Конечные группы с относительно большими централизаторами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ
|
Аминева, Нажия Нажитовна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Челябинск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2005
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.06
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
-»чл
На правах рукописй""" УДК 512.54
Аминева Нажия Нажитовна
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ОТНОСИТЕЛЬНО БОЛЬШИМИ ЦЕНТРАЛИЗАТОРАМИ
01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Екатеринбург, 2005
Работа выполнена на кафедре алгебры и геометрии Южно-Уральского государственного университета
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук, профессор В.А. Антонов
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор В.И. Зенков
кандидат физико-математических наук. Н.Д. Зюляркина
Ведущая организация:
Челябинский государственный педагогический университет
Защита состоится 25 октября 2005 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.03 в Институте математики и механики УрО РАН по адресу:
620219, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.
Автореферат разослан 25 сентября 2005г.
Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат.наук,
В.В. Кабанов
17 Ч5Ъ
Актуальность темы
Исследованию групп с ограничениями, наложенными на совокупность централизаторов, посвещено большое число работ. Обзор результатов относящихся к этой тематике можно найти в работах Антонова В.А. [1,2, 5].
Мы отметим только результаты, связанные с относительной величиной централизаторов.
Если G — произвольная группа и А — подгруппа из G, то
N{A) > А ■ С{А).
Нас будут интересовать группы, в которых N(A) не сильно отличается от А ■ С(А) для некоторых подгрупп А.
Подгруппу А группы G назовем обобщенно самонормализуемой, если
N(A) = А ■ С{А).
Если А — обобщенно самонормализуемая абелева подгруппа группы G, то N(A) = С{А).
Ду Ни в своей работе [7] показал, что если для каждой подгруппы А простого порядка из группы G выполняется равенство N(A) = С {А), то группа G разрешима и ее свойства находятся между нильпотентностью и 2-замкнутостью (группа G 2-замкнута, если силовская 2-подгруппа в ней инвариантна).
В работе Р. Брандэла, С. Франпиози и Ф. Джовани [6] исследуется ситуация, когда из равенства N(A) = С (А) для абелевой подгруппы А определенного вида следует абелевость самой группы.
Следуя А. Жилотти и У. Тиберио [8, 9], назовем JVC-группой конечную группу, в которой для любого простого делителя р порядка группы и каждой силовской р-подгруппы F группы G справедливо равенство N{Z{P)) = С (ZIP)).
В этих работах [8, 9] показало, что любая NC-группа не проста. В то же время, любая конечная группа изоморфно вкладывается в некоторую iVC-группу. Авторами построены примеры iVC-групп произвольной фиттинговой длины с нетривиальным центром и jVC-rpynn без центра произвольной фиттинговой длины < 4. В работе [8] показано, что NC-группа фиттинговой длины не более двух имеет нетривиальный центр и приведено описание некоторых классов iVC-групп фиттинговой длины 3 с нетривиальным центром.
Таким образом наличие обобщенно самонормализуемых подгрупп в гттшах не несет инсЬоималии. ттостят<ущой ппя пттгятгия этих групп.
ÍWC НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА i
В то же время, группы, в которых достаточно много обобщенно самонормализуемых подгрупп, допускают полное описание. Так в работах Антонова В.А. [3, 4] были описаны конечные группы, в которых обобщенно самонормализуемы все подгруппы. Там же описаны группы с обобщенно самонормализуемыми абелевыми. неабелевыми, примарными. не-примарными, инвариантными или неинвариантными подгруппами. Отметим следующий результат (утверждение 0.2 из диссертации), который нам понадобится в дальнейшем.
Утверждение ([4]). В конечной группе G в том и только в том случае для любой неин вариантной подгруппы Н выполняется равенство N(H) = Н ■ С(Н), когда G — группа одного из следующих типов:
1) G — абелева группа;
2) G — нильпотентная группа с коммутантом простого порядка;
3) G обладает абелевым нормальным делителем А простого индекса р и силовская р-подгруппа из G абелева;
4) G = (HX(a))Z(G), где Н —конечная элементарная абелева р-группа, (|а|,р) = 1, и все степени элемента а, не лежащие в Z[G), действуют на Н неприводимо.
Следующим естественным шагом является исследование групп, в которых нормализаторы подгрупп мало отличаются от их централизаторов, а именно, для каждой подгруппы А из выделенного множества подгрупп выполняется неравенство
(*) \ЩА):А-С(А)\<2.
Это условие является центральным в диссертационной работе. В работе С. Смита и А. Тирера [12] показано, что если в конечной группе G для силовской р-подгруппы Р выполняется равенство
|JV(P): Р-С(Р)| = 2,
а Р либо нециклическая абелева группа^ либо имеет коммутант простого порядка, то G' <G.
Несколько более общая систуация изучалась в работах JI. Хезелаи [10, 11]. Следуя JL Хезелаи [10], подгруппу А в примарной группе G назовем гибкой, если А совпадает со своим централизатором и имеет простой индекс в своем нормализаторе. Каждая р-группа максимального класса п > 1 обладает гибкими подгруппами порядка р2. Им получен ряд свойств конечных р-групп, содержащих гибкие подгруппы.
Полностью описать группы с ограничением (*), удается только если подгруппа А пробегает достаточно большое множество подгрупп.
Цель диссертации
Целью диссертационной работы является исследование строения конечных групп С в которых для любой подгруппы А из выделенного множества подгрупп группы О выполняется неравенство
|ДГ(А): А ■ С(А)\ < 2.
Методика исследования
В работе применяются теоретико-групповые методы.
Научная новизна
Все результаты, полученные в диссертации являются новыми.
Практическая и теоретическая ценность
Работа имеет теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы в дальнейших исследованиях по теории групп.
Апробация работы
Результаты диссертации докладывались на Международном семинаре по теории групп посвященном 70-летию А.И. Старостина и 80-летию Н.Ф. Сесекина (Екатеринбург, 2001), на Международной конференции г Алгебра и ее приложения" (Красноярск, 2002), на Международной конференции "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2003), на семинаре отдела алгебры и топологии ЙММ УрО РАН и на алгебраическом семинаре ЮУрГУ.
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [13] - [18].
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения и трех глав. Она изложена на 82 страницах, библиография содержит 50 наименований. Нумерация теорем и лемм в каждой главе своя, например, теорема 3.2 — вторая теорема третьей главы. Главы делятся на параграфы.
Содержание работы
Во введении приводится мотивировка исследования и формулируются утверждения, необходимые в дальнейшем.
Первая глава диссертации содержит два параграфа. В первом параграфе изучаются конечные группы, в которых неравенство (*) выполняется для любой подгруппы и группы в которых неравенство (*) выполняется для любой абелевой подгруппы.
Теорема 1.1. Пусть С? — конечная группа, в которой для любой подгруппы А выполняется неравенство (*). Тогда й = КХН, где Н —
силовская 2-подгруппа группы С, подгруппа К абелева, \Н/Сн(К)\ < 2, и либо группа Н абелева, либо Щ2{Ж) — четверная или диэдралъная группа.
Теорема 1.2. Пусть С? — конечная группа, в которой условие (*) выполняется для каждой абелевой подгруппы А. Тогда одного из следующих типов:
1) С — группа из теоремы 1.1;
2) й = (Ко х Р) ■ (Л) • (х), Н = Р-{К) — силовская 2-подгруппа группы (7, К1 £ Р, К0{х) — абелева, х3 £ ■£(<?). При этом либо Н е £(#), (х)Н/((х3)г(Н)) ^ Аа и [Л, х] = 1, либо Н/г(Н) = (К)Цу) — группа диэдра порядка 8 « О/(К0 х Р) = 53;
3) в-Е- 2{0), где Е 3 51(2,5).
Во втором параграфе изучается строение групп, в которых неравенство (*) выполняется для любой неабелевой подгруппы.
Теорема 1.3. Пусть £? — неабелева р-группа, в которой неравенство (*) выполняется для любой неабелевой подгруппы А. Тогда если рф'1, то (СУ/^/С?)! = р2, а если р = 2, то выполняется один из следующих случаев:
1) |ОД<?)|<8;
2) — диэдралъная группа;
3) С = К ■ 2{Сг), где К — центральное произведение двух групп Миллера-Морено с объединенным коммутантом;
4) £/•£(<?) = ((а)А(5)) к <зг), (Я)А(5) — группа Лю<?ра, |г| = 2, и если Ъ, х — представители смежных классов Ъ «ЗР, то [£>, х] = {а2,!] = 1;
5) = (5, х), [5, г] е (52,г2), [б2, а;2] = 1, и каждая из факторгрупп С/(Ь2)£(СУ) и является либо диэдральной либо квази-диэдральной группой;
6) С/ад = ((г) X <2»<5), |г| = 2, Ь2 € (г), [*2,г] = 1, [5,зг] = и
— диэдралъная или квазидиэдральная группа;
7) С/ад = <Ь)А<ЗГ>, |х| = 4, |5| > 4, [х2,Ь2] = 1 « 0/{х2ЩС) -диэдралъная или квазидиэдральная группа;
8) С/ад = ((Л) х (у))\(%), Ъ* = ь2=х2 = 1, [и,х] = у, [и, г;] ф 1, [у, х] = [и2.ь] = 1.
Следствие. £?сли С — неабелева нилъпотентная группа, в которой условие (*) выполняется для любой неабелевой подгруппы А, то С = К х Я, где Я — неабелева силовская р-подгруппа, строение которой определено в теореме 1.3, о группа К абелева.
Теорема 1.4. Пусть С — ненилъпотентная группа, в которой для любой неабелевой подгруппы А выполняется неравенство (*). Тогда группа СУ является группой одного из следующих типов:
1) С = КХН, силовская 2-подгруппа Н либо абелева, либо удовлетворяет заключению теоремы 1.3, и либо \Н : Сц{К)\ = 4 и группа К х Сц{К) абелева, либо }Н : Сц{К)\ < 2. а группа К х Сц{К) лубо абелева, либо имеет строение, указанное в следствии из теоремы 1.3;
2) С7 имеет абелеву нормальную подгруппу простого индекса р и силовская р-подгруппа Р группы С абелева;
3) <7 = (К\Р){х), КХР — группа из пункта 2) теоремы, г2 £ К и группа РХ{х) неабелева;
4) С = X К, где К ^ Р51(2, q) и либо д = 2", (2П-1) — простое
о - 1 „„ 3"-1
число, либо 2 = 9, либо з и —-— — простые числа, либо д = 3 и —-—
— простое число;
5) (? обладает таким рядом Z{G) < 1{Н) < Н < (7, что Н = г(П) х К, где К ^ А&, и (ЭДЯ) = 56.
Вторая глава диссертации состоит тоже из двух параграфов. В первом параграфе приводится описание конечных групп, в которых неравенство (*) выполняется для всех примарных подгрупп.
Теорема 2.1. Пусть <? — конечная группа, в которой для любой примаркой подгруппы А выполняется неравенство (*). Тогда С = КХН, где Н — силовская 2-подгруппа группы С, имеющая строение, указанное в теореме 1.1, подгруппа К абелева, и для любой силовской подгруппы Р из К выполняется неравенство \Н : Сн{Р)\ < 2.
Во втором параграфе исследуются группы с условием (*) для всех не-примарных подгрупп. Отдельно рассмотрены случаи разрешимой, простой и неразрешимой не простой группы б.
Теорема 2.2. Пусть С? — конечная разрешимая группа, в которой условие (*) справедливо для любой непримарной подгруппы А. Тогда С одного из следующих типов:
1) С — примарная группа;
2) <3 —абелева непримарная группа;
3) (7 = К х Н, К — неединичная абелева группа, Н — силовская 2-подгруппа из С и Н/7(Н) является либо четверной, либо диздральной группой.
4) б = КХН, группа К — абелева, силовская 2-подгруппа Н имеет строение указанное в теореме 1.1, \Н : Сц(К)\ < 2;
5) й = РХ{х), Р являетсяр-группой, |х| — простое нечетное число
5 ф р, С(х) абелев, совпадает со своим нормализатором и для любоИ х-допустимой подгруппы Н из Р выполняется равенство
Ж П С(х) = (Я П С(*)МО(Я) П С(х));
6) С? = РХ(х), Р является р-группой ступени нильпотентности не выше двух, \х\ = 2фр и < ^(Р);
7) <7 = РХ(х), Р является р-группой, р ф 2, |х| = 4 и РХ(х2) — группа из пункта 6);
8) С = РХ((х)Х{у)), Р — абелева силовская р-поогруппа из |х| = Ч Ф Р> У2 — 1» РХ(а) группа типа 5) или 6) для любого неединичного элемента а € (х)Х(у), и если д ф 2, то ху ф ух;
9) б = РХ(х), F — кеабелева силовская 2-подгруппа, |х| — простое число, и для любой х-допустимой подгруппы Я из Р выполняется условие
|(ГПС(*)): (ЯПС(*)МО(Я)ПС(х))| < 2,
причем хотя бы для одной подгруппы Я этот индекс равен 2;
10) в = (ГЛ(х)) • (г), |х| = р — простое число, т2 € Р, Г • (г) — силовская 2-подгруппа группы С, хт — х-1, ■РХ(х) группа типа 5) или 9), и если Я — ((х)Х(т))-допустимая подгруппа из Р, то
Г П С(х) = (Я П С{х))-{СР(П) П С(х)).
Теорема 2.3. Пусть б — конечная простая группа, в которой условие (*) выполняется для любой непримарной подгруппы. Тогда <? изоморфна одной из следующих групп:
1) РвЦ2,2"), (2" -1) — простое число;
2) РБЬ{2,р), р и ^ — простые числа;
3) Р51,(2,3"), п = 2 или ^у1 — простое число;
4) 5г(8) или 5г(32).
Теорема 2.4. Пусть б — неразрешимая не простая группа, в которой условие (*) выполняется для любой непримарной подгруппы А. Тогда справедливо одно из следующих утверждений:
1) С — 55;
2) б/^ ^ А5, Р является 2-группой и если Н/Р — подгруппа нечетного порядка, то N(11) является группой типа 10) из теоремы 2.2
3) С = Р х А, ^ — абелева 2-группа, А Р5Ь(2,2"), число (2П - 1) простое.
В третьей главе диссертации три параграфа. В первом параграфе исследуются конечные группы, в которых для любой инвариантной подгруппы А выполняется неравенство (*). Конечно, описать все неразрешимые группы с таким свойством не представляется возможным, так как таковыми являются все простые и квазипростые группы, их прямые произведения и т.п. Поэтому приведено только строение фактор-группы й/Е, где Е — слой группы й.
Теорема 3.1. Пусть С — конечная группа, в которой условие (*) выполняется для любой инвариантной подгруппы А. Тогда |С : | <2, и если Е — слой группы в, то в/Е = КХБ, : С8{К)\ < 2, подгруппа К абелева, а силовская 2-подгруппа 5 либо абелева, либо фактор-группа 5/^(5) является четверной или диэдральной группой.
Во втором параграфе изучаются конечные 2-группы, в которых неравенство (*) выполняется для любой неинвариантной подгруппы А. Отдельно рассмотрены случаи двуступенно нильпотентной группы, группы с циклическим коммутантом и группы ступени нильпотентности больше двух с нециклическим коммутантом.
Теорема 3.2. Если б — конечная двуступенно нильпотентная 2-группа, в которой условие (*) выполняется для любой неинвариантной подгруппы А, то либо |б?'| < 4, либо С и 012(0) — элементарные абелевы группы порядка 8.
Пусть теперь (? — группа с циклическим коммутантам С = (а), удовлетворяющая условию (*).
Теорема 3.3. Пусть (7 — группа, с циклическим коммутантом (я) порядка не меньше 8, в которой условие (*) выполняется для любой неинвариантной подгруппы. Если найдется такой элемент х, что а = \х,у] и х € С(а), то выполняется один из следующих случаев:
1) = (г)А((у> х (?)), М = 1, а* = а-1, М = а1"1'2;
2) С/г(0) = <х)А((у) х (7)), [х,у] = X"1, М = 1, М =
3) <?де) = (г)А(у), 2 < |у| < 8, а? = а<\а = -1 ^то<1 .
Теорема 3.4. Пусть С — группа, с циклическим коммутантом (а) порядка не меньше 8, в которой условие (*) выполняется для любой неинвариантной подгруппы. Если для любых х, у € (7 из [х, у] — а следует, что [а, я] -ф 1 ф [а, у], то выполняется один из следующих случаев-.
1) С = (х, [х,у] = а, а* = а"1, [а, у] = а^;
2) СУ = (х, у, <)£((?), {х,у)Я(С) — группа из пункта Л), [х,^ = 1,
Теорема 3.5. Пусть G — конечная 2-группа, в которой условие (*) выполняется для любой неинвариантной подгруппы. Если ступень нильпотентности группы G больше двух, то ее коммутант либо является циклической группой, либо имеет порядок 4.
В третьем параграфе исследуется строение непримарных групп G. в которых условие (*) выполняется для любой неинвариантной подгруппы А. Группа G в этом случае разрешима. При этом строение силовской 2-подгруппы S группы G определено в теоремах 3.2 — 3.5. а холлова 2'-подгруппа Р группы G является группой из заключения утверждения 0.2. Исследование разбито на части в зависимости от характера вложения подгрупп S и Р в G.
Теорема 3.6. Если G = S х Р, то либо S — дедекиндова группа, а Р — группа из утверждения 0.2, либо группа Р абелева, а S — группа из теорем 3.2 — 3.5.
Теорема 3.7. Если S < G, но Р<$ G, то выполняется один из следующих случаев:
1) G — группа из пункта 3 или 4 утверждения 0.2;
2) G = (S\{a))Z(G), |S*| = 2 и {S/ff)\(а) — группа из пункта 3 или
4 утверждения 0.2;
3) \ff\ < 2, Р — группа из пункта 3 утверждения 0.2, и если Р = А(х), хТ 6 А, то [S,j4] = 1 и (S/ff)Х(х) — группа из пункта 3 утверждения 0.2;
4) Р — группа из пункта 4 утверждения 0.2, |а| = qn, q простое число, группа S дедекиндова, CP(S) = (ЯА(af~l))Z(P), (S/ff)\{a) — группа из пункта 3 утверждения 0.2.
В случае когда Р < G, S ¿6 G доказана одна лемма носящая технический характер. Мы приведем только следствие из нее.
Следствие. Если Р < G, а S <fG и |S/Cs(P)| > 2, то либо группа
5 абелева, либо S/Z(S) — четверная или диэдральная группа .
Теорема 3.8. Пусть G = PXS и S<$G. Тогда, если группа Р абелева, то выполняется один из следующих случаев:
1) \S/Cs{P)\ < 4;
2) S/Cs(P) = (я), И > 8, [Р, 5) = Я х В, В = 1 или \S/Cs(B)\ = 2, Я является либо циклической группой простого порядка р, либо элементарной абелевой группой порядка р1, причем в последнем случае элемент «И/4 действует на Я неприводимо;
3) [Р, 5] — элементарная абелева группа порядка р1, SfCs(P) является диэдральной, квазидиэдральной или кватернионной группой, и если (?) — циклическая подгруппа индекса 2 из S/Cs(P), то s^/4 действует
на [P,SJ неприводимо:
4) [Р, 5] = H х В, Я — элементарная абелева группа порядка р2, S/Cs(P) — кватернионная группа, действующая на H регулярно, |5 : Cs(S)| = 2;
а если группа Р не абелева, то Cs{P) — дедекиндова группа и выполняется один из следующих случаев:
5) Р — группа типа 2) из утверждения 0.2, |S/Cs(P)| = 2, S/Cs(P) действует на Р/Р регулярно и (с) П Р1 = 1 для любого с G Р \ Р';
6) Р — группа типа 4) из утверждения 0.2, С$(Р) = Cs{lТ) и выполняется одно из следующих условий:
а) |S/Cs(P)| = 2,
б) \S, а] = 1 и H — циклическая группа простого порядка р,
в) H — элементарная абелева группа порядка р2, S/C$(P) является циклической, четверной, диэдралъной, квазидиэдральной или кватерни-онной группой, действие S/Cs(P) на H ■ Z(P) определено в пунктах 2) — 4) теоремы. Cs(a)/Cs(P) либо циклическая, либо кватернионная группа и |S/Cs(a)j < 2;
7) Р — группа типа 3) из утверждения 0.2, и если Р = А{х), хр S А, то CS(P) = CS(A) = Cs(*) « |S/C5(P)| = 2.
Теорема 3.9. Если SjlGuPj G, то S = 50(г), г2 € 50, G = (Sq\P){t), SqXP — группа из теоремы 3.7, а РХ(т) — группа из теоремы 3.8
Список литературы
[1] Антонов В.А. Решетка централизаторов в группах.// Исследов. алгебр, систем по св-ам их подсистем. — Свердловск. — 1985. — С. 3-14.
[2] Антонов В.А. Группы с ограничениями на централизаторы.// Алгебра и лин. оптимиз. Труды междун. сем., посвещ. 90-летию С.Н. Черникова. Екатеринбург: УрО РАН, — 2002. — С. 31-43.
[3] Антонов В.А. Локально конечные группы с малыми нормализаторами.// Мат. Заметки. — 1987. — Т. 41. — № 3. — С. 296-302.
[4] Антонов В.А. Локально конечные группы с малыми нормализаторами, 2.// Изв. высш. учебн. завед. — 1989. — № 1. — С. 12-14.
[5] Antonov V.A. Lattices of centralizers in groups.// Algebra. Proc. 3 Intern, conf. on Alg. Berlin - New York. — 1996. — P. 1-6.
[6] Brandl R., Pranciosi S., De Giovanni F. Groups whose subgroups have small automizers.// Rend. Circ. mat. Palermo. Ser. 2. — 1999. — V. 48. — № 1. — P. 13-22.
[7] Du Ni. Xiamen daxue xuebao.// J.Xiamen Univ. Natar. Scu. — 2002.
— V. 41. — № 1. — P. 13-16.
[8] Gilotti A.L., Tiberio U. On the Fitting length of NC-groups.// Geom. dedic. — 1991. — V. 40. — № 1. — P. 217-224.
[9] Gilotti A.L., Tiberio U. On the NC-groups.// Ric. mat. — 1990. — V. 39. — № 1. — P. 71-79.
[10] Hethelyi L. Soft subgroups of p-groups.// Ann. Univ. Sei. Budapest. Sect. Math. — 1984. — V. 27. — P. 81-85.
[11] Hethelyi L. On subgroups of p-groups having soft subgroups.// J. London Math. Soc. — 1990. — V. 41. —№ 3. — P. 425-437.
[12] Smith S.D., Tyrer A.P. On finite groups with a certain Sylow normalizer, 1, 2.// J. Algebra. — 1973. — V. 26. — № 2. — P. 343-365; 366-367.
Работы автора по теме диссертации
[13] Антонов В.А., Аминева H.H. О группах с относительно большими централизаторами.// Изв. высш. учебн. завед. — 2003. — № 7.
— С. 8-17.
[14] Антонов В.А., Аминева H.H. О группах с относительно большими централизаторами.// Труды ИММ УрО РАН, — 2001. — Т. 8.
— С. 1-8.
[15] Аминева H.H. 2-группы с относительно большими централизаторами неинвариантных подгрупп.// Препринт. — Южно-Урал. гос. унив. — 2004. — 11 с.
[16] Аминева H.H. Группы с относительно большими централизаторами инвариантных подгрупп.// Вестник ЮУрГу. — 2001. —№ 7. — С. 37-38.
Аминева H.H. Конечные 2 -группы с относительно большими централизаторами неинвариантных подгрупп.// Вестник ЮУрГу. — 2003. — № 6. — С. 17-19
Антонов В.А., Аминева H.H. Конечные группы с относительно большими централизаторами неинвариантных подгрупп.// ЮжноУральский гос.универ., деп. в ВИНИТИ 01.03.2004, № 361 - В 2004. — 13 с.
Аминева Нажия Нажитовна Конечные группы с относительно большими централизаторами 01.01.06—математическая логика, алгебра и теория чисел
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Издательство Южно-Уральского государственного •университета
Подписано в печать 22.09.2005. Формат 60х 84 1/16. Печать офсетная. Усл.печ. л. 0,70. Уч.-изд. л. 0,79. Тираж 80 экз. Заказ 297/330
УОП Издательства 454080, г. Челябинск, пр. им. В.И. Ленина, 76
á
119144
РНБ Русский фонд
2006-4 17453
Введение
1. Группы с относительно большими централизаторами всех абелевых (всех неабелевых) подгрупп.
1.1. Группы с относительно большими централизаторами всех абелевых подгрупп
1.2. Группы с относительно большими централизаторами всех неабелевых подгрупп.
2. Группы с относительно большими централизаторами при-марных (непримарных) подгрупп
2.1. Группы с относительно большими централизаторами всех при-марных подгрупп
2.2. Группы с относительно большими централизаторами всех непримарных подгрупп.
3. Группы с относительно большими централизаторами инвариантных (неинвариантных) подгрупп
3.1. Группы с относительно большими централизаторами инвариантных подгрупп.
3.2. 2-группы с относительно большими централизаторами неинвариантных подгрупп
3.3. Группы с относительно большими централизаторами неинвариантных подгрупп
Одной из основных задач теории групп является описание групп с теми или иными ограничениями, наложенными на выделенную систему подгрупп. В качестве такой системы можно рассматривать совокупность централизаторов подмножеств группы. При этом ограничения могут накладываться на отдельные централизаторы, на множество всех централизаторов подгрупп группы или на его достаточно большую часть.
Исследованию групп с ограничениями, наложенными на совокупность централизаторов, посвещено большое число работ. Обзор результатов относящихся к этой тематике можно найти в работах [2, 3, 23].
Мы ограничимся только ограничениями, связанными с величиной централизаторов. Здесь можно выделить несколько направлений.
Группы с большими централизаторами. Локально конечные группы G, в которых для любого нецентрального элемента х подгруппа С(х) максимальна в G описаны в [6].
Целый ряд работ посвящен изучению групп, в которых централизатор любого нецентрального элемента является максимальным централизатором. Такие группы назовем Б-группами.
Пусть G — произвольная ^-группа с локально конечной факторгруппой по центру. Тогда либо G является М-группой, т.е. группой с модулярной решеткой централизаторов длины 2, либо фактор-группа G/Z(G) имеет простую экспоненту [7].
Пусть G — конечная р-группа, являющаяся В-группой. Тогда [39]
1) если C(G') ф Z2(G), то C(G') абелев;
2) если G не является М-группой, то C{G') < ZP(G);
3) если я € C(G') \ Zk(G), то С(х) > Zk(G), |С(С(х)) : Z(G)| > |G : С(аг)!*-1, и если у <£ G(x), то |G : С(у)\ > \G : ОД!*"1.
Если х — элемент из Б-группы G и у 0 G(x), то |C(C(;r)) : Z(G)\ < G(y)\. Для случая равенства в [39] получены следующие результаты.
Пусть G — конечная примарная по числу р Б-группа, х € G и у — элемент из G \ С(х) с наибольшим значением \G :С(у)\. Если \С(С(х)) : Z(G) | = |G : С (у) | и ступень нильпотентности группы G больше двух, то
1) С(х) = С(С(х)) — единственный отличный от G и Z(G) инвариантный в группе G централизатор из G;
2) С(х) = C(G'), и фактор-группа G/C(x) абелева;
3) если t С(я), то |G : C(t)\ = |G : С(у)\ и ступень нильпотентности C(t) не превосходит 2;
4) G/Z{G) является М-группой;
5) если |G : С(х)| > р, то ступень нильпотентности группы G не превосходит р, и G/Z(G) — группа экспоненты р.
Особый интерес вызывает исследование D- групп, у которых | G : С(я)| = п для любого х G G \ Z(G) (Б(п)-группы). Несложно доказать, что в этом случае n = рк для некоторого простого числа р.
Пусть G — конечная примарная В(рк)~группа. Тогда для любого нецентрального элемента х из G выполняется неравенство |С(С(ж)) : Z{G)\ < рк. В [8] полностью описаны группы в которых \С(С(х)) : Z{G) | = рк для любого х G G \ Z(G), а в [39] показано, что если равенство выполняется хотя бы для одного элемента х, то G нильпотентна ступени два.
Пусть G — конечная .В (pfc)-группа. Тогда [44]
1) если ступень нильпотентности с группы G больше двух, то yc-i(G) — элементарная абелева группа;
2) если G — метабелева группа, то G нильпотентна ступени не выше трех;
3) в группе G в том и только том случае выполняется равенство \G'\ = рк, когда G изоклинна полуэкстраспециальной группе.
Условие G Е #(р), очевидно, равносильно условию |G'| = р. Полное описание таких групп приведено в [25].
Группы с условием В{р2) с точностью до изоклинизма описаны в [38].
В работе [40] изучается строение конечных р-групп с условием | G : С(х)| < рк для любого элемента х Е G \ Z(G) при к = 2,3. Получен ряд результатов следующего вида.
Пусть р > 2. Тогда указанное условие при к = 3 равносильно одному из следующих условий:
1) |G'| = р3 и \G/Z(G)\ < р4;
2) |G'|<p4n|G/Z(G)|=p4;
3) \G'\ = р4 и существует такая нормальная в G подгруппа N простого порядка р, что |G/N : Z(G/N)\ = р3.
Группы с малыми централизаторами. В конечной неабелевой р-группе G всегда найдется такой нецентральный элемент х, что \С{х)\ > > y\G\. В работе [17] исследуются конечные р-группы, в которых |С(х)| < < p\J\G\ для любого нецентрального элемента х. Доказано, что ступень нильпотентности таких групп не превосходит трех. Для групп ступени 3 получено полное описание с точностью до изоклинизма.
Отметим еще работу [32], в которой исследуются конечные р-группы, обладающие таким элементом х, что С(х) = {х).
Для натурального числа п через w{n) обозначим число множителей в представлении числа п в виде произведения простых чисел. Если Н — подгруппа конечной группы G, то w(H) = w(\H\) и v{G) = тах{«;(С(х))|ж eG\ Z(G)}.
Из условия v(G) — 1, очевидно, следует, что G — неабелева группа порядка pq.
В работе [24] исследованы конечные группы с условием v(G) = 2, а в работах [41] и [22] группы с условием v(G) = 3. Полное описание конечных групп с условием v(G) = 4 получено в работах [10, 11], а в работах [12, 13] приведено описание конечных неразрешимых групп без центра с условием v(G) = 5.
Группы с относительно большими централизаторами. Если G — произвольная группа и Н — подгруппа из G, то
N(H) > Н - С(Н).
Нас будут интересовать группы, в которых N(H) не сильно отличается от Н - С{Н) для некоторых подгрупп Н.
Подгруппу Н группы G назовем обобщенно самонормализуемой, если
N(H) = Я • С(Н).
Если Н — обобщенно самонормализуемая абелева подгруппа группы G, то N{H) = С(Я).
Если для каждой минимальной подгруппы Н группы G выполняется равенство N(H) — С(Я), то группа G разрешима и ее свойства находятся между нильпотентностью и 2-замкнутостью (группа G 2-замкнута, если силовская 2-подгруппа в ней инвариантна) [29].
В работе [26] исследуется ситуация, когда из равенства N(A) = С{А) для абелевой подгруппы А определенного вида следует абелевость самой группы.
В работах [30,31] исследуются конечные группы, в которых для любого простого делителя р порядка группы и каждой силовской ^-подгруппы Р группы G справедливо равенство N(Z(P)) = C(Z(P)) (./VC-группы).
Любая iVC-группа не проста. В то же время, любая конечная группа изоморфно вкладывается в некоторую iVC-группу. Джилотти и Тиберио [30] построли примеры iVC-групп с нетривиальным центром произвольной фиттинговой длины и iVC-групп без центра произвольной фиттинго-вой длины > 4. Показали, что iVC-группа фиттинговой длины не более двух имеет нетривиальный центр и привели описание некоторых классов NC-групп фиттинговой длины 3 с нетривиальным центром.
В общем случае наличие обобщенно самонормализуемых подгрупп в группах не несет информации, достаточной для описания этих групп. Так уже отмечалось, что любая конечная группа может быть вложена в iVC-rpynny.
В то же время, группы, в которых много обобщенно самонормализуемых подгрупп, допускают полное описание. Так в работах [4, 5] были описаны конечные группы, в которых обобщенно самонормализуемы все, все абелевы (все неабелевы), все примарные (непримарные) или все инвариантные (неинвариантные) подгруппы.
Отметим следующие результаты, которые нам понадобятся в дальнейшем:
Утверждение 0.1 ([4], лемма 2)
Если в группе G для любой ( абелевой) подгруппы Н выполняется N(H) = Н - С(Н), то группа G абелева.
Утверждение 0.2 ([5])
В конечной группе G в том и только в том случае для любой неинвариантной подгруппы Н выполняется равенство N(H) = Н • С(Н), когда G — группа одного из следующих типов:
1) G — абелева группа;
2) G — нилъпотентная группа с коммутантом простого порядка;
3) G обладает абелевым нормальным делителем А простого индекса р и силовская р-подгруппа из G абелева;
4) G = (HX{a))Z(G), где Н —конечная элементарная абелева р-группа, (|а|,р) = 1, и все степени элемента а, не лежащие в Z{G), действуют на Н неприводимо.
Следующим естественным шагом в исследовании групп с большими относительно нормализаторов централизаторами подгрупп представляется исследование групп, в которых для каждой подгруппы А из выделенного множества подгрупп выполняется неравенство \N(A):A-C(A)\<2.
Такое ограничение весьма существенно. Так в работах [42] показано, что если в конечной группе G для силовской р-подгруппы Р выполняется равенство
N(P):P-C(P)\ = 2, а Р либо нециклическая абелева группа, либо имеет коммутант простого порядка, то G' < G. В то же время, для получения полного описания групп с ограничением (*) нужно, чтобы подгруппа А пробегала достаточно большое множество подгрупп.
Следуя [35], подгруппу А в примарной группе G назовем гибкой, если А совпадает со своим централизатором и имеет простой индекс в своем нормализаторе. Каждая р-группа максимального класса п > 1 обладает гибкими подгруппами порядка р2.
Отметим следующие свойства конечных р-групп, содержащих гибкие подгруппы.
Утверждение 0.3 ([35, 36])
Пусть А — гибкая подгруппа р-группы G, и \G : А\ = рп. Тогда справедливы следующие утверждения.
1. Множество всех подгрупп группы G, содержащих А, образует цепь
А = Nq < Ni < • • • < iVn i = M<Nn = G, где Ni = N(Ni-i) и ДО: iV,i| = p для всех i = 1,2,., п.
2. A = C(a) для некоторого элемента a 6 A.
3. Подгруппа M, единственная максимальная подгруппа группы G, содержащая А, нильпотентна ступени п. Ступень нильпотентности группы G больше п.
4. Подгруппа R{G) = G' • Z{N\) характеристична в G, и GfR{G) — элементарная абелева группа порядка р2.
5. Все гибкие подгруппы группы G, лежащие в М, сопряжены и совпадают с подгруппами вида С(х) для некоторого х £ М \ R(G),
6. Если п > 1, то Cm{G') — абелева характеристическая подгруппа группы G.
В этих же работах получен ряд результатов о строении верхнего и нижнего центральных рядов группы М. Так, например, Z;(M) = iV,i П Nfi для любого g € G \ М, Zi+\(M)/Zi(M) — элементарная абелева группа порядка не выше р2 и Zt(P) < Z,(A/).
Отметим еще, что ДО,Л] = |jV} : N'^] < р2, и ДО : = р тогда и только тогда, когда N'{ <] TV,+2.
В дальнейшем неоднократно будет использоваться следующий результат.
Утверждение 0.4 ([14], стр. 15-16)
Если ж'-группа А действует, на ж-группе Р, то [Р,А,А] = [Р,.<4], Р = [Р, А] • Ср{А), и если группа Р абелева, то Р — [Р,А] х Ср(А).
Отметим, что если в условиях утверждения 0.4 группа [Р, А] абелева, а Ср(А) < Р, то Р = [Р, А] х Ср(А). В самом деле, из
Л А, А] = [Р,А] и [Р, Л] = [Р, А, А] х С[РЛ{А) следует, что
Р,А]ПСР(А) = 1.
Кроме того, нам понадобится следующее утверждение, вытекающее из обзора [19].
Утверждение 0.5
Если G — спорадическая конечная простая группа, то в ней найдется такая непримарная неабелева подгруппа Н, что
N(H): Я • С(Н)\ > 2.
Доказательство.
Данное утверждение, очевидно, верно, если в группе G существует такая силовская р-подгруппа Gp, что C(GP) < Gp и N(GP)/GP содержит такой неединичный элемент tGp, что \N(Gp)/(t)Gp\ > 2. Из обзора [19] следует, что
1) в группе М\\: N{Gz) = G^XT, |Г| = 16 ж Т действует на С?з точно, а А/12, Suz, Мс> А/ц;
2)BrpynneA/22:iV(G3) = G3Ag8,aA/23,M24, .1, .2, .3, А/(22), Р2 > М22;
3) в группах Ji, и i/5: N(Gj) — группа Фробениуса порядка 7 • 6, a TVS > Л;
4) в группах J3 и #е: N(Gn) — группа Фробениуса порядка 17 • 8;
5) в группе J\\ N(G<2z) — группа Фробениуса порядка 23 • 22;
6) в группе Ly: N(Gz\) — группа Фробениуса порядка 31 • б;
7) в группе Ru: N(G2q) — группа Фробениуса порядка 29 • 14;
8) в группах F3 и F5: N(G 19) — группа Фробениуса порядка 19 • 18 и 19-9, соответственно;
9) в группе Pi: N(Gu)/Gn содержит подгруппу, изоморфную SL(2,5);
10) А/(23) > Si2, а группа £12 содержит подгруппу К = Н\ х Н2, где Hi = #2 — А4, и если В —силовская 2-подгруппа из #2, то для Н = Hi х В имеем \NK(H): Я. СК{Н)\ = 3.
Утверждение доказано.
Предлагаемая диссертация посвещена исследованию конечных групп G, в которых условие (*) выполняется для любой подгруппы А из выделенного множества подгрупп группы G.
Диссертация состоит из трех глав.
Первая глава диссертации содержит два параграфа. В первом параграфе изучаются конечные группы, в которых неравенство (*) выполняется для любой подгруппы (теорема 1.1) или для любой абелевой подгруппы (теорема 1.2). Во втором параграфе изучается строение групп в которых неравенство (*) выполняется для любой неабелевой подгруппы (теорема 1.3 и следствие из нее в случае нильпотентных групп, а в случае ненильпотентных групп теорема 1.4).
Вторая глава диссертации состоит тоже из двух параграфов. В первом параграфе приводится описание конечных групп, в которых неравенство (*) выполняется для всех примарных подгрупп (теорема 2.1). Во втором — для всех непримарных подгрупп группы G. Отдельно рассмотрены случаи разрешимой (теорема 2.2), простой (теорема 2.3) и неразрешимой не простой (теорема 2.4) группы G.
В третьей главе диссертации три параграфа. В первом параграфе исследуются конечные группы, в которых для любой инвариантной подгруппы А выполняется неравенство (*). Конечно, описать все неразрешимые группы с таким свойством не представляется возможным. Поэтому приведено только строение фактор-группы G/E, где Е — слой группы G (теорема 3.1). Во втором параграфе изучаются конечные 2-группы (теоремы 3.2 — 3.5), в которых для любой неинвариантной подгруппы А выполняется неравенство (*). В третьем исследуется строение непримарных групп G, в которых условие (*) выполняется для любой неинвариантной подгруппы А. Группа G в этом случае разрешима. Это исследование разбито на части в зависимости от характера вложения силовской 2-подгруппы 5 и холловой 2'-подгруппы Р группы G: S < G, Р < G (теорема З.б), S < G, Р $ G (теорема 3.7), Р <1 G, S ^ G (теорема 3.8), Р G, S ^ G (теорема 3.9).
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [45] - [50].
В работе используются следующие обозначения:
Если М < G, то М = М• Z(G)/Z(G). В частности, х = xZ(G). В случае необходимости одновременного рассмотрения фактор-групп G/Z(G) и G/A", где К > Z(G), элемент аК будем обозначать через а. Остальные обозначения стандартные.
1. Алеев Р.Ж. Конечные группы с циклическими коммутантами си-ловских 2-подгрупп.// Мат. сб. — 1975. — Т.97. — № 3. — С. 323340. (РЖМат 1А220, 1976).
2. Антонов В.А. Решетка централизаторов в группах.// Исследов. алгебр, систем по св-ам их подсистем. — Свердловск. — 1985. — С. 3-14.
3. Антонов В.А. Группы с ограничениями на централизаторы.// Алгебра и лин. оптимиз. Труды междун. сем., посвещ. 90-летию С.Н. Черникова. Екатеринбург: УрО РАН, — 2002. — С. 31-43.
4. Антонов В.А. Локально конечные группы с малыми нормализаторами.// Мат. Заметки. — 1987. — Т. 41. — № 3. — С. 296-302.
5. Антонов В.А. Локально конечные группы с малыми нормализаторами, 2.// Изв. высш. учебн. завед. — 1989. — № 1. — С. 12-14.
6. Антонов В.А. Локально конечные группы с максимальными централизаторами элементов.// Мат. Заметки. — 1991. — Т.49 — № 3.С. 135-136.
7. Антонов В.А. Группы с ограничениями на централизаторы. Часть 1, Часть 2.// Челябинск: ЧГТУ. —1993. — 147 е., 118 с.
8. Антонов В.А. Конечные группы с модулярной решеткой централизаторов.// Алгебра и логика. — 1987. — Т.26 — № 6. — С. 653-683.
9. Антонов В.А. Группы типа Гашюца и близкие к ним группы.// Мат. Заметки. — 1980. — Т. 27. — № 6. — С. 839-857.
10. Антонов В.А., Тюрина И.А., Ческидов А.П. Группы с малыми централизаторами.// Мат.заметки. — 2001. — Т.69. — № 5. — С. 643-655.
11. Антонов В.А.,Ческидов А.П.,Тюрина И.А. О конечных группах с ограничениями на централизаторы.// Мат.заметки. — 2002.Т. 71. — № 4. — С. 483-495.
12. Антонов В.А.,Зенков В.И.,Тюрина И.А. О конечных группах с малыми централизаторами элементов.// "Алгебра и лин. оптимиз."Труды межд. сем. памяти С.Н. Черникова. — Екатеринбург. — 2002.С. 44-46.
13. Антонов В.А.,Зенков В.И.,Тюрина И.А. О группах с малыми централизаторами, 2.// Межд. конф. "Алгебраи ее прил.", Тез. докл.Красноярск. — 2002.— С. 5-7.
14. Гаген Т.М. Некоторые вопросы теории конечных групп.// К теории конечных групп. — М.Мир. —1979. — С. 13-97.
15. Голдшмидт Д.М. Разрешимые сигнализаторные функторы на конечных группах.// К теории конечных групп. — М.Мир. —1979. — С. 98-111.
16. Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию.// М. Мир. — 1985. — 352 с.
17. Голикова Е.А. О 7г-группах с ограничениями на порядки элементов.// Деп. ВИНИТИ (РЖМат 1А132, 1999).
18. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп.// М. Наука. Физматлит. — 1996. — 288 с.
19. Сыскин С.А. Абстрактные свойства простых спорадических групп.// УМН. — 1980. — Т.35. — № 5. — С. 181-207.
20. Холл M. Теория групп.// М. Изд-во иностр. лит. — 1962. — 468 с.
21. Шериев В.А. Конечные 2-группы с дополняемыми инвариантными подгруппами.// Сиб. мат. ж. — 1967. — Т.8. —№ 1. — С. 215-232.
22. Adami S., Bianchi М., Verardi L. Groups with small centralizers of non-central elements. 2.// Pur. math, and Appl. — 1993(1994). — V. 4. — № 3. — P. 259-281.
23. Antonov V.A. Lattices of centralizers in groups.// Algebra. Proc. 3 Intern, conf. on Alg. Berlin New York. — 1996. — P. 1-6.
24. Bianchi M., Manz O. Groups with small centralizers of non-central elements.// Boll.Un.Mat.Ital.(7). — 1990. — V. 4-A. — P. 365-370.
25. Blackburn S.R. Groups of prime power order with derived subgroup of prime order.// J. Algebra. — 1999. — V. 219. — № 2. — P. 625-657.
26. Brandl R., Franciosi S., De Giovanni F. Groups whose subgroups have small automizers.// Rend. Circ. mat. Palermo. Ser. 2. — 1999. — V. 48. — № 1. — P. 13-22.
27. Carter R.G. Simple groups of Lie type.// John Wiley &; Sons. LondonNew-York — Sydney — Toronto. — 1972. — 331 p.
28. Chabot P. Groups whose Sylow 2-groups have cyclic commutator groups.// J. Algebra. — 1971. — V. 19. — № 1. — P. 21-30; II. J. Algebra. — 1972. — V. 21. — № 2. — P. 312-320; III. J. Algebra. — 1974. — V. 29. — № 3. — P. 455-458.
29. Du Ni. Xiamen daxue xuebao.// J.Xiamen Univ. Natar. Scu. — 2002.V. 41. —№ 1. — P. 13-16.
30. Gilotti A.L., Tiberio U. On the Fitting length of NC-groups.// Geom. dedic. — 1991. — V. 40. — № 1. — P. 217-224.
31. Gilotti A.L., Tiberio U. On the NC-groups.// Ric. mat. — 1990. — V. 39. — № 1. — P. 71-79.
32. Gilotti A.L., Tiberio U. Finite groups with self-centralizing p-elements.// Boll. Union mat. ital. A. — 1997. — V. 11. — № 1. — P. 193-203.
33. Gorenstein D., Walter J.H. The characterization of finite groups with dihedral Sylow 2-subgroups, 1, 2, 3.// J. Algebra. — 1965. — V. 2. — № 1. — P. 85-151; № 2. — P. 218-270; № 3. — P. 354-393. Corrections.1969. — V. 11. — № 2. — P. 315-318.
34. Hall P. The classification of prim-power groups.// J. reine angew. Math.1940. — V. 182. — P. 130-141.
35. Hethelyi L. Soft subgroups of p-groups.// Ann. Univ. Sci. Budapest. Sect. Math. — 1984. — V. 27. — P. 81-85.
36. Hethelyi L. On subgroups of p-groups having soft subgroups.// J. London Math. Soc. — 1990. — V. 41. —№ 3. — P. 425-437.
37. Huppert B. Endliche Gruppen, 1.// Berlin-Heidelberg-New York, Springer-Verlag. — 1967. — 793 p.
38. Ishikawa К. Finite p-groups up to isoclinism, which have only two conjugacs lengths.// J. Algebra. — 1999. — V. 220. — № 1. — P. 333345.
39. Mann A. Extreme Elements of Finite p-Groups.// Rend. Sem. Math. Univ. Padova. — 1990. — V. 83. — P. 45-54.
40. Parmeggiani G., Stellmacher B. Groups of small breadth.// J. Algebra. — 1999. — V.213, —№ 1. — P. 52-68.
41. Scarcelli A. Gruppi con piccoli centralizzanti.// Boll.Un.Mat.Ital.(7).1992. — V. 6-B. — P. 649-663.
42. Smith S.D., Tyrer A.P. On finite groups with a certain Sylow normalizes 1, 2.// J. Algebra. — 1973. — V. 26. — № 2. — P. 343-365; 366-367.
43. Suzuki M. Group Theory, 2.// Springer-Verlag. New-York — Berlin — Heidelberg — Tokio. — 1986. — 621 p.
44. Verardi L. On Groups whose noncentral elements have the same finite number of conjugates.// Boll. Un. Mat. Ital. — 1988. — V. 3-A. — P. 391-400.Работы автора по теме диссертации
45. Антонов В.А., Аминева Н.Н. О группах с относительно большими централизаторами.// Изв. высш. учебн. завед. — 2003. — № 7.С. 8-17. (Исправления: "Письмо в редакцию".// Изв. высш.учебн. завед. — 2004. — № 5. — С 90.)
46. Антонов В.А., Аминева Н.Н. О группах с относительно большими централизаторами.// Труды ИММ УрО РАН, — 2001. — Т. 8.С. 1-8.
47. Аминева Н.Н. Группы с относительно большими централизаторами инвариантных подгрупп.// Вестник ЮУрГУ. — 2001. —№ 7. — С.37-38.
