Нитевые базисы и коммутаторные соотношения в группах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Р Г Б ОД

- 3 ^АЙ т7

На правах рукописи

Блудов Василий Васильевич

НИТЕВЫЕ БАЗИСЫ И КОММУТАТОРНЫЕ СООТНОШЕНИЯ В ГРУППАХ

01.01.06 — алгебра, математическая логика и теория чисел Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Иркутск 1997

Работа выполнена в Иркутском государственном университете

Научный консультант доктор физико-математических

наук, профессор В.М. Копытов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Ю.Н. Мухин доктор физико-математических наук, профессор АЛО. Ольшанский доктор физико-математических наук, профессор B.C. Романовский

Ведущая организация: Красноярский государственный университет

Защита состоится 25 апреля 1997 г. в 14 час. 00 мин. на заседании специализированного совета Д 002.23.01 при Институте математики СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Математики

Автореферат разослан 24 марта 1997 г.

Ученый секретарь специализированного совета Д 002.23.01 при ИМ СО РАН, к.ф.-м.н.

С.Т. Федоряев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Процесс вычислений в группах часто зависит от выбора систем порождающих группы, особенно сильно это сказывается при вычислениях на компьютерах. Удачный выбор системы порождающих может существенно облегчить, как процесс вычислений, так и доказательство теоретических фактов. В конечно порожденных абелевых группах такой системой порождающих является обычный базис, в нильпотентных группах — мальцевская база [10], в свободных группах — базис Холла [38] (см. также [18, 17]). Известпо [10, 15, 37], какое значение играет базис в теории конечно порожденных абелевых групп. Что касается базиса Холла, то трудно представить комбинаторную теорию групп без результатов работы Ф. Холла 1933 года [38]. Роль этой работы для развития комбинаторной теории групп подробно показана Б. Чандлером и В. Магнусом в книге [27]. Добавим к этому, что австралийскими математиками была создана компьютерная программа N(3? [40], которая была основана на методах и идеях работы Ф. Холла [38]. С помощью программы N(3? был получен ряд интересных результатов по теории берн-сайдовых групп малых показателей (см. обзорные работы [4], [43] и книгу [14]). Конструкция Холла позволила естественным образом построить базис свободной нилыготентной группы [18, 17] и свободной алгебры Ли [1, 20]. В работах Л. А. Бокутя [5] и А.Л. Шмелькина [29] построены базисы свободных полинильпотентных алгебр Ли и свободных полинильпотентных групп. Другая конструкция базиса свободной алгебры Ли была предложена А.И. Ширшовым [28] (см. также [1, 20]). Эта конструкция используется в пятой главе диссертации при построении примеров нильпотентных групп.

В теории конечно порожденных нильпотентных групп без кручения большую роль играют стандартные базы. Отметим один из последних результатов, полученный с помощью вычислений в маль-цевской базе — это описание систем относительно выпуклых (другими словами изолированных инвариантных) подгрупп свободной конечно порожденной нильпотентной группы, который был получен В.Ф. Клейменовым [11]. В этой же работе было получено следую-

щее интересное обобщение для мальцевской базы: "мальцевская база конечно порожденной свободной цильпотентной группы остается базой при любом упорядочении базисных элементов". Нитевые базисы нильпотентных групп рассматриваются в третьем параграфе второй главы. Здесь понятие мальцевской базы переносится на произвольные конечно порожденные нильпотентные группы и доказывается обобщение приведенного выше результата В.Ф. Клейменова.

Приведенные во второй главе диссертации результаты и примеры групп с нитевыми базисами показывают, что класс групп, обладающих нитевыми базисами достаточно широк — в него входят все разрешимые группы, свободные группы, группы с нормализаторным условием, группы матриц над конечными полями, группы подстановок и Лп и другие. В тоже время неизвестно всякая ли группа (и даже всякая ли конечная) группа обладает нитевым базисом.

С базисами тесно связаны собирательные процессы, то есть алгоритмы для представления элементов в заданных базисах. Собирательные процессы по разрешимому и нижнему центральному рядам свободной группы и связанные с этими процессами коммутаторные соотношения впервые появились в упомянутой выше работе Ф. Холла [38]. Еще один собирательный процесс в свободной группе был предложен В.М. Копытовым в работе [13]. Собирательный процесс по разрешимому ряду группы используется в шестом параграфе второй главы для получения /п-базиса свободной группы.

В 1951 году А. Клиффорд опубликовал пример у-простой линейно упорядоченной группы [36]. В это время еще не было известно о существовании простых линейно упорядоченных групп — первый пример простой линейно упорядоченной группы был опубликован год спустя в работе К. Чехаты [35], а конструкция Ф. Холла, позволяющая вкладывать произвольную (линейно упорядоченную) группу в простую (линейно упорядоченную) группу, была получена в 1963 году [39]. Пример К. Чехаты имел достаточно сложное строение, поэтому долгое время стоял вопрос о построении других примеров простых линейно упорядоченных групп. Один из таких примеров найден в группе Клиффорда. Этот пример приведен во втором параграфе третьей главы. Ранее, в работе [2] пример Клиффорда был модифицирован автором для получения непростой У-простой линейно упорядоченной группы с двумя линейными порядками. Дальнейшее изучение примера Клиффорда привело диссертанта к понятию

клиффордовского базиса. Полученные в этом направлении результаты приводятся в третьей главе диссертации. В качестве приложения этих результатов к общей теории групп во втором параграфе третьей главы приведено отрицательное решение вопроса А.Н. Фомина и В.П. Шункова ([22], вопрос 10.66), показывающее, что критерий О. Кегеля непростоты конечной группы [42] не может быть распо-странеп на произвольные группы.

Такая конструкция, как свободное произведение групп с объединенной подгруппой, являясь мощным инструментом в комбинаторной теории групп, слабо используется в теории упорядочепных групп. Это связано во-первых с тем, что в общем случае свободное произведение упорядоченных групп с объединенной подгруппой может быть не упорядочиваемой группой, а во-вторых с отсутствием хорошего критерия упорядочиваемости свободного произведения упорядоченных групп с объединенной подгруппой. Мало исследован и вопрос: "при каких дополнительных ограничениях свободное произведение правоунорядоченных групп с объединенной подгруппой будет правоупорядочиваемой группой?" Здесь можно только отметить результат Г.М Бергмана [32], показывающий, что правоупорядочи-ваемость свободного произведепия правоупорядоченных групп с объединенной подгруппой эквивалентна правоупорядочиваемости некоторой амальгамы этих групп. Однако такой критерий правой упорядочиваемости достаточно сложен для проверки. В четвертой главе диссертации приведены необходимые условия для того, чтобы свободное произведение правоупорядоченных групп с объединенной подгруппой было правоупорядочиваемой группой, и построены примеры правоупорядоченных групп, показывающие, что свободное произведение с объединенной подгруппой, может не быть правопорядочива-емой группой.

Во втором параграфе четвертой главы рассматриваются группы Фробениуса. Изучение этого класса групп (вне теории конечных групп) началось в работах Ю.М. Горчакова [8], А.И. Созутова и В.П. Шункова [24, 31]. В 1978 году в [22] В.П. Шунков поставил следующие вопросы: "Что можно сказать о ядре и дополнении фробе-ниусовой группы? В частности, какие группы могут выступать в качестве ядра? дополнения?" и "Построить пример бесконечной конеч-нопорожденной группы Фробениуса." (вопросы 6.53, 6.54). В работе [23] А.И. Созутов построил такой пример и описал слабо сопряженно

бипримитивно конечные группы, которые могут выступать в качестве дополнения некоторой группы Фробениуса с абелевым ядром, что дает частичный ответ на вопрос 6.53 В.П. Шункова. В развитие вопроса 6.53 в 1995 году А.И. Созутов в [22] (вопрос 13.54 б)) спросил "Верно ли, что любая группа вложима в ядро некоторой группы Фробениуса?" Положительный ответ на этот вопрос А.И. Созутова приводится во втором параграфе четвертой главы.

Большую роль при комбинаторных вычислениях в теории групп играют коммутаторные соотношения. Наиболее широко используются тождества Витта-Холла и тождество Якоби (см. [18, 26]). Основные результаты пятой и шестой глав диссертации также были получены с помощью комбинаторных преобразований коммутаторных слов. Естественным образом коммутаторные соотношения используются в диссертации для построения различных примеров.

Две последние главы диссертации посвящены локально нильпо-тентным группам. Этот класс групп и его различные подклассы (гиперцентральные группы, группы с нормализаторным условием и другие) до сих пор вызывают повышенный интерес. Классические результаты по локально нильпотентным группам приведены в обзорной работе Б.И. Плоткина [21] и книге А.Г. Куроша [15].

В пятой главе рассматриваются группы, свободные относительно функции нильпотентности. Эти группы были введены А.Ю. Ольшанским в связи с вопросом Б.И. Плоткина из [22] (вопрос 3.47). В классе локально конечных групп этот вопрос был решен положительно Е.М. Левичем и А.И. Токаренко [16]. Для решения этой задачи в общем случае А.Ю. Ольшанский в 1982 году поставил в "Коуровской тетради" [22] вопрос 8.56: "Пусть X — конечное множество, а / — функция, принимающая натуральные значения на его подмножествах. Потребуем, чтобы в группе с порождающем множеством X каждая подгруппа , У С X была нильпотентной ступени < f{Y). Верно ли, что свободная относительно этого условия группа GJ не имеет кручения? Из утвердительного ответа на этот вопрос следует утвердительный ответ на вопрос 3.47." Однако, вопрос А.Ю. Ольшанского был решен отрицательно в 1988 году в работе [47]. Продолжение исследований свойств группы С] привели к некоторым новым результатам, которые и представлены в пятой главе диссертации.

В шестой главе изучаются локально нильпотентные группы с условием минимальности для централизаторов. Класс групп с условием минимальности для централизаторов достаточно широк, он замкнут относительно конечных расширений, содержит свободные группы, конечные группы, линейные группы и другие. Отметим также, что свойства цетрализаторов подгрупп часто оказывают влияние на строение группы. Так, например, в работе [30] В.П. Шун-ков показал, что периодическая группа, имеющая элемент второго порядка с конечным централизатором, локально конечна и почти разрешима. P.M. Брайант и Б. Хартли изучали локально нильпотентные и периодические локально разрешимые группы с условием минимальности для централизаторов и установили, что эти группы разрешимы (см. [33], [34]). Ранее, А.Е. Залесский установил разрешимость периодических локально нильпотентных групп с условием минимальности для централизаторов, более того он указал в таких группах разрешимый ряд централизаторов [9]. В третьем параграфе шестой главы доказано существование гиперцентрального ряда в произвольных локально нильпотентных группах с условием минимальности для централизаторов. Ранее в работах [6] и [7] (см. также книги [25], [45]) М.С. Гаращук и Д.А. Супруненко установили гиперцентральность линейных локально нильпотентных групп, а в работе [33] P.M. Брайант доказал гиперцентральность периодических локально нильпотентпых групп с условием минимальности для централизаторов. Приведем для контрастности результат X. Хейнекена и И.Дж. Мохамеда [41] о том, что локально нильпотентпая группа с нормализаторным условием не обязательно гиперцентральна.

Цель работы. Основной целью работы является разработка теории нитевых базисов — удобных для вычислений систем порождающих групп. Другая цель — получение новых результатов в комбинаторной теории групп на основе вычислений коммутаторных соотношений.

Общая методика исследований.

В основном в работе используются методы комбинаторной теории групп: собирательные процессы, метод Рейдемейстера-Шрейера, коммутаторные соотношения, свободные произведения с объединенной подгруппой, сплетения групп и другие. В двух последних главах широко используются тождества Витта-Холла и тождество Якоби.

Научная новизна.

Все основные результаты диссертации являются новыми.

В диссертации получено:

1) Введено понятие нитевого базиса группы и его частных случаев /э-базиса, /п-базиса, хлиффордовского базиса. Понятие мальцевско-го базиса обобщено на любые нильпотентные группы. Доказано существование нитевых базисов в знакопеременных группах Ап (пример 2.5), /в-базисов в общих линейных группах над конечными нолями (пример 2.6), ¡п-базисов в абелевыхи разрешимых группах (теорема 2.1, следствие 2.2), в группах, удовлетворяющих нормализатор-ному условию (теорема 2.2), и в свободных группах (пример 2.10). Приводятся теоремы о продолжении нитевых базисов на расширение (теорема 2.3) и прямое произведение групп (теорема 2.4) и теорема о переходе нитевого вполне упорядоченного /5-базиса на фактор-группу (теорема 2.5).

2) Введено понятие хлиффордовского базиса и получены характеристические свойства таких базисов в линейно упорядоченных группах (теоремы 3.1 - 3.2). Показано, что класс групп имеющих клиф-фордовские базисы, не замкнут относительно взятия подгрупп. Найдена простая подгруппа группы Клиффорда (предложение 3.2) и показано, что простая линейно упорядоченная группа удовлетворяет критерию О. Кегеля [42] непростоты конечной группы (предложение 3.3), что дает отрицательный ответ на вопрос А.Н. Фомина и В.П. Шункова ([22], вопрос 10.66). Приведена конструкция, позволяющая строить у-простые линейно упорядоченные группы с клиффордовским базисом (теорема 3.3) и получена теорема вложения л.у. групп в у-простые л.у. группы (теорема 3.4). Построен пример л.у. группы с относительно выпуклой подгруппой, центр которой строго изолированная, но не относительно выпуклая подгруппа (пример 3.6), что дает отрицательный ответ на один из вопросов А.И. Кокорина и В.М. Копытова ([12], проблема 28).

3) Приведены необходимые условия для того, чтобы свободное произведение правоупорядоченных групп с объединенной подгруппой было пр авоу пор я доменной группой (теорема 4.1) и построены два примера правоупорядоченных групп С\ и (?2 с изоморфными подгруппами Н\ и II ч соответственно и таких, что свободное произведение с объединенной подгруппой <?1 * 6*2(Ях Д II2) не допускает никакого правого упорядочения (примеры 4.2 — 4.3). В примере 4.2

склеивающие изоморфизмы не монотонны, но результат не зависит от выбора изоморфизма ¡р. В другом примере изоморфизм <р монотонный.

4) Доказано, что всякая группа вкладывается в ядро подходящей группы Фробениуса (теорема 4.2). Этот результат дает положительный ответ па вопрос А.И. Созутова ([22], вопрос 13.54 б)).

5) Получены новые коммутаторные соотношения (леммы 5.1-5.5, предложения 5.7-5.8, следствие 5.2). Рассмотрены свойства группы (З7 — свободной относительно функции нильпотентности / (предложения 5.1 - 5.6). Получено достаточное условие совпадения функции нильпотентности группы О/ с функцией / (теорема 5.1) и достаточное условие, накладываемое на функцию /, при котором группа С/ не имеет кручения (теорема 5.2). Приведено положительное решение вопроса Б.И. Плоткина ([22], вопрос 3.47) для гиперцентральных групп с гиперцентральным рядом, упорядоченным по типу натуральных чисел, (следствие 5.3) и получено новое решение этого вопроса для счетных локально нильпотентных групп (следствие 5.2). Получено достаточное условие (также в терминах функции /) и приведены примеры функций /, при котором группа б/ имеет кручение (предложение 5.9), что дает отрицательный ответ на вопрос А.Ю. Ольшанского ([22], вопрос 8.56). Построен пример локально нильпотентной группы С мощности К2 для которой не существует в классе групп вида О/ (или в классе групп с изолированной нижней центральной системой подгрупп) локально нильпотентной группы & без кручения, гомоморфно отображающейся на С (теорема 5.4), и приводится отрицательный ответ на аналог вопроса Б.И. Плоткина для колец Ли (следствие 5.5).

6) Введено понятие парацентрализатора элемента (подмножества) и приведены его основные свойства (теорема 6.1). Доказано существование разрешимого ряда централизаторов в локально нильпотентных группах с условием минимальности для централизаторов (теорема 6.2), что обобщает один из результатов А.Е. Залесского [9]. Доказана гиперцентральность локально нильпотентных групп с условием минимальности для централизаторов (теорема 6.3), что дает положительный ответ на вопрос Ф.О. Вагнера ([22], вопрос 13.16). Показано, что для двуступенно разрешимой локально нильпотентной группы с условием минимальности для централизаторов и бесконечным гиперцентральным рядом порядковый тип этого ряда

равен wo + 1, где uq обозначает порядковый тип ряда натуральных чисел (теорема 6.4).

7) Доказано существование максимальной нормальной нильпо-тентной подгруппы в группах с условием минимальности для централизаторов (теорема 6.5), что дает положительный ответ на другой вопрос Ф.О. Вагнера ([44], вторая часть вопроса 9).

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертации, могут использоваться при чтении специальных курсов и написании монографии. Эти результаты рекомендуется использовать в исследованиях по комбинаторной теории групп.

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры высшей алгебры МГУ, кафедры алгебры, логики и кибернетики ИГУ, кафедры алгебры ОмГУ, семинарах "Теория групп" и "Алгебра и Логика" НГУ и ИМ СО РАН (Ноосибирск), красноярском городском алгебраическом семинаре, научных семинарах математических факультетов Монгольского университета, университетов городов Гамбурга и Киля (Германия), на всесоюзных и международных конференциях, симпозиумах и школах по алгебре и теории групп (Свердловск, 1988, Красноярск, 1993, Иркутск, 1993, Омск, 1995).

Публикации. Основные результаты, представленные в диссертации, опубликованы в работах [46] - [59]

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 178 страницах и состоит из введения, тести глав, указателя обозначений и списка литературы. Библиография содержит 92 названия, включая работы автора по теме диссертации.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Первая глава содержит предварительные сведения и обозначения.

Вторая глава состоит из шести параграфов. В этой главе вводится понятие нитевого базиса и изучаются его свойства.

В первом параграфе даются основные определения:

Определение 2.1 Пусть й — группа, В — подмножество группы С?, упорядоченное отношением линейного порядка <т и пусть функция р : В В(Ж) удовлетворяет условиям: 1 £ /3(Ь) и 0 ^ /?(6) для всякого 6 6 В.

Тройка (2?, сг,/?) называется пптеоьш базисом группы С, если любой элемент д £ С однозначно представляется в виде произведения

д = • • -¿1к, где д/€В, 6!<...< Ък, и £ 0(Ь{). (2.1)

При этом единица группы представляется пустым произведением базисных элементов.

Определение 2.3 Пусть (В, а, /?) — нитевой базис группы Сл и элемент } £ С записан в виде (2.1). Тогда: число & называется шириной представления элемента д и обозначается Ьг(д)] число называется степенью элемента д и обозначается <^(<7); число +

----Ь называется длиной элемента д и обозначается 1еп(у); число

tl-¡r■■ • + называется логарифмом элемента д и обозначается ¡og(g).

Формально считаем, что Ьг(е) = «^(е) = 1еп(е) = log(e) = 0.

Определение 2.4 Класс всех групп, обладающих нитевыми базисами, обозначим через ЕВ.

Определение 2.5 Нитевой базис (В, а, /?) назовем регулярным, если для всех базисных элементов Ь бесконечного порядка /?(&) = Ъ \ {0}, а для элементов Ь порядка пг < оо /?(&) = {1,2,..., ш — 1}.

Определение 2.6 Класс всех групп, обладающих регулярными нитевыми базисами, обозначим через ИГВ.

Определение 2.7 Пусть (В,<т,[3) — нитевой базис группы С. Введем обозначения:

Нь = {д € С | гер(з) < 6}, Н*ь={д€С\ гер (<7) < Ь}.

Базис (B,(r,ß) назовем fs-базисом, если подмножество Нь образует подгруппу для любого b £ В.

Определение 2.8 Класс всех групп, обладающих /s-базисами, обозначим через FSB.

Определение 2.9 fs-базис (В, сr,ß) называется fn-базисом, если Нь< Hl для любого b Е В.

Определение 2.10 Класс всех групп, обладающих /п-базисами, обозначим через FNB.

В лемме 2.1 приводятся свойства/n-базисов, из которых получается

Следствие 2.1 Всякая группа без кручения с регулярным fn-базисом является правоупорядочиваемой.

В этом параграфе также построены примеры групп с нитевыми базисами, показывающие, что классы групп FB, RFB, FSB и FNB все различны.

Во втором параграфе приводятся общие свойства нитевых базисов:

Теорема 2.1 Из любой системы порождающих абелевой группы можно выбрать fn-базис.

Теорема 2.2 Группы, удовлетворяющие нормализаторному условию, обладают fn-базисами.

Теорема 2.3 Пусть Я <! G и GJH — К. Тогда

1. Если Н G FB и К G FB, то G G FB;

2. Если II G FSB и К G FSB, то G G FSB;

3. Если Я € FNB и К G FNB, то G G FNB.

Следствие 2.2 Класс FNB содержит все разрешимые группы. Теорема 2.4 Пусть G прямое произведение групп Gi, i G I. Тогда

1. Если все Gi G FB, moG G FB;

2. Если все Gi G FSB, mo G G FSB;

3. Если все Gi G FNB, mo G € FNB.

Следствие 2.3 Если группы А и В принадлежат классу FB (FSB, FNB) то прямое сплетение Aw В также принадлежит классу FB (FSB, FNB соответственно.)

Теорема 2.5 Если группа G имеет fs-базис (B,cr,ß) и а полный порядок, то всякая ее фактор-группа G также имеет fs-базис (B,a,ß). При этом В можно выбрать из образа базиса В, а а индуцировать порядком <т.

В третьем параграфе рассматриваются базисы конечно порожденных нилыютентных групп, построенные по центральному ряду группы.

Определение 2.11 Нитевой базис (В, <r,ß) нильпотентной группы G назовем мальцевским нитевым базисом, если подгруппа Нь (см. определение 2.7) нормальна в группе G и Щ/Нь лежит в центре группы G/Нь-

Следствие 2.4 Если (B,cr,ß) — мальцевский нитевой базис нильпотентной группы G и В — конечное множество, то система (B,a',ß) будет нитевым базисом группы G при любом линейном упорядочении а' множества В.

В четвертом параграфе доказывается существование нитевых базисов в знакопеременных группах и полных линейных группах над конечными полями (примеры 2.5 и 2.6).

В пятом параграфе рассматривается один из подходов к построению алгоритмов для вычислений в группе подстановок 5'п, основанный на векторном представлении подстановок в нитевом базисе группы. Приводятся примеры моделирования операции умножения подстановок многочленами над конечными полями (примеры 2.7 и 2.8). В примере 2.9 показано, как использовать результаты этого параграфа для нахождения подгрупп конечного индекса в конечно определенной группе. Получено

Следствие 2.5 Для определения подгруппы конечного индекса п в группе, заданной порождающими и определяющими соотношениями, достаточно решить систему алгебраических уравнений над конечным полем из q > п элементов, а для определения существования подгруппы конечного индекса, достаточно установить совместность такой системы. При этом степень многочленов по каждой из переменных не превосходит q — 1, а общее количество переменных не превосходит т[п — 1), где т - количество порождающих группы.

В шестом параграфе приводится пример /п-базиса в свободной группе (пример 2.10, предложение 2.3) и доказывается

Теорема 2.6 Пусть G свободное произведение групп Gi, iG I. Тогда

1. Если все Gi <= FB, то G 6 FB;

2. Если все Gi е FSB, то G G FSB;

3. Если все Gi £ FNB, то G € FNB.

В третьей главе рассматриваются свойства групп с клиффор-довским нитевым базисом. Эта глава состоит из четырех параграфов.

В первом параграфе приводится определение клиффордовского базиса и операции * на элементах такого базиса:

Определение 3.1 Регулярный нитевой базис (В, <т, /?) назовем клиффордовским, если для его элементов выполняется условие

(Уа, Ь е В)(Ь < а => {а^Ьа*1 е В)к,{а*1Ьа±1 < а)) (3.1)

Определение 3.2 Пусть (В, <, /3) — клиффордовский базис группы й. Занумеруем элементы множества Ь подходящим линейно упорядоченным множеством I, то есть положим В = {Ь^ | г € 1} и считаем, что 6,- < ¿у г < 3. Для каждого п € 2 определим частичную бинарную операцию г" * У на множестве / по формуле:

г" * У = А, если i > у и = (3.2)

Получены следующие свойства операции *:

Предложение 3.1 Пусть £7 — группа, </, < > — линейно упорядоченное множество, В = {£>,• | ¿>,- € I}, {В, <,/?) —регулярный клиффордовский базис группы С, п,т £ 2 и г" * У — частичная бинарная операция, определенная по формуле (3.2), тогда С 0. (V«,з EI){i>j=> г° *з = У).

С1. (VI €Г)(«'В ** = «')■

С 2. (Уг, У £ /)(» >j^in*j< г). С 3. (Уг, У, & 6 /)(У, £ < г (г" *У = г" * к з = к)). С 4. (Уг,У £ /)(» >з=> г" * (г™ * У) = г"+т * у). С 5. (V«,У,* € < У < г' => г" * (ут * = (¿" * /)"> * (г" * А)). Получены следующие свойства клиффордопских базисов: Теорема 3.1 Всякий клиффордовский базис является /п-бази-сом.

Теорема 3.2 Если (В,<,0) — клиффордовский базис группы без кручения в, то для любых Е О

\ogigh) = 1ое(д)

Во втором параграфе строится новая простая линейно упорядоченная группа (предложение 3.2) и, как следствие, получено, что класс групп, имеющих клиффордовские базисы, не замкнут относительно взятия подгрупп, (следствие 3.1). В качестве приложения теории линейно упорядоченных групп к общей теории групп приводится отрицательное решение вопроса Л.II. Фомина и В.П. Шункова ([22], вопрос 10.66):

Предложение 3.3 Во всякой простой линейно упорядоченной группе G сущестуют нетривиальные подгруппы А и В такие, что AB Ф0 и ABS - вя А для любого g eG.

В третьем параграфе определяется операция на линейно упорядоченном множестве (/, <) и приводятся условия, накладываемые на эту операцию, при которых система (I, <) может быть превращена в регулярный клиффордовский базис линейно упорядоченной группы.

Определение 3.3 Пусть I - линейно упорядоченное множество. Определим на I частичную бинарную операцию го j, удовлетворяющую условиям: СВ 1. (Vi G I)(i о i = г) — идемпотентность; СВ 2. (Vi, j G /)(ЗА G I)(j <i=>ioj = k< г); СВ 3. (Vi, j, lc £ I)(j < k < i => i о j < iо k — монотонность; СВ 4. (Vi, к 6 /)(ЗУ G Г) (к < i (j < г)к(г о j = к) — левая сократимость;

СВ 5. (Vi, j, к G I)(k < j < i => i о (j о к) — (г о j) о (г о к)).

Операцию го j будем называть умножением элементов г и j.

Элемент j, о котором говорится в условии СВ 4 будем в дальнейшем обозначать г-1 о к, а условие СВ 4 перепишем б виде: СВ 4'. (Vfc < i € 7)((г-1 о к < i)k{i о (Г1 о jfc) = fc)).

Определение 3.4 Пусть I - линейно упорядоченное множество и i о j, i_1 о j — частичные бинарные операции, удовлетворяющие условиям СВ 1 - СВ 5, СВ 4'. Для каждого п G Ъ индукций по определим операцию гп о j на парах г > j G / по правилу:

ii, если тг = 0,

т о (t"-1 о j), если п > 0, (3.3)

г'-1 о (in+1 о у), если п < 0.

В этом параграфе также приводятся примеры операции i о j на линейно упорядоченных множествах, удовлетворяющие определе-

нию 3.3

Пример 3.5 Пусть С? - линейно упорядоченная группа. В качестве множества I возьмем любое подмножество группы С, замкнутое относительно сопряжения элементами дг±1, где д £ С. Операцию о определим по формуле:

— (3.4)

Следствие 3.2 Пусть 1 — л. у. множество и го j — операция на I, удовлетворяющая условиям СВ 1 - СВ 5 определения 3.3. Тогда существуют группа без кручения (7 с клиффордовским базисом {В,<}0) и при этом:

1. В = {6,- | г € /},

2. порядок на В индуцирован порядком множества I,

3. операция г * определенная по формуле (3.2), совпадает с ¿о].

В третьем параграфе приводятся приложения полученных результатов к теории линейно упорядоченных групп: построен пример 3.6 линейно упорядоченной группы, в которой есть выпуклая подгруппа со строго изолированным ко не относительно выпуклом центром, что дает ответ на один из вопросов А.И. Кокорина и В.М. Копытова ([12], проблема 28) и доказана

Теорема 3.4 Любая л.у. группа вложима в у-простую л.у. группу.

В этой теореме используется иная конструкция, чем в теореме Ф. Холла [39].

Четвертая глава состоит из двух параграфов. В первом параграфе приводятся необходимые условия для того, чтобы свободное произведение правоупорядоченных групп с объединенной подгруппой было правоупорядоченной группой и построены два примера (4.2 и 4.3) правоупорядоченных групп Су и С!2 с изоморфными подгруппами Н1 и #2 соответственно и таких, что свободное произведение с объединенной подгруппой Су* А Я2) не допускает никакого

правого упорядочения. В первом примере все возможные склеивающие изоморфизмы не монотонны, во втором примере существуют монотонные склеивающие изоморфизмы.

Теорема 4.1 Пусть (?1 и — правоупорядоченные группы, Ну и Н? — подгруппы групп Су и С% соответственно и <р : Ну —> Н2 —

изоморфизм. Если группа (7 = Сг * 1 Яг) допускает правое упорядочение то существует непустые подмножества полугрупп положительных элементов Т>\ — {Р; С Сх | г € ^1), Р2 = № С С2 I г £ /г} и отображения группы й на "Р\, Т'г- 7*1,

: С? —Яг, такие, что:

1. если £ = 0x52 € С, 172 € <7,-, г - 1,2, то £,•($) = (а(в1))32;

2. для любого д£й 1р(е 1 (#) р| Ях) = е2(д) П^г/

Во втором параграфе правоупорядоченные группы используются для получения положительного решения вопроса А.И. Созутова из [22] (вопрос 13.54 6)). Здесь автором был применен тот же метод, что и ранее в совместной с Н.Я. Медведевым работе [3].

Теорема 4.2 Всякая группа вкладывается в ядро некоторой группы Фробениуса. При этом дополнением может быть любая нетривиальная правоупорядоченная группа.

Пятая глава состоит из четырех параграфов и посвящена локально нильпотентным группам.

В первом параграфе определяются основные понятия: функция нильпотентности локально нильпотентной группы, группа С/ и другие, а также приводятся утверждения, непосредственно вытекающие из определений (предложения 5.1 - 5.6) и строятся примеры нильпо-тептных групп, необходимые для получения основных результатов.

Определение 5.2 Пусть заданы два множества 5, С? и отображение Iр : 5 <2- Если / : .7"(5) ->• К, и д : Ро(0) —> N такие функции, что /(X) > д(р(Х)) для любого X £ ^(5), то говорим, что / мажорирует д относительно у? и обозначаем это / д. Будем использовать и сокращенное обозначение / > д, если известно о каком отображении (р идет речь.

В следующих двух определениях дается формальное определение функции /, определяющей ступень нильпотентности локально нильпотентной группы <7 и группы О}, свободной относительно функции /•

Определение 5.3 Зафиксируем множество порождающих 5 локально нильпотентной группы б. Определим функцию

Га,з : К,

полагая ¡с,,б{Х) равным ступени нильпотентности подгруппы gг(Х)

группы G. Такую функцию назовем функцией нильпотентности группы G.

Предложение 5.1 Функция нильпотентности локально ниль-потентной группы монотонна и удовлетворяет условиям:

(Fi) № = 0;

(F2) для любого одноэлементного подмножества X из T(S)

№П < 1;

(F3) если для некоторого подмножества X из S) найдется такое натуральное п, что для всякого tee более, чем п-элементно-го подмножества Y множества X f(Y) < п, то f(X) < п; (F4) если в некотором подмножестве X из T(S) найдется такой элемент х, что для всякого у € X f(x,y) < 1, то f(X) = тах{/0г),ДХ\{г}}.

Определение 5.4 Пусть S ф % и / : T{S) N. Группа G называется свободной относительно функции f и обозначается Gj, если:

1. S множество порождающих группы G,

2. fG,S<f,

3. любое отображение <р множества 5 на множество Q(J{e}, где Q —• множество порождающих локально нильпотентной группы Н, и такое, что }h,q /, продолжается до гомоморфизма G на Я.

Предложение 5.2 Для любого непустого множества S и любой f : !F(S) —> N группа Gf существует и единственна с точностью до изоморфизма.

Предложение 5.3 Пусть S ф f : T(S) —» N и группа Gj свободна относительно J. Если Q С S и g — сужение функции fa,s на множество T(Q), то группа gr{Q) свободна относительно функции д.

Предложение 5.4 Пусть G — локально нилъпотентная группа с множеством порождающих S = {а* | г £ /},

Q = {6,- | к = а"', а; е S, гц € 2, i € 1} и Н = gr(Q). Тогда для любого конечного J С I

In.Qdbj EQ\j€J})< fG,s({<4 € 5 I j € J})-

Предложение 5.5 Пусть G —локально нилъпотентная группа с множеством порождающих S = {а,- | г £ /}, N <G и К = G/N —

фактор-группа с множеством порождающих

s = {с,-1 с,- = a{N, a¡ es, i е i}. Тогда для любого конечного J С I

/к,5((с; € s | i е J}) < fG,s{{<4 £S\je 7}).

Предложение 5.6 Пусть S = {ai,...,an}, / : F(S) —¥ N и группа G = G¡ свободна относительно /. Если и(а\,... ,а„) = е -

соотношение в группе G f, то и =ят. = е при любых натуральных

1 i

m,.

Во втором параграфе приводятся вспомогательные утверждения, основанные на коммутаторных соотношениях в группе Gj, в частности, предложение 5.7, позволяющее находить в группе G/ элементы конечного порядка.

Предложение 5.7 Пусть G — нильпотентная группа с множеством порождающих S — {ai,..., ап, b}, f ce функция нильпотентности и f (ai,... ,an) — m, f(ai, b) = k + 1, i = 1,..., п. Если и — u(<¡i,..., an) простой коммутатор веса большего т, то элемент w — и |ai-[aiib(*)] имеет конечный порядок.

В третьем параграфе рассматриваются общие свойства группы Gj. Здесь приводится достаточное условие совпадения функции нильпотентности группы G¡ с функцией /, достаточное условие, накладываемое на функцию /, при котором группа Gj не имеет кручения. Получено достаточное условие (также в терминах функции /), при котором группа Gj имеет кручение.

Теорема 5.1 Пусть f : J-(S) —> N — монотонная функция, f(X) > |Х| для любого X <Е T{S) и f{X) = 1 при = 1, тогда функция нильпотентности fots группы G — G¡ совпадает с функцией /. Кроме того, если G — фактор-группа группы G по ее периодической части, то функция нильпотентности /g s также совпадает с /.

Определение 5.6 Функция / : !F{S) —> N называется ступенчатой, если существует такое линейное упорядочение множества S, что для любого X € ?{S) и любого непустого Y С X шах X £ Y влечет /(У) = f(X).

Теорема 5.2 Если f : Т{S) —> H монотонная ступенчатая функция и f(X) > 1 для любого X £ Т{S), то группа Gj не имеет кручения.

Следствие 5.3 Для всякой счетной локально нильпотентной группы G существует локально нилъпотентная группа без кручения G гомоморфно отображающаяся на G.

Следствие 5.4 Для всякой гиперцентральной группы G с гиперцентральным рядом упорядоченным по типу wo существует локально нилъпотентная группа без кручения G гомоморфно отображающаяся на G.

Предложение 5.9 Пусть S — непустое множество и f : T(S) —Если для некоторых трех элементов а, Ь, с из S f(a,b)> 1, Да, с) = /(6,с) >2 и f(a.,b, с) > /(а, с)(/(а, b) + 1), то группа G/ имеет кручение.

Во четвертом параграфе построен пример локально нильпотентной группы G мощности Кг для которой не существует в классе групп вида Gj (или в классе групп с изолированной нижней центральной системой подгрупп) локально нильпотентной группы G без кручения, гомоморфно отображающейся на G, и приводится отрицательный ответ на аналог вопроса Б.И. Плоткина ( [22], вопрос 3.47) для колец Ли.

Теорема 5.3 Если мощность множества S превышает Ki, то для любой функции / : !F(S) —> N найдутся константа k £ N и бесконечное подмножество Q С S такие, что для любой пары различных элементов а,Ь £ Q, /(а, Ь) — к.

Теорема 5.4 Существует локально нилъпотентная группа G с множеством порождающих S мощности большей, чем Ki такая, что:

(1) если свободная относительно некоторой функции / : J-(S) —¥ N группа G< гомоморфно отображается на G и этот гомоморфизм тождественен на S, то Gj имеет кручение.

(2) ни одна локально нилъпотентная группа G с множеством порождающих Suc изолированными подгруппами нижнего центрального ряда не допускает гомоморфного отображения на G тождественного на S.

Следствие 5.5 Существует локально нилъпотентная алгебра Ли L над кольцом целых чисел <Z, •> такая, что всякая локально

нильпотентная алгебра Ь над Ъ гомоморфно отображающаяся на Ь имеет аддитивное кручение.

Шестая глава состоит из четырех параграфов и посвящена локально нильпотеитным группам с условием минимальности для централизаторов.

В первом параграфе вводится понятие парацентрализатора элемента (подмножества) и приводятся его основные свойства, а также некоторые другие вспомогательные результаты.

Определение 6.1 Пусть С — группа, Н — ее подгруппа и (А С С). Для каждого натурального к > 1 определим РСкИ(А) — к-тый парацснтрализатор подмножества А в подгруппе Н, полагая: РС],(Л) = Сд-(Л), а при к > 1

РСкн(А) = {д Е С | (V*!,..., € Н)\$,хи ..., е С 1Г(А)}.

Элемент Ь £ С назовем парацентральным в подгруппе II к элементу а (подмножеству Л), если Ь £ РС^(а) (6 6 РС"н{А)).

Теорема С.1 В любой группе С? для любой подгруппы II < С?, любого подмножества А С С и для каждого натурального к > 1 РС^(Л)р|Я — нормальная подгруппа группы Н.

Предложение 6.1 Во всякой группе (7 для любого элемента д £ С, любой подгруппы Я<С « любой конечной последовательности У1,...,Уп€Н при к > 2

РС^) С л,...,*,]). (6-1)

Во втором параграфе доказывается существование разрешимого ряда централизаторов в локально нильпотентных группах с условием тш-с, что обобщает соответствующий результат А.Е. За-лесского [9] для периодических локально нильпотентных группах с условием тш-с.

Теорема 6.2 Всякая локально нильпотентиая группа с условием минимальности для централизаторов содержит разрешимый ряд централизаторов.

В третьем параграфе доказана гиперцентралыгость локально нильпотентных групп с условием тш-с, что дает положительный

ответ на вопрос Ф.О. Вагнера 13.16 из [22]. Кроме того показано, что для двуступенно разрешимой локально нильнотентной группы с условием пгт-с и бесконечным гиперцентральным рядом порядковый тип этого ряда равен + 1.

Теорема 6.3 Всякая локально нильпотентпная группа с условием, минимальности для централизаторов гиперцентральна.

Теорема 6.4 Пусть (7 — двуступенно разрешимая локально нильпотентная группа с условием тт-с. Тогда, если, гиперцентральный ряд группы С? бесконечен, то его порядковый тип равен и>0 + 1.

В четвертом параграфе доказано существование максимальной нормальной нильпотентной подгруппы в группах с условием тт-с, что дает положительный ответ на вторую часть вопроса 9 из работы Ф.О. Вагнера [44].

Теорема 6.5 Во всякой группе с условием минимальности для централизаторов существует максимальная нормальная нильпотентная подгруппа.

Автор выражает благодарность Г.II. Егорычеву, В.М. Копыто-ву, В.Д. Мазурову, Е.А. Хухро и У. Керби за полезные замечания и поддержку, а также граитовому цетру по исследованиям в области математики НИИ МИОО при ИГУ (г. Новосибирск) и Российскому фонду фундаментальных исследований за финансовую поддержку.

Литература

[1] Ю.А. Бахтурин. Тождества в алгебрах Ли. -М: Наука, 1985.

[2] В.В. Блудов. Группы, упорядочиваемые единственным способом. Алгебра и логика. -Новосибирск: ИМ СО РАН, 13, N0 6, 1974, с. 609-635.

[3] В.В. Блудов, Н.Я. Медведев. О пополнении упорядочиваемых метабелевых групп. Алгебра и логика. -Новосибирск: ИМ СО РАН, 13, N 4, 1974, с. 369-373.

[4] В.В. Блудов, А.И.Кокорип. Использование ЭВМ при решении известных проблем в алгебре. Кибернетика, N0 6, -Киев, ИК АН УССР, 1982, с. 95-101, 110.

[5] Л.А. Бокуть. Базы свободных полинильпотентных алгебр Ли. Алгебра и логика. -Новосибирск: ИМ СО РАН, 2, N 3, 1963, с. 13-20.

[6] М.С. Гаращук. К теории обобщенно нильпотентных линейных групп. ДАН БССР, 4, 1960, с. 276-277.

[7] М.С. Гаращук, Д.А. Супруненко Линейные группы. ДАН БССР, 4, 1960, с. 407-408.

[8] Ю.М. Горчаков. О бесконечных группах Фробениуса. Алгебра и логика. -Новосибирск: ИМ СО РАН, 4, N 1, 1965, с. 15-29.

[9] А.Е. Залесский О локально конечных группах с условием минимальности для централизаторов. ДАН БССР, 3, 1965, с. 127129.

[10] М.И. Каргаполов, Ю.И. Мерзляков. Основы теории групп. -М: Наука, 1982.

[11] В.Ф. Клейменов. О способах упорядочения конечно порожденных нильпотентных групп. В сб. Алгебра, логика и приложения. -Иркутск, ИГУ, 1994, с. 22-27.

[12] А.И. Кокорин, В.М. Копытов. Линейно упорядоченные группы. -М: Наука, 1972.

[13] В.М. Копытов. Неабелево многообразие решеточно упорядоченных групп, в котором каждая разрешимая ¡-группа абелева. Мат. сб., т. 126, 2, 1985, с. 247-266.

[14] А.И. Кострикии. Вокруг Бернсайда. -М: Наука, 1986.

[15] А.Г. Курош. Теория групп. -М: Наука, 1967.

[16] Е.М. Левин, А.И. Токаренко. Замечание о локально нилъпо-теитных группах без кручения. Сиб. матем. ж. -М: Наука, т. IX, 6, 1970, с. 1406-1408.

[17] Р. Линдон, П. Шупп. Комбинаторная теория групп. -М: Мир, 1980.

[18] В. Магнус, А. Каррас, Д. Солитэр. Комбинаторная теория групп. -М: Наука, 1974.

[19] Н.Я. Медведев. О квазимногообразиях 1-групп и групп. Сиб. матем. ж., -Новосибирск: Наука, XXVI, N 5, 1985, с. 111-117.

[20] О.В. Мельников, В.Н. Ремесленников, В.А. Романьков и др. Общая алгебра. -М: Наука, 1990.

[21] Б.И. Плоткин. Обобщенные разрешимые и обобщенные иильпо-тентные группы. УМН 13, N 4, 1958, с. 89-172.

[22] Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь, издание 13-тое, -Новосибирск: ИМ СО РАН, 1995.

[23] А.И. Созутов. О строении неинвариантного множителя в некоторых группах Фробениуса. Сиб. матем. ж. -Новосибирск: Наука, 35, N 4, 1994, с. 893-901.

[24] А.И. Созутов, В.П. Шунков Об одном обобщении теоремы Фробениуса на бесконечные группы. Матем. сб., -М: Наука, 100, N 4, 1976, с. 495-506.

[25] Д.А. Супруненко. Группы матриц. -М: Наука, 1972.

[26] М. Холл. Теория групп. -М: ИЛ, 1962.

[27] Б. Чандлер, В. Магнус. Развитие комбинаторной теории групп. -М: Мир, 1985.

[28] А.И. Ширшов. Избранные труды. Кольца и алгебры. -М: Наука, 1984.

[29] A.JI. Шмелькин. Свободные полинилъпотентные группы. Изв. АН1 СССР, сер. матем., 28, 1964, с. 91-122.

[30] В.П. Шунков. О периодических группах с почти регулярной инволюцией. Алгебра и логика. -Новосибирск: ИМ СО РАН, 11, N 4, 1972, с. 470-493.

[31] В.П. Шунков. Об одном признаке непростоты групп. Алгебра и логика. -Новосибирск: ИМ СО РАН, 14, N 5, 1975, с. 491-522.

[32] G.M. Bergman. Ordering coproducts of groups and semigroups. J. Algebra, 133, N 2, 1990, p. 313-339.

[33] R.M. Bryant. Groups with the minimal condition on cenlralizers. J. Algebra, 60, N 2, 1979, p. 371-383.

[34] R.M. Bryant, B. Hartley Periodic locally soluble groups with the minimal condition on cenlralizers. J. Algebra, 61, N 2, 1979, p. 328-334.

[35] C.G. Chehata. An algebraically simple ordered group. Proc. Lond. Math. Soc., 2, 1952, 183-197.

[36] A.H. Clifford. A noncommutative ordinally simple linearly ordered groups. Proc. Amer. Vath. Soc.. 1951, v. 2, p. 902-903

[37] D. Gorenstein. Finite Groups. Harper & Row, -N.Y., 1968.

[38] P. Hall. A contribution to the theory of groups of prime power order. Proc. London Math. Soc. (2) 36, 1933, p. 29-95.

[39] P. Hall. On non strictly simple groups. Proc. Cambr. Phil. Soc., 59, 1963, p. 531-553.

[40] G. Havas, M.F. Newman. Application of computers to questions like those of Burnside. Lect. Notes Math., 806, 1980, p. 211-230.

[41] H. Heineken, I.J. Mohamed. A Group with Trivial Centre Satisfying the Normalizer Condition. J. Algebra, 10, 1968, p. 368-376.

[42] O.H. Kegel. Nicht-einfache Partitionen endliche Gruppen. Arch. Math., 12, 1961, p. 255-261.

[43] M.R. Vaughan - Lee. The restricted Burnside problem. Bull. London Math. Soc., 17, 1985, p. 113-133.

[44] F. Wagner. The Fitting subgroups of a stable group. J. Algebra, 174, N 2, 1995, p. 599-609.

[45] B.A.F. Wehrfritz. Infinite linear groups. Springer-Verlag, -Berlin, Heidelberg, New York, 1973.

Работы автора по теме диссертации

[46] В.В. Блудов, В.Ф. Клейменов. Конструкция упорядоченных групп с приложениями. Сиб.мат.журнал, -Новосибирск: Наука, 1981, т. XXII, 4, с. 52-60.

[47] В.В. Блудов, В.Ф. Клейменов. О локально нилъпотентных группах. Всесоюзный симпозиум по теории групп. Тез. докл. -Свердловск, ИММ УНЦ АН СССР, 1988, с. 15

[48] В.В. Блудов, В.Ф. Клейменов, Е.В. Хламов. Контрпример к одному вопросу Ольшанского. Алгебра и логика. -Новосибирск: ИМ СО РАН, 29, N0 2, 1990, с. 139-140.

[49] В.В. Блудов, Е.В. Хламов. Решение теоретике - групповых задач на ЭВМ. В сб. Алгоритмические и комбинаторные задачи дискретной математики и ЭВМ, -Иркутск, ИГУ, 1991, с. 5-15

[50] В.В. Блудов. О нитевых базисах в группах. Третья международная конференция по алгебре памяти М.И.Каргаполова: тез. докладов. -Красноярск: ИНОПРОФ, 1993, с. 43-44.

[51] В.В.Блудов. Базис для группы подстановок. В межвузовском сборнике научных трудов: Методы и системы технической диагностики. -Саратов: СарГУ, 1993, с.31.

[52] В.В. Блудов. Упорядоченные базисы и собирательный процесс по разрешимому ряду группы. Пятая сибирская школа по алгебре и анализу: тезисы докл. -Иркутск, ИГУ, 1993, с. 4-8.

[53] В.В. Блудов. Яитевой базис в группе подстановок. В кн. Природные ресурсы, экология й социальная среда Прибайкалья. -Иркутск, ИГУ, 1995, с. 211-216.

[54] В.В. Блудов. Питевые базисы в группах. Алгебра и логика. -Новосибирск: ИМ СО РАН, 34, N0 3, 1995, с. 247-261.

[55] В.В. Блудов. Группы с клиффордовским базисом. В кн. Группы в анализе и геометрии. Тезисы докладов международной конференции. -Омск: ОмГУ, 1995, с. 13.

[56] В.В. Блудов. Группы с клиффордовским базисом. Препринт 9505. -Омск: ОмГУ, 1995, 9 с.

[57] В.В. Блудов. О локально нильпотентных группах. Вопросы алгебры и логики. Труды института математики СО РАН. -Новосибирск: ИМ СО РАН, 30, 1996, с. 26-47.

[58] В.В. Блудов. О свободном произведении правоупорядоченных групп с объединенной, подгруппой, в сб. Актуальные проблемы современной математики. -Новосибирск: НИИ МИОО НГУ, том II, 1996, с. 30-35

[59] В.В. Блудов. Локально нильпотентные группы с условием минимальности для централизаторов. Препринт. -Иркутск: ИГУ," 1996, 26 с.

[60] В.В. Блудов. О группах Фробениуса. Сиб.мат.журнал, -Новосибирск: Наука, 38, N5,1997.