Группы с ограничениями на централизаторы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГб од

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК, СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ " ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

АНТОНОВ Владимир Алексеевич

ГРУППН С ОГРАНИЧЕНИЯМ НА ЦШТРШЗАТОШ

Специальность' 01.01.06 - "Математическая логика, • алгебра и теория чисел"

А в т о,р"е ф е р в т диссертации яа соискание ученой степени доктора физико-математических- наук

Новосибирск - 1993

Раоота выполнена, в Челябинском государственном техническом университете.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор БОРЕШЧ Зенон Иванович;

доктор физико-математических

наук, профессор

КОПЫТОВ Валерий Матвеевич;

доктор физико-математических

наук, профессор

ЯКОВЛЕВ Борис Владимирович.

Бедущая'организация - Институт математики и механики Уральского отделения РАН.

' . . Запита состоится 16 '• декабря 1993 г.}в 14 . на заседании спещализнрованного совета Д 002.23.01 при Институте математики СО РАН по адресу: 830090^ Новосибирск, Университетский пр., 4.

• " ' С диссертацией «окно ознакомиться в оиолиотеке Института математики СО РАН. .. '

Автореферат, разослан " " -199 г.

'Ученкй секретарь спегрюлпзирозанного совета, ,,

'кандидат фнз.-мат. наук ¿//¿^У С.Т.Федоряев

Актуальность теми, общеизвестно влияние свойств- цэнравш'е^ торов группы на свойства самой группы. Достаточно вспомнить классический результат Р.Брауэра [ 81 о числа конечных простых груш с заданным централизатором инволюции, ■ или работу В.П.!"ункова [7] о локально конечных грушах с почти-.' центральной инволюцией. Но в большинстве иодоошх случаев ограничивались иссследованием груш с ограничениями, наложенными на отдельные' централизаторы. В- диссертации разрабатывается новое, внолнэ перспективное направление в теории групп - исследование- груш' с ограничения?.®, наложенными на множество всех централизаторов подмножеств группы или на его достаточно большую часть. _

Первыми работами в данном направлении были работы I 41 , [ В] , [13] и ,[ 21] . В 1970 году Ешла раоота Р »Шмидта [ 181 , в которой была в явном виде введена решетка централизаторов группы; что позволило накладывать на совокупность централизаторов ограничения решеточного характера.

Из общей задачи исследования групп с ограничениями,-наложенными на совокупность централизаторов. т-гахно выделить', ряд отдельных направлений.

1) Групш с условием минимальности для централизаторов'; [, 4] , [91 , [ Ю], [14]. ' ^

2) Группы с. малой длиной реве тки централизаторов. • (;К<33 з. 4)', [1], [17], [181.1 • .'.':'■.'',.

3) Определяемость группы решеткой централизаторов,12] , Г33"» [18-20]. : ' . , '.-;

4) Изучение условий, при которые данная, решетка; .изоморфна-, решетке централизаторов некоторой группы.' ;'; ■. г:"'

5) Группы с модулярной (дистрибутивной'); решеткой ^централизаторов, [171, [181. Г:

6) Ограничения на связь решетки решеткой ее подгрупп, [ 11 - 13] ,.[ 16] ..'.'.; ^

- 7) Группы, в которых- на выделенную систему^подгруш^н^адь^ вается ограничение "быть централизатором",-

8) Группы, в которых много "больших"^ен^алтаатб^в^уг!^ [22-23]. . ■ ';.■'

Б диссертации исследуются 4-8 из ■ перечисленная

Цель работы. Систематическое изучение налокенных на централизаторы, ■„ на ' свойства-

главное внимание уделяется разработке новых методов исследования, направленных на использование свойств нижнего слоя решетки централизаторов.

общая методика исследований. Используются разнообразные методы теории групп и теории решеток. Применяются и некоторые', теоретико-числовые и комоинаторине результаты.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации ковке.

Практическая ценность. Результаты и метода . диссертации представляют интерес для теории групп и теории решеток. В диссертации сформулирован ряд новях проолэм, еще идущих своего решения, исооое значение, на взгляд автора, имеет установленная связь модулярной рекетки централизаторов и ее нижнего слоя.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на 14 и 16 Всесоюзных алгебраических конференциях, на 1 и 3 'международных конференциях по алгебре, 6,7, 10 и 11 Всесоюзных симозиумах по теории, груш, на алгебраических семинарах в ИММ УрО РАН, ИМ СО РАН, СПОШ РАН, МГУ. ИГУ, УрГУ, КрасГУ, ЧТУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы ' в работах [24 - 38] .

. Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и библиографии (87 наим.), изложенных на 216 страницах. -

V СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

' %сть м - некоторое подмножество произвольной группы 6. - Через ссю обозначим централизатор множества -м в' группе g. Подгруппу н группы G назовем иртрализаторол, если Н = ССМЭ для •некоторого подмножества м группы g. Кроме .того, положим с2(ю = ' "= ССССМ». Подгруппа С2СМ) является наименьшим централизатором, .."содержащим М. Условия н = СгСН> и "Н является централизатором" -•равносильны. .'-V. ;

... ^Совокупность всех 'централизаторов произвольной ' группы g относительно операций" '

' • А ^ в' = д п В и A VB - С(ССА> О ССВ)> образуют полную решетку \pewcmy цетрализаторсв группы G), ; которую 'мы- обозначим через' втеэ •

В первой главе обсуждается.вопрос с тем, какие решетки могут бцть_.решеткамн централизаторов. В связи с этим вводится понятие' •С-решетки.~

1.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Полную рёиетку £, обладащр-таким инволху-тивным антиавтоморфизмом <р, что

(a^ если д - неразлохижый элелеш из £, то А £ <р(А);

(б) если А * Ф(А), то в интервале [А л фСАЗ.А] решетки. £ содержится более двух элементов в со свойством <рсв) л А = В. Ясли при этол интервал [ А л ФСА),А1 имеет конечную длипу, то А покрывает более двух элелетов, содержащих а л ср(А);

(в) любой элелеш а <= £ совпадает с суллой тпаких элементов в из интервала [ А л ФСА) ,А1 , что в = А л ФСВ),

тзовел с-решеткой.

В первом параграфе главы . исследуются общие свойства С-решеток. В частности, наследственность свойства быть с-решеткой для некоторых интервалов. Отметим следующий результат.

1.14. ТЕОРЕМА. Нетривиальная дистрибутивная С-ретметт плотна.

Пусть а - атомная решетка с нулем 0 и единицей Назовем нижних слоел решетки Я ее подрешетку, порожденную атомами. Кроме того, введем следующие обозначения.

Если А е то шСА) совпадает с суммой атомов решетки а, лежащих в А. В частности, шеи является, единицей' нижнего слоя решетки £. -

Для А,в « £ запись А Ф В означает, что интервал [ О.А есть прямая сумма интервалов. [ О, а] и Г О,В], т.е. [ 0,А V В1 = - I 0.А1 Ф Г О,В] •

Основными результатами первого параграфа являются следующие утверждения. .- . .

1.17. ТЕОРЕМА. Пусть и т "единица модулярной С-решежи £ конечной длины. Если ахи = (4, $ шг, то в £.' найдутся такие элемент X и У, что ах)0 .= ш1, оХУ) = ш и I - х Ф У.

1.20. СЛЕДСТВИЕ. Пусть £- модулярная с-решегпт конечной длины. Если £ не разложима в прямую сумму псЗреизток, то д.(я • любого элемента А « £ интервал [А Л фСА),АЗ тоже неразлохим в прямую суллу.

Во втором параграфе исследуется, связь мекду с-реиэтками и решетками централизаторов. Здесь- же приводится , критерий разложимости решетки централизаторов в прямую сумму подрсиеток.

1.25. ТЕОРЕМА. Пусть в .--группа с атомной решеткой, централизаторов. Ренета Есв) б под и только тол случае

разлагается в прщро суллу подрешеток и Шг, когда в ней найдется тит. подгруппа Н. то - С(Н), и^Н = -6г, где е1 и 6г - такие поэлементно перестановочные подгруппы., то ^ » « сссв^ Оля 1-1 ,г, и тожества колжутаторов подгрупп с1 и с£ пересекаются по единице.

Это позволяет б дальнейшем ограничиваться случаем . неразложимой в прямую сумму решетки централизаторов.

1,21. ТЕОРЕМА, Решетка централиааторов произвольной грунта в является с-решпкой. .

Обратное утверадедае ш верно, В то «а время, справедлива

1,29. ТЕОРЕМА. Пусть £ - конечная лодулярная- с -решетка с допалнет&аи. Тогда существует такая конечная группа 6, что £ - <ШЗ>.

При обобщении этой теоремы был -выделен класс правильных (очень правильных) С-решеток, как модулярных С-решеток конечной длины, у которых для любого неразложимого элемента д интервал £ О,А] является цепью. Для правильных с-рвтток оказался справедлив некоторый аналог основной теоремы о конечных абелеЕнх грушах.

1.35. ТЕОРЕМА. Бели - единица правильной с -решетки то

и

I. = V Н^ где н^ = А1 V В1, А± и. в1 - неразложимые элемент

одинаковой Высот, и фСН^> = V Н..

1 3

Это позволяет ввести тип правильной с-решетки. ■ Если £ . неразложимая в црямую сумму подрешеток правильная с-решетка из теоремы 1.35, то ее типом называется набор (т1, п^, ... ,.тп ,<?) где т1 = гСА±5 — высота злемента -а'; , и для лвоых двух атомов А к В.решетки £ элемент А V В содеркит -1 + а атомов из а. Заметим, что если п > 1,. то я = для некоторого промтого числа р.

1.36. ТЕОРША. Для любого набора а = Ы1, п^, ... , в>г, рк;, .где т > ... £ шп,- существует конечная группа, е., решетка -ценщхииваторов которой является правильной с-реквткой типа а. .

Поэтому для доказательства аналога теоремы 1.29 для ;'црашльных'-С-рвшеток достаточно доказать изоморфизм правильных 'с-решеток одинакового типа. Для очень правильных С-решеток типа • :(ю,д).такой изоморфизм построен. Зто позволяет сформулировать :следунцэе утверждение.

1.45. . СЛЕДСТВИЕ. Если конечная правильная с-решетка £ 'разлагается 6 прялую сулху подрешеток, каждая из которых является

ь

либо решеткой а дополненияхи, либо очень провальной, решеткой типа (т,ркЛ то £ а для некоторой конечной группы. <3.®

Вторая глава посвящена исследованию груш с модулярной решеткой централизаторов. Шз теорем 1.21 и 1.14 следует,, что нетривиальная дистрибутивная решетка централизаторов'плотна. Это означает', в частности, что если G - группа с дистрибутивной решткой централизаторов конечной длины, то груша в аОэлввв, т.е. решетка ECG) -тривиальна И8] . .. .

Р.!й.адт [ 18] описал конечные непримарныа группы с модулярной решеткой централизаторов длины 2. Это описание переносится на класс локально конечных груш. Примарныэ группа с этим свойством исследовал Д.Рокк [ 17] . Следуя [ 18] , группы с модулярной решеткой •централизаторов длины 2 будем называть Eí~rp;'imarai.

Как уже отмечалось вшив, мы мокем ограничиться группами • с неразложимой в пршую сугллу решеткой централизаторов.'

2.1. ТЕОРЕМА. Пусть G - конечная неабелева группа, решетка ценжрализаторов которой - неразлопшш в npsutpo суллу лодулярная решетка а дополнениями. -Тогда либо G является. Tt-группой, либо фактор-группа G/ZCG) является р-группой для некоторого простого числа р. , г

3 качестве следствия получаем • '; , ; .. А Г

2.2. ТЕОРЕМА. Пусть G - конечная неабелева^ простая группа■ о лодумчрнсй решеткой централизаторов. Тогда <3 3 . SLC'для некоторого ' "г"-.1.-"--

Теорема 2.1 позволяет дать следующее определение.. '

2.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Обозначил через 41 класс локально■■■'ясмечныг групп с лсдулярнрй решеткой' централизаторовконечной , длина, ■ удовжеяворащий 'следущил условиям. • /• ~ •

1. Если G «s 41, ü А - шол ретпко. KCG5 , то' ССАЗ <=11.

. 2. Вели. G е и, и решетка ®CG) - проешиВная''геометрия,• ■. ;то. ■ либо G является Ш-груплой, либо .фактор-группа G/ZCG5 пригарт,-.*.

• В силу теоремы.2И,-класс содержит всэ -конечные группы , с модулярной решеткой централизаторов. Ясно, что содержи все.5 локально конечные а-группы.' Кроме ■ того» справедливо следующее-утверждение. ■ " .. - -r-t^'U- v

2.8. теорема. Пусть G - локально конечнаа / группаа,: - лоду.гящой решеткой г&нтрализатсров конечной, длины. Если &л$г

группы G выполняется хотя бы одно .из условий -: •■■■■ -а) peaensa ECG5 яв.иявпся подрешетмой реч&тш тгадгр^гл, -

* ?

о) для любого элемента я «=• G ижерЗал [ZCG3.C С=)] решетка ©СG) ялается цепью, .

/710 g е ii.

Вопрос о совпадении класса 'II с классом локально конечных групп с модулярной решеткой централизаторов конечной длины открыт. .

Основным результатом первого параграфа является

.2.10. TEQP2XA. Путь G - И-группа с неразложимой в прямую сумму рекегйксй цектроиизсгаороб. Если' подгруппа oXG) кеабелева, по либо G является ^-группой, либо фактор-группа £ является р-группой для некоторого простого числа р.

Во втором параграфе изучаются Ч1-групш с аОвлевой подгруппой l<G) • Здесь приходится рассматривать отдельно случаи iCuCG)) > 2 и tCüXG» --•- 2. К в том и в другом случае фактор-группа G/ZCG) асжот быть непримаркой группой. В то жа время, справедлива

2.13. 7EÓPEÜA. Пусяь G - 41-гриппа с неразложимой в прямую су.щ/ раигшвгй. централизаторов. Если кысб» >2, и для любых -злсдемкаР z а у из G справедливо неравенство uCC2<x) v СгСу)5 < < то фактор-группа G/ZCG) является p-группой для некоторого простого числа р.

_ В случае KuCGW = 2 приходится накладывать более сильное ограничение.

2.14. ТЕОРЕМА. Пусть С - локально' конечная группа с хэЗулярнай рекшкой цедаролизшюроб конечной длиян, xCüXG» = 2, и а.1я любого x е g интервал [z<g),c2<=0] решетки ©cg) является цепью. Тогда ' либо ■ G я&лаелал 11-группой, либо .фактор-группа CttXG)j/Z<G) яв/яевюя р-группой для некоторого простого числа Р, а G/CCoíG» обладает расщеплением, кожЗая компонента которого являемся либо p-группой; либо локально циклической р'-группой.

" Если рсгаетка централизаторов группы G является лодре'леткой рг'.пзтки подгрупп или группа G конечна, то . теорему 2.14 могво yíc'ffliíTb. .Б частности, для конечных групп имеем .

. 2.16. ТЕОРЕМА. Пусть Q - конечная 'группа, удовлетворяющая услобию теорема 2.14. Тогда справедливо одно из следующих ¡jTióepzvcnuü. - .

. I. 3 я&йадкся 5i-gpynnoü.

■ 2. Фаияхр-группа G/ZCG) примарка.

■3. 'Фактор-группа cctXG>yZ(G> ябхтеядя p-группой для некоторого простого числл и лиЗо G/CCUCG» есть группа

ФроОениуса, ядро которой ябляетйя р-группой, а дополнительный множитель - циклическая р'-группа, .'.ибо _ р -/ 2, и в/ССаХО) изолорфт одной из групп Р31.(2,рп) или РОКЗ.р71).

Построены примеры групп каждого типа.

В третьей главе изучаются группы в. в которых ограничения накладываются на связь решетин <ШЗ> централизаторов группы в с решеткой асв) ее подгрупп.

Гашюц [ 13] описал конечные группу с условием ете) = (группы Гашюца). Этот результат легко переносится на класс локально конечных груш.

Локально конечная группа б тогда и только тогда является группой Гашюиц, когда в естъ прялое произведение конечных неайелевых групп. порядки которых попарно взаилн.о прости и равны, соответственно, р1я1 ( р± и q1 - различные простые числа}.

В общем случае груша Гашюца является периодической группой. Пример не локально конечной группы Гашюца построен А.Ю.Ольшанским [5] .

В первом параграфе этой главы исследуются группы, в4 которых решетка централизаторов совпадает с интервалом [гсо.в] решетки подгрупп (группы типа Гашюца). Если в - груша типа Гашюца, то фактор-груша в/гсо является периодической группой. В случае локально конечной фактор-группы по центру группы типа Гашюца допускают полное описание-.

Пусть р и с} - различные простые числа, ш и а - натуральные числа. Введем следующие обозначения.

б п = <а> \ <К>, ар = 1 , Ь_1аЬ = а\ ГДЭ г - ГОКЗЗЭТе р»ч

числа у1 по модулю р, |ъ| = <зп+к, к 2 о, или <ь>' - бесконечная циклическая груша.

ш+ Ъ ■ , тп-й

= С<а> * <г>ХЬ>, ар = 1 , = 1, з > О,

v

к

ъ~'аъ = а1+гр г, Где (г,р) = 1, к> таг {1,4 ГГОИЧ6М если Юг. то з=0, |ъ| = рт+1, г 2 О, или <ь> - бесконечная циклическая группа.

3.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть задан конечный■ набор групп «а. .> *<г.>)<ь.>, 1 = 1,г,...,п. Гцту в назовел ■ правильных

1 1 3 т 0

склеиваниел групп в , если ' ■ .

р . - . ' ' ' '

и . в является иентральныл произведгнивл групп

1=1г....п;

Z) если a Bij для всех, 1=2,...,п, по [а^ъ^ ] =

oœl~mi '.. -S,

= l .c^l , и = í ь4 »a±í для некоторых чисел t± u

slf взаимно простых с числом p.

Теперь мы мокем привести описание групп• типа Гапноца с локально конечной фактор-группой по центру.

: 3.4. ТЕОРЕМА. Группа G с локально конечной фактор-группой по

центру в тол и только тол случае является группой типа Гаиюиа,

когда G ложно греданавитъ в виде центрального произведения таких

подгрупп. G±, что порядки, фактор-групп G^/ZCG^ конечны и попарно

взаимно прост,' и itasôuû из ■ множителей Gí либо имеет вид

G_ •ZCG.,) Оля некоторых р и п, либо Gч = H.'ZCGp, где Н, -Р'Ч 1 1 1 1

правильное склеивание конечного числа групп вида Gp .

Конечные группы типа Гашюца независимо исследовали М,Редер

1163 и ЮЛенг lit — 12 1- Объединяя их результаты с теоремой 3.4,

получаем следующее описание конечных p-групп с циклическим

коммутантом. . •

3.5. ТЕОРЕМА. Пусть G - конечная р-группа, G' =■ <а>, и |а| =

_ -П-2 . .

- р . Если р > 2, или р = 2 и or «= ZCG) (либо t a,G] s <a>J, та G = H'ZCG), где И - правильнее склеивание конечного числа

ta.

групп Gp

В произвольной группе g отображение с2: H -» ССССН» является гомоморфизмом верхней палурешетки подгрупп нз верхнюю шрлурещетку централизаторов. Второй параграф главы' посвящен исследованию групп, в которых отображение ■ с2 является ..гомоморфизмом решетки подгрупп (более общо - интервала ГZ(G),G1 решетки подгрупп) на решетку централизаторов. В случае локально конечной фактор-группы по центру подучено,еле дующее описание. ;•.... 3.18.; IWPEMÀ. В. группе G с локально конечной фактор-группой по v/зтру в.том и только том ■ случае отображение с2 является гомоморфизмом интербала. [ ZCG3 ,GJ . решетки подгрупп на решетку-централизаторов в когда G ложно . представить, в виде произведения 'mata поэлеяентно перестановочных групп Gít что '0-ffil) порядки фактор-групп Ô^/ZCG^ конечны и попарно взаимно 'просты, ' - "

^Уяаядъсй цз "мнотввелей бл либо имеет вид et « irZCQJ для, некоторых р и я, либо = H^ZCGJ, _ где H¿ - правильное склеивание конечного числа групп вида

ю

3.19. ТЕОРЕМА. В ерутте в € Локально конечной фактор-группой по центру в тол и только тол случае отображения с2 ¿гвляется гололорфизлол решетки подгрупп на решетку цзтрализаюров, когда либо о - абелева группа, либо с - периодическая группа, и в = А* ■16,, где А - абелева группа, яш л гссв > = л одзр = о

при ± ? и либо в.;^ - группа кватернионов порядка 8, либо -

- п.

р.ч

Если решетка централизатороз группы является подрететкой •решетки подгрупп, и А - максимальная аоелева подгруппа из 6, то кавдый из интервалов [2(0),А) и [А,в] решетки модулярен. Б связи с этим возникла

3.21. ГИПОТЕЗА. Если, в группе о решетка централизаторов является подрететкой• решетки, подгрупп, то региетка ЕСО лодулярна.13

В третьем параграфе х'лавн эта гипотеза доказывается для двух классов групп с решеткой централизаторов конечной длины. Получены следующие результаты.

3.26. ТЕОРЕМА. Пусть в - группа с норлализаторшл условием, решетка централизаторов которой илеет конечную длину и яй.%яется подрететкой решетки подгрупп. Тогда решетка б"Св) лодулярна.

.ТЕОРЕМА. Пуст б - локально конечная группа решетка централизаторов которой илеет конечную длину, и является подрешежой решетки подгрупп. Тогда решетка лодулярна. Если 'при зтол Есв) неразложила в пряхуа суллу подрешеток, то

а) 'если в локально нильпотенпна, то. .избой неуп-1отняелый ряд централизаторов группа- С- субнорлален, .и все его факг.ори изолоррные элементарные абелевъС группы;

б) если в не локально кильпотеншна,, то' в обладает таких субнорлшъшл рядол централизаторов, все'факторы которого, кроле последнего, являются изолорфнши .элелентрцихи сбелеви.ги 'р-груп-

■ пали, а последний фактор - локально циклической р'-группой, дейатвухяцей на пррвол факторе неприводило.

Четвертая глава посвящена изучению' групп, в которых к& выделенную систему подгрупп накладывается ограничение "сыть централизатором". Если в группе о: каздая подгруппа « язляется централизатором, то 6 - группа Гапшца. Грушш,. в'которых каждая

и

подгруппа содержащая центр является централизатором, суть группы тша Гапюца. . .

В первом параграфе исследуются группа, в которых каждая неинвараантная подгруппа является централизатором (Cñ-грушш). Непериодическая cñ-группа абелева. Локально конечные cñ-группы допускают полное описание.

4.9. ТЮРЕМ. Локально конечная, группа G 6 иол и только тол случае является cñ-группой, когда G удовлетворяет одному из следующих условий.

а> G абелева или гахилътонова.

0} G - группа Рсакир..

в) G = <а,Ъ>, а4 = Ь2, И = 1, Ь"1оЬ = а-1.

il

г) G = <а> X <ь>, а4 = ьр = 1, р и q - различные простые числа, q ? 2, и Ъ~1аЪ = ак, где к £ îfqj, КО kp '= 1 (q).

Во втором параграфе изучаются группы, в которых все нециклические подгруппы являются централизаторами (cz-группы). в локально конечном случав получено полное описание.

4.19. ТЕОРЕМА. Периодическая килыютентная группа G в тол и только тол случае является Cz-груттой, когда G - группа одного из следующих типов: . I) циклическая или локально циклическая группа;

2) элементарная абелева группа порядка рг;

3) группа кватерншов порядка 8;

4) G CQ * <1,» > <tg>, tf _= tf = 1,. Q - группа кватернионов порядка в, [а},т2] - элемент порядка 2 tía Q, IQ,i23 = -1 ;

5j G = С<o> x <ь>5 X <°>» <xp = ьр = cp = 1, t b,c] = o;

6) G = "<a> x <b>, a* = b¿ = 1, Ь"1аЪ = о-1;

m m ^ .

7) G = <a> X <b>, op = bp = 1, Ъ ab = а , p¿2;

DQ ГО—1 * -

в) G =F <Û> X <Ъ>, aP = bp = t, b 'ab = a » •4..2Q. ТЕОРЕМА. Локально конечная ненильпотентная группа G в пол и только том. случае является Cz-группой, когда G - группа одного из- следующих патов: групт.Гашир;

= <а> X <Ь>, ар = Ьч = 1, а = «Г,'*4 ^Up), НО г4"1 * 'P. tCpJj p u ч - различные простое числа;

3/G = С<°}> " <аг>:> > <ь>, ор = = ьч - группа Миллера-Ыо- ' ■рено порядка p2<j;

4) G = C<a,> X <Ь,» * C<a,> X <Ь2», af = = 1, b'1 = Ь^ =

ь. г. '

= 1» р,я.,1Р - различные простив числа, a = а , г~ з 1fj>;,

q -1 ' ¿ .111

r^1 ft Up). ' - .

Для непериодических cS-rpyim доказано следущзе утверждение, показывавшее сложность строения таких групп.

4.23. ТЕОРЕМА. Пусть G - ~ непериодическая, неайелева Cz-группа. Тогда выполняется один из следукаиух случаев.

1 j G - простая группа без кручения, обладающая шкид расцепление*, сосяоящи из циклических подгрупп, что любые Оба неединичных элелекяа из различных компонент расцепления ncpordara всю - группу.

2) G - простая агеманнад группа, Мая истинная подгруппа которой илеет нетривиальной центр и - является либо периодической группой, либо бесконечной циклической группой.

3) G содержит тсисух> подгруппу Н, 1иго Н ябляеяся группой без кручения, все собственные подгруппы которой - цшиические группы, a ■tcKn.op-группа H/2ÜO -, бесконечная, неабелева группа, все собственные подгруппы, которой - конечные иу&кимескае группы.

В пятой главе исследуются групш с большими централизато-рзми. В первом параграфе описаны локально конечные группы, в которых для любого поцентрального элемента х подгруппа CCz) является коатомом решетки подгрупп; .> .

5.1. ТЕОРЕМА. 8 локально конечной группе G 6 тол и 'только тол случае для любого нецжлральног^ элелвнш х подгруппа СС~У лсу.сшалъпа в Q, когда G - одна из следующих групп. -./ ;

а У Абелева группа. . / - .

1 б) Нильпотентная группа с мллутешал простого порядка. - ; * '.

в) G/ZCG) ='A/ZCG) х B/ZCG> - группа Фробениуса, группы. а и.'., в ' 'абелебы, |B/ZCG>1 - простое число, и B/Z(G> действует, на . A/ZCG> неприводило. ' . l'v^-.;.

Л.Верарда [22 - 23] и А.Маш £ 15] изучали конечные р-ггрулш,' у которых для любого нецентрального элемента:-'®_..1ЮдгруптаД С€?йг является коатомом реаэтки централизаторов-.■ - .-.'.¿v' •

Второй параграф посвящен исследовании; груш,;, в которых, централизатора подгруш велики относительно.:их• нормализатора-: Назовем подгруппу н гоупш G обобщенно '<хисша«а«йг.'аеой/. ч'еава-нею = н-ссю. , '. . * ''

"Пусть к - некоторое групповое свойство, KCG) - множество всех подгрупп группы G, удЪвлетворяющих свойству к. Группу G, в которой каждая подгруппа из множества KCG) обобщенно самонормализуема, назовем УК-группой.

Получено- полное описание локально конечных NK-грУпп для случаев, когда KCG3 содержит одно из следующих множеств, ■а) Все абелевы подгруппы.

б) Все неабелевы подгруппы.

в) Все примэрные подгруппы. ■

г) Все непримарные подгруппы,

д) Все немнвариантвые подгруппы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вааи.ъг8а А.В. О централизаторных решетках конечных проста?. групп. Сиб. кат. ж., 1977, 18, JS 2 , 251 - 270.

2. Васильева А.В. Характеризация группы PSL3Cq) центраяиза-тсргюй решеткой. Алгебра и логика, ¡976, 15, № 5, 509 - 534.

3. Васильева А.В. Характеризация группы PSU3(q) цевтрализа-торной решеткой. Краснояр.политехи. ин-т. Красноярск, 1985, 16 с. ( Рукопись деп. в ВИНИТИ 3.07^85, Jé 4806 - 85 Деп.).

4. Залзсский А.Е. О локально конечных группах с условием минимальности для централизаторов. ДАН БССР, 1965, 3, 127-129.

5. ОльгианскйО. Л.Ю.'Бесконечные группы с подгруппами простых порядков'". Изв. АН CCQP,' сер.- матем., 1980 , 44, » 2, 309 - 321.

6. Старостин А.И. О группах с расщепляемыми централизато-ры;м. Изв. АН СССР, сер. катем., 1965, 29, 605 - 614.

7. Шужов В.П. О периодических группах, с почти регулярной инволюцией. Алгебра и логика,' 1972, 11, й 4, 470 - 492.

3. Brouor r. , fowler к.a. On • groups oí evei) . order. JLrm. Ma til.', »955, ©/i 3, 565 - 583. ' . .' •

Э. Bryant К.if. Groups with, the minimal condition on с entra-Users. J. Algebra, 1970. 60, 37» - 383.

10. Bryant R.U., Hartley B. Periodic locally Soluble groups vtlth, th.3 minimal condition on centralisars. VT. Algebra, 1971, 61, 326 - 334.

11 . Cheng Y. On duble centriliser subgroups of some finite p-groups. Proo. Amor.'Hath.Soo. , 1982. 86, J6 2, 205 - 208.

12. Cheng Y. On finite p-groups with cyclic ccrautator subgroups. Arch. Math... 1982, 39. 295 - 298.

13. Ca3Chu.tz V/. Gruppen, deren sämtliche Untergruppen Zentralisatoren sind. Arch.' Math., '1954, 6. 5 - 8.

14. Kegel 0.3. Wehrfritz B.A.F. locally finite groups: Amsterdam-London, 1973.

15. Hann A. Extreme Elements of Finite p-Groups.. Rend. Sen. Math. Univ. Tadova, 1990, 83, <45 - 54.

16. Reuther ¡1. Endliche Gruppen, in deren alle das Zentrum enthaltenden Untergruppen Zentralisatoren sind. Arch. Math.6 1977. 29, J6 1 . 45 - 54.

17. Rock D.M. P-groups with abelian centralisers. Proс. London Math. Soc.. 1975, 30, # 1, 55-75.

18. Schmidt R. Zentralisatorverbande endlicher Gruppen. Rend. Sem. Math. Univ. Padova, 1970, 44, 97 - 131.

19. Schmidt R. Characterisierung der einfachen Gruppe der Ordnung 175560 durch ihren Zentralisatorverbande. Math. Z. , 1970, 116. № 4. 299 - 306. '

20. Schmidt R. A characterisation of РБИг.рЪ by its centralist lattice. J. Algebra, 1972, 21.• & 2. 280 - 291.

21 . 3v.zv.kl M. Finite" groups with nilpotent- centralisers. Trans. -Amer. Math-. Soc.. 1961, 99. Ä 3. 425 - 470. -

22. .Yerardl L. Gruppi semiextraspeciali di ezponente p. Ann. Hath, pura et eppl.. 1987148, 131 -171.

23. Yerardt L. On Groups.whoзе noncentral elements have the same finite number of conjugates. Boll. Unione mat.ital. A., 1988, № 3, 391 - 400. ' - *

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЁРГАДКИ

"24. Антонов В.А. Группы, близкие к группам Гаиюца. Изв. высш. учебн. завед. Математика, 1979, Л 7, 3 - 9.

25. 'Антонов''В.А. Группы с с-замснутьши нецшитескими- подгруппами. Сиб. мат. sc., 1979, 20, ü'.G, 1171 - 1184. • '

26. Антонов В.А. Группы типа Гзгавда и близкие к ним группы: Матем. заметки, 1980 , 27, JS 6 , 839 - 857.

27. Антонов В.А. БеЕетка централизаторов з группах. В со.

"Мослед. алгабраич. систем по свой с—вам их подсистем", ^Свердловск, 1985 , 3 - 14.

28. Антонов В.А. Конечные группы с модулярной решеткой централизаторов. Алгебра и логика, 1987, 26, Л 6, 653 - 683.

■ 29. Антонов Б.А. Локально конечные группы с малыми нормализаторами. Ыатем. заметки, 1987, 41, Л 3, 296 - 302.

30. Антонов В.А. Локально конечные грушш с малыми нормализаторами, 2. Изв. высш. учебы, завед. Математика, 1989, № 1, 12 -. - 14. • • \

,31. Антонов В.А. 0 связи решетки централизаторов грушш с решеткой ее подгрупп. В сб. "Исследов. алгебраич. систем", Свердловск, 1989, 4 - 13.

32. Антонов В.А. Конечные группы с модулярной решеткой централизаторов, 2. Ред. Сиб. мат. ж., Новосибирск; 1990, 30 с. (Рукопись деп. В ВИНИТИ 28.08.90, № 4822 - В 90).

33. Антонов В.А. О конечных . группах с модулярной решеткой централизаторов. Мезкдун. конф. по алгебре, Тезисы докл. по теории груш, Новосибирск, 1989, с. 6.

34. Антонов В.А. Конечные группы, в которых решетка централизаторов является подрететкой решетки подгрупп. Изв. высш. учебв. завед. Математика,- 1991, й 3, 5 - 14.

35. Антонов В.А. Локально конечные грушш с максимальными централизаторами элементов. Матем. заметки, 1991, 49, * 3, 135 -- 136. ■ .

. 36. Антонов В.А. Об одном классе модулярных решеток конечной длины. Алгебра и логика, 1991, Л 1, 3 - 14

. 37. Антрнов В.А. Группы с ограничениями на централизаторы. Челябинск: ЧГТУ, 1993, Часть 1,147 .с.

38. Антонов Б.А. Группы с ограничениями- но централизаторы. Челябинск: ^тт. 1993, Часть 2,118 с.