показывающих, что строение группы жестко обусловлено строением централизатора автоморфизма. Автоморфизмы являются одним из эффективных инструментов при исследовании различных классов групп (например, р-групп), поскольку каждый элемент индуцирует внутренний автоморфизм, действуя сопряжением на группе.

Среди проблем, связанных с автоморфизмами, одно из центральных мест занимает изучение групп, допускающих автоморфизмы с малым числом неподвижных точек. Еще в 1902 г. Бернсайд установил, что конечная группа тогда и только тогда является абелевой группой нечетного порядка, когда она допускает регулярный, т.е. без нетривиальных неподвижных точек, автоморфизм порядка 2. Новым стимулом для развития этого направления явились фундаментальные результаты Дж. Томпсона [19] и Г.Хигмэна [12], из которых следует, что любая конечная группа, допускающая регулярный автоморфизм простого порядка р, нильпотентна, причем ступень нильпотентности ограничена некоторой функцией /г(р), зависящей только отр (коротко,р-ограниченной). Функция /г(р) была явно оценена сверху А. И. Кострикиным и В. А. Крекниным [2, 3].

Напомним, что автоморфизм называется почти регулярным, если число неподвижных точек конечно. В классе конечных групп изучение почти регулярных автоморфизмов предполагает, что ищутся ограничения на строение группы в зависимости от числа неподвижных точек и порядка автоморфизма. В настоящее время усилиями многих авторов, в

том числе Б.Хартли, Т.Майкснера, Э.Шульта, Ф.Гросса, Т.Бергера и др., для конечных групп с почти регулярными автоморфизмами (с использованием классификации конечных простых групп) получены оценки нильпотентной длины самой группы или подгруппы ограниченного индекса. Поэтому исследование групп с почти регулярными автоморфизмами, в определенном смысле, сводится к случаю нилыютент-ных групп. Наиболее значительные результаты в этом направлении получены Дж. Альпериным [9], Е. И. Хухро [6, 7, 8], А. Шалевым [18], Ю.А.Медведевым [17].

Цель работы. Целью данной диссертации является изучение нильпотентных групп, допускающих почти регулярные автоморфизмы.

Во-первых, доказано, что если нильпотентная 2-группа допускает автоморфизм порядка 4, имеющий ровно 2т неподвижных точек, то она содержит подгруппу т-ограниченного индекса, коммутант которой нильпотентен ступени < 3.

Во-вторых, доказана почти нильпотентность коммутанта кольца Ли, допускающего почти регулярный автоморфизм порядка 4, и этот результат применяется к изучению нильпотентных 2'-групп с почти регулярным автоморфизмом порядка 4.

В-третьих, для нильпотентной группы, допускающей почти регулярный автоморфизм простого порядка, получена не-улучшаемая оценка ступени нильпотентности некоторой подгруппы, фактор по которой имеет ограниченный период.

Методика исследований. Близость нильпотентных групп к коммутативным позволяет применять для их изучения линейные методы. Для доказательства теорем применяется техника присоединенных колец Ли и групповых колец, развивается метод обобщенных централизаторов, созданный Е. И. Хухро в [7] для изучения колец Ли и нильпотентных

групп с почти регулярными автоморфизмами простого порядка.

Научная новизна работы. Все основные результаты работы являются новыми. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации и методы могут быть использованы в дальнейших исследованиях более общих ситуаций. В особенности это относится к изучению нильпотентных периодических групп и колец Ли с почти регулярными автоморфизмами произвольного порядка.

Публикации и апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах Института математики СО РАН и НГУ "Алгебра и логика" и "Теория групп", они были представлены на III Международной конференции по алгебре в г. Красноярске, 1993, на Международной конференции "Finite and locally finite groups" в г. Стамбуле, 1994, на Все-украинской научной конференции "Разработка и применение математических методов в научно-технических исследованиях" в г. Львове, 1995.

Основные результаты опубликованы в работах [20-29]. Теоремы о нильпотентных 2'-группах с почти регулярными автоморфизмами порядка 4 получены совместно с Е. И. Хухро в [25].

Структура работы. Диссертация состоит из введения и 4-х глав. Она изложена на 65 страницах, библиография содержит 29 наименований.

Содержание диссертации

Перейдем к более подробному изложению содержания работы.

Первая глава носит вспомогательный характер. Здесь изучаются некоторые общие свойства нильпотентных групп, колец Ли и их автоморфизмов, излагаются известные результаты, вводятся необходимые определения и обозначения.

Во второй главе исследуются нилыютентные 2-группы, допускающие почти регулярные автоморфизмы порядка 4. В 1962 г. Дж. Альперин [9] доказал, что если конечная р-группа (7 допускает автоморфизм простого порядка р, имеющий ровно рт неподвижных точек, то ступень разрешимости группы в не превосходит некоторой функции от р и т. Е. И. Хухро [6] показал, что в этой ситуации группа б содержит подгруппу Ох, индекс которой ограничен функцией, зависящей только от р и т, а ступень нильпотентности ограничена функцией, зависящей только от р. Для автоморфизма составного порядка аналог теоремы Дж. Альперина получил недавно А. Шалев [18], который оценил ступень разрешимости конечной р-группы, допускающей почти регулярный автоморфизм порядка рь, в терминах р,к и числа неподвижных точек автоморфизма. Е. И. Хухро [8] усилил результат А.Шалева, доказав, что при тех же условиях в группе существует подгруппа, ступень разрешимости которой зависит только от порядка автоморфизма, а индекс ограничен функцией от порядка и числа неподвижных точек автоморфизма. Целью второй главы является усиление теоремы Шалева-Хухро для случая автоморфизма порядка 4:

Теорема 1. Если нилъпотентная 2-группа (? допускает автоморфизм порядка 4, имеющий ровно 2Ш неподвижных точек, то в группе (7 существует нормальная подгруппа, индекс которой ограничен в терминах т, а коммутант ниль-потентен ступени < 3.

Эта теорема для случая 2-групп положительно отвечает на вопрос 11.126 П.В.Шумяцкого из "Коуровской тетради" [4].

Отметим, что по теореме Л. Ковача [16] второй коммутант локально конечной или локально нильпотентной группы С, допускающей регулярный автоморфизм порядка 4, лежит в центре группы С. Если группа С — нильпотентная периодическая, то, в частности, легко показать, что ступень нильпотентности подгруппы

в этой ситуации не превосходит 3. Можно дать аналогичное заключение для почти регулярного автоморфизма порядка 4 нильпотентной 2-группы. А именно, справедлива

Теорема 2. Если нильпотентная 2-группа допускает автоморфизм у порядка 4, имеющий ровно 2т неподвижных элементов, то в группе О существует <р-инвариантная нормальная подгруппа Н, индекс которой ограничен в терминах т, а ступень нильпотентности подгруппы [Н, <уз2] = £ Н) не превосходит 3.

Заметим, что в силу локальной теоремы Мальцева достаточно доказать теоремы 1 и 2 для конечно порожденных, а следовательно, конечных групп, удовлетворяющих их условиям, поэтому будем далее предполагать, что группа С в условии теорем 1 и 2 конечна. Ввиду этого замечания из теоремы 2 легко вытекает теорема 1. Достаточно рассмотреть фактор-группу Н/[Н,(р2]. На этой фактор-группе автоморфизм </э2 действует тождественно. В силу теоремы Б.Хартли и Т.Майкснера [10] отсюда следует существование нормальной абелевой подгруппы в Н/[Н,<р2], индекс которой в Я/[Я, <р2] ограничен в терминах т. Прообраз этой подгруппы удовлетворяет заключению теоремы 1.

Из теоремы Хухро-Шалева [8, 18] следует, что группа (7, удовлетворяющая условию теоремы 2, содержит подгруппу,

индекс которой ограничен в терминах ш, а ступень разрешимости ограничена некоторой константой, поэтому с самого начала можно считать, что группа б разрешима. Доказательство теоремы 2 ведется индукцией по ступени разрешимости группы б. На каждом шаге рассматривается расширение абелевой группы с помощью с-ступенно нильпотентной. Использование техники присоединенного кольца Ли (лемма 2.1.1) и двойное применение теоремы Ф. Холла (лемма 1.1.1) позволяют свести этот случай к двум более простым:

1) расширение абелевой группы V с помощью группы А, у которой порядок коммутанта не превосходит некоторой функции, зависящей только от ступени разрешимости группы О и числа неподвижных точек тп (§ 2.2, предложение 2.2.1);

2) расширение абелевой группы V с помощью группы А, у которой порядок третьего члена нижнего центрального ряда не превосходит некоторой функции, зависящей только от ступени разрешимости группы (7 и числа неподвижных точек то (§ 2.2, предложение 2.2.2).

Для изучения этих двух случаев применяется техника групповых колец. -

Третья глава диссертации посвящена изучению колец Ли и нильпотентных периодических 2'-групп с почти регулярными автоморфизмами порядка 4. По теореме Крекнина [2], если кольцо Ли Ь допускает регулярный автоморфизм конечного порядка га, то оно разрешимо ступени, ограниченной в терминах п. Если порядок автоморфизма п — простое число, то кольцо Ь даже нильпотентно п-ограниченной ступени (теорема Хигмэна-Крекнина-Кострикина [12, 2, 3]). Естественно предположить, что если кольцо Ли Ь допускает автоморфизм <р конечного порядка п с конечным числом тп неподвижных точек, то оно будет обладать свойствами, близкими (в терминах т) к разрешимости га-ограниченной ступени. В случае автоморфизма простого порядка п Е. И.Хухро [7] доказал, что тогда

Ь содержит подкольцо (т, гс)-ограниченного индекса в аддитивной группе, которое нильпотентно п-ограниченной ступени. Для автоморфизма составного порядка аналогичное обобщение теоремы Крекнина в общем случае пока не получено. Следующая теорема описывает строение колец Ли, допускающих автоморфизм порядка 4 с малым числом неподвижных точек.

Теорема 3. Если кольцо Ли Ь допускает автоморфизм у порядка 4 с конечным числом т, неподвижных точек, то подкольцо АЬ содержит идеал М, обладающий подколъ-цом т-ограниченного индекса в аддитивной группе М, которое нильпотентно ступени, ограниченной константой, а фактор-кольцо АЬ/М содержит подкольцо т-ограниченного индекса в аддитивной группе АЬ/М, которое нильпотентно ступени < 2.

Эта теорема обобщает известный факт о том, что коммутант кольца Ли, допускающего регулярный автоморфизм порядка 4, нильпотентен ступени < 3 (можно считать, что это было установлено в работе Л. Ковача [16] — хотя в ней рассматривались только нильпотентные группы, утверждение для колец Ли доказывается проще, см. также гл. 4 в [15]). Заметим, что для приложений в теории групп представляют интерес кольца с условием АЬ = Ь. Для конечных колец Ли это условие несущественно.

Следствие 1. Если конечное кольцо Ли Ь допускает автоморфизм 1р порядка 4 с конечным числом т неподвижных точек, то кольцо Ь содержит идеал М, обладающий под-кольцом т-ограниченного индекса в аддитивной группе М, которое нильпотентно ступени, ограниченной константой, а фактор-кольцо Ь/М содержит подкольцо т-ограниченного индекса в аддитивной группе Ь/М, которое нильпотентно ступени < 2.

Отметим также следствие в общей ситуации.

Следствие 2. Если кольцо Ли Ь допускает автоморфизм <р порядка 4 с конечным числом т неподвижных точек, то подкольцо [Ь, <р2} = I + | I £ содержит подкольцо т-ограниченного индекса в аддитивной группе [Ь, у)2], которое нильпотентно ступени, ограниченной некоторой константой.

В доказательстве используются некоторые идеи и результаты из работы Е. И. Хухро [7], развивается и усложняется метод обобщенных централизаторов.

Результаты о кольцах Ли применяются для изучения ниль-потентных 2'-групп с почти регулярными автоморфизмами порядка 4. Сначала доказывается основное предложение, в котором устанавливается наличие субнормального ряда тв-ограниченной длины, наименьший член которого нильпотен-тен ступени, ограниченной некоторой константой, а остальные факторы ряда либо имеют т-ограниченный порядок, либо централизуются квадратом автоморфизма и потому обладают подгруппами тп-ограниченного индекса, которые нилыютент-ны ступени < 2. Трудности при переходе от групп к кольцам Ли и обратно преодолеваются так же, как в работе [7], с помощью индукции по некоторому сложному параметру. Далее, с помощью известной леммы 1.1.3 и леммы 3.4.2 доказывается основной результат третьей главы (полученный совместно с Е. И. Хухро) — теорема 4.

Теорема 4. Если нилъпотентная периодическая группа (7 допускает автоморфизм порядка 4, имеющий ровно т неподвижных точек, то

а) подгруппа [С, содержит подгруппу т-ограниченно-го индекса в [С, </>2]> которая нильпотентна т-ограниченной ступени, и

б) группа (7 содержит подгруппу V т-ограниченного

индекса такую, что подгруппа [V, </>2] нилъпотентна т-ограниченной ступени.

Из теоремы 4 легко получить

Следствие. Если нильпотентная периодическая группа С допускает автоморфизм порядка 4, имеющий ровно т неподвижных точек, то она обладает нормальным рядом

С > С?1 > С2 >

где порядки и |С2/С?з| т-ограничены, фактор-группа

Сх/б^ коммутативна, а подгруппа С?3 нилъпотентна неограниченной ступени.

В теореме 4 можно получить несколько иное заключение с неулучшаемой оценкой ступени нильпотентности.

Теорема 5. Если нильпотентная периодическая группа О допускает автоморфизм порядка 4, имеющий ровно т неподвижных точек, то она содержит подгруппу т-ограничен-ного индекса V такую, что для некоторого т-ограниченного числа /(т) подгруппа [У, ¡р2]-"т) нилъпотентна ступени < 3.

(Здесь через [V, (р2]*^ обозначается подгруппа, порожденная всеми /(ш)-ми степенями элементов из [У, </?2].)

Следствие. Если нильпотентная периодическая группа С допускает автоморфизм порядка 4, имеющий ровно т неподвижных точек, то она обладает нормальным рядом

с > в! > в2 > Сз,

где фактор-группа \0/0\\ имеет т-ограниченный порядок, фактор-группа (?!/(тг коммутативна, фактор-группа (Зг/^з имеет т-ограниченный период, а подгруппа 03 нилъпотентна ступени < 3.

Поскольку во второй главе получены в определенном смысле неулучшаемые результаты в случае 2-групп, то для доказательства теорем 4 и 5 достаточно ограничить свое внимание 2'-группами.

Заметим, что в целом "немодулярный" случай значительно сложнее "модулярного". Так, исследование р'-групп с почти регулярными автоморфизмами простого порядка р привело в [7] к построению довольно сложного метода обобщенных централизаторов. В настоящее время, несмотря на то, что при изучении р-автоморфизмов нильпотентных р-групп достигнут большой прогресс, ор'-группах, допускающих р-автоморфизмы составного порядка, пока ничего не известно, за исключением регулярного автоморфизма порядка 4 (теорема Л. Ковача [16]). К сожалению, даже для регулярных автоморфизмов составного порядка теорема Крекнина [2] о разрешимости колец Ли не дает возможности оценить ступень разрешимости нильпо-тентной группы с регулярным автоморфизмом, поскольку нет хорошего соответствия между ступенями разрешимости ниль-потентной группы и ее присоединенного кольца Ли. Результаты третьей главы — продвижение в этом направлении.

В четвертой главе рассматриваются нильпотентные группы, допускающие почти регулярный автоморфизм простого порядка. В [7] Е. И. Хухро обобщил теорему Хигмэна-Крекнина-Кострикина [12, 2, 3] о регулярных автоморфизмах нильпотентных периодических групп на случай почти регулярного автоморфизма, доказав, что если нильпотентная периодическая группа допускает автоморфизм простого порядка р, имеющий ровно п неподвижных точек, то группа содержит подгруппу (р, п)-ограниченного индекса, ступень нильпотентности которой не превосходит некоторой функции, зависящей только от р. Позже Ю.А.Медведев [17] показал, что условие периодичности группы можно опустить. В четвертой главе получено несколько иное заключение в теореме Хухро—Медведева с не-

улучшаемой оценкой ступени нильпотентности.

Теорема 6. Если нильпотентная группа G допускает автоморфизм простого порядка р, имеющий ровно т неподвижных точек, то для некоторого числа s(p,m), ограниченного в терминах р и т, подгруппа, порожденная всеми s(p,m)-Mu степенями, нильпотентна ступени < h(p), где h(p) — функция Хигмэна.

Заметим, что здесь в случае р-групп индекс подгруппы, порожденной s(p, ш)-ми степенями, также ограничен в терминах . р и т.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Е. И. Хухро за всестороннюю помощь в работе, а также всем участникам семинара "Теория групп" во главе с профессором В. Д. Мазуровым за внимание и поддержку.

Автор также признателен Российскому фонду фундаментальных исследований (грант 94-0100048) и Международному научному фонду (грант NQ7000 и соросовская стипендия N а 325-м) за финансовую поддержку.

Литература

1. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. 3-е изд. М.: Наука, 1982. 288 с.

2. Крекнин В. А. Разрешимость алгебр Ли с регулярными автоморфизмами конечного периода // ДАН СССР. 1963. Т. 150,N 3. С. 467-469.

3. Крекнин В. А., Кострикин А. И. Алгебры Ли с регулярными автоморфизмами // ДАН СССР. 1963. Т. 149, N 2. С. 249-251.

4. Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь. 12-е изд. Новосибирск, 1992. 146 с.

5. Холл М. Теория групп. М.: Изд-во иностр. лит., 1966. 468 с.

6. Хухро Е. И. Конечные р-группы, допускающие автоморфизм порядка р с малым числом неподвижных точек // Мат. заметки. 1985. Т. 38, N 5. С. 652-657.

7. Хухро Е. И. Кольца Ли и группы, допускающие почти регулярный автоморфизм простого порядка // Мат. сб. 1990. Т. 181,N 9. С. 1207-1219.

8. Хухро Е. И. Конечные р-группы, допускающие р-автоморфизмы с малым числом неподвижных точек // Мат. сб. 1993. Т. 184, N 12. С. 53-64.

9. Alperin J. Automorphisms of solvable groups // Proc. Amer. Math. Soc. 1962. V. 13, N 2. P. 175-180.

10. Hartley В., Meixner T. Periodic groups in which the centralizer of an involution has bounded order //J. Algebra. 1980. V. 64,N 1. P. 285-291.

11. Hartley В., Meixner T. Finite soluble groups containing an

element of prime order whose centralizer is small // АтсЬ. Math. (Basel). 1981. V. 36. P. 211-213.

12. Higman G. Groups and rings which have automorphisms without non-trivial fixed elements //J. London Math. Soc. 1957. V. 32, N 3. P. 321-334.

13. Hall P. A contribution to the theory of groups of the prime-power order // Proc. London Math. Soc. Ser. 2. 1936. V. 36. P. 29-95.

14. Huppert В., Blackburn N. Finite groups. II. Berlin; Heidelberg; N.Y.: Springer, 1982. 531 p.

15. Khukhro E. I. Nilpotent groups and their automorphisms. Berlin: De Gruyter, 1993. 252 p.

16. Kovacs L. G. Groups with regular automorphisms of order four // Math. Z. 1961. V. 75. P. 277-294.

17. Medvedev Yu. A. Groups and Lie rings with almost regular automorphisms of prime order //J. Algebra. 1994. V. 164. P. 877885.

18. Shalev A. On almost fixed point free automorphisms // J. Algebra. 1993. V. 157, N 1. P.271-282.

19. Thompson J. G. Finite groups with fixed-point-free automorphisms of prime order // Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 1959. Y. 45. P. 578-581.

Работы автора по теме диссертации

20. Макаренко НЛО. О почти регулярных автоморфизмах простого порядка // Сиб. мат. журн. 1992. Т. 33, N5. С. 206208.

21. Макаренко Н. Ю. О нильпотентных 2-группах, допускающих автоморфизм порядка 4 с малым числом неподвижных

точек // Алгебра и логика. 1993. Т. 32, N 4. С. 402-427.

22. Макаренко Н. Ю. О конечных 2-группах, допускающих автоморфизм порядка 4 // Третья международная конференция по алгебре. Красноярск, 1993. С. 217.

23. Макаренко Н. Ю. О нильпотентных группах с почти регулярными автоморфизмами простого порядка // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, N 3. С. 630-632.

24. Макаренко Н. Ю., Хухро Е. И. Кольца Ли, допускающие автоморфизм порядка 4 с малым числом неподвижных точек / / Алгебра и логика. 1996. Т. 35, N 2.

25. Макаренко Н. Ю., Хухро Е. И. Нильпотентные группы, допускающие почти регулярный автоморфизм порядка 4 // Алгебра и логика. 1996. Т. 35, N 3.

26. Макаренко Н. Ю. Почти регулярные автоморфизмы порядка 4 // Материалы XXXIII международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Новосибирск, 1995. С. 17.

27. Makarenko N. Yu. Almost regular automorphisms of nilpotent groups // Abstracts of the NATO Advanced Study Institute on Finite and Locally Finite Groups. Istanbul, 1994.

28. Makarenko N. Yu., Khukhro E. I. Lie rings admitting almost regular automorphisms of order four // Всеукраинская научная конференция. Львов, 1995. С. 56.

29. Makarenko N. Yu., Khukhro E. I. Nilpotent groups admitting almost regular automorphisms of order four // Всеукраинская научная конференция. Львов, 1995. С. 57.