Автоморфизмы свободных алгебр и функции на группах лиева типа ранга 1 тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ообо»'^'

На правах рукописи

Ушаков Юрий Юрьевич

Автоморфизмы свободных алгебр и функции на группах лиева типа ранга 1

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 8 АПР ¿013

Красноярск - 2013

005057461

Работа выполнена в ФГАОУ ВПО "Сибирский федеральный университет"

Научный руководитель

д-р физ.-мат. наук, профессор Левчук Владимир Михайлович

Официальные оппоненты:

Мазуров Виктор Данилович,

д-р физ.-мат. наук, профессор, член-корреспондент РАН, Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Советник РАН при ИМ СО РАН.

Зюбин Сергей Александрович, кандидат физ.-мат. наук, доцент Национальный исследовательский Томский Политехнический университет, Центр международной сертификации технического образования и инженерной профессии, начальник отдела.

Ведущая организация

Институт математики и механики Уральского отделения РАН.

Защита состоится 26 апреля 2013 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212.099.02 при ФГАОУ ВПО "Сибирский федеральный университет" по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета.

Автореферат разослан марта 2013 года. Ученый секретарь

диссертационного совета

Бушуева Наталья Александровна

Общая характеристика работы 1

Актуальность темы. В диссертации исследуются вопросы о функциях на конечных группах и автоморфизмы свободной ассоциативной алгебры.

В Коуровской тетради в 1969 году Л. А. Бокутем записан

Известный вопрос. Описать группу автоморфизмов свободной ассоциативной алгебры ранга п> 2 [1, Вопрос 3.3].

Обычно, для свободной ассоциативной алгебры Ап (с единицей) ранга п над полем выделяют стандартные элементарные автоморфизмы; порождённые ими автоморфизмы называют ручными, а остальные автоморфизмы — дикими.

Таким образом, вопрос 3.3 сводится к описанию диких автоморфизмов. Трудным оказывается даже вопрос, когда группа Аг^ Ап совпадает с подгруппой в ней всех ручных автоморфизмов. Ещё к началу 1970-х годов А. Г. Чер-някевич было доказано, что все автоморфизмы алгебры А2 — ручные.

Напомним, что любой эндоморфизм >р алгебры Ап над полем Р характеризуется действием на её свободных порождающих XI, х2, . ■., хп; полагают Ап = Р{х1, х2, ■■■,хп). Если /4 := (р(х{), то пишем = (/ъ /2, • • •,/п)- Первый «подозрительный» автоморфизм выявился уже для алгебры А3. В монографии Кона [7] он называется автоморфизмом Аника, и задаётся по правилу:

Лишь в 2003 году завершено доказательство дикости автоморфизма Аника в случае основного поля характеристики 0. Это показали И. П. Шестаков и У. У. Умирбаев, [13], [6]. Примечательно, как показали в 2005 году те же авторы, что продолжение 5 на алгебру Ап ранга п > 3 по правилу 5(х1) = для г > 3 всегда даёт ручной автоморфизм.

1 Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 12-01-00968) и проекта "Алгебро-логические структуры и комплексный анализ с приложениями к передаче и защите информации" , выполняемому в рамках "Задание Ми-нобрнауки РФ"

5 = (х1 + х3(х1хз—хзх2), х2 + (ххх3 — х3х2)х3, х3).

Эти работы опирались, в первую очередь, на метод свободных дифференцирований Фокса и матриц Якоби. Те же методы позволили В. А. Романькову [4] в 2004 г. установить критерий обратимости эндоморфизма алгебры Ап.

Уже краткий обзор указывает на трудность получения результатов в этом направлении и на необходимость разработки новых подходов.

В 1936 году Ф. Холл [11] ввёл важные функции на конечных группах б, исследуя гомоморфизмы свободных групп на п-порождённые группы. Он называет п-базой конечной группы О всякий упорядоченный порождающий набор п её элементов. Число всех п-баз группы О обозначает через ), называя <рп п-й обобщённой функцией Эйлера. (Её называем также функцией Эйлера-Холла.) Очевидно, когда б — циклическая группа, <р\(С1) совпадает со значением на |С?| обычной теоретико-числовой функции Эйлера.

С другой стороны, в [11] доказано существование для любой (известной) конечной простой неабелевой группы О и натурального числа п наибольшего числа <1 = такого, что прямая степень С* порождается п элементами. Там

же установлена взаимосвязь введённых функций: <рп(С) = <1п(0) ■ | Аги

С. А. Сыскин записал в Коуровской тетради вопрос вычисления значений ¿2 (С) для конечных простых групп С? [1, вопрос 12.86].

Конечно, для чисел ¿2 (б) единообразную формулу можно ожидать лишь для отдельных классов групп. Более естественна, в целом, гипотеза Уайголда:

Если - конечная простая неабелева группа, то

<к{<3) > у/\СГ\ [1, вопрос 17.116].

В работах Эрфаниана, Реза, Мароти и Тамбурини гипотеза Уайголда, по существу, изучена.

Числа ¿2(0) изучались для конечных простых групп лиева типа ранга 1. Их рекуррентное описание для групп Сузуки 2В2(2т) и групп Р5Ь2(2т) получили Н.М. Сучков и Д.М. Приходько [5]. Числа ¡р2(С) вычислены Ф. Холлом в [11] явно для групп Р5//г(з) с простыми q (как и для некоторых групп подстановок малых степеней); для нечетных q их изучал Д. М. Приходько. Случай

оставшихся групп Ри 2С?2(£7) и унитарных групп РБИз(д2) мало изучен; они отличаются тем, что в них существуют неразрешимые подгруппы с неединичным разрешимым радикалом [2].

Л. Пыбер ввёл функцию к ((3) числа классов сопряженных элементов конечной группы С? и для силовских подгрупп Р(, |С?| = |Р1||Р2| • ■ • |-Рг|, высказал гипотезу к(С) < А:(Р1)^(Р2)... к(Рг) (см. [1, Вопрос 14.76]).

Цель диссертации. Целью является разработка нового подхода изучения автоморфизмов свободных ассоциативных алгебр и исследование вопросов С. А. Сыскина, Дж. Уайголда и Л. Пыбера в классе конечных простых групп лиева типа ранга 1 (Коуровская тетрадь [1], вопросы 3.3, 12.86, 14.76, 17.116).

Методы исследования. Используются классические методы теории групп и алгебр. Разрабатывается новый подход к исследованию вопроса об автоморфизмах свободных ассоциативных алгебр.

Научная новизна и практическая значимость. Все основные результаты являются новыми. Работа носит теоретический характер.

Аппробация диссертации. Результаты диссертации аппробировались на международной школе-конференции по теории групп (Челябинск, 2008) и на международных конференциях «Алгебра, логика и приложения» (Красноярск, 2010), «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2009, 2012), «Алгебра и линейная оптимизация» (Екатеринбург, 2012).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [18]—[22]; статьи [20], [21] и [22] входят в издания из перечня ВАК.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 59 страницах. Она состоит из введения, двух глав и списка литературы, состоящего из 50 наименований. Номер леммы, теоремы, и др. включает последовательно номер главы, параграфа и порядковый номер в параграфе.

Содержание диссертации.

Основные результаты диссертации направлены на исследование известных функций на группах лиева типа ранга 1 и на исследование вопросов об автоморфизмах свободных алгебр. К основным результатам диссертации относятся следующие:

- найдены оценки n-й функции Эйлера-Холла dn на группах лиева типа ранга 1, которые при п = 2 подтверждают гипотезу Уайголда, и для тех же групп подтверждена гипотеза Пыбера;

- вычисление функции £¿2 на группах завершено на группах Ри, а для оставшихся (унитарных) групп лиева типа ранга 1 редуцировано к перечислению пар элементов из подгрупп с неединичным разрешимым радикалом;

- вопрос о диких автоморфизмах свободной ассоциативной алгебры редуцирован к аналогичным вопросам для идеала R многочленов с нулевым свободным членом и фактор-алгебр R/Rk; автоморфизмы изучены по модулю Rk, к < 4.

В первой главе приводится постановка основных задач диссертации. Прежде всего, они связаны с вопросами из Коуровской тетради [1]: вопросы 12.86, 14.76 и 17.116 о функциях на конечных группах и вопрос 3.3 об автоморфизмах свободной алгебры (с единицей) над полем.

Вопрос 3.3 сводится к вопросу о существовании и выявлению диких автоморфизмов алгебры многочленов над полем от некоммутативных переменных. В § 1.1 исследуется его редукция к аналогичным вопросам для идеала R многочленов с нулевым свободным членом и нильпотентных фактор-алгебр R/Rk, к = 2,3,... .

Каждый автоморфизм ц> алгебры Ап однозначно определяет константы q 6 F такие, что

<p(xi) = Ci mod R, г =1,2,...,п.

С другой стороны, константы Ci 6 F определяют автоморфизм

(xi-Ci, х2-с2, ...Хп-Сп). (1)

Умножая на него ip, получаем автоморфизм, индуцирующий автоморфизм Тр идеала R.

Осноными в § 1.1 являются следующие две теоремы.

Теорема 1.1.1 а) Автоморфизм <р алгебры Ап является диким тогда и только тогда, когда диким является автоморфизм идеала Я, причем

оо

А^ Ап = А^ Я, Р| Як = 0.

к= 1

б) Если автоморфизм идеала Я индуцирует дикий автоморфизм какой-либо фактор-алгебры Я/Е(к > 1), то он является диким.

в) Каждый автоморфизм алгебры Ап с точностью до умножения на ручной действует тождественно по модулю Я2.

Для произвольных констант

«у, £*•, Рц,Ри А', 7ij.7i.7i> ">Р, Р'. 7. У е Р выделим следующие эндоморфизмы алгебры Ап:

п

х2+

•¿=2

п

+ а-Х2Х1Х4 + РгХ^Х2 + /3,'Х2Х4Х1 + ^Х{Х\Х2 + ^Х1Х2Хх)

!=3

-\-5iXiX2 + <52X1X2X1 + ¿3X2X1, Хз + 0X1X2X3 + а'х 1X3X2 + Рх 2X1X3

+р'х2х3х 1 + 7X3X1X2 + 7'хзхгхх, х4, ...,хп), (2)

п

(XI + ^^(0^1X1X1 + РгХгХ1),Х2 + йХ2Х1 + 0Х1Х2,Х3, ...,Хп). (3)

«=2

Теорема 1.1.2 Всякий автоморфизм алгебры Ап над алгебраически замкнутым полем, с точностью до умножения на ручной автоморфизм, совпадает по модулю Я? с эндоморфизмом (3). Если единичен по модулю Я?, то он совпадает по модулю Л4 с эндоморфизмом (2), с точностью до умножения на ручной автоморфизм.

Теоремы 1.1.1 и 1.1.2 опубликованы в совместной работе [19] и доказаны в нераздельном соавторстве.

В § 1.3 подтверждается на конечных группах лиева типа ранга 1 гипотеза Л. Пыбера [1, Вопрос 14.76]. Он ввёл функцию &(<?) числа классов сопряженных элементов конечной группы <7 и высказал оценку к(С) < к(Р1)к(Р2)... к(Рг) при |С?| = ¡РхЦРг! • • • |Рг|, где Р{ — силовские подгруппы. Обозначим кр{0) = к(Р1)к(Р2)... к(Рг). В § 1.3 доказана

Теорема 1.3.1. Имеют место неравенства:

£(Р^2(9)) < д(1 + 1/2(0 < \РЗЬ2(Я)\/2 < кр{РЗЬ2(д))\

k{Sz(q))<q2 + Зq + l<^^-<kp{Sz(q)У,

Я

ЦЩд)) < д3 + | <7 + | < < кР(11еШ

/с(Р5[/3(з2)) < <?4 + 5з3 + 2д2 - Зд + 1 < < кр(Р8и3(д2)).

В § 1.2 приводится теорема Холла, показывающая существование наибольшего числа <1 = йп(С) для конечной простой неабелевой группы б такого, что (¿-я прямая степень группы С порождается п элементами. Теорема 1.4.1 в § 1.4 даёт оценку функции с1п на группах (3 лиева типа ранга 1, подтверждающую при п = 2 на них гипотезу Уайголда [1, вопрос 17.116].

Теорема 1.4.1 Пусть С? есть простая конечная группа лиева типа ранга 1. Тогда

<*»(<?) > |СГ§ (п > 2).

Теоремы 1.3.1 и 1.4.1 опубликованы автором в [18] и [20].

Вопрос о вычислении второй функции Эйлера-Холла й2 на простых конечных неабелевых группах ([1], вопрос 12.86 С. А. Сыскина) изучается в этой главе в классе групп лиева типа ранга 1. Ранее он был полностью изучен в статье Н. М. Сучкова и Д. М. Приходько [5] для групп Судзуки 2В2{д) и групп Р5Ьг(д) с четным q. Для групп РЗЬ2(д) с нечётным q его изучал Д. М. Приходько. Полностью этот вопрос для групп Ри 262(9) завершает доказываемая в § 2.3

Теорема 2.3.1 Пусть Де(д) (д = 3", п > 1) — конечная простая группа Ри типа 2С2. Тогда для простых чисел п имеем с12(В.е(д)) = (1/тг) • р(д), где

p{q) = (q - 3) (g6 + 2q5 + 6g4 + 18g3 + 53g2 + 160g + 464) .

Если число n - составное, то

d2(Re(q)) = ~[p(q) - V г • сг2(ле(з'))].

n , '

f|n, n>t>l

Теорему получили в нераздельном соавторстве автор и Д. В. Левчук [21].

В § 2.1 приводятся известные подгрупповые описания групп Ри и

проективных специальных унитарных групп Р5?7з(д2), необходимые для рассмотрения вопроса Сыскина для этих групп. Отметим, что в отличие от групп Судзуки и РБЬ^д), группы Ри и группы Рви^2) обладают неразрешимыми подгруппами с неединичным разрешимым радикалом.

По аналогии с группами Ри, в § 2.2 для унитарных групп устанавливается редукционная теорема. Пусть IV — множество пар элементов группы й(д) = Р.5>?7з(<72) (аналогично, V/ в = Риз(д2)), лежащих в подгруппе из О^)

(соответственно, из С?(д)) с неединичным разрешимым радикалом. Положим

где 5i = 1 или 0, соответственно, когда верно или не верно г-е условие: l)g = ±l mod 10; 2)5 = 11,29 mod 30; 3) р = 5 и п нечетно; 4) q = 3,5,13 mod 14. Теорема 2.2.1 Пусть G(q) = PSU3(q2), G(q) = PU3(q2). Верны рекуррентные соотношения:

<5 = НОД(д + 1,3), е = 2 — НОД(д, 2),

s(g) = 38<5i + 2125г + 2406<53 + 1Ш4,

ЫС{Я)) = |G(?)|2 - \W\ - |G(g)| (бе ■ £

GF(m)CGF(q)

<p2(PGL2(m)) + ip2(PSL2{m)) \PGL2(m)\

+

+ E

(GF(,):OF(m)) |r

y2(g(m)) , <5-1

|G(m)| + 2

+

3

<P2(G(q)) = \G(q)\2-\W\-\G(q)\{e £

GF(m)CGF(q)

<p2{PGL2{m)) + <p2(PSL2(m)) \PGL2 (m)|

+

+ £

(GF(?):GF(m))|r

ya(G(m)) + ya(GM)

\G(m)\

Теорема опубликована автором в [22].

Автор благодарен научному руководителю профессору Левчуку Владимиру Михайловичу за постановку задачи и внимание к работе. Признателен сотрудникам кафедры алгебры и математической логики и Института математики

Список литературы

[1] Нерешенные задачи теории групп. Коуровская тетрадь. 17-е изд. Новоси-бирск:НГУ, 2010. 219 с.

[2] Левчук Д.В. Функции Ф. Холла на группах лиева типа ранга 1 // Владикавказский математический журнал, 2008. Т. 10. №1. С. 37-39.

[3] Приходько Д-М. О числе пар порождающих простой конечной группы // V Международная конф. "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения 2003. Тула: ТГПУ. С. 185-186.

[4] Романьков В. А. Теорема об обратной функции для свободных ассоциативных алгебр // Сиб. мат. журн., 2004. Т. 45. №5. С. 1178-1183.

[5] Сучков Н.М., Приходько Д.М. О числе пар порождающих групп L2(2m) и Sz(22k+1) И Сиб. мат. журн., 2001. Т. 42. №5. С. 1162-1167.

[6] Умирбаев У. У. Определяющие соотношения группы ручных автоморфизмов алгебры многочленов и дикие автоморфизмы свободных ассоциативных алгебр // Докл. Академии Наук, 2006. Т. 407. №3. С. 319-324.

[7] Cohn P. M. Free rings and their relations, 2nd Ed. London: Academic Press, 1985, 608 p.

СФУ за хорошие условия работы над диссертацией.

[8] Erfanian A., Rezaei R. On the growth sequence of PSp(2m,q) // Intern. J. Algebra, 2007. Vol. 1. Issue 2. P. 51-62.

[9] Erfanian A. A note on growth sequences of alternating groups // Arch. Math., 2002. Vol. 78. Issue 4. P. 257-262.

[10] Erfanian A. A note on growth sequences of PSL(m,q) // Southeast Asian Bull. Math., 2005. Vol. 29. Issue 4. P. 697-713.

[11] Hall Ph. The Eulerian functions of a group // Quart. J. Math., 1936. Vol. 7. P. 134-151.

[12] Maroti A., Tamburini M.C. A solution to a problem of Wiegold 11 Comm. in Algebra, 2013. Vol. 41. Issue 1. P. 34-49.

[13] Shestakov I. P., Umirbaev U. U. The Nagata automorphism is wild // Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 2003. Vol. 100. Issue 22. P. 12561-12563.

[14] Wiegold J.. Growth sequence of finite groups // J. Austral. Math. Soc., 1974. Vol. 17. P. 133-141.

[15] Wiegold J.. Growth sequence of finite groups //J. Austral. Math. Soc., 1975. Vol. 20. P. 225-229.

[16] Wiegold J.. Growth sequence of finite groups // J. Austral. Math. Soc., 1978. Vol. 25. P. 142-144.

[17] Wiegold J.. Growth sequence of finite groups // J. Austral. Math. Soc., 1980. Vol. 29. P. 14-16.

Список публикаций по теме диссертации

[18] Ю.Ю. Ушаков. Оценка числа классов сопряженных элементов в группах лиева типа ранга 1. // Алгебра и теория моделей., Новосибирск: НГТУ, 2005, Т. 5. С. 229-236.

[19] C.K. Gupta, V.M. Levchuk, Yu.Yu. Ushakov. Hypercentral and monic automorphisms of classical algebras, rings and groups. // Journal of SFU., Phys&Maths., 2008. Vol. 4. Issue 1. P. 380-390.

[20] Ю.Ю. Ушаков. Оценка функций Ф. Холла на группах лиева типа ранга 1 // Владикавказский мат. журн., 2011. Т. 14. №2. С. 50-56.

[21] Д.В. Левчук, Ю.Ю. Ушаков. Функции Эйлера-Холла на группах Ри //Сиб. мат. журн., 2013. Т. 54. №2. С. 420-431.

[22] Ю.Ю. Ушаков Функции Эйлера-Холла на группах лиева типа ранга 1 // Известия Иркутского государственного университета, 2013. Т. 6. №1. С. 78-84.

[23] Ю.Ю. Ушаков Гипотеза Уайголда для групп лиева типа ранга 1 // Тезисы международной конференци «Алгебра, логика и приложения». Красноярск: СФУ, 2010. С. 101-102.

[24] Ю.Ю. Ушаков Функции Эйлера-Холла на группах лиева типа ранга 1 // Тезисы международной конферении «Алгебра и линейная оптимизация». Екатеринбург: ИММ УрО РАН. 2012. С. 162.

[25] Ю.Ю. Ушаков Функции Эйлера-Холла на группах лиева типа ранга 1 // Тезисы международной конференции «Мальцевские чтения». ИМ СО РАН, Новосибирск, 2012. С. 84.

Подписано в печать 21.03.2013. Печать плоская Формат 60x84/16 Бумага офсетная. Усл. печ. л. 0,7 Тираж 100 экз. Заказ № 1031

Отпечатано полиграфическим центром Библиотечно-издательского комплекса Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр Свободный, 82а, тел.: +7(391) 206-26-49, 206-26-67, E-mail: print_sfu@mail.ru

министерство образования и науки рф федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

На правах рукописи Ушаков Юрий Юрьевич ^ил^ж^

Автоморфизмы свободных алгебр и функции на группах лиева типа ранга 1

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

СО

О Научный руководитель

СО доктор физ.-мат. наук, профессор

О

^ Левчук В. М.

О

Красноярск 2013

Содержание

Введение 3

Глава 1. Функции на группах и автоморфизмы алгебр 9

1.1 Ручные и дикие автоморфизмы свободных ассоциативных алгебр..............................................................10

1.2 Функции Эйлера-Холла на группах и гомоморфизмы свободных групп на п-порождённые группы......................20

1.3 Функция числа классов сопряжённых элементов и гипотеза Пыбера для класса групп лиева типа ранга 1..................22

1.4 Оценка п-й функции Эйлера-Холла............................27

Глава 2. Вопрос о второй функции Эйлера-Холла на группах

лиева типа ранга 1 36

2.1 Подгрупповые описания групп Ри и унитарных групп .... 37

2.2 Рекуррентные формулы для второй функции Эйлера-Холла

£¿2 на унитарных группах и группах Ри........................41

2.3 Решение вопроса о функции ¿2 на группах Ри................44

Список литературы 55

Введение

В диссертации исследуются вопросы о функциях на конечных группах и автоморфизмы свободной ассоциативной алгебры.

В 1969 году в Коуровской тетради Л. А. Бокуть записал

Известный вопрос. Описать группу автоморфизмов свободной ассоциативной алгебры ранга п > 2 [6, Вопрос 3.3].

Для свободной ассоциативной алгебры Ап (с единицей) ранга п над полем естественно определяются элементарные автоморфизмы; порождённые ими автоморфизмы называют ручными, а остальные автоморфизмы — дикими. Таким образом, вопрос 3.3 сводится к нахождению и описанию диких автоморфизмов. Трудным оказывается даже вопрос, когда группа Ai.it Ап совпадает с подгруппой всех ручных автоморфизмов Ап.

Ещё к началу 1970-х годов А. Г. Чернякевич было доказано, что все автоморфизмы алгебры А2 — ручные. Первый «подозрительный» автоморфизм выявился уже для алгебры А3. В монографии Кона [17] он называется автоморфизмом Аника. Лишь в 2003 году завершено доказательство его дикости в случае основного поля характеристики 0, И. П. Шестаков и У. У. Умирбаев [36], [12]. Примечательно, как показали в 2005 году те же авторы, что тождественное продолжение автоморфизма Аника на алгебру Ап ранга п > 3 всегда даёт ручной автоморфизм.

Эти работы опирались, в первую очередь, на метод свободных дифференцирований Фокса и матриц Якоби. В 2004 г. на основе тех же методов В. А. Романьков [9] установил критерий обратимости эндоморфизма алгебры Ап.

Уже краткий обзор указывает на трудность получения результатов в этом направлении и на необходимость разработки новых подходов.

В 1936 году Ф. Холл [26] ввёл важные функции на конечных группах С, исследуя гомоморфизмы свободных групп на п-порождённые группы. Он называет п-базой конечной группы С всякий упорядоченный порож-

дающий набор п её элементов. Число всех п-баз группы С обозначает через </?п(С), называя <рп п-й обобщённой функцией Эйлера. (Её называем также функцией Эйлера-Холла.) Очевидно, когда С — циклическая группа, (р\ (С) совпадает со значением на )С| обычной теоретико-числовой функции Эйлера.

С другой стороны, в [26] доказано существование для любой (известной) конечной простой неабелевой группы С и натурального числа п наибольшего числа с1 = с1п(С) такого, что прямая степень Сс1 порождается п элементами. Там же установлена взаимосвязь введённых функций:

С. А. Сыскин записал в Коуровской тетради вопрос вычисления значений (^(С) для конечных простых групп С [6, вопрос 12.86]. Конечно, для чисел <¿2(С) единообразную формулу можно ожидать лишь для отдельных классов групп.

Более естественна, в целом, гипотеза Уайголда:

Если С — конечная простая неабелева группа, то ^(С) > л/Щ [6, вопрос 17.116].

В работах Эрфаниана, Реза, Мароти и Тамбурини гипотеза Уайголда, по существу, изучена [20], [21], [22], [23], [32]. Минимальное число элементов, порождающих прямую степень группы, изучалось в [39]-[42].

Числа с1-2(С) изучались для конечных простых групп лиева типа ранга 1. Их рекуррентное описание для групп Сузуки 2£?2(2771) и групп Р5Ь2(2та) получили Н.М. Сучков и Д.М. Приходько [И]. Числа <^2(С) вычислены Ф. Холлом в [26] явно для групп Р51/2(д) с простыми q (как и для некоторых групп подстановок малых степеней); для нечётных д их изучал Д. М. Приходько [7], [8].

Случай оставшихся групп Ри 2(?2(<?) и унитарных групп Рви^2) мало изучен; они отличаются тем, что в них существуют неразрешимые подгруппы с неединичным разрешимым радикалом [5].

JI. Пыбер обозначает через k(G) функцию числа классов сопряжённых элементов конечной группы G. Для силовских подгрупп Ри \G\ = |Pi||P2| • • • I-Prl, он высказывает гипотезу k(G) < к(Р1)к(Р2)... /с(Рг), [6, Вопрос 14.76].

В диссертации разрабатывается новый подход к изучению автоморфизмов свободных ассоциативных алгебр и исследуются вопросы С. А. Сыскина, Дж. Уайголда и JI. Пыбера в классе конечных простых групп лиева типа ранга 1 (Коуровская тетрадь [6], вопросы 3.3, 12.86, 14.76, 17.116).

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, состоящего из 50 наименований.

Основные результаты диссертации направлены на исследование известных функций на группах лиева типа ранга 1 и на исследование вопросов об автоморфизмах свободных алгебр.

К основным результатам диссертации относятся следующие:

- найдены оценки п-й функции Эйлера-Холла dn на группах лиева типа ранга 1, которые при п = 2 подтверждают гипотезу Уайголда, и для тех же групп подтверждена гипотеза Пыбера;

- вычисление функции d2 завершено на группах Ри, а для оставшихся (унитарных) групп лиева типа ранга 1 редуцировано к перечислению пар элементов из подгрупп с неединичным разрешимым радикалом;

- вопрос о диких автоморфизмах свободной ассоциативной алгебры редуцирован к аналогичным вопросам для идеала R многочленов с нулевым свободным членом и фактор-алгебр R/Rk; в случае алгебраически замкнутого основного поля автоморфизмы изучены по модулю Rk, к < 4.

В главе 1 к- новому подходу исследования Aut Ап мы приходим, рассматривая алгебру Ап как алгебру многочленов F[x\, х2,..., хп] от некоммутативных переменных (основные результаты опубликованы в нераздельном соавторстве в [44]). Многочлены с нулевым свободным членом образуют в ней идеал, который обозначим через R. По аналогии с алгеброй Ап, определяются ручные и дикие автоморфизмы идеала Я, его

степеней и фактор-алгебр R/Rk, к > 1. В § 1.1 вопрос 3.3 JI. А. Бокутя редуцируется к аналогичным вопросам для идеала Я и нильпотентных фактор-алгебр R/Rk, к — 2,3,... . Основные в § 1.1 — теоремы 1.1.1 и 1.1.2.

Теорема 1.3.1 в § 1.3 подтверждает гипотезу Пыбера на конечных группах лиева типа ранга 1. Она опубликована в [43].

В § 1.2 приведена теорема Ф. Холла, показывающая существование наибольшего числа d = dn{G) для конечной простой неабелевой группы G такого, что d-я прямая степень группы G порождается п элементами. Там же введена обобщённая функция Эйлера (или функция Эйлера-Холла) ц)п и приведена установленная Холлом связь функций срп и dn.

Теорема 1.4.1 в § 1.4 даёт оценку функции dn на группах G лиева типа ранга 1; в частном случае п = 2 она подтверждает для этого класса групп гипотезу Уайголда. Теорема опубликована в [45].

В § 2.1 главы 2 приводятся известные подгрупповые описания групп Ри 2G2(q) и проективных специальных унитарных групп PSUs(q2), необходимые для рассмотрения вопроса Сыскина для этих групп.

Полностью вопрос С. А. Сыскина для групп Ри 2G2(q) завершает доказываемая в § 2.3 теорема 2.3.1. Теорему получили в нераздельном соавторстве автор и Д. В. Левчук [46].

По аналогии с группами Ри, в § 2.2 устанавливается редукционная теорема 2.2.1 для унитарных групп, опубликованная в [47].

Все основные результаты диссертации являются новыми и опубликованы в работах [43]-[47]; из них [45], [46] и [47] входят в перечень ВАК. Работа носит теоретический характер.

Результаты диссертации апробировались на международной школе-конференции по теории групп (Челябинск, 2008), международной конференции «Мальцевские чтения-2009» (Новосибирск, 2009). международной конференции «Алгебра, логика и приложения» (Красноярск, 2010),

международной конференции «Алгебра и линейная оптимизация» (Екатеринбург, 2012), международной конференции «Мальцевские чтения-2012» (Новосибирск, 2012).

Автор благодарен научному руководителю профессору Левчуку Владимиру Михайловичу за постановку задачи и внимание к работе. Признателен сотрудникам кафедры алгебры и математической логики и Института математики СФУ за хорошие условия работы над диссертацией.

Работа над диссертацией была поддержана грантом Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 12-01-00968) и проектом «Алгебро-логические структуры и комплексный анализ с приложениями к передаче и защите информации» (выполняемому в рамках «Задание Минобрнауки РФ»).

Стандартные обозначения

Ai.it 6? — группа автоморфизмов группы или алгебры С; Ап — свободная ассоциативная алгебра ранга щ

Р(х\,..., хп) — свободная ассоциативная алгебра над полем .Р со свободными порождающими х\,..., хп (или алгебра многочленов от некоммутативных переменных £1, ..., хп).

[а, Ь] = а~1Ь~1аЬ — коммутатор элементов а и 6;

аь = Ъ~1аЪ — элемент, сопряженный с а с помощью элемента 6;

— конечное поле порядка

((^(д) : — степень расширения поля С^(^) над

К* — мультипликативная группа обратимых элементов кольца А';

Ыс{М) — нормализатор множества М в группе С;

Сс(М) — централизатор множества М в группе С;

Сс(х) — центарлизатор в группе С элемента х:

Ап — знакопеременная группа на п элементах;

<5>п — симметрическая группа на п элементах.

Глава 1. Функции на группах и автоморфизмы алгебр

В этой главе приводится постановка основных задач диссертации. Прежде всего, они связаны с вопросами из Коуровской тетради [б]: вопросы 12.86, 14.76 и 17.116 о функциях на конечных группах и вопрос 3.3 об автоморфизмах свободной алгебры (с единицей) над полем.

В § 1.1 вопрос 3.3 сводится к вопросу о существовании и выявлению диких автоморфизмов алгебры многочленов над полем от некоммутативных переменных. Там же (теорема 1.1.1) исследуется его редукция к аналогичным вопросам для идеала И многочленов с нулевым свободным членом и для нильпотентных фактор-алгебр В/Як, к — 2,3,... . В случае алгебраически замкнутого основного поля автоморфизмы изучены по модулю В,к, к < 4.

Л. Пыбер ввёл функцию к ((7) числа классов сопряжённых элементов конечной группы 6?. Его гипотеза к (С!) < к(Р1)к(Р2)... к(Рг) для силовских подгрупп Рг, |С| = |Р1||Р2| • • • \Рг\ (см. [6, Вопрос 14.76]), подтверждена в § 1.3 на конечных группах лиева типа ранга 1 (теорема 1.3.1).

В 1936 г. Ф. Холл ввёл и впервые исследовал обобщённую функцию Эйлера на конечных группах и тесно связанную с ней функцию йп. С вычислением функции с12 и её оценкой на конечных простых неабелевых группах связаны, соответственно, вопрос 12.86 С. А. Сыскина и гипотеза Дж. Уайголда [6, вопрос 17.116], см. § 1.2.

Теорема 1.4.1 в § 1.4 даёт оценку функции йп на группах С лиева типа ранга 1; при п = 2 она подтверждает для них гипотезу Уайголда.

1.1 Ручные и дикие автоморфизмы свободных ассоциативных

алгебр

В этом параграфе рассматривается записанный Л. А. Бокутем

Известный вопрос. Описать группу автоморфизмов свободной ассоциативной алгебры ранга п > 3 [6, Вопрос 3.3].

Наряду с уточнением постановки проблемы и кратким обзором подходов к её решению и достижений, исследуем новый подход к проблеме.

Через Ап = Х2, .. •, хп) обозначают свободную ассоциативную

алгебру над полем F со свободными порождающими х\, Х2, ■ ■хп. Любой эндоморфизм алгебры Ап характеризуется действием на свободных порождающих. Если эндоморфизм <р алгебры Ап переводит хг в /г при всех г, то пишем ^ = (/ь /2, • • •, /п)- Автоморфизмы вида

(хь.. .¡хз-иахд + /(жь ... ,х3-1,х3+и .. .,хп),х3+и .. .,хп) (1.1.1)

для фиксированных (произвольно) а€.Ри1<5<п называют элементарными. Все элементарные автоморфизмы порождают в Аг^ Ап подгруппу, обозначаемую через TAi.it Ап; все её элементы называют ручными автоморфизмами. Остальные автоморфизмы называют дикими. Таким образом, вопрос 3.3 сводится к описанию диких автоморфизмов.

К началу 1970-х годов А. Г. Чернякевич [16] доказала, что все автоморфизмы алгебры А2 ручные. С другой стороны, для алгебры А3 в монографии Кона [17] выделяется, как «подозрительный», автоморфизм

5 = (Ж1 + хз(хххз - х3х2),х2 + (жьт3 - х3х2)х3, х3),

называемый автоморфизмом Аника. Лишь в 2003 году И. П. Шестаков и У. У. Умирбаев доказали, что в случае основного поля нулевой характеристики автоморфизм Аника является диким, [36], [12].

Эти работы опирались, в первую очередь, на метод свободных дифференцирований Фокса [3] (см. также [25]) и матриц Якоби. Те же методы

позволили В. А. Романькову установить критерий обратимости эндоморфизма алгебры Ап [9].

К другому подходу исследования Aut Ап мы приходим, рассматривая алгебру Ап как алгебру многочленов F[x 1, £2, • • •, rcn] от некоммутативных переменных. Многочлены с нулевым свободным членом образуют в ней идеал, который обозначим через R. По аналогии с алгеброй Ап, определяются ручные и дикие автоморфизмы идеала R, его степеней и фактор-алгебр R/Rk, к > 1.

Заметим, что каждый автоморфизм ip алгебры Ап однозначно определяет константы сг Е F такие, что

(р(хг) = сг mod ß, г = 1, 2,.. ., п.

С другой стороны, константы сг £ F определяют автоморфизм

(zi - Ci, Х-2 - с2, ...Хп- Сп).

Его назовём автоморфизмом-сдвигом алгебры Ап. Умножая на него (/?, получаем автоморфизм, индуцирующий автоморфизм Тр идеала R.

Из двух основных в этом параграфе теорем редукционной является

Теорема 1.1.1. а) Автоморфизм (р алгебры Ап является диким тогда и только тогда, когда диким является автоморфизм Тр идеала R, причем

оо

Aut Ап = Aut R, Р| Rk = 0.

k=1

б) Если автоморфизм идеала R индуцирует дикий автоморфизм какой-либо фактор-алгебры R/Rk (k > 1), то он является диким.

в) Каждый автоморфизм алгебры Ап с точностью до умножения на ручной действует тождественно по модулю R2.

Таким образом, теорема редуцирует изучение группы автоморфизмов Aut Ап к изучению Aut i?. В то же время, она показывает, что дикому автоморфизму какой-либо фактор-алгебры соответствует (при условии его продолжаемости) дикий автоморфизм алгебры Ап.

По заключительному утверждению теоремы, фактор-алгебра Я/Я2 не имеет диких автоморфизмов. Следующая теорема редуцирует изучение автоморфизмов фактор-алгебр Я/Я3 и Я/Я4 к изучению их специальных автоморфизмов. Для произвольных констант

аъз, аг, а[, А, 7г^ 7г, УЛ, а, а', /3, /3', 7, У € ^ выделим следующие эндоморфизмы алгебры Дг, п > 3:

п

(жг + ^ + /З13хгх IX 3 + 7ггтгжгт!),а:2+

г,0 =2

п

^2(агХ1Х 2хг + + /Згхьтгх2 + + ^Х7Х1Х2 + т^оздН

г=3

р'Х2Х3Х1 + 7Ж3Ж1Ж2 + ~?'х3х2хи х4,..., ж„), (1.1.2)

п

(^1 + ^2{агХ1Хг + РгХгХ^, х2 + ах2х± + 0X1X2, Хз,..., хп). (1.1.3)

1=2

Теорема 1.1.2. Всякий автоморфизм </? алгебры Ап (п > 3) над алгедбра-ически замкнутым полем, с точностью до умножения на ручной автоморфизм, совпадает по модулю Я3 с эндоморфизмом (1.1.3). Если (р единичен по модулю Я3, то он совпадает по модулю Я4 с эндоморфизмом (1.1.2), с точностью до умножения на ручной автоморфизм.

Доказательство теоремы 1.1.1. Любой автоморфизм <р> алгебры Ап умножением на однозначно определённый ручной автоморфизм-сдвиг переводится в автоморфизм, индуцирующий автоморфизм Тр идеала Я. Наоборот, любой автоморфизм идеала Я однозначно продолжается до автоморфизма всей алгебры Ап, и А^ Ап = Au.tR.

Алгебра Я/К2 как линейное пространство имеет базис Х\, х2) • •хп. следовательно, все её автоморфизмы представляют собой невырожденные

линейные преобразования: АиЬЯ/В2 ~ СЬп{Р). Любая матрица раскладывается в произведение элементарных и диагональных матриц, которые при этом изоморфизме соответствуют элементарным автоморфизмам. Отсюда ТАи1 Я/В2 = Аи1 Л/К2. Любой автоморфизм алгебры Ап домноже-нием на сдвиг переводится в автоморфизм, сохраняющий идеал Л, а тот, в свою очередь, домножением на линейные автоморфизмы переводится в автоморфизм, действующий тождественно по модулю И2. □

Через СЬп{Р) обозначим подгруппу линейных автоморфизмов алгебры Ап. Пусть С/г — подгруппа в Аи1;Лп автоморфизмов, действующих тождественно по модулю Нк. Очевидно, что С^/Сдн-! при к > 1 есть коммутативная группа. Более того, когда основное поле 71 алгебраически замкнуто, на ней можно ввести операцию умножения на константу. Пусть

п

<р{хг) = х7 + а1112 ..1кхпхг2... х1к тос! Як+1.

7Ь. .,гк=1

Положив ¡3{хг) = Ьх7, имеем (¡3~1¥(3)(хг) = Ь'1 ( Ьхг + Ък а1112_. гкхг1хг2... хч

\ гь...,гА. = 1

п

Хг + Ък~1 ^ аг1г2-гкХг1Хг2 . . . Х1к п10с1 В,к+1.

Множество Сб/С^-ц с операциями умножения автоморфизмов и умножения на константу Л:= /3~1(рР является векторным пространством. Обозначим его через 14. Множество ручных автоморфизмов из индуцирует в нём подпространство, которое обозначим 744.

Пусть — какое-либо множество автоморфизмов из С4, образы которых в У/; составляют базис подпространства 744, = Тогда процедура редукции автоморфизма € до автоморфизма, действующего тождественно по моду