Свойства вербальных подгрупп, автоморфизмы и линейные представления некоторых групп преобразований тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Бардаков Валерий Георгиевич

СВОЙСТВА ВЕРБАЛЬНЫХ ПОДГРУПП, АВТОМОРФИЗМЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ГРУПП ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

01.01.06 — математическая логика, ^

алгебра и теория чисел ¿г" ^ ;

'¿V

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск-2005

Работа выполнена в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Владимир Михайлович Левчук

доктор физико-математических наук, профессор Евгений Иосифович Тимошенко

доктор физико-математических наук, профессор Альфред Львович Шмелькин

Ведущая организация:

Челябинский государственный университет

Защита диссертации состоится 14 апреля 2005 г. в 14 час. на заседании диссертационного совета Д 003.015.02 при Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, пр. Акад. Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан 10 марта 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета —

кандидат физико-математических наук ¿¿^ А. Н. Ряскин

шзт

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В работе исследуются: группы, построенные при помощи групповых конструкций (свободные произведения с объединением, 1ШМ-расшире-ния, полупрямые произведения и др.), группы автоморфизмов свободных групп и свободных модулей, фундаментальные группы компактных трехмерных многообразий; рассматриваются некоторые приложения алгебраических методов.

Первоначально группы появились кале группы преобразований, вначале конечных множеств, а потом и бесконечных. Затем стали изучать преобразования и других множеств. Изучение преобразований векторных пространств привело к появлению линейных групп. Позднее стали изучать группы автоморфизмов различных алгебраических систем. В последние десятилетия появились и активно изучаются классы гиперболических и автоматных групп, которые можно рассматривать как группы преобразований метрических пространств и группы преобразований слов над некоторым алфавитом [15, 18, 20, 24, 42, 54].

Изучение группы кос и группы сопрягающих автоморфизмов относится к важному направлению в подгрупповом описании группы автоморфизмов свободной группы. Для вербальных подгрупп произвольной группы традиционно вызывают интерес вопросы вычисления ширины вербальных подгрупп и длины элементов относительно тех или иных подмножеств.

Напомним, что вербальной подгруппой У(С?) группы С относительно множества теоретико-групповых слов V называется подгруппа, порожденная множеством значений слов из V на группе (7, т. е.

У(С) = (у(91,92,...,дф)) | V € V, д £ С)

(см. [15, с. 143]). Шириной %чс1(£7, V) вербальной подгруппы К(£?) относительно множества слов V называется наименьшее т € N и {+оо} такое, что всякий элемент подгруппы записывается в виде произведения < то значений слов из У±1.

РОС. НАЦИОНАЛЫ! \Я

БИГ>.1ИО"!1_к\ 3 «.Петербург '

21ЩРК ;

Термин "ширина" введен Ю. И. Мерзляковым (1967) в работе [23] (см. также [24, § 12]), хотя ширина вербальных подгрупп исследовалась и в более ранних работах. Так Шода (1936) изучал коммутаторную ширину группы SLn(F) для алгебраически замкнутого поля F. Ширина вербальных подгрупп исследовалась также в работах Г. Хигмана, Б. Нейман и X. Нейман (1949), Ито (1951), Ф. Холла (1959 ) и многих других авторов.

Наиболее общий результат о ширине вербальных подгрупп принадлежит Ю. И. Мерзлякову [23]: всякая вербальная подгруппа алгебраической группы G < GLn(fi), где О — алгебраически замкнутое поле бесконечной степени трансцендентности над простым подполем, имеет <

конечную ширину относительно любого слова v. В других работах выбирались конкретные группы G, слова v и давались оценки ширины wid(G,v).

Ряд работ посвящен исследованию ширины коммутанта некоторых классических групп относительно коммутатора v = х~1у~1ху. Например, Томпсон [71] доказал, что если F — поле, то wid(GL71(_F),и) = 1, wid(SLn(F),t>) < 2 при любом п > 2. Гоу [53] доказал, что ширина wid(Sp2n(F), и) коммутанта симплектической группы не превосходит 2 при любом п > 1.

Ито [58] доказал, что при п > 5 всякий элемент из коммутанта симметрической группы Sn является коммутатором. Ope [67] обобщил этот результат на группу подстановок счетного множества.

Отметим, что проблема вычисление ширины симметрической и знакопеременной группы, а также линейной группы над конечным полем представляет интерес для криптографии (см. [5]).

Можно показать [73, лемма 1], что ширина wid(G, V), вообще говоря, зависит от множества У, а не только от подгруппы V(G). Поэтому, говоря о наиболее употребительных вербальных подгруппах, мы будем иметь в виду ширину относительно их естественного задания, например, для коммутанта — относительно коммутатора [х, у] = х~1у~1ху, а для s-й степени — относительно слова х".

Многие авторы изучали следующий вопрос: как меняется ширина вербальных подгрупп при различных групповых конструкциях, т. е. если А и В — группы, G — группа, полученная из А и В при помощи некоторой групповой конструкции (свободное произведение с объединением, HNN-расширение, расширение, сплетение и т. д.), то как выражается ширина wid(G, V) через wid(A, F) и wid(B, V")?

В этом направлении Ремтулла [68, 69] доказал, что 1) в нетривиальном свободном произведении А*В ширина всякой собственной вер-

бальной подгруппы ь(А* В) относительно слова у бесконечна тогда и только тогда, когда |Л|>3 и |Б|>2; 2) коммутант любой конечно порожденной разрешимой группы ступени разрешимости < 3 имеет конечную ширину. Вопрос М. И. Каргаполова, справедлив ли этот результат для произвольной конечно порожденной разрешимой группы, остается открытым (см. [17, вопрос 4.34]), хотя доказало [28], что ширина всякой вербальной подгруппы полициклической группы конечна.

В работах X. С. Аламбергенова и В. А. Романькова [1], а также Акхаван-Малаери и Ремтуллы [35] найдена ширина коммутанта свободной нильпотентной группы. Е. Г. Смирнова [31] исследовала ширину вербальных подгрупп относительно слов хт, т € М, в свободной двуступенно нильпотентной группе N^2 ранга п. Она доказала, что тА(МП!2,х2к) = 2[п/2] + 1 при п > 2,' к > 1 и = 1

при всех натуральных п и к.

Далее будем считать, что V — конечное, собственное (т. е. вербальная подгруппа УХ^г) нетривиальна и отлична от всей группы Р2) множество слов.

Ширина вербальных подгрупп свободных произведений с объединением исследовалась в работах Р. И. Григорчука [7], И. В. Добрыниной [11], В. А. Файзиева [50]. Наиболее общий результат принадлежит В. А. Файзиеву: если С = А*и В и число двойных смежных классов А по и не меньше 3, а \В : 17\ > 2, то ширина V) бесконечна. (В

этом случае будем говорить, что б не имеет собственных вербальных подгрупп конечной ширины.)

Другой подход к вычислению ширины вербальных подгрупп предложил Р. И. Григорчук [7]. Используя связь между второй группой ограниченных когомологий группы (? и шириной коммутаторных вербальных подгрупп группы (7, он получил частичный ответ на вопрос из препринта [79], а точнее, доказал, что если группа <3 = А*иВ удовлетворяет условиям из предыдущего абзаца, а V — коммутаторное множество слов, то ширина V) бесконечна. Кроме того, Р. И. Григорчук изучал ширину вербальных подгрупп ЖЫ-расширений относительно коммутаторного множества слов.

Обобщением понятия ширины вербальной подгруппы является понятие ширины группы относительно фиксированного множества порождающих. Если (7 — некоторая группа, порожденная множеством А, то всякий элемент <? € (? представим в виде

д = а?а?...а'кк, а} е А, е} = ±1. (1)

Ясно, что такое представление не единственное. Длиной (или А-длиной)

1А(д) элемента g относительно множества А называется длина кратчайшего представления (1). Шириной группы G относительно множества порождающих А называется

wid(£7, А) = supgeGlA(g),

т. е. наибольшая длина элемента д, если такой элемент существует и wid(G, А) — оо в противном случае.

Если мы рассмотрим свободную группу F с конечным или счетным множеством порождающих X = {х\,х2, • • •}, то длина произвольного элемента из F относительно множества X находится довольно легко. Проблема вычисления длины относительно других множеств порождающих может оказаться нетривиальной задачей. Так Р. И. Григорчук и П. Ф. Курчанов [8] построили алгоритм, позволяющий вычислять длину 1у (д) произвольного элемента д £ F относительно множества

У = {f~lx?f | m 6 Z, / е F,i = 1,2,...}.

А. Ю. Ольшанский [66] установил связь проблемы вычисления длины в свободной группе с проблемой равенства слов в некоторой группе. Пусть Fn — свободная группа степени п с множеством свободных порождающих х\, Х2, • ■ ■, %п и R = {ri,r2, ...,гт} — некоторое множество слов из Fn. Введем множество

z = {/_1ri/ | к € Z, / е Fn, i = 1,2,..., m}.

Очевидно, группа (Z) совпадает с нормальным замыканием множества R в группе Fn. Если элемент д из Fn не лежит в группе {Z), то положим lz{g) — оо. А. Ю. Ольшанский доказал, что алгоритм вычисления Z-длины в группе Fn существует тогда и только тогда, когда в группе rp(xi, Х2, ■ ■ ■ ,хп\\гх,г2, ■ ■ ■,тт) разрешима проблема равенства.

Символом cl (д) будем обозначать коммутаторную длину неединичного элемента д из коммутанта G' группы G, т. е. cl(g) = 1к{д), где К — множество коммутаторов в группе G.

Вопрос о вычислении коммутаторной длины в произвольной группе G сформулировал М. Громов [55, р. 145]. В частности, он спрашивал: как связана cl(g) и с\(дт) для натурального m и д eG'.

По-видимому, первый алгоритм вычисления коммутаторной длины в свободной группе был построен Голдстейном и Тернером [52]. Затем Каллер [46] дал другой алгоритм вычисления коммутаторной длины, который может быть использован не только для свободных групп, но и для свободных произведений. Кроме того, он установил, что если а и

Ъ — свободные порождающие свободной группы ^ то для всякого натурального тгс справедливо равенство с1([о, 6]т) = [т/2] + 1. Еще один алгоритм вычисления коммутаторной длины можно извлечь из работы

A. Ю. Ольшанского [26]. Все эти алгоритмы, в той или иной степени, используют геометрические соображения: графы в работе [52], диаграммы на ориентируемых поверхностях в работах [46] и [26].

Из других результатов отметим следующие. Шютценберже устано-I вил, что если г ф е и тп > 1, то с1(гш) > 1. Отвечая на вопрос Эдмундса

и Розенбергера, в работе [45] установлено, что при т > 3 для всякого неединичного г € Р1 справедливо неравенство с\{гт) > 2. В этой [ же работе описаны все элементы, имеющие коммутаторную длину 2, а

в работе А. Вдовиной [72] построен алгоритм, позволяющий находить слова заданной коммутаторной длины. Дункан и Хоуе [47] установили неравенство с1(гт) > (т +1)/2. К сожалению, эта оценка не зависит от коммутаторной длины самого элемента г.

Некоторые авторы изучали вербальные подгруппы в группе кос. Группа кос Вп была введена Э. Артином в 1925 г. Группа Вп задается множеством порождающих <?2, ■■■, <?п-1 и определяется соотношениями

0Ч0Ч+101 = <7»+101<7г+1, г = 1,2,..., п — 2,

Группа Вп широко используется в теории узлов, так как проблема классификации узлов сводится (по теореме А. А. Маркова) к ряду алгебраических проблем, связанных с группами В„, п = 1,2,____

Г. С. Маканина сформулировал следующий вопрос: "Построить косу, принадлежащую коммутанту группы кос и не являющуюся коммутатором" (см. [17, вопрос 6.22]). Ю. С. Семенов [30] указал в В3 элемент, равный произведению двух коммутаторов и не сводящийся к одному коммутатору. Н. Н. Репин [27] показал, что относительно слова , [х, у] коммутанты групп 53 и В± имеют бесконечную ширину, а затем

B. Г. Дурнев и В. К. Шалашов [13] установили, что и любая собственная вербальная подгруппа этих групп, определенная конечным множеством

( слов, имеет бесконечную ширину. Их доказательство основало на том,

что группы Вз и В4 допускают гомоморфизм на свободное произведение Ъъ *Ъз, а всякая собственная вербальная подгруппа свободного произведения А*В, |Л| > 2, \В\ > 3, определенная конечным множеством слов, имеет бесконечную ширину. При п > 5 гомоморфизма группы Вп на такое свободное произведение не существует [12], поэтому необходимы существенно иные соображения.

Группа кос Вп вкладывается в группу автоморфизмов Как

установил Э. Артин [40, теорема 1.9], автоморфизм /? из принад-

лежит группе кос В„ тогда и только тогда, когда /3 удовлетворяет следующим двум условиям:

где 7г — некоторая подстановка из а а* £ Рп.

Автоморфизмы, удовлетворяющие условию 1), называются сопрягающими автоморфизмами. Группа сопрягающих автоморфизмов обозначается символом Сп. Сопрягающий автоморфизм, действующий тождественно по модулю коммутанта называется сопрягающим базис автоморфизмом. Маккул [63] доказал, что группа сопрягающих базис автоморфизмов СЬп порождается автоморфизмами е^, 1 < г ф у < п.

и нашел систему определяющих соотношений группы СЪп. Так как группа Сп является обобщением группы кос Вп, то естественно ожидать, что многие свойства группы кос переносятся и на группу Сп.

Вопрос о линейности (т. е. о точной представимости конечномерными матрицами над полем) групп кос сформулировал Бурау в 1936 г. Линейность группы Вз доказал В. Магнус (см. [40, теорема 3.15]). Вопрос о линейности групп Вп при п > 4 почти 65 лет оставался открытым. Долгое время существовала гипотеза о том, что представление Бурау является точным. В 1991 г. Муди опроверг эту гипотезу, построив нетривиальный элемент, лежащий в ядре представления Бурау группы Вп при п >9. Позднее Лонг и Патон показали, что представление Бурау не является точным уже при п > 6, а Бигелоу снизил эту границу до 5. Вопрос о точности представления Бурау группы Б4 до сих пор остается открытым.

Лоуренс [61] построила новые представления группы кос Вп, а в работах Крамера [60] и Бигелоу [38] показано, что одно из этих представлений является точным. Следовательно, группы кос являются линейными. При этом известно, что сама группа Aut(Fn) не является линейной при п > 3 (см. [51]).

Группа кос Вп является подгруппой группы С„. Поэтому естественно сформулировать вопрос (см. [17, вопрос 15.9]) о линейности группы Сп при п > 3 (группа Сг ct Z * Z2, а потому линейна).

1) Р(х,) = ai 1xn(i)al, 1 < i < п,

2) /3(xix2 ... хп) =ж1х2...х„,

п>

при г ф j, при I ф г,

Хорошо известно (см., например, [15, с. 25]), что всякая матрица из общей линейной группы ОЬ„(^) над полем Р представима в виде произведения элементарных трансвекций и диагональной матрицы, причем из самого доказательства легко вытекает оценка числа элементарных трансвекций, требующихся для такого разложения. Это число зависит только от п и не зависит от самой матрицы.

Много работ посвящено вычислению ширины линейных групп относительно различных множеств порождающих. Перечислим некоторые из них. Картер и Келлер [43] доказали, что ширина группы 5ЬП(0), где О — кольцо целых чисел алгебраического числового поля, относительно множества элементарных трансвекций, конечна. В работе С. И. Адяна и Меннике [34] дало более простое доказательство этого факта для случая, когда О — кольцо целых рациональных чисел Ъ. К. X. Закирьянов [14] установил конечность ширины симплектической группы 3р2п(0), п > 3, относительно множества элементарных матриц. Аналогичные результаты для некоторых групп Шевалле над тем же кольцом О получил О. Н. Тавгень [32]. С другой стороны, ван дер Каллен [59] доказал, что если Р — поле бесконечной степени трансцендентности над своим простым подполем, то группа 8Ь„^[а;]) при п > 2 имеет бесконечную ширину относительно множества элементарных трансвекций.

Так как группа матриц СЬ„(Я) над кольцом К изоморфна группе автоморфизмов ОЬ„(М) свободного п-мерного модуля М = Я71, то естественно изучать разложения автоморфизмов из ОЬп(М) в произведение простых автоморфизмов, которые в случае коммутативного кольца Я исчерпываются трансвекциями и дилатациями. Теорема Дье-донне утверждает, что если V — п-мерное векторное пространство над полем Р, то всякое преобразование а € СЬП(К), не являющееся большой дилатацией, представимо в виде произведения < п— 1 трансвекций и одного простого преобразования; если же а является большой дилатацией, то она представима в виде произведения < п трансвекций и одного простого преобразования. В работе [76] было получено обобщение теоремы Дьедонне для группы автоморфизмов вЬп(М) свободного п-мерного модуля М = Я" над некоторым кольцом Я. В качестве следствия установлено, что ширина группы §Ъп{Ъ) относительно множества коммутаторов не превосходит 10 при всех п > 3. (Известно, что при п = 2 эта ширина бесконечна). Тем самым улучшена оценка М. Ньюмена [65]: ширина группы 8Ь„(2) не превосходит с1п(п) + 40, где с = 21п(3/2).

Для произвольной группы СУ, содержащей элементы конечного порядка к, можно поставить вопрос об описании элементов из <9 предста-вимых в виде произведения элементов порядка к. В частности, если I

— некоторое натуральное число, то возникает вопрос об описании элементов из (7 имеющих длину < I относительно множества элементов порядка к.

Ряд работ посвящен ответу на этот вопрос в знакопеременной группе Ап. Так Моран [64] доказал, что в Ап при га > 2 не всякий элемент представим в виде произведения двух инволюций из Ап, хотя всякий элемент представим в виде произведения двух элементов порядка 3 (см. [36]). В работе [41] доказало, что всякий элемент из Ап при п > 15 представим в виде произведения двух элементов порядка 5.

Исходя из этих результатов Бреннер и Эванс [41] сформулировали проблему описания четных подстановок, представимых в виде произведения двух подстановок порядка к, к > 4. В частности, они сформулировали следующие гипотезы:

Гипотеза 1. При любых целых к > 4 и т > 1 всякий элемепт группы Акт представим в виде произведения двух подстановок, каждая из которых в разложении на независимые циклы состоит из т циклов длины к.

Гипотеза 2. Пусть к — простое натуральное число, сравнимое с 1 по модулю 4. Тогда никакая подстановка, имеющая циклический тип 412(з*-5)/2 не шляется произведением двух подстановок порядка к в группе Азк-1.

Гипотеза 3. Пусть к — простое натуральное число, к > 7. Тогда никакая подстановка, имеющая циклический тип 3122к~2 не является произведением двух подстановок порядка к в группе А^к-г ■

Справедливость первой гипотезы была доказана при к = 4, ш > 1 и & > 5, т = 1. В полном объеме справедливость первой гипотезы установлена в работе диссертанта [74] Справедливость второй гипотезы была установлена при к = 5 в работе [41]. Там же было отмечено, что при к = 7 справедливость третьей гипотезы была проверена Листом, который использовал таблицу характеров и компьютерные вычисления.

Фундаментальные группы компактных двумерных многообразий хорошо известны [22] и достаточно подробно изучены. В то же время [16, § 5.1] для п > 4 каждая конечно определенная группа может быть реализована как фундаментальная группа некоторого замкнутого ориентируемого п-многообразия. Случай трехмерных многообразий является наиболее сложным, поскольку, как показал Столлингс, не существует алгоритма, позволяющего по конечному генетическому коду группы определить: является ли данная группа фундаментальной группой некоторого трехмерного многообразия.

Проблема распознавания групп трехмерных многообразий представ-

ляет интерес как для трехмерной топологии (фундаментальная группа многообразия является одним из его важнейших инвариантов), так и для теории групп, поскольку зная, что группа является фундаментальной группой трехмерного многообразия, мы можем получить информацию о ее строении. В частности, если (7 - фундаментальная группа трехмерного многообразия постоянной отрицательной кривизны, то она является гиперболической по Громову и тогда в С? разрешимы проблема равенства, проблема сопряженности и некоторые другие проблемы.

Кавикиоли, Хегенбарт и Реповш [44] ввели класс групп С?п(т, &), п е К, т,к е Ъ:

(7п(т,к) =гр(х1,х2,...,хп || цхц.т 1 = 1,...,п),

где все индексы берутся по модулю п и принимают значения из множества {1,2,..., п}.

Отметим, что класс групп (?„(го, &) содержит многие известные и активно изучавшиеся ранее группы. При т = 1, к = 2 имеем <7„( 1,2) ~ ^(2,п) - группы Фибоначчи, введенные Конвеем. Как показали Хел-линг, Ким и Меннике [57], если п > 4 четно, то ^(2, п) являются фундаментальными группами трехмерных многообразий. Более того, при п > 8 эти многообразия являются гиперболическими. С другой стороны, как заметил Маклахлан [62], если п нечетно, то 2?(2,п) не может быть фундаментальной группой гиперболического трехмерного орби-фолда (в частности, многообразия) конечного объема. При т = 2, к = 1 имеем <7„(2,1) = 5(п) - группы Сирадски, изучавшиеся в [70], где было показано, что они являются фундаментальными группами трехмерных многообразий.

Кроме того, в работе [44] сформулирован следующий вопрос: являются ли группы Сп(т, к) фундаментальными группами трехмерных многообразий?

Следуя А. И. Мальцеву [21], будем говорить, что подгруппа Н группы <7 финитно отделима от элемента д £ <7 \ Н, если существует гомоморфизм (р группы (7 в некоторую конечную группу, при котором уз(д) ^ <р(Н)- Подгруппу, которая отделима от всех не входящих в нее элементов, называют финитно отделимой. Рассматривая вместо гомоморфных отображений на конечные группы гомоморфизмы в группы какого-либо другого класса К,, придем к определению отделимости в классе 1С. Проблема финитной отделимости подгрупп тесно связана с проблемой вхождения элементов в подгруппу [21].

Из результата М. Холла следует, что любая конечно порожденная подгруппа свободной группы является финитно отделимой. Д. И. Мол-

даванский сформулировал следующий

Вопрос ([17, вопрос 15.60]). Верно ли, что любая конечно порожденная р'-изолированная подгруппа свободной группы отделима в классе конечных р-групп?

В пользу этой гипотезы говорит результат Е. Д. Логиновой [19, § 3] о том, что во всякой конечно порожденной нильпотентной группе любая р'-изолированная подгруппа отделима в классе конечных р-групп.

Цель работы. Целью диссертации является исследование вербальных подгрупп в некоторых классах групп, в частности, вычисление ширины вербальных подгрупп и вычисление длины элементов относительно различных множеств порождающих; изучение различных обобщений групп кос (группы Артина, группы сопрягающих автоморфизмов, группы кос многообразий); решение ряда известных проблем теории групп, сформулированных такими математиками, как П. де ля Арп, Бреннер, М. Громов, Кавикиоли, Д. И. Молдаванский, Розенбергер и др.; исследование проблемы классификации дифференциальных уравнений; нахождение дифференциальных тождеств; решение обратной задачи для матричного уравнения переноса.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми.

Методы исследования. В работе используются методы комбинаторной теории групп, теории линейных групп, маломерной топологии, методы классической алгебры, теории дифференциальных уравнений и теории обратных задач математической физики.

Теоретическая и практическая ценность. Предлагаемая работа носит теоретический характер. Полученные результаты и методы могут найти применение в дальнейших исследованиях по теории групп, а также по обратным задачам математической физики. Многие доказанные в диссертации теоремы могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на всесоюзных и международных конференциях: в Свердловске (1989), в Красноярске (1993, 2002), в Омске (1995), в Санкт-Петербурге (1997), в Новосибирске (2000, 2004), в Туле (2001, 2003), в Екатеринбурге (2001), в Гаете (Италия, 2003), в Варшаве (2003), в Москве (2003, 2004). Они обсуждались на специализированных семинарах: "Эварист Галуа", "Тео-

рия групп", "Алгебра и логика", "Обратные задачи математической физики" (ИМ СО РАН и НГУ), на семинаре по алгебре в Красноярском университете, на семинаре по теории групп в МГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [73]—[95].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения; шести глав, разбитых на 26 параграфов, содержит 6 рисунков, 6 таблиц и изложена на 206 страницах. Список литературы содержит 160 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В диссертации получены следующие основные результаты:

- доказано, что группа не имеет собственных вербальных подгрупп конечной ширины, когда она является НТЧТ^-расширепием со связанными подгруппами отличными от базовой группы, в частности, когда она порождается более чем двумя элементами и определяется одним соотношением;

- доказано, что во всякой неабелевой свободной группе существует конечно порожденная изолированная подгруппа, не являющаяся р-отделимой ни для какого простого р (отрицательный ответ на вопрос 15.60 Д. И. Молдаванского из "Коуровской тетради");

- доказано, что существет континуум неизоморфных двупорожден-ных групп, обладающих регулярно исчерпывающей последовательностью линейного роста и не являющихся группами полиномиального роста (отрицательный ответ на вопрос 14.27 А. Вайяна из "Коуровской тетради", а также на вопрос П. де ля Арпа);

- найдены условия представимости четных подстановок в виде произведения двух подстановок заданного порядка и, как следствие, подтверждены первые две гипотезы Бреннера-Эванса и опровергнута третья;

- найденные оценки значений функции длины на коммутанте свободной группы относительно множества коммутаторов частично отвечают на вопрос М. Громова и на вопрос Эдмундса и Розенбергера;

- доказало, что СЬп — группа сопрягающих базис автоморфизмов разлагается в полупрямое произведение некоторых групп и это разложение согласовано с соответствующим разложением группы крашеных кос; из полученного разложения выводится, что в группах Сп и СЬп при

п > 4 проблема вхождения в конечно порожденные подгруппы неразрешима;

- построены точные линейные представления следующих групп: группы кос Лп(52) сферы 52, группы классов отображений М(0, п) сферы с п выколотыми точками, группы кос В3(Р2) проективной плоскости Р2, группы автоморфизмов Аи^-Гг) свободной группы ранга 2; также построены линейные представления группы С„, продолжающие представления Бурау и Лоуренс-Крамера группы кос £?„;

К другим результатам, имеющим и самостоятельный интерес отнесем следующие:

- построен чисто алгебраический алгоритм, позволяющий по произвольному элементу из коммутанта свободной группы находить его коммутаторную длину;

- введено понятие ширины производной подалгебры. Вычислена ширина производных подалгебр некоторых алгебр;

- для свободной абелевой группы А конечного ранга и ее подгруппы Н найден критерий, позволяющий для элемента а € Л проверить: существует ли автоморфизм у? £ Аи^Л) такой, что а4' £ Н (ответ на вопрос В. Н. Безверхнего);

- доказано, что группа кос, а также многие группы Артина конечного и бесконечного типов не имеют собственных вербальных подгрупп конечной ширины;

- получена классификация дифференциальных уравнений порядка п с двумя независимыми перемеными;

- установлена связь между тождеством Аниконова-Амирова и тождеством Пестова.

Перейдем к точным формулировкам.

В первой главе диссертации исследуются вербальные подгруппы ШШ-распшрений, групп с одним определяющим соотношением, а также свободных произведений с объединением.

При изучении ширины вербальных подгрупп будем считать, что V — конечное множество слов, так как для любой вербальной подгруппы У{С) можно подобрать такое бесконечное множество слов что У(О) = Ж'(О), а ширина И^) равна единице. Кроме того, бу-

дем считать, что V — собственное множество слов, т. е. для свободной группы степени свободы 2 вербальная подгруппа У(Р2) отлична от единичной и самой группы В противном случае назовем V несобственным множеством слов. Ширина вербальной подгруппы относительно несобственного множества слов всегда конечна.

В первом параграфе излагается общий метод, восходящий к работе

Ремтуллы [68], позволяющий установить, что в группе <3 ширина вербальной подгруппы бесконечна относительно множества слов V. Его суть состоит в следующем.

Пусть / : в —► К — некоторая функция, определенная на группе <3 и принимающая значения из множества действительных чисел М. Назовем / квазигомоморфной, если функция /(ху) — /(¡г) — /(у) ограничена на О х С.

I Квазигомоморфизм, который на любой абелевой подгруппе является

гомоморфизмом называется псевдохарактером. В. А. Файзиев дал полное описание псевдохарактеров свободной группы, полупрямых и сво-I бодных произведений, а также некоторых других групп и полугрупп

(см. [33] и цитированную там литературу).

Функцию / : (7 —> Е будем называть У-слойно ограниченной на С, если для всякого п = 1,2,... найдется такая константа с(п) 6 К , что 1/(5)1 < с(п) ДО151 всякого элемента g, представимого в виде произведения п значений слов из У±1 на (?.

В первом параграфе установлена

Лемма 1.7. Пусть (7 — группа. Если для множества слов У, определяющего вербальную подгруппу найдется У-слойно ограниченная функция /, не ограниченная на У{0), то ■шсЦС?, У) — оо.

Доказательство этой леммы достаточно простое. Тем не менее эта лемма часто используется в дальнейшем изложении для доказательства бесконечности ширины вербальных подгрупп в различных классах групп.

Во втором параграфе доказывается

Теорема 1.1. Пусть в HNN-расширении

в* =гр(С,* || = <р)

связанные подгруппы А, В отличны от базовой группы (7. Тогда вся-( кая вербальная подгруппа У (С?*), определенная конечным собственным

множеством слов V, имеет бесконечную ширину относительно У.

Если хотя бы одна из связанных подгрупп А или В совпадает с базой <7, то соответствующие примеры показывают, что эта теорема перестает быть справедливой.

В третьем параграфе изучается ширина вербальных подгрупп групп с одним определяющим соотношением. Используя метод Д. И. Молдаванского [25] (см., также [18, гл. 5]) позволяющий представить группы с одним соотношением в виде 1ШМ-распгарения доказана

Теорема 1.2. Пусть С — группа с одним определяющим соотношением, имеющая по меньшей мере три порождающих. Тогда всякая

вербальная подгруппа V{G), определенная конечным собственным множеством слов V имеет бесконечную ширину относительно V.

Построенные примеры показывают, что распространить эту теорему на группы с двумя порождающими и одним соотношением уже нельзя.

Результаты первой главы опубликованы в работах [79]—{80].

Во второй главе диссертации рассматривается свободная группа и изучается коммутаторная длина, разрешимость некоторых уравнений, а также свойство р-отделимости конечно порожденных подгрупп.

В § 1 построен алгебраический алгоритм вычисления коммутаторной длины cl(z) произвольного элемента z £ F', где F — свободная неабелева группа. Реализуется этот алгоритм следующим образом. Элементу z мы сопоставим подстановку сг из группы подстановок S„, где п = \z\ — длина элемента z. Затем определим действие некоторой группы на множестве подстановок из Sn и в орбите элемента а найдем подстановку, имеющую наибольшее число независимых циклов. Если это число обозначить через v, то искомая коммутаторная длина равна с1(г) = (1 — г>)/2 + |z|/4.

В § 2 исследуется вопрос М. Громова: как связаны el(z) и cl(zm), где z £ F', т € N? Кроме того, исследуются вопросы, сформулированные в работе [49]. Замечается, что вместо свободной группы F произвольного ранга можно рассматривать двупорожденную свободную группу F%. Получена нижняя и верхняя оценки коммутаторной длины el(zm), а точнее, доказано, что для всякого z £ F!¡, всякого натурального т и всякого эндоморфизма ц> € Endi7^, такого, что слово zv циклически приведено, справедливы неравенства

mS(f2)+6 < Фт) < [(2 - m)/2] + mcl(z),

где s(z) — некоторое неотрицательное число, определяемое по элементу z. Во многих случаях это неравенство дает более точную оценку по сравнению с оценкой Дункана-Хоуе.

В § 3 для алгебры над кольцом вводится определение ширины производной подалгебры, двойственное понятию ширины коммутанта группы. Кроме того, для коммутативно-ассоциативного кольца К с единицей строится некоторая ЙТ-алгебра Р (алгебра пар) и исследуются ее свойства. Эта алгебра обладает делителями нуля, не является разрешимой и не обладает свойством ассоциативности степеней. Тем не менее, она является Ли допустимой, а соответствующая ей алгебра Ли является 3-х ступенно разрешимой. Найдена ширина производной подалгебры алгебры Р, а также ширина производной подалгебры алгебры Ли Рц,. Помимо того, что алгебра Р кажется достаточно интересной и сама

по себе, она используется при выводе оценки для с1(гт).

Используя полученные оценки, в § 4 установлено, что в свободной группе 1^2к со свободными порождающими а\,Ъ\,... ,аь,Ъь, к € М, для всякого натурального тп справедливо равенство с1(([о1,61]... [о-к, М)т) — [(2 — тп)/2] + тпк. Отметим, что этот результат другими методами был ранее получен Бавардом [37].

В работе [49] сформулириван следующий вопрос: какие значения может принимать функция с\(гт), г £ при фиксированном натуральном т? При т = 2 дается ответ на этот вопрос. В диссертации построена такая последовательность элементов ^ € к = 1,2,..., что ни один из них не является собственной степенью и с1(<^) = к + 1. Кроме того, в этой же работе (см. [49, вопрос 3]) авторы спрашивают: "Если \у,и>][х,у] = г2 в то что можно сказать о группе О = («, ю, х, у, г}?' Авторам известно, что ранг С? не превосходит 3. В диссертации показано, что ее ранг не превосходит 2.

Гаглион и Спеллман записали в "Коуровскую тетрадь" следующий вопрос (см. [17, вопрос 11.20]): "Пусть [а, 6] = [с, в свободной группе, где а, Ь, [а, 6] — базисные коммутаторы. Если с и <1 — произвольные (собственные) коммутаторы, то верны ли равенства а = с и Ь = сП" Построен пример, дающий отрицательный ответ на этот вопрос.

Теорема М. Холла о финитной отделимости конечно порожденных подгрупп свободной группы перестает быть справедливой, если класс конечных групп заменить классом конечных р-групп. Действительно, рассмотрим в бесконечной циклической группе (7 = (а) подгруппу Н — (а4), где q — простое число, отличное от р. Очевидно, а £ Н, но при любом гомоморфизме группы С на р-группу образ элемента а попадает в образ подгруппы Н, т. е. подгруппа Н не является р-отделимой.

В приведенном примере Н не являлась р'-изолированной в С?. Напомним, что подгруппа Н группы в называется р'-изолированной (где р — простое число), если для любого простого числа <7, отличного от р, и для произвольного элемента <7 € б из включения д" б Н следует, что и д € Н. Если же в в разобранном выше примере рассматривать только р'-изолированные подгруппы, то каждая из них является р-отделимой.

Основным результатом пятого параграфа является

Теорема 2.4. Во всякой свободной неабелевой группе существует конечно порожденная изолированная подгруппа, которая не отделима в классе нильпотентных групп.

Так как всякая конечная р-группа является нильпотентной [15, с. 162], а всякая изолированная подгруппа является и р'-изолированной для любого простого р, то непосредственно из этой теоремы получается

отрицательный ответ на вопрос Д. И. Молдаванского.

Результаты второй главы опубликованы в работах [75, 83, 93] В третьей главе диссертации рассматриваются некоторые обобщения группы кос: группы Артина, группы сопрягающих автоморфизмов, группы кос многообразий.

В первом параграфе дается определение группы кос и напоминаются некоторые ее свойства. В работе [73] установлено, что группа кос Вп, п > 3, не имеет собственных вербальных подгрупп конечной ширины. Этот результат является обобщением результатов Ю. С. Семенова, Н. Н. Репина, В. К. Шалашова, В. Г. Дурнева и завершает исследования, начатые в связи с вопросом Г. С. Маканина. Одним из обобщений группы кос являются группы Артина. В работе [78] установлено, что многие группы Артина, также не имеют собственных вербальных подгрупп конечной ширины.

Ранее это было известно только для коммутанта группы /2(р) при нечетном р относительно коммутатора [9]. Сравнительно недавно (2002) В. Н. Безверхний и И. В. Добрынина [3] получили аналогичные результаты для двупорожденных групп Артина.

В § 2 дается описание группы кос, как подгруппы группы автоморфизмов свободной группы и вводится определение группы сопрягающих автоморфизмов Сп, которая также является обобщением группы кос.

В § 3 исследуется строение группы сопрягающих автоморфизмов Сп. Известно, что она содержит группу сопрягающих базис автоморфизмов СЬп, которая является нормальной подгруппой индекса п! и С„ = СЬп\ 5П (см. [29]). Поэтому все сводится к изучению группы СЬп. Основным результатом третьего параграфа является

Теорема 3.4. Группа сопрягающих базис автоморфизмов СЬп, п > 2, разлагается в полупрямое произведение

СЪп = X (£„-2 X (... X (1>2 X ад...),

где подгруппа г = 1,2,..., п — 1, порождается элементами £,+1,1, £»+1,2, •••) £»+1,1, £1,»+1,£2,г+1,••• >£»,»+1- При этом элементы £»+1,1, £»+1,2, •••,£»+1,1 порождают свободную группу ранга г, а элементы £1,»+1, £2,»+ъ ..., £»,»+1 порождают свободную абелеву группу ранга г. Это разложение согласовано с соответствующим разложением группы крашеных кос Рп, т. е. имеют место включения [/¿+х < г = 1,2,...,п- 1.

Построенное разложение не единственно. В § 5 будет построено другое разложение группы СЬп. Используя найденные разложения, установлены некоторые свойства групп С„ и СЪп. В частности, доказано

Предложение 3.5. Всякая вербальная подгруппа группы сопрягающих базис автоморфизмов Cbn, п >2, определенная конечным собственным множеством слов V, имеет бесконечную ширину.

Предложение 3.7. В группах Сп и СЬ„ при п > 4 неразрешима проблема вхождения в конечно порожденные подгруппы.

В § б строятся линейные представления группы Сп• Построено продолжение представления Бурау на группу Сп, а также показано, что точное линейное представление Лоуренс-Крамера группы Вз продолжается на группу Сз, а при п > 4 построено продолжение этого представления при некоторых дополнительных ограничениях на параметры представления. Построенное представление не является точным при п > 5.

Группу кос Вп можно рассматривать как частный случай общей кон-стукции группы кос Вп(М) на п нитях многообразия М.

В § 7 доказало, что группа кос Bn(S2) сферы является линейной при всех п > 2. Группа классов отображений М(О, п) сферы с п выколотыми точками является гомоморфным образом группы Bn(S2). Установлено, что группа М(0,п) является линейной для всякого п > 2. Для групп кос Вп(Р2) проективной плоскости мы установим линейность при п = 3 (при п = 1,2 она конечна). Отметим, что линейность групп Bn(S2) и М(О, п) независимо была установлена Бигелоу и Будней [39].

Как уже отмечалось выше, группа автоморфизмов Aut(Fn) не линейна при п > 3. В работе [48] установлено, что группа Aut(Í2) линейна тогда и только тогда, когда линейна группа кос Вц. Используя представление Лоуренс-Крамера, в § 8 будет построено в явном виде точное линейное представление группы Aut(F2).

Результаты третьей главы опубликованы в работах [73, 78, 86, 92, 94, 95].

В четвертой главе рассматривается группа подстановок и группа автоморфизмов свободного модуля и для них даются ответы на вопросы Бреннера-Эванса и на вопрос В. Н. Безверхнего.

В работе [74] доказано, что для любых целых чисел к > 4, тп > 1 всякая подстановка из знакопеременной группы Акт представима в виде произведения двух подстановок, каждая из которых разлагается на т независимых циклов длины к. Эта теорема подтверждает первую гипотезу Бреннера-Эванса. Из нее, в частности, следует, что всякий элемент из Акт> к > 4, т > 1, является произведением двух элементов порядка к. Далее, естественно изучать представления подстановок из Ап в виде произведения двух подстановок порядка к, где п не делится на к.

В первом параграфе для всякого натурального к > 4 строится множество натуральных чисел (¿к такое, что при всех п £ б?* в группе Ап найдутся подстановки, не пред ставимые в виде произведения двух подстановок, каждая из которых в разложении на независимые циклы содержит только циклы длины к и 1. В частности, мы покажем, что при к — 4 множество бесконечно. Кроме того, в качестве следствия установлена справедливость второй гипотезы для всех указанных значений к.

Доказало, что третья гипотеза неверна уже при к — 11, но тем не менее, если к — простое и сравнимо с 1 по модулю 3, то третья гипотеза справедлива.

В ноябре 1997 г. на Мальцевских чтениях В. Н. Безверхний сформулировал следующий

Вопрос. Пусть С = Zn — свободная абелева группа конечного ранга п, п € N. Я - ее собственная подгруппа, а ги £ <3 \ Я. Существует ли автоморфизм ц> £ Аггё (7 такой, что £ Я?

В § 2 дается ответ на вопрос В. Н. Безверхнего. Чтобы сформулировать основной результат, напомним (см., например, [4, § 86]), что если Д — коммутативное евклидово кольцо с единицей, М — свободный левый Я-модуль ранга п, п £ М, а Я — его нетривиальный подмодуль, то Я является свободным Д-модулем ранга к, 1 < к < п, и существует такой базис ^1,112,... ,ип в М и такой базис • • •, в Я, что

Ьх = ТП{и„ ТПг+1 = 0(то<1 то,)

для некоторых элементов т, из Д. Такие базисы называются согласованными. Обозначим тп(Н) = гщ. Заметим, что значение тп(Н) определяется с точностью до умножения на обратимый элемент из Д и, в этом смысле, является инвариантом подмодуля Я.

Основным результатом § 2 является

Теорема 4.3 Пусть Д — коммутативное евклидово кольцо с единицей, М — свободный левый И-модуль ранга п, п £ К, Я - его нетривиальный подмодуль, щ, и2,...,ип и У\, «2,..., и к — согласованные базисы в М и Я соответственно. Для элемента ги = Ах^ + АгМг +... + АТ1ип £ М, А* € Д, найдется такой автоморфизм ц> £ Аий М, что (р(ги) £ Н тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель н.о.д.(А1, Аг,..., А„) делится на т(Н).

Так как свободная абелева группа Zn ранга п является свободным левым модулем над кольцом целых чисел 2, то из этой теоремы получается требуемый критерий.

Результаты четвертой главы опубликованы в работах [74, 81, 85].

В пятой главе изучаются группы Кавикиоли-Хегенбарта-Реповша, а также свойство регулярной исчерпываемости групп и его связь с функцией роста в группе.

В §§ 1-2 устанавливаются некоторые факты о строении групп Gn(m,k). Получены признаки цикличности этих групп, разложимости их в свободное произведение, а также попарной изоморфности. Доказывается признак асферичности групп этого класса.

6 § 3 дается частичный ответ на вопрос из [44], а именно, показано, что достаточно большой подкласс групп Gn{rn,k) с нечетным числом порождающих п не может быть реализован как фундаментальные группы гиперболических трехмерных орбифолдов (в частности, многообразий) конечного объема. Установлена

Теорема 5.4. (совместно с А. Ю. Весниным). Пусть п - нечетно, к — т - четно и н.о.д.(т — 2к,п) = 1. Тогда группа Gn(m,k) не может быть группой гиперболического 3-орбифолда (в частности, 3-многообразия) конечного объема.

В § 4 приведены порядки групп Gn(m, к) и их абелизаторы для малых значений параметров, полученные в результате компьютерных вычислений с помощью программы GAP.

В теории двумерных римановых многообразий хорошо известно понятие "регулярно исчерпываемого многообразия". В § 5 аналогичное понятие вводится для групп.

Пусть группа G = (А), где А = {af1,... , a*1} — конечное множество порождающих. Последовательность конечных подмножеств Lk, к = 1,2,..., из G назовем регулярно исчерпывающей, если она удовлетворяет следующим условиям:

1) Lk С Lk+i для всех к > 1,

2) G = U Lk,

к> 1

3) lim = 0, где dL^ ={р £ G \ LA существует а £ А такой, что

к—юо 1*1

да £ Lk} — граница множества Lk-

Группу, обладающую регулярно исчерпывающей последовательностью, назовем регулярно исчерпываемой. Класс регулярно исчерпываемых групп обозначим символом RG. Если последовательность кроме того удовлетворяет условию:

4) существуют константы с > 0 и d > 1 такие, что \Lk\ < ckd для всех к > 1,

то будем называть ее регулярно исчерпывающей последовательностью

полиномиального роста. Класс групп обладающих регулярно исчерпывающей последовательностью полиномиального роста обозначим символом RPG. В частности, класс групп, обладающих регулярно исчерпывающей последовательностью линейного роста обозначим символом RLG.

Класс групп полиномиального роста обозначается PG. Если функция роста группы G не эквивалентна никакой показательной функции, то G называется группой субэкспоненциального роста. Класс групп субэкспоненциального роста обозначается SG. Если функция роста группы G не эквивалентна никакой показательной функции и не эквивалентна никакой степенной функции, то G называется группой промежуточного роста.

Основным результатом пятого параграфа является

Теорема 5.5. Справедливо включение: SG С RLG, т. е. во всякой группе субэкспоненциального роста существует регулярно исчерпывающая последовательность линейного роста.

В качестве следствия этой теоремы получается отрицательный ответ на вопрос 14.27 из "Коуровской тетради" [17]. В наших обозначениях этот вопрос можно сформулировать следующим образом: "Справедливо ли включение RPGCPG?" Кроме того, П. де ля Арп [56] спрашивал: "Справедливо ли включение RLGCPG?" Используя результаты Р. И. Григорчука [6], построившего примеры групп промежуточного роста, установлено такое

Следствие. Существует континуум неизоморфных двупорожден-ных групп, обладающих регулярно исчерпывающей последовательностью линейного роста и не являющихся группами полиномиального роста.

Это следствие дает отрицательный ответ на вопрос 14.27 и на вопрос П. де ля Арпа.

Результаты пятой главы опубликованы в работах [89, 84, 91]. Результаты, касающиеся групп Кавикиоли-Хегенбарта-Реповша получены совместно с А. Ю. Весниным.

В шестой главе алгебраические методы применяются для исследования дифференциальных уравнений и обратных задач математической физики.

В § 1 дается классификация дифференциальных уравнений произвольного порядка с двумя независимыми переменными. Указываются замены независимых переменных, приводящие уравнения к более простому виду. В случае уравнений второго порядка отсюда получается хорошо известная классификация уравнений математической физики.

Уравнения третьего порядка классифицированы в работе Т. Д. Джура-ева и Я. Попёлека [10].

При исследовании обратных задач для кинетических уравнений и задач интегральной геометрии важную роль играют дифференциальные тождества (см. [2, 77, 87]). В частности, они широко используются для доказательства единственности и устойчивости решения обратных задач.

В § 2 устанавливается некоторое дифференциальное тождество, являющееся обобщением известного тождества Аниконова-Амирова и из него выводится тождество Пестова, которое широко используется в задачах интегральной геометрии.

В § 3 рассматривается матричное кинетическое уравнение и, используя "метод лишних уравнений", разработанный Ю- Е. Аниконовым, решается обратная задача одновременного восстановления помимо решения двух матриц, входящих в правую часть уравнения.

Результаты шестой главы опубликованы в работах [77, 82, 87, 88, 90].

Список литературы

[1] Аламбергенов X. С., Романьков В. А. О произведениях коммутаторов в группах, Деп. в ВИНИТИ, 1985, К« 4566-В85.

[2] Аниконов Ю. Е., Пестов Л. Н., Формулы в линейных и нелинейных задачах томографии. Новосибирск, изд-во НГУ, 1990.

[3] Безверхний В. Н., Добрынина И. В. Решение проблемы конечной ширины в группах Артина с двумя образующими, Чебышевский сборник, Тула, 3, № 1 (2002), 11-16.

[4] Ван дер Варден Б. Л. Алгебра, М.: Наука, 1979.

[5] Глухов М. М, Зубов А. Ю. О длинах симметрических и знакопеременных групп подстановок в различных системах образующих, Матем. вопросы киберн., К« 8 (1999), 5-32.

[6] Григорчук Р. И. Степени роста конечно-порожденных групп и теория инвариантных средних, Изв. АН СССР, Сер. математическая, 48, № 5 (1984), 939-985.

[7] Григорчук Р. И. Ограниченные когомологии групповых конструкций, Матем. заметки, 59, № 4 (1996), 546-550.

[8] Григорчук Р. И., Курчанов П. Ф. О ширине элементов в свободных группах, Укр. матем. журн., 43, № 7-8 (1991), 911-918.

[9] Гринблат В. А. О коммутаторных уравнениях в группах Артина конечного типа, Международн. конф. по алгебре: Тез. докл. по теории групп, Новосибирск, 1989, 37.

[10] Джураев Т. Д., Попёлек Я. О классификации и приведении к каноническому виду уравнений с частными производными третьего порядка, Дифференц. уравнения, 27, X5 10 (1991), 1734-1745.

[11] Добрынина И. В. О ширине свободных произведений с объединением, Матем. заметки, 68, № 3 (2000), 353-359.

[12] Дурнев В. Г. О ширине коммутанта групп кос 5з и В4, Деп. в ВИНИТИ, 1987, № 4040-В87.

[13] Дурнев В. Г., Шалашов В. К. О ширине коммутанта групп кос В3 и В4, 19-я Всесоюзн. алгебр, конф. Львов, 1987, 89.

[14] Закирьянов К. X. Конечность ширины симплектической группы над кольцами алгебраических чисел относительно элементарных матриц, Алгебра и логика, 24, № 6 (1985), 667-673.

[15] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп, 4-е изд., М., Наука, 1996.

[16] Коллинз Д, Цишанг X. Комбинаторная теория групп и фундаментальные группы, Современные проблемы математики, Фундаментальные направления, Т. 58: Алгебра-7, М., ВИНИТИ, 1990, 5-190.

[17] Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп, 15-е изд., Новосибирск, Ин-т матем. СО РАН, 2002.

[18] Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп, М.: Мир, 1980.

[19] Логинова Е. Д. Финитная аппроксимируемость свободного произведения двух групп с коммутирующими подгруппами, Сиб. матем. журн., 40, № 2 (1999), 395-407.

[20] Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп, М., Наука, 1974.

[21] Мальцев А. И. О гомоморфизмах на конечные группы, Учен. зап. Ивановск. пед. ин-та, 18, № 5 (1958), 49-60 (или "Избранные труды", т. 1, Классическая алгебра, 1976, 450-462).

[22] Масси У, Столлингс Дж. Алгебраическая топология. Введение, М., Мир, 1977.

[23] Мерзляков Ю. И. Алгебраические линейные группы как полные группы автоморфизмов и замкнутость их вербальных подгрупп, Алгебра и логика, 6, № 1 (1967), 83-94.

[24] Мерзляков Ю. И. Рациональные группы, 2-е изд., М., Наука, 1987.

[25] Молдаванский Д. И. О некоторых подгруппах групп с одним определяющим соотношением, Сиб. матем. журн., 6, № 6 (1967), 13701384.

[26] Ольшанский А. Ю. Диаграммы гомоморфизмов групп поверхностей, Сиб. матем. журн., 30, № 6 (1989), 150-171.

[27] Репин Н. Н. О коммутаторных уравнениях в группах B¡ и Вц. Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Тула, 1986, 114-117.

[28] Романьков В. А. О ширине вербальных подгрупп разрешимых групп, Алгебра и логика, 21, X« 1 (1982), 60-72.

[29] Савушкина А. Г. О группе сопрягающих автоморфизмов свободной группы, Матем. заметки, 60, № 1 (1996), 92-108.

[30] Семенов Ю. С. О коммутаторах в группах кос. 10-й Всесоюзн. симп. по теории групп. Минск, 1986, 207.

[31] Смирнова Б. Г. Ширина степени свободной нильпотентной группы ступени два, Сиб. матем. журн., 41, № 1 (2000), 206-213.

[32] Тавгень О. Н. Ограниченная порождаемость групп Шевалле над кольцами 5-целых алгебраических чисел, Известия АН СССР, Серия математическая, 54, № 1 (1990), 97-122.

[33] Файзиев В. А. Псевдохарактеры на свободных группах, Известия АН, Серия математическая, 58, № 1 (1994), 121-143.

[34] Adian S. I. and Mennicke J. On bounded generation of SLn(Z), Inter. J. Algebra and Comput., 2, № 4 (1992), 357-365.

[35] Akhavan-Malayeri M. and Rhemtulla A. Commutator length of Abelian-by-nilpotent groups, Glasg. Math. J., 40, № 1 (1998), 117-121.

Baginski C. On sets of elements of the same order in the alternating group An, Publ. Math., 34, № 3-4 (1987), 313-315.

Bavard, C. Longueur stable des commutateurs, Enseign. Math., II. Ser. 37, X« 1/2 (1991), 109-150.

Bigelow S. Braid groups are linear, J. Amer. Math. Soc., 14, № 2 (2001), 471-486.

Bigelow S. and Budney R. D. The mapping class group of a genus two surface is linear, Algebr. Geom. Topol. 1, (2001), 699-708.

Birman J. S. Braids, links and mapping class group, Princeton-Tokyo: Univ. press, 1974.

Brenner J. L. and Evans R. J. Even permutations as a product of two elements of order five, J. Comb. Theory, A45, № 2 (1987), 196-206.

Bridson M. R. and Haefliger A. Metric spaces of non-positive curvature, Grundl. Math. Wiss., 319, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 1999.

Carter D. and Keller C. Bounded elementary generation of SL„(i)), Amer. J. Math., 103, № 3 (1983), 673-687.

Cavicchioli A., Hegenbarth F. and RepovS D. On manifold spines and cyclic presentations of groups, Knot Theory, Banach Center Publications, Warsaw, 42, (1998), 49-56.

Comerford J. A., Comerford L. P., Jr. and Edmunds C. C. Powers as product of commutators, Communications in algebra, 19, Na 2 (1991), 675-684.

Culler M. Using surfaces to solve equations in free groups, Topology, 20, № 2 (1981), 133-145.

Duncan A. J. and Howie J. The genus problem for one-relator products of locally indicable groups, Math. Z., 208, № 2 (1991), 225-237.

Dyer J. L., Formanek E. and Grossman E. K. On the linearity of automorphism groups of free groups, Arch. Math., 38, № 5 (1982), 404-409.

Edmunds C. C. and Rosenberger R. Powers of genus two in free groups, Canad. Math. Bull., 33, № 3 (1990), 342-344.

[50] Faiziev V. A. A problem of expressibility in some amalgamated products of groups, J. Austral. Math. Soc., 71, (2001), 105-115.

[51] Formanek E. and Procesi C. The automorphism groups of a free group is not linear, J. Algebra, 149, № 2 (1992), 494-499.

[52] Goldstein R. Z. and Turner E. C. Applications of topological graph theory to group theory, Math. Z., 165, № 1 (1979), 1-10.

[53] Gow R. Commutators in the symplectic groups, Arch. Math., 50, № 3 (1988), 204-209.

[54] Gromov M. Hyperblic groups, in: Essays in Group Theory, Ed. S.M. Gersten, Math. Sci. Res. Inst. Publ. 8, Springer, New-York, 1987, 75-263.

[55] Gromov M. Asymptotic invariants of infinite groups, London Nath. Soc. Lecture Note Series, 182, Cambridge University Press, 1993.

[56] de la Harpe P. Topics in geometric group theory, Chicago Univ. Press, 2000.

[57] Helling H., Kim A. C. and Mennicke J. L. A geometric study of Fibonacci groups, Journal of Lie Theory, 8, (1998), 1-23.

[58] Ito N. A. A theorem of alternating group An(n > 5), Math. Japon., 2, № 2 (1951), 59-60.

[59] van der KaJlen W. SL3(C[x]) does not have bounded word length, Lect. Notes, 366, 1982, 357-361.

[60] Krammer D. Braid groups are linear, Annals of Math., 155, № 1 (2002), 131-156.

[61] Lawrence R. J. Homological representation of the Hecke Algebra, Commun. Math. Phys., 135, № 1 (1990), 141-191.

[62] Maclachlan C. Generalizations of Fibonacci numbers, groups and manifolds, London Math. Soc. Lecture Notes Series, 204, 1995, 233238.

[63] McCool J. On basis-conjugating automorphisms of free groups, Can. J. Math., 38, X« 6 (1986), 1525-1529.

[64] Moran G. Reflection classes whose cubes cover the alternating group, J. Comb. Theory, A21, № 1 (1976), 1-19.

[65] Newman M. Unimodular commutators, Proc. Amer. Math. Soc., 101, № 4 (1987), 605-609.

[66] Ol'shanskii, On calculation of width in free groups, London Math. Soc. Lecture Note Series, 204, Cambridge University Press, 1995, 255-258.

[67] Ore S. Some remarks on commutators, Proc. Amer. Math. Soc., 2, (1951), 307-314.

[68] Rhemtulla A. H. A problem of bounded expressibility in free products, Proc. Cambridge Phil. Soc., 64, № 3 (1969), 573-584.

[69] Rhemtulla A. H. Commutators of certain finitely generated solvable groups, Canad. J. Math., 21, № 5 (1969), 1160-1164.

[70] Sieradski A. Combinatorial squashings, 3-manifolds, and the third homology of groups, Invent. Math., 84, (1986), 121-139.

[71] Thompson R. C. Commutators in the special linear and general linear groups, Trans. Amer. Math. Soc., 101, № 1 (1961), 16-33.

[72] Vdovina A. A. Constructing of orientable Wicks forms and estimation of their number, Communications in algebra, 23, X® 9 (1995), 32053222.

Работы автора по теме диссертации

[73] Бардаков В. Г. К теории групп кос, Матем. сб., 183, Л® 6 (1992), 3-42.

[74] Бардаков В. Г. Разложение чётных подстановок на два множителя заданного циклового строения, Дискр. матем., 5, № 1 (1993), 70-90.

[75] Бардаков В. Г. О разрешимости одного уравнения в свободной группе, Третья международная конференция по алгебре памяти М. И. Каргаполова: Тезисы докладов, Красноярский государственный университет, Красноярск, 1993, 33-34.

[76] Бардаков В. Г. О разложении автоморфизмов свободных модулей на простые множители, Известия РАН, Серия математическая, 59, № 2 (1995), 109-128.

[77] Bardakov V. G. Uniqueness theorem for the solution of the inverse problem for a generalized kinetic equation, J. Inv. Ill-Posed Problems, 3, № 5 (1995), 383-391.

[78] Бардаков В. Г. Ширина вербальных подгрупп некоторых групп Ар-тина, Групповые и метрические свойства отображений: Сборник работ, посвящённых памяти Ю. И. Мерзлякова, НГУ, Новосибирск, 1995, 8-18.

[79] Бардаков В. Г. Ширина вербальных подгрупп некоторых HNN-расширений, Препринт Института математики СО РАН, Новосибирск, 1995, 25 с.

[80] Бардаков В. Г. О ширине вербальных подгрупп некоторых свободных конструкций, Алгебра и логика, 36, № 5 (1997), 494-517.

[81] Бардаков В. Г. Четные подстановки, не представимые в виде произведения двух подстановок заданного порядка, Матем. заметки, 62, № 2 (1997), 169-177.

[82] Бардаков В. Г. О классификации по старшей части дифференциальных уравнений с двумя независимыми переменными, Дифференциальные уравнения, 36, № 2 (2000), 187-197.

[83] Бардаков В. Г. Вычисление коммутаторной длины в свободных группах, Алгебра и логика, 39, № 4 (2000), 379—424.

[84] Бардаков В. Г. Построение регулярно исчерпывающей последовательности в группах субэкспоненциального роста, Алгебра и логика, 40, № 1 (2001), 22-29.

[85] Бардаков В. Г. Об автоморфном вхождении в подгруппы свободной группы, Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп, Межвузовский сборник научн. трудов, Тула, 2001, 4-8.

[86] Бардаков В. Г. О точной представимости групп кос сферы матрицами над полем, Междун. конференция "Алгебра и ее приложения", Красноярск, КрасГУ, 2002, 11-13.

[87] Bardakov V. G. Inverse problem for systems of kinetic equations, J. Inverse and Ш-Posed Problems, 10, № 5 (2002), 465-485.

[88] Бардаков В. Г. Решение обратной задачи для матричного уравнения переноса, Сиб. журн. индустриальной математики, 5, № 3 (2002), 35-52.

[89] Бардаков В. Г., Веснин А. Ю. Об обобщении групп Фибоначчи, Алгебра и логика, 42, № 2 (2003), 131—160.

[90] Бардаков В. Г. О связи тождества Аниконова-Амирова с тождеством Пестова, Сибирский журнал индустриальной математики, 6, № 2 (2003), 15-25.

[91] Bardakov V. G. One property of groups of subexponential growth, International Conference on Group Theory, Gaeta, Italy, June 1-6, 2003, 13-14.

[92] Бардаков В. Г. Строение группы сопрягающих автоморфизмов, Алгебра и логика, 42, № 5 (2003), 515—541.

[93] Бардаков В. Г. К вопросу Д. И. Молдаванского о р-отделимости подгрупп свободной группы, Сиб. матем. журн., 45, № 3 (2004), 505-509.

[94] Bardakov V. G. Linear representations of the braid groups of some manifolds, Acta Applicandae Mathematical, 84, JV® 2-3 (2004).

[95] Бардаков В. Г. Линейные представления группы сопрягающих автоморфизмов и групп кос некоторых многообразий. Сиб. матем. журн., 46, X« 1 (2005), 17-31.

Бардаков Валерий Георгиевич

Свойства вербальных подгрупп, автоморфизмы и линейные представления некоторых групп преобразований

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписало в печать 28.02.05. Формат 60x84 1/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,0. Уч.-изд. л. 2,0. Тираж 150 экз. Заказ № 30.

Отпечатало в ООО "Омега Принт" 630090, Новосибирск, пр. Лаврентьева, 6

olûj - û/.ûi

РНБ Русский фонд

2005-4 41956

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ВЕРБАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ НШ-РАСШИРЕНИЙ

§ 1. Вербальные подгруппы и квазигомоморфизмы

§ 2. Ширина вербальных подгруп НЫМ-расширений

§ 3. Ширина вербальных подгруп групп с одним определяющим соотношением

Глава 2. ВЕРБАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ И ФИНИТНАЯ ОТДЕЛИМОСТЬ ПОДГРУПП В СВОБОДНОЙ ГРУППЕ

§ 1. Алгоритм вычисления коммутаторной длины

§ 2. Представление степеней в виде произведения коммутаторов

§ 3. Алгебра пар.

§ 4. О разрешимости некоторых уравнений

§ 5. К Вопросу Д. И. Молдаванского о р-отделимости подгрупп свободной группы

Глава 3. ГРУППА СОПРЯГАЮЩИХ АВТОМОРФИЗМОВ И ГРУППЫ КОС МНОГООБРАЗИЙ

§ 1. Вербальные подгруппы некоторых групп Артина

§ 2. Группа кос и группа сопрягающих автоморфизмов

§ 3. Теорема о строение группы сопрягающих автоморфизмов

§ 4. Свойства группы сопрягающих автоморфизмов

§ 5. Другие разложения группы сопрягающих базис автоморфизмов.

§ 6. Линейные представления группы сопрягающих автоморфизмов

§ 7. Линейные представления групп кос некоторых многообразий

§ 8. Точное линейное представление группы Aut(F2)

Глава 4. ГРУППЫ ПОДСТАНОВОК И АВТОМОРФИЗМЫ СВОБОДНОГО МОДУЛЯ

§ 1. Гипотезы Бреннера-Эванса.

§ 2. Об автоморфном вхождении в подгруппу свободной группы

Глава 5. ОБ ОБОБЩЕНИИ ГРУПП ФИБОНАЧЧИ И РЕГУЛЯРНОЙ ИС-ЧЕРПЫВАЕМОСТИ ГРУПП

§ 1. Группы с циклическим генетическим кодом.

§ 2. Асферичность групп Gn(m, к)

§ 3. Группы с нечетным числом порождающих

§4.0 конечности групп Gn(m, к)

§ 5. О регулярной исчерпываемости групп.

Глава 6. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВ

НЕНИЯХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

§1.0 классификации по старшей части дифференциальных уравнений

§ 2. Дифференциальные тождества и связи между ними.

§ 3. Решение обратной задачи для матричного уравнения переноса

В работе исследуются группы, построенные при помощи групповых конструкций (свободные произведения с объединением, 1Ш]М--расширения, полупрямые произведения и др ), группы автоморфизмов свободных групп и свободных модулей, фундаментальные группы компактных трехмерных многообразий, рассматриваются некоторые приложения алгебраических методов

Первоначально группы появились как группы преобразований, вначале конечных множеств, а потом и бесконечных Затем стали изучать преобразования и других множеств Изучение преобразований векторных пространств привело к появлению линейных групп Позднее стали изучаться группы автоморфизмов различных алгебраических систем В последние десятилетия появились и активно изучаются классы гиперболических и автоматных групп, которые можно рассматривать как группы преобразований метрических пространств и группы преобразований слов над некоторым алфавитом [25, 32, 34, 41, 70, 93]

Изучение группы кос и группы сопрягающих автоморфизмов относится к важному направлению в подгрупповом описании группы автоморфизмов свободной группы Для вербальных подгрупп произвольной группы традиционно вызывают интерес вопросы вычисления ширины вербальных подгрупп и длины элементов относительно тех или иных подмножеств

Напомним, что вербальной подгруппой У{0) группы £7 относительно множества теоретико-групповых слов V называется подгруппа, порожденная множеством значений слов из V на группе С, т е

V (С) = гр (у(дид2, ,дф)) || г> € V, дев) см [25, с 143]) Шириной wld(Gr, V) вербальной подгруппы У((?), относительно множества слов У, называется наименьшее т. е N и {+оо} такое, что всякий элемент подгруппы У(С?) записывается в виде произведения < т значений слов из У*1

Термин "ширина" введен Ю И Мерзляковым (1967) в работе [40] (см также [41, § 12]), хотя ширина вербальных подгрупп исследовалась и в более ранних работах Так Шода (1936) (см [123]) изучал коммутаторную ширину группы SLn(F) для алгебраически замкнутого поля F Ширина вербальных подгрупп исследовалась также в работах Г Хигмана, Б Нейман и X Нейман (1949) [99], Ито (1951) [100], Ф Холла (1959 )[95] и многих других авторов

Наиболее общий результат о ширине вербальных подгрупп принадлежит Ю й Мерзлякову [40] всякая вербальная подгруппа алгебраической группы G < GLn(Q), где Q — алгебраически замкнутое поле бесконечной степени трансцендентности над простым подполем, имеет конечную ширину относительно любого слова v В других работах выбирались конкретные группы G', слова v и давались оценки ширины wid(G, v)

Ряд работ посвящен исследованию ширины коммутанта некоторых классических групп относительно коммутатора v = х~1у~1ху Так, например, Томпсон [132] доказал, что если F — поле, то wid(GLn(i?), v) = 1, wid(SLn(F), г;) < 2 при любом п > 2 Гоу [92] доказал, что ширина wid(Sp2n(i?), v) коммутанта симплек-тической группы не превосходит 2 при любом п > 1

Ито [100] доказал, что при п > 5 всякий элемент из коммутанта симметрической группы Sn является коммутатором Ope [116] обобщил этот результат на группу подстановок счетного множества

Отметим, что проблема вычисление ширины симметрической и знакопеременной группы, а также линейной группы над конечным полем представляет интерес для криптографии (см [13])

Можно показать [144, лемма 1], что ширина wid(G, V), вообще говоря, зависит от множества V, а не только от подгруппы V(G) Поэтому, говоря о наиболее употребительных вербальных подгруппах, мы будем иметь в виду ширину относительно их естественного задания, например, для коммутанта — относительно коммутатора [х, у] = х~гу~гху, а для s-й степени — относительно слова xs

Многие авторы изучали следующий вопрос как меняется ширина вербальных подгрупп при различных групповых конструкциях, т е если А и В — группы, G — группа, полученная из А и Б при помощи некоторой групповой конструкции (свободное произведение с объединением, HNN-расширение, расширение, сплетение и т д ), то как выражается ширина wid(G, V) через wid(.A, V) и

В этом направлении Ремтулла [118,119] доказал, что 1) в нетривиальном свободном произведении А * В ширина всякой собственной вербальной подгруппы v(A * В) относительно слова v бесконечна тогда и только тогда, когда |А|>3 и |В|>2, 2) коммутант любой конечно порожденной разрешимой группы ступени разрешимости < 3 имеет конечную ширину Вопрос M И Каргаполова, справедлив ли этот результат для произвольной конечно порожденной разрешимой группы, остается открытым (см [30, вопрос 4 34]), хотя доказано [48], что ширина всякой вербальной подгруппы полициклической группы конечна

В работах X С Аламбергенова и В А Романькова [2], а также Акхаван-Малаери и Ремтуллы [59] найдена ширина коммутанта свободной нильпотент-ной группы Е Г Смирнова [52] исследовала ширину вербальных подгрупп относительно слов хт, т 6 М, в свободной двуступенно нильпотентной группе N^2 ранга п Она доказала, что шд.(ЫПг2, х2к) — 2[та/2] + 1 при п > 2, к > 1 и •тс^-АТ^г, х2к+1) = 1 при всех натуральных пик

Далее будем считать, что V — конечное, собственное (т е вербальная подгруппа нетривиальна и отлична от всей группы ^г) множество слов

Ширина вербальных подгрупп свободных произведений с объединением исследовалась в работах Р И Григорчука [15], И В Добрыниной [21], а также В А Файзиева [85] Наиболее общий результат принадлежит В А Файзиеву если б? = А *и В и число двойных смежных классов А по V не меньше 3, а |В и\ > 2, то ширина тек!(С, V) бесконечна (В этом случае будем говорить, что С? не имеет собственных вербальных подгрупп конечной ширины )

Другой подход к вычислению ширины вербальных подгрупп предложил Р И Григорчук [15] Используя связь между второй группой ограниченных когомологий группы С? и шириной коммутаторных вербальных подгрупп группы С, он получил частичный ответ на вопрос из препринта [143], а точнее, доказал, что если группа С = А*иВ удовлетворяет условиям из предыдущего абзаца, а У — коммутаторное множество слов, то ширина V) бесконечна Кроме того, Р И Григорчук изучал ширину вербальных подгрупп ЕШК-расширений относительно коммутаторного множества слов

Обобщением понятия ширины вербальной подгруппы является понятие ширины группы относительно фиксированного множества порождающих Если (7 — некоторая группа, порожденная множеством А, то всякий элемент д Е С? представим в виде д = а{гае22 аек\ е А, е, = ±1 (1)

Ясно, что такое представление не единственное Длиной (или А-длиной) 1а(э) элемента д относительно множества А называется длина кратчайшего представления (1) Шириной группы (? относительно множества порождающих А называется

Адпс1((?, А) = вир деа1А(д), т е наибольшая длина элемента д, если такой элемент существует и "тс1((7, А) = оо в противном случае

Если мы рассмотрим свободную группу ^ с конечным или счетным множеством порождающих X = {х^х2, }, то длина произвольного элемента из Р относительно множества X находится довольно легко Проблема вычисления длины относительно других множеств порождающих может оказаться нетривиальной задачей Так Р И Григорчук и П Ф Курчанов [17] построили алгоритм, позволяющий вычислять длину 1у{д) произвольного элемента д € Р относительно множества

У = {Г1^/ | т е й,/6 2^ = 1,2, }

А Ю Ольшанский [115] отметил связь проблемы вычисления длины в свободной группе с проблемой равенства слов в некоторой группе Пусть Рп — свободная группа степени п с множеством свободных порождающих ж2, , хп и Л = {г!,г2, , гт} — некоторое множество слов из Р Введем множество

2 = {Г / I Л е 2, / е Рп, г = 1, 2, , т}

Очевидно, группа {2^) совпадает с нормальным замыканием множества Л в группе Рп Если элемент д из Рп не лежит в группе (И), то положим 1г(д) = °о А Ю Ольшанский доказал, что алгоритм вычисления ¿Г-длины в группе Рп существует тогда и только тогда, когда в группе гр(ж1)ж2, , жп||гь г2] , гт) разрешима проблема равенства

Символом с\(д) будем обозначать коммутаторную длину неединичного элемента д из коммутанта С группы (7, те с\(д) = 1к(д), где К — множество коммутаторов в группе

Вопрос о вычислении коммутаторной длины в произвольной группе С? сформулировал М Громов [94, р 145] В частности, он спрашивал как связана с1(д) и с\(дт) для натурального т я д Е С

По-видимому, первый алгоритм вычисления коммутаторной длины в свободной группе был построен Голдстейном и Тернером [90] Затем Каллер [77] дал другой алгоритм вычисления коммутаторной длины, который может быть использован не только для свободных групп, но и для свободных произведений Кроме того, он установил, что если о и 6 — свободные порождающие свободной группы Р2, то для всякого натурального т справедливо равенство с1([а, Ь]т) = [т/2] + 1 Еще один алгоритм вычисления коммутаторной длины можно извлечь из работы А Ю Ольшанского [46] Все эти алгоритмы, в той или иной степени, используют геометрические соображения графы в работе [90], диаграммы на ориентируемых поверхностях в работах [77] и [46]

Из других результатов отметим следующие Шютценберже [124] установил, что если 2т^еи7П>1,то сЦг"1) > 1 Отвечая на вопрос Эдмундса и Розенберге-ра (см [82]), в работе [75] установлено, что при т > 3 для всякого неединичного г € Р1' справедливо неравенство с\(гт) > 2 В этой же работе описаны все элементы, имеющие коммутаторную длину 2, а в работе А Вдовиной [134] построен алгоритм, позволяющий находить слова заданной коммутаторной длины Дункан и Хоуе [80] установили неравенство с1(гт) > (т 4- 1)/2 К сожалению, эта оценка не зависит от коммутаторной длины самого элемента г

Некоторые авторы изучали вербальные подгруппы в группе кос Группа кос Вп была введена Э Артином в 1925 г Группа Вп задается множеством порождающих сгх,сг2, , сгп1 и определяется соотношениями

Группа Вп широко используется в теории узлов, так как проблема классификации узлов сводится (по теореме А А Маркова) к ряду алгебраических проблем, связанных с группами Вт п — 1,2, А А Марков [37] построил нормальную форму слов в группе Вп

Г С Маканина сформулировал следующий вопрос "Построить косу, принадлежащую коммутанту группы кос и не являющуюся коммутатором" (см [30, вопрос 6 22]) Ю С Семенов [50] указал в В3 элемент, равный произведению двух коммутаторов и не сводящийся к одному коммутатору Н Н Репин [47] показал, что относительно слова [ж, у] коммутанты групп В3 и В4 имеют бесконечную ширину, а затем В Г Дурнев и В К Шалашов [23] установили, что и любая собственная вербальная подгруппа этих групп, определенная конечным множеством слов, имеет бесконечную ширину Их доказательство основано на том, что группы ¿?3 и В4 допускают гомоморфизм на свободное произведение ^з, а всякая собственная вербальная подгруппа свободного произведения А* В, \А\ > 2, |В\ > 3, определенная конечным множеством слов, имеет бесконечную ширину При п > 5 гомоморфизма группы Вп на такое свободное произведение не существует [22], поэтому необходимы существенно иные соображения

Группа кос Вп вкладывается в группу автоморфизмов Аи1;(.Р„) Как установил Э Артин [66, теорема 1 9], автоморфизм /3 из принадлежит группе кос Вп тогда и только тогда, когда ¡3 удовлетворяет следующим двум условиям где 7г — некоторая подстановка из а а, £ Рп

Автоморфизмы, удовлетворяющие условию 1), называются сопрягающими автоморфизмами Группа сопрягающих автоморфизмов обозначается символом Сп Сопрягающий автоморфизм, действующий тождественно по модулю коммутанта называется сопрягающим базис автоморфизмом Маккул [109] доказал, что группа сопрягающих базис автоморфизмов СЪп порождается автоморфизмами бгу, 1 < г ф 2 <п ага1+1аг —аг+1(7гаг+х, г = 1, 2, , п- 2, ага3 — о-3аг, [г-^|>2

1) Р(хг) = аг 1Хп(г)аг, 1 < г < п,

2) /3(хгх2 хп) = хгх2 хп, при г ф з, при I ф г, и нашел систему определяющих соотношений группы СЬп Так как группа Сп является обобщением группы кос Вп, то естественно ожидать, что многие свойства группы кос переносятся и на группу Сп

Вопрос о линейности (т е о точной представимости конечномерными матрицами над полем) групп кос сформулировал Бурау в 1936 г Линейность группы В3 доказал В Магнус (см [66, теорема 3 15]) Вопрос о линейности групп Вп при п > 4 почти 65 лет оставался открытым Долгое время существовала гипотеза о том, что представление Бурау является точным В 1991 г Муди [110] опроверг эту гипотезу, построив нетривиальный элемент, лежащий в ядре представления Бурау группы Вп при п > 9 Позднее Лонг и Патон [107] показали, что представление Бурау не является точным уже при п > 6, а Бигелоу [63] снизил эту границу до 5 Вопрос о точности представления Бурау группы В4 до сих пор остается открытым

Лоуренс [106] построила новые представления группы кос Вп, а в работах Крамера [104] и Бигелоу [64] показано, что одно из этих представлений является точным Следовательно, группы кос являются линейными При этом известно, что сама группа не является линейной при п > 3 (см [87])

Группа кос Вп является подгруппой группы Сп Поэтому естественно сформулировать вопрос (см [30, вопрос 15 9]) о линейности группы Сп при п > 3 (группа Сг — Ъ * а потому линейна)

Хорошо известно (см , например, [25, с 25]), что всякая матрица из общей линейной группы СЬП(.Р) над полем ¥ представима в виде произведения элементарных трансвекций и диагональной матрицы, причем из самого доказательства легко вытекает оценка числа элементарных трансвекций, требующихся для такого разложения Это число зависит только от п и не зависит от самой матрицы Много работ посвящено вычислению ширины линейных групп относительно различных множеств порождающих Перечислим некоторые из них Картер и Келлер [71] доказали, что ширина группы ЗЬП(0), где О — кольцо целых чисел алгебраического числового поля, относительно множества элементарных трансвекций конечна В работе С И Адяна и Меннике [58] дано более простое доказательство этого факта для случая, когда О — кольцо целых рациональных чисел Ъ К X Закирьянов [24] установил конечность ширины симплектической группы 3р2п(0), п > 3, относительно множества элементарных матриц Аналогичные результаты для некоторых групп Шевалле над тем же кольцом О получил О Н Тавгень [54] С другой стороны, ван дер Каллен [102] доказал, что если ¥ — поле бесконечной степени трансцендентности над своим простым подполем, то группа ЗЬп(¥[х]) при п > 2 имеет бесконечную ширину относительно множества элементарных трансвекций

Так как группа матриц СЬП(Д) над кольцом Д изоморфна группе автоморфизмов СЬП(М) свободного п-мерного модуля М = Д", то естественно изучать разложения автоморфизмов из СЪП(М) в произведение простых автоморфизмов, которые в случае коммутативного кольца Л исчерпываются трансвекциями и дилатациями Теорема Дьедонне [78] утверждает, что если V — п-мерное векторное пространство над полем то всякое преобразование а е ОЬ„.(У), не являющееся большой дилатацией, представимо в виде произведения < п — 1 трансвекций и одного простого преобразования, если же а является большой дилатацией, то она представима в виде произведения < п трансвекций и одного простого преобразования В работе [139] было получено обобщение теоремы Дьедонне для группы автоморфизмов СЬп(М) свободного п-мерного модуля М =■ ВТ" над некоторым кольцом Л В качестве следствия установлено, что ширина группы БЬотносительно множества коммутаторов не превосходит 10 при всех п > 3 (Известно, что при п = 2 эта ширина бесконечна) Тем самым улучшена оценка М Ньюмена [113] ширина группы БЬП(Ж) не превосходит с1п(п) + 40, где с = 21п(3/2) Отметим, с другой стороны, что для достаточно больших п эта ширина < 4 (см [133])

Для произвольной группы (?, содержащей элементы конечного порядка к, можно поставить вопрос об описании элементов из С? представимых в виде произведения элементов порядка к В частности, если I — некоторое натуральное число, то возникает вопрос об описании элементов из (7 имеющих длину < I относительно множества элементов порядка к

Ряд работ посвящен ответу на этот вопрос в знакопеременной группе Ап Так Моран [111] доказал, что в Ап при п > 2 не всякий элемент представим в виде произведения двух инволюций из Ап, хотя всякий элемент представим в виде произведения двух элементов порядка 3 (см [60]) В работе [69] доказано, что всякий элемент из Ап при п > 15 представим в виде произведения двух элементов порядка 5

Исходя из этих результатов Бреннер и Эванс [69] сформулировали проблему описания четных подстановок, представимых в виде произведения двух подстановок порядка к, к > 4 В частности, они сформулировали следующие гипотезы Гипотеза 1. При любых целых к > 4 и т > 1 всякий элемент группы АКт представим в виде произведения двух подстановок, каждая из которых в разложении на независимые циклы состоит из т циклов длины к

Гипотеза 2. Пусть к ~ простое натуральное число, сравнимое с 1 по модулю 4 Тогда никакая подстановка, имеющая циклический тип не является произведением двух подстановок порядка к в группе

Гипотеза 3. Пусть к — простое натуральное число, к > 7 Тогда никакая подстановка, имеющая циклический тип 312и2 не является произведением двух подстановок порядка к в группе

Справедливость первой гипотезы была доказана при к — А, т > 1 я к > Ь, т = 1 (см [68], [62]) В полном объеме справедливость первой гипотезы установлена в работе автора [137] Справедливость второй гипотезы была установлена при к = 5 в работе [69] Там же было отмечено, что при к = 7 справедливость третьей гипотезы была проверена Листом, который использовал таблицу характеров и компьютерные вычисления

Фундаментальные группы компактных двумерных многообразий хорошо известны [38] и достаточно подробно изучены В то же время [28, § 5 1] для п > 4 каждая конечно определенная группа может быть реализована как фундаментальная группа некоторого замкнутого ориентируемого гг-многообразия Случай трехмерных многообразий является наиболее сложным, поскольку, как показал Столлингс [128], не существует алгоритма, позволяющего по конечному генетическому коду группы определить является ли данная группа фундаментальной группой некоторого трехмерного многообразия

Проблема распознавания групп трехмерных многообразий представляет интерес как для трехмерной топологии (фундаментальная группа многообразия является одним из его важнейших инвариантов), так и для теории групп, поскольку зная, что группа является фундаментальной группой трехмерного многообразия, мы можем получить информацию о ее строении В частности, если С - фундаментальная группа трехмерного многообразия постоянной отрицательной кривизны, то она является гиперболической по Громову и тогда в (7 разрешимы проблема равенства, проблема сопряженности и некоторые другие проблемы

Кавикиоли, Хегенбарт и Реповш [72] ввели класс групп Сп(га, А;), п 6 М, т,к ей

Сп(т,/с) = гр(хьЖ2, ,ас« || хгхг+т = х1+к, г = 1, ,п), где все индексы берутся по модулю п и принимают значения из множества {1,2, ,п}

Отметим, что класс групп Сп(т,к) содержит многие известные и активно изучавшиеся ранее группы При то = 1, к — 2 имеем С7П(1, 2) = ,Р(2, п) - группы Фибоначчи, введенные Конвеем в [76] Как показали Хеллинг, Ким и Менни-ке [98], если п > 4 четно, то ^(2, п) являются фундаментальными группами трехмерных многообразий Более того, при п > 8 эти многообразия являются гиперболическими С другой стороны, как заметил Маклахлан [108], если п нечетно, то Р(2, п) не может быть фундаментальной группой гиперболического трехмерного орбифолда (в частности, многообразия) конечного объема Асферичность и аторичность широкого класса обобщенных групп Фибоначчи были исследованы Прищеповым [117] При т = 2, к = 1 имеем Сп(2,1) = 5(п) -группы Сирадски, изучавшиеся в [125], где было показано, что они являются фундаментальными группами трехмерных многообразий

Кроме того, в работе [72] сформулирован следующий вопрос являются ли группы Сп(т, к) фундаментальными группами трехмерных многообразий7

Следуя А И Мальцеву [36], будем говорить, что подгруппа Н группы (7 финитно отделима от элемента д е С \ Н, если существует гомоморфизм </? группы (? в некоторую конечную группу, при котором (р(д) 0 <р(Н) Подгруппу, которая отделима от всех не входящих в нее злементов, называют финитно отделимой Рассматривая вместо гомоморфных отображений на конечные группы гомоморфизмы в группы какого-либо другого класса /С, придем к определению отделимости в классе К Проблема финитной отделимости подгрупп тесно связана с проблемой вхождения элементов в подгруппу [36]

Из результата М Холла [96] следует, что любая конечно порожденная подгруппа свободной группы является финитно отделимой Д И Молдаванский сформулировал следующий

Вопрос ([30, вопрос 15 60]) Верно ли, что любая конечно порожденная р1-изолированная подгруппа свободной группы отделима в классе конечных р-групп?

В пользу этой гипотезы говорит результат Е Д Логиновой [33, § 3] о том, что во всякой конечно порожденной нильпотентной группе любая р'-изолиро-ванная подгруппа отделима в классе конечных р-групп

Цель работы. Целью диссертации является исследование вербальных подгрупп в некоторых классах групп, в частности, вычисление ширины вербальных подгрупп и вычисление длины элементов относительно различных множеств порождающих, изучение различных обобщений групп кос (группы Артина, группы сопрягающих автоморфизмов, группы кос многообразий), решение ряда известных проблем теории групп, сформулированных такими математиками, как П де ля Арп, Бреннер, М Громов, Кавикиоли, Д И Молдаванский, Розенбер-гер и др

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми

Методы исследования. В работе используются методы комбинаторной теории групп, теории линейных групп, маломерной топологии, методы классической алгебры, теории дифференциальных уравнений и теории обратных задач математической физики

Теоретическая и практическая ценность. Предлагаемая работа носит теоретический характер Полученные результаты и методы могут найти применение в дальнейших исследованиях по теории групп Многие доказанные в диссертации теоремы могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов

Апробация. Результаты диссертации докладывались на всесоюзных и международных конференциях в Свердловске (1989), в Красноярске (1993, 2002), в Омске (1995), в Санкт-Петербурге (1997), в Новосибирске (2000, 2004), в Туле (2001, 2003), в Екатеринбурге (2001), в Гаете (Италия, 2003), в Варшаве (2003), в Москве (2003, 2004) Они обсуждались на специализированных семинарах "Эварист Галуа", "Теория групп", "Алгебра и логика" (ИМ СО РАН и НГУ), на семинаре по алгебре в Красноярском университете, на семинаре по теории групп в МГУ

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 1136]—[160]

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, разбитых на 26 параграфов, содержит 6 рисунков, 6 таблиц и изложена на 206 страницах Список литературы содержит 160 наименований

1. Адельсон-Вельский Г М , Шрейер Ю А Банахово среднее на группах, УМН, 12, № 6 (1957), 131-136

2. Аламбергенов X С , Романьков BAO произведениях коммутаторов в группах, Деп в ВИНИТИ, 1985, N° 4566-В85

3. Аниконов Ю Е , Амиров А К , Теорема единственности решения обратной задачи для кинетического уравнения ДАН СССР, 272, № 6 (1983), 12921293

4. Аниконов Ю Е , Пестов Л Н , Формулы в линейных и нелинейных задачах томографии Новосибирск, изд-во НГУ, 1990

5. Де ля Арп П, Григорчук Р И , Чекарини-Сильберстайн Т Аменабельность и парадоксальные разбиения для псевдогрупп и дискретных метрических пространств, Труды МИАН, 1999, 224, 68-111

6. Безверхний В Н Неразрешимость проблемы вхождения в группах Артина конечного типа, Сиб матем ж , 26, № 5 (1985), 27-42

7. Безверхний В Н , Добрынина И В Решение проблемы конечной ширины в группах Артина с двумя образующими, Чебышевский сборник, Тула, 3, № 1 (2002), 11-16

8. Бердон А Геометрия дискретных групп, М , Наука, 1986

9. Брискорн Э , Сайто К Группы Артина и группы Кокстера, Математика Сб переводов, 18, № 6 (1974), 56-79

10. Бурбаки Н Группы и алгебры Ли, М Мир, гл IV-VI, 1972

11. Ван дер Варден Б Л Алгебра, М Наука, 1979

12. Винберг Э Б , Шварцман О В Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны, Современные проблемы математики, Фундаментальные направления, Т 29 Геометрия-2, М , ВИНИТИ, (1988), 147-259

13. Глухов М М, Зубов А Ю О длинах симметрических и знакопеременных групп подстановок в различных системах образующих, Матем вопросы киберн , № 8 (1999), 5-32

14. Григорчук Р И Степени роста конечно-порожденных групп и теория инвариантных средних, Изв АН СССР, Сер математическая, 48, № 5 (1984), 939-985

15. Григорчук Р И Ограниченные когомологии групповых конструкций, Ма-тем заметки, 59, № 4 (1996), 546-550

16. Григорчук Р И , Курчанов П Ф Некоторые вопросы теории групп, связанные с геометрией, Итоги науки и техники Соврем пробл матем Фундам направления, M, 1990, 58, 191-256

17. Григорчук Р И , Курчанов П Ф О ширине элементов в свободных группах, Укр матем журн , 43, N° 7-8 (1991), 911-918

18. Гринблат BAO коммутаторных уравнениях в группах Артина конечного типа, Международн конф по алгебре Тез докл по теории групп, Новосибирск, 1989, 37

19. Гринлиф Ф Инвариантные средние на топологических группах, M , Мир, 1973

20. Джураев Т Д , Попелек Я О классификации и приведении к каноническому виду уравнений с частными производными третьего порядка, Диффе-ренц уравнения, 27, N° 10 (1991), 1734-1745

21. Добрынина ИБО ширине свободных произведений с объединением, Матем зам , 68, К" 3 (2000), 353-359

22. Дурнев В Г О ширине коммутанта групп кос В3 и Деп в ВИНИТИ, 1987, № 4040-В87

23. Дурнев В Г, Шалашов В К О ширине коммутанта групп кос В3 и £?4, 19-я Всесоюзн алгебр конф Львов, 1987, 89

24. Закирьянов К X Конечность ширины симплектической группы над кольцами алгебраических чисел относительно элементарных матриц, Алгебра и логика, 24, № 6 (1985), 667-673

25. Каргаполов M И , Мерзляков Ю И Основы теории групп, 4-е изд , M , Наука, 1996

26. Коксетер Г С , Мозер У О Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп, M Наука, 1980

27. Козлов Г Т Строение группы Aut(F2), Алгебра, логика и приложения, Иркутск, Иркутский гос ун-т, 1994, 28-32

28. Коллинз Д, Цишанг X Комбинаторная теория групп и фундаментальные группы, Современные проблемы математики, Фундаментальные направления, Т 58 Алгебра-7, M , ВИНИТИ, 1990, 5-190

29. Кострикин А И Введение в алгебру, М , Наука, 1977

30. Коуровская тетрадь Нерешенные вопросы теории групп, 15-е изд , Новосибирск, Ин-т матем СО РАН, 2002

31. Курош А Г Курс высшей алгебры М Наука, 1968

32. Линдон Р , Шупп П Комбинаторная теория групп, М Мир, 1980

33. Логинова Е Д Финитная аппроксимируемость свободного произведения двух групп с коммутирующими подгруппами, Сиб матем журн , 40, К0 2 (1999), 395-407

34. Магнус В , Каррас А , Солитэр Д Комбинаторная теория групп, М , Наука, 1974

35. Мальцев А И Об изоморфном представлении бесконечных групп матрицами, Матем сб , 8, № 3 (1940), 405-422

36. Мальцев А И О гомоморфизмах на конечные группы, Учен зап Ива-новск пед ин-та, 18, Я0 5 (1958), 49-60 (или "Избранные труды", т 1, Классическая алгебра, 1976, 450-462)

37. Марков А А Основы алгебраической теории кос, Тр МИАН, 1945, 16, 1-54

38. Масси У, Столлингс Дж Алгебраическая топология Введение, М , Мир, 1977

39. Мерзляков Ю И Позитивные формулы на свободных группах, Алгебра и логика, 5, № 4 (1966), 25-42

40. Мерзляков Ю И Алгебраические линейные группы как полные группы автоморфизмов и замкнутость их вербальных подгрупп, Алгебра и логика, 6, № 1 (1967), 83-94

41. Мерзляков Ю И Рациональные группы, 2-е изд , М Наука, 1987

42. Молдаванский Д И О некоторых подгруппах групп с одним определяющим соотношением, Сиб матем журн , 6, № 6 (1967), 1370-1384

43. Нейман X Многообразия групп, М Мир, 1969

44. Олвер П Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям М Мир, 1989

45. Ольшанский А Ю Геометрия определяющих соотношений в группах, М , Наука, 1989

46. Ольшанский А Ю Диаграммы гомоморфизмов групп поверхностей, Сиб матем ж , 30, JV0 6 (1989), 150-171

47. Репин Н Н О коммутаторных уравнениях в группах В3 и В4 Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп Тула, 1986, 114-117

48. Романьков BAO ширине вербальных подгрупп разрешимых групп, Алгебра и логика, 21, № 1 (1982), 60-72

49. Савушкина А Г О группе сопрягающих автоморфизмов свободной группы, Матем заметки, 60, № 1 (1996), 92-108

50. Семенов Ю С О коммутаторах в группах кос 10-й Всесоюзн симп по теории групп Минск, 1986, С 207

51. Скотт П Геометрии на трехмерных многообразиях, М , Мир, 1986

52. Смирнова Е Г Ширина степени свободной нильпотентной группы ступени два, Сибир матем журн , 41, № 1 (2000), 206-213

53. Стоилов С Теория функций комплексного переменного, М , Ин лит , 1962, Т 2

54. Тавгень О Н Ограниченная порождаемость групп Шевалле над кольцами 5-целых алгебраических чисел, Известия АН СССР, Сер математическая, 54, № 1 (1990), 97-122

55. Тихонов А Н , Самарский А А Уравнения математической физики М Наука, 1966

56. Улам С Нерешенные математические задачи Современные проблемы математики М Наука, 1964

57. Файзиев В А Псевдохарактеры на свободных группах, Известия АН, серия матем , 58, № 1 (1994), 121-143

58. Adían S I and Mennicke J On bounded generation of SLn(Z), Inter J Algebra and Comput, 2, № 4 (1992), 357-365

59. Akhavan-Malayeri M and Rhemtulla A Commutator length of Abelian-by-nilpotent groups, Glasg Math J , 40, № 1 (1998), 117-121

60. Baginski C On sets of elements of the same order m the alternating group An, Publ Math , 34, № 3-4 (1987), 313-315

61. Bavard, C Longueur stable des commutateurs, Enseign Math , II Ser 37, № 1/2 (1991), 109-150

62. Bertram E Even permutations as a product of two conjugate cycles, J Comb Theory , A12, № 2 (1972), 368-380

63. Bigelow S The Burau representation of B5 is not faithful, Geom Topology, 3, (1999), 397-404

64. Bigelow S Braid groups are linear, J Amer Math Soc , 14, № 2 (2001), 471486

65. Bigelow S and Budney R D The mapping class group of a genus two surface is linear, Algebr Geom Topol 1, (2001), 699-708

66. Birman J S Braids, links and mapping class group, Prmceton-Tokyo Umv press, 1974

67. Bogley W A and Pride S J Aspherical relative presentations, Proc Edmburg Math Soc , 35, (1992), 1-39

68. Brenner J L and Riddell J Covering theorems for finite nonabelian simple groups VII, Asymptotics m the alternating groups, Ars Combm , 1 (1976), 77-108

69. Brenner J L and Evans R J Even permutations as a product of two elements of order five, J Comb Theory, A45, № 2 (1987), 196-206

70. Bridson M R and Haefliger A Metric spaces of non-positive curvature, Grundl Math Wiss , 319, Springer-Verlag, Berlm-Heidelberg, 1999

71. Carter D and Keller C Bounded elementary generation of SLn(0), Amer J Math , 103, № 3 (1983), 673-687

72. Cavicchioli A , Hegenbarth F and Repovs D On manifold spines and cyclic presentations of groups, Knot Theory, Banach Center Publications, Warsaw, 42, (1998), 49-56

73. Cavicchioli A , Hegenbarth F and Kim A C A geometric study of Sieradski groups, Algebra Colloquium, 5, № 2 (1998), 203-217

74. Chalk C P Fibonacci groups with aspherical presentations, Commun m Algebra, 26, № 5 (1998), 1511-1546

75. Comerford J A , Comerford L P , Jr and Edmunds C C Powers as product of commutators, Comunications in algebra, 19, № 2 (1991), 675-684

76. Conway J Advanced problem 5327, Amer Math Monthly, 72, (1965), 915

77. Culler M Using surfaces to solve equations m free groups, Topology, 20, N° 2 (1981), 133-145

78. Dieudonné J Sur les générateurs des groupes classiques, Summa Brasill Math , 3, (1955), 149-179

79. Djokovic D Z The structure of the automorphism group of a free group on two generators, Proc Amer Math Soc , 88, № 2 (1983), 218-220

80. Duncan A J and Howie J The genus problem for one-relator products of locally mdicable groups, Math Z , 208, № 2 (1991), 225-237

81. Dyer J L , Formanek E and Grossman E K On the linearity of automorphism groups of free groups, Arch Math , 38, № 5 (1982), 404-409

82. Edmunds C C and Rosenberger R Powers of genus two m free-groups, Canad -Math Bull , 33, № 3 (1990), 342-344

83. Edjvet M On the asphericity of one-relator relative presentations, Proc Roy Soc Edinburgh, Ser A, 124, (1994), 713-728

84. Fadell E and Van Buskirk J The braid groups of E2 and S2, Duke Math J , 29, № 2 (1961), 243-258

85. Faiziev V A A problem of expressibility m some amalgamated products of groups, J Austral Math Soc , 71, (2001), 105-115

86. F0lnerE On groups with full Banach mean value, Math Scand , 3, № 2 (1955), 243-254

87. Formanek E and Procesi C The automorphism groups of a free group is not linear, J Algebra, 149, № 2 (1992), 494-499

88. Gilbert N and Howie J LOG groups and cyclically presented groups, J Algebra, 174,№ 1 (1995), 118-131

89. Gillette R and Van Buskirk J The word problem and consequences for the braid groups and mapping class groups of the 2-sphere, Trans Amer Math Soc , 131, № 2 (1968), 277-296

90. Goldstein R Z and Turner E C Applications of topological graph theory to group theory, Math Z , 165, № 1 (1979), 1-10

91. Goldstein R Z and Turner E C Counting orbits of a product of permutations, Discrete Math , 80, № 3 (1990), 267-272

92. Gow R Commutators m the symplecticApplications groups, Arch Math , 50, № 3 (1988), 204-209

93. Gromov M Hyperblic groups, m Essays m Group Theory, Ed S M Gersten, Math Sci Res Inst Publ 8, Springer, New-York, 1987, 75-263

94. Gromov M Asymptotic invariants of infinite groups, London Nath Soc Lecture Note Series, 182, Cambridge University Press, 1993

95. Hall P Some constructions for locally finite groups, J London Math Soc , 34, (1959), 305-319

96. Hall M , Jr Coset representations in free groups, Tranc Amer Math Soc , 67, № 2 (1949), 421-432

97. P de la Harpe, Topics m geometric group theory, Chicago Univ Press, 2000

98. Hellmg H , Kim A C and Mennicke J L A geometric study of Fibonacci groups, Journal of Lie Theory, 8, (1998), 1-23

99. Higman G , Neumann B H and Neumann H Embedding theorems for groups, J London Math Soc , 24, (1949), 247-254

100. Ito N A A theorem of alternating group An(n > 5), Math Japon , 2, N° 2 (1951), 59-60

101. Johnson D L Topics m the theory of group presentations, London Math Soc Lecture Notes Series, 42 Cambridge University Press, 1980102. van der Kallen W SL3(Ca;]) does not have bounded word length, Lect Notes, 366, 1982, 357-361

102. Karras A and Solitar D The subgroups of a free product of two groups with an amalgamated subgroup, Trans Amer Math Soc , 150, № 1 (1970), 227-255

103. Krammer D Braid groups are linear, Annals of Math , 155, № 1 (2002), 131156

104. Krstic S and McCool J The non-finite presentability of IA(F3) and GL^Zfi,*-1]), Inven Math , 129, № 3 (1997), 595-606

105. Lawrence R J Homological representation of the Hecke Algebra, Commun Math Phys , 135, № 1 (1990), 141-191

106. Long D D , Paton M The Burau representation is not faithful for n > 6, Topology, 32, № 2 (1993), 439-447

107. Maclachlan C Generalizations of Fibonacci numbers, groups and manifolds, London Math Soc Lecture Notes Series, 204, 1995, 233-238

108. McCool J On basis-conjugating automorphisms of free groups, Can J Math, 38, № 6 (1986), 1525-1529

109. Moody J A The Burau representation of the braid group Bn is unfaithful for large n, Bull Amer Math Soc , 25, № 2 (1991), 379-384

110. Moran G Reflection classes whose cubes cover the alternating group, J Comb Theory, A21, № 1 (1976), 1-19

111. Newman M Matrix completion theorem, Proc Amer Math Soc , 94, N° 1 (1985), 39-45

112. Newman M Ummodular commutators, Proc Amer Math Soc , 101, N° 4 (1987), 605-609

113. Odom R W K Some Diophantme problems arising m the theory of cyclically presented groups, Glasgow Math J , 41, № 2 (1999), 157-166

114. Ol'shanskn, On calculation of width m free groups, London Math Soc Lecture Note Series, 204, Cambridge University Press, 1995, 255-258

115. Ore S Some remarks on commutators, Proc Amer Math Soc , 2, (1951), 307-314

116. Prischepov M I Asphericity, atoricity, and symmetrically presented groups, Commun m Algebra, 23, JY° 13 (1995), 5095-5117

117. Rhemtulla AHA problem of bounded expressibility m free products, Proc Cambridge Phil Soc , 64, № 3 (1969), 573-584

118. Rhemtulla A H Commutators of certain finitely generated solvable groups, Canad J Math , 21, № 5 (1969), 1160-1164

119. Rosenblatt J M Invariant measures and growth conditions, Trans Amer Math Soc , 193, № 1 (1974), 33-53

120. Servatius H Automorphisms of graph groups, J Algebra, 126, JV° 1 (1989), 34-60

121. Servatius H , Droms C and Servatius B Surface subgroups of graph groups, Proc Amer Math Soc , 106, № 3 (1989), 573-578

122. Shoda K Emige Satze uber Matnzen, J Math , 13, (1936), 361-365

123. Shutzenberger M P Sur ¡'equation a2+n = b2+mc2+p dans un group libre, C R Acad Sci Pans, 248, (1959), 2435-2436

124. Sieradski A Combinatorial squashmgs, 3-manifolds, and the third homology of groups, Invent Math , 84, (1986), 121-139

125. Soardi P M Potential theory of infinite networks, Lect Notes Math , 1590, Springer, 1994

126. Squier C C On certain 3-generator Artm groups, Trans Amer Nath Soc , 302, № 1 (1987), 117-124

127. Stallmgs J On the recursiveness of sets of presentations of 3-manifold groups, Fund Math , 51, (1962/63), 191-194

128. Szczepanski A and Vesnin A On generalized Fibonacci groups with odd number of generators, Communication m Algebra, 28, № 2 (2000), 959-965

129. Thomas R The Fibonacci groups F(2, 2m), Bull London Math Soc, 21, (1989), 463-465

130. Thomas R The Fibonacci groups revised, London Math Soc Lecture Notes Series, 160, 1989, 445-456

131. Thompson R C Commutators m the special linear and general linear groups, Trans Amer Math Soc , 101, № 1 (1961), 16-33

132. Vaserstem L and Wheland E Commutators and companion matrices over rings of stable rank 1, Linear Algebra Appl , 142, № 1 (1990), 263-277

133. Vdovma A A Constructing of orientable Wicks forms and estimation of their number, Comumcations m algebra, 23, № 9 (1995), 3205-3222

134. Wicks M J Commutators m free products, J London Math Soc , 37, N° 4 (1962), 433-444Работы автора по теме диссертации

135. Бардаков В Г К теории групп кос, Матем сб , 183, № 6 (1992), 3-42

136. Бардаков В Г Разложение четных подстановок на два множителя заданного циклового строения, Дискр матем , 5, № 1 (1993), 70-90

137. Бардаков В Г О разрешимости одного уравнения в свободной группе, Третья международная конференция по алгебре памяти М И Каргаполова Тезисы докладов, Красноярский государственный университет, Красноярск, 1993, 33-34

138. Бардаков В Г О разложении автоморфизмов свободных модулей на простые множители, Известия РАН, серия математическая, 59, № 2 (1995), 109-128

139. Бардаков В Г О вербальных подгруппах групп Артина, Фундам проб матем и механ Матем ч 1, МГУ, 1994, 285—287

140. Bardakov V G Uniqueness theorem for the solution of the inverse problem for a generalized kinetic equation, J Inv Ill-Posed Problems, 3, N° 5 (1995), 383-391

141. Бардаков В Г Ширина вербальных подгрупп некоторых групп Артина, Групповые и метрические свойства отображений Сборник работ, посвященных памяти Ю И Мерзлякова, НГУ, Новосибирск, 1995, 8-18

142. Бардаков В Г Ширина вербальных подгрупп некоторых HNN-расширений, Препринт Института математики СО РАН, Новосибирск, 1995, 25 с

143. Бардаков В Г О ширине вербальных подгрупп некоторых свободных конструкций, Алгебра и логика, 36, № 5 (1997), 494-517

144. Бардаков В Г Четные подстановки, не представимые в виде произведения двух подстановок заданного порядка, Матем заметки, 62, N° 2 (1997), 169177

145. Бардаков В Г О классификации по старшей части дифференциальных уравнений с двумя независимыми переменными, Дифференциальные уравнения, 36,№ 2 (2000), 187-197

146. Бардаков В Г Вычисление коммутаторной длины в свободных группах, Алгебра и логика, 39, № 4 (2000), 379—424

147. Бардаков В Г Построение регулярно исчерпывающей последовательности в группах субэкспоненциального роста, Алгебра и логика, 40, № 1 (2001), 22-29

148. Бардаков В Г Об автоморфном вхождении в подгруппы свободной группы, Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп, Межвузовский сборник научн трудов, Тула, 2001, 4-8

149. Bardakov V G , Vesnm A Yu , On Cavicchioli-Hegenbarth-Repovs groups, RIM-GARC Preprint Series, 02-3, 2002, Seoul, Korea, 28 p

150. Бардаков В Г О точной представимости групп кос сферы матрицами над полем, Междун конференция "Алгебра и ее приложения", Красноярск, КрасГУ, 2002, 11-13

151. Bardakov V G Inverse problem for systems of kinetic equations, J Inverse and Ill-Posed Problems, 10, № 5 (2002), 465-485

152. Бардаков В Г Решение обратной задачи для матричного уравнения переноса, Сиб журн индустриальной математики, 5, № 3 (2002), 35-52

153. Бардаков В Г, Веснин А Ю Об обобщении групп Фибоначчи, Алгебра и логика, 42, N° 2 (2003), 131—160

154. Бардаков В Г О связи тождества Аниконова-Амирова с тождеством Пе-стова, Сибирский журнал индустриальной математики, 6, № 2 (2003), 15— 25

155. Bardakov V G One property of groups of subexponential growth, International Conference on Group Theory, Gaeta, Italy, June 1-6, 2003, 13— 14

156. Бардаков В Г Строение группы сопрягающих автоморфизмов, Алгебра и логика, 42, № 5 (2003), 515-541

157. Бардаков В Г К вопросу Д И Молдаванского о р-отделимости подгрупп свободной группы, Сиб матем журн , 45, № 3 (2004), 505—509

158. Bardakov V G Linear representations of the braid groups of some manifolds, Acta Applicandae Mathimaticae, 84, № 2-3 (2004)

159. Бардаков В Г Линейные представления группы сопрягающих автоморфизмов и групп кос некоторых многообразий Сиб матем журн , 46, N° 1 (2005), 17-31