Малые централизаторы в группах и кольцах Ли

Макаренко, Наталья Юрьевна

Малые централизаторы в группах и кольцах Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Макаренко, Наталья Юрьевна АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Новосибирск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Малые централизаторы в группах и кольцах Ли»

Автореферат диссертации на тему "Малые централизаторы в группах и кольцах Ли"

ии^ОБ2003

«-и ц/

На правах рукописи

Макаренко Наталья Юрьевна

МАЛЫЕ ЦЕНТРАЛИЗАТОРЫ В ГРУППАХ И КОЛЬЦАХ ЛИ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск-2006

003062003

Работа выполнена в Институте математики им. С. Л. Соболева СО

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор, Хухро Евгений Иванович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Зайцев Михаил Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор Кондратьев Анатолий Семенович

доктор физико-математических наук, профессор Тимошенко Евгений Иосифович

Ведущая организация:

Омский государственный университет

Защита диссертации состоится 23 марта 2007 г. в 14 час. на заседании диссертационного совета Д 003.015.02 при Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, пр. Акад. Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан «21» февраля 2007 г.

РАН.

Ученый секретарь диссертационного сове кандидат физико-математических наук

Общая характеристика работы

Постановка задачи и актуальность темы диссертации.

Теория нильпотентных групп — одна из старейших областей теории групп. В определенном смысле ее начало положено в работе Силова 1872 года [56] (которая также содержит знаменитую теорему Силова), где было доказано, что конечная группа порядка рк обладает центральным рядом с циклическими факторами простого порядка р. Бернсайд в своей книге [23] (1911) показал, что конечная группа обладает центральным рядом тогда и только тогда, когда она является прямым произведением р-групп. В 30-х годах XX века было замечено, что группы, обладающие центральным рядом (позднее они были названы нильпотентными), тесно связаны с линейными группами Ли, чьи алгебры Ли состоят из нильпотентных матриц. В группах Ли операции коммутирования соответствует умножение в алгебре Ли, поэтому нильпотентному кольцу, т. е. кольцу, в котором произведение данного числа любых элементов равно нулю

XI ...х„ =0,

соответствует группа, которая удовлетворяет тождеству

[®1,...,Ж„] = 1. (1)

По этой причине термин «нильпотентная» закрепился и за группами с тождеством (1).

С? можно задать структуру кольца Ли были Магнус [44,45] и Витт [61]. При этом сложению в кольце Ли соответствует умнржение в группе, а лиевскому умножению — коммутирование в группе.

Чуть позже в 1949 г. Мальцев [12] по аналогии с использованием экспоненциального отображения в группах Ли нашел еще один метод задания структуры алгебры Ли на нильпотентной группе, основанный на формуле Кемпбелла - Бейкера - Хаусдорфа. В ядре этого соответствия лежат формальные тождества, устанавливающие связь между умножением и коммутированием в полных нильпотентных группах без кручения, с одной стороны, и сложением и умножением в алгебрах Ли — с другой.

Замечательным примером того, насколько эффективно работают методы колец Ли в теории нильпотентных групп является история решения знаменитой ослабленной проблемы Бернсайда. Само возникновение вопроса о существовании универсальной конечной «¿-порожденной группы данного периода т, гомоморфными образами которой являются все конечные ¿-порожденные группы периода те, названного Магнусом в [46] ослабленной проблемой Бернсайда (ОПБ), во многом обязано развитию новых линейных методов и желанием продвинуться вперед в той области, где эти методы эффективно работают. После того как Магнусом [46] (1950) и Сановым [14] (1952) для групп простого периода р была получена редукция теоретико-групповой задачи к вопросу о локальной нильпотентности (р — 1)-энгелевой алгебры Ли над полем простой характеристики р, Кострикин [5,6] (1958) решил ОПБ в этом частном случае. Решение Зельмановым [1-3] ОПБ для групп показателя рк также включает редукцию к алгебрам Ли.

Другая важная область, где эффективно работают линейные методы, — конечные р-группы (и про-р-группы) данного кокласса с, т. е. группы порядка рп ступени нильпотентности п — с (Донкин, Лидхэм-Грин, Маккэй, Манн, Шалев, Зельманов и другие [24,37-41,43,47,48, 54,55]).

Ли. Отметим лишь некоторые результаты:

Теорема Брауэра — Фаулера о конечных группах с почти регулярной инволюцией, служащая основой характеризаций простых конечных групп [22];

Теорема Томпсона о нильпотентности конечной группы с регулярным автоморфизмом простого порядка [57];

Теорема Шункова о локальной конечности периодической группы с конечным централизатором инволюции [18];

Теорема Бахтурина—Зайцева—Линченко о существовании тождества, которому удовлетворяет алгебра Ли, если некоторому тождеству удовлетворяет подалгебра неподвижных точек некоторой конечной группы автоморфизмов взаимно простого с характеристикой поля порядка [20,42].

Возвращаясь к группам, кольцам и алгебрам Ли, допускающих автоморфизмы с малыми централизаторами, напомним, что под централизатором понимается подгруппа (подалгебра, подкольцо) неподвижных точек. При этом в зависимости от объекта, выбираются разумные параметры для «измерения» централизатора. Для конечных групп и колец Ли — это порядок; в бесконечных нильпотентных группах — это ранг; в алгебрах Ли — размерность.

В предельном случае, когда нетривиальных неподвижных точек нет, автоморфизм называется регулярным. Хигмэн [31] в 1957 доказал, что ступень нильпотентности нильпотентной группы с регулярным автоморфизмом простого порядка ограничена некоторой функцией h(p), зависящей только от р. Крекнин и Кострикин [7,8] в 1963 г. нашли новое доказательство теоремы Хигмэна, дающее явную оценку для функции h(p). Фактически, теоремы Хигмэна, Крекнина и Кострикина — это некие комбинаторные факты о (й/п2)-градуированных кольцах Ли с тривиальной нуль-компонентой, из которых очевидным образом вытекают теоретико-групповые следствия. Что касается регулярных автоморфизмов произвольного конечного порядка, то Крекнин [8, 9] (1963) также доказал, что кольцо Ли с регулярным автоморфизмом произвольного конечного порядка п разрешимо ступени < 2П — 2. (Ранее Борель и Мостов [21] доказали разрешимость в конечномерном случае без оценки ступени разрешимости.) В группах ситуация намного сложнее. В отличие от колец Ли, для групп необходимы определенные дополнительные ограничения: например, свободная 2-по-

рожденная группа допускает регулярный автоморфизм порядка 2, переставляющий образующие. Вопрос заключается в том, справедлив ли аналог теоремы Крекнина для конечных (или нильпотентных) групп: ограничена ли в терминах п ступень разрешимости конечной (или ниль-потентной) группы с регулярным автоморфизмом конечного (взаимно простого) порядка п? В многочисленных работах этот вопрос (так же, как и более общие вопросы о почти регулярных автоморфизмах или даже группах автоморфизмов) для локально конечных групп уже сведен к случаю конечных нильпотентных групп (см., например, [25,2729,51,58,59]). Тем не менее, для нильпотентных групп аналог теоремы Крекнина пока доказан только в случае автоморфизма простого порядка (теорема Хигмэна—Крекнина— Кострикина), автоморфизма порядка 4 (теорема Ковача [35]) и групп без кручения (для которых результат непосредственно вытекает из теоремы Крекнина в силу соответствия Мальцева). Причиной трудностей для нильпотентных конечных групп является плохое соответствие между ступенью разрешимости присоединенного кольца Ли и самой группы: линейная задача о кольцах Ли является более грубой.

Естественно ожидать, что свойства групп или колец Ли, допускающих автоморфизмы с малым числом неподвижных точек, должны быть «близки» к случаю регулярного автоморфизма. Для колец (алгебр) Ли долгое время стояла проблема обобщения теоремы Боре-ля—Мостова—Крекнина. Решение этой проблемы — один из основных результатов диссертации. Именно, в совместных работах с Е.И. Хух-ро [66-68] доказала почти разрешимость алгебры Ли с почти регулярным автоморфизмом произвольного конечного порядка. Как и в теореме Крекнина доказательство сводится к рассмотрению (2/п2)-градуи-рованной алгебры Ли Ь = ХлгГо1 Но если в теореме Крекнина нуль-компонента Ьо тривиальна, то в данном случае она имеет конечную размерность т.

Градуированные алгебры и кольца Ли возникают также во многих других задачах о группах и кольцах Ли. В некоторых случаях может оказаться, что почти все однородные компоненты (й/п2)-гра-дуированной алгебры (кольца) Ли тривиальны и требуется получить оценки в терминах числа нетривиальных компонент, не зависящие от самой градуировки (т.е. числа п). Так, Шалев [52], используя (Ъ/пЪ)-градуированные кольца Ли с малым числом нетривиальных компонент, доказал, что конечная группа ранга г с автоморфизмом, имеющим

ровно тп неподвижных точек, обладает разрешимой подгруппой (г, тп)-ограниченного индекса. Доказательство этого результата использует следующий аналог теоремы Крекнина: если Ь = ®£Г0— {Ъ/пЩ-градуированное кольцо Ли с малым числом <1 нетривиальных компонент Ьг и Ьо = 0, то Ь разрешимо ступени <2^ — 2. Автором диссертации получено обобщение этой теоремы на случай ¡Ьо| = т, что позволило усилить недавний результат Хухро и Шумяцкого [36] о нильпотентных алгебрах Ли дифференцирований.

Как уже отмечалось, изучение конечных групп с почти регулярными автоморфизмами во многих случаях уже сведено к нильпотентным группам. Из классификации конечных простых групп вытекает (почти) разрешимость конечной группы с (почти) регулярной группой автоморфизмов взаимно простого порядка. Для разрешимых групп в ряде работ, инициированных работой Томпсона [58], на основе «немодулярных» теорем типа Холла-Хигмэна получены ограничения нильпотент-ной длины (почти всей) такой группы; например, близкие к неулучша-емым оценки получены в [28,59]. Отметим также теорему Хартли-Ту-рау [30] для циклической группы автоморфизмов порядка рп с точной оценкой.

В нильпотентных группах, допускающих автоморфизмы с малым централизатором, самым «благополучным» является случай нильпотентных (или конечных) р-групп с почти регулярным автоморфизмом порядка рп, где теоремы о регулярных автоморфизмах колец Ли позволили получить в некотором смысле исчерпывающие результаты [15,19,34,49,50,53,64]. В случае автоморфизма ко-простого порядка Е. И. Хухро [16] доказал, что конечная нильпотентная д-группа, допускающая автоморфизм (р простого порядка р с малым числом неподвижных точек |Сс(^)| = £ I = А1}! = <7т> почти нильпотентна, т. е. существует нормальная подгруппа Н <3 С ступени нильпотентности, ограниченной в терминах р, и индекса, ограниченного в терминах д, т и р. Значительная часть доказательства этой теоремы — о кольцах Ли с почти регулярными автоморфизмами простого порядка. Однако в отличие от регулярных автоморфизмов, групповой результат — далеко не очевидное следствие теоремы о кольцах Ли. Обратный переход от колец Ли к группам занимает больше половины доказательства. Причина заключается в том, что нет хорошего соответствия между подкольцами в присоединенном кольце Ли группы и подгруппами в самой группе.

Подобные трудности встречаются также при переходе от кольцевых

результатов к группам с почти регулярными автоморфизмами порядка 4. Несмотря на наличие кольцевого обобщения упоминавшейся выше теоремы Ковача на случай малого числа неподвижных точек, не удавалось осуществить обратный переход к группам. Это сделано лишь совсем недавно с применением новой оригинальной техники в совместной работе автора диссертации и Е. И. Хухро [70].

Наконец, следует упомянуть методы, которые используются при исследовании нильпотентных групп и колец Ли, допускающих автоморфизмы с малыми централизаторами. Основным здесь является метод градуированных централизаторов, созданный первоначально Е. И. Хухро для почти регулярных автоморфизмов простого порядка [16]. Суть в том, чтобы построить некоторое отображение (лучше, если это будет гомоморфизм) в малый централизатор и применить теорему о гомоморфизмах (или некий ее аналог), чтобы получить подгруппу или подпространство с малым фактором. Исторически одним из первых примеров доказательства такого сорта является теорема Ф. Холла [26] о том, что порядок фактор-группы произвольной группы О по (2&)-му члену верхнего центрального ряда зависит только от к и порядка (к + 1)-го члена нижнего центрального ряда группы в. Автором диссертации получен ранговый аналог этой теоремы для конечных нильпотентных групп [63].

Основные результаты диссертации.

1. Доказана почти разрешимость алгебры Ли с почти регулярным автоморфизмом конечного порядка. А именно, доказано, что если алгебра Ли допускает автоморфизм конечного порядка п с подалгеброй неподвижных точек размерности т, то £ обладает разрешимым идеалом коразмерности, ограниченной в терминах тп и п, и ступени разрешимости, ограниченной в терминах п.

В качестве следствия получен аналогичный результат для локально нильпотентных групп без кручения: если локально нильпотентная группа без кручения допускает автоморфизм конечного порядка п с подгруппой неподвижных точек конечного ранга г, то группа обладает нормальной разрешимой подгруппой, ко-ранг которой ограничен в терминах г и п, а ступень разрешимости ограничена в терминах п.

Эти результаты были получены автором диссертации совместно с Е. И. Хухро.

2. Доказано существование нильпотентного идеала с оценками на коразмерность и ступень нильпотентности в алгебре (кольце) Ли с почти регулярным автоморфизмом простого порядка р. (Это усиливает заключение в теореме Е. И. Хухро [16], где было установлено существование подалгебры с аналогичными свойствами).

3. Доказана теорема о (2/гс2)-градуированных алгебрах Ли с малым числом нетривиальных однородных компонент и конечномерной нуль-компонентой: если в (й/пй)-градуированной алгебре Ли Ь = Ь0® ••• @ Ьп_ 1 нуль-компонента Ьо конечномерна размерности т, и число ненулевых компонент среди Ь{ конечно и равно с/, то Ь обладает однородным разрешимым идеалом ступени разрешимости, ограниченной функцией от й, коразмерность которого ограничена функцией от т и й.

4. Разработана новая оригинальная техника, позволяющая нормальные подгруппы «преобразовывать» в характеристические. Доказано, что если произвольная группа содержит с-ступенно нильпотентную подгруппу конечного индекса п, то она содержит также характеристическую с-ступенно нильпотентную подгруппу, имеющую конечный индекс, ограниченный в терминах п и с (совместный результат с Е. И. Хухро).

5. Для конечной 2-группы с почти регулярным автоморфизмом порядка 4 получен неулучшаемый результат: доказана почти центрально-метабелевость такой группы.

6. Получен положительный ответ на вопрос П. Шумяцкого 11.126 из «Коуровской тетради» [13] о конечных группах с почти регулярным автоморфизмом порядка 4: доказано, что если конечная группа (? допускает автоморфизм порядка 4, имеющий ровно т неподвижных точек, то она обладает нормальной подгруппой Н, индекс которой ограничен в терминах т, а ступень разрешимости ограничена некоторой константой (совместный результат с Е. И. Хухро).

7. Доказано, что ступень нильпотентности коммутанта группы с I-расщепляющим автоморфизмом порядка 4 ограничена некоторой функцией, зависящей только от ступени разрешимости группы.

8. Доказан ранговый аналог известной теоремы Холла [26]: если (к+1)-й член нижнего центрального ряда конечной нильпотентной группы G имеет ранг г, то фактор-группа группы G по (2А)-му члену верхнего центрального ряда имеет (к, г)-ограниченный ранг.

Таким образом, основная цель диссертации — изучение строения групп, колец и алгебр Ли, допускающих автоморфизмы с малыми централизаторами и разработка новых методов их исследования.

Новизна и научная значимость работы. Все основные результаты диссертации являются новыми. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть использованы для дальнейших исследований как нильпотентных групп и алгебр Ли с почти регулярными автоморфизмами, так и других проблем теории групп. Они могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов, специализирующихся в области алгебры.

Методы исследования. Доказательства большинства результатов диссертации имеют комбинаторный характер. Используются вычисления в групповых кольцах, тензорных произведениях и теоремы типа Холла-Хигмэна. В доказательстве теоремы о почти разрешимости алгебр Ли с почти регулярным автоморфизмом усовершенствован метод обобщенных централизаторов и разработана новая оригинальная техника zc-элементов.

Апробация работы. Результаты диссертации в период с 1998 по 2006 год были представлены на международных конференциях в Новосибирске, Берлине (Германия), Монсе (Бельгия) и Санкт-Петербурге. В частности, на международных конференциях «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2005 г.) и «Методы логики в математике III» (Санкт-Петербург, 2006 г.) автором были сделаны пленарные доклады по теме диссертации. Результаты работы неоднократно докладывались на семинарах Института математики СО РАН и НГУ «Теория групп», и «Алгебра и логика».

Публикации. Основные результаты автора по теме диссертации опубликованы в форме статей в ведущих отечественных и зарубежных журналах [62-71], а также в тезисах и трудах конференций ([72-75]).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из семи глав, введения и списка литературы. Она изложена на 214 страницах, библиография содержит 120 наименований.

Содержание диссертации

Общая структура диссертации. Диссертация разбита на главы, которые в свою очередь подразделяются на параграфы. Основные результаты каждой главы (теоремы и их следствия) явным образом сформулированы в первом параграфе главы. Их нумерация двойная: первая цифра — номер главы, вторая — номер теоремы в главе. Вспомогательные утверждения (леммы, предложения) и определения имеют тройную нумерацию: первая цифра — номер главы, вторая — номер параграфа в текущей главе, третья — номер утверждения в текущем параграфе.

Глава 1.

Пусть L — кольцо Ли или алгебра Ли любой, не обязательно конечной, размерности. Пусть ip — автоморфизм L и пусть Сь{Ф) = {а £ L | <р(а) = а} — подалгебра (подкольцо) его неподвижных точек. Автоморфизм tp называется регулярным, если Ct(<p) = 0, то есть <р не имеет нетривиальных неподвижных точек. По теореме Крекнина [8] если L допускает регулярный автоморфизм <р конечного порядка п, то есть такой, что tpn — 1 и Cl(<р) = 0, то ступень разрешимости L не превосходит 2"—2. (Ранее Борель и Мостов [21] доказали разрешимость в конечномерном случае без оценки ступени разрешимости.)

Доказано, что алгебра Ли с почти регулярным автоморфизмом конечного порядка почти разрешима, с оценками на коразмерность разрешимого идеала и его ступень разрешимости.

Теорема 1.1. Если алгебра Ли L допускает автоморфизм <р конечного порядка п с конечномерной подалгеброй неподвижных точек размерности dimCx(</?) — m, то L обладает разрешимым идеалом ступени разрешимости, ограниченной функцией от п, коразмерность которого ограничена функцией от тип.

В качестве следствия приведем почти эквивалентную формулировку теоремы 1.1 в терминах градуированных алгебр Ли.

Следствие 1.2. Пусть L = L0 © Li ф • • ■ ® L„_i — (Z/nZ)-градуированная алгебра JIu, так что [L3, Lt] Ç Ls+t (mod n). Если компонента Lq конечномерна размерности m, mo L обладает разрешимым идеалом ступени разрешимости, ограниченной функцией от п, коразмерность которого в L ограничена функцией от тип.

Утверждения, аналогичные теореме 1.1 и следствию 1.2, верны также для колец Ли с конечным подкольцом неподвижных точек и (2/п2)-градуированных колец Ли с конечной нуль-компонентой.

Теорема 1.3. Если кольцо Ли L допускает автоморфизм (р конечного порядка п с конечным подкольцом неподвижных точек порядка \Сь{<р)\ = т, то идеал Т, равный периодической части аддитивной подгруппы L, обладает идеалом U таким, что фактор-кольцо T/U имеет конечный порядок, ограниченный функцией от т и п, и кольца JIu L/T и U имеют ступень разрешимости, ограниченную функцией от п. Если автоморфизм ip полупростой, или порядок \ip\ — степень простого числа, или nL = L, или nl = 0 влечет 1 — 0 для любого I £ L, то, более того, L обладает разрешимым идеалом Z ступени разрешимости, ограниченной функцией от п, для которого порядок фактор-кольца L/Z конечен и ограничен функцией от тип.

Следствие 1.4. Пусть L — Lq Ф 1а © • • • © Ln-1 — (Z/nZ)-градуированное кольцо Ли, так что [Ls, Lt] С L3+t (raod n). Если компонента Lo конечна порядка \Lq\ = т, то L обладает разрешимым идеалом I, ступень разрешимости которого ограничена функцией от п, причем порядок фактор-кольца L/I конечен и ограничен функцией от тип.

Теорема 1.1 влечет аналогичное заключение для нильпотентных групп без кручения. Такие группы вкладываются в полные локально нильпотентные группы, категория которых эквивалентна категории локально нильпотентных алгебр Ли над Q (соответствие Мальцева). Напомним, что группа имеет конечный ранг г, если любая ее конечно-порожденная подгруппа может быть порождена г элементами (и г — наименьшее число с этим свойством).

Теорема 1.5. Пусть локально нильпотентная группа без кручения G допускает автоморфизм <р конечного порядка п такой, что подгруппа неподвижных точек Сй{ф) имеет конечный ранг г. Тогда группа G обладает разрешимой нормальной подгруппой Н ступени разрешимости, ограниченной функцией от п, такой, что факторгруппа G/H имеет конечный ранг, ограниченный в терминах run.

При доказательстве результатов 1.1-1.4 развивается и совершенствуется метод обобщенных или градуированных, централизаторов [16]. Принципиально новым является использование техники zc-элементов. Фактически все результаты этой главы являются следстви-

ями основного случая, когда кольцо Ли L является суммой аддитивных подгрупп Lj = {a G L \ <р(а) = аРа}1, которые ведут себя как компоненты (й/п2)-градуировки: [Ls, Lt] С La+t(modn)- В каждой из аддитивных подгрупп Li строится цепочка убывающих подгрупп, градуированных централизаторов, Li(t) уровней 1,2,... ,N(n) и одновременно фиксируются некоторые элементы, по отношению к которым градуированные централизаторы L{(t) обладают определенными централизаторными свойствами. Требуемый разрешимый идеал — это идеал, порожденный аддитивными подгруппами максимального уровня Z =id< Li(N),..., Ln-i(N) >. Для доказательства разрешимости идеала Z применяется критерий разрешимости, полученный Е. И. Хухро в [17]. Этот критерий последовательно применяется к некоторой цепочке подколец, в которых постепенно «улучшаются» свойства неподвижных точек автоморфизма.

Результаты первой главы получены совместно с Е. И. Хухро и опубликованы в [66-68].

Глава 2.

В этой главе доказывается наличие нильпотентного идеала с оценками на ступень нильпотентности и порядок фактор-кольца (размерность фактор-алгебры) в кольце (алгебре) Ли с почти регулярным автоморфизмом простого порядка. Это усиливает теорему Хухро [16], где доказано существование подкольца (подалгебры) с аналогичными свойствами.

Теорема 2.1. Если кольцо (алгебра) JIu L допускает автоморфизм ip простого порядка р с конечным подколъцом неподвижных точек порядка \Cl (<р)| = т (с конечномерной подалгеброй неподвижных точек размерности dim Сь{Ф) = тп), mo L обладает идеалом Н ступени нильпотентности, ограниченной функцией от р, таким что порядок (размерность) фактор-кольца (фактор-алгебры) L/H ограниченна) функцией от тир.

Аналогичное утверждение верно также для [Ъ/рЪ)-градуированных колец (алгебр) Ли с конечной (конечномерной) нуль-компонентой Lo (Следствие 2.2).

Из теоремы 2.1 вытекает следующее утверждение о локально ниль-потентных группах без кручения.

1 Здесь w — примитивный корень n-ой степени из 1

Теорема 2.3. Пусть локально нильпотентная группа без кручения £7 допускает автоморфизм у простого порядка р такой, что подгруппа неподвижных точек Со{<р) имеет конечный ранг г. Тогда группа С? обладает нилъпотентной нормальной подгруппой Н ступени нильпотентности, ограниченной функцией от р, такой что факторгруппа С/Н имеет конечный ранг, ограниченный функцией от г и р.

Доказательство теоремы 2.1 опирается на результаты предыдущей главы. По теоремам 1.1 и 1.3 алгебра (кольцо) Ли Ь содержит разрешимый идеал Z ограниченной ступени разрешимости и ограниченной коразмерности. В частном случае автоморфизма простого порядка этот идеал Z оказывается также нильпотентным р-ограниченной ступени. Этот факт устанавливается с использованием индукции по ступени разрешимости идеала 2.

Результаты второй главы получены автором лично и опубликованы в [69].

Глава 3.

При изложении результатов первой главы мы отмечали тесную связь, существующую между алгебрами (кольцами) Ли с автоморфизмами конечного порядка п и ^/пй)-градуированными алгебрами Ли. В доказательствах теорем 1.1 и 1,3 основным является именно случай (й/пй)-градуированных алгебр (колец) Ли. Во многих задачах возникают (й/пй)-градуированные алгебры (кольца) Ли с малым числом нетривиальных компонент. В этом случае часто удается получить результаты, ограничивающие строение алгебры (кольца) Ли, которые не зависят от порядка автоморфизма. Мы уже упоминали работу Шале-ва [52], в которой использовалось следующее обобщение теоремы Крек-нина: если Ь = ф"=Г01Ь! — (2/гЛ)-градуированное кольцо Ли с малым числом д, нетривиальных компонент X, и Ьо — 0, то Ь разрешимо ступени < 2й - 2.

Отметим еще одно интересное приложение результатов такого сорта. Классическая теорема Джекобсона [33] гласит, что конечномерная алгебра над полем характеристики 0, допускающая нильпотентную алгебру Ли Б дифференцирований без констант (т. е. хв = 0 для всех 6 £ И •<=> ж = 0), нильпотентна. Недавно Хухро и Шумяцкий [36] получили обобщение теоремы Джекобсона, доказав, что если Ь — конечномерная алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики 0, £> — нильпотентная алгебра Ли дифференцирований с <1 весами в Ь, и ну-

левая компонента Фиттинга по отношению к D имеет размерность т, то L содержит нильпотентную подалгебру, коразмерность которой ограничена в терминах т и d, а ступень нильпотентности ограничена в терминал d. Этот результат фактически является следствием следующей теоремы: если L = Ф?ГоЬ» — (2/рЗ)-градуированная алгебра Ли с малым числом d нетривиальных компонент Ьг, р простое и dim Lq = т, то L содержит нильпотентную подалгебру, коразмерность которой ограничена в терминах то и d, а ступень нильпотентности ограничена в терминах d.

Основной результат третьей главы — доказательство аналогичной теоремы для алгебр Ли с произвольной (Z/nZ)-градуировкой.

Теорема 3.1. Пусть L - L0 © Li © • ■ • © L„_i — (Z/nZ)-градуированная алгебра Ли, так что [Ls, Lt] С Ls+t (mod п) ■ Если компонента Lo конечномерна размерности т, и число ненулевых компонент среди Ьг конечно и равно d, то L обладает однородным разрешимым идеалом ступени разрешимости, ограниченной функцией от d, коразмерность которого ограничена функцией от mud.

Аналогичное утверждение верно также для (2/пй)-градуированных колец Ли L с конечной нуль-компонентой порядка т. В этом случае получается разрешимый идеал ступени разрешимости, ограниченной функцией от d, индекс которого в аддитивной подгруппе L ограничен функцией от m и d (теорема 3.2). Заметим, что в частном случае d = п теоремы 3.1 и 3.2 — это в точности следствия 1.2 и 1.4. Теорема 3.1 позволяет усилить заключение в теореме Хухро-Шумяцкого [36]. А именно, утверждается наличие идеала (вместо подалгебры) с оценками на ступень нильпотентности и коразмерность.

Следствие 3.3. Если L — конечномерная алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики О, D — нилъпо-тентная алгебра Ли дифференцирований с d весами в L, и нулевая компонента Фиттинга по отношению к D имеет размерность т, mo L содержит нильпотентный идеал, коразмерность которого ограничена в терминах т и d, а ступень нильпотентности ограничена в терминах d.

Результаты 3.1 и 3.2 получены автором лично, следствие 3.3 — в соавторстве с Е. И.Хухро и П. Шумяцким. Основные результаты третьей главы опубликованы в [71].

Глава 4.

В процессе исследования групп, допускающих почти регулярные автоморфизмы, часто возникает ситуация, когда некоторая нормальная подгруппа К ограниченного индекса с «лучшими» централиза-торными свойствами строится не в самой группе, а в некоторой нормальной подгруппе (например, во взаимном коммутанте [G, <рк] = (g~19v> Iff 6 G)). При этом важно иметь подгруппу К характеристической, чтобы можно было рассматривать фактор-группу G/K. Метод обобщенных централизаторов, который чаще всего используется для построения таких подгрупп, к сожалению, не гарантирует их характеристичности. Поэтому особую важность приобретают результаты, позволяющие «преобразовывать» субнормальные подгруппы в нормальные. В этой главе доказывается теорема, которая из наличия нильпотентной подгруппы конечного индекса устанавливает наличие характеристической подгруппы, соизмеримой с исходной по величине фактор-группы, и той же ступени нильпотентности. Верно даже более общее утверждение: вместо нильпотентности можно брать любое полилинейное коммутаторное тождество.

Определение. Полилинейные коммутаторы от переменных Xi веса 1 — это сами переменные х,. По индукции, полилинейные коммутаторы от переменных хf веса w > 1 — это коммутаторы вида к = [ki, «г], где и к2 — полилинейные коммутаторы с непересекающимися наборами переменных веса wi и и)2 при w = wi+w-ц-

Группа G удовлетворяет полилинейному коммутаторному тождеству к = 1 тогда и только тогда, когда тривиальна коммутаторная (вербальная) подгруппа k(G), получающаяся заменой всех переменных в коммутаторе к на группу G.

Теорема 4.1. Пусть к — полилинейный коммутатор веса w. Если группа G содержит подгруппу Н конечного индекса |G : Н| = п, удовлетворяющую тождеству к(Н) = 1, то она содержит также характеристическую подгруппу С, удовлетворяющую тождеству к(С) = 1, индекс которой конечен и (п,ю)-ограничен.

Отметим следствия в важных частных случаях.

Следствие 4.2. Предположим, что группа G содержит подгруппу Н конечного индекса п, которая

(а) либо нильпотентна ступени d,

(б) либо разрешима ступени d.

Тогда С обладает также характеристической подгруппой (п, с1)-ограниченного индекса, которая, соответственно, либо нильпотентна ступени < й, либо разрешима ступени < <1.

Ранее этот результат был известен только для абелевых подгрупп (см., например, [4, Лемма 21.1.4]).

Теорема 4.1 имеет важное приложение для групп, допускающих почти регулярные автоморфизмы. В пятой главе она применяется для исследования групп с автоморфизмами порядка 4.

Доказан также ранговый аналог теоремы 4.1 для частного случая тождества нильпотентности.

Результаты четвертой главы получены автором совместно с Е. И. Хухро и опубликованы в [70].

Глава 5.

Эта глава посвящена группам с автоморфизмом порядка 4. В 1961 году Ковач [35] показал, что второй коммутант локально конечной или локально нильпотентной группы С?, допускающей регулярный автоморфизм порядка 4, содержится в центре группы С?.

Первый результат пятой главы — обобщение теоремы Ковача на случай малого числа неподвижных точек в «модулярной» ситуации, когда автоморфизм порядка 4 действует на локально конечной или локально нильпотентной 2-группе. В этом случае получен неулучша-емый результат.

Теорема 5.1. Если локально конечная или локально нильпотент-ная 2-группа С? допускает автоморфизм <р порядка 4 с конечным числом неподвижных точек т, то С обладает нормальной подгруппой Н т-ограниченного индекса такой, что второй коммутант Н содержится в центре Н.

Аналогичное утверждение верно также для локально конечной 2-группы, содержащей элемент порядка 4 с централизатором конечного порядка т (Следствие 5.2). В доказательстве используется теорема Шалева [53], по которой ступень разрешимости конечной р-группы, допускающей автоморфизм порядка рк с числом неподвижных точек рт, ограничена в терминах р, т и к. Также применяются линейные методы групповых колец и присоединенных колец Ли.

Второй основной результат этой главы описывает строение произвольной конечной группы с почти регулярным автоморфизмом

порядка 4. Получен положительный ответ на вопрос П.Шумяцкого 11.126 из «Коуровской тетради» [13].

Теорема 5.3. Существуют такие константа с и функция натурального аргумента f(m), что если конечная группа G допускает автоморфизм <р порядка 4, имеющий ровно m неподвижных точек, то она обладает нормальным рядом G > H > N, в котором \G/H\ < f{m), фактор-группа H/N нилъпотентна ступени <2, а подгруппа N нилъ-потентна ступени < с.

Заметим, что порядок автоморфизма не предполагается взаимно простым с порядком группы. Поэтому теорему 5.3 можно переформулировать как утверждение о группе, содержащей элемент порядка 4 с ограничением на порядок его централизатора. Стандартные рассуждения, использующие локальную теорему Мальцева (или обратный предел), дают следствие о локально конечных группах.

Следствие 5.4. Если локально конечная группа G содержит элемент порядка 4 с конечным централизатором порядка тп, то она обладает нормальным рядом G > H > N, в котором порядок G/H ограничен в терминах тп, фактор-группа H/N нильпотентна ступени < 2, а подгруппа N нилъпотентна ступени < с, где с — константа из теоремы 5.3.

Доказательство теоремы 5.3 опирается на работы [10,11,62] и, в частности, использует теорему 5.1. Сведение к нильпотентным группам реализуется с помощью теорем типа Холла-Хигмэна. Для нильпо-тентных же групп переход от слабой оценки ступени нильпотентности подгруппы N к сильной, не зависящей от m осуществляется при помощи теоремы 4.1.

Теорема 5.1 получена автором диссертации самостоятельно и опубликована в [64], теорема 5.3 — в соавторстве с Е. И. Хухро и опубликована в [70].

Глава 6.

Эта глава посвящена группам с автоморфизмом порядка четыре, у которых множество элементов, удовлетворяющих равенству хх*х* х* = 1 — большое.

Определение. Подмножество X группы G называется большим (слева), если для любого конечного множества элементов gi,...,gk G С?

пересечение подмножеств дгХ = {дгх | х € X} не пусто: р| gtX ф 0.

¿=1

Понятие большого множества, обобщающее понятие генерического множества в алгебраических и стабильных группах (в теории моделей), возникло совсем недавно в работах специалистов по теории моделей Джабера и Вагнера [32,60]. Ими же был сформулирован вопрос: какие тождества (с операторами), выполняющиеся на большом подмножестве группы ( «почти*-тождества), выполняются и на всей группе или хотя бы влекут какие-то полезные следствия? В этом направлении автором диссертации получан следующий результат.

Теорема 6.1. Пусть группа G допускает I-расщепляющий автоморфизм ip порядка 4, т. е. tp* = 1 и множество элементов G, удовлетворяющих равенству xxvxv xv = 1 — большое в G. Если H — (р-инвариантная нормальная разрешимая подгруппа ступени разрешимости d, то коммутант Н' нилъпотентен ступени < (9d~2 +1)/2.

При (р= 1 из теоремы 6.1 получаем

Следствие 6.2. Предположим, что группа G удовлетворяет «почти»-тождеству периода 4, т. е. множество элементов порядка 4 большое. Если H — нормальная разрешимая подгруппа ступени разрешимости d, то коммутант Н' нилъпотентен ступени < (9d~2 +1)/2.

Результаты этой главы получены автором диссертации лично и опубликованы в [65].

Глава 7. По теореме Ф. Холла [26], если порядок (к + 1)-го члена нижнего центрального ряда произвольной группы конечен и равен п, то индекс 2fc-ro члена верхнего центрального ряда ограничен в терминах кип. Следующая теорема — ранговый аналог теоремы Ф. Холла.

Теорема 7.1. Если (к + 1)-й член нижнего центрального ряда конечной нильпотентной группы G имеет ранг г, то фактор-группа группы G по (2к)-му члену верхнего центрального ряда имеет (к,г)-ограниченный ранг.

Как показывают примеры распространить этот результат даже на разрешимые группы невозможно.

Доказательство теоремы 7.1 — еще одна демонстрация метода

обобщенных централизаторов. Роль централизаторов в этом доказательстве берут на себя члены нижнего центрального ряда.

Результат 7.1 получен автором лично и опубликован в [63].

Отметим, что все функции, фигурирующие в формулировках результатов диссертации, можно оценить сверху явным образом, хотя мы и не выписываем эти оценки.

В заключение я хотела бы выразить свою глубокую благодарность своему соавтору и научному консультанту Е. И.Хухро. Я также признательна всем сотрудникам лаборатории теории групп ИМ СО РАН, с которыми обсуждались многие проблемы диссертации. Хотела бы особо поблагодарить своего руководителя, заведующего лабораторией теории групп ИМ СО РАН, чл.-корр. РАН В. Д. Мазурова за деятельную под держку в подготовке диссертации.

Литература

[1] Зельманов Е. И., О некоторых проблемах теории групп и алгебр Ли, Матпем. сборник, 180, N 2 (1989), 159-167.

[2] Зельманов Е. И., Решение ослабленной проблемы Бернсайда для групп нечетного показателя, Изв. АН СССР, сер. матем., 54, N 1 (1990), 42-59.

[3] Зельманов Е. И., Решение ослабленной проблемы Бернсайда для 2-групп, Матем. сборник, 182, N 4 (1991), 568-592.

[4] КаргаполовМ.И., МерзляковЮ. И., Основы теории групп, М., Наука, 1982.

[5] Кострикин А. И., О проблеме Бернсайда, ДАН СССР 118, N 6 (1958), 1074-1077.

[6] Кострикин А. И., О проблеме Бернсайда, Изв. АН СССР, сер. матем., 23, N 1 (1959), 3-34.

[7] Крекнин В. А., Кострикин А. И., Алгебры Ли с регулярными автоморфизмами, ДАН СССР, 149 (1963), 249-251.

[8] Крекнин В. А., Разрешимость алгебр Ли с регулярными автоморфизмами конечного периода, ДАН СССР, 150 (1963), 467469.

[9] Крекнин В. А., Разрешимость алгебр Ли с регулярным автоморфизмом, Сиб. мат. ж., 8, N 3 (1967), 715-716.

[10] Макаренко Н. Ю., ХухроЕ. И., Кольца Ли, допускающие автоморфизм порядка 4 с малым числом неподвижных точек, Алгебра и логика, 35 (1996), 41-78.

[11] МакаренкоН.Ю., ХухроЕ.И., Нильпотентные группы, допускающие почти регулярный автоморфизм порядка 4, Алгебра и логика, 35, N 3 (1996), 314-333.

[12] Мальцев А. И., Нильпотентные группы без кручения, Изв. АН СССР, сер. матем., 13 (1949), 201-212.

[13] Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь, 11-е изд., Институт математики СО РАН, Новосибирск, 1990.

[14] Санов И.Н., Установление связи между периодическими группами с периодом простым числом и кольцами Ли, Изв. АН СССР, сер. матем., 16 (1952), 23-58.

[15] Хухро Е. И., Конечные р-группы, допускающие автоморфизм порядка р с малым числом неподвижных точек, Матем. заметки. 38, N 5 (1985), С. 652-657.

[16] Хухро Е. И. Кольца Ли и группы, допускающие почти регулярный автоморфизм простого порядка, Матем. сб., 181, N 9 (1990), 12071219.

[17] Хухро Е. И. О разрешимости колец Ли с автоморфизмом конечного порядка, Сиб. Мат. журнал, 42, N 5 (2001), 1187-1192.

[18] Шунков В. П., О периодических группах с почти регулярной инволюцией, Алгебра и логика , 11, N 4 (1972), 478-494.

[19] AlperinJ., Automorphisms of solvable groups, Proc. Amer. Math. Soc., 13 (1962), 175-180.

[20] Bahturin Y. A. Zaicev M.V. Identities of graded algebras, J. of algebra, 205, (1998), 1-12.

[21] Borel A., MostowG. D., On semi-simple automorphisms of Lie algebras, Ann. Math. (2), 61 (1955), 389-405.

[22] Brauer R., Fowler K.A., On groups of even order, Ann. Math., V. 62, N 2 (1955), 565-583.

[23] BurnsideW., Theory of groups of finite order, Cambridge, 1911.

[24] Donkin S., Space groups and groups of prime power order. VIII. Prop-groups of finite coclass and p-adic Lie algebras, J. of algebra, 111, (1987), 316-342.

[25] FongP., On orders of finite groups and centralizes of p-elements, Osaka J. Math., 13 (1976), 483-489.

[26] Hall Ph. Finite-by-nilpotent groups,, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 52, (1956), 611-616.

[27] HartleyB., A general Brauer-Fowler theorem and centralizers in locally finite groups, Pacific J. Math. 152 (1992), 101-117.

[28] Hartley B., Isaacs I. M., On characters and fixed points of coprime operator groups, J.Algebra, 131 (1990), 342-358.

[29] Hartley B., MeixnerT., Finite soluble groups containing an element of prime order whose centralizer is small, Arch. Math. (Basel) 36 (1981), 211-213.

[30] Hartley B., Turau V., Finite soluble groups admitting an automorphism of prime power order with few fixed points, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 102 (1987), 431-441.

[31] Higman G., Groups and rings which have automorphisms without nontrivial fixed elements, J. London Math. Soc., 32 (1957), 321-334.

[32] JaberK., WagnerF.O., Largeur et nilpotence. Commun. Algebra, 28, N 6 (2000), 2869-2885.

[33] JACOBSONN. A note on automorphisms and derivations of Lie algebras, Proc. Amer. Math. Soc., 6 (1955), 281-283.

[34] Jaikin-Zapirain A., On almost regular automorphisms of finite p-groups, Adv. Math., 153, No. 2 (2000), 391-402.

[35] KovACSL., Groups with regular automorphisms of order four, Math. Z., 75, (1960/1961), 277-294.

[36] Khukhro E.I. Shumyatsky P. Lie algebras with almost constant-free derivations, J. of algebra, 306, N 2 (2006), 544-551.

[37] Leedham-Green C.R., Pro-p-groups of finite coclass, J. London Math. Soc., 50, (1994), 43-48.

[38] Leedham-Green C. R., The structure of finite p-groups , J. London Math. Soc., 50, (1994), 49-67.

[39] Leedham-Green C. R., McKay S., On p-groups of maximal class I, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), 27, (1976), 297-311.

[40] Leedham-Green C. R., McKay S., On p-groups of maximal class II, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), 29, (1978), 175-186.

[41] Leedham-Green C.R., McKay S., On p-groups of maximal class III, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), 29, (1978), 281-299.

[42] Linchenko V. Identities of graded Lie algebras with actions of Hopf algebras, Comm. algebra, 25, (1997), 3179-3187.

[43] Mann A., Space groups and groups of prime power order VII, Powerful p-groups and uncovered p-groups Bull. London Math Soc., 24, (1992), 271-276.

[44] Magnus W., Uber Beziehungen zwischen höheren Kommutatoren, J. Reine Angew. Math., 177 (1937), 105-115.

[45] Magnus W., Uber Grupen und zugeordnete Liesche Ringe, J. Reine Angew. Math., 182 (1940), 142-149.

[46] Magnus W., A connection between the Baker-Hausdorff formula and a problem of Burnside, Ann. Math., 57 (1950), 111-126.

[47] McKay S., On the structure of a special class of p-groups I, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), 38, (1987), 489-502.

[48] McKay S., On the structure of a special class of p-groups II, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), 41, (1990), 431-448.

[49] Medvedev Yu., p-Groups, Lie p-rings and p-automorphisms, J. London Math. Soc. (2), 58, No. 1 (1998), 27-37.

[50] Medvedev Yu., p-Divided Lie rings and p-groups, J. London Math. Soc. (2), 59 (1999), 787-798.

[51] Pettet M.R., Automorphisms and Fitting factors of finite groups, J. Algebra 72 (1981), 404^12.

[52] Shalev A. Automorphisms of finite groups of bounded rank, Israel J. Math., 82 (1993), 395-404.

[53] Shalev A., On almost fixed point free automorphisms, J. Algebra, 157 (1993), 271-282.

[54] Shalev A., The structure of finite p-groups: effective proof of the coclass conjectures, Invent. Math., 115, (1994), 315-345.

[55] Shalev A., Zelmanov E.I., Pro-p-groups of finite coclass, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., Ill (1992), 417-421.

[56] SylowM. L., Théorèmes sur les groupes de substitution, Math. Ann., 5 (1872), 584-594.

[57] Thompson J., Finite groups with fixed-point-free automorphisms of prime order, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 45 (1959), 578-581.

[58] Thompson J., Automorphisms of solvable groups, J. Algebra, 1 (1964), 259-267.

[59] Turull A., Fitting height of groups and of fixed points, J. Algebra, 86 (1984), 555-566.

[60] Wagner F. O., Commutator conditions and splitting automorphisms for stable rpynns, Arch. Math. Logic, 32 (1993), 223-228.

[61] Witt е., Treue Darstellung Liescher Ringe, J. Reine Angew. Math., 177 (1937), 152-160.

Работы автора по теме диссертации

[62] Макаренко H. Ю., ХухроЕ. И. Кольца Ли, допускающие автоморфизм порядка 4 с малым числом неподвижных точек И, Алгебра и логика, 37, N 2 (1998), 144-166.

[63] макаренко Н. Ю. Ранговые аналоги теорем Холла и Бэра, Сиб. Мат. Ж., 41, N 6 (2000), 1376-1380.

[64] Макаренко Н. Ю. Конечные 2-группы с автоморфизмом порядка 4, Алгебра и логика, 40, N 1 (2001), 83-96.

[65] Макаренко Н. Ю., Хухро Е. И. О группах с 1-расщепляющим автоморфизмом порядка три и четыре, Алгебра и логика, 42, N 3 (2001), 293-311.

[66] Khukhro Е. I., Makarenko N. Yu. Lie rings with almost regular automorphisms, J. of Algebra, 264, N 2 (2003), 641-664.

[67] Макаренко Н. Ю., Хухро Е. И. Почти разрешимость алгебр Ли с почти регулярными автоморфизмами, ДАН, 393, N 1 (2003), 18-19.

[68] Makarenko N. Yu., Khukhro Е. I. Almost solubility of Lie algebras with almost regular automorphisms, J. of Algebra, 277, N 1 (2004), 370-407.

[69] Макаренко Н.Ю. Нильпотентный идеал в кольцах Ли с автоморфизмом простого порядка, Сиб. Мат. Ж., 46, N 6 (2005), 1360-1373.

[70] Макаренко Н.Ю., Хухро Е. И. Конечные группы с почти регулярным автоморфизмом порядка 4, Алгебра и логика, 45, N 5 (2006), 575-602.

[71] Макаренко Н. Ю. Градуированные алгебры с малым числом нетривиальных компонент, Сиб. Мат. Ж., 48, N 1 (2007), 91-112.

[72] Васильев A.B., ВдовинВ.П., Заварницин А. В., Макаренко Н.Ю., ПожидаевА.П. Конечные группы и алгебры Ли, Материалы конференции молодых ученых, посвященной 100-летию M.A. Лаврентьева, Математика, Новосибирск, 2000, 8-11.

[73] Макаренко Н. Ю. Ранговые аналоги теорем Холла и Бэра, IV Международная алгебраическая конференция, Новосибирск, 2000, С. 111.

[74] Васильев A.B., ВдовинВ.П., Заварницин А. В., Макаренко Н.Ю. Теория конечных групп и алгебры Ли, Материалы конференции молодых ученых СО РАН, посвященной М.А. Лаврентьеву, Ч. I, Новосибирск, 2002, 16-19.

[75] Васильев А. В., ВдовинЕ. П., Макаренко Н. Ю., Маслакова О.С., РевинД. О. Характеризации групп: арифметические свойства, автоморфизмы, комбинаторные методы, Материалы конференции молодых ученых СО РАН, посвященной М.А. Лаврентьеву, Ч. I, Новосибирск, 2003, 13-18.

Макаренко Наталья Юрьевна

Малые централизаторы в группах и кольцах Ли

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать 16.01.07 Формат 60x84 1/16.

Усл. печ. л. 1,6. Уч.-изд. л. 1,5. Тираж 150 экз. Заказ №16.

Отпечатано в ООО "Омега Принт" 630090, Новосибирск, пр. Лаврентьева, 6

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Макаренко, Наталья Юрьевна

Введение

Глава 1. Алгебры Ли с почти регулярным автоморфизмом

§ 1.1. Постановка задачи

§ 1.2. Предварительные сведения.

§ 1.3. Критерий разрешимости.

§ 1.4. Представители и обобщенные централизаторы.

§ 1.5. Основная конструкция.

§ 1.6. Свертка zc-элементов.

§ 1.7. Завершение доказательства предложения 1.7.

§ 1.8. Выбор параметров и эффективность доказательства.

§ 1.9. Завершение доказательства основных теорем

§ 1.10. Комментарий.

Глава 2. Нилыютентный идеал в кольцах Ли

§ 2.1. Постановка задачи

§ 2.2. Случай (^-однородных колец.

§ 2.3. Доказательство основных теорем.

Глава 3. Градуированные алгебры Ли с малым числом компонент

§ 3.1. Постановка задачи

§ 3.2. Критерий разрешимости.

§ 3.3. Представители и обобщенные централизаторы

§ 3.4. Построение разрешимого идеала и свойства zc-элементов

§ 3.5. Свойства zc-элементов.

§ 3.6. Завершение доказательств теорем 3.1 и 3.2.

§ 3.7. Алгебры Ли с нильпотентными алгебрами дифференцирований

Глава 4. О существовании характеристических подгрупп

§4.1. Постановка задачи

§ 4.2. Характеристические подгруппы ограниченного индекса.

§ 4.3. Характеристические идеалы ограниченной коразмерности.

§ 4.4. Характеристические подгруппы ограниченного коранга.

Введение диссертация по математике, на тему "Малые централизаторы в группах и кольцах Ли"

Общая характеристика работы

Постановка задачи и актуальность темы диссертации. Теория нилыготентных групп — одна из старейших областей теории групп. В определенном смысле ее начало положено в работе Силова 1872 года [97] (которая также содержит знаменитую теорему Силова), где было доказано, что конечная группа порядка рк обладает центральным рядом с циклическими факторами простого порядка р. Бернсайд в своей книге [40] (1911) показал, что конечная группа обладает центральным рядом тогда и только тогда, когда она является прямым произведением р-групп. В 30-х годах XX века было замечено, что группы, обладающие центральным рядом (позднее они были названы нильпотентными), тесно связаны с линейными группами Ли, чьи алгебры Ли состоят из нильпотент-ных матриц. В группах Ли операции коммутирования соответствует умножение в алгебре Ли, поэтому нильпотентиому кольцу, т. е. кольцу, в котором произведение данного числа любых элементов равно нулю

XI . . . Хц — 0, соответствует группа, которая удовлетворяет тождеству хьх2],.,хп] = 1. (1)

По этой причине термин «нильпотеитная» закрепился и за группами с тождеством (1).

После того, как в 30-х годах понятие абстрактной алгебры Ли выделилось из теории групп Ли в самостоятельный объект, методы колец Ли стали активно применяться для изучения произвольных нильпотентных групп. Первыми, кто заметил, что на прямой сумме факторов ф"=1 нижнего центрального ряда пильпотентной группы й можно задать структуру кольца Ли были Магнус [77,78] и Витт [105]. При этом сложению в кольце Ли соответствует умножение в группе, а лиевскому умножению — коммутирование в группе.

Чуть позже в 1949 г. Мальцев [18] по аналогии с использованием экспоненциального отображения в группах Ли нашел еще один метод задаиия структуры алгебры Ли на нильпотентной группе, основанный на формуле Кемпбелла-Бейкера-Хаусдорфа. В основе этого соответствия лежат формальные тождества, устанавливающие связь между умножением и коммутированием в полных нильпотентных группах без кручения, с одной стороны, и сложением и умножением в алгебрах Ли — с другой.

Замечательным примером того, насколько эффективно работают методы колец Ли в теории нильпотентных групп является история решения знаменитой ослабленной проблемы Бернсайда. Само возникновение вопроса о существовании универсальной конечной ¿-порожденной группы данного периода т, гомоморфными образами которой являются все конечные ¿-порожденные группы периода ш, названного Магнусом в [79] ослабленной проблемой Бернсайда (ОПБ), во многом обязано развитию новых линейных методов и желанием продвинуться вперед в той области, где эти методы эффективно работают. После того как Магнусом [79] (1950) и Сановым [22] (1952) для групп простого периода р была получена редукция теоретико-групповой задачи к вопросу о локальной нильпотентности (р — 1)-энгелевой алгебры Ли над полем простой характеристики р, Кострикин [7, 8] (1958) решил ОПБ в этом частном случае. Решение Зельмановым [3-5] ОПБ для групп показателя рк также включает редукцию к алгебрам Ли.

В настоящей диссертации линейные методы применяются к исследованию групп с почти регулярными автоморфизмами. Полученные результаты объединяет общая тема — малые централизаторы в группах и кольцах Ли. В более общем контексте отметим, что наложение ограничений на централизаторы — одно из самых плодотворных и интересных направлений во всех разделах как теории групп так и колец Ли. Отметим лишь некоторые результаты: теорема Брауэра-Фаулера о конечных группах с почти регулярной инволюцией, лежащая в основе классификации простых конечных групп [39]; теорема Томпсона о нильпотентности конечной группы с регулярным автоморфизмом простого порядка [98]; теорема Шункова о локальной конечности периодической группы с конечным централизатором инволюции [29]; теорема Бахтурина-Зайцева-Линченко о существовании тождества, которому удовлетворяет алгебра Ли, если некоторому тождеству удовлетворяет подалгебра неподвижных точек некоторой конечной группы автоморфизмов взаимно простого с характеристикой поля порядка [33,73].

Возвращаясь к группам, кольцам и алгебрам Ли, допускающим автоморфизмы с малыми централизаторами, напомним, что под централизатором понимается подгруппа (подалгебра, подкольцо) неподвижных точек. При этом в зависимости от объекта, выбираются разумные параметры для «измерения» централизатора. В конечных группах и кольцах Ли — это порядок; в бесконечных нильпотентных группах — это ранг; в алгебрах Ли — размерность.

В предельном случае, когда нетривиальных неподвижных точек нет, автоморфизм называется регулярным. Хигмэн [55] в 1957 доказал, что ступень нильпотентности нильпотентной группы с регулярным автоморфизмом простого порядка ограничена некоторой функцией h(p), зависящей только от р. Крекпии и Костри-кин [9,10] в 1963 г. нашли новое доказательство теоремы Хигмэна, дающее явную оценку для функции h(p). Фактически, теоремы Хигмэна, Крекнина и Костри-кина — это некие комбинаторные факты о (й/п2)-градуированных кольцах Ли с тривиальной нуль-компонентой, из которых теоретико-групповые следствия вытекают в силу того, что ступень нильпотентности присоединенного кольца Ли нильпотентной группы совпадает со ступенью нильпотентности группы.

Что касается регулярных автоморфизмов произвольного конечного порядка, то Крекнин [10,11] (1963) также доказал, что кольцо Ли с регулярным автоморфизмом произвольного конечного порядка п разрешимо ступени ^ 2" — 2.

Ранее Борель и Мостов [38] доказали разрешимость в конечномерном случае без оценки ступени разрешимости.) В группах ситуация намного сложнее. В отличие от колец Ли, для групп необходимы определенные дополнительные ограничения: например, свободная 2-порожденная группа допускает регулярный автоморфизм порядка 2, переставляющий образующие. Вопрос заключается в том, справедлив ли аналог теоремы Крекнина для конечных (или нильпотентных) групп: ограничена ли в терминах п ступень разрешимости конечной (или ниль-потентной) группы с регулярным автоморфизмом конечного (взаимно простого) порядка п? В многочисленных работах этот вопрос (так же, как и более общие вопросы о почти регулярных автоморфизмах или даже группах автоморфизмов) для локально конечных групп уже сведен к случаю конечных нильпотентных групп (см., например, [43,50,51,53,85,99,101]). Тем не менее, для нильпотентных групп аналог теоремы Крекнина пока доказан только в случае автоморфизма простого порядка (теорема Хигмэна-Крекнина-Кострикила), автоморфизма порядка 4 (теорема Ковача [67]) и групп без кручения (для которых результат непосредственно вытекает из теоремы Крекнина в силу соответствия Мальцева). Причиной трудностей для нильпотентных конечных групп является плохое соответствие между ступенью разрешимости присоединенного кольца Ли и самой группы: линейная задача о кольцах Ли является более грубой.

Естественно ожидать, что свойства групп или колец Ли, допускающих автоморфизмы с малым числом неподвижных точек, должны быть «близки» к случаю регулярного автоморфизма. Для колец (алгебр) Ли долгое время стояла проблема обобщения теоремы Бореля—Мостова—Крекнина. Решение этой проблемы — один из основных результатов диссертации. Именно, в совместных работах с Е. И. Хух-ро [111-113] доказана почти разрешимость алгебры Ли с почти регулярным автоморфизмом произвольного конечного порядка. Как и в теореме Крекнина доказательство сводится к рассмотрению (2/п2)-градуированной алгебры Ли Ь = Ь{. Но если в теореме Крекнина нуль-компонента Ь0 тривиальна, то в данном случае она имеет конечную размерность т.

Градуированные алгебры и кольца Ли возникают также во многих других задачах о группах и кольцах Ли. В некоторых случаях может оказаться, что почти все однородные компоненты (2/п2)-градуированной алгебры (кольца) Ли тривиальны и требуется получить оценки в терминах числа нетривиальных компонент, не зависящие от самой градуировки (т.е. числа п). Так, Шалев [90], используя (2/пй)-градуированные кольца Ли с малым числом нетривиальных компонент, доказал, что конечная группа ранга г с автоморфизмом, имеющим ровно то неподвижных точек, обладает разрешимой подгруппой (г, т)-ограни-ченного индекса. Доказательство этого результата использует следующий аналог теоремы Крекнина: если Ь = ф"^1 Ь^ — (2/п2)-градуированное кольцо Ли с малым числом (I нетривиальных компонент Li и Ьа = 0, то Ь разрешимо ступени ^ 2^ — 2. Автором диссертации получено обобщение этой теоремы на случай \Ьо\ = т, что позволило усилить иедавний результат Хухро и Шумяцкого [66] об алгебрах Ли с нильпотентной алгеброй дифференцирований.

Как уже отмечалось, изучение конечных групп с почти регулярными автоморфизмами во многих случаях уже сведено к нильпотентным группам. Из классификации конечных простых групп вытекает (почти) разрешимость конечной группы с (почти) регулярной группой автоморфизмов взаимно простого порядка. Для разрешимых групп в ряде работ, инициированных работой Томпсона [99], на основе «немодулярных» теорем типа Холла-Хигмэна получены ограничения нильпотентной длины (почти всей) такой группы; например, близкие к неулучшаемым оценки получены в [51,101]. Отметим также теорему Хартли-Ту-рау [54] для циклической группы автоморфизмов порядка рп с точной оценкой.

В нильпотентных группах, допускающих автоморфизмы с малым централизатором, самым «благополучным» является случай нильпотентных (или конечных) р-групп с почти регулярным автоморфизмом порядка рп, где теоремы о регулярных автоморфизмах колец Ли позволили получить в некотором смысле исчерпывающие результаты [24,30,61,83,84,91,109]. В случае автоморфизма ко-простого порядка Е. И. Хухро [25] доказал, что конечная нильпотептная д-груп-па, допускающая автоморфизм <р простого порядка р с малым числом неподвижных точек ]Со{<р)\ = ¡{<7 € С | д* = д}\ = дт, почти нильпотентна, т.е. существует нормальная подгруппа Н<зС ступени нильпотентности, ограниченной в терминах р, и индекса, ограниченного в терминах д, т и р. Значительная часть доказательства этой теоремы — о кольцах Ли с почти регулярным автоморфизмом простого порядка. Однако в отличие от регулярных автоморфизмов, групповой результат — далеко не очевидное следствие теоремы о кольцах Ли. Обратный переход от колец Ли к группам занимает больше половины доказательства. Причина заключается в том, что нет хорошего соответствия между подкольцами в присоединенном кольце Ли группы и подгруппами в самой группе.

Подобные трудности встречаются также при переходе от кольцевых результатов к группам с почти регулярным автоморфизмом порядка 4. Несмотря на наличие кольцевого обобщения упоминавшейся выше теоремы Ковача на случай малого числа неподвижных точек, не удавалось осуществить обратный переход к группам. Это сделано лишь совсем недавно с применением новой оригинальной техники в совместной работе автора диссертации и Е. И.Хухро [115].

Наконец, следует упомянуть методы, которые используются при исследовании нильпотентных групп и колец Ли, допускающих автоморфизмы с малыми централизаторами. Основным здесь является метод градуированных централизаторов, созданный первоначально Е. И. Хухро для почти регулярных автоморфизмов простого порядка [25]. Суть в том, чтобы построить некоторое отображение (лучше, если это будет гомоморфизм) в малый централизатор и применить теорему о гомоморфизмах (или некий ее аналог), чтобы получить подгруппу или подпространство с малым фактором. Исторически одним из первых примеров доказательства такого сорта является теорема Ф. Холла [48] о том, что порядок факторгруппы произвольной группы С? по (2к)-му члену верхнего центрального ряда зависит только от к и порядка (к+1)-го члена нижнего центрального ряда группы С. Автором диссертации получен ранговый аналог этой теоремы для конечных нильпотентных групп [108].

Основные результаты диссертации.

1. Доказана почти разрешимость алгебры Ли с почти регулярным автоморфизмом конечного порядка. А именно, доказано, что если алгебра Ли допускает автоморфизм конечного порядка п с подалгеброй неподвижных точек размерности т, то Ь обладает разрешимым идеалом коразмерности, ограниченной в терминах т и п, и ступени разрешимости, ограниченной в терминах п.

В качестве следствия получен аналогичный результат для локально нильпотент-ных групп без кручения: если локально нильпотентная группа без кручения допускает автоморфизм конечного порядка п с подгруппой неподвижных точек конечного ранга г, то группа обладает нормальной разрешимой подгруппой, ко-ранг которой ограничен в терминах г и п, а ступень разрешимости ограничена в терминах п.

Эти результаты были получены автором диссертации совместно с Е. И. Хухро.

2. Доказано существование нильпотептпого идеала с оценками на коразмерность и ступень нильпотентности в алгебре (кольце) Ли с почти регулярным автоморфизмом простого порядка р. (Это усиливает заключение в теореме Е. И. Хухро [25], где было установлено существование лишь подалгебры с аналогичными свойствами).

3. Доказана теорема о (й/пй)-градуированных алгебрах Ли с малым числом нетривиальных однородных компонент и конечномерной нуль-компонентой: если в (2/^)-градуировашюй алгебре Ли Ь = Ь0 © 1а © ••• ® нуль-компонента ¿о конечномерна размерности тп, и число ненулевых компонент среди равно (1, то Ь обладает однородным разрешимым идеалом ступени разрешимости, ограниченной функцией от <1, коразмерность которого ограничена функцией от тп и д,.

4. Разработана новая оригинальная техника, позволяющая нормальные подгруппы «преобразовывать» в характеристические. Доказано, что если произвольная группа содержит с-ступепно нильпотентную подгруппу конечного индекса п, то она содержит также характеристическую с-ступенпо нильпотентную подгруппу, имеющую конечный индекс, ограниченный в терминах п и с (совместный результат с Е. И.Хухро).

6. Получен положительный ответ на вопрос П. Шумяцкого 11.126 из «Коуровской тетради» [20] о конечных группах с почти регулярным автоморфизмом порядка 4: доказано, что если конечная группа б допускает автоморфизм порядка 4, имеющий ровно т неподвижных точек, то она обладает нормальной подгруппой Я, у которой индекс ограничен в терминах т, а ступень нильпотентности подгруппы [[Я, Я], Я] ограничена некоторой константой (совместный результат сЕ. И.Хухро).

7. Доказано, что ступень нильпотентности коммутанта группы с /-расщепляющим автоморфизмом порядка 4 ограничена некоторой функцией, зависящей только от ступени разрешимости группы.

8. Доказан ранговый аналог известной теоремы Холла [48]: если (к + 1)-й член нижнего центрального ряда конечной нильпотентной группы (3 имеет ранг г, то фактор-группа группы 6? по (2&)-му члену верхнего центрального ряда имеет (к, г)-ограниченный ранг.

Таким образом, основная цель диссертации — изучение строения групп, колец и алгебр Ли, допускающих автоморфизмы с малыми централизаторами, и разработка новых методов их исследования.

Новизна и научная значимость работы. Все основные результаты диссертации являются новыми. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть использованы для дальнейших исследований как нильпотеитиых групп и алгебр Ли с почти регулярными автоморфизмами, так и других проблем теории групп. Они могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов, специализирующихся в области алгебры.

Апробация работы. Результаты диссертации в период с 1998 по 2006 год были представлены на международных конференциях в Новосибирске, Санкт-Петербурге, Берлине (Германия) и Монсе (Бельгия). В частности, на международных конференциях «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2005 г.) и «Методы логики в математике III» (Санкт-Петербург, 2006 г.) автором были сделаны пленарные доклады по теме диссертации. Результаты работы неоднократно докладывались на семинарах Института математики СО РАН и НГУ «Теория групп», и «Алгебра и логика».

Публикации. Основные результаты автора по теме диссертации опубликованы в форме статей в ведущих отечественных и зарубежных журналах [107-116], а также в тезисах и трудах конференций [117-120].

Содержание диссертации

Общая структура диссертации. Диссертация разбита на главы, которые в свою очередь подразделяются на параграфы. Основные результаты каждой главы (теоремы и их следствия) явным образом сформулированы в первом параграфе главы. Их нумерация двойная: первая цифра — номер главы, вторая номер теоремы в главе. Вспомогательные утверждения (леммы, предложения) и определения имеют тройную нумерацию: первая цифра — номер главы, вторая номер параграфа в текущей главе, третья — номер утверждения в текущем параграфе.

Список источников диссертации и автореферата по математике, доктора физико-математических наук, Макаренко, Наталья Юрьевна, Новосибирск

1. ГОРЧАКОВ Ю. М., О существовании абелевых подгрупп бесконечных рангов в локально разрешимых группах, ДАН СССР, 156 (1964), 17-22.

2. ГЛУШКОВ В.М., О некоторых вопросах теории нильпотентных и локально нильпотеитных групп без кручения, Мат. Сб. 30, N 1 (1952), 79-104.

3. Зельманов Е. И., О некоторых проблемах теории групп и алгебр Ли, Матем. сборник, 180, N 2 (1989), 159-167.

4. Зельманов Е. И., Решение ослабленной проблемы Бернсайда для групп нечетного показателя, Изв. АН СССР, сер. матем., 54, N 1 (1990), 42-59.

5. Зельманов Е. И., Решение ослабленной проблемы Бернсайда для 2-групп, Матем. сборник, 182, N 4 (1991), 568-592.6. каргаполовм.и., Мерзляков Ю. И., Основы теории групп, М., Наука, 1982.

6. Кострикин А. И., О проблеме Бернсайда, ДАН СССР 118, N 6 (1958), 1074-1077.

7. Кострикин А. И., О проблеме Бернсайда, Изв. АН СССР, сер. матем., 23, N 1 (1959), 3-34.

8. Крекнин В. А., Кострикин А. И., Алгебры Ли с регулярными автоморфизмами, ДАН СССР, 149 (1963), 249-251.

9. Крекнин В. А., Разрешимость алгебр Ли с регулярными автоморфизмами конечного периода, ДАН СССР, 150 (1963), 467-469.

10. КРЕКНИН В. А., Разрешимость алгебр Ли с регулярным автоморфизмом, Сиб. мат. ж., 8, N 3 (1967), 715-716.

11. Макаренко Н. Ю., О почти регулярных автоморфизмах простого порядка, Сиб. матпем. ж., 33, N 5 (1992), 206-208.

12. МАКАРЕНКО Н. Ю. Конечные 2-группы, допускающие автоморфизм порядка 4 с малым числом неподвижных точек, Алгебра и логика, 32, N 4 (1993), 402— 427.

13. Макаренко Н. Ю., Хухро Е. И. Большие характеристические подгруппы, удовлетворяющие полилинейным тождествам, ДАН, 412, N 5 (2007).18. мальцев А. И., Нильпотентные группы без кручения, Изв. АН СССР, сер. машем., 13 (1949), 201-212.

14. Мерзляков Ю. И., О локально разрешимых группах конечного ранга, Алгебра и логика, 3, N 2 (1964), 5-16.

15. Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь, 11-е изд., Институт математики СО РАН, Новосибирск, 1990.

16. ХУХРО Е. И., Конечные р-группы, допускающие автоморфизм порядка р с малым числом неподвижных точек, Матем. заметки, 38, N 5 (1985), С. 652657.

17. ХУХРО Е. И. Кольца Ли и группы, допускающие почти регулярный автоморфизм простого порядка, Матем. сб., 181, N 9 (1990), 1207-1219.

18. ХУХРО Е. И. Конечные разрешимые и нильпотентные группы с ограничением на ранк централизатора автоморфизма конечного порядка, Сиб. Мат. журнал, 41, N 2 (2000), 451-469.

19. Шунков В. П., О периодических группах с почти регулярной инволюцией, Алгебра и логика , 11, N 4 (1972), 478-494.

20. Alperin J., Automorphisms of solvable groups, Proc. Amer. Math. Soc., 13 (1962), 175-180.

21. Bell S. D, Hartley В., A note on fixed-point-free actions of finite groups, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), 41, N 162 (1990), 127-130.

22. Berger T., Nilpotent fixed point free automorphism groups of solvable groups, Math. Z., 131 (1973), 305-312.38. borel A., Mostow G. D., On semi-simple automorphisms of Lie algebras, Ann. Math. (2), 61 (1955), 389-405.

23. Brauer R., Fowler K. A., On groups of even order, Ann. Math., V. 62, N 21955), 565-583.40. burnside W., Theory of groups of finite order, Cambridge, 1911.

24. Dade E.,, Carter subgroups and Fitting heights of finite solvable groups, Illinois J. Math., 13 (1969), 449-514.

25. Donkin S., Space groups and groups of prime power order. VIII. Pro-p-groups of finite coclass and p-adic Lie algebras, J. Algebra, 111, (1987), 316-342.

26. Fong P., On orders of finite groups and centralizes ofp-elements, Osaka J. Math., 13 (1976), 483-489.

27. Glauberman G., Large subgroups of small class in finite p-groups, J. Algebra, 272, N 1 (2004), 128-153.

28. Glauberman G., Abelian subgroups of small index in finite p-groups, J. Group Theory, 8, N 5 (2005), 539-560.46. gorenstein D., Finite groups, Harper and Row, New York, 1968.

29. Gross F. Solvable groups admitting a fixed-point-free automorphism of prime power order, Proc. Amer. Math. Soc., 17, (1966), 1440-1446.

30. Hall Ph. Finite-by-nilpotent groups,, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 52,1956), 611-616.

31. P. HALL, Some sufficient conditions for а групп to be иильпотент, III. J. Math., 2 (1959), 787-801.

32. Hartley В., A general Brauer-Fowler theorem and centralizers in locally finite groups, Pacific J. Math. 152 (1992), 101-117.

33. HARTLEY В., ISAACS I. M., On characters and fixed points of coprime operator groups, J. Algebra, 131 (1990), 342-358.

34. Hartley В., meixner T. Periodic groups in which the centralizer of an involution has bounded order, J. Algebra, 64, N 1 (1980), 285-291.

35. Hartley В., meixner Т., Finite soluble groups containing an element of prime order whose centralizer is small, Arch. Math. (Basel) 36 (1981), 211-213.

36. Hartley В., Turau V., Finite soluble groups admitting an automorphism of prime power order with few fixed points, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 102 (1987), 431-441.

37. HlGMAN G., Groups and rings which have automorphisms without non-trivial fixed elements, J. London Math. Soc., 32 (1957), 321-334.

38. Huppert В., Blackburn N., Finite groups II, Springer, Berlin, 1982.

39. Jabara E., Groups admitting a 4-splitting автоморфизм Italian], Rend. Circ. Mat. Palermo, II. Ser., 45, N 1 (1996), 84-92.58. jaber K., Groups and identities, Commun. Algebra, 30, N 5 (2002), 2387-2404.

40. Jaber K., Wagner F. O., Largeur et nilpotence. Commun. Algebra, 28, N 6 (2000), 2869-2885.

41. Jacobson N., A note on automorphisms and derivations of Lie algebras, Proc. Amer. Math. Soc., 6 (1955), 281-283.

42. Jaikin-Zapirain A., On almost regular automorphisms of finite p-groups, Adv. Math., 153, N 2 (2000), 391-402.

43. Khukhro Е. I, Nilpotent groups and their automorphisms, De Gruyter, Berlin, 1993.63. khukhro E. I, p-Automorphisms of finite p-groups, Cambridge University Press, 1999.

44. Khukhro E. I., Shumyatsky P., Lie algebras with almost constant-free derivations, J. Algebra, 306, N 2 (2006), 544-551.67. kovacs L., Groups with regular automorphisms of order four, Math. Z., 75, (1960/1961), 277-294.

45. Leedham-Green C.R., Pro-p-groups of finite coclass, J. London Math. Soc., 50,(1994), 43-48.

46. Leedham-Green C. R., The structure of finite p-groups, J. London Math. Soc., 50, (1994), 49-67.

47. Leedham-Green C. R., McKay S., On p-groups of maximal class I, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), 27, (1976), 297-311.

48. Leedham-Green C. R., McKay S., On p-groups of maximal class II, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), 29, (1978), 175-186.

49. Leedham-Green C. R., McKay S., On p-groups of maximal class III, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), 29, (1978), 281-299.

50. LlNCHENKO V., Identities of graded Lie algebras with actions of Hopf algebras, Comm. algebra, 25, (1997), 3179-3187.74. lubotzky A., Mann A., Powerful p-groups, I: finite groups, J. Algebra, 105 (1987), 484-505.

51. Magnus W., Uber Beziehungen zwischen höheren Kommutatoren, J. Reine Angew. Math., 177 (1937), 105-115.

52. Magnus W., Uber Grupen und zugeordnete Liesche Ringe, J. Reine Angew. Math., 182 (1940), 142-149.

53. Magnus W., A connection between the Baker-Hausdorff formula and a problem of Burnside, Ann. Math., 57 (1950), 111-126.

54. McKay S., On the structure of a special class of p-groups I, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), 38, (1987), 489-502.

55. Medvedev Yu., p-Divided Lie rings and p-groups, J. London Math. Soc. (2), 59 (1999), 787-798.

56. Pettet M.R., Automorphisms and Fitting factors of finite groups, J. Algebra, 72 (1981), 404-412.

57. Poizat B., Groupes stables. Villeurbanne, France: Bruno Poizat 1987.

58. D. robinson, A course in the theory of rpynns. New York: Springer-Verlag 1995.

59. SHALEV A., The structure of finite p-groups: effective proof of the coclass conjectures, Invent. Math., 115, (1994), 315-345.

60. Siialev A., Zelmanov E. I., Pro-p-groups of finite coclass, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., Ill (1992), 417-421.94. schult E., On groups admitting fixed point free Abelian operator groups, Illinois J. Math., 9 (1965), 701-720.

61. Shumyatsky P., Involutory automorphisms of finite groups and their centralizers, Arch. Math. (Basel), 71 (1998), 425-432.

62. Stewart A. G. R., On the class of certain imjibnoTeirr rpynns, Proc. Roy. Soc. Lond., Ser. A, 292 (1966), 374-379.

63. Sylow M. L., Théorèmes sur les groupes de substitution, Math. Ann., 5 (1872), 584-594.

64. Thompson J., Finite groups with fixed-point-free automorphisms of prime order, Proc. Nat. Acad. Sei. U.S.A., 45 (1959), 578-581.99. thompson J., Automorphisms of solvable groups, J. Algebra, 1 (1964), 259-267.

65. TOBIN S. J., Groups with exponent four, in: Groups, Conf. St. Andrews 1981, Lond. Math. Soc. Led. Note Ser., 71 (1982), 81-136.101. turull A., Fitting height of groups and of fixed points, J. Algebra, 86 (1984), 555-566.

66. Wagner F. О., Commutator conditions and splitting automorphisms for stable rpynns, Arch. Math. Logic, 32 (1993), 223-228.

67. R. B. WARFIELD, Nilpotent groups, Lecture Notes in Math. 513, Springer-Verlag, Berlin, 1976.

68. Winter D. J., On groups of automorphisms of Lie algebras, J. Algebra, 8, N 2 (1968), 131-142.

69. Макаренко Н. Ю., Ранговые аналоги теорем Холла и Бэра, Сиб. Мат. Ж., 41, N 6 (2000), 1376-1380.

70. Макаренко Н. Ю., Конечные 2-группы с автоморфизмом порядка 4, Алгебра и логика, 40, N 1 (2001), 83-96.

71. Макаренко Н.Ю., ХухроЕ. И., О группах с 1-расщепляющим автоморфизмом порядка три и четыре, Алгебра и логика, 42, N 3 (2001), 293-311.

72. Kiiukhro Е. I., makarenko N. Yu., Lie rings with almost regular automorphisms, J. Algebra, 264, N 2 (2003), 641-664.

73. МАКАРЕНКО Н. Ю., Нильпотентный идеал в кольцах Ли с автоморфизмом простого порядка, Сиб. Мат. Ж., 46, N 6 (2005), 1360-1373.

74. Макаренко Н.Ю., Хухро Е. И., Конечные группы с почти регулярным автоморфизмом порядка 4, Алгебра и логика, 45, N 5 (2006), 575-602.

75. МАКАРЕНКО Н. Ю., Градуированные алгебры с малым числом нетривиальных компонент, Сиб. Мат. Ж., 48, N 1 (2007), 91-112.

76. Васильев А. В., ВдовинВ.П., Заварницин А. В., Макаренко Н. Ю., пожидаев А. п., Конечные группы и алгебры Ли, Материалы конференции молодых ученых, посвященной 100-летию М.А. Лаврентьева, Математика, Новосибирск, 2000, 8-11.

77. МАКАРЕНКО Н. Ю., Ранговые аналоги теорем Холла и Бэра, IV Международная алгебраическая конференция, Новосибирск, 2000, С. 111.

78. Васильева. В., ВдовинВ.П., Заварницин А. В., Макаренко Н.Ю., Теория конечных групп и алгебры Ли, Материалы конференции молодых ученых СО РАН, посвященной М.А. Лаврентьеву, Ч. I, Новосибирск, 2002, 16-19.